Appendix A

열역학 자료와 계산기

본문 17개 장에서 쓴 상수·자료·공식을 한곳에 모았다. 표는 대부분 이 책의 계산 엔진 Thermo.*에 들어 있는 자료를 페이지를 열 때 그대로 읽어 그린 것이라, 본문 시뮬레이터·예제와 같은 숫자를 낸다. 표마다 같은 식을 쓰는 계산기를 붙였다. 열화학 표는 검색과 정렬이 되고, 줄을 누르면 반응 계산기에 들어간다. 출처 수준은 표마다 밝혔다. "대표값"은 문헌에 따라 수 % 다를 수 있는 교육용 값이므로, 문제를 풀 때는 문제에 주어진 값을 먼저 쓰고, 없을 때 이 표를 쓴다.

CODATA 상수와 압력(Pa·bar·Torr·mTorr)·기체 유량(sccm·slm·mol/s·Pa·m³/s)·몰당 에너지(kJ/mol·eV·cm⁻¹·K) 단위를 바로 바꾼다.
표준 생성 엔탈피·표준 엔트로피·열용량 표로 반응의 \(\Delta H^\circ\), \(\Delta S^\circ\), \(\Delta G^\circ(T)\), \(K(T)\), 역전 온도를 계산하고 엘링엄 선으로 산화물의 안정성을 비교한다.
증기압·판데르발스 상수·이원자 분자 상수·분자 지름으로 버블러 증기압, 임계 상수, 열용량, 평균 자유 행로, 단분자층 시간, 컨덕턴스를 구한다.
편석 계수·헨리 상수·전극 전위·확산 계수·딜–그로브 계수·열전도도를 찾아 쇼이어 분포, 용존 기체, 네른스트 전위, 접합 깊이, 산화막 두께, 접합 온도를 계산한다.
부별 공식 요약에서 식을 찾고, 그 식을 유도한 본문 절로 바로 간다.

물리 상수와 단위 환산

2019년 SI 재정의로 \(h\), \(e\), \(k_\mathrm B\), \(N_\mathrm A\)는 정확히 정해진 값이고, 그래서 \(R = N_\mathrm Ak_\mathrm B\)와 \(F = N_\mathrm Ae\)도 정확하다. 아래 표는 Thermo.C를 그대로 옮긴 것이다(CODATA 2018). 표준 상태 압력은 \(P^\circ = 1\) bar다(1 atm이 아니다).

기호	이름	값	단위	쓰는 곳

압력: 1 atm = 101 325 Pa = 1.013 25 bar = 760 Torr, 1 Torr = 133.322 Pa = 1.333 22 mbar, 1 mTorr = 0.133 Pa. 기체 유량: 1 sccm은 0 °C, 1 atm으로 환산한 cm³/min이다(MFC 제조사에 따라 20 °C 기준도 있으니 사양서를 확인한다). 1 sccm = 7.436 × 10⁻⁷ mol/s = 1.689 × 10⁻³ Pa·m³/s = 0.012 67 Torr·L/s, 1 slm = 1000 sccm. 에너지: 1 eV(입자당) = 96.485 kJ/mol, 300 K에서 \(kT\) = 25.85 meV, 298.15 K에서 \(RT\) = 2.479 kJ/mol, \(hc/k\) = 1.4388 cm·K.

TOOL

압력·유량·에너지 환산기

눈금 위 핸들을 끌기

무엇을

값단위

로그 눈금 위의 이름표는 공정에서 자주 만나는 값이다. 해볼 것: ① LPCVD 0.3 Torr가 몇 Pa·mbar인지 본다(40 Pa). ② 기체 유량에서 100 sccm이 몇 µmol/s이고 Torr·L/s로는 얼마인지 본다 — 배기 속도 S[L/s]로 나누면 그 유량이 만드는 압력 \(P = Q/S\)가 나온다. ③ 몰당 에너지에서 붕소 확산의 활성화 에너지 3.46 eV를 kJ/mol로 바꾸고, 같은 값이 \(E/k\) = 40 000 K쯤임을 확인한다.

온도 25에서 \(kT\) = , \(RT\) = 이다. 장벽 1.00을 넘는 볼츠만 인자 \(e^{-E/kT}\)는 이고, 온도가 10 K 오르면 이 인자가 배가 된다.

표준 열화학 자료 (298.15 K, 1 bar)

아래 표는 Thermo.species를 페이지가 열릴 때 그대로 읽어 만든다(NIST-JANAF·CODATA 대표값). \(\Delta_\mathrm fG^\circ\) 열은 자료에 없는 값을 \(\Delta_\mathrm fG^\circ = \Delta_\mathrm fH^\circ - T\left[S^\circ - \sum_\text{원소}\nu S^\circ_\text{원소}\right]\)로 계산한 것이다(원소의 기준 상태: H₂·O₂·N₂·Cl₂·F₂ 기체, 흑연, 금속 고체). 원소의 기준 상태는 \(\Delta_\mathrm fH^\circ = \Delta_\mathrm fG^\circ = 0\)이지만 \(S^\circ\)는 0이 아니다(제3법칙의 절대 엔트로피, 3장). 상(g, l, s)을 꼭 확인한다: H₂O(l)과 H₂O(g)는 \(\Delta_\mathrm fH^\circ\)가 44.0 kJ/mol 다르다. 머리글을 누르면 정렬되고, 줄을 누르면 아래 반응 계산기의 빈칸(반응물 또는 생성물, 계산기에서 고른 쪽)에 들어간다.

화학식	이름	상	Δ_fH° (kJ/mol)	S° (J/(mol·K))	C_P° (J/(mol·K))	Δ_fG° (kJ/mol, 계산)	M (g/mol)

표에 없는 물질(N₂O₄, NO₂, SiCl₂ 등)은 본문에서 그 자리에 대표값을 밝히고 썼다(12장). \(C_P^\circ\)는 298 K 값이다. 고온에서 \(C_P\)는 오르므로(고체는 뒬롱–프티 값 약 25 J/(mol·K)·원자 쪽으로) ΔC_P를 일정하게 둔 계산은 근사다.

CALCULATOR

반응 계산기: ΔH°, ΔS°, ΔG°(T), K(T)

곡선 위 점을 끌어 온도 바꾸기

예시 반응

온도 ΔCp 포함(일정 근사)

표의 줄을 누르면

원소 균형—

ΔH°₂₉₈, ΔS°₂₉₈—

ΔC_P°—

ΔH°(T), ΔS°(T)—

ΔG°(T)—

K(T)—

ΔG° = 0 인 온도—

계수는 반응물·생성물 모두 양수로 넣는다(반응물 칸에 들어간 종이 왼쪽). 그래프의 주황 선이 지금 설정(ΔC_P 포함 여부), 파란 점선이 다른 쪽 근사다. \(K\)는 기체를 \(P_i/P^\circ\)(bar), 응축상을 활동도 1로 둔 무차원 값이다. 해볼 것: ① "SiH₄ → Si + 2H₂"는 ΔH° < 0, ΔS° > 0이라 모든 온도에서 자발적이다 — 역전 온도가 없다. 그런데도 실레인을 상온에 보관할 수 있는 이유는 속도론이다(13장). ② "WO₃ + 3H₂"에서 역전 온도가 약 895 K(ΔC_P = 0)임을 보고, ΔC_P를 켜면 몇 K 옮겨 가는지 본다. ③ 열화학 표의 줄을 눌러 직접 반응을 만들고, 원소 균형이 맞는지 확인한다.

CALCULATOR

엘링엄 선 계산기

세로선 끌기

그릴 산화물

온도

산소 1 mol 기준 \(\Delta_\mathrm rG^\circ(T)\)이고, 엘링엄 근사(\(\Delta C_P = 0\), 298 K의 \(\Delta H^\circ\)·\(\Delta S^\circ\), 금속의 녹음·끓음 무시)로 그렸다. 아래에 있는 선일수록 산화물이 안정하다. 표의 \(p_{\mathrm O_2}^\text{eq} = e^{\Delta G^\circ/RT}\)보다 산소 분압이 낮으면 산화물이 분해된다. \(\ce{H2O/H2}\) 열은 수소로 그 산화물을 환원할 수 있는 수증기 대 수소 비의 상한이다(이보다 건조해야 환원된다). 해볼 것: ① 1000 °C에서 Cu₂O·NiO·WO₃는 습한 수소로도 환원되지만 SiO₂·Al₂O₃·HfO₂는 \(\ce{H2O/H2}\) 비가 10⁻⁵ 아래여야 한다는 것을 본다. ② 탄소 선(2C + O₂ → 2CO)은 기울기가 음수라 이 근사에서 약 1640 °C에서 SiO₂ 선과 만난다 — 금속급 실리콘을 탄소로 환원하는 아크로가 1900 °C 넘게 뜨거운 이유다. 유도와 응용은 12장.

증기압, 임계 상수, 판데르발스 상수

아래 표는 Thermo.liquids(끓는점과 그 온도의 증발 엔탈피, 임계점; CRC·NIST 대표값)와 전구체 대표값(9장)이다. 증발 엔트로피 \(\Delta S_\text{vap} = \Delta H_\text{vap}/T_\mathrm b\)는 많은 액체에서 85–90 J/(mol·K) 근처에 모인다(트루턴 규칙(Trouton's rule)). 수소 결합하는 물·알코올·암모니아는 액체가 더 질서 있어 이보다 크다.

물질	T_b (°C, 1 atm)	ΔH_vap (kJ/mol)	ΔS_vap (J/(mol·K))	T_c (K)	P_c (MPa)	비고

CALCULATOR

증기압 계산기: 클라우지우스–클라페이롱과 물의 앙투안 식

곡선 위 점을 끌기

물질 온도

목표 증기압 (Torr)

P(T) 모형—

물 앙투안(실측)—

목표 증기압의 온도—

dP/dT—

모형은 끓는점(1 atm)과 그 온도의 \(\Delta H_\text{vap}\)을 지나는 \(\ln P = \ln P_\text{atm} - \frac{\Delta H}{R}\left(\frac1T - \frac1{T_\mathrm b}\right)\)이다. CO₂는 1 atm 승화점(−78.5 °C)과 승화 엔탈피로 그린 승화 곡선이다. 끓는점에서 멀리 외삽할수록 \(\Delta H_\text{vap}\)이 변하는 탓에 오차가 커진다: 물 25 °C는 모형 3.76 kPa, 실측 3.17 kPa(앙투안). IPA 25 °C 모형 57 Torr는 실측(약 45 Torr)보다 크다. 해볼 것: ① 물에서 온도를 끌어 주황(앙투안)과 파랑(모형) 차이가 끓는점에서 멀어질수록 커짐을 본다. ② TEOS를 골라 목표 증기압 1 Torr를 넣고 버블러 온도를 읽는다. ③ 질소의 목표 증기압 760 Torr가 77 K인지 확인한다.

판데르발스 상수는 Thermo.vdwData(CRC)이고, 임계 상수는 \(T_\mathrm c = 8a/27Rb\), \(P_\mathrm c = a/27b^2\), \(V_\mathrm c = 3b\)로 계산했다(Thermo.vdwCritical, 1장). 판데르발스 식의 임계 압축 인자는 \(Z_\mathrm c = 3/8 = 0.375\)로 실제 기체(0.23–0.31)보다 커서, \(a\), \(b\)를 어느 두 값에 맞추느냐에 따라 \(T_\mathrm c\)와 \(P_\mathrm c\) 중 하나는 실측과 어긋난다.

기체	a (L²·bar/mol²)	b (L/mol)	T_c 판데르발스 (K)	P_c 판데르발스 (MPa)	V_c (cm³/mol)	보일 온도 a/Rb (K)	T_c, P_c 실측

기체 온도

MINI LAB판데르발스 등온선(주황)과 이상 기체(파란 점선). 점을 끌어 몰부피를 바꾸면 압축 인자 \(Z = PV_\mathrm m/RT\)가 보인다. 임계 온도 아래에서는 등온선이 꺾여 올라가는 구간이 생긴다(실제로는 맥스웰 작도로 수평선, 9장).

이원자 분자 상수와 기체 운동론 자료

Thermo.diatomic(McQuarrie)의 회전 온도 \(\theta_\mathrm{rot} = \hbar^2/2Ik\)와 진동 온도 \(\theta_\mathrm{vib} = h\nu/k\)이다. 분광학 단위로는 회전 상수 \(\tilde B = \theta_\mathrm{rot}/(1.4388\ \text{cm·K})\), 진동 파수 \(\tilde\nu = \theta_\mathrm{vib}/(1.4388\ \text{cm·K})\)다. 나머지 열은 이 자료로 계산했다(6장).

분자	θ_rot (K)	θ_vib (K)	σ	B̃ (cm⁻¹)	ν̃ (cm⁻¹)	C_V/R, 298 K	C_V/R, 1000 K	v = 1 비율, 1000 K	J_max, 298 K

분자

MINI LAB이원자 이상 기체의 몰 정적 열용량 \(C_V/R\)(로그 온도 축). 점을 끌어 온도를 바꾸면 회전·진동 분배 함수가 보인다. 병진 3/2에 회전 1이 \(\theta_\mathrm{rot}\) 근처에서, 진동 1이 \(\theta_\mathrm{vib}/3\) 근처부터 더해진다.

기체 운동론 자료는 Thermo.diameter(점성에서 구한 분자 지름, O'Hanlon)와 Thermo.molarMass다. 300 K에서 평균 속력 \(\bar v = \sqrt{8kT/\pi m}\), 1 Pa에서의 평균 자유 행로 \(\lambda = kT/\sqrt2\pi d^2P\)와 벽 충돌 플럭스 \(\Phi = P/\sqrt{2\pi mkT}\)를 계산해 넣었다. \(\lambda P\)는 온도만의 함수라, 다른 압력에서는 1 Pa 값을 압력(Pa)으로 나누면 된다.

기체	M (g/mol)	d (Å)	v̄, 300 K (m/s)	v_rms, 300 K (m/s)	λ, 300 K·1 Pa (mm)	Φ, 300 K·1 Pa (m⁻²s⁻¹)

CALCULATOR

진공 계산기: 평균 자유 행로, 크누센 수, 단분자층 시간

선 위의 점을 끌어 압력 바꾸기

기체 압력 온도 챔버 크기 L 부착 계수 s

수밀도 n—

평균 자유 행로 λ—

크누센 수 λ/L, 흐름—

충돌 빈도 v̄/λ—

벽 플럭스 Φ—

단분자층 시간—

단분자층 시간은 표면 자리 밀도 \(10^{19}\) m⁻²를 플럭스 \(s\Phi\)로 채우는 시간이다(Thermo.monolayerTime). 흐름 영역은 Kn > 0.5 분자류, Kn < 0.01 점성류, 그 사이 전이류로 나눴다. 해볼 것: ① N₂ 300 K에서 \(10^{-6}\) Torr의 단분자층 시간이 약 2–3초임을 본다(옛 "1 랭뮤어" 어림). ② 챔버 L = 20 cm를 두고 압력을 낮추며 점성류와 분자류 사이의 전이류 구간이 약 25 mTorr에서 0.5 mTorr까지임을 찾는다. ③ 같은 압력에서 He와 Xe의 λ를 비교한다. 유도는 8장.

CALCULATOR

분자류 컨덕턴스와 배기 시간

점을 끌어 관 지름 바꾸기

기체 관 지름 d 관 길이 L 펌프 배기 속도 S

챔버 부피 (L)P₀ → P₁ (Torr)

구멍 C_o = A v̄/4—

긴 관 C_l = π v̄ d³/12L—

짧은 관(직렬 합성)—

유효 배기 속도 S_eff—

배기 시간 (V/S_eff) ln(P₀/P₁)—

P₀에서 Kn = λ/d—

분자류 식(Thermo.conductance)은 Kn > 0.5일 때만 맞는다. 짧은 관은 구멍과 긴 관을 직렬로 합성한 어림(오차 십수 %)이다. 배기 시간은 탈기체를 무시한 \(P(t) = P_0e^{-S_\text{eff}t/V}\)에서 구했다 — 실제 고진공 배기는 벽 탈기체가 정한다(8장). 공기 20 °C의 구멍 컨덕턴스는 11.6 L/(s·cm²)다. 해볼 것: ① 500 L/s 펌프를 지름 4 cm, 길이 50 cm 관으로 이으면 \(S_\text{eff}\)가 14 L/s로 무너지는 것을 본다. ② 지름을 끌어 \(S_\text{eff}\)가 S의 절반이 되는 지름을 찾는다(\(d^3\) 의존). ③ H₂를 고르면 같은 관의 컨덕턴스가 N₂의 약 3.7배다.

녹는점, 편석 계수, 상태도 대표값, 헨리 상수

녹는점과 융해 엔탈피는 Thermo.melting(CRC 대표값)이다. 융해 엔트로피 \(\Delta S_\mathrm m = \Delta H_\mathrm m/T_\mathrm m\)는 단순 금속에서 \(R\) 근처(약 8–12 J/(mol·K), Sn·Ga는 조금 크다, 리처드 규칙(Richards' rule))이고, 공유 결합 반도체는 녹으면서 결합이 금속성으로 바뀌어 약 30 J/(mol·K)로 크다(GaAs는 더 크다).

물질	T_m (K)	T_m (°C)	ΔH_m (kJ/mol)	ΔS_m (J/(mol·K))	ΔS_m/R

이성분계의 실측 대표값이다(11장). 이상 액상·불용 고상 모형(Thermo.eutectic)은 공정점을 정성적으로만 맞히므로, 공정 설계에는 이 실측값을 쓴다.

계	종류	특성 온도	조성	쓰이는 곳
Al–Si	공정계	577 °C	12.2 at% Si (12.6 wt%)	Al 배선의 Si 녹아듦·스파이킹, Al–Si 주조 합금. Al 속 Si 최대 고용도 1.5 at%(577 °C)
Au–Si	공정계	363 °C	18.6 at% Si (3.16 wt%)	다이 접착(공정 접합)
Si–Ge	전율 고용체	938–1414 °C	전 조성	SiGe 에피, 지렛대 규칙의 표준 예
Si 속 As · P · B · Sb	최대 고용도(역행)	1100–1300 °C	~2×10²¹ · 1×10²¹ · 6×10²⁰ · 7×10¹⁹ cm⁻³	도핑 상한(전기적 활성은 더 낮을 수 있다). Si 원자 밀도 5.0×10²² cm⁻³

실리콘 용융액에서의 평형 편석 계수 \(k_0 = C_\mathrm s/C_\mathrm l\)은 Thermo.segregationSi(Sze)다. 오른쪽 열은 초크랄스키 잉곳의 정상 응고(쇼이어 식 \(C_\mathrm s = k_0C_0(1-f_\mathrm s)^{k_0-1}\))로 계산한 위치별 농도다.

불순물	k₀	C_s/C₀, f_s = 0	f_s = 0.5	f_s = 0.9	비고

불순물

MINI LAB쇼이어 분포 \(C_\mathrm s/C_0\)(로그 축)와 이상적인 균일 농도(파란 점선). 점을 끌어 응고 분율 \(f_\mathrm s\)를 바꾼다. \(k_0 < 1\)인 불순물은 남은 용융액에 쌓여 잉곳 끝으로 갈수록 진해진다 — 금속 불순물(Fe, Cu)이 잉곳 꼬리에 모이는 이유다.

25 °C 물에 대한 헨리 상수 \(k_\mathrm H = c/p\)는 Thermo.henry(Sander 2015 대표값), 온도 보정 \(k_\mathrm H(T) = k_\mathrm H(298)\,e^{B(1/T - 1/298.15)}\)의 \(B = -\Delta_\text{sol}H/R\)는 Thermo.henryB이다(10장). 같은 상수를 다른 관례로 쓴 값도 함께 적었다: \(K = 1/k_\mathrm H\)[L·atm/mol], 몰분율 기준 \(K_x = p/x \approx 55.5/k_\mathrm H\)[atm].

기체	k_H (mol/(L·atm))	B (K)	1/k_H (L·atm/mol)	K_x (atm)	1 atm에서 용해도 (mg/L)

기체 분압

MINI LAB물 속 용존 기체 농도(mg/L)의 온도 의존. 점을 끌어 수온을 바꾼다. 기본값은 공기 중 O₂ 분압 0.2095 atm이다. 초순수의 용존 산소를 ppb로 낮추려면 분압을 10⁻⁵ atm 아래로 낮춰야(진공·막 탈기) 함을 본다.

표준 환원 전위와 네른스트 계산기

25 °C, 수용액, 활동도 1, 기체 1 bar에서의 표준 환원 전위(V vs SHE)다(Thermo.E0, CRC). 위로 갈수록 강한 산화제(잘 환원됨), 아래로 갈수록 강한 환원제다. 두 반쪽 전지를 이으면 위쪽이 환원 전극(+), 아래쪽이 산화 전극(−)이 되고 \(E^\circ_\text{cell} = E^\circ_\text{환원 전극} - E^\circ_\text{산화 전극}\)이다(15장).

짝(산화형/환원형)	E° (V)	n	ΔG° = −nFE° (kJ/mol)	반쪽 반응

CALCULATOR

전지 기전력과 네른스트 식

사다리 누르기: 오른쪽 +, 왼쪽 −

환원 전극(+) log₁₀(a_산화형/a_환원형) 산화 전극(−) log₁₀(a_산화형/a_환원형) 온도

E°_cell—

E(+), E(−)—

E_cell—

ΔG = −nFE—

K = e^nFE°/RT—

각 전극의 전위는 \(E = E^\circ + \frac{RT}{nF}\ln\frac{a_\text{산화형}}{a_\text{환원형}}\)이다. 금속 전극(Mⁿ⁺/M)이면 슬라이더 값이 \(\log_{10}[\mathrm M^{n+}]\)이고, H⁺/H₂는 \(\log_{10}(a_{\mathrm H^+}^2/p_{\mathrm H_2}) = -2\,\mathrm{pH}\)(p_H₂ = 1)로 넣는다. 전체 반응의 전자 수는 두 반쪽의 최소 공배수다. 표준 전위 \(E^\circ(T)\)의 온도 변화는 무시했다. 해볼 것: ① Cu²⁺/Cu와 Zn²⁺/Zn(다니엘 전지)의 \(E^\circ\) = 1.104 V를 확인하고, [Cu²⁺]를 10⁻⁴ M로 낮추면 기전력이 118 mV 줄어드는지 본다(59 mV × 4 / 2). ② 같은 짝 둘(Cu²⁺/Cu ‖ Cu²⁺/Cu)에 농도만 달리 주면 농도 전지가 된다. ③ O₂/H₂O의 슬라이더는 \(\log_{10}(p_{\mathrm O_2}a_{\mathrm H^+}^4) = -4\,\mathrm{pH}\)이다. −28(pH 7)로 두면 전위가 \(1.229 - 0.0592\times7 = 0.815\) V로 내려간다.

실리콘 속 확산 계수와 딜–그로브 계수

진성 확산 계수 \(D = D_0\,e^{-E_a/kT}\)의 자료는 Thermo.diffSi(Plummer *Silicon VLSI Technology*, 진성 조건)이고, Au·Cu·Fe는 틈새형 빠른 확산 원소의 대표값이다. 오른쪽 열은 이 자료로 계산했다. 도핑 농도가 진성 캐리어 농도보다 높으면(고농도 확산) 전하를 띤 공공 때문에 D가 더 커지므로 이 표는 하한이다(16장).

원소	D₀ (cm²/s)	E_a (eV)	D, 900 °C (cm²/s)	D, 1000 °C	D, 1100 °C	2√(Dt), 1000 °C·1 h (µm)	기구

CALCULATOR

D(T)와 접합 깊이 계산기

배경 농도선을 위아래로 끌기

도펀트

공급 조건

온도 시간 표면 농도 C_s

D(T)—

확산 길이 2√(Dt)—

배경 농도 N_B—

접합 깊이 x_j—

들어간 양 / 표면 농도—

일정 공급원: \(C = C_\mathrm s\,\mathrm{erfc}(x/2\sqrt{Dt})\), \(x_j = 2\sqrt{Dt}\,\mathrm{erfc}^{-1}(N_B/C_\mathrm s)\), 들어간 양 \(Q = 2C_\mathrm s\sqrt{Dt/\pi}\). 제한 공급원: \(C = \frac{Q}{\sqrt{\pi Dt}}e^{-x^2/4Dt}\), \(x_j = 2\sqrt{Dt\ln(C_0/N_B)}\). 진성 D와 등온 처리를 가정했다(램프와 여러 단계는 열 예산 \(\sum D_it_i\)로 더한다, 16장). 해볼 것: ① B, 1000 °C, 1 h, \(C_\mathrm s = 10^{20}\), \(N_B = 10^{16}\) cm⁻³의 접합 깊이를 읽는다. ② 온도를 50 °C 올리면 같은 깊이에 필요한 시간이 몇 분의 일로 줄어드는지 본다(\(E_a\) = 3.46 eV에서 약 3.3배). ③ 가우스로 바꾸고 도즈 10¹⁴ cm⁻², 1100 °C, 30분이면 \(x_j\) ≈ 0.80 µm인지 확인한다.

딜–그로브 모형 \(x^2 + Ax = B(t + \tau)\)의 계수는 Thermo.dealGroveData(Plummer, (111) 기준; (100)은 \(B/A\)를 1.68로 나눔)에서 계산했다. 건식 산화는 처음의 빠른 성장을 처음 두께 \(x_i\) = 25 nm로 보정한다(16장).

분위기	T (°C)	B (µm²/h)	B/A (100) (µm/h)	B/A (111) (µm/h)	A (100) (µm)	1 h 두께 (100) (nm)

CALCULATOR

산화막 두께 계산기

곡선 위 점을 끌어 시간 바꾸기

분위기

면 방향

온도 시간

목표 두께 (nm)

B, B/A—

A, τ—

두께 x(t)—

영역—

목표 두께까지 시간—

소모된 Si—

\(t + \tau \ll A^2/4B\)이면 선형 영역(\(x \approx (B/A)(t+\tau)\), 계면 반응 지배), \(t + \tau \gg A^2/4B\)이면 포물선 영역(\(x \approx \sqrt{Bt}\), 산화제 확산 지배)이다. 산화막 두께 \(x\)당 Si가 \(0.44x\)만큼 소모된다. 해볼 것: ① 건식 1000 °C (100)에서 1시간이 약 58 nm임을 보고 (111)로 바꿔 본다. ② 습식으로 바꾸면 같은 시간에 몇 배 두꺼운지 본다. ③ 목표 두께 500 nm를 넣고 습식 1100 °C의 시간을 읽는다.

열전도도와 열저항 계산기

300 K 부근 열전도도 대표값(Thermo.kTherm, CRC·Incropera 수준)이다. 얇은 막은 경계 산란 때문에 벌크보다 작고(100 nm Si 막은 벌크의 절반 이하), 반도체의 \(\kappa\)는 온도가 오르면 포논 산란으로 줄어든다(Si 400 K에서 약 100 W/(m·K)). 넷째 열은 넓이 1 mm², 두께 1 µm인 막의 열저항 \(R_\mathrm{th} = L/\kappa A\)다(17장).

재료	분류	κ (W/(m·K))	1 µm·1 mm² 열저항 (K/W)	Si 대비

열전달 방식	h (W/(m²·K)), 대표 범위	예
기체 자연 대류	2–25	방열판 없이 공기 중에 둔 패키지
액체 자연 대류	50–1000	담근 냉각
기체 강제 대류	25–250	팬 방열판(핀 면적을 넓혀 hA를 키운다)
액체 강제 대류	100–20 000	칠러 냉각수·웨이퍼 척 냉각 채널
끓음·응축	2500–100 000	히트 파이프·증기 챔버
복사(선형화) \(4\varepsilon\sigma T^3\)	300 K에서 약 6 (ε = 1)	고온에서 급격히 커진다: 1100 °C에서 약 410 (ε = 0.7, 두 면 합 아님)

대류 열전달 계수 범위는 Incropera의 표를 따른 대표 범위다. 복사의 선형화 \(h_\mathrm{rad}\)은 주위 온도가 표면보다 훨씬 낮을 때의 어림이다.

CALCULATOR

열저항 회로: 칩 접합 온도

맨 위 막대를 끌어 전력 바꾸기

전력 열이 지나는 넓이

층 (재료 · 두께 µm)

방열 h·A_s 주위 온도

층은 모두 같은 넓이를 지나는 1차원 직렬 전도로 보고(퍼짐 저항 무시), 마지막에 방열판의 대류 저항 \(1/hA_\mathrm s\)를 더했다. 기본값: Si 다이 500 µm, 솔더 50 µm, Cu 열 퍼짐판 2 mm, TIM 50 µm, 1 cm². 해볼 것: ① 기본값에서 TIM 50 µm가 Cu 2 mm보다 저항이 큰 것을 본다 — 계면 재료가 병목이다. ② TIM을 솔더로 바꿔 접합 온도가 몇 K 내려가는지 본다. ③ 방열 hA를 줄여 대류 저항이 전도 저항을 압도하는 영역을 찾는다.

공식 요약

부별로 자주 쓰는 식을 모았다. 오른쪽 열의 링크는 그 식을 유도하고 쓰는 본문 절이다. 부호 약속: 제1법칙은 IUPAC 관례 \(\Delta U = Q + W\)(\(W\)는 계가 받은 일), 몰당 양은 아래첨자 m 또는 문맥으로, 평형 상수는 \(P_i/P^\circ\)로 만든 무차원 값이다.

제1부 열역학의 법칙 (1–4장)

식	뜻·조건	장
\(PV = nRT\), \(P_i = x_iP\)	이상 기체, 돌턴 분압 법칙	1장
\(\left(P + \dfrac{a}{V_\mathrm m^2}\right)(V_\mathrm m - b) = RT\)	판데르발스 식. \(T_\mathrm c = \dfrac{8a}{27Rb}\), \(P_\mathrm c = \dfrac{a}{27b^2}\), \(V_\mathrm c = 3b\)	1장
\(Z = \dfrac{PV_\mathrm m}{RT} = 1 + \dfrac{B(T)}{V_\mathrm m} + \cdots\), \(B_\text{vdW} = b - \dfrac{a}{RT}\)	압축 인자와 비리얼 전개. 보일 온도 \(a/Rb\)	1장
\(\alpha = \dfrac1V\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P\), \(\kappa_T = -\dfrac1V\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T\)	열팽창 계수, 등온 압축률	1장
\(\Delta U = Q + W\), \(W = -\int P_\text{ext}\,dV\)	제1법칙(IUPAC 부호)	2장
\(W_\text{등온} = -nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}\), \(PV^\gamma = \text{일정}\)	이상 기체 가역 등온·단열 과정, \(\gamma = C_P/C_V\)	2장
\(H = U + PV\), \(C_{P,\mathrm m} - C_{V,\mathrm m} = R\)	엔탈피, 이상 기체 열용량 차	2장
\(\Delta_\mathrm rH^\circ = \sum\nu_i\Delta_\mathrm fH_i^\circ\), \(\Delta_\mathrm rH^\circ(T_2) = \Delta_\mathrm rH^\circ(T_1) + \int\Delta C_P\,dT\)	헤스 법칙, 키르히호프 법칙	2장
\(\mu_\mathrm{JT} = \left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_H \approx \dfrac{2a/RT - b}{C_{P,\mathrm m}}\)	줄–톰슨 계수(판데르발스 어림)	2장
\(\eta_\mathrm C = 1 - \dfrac{T_\mathrm c}{T_\mathrm h}\), \(\mathrm{COP}_\text{냉} = \dfrac{T_\mathrm c}{T_\mathrm h - T_\mathrm c}\)	카르노 효율, 카르노 냉동기 성능 계수	3장
\(dS = \dfrac{\delta Q_\text{rev}}{T}\), \(\oint\dfrac{\delta Q}{T}\le 0\)	엔트로피 정의, 클라우지우스 부등식	3장
\(\Delta S = nC_V\ln\dfrac{T_2}{T_1} + nR\ln\dfrac{V_2}{V_1}\), \(\Delta S_\text{mix} = -nR\sum x_i\ln x_i\)	이상 기체 엔트로피 변화, 혼합 엔트로피	3장
\(W_\text{lost} = T_0S_\text{gen}\), 엑서지 \(\Delta H - T_0\Delta S\)	잃어버린 일(구이–스토도라)	3장
\(dU = TdS - PdV\), \(dH = TdS + VdP\), \(dF = -SdT - PdV\), \(dG = -SdT + VdP + \sum\mu_idn_i\)	네 퍼텐셜과 자연 변수	4장
\(\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V\), \(\left(\dfrac{\partial S}{\partial P}\right)_T = -\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P\)	맥스웰 관계식(자주 쓰는 둘)	4장
\(C_P - C_V = \dfrac{TV\alpha^2}{\kappa_T}\)	열역학 항등식	4장
\(\left(\dfrac{\partial(G/T)}{\partial T}\right)_P = -\dfrac{H}{T^2}\), \(\Delta G = \Delta H - T\Delta S\)	깁스–헬름홀츠 식	4장
\(w_\text{비팽창,max} = -\Delta G\)	일정 \(T, P\)에서 얻을 수 있는 최대 비팽창 일	4장

제2부 통계역학 (5–8장)

식	뜻·조건	장
\(\Omega_\text{아인슈타인}(N, q) = \dbinom{q + N - 1}{q}\), \(S = k\ln\Omega\)	아인슈타인 고체 겹침수, 볼츠만 엔트로피	5장
\(\dfrac1T = \left(\dfrac{\partial S}{\partial U}\right)_{N,V}\)	온도의 통계적 정의	5장
\(p_i = \dfrac{g_ie^{-\beta E_i}}{Z}\), \(Z = \sum g_ie^{-\beta E_i}\), \(\beta = 1/kT\)	볼츠만 분포, 분배 함수	6장
\(U = -\dfrac{\partial\ln Z}{\partial\beta}\), \(F = -kT\ln Z\), \(S = \dfrac{U - F}{T}\), \(C_V = \dfrac{\langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2}{kT^2}\)	분배 함수에서 열역학량	6장
\(Z_\text{vib} = \dfrac{e^{-\theta_\mathrm v/2T}}{1 - e^{-\theta_\mathrm v/T}}\), \(Z_\text{rot}\approx\dfrac{T}{\sigma\theta_\mathrm r}\)	조화 진동자, 강체 회전자(고온)	6장
\(S_\mathrm m = R\left[\ln\dfrac{kT}{P\lambda^3} + \dfrac52\right]\), \(\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2\pi mkT}}\)	사쿠르–테트로드 식, 열적 드브로이 파장	6장
\(\dfrac{n_\mathrm v}{N} = e^{-E_\mathrm v/kT}\)(엔트로피 인자 포함 시 \(e^{S_\mathrm v/k}\) 곱)	점결함(공공) 농도	6장
\(\bar n_\text{FD} = \dfrac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT} + 1}\), \(\bar n_\text{BE} = \dfrac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT} - 1}\)	페르미–디랙·보스–아인슈타인 분포	7장
\(E_\mathrm F = \dfrac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3}\), \(C_V^\text{el}\approx\dfrac{\pi^2}{2}Nk\dfrac{T}{T_\mathrm F}\)	자유 전자 페르미 에너지, 전자 열용량	7장
\(B_\lambda = \dfrac{2hc^2}{\lambda^5}\dfrac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1}\), \(\lambda_\text{max}T = 2898\ \mu\text{m·K}\), \(j = \varepsilon\sigma T^4\)	플랑크 법칙, 빈 변위 법칙, 슈테판–볼츠만 법칙	7장
\(C_V \approx \dfrac{12\pi^4}{5}Nk\left(\dfrac{T}{\theta_\mathrm D}\right)^3\) (\(T\ll\theta_\mathrm D\))	디바이 \(T^3\) 법칙	7장
\(v_\text{mp} = \sqrt{\dfrac{2kT}{m}}\), \(\bar v = \sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}}\), \(v_\text{rms} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}}\)	맥스웰–볼츠만 특성 속력	8장
\(\Phi = \tfrac14n\bar v = \dfrac{P}{\sqrt{2\pi mkT}}\), \(t_\text{ML} = \dfrac{n_\mathrm s}{s\Phi}\)	벽 충돌 플럭스, 단분자층 형성 시간	8장
\(\lambda = \dfrac{kT}{\sqrt2\pi d^2P}\), \(\mathrm{Kn} = \lambda/L\)	평균 자유 행로, 크누센 수	8장
\(C_\text{구멍} = \tfrac14\bar vA\), \(C_\text{긴 관} = \dfrac{\pi\bar vd^3}{12L}\), \(\dfrac1{S_\text{eff}} = \dfrac1S + \dfrac1C\), \(P(t) = P_0e^{-St/V}\)	분자류 컨덕턴스, 유효 배기 속도, 배기 곡선	8장

제3부 상평형 (9–11장)

식	뜻·조건	장
\(\mu^\alpha = \mu^\beta\), \(\dfrac{dP}{dT} = \dfrac{\Delta H}{T\Delta V}\)	상평형 조건, 클라페이롱 식	9장
\(\ln\dfrac{P_2}{P_1} = -\dfrac{\Delta H_\text{vap}}{R}\left(\dfrac1{T_2} - \dfrac1{T_1}\right)\), \(\log_{10}P = A - \dfrac{B}{C + t}\)	클라우지우스–클라페이롱 식, 앙투안 식	9장
\(\dot n_\text{증기} = \dot n_\text{운반}\dfrac{P_\text{v}}{P_\text{tot} - P_\text{v}}\)	버블러 증기 공급(포화 가정)	9장
\(m = \tanh\dfrac{zJm + h}{kT}\), \(kT_\mathrm c^\text{MF} = zJ\); 2D 정사각 \(kT_\mathrm c = 2.269J\)	이징 모형 평균장, 온사거 정확해	9장
\(P_i = x_iP_i^*\), \(p_i = K_ix_i\) 또는 \(c = k_\mathrm Hp\)	라울 법칙, 헨리 법칙	10장
\(\mu_i = \mu_i^\circ + RT\ln a_i\), \(a_i = \gamma_ix_i\)	활동도와 활동도 계수	10장
\(\Delta G_\text{mix} = RT[x\ln x + (1-x)\ln(1-x)] + \Omega x(1-x)\), \(T_\mathrm c = \dfrac{\Omega}{2R}\)	정규 용액, 상분리 임계 온도. 스피노달 \(\partial^2G/\partial x^2 = 0\)	10장
\(\Delta T_\mathrm b = K_\mathrm bm\), \(\Delta T_\mathrm f = K_\mathrm fm\), \(\Pi = cRT\)	총괄성(물 \(K_\mathrm b\) = 0.512, \(K_\mathrm f\) = 1.86 K·kg/mol)	10장
\(F = C - P + 2\) (압력 고정 시 \(+1\))	깁스 상규칙	11장
\(f_\beta = \dfrac{x_0 - x_\alpha}{x_\beta - x_\alpha}\)	지렛대 규칙	11장
\(C_\mathrm s = k_0C_0(1 - f_\mathrm s)^{k_0-1}\), \(k_\text{eff} = \dfrac{k_0}{k_0 + (1-k_0)e^{-v\delta/D}}\)	쇼이어 식, 버튼–프림–슬리히터 유효 편석 계수	11장

제4부 화학 평형과 반응 (12–15장)

식	뜻·조건	장
\(\Delta_\mathrm rG = \Delta_\mathrm rG^\circ + RT\ln Q\), \(\Delta_\mathrm rG^\circ = -RT\ln K\)	반응 깁스 에너지와 평형 상수	12장
\(K_P = K_c\left(\dfrac{c^\circ RT}{P^\circ}\right)^{\Delta\nu}\)	압력·농도 평형 상수의 관계	12장
\(\dfrac{d\ln K}{dT} = \dfrac{\Delta_\mathrm rH^\circ}{RT^2}\), \(\ln\dfrac{K_2}{K_1} = -\dfrac{\Delta_\mathrm rH^\circ}{R}\left(\dfrac1{T_2} - \dfrac1{T_1}\right)\)	반트호프 식	12장
\(p_{\mathrm O_2}^\text{eq} = \exp\dfrac{\Delta G^\circ_{\mathrm O_2}}{RT}\)	산화물 분해 산소 분압(엘링엄, O₂ 1 mol 기준)	12장
\([\mathrm A] = [\mathrm A]_0 - kt\), \([\mathrm A]_0e^{-kt}\), \(\dfrac1{[\mathrm A]} = \dfrac1{[\mathrm A]_0} + kt\); \(t_{1/2} = \dfrac{\ln2}{k}\) (1차)	0·1·2차 적분 속도식	13장
\(k = Ae^{-E_a/RT}\), \(E_a = R\dfrac{\ln(k_2/k_1)}{1/T_1 - 1/T_2}\)	아레니우스 식	13장
\(k = \dfrac{k_\mathrm BT}{h}e^{\Delta S^\ddagger/R}e^{-\Delta H^\ddagger/RT}\)	아이링 식(전이 상태 이론)	13장
\(\theta = \dfrac{KP}{1 + KP}\), \(\dfrac{v}{v_\mathrm m} = \dfrac{cx}{(1-x)(1-x+cx)}\)	랭뮤어 등온선, BET(\(x = P/P_0\))	14장
\(\gamma_\mathrm{SV} = \gamma_\mathrm{SL} + \gamma_\mathrm{LV}\cos\theta\)	영 식	14장
\(r^* = \dfrac{2\gamma}{\Delta G_v}\), \(\Delta G^* = \dfrac{16\pi\gamma^3}{3\Delta G_v^2}\), 불균일 \(\times\dfrac{(2+\cos\theta)(1-\cos\theta)^2}{4}\)	고전 핵생성 이론	14장
\(\theta(t) = 1 - e^{-s\Phi t/n_\mathrm s}\), \(G = \dfrac{k_\mathrm sh_\mathrm g}{k_\mathrm s + h_\mathrm g}\dfrac{C_\mathrm g}{N}\)	ALD 피복률, 그로브 CVD 성장 속도	14장
\(\Delta G = -nFE\), \(E = E^\circ - \dfrac{RT}{nF}\ln Q\) (25 °C: \(0.05916/n\cdot\log_{10}Q\))	기전력과 깁스 에너지, 네른스트 식	15장
\(m = \dfrac{QM}{nF}\), \(\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{\eta_\text{eff}JM}{nF\rho}\)	패러데이 법칙, 도금 속도	15장
\(j = j_0\left[e^{\alpha_\mathrm aF\eta/RT} - e^{-\alpha_\mathrm cF\eta/RT}\right]\), 타펠 기울기 \(\dfrac{2.303RT}{\alpha F}\)	버틀러–볼머 식(25 °C, α = 0.5에서 118 mV/dec)	15장
\(j_\text{lim} = \dfrac{nFDc_\infty}{\delta}\)	한계 전류 밀도(확산층 두께 δ)	15장

제5부 수송과 비평형 (16–17장)

식	뜻·조건	장
\(\langle x^2\rangle = 2Dt\), \(D = \dfrac{\Gamma a^2}{6}\)	무작위 걸음과 확산 계수(3차원)	16장
\(J = -D\dfrac{\partial C}{\partial x}\), \(\dfrac{\partial C}{\partial t} = D\dfrac{\partial^2C}{\partial x^2}\)	픽의 제1·2법칙	16장
\(C = C_\mathrm s\,\mathrm{erfc}\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\), \(C = \dfrac{Q}{\sqrt{\pi Dt}}e^{-x^2/4Dt}\)	일정 공급원, 제한 공급원 분포	16장
\((Dt)_\text{eff} = \sum D(T_i)t_i\)	열 예산	16장
\(x^2 + Ax = B(t + \tau)\)	딜–그로브 열산화	16장
\(D = \dfrac{\mu kT}{q}\)	아인슈타인 관계	16장
\(q'' = -\kappa\nabla T\), \(\kappa = \tfrac13Cv\ell\)	푸리에 법칙, 운동론 열전도도	17장
\(R_\mathrm{th} = \dfrac{L}{\kappa A}\), \(\dfrac1{hA}\), \(\dfrac1{4\varepsilon\sigma T^3A}\); \(T_\mathrm j = T_\mathrm a + P\sum R_\mathrm{th}\)	전도·대류·복사 열저항, 접합 온도	17장
\(\dfrac{\partial T}{\partial t} = \alpha\nabla^2T\), \(\alpha = \dfrac{\kappa}{\rho c}\), \(\tau = R_\mathrm{th}C_\mathrm{th}\)	열 확산 방정식, 열 시간 상수(집중 용량)	17장
\(V = S\Delta T\), \(\Pi = ST\), \(ZT = \dfrac{S^2\sigma T}{\kappa}\)	제베크·펠티에 효과, 성능 지수	17장
\(J_i = \sum_jL_{ij}X_j\), \(L_{ij} = L_{ji}\), \(\sigma_s = \sum J_iX_i\ge0\)	온사거 상반 관계, 엔트로피 생성	17장
\(\overline{v^2} = 4kTR\Delta f\)	존슨–나이퀴스트 잡음(요동–소산 정리)	17장

표 찾아 쓰기 연습

필요한 값은 모두 이 부록의 표와 계산기에 있다. 문제에 값이 주어지면 그 값을 쓴다. \(R = 8.314\) J/(mol·K), \(F = 96\,485\) C/mol, \(k = 8.617\times10^{-5}\) eV/K. 따로 말이 없으면 답이 ±1 % 이내면 정답이다.

열화학 표의 \(\Delta_\mathrm fH^\circ\)와 \(S^\circ\)로 \(\ce{Si(s) + O2(g) -> SiO2(s)}\)의 \(\Delta_\mathrm rS^\circ\)와 298.15 K의 \(\Delta_\mathrm fG^\circ(\ce{SiO2})\)를 구하라.

원소의 \(S^\circ\)는 0이 아니다. Si 18.81, O₂ 205.15, SiO₂ 41.46 J/(mol·K).

\(\Delta S^\circ = 41.46 - 18.81 - 205.15 = -182.50\) J/K. \(\Delta G^\circ = -910.7 - 298.15\times(-0.18250) = -910.7 + 54.41 = -856.3\) kJ/mol. 표의 \(\Delta_\mathrm fG^\circ\) 열(계산값)과 같다. 기체 1 mol이 고체에 묶이므로 \(\Delta S\)가 크게 음수다.

\(\ce{SiH4(g) -> Si(s) + 2H2(g)}\)의 298.15 K 표준 깁스 에너지를 구하고, \(\Delta C_P = 0\) 근사로 600 °C의 \(\log_{10}K\)를 구하라.

\(\Delta H^\circ = -34.3\) kJ, \(\Delta S^\circ = 18.81 + 2(130.68) - 204.65\). \(\log_{10}K = -\Delta G^\circ/(2.303RT)\).

\(\Delta S^\circ = 75.52\) J/K, \(\Delta G^\circ_{298} = -34.3 - 298.15\times0.07552 = -56.8\) kJ. 873.15 K: \(\Delta G^\circ = -34.3 - 873.15\times0.07552 = -100.24\) kJ, \(\log_{10}K = 100\,240/(2.3026\times8.314\times873.15) = 6.00\). 열역학적으로는 완전히 분해 쪽이다. LPCVD 폴리실리콘의 증착 속도를 정하는 것은 평형이 아니라 표면 반응 속도다.

엘링엄 근사(\(\Delta C_P = 0\))로 1000 °C에서 \(\ce{Si + O2 -> SiO2}\)의 \(\Delta G^\circ\)와 SiO₂가 분해되는 평형 산소 분압을 구하라.

\(\Delta G^\circ = -910.7 + 1273.15\times0.1825 = -678.4\) kJ. \(\log_{10}p_{\mathrm O_2} = \Delta G^\circ/(2.303RT) = -678\,350/(2.3026\times8.314\times1273.15) = -27.8\). 실제 노 안의 산소 분압은 이보다 훨씬 높으므로 SiO₂는 늘 안정하다. 반대로 SiO₂ 위 금속이 SiO₂를 환원하려면 엘링엄 선이 SiO₂ 아래에 있어야 한다(Ti, Hf, Al).

IPA의 끓는점(82.25 °C)과 증발 엔탈피(39.85 kJ/mol)를 써서 클라우지우스–클라페이롱 식으로 25 °C의 증기압을 Torr로 구하라. 실측(약 45 Torr)보다 큰 이유는?

\(\ln(P/760) = -\dfrac{39\,850}{8.314}\left(\dfrac1{298.15} - \dfrac1{355.4}\right) = -2.591\), \(P = 760e^{-2.591} = 57.0\) Torr. \(\Delta H_\text{vap}\)은 온도가 낮을수록 크다(25 °C에서 약 45 kJ/mol). 끓는점 값을 쓰면 기울기가 작게 잡혀 낮은 온도의 증기압을 크게 외삽한다. 넓은 범위에는 앙투안 식을 쓴다.

CO₂의 판데르발스 상수(a = 0.364 Pa·m⁶/mol², b = 4.267 × 10⁻⁵ m³/mol)로 임계 온도·압력·몰부피를 구하고 실측(304.13 K, 7.38 MPa, 94 cm³/mol)과 비교하라.

\(T_\mathrm c = \dfrac{8(0.364)}{27(8.314)(4.267\times10^{-5})} = 304.0\) K, \(P_\mathrm c = \dfrac{0.364}{27(4.267\times10^{-5})^2} = 7.40\) MPa, \(V_\mathrm c = 3b = 128\) cm³/mol. CRC의 a, b는 \(T_\mathrm c\), \(P_\mathrm c\)에 맞춰 정했으므로 둘은 잘 맞지만, \(V_\mathrm c\)는 36 % 크다. \(Z_\mathrm c = 3/8\)이 실제(0.27)보다 큰 탓이다.

(가) HCl의 회전 상수 \(\tilde B\)를 cm⁻¹로 구하라. (나) 1000 K의 N₂ 분자 가운데 진동 양자수 v = 1에 있는 비율은?

\(\tilde B = \theta_\mathrm{rot}/1.4388\ \text{cm·K}\). 조화 진동자의 \(p_\mathrm v = e^{-\mathrm vx}(1 - e^{-x})\), \(x = \theta_\mathrm{vib}/T\).

(가) \(15.02/1.4388 = 10.44\) cm⁻¹. (나) \(x = 3374/1000 = 3.374\), \(p_1 = e^{-3.374}(1 - e^{-3.374}) = 0.0342\times0.9658 = 0.0331\). 1000 K에서도 N₂의 97 %는 진동 바닥 상태라 \(C_V/R\)이 병진·회전 값 2.5에서 많이 오르지 않았다(표의 2.92).

(가) 300 K, 10 mTorr의 Ar 평균 자유 행로를 mm로 구하라(d = 3.67 Å). (나) 300 K, 10⁻⁶ Torr의 수증기가 부착 계수 1로 표면 자리 10¹⁹ m⁻²를 덮는 데 걸리는 시간은?

(가) \(P = 1.333\) Pa, \(\lambda = \dfrac{1.381\times10^{-23}\times300}{\sqrt2\pi(3.67\times10^{-10})^2\times1.333} = 5.19\times10^{-3}\) m = 5.19 mm. 지름 30 cm 챔버에서 Kn ≈ 0.02인 전이류다. (나) \(\Phi = \dfrac{1.333\times10^{-4}}{\sqrt{2\pi(18.015\times10^{-3}/N_\mathrm A)(1.381\times10^{-23})(300)}} = 4.78\times10^{18}\) m⁻²s⁻¹, \(t = 10^{19}/\Phi = 2.09\) s.

20 °C 질소가 분자류로 흐를 때 지름 4.0 cm, 길이 50 cm 관의 컨덕턴스(구멍과 긴 관을 직렬 합성)를 구하고, 500 L/s 터보 펌프를 이 관으로 연결했을 때의 유효 배기 속도를 구하라.

\(\bar v = \sqrt{8RT/\pi M} = 470.7\) m/s. \(C_o = \tfrac14\bar v\pi d^2/4 = 0.148\) m³/s = 148 L/s, \(C_l = \pi\bar vd^3/12L = 15.8\) L/s, \(C = (1/148 + 1/15.8)^{-1} = 14.3\) L/s. \(S_\text{eff} = (1/500 + 1/14.3)^{-1} = 13.9\) L/s — 펌프의 3 %도 못 쓴다. 관은 굵고 짧게.

초크랄스키 성장에서 용융액의 90 %가 굳었을 때(\(f_\mathrm s = 0.9\)) 그 위치 고체의 농도를 처음 용융액 농도 \(C_0\)에 대한 비로, P(\(k_0\) = 0.35)와 B(\(k_0\) = 0.8)에 대해 구하라.

P: \(0.35\times0.1^{-0.65} = 0.35\times4.467 = 1.56\). B: \(0.8\times0.1^{-0.2} = 0.8\times1.585 = 1.27\). 씨앗 쪽(\(f_\mathrm s = 0\))은 각각 0.35, 0.8이므로 P 도핑 잉곳은 길이 방향 비저항 변화가 B보다 훨씬 크다.

(가) 25 °C, [Cu²⁺] = 1.0 × 10⁻⁴ M 용액에 담근 구리 전극의 전위(V vs SHE)는? (나) 다니엘 전지 \(\ce{Zn + Cu^2+ -> Zn^2+ + Cu}\)의 표준 깁스 에너지는?

(가) \(E = 0.3419 + \dfrac{0.05916}{2}\log_{10}(1.0\times10^{-4}) = 0.3419 - 0.1183 = 0.224\) V. (나) \(E^\circ = 0.3419 - (-0.7618) = 1.1037\) V, \(\Delta G^\circ = -2(96\,485)(1.1037) = -213\) kJ.

붕소 도즈 \(Q = 1.0\times10^{14}\) cm⁻²를 1100 °C에서 30분 드라이브인했다(제한 공급원, 반사 표면). 진성 확산 계수와 배경 \(N_B = 1.0\times10^{16}\) cm⁻³에 대한 접합 깊이를 구하라.

\(D = 0.76\exp\left(-\dfrac{3.46}{8.617\times10^{-5}\times1373.15}\right) = 1.52\times10^{-13}\) cm²/s. \(Dt = 2.74\times10^{-10}\) cm², \(C_0 = Q/\sqrt{\pi Dt} = 3.41\times10^{18}\) cm⁻³. \(x_j = 2\sqrt{Dt\ln(C_0/N_B)} = 2\sqrt{2.74\times10^{-10}\times5.83} = 7.99\times10^{-5}\) cm = 0.799 µm.

(100) 실리콘을 1000 °C 건식 O₂에서 1.0시간 산화한다. 딜–그로브 표의 B, B/A와 처음 두께 \(x_i\) = 25 nm 보정을 써서 산화막 두께를 구하라.

\(B = 0.01044\) µm²/h, \(B/A = 0.0449\) µm/h, \(A = 0.2325\) µm. \(\tau = (x_i^2 + Ax_i)/B\).

\(\tau = (0.025^2 + 0.2325\times0.025)/0.01044 = 0.617\) h. \(x^2 + 0.2325x = 0.01044\times1.617 = 0.01688\) → \(x = \dfrac{-0.2325 + \sqrt{0.2325^2 + 4(0.01688)}}{2} = 0.0581\) µm = 58.1 nm. \(t + \tau = 1.6\) h가 \(A^2/4B = 1.29\) h와 비슷하므로 선형–포물선 사이다.

넓이 1.0 cm²를 지나는 열류가 Si 500 µm, 솔더 50 µm, Cu 2.0 mm, TIM 50 µm를 차례로 지난다(κ는 열전도도 표). 50 W를 쓸 때 전도 열저항의 합과, TIM 바깥면이 25 °C로 유지될 때의 접합(다이 윗면) 온도를 구하라.

\(R = L/\kappa A\): Si \(5\times10^{-4}/(148\times10^{-4}) = 0.0338\), 솔더 \(5\times10^{-5}/(58\times10^{-4}) = 0.0086\), Cu \(2\times10^{-3}/(401\times10^{-4}) = 0.0499\), TIM \(5\times10^{-5}/(4\times10^{-4}) = 0.125\) K/W. 합 0.217 K/W, \(\Delta T = 50\times0.217 = 10.9\) K, \(T_\mathrm j = 35.9\) °C. 두께 50 µm의 TIM이 전체의 58 %를 차지한다.

공기(\(p_{\mathrm O_2}\) = 0.2095 atm)와 평형인 물의 용존 산소 농도를 25 °C와 60 °C에서 mg/L로 구하라(헨리 상수 표의 \(k_\mathrm H\), \(B\)).

25 °C: \(c = 1.3\times10^{-3}\times0.2095 = 2.72\times10^{-4}\) mol/L = 8.71 mg/L. 60 °C: \(k_\mathrm H = 1.3\times10^{-3}e^{1700(1/333.15 - 1/298.15)} = 7.14\times10^{-4}\), \(c = 4.79\) mg/L. 뜨거운 물일수록 기체가 덜 녹는다. 초순수의 용존 산소 목표(수 ppb)는 공기 포화의 1/1000 아래다.

이 부록의 자료를 쓸 때 옳지 않은 것은?

얇은 Si 막은 포논이 막 경계에서 산란돼 열전도도가 벌크의 절반 이하로 떨어진다. 표의 값은 300 K 벌크 대표값이다. 나머지는 모두 옳은 주의 사항이다.