Appendix A

재료 물성 자료와 계산기

본문 18개 장에서 쓴 재료 자료·계산·공식을 한곳에 모았다. 표는 이 책의 계산 엔진 Mat.*에 들어 있는 자료를 페이지를 열 때 그대로 읽어 그린 것이라, 본문 시뮬레이터·예제와 같은 숫자를 낸다. 물성 표는 검색·정렬·분류 필터가 되고, 줄을 누르면 두 재료 비교기에 들어간다. 성질 지도는 두 축을 골라 그리고, 선택선을 끌어 성능 지수로 재료를 거른다. 이어지는 계산기는 이론 밀도부터 셰러 결정립 크기까지 학부 시험과 현장에서 자주 하는 계산을 한 칸씩 맡는다. 값은 Callister·Ashby·ASM·CRC 핸드북 수준의 상온 대표값이다. 같은 재료라도 조성·열처리·결정립·두께에 따라 수 %에서 몇 배까지 달라지고, 특히 박막은 공정에 따라 크게 다르다. 문제를 풀 때는 문제에 주어진 값을 먼저 쓰고, 없을 때 이 표를 쓴다.

상수, 단위 환산, wt%와 at%

상수는 Mat.C(CODATA 2018)다. 이 책의 단위 관례는 응력·강도 MPa, 탄성률 GPa, 파괴 인성 MPa·√m, 밀도 g/cm³, 열팽창 계수 ppm/K(= 10⁻⁶/K), 열전도도 W/(m·K), 전기 저항률 Ω·m(박막·배선은 µΩ·cm 병기), 확산 계수 m²/s와 활성화 에너지 kJ/mol(캘리스터 관례), 상태도 조성 wt%, 온도 °C(계산은 K)다. 1 MPa = 1 N/mm² = 1 MJ/m³라서 응력과 단위 부피당 에너지(레질리언스·인성)는 같은 단위로 읽는다.

기호이름값단위쓰는 곳
TOOL

재료 단위 환산기

무엇을
해볼 것: ① 4340 강의 항복 강도 1620 MPa가 몇 ksi인지 본다(약 235 ksi — 미국 자료는 ksi로 적는다). ② 구리 저항률 1.68 × 10⁻⁸ Ω·m가 1.68 µΩ·cm임을 확인한다(Ω·m 값에 10⁸을 곱하면 µΩ·cm). ③ 활성화 에너지에서 C in γ-Fe의 148 kJ/mol이 몇 eV(원자당)인지 본다 — 1 eV = 96.49 kJ/mol.
입력
MINI LABwt% ↔ at% 변환 Mat.wt2at·Mat.at2wt. \(C'_\mathrm B = \dfrac{C_\mathrm B/A_\mathrm B}{C_\mathrm A/A_\mathrm A + C_\mathrm B/A_\mathrm B}\times100\). 막대를 좌우로 끌어도 된다. 무거운 원소가 섞이면 두 값이 크게 다르다 — Pb–Sn 공정 61.9 wt% Sn은 73.9 at% Sn이고, 강의 0.76 wt% C는 3.44 at% C다.

저항률 1.7인 금속으로 두께 100의 막을 만들면 면저항 \(R_\mathrm s = \rho/t\)는 이다. 같은 금속의 열팽창 계수가 17.0이면 1 m 길이가 100 K 데워질 때 늘어난다.

재료 물성 표

아래 표는 Mat.db의 모든 재료를 페이지가 열릴 때 그대로 읽어 만든다. 값은 Callister, Ashby, ASM 핸드북, CRC 핸드북의 상온 대표값(범위의 가운데쯤)이다. 강도 열은 금속·고분자는 항복 강도 \(\sigma_\mathrm y\), 세라믹·유리·반도체는 굽힘 강도 대표값이다(취성 재료의 강도는 시편 크기와 표면 상태에 따라 크게 흩어진다 — 7장 와이블). 절연체의 저항률은 하한 대표값, 고분자·유리의 \(T_\mathrm g\)는 Mat.Tg에서 가져왔다. Si의 영률 165 GPa는 등방 평균이다(방향별 값은 아래 입방정 탄성 상수 표). 박막 항목(HfO₂, SiCOH)은 공정에 따라 크게 다르다. 머리글을 누르면 정렬되고, 줄을 누르면 아래 비교기의 재료 A 또는 B(비교기에서 고른 쪽)에 들어간다. "—"는 의미가 없거나 자료가 없는 칸이다.

재료분류ρ (g/cm³)E (GPa)νσy·σf (MPa)TS (MPa)KIC (MPa·√m)α (ppm/K)κ (W/(m·K))ρe (Ω·m)Tm (°C)Tg (°C)εrEg (eV)TCR (1/K)가격 (USD/kg)

가격은 원자재 대략값이라 크기 비교용으로만 쓴다(다이아몬드·금·Ru은 시세에 따라 크게 움직인다). TCR은 순금속의 0–100 °C 평균 저항 온도 계수다. 녹는점 대신 분해·연화하는 재료(PTFE, 고분자 대부분)는 대표 사용 한계를 적은 것도 있다.

COMPARE

두 재료 성질 비교

표의 줄을 누르면
막대는 \(\log_{10}(B/A)\)다. 오른쪽(남색)은 B가 큰 성질, 왼쪽(황동색)은 A가 큰 성질이고, 가로 눈금은 10의 거듭제곱이고, 막대를 누르면 위 물성 표가 그 성질 순으로 정렬된다. 해볼 것: ① 구리 대 알루미늄: 저항률은 1.6배, 밀도는 3.3배 차이다 — 같은 저항의 전선을 만들면 알루미늄이 무게로 절반쯤이다(송전선이 알루미늄인 이유). ② 실리콘 대 질화 알루미늄: 열전도는 비슷한데 저항률이 4 × 10⁸배 다르다 — AlN이 "전기는 막고 열은 통하는" 기판·정전척 재료인 이유다. ③ SAC305 대 Sn–37Pb: 녹는점이 34 K 높고 강성이 크다(8장).
SIMULATOR

애시비 성질 지도와 선택선

흰 원을 끌어 선택선 옮기기 · 점을 누르면 재료
선택선 기울기 s (y ∝ xˢ)
선택선이 고정하는 지수—
선 위쪽(지수가 큰) 재료—
고른 재료—
로그–로그 지도에서 \(y = Cx^s\)는 기울기 \(s\)인 직선이고, 그 선 위의 재료는 지수 \(y^{1/s}/x\)가 모두 같다. 선을 위로 밀수록 지수 조건이 엄격해진다. 해볼 것: ① 가로 ρ, 세로 E에서 기울기 1(봉 \(E/\rho\)), 2(보 \(E^{1/2}/\rho\)), 3(판 \(E^{1/3}/\rho\))을 바꿔 가며 선 위에 남는 재료가 어떻게 바뀌는지 본다 — 판에서는 고분자·목재·CFRP가 강해진다(1장). ② 가로 α, 세로 κ, 기울기 −1로 두고, 열은 잘 통하면서 열팽창은 작은 재료(\(\kappa/\alpha\)가 큰 것)를 찾는다 — 다이아몬드·4H-SiC·Si·W·AlN이 남는다 — 방열 기판과 히트 스프레더 후보다. ③ 가로 ρₑ, 세로 εᵣ로 두면 절연체끼리 유전율이 어떻게 갈리는지 보인다.

결정 구조·결함 자료

금속 원소 표는 Mat.metals(원자 반지름은 캘리스터 표, 몰 질량 IUPAC, 실측 밀도 CRC)다. 이론 밀도 열은 강구 모형 \(\rho = nA/(V_\mathrm C N_\mathrm A)\)으로 페이지에서 계산한 값이라 실측과 1–2 % 다르다 — 원자 반지름 자체가 실측 격자 상수에서 거꾸로 구한 값이고, HCP는 실제 \(c/a\)를 넣었다(2장). 버거스 벡터 크기 \(b\)는 FCC·BCC·HCP 모두 가장 가까운 원자 사이 거리 \(2R\)다.

원소구조R (nm)a (nm, 계산)c/aA (g/mol)ρ 실측 (g/cm³)ρ 이론 (g/cm³)차이 (%)b = 2R (nm)χ원자가
CALCULATOR

이론 밀도

모드
$$\rho = \frac{nA}{V_\mathrm C N_\mathrm A},\quad a_\text{FCC} = 2\sqrt2R,\ a_\text{BCC} = \frac{4R}{\sqrt3},\ V_\text{HCP} = \frac{3\sqrt3}{2}a^2c$$
격자 상수 a—
단위정 부피 VC—
충진율 APF—
이론 밀도 ρ—
원자 밀도 N—
"단위정 직접" 모드는 화합물에 쓴다: \(n\)은 단위정당 화학식 단위 수, \(A\)는 화학식량이다(NaCl \(n = 4\), \(A = 58.44\), \(a = 0.5640\) nm → 2.16 g/cm³; Si 다이아몬드 \(n = 8\), \(a = 0.5431\) nm → 2.33 g/cm³). 해볼 것: ① 철(BCC, R = 0.1241 nm)이 7.88 g/cm³로 실측과 맞는지 본다. ② 같은 R로 FCC를 넣으면 밀도가 몇 % 커지는지 본다(충진율 0.74/0.68 = 1.089). ③ 티타늄에서 c/a를 이상값 1.633과 실제 1.587로 바꿔 본다.
CALCULATOR

평형 공공 농도

곡선 위 점을 끌어 온도 바꾸기
$$\frac{N_\mathrm v}{N} = \exp\!\left(\frac{S_\mathrm v}{k}\right)\exp\!\left(-\frac{Q_\mathrm v}{kT}\right),\qquad N = \frac{N_\mathrm A\rho}{A}$$
원자 밀도 N—
공공 분율 Nv/N—
공공 밀도 Nv—
상온(25 °C) 분율—
기본값은 캘리스터의 구리 예제(1000 °C, \(Q_\mathrm v = 0.9\) eV, 1000 °C의 밀도 8.4 g/cm³)다. 대표 \(Q_\mathrm v\)(eV): Al 0.67, Cu 0.9–1.28, Ni 1.6, Ag 1.1, Au 0.9, Si 3.6 정도로 문헌마다 퍼져 있다(3장). 해볼 것: ① 녹는점 근처에서 공공 분율이 10⁻⁴ 안팎이 되는지 본다. ② \(Q_\mathrm v\)를 0.1 eV만 바꿔도 1000 °C 농도가 몇 배 바뀌는지 본다.

이온 반지름과 입방정 탄성 상수

이온 반지름은 Mat.ionicRadii(섀넌, 배위수 6 기준 대표값, Cs⁺만 8배위)다. 반지름 비 \(r_\mathrm C/r_\mathrm A\)의 한계값 0.155·0.225·0.414·0.732가 배위수 2·3·4·6·8의 경계다(2장). 표의 칸을 누르면 아래 미니 실험의 양이온·음이온으로 들어간다.

MINI LAB반지름 비로 배위수 예측(Mat.radiusRatioCN). 가운데 양이온이 둘레 음이온 껍질에 닿는지가 그림으로 보인다. Na⁺/Cl⁻ = 0.564 → 6배위(NaCl 구조), Si⁴⁺/O²⁻ = 0.286 → 4배위(SiO₄ 사면체), Zr⁴⁺/O²⁻ = 0.514 → 6이지만 실제 ZrO₂는 7–8배위 — 반지름 비는 첫 어림일 뿐이다.

입방정 탄성 상수는 Mat.cubicC(GPa; Si는 Hopcroft 2010)다. 방향별 영률 \(E_{hkl}\)과 이축 탄성률 \(M = E/(1-\nu)\)은 페이지에서 순응 계수로 계산했다. 지너 이방성 비 \(A = 2C_{44}/(C_{11}-C_{12})\)가 1이면 등방이다. 박막 응력·웨이퍼 휨 계산에는 Si(100) 이축 탄성률 180 GPa를 쓴다(5장).

결정C11C12C44지너 AE100E110E111M(100)M(111)

확산 자료와 확산 계산기

확산 자료는 Mat.diffData로, 캘리스터 관례 \(D = D_0\exp(-Q_\mathrm d/RT)\)의 \(D_0\)[m²/s]와 \(Q_\mathrm d\)[kJ/mol]이다(캘리스터 표 5.2와 반도체 쪽 대표값). 결정립계·표면 항목은 단회로 확산의 크기를 보이는 대표값이다(4장). 실리콘 속 도펀트(cm²/s·eV 관례)는 열물리 부록에 있다. 줄을 누르면 아래 계산기의 주 계로 들어간다.

확산 계D0 (m²/s)Qd (kJ/mol)Qd (eV)D(500 °C) (m²/s)D(900 °C) (m²/s)√(Dt), 900 °C·1 h (µm)
CALCULATOR

D(T), 확산 거리, 걸리는 시간

세로선을 끌어 온도 바꾸기
함께 그릴 계
$$D = D_0e^{-Q_\mathrm d/RT},\qquad L = \sqrt{Dt},\qquad \frac{C_x - C_0}{C_\mathrm s - C_0} = 1-\operatorname{erf}\frac{x}{2\sqrt{Dt}}$$
D(T)—
√(Dt)—
x에서 (C−C₀)/(Cₛ−C₀)—
x = 2√(Dt)에 걸리는 시간—
온도 +50 K이면 D—
가로축은 \(1000/T\)(K⁻¹)이고 위쪽에 °C를 적었다 — 아레니우스 그림에서 직선의 기울기가 \(-Q_\mathrm d/(2.303R)\)다. 해볼 것: ① "C in γ-Fe", 1000 °C, 10 h에서 √(Dt)가 약 0.84 mm임을 보고, 침탄 깊이 0.5 mm에서 농도비가 얼마인지 본다(4장). ② 같은 온도에서 C in α-Fe가 γ-Fe보다 몇 배 빠른지 본다(BCC는 틈새가 열려 있다). ③ "Cu in Si"는 상온 근처에서도 빨라 구리 배선에 방벽이 필요하다 — 400 °C, 1 h의 확산 거리를 본다.

두 온도에서 D를 재면 \(Q_\mathrm d\)가 나온다. 500에서 \(D_1 =\) -15.5(log₁₀ m²/s), 900에서 \(D_2 =\) -11.1(log₁₀ m²/s)이면 \(Q_\mathrm d =\) , \(D_0 =\) 이다.

탄성·소성 계산기

등방 탄성 상수는 둘만 알면 나머지가 정해진다: \(G = \dfrac{E}{2(1+\nu)}\), \(K = \dfrac{E}{3(1-2\nu)}\), 라메 상수 \(\lambda = \dfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}\), 이축 탄성률 \(M = \dfrac{E}{1-\nu}\), 평면 변형 탄성률 \(E' = \dfrac{E}{1-\nu^2}\)(5장). 단결정은 방향마다 다르므로 앞의 입방정 표를 쓴다.

CALCULATOR

등방 탄성 상수 변환

아는 두 값
E—
ν—
G—
K—
λ (라메)—
M = E/(1−ν)—
E′ = E/(1−ν²)—
ν가 0.5에 가까워지면 \(K\)가 무한대로 간다(비압축성 — 고무 PDMS ν = 0.49). 열역학적으로 \(-1 < \nu < 0.5\)여야 하므로 그 밖의 조합은 "불가능"으로 표시한다. 해볼 것: ① 구리 E = 110, ν = 0.34에서 G = 41 GPa, K = 115 GPa를 확인한다. ② "G, K"로 바꿔 G = 41, K = 115를 넣고 E, ν가 돌아오는지 본다.
SIMULATOR

주응력, 모어 원, 폰 미제스

X·Y 점을 끌어 응력 바꾸기
σ₁, σ₂ (면 안)—
주축 각 θp—
면 안 최대 전단 τmax—
폰 미제스 σVM—
트레스카 σ₁−σ₃—
안전 계수 σy/σVM—
모어 원의 X 점은 \((\sigma_x, \tau_{xy})\), Y 점은 \((\sigma_y, -\tau_{xy})\)이고, 원이 가로축과 만나는 두 점이 주응력이다. 그림 속 각 \(2\theta_\mathrm p\)는 실제 회전각의 두 배다. \(\sigma_z\)는 면 밖 주응력으로 폰 미제스·트레스카 계산에만 들어간다(점선 원). 해볼 것: ① τxy만 두고 σx = σy = 0(순수 전단)이면 σVM = √3 τ임을 본다. ② 등이축 σx = σy(박막 응력 상태)에서는 면 안 원이 점이 되지만 σz = 0과의 차이로 σVM = |σ|가 된다. ③ σz를 σx·σy와 같게 하면(정수압) σVM = 0 — 정수압만으로는 항복하지 않는다(5장).
CALCULATOR

스토니 식: 박막 응력 ↔ 웨이퍼 휨

가운데 점을 위아래로 끌기
무엇을 구하나
$$\sigma_\mathrm f = \frac{E_\mathrm s}{1-\nu_\mathrm s}\frac{h_\mathrm s^2}{6h_\mathrm f}\kappa,\qquad \kappa = \frac1R,\qquad \delta = \frac{\kappa D^2}{8}$$
막 응력 σf—
곡률 κ—
곡률 반지름 R—
휨 높이 δ (bow)—
응력 × 두께—
부호: 인장 막(σf > 0)은 막 쪽이 오목해지고, 압축 막은 막 쪽이 볼록해진다. 그림은 막을 위에 두고 휨을 과장해 그렸다. 스토니 식은 \(h_\mathrm f \ll h_\mathrm s\)이고 휨이 기판 두께보다 작을 때 맞다(5장). 해볼 것: ① 압축 −1 GPa SiN 200 nm가 300 mm 웨이퍼에 만드는 휨이 약 125 µm임을 본다(곡률 반지름 약 90 m). ② 두께를 반으로 갈아낸(hs ≈ 390 µm) 웨이퍼에서는 휨이 4배가 된다 — 박형 웨이퍼 공정에서 휨 관리가 어려운 이유다. ③ "휨 → 응력"에서 측정 휨 30 µm를 넣어 막 응력을 거꾸로 구한다.
CALCULATOR

열응력: 구속 봉과 기판 위 박막

$$\sigma_\text{봉} = -E\alpha\Delta T,\qquad \sigma_\mathrm f = \frac{E_\mathrm f}{1-\nu_\mathrm f}(\alpha_\mathrm s - \alpha_\mathrm f)\Delta T,\quad \Delta T = T_\text{나중} - T_\text{증착}$$
열 불일치 Δα—
막의 열응력 σf—
막 재료 항복·파괴 강도와 비교—
양끝 구속 봉의 응력—
300 mm·775 µm Si의 휨—
탄성 계산이다. 계산 응력이 막의 항복 강도를 넘으면 금속 막은 소성 변형으로 응력이 그만큼 풀린다(구리 배선의 열 사이클 이력, 5장·17장). 박막의 항복 강도는 괴상보다 몇 배 크다(결정립·두께 효과). 해볼 것: ① 구리 막을 400 °C에서 상온으로 식히면 인장 약 900 MPa(탄성 계산) — 괴상 구리 항복 강도 69 MPa보다 훨씬 커서 실제로는 소성 이완한다. ② SiO₂ 막(α = 0.55)은 Si(2.6) 위에서 식으면 압축이 된다. ③ 에폭시(α = 60)를 Si 위에서 경화 온도 175 °C로부터 식혀 본다 — 패키지 휨의 원인이다.
증착 응력과 웨이퍼 휨

박막 응력은 증착 중 생기는 고유 응력(이온 충돌·결정립 합체)과 위 계산기의 열응력을 더한 값이다. 설비에서는 레이저로 증착 전후 웨이퍼 곡률을 재고 스토니 식으로 응력을 환산해 막질을 관리한다 → ProcessBook · 박막 증착. 패키지에서는 에폭시·기판·실리콘의 열팽창 불일치가 같은 원리로 휨을 만든다 → PackagingBook · 열·기계·전기 설계

홀–페치 계수와 강화 계산

홀–페치 대표 계수는 Mat.hallPetchData다(σ₀ MPa, k MPa·√m; 문헌마다 수십 % 퍼진다). 결정립이 약 20 nm보다 작아지면 결정립계 미끄럼으로 관계가 꺾인다(역 홀–페치). 테일러 식의 테일러 인자는 FCC 다결정 3.06, BCC 2.75, 상수 α ≈ 0.2–0.5(기본 0.3)다(6장).

금속σ0 (MPa)k (MPa·√m)σy(d = 100 µm)σy(10 µm)σy(1 µm)σy(100 nm)
MINI LAB\(\sigma_\mathrm y = \sigma_0 + kd^{-1/2}\)(홀–페치)에 테일러 가공 경화 \(\Delta\sigma = M\alpha Gb\sqrt\rho\)를 더한 어림. 가로축이 \(d^{-1/2}\)라 홀–페치는 직선이다. 점을 끌어 결정립 크기를 바꾼다. \(G\)는 물성 표의 \(E,\nu\)에서, \(b = 2R\)은 금속 결정 표에서 가져온다. 풀림 금속 ρ ≈ 10¹⁰–10¹², 심한 냉간 가공 10¹⁵–10¹⁶ m⁻².

파괴·피로·크리프 계산기

파괴 인성 \(K_\mathrm{IC}\)는 물성 표의 값을 쓴다. 기하 인자 \(Y\)는 무한 판 가운데 균열 1, 가장자리 균열 1.12, 반원형 표면 균열 약 0.73(최심점)이다. 가운데 균열의 \(a\)는 반 길이, 가장자리 균열은 전체 깊이다(7장).

CALCULATOR

임계 균열 길이와 파괴 응력

점을 끌어 균열 길이·응력 바꾸기
$$K = Y\sigma\sqrt{\pi a},\qquad a_\mathrm c = \frac1\pi\left(\frac{K_\mathrm{IC}}{Y\sigma}\right)^2,\qquad \sigma_\mathrm f = \frac{K_\mathrm{IC}}{Y\sqrt{\pi a}}$$
K (σ, a)—
판정—
σ에서 임계 균열 ac—
a에서 파괴 응력 σf—
평면 변형 두께 2.5(KIC/σy)²—
그림의 곡선은 \(\sigma_\mathrm f(a)\)이고, 곡선 아래(초록)는 안전, 위(빨강)는 파괴다. 금속은 항복이 먼저 올 수 있어 가로 점선으로 \(\sigma_\mathrm y\)를 같이 그렸다. 해볼 것: ① 알루미나(KIC 4.2)에 200 MPa이 걸리면 가장자리 균열 약 112 µm에서 깨진다. ② 실리콘 다이(KIC 0.9)의 다이싱 칩핑 10 µm가 견디는 응력을 본다 — 다이 강도가 표면 결함 크기로 정해진다(7장). ③ 4340 강(KIC 50)에서는 임계 균열이 mm 단위다.
MINI LAB와이블 크기 효과 \(\sigma_2/\sigma_1 = (V_1/V_2)^{1/m}\). 시험 시편(남색)과 부품(황동색)의 파괴 확률 곡선을 비교한다. 세라믹 m ≈ 5–15, 실리콘 다이 10–20, 금속 30 이상.
MINI LAB라슨–밀러 변수 \(\mathrm{LMP} = T(C + \log_{10}t_\mathrm r)\)(T K, tr h, C = 20). 같은 응력에서 LMP가 같으면 고온 단시간 시험으로 저온 장시간 수명을 읽는다. 곡선은 같은 LMP를 주는 (T, tr)의 짝이다.
CALCULATOR

파리스 법칙 피로 수명

초기 균열 점을 위아래로 끌기
$$\frac{da}{dN} = C\,\Delta K^m,\quad \Delta K = Y\Delta\sigma\sqrt{\pi a}\ \Rightarrow\ N_\mathrm f = \frac{a_\mathrm c^{1-m/2} - a_0^{1-m/2}}{C\,(Y\Delta\sigma\sqrt\pi)^m(1-m/2)}$$
임계 균열 ac—
수명 Nf—
a₀에서 ΔK, da/dN—
수명의 절반이 지난 때 a—
\(C\)의 단위는 m/cycle·(MPa·√m)⁻ᵐ이다. 강 \(m \approx 3\), \(C \approx 10^{-12}\), 알루미늄 합금 \(m \approx 3\text{–}4\). 균열은 처음에 느리고 끝에서 빨라서, 수명 대부분은 균열이 작을 때 쓴다(그림). 해볼 것: ① 기본값에서 \(N_\mathrm f\) ≈ 7.8 × 10⁶임을 보고, 검사로 찾을 수 있는 균열이 1 mm에서 0.5 mm로 줄면 수명이 몇 % 느는지 본다. ② ac 칸을 비워 \(K_\mathrm{IC}\)와 \(\sigma_\mathrm{max}\)로 임계 균열을 정한다(7장).

상태도 핵심 점과 지렛대 규칙

Mat.diagrams는 ASM 상태도를 교재 수준으로 단순화한 꺾은선 대표값이다(8장). Pb–Sn은 캘리스터 예제(150 °C에서 α 11 wt% Sn, β 99 wt% Sn)와 맞추었고, Fe–Fe₃C는 1147 °C 아래의 강 영역만 담았다(모상이 액체 대신 오스테나이트 γ). 조성은 wt%, at%는 아래 계산기와 앞의 변환기로 구한다.

계형TA (°C)TB (°C)불변 온도 (°C)불변점 조성α 최대 고용β 쪽 끝 조성불변 반응

Fe–C의 나머지 핵심 점(강 영역 밖): 공정 1147 °C·4.30 wt% C(L → γ + Fe₃C, 레데부라이트), 포정 1493 °C·0.17 wt% C(δ + L → γ), γ의 최대 고용 2.14 wt% C, α–γ 변태 912 °C(순철), 퀴리 온도 770 °C. 무연 솔더 Sn–3.0Ag–0.5Cu의 삼원 공정은 약 217 °C, Sn–Ag 이원 공정 221 °C·3.5 wt% Ag, Sn–Cu 227 °C·0.7 wt% Cu다.

SIMULATOR

지렛대 규칙 계산기

상태점을 끌어 조성·온도 바꾸기
상태도
$$W_\alpha = \frac{C_\beta - C_0}{C_\beta - C_\alpha},\qquad W_\beta = \frac{C_0 - C_\alpha}{C_\beta - C_\alpha}$$
영역—
상의 조성—
질량 분율—
C₀ (at%)—
액상선(γ 경계) 온도—
불변 온도 바로 아래 미세 구성 요소—
두 상 영역에서는 가로 연결선(tie line) 양끝이 두 상의 조성이고, 지렛대 규칙으로 질량 분율을 읽는다. 해볼 것: ① Pb–Sn 40 wt% Sn, 150 °C에서 Wα = 0.67, Wβ = 0.33을 확인한다(캘리스터 예제). ② 같은 조성을 184 °C(공정 바로 위)로 올려 초정 α와 액상의 분율을 보고, 미세 구성 요소 칸과 비교한다. ③ Fe–C 0.40 wt% C에서 초석 페라이트와 펄라이트 분율을 본다(8장). ④ Cu–Ni 35 wt% Ni, 1250 °C에서 CL ≈ 31.3, Cα ≈ 42.5 wt% Ni를 확인한다.
MINI LABJMAK \(f = 1 - \exp(-kt^n)\), \(k = \ln 2/t_{50}^{\,n}\). 곡선 위 점을 끌면 그 시간의 변태 분율이 나온다. n = 4: 일정 핵생성 + 3차원 성장, 3: 자리 포화 3차원, 2: 자리 포화 2차원·결정립계 핵생성(9장). 10 %→90 % 시간 폭이 n이 작을수록 넓어진다.

배선·유리·광학·압전 자료와 복합재료·EOT 계산기

배선 금속 표는 Mat.wireMetals(Gall 2016 근방의 괴상 저항률 \(\rho_0\)과 전자 평균 자유 행로 \(\lambda\))다. 선폭이 \(\lambda\)와 비슷해지면 표면·결정립계 산란으로 저항률이 오른다. 곱 \(\rho_0\lambda\)가 작을수록 가는 선에서 유리하다 — Cu는 \(\rho_0\)가 가장 작지만 \(\lambda\)가 길어서, 방벽·라이너(TaN/Ta 수 nm)가 단면을 차지하는 구리와 달리 Ru·Mo는 방벽 없이도 쓸 수 있어, 10 nm대 선폭에서는 Ru·Co·Mo가 경쟁한다(11장). 크기 효과 열은 간이 모형 Mat.sizeEffect(정반사 p = 0, 결정립계 반사 R = 0.3, 결정립 = 선폭)로 계산했다. 표의 값에는 방벽·라이너 두께를 넣지 않았다.

금속ρ0 (µΩ·cm)λ (nm)ρ0λ (10⁻¹⁶ Ω·m²)ρ(w = 40 nm)ρ(20 nm)ρ(10 nm)

선폭 20(결정립 크기 = 선폭)에서 간이 크기 효과 모형으로 Cu는 , Ru은 , Co는 (µΩ·cm, 선 전체 단면 기준 유효값)다. 구리는 한쪽 2 nm 방벽(Co는 0.5 nm 라이너, Ru·Mo는 없음)이 단면을 차지한다고 보고 \(\rho(w_\text{eff})(w/w_\text{eff})^2\)로 환산했다. 이 폭에서 가장 유리한 금속은 이다.

유리 점도 기준점, 셀마이어 계수, 압전 계수

유리 점도는 VFT 식 \(\log_{10}\eta[\mathrm{Pa\,s}] = A + B/(T - T_0)\)(T °C) 계수 Mat.glassVFT로, 코닝 유리의 변형·서냉·연화·작업점에 맞춘 값이다. 기준점의 점도는 작업점 10³, 연화점 106.6, 서냉점 10¹², 변형점 1013.5 Pa·s다(12장). 표의 온도는 VFT 식을 거꾸로 풀어 계산한 값이다.

유리AB (°C)T0 (°C)작업점 (°C)연화점 (°C)서냉점 (°C)변형점 (°C)
MINI LABVFT 점도 곡선. 점을 끌어 온도를 바꾸면 그 온도의 점도와 가장 가까운 기준점이 나온다. 용융 실리카는 같은 점도에 600 °C 가까이 더 뜨거워야 한다 — 석영 부품 가공이 어려운 이유다.
MINI LAB셀마이어 \(n^2 = 1 + \sum B_i\lambda^2/(\lambda^2 - C_i)\)(Mat.sellmeierData, λ µm)와 수직 입사 반사율 \(R = (n-1)^2/(n+1)^2\). 짧은 파장일수록 굴절률이 커진다(정상 분산, 16장).
재료셀마이어 BiCi (µm²)n(248 nm)n(365 nm)n(633 nm)n(1550 nm)R(633 nm)

압전 계수 \(d_{33}\)(pC/N, Mat.piezo)는 1 N의 힘이 만드는 전하(직접 효과) 또는 1 V가 만드는 변위 pm(역효과)다. PZT는 크지만 납을 포함하고 박막 공정이 어려워, MEMS·RF 필터에는 AlN·ScAlN 박막을 쓴다(15장).

SIMULATOR

혼합 법칙: 탄성률·열팽창·열전도

세로선 끌기
성질
상한(보이트·병렬)—
하한(로이스·직렬)—
하신–슈트리크만—
할핀–차이(ξ = 2)—
탄성률: 연속 섬유의 섬유 방향은 보이트(등변형), 수직 방향은 로이스(등응력)에 가깝고, 무작위 입자는 하신–슈트리크만 경계 사이에 든다. 열팽창: 단순 혼합 \(\sum V_i\alpha_i\)보다 강성이 큰 상이 지배하는 터너·커너 식이 실제에 가깝다. 열전도: 구형 입자는 맥스웰(희박), 고충전은 루이스–닐슨(최대 충전 0.637). 해볼 것: ① 에폭시 + 용융 실리카 Vf ≈ 0.8에서 α가 실리콘(2.6)·구리(17) 사이로 내려오는지 본다 — EMC가 실리카를 85 wt% 넣는 이유다(14장). ② 에폭시 + AlN으로 열계면 재료의 κ를 보고, 직렬·병렬 경계 사이가 얼마나 넓은지 본다. ③ 강화재를 탄소 섬유(이 계산기 전용 대표값)로 바꾸면 Vf = 0.6에서 섬유 방향(보이트)은 140 GPa쯤인데 수직 방향(로이스)은 6 GPa대다 — 단방향 복합재료의 강한 이방성이다. 물성 표의 CFRP는 이미 유사 등방 적층판이라 강화재로 쓰지 않는다.
CALCULATOR

EOT와 정전 용량 밀도

층 1 (계면층)
층 2 (high-k)
층 3 (선택, 두께 0이면 없음)
$$\mathrm{EOT} = \sum_i t_i\frac{3.9}{k_i},\qquad \frac{C}{A} = \frac{\varepsilon_0\cdot3.9}{\mathrm{EOT}}$$
물리 두께 합—
EOT—
C/A—
유효 k—
층의 k는 물성 표의 εᵣ(SiO₂ 3.9, Si₃N₄ 7.5, Al₂O₃ 9.8, HfO₂ 20, ZrO₂ 25, Y₂O₃ 12)다. 직렬 축전기라 가장 낮은 k의 층이 EOT를 지배한다 — 계면 SiO₂ 0.8 nm만으로 EOT 0.8 nm가 이미 쓰인다. 해볼 것: ① HfO₂ 두께를 2 nm에서 3 nm로 늘려도 EOT가 0.2 nm만 느는 것을 본다. ② 계면층을 0.5 nm로 줄이는 것이 왜 high-k 공정의 핵심인지 본다(15장).

산화·신뢰성·분석 자료와 계산기

필링–베드워스 비 \(\mathrm{PBR} = \dfrac{A_\text{ox}\rho_\mathrm M}{nA_\mathrm M\rho_\text{ox}}\)(산화물 화학식당 금속 원자 \(n\)개)는 Mat.oxides의 몰 질량·밀도로 페이지에서 계산했다. 1보다 작으면 산화막이 금속을 다 덮지 못해 다공성이 되기 쉽고, 1–2 사이면 치밀한 보호막, 2보다 훨씬 크면 압축 응력으로 갈라지거나 벗겨지기 쉽다(17장). 실제 보호성은 확산 속도·접착·휘발성에도 달려 있다 — W의 WO₃는 고온에서 승화한다.

금속산화물Aox (g/mol)ρox (g/cm³)nAM (g/mol)ρM (g/cm³)PBR예상
CALCULATOR

가속 계수: 블랙 식과 아레니우스

$$\mathrm{MTTF} = A\,j^{-n}\exp\!\left(\frac{E_\mathrm a}{kT}\right),\qquad \mathrm{AF} = \left(\frac{j_\text{시험}}{j_\text{사용}}\right)^{n}\exp\!\left[\frac{E_\mathrm a}{k}\left(\frac1{T_\text{사용}} - \frac1{T_\text{시험}}\right)\right]$$
전류 항—
온도 항(아레니우스)—
가속 계수 AF—
사용 조건 MTTF—
Ea ±0.1 eV이면 AF—
대표값: Cu 배선 일렉트로마이그레이션 \(E_\mathrm a\) ≈ 0.8–1.0 eV(계면 확산), Al 0.5–0.7 eV, n ≈ 1–2(성장 지배 1, 핵생성 지배 2). 줄 발열로 시험 중 선 온도가 오르면 실제 AF가 달라지므로 시험 전류를 너무 크게 잡지 않는다(17장). 전류 지수를 0으로 두면 순수 아레니우스 가속(열 노화·HTOL)이 된다. 해볼 것: ① 기본값에서 AF ≈ 5500이라 시험 200 h가 사용 조건 약 126년임을 본다. ② Ea 추정이 0.1 eV 틀리면 수명 외삽이 몇 배 흔들리는지 본다.

특성 X선과 XPS 결합 에너지

EDS 특성 X선 에너지(keV, Mat.xrayLines)와 XPS 결합 에너지 대표값(eV, Mat.xpsBE, C 1s 284.8 eV 기준 보정)이다(18장). EDS 분해능은 약 130 eV라 0.06 keV 안에 있는 선은 서로 겹친다 — 대표적으로 Si Kα 1.740과 W Mα 1.775·Ta Mα 1.710, P Kα 2.014와 Zr Lα 2.042·Pt Mα 2.051·Au Mα 2.123, S Kα 2.308과 Mo Lα 2.293·Pb Mα 2.342. 아래 칸에 에너지를 넣으면 근처의 선이 표에서 강조된다.

원소선E (keV)모즐리 어림 (keV, Kα만)Z
준위 (화학 상태)BE (eV)Al Kα에서 KE (eV)IMFP λ (nm, 무기물 어림)분석 깊이 3λ (nm)
CALCULATOR

XRD: 브래그 각과 셰러 결정립 크기

반치폭 화살표 끝을 좌우로 끌기
$$\lambda = 2d\sin\theta,\qquad D = \frac{K\lambda}{\beta\cos\theta},\qquad \beta^2 = \beta_\text{측정}^2 - \beta_\text{장비}^2$$
면 간격 d—
보정 폭 β—
셰러 크기 D—
보정 안 하면 D—
β는 라디안으로 바꿔 넣는다(계산기가 한다). 가우스형 피크의 장비 폭 보정은 제곱 차, 로런츠형은 단순 차가 맞다. 셰러 크기는 결정립 크기의 하한 어림이다 — 미세 변형도 폭을 넓히므로 여러 피크로 윌리엄슨–홀 그림을 그려 나눈다(18장). 해볼 것: ① Cu(111) 2θ = 43.3°, FWHM 0.30°에서 D ≈ 30 nm를 본다. ② 측정 폭이 장비 폭에 가까워지면(0.10°) D가 크게 흔들린다 — 약 100 nm 이상은 XRD 선폭으로 재기 어렵다.
자료표를 어떻게 쓰나

현장 불량 분석에서 EDS 피크 하나로 원소를 단정하면 겹침 선 때문에 틀리기 쉽다(Si Kα와 W Mα). 다른 선(W Lα 8.398 keV)이 함께 나오는지, XPS 화학 이동이 맞는지 두 자료를 엇갈려 확인한다 → FailureBook · 원소·화학 분석

자주 쓰는 공식 모음

부별로 자주 쓰는 식을 모았다. 오른쪽 열의 링크는 그 식을 유도하고 쓰는 본문 절이다. 단위 약속: 응력 MPa, 탄성률 GPa, \(K\) MPa·√m, 길이 m(따로 적지 않으면), \(Q\)는 kJ/mol이면 \(R\), eV이면 \(k\)로 나눈다.

제1부 구조와 결함 (1–4장)

식뜻·조건장
\(E/\rho\), \(E^{1/2}/\rho\), \(E^{1/3}/\rho\), \(\sigma_\mathrm y^{2/3}/\rho\)가볍고 단단한 봉·보·판, 가볍고 강한 보의 성능 지수1장
\(\Delta T_\mathrm c = \dfrac{\sigma_\mathrm f(1-\nu)}{E\alpha}\)열충격 저항(급랭 시 견디는 온도 차)1장
\(\rho = \dfrac{nA}{V_\mathrm CN_\mathrm A}\); \(a_\text{FCC} = 2\sqrt2R\), \(a_\text{BCC} = 4R/\sqrt3\); APF 0.74·0.68이론 밀도, 격자 상수와 원자 반지름2장
\(r_\mathrm C/r_\mathrm A\): 0.155, 0.225, 0.414, 0.732배위수 3·4·6·8의 하한 반지름 비2장
\(d_{hkl} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}\), LD = 원자 수/길이, PD = 원자 수/넓이입방정 면 간격, 선밀도·면밀도2장
\(N_\mathrm v = N\exp(-Q_\mathrm v/kT)\), \(N = N_\mathrm A\rho/A\)평형 공공 농도3장
\(n_\mathrm s/N = \exp(-Q_\mathrm s/2kT)\)쇼트키·프렌켈 쌍(전하 중성 짝)3장
\(\tau_{\theta z} = \dfrac{Gb}{2\pi r}\), \(E_\perp \approx \dfrac{Gb^2}{4\pi(1-\nu)}\ln\dfrac{R}{r_0}\approx \tfrac12Gb^2\)나사 전위 응력장, 전위의 단위 길이 에너지3장
\(n = 2^{G-1}\), \(G = -6.644\log_{10}\bar\ell - 3.288\)(ℓ mm)ASTM 결정립 번호(100배·1 in²), 선분 교차법3장
\(D = D_0\exp(-Q_\mathrm d/RT)\), \(L\approx\sqrt{Dt}\), \(\dfrac{C_x - C_0}{C_\mathrm s - C_0} = 1 - \operatorname{erf}\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\)아레니우스 확산, 확산 거리, 반무한 일정 표면 농도4장
\(\tilde D = X_\mathrm BD_\mathrm A + X_\mathrm AD_\mathrm B\), \(v = (D_\mathrm A - D_\mathrm B)\dfrac{\partial X_\mathrm A}{\partial x}\)다르켄 식, 커켄달 표지 속도4장
\(\tilde D(C^*) = -\dfrac1{2t}\dfrac{dx}{dC}\Big|_{C^*}\displaystyle\int_{C_\mathrm R}^{C^*}(x - x_\mathrm M)\,dC\)볼츠만–마타노 해석4장
\(D_\text{eff} = (1-f)D + fD_\text{gb}\), \(f\approx3\delta/d\)하트 식(해리슨 A 영역)4장
\(x^2 = k_\mathrm pt\)확산 지배 반응층·IMC 포물선 성장4장

제2부 기계적 성질 (5–7장)

식뜻·조건장
\(\varepsilon_x = \dfrac{\sigma_x - \nu(\sigma_y+\sigma_z)}{E}\), \(\gamma = \tau/G\); \(G = \dfrac{E}{2(1+\nu)}\), \(K = \dfrac{E}{3(1-2\nu)}\)등방 훅 법칙과 탄성 상수 관계5장
\(\sigma_{1,2} = \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}2 \pm \sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}2\right)^2+\tau_{xy}^2}\), \(\tan2\theta_\mathrm p = \dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}\)평면 응력 주응력, 모어 원5장
\(\dfrac1{E_{hkl}} = S_{11} - 2\left(S_{11}-S_{12}-\tfrac12S_{44}\right)(l_1^2l_2^2+l_2^2l_3^2+l_3^2l_1^2)\)입방정 방향별 영률(Si: 130·169·188 GPa)5장
\(\sigma = -E\alpha\Delta T\); \(\sigma_\mathrm f = \dfrac{E_\mathrm f}{1-\nu_\mathrm f}(\alpha_\mathrm s - \alpha_\mathrm f)\Delta T\)구속 봉의 열응력, 두꺼운 기판 위 박막의 열응력5장
\(\sigma_\mathrm f = \dfrac{E_\mathrm sh_\mathrm s^2}{6(1-\nu_\mathrm s)h_\mathrm fR}\), \(\delta = \dfrac{D^2}{8R}\)스토니 식, 웨이퍼 휨 높이5장
\(\sigma_\text{VM} = \sqrt{\tfrac12[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]}\)폰 미제스 등가 응력(트레스카 \(\sigma_1-\sigma_3\))5장
\(\sigma_\mathrm T = \sigma(1+\varepsilon)\), \(\varepsilon_\mathrm T = \ln(1+\varepsilon)\), \(\sigma_\mathrm T = K\varepsilon_\mathrm T^n\), 네킹 \(\varepsilon_\mathrm T = n\)진응력·진변형, 홀로몬 식, 콩시데르 조건6장
\(\tau_\mathrm R = \sigma\cos\phi\cos\lambda\), \(\sigma_\mathrm y = \tau_\text{CRSS}/m_\text{max}\)슈미트 법칙6장
\(\sigma = \sigma_0 + M\alpha Gb\sqrt\rho\)테일러 가공 경화6장
\(\sigma_\mathrm y = \sigma_0 + kd^{-1/2}\), \(\Delta\tau_\text{오로완}\approx Gb/\lambda\)홀–페치, 석출물 우회 강화6장
\(\mathrm{HV} = 1.854F/d^2\); \(H = P_\text{max}/A\), \(E_\mathrm r = \dfrac{\sqrt\pi S}{2\beta\sqrt A}\)비커스 경도, 올리버–파르 나노압입6장
\(\sigma_\mathrm c = \sqrt{\dfrac{2E\gamma_\mathrm s}{\pi a}}\)그리피스 파괴 응력7장
\(K = Y\sigma\sqrt{\pi a}\), \(a_\mathrm c = \dfrac1\pi\left(\dfrac{K_\mathrm{IC}}{Y\sigma}\right)^2\), \(G = K^2/E'\)응력 확대 계수, 임계 균열, 에너지 해방률7장
\(P_\mathrm f = 1 - \exp\!\left[-\dfrac{V}{V_0}\left(\dfrac{\sigma}{\sigma_0}\right)^m\right]\), \(\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1} = \left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{1/m}\)와이블 분포, 크기 효과7장
\(\dfrac{\Delta\varepsilon}2 = \dfrac{\sigma_\mathrm f'}{E}(2N)^b + \varepsilon_\mathrm f'(2N)^c\), \(\sigma_\mathrm a = \sigma_\text{ar}(1 - \sigma_\mathrm m/\sigma_\mathrm u)\), \(\sum n_i/N_i = 1\)바스킨·코핀–맨슨, 굿맨, 마이너7장
\(\dfrac{da}{dN} = C\Delta K^m\)파리스 균열 성장7장
\(\dot\varepsilon_\mathrm s = A\sigma^n\exp(-Q_\mathrm c/RT)\), \(\mathrm{LMP} = T(C + \log_{10}t_\mathrm r)\)노턴 크리프, 라슨–밀러 변수(C ≈ 20)7장

제3부 상변태와 미세조직 (8–10장)

식뜻·조건장
\(W_\alpha = \dfrac{C_\mathrm L - C_0}{C_\mathrm L - C_\alpha}\), \(W_\mathrm L = \dfrac{C_0 - C_\alpha}{C_\mathrm L - C_\alpha}\); \(F = C - P + 1\)지렛대 규칙, 상규칙(압력 고정)8장
\(W_\text{공정} = \dfrac{C_0 - C_\alpha}{C_\mathrm E - C_\alpha}\)(아공정)공정 미세 구성 요소 분율8장
\(W_\mathrm p = \dfrac{C_0 - 0.022}{0.76 - 0.022}\)(아공석), \(W_\mathrm p = \dfrac{6.70 - C_0}{6.70 - 0.76}\)(과공석)펄라이트 분율(wt% C)8장
\(r^* = \dfrac{2\gamma}{\Delta G_\mathrm v - \Delta G_\mathrm s}\), \(\Delta G^* = \dfrac{16\pi\gamma^3}{3(\Delta G_\mathrm v - \Delta G_\mathrm s)^2}\), \(S(\theta) = \dfrac{(2+\cos\theta)(1-\cos\theta)^2}4\)고체 속 핵생성(변형 에너지 포함), 불균질 형상 인자9장
\(f = 1 - \exp(-kt^n)\), \(\ln[-\ln(1-f)] = \ln k + n\ln t\)JMAK 식, 아브라미 그림9장
\(f_\mathrm M = 1 - \exp[-0.011(M_\mathrm s - T)]\), \(M_\mathrm s = 539 - 423C - 30.4\mathrm{Mn} - \cdots\)코이스티넨–마르부르거, 앤드루스 식(°C, wt%)9장
\(\bar r^3 - \bar r_0^3 = Kt\)LSW 오스트발트 숙성9장
\(\dfrac{G}{V} < \dfrac{m C_0(1-k)}{kD}\)조성적 과냉(평탄 계면 불안정)10장
\(\lambda_2 = A\dot T^{-1/3}\)2차 덴드라이트 팔 간격10장
\(v_\text{max} = \dfrac{\kappa_\mathrm sG_\mathrm s}{\rho_\mathrm sL}\), \(\xi = V/G\) 대 \(\xi_\mathrm c\approx0.13\) mm²/(min·K)초크랄스키 최대 인상 속도, 보론코프 기준10장
\(f = \dfrac{a_\mathrm s - a_\mathrm f}{a_\mathrm f}\)에피택시 격자 불일치10장
\(d^2 - d_0^2 = Kt\), \(d_\text{lim} = \dfrac{4r}{3f}\)정상 결정립 성장, 제너 고정 한계10장

제4부 재료의 종류 (11–14장)

식뜻·조건장
\(\dfrac{\rho}{\rho_0}\approx 1 + \dfrac38(1-p)\dfrac{\lambda}{w} + \dfrac32\dfrac{R}{1-R}\dfrac{\lambda}{d}\)배선 크기 효과(FS + MS 간이 합)11장
\(\log_{10}\eta = A + \dfrac{B}{T - T_0}\)유리 점도 VFT 식12장
\((x/r)^n = Bt/r^m\), \(t_2/t_1 = (r_2/r_1)^m\)소결 목 성장, 헤링 크기 법칙12장
\(\sigma_\text{fs} = \dfrac{3FL}{2bd^2}\), \(E = E_0(1 - 1.9P + 0.9P^2)\)3점 굽힘 강도, 기공률과 탄성률12장
\(\bar X_n = \dfrac1{1-p}\), 분산도 Đ = 1 + p; \(M_n = \sum x_iM_i\), \(M_w = \sum w_iM_i\)카로더스 식, 수·무게 평균 분자량13장
\(\langle R^2\rangle^{1/2} = \sqrt Nb\), \(R_\mathrm g = \langle R^2\rangle^{1/2}/\sqrt6\)자유 결합 사슬13장
\(\dfrac1{T_\mathrm g} = \dfrac{w_1}{T_{\mathrm g1}} + \dfrac{w_2}{T_{\mathrm g2}}\), \(\log a_T = \dfrac{-17.44(T-T_\mathrm g)}{51.6 + T - T_\mathrm g}\)폭스 식, WLF 식13장
\(\sigma(t) = \sigma_0e^{-t/\tau}\), \(\sigma = G(\lambda - \lambda^{-2})\), \(G = \rho RT/M_\mathrm c\)맥스웰 응력 완화, 고무 탄성13장
\(E_\parallel = V_\mathrm fE_\mathrm f + V_\mathrm mE_\mathrm m\), \(\dfrac1{E_\perp} = \dfrac{V_\mathrm f}{E_\mathrm f} + \dfrac{V_\mathrm m}{E_\mathrm m}\)보이트·로이스 혼합 법칙14장
\(\dfrac{E}{E_\mathrm m} = \dfrac{1+\xi\eta V_\mathrm f}{1-\eta V_\mathrm f}\), \(\eta = \dfrac{E_\mathrm f/E_\mathrm m - 1}{E_\mathrm f/E_\mathrm m + \xi}\); \(l_\mathrm c = \dfrac{\sigma_\mathrm fd}{2\tau_\mathrm c}\)할핀–차이, 임계 섬유 길이14장
\(\alpha_\mathrm c = \dfrac{\sum\alpha_iK_iV_i}{\sum K_iV_i}\), \(\dfrac{\kappa}{\kappa_\mathrm m} = \dfrac{\kappa_\mathrm p + 2\kappa_\mathrm m + 2V(\kappa_\mathrm p - \kappa_\mathrm m)}{\kappa_\mathrm p + 2\kappa_\mathrm m - V(\kappa_\mathrm p - \kappa_\mathrm m)}\)터너 열팽창, 맥스웰 열전도14장

제5부 기능 성질과 신뢰성 (15–18장)

식뜻·조건장
\(\rho = \rho_0[1 + \alpha_\mathrm R(T - T_0)] + \rho_\mathrm i + \rho_\mathrm d\), \(\rho_\mathrm i = Ax(1-x)\)마티센 규칙, 노르트하임 규칙15장
\(\rho = \dfrac1{q(n\mu_\mathrm n + p\mu_\mathrm p)}\), \(R_\mathrm s = \rho/t\)반도체 저항률, 면저항15장
\(\varepsilon^* = \varepsilon_\infty + \dfrac{\Delta\varepsilon}{1 + i\omega\tau}\), \(\tan\delta = \varepsilon''/\varepsilon'\)디바이 완화, 유전 손실15장
\(\mathrm{EOT} = \sum t_i\dfrac{3.9}{k_i}\), \(C/A = \varepsilon_0k/t\)등가 산화막 두께, 정전 용량 밀도15장
\(\alpha_V = \dfrac{\gamma C_V}{K_TV_\mathrm m}\), \(\alpha = \alpha_V/3\)그뤼나이젠 관계16장
\(\kappa_\mathrm e = L\sigma T\), \(L = 2.44\times10^{-8}\) W·Ω/K²비데만–프란츠 법칙16장
\(R_\text{th} = \sum\dfrac{L_i}{\kappa_iA} + \sum\dfrac{R_\text{int}}{A}\), \(T_\mathrm j = T_\mathrm a + PR_\text{th}\)다층 열저항, 접합 온도16장
\(n^2 = 1 + \sum\dfrac{B_i\lambda^2}{\lambda^2 - C_i}\), \(R = \dfrac{(n-1)^2 + k^2}{(n+1)^2 + k^2}\), \(\alpha = \dfrac{4\pi k}{\lambda}\)셀마이어 분산, 수직 반사율, 흡수 계수16장
\(\lambda_\mathrm c = \dfrac{hc}{E_\mathrm g} = \dfrac{1240}{E_\mathrm g[\mathrm{eV}]}\) nm, \((\alpha h\nu)^{1/r}\propto h\nu - E_\mathrm g\)흡수 끝 파장, 타우크 그림16장
\(\mathrm{PBR} = \dfrac{A_\text{ox}\rho_\mathrm M}{nA_\mathrm M\rho_\text{ox}}\); \(x = k_\mathrm lt\), \(x^2 = k_\mathrm pt\)필링–베드워스 비, 선형·포물선 산화17장
\(\mathrm{MTTF} = Aj^{-n}e^{E_\mathrm a/kT}\), \((jL)_\mathrm c = \dfrac{\Delta\sigma\,\Omega}{Z^*e\rho}\)블랙 식, 블레흐 임계곱17장
\(\mathrm{AF} = \left(\dfrac{\Delta T_\mathrm t}{\Delta T_\mathrm u}\right)^n\left(\dfrac{f_\mathrm u}{f_\mathrm t}\right)^m\exp\!\left[\dfrac{E_\mathrm a}k\left(\dfrac1{T_\mathrm{max,u}} - \dfrac1{T_\mathrm{max,t}}\right)\right]\)노리스–란츠베르크(솔더 열 사이클)17장
\(\lambda = 2d\sin\theta\), \(D = \dfrac{K\lambda}{\beta\cos\theta}\), \(\beta\cos\theta = \dfrac{K\lambda}D + 4\varepsilon\sin\theta\)브래그 법칙, 셰러 식, 윌리엄슨–홀18장
\(E_{\mathrm K\alpha}\approx 10.2\ \mathrm{eV}\,(Z-1)^2\), \(R = \dfrac{0.0276AE^{1.67}}{Z^{0.889}\rho}\) µm모즐리 법칙, 카나야–오카야마 투과 범위(E keV)18장
\(\mathrm{KE} = h\nu - \mathrm{BE} - \phi\), \(d = \lambda\cos\theta\ln(1 + R/R_\infty)\)XPS 운동 에너지, 덮개층 두께18장

공식 하나를 바로 만져 보자. 띠틈 1.12의 흡수 끝 파장은 \(\lambda_\mathrm c\) = ()이고, 굴절률 3.88인 표면의 수직 반사율은 이다.

자료표·계산기 활용 연습

필요한 값은 모두 이 부록의 표와 계산기에 있다. 문제에 값이 주어지면 그 값을 쓴다. 손으로 푼 뒤 해당 계산기에 넣어 같은 답이 나오는지 확인하자. \(R = 8.314\) J/(mol·K), \(k = 8.617\times10^{-5}\) eV/K, \(N_\mathrm A = 6.022\times10^{23}\) mol⁻¹. 따로 말이 없으면 답이 ±1 % 이내면 정답이다.

물성 표의 E와 ρ로 비강성 \(E/\rho\)를 비교하라. 다음 중 \(E/\rho\)가 가장 큰 것은?

\(E/\rho\)[GPa/(g/cm³)]: Al 6061 69/2.70 = 25.6, Ti-6Al-4V 114/4.43 = 25.7, 4340 207/7.85 = 26.4, Si 165/2.329 = 70.8. 흔한 구조용 금속 셋은 비강성이 거의 같다(약 26) — 가벼운 금속은 탄성률도 그만큼 작다. 공유 결합 세라믹·반도체가 비강성에서 한 단계 위에 있다. 성질 지도(가로 ρ, 세로 E, 기울기 1)에서 확인할 수 있다.

구리(FCC, R = 0.1278 nm, A = 63.55 g/mol)의 이론 밀도를 구하라.

FCC는 단위정에 원자 4개, \(a = 2\sqrt2R\).

\(a = 2\sqrt2(0.1278) = 0.3615\) nm, \(V_\mathrm C = a^3 = 4.724\times10^{-23}\) cm³. \(\rho = \dfrac{4\times63.55}{4.724\times10^{-23}\times6.022\times10^{23}} = 8.94\) g/cm³. 실측 8.96과 0.3 % 차이다(이론 밀도 계산기, 금속 결정 표).

1000 °C 구리의 평형 공공 밀도를 구하라. \(Q_\mathrm v = 0.90\) eV, 1000 °C의 밀도 8.40 g/cm³, A = 63.5 g/mol, 엔트로피 항은 무시한다.

\(N = N_\mathrm A\rho/A\)를 m⁻³으로(1 cm³ = 10⁻⁶ m³).

\(N = \dfrac{6.022\times10^{23}\times8.40}{63.5}\times10^6 = 7.97\times10^{28}\) m⁻³. \(kT = 8.617\times10^{-5}\times1273.15 = 0.1097\) eV, \(N_\mathrm v/N = e^{-0.90/0.1097} = 2.74\times10^{-4}\). \(N_\mathrm v = 2.18\times10^{25}\) m⁻³(캘리스터 예제 4.1).

0.20 wt% C 강을 1000 °C에서 표면 농도 1.20 wt% C로 10 h 침탄한다. 확산 자료표의 C in γ-Fe 값으로 \(D\)를 구하고, 깊이 0.5 mm의 탄소 농도를 구하라.

\(D_0 = 2.3\times10^{-5}\) m²/s, \(Q_\mathrm d = 148\) kJ/mol. \(\dfrac{C_x - C_0}{C_\mathrm s - C_0} = 1 - \operatorname{erf}\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\).

\(D = 2.3\times10^{-5}\exp\!\left(-\dfrac{148000}{8.314\times1273.15}\right) = 1.95\times10^{-11}\) m²/s. \(\sqrt{Dt} = \sqrt{1.95\times10^{-11}\times36000} = 8.38\times10^{-4}\) m, \(z = \dfrac{0.5\times10^{-3}}{2\times8.38\times10^{-4}} = 0.298\), \(\operatorname{erf}(0.298) = 0.327\). \(C = 0.20 + 1.00\times(1 - 0.327) = 0.873\) wt% C.

구리의 E = 110 GPa, ν = 0.34에서 전단 탄성률 G와 체적 탄성률 K를 구하라.

\(G = \dfrac{110}{2(1.34)} = 41.0\) GPa, \(K = \dfrac{110}{3(1 - 0.68)} = \dfrac{110}{0.96} = 115\) GPa. 탄성 상수 변환 계산기에서 "G, K"로 되돌려 넣으면 E, ν가 돌아온다.

평면 응력 \(\sigma_x = 120\), \(\sigma_y = -40\), \(\tau_{xy} = 50\) MPa(σz = 0)에서 주응력 σ₁, σ₂와 폰 미제스 등가 응력을 구하라. Al 6061-T6(σy = 276 MPa)이면 안전 계수는 얼마인가(서술)?

중심 \(c = 40\), 반지름 \(R = \sqrt{80^2 + 50^2} = 94.34\). σ₁ = 134.3, σ₂ = −54.3 MPa. \(\sigma_\text{VM} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2} = \sqrt{18047 + 7300 + 2953} = 168\) MPa. 안전 계수 276/168 = 1.64. 주축 각 \(\theta_\mathrm p = \tfrac12\tan^{-1}(100/160) = 16.0°\).

지름 300 mm, 두께 775 µm인 Si(100) 웨이퍼에 500 nm 막을 증착했더니 막 쪽이 오목하게 휨 높이 30 µm가 생겼다. 이축 탄성률 \(E_\mathrm s/(1-\nu_\mathrm s) = 180.3\) GPa로 막 응력을 구하라(인장 +).

\(\kappa = 8\delta/D^2\).

\(\kappa = 8(30\times10^{-6})/0.3^2 = 2.667\times10^{-3}\) m⁻¹ (R = 375 m). \(\sigma_\mathrm f = \dfrac{180.3\times10^3\times(775\times10^{-6})^2\times2.667\times10^{-3}}{6\times500\times10^{-9}} = 96.3\) MPa. 막 쪽이 오목하므로 인장이다.

400 °C에서 무응력으로 증착한 구리 막을 Si 기판 위에서 25 °C로 식혔다. 물성 표의 값(Cu: E = 110 GPa, ν = 0.34, α = 17.0 ppm/K; Si: α = 2.6 ppm/K)으로 막의 탄성 열응력을 구하라. 이 값이 실제로 남을 수 있는가(서술)?

\(\sigma_\mathrm f = \dfrac{110\times10^3}{1 - 0.34}(2.6 - 17.0)\times10^{-6}\times(25 - 400) = 166667\times(-14.4\times10^{-6})\times(-375) = +900\) MPa(인장). 괴상 구리의 항복 강도(69 MPa)는 물론 박막 구리의 항복 강도(수백 MPa)보다도 커서, 식는 도중 소성 변형으로 응력이 풀린다. 실측 상온 응력은 보통 수백 MPa 인장이다.

홀–페치 표의 α-Fe 계수(σ₀ = 70 MPa, k = 0.74 MPa·√m)로 결정립 10 µm의 항복 강도를 구하고, 항복 강도 400 MPa에 필요한 결정립 크기를 구하라.

\(\sigma_\mathrm y = 70 + 0.74/\sqrt{10^{-5}} = 70 + 234 = 304\) MPa. \(d = \left(\dfrac{0.74}{400 - 70}\right)^2 = (2.242\times10^{-3})^2 = 5.03\times10^{-6}\) m = 5.03 µm.

알루미나(물성 표의 KIC)에 가장자리 균열(Y = 1.12)이 있다. 인장 200 MPa에서 임계 균열 깊이를 구하고, 균열 깊이가 20 µm이면 파괴 응력이 얼마인지 구하라.

\(K_\mathrm{IC} = 4.2\) MPa·√m. \(a_\mathrm c = \dfrac1\pi\left(\dfrac{4.2}{1.12\times200}\right)^2 = \dfrac{(0.01875)^2}{\pi} = 1.12\times10^{-4}\) m = 112 µm. \(\sigma_\mathrm f = \dfrac{4.2}{1.12\sqrt{\pi\times20\times10^{-6}}} = 473\) MPa.

와이블 계수 m = 10인 세라믹 막대 시편의 중앙 강도가 400 MPa였다. 응력이 걸리는 부피가 1000배인 부품의 같은 파괴 확률 강도는?

\(\sigma_2 = \sigma_1(V_1/V_2)^{1/m} = 400\times1000^{-0.1} = 400\times0.501 = 200\) MPa. 큰 부품일수록 큰 결함을 품을 확률이 커서 강도가 떨어진다(와이블 미니 실험).

강판(C = 10⁻¹² m/cycle·(MPa·√m)⁻³, m = 3, Y = 1)에 Δσ = 100 MPa가 반복된다. 임계 균열 ac = 10 mm일 때 초기 균열 1 mm와 0.5 mm의 피로 수명을 각각 구하라.

\(m = 3\)이면 \(N_\mathrm f = \dfrac{2(a_0^{-1/2} - a_\mathrm c^{-1/2})}{C(Y\Delta\sigma\sqrt\pi)^3}\).

\(C(Y\Delta\sigma\sqrt\pi)^3 = 10^{-12}\times(177.2)^3 = 5.568\times10^{-6}\). a₀ = 1 mm: \(2(31.62 - 10.00)/5.568\times10^{-6} = 7.77\times10^6\). a₀ = 0.5 mm: \(2(44.72 - 10.00)/5.568\times10^{-6} = 1.25\times10^7\). 검출 한계를 절반으로 줄이면 수명이 61 % 는다 — 수명 대부분을 균열이 작을 때 쓰기 때문이다.

Pb–40 wt% Sn 합금에 대해 (가) 150 °C에서 α상의 질량 분율(α 11 wt% Sn, β 99 wt% Sn)과 (나) 공정 온도 바로 아래에서 초정 α의 질량 분율(α 최대 고용 18.3, 공정 61.9 wt% Sn)을 구하라.

(가) \(W_\alpha = \dfrac{99 - 40}{99 - 11} = 0.670\). (나) \(W_\text{초정}\alpha = \dfrac{61.9 - 40}{61.9 - 18.3} = 0.502\), 공정 조직은 0.498. 지렛대 규칙 계산기에서 상태점을 (40, 150)과 (40, 184)에 놓고 확인한다.

구리 배선 일렉트로마이그레이션 시험을 2 MA/cm², 250 °C에서 했더니 MTTF가 200 h였다. 사용 조건 1 MA/cm², 105 °C에서 블랙 식(n = 2, Ea = 0.85 eV)으로 가속 계수와 사용 MTTF(년, 1년 = 8766 h)를 구하라.

전류 항 \(2^2 = 4\). 온도 항 \(\exp\!\left[\dfrac{0.85}{8.617\times10^{-5}}\left(\dfrac1{378.15} - \dfrac1{523.15}\right)\right] = \exp(9.864\times10^3\times7.330\times10^{-4}) = e^{7.230} = 1380\). AF = 5520, 사용 MTTF = 200 × 5520 = 1.10 × 10⁶ h = 126년. \(E_\mathrm a\)가 0.1 eV 크면 AF가 2.3배 커진다 — 외삽은 \(E_\mathrm a\) 추정에 민감하다.

이 부록의 자료를 쓸 때 옳지 않은 것은?

20 nm 선폭은 구리의 전자 평균 자유 행로(약 40 nm)보다 작아서 표면·결정립계 산란으로 저항률이 괴상의 3배 안팎으로 오른다(배선 금속 표의 크기 효과 열). 나머지는 모두 옳은 주의 사항이다.