Chapter 08

기체 운동론과 진공

팹 장비의 절반은 진공 장비다. 스퍼터와 식각 챔버는 수 mTorr에서, 이온 주입기 빔 라인은 10⁻⁶ Torr에서, 로드락은 몇 십 초마다 대기압과 진공을 오간다. 이 압력들은 아무렇게나 정한 숫자가 아니다. 기체 분자가 얼마나 빨리 움직이는지, 벽을 얼마나 자주 때리는지, 다음 충돌까지 얼마나 멀리 가는지가 공정의 방향성·오염·균일도·배기 시간을 정한다. 6장의 볼츠만 인자를 분자 하나의 병진 운동에 적용하면 이 세 가지가 모두 나온다. 아래 상자는 2차원 기체다. 오른쪽 벽의 구멍이 펌프로 이어져 있어, 구멍에 우연히 닿은 분자만 빠져나간다. 분자 수는 지수적으로 줄고, 흰 테두리 분자의 자취는 압력이 낮아질수록 직선 구간이 길어진다.

누르면 밸브를 닫고(벤트) 다시 누르면 연다

볼츠만 인자에서 맥스웰–볼츠만 속력 분포를 유도하고, 최빈·평균·제곱 평균 제곱근 속력과 어떤 속력 이상인 분자의 비율을 계산한다.
벽에 부딪히는 분자의 운동량 전달로 $P = nkT$를 다시 얻고, 벽 충돌 플럭스 $\Phi = P/\sqrt{2\pi mkT}$와 단분자층 형성 시간을 구해 베이스 압력과 오염을 연결한다.
충돌 단면적으로 평균 자유 행로 $\lambda = kT/\sqrt2\pi d^2P$를 구하고, 크누센 수로 점성류·전이류·분자류를 판정한다.
분출 속도가 $1/\sqrt M$에 비례하는 이유(그레이엄 법칙)와 다단 분리의 단 수를 계산하고, 구멍이 평균 자유 행로보다 크면 분리가 사라짐을 확인한다.
점성·열전도·확산을 "평균 자유 행로만큼 실어 나르는" 운동론으로 설명하고, 점성 계수가 압력과 무관하다가 분자류에서 압력에 비례하게 되는 이유를 피라니 게이지와 정전척 헬륨 냉각에 적용한다.
분자류 컨덕턴스(구멍·긴 관)와 직렬 합성, 유효 배기 속도, 탈기체가 있는 배기 곡선 $P(t)$를 계산하고, 압력 범위에 맞는 진공 게이지를 고른다.

맥스웰–볼츠만 속력 분포

온도 $T$의 기체 속 분자 하나를 계로 보고 나머지 기체를 열저장체로 보면, 6장의 결론에 따라 분자가 속도 $\mathbf v$ 근처에 있을 확률은 볼츠만 인자 $e^{-E/kT}$에 비례한다. 병진 에너지는 $E = \tfrac12 m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$로 세 성분의 합이므로 인자가 세 개의 곱으로 갈라진다. 성분 하나의 분포는 평균 0, 분산 $kT/m$인 정규 분포다.

$$g(v_x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\;e^{-mv_x^2/2kT},\qquad \langle v_x\rangle = 0,\qquad \langle v_x^2\rangle = \frac{kT}{m}$$

$\langle \tfrac12 mv_x^2\rangle = \tfrac12 kT$ — 6장의 등분배 정리가 성분마다 성립한다. 세 성분은 서로 독립이다.

속도의 방향은 상관없고 크기(속력) $v = |\mathbf v|$만 묻는다면, 속도 공간에서 반지름 $v$와 $v+dv$ 사이의 껍질에 들어 있는 확률을 모두 더한다. 껍질의 부피는 $4\pi v^2dv$이다. 이렇게 얻은 것이 맥스웰–볼츠만 속력 분포(Maxwell–Boltzmann speed distribution)다.

$$f(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2\,e^{-mv^2/2kT},\qquad \int_0^\infty f(v)\,dv = 1$$

$v^2$(껍질이 넓어지는 효과)는 커지고 $e^{-mv^2/2kT}$(에너지 비용)는 줄어서 둘의 곱에 봉우리가 생긴다. $m$은 분자 하나의 질량 $M/N_\mathrm A$이고 $m/k = M/R$이다.

속도의 각 성분은 분산 $kT/m$인 정규 분포를 따른다.
세 성분의 곱은 속력 $v$에만 의존하므로, 같은 $v$를 갖는 속도는 반지름 $v$의 껍질에 모여 있다.
껍질 부피 $4\pi v^2$는 커지고 볼츠만 인자는 줄어든다.
둘을 곱하면 봉우리가 있는 $f(v)$가 된다. 세 가지 대표 속력은 서로 몇 % 차이다.

맥스웰–볼츠만 속력 분포가 만들어지는 과정. 정규 분포를 세 번 곱한 뒤 껍질 위에서 더하는 것뿐이다. 속력 0 근처의 분자가 드문 이유는 에너지 때문이 아니라 그런 속도가 들어갈 "자리"(껍질 부피)가 작기 때문이다.

분포에서 세 가지 대표 속력이 나온다. 봉우리 위치인 최빈 속력(most probable speed), 평균인 평균 속력(mean speed), 운동 에너지와 직결되는 제곱 평균 제곱근 속력(root-mean-square speed)이다.

$$v_\mathrm{mp} = \sqrt{\frac{2kT}{m}},\qquad \bar v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}},\qquad v_\mathrm{rms} = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$$

$\tfrac12 m v_\mathrm{rms}^2 = \tfrac32 kT$이다. 진공 계산(플럭스, 컨덕턴스, 평균 자유 행로)에는 거의 언제나 평균 속력 $\bar v$가 들어간다. 300 K 질소는 $\bar v = 476$ m/s로 음속(353 m/s)보다 빠르다.

문턱 속력 $v^*$보다 빠른 분자의 비율은 $f(v)$를 $v^*$부터 적분해 얻는다. $x = v^*/v_\mathrm{mp}$로 두면

$$F(v>v^*) = \operatorname{erfc}(x) + \frac{2}{\sqrt\pi}\,x\,e^{-x^2}$$

$x$가 크면 $e^{-x^2}$, 곧 볼츠만 인자 $e^{-mv^{*2}/2kT}$가 지배한다. 화학 반응에서 활성화 에너지를 넘는 분자의 비율(13장)이 온도에 그토록 민감한 이유다.

SIMULATOR

속력 분포: 봉우리와 꼬리를 끌어 보기

봉우리를 좌우로 끌면 온도, 아래 흰 원은 문턱 속력

기체

온도 T 300 K 곡선 겹쳐 보기

v_mp—

v̄ (평균)—

v_rms—

v > v* 비율—

주황 곡선이 현재 온도의 $f(v)$, 칠한 넓이가 문턱 속력 $v^*$보다 빠른 분자의 비율이다. 파란 점선은 같은 기체의 300 K 분포. 해볼 것: ① 온도를 4배로 올리면 봉우리 속력은 2배가 되고 높이는 절반이 된다(넓이는 1로 그대로). ② N₂에서 $v^* = 1000$ m/s 위의 비율이 300 K에서 약 1%인데, 600 K에서는 몇 %인가? ③ 같은 300 K에서 H₂와 Xe의 봉우리 속력 비는 $\sqrt{131.3/2.016}\approx 8$이다.

몰 질량 28인 기체가 300에 있으면 최빈 속력은 , 평균 속력은 , 제곱 평균 제곱근 속력은 다. 분자 하나의 평균 병진 에너지 $\tfrac32kT$는 이고, 1 km/s보다 빠른 분자는 다.

온도

MINI LAB같은 온도에서 여섯 기체의 속력 분포. 모두 같은 평균 에너지 $\tfrac32kT$를 갖지만, 가벼운 분자는 넓고 낮게, 무거운 분자는 좁고 높게 퍼진다. 각 곡선 위의 점은 평균 속력 $\bar v\propto\sqrt{T/M}$이다. Xe를 1200 K로 데워도 평균 속력(440 m/s)은 300 K 수증기(594 m/s)보다 느리다.

300 K의 N₂($M = 28.014$ g/mol)에 대해 (a) $v_\mathrm{mp}$, $\bar v$, $v_\mathrm{rms}$를 구하고 (b) 속력이 1000 m/s를 넘는 분자의 비율을 구하라.

풀이 보기

전략 $kT/m = RT/M$로 바꿔 SI 단위(kg/mol)로 계산한다. 비율은 $x = v^*/v_\mathrm{mp}$로 꼬리 적분 공식을 쓴다.

풀이 (a) $RT/M = 8.314\times300/0.028014 = 8.904\times10^4$ m²/s². $v_\mathrm{mp} = \sqrt{2\times8.904\times10^4} = 422$ m/s, $\bar v = \sqrt{8\times8.904\times10^4/\pi} = 476$ m/s, $v_\mathrm{rms} = \sqrt{3\times8.904\times10^4} = 517$ m/s. (b) $x = 1000/422 = 2.370$. $\operatorname{erfc}(2.370) = 8.6\times10^{-4}$, $\tfrac{2}{\sqrt\pi}\,x\,e^{-x^2} = 1.128\times2.370\times3.63\times10^{-3} = 9.7\times10^{-3}$. 합 $= 0.0105$.

(a) 422, 476, 517 m/s (b) 약 1.05%

검토 세 속력의 비 $1:1.128:1.225$가 맞다. 1000 m/s는 평균의 2배 남짓인데도 100개 중 1개꼴이다 — 정규 분포의 꼬리보다 두껍다. 꼬리의 거의 전부가 $x\,e^{-x^2}$ 항에서 온다.

2차원 기체로 확인하기: 무작위 충돌이 분포를 만든다

볼츠만 분포는 "분자와 저장체가 에너지를 무작위로 주고받으면" 생긴다고 했다. 정말 그런지 이 책의 2차원 원판 기체로 확인하자. 2차원에서는 속도 성분이 둘이므로 껍질 부피 $4\pi v^2dv$ 대신 고리 둘레 $2\pi v\,dv$가 들어가, 속력 분포가

$$f_\mathrm{2D}(v) = \frac{mv}{kT}\,e^{-mv^2/2kT},\qquad \langle\tfrac12mv^2\rangle = kT$$

(2차원 등분배: 자유도 2개 × $\tfrac12kT$). 시뮬레이터에서는 $k = 1$로 두고 온도를 $kT = \langle\tfrac12mv^2\rangle$로 정의한다.

가 된다. 처음에 모든 원판이 같은 속력으로 무작위 방향으로 출발하게 해 보자. 에너지는 탄성 충돌에서 보존되므로 평균 에너지는 그대로다.

원판 220개가 모두 같은 속력으로 출발한다. 원판끼리 수십 번씩 부딪힌 뒤 속력 분포는 어떻게 될까?

충돌 한 번은 두 원판의 에너지 합만 보존하고 나누는 비율은 무작위다. 이 무작위 나눔이 수십 번 쌓이면 볼츠만 분포가 된다(5장의 에너지 덩어리 교환과 같은 이치). 원판 하나당 평균 10번쯤 부딪히면 맥스웰–볼츠만 분포와 거의 구별되지 않는다.

SIMULATOR

2D 기체: 속력 히스토그램이 맥스웰–볼츠만이 되기까지

열벽을 켜면 왼쪽 온도계 손잡이를 끈다

처음 상태

왼쪽 벽을 열벽으로

충돌 / 원판—

kT (측정)/kT₀—

MB와의 거리 (KL)—

왼쪽은 원판 220개, 오른쪽은 최근 속력의 히스토그램(주황)과 측정한 $kT$로 그린 $f_\mathrm{2D}(v)$(파란 선)이다. KL은 히스토그램과 이론 분포의 차이로, 0에 가까울수록 맥스웰–볼츠만이다(유한 표본 때문에 0.02–0.05 근처가 바닥). 해볼 것: ① "모두 같은 속력"에서 충돌 / 원판이 1, 3, 10일 때 히스토그램을 본다. ② "두 속력"(느린 무리와 빠른 무리)도 같은 곡선으로 간다 — 처음 상태를 잊는다. ③ 열벽을 켜고 온도계를 위로 끌면 벽에 닿은 분자가 그 온도로 다시 튀어나와 기체 전체가 데워진다.

압력의 미시적 유래와 벽 충돌 플럭스

압력은 벽에 부딪히는 분자들이 단위 시간에 벽에 건네는 운동량을 넓이로 나눈 것이다. 일반물리학(일반물리학 · 분자 운동론)에서는 상자 속 분자 하나가 벽 사이를 왕복한다고 보고 이 결과를 얻었다. 여기서는 속도 분포를 그대로 쓰는 방법으로 다시 세운다. 같은 계산이 압력과 함께 진공 기술의 핵심량인 벽 충돌 플럭스를 준다.

분자 하나가 벽에 남기는 운동량은 $2mv_x$다.
시간 $dt$ 동안 벽에 닿는 분자는 길이 $v_x\,dt$인 기둥 안에 있는 분자다.
$v_x>0$인 분자에 대해 더하면 압력과 플럭스가 나온다.

압력과 벽 충돌 플럭스의 유도. 압력은 $v_x^2$의 평균(운동량 × 빈도), 플럭스는 $v_x$의 평균(빈도만)에서 온다. 그래서 압력에는 $kT$가, 플럭스에는 $\sqrt{kT/m}$가 들어간다.

$$P = nm\langle v_x^2\rangle = \tfrac13 nm\langle v^2\rangle = nkT,\qquad \Phi = \tfrac14 n\bar v = \frac{P}{\sqrt{2\pi mkT}}$$

$n = N/V$는 수밀도[m⁻³], $\Phi$는 단위 넓이·단위 시간당 벽에 부딪히는 분자 수[m⁻²s⁻¹]. 실용식: $\Phi = 3.51\times10^{22}\,P[\mathrm{Torr}]/\sqrt{M\,T}$ cm⁻²s⁻¹ ($M$은 g/mol, $T$는 K).

$P = nkT$는 상태 방정식(1장)의 미시적 설명이다. 같은 압력이면 기체 종류와 상관없이 수밀도가 같다(아보가드로). 그러나 플럭스는 $1/\sqrt{m}$에 비례한다. 같은 압력에서 수소는 질소보다 $\sqrt{28/2}\approx3.7$배 자주 벽을 때린다. 이 정의에 따른 $\Phi$를 벽 충돌 플럭스(wall collision flux, impingement rate)라 한다.

SIMULATOR

벽을 때리는 분자로 압력 재기

오른쪽 벽의 흰 원을 끌어 상자 넓이 바꾸기

원판 수 N

압력 (측정)—

nkT (이상 기체)—

플럭스 (측정)—

n v̄/π (이론)—

위아래 벽은 온도 $kT_0$의 열벽이라 상자를 줄이거나 늘려도 온도가 일정하다(등온). 왼쪽·오른쪽 벽이 받은 운동량을 시간과 벽 길이로 나눈 것이 압력(2D에서는 힘/길이), 부딪힌 횟수를 나눈 것이 플럭스다. 벽의 깜박임이 충돌 한 번이다. 해볼 것: ① 상자 넓이를 절반으로 줄이면 압력과 플럭스가 모두 2배가 된다(보일 법칙). ② 측정값이 이상 기체 값보다 몇 % 큰 것은 원판 자신의 넓이 때문이다 — 1장 판데르발스 식의 $b$와 같은 효과다. N을 줄이면 차이가 줄어든다. ③ 측정 시간이 짧으면 값이 출렁인다. 압력은 수많은 충돌의 평균이다.

단분자층 형성 시간

진공을 쓰는 가장 큰 이유는 깨끗한 표면이다. 표면에 원자 자리가 $n_s\approx10^{15}$ cm⁻²(= $10^{19}$ m⁻²) 있고, 부딪힌 분자가 확률 $s$로 달라붙는다면(부착 계수(sticking coefficient)), 깨끗한 표면이 한 층으로 덮이는 데 걸리는 시간은

$$\tau_\mathrm{ml} = \frac{n_s}{s\,\Phi} = \frac{n_s\sqrt{2\pi mkT}}{s\,P}$$

이를 단분자층 형성 시간(monolayer formation time)이라 한다. 노출량은 흔히 랭뮤어(1 L = $10^{-6}$ Torr·s)로 쓰며, $s\approx1$이면 수 L에 한 층이 덮인다.

방금 세정한 실리콘 표면을 300 K, $10^{-6}$ Torr의 진공(수증기)에 두었다. 부착 계수가 1이라면 한 층이 덮이는 데 걸리는 시간은?

$10^{-6}$ Torr의 수증기는 1 cm²에 매초 $4.8\times10^{14}$개를 때린다. 표면 자리 $10^{15}$ cm⁻²를 채우는 데 약 2초다. 표면을 몇 시간 깨끗이 두려면 $10^{-9}$–$10^{-10}$ Torr의 초고진공이 필요하다.

곡선 위 흰 원을 끈다

부착 계수 s

MINI LAB압력에 따른 단분자층 형성 시간(로그–로그). 주황은 H₂O, 파랑은 N₂, 점선은 H₂다(300 K). $\tau_\mathrm{ml}\propto 1/P$이므로 직선이고, 압력을 1000배 낮추면 1000배 오래 깨끗하다. 부착 계수가 작으면(예: 상온 금속 위 N₂) 같은 압력에서도 훨씬 오래 버틴다.

압력 $10^{x}$ Torr에서 $x$ = -6, 온도 300의 수증기는 수밀도 , 플럭스 이고, 부착 계수 1이면 마다 한 층씩 쌓인다. 그동안 분자 하나가 날아가는 평균 거리(평균 자유 행로, 3절)는 다.

300 K, $1.0\times10^{-6}$ Torr의 N₂에 대해 (a) 수밀도 $n$, (b) 벽 충돌 플럭스 $\Phi$(cm⁻²s⁻¹), (c) $s = 1$, $n_s = 10^{15}$ cm⁻²일 때 단분자층 형성 시간을 구하라.

풀이 보기

전략 압력을 Pa로 바꾼 뒤 $n = P/kT$, $\Phi = P/\sqrt{2\pi mkT}$, $\tau = n_s/\Phi$.

풀이 $P = 10^{-6}\times133.32 = 1.333\times10^{-4}$ Pa. (a) $n = 1.333\times10^{-4}/(1.381\times10^{-23}\times300) = 3.22\times10^{16}$ m⁻³. (b) $m = 0.028014/6.022\times10^{23} = 4.652\times10^{-26}$ kg, $\sqrt{2\pi mkT} = \sqrt{2\pi\times4.652\times10^{-26}\times4.142\times10^{-21}} = 3.479\times10^{-23}$ kg·m/s. $\Phi = 1.333\times10^{-4}/3.479\times10^{-23} = 3.83\times10^{18}$ m⁻²s⁻¹ $= 3.83\times10^{14}$ cm⁻²s⁻¹. 실용식으로도 $3.51\times10^{22}\times10^{-6}/\sqrt{28.0\times300} = 3.83\times10^{14}$. (c) $\tau = 10^{15}/3.83\times10^{14} = 2.6$ s.

(a) $3.22\times10^{16}$ m⁻³ (b) $3.83\times10^{14}$ cm⁻²s⁻¹ (c) 약 2.6 s

검토 "고진공"이라는 $10^{-6}$ Torr에도 1 cm³에 분자가 3×10¹⁰개 있다. 진공은 비어 있는 것이 아니라 표면에 도착하는 속도가 느린 것이다. 10⁻⁶ Torr·s = 1 랭뮤어가 대략 한 층이라는 경험칙과 맞는다.

베이스 압력이 막의 순도를 정한다

PVD로 알루미늄을 1 nm/s로 쌓으면 표면에 매초 약 $6\times10^{15}$ cm⁻²의 Al 원자가 도착한다. 챔버에 $10^{-6}$ Torr의 수증기가 남아 있으면 같은 표면에 $4.8\times10^{14}$ cm⁻²s⁻¹이 도착하므로, 부착 계수가 1이라면 막 속 산소·수소 불순물이 원자 비로 8%에 이를 수 있다. 베이스 압력을 $10^{-8}$ Torr로 낮추면 0.08%다. 그래서 금속 증착 챔버는 공정 전 베이스 압력을 10⁻⁸ Torr대로 확인하고, 웨이퍼는 로드락에서 펌핑한 뒤 들여보낸다. → ProcessBook · 박막 증착

평균 자유 행로와 크누센 수

분자는 다른 분자와 부딪힐 때까지 직선으로 날아간다. 지름 $d$인 강체 구 두 개는 중심 사이 거리가 $d$ 안으로 들어오면 부딪힌다. 그러므로 날아가는 분자는 반지름 $d$(지름이 아니다)인 원통을 쓸고 지나가며, 그 원통 안에 중심이 있는 분자와 모두 부딪힌다. 이 원의 넓이 $\sigma = \pi d^2$를 충돌 단면적(collision cross section)이라 한다.

충돌 원통. 중심이 원통(반지름 $d$) 안에 있는 분자(파랑)와는 부딪히고, 밖에 있는 분자(회색)는 비켜 간다. 단위 시간당 충돌 수는 원통 부피 × 수밀도다.

다른 분자도 움직이므로 충돌을 세는 데 쓰이는 속력은 상대 속력이다. 두 분자의 속도가 독립인 맥스웰–볼츠만 분포를 따르면 상대 속력의 평균은 $\sqrt2\,\bar v$이다. 그래서 분자 하나의 충돌 빈도 $z$와 충돌 사이 평균 거리, 곧 평균 자유 행로(mean free path)는

$$z = \sqrt2\,n\sigma\bar v,\qquad \lambda = \frac{\bar v}{z} = \frac{1}{\sqrt2\,n\pi d^2} = \frac{kT}{\sqrt2\,\pi d^2 P}$$

실용 경험칙(공기·질소, 상온): $\lambda\,[\mathrm{cm}] \approx \dfrac{5\times10^{-3}}{P\,[\mathrm{Torr}]}$, 또는 $\lambda\,[\mathrm{mm}]\approx 6.5/P\,[\mathrm{Pa}]$. 1 atm에서 65 nm, 1 Torr에서 49 µm, 1 mTorr에서 4.9 cm, 10⁻⁶ Torr에서 49 m.

자유 행로 하나하나는 제각각이다. 매 순간 충돌할 확률이 일정하므로(기억 없음) 거리 $x$를 충돌 없이 갈 확률은 $e^{-x/\lambda}$이고, 자유 행로는 평균 $\lambda$인 지수 분포를 따른다. $\lambda$의 3배 넘게 날아가는 분자도 5%나 된다.

아래 2D 기체에서 원판 수를 절반으로 줄이면(같은 상자, 같은 온도), 추적하는 원판의 평균 자유 행로는?

$\lambda\propto 1/n$이다. 쓸고 지나가는 띠(2D에서는 폭 $2d$) 안에 들어오는 원판 수가 절반이니 다음 충돌까지 두 배를 간다. 압력을 반으로 낮추면 평균 자유 행로가 두 배가 되는 것과 같다.

SIMULATOR

분자 하나를 따라가며 자유 행로 재기

아무 원판이나 누르면 그 원판을 추적한다

원판 수 N

추적 원판 평균 λ—

전체 평균 v̄t / 충돌—

이론 1/(2√2 n d)—

충돌 빈도 z—

흰 테두리 원판의 자취가 직선 조각으로 그려지고, 점이 충돌 지점이다. 아래 히스토그램은 지금까지 잰 자유 행로의 분포(주황)와 평균 $\lambda$인 지수 분포(파랑)다. 2D에서는 쓸고 지나가는 단면이 넓이 $\pi d^2$ 대신 폭 $2d$라서 $\lambda_\mathrm{2D} = 1/(2\sqrt2\,nd)$이다($d = 2r$, 길이 단위는 px). 해볼 것: ① N = 60, 120, 240에서 λ를 읽어 $1/n$ 비례를 확인한다. ② 짧은 자유 행로가 가장 흔하고, 평균의 3배를 넘는 것도 드물지 않다. ③ 벽에 맞고 튕기는 것은 충돌로 세지 않는다. N이 작아 $\lambda$가 상자 크기에 가까워지면 분자는 벽과 벽 사이를 오가게 된다 — 분자류다.

크누센 수: 기체가 유체인가 입자인가

평균 자유 행로를 장치의 특성 길이 $L$(관 지름, 챔버 크기, 간격)과 비교한 무차원 수가 크누센 수(Knudsen number) $\mathrm{Kn} = \lambda/L$이다. $\mathrm{Kn}\ll1$이면 분자는 벽에 닿기 전에 서로 수없이 부딪혀 기체가 연속 유체처럼 흐른다(점성류(viscous flow), 유체역학 · 관 내 점성 유동의 세계). $\mathrm{Kn}\gg1$이면 분자끼리는 거의 만나지 않고 벽과 벽 사이를 따로따로 날아다닌다(분자류(molecular flow)). 사이가 전이류다. 이 장에서는 $\mathrm{Kn}<0.01$을 점성류, $\mathrm{Kn}>0.5$를 분자류로 나눈다(교재에 따라 경계를 1로 잡기도 한다).

곡선 위 흰 원을 끌어 압력 바꾸기

기체

특성 길이 L

MINI LAB300 K에서 평균 자유 행로 $\lambda$(곡선)와 특성 길이 $L$(가로 점선). 파란 띠가 분자류($\mathrm{Kn}>0.5$), 주황 띠가 점성류($\mathrm{Kn}<0.01$)다. 같은 압력이라도 무엇과 비교하느냐에 따라 영역이 달라진다. 대기압 세정에서도 100 nm 트렌치 속의 기체는 거의 분자류다.

아르곤 압력 5, 온도 300에서 평균 자유 행로는 이다. 표적에서 튀어나온 원자가 5 떨어진 웨이퍼까지 날아가면 $\mathrm{Kn}$ = ()이고, 한 번도 부딪히지 않고 도착하는 비율은 $e^{-L/\lambda}$ = 다.

300 K, 5 mTorr의 Ar($d = 3.67\times10^{-10}$ m) 속에서 (a) 평균 자유 행로를 구하라. (b) 표적–웨이퍼 간격이 5 cm일 때 크누센 수와, 충돌 없이 도착하는 원자의 비율을 구하라(스퍼터 원자의 충돌 단면적을 Ar과 같다고 본다). (c) 0.5 mTorr로 낮추면?

풀이 보기

전략 $\lambda = kT/(\sqrt2\pi d^2P)$, $\mathrm{Kn} = \lambda/L$, 무충돌 확률 $e^{-L/\lambda}$.

풀이 (a) $P = 5\times0.13332 = 0.6666$ Pa. $\sqrt2\pi d^2 = 1.4142\times\pi\times1.347\times10^{-19} = 5.984\times10^{-19}$ m². $\lambda = 4.142\times10^{-21}/(5.984\times10^{-19}\times0.6666) = 1.04\times10^{-2}$ m. (b) $\mathrm{Kn} = 1.04/5 = 0.21$ — 전이류. 무충돌 비율 $e^{-5/1.04} = e^{-4.8} = 0.008$. (c) $\lambda$가 10배인 10.4 cm, $\mathrm{Kn} = 2.1$(분자류), 무충돌 비율 $e^{-0.48} = 0.62$.

(a) 1.04 cm (b) Kn ≈ 0.21, 약 0.8% (c) λ ≈ 10.4 cm, 약 62%

검토 5 mTorr에서는 스퍼터 원자 대부분이 몇 번씩 부딪혀 방향이 흩어지고 에너지를 잃는다(열화). 깊은 구멍 바닥까지 똑바로 보내려는 장거리(long-throw) 스퍼터가 1 mTorr 아래에서 도는 이유다. 실제 스퍼터 원자는 에너지가 커서 단면적이 조금 작다.

식각·스퍼터 챔버가 mTorr에서 도는 이유

이방성 식각에서는 이온이 시스(약 1 mm)를 지나는 동안 거의 부딪히지 않아야 웨이퍼에 수직으로 도착한다. 30 mTorr의 Ar에서 $\lambda\approx1.7$ mm이므로 시스 $\mathrm{Kn}\approx1$ — 한 번 남짓 부딪힌다. 압력을 낮추면 방향성은 좋아지지만 라디칼 밀도와 식각 속도가 떨어지고, 플라스마를 유지할 전자 충돌도 줄어든다. 그래서 정밀 식각은 수~수십 mTorr에서 고밀도 플라스마로 하고, 스퍼터는 원자가 표적에서 웨이퍼까지 날아가는 $\mathrm{Kn}$을 기준으로 압력을 고른다. → EtchBook · 플라스마: 식각의 재료

분출과 기체 분리

용기 벽에 작은 구멍을 뚫고 바깥을 진공으로 두자. 구멍이 평균 자유 행로보다 충분히 작으면(구멍 기준 $\mathrm{Kn}\gg1$), 분자들은 구멍 근처에서 서로 밀거나 끌지 않는다. 구멍 자리에 와서 "벽에 부딪히려던" 분자가 그냥 빠져나갈 뿐이다. 이것이 분출(effusion)이다. 빠져나가는 속도는 벽 충돌 플럭스에 구멍 넓이를 곱한 것이다.

$$\frac{dN}{dt} = -\Phi A = -\frac{PA}{\sqrt{2\pi mkT}} = -\tfrac14 n\bar vA \quad\Rightarrow\quad \frac{\text{분출 속도}_1}{\text{분출 속도}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}\ (\text{같은 } P, T)$$

이 비가 그레이엄 법칙(Graham's law)이다(일반화학 · 기체). 빠른 분자가 구멍을 더 자주 찾아오므로, 빠져나간 분자의 속력 분포는 $v\,f(v)$로 기울어 있고 평균 운동 에너지가 $\tfrac32kT$가 아니라 $2kT$다 — 분출은 남은 기체를 식힌다.

분출 식은 반도체에서도 그대로 쓰인다. 분자선 에피택시(MBE)의 크누센 셀은 원료를 녹인 도가니에 작은 구멍을 낸 것이고, 거기서 나오는 원자 플럭스는 원료의 증기압 $P_\mathrm{vap}(T)$(9장)을 위 식에 넣은 것이다. 셀 온도 1 K의 차이가 성장 속도 몇 %의 차이가 되는 것은 증기압이 온도에 지수적으로 민감하기 때문이다. 헬륨 누설 검사도 분출의 응용이다. 분자류 영역의 작은 누설 구멍을 지나는 속도는 $1/\sqrt M$에 비례하므로 헬륨은 공기보다 $\sqrt{28.97/4.00} = 2.7$배 빨리 새어 나온다.

왼쪽 칸에 질량 1(가벼움)과 질량 4(무거움)인 원판이 같은 수만큼 섞여 있고 같은 온도다. 칸막이의 작은 구멍으로 빠져나가는 원판의 수는 가벼운 쪽이 몇 배일까?

플럭스는 $\tfrac14 n\bar v$(2D에서는 $n\bar v/\pi$)이고 $\bar v\propto1/\sqrt m$이다. 수밀도가 같으면 가벼운 원판이 $\sqrt{4/1} = 2$배 많이 나간다. 그런데 구멍을 크게 하면? 시뮬레이터에서 손잡이를 끌어 구멍을 평균 자유 행로보다 크게 만들어 보라.

SIMULATOR

분출: 작은 구멍은 가벼운 분자를 골라낸다

칸막이의 흰 원을 위아래로 끌어 구멍 크기 바꾸기

왼쪽 원판 수

빠르기

나간 수 (가벼움 / 무거움)—

분리비 (측정)—

구멍 기준 Kn = λ/w—

영역—

오른쪽 칸은 펌프로 계속 비운다고 보고, 구멍을 지난 원판은 세고 나서 왼쪽에 같은 온도로 다시 넣는다(원료가 일정한 저장조). 주황은 가벼운 원판(질량 1), 파랑은 무거운 원판(질량 4)이다. 이론 분리비는 $\sqrt{4/1} = 2$다. 해볼 것: ① 구멍 폭 $w$를 $\lambda$보다 작게 두고 수십 개가 셀 때까지 기다려 분리비 ≈ 2를 확인한다. ② 원판 수를 360으로 늘려 $\lambda$를 줄이고 구멍을 크게 하면 분리비가 1로 무너진다 — 기체가 구멍을 통해 덩어리로 흘러(점성류) 가벼운 분자와 무거운 분자가 함께 나간다. ③ 같은 Kn에서는 원판 수를 바꿔도 분리비가 비슷하다.

다단 분리

한 번의 분출로 얻는 분리비를 분리 계수(separation factor) $\alpha = \sqrt{M_2/M_1}$라 한다. 가벼운 성분과 무거운 성분의 몰 비를 $R = x/(1-x)$라 하면 이상적인 한 단은 $R$을 $\alpha$배로 만든다. 단을 $n$개 이으면

$$R_n = \alpha^n R_0\quad\Rightarrow\quad n = \frac{\ln(R_n/R_0)}{\ln\alpha}\approx\frac{\ln(R_n/R_0)}{\alpha-1}$$

$\alpha$가 1에 가까우면 $\ln\alpha\approx\alpha-1$이고, 단 수는 질량 차에 반비례한다. 실제 단은 이상 분리비에 크게 못 미치므로 필요한 단 수가 몇 배 더 많다.

분출 다단 분리(캐스케이드). 단마다 몰 비가 $\alpha$배씩 늘고, 각 단의 남은 기체는 앞 단으로 되돌려 버리는 원료를 줄인다. $\alpha$가 1.004인 UF₆에서는 수백 단이 필요하다.

가벼운 분자의 몰 질량이 349, 무거운 분자가 3 g/mol 더 무거우면 이상 분리 계수는 $\alpha$ = 다. 가벼운 성분을 0.72에서 4로 농축하려면 이상적인 단이 필요하다.

천연 우라늄의 ²³⁵U 비율은 0.72%다. ²³⁵UF₆(349.03 g/mol)와 ²³⁸UF₆(352.04 g/mol)를 분출로 분리해 4%로 농축하려면 이상적인 단이 몇 개 필요한가?

풀이 보기

전략 $\alpha = \sqrt{352.04/349.03}$, 몰 비 $R = x/(1-x)$로 바꿔 $n = \ln(R_n/R_0)/\ln\alpha$.

풀이 $\alpha = \sqrt{1.008624} = 1.004303$, $\ln\alpha = 4.294\times10^{-3}$. $R_0 = 0.0072/0.9928 = 7.252\times10^{-3}$, $R_n = 0.04/0.96 = 4.167\times10^{-2}$. $\ln(R_n/R_0) = \ln 5.746 = 1.748$. $n = 1.748/4.294\times10^{-3} = 407$.

약 407단(이상적인 경우)

검토 $\alpha-1 = 0.0043$뿐이어서 단 하나의 효과가 아주 작다. 실제 기체 확산 공장은 다공성 막을 통과하는 분출이 이상에 못 미쳐 천 단 넘게 이었고, 오늘날은 분리 계수가 훨씬 큰 원심 분리를 쓴다. 고열전도·양자 소자용 동위 원소 순수 ²⁸Si도 SiF₄의 질량 차(1 g/mol)를 이용해 농축한다.

점성·열전도·확산의 운동론

기체 속에 흐름 속도·온도·농도의 기울기가 있으면, 분자들이 그 양을 실어 날라 기울기를 없앤다. 한 분자는 마지막으로 부딪힌 곳(대략 $\lambda$만큼 떨어진 곳)의 값을 가지고 날아온다. $z$ 방향으로 기울기가 있을 때 위에서 오는 분자와 아래에서 오는 분자가 가져오는 양의 차이를 세면, 어떤 양 $q$(분자 하나가 나르는 운동량·에너지·표지)에 대해 하나의 공식이 나온다.

$$J_q = -\tfrac13\,n\bar v\lambda\,\frac{dq}{dz}$$

플럭스 $\tfrac14n\bar v$ × 가져오는 값의 차이 $\sim\lambda\,dq/dz$에서 나온 단순 평균 자유 행로 이론. 계수 $\tfrac13$은 비스듬히 오는 분자를 평균한 결과다.

점성의 운동론. 기준면을 위아래로 지나는 분자는 $\lambda$쯤 떨어진 층의 흐름 운동량을 가져와 섞는다. 그 결과 위층은 끌려 느려지고 아래층은 밀려 빨라진다. 같은 그림에서 운동량 대신 에너지를 나르면 열전도, 분자 표지를 나르면 확산이다.

$q$에 흐름 운동량 $mu$를 넣으면 점성 계수(viscosity), 분자 하나의 열에너지($dq/dz = c_v\,dT/dz$, $c_v$는 분자당 열용량)를 넣으면 열전도도, 표지된 분자의 비율을 넣으면 확산 계수가 된다.

$$\eta = \tfrac13 nm\bar v\lambda = \frac{m\bar v}{3\sqrt2\,\pi d^2},\qquad \kappa = \tfrac13 n c_v\bar v\lambda = \frac{c_v}{m}\eta,\qquad D = \tfrac13\bar v\lambda\propto\frac{T^{3/2}}{P}$$

$n\lambda = 1/\sqrt2\pi d^2$이므로 $\eta$와 $\kappa$에서 $n$이 지워진다. 강체 구의 정확한 이론(채프먼–엔스코그)은 계수를 고친다: $\eta = \tfrac{5}{16}\sqrt{\pi mkT}/\pi d^2$, 단원자 기체 $\kappa = \tfrac{15}{4}(k/m)\eta$, $D = \tfrac38\sqrt{\pi kT/m}\,/\,n\pi d^2$.

맥스웰이 1860년에 이 결과를 얻었을 때 스스로도 의심했다. 기체의 점성 계수는 압력과 무관하다. 압력을 낮추면 운동량을 나르는 분자 수 $n$은 줄지만 한 분자가 나르는 거리 $\lambda$가 그만큼 늘기 때문이다. 직접 실험으로 확인되자 원자론의 강력한 증거가 되었다. 또 $\eta\propto\sqrt T$라서, 액체와 달리 기체는 뜨거울수록 끈끈하다. 확산 계수는 $1/P$에 비례해 압력을 낮추면 빨라진다. 0.5 Torr의 저압 CVD에서 확산은 대기압보다 1500배 빨라, 수직으로 촘촘히 세운 웨이퍼 수백 장 사이로도 원료가 고르게 퍼진다.

압력과 무관하다는 결론에는 조건이 있다. $\lambda$가 판 사이 간격 $L$보다 작아야 한다($\mathrm{Kn}\ll1$). 압력이 더 낮아져 $\lambda>L$이 되면 분자는 판에서 판으로 곧장 날아가므로, 나르는 거리는 $\lambda$가 아니라 $L$로 묶이고 운동량·열의 전달은 분자 수, 곧 압력에 비례하게 된다. 진공 보온병이 열을 막는 원리이고, 다음 절의 피라니 게이지가 압력을 재는 원리다.

판 간격이 1 cm인 점성계 속 질소의 압력을 760 Torr에서 1 Torr로 낮췄다. 점성 계수는 어떻게 될까?

1 Torr에서도 $\lambda\approx 49$ µm로 간격 1 cm보다 훨씬 작다($\mathrm{Kn}\approx0.005$). $n$의 감소와 $\lambda$의 증가가 정확히 상쇄된다. 압력을 $10^{-2}$ Torr 아래로 더 내려 $\lambda$가 간격에 가까워져야 점성 계수가 줄기 시작한다.

흰 원을 좌우로 끌어 압력 바꾸기

간격 L

MINI LAB300 K 질소에서 압력에 따른 수밀도 $n$(점선, $\propto P$), 평균 자유 행로 $\lambda$(점선, $\propto1/P$)와 판 사이의 실효 점성(또는 열전달) $\eta_\mathrm{eff}/\eta$(주황). $\eta_\mathrm{eff} = \eta/(1+2\mathrm{Kn})$는 연속체 극한과 분자류 극한을 잇는 단순 보간이다. 넓은 압력 범위에서 평평하다가, $\mathrm{Kn}\sim1$ 아래로 내려가면 압력에 비례해 떨어진다. 간격이 좁을수록 꺾이는 압력이 높다.

몰 질량 40, 분자 지름 3.67인 단원자 기체가 300이면, 강체 구 이론의 점성 계수는 , 열전도도는 , 1 atm에서의 자기 확산 계수는 다(Ar 실측: 22.7 µPa·s, 0.0177 W/(m·K)).

300 K의 N₂($d = 3.78\times10^{-10}$ m)에 대해 (a) 강체 구 이론의 점성 계수를 구해 실측값 17.9 µPa·s와 비교하고, (b) 자기 확산 계수를 1 atm과 1 Torr에서 구하라.

풀이 보기

전략 $\eta = \tfrac5{16}\sqrt{\pi mkT}/\pi d^2$, $D = \tfrac38\sqrt{\pi kT/m}/(n\pi d^2)$, $n = P/kT$.

풀이 (a) $m = 4.652\times10^{-26}$ kg, $\sqrt{\pi mkT} = \sqrt{\pi\times4.652\times10^{-26}\times4.142\times10^{-21}} = 2.461\times10^{-23}$. $\pi d^2 = 4.489\times10^{-19}$ m². $\eta = 0.3125\times2.461\times10^{-23}/4.489\times10^{-19} = 1.71\times10^{-5}$ Pa·s. (b) $\sqrt{\pi kT/m} = \sqrt{\pi\times4.142\times10^{-21}/4.652\times10^{-26}} = 528.9$ m/s. 1 atm: $n = 101325/4.142\times10^{-21} = 2.446\times10^{25}$ m⁻³, $D = 0.375\times528.9/(2.446\times10^{25}\times4.489\times10^{-19}) = 1.81\times10^{-5}$ m² /s = 0.181 cm²/s. 1 Torr에서는 760배인 137 cm²/s.

(a) 17.1 µPa·s (실측보다 4% 작음) (b) 0.18 cm²/s, 137 cm²/s

검토 지름 $d$를 점성 실측에서 거꾸로 구한 표의 값이므로 점성은 잘 맞는다. 실제 분자는 딱딱한 공이 아니라 끌어당기는 힘이 있어 $\eta$가 $\sqrt T$보다 조금 빨리 자란다(서덜랜드 보정). 1 Torr에서 확산 길이 $\sqrt{Dt}$는 1초에 약 12 cm다.

정전척 뒷면 헬륨이 웨이퍼 온도를 정한다

식각 중 웨이퍼는 플라스마에서 수 kW의 열을 받는다. 웨이퍼와 정전척 사이는 표면 거칠기 정도(수~수십 µm)의 틈이고 진공이라 열이 거의 건너가지 못한다. 그래서 틈에 헬륨을 5–20 Torr 넣는다. 10 Torr 헬륨의 평균 자유 행로는 약 15 µm로 틈과 비슷해($\mathrm{Kn}\sim1$), 열전달이 압력에 거의 비례하는 영역이다. 헬륨 압력을 조절하면 웨이퍼 온도를 조절할 수 있는 이유다. 헬륨을 쓰는 것은 가볍고 빨라($\bar v$ 큼) 열전도도가 크고 화학적으로 비활성이기 때문이다. → EtchBook · 반응기: 배럴에서 ICP까지

분자류 컨덕턴스와 배기 시간

진공 시스템은 챔버, 관, 밸브, 펌프의 직렬 연결이다. 관과 밸브는 기체가 흐르는 것을 방해하고, 펌프는 들어온 기체를 내보낸다. 전기 회로처럼 다루기 위해 세 가지 양을 정한다.

처리량 · 컨덕턴스 · 배기 속도

처리량(throughput) $Q = P\,\dfrac{dV}{dt}$[Pa·m³/s]은 어떤 단면을 지나는 기체의 양($PV$ 단위, 곧 분자 수 × $kT$)이다. 정상 상태에서 직렬 연결의 모든 단면에서 같다(전류처럼). 컨덕턴스(conductance) $C = Q/(P_1-P_2)$[m³/s]는 양 끝 압력 차당 처리량(전기 전도도처럼)이고, 배기 속도(pumping speed) $S = Q/P$[m³/s]는 펌프 입구 압력에서 펌프가 매초 빨아들이는 부피다. 1 Pa·m³/s = 1000 Pa·L/s ≈ 7.5 Torr·L/s.

전형적인 고진공 공정 챔버. 같은 처리량 $Q$가 챔버 → 밸브 → 터보 펌프 → 포어라인 → 건식 펌프를 차례로 지난다. 압력은 하류로 갈수록 높아지고(터보 펌프가 압축), 각 부품의 컨덕턴스가 챔버에서 실제로 쓸 수 있는 배기 속도를 깎는다.

분자류 컨덕턴스

분자류에서는 분자들이 서로 부딪히지 않으므로 컨덕턴스를 기하와 $\bar v$만으로 계산할 수 있다. 얇은 벽의 구멍(넓이 $A$)은 양쪽에서 들어오는 플럭스의 차이만큼 통과시키므로 $Q = \tfrac14\bar vA\,(n_1-n_2)kT$, 곧

$$C_\text{구멍} = \tfrac14\bar v A,\qquad C_\text{긴 관} = \frac{\pi}{12}\,\bar v\,\frac{d^3}{L}\quad(L\gg d),\qquad \frac1{C_\text{짧은 관}}\approx\frac1{C_\text{구멍}}+\frac1{C_\text{긴 관}}$$

20 °C 공기($\bar v = 463$ m/s)에서 $C_\text{구멍} = 11.6\,A$ L/s($A$는 cm²), $C_\text{긴 관} = 12.1\,d^3/L$ L/s($d, L$은 cm). 다른 기체·온도는 $\sqrt{T/M}$으로 비례시킨다(He는 공기의 2.7배). 마지막 식은 관 입구의 제한을 더한 근사다.

긴 관의 컨덕턴스가 $d^3$에 비례하고 $L$에 반비례한다는 점이 설계의 핵심이다. 관 지름을 반으로 줄이면 컨덕턴스는 1/8이 된다. 분자류의 컨덕턴스는 압력과 무관하다. 반면 점성류(대기압에 가까운 배기 초기)에서는 푸아죄유 흐름의 컨덕턴스 $C = \pi d^4\bar P/128\eta L$이 평균 압력 $\bar P$에 비례해(20 °C 공기: $C\approx1.36\,d^4\bar P/L$ L/s, $d, L$은 cm, $\bar P$는 Pa) 수천 배 크다. 그래서 같은 포어라인도 배기 초기에는 아무 문제가 없다가 압력이 낮아지면 갑자기 병목이 된다.

부품을 직렬로 이으면 저항($1/C$)이 더해지고, 병렬이면 컨덕턴스가 더해진다. 배기 속도 $S$인 펌프를 컨덕턴스 $C$를 거쳐 챔버에 붙이면, 처리량이 같다는 조건 $Q = S_\mathrm{eff}P = C(P-P_p) = SP_p$에서

$$\frac{1}{C_\text{합}} = \sum_i\frac{1}{C_i}\ (\text{직렬}),\qquad C_\text{합} = \sum_i C_i\ (\text{병렬}),\qquad \frac{1}{S_\mathrm{eff}} = \frac1S+\frac1C\ \Rightarrow\ S_\mathrm{eff} = \frac{SC}{S+C}$$

$S_\mathrm{eff}$를 유효 배기 속도(effective pumping speed)라 한다. 언제나 $S$와 $C$ 중 작은 것보다 작다.

펌프를 챔버에 직접 붙이면 펌프 속도를 그대로 쓴다.
지름 10 cm, 길이 30 cm 관 하나가 유효 배기 속도를 36%로 깎는다.
밸브까지 직렬로 더하면 153 L/s로 줄어든다.
펌프만 키워서는 컨덕턴스 한계를 넘을 수 없다.

직렬 컨덕턴스와 유효 배기 속도. 저항을 더하듯 $1/C$를 더한다. 비싼 펌프를 사기 전에 펌프와 챔버 사이의 컨덕턴스를 먼저 본다.

배기 속도 500인 펌프를 지름 10, 길이 30인 관으로 챔버에 붙이면(N₂, 20 °C, 분자류) 관의 컨덕턴스는 , 유효 배기 속도는 로 펌프 성능의 만 쓴다.

흰 원을 끌어 펌프 속도 S 바꾸기

컨덕턴스 C

MINI LAB유효 배기 속도 $S_\mathrm{eff} = SC/(S+C)$(주황)와 $S_\mathrm{eff} = S$(점선), 상한 $C$(파란 선). 펌프 속도를 $C$만큼 키우면 $S_\mathrm{eff}$는 $C/2$, 10배로 키워도 $0.91\,C$에 그친다. "돈으로 산 배기 속도"($S$)와 "챔버가 느끼는 배기 속도"($S_\mathrm{eff}$)의 차이를 끌어서 확인해 보라.

배기 곡선과 탈기체

부피 $V$인 챔버를 유효 배기 속도 $S$로 퍼낼 때, 챔버 안 기체량 $PV$의 변화는 나가는 처리량 $SP$과 벽·웨이퍼에서 나오는 기체 탈기체(outgassing) 처리량 $Q$(누설·투과 포함)의 차이다.

$$V\frac{dP}{dt} = -SP + Q\quad\Rightarrow\quad P(t) = (P_0-P_u)\,e^{-t/\tau}+P_u,\qquad \tau = \frac VS,\qquad P_u = \frac QS$$

$\tau$는 배기 시정수, $P_u$는 더 내려가지 않는 바닥, 곧 베이스 압력(base pressure)이다. 대기압에서 $P$까지 걸리는 시간은 탈기체를 무시하면 $t = \tau\ln(P_0/P)$ — 압력 한 자리(10배)마다 $2.3\tau$다.

실제 배기는 이 식보다 복잡하다. 대기압 근처는 점성류라 컨덕턴스가 크고, 건식 펌프의 배기 속도는 바닥 압력 근처에서 떨어진다. 고진공에서는 벽에 흡착된 물이 천천히 떨어져 나오는 탈기체가 대략 $1/t$로 줄어들며 배기 시간을 지배한다. 그래서 고진공 챔버는 벽을 데우는 베이킹으로 물을 몰아내고, 웨이퍼는 로드락에서 먼저 물을 뺀 뒤 들인다. 그래도 위의 단순식은 "시정수 $V/S$"와 "바닥 $Q/S$"라는 두 숫자로 거의 모든 현장 판단을 가능하게 한다.

SIMULATOR

배기 곡선을 손으로 끌어 펌프와 탈기체 읽기

기울기의 흰 원은 배기 속도, 바닥의 흰 원은 탈기체

챔버 부피 V 탈기체 없는 곡선 겹치기

배기 속도 S—

시정수 τ = V/S—

탈기체 Q—

베이스 P_u = Q/S—

10 mTorr 도달—

세로축은 로그 압력(Torr), 가로축은 시간이다. 대기압에서 출발한 곡선 $P(t) = (P_0-P_u)e^{-St/V}+P_u$가 로그 축에서 직선으로 내려가다 베이스 압력에서 눕는다. 해볼 것: ① 기울기 손잡이를 끌어 $S$를 2배로 하면 직선의 기울기 $-S/V$가 2배가 되고 바닥은 절반이 된다. ② 바닥 손잡이를 10 mTorr 위로 올리면 아무리 기다려도 목표에 닿지 않는다 — 탈기체를 줄이거나 $S$를 키워야 한다. ③ 부피를 4배로 하면 직선은 4배 느리지만 바닥은 그대로다.

배기 속도 500 L/s(N₂)인 터보 펌프를 지름 10 cm, 길이 30 cm인 관으로 챔버에 붙였다. 20 °C의 N₂ 분자류에서 (a) 관 입구(구멍)와 긴 관의 컨덕턴스, (b) 짧은 관의 컨덕턴스, (c) 유효 배기 속도를 구하라.

풀이 보기

전략 $\bar v = \sqrt{8RT/\pi M}$로 $C_\text{구멍} = \tfrac14\bar vA$, $C_\text{긴 관} = \tfrac{\pi}{12}\bar v d^3/L$을 구해 직렬 합성한 뒤 $S_\mathrm{eff} = SC/(S+C)$.

풀이 $\bar v = \sqrt{8\times8.314\times293.15/(\pi\times0.028014)} = 470.7$ m/s. (a) $A = \pi(0.05)^2 = 7.854\times10^{-3}$ m², $C_\text{구멍} = 0.25\times470.7\times7.854\times10^{-3} = 0.924$ m³/s = 924 L/s. $C_\text{긴 관} = (\pi/12)\times470.7\times10^{-3}/0.30 = 0.411$ m³/s = 411 L/s. (b) $1/C = 1/924+1/411$ → $C = 284$ L/s. (c) $S_\mathrm{eff} = 500\times284/784 = 181$ L/s.

(a) 924 L/s, 411 L/s (b) 284 L/s (c) 181 L/s

검토 관의 길이가 지름의 3배밖에 안 되는데도 펌프 성능의 36%만 남았다. 고진공 펌프를 챔버에 바짝 붙이고(게이트 밸브 하나만 두고) 입구를 펌프 구경만큼 크게 내는 이유다. 수소처럼 가벼운 기체에서는 $C$가 $\sqrt{28/2}$배 크지만 터보 펌프의 수소 배기 속도는 오히려 작아 계산을 다시 해야 한다.

부피 30 L인 로드락을 유효 배기 속도 10 L/s(일정하다고 본다)로 대기압(1.0×10⁵ Pa)에서 퍼낸다. (a) 시정수와 10 Pa까지 걸리는 시간(탈기체 무시)을 구하라. (b) 웨이퍼·벽의 탈기체가 $Q = 2.0\times10^{-3}$ Pa·m³/s이면 베이스 압력과 0.25 Pa까지 걸리는 시간은? (c) 0.1 Pa에는 도달할 수 있는가?

풀이 보기

전략 $\tau = V/S$, $t = \tau\ln\frac{P_0-P_u}{P-P_u}$, $P_u = Q/S$.

풀이 (a) $\tau = 0.030/0.010 = 3.0$ s. $t = 3.0\ln(10^5/10) = 3.0\times9.21 = 27.6$ s. (b) $P_u = 2.0\times10^{-3}/0.010 = 0.20$ Pa. $t = 3.0\ln\frac{10^5-0.2}{0.25-0.2} = 3.0\ln(2.0\times10^6) = 43.5$ s (탈기체가 없으면 $3.0\ln(4\times10^5) = 38.7$ s). (c) 0.1 Pa는 베이스 압력 0.2 Pa보다 낮으므로 이 펌프로는 도달할 수 없다.

(a) 3.0 s, 27.6 s (b) 0.20 Pa, 43.5 s (c) 불가능

검토 대기압에서 10 Pa까지 네 자리를 내려오는 데는 30초가 안 걸리지만, 베이스 근처의 마지막 몇십 %에서 시간이 크게 늘어난다. 목표 압력이 베이스의 몇 배 이상이어야 배기 시간이 예측 가능하다. 실제 로드락은 처음 몇 초를 천천히 빼서(소프트 펌핑) 단열 팽창 냉각으로 수증기가 맺히고 파티클이 날리는 것을 막는다.

GAME

로드락 배기 설계: 40초 안에 10 mTorr

펌프 아이콘을 좌우로 끌어 포어라인 길이 바꾸기

부피 40 L의 로드락(탈기체 $2\times10^{-3}$ Pa·m³/s)을 대기압에서 10 mTorr까지 40초 안에 퍼내야 한다. 건식 펌프의 크기, 포어라인 지름과 길이를 고르되 비용을 가장 적게. 펌프를 클린룸 안(4 m 미만)에 두면 자리 값이 든다.

건식 펌프 S₀

포어라인 지름

최적 설계 보기(정답 공개)

10 mTorr 도달 시간—

베이스 압력—

10 mTorr에서 S_eff—

비용—

판정—

모형: 펌프 배기 속도 $S(P_p) = S_0(1-P_\mathrm{ult}/P_p)$(바닥 $P_\mathrm{ult}$ = 0.1 Pa), 포어라인 컨덕턴스는 분자류(짧은 관)와 점성류(푸아죄유, 관 평균 압력)의 합으로 근사하고, 매 순간 $C(P-P_p) = S(P_p)P_p$를 풀어 $V\,dP/dt = Q - S(P_p)P_p$를 적분한다. 비용(임의 단위): 펌프 8/16/30/60 L/s = 1.0/1.5/2.4/4.0, 관 0.0025 × 지름[mm] × 길이[m], 클린룸 자리 1.5. 해볼 것: ① 30 L/s 펌프에 25 mm 관을 6 m 달면 아무리 기다려도 안 된다 — 왜? 10 mTorr에서 $S_\mathrm{eff}$를 보라. ② 펌프를 60 L/s로 키우는 것과 관을 굵게 하는 것 중 무엇이 싼가? ③ 성공하면 ★, 최소 비용의 5% 안이면 ★★★.

로드락은 진공과 대기의 경계다

로드락은 웨이퍼 한 로트가 들어올 때마다 대기압에서 수십 mTorr까지 퍼내고, 나갈 때 질소로 다시 채운다(벤트). 이 주기가 장비 처리량을 정하므로 배기 시간 몇 초가 곧 생산성이다. 펌프는 보통 서브팹에 두어 포어라인이 길어지는데, 낮은 압력에서는 분자류 컨덕턴스 $\propto d^3/L$ 때문에 관 지름이 결정적이다. 수증기는 탈기체의 주범이라 FOUP에서 들어온 웨이퍼의 습기가 베이스 압력을 올린다. 벤트·퍼지 기체의 순도와, 퍼지를 몇 번 반복해야 불순물이 충분히 희석되는지는 → InfraBook · 가스 공급(퍼지 횟수)

진공 게이지

대기압에서 10⁻¹⁰ Torr까지 열세 자리를 하나의 게이지로 잴 수는 없다. 압력을 재는 방법은 크게 셋이다. 힘(격막이 받는 $P\times A$)을 직접 재는 방법은 기체 종류와 무관하지만 압력이 낮으면 힘이 너무 작다. 열전달(기체가 뜨거운 선에서 가져가는 열)은 5절에서 본 대로 분자류 영역에서 압력에 비례한다. 이온화(전자로 때려 만든 이온의 전류)는 수밀도 $n = P/kT$에 비례해 가장 낮은 압력까지 잰다. 뒤의 두 방법은 기체마다 감도가 다르다.

게이지	원리	범위 (Torr)	기체 의존	팹에서의 쓰임
정전 용량 압력계(capacitance manometer, CDG)	격막의 휨 → 정전 용량	헤드마다 4자리 (1000 Torr 헤드 0.1–1000, 1 Torr 헤드 10⁻⁴–1)	없음(절대압)	공정 압력 측정·제어
피라니 게이지(Pirani gauge)	가열선의 열손실(열전도)	10⁻³–10 (대류형은 ~1000)	있음	로드락, 포어라인, 러핑
전리 게이지(ionization gauge) — 열음극(B–A)	열전자가 만든 이온 전류 $I_+ = S_gKI_eP$	10⁻¹⁰–10⁻³	있음(감도 계수)	베이스 압력, 빔 라인
냉음극(페닝·역마그네트론)	자기장 속 방전 전류	10⁻⁹–10⁻²	있음	필라멘트 없이 견고
잔류 기체 분석기(RGA)	사중극 질량 분석	분압 < 10⁻⁴	성분별	누설·오염 진단

게이지별 측정 범위(대표값). 주황은 힘·열전달, 파랑은 이온화 방식이다. 진공 영역의 이름은 저진공(760–25 Torr), 중진공(25–10⁻³), 고진공(10⁻³–10⁻⁹), 초고진공(10⁻⁹ 이하)으로 나누는 미국 진공 학회 구분을 따랐다. 한 장비에 보통 두세 종류가 함께 달린다.

피라니 게이지의 가는 선(수 µm 굵기)을 일정 온도로 데우면, 선이 잃는 열은 복사·지지대 전도(일정) + 기체 전도다. 기체 전도는 5절의 그림 그대로, 선과 벽 사이 거리보다 $\lambda$가 클 때 압력에 비례하고 $\lambda$가 작아지면 열전도도 $\kappa$에서 포화한다. 그래서 피라니는 $10^{-3}$–10 Torr에서 민감하다. 문제는 기체 종류다. 질소로 보정한 피라니에 아르곤을 넣으면 아르곤은 무겁고(느리고) 열전도도가 작아 열을 덜 가져가므로 실제보다 낮게 읽는다.

질소로 보정한 피라니 게이지만 보며 챔버를 아르곤으로 벤트(채움)하고 있다. 챔버가 실제로 대기압(760 Torr)에 이르렀을 때 피라니는 얼마를 가리킬까?

아르곤의 열전도도는 질소의 0.68배라 포화된 열손실도 0.68배다. 질소 보정 곡선에서 이 열손실은 약 20 Torr에 해당한다. 운전자가 벤트를 계속하면 챔버가 대기압을 넘어 과압이 되고, 창이나 밸브가 상할 수 있다. 벤트 끝은 기체와 무관한 CDG나 압력 스위치로 판단한다.

SIMULATOR

세 게이지로 같은 챔버 보기

흰 원을 좌우로 끌어 실제 압력 바꾸기

챔버 기체

게이지는 모두 N₂로 보정되어 있다.

실제 압력—

CDG (1000 Torr 헤드)—

CDG (1 Torr 헤드)—

피라니—

이온 게이지—

위: 피라니 선의 기체 열손실(N₂ 포화값으로 규격화한 로그 눈금, 빨간 띠는 선의 복사·전도 손실 요동에 묻혀 잴 수 없는 바닥) — 파랑이 N₂ 보정 곡선, 주황이 지금 기체다. 게이지는 주황 곡선의 높이를 파란 곡선에서 거꾸로 읽어 압력으로 보인다(점선 화살표). 아래: 게이지별 범위와 현재 압력. 모형은 $H = \kappa_g\,x/(1+x)$, $x = a_gP/(\kappa_gP_t)$로, 저압 감도 $a_g$와 열전도도 비 $\kappa_g$는 대표값이다(실제 보정은 제조사 표). 이온 게이지 감도 계수 $S_g$: Ar 1.29, He 0.18, H₂ 0.46. 해볼 것: ① N₂에서 세 게이지가 겹치는 구간을 찾는다. ② Ar에서 0.1 Torr와 760 Torr일 때 피라니 값을 읽는다. ③ He는 이온 게이지가 실제의 5분의 1 정도로 읽는다 — 헬륨 누설 검사 때 주의할 점이다.

(a) 질소로 보정한 B–A 이온 게이지가 순수 아르곤 분위기에서 $2.0\times10^{-6}$ Torr를 가리킨다. Ar의 감도 계수는 1.29다. 실제 압력은? (b) 같은 챔버의 피라니가 질소 보정이고, 저압 영역에서 Ar에 대한 상대 감도가 약 0.63이라면 실제 0.10 Torr의 아르곤에서 피라니는 대략 얼마를 가리키는가?

풀이 보기

전략 이온 게이지의 지시값 = $S_g\times$실제 압력. 피라니도 분자류 영역에서는 지시값 ≈ $a_g\times$실제 압력.

풀이 (a) $P = 2.0\times10^{-6}/1.29 = 1.55\times10^{-6}$ Torr. (b) 지시값 ≈ $0.63\times0.10 = 0.063$ Torr. (이 장의 모형으로 정확히 계산하면 0.0628 Torr.)

(a) $1.55\times10^{-6}$ Torr (b) 약 0.063 Torr

검토 아르곤은 이온화 단면적이 질소보다 커서 이온 게이지에서는 높게, 열을 덜 가져가서 피라니에서는 낮게 읽힌다. 같은 기체가 게이지마다 반대로 치우친다. 공정 압력을 CDG로 제어하는 이유다(EtchBook · 반응기의 압력 제어).

핵심 정리

맥스웰–볼츠만 분포 $f(v) = 4\pi(m/2\pi kT)^{3/2}v^2e^{-mv^2/2kT}$는 성분별 정규 분포(분산 $kT/m$)와 껍질 부피 $4\pi v^2$의 곱이다. $v_\mathrm{mp} = \sqrt{2kT/m}$, $\bar v = \sqrt{8kT/\pi m}$, $v_\mathrm{rms} = \sqrt{3kT/m}$(비 1 : 1.128 : 1.225). $v^*$ 이상 비율 $\operatorname{erfc}x+\tfrac2{\sqrt\pi}xe^{-x^2}$. 무작위 충돌은 어떤 처음 분포든 이 분포로 이끈다.
압력과 플럭스: $P = nm\langle v_x^2\rangle = nkT$, $\Phi = \tfrac14n\bar v = P/\sqrt{2\pi mkT}$ ($=3.51\times10^{22}P_\mathrm{Torr}/\sqrt{MT}$ cm⁻²s⁻¹). 단분자층 시간 $\tau = n_s/s\Phi$: 10⁻⁶ Torr에서 약 2–3초(1 랭뮤어 ≈ 한 층).
평균 자유 행로 $\lambda = kT/\sqrt2\pi d^2P$(공기 상온 $\lambda[\mathrm{cm}]\approx5\times10^{-3}/P[\mathrm{Torr}]$), 자유 행로는 지수 분포. 크누센 수 $\mathrm{Kn} = \lambda/L$: 작으면 점성류, 크면 분자류. 식각·스퍼터의 mTorr 압력은 시스·간격에 대한 Kn으로 정해진다.
분출(구멍 ≪ $\lambda$): 속도 $\Phi A\propto1/\sqrt M$(그레이엄), 분리 계수 $\alpha = \sqrt{M_2/M_1}$, 단 수 $n = \ln(R_n/R_0)/\ln\alpha$. 구멍이 $\lambda$보다 크면 점성류가 되어 분리가 사라진다.
수송 계수: $\eta = \tfrac13nm\bar v\lambda$, $\kappa = \tfrac13nc_v\bar v\lambda$, $D = \tfrac13\bar v\lambda$. $n\lambda$가 상수라 $\eta,\kappa$는 압력과 무관하고 $\sqrt T$에 비례하며, $D\propto T^{3/2}/P$. $\lambda$가 간격보다 커지면 전달이 압력에 비례한다(피라니, 정전척 He 냉각, 진공 단열).
컨덕턴스와 배기: 분자류 $C_\text{구멍} = \tfrac14\bar vA$(공기 11.6 L/s·cm²), $C_\text{긴 관} = \tfrac{\pi}{12}\bar vd^3/L$(12.1 $d^3/L$ L/s), 직렬은 $1/C$의 합, $S_\mathrm{eff} = SC/(S+C)<\min(S,C)$. 배기 곡선 $P = (P_0-P_u)e^{-St/V}+P_u$, 시정수 $V/S$, 베이스 $Q/S$.
게이지: CDG(힘, 기체 무관, 공정 제어), 피라니(열전도, 10⁻³–10 Torr, 기체 의존 — Ar 벤트 과압 주의), 이온 게이지(10⁻¹⁰–10⁻³ Torr, 감도 계수로 보정). 범위가 겹치게 두세 종류를 함께 쓴다.

연습문제

따로 말이 없으면 $T = 300$ K, $k = 1.381\times10^{-23}$ J/K, 1 Torr = 133.32 Pa이고, 분자 지름은 He 2.18, N₂ 3.78, Ar 3.67, H₂O 4.68 Å을 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

300 K 헬륨(4.0026 g/mol)의 제곱 평균 제곱근 속력을 구하라.

$v_\mathrm{rms} = \sqrt{3RT/M} = \sqrt{3\times8.314\times300/0.0040026} = 1367$ m/s.

같은 온도·같은 압력의 H₂, N₂, Ar, Xe 중 단위 넓이의 벽에 매초 가장 많이 부딪히는 분자는?

같은 $P, T$이면 수밀도 $n$은 같고, $\Phi = \tfrac14n\bar v\propto1/\sqrt m$이다. 가장 가벼운 H₂가 가장 자주 때린다(N₂의 3.7배). 압력이 같은 것은 무거운 분자가 덜 자주 부딪히는 대신 한 번에 운동량을 더 많이 주기 때문이다.

맥스웰–볼츠만 분포에서 속력이 최빈 속력의 2배를 넘는 분자의 비율을 구하라. 이 비율은 기체 종류와 온도에 따라 달라지는가?

$x = 2$를 $\operatorname{erfc}(x) + \tfrac2{\sqrt\pi}xe^{-x^2}$에 넣는다. $\operatorname{erfc}(2) = 0.004678$.

$0.004678 + 1.1284\times2\times e^{-4} = 0.004678 + 0.04133 = 0.0460$. $x = v/v_\mathrm{mp}$로만 쓰여 있으므로 기체와 온도에 무관하다.

300 K, 1 mTorr의 기체 수밀도를 구하라.

$n = P/kT = 0.13332/(1.381\times10^{-23}\times300) = 3.22\times10^{19}$ m⁻³ (= 3.2×10¹³ cm⁻³).

300 K, $1.0\times10^{-7}$ Torr의 수증기(18.015 g/mol)가 실리콘 표면에 부딪히는 플럭스(cm⁻²s⁻¹)와, 부착 계수 1·표면 자리 $10^{15}$ cm⁻²일 때 단분자층 형성 시간을 구하라.

실용식 $\Phi = 3.51\times10^{22}P[\mathrm{Torr}]/\sqrt{MT}$.

$\Phi = 3.513\times10^{22}\times10^{-7}/\sqrt{18.015\times300} = 3.513\times10^{15}/73.51 = 4.78\times10^{13}$ cm⁻²s⁻¹. $\tau = 10^{15}/4.78\times10^{13} = 20.9$ s.

300 K, 10 mTorr의 N₂ 속 평균 자유 행로를 cm로 구하라.

$\lambda = kT/(\sqrt2\pi d^2P) = 4.142\times10^{-21}/(1.4142\times\pi\times1.4288\times10^{-19}\times1.3332) = 4.89\times10^{-3}$ m = 0.489 cm. 경험칙 $5\times10^{-3}/0.01 = 0.5$ cm와 맞는다.

지름 10 cm 관 속 300 K 아르곤이 $\mathrm{Kn} = \lambda/d = 1$이 되는 압력을 mTorr로 구하라.

$P = kT/(\sqrt2\pi d_\mathrm{Ar}^2\lambda) = 4.142\times10^{-21}/(5.984\times10^{-19}\times0.10) = 0.0692$ Pa = 0.519 mTorr. 이보다 낮으면 관 속 흐름은 분자류다.

300 K, 1 Torr의 질소가 지름 1 cm 관을 흐른다. 흐름 영역은?

1 Torr에서 $\lambda\approx49$ µm, $\mathrm{Kn} = 0.0049/1 = 0.0049<0.01$이므로 점성류다. 로드락 배기 초반 대부분이 점성류인 이유다.

같은 온도·압력의 He(4.0026 g/mol)와 Ar(39.948 g/mol)이 같은 작은 구멍으로 분출한다. He의 분출 속도는 Ar의 몇 배인가?

$\sqrt{39.948/4.0026} = \sqrt{9.981} = 3.16$배.

천연 실리콘의 ²⁸Si 비율은 92.23%다. ²⁸SiF₄(103.97 g/mol)와 그보다 1 g/mol 무거운 SiF₄(104.97 g/mol, 다른 동위 원소를 모두 이것으로 본다)를 분출로 분리해 ²⁸Si를 99.9%로 농축하려면 이상적인 단이 몇 개 필요한가?

$R = x/(1-x)$: $R_0 = 0.9223/0.0777$, $R_n = 0.999/0.001$.

$\alpha = \sqrt{104.97/103.97} = 1.004798$, $\ln\alpha = 4.787\times10^{-3}$. $R_0 = 11.87$, $R_n = 999$, $\ln(R_n/R_0) = \ln84.16 = 4.433$. $n = 4.433/4.787\times10^{-3} = 926$단. 실제로는 분리 계수가 큰 원심 분리를 쓴다.

강체 구 이론 $\eta = \tfrac5{16}\sqrt{\pi mkT}/\pi d^2$로 300 K 아르곤(39.948 g/mol, $d = 3.67$ Å)의 점성 계수를 µPa·s로 구하라.

$m = 6.634\times10^{-26}$ kg, $\sqrt{\pi mkT} = \sqrt{\pi\times6.634\times10^{-26}\times4.142\times10^{-21}} = 2.939\times10^{-23}$. $\pi d^2 = 4.231\times10^{-19}$. $\eta = 0.3125\times2.939\times10^{-23}/4.231\times10^{-19} = 2.17\times10^{-5}$ Pa·s = 21.7 µPa·s (실측 22.7).

20 °C의 N₂에 대해 지름 5.0 cm인 얇은 구멍의 분자류 컨덕턴스를 L/s로 구하라.

$\bar v = 470.7$ m/s, $A = \pi(0.025)^2 = 1.963\times10^{-3}$ m². $C = \tfrac14\bar vA = 0.231$ m³/s = 231 L/s.

배기 속도 30 L/s인 펌프를 지름 2.5 cm, 길이 2.0 m인 관으로 연결했다. 20 °C 공기의 분자류에서 긴 관 공식 $C = 12.1\,d^3/L$ L/s($d, L$은 cm)로 관의 컨덕턴스와 유효 배기 속도를 구하라.

$C = 12.12\times2.5^3/200 = 12.12\times15.625/200 = 0.947$ L/s. $S_\mathrm{eff} = 30\times0.947/30.947 = 0.918$ L/s. 펌프 성능의 3%만 쓴다. 저압에서 가는 관은 사실상 막힌 관이다.

부피 50 L인 챔버를 일정한 유효 배기 속도 20 L/s로 $1.0\times10^5$ Pa에서 퍼낸다. 탈기체가 0.10 Pa·L/s이면 베이스 압력과 1.0 Pa까지 걸리는 시간을 구하라.

$P_u = Q/S = 0.10/20 = 0.0050$ Pa. $\tau = 50/20 = 2.5$ s, $t = 2.5\ln\frac{10^5-0.005}{1-0.005} = 2.5\ln(1.005\times10^5) = 2.5\times11.518 = 28.8$ s.

이온 주입기 빔 라인의 베이스 압력 $5\times10^{-8}$ Torr를 확인하려 한다. 알맞은 게이지는?

10⁻⁸ Torr대는 이온화 방식만 잰다(B–A 10⁻¹⁰–10⁻³ Torr). 피라니의 하한은 10⁻³ Torr, CDG 1000 Torr 헤드는 0.1 Torr 근처가 하한이다.

질소 보정 이온 게이지가 헬륨만 있는 챔버에서 $3.6\times10^{-7}$ Torr를 가리킨다. He 감도 계수가 0.18이면 실제 압력은?

$P = 3.6\times10^{-7}/0.18 = 2.0\times10^{-6}$ Torr. 헬륨은 이온화가 어려워 실제의 18%로만 읽힌다.

개념 확인 퀴즈

연속체 영역($\mathrm{Kn}\ll1$)에서 기체의 점성 계수가 압력과 무관한 이유는?

$\eta = \tfrac13nm\bar v\lambda$에서 $n\lambda = 1/\sqrt2\pi d^2$이다. 이 상쇄는 $\lambda$가 장치 크기보다 작을 때만 성립하고, 분자류에서는 깨져 전달이 압력에 비례한다.

압력을 일정하게 두고 기체의 절대 온도를 두 배로 올리면 평균 자유 행로는?

$\lambda = 1/\sqrt2n\pi d^2$이고 압력이 일정하면 $n = P/kT$가 절반이 된다. 따라서 $\lambda = kT/\sqrt2\pi d^2P$는 두 배다. (부피를 고정하고 데우면 $n$이 그대로라 $\lambda$도 그대로다.)

배기 속도 $S$인 펌프에 컨덕턴스가 정확히 $S$인 관을 달았다. 유효 배기 속도는?

$1/S_\mathrm{eff} = 1/S+1/S = 2/S$. 직렬 저항처럼 반이 된다. 펌프 성능을 80% 이상 쓰려면 $C\ge4S$여야 한다.

구멍이 평균 자유 행로보다 훨씬 큰 칸막이를 지나 기체가 흘러갈 때 동위 원소 분리가 거의 일어나지 않는 이유는?

분출의 분리는 "구멍에 찾아오는 빈도가 $\bar v$에 비례"하는 데서 온다. $\mathrm{Kn}\ll1$이면 압력 차가 기체 전체를 흐름 속도로 밀고, 그 흐름이 성분을 가리지 않는다.

질소 보정 피라니 게이지를 아르곤 벤트의 끝 판단에 쓰면 위험한 이유는?

아르곤의 열전도도가 질소보다 작아 같은 압력에서 열을 덜 가져간다. 실제 760 Torr에서 약 20 Torr로 읽힌다. 벤트 끝은 기체와 무관한 CDG나 대기압 스위치로 판단한다.