Chapter 08

관 내 점성 유동

수도관, 송유관, 혈관, 공조 덕트 — 공학에서 유체를 옮기는 가장 흔한 방법은 관이다. 관을 설계할 때 묻는 것은 결국 두 가지다. 이만큼 흘리려면 압력(펌프)이 얼마나 필요한가? 그리고 이 압력이면 얼마나 흐르는가? 답을 쥐고 있는 것은 점성이 벽에서 만드는 마찰이고, 그 마찰은 흐름이 층류인지 난류인지에 따라 완전히 달라진다. 1883년 레이놀즈가 유리관에 염료를 흘려 본 실험부터 시작하자.

아래 손잡이를 끌어 레이놀즈 수를 바꾼다

레이놀즈 수로 관 유동을 층류($Re \lesssim 2300$)·천이·난류($Re \gtrsim 4000$)로 구분하고, 입구 길이를 추정한다.
힘의 평형에서 하겐–푸아죄유 속도 분포를 유도하고, 압력 강하·벽 전단 응력·$f = 64/Re$를 구한다(경사관 포함).
레이놀즈 응력, 점성 저층과 벽 법칙, 멱법칙 속도 분포로 난류 관 유동의 구조를 설명한다.
다르시–바이스바흐 식과 무디 선도(콜브룩·해일란드 식)로 마찰 손실을 계산하고, 비원형 관에는 수력 직경을 쓴다.
부차 손실 계수와 등가 길이로 입구·출구·엘보·밸브·급확대·급축소의 손실을 더한다.
관로 문제 세 유형(손실·유량·지름 구하기)과 직렬·병렬 관로, 관망(하디 크로스)을 풀고 시스템 곡선의 뜻을 안다.

층류, 난류, 그리고 입구 영역

레이놀즈는 수조에 연결한 유리관 한가운데로 가는 염료 줄기를 흘리고, 밸브로 유량을 천천히 키웠다. 유량이 작을 때 염료는 관 끝까지 한 가닥의 곧은 선으로 흘렀다. 유량을 키우자 어느 순간 줄기가 군데군데 흔들리며 끊기기 시작했고, 더 키우자 입구 근처에서 곧바로 흩어져 관 전체를 물들였다. 위의 장 머리 그림이 바로 이 실험이다. 레이놀즈가 발견한 것은 흐름의 모양이 속력·지름·점성 하나하나가 아니라 그 조합인 레이놀즈 수(Reynolds number) 하나로 정해진다는 사실이다(7장의 차원 해석).

$$Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{V D}{\nu} = \frac{\text{관성력}}{\text{점성력}}$$

$V$: 단면 평균 속도($= Q/A$), $D$: 관 안지름, $\mu$: 점성 계수, $\nu = \mu/\rho$: 동점성 계수. 20 °C 물은 $\nu = 1.004\times10^{-6}$ m²/s, 공기는 $1.516\times10^{-5}$ m²/s.

층류(laminar flow)

유체가 층을 이루어 미끄러진다. 염료는 섞이지 않고, 운동량은 분자 점성으로만 전달된다. 원형 관에서 $Re \lesssim 2300$.

천이(transitional flow)

층류 사이로 난류 덩어리(퍼프)가 간헐적으로 지나간다. $2300 \lesssim Re \lesssim 4000$. 관 입구의 교란·진동에 민감해서 매끄럽게 다듬은 실험에서는 $Re = 10^5$까지 층류가 유지되기도 한다.

난류(turbulent flow)

속도가 시간·공간적으로 불규칙하게 요동치고, 소용돌이가 운동량·열·물질을 빠르게 섞는다. $Re \gtrsim 4000$. 공학의 관 유동 대부분이 여기에 속한다.

입구 영역과 완전 발달 유동

수조에서 관으로 들어오는 유체는 처음에 거의 균일한 속도를 갖는다. 벽에 닿은 유체는 점착 조건 때문에 멈추고, 그 영향이 경계층(boundary layer)으로 안쪽을 향해 점점 두꺼워진다. 같은 유량이 지나가야 하므로 벽 근처가 느려진 만큼 가운데의 비점성 코어는 빨라진다. 경계층이 관 중심에서 만나면 그 뒤로는 속도 분포가 더 이상 변하지 않는다. 이 상태를 완전 발달 유동(fully developed flow)이라 하고, 거기까지의 거리를 입구 길이(entrance length) $L_h$라 한다.

입구에서 균일하던 속도가 경계층의 성장과 함께 바뀐다. 코어는 빨라지고(질량 보존), 경계층이 중심에서 만나는 $x = L_h$ 이후로 층류는 중심 속도가 평균의 2배인 포물선 분포에 도달한다.

입구 길이는 실험과 해석으로 다음과 같이 알려져 있다(Çengel). 층류의 입구 길이는 $Re$에 비례해 매우 길 수 있지만, 난류는 섞임이 활발해서 짧다. 실제 배관에서 관 길이는 보통 지름의 수백 배이므로 입구 효과를 무시하고 관 전체를 완전 발달로 보는 경우가 많다.

$$\frac{L_{h,\text{층류}}}{D} \approx 0.05\,Re, \qquad \frac{L_{h,\text{난류}}}{D} \approx 1.359\,Re^{1/4} \;(\approx 10\text{–}40)$$

입구 영역에서는 벽 근처 속도 기울기가 커서 벽 전단 응력이 완전 발달 값보다 크고, 따라서 같은 길이의 압력 강하도 더 크다.

20 °C 물이 안지름 2인 관을 평균 속도 0.08로 흐르면 $Re$ = 로 이다. 입구 길이는 약 (지름의 배)이다.

층류가 입구 영역을 지나 완전히 발달하는 동안 관 중심의 속도는 어떻게 변할까?

벽 근처가 느려지면 같은 유량을 흘리기 위해 중심이 빨라져야 한다. 아래 시뮬레이터의 그래프에서 중심 속도가 1에서 2로 올라가 평탄해지는 것을 확인하라(난류는 약 1.2에서 멈춘다).

SIMULATOR

입구 영역: 속도 분포가 자라는 모습

관 위의 흰 원(측정 위치)을 좌우로 끈다

레이놀즈 수 Re 경계층 두께 표시 추적 입자

유동 영역—

L_h/D—

측정 위치 x/D—

중심 속도 u_c/V—

위는 관의 세로 단면(가로는 x/D 축으로 압축해 그렸다), 아래는 중심 속도 그래프다. 해볼 것: ① 측정 위치를 입구에서 끝까지 끌면서 평평하던 분포가 포물선이 되는 과정을 보라. ② Re를 1000에서 2000으로 2배 하면 L_h도 2배다(층류 $L_h \propto Re$). ③ Re를 $10^4$ 이상으로 올리면 입구 길이가 지름의 20–40배로 확 짧아지고, 다 자란 분포도 훨씬 납작하다.

20 °C 물($\rho = 998$ kg/m³, $\mu = 1.002\times10^{-3}$ Pa·s)이 안지름 1.5 cm인 관을 평균 속도 0.12 m/s로 흐른다. (a) 유동 영역과 입구 길이를 구하라. (b) 평균 속도를 얼마까지 올리면 확실한 난류($Re = 4000$)가 되며, 그때 입구 길이는?

풀이 보기

전략 $Re = \rho VD/\mu$로 영역을 판정한 뒤 해당 영역의 입구 길이 식을 쓴다.

풀이 (a) $Re = (998)(0.12)(0.015)/(1.002\times10^{-3}) = 1793$ → 층류. $L_h = 0.05\,Re\,D = 0.05(1793)(0.015) = 1.34$ m. (b) $V = Re\,\mu/(\rho D) = 4000(1.002\times10^{-3})/(998\times0.015) = 0.268$ m/s. $L_h = 1.359\,D\,Re^{1/4} = 1.359(0.015)(4000)^{1/4} = 0.162$ m.

(a) Re = 1790, 층류, L_h ≈ 1.34 m (b) V ≈ 0.268 m/s, L_h ≈ 0.16 m

검토 층류의 입구 길이는 지름의 약 90배나 된다. 짧은 실험용 관이라면 관 전체가 입구 영역일 수도 있다. 속도를 2.2배로 올려 난류가 되자 입구 길이는 오히려 8분의 1로 줄었다.

완전 발달 층류: 하겐–푸아죄유 유동

완전 발달한 관 유동에서는 속도 분포가 $x$에 따라 변하지 않으므로 유체 입자는 가속되지 않는다. 그러면 압력이 미는 힘과 벽 쪽 전단 응력이 끄는 힘이 정확히 균형을 이룬다. 이 힘의 평형만으로 원형 관 층류의 정확한 해를 얻을 수 있다(6장에서 나비에–스토크스 식으로 푼 푸아죄유 유동과 같은 결과다). 아래 단계별 그림을 넘기며 따라가 보자.

반지름 $r$, 길이 $dx$인 원기둥 요소. 양 끝면의 압력 차 $-dp\,\pi r^2$가 요소를 앞으로 민다($dp/dx < 0$).
옆면에는 바깥쪽의 느린 유체가 전단 응력 $\tau$로 요소를 늦춘다. 평형: $-\pi r^2 dp = 2\pi r\,dx\,\tau$ → $\tau = -\dfrac{r}{2}\dfrac{dp}{dx}$. 전단 응력은 중심에서 0, 벽에서 최대로 $r$에 비례한다(층류·난류 공통).
층류는 $\tau = -\mu\,du/dr$이므로 $du/dr = \dfrac{r}{2\mu}\dfrac{dp}{dx}$. 적분하고 벽 점착 조건 $u(R) = 0$을 쓰면 $u(r) = -\dfrac{R^2}{4\mu}\dfrac{dp}{dx}\left(1 - \dfrac{r^2}{R^2}\right)$.
$Q = \int_0^R u\,2\pi r\,dr$로 평균 속도를 구하면 $V = u_{\max}/2$. 길이 $L$의 압력 강하 $\Delta P = -L\,dp/dx$로 정리하면 하겐–푸아죄유 식과 $f = 64/Re$가 나온다.

원형 관 층류의 유도. 압력과 전단의 평형 → 선형 전단 응력 분포 → 뉴턴 점성 법칙 → 포물선 속도 분포.

결과를 평균 속도 $V$로 정리하면 원형 관 층류의 모든 것이 다음 몇 줄에 담긴다. 이것이 하겐–푸아죄유 유동(Hagen–Poiseuille flow)이다.

$$u(r) = 2V\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right), \qquad \Delta P = \frac{32\mu L V}{D^2} = \frac{128\mu L Q}{\pi D^4}, \qquad \tau_w = \frac{8\mu V}{D} = \frac{D\,\Delta P}{4L}$$

$\tau_w = D\Delta P/(4L)$는 힘의 평형에서 나왔으므로 층류·난류 모두 성립한다. 펌프가 이 손실을 메우는 데 드는 동력은 $\dot W = Q\,\Delta P$.

관 마찰을 표현하는 무차원 수로 다르시 마찰 계수(Darcy friction factor) $f = 8\tau_w/(\rho V^2)$를 정의한다. 그러면 압력 강하는 $\Delta P = f\,(L/D)\,\rho V^2/2$로 쓸 수 있는데(4절의 다르시–바이스바흐 식), 층류의 $\Delta P$를 대입하면

$$f_\text{층류} = \frac{64}{Re}$$

층류 마찰 계수는 $Re$만의 함수이고 벽의 거칠기와 무관하다. 층류에서 $\Delta P \propto V$(유량에 비례)인 반면, 난류에서는 거의 $V^2$에 비례한다.

점성 계수 100인 기름(ρ = 900 kg/m³)을 길이 10, 지름 20인 관으로 5.0 보내려면 압력 차 , 펌프 동력 가 필요하다(). 같은 유량에서 지름을 절반으로 줄이면 압력 차는 16배가 된다 — 지름을 끌어 $\Delta P \propto D^{-4}$를 몸으로 느껴 보라.

경사관

관이 수평과 각 $\theta$를 이루며 위로 올라가면 요소의 무게 성분 $\rho g\,\pi r^2 dx\,\sin\theta$가 흐름을 거슬러 작용한다. 힘의 평형에서 $dp/dx$ 자리에 $dp/dx + \rho g\sin\theta$가 들어갈 뿐 나머지는 같다.

$$V = \frac{(\Delta P - \rho g L\sin\theta)\,D^2}{32\mu L}, \qquad Q = \frac{\pi(\Delta P - \rho g L\sin\theta)\,D^4}{128\mu L}$$

$\theta > 0$: 위로 흐름, $\theta < 0$: 아래로 흐름. $\Delta P = \rho g L\sin\theta$이면 정수압 평형이라 흐르지 않는다. 수두 손실 $h_L = 32\mu LV/(\rho g D^2)$는 기울기와 무관하다.

지름 2 cm, 길이 10 m 관으로 글리세린(ρ = 1260 kg/m³, μ = 1.41 Pa·s)을 기울기 30로 보낸다. 입구와 출구의 압력 차가 150이면 무게 성분은 유량은 , .

20 °C 엔진 오일($\rho = 888$ kg/m³, $\mu = 0.800$ Pa·s)을 지름 5.0 cm, 길이 40 m인 수평관으로 1.5 L/s 보낸다. 완전 발달 층류로 보고 (a) 압력 강하, (b) 필요한 펌프 동력, (c) 벽 전단 응력과 마찰 계수를 구하라.

풀이 보기

전략 먼저 $Re$로 층류인지 확인하고 하겐–푸아죄유 식을 쓴다.

풀이 $V = Q/A = 1.5\times10^{-3}/(\pi\,0.025^2) = 0.764$ m/s, $Re = (888)(0.764)(0.05)/0.800 = 42.4$ → 층류. (a) $\Delta P = 32\mu LV/D^2 = 32(0.800)(40)(0.764)/(0.05)^2 = 3.13\times10^5$ Pa. (b) $\dot W = Q\Delta P = (1.5\times10^{-3})(3.13\times10^5) = 469$ W. (c) $\tau_w = 8\mu V/D = 97.8$ Pa, $f = 64/42.4 = 1.51$.

(a) ΔP ≈ 313 kPa (b) Ẇ ≈ 469 W (c) τ_w ≈ 97.8 Pa, f ≈ 1.51

검토 $\tau_w = D\Delta P/(4L) = 0.05(3.13\times10^5)/160 = 97.8$ Pa로 일치한다. 기름처럼 점성이 큰 유체는 $Re$가 작아 층류이고 $f$가 1을 넘을 수도 있다. 수두로는 $h_L = \Delta P/\rho g = 35.9$ m다.

20 °C 글리세린($\rho = 1260$ kg/m³, $\mu = 1.41$ Pa·s)이 지름 2.0 cm, 길이 10 m, 수평과 30° 기울어진 관을 아래에서 위로 흐른다. 아래 끝의 압력이 위 끝보다 150 kPa 높다. 유량과 $Re$를 구하라. 압력 차가 얼마 이하면 흐름이 멈추는가?

풀이 보기

전략 경사관 하겐–푸아죄유 식에서 무게 성분 $\rho gL\sin\theta$를 압력 차에서 뺀다.

풀이 $\rho gL\sin\theta = (1260)(9.81)(10)(0.5) = 61.8$ kPa. $Q = \pi(150 - 61.8)\times10^3(0.02)^4/(128\times1.41\times10) = 2.46\times10^{-5}$ m³/s. $V = Q/A = 0.0782$ m/s, $Re = (1260)(0.0782)(0.02)/1.41 = 1.40$.

Q ≈ 2.46×10⁻⁵ m³/s (0.0246 L/s), Re ≈ 1.4 (층류). ΔP ≤ 61.8 kPa이면 흐르지 않는다.

검토 압력 차의 41%가 유체를 들어 올리는 데 쓰였다. 위의 기울기 문단에서 $\theta$를 바꿔 보면 $\Delta P$가 61.8 kPa보다 작을 때 흐름이 아래로 뒤집힌다.

난류 관 유동

난류에서 한 점의 속도를 열선 풍속계로 재면 평균값 주위로 빠르게 요동치는 신호가 나온다. 레이놀즈는 순간 속도를 시간 평균과 요동으로 나누었다: $u = \bar u + u'$, $v = \bar v + v'$($\overline{u'} = 0$). 평균 운동 방정식에는 요동끼리의 곱 $\overline{u'v'}$이 남는데, 이것이 추가 전단 응력처럼 행동한다. 위쪽의 빠른 유체 덩어리가 아래로 내려오면($v' < 0$) 앞으로 더 빠르고($u' > 0$), 아래의 느린 덩어리가 올라가면($v' > 0$) 느리다($u' < 0$). 그래서 $\overline{u'v'} < 0$이고 운동량은 빠른 쪽에서 느린 쪽으로 대량 운반된다.

$$\tau = \underbrace{\mu\frac{d\bar u}{dy}}_{\text{점성}} \;\underbrace{-\;\rho\,\overline{u'v'}}_{\text{레이놀즈 응력}} \;\equiv\; (\mu + \mu_t)\frac{d\bar u}{dy}$$

$y = R - r$: 벽에서 잰 거리. $-\rho\overline{u'v'}$를 레이놀즈 응력(Reynolds stress) 또는 난류 전단 응력이라 한다. $\mu_t$는 와점성 계수(유체 물성이 아니라 흐름의 성질)로, 관 중심부에서는 $\mu$의 수백–수천 배다.

측정점 y/R (벽 0 → 중심 1)

MINI LAB왼쪽은 한 점의 속도 신호 $u(t)$와 시간 평균(점선), 오른쪽은 요동 $(u', v')$을 찍은 산점도다. 점들이 2·4사분면($u'v' < 0$)에 몰리는 것이 레이놀즈 응력의 정체다. 측정점을 중심($y/R = 1$)으로 옮기면 상관이 사라져 $\overline{u'v'} \to 0$ — 대칭이므로 중심에서 전단 응력은 0이어야 한다.

벽 법칙과 점성 저층

벽 바로 옆에서는 요동이 벽에 눌려 사라지므로 점성 응력이 지배한다. 벽에서 멀어지면 레이놀즈 응력이 압도한다. 이 구조는 마찰 속도(friction velocity) $u_* = \sqrt{\tau_w/\rho}$로 무차원화하면 모든 난류 벽 유동에서 같은 꼴이 된다: $u^+ = \bar u/u_*$, $y^+ = y u_*/\nu$.

점성 저층($y^+ < 5$): 점성 응력만 남아 $u^+ = y^+$, 즉 속도가 벽에서의 거리에 비례한다. 두께 $\delta_s \approx 5\nu/u_*$ — 보통 0.1 mm도 안 된다.
로그층($30 < y^+$, $y/R \lesssim 0.2$): 레이놀즈 응력이 지배하고 $u^+ = \frac{1}{\kappa}\ln y^+ + B$ ($\kappa = 0.41$, $B = 5.0$) — 벽 법칙(law of the wall).
완충층($5 < y^+ < 30$): 두 응력이 비슷해 어느 식도 맞지 않는다. 실선은 두 층을 매끄럽게 잇는 스폴딩의 경험식이다.
벽의 요철 높이 $\varepsilon$이 점성 저층 안에 잠기면 마찰에 영향이 없고, 저층을 뚫고 나오면 요철 뒤의 박리가 마찰을 좌우한다. 이것이 무디 선도의 '매끈한 관'과 '완전 거친 관'의 차이다.

난류 벽 유동의 층 구조(반로그 그래프). 얇은 점성 저층에 큰 속도 기울기가 몰려 있어 난류의 벽 전단 응력이 층류보다 훨씬 크다.

멱법칙 속도 분포

실용 계산에는 관 단면 전체를 한 식으로 근사하는 멱법칙 분포(power-law profile)가 편리하다. 지수 $n$은 $Re$와 함께 커지며, $Re \approx 10^5$에서 $n \approx 7$(1/7 멱법칙)이다.

$$\frac{\bar u}{u_{\max}} = \left(\frac{y}{R}\right)^{1/n} = \left(1 - \frac{r}{R}\right)^{1/n}, \qquad \frac{V}{u_{\max}} = \frac{2n^2}{(n+1)(2n+1)}$$

$n = 7$이면 $V/u_{\max} = 0.817$(층류는 0.5). 벽에서 기울기가 무한대가 되므로 멱법칙으로 $\tau_w$를 구할 수는 없다 — $\tau_w$는 마찰 계수에서 구한다.

같은 관, 같은 평균 속도 $V$라면 관 중심의 속도는 층류와 난류 중 어느 쪽이 더 클까?

난류는 활발한 섞임으로 단면 속도가 고르게 퍼져 납작하고, 그 대신 벽 바로 옆의 기울기가 매우 가파르다. 아래에서 두 분포와 입자 속도를 비교하라.

SIMULATOR

층류 포물선 vs 난류 멱법칙 (같은 평균 속도)

오른쪽 흰 원(측정 높이)을 위아래로 끈다

난류 쪽 Re 평균 속도 V 선 난류 요동(입자)

멱 지수 n—

u_max/V 층류·난류—

측정 높이에서 u/V—

τ_w 난류/층류(같은 V, D, Re)—

해볼 것: ① 측정 높이를 벽 가까이(r/R = 0.9)로 끌면 난류의 속도가 층류의 두 배가 넘는다 — 벽 근처 기울기가 크다는 뜻이다. ② Re를 키우면 n이 커지고 분포가 더 납작해진다. ③ 마지막 칸은 같은 Re에서 층류였다면 대비 벽 전단 응력의 비 $f Re/64$이다. Re = 10⁵이면 약 30배 — 난류 관의 손실이 큰 이유다.

20 °C 물($\nu = 1.004\times10^{-6}$ m²/s)이 지름 10 cm인 매끈한 관에서 평균 속도 2.0 m/s로 흐른다($f = 0.0156$). 벽 전단 응력, 마찰 속도, 점성 저층 두께, 그리고 1/7 멱법칙의 중심 속도를 구하라. 같은 크기의 상용 강관($\varepsilon = 0.045$ mm)은 수력학적으로 매끈하다고 볼 수 있는가?

풀이 보기

전략 $f = 8\tau_w/\rho V^2$에서 $\tau_w$, $u_* = \sqrt{\tau_w/\rho}$, $\delta_s = 5\nu/u_*$. 거칠기는 $\varepsilon^+ = \varepsilon u_*/\nu$로 판정한다.

풀이 $Re = 1.99\times10^5$. $\tau_w = f\rho V^2/8 = 0.0156(998)(2.0)^2/8 = 7.81$ Pa. $u_* = \sqrt{7.81/998} = 0.0885$ m/s. $\delta_s = 5(1.004\times10^{-6})/0.0885 = 5.7\times10^{-5}$ m $= 0.057$ mm. $u_{\max} = V/0.817 = 2.45$ m/s. 강관: $\varepsilon^+ = (0.045\times10^{-3})(0.0885)/(1.004\times10^{-6}) = 4.0$.

τ_w ≈ 7.8 Pa, u* ≈ 0.088 m/s, δ_s ≈ 0.057 mm, u_max ≈ 2.45 m/s. ε⁺ ≈ 4로 매끈한 관의 경계(5) 바로 아래.

검토 점성 저층은 지름의 0.06%에 불과하다. 같은 관에서 유속을 올리면 $u_*$가 커져 저층이 얇아지고, 같은 거칠기가 '드러나' 마찰 계수가 매끈한 관 값보다 커진다.

다르시–바이스바흐 식과 무디 선도

5장의 에너지 방정식에서 관로의 손실은 수두 손실 $h_L$로 나타났다. 완전 발달한 관에서 $h_L$은 길이에 비례하고, 차원 해석(7장)에 따르면 무차원 수들의 함수 $f(Re, \varepsilon/D)$ 하나에 몰아넣을 수 있다. 이것이 층류·난류, 원형·비원형을 가리지 않고 쓰는 다르시–바이스바흐 식(Darcy–Weisbach equation)이다.

$$h_L = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}, \qquad \Delta P_L = \rho g h_L = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^2}{2}$$

수평이고 지름이 일정한 관에서는 $\Delta P = \Delta P_L$. 일반적으로는 에너지 방정식 $\frac{P_1}{\rho g} + \alpha_1\frac{V_1^2}{2g} + z_1 + h_\text{펌프} = \frac{P_2}{\rho g} + \alpha_2\frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_\text{터빈} + h_L$에 넣는다(운동 에너지 보정 계수 $\alpha$: 층류 2, 난류 약 1.05).

난류의 $f$는 해석적으로 구할 수 없다. 니쿠라제는 관 벽에 크기가 고른 모래를 붙여, 무디는 상용 관을 써서 $f$를 측정했다. 그 결과를 하나의 식으로 묶은 것이 콜브룩 식(Colebrook equation)이고, 이 식을 그린 것이 무디 선도(Moody chart)다. 콜브룩 식은 $f$가 양변에 있어 반복해 풀어야 하므로, 1983년 해일란드가 제안한 양함수 근사식도 널리 쓴다(오차 2% 이내).

$$\frac{1}{\sqrt f} = -2.0\log\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re\sqrt f}\right) \;\;(\text{콜브룩}), \qquad \frac{1}{\sqrt f} \approx -1.8\log\!\left[\frac{6.9}{Re} + \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}\right)^{1.11}\right] \;\;(\text{해일란드})$$

$\varepsilon/D$: 상대 거칠기(relative roughness). $Re$가 아주 크면 둘째 항이 사라져 $f$는 $\varepsilon/D$만의 함수가 된다(완전 거친 영역). $\varepsilon = 0$이면 매끈한 관 곡선이다.

관 재질(새 관)	거칠기 ε (mm)	관 재질(새 관)	거칠기 ε (mm)
유리·플라스틱	0(매끈)	주철	0.26
인발관(구리·황동)	0.0015	콘크리트	0.3–3.0(대표 1.0)
상용 강관	0.045	리벳 강관	0.9–9.0(대표 3.0)
아연 도금 철관	0.15	오래된 관은 부식·침착으로 몇 배까지 커진다

상대 거칠기 0.01인 거친 관에서 $Re$를 $10^6$에서 $10^7$로 10배 키우면 마찰 계수는?

완전 거친 영역에서는 요철이 점성 저층을 뚫고 나와 형상 항력이 마찰을 결정하므로 점성($Re$)의 영향이 사라진다. 아래 선도에서 점을 오른쪽으로 끌어 곡선이 수평해지는 것을 확인하라.

SIMULATOR

인터랙티브 무디 선도

점을 끌면 좌우로 Re, 위아래로 ε/D가 바뀐다

관 재질 관 지름 D 해일란드 식 겹쳐 보기 완전 거친 영역 경계

Re—

ε/D—

f (콜브룩)—

해일란드 오차—

영역—

해볼 것: ① 점을 층류 영역(Re < 2300)으로 끌면 모든 거칠기 곡선이 한 직선 $f = 64/Re$로 모인다. ② 매끈한 관 곡선을 따라 Re를 키우면 f가 계속 줄지만, 거친 관은 점선을 넘으면 수평이 된다. ③ 재질을 '상용 강관', 지름을 50 mm로 정한 뒤 Re = 1.5×10⁵에 놓으면 예제의 f ≈ 0.021이 읽힌다. ④ 해일란드 식을 켜고 오차가 가장 큰 곳을 찾아보라.

20 °C 물($\rho = 998$ kg/m³, $\mu = 1.002\times10^{-3}$ Pa·s)이 지름 5.0 cm, 길이 60 m인 수평 상용 강관($\varepsilon = 0.045$ mm)을 6.0 L/s로 흐른다. 수두 손실, 압력 강하, 이 손실을 메우는 펌프 동력을 구하라.

풀이 보기

전략 유량·지름을 아니까 $V$, $Re$, $\varepsilon/D$를 바로 계산하고 무디 선도(콜브룩 식)에서 $f$를 읽는다. 반복이 필요 없다.

풀이 $V = 6.0\times10^{-3}/(\pi\,0.025^2) = 3.06$ m/s, $Re = (998)(3.06)(0.05)/(1.002\times10^{-3}) = 1.52\times10^5$, $\varepsilon/D = 0.045/50 = 0.0009$. 콜브룩: $f = 0.0210$ (해일란드 0.0209). $h_L = 0.0210\,(60/0.05)\,(3.06)^2/(2\times9.81) = 12.0$ m. $\Delta P = \rho g h_L = 118$ kPa, $\dot W = \rho g Q h_L = 706$ W.

h_L ≈ 12.0 m, ΔP ≈ 118 kPa, Ẇ ≈ 706 W

검토 위 무디 선도에서 확인할 수 있다. 같은 유량을 층류로 보낼 수 있다면 $f = 64/Re = 4.2\times10^{-4}$로 손실은 50분의 1이겠지만, 이 유량에서 층류는 불가능하다.

비원형 관: 수력 직경

사각 덕트나 이중관(환형) 같은 비원형 관에는 원형 관의 식을 그대로 쓰되 지름 대신 수력 직경(hydraulic diameter)을 쓴다. 원형 관에서는 $D_h = D$이다.

$$D_h = \frac{4A_c}{p}, \qquad Re = \frac{VD_h}{\nu}, \qquad h_L = f\,\frac{L}{D_h}\,\frac{V^2}{2g}$$

$A_c$: 유동 단면적, $p$: 젖은 둘레(wetted perimeter). 난류에서는 무디 선도를 $D_h$로 쓰면 오차 약 15% 이내다. 층류에서는 단면 모양마다 $f\,Re$ 값이 다르다(정사각형 56.9, 평행 평판 96).

단면

치수비

MINI LAB같은 단면적 0.01 m²에서 모양을 바꿔 보라. 납작하거나 가운데가 빈 단면은 둘레가 길어 $D_h$가 작아지고 마찰이 커진다. 직사각형 비를 키우면 층류 $f\,Re$가 56.9(정사각형)에서 96(평행 평판)으로 간다.

부차 손실

실제 배관에는 곧은 관 말고도 입구·출구, 엘보, 티, 밸브, 지름이 바뀌는 부분이 있다. 이런 부품에서는 흐름이 박리하고 소용돌이치며 에너지를 잃는다. 이것을 부차 손실(minor loss)이라 하고 손실 계수(loss coefficient) $K_L$로 나타낸다. 이름은 '부차'지만 짧은 배관에서는 오히려 주 손실보다 클 때가 많다.

$$h_{L,\text{부차}} = K_L\,\frac{V^2}{2g}, \qquad L_\text{eq} = \frac{K_L\,D}{f}, \qquad h_{L,\text{전체}} = \left(f\frac{L}{D} + \sum K_L\right)\frac{V^2}{2g}$$

$V$는 보통 부품 하류(지름이 바뀌면 작은 관) 평균 속도. 등가 길이 $L_\text{eq}$는 같은 손실을 내는 곧은 관의 길이다. 지름이 다른 구간이 있으면 구간마다 따로 더한다.

입구 모양과 손실 계수(Çengel). 날카로운 모서리에서 흐름이 박리해 축류(vena contracta)를 만들고, 다시 퍼지며 에너지를 잃는다. 모서리를 둥글게 하면 손실이 1/15 이하로 준다.

부품	K_L	부품	K_L
날카로운 입구 / 잘 둥근 입구	0.5 / 0.03	게이트 밸브(완전 열림 · ½ 열림)	0.2 · 2.1
모든 출구(탱크로 방출)	1.0 (층류 2)	글로브 밸브(완전 열림)	10
90° 엘보: 플랜지 · 나사	0.3 · 0.9	볼 밸브(완전 열림 · ½ 열림)	0.05 · 5.5
45° 엘보(나사) · 180° 리턴 벤드	0.4 · 0.2–1.5	티: 직진 · 분기	0.2–0.9 · 1.0–2.0

출구 손실 계수가 1인 이유는 간단하다. 관에서 탱크로 나온 분류의 운동 에너지 $V^2/2g$는 탱크 속에서 소용돌이로 전부 흩어지기 때문이다(층류는 $\alpha = 2$이므로 2). 지름이 갑자기 커지는 급확대(sudden expansion)는 검사 체적 해석으로 손실 계수를 정확히 구할 수 있는 드문 경우다.

작은 관($A_1$)에서 나온 분류는 큰 관($A_2$)에서 곧바로 퍼지지 못하고, 모서리에 재순환 와류를 남긴 채 몇 지름 뒤에 벽에 붙는다.
검사 체적을 확대 단면에서 재부착 하류까지 잡는다. 와류 속 압력은 분류의 압력 $P_1$과 거의 같으므로 왼쪽 면 전체 $A_2$에 $P_1$이 작용한다. 벽 마찰을 무시하면 운동량: $(P_1 - P_2)A_2 = \rho Q(V_2 - V_1)$.
에너지 방정식: $h_L = \dfrac{P_1 - P_2}{\rho g} + \dfrac{V_1^2 - V_2^2}{2g}$. 속도가 줄며 압력은 회복되지만(수력 구배선 상승), 회복량이 운동 에너지 감소분보다 작아 에너지선은 떨어진다.
운동량 식과 연속 $V_1A_1 = V_2A_2$를 넣으면 $h_L = (V_1 - V_2)^2/2g$, 즉 작은 관 속도 기준 $K_L = (1 - A_1/A_2)^2$. $A_2 \to \infty$(탱크)이면 $K_L = 1$ — 출구 손실이다.

급확대 손실(보르다–카르노 식)의 유도. 검사 체적 해석(5장)으로 손실을 정확히 예측하는 대표 사례다.

형태

지름비 d/D

MINI LAB위의 실선은 에너지선, 점선은 수력 구배선(높이 단위: 작은 관의 $V^2/2g$). 급확대에서는 압력이 회복되면서도 에너지선이 $K_L = (1-d^2/D^2)^2$만큼 떨어진다. 급축소는 축류에서 다시 퍼질 때 손실이 생기며 $K_L \approx 0.42(1 - d^2/D^2)$(작은 관 속도 기준)이다. 지름비를 0.2 근처로 두면 두 경우 모두 각각 출구(1)와 날카로운 입구(약 0.4–0.5)에 가까워진다.

손실 계수 10.0인 부품(글로브 밸브 ≈ 10, 플랜지 엘보 ≈ 0.3)은 지름 5, 마찰 계수 0.022인 곧은 관 와 손실이 같다. 지름의 배다.

지름 4.0 cm 관에서 물이 2.0 m/s로 흐른다. 관로에는 날카로운 입구 1개(0.5), 플랜지 90° 엘보 2개(각 0.3), 완전히 열린 글로브 밸브 1개(10), 탱크로의 출구 1개(1.0)가 있고 곧은 관 길이는 15 m이다($f = 0.020$). 부차 손실, 주 손실, 부품 전체의 등가 길이를 구하라.

풀이 보기

전략 지름이 하나이므로 $\sum K_L$을 한꺼번에 더한다. $V^2/2g = 4.0/19.62 = 0.204$ m.

풀이 $\sum K_L = 0.5 + 2(0.3) + 10 + 1.0 = 12.1$. $h_{L,\text{부차}} = 12.1(0.204) = 2.47$ m. $h_{L,\text{주}} = 0.020(15/0.04)(0.204) = 1.53$ m. $L_\text{eq} = \sum K_L\,D/f = 12.1(0.04)/0.020 = 24.2$ m.

부차 2.47 m, 주 1.53 m (전체 4.00 m), 등가 길이 24.2 m

검토 손실의 62%가 '부차'에서 나왔고 그 대부분이 글로브 밸브다. 같은 위치에 게이트 밸브(0.2)를 쓰면 전체 손실이 1.5 m 이상 준다.

관로 해석: 단일 관로, 직렬·병렬, 관망

단일 관로의 계산 문제는 무엇을 알고 무엇을 구하느냐에 따라 세 유형으로 나뉜다. 핵심 관계는 하나 — 에너지 방정식과 $f(Re, \varepsilon/D)$ — 인데, 미지수가 $V$나 $D$ 안에 숨어 있으면 $Re$를 미리 알 수 없어 반복이 필요하다.

유형	알고 있는 것	구할 것	푸는 방법
1. 손실 구하기	Q, D, L, ε	h_L(ΔP, 펌프 수두)	Re·ε/D 바로 계산 → f → h_L. 반복 없음.
2. 유량 구하기	h_L, D, L, ε	Q	f 가정(완전 거친 값 또는 0.02) → V → Re → 새 f → … 2–3번이면 수렴.
3. 지름 구하기	h_L, Q, L, ε	D	f 가정 → $D = (8fLQ^2/\pi^2 g h_L)^{1/5}$ → Re, ε/D → 새 f → … 마지막에 규격 지름으로 올림.

지름 8.0 cm, 길이 100 m인 수평 상용 강관($\varepsilon = 0.045$ mm)에서 허용 수두 손실이 10 m이다. 20 °C 물($\nu = 1.004\times10^{-6}$ m²/s)의 최대 유량은? 부차 손실은 무시한다.

풀이 보기

전략 $h_L = f(L/D)V^2/2g$에서 $V = \sqrt{2gh_LD/(fL)}$. $f$를 가정해 $V$를 구하고 $Re$로 $f$를 고쳐 나간다. $\varepsilon/D = 5.63\times10^{-4}$.

풀이 ① $f = 0.020$ → $V = \sqrt{2(9.81)(10)(0.08)/(0.020\times100)} = 2.80$ m/s → $Re = 2.23\times10^5$ → 콜브룩 $f = 0.01896$. ② $V = 2.877$ m/s → $Re = 2.29\times10^5$ → $f = 0.01892$. ③ $V = 2.880$ m/s(변화 0.1%) → 수렴. $Q = VA = 2.880(\pi\,0.04^2) = 0.0145$ m³/s.

Q ≈ 0.0145 m³/s = 14.5 L/s (V ≈ 2.88 m/s, f ≈ 0.0189)

검토 처음 가정이 5% 틀렸어도 두 번 만에 0.1% 안으로 들어왔다. $f$가 $Re$에 둔감하기 때문이다. 해일란드 식으로 같은 반복을 해도 결과는 1% 이내로 같다.

20 °C 물 25 L/s를 길이 150 m인 수평 상용 강관으로 보내되 수두 손실이 8.0 m를 넘지 않게 하려 한다. 필요한 최소 지름은? 규격 안지름이 80, 100, 125, 150 mm 중에서 고른다면?

풀이 보기

전략 $V = 4Q/\pi D^2$를 다르시–바이스바흐 식에 넣으면 $D = \left(\dfrac{8fLQ^2}{\pi^2 g h_L}\right)^{1/5}$. $f$를 가정해 반복한다.

풀이 ① $f = 0.020$ → $D = 0.1141$ m → $V = 2.44$ m/s, $Re = 2.78\times10^5$, $\varepsilon/D = 3.94\times10^{-4}$ → $f = 0.01770$. ② $D = 0.1114$ m → $f = 0.01772$ → $D = 0.1114$ m(수렴).

D_min ≈ 111 mm → 규격 125 mm 선택 (이때 h_L ≈ 4.5 m)

검토 $D \propto f^{1/5}$이라 $f$의 오차가 지름에는 1/5로 줄어든다. 100 mm관은 $h_L = 13.8$ m로 허용치를 넘는다. $h_L \propto D^{-5}$이므로 지름을 한 단계만 올려도 손실이 크게 준다.

SIMULATOR

두 탱크 사이 관로 계산기 + 도전: 최소 지름 고르기

왼쪽 탱크의 수면(흰 원)을 위아래로 끌어 낙차를 바꾼다

안지름 D (mm)

관 길이 L 재질

입구

90° 엘보(K 0.3)

밸브

게이트(0.2)1글로브(10)0

도전: 정해진 낙차·관로에서 목표 유량 이상을 내는 가장 작은 규격 지름을 계산으로 골라 제출한다. 도전 중에는 유량이 가려진다.

낙차 H—

유량 Q—

V, Re—

f—

ΣK_L, fL/D—

두 수면 사이에 에너지 방정식을 쓰면 $H = \left(fL/D + \sum K_L\right)V^2/2g$(출구 1.0 포함) — 제2유형 문제다. 아래 막대는 낙차 H가 어디에 쓰였는지(마찰·입구·엘보·밸브·출구)를 보여 준다. 해볼 것: ① L = 10 m로 짧게 하고 글로브 밸브를 넣으면 부차 손실이 막대 대부분을 차지한다. ② 지름을 80 → 100 mm로 25% 키우면 유량은 약 1.7배(긴 관에서 $Q \propto D^{2.5}$). ③ 낙차를 4배로 하면 유량은 2배쯤($Q \propto \sqrt H$). ④ 도전에서는 해일란드 식으로 직접 계산해 보라.

직렬·병렬 관로

직렬은 전기 회로의 직렬 저항, 병렬은 병렬 저항과 같다. 다만 관의 '저항'은 $h_L \approx rQ^2$로 비선형이다. 병렬 관에서는 A와 B 사이 에너지 차가 하나뿐이므로 모든 가지의 수두 손실이 같다.

병렬 관로는 "총유량 $Q$가 정해졌을 때 각 가지로 얼마씩 나뉘는가"가 핵심 문제다. 가지마다 $h_L = f_i(L_i/D_i)V_i^2/2g$가 같다는 조건과 $\sum Q_i = Q$를 함께 푼다. $f$가 비슷하다면 $Q_i \propto \sqrt{D_i^5/(f_iL_i)}$이므로, 굵은 가지가 압도적으로 많이 가져간다.

길이·재질이 같은 두 관이 병렬로 연결돼 있고, 관 1의 지름이 관 2의 2배다. 관 1의 유량은 관 2의 몇 배쯤일까?

수두 손실이 같으므로 $V^2/D \cdot f$가 같고, $Q = VA \propto D^{2.5}/\sqrt f$. $2^{2.5} = 5.7$이고 굵은 관의 $f$가 조금 작아 실제로는 6배 남짓이다. 아래에서 관의 굵기를 끌어 확인하라.

SIMULATOR

병렬 관로의 유량 분배

각 관 위쪽 가장자리의 흰 원을 위아래로 끌어 지름을 바꾼다

총유량 Q 관 2 밸브 손실 계수 K 관 3 연결(길이 200 m)

공통 수두 손실 h_L—

관 1 (100 m)—

관 2 (100 m)—

관 3 (200 m)—

세 관 모두 상용 강관, 20 °C 물이다. 계산기는 "공통 h_L을 가정 → 각 가지의 Q(제2유형) → 합이 총유량이 될 때까지 h_L 조정"을 반복한다. 해볼 것: ① 관 1을 100 mm, 관 2를 50 mm로 두고 유량 비를 읽어라(예측 문제). ② 관 2의 밸브를 조이면 관 2 유량이 줄고 나머지 관이 더 가져가며 공통 h_L이 오른다. ③ 관 3을 떼어 내면 h_L이 얼마나 오르는가?

관망과 하디 크로스 방법

도시 상수도처럼 관이 고리(loop)를 이루는 관망(pipe network)에서는 두 규칙이 성립한다. ① 각 절점에서 들어온 유량 = 나간 유량, ② 어느 고리든 한 바퀴 돌며 더한 수두 손실의 합 = 0(같은 점으로 돌아오므로). 손으로 풀 때는 하디 크로스 방법(Hardy Cross method)을 쓴다: 절점 조건을 만족하는 유량을 아무렇게나 가정한 뒤, 고리마다 아래 보정량 $\Delta Q$를 더하기를 반복한다($h_L = rQ|Q|$, 시계 방향 +).

$$\Delta Q = -\frac{\sum r_i Q_i|Q_i|}{\sum 2 r_i |Q_i|}$$

$r_i = 8f_iL_i/(\pi^2 g D_i^5)$: 관의 저항 계수(s²/m⁵). 이것은 고리의 $\sum h_L(Q + \Delta Q) = 0$에 뉴턴법을 한 번 적용한 것이다. 오늘날에는 같은 연립 방정식을 컴퓨터(EPANET 등)로 푼다.

MINI LABA로 100 L/s가 들어와 B·C·D로 30·40·30 L/s가 나가는 고리 하나. 관 옆 숫자는 저항 $r$(s²/m⁵)과 현재 유량이다. 처음 가정은 절점 조건만 맞춘 것이라 고리의 $\sum h_L \ne 0$이다. '보정 1회'를 눌러 $\sum h_L$이 0으로 가는 속도를 보라 — 2–3회면 충분하다. 가정이 엉뚱해 흐름 방향이 틀려도 보정이 방향을 바로잡는다.

펌프가 있는 관로와 시스템 곡선

탱크의 낙차 대신 펌프가 물을 올려 보내는 관로를 생각하자. 에너지 방정식에서 펌프가 줘야 할 수두는 $h_\text{펌프} = (z_2 - z_1) + h_L(Q)$이고, $h_L \approx kQ^2$이므로 이것은 $Q$에 대한 포물선이다. 이 곡선을 시스템 곡선(system curve)이라 한다. 펌프는 유량이 늘수록 낼 수 있는 수두가 줄어드는 성능 곡선을 가지며, 실제 운전점은 두 곡선의 교점이다. 펌프의 선정과 상사 법칙은 12장에서 자세히 다룬다.

정수두 Δz 밸브 개도(손실 배율)

MINI LAB · 도전펌프 곡선의 흰 원(체절 수두, 회전수에 해당)을 위아래로 끌어 운전점이 목표 유량(초록 띠)에 들어가게 하라. 정수두를 키우거나 밸브를 조이면(손실 배율 ↑) 시스템 곡선이 가팔라져 같은 펌프의 유량이 준다.

핵심 정리

관 유동은 $Re = VD/\nu$로 구분한다: $Re \lesssim 2300$ 층류, $2300$–$4000$ 천이, $\gtrsim 4000$ 난류. 입구 길이는 층류 $L_h \approx 0.05\,Re\,D$, 난류 $L_h \approx 1.359\,Re^{1/4}D$.
완전 발달 유동에서 $\tau = (r/R)\tau_w$, $\tau_w = D\Delta P/(4L)$(층류·난류 공통). 층류(하겐–푸아죄유): $u = 2V(1 - r^2/R^2)$, $\Delta P = 32\mu LV/D^2 = 128\mu LQ/\pi D^4$, $f = 64/Re$. 경사관은 $\Delta P \to \Delta P - \rho gL\sin\theta$.
난류에는 레이놀즈 응력 $-\rho\overline{u'v'}$이 더해진다. 벽 근처에 점성 저층($u^+ = y^+$, $y^+ < 5$)과 로그층($u^+ = 2.5\ln y^+ + 5.0$)이 있고, 단면 전체는 멱법칙 $\bar u/u_{\max} = (1 - r/R)^{1/n}$($n \approx 7$)으로 근사한다.
다르시–바이스바흐 $h_L = f(L/D)V^2/2g$. 난류 $f(Re, \varepsilon/D)$는 콜브룩 식(무디 선도)이나 해일란드 식으로 구한다. 완전 거친 영역에서 $f$는 $\varepsilon/D$만의 함수. 비원형 관은 $D_h = 4A_c/p$.
부차 손실 $h_L = K_LV^2/2g$, 등가 길이 $L_\text{eq} = K_LD/f$. 출구 $K_L = 1$, 날카로운 입구 0.5, 급확대 $K_L = (1 - A_1/A_2)^2$.
관로 문제: 제1유형(손실)은 직접, 제2유형(유량)·제3유형(지름)은 $f$를 가정해 반복한다. 직렬은 $Q$ 같고 $h_L$ 합, 병렬은 $h_L$ 같고 $Q$ 합. 관망은 절점 연속 + 고리 $\sum h_L = 0$(하디 크로스). 펌프 운전점은 펌프 곡선과 시스템 곡선 $h = \Delta z + kQ^2$의 교점이다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.81$ m/s², 20 °C 물은 $\rho = 998$ kg/m³, $\mu = 1.002\times10^{-3}$ Pa·s, $\nu = 1.004\times10^{-6}$ m²/s, 공기는 $\nu = 1.516\times10^{-5}$ m²/s이다. 거칠기: 상용 강관 0.045 mm, 아연 도금 철관 0.15 mm, 주철관 0.26 mm. 마찰 계수는 콜브룩 식(또는 해일란드 식)으로 구한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다(반복 계산 문제는 ±2%).

20 °C 공기가 지름 25 cm인 원형 덕트를 평균 속도 3.0 m/s로 흐른다. 레이놀즈 수는? (층류인가, 난류인가?)

$Re = VD/\nu = (3.0)(0.25)/(1.516\times10^{-5}) = 4.95\times10^4$ → 난류.

안지름 6.0 mm인 관에 20 °C 물을 흘린다. 층류($Re \le 2300$)를 유지할 수 있는 최대 유량은 몇 mL/s인가?

$V = Re\,\nu/D = 2300(1.004\times10^{-6})/0.006 = 0.385$ m/s. $Q = V\pi D^2/4 = 0.385\times\pi(0.003)^2 = 1.09\times10^{-5}$ m³/s = 10.9 mL/s.

(a) 지름 1.0 cm 관, $Re = 1500$인 층류의 입구 길이와 (b) 지름 5.0 cm 관, $Re = 1.0\times10^5$인 난류의 입구 길이를 구하라.

(a) $L_h = 0.05(1500)(0.01) = 0.75$ m. (b) $L_h = 1.359(0.05)(10^5)^{1/4} = 1.21$ m (지름의 24배).

SAE 30 오일($\rho = 891$ kg/m³, $\mu = 0.29$ Pa·s)을 지름 2.0 cm, 길이 15 m인 수평관으로 0.20 L/s 보낸다. 층류임을 확인하고 압력 강하를 구하라.

$V = 0.637$ m/s, $Re = \rho VD/\mu$. $\Delta P = 128\mu LQ/(\pi D^4)$.

$V = 2\times10^{-4}/(\pi\,0.01^2) = 0.637$ m/s, $Re = 891(0.637)(0.02)/0.29 = 39$ → 층류. $\Delta P = 128(0.29)(15)(2\times10^{-4})/(\pi\,(0.02)^4) = 2.22\times10^5$ Pa = 222 kPa.

앞 문제의 관에서 벽 전단 응력과 중심선 속도를 구하라.

$\tau_w = D\Delta P/(4L) = 0.02(2.215\times10^5)/60 = 73.8$ Pa (또는 $8\mu V/D$). $u_{\max} = 2V = 1.27$ m/s.

층류 관로에서 같은 유량을 유지하면서 관 지름을 절반으로 줄이면 압력 강하는 몇 배가 되는가?

$\Delta P = 128\mu LQ/(\pi D^4)$이므로 $D$가 1/2이면 $\Delta P$는 $2^4 = 16$배. (같은 압력 차라면 유량이 1/16이 된다.)

양 끝이 모두 대기에 열린 지름 1.0 cm의 긴 수직관 속을 글리세린($\rho = 1260$ kg/m³, $\mu = 1.41$ Pa·s)이 중력만으로 흘러내린다(완전 발달, 압력 차 0). 유량은 몇 mL/s인가?

경사관 식에서 $\Delta P = 0$, $\theta = -90^\circ$ → $V = \rho g D^2/(32\mu)$.

$V = \rho gD^2/(32\mu) = 1260(9.81)(10^{-4})/(32\times1.41) = 0.0274$ m/s. $Q = V\pi D^2/4 = 2.15\times10^{-6}$ m³/s = 2.15 mL/s. $Re = 0.24$로 층류가 맞다.

난류 관 유동의 속도 분포가 $n = 8$인 멱법칙을 따르고 평균 속도가 2.0 m/s이다. 중심선 속도는?

$V/u_{\max} = 2n^2/((n+1)(2n+1)) = 128/153 = 0.837$ → $u_{\max} = 2.0/0.837 = 2.39$ m/s.

20 °C 물 40 L/s가 지름 15 cm, 길이 300 m인 주철관($\varepsilon = 0.26$ mm)을 흐른다. 수두 손실은?

$V = 2.26$ m/s, $Re = 3.38\times10^5$, $\varepsilon/D = 0.00173$.

$V = 0.04/(\pi\,0.075^2) = 2.26$ m/s, $Re = 2.26(0.15)/(1.004\times10^{-6}) = 3.38\times10^5$, $\varepsilon/D = 0.00173$ → 콜브룩 $f = 0.0231$. $h_L = 0.0231(300/0.15)(2.26)^2/19.62 = 12.1$ m.

단면 0.30 m × 0.15 m인 직사각형 덕트에 20 °C 공기가 평균 5.0 m/s로 흐른다. 수력 직경과 레이놀즈 수를 구하라.

$D_h = 4A/p = 4(0.045)/(0.90) = 0.200$ m. $Re = VD_h/\nu = 5.0(0.200)/(1.516\times10^{-5}) = 6.60\times10^4$.

물이 지름 3.0 cm 관에서 4.0 m/s로 흐르다가 지름 6.0 cm 관으로 급확대된다. 확대부의 수두 손실은?

$K_L = (1 - A_1/A_2)^2 = (1 - 0.25)^2 = 0.5625$. $h_L = 0.5625(4.0)^2/(2\times9.81) = 0.459$ m. (또는 $V_2 = 1.0$ m/s → $(V_1 - V_2)^2/2g = 9/19.62$.)

지름 5.0 cm 관($f = 0.022$)에 완전히 열린 글로브 밸브($K_L = 10$)가 있다. 이 밸브의 등가 길이는?

$L_\text{eq} = K_LD/f = 10(0.05)/0.022 = 22.7$ m — 지름의 455배.

수면 높이 차가 12 m인 두 탱크를 지름 5.0 cm, 길이 80 m인 상용 강관이 잇는다. 날카로운 입구(0.5), 플랜지 90° 엘보 2개(각 0.3), 출구(1.0)가 있다. 20 °C 물의 유량은 몇 L/s인가?

$12 = (fL/D + 2.1)V^2/2g$. $f = 0.02$로 시작해 $V$ → $Re$ → $f$를 반복.

$\varepsilon/D = 0.0009$. 수렴값은 $f \approx 0.0214$.

$V = \sqrt{2(9.81)(12)/(f(1600) + 2.1)}$. $f = 0.02$ → $V = 2.63$ m/s → $Re = 1.30\times10^5$ → $f = 0.0213$ → $V = 2.55$ m/s → $Re = 1.27\times10^5$ → $f = 0.02135$ (수렴). $Q = 2.55(\pi\,0.025^2) = 5.00\times10^{-3}$ m³/s = 5.00 L/s.

20 °C 물 12 L/s를 길이 50 m인 수평 아연 도금 철관($\varepsilon = 0.15$ mm)으로 보낼 때 수두 손실을 3.0 m 이하로 하려면 지름이 최소 몇 mm여야 하는가? (부차 손실 무시)

$D = (8fLQ^2/\pi^2gh_L)^{1/5}$에 $f = 0.02$를 넣어 시작한다.

① $f = 0.02$ → $D = 0.0831$ m → $V = 2.21$ m/s, $Re = 1.83\times10^5$, $\varepsilon/D = 0.00180$ → $f = 0.0238$. ② $D = 0.0860$ m → $f = 0.0237$ → $D = 0.0860$ m (수렴). $D_{\min} \approx 86.0$ mm.

두 관이 병렬로 연결돼 총 30 L/s를 나눠 흘린다. 관 1: $L = 500$ m, $D = 0.10$ m, $f = 0.020$. 관 2: $L = 300$ m, $D = 0.08$ m, $f = 0.022$. (마찰 계수는 일정하다고 본다.) 각 관의 유량과 공통 수두 손실은?

$h_L$이 같으므로 $Q_i = k_i\sqrt{h_L}$, $k_i \propto \sqrt{D_i^5/(f_iL_i)}$. $Q_1/Q_2 = k_1/k_2$.

$k_1 \propto \sqrt{10^{-5}/(0.02\times500)} = 1.000\times10^{-3}$, $k_2 \propto \sqrt{3.277\times10^{-6}/(0.022\times300)} = 7.05\times10^{-4}$. $Q_1 = 30(1.000)/(1.705) = 17.6$ L/s, $Q_2 = 12.4$ L/s. $V_1 = 0.0176/(\pi\,0.05^2) = 2.24$ m/s, $h_L = 0.020(500/0.10)(2.24)^2/19.62 = 25.6$ m. 관 2로 확인해도 같다.

무디 선도의 완전 거친 영역(Re가 매우 큼)에서 마찰 계수는 무엇에 의해 정해지는가?

콜브룩 식에서 $2.51/(Re\sqrt f)$ 항이 사라져 $1/\sqrt f = -2\log(\varepsilon/3.7D)$. 이 영역에서 $h_L \propto V^2$이 정확히 성립한다.

개념 확인 퀴즈

완전 발달 층류 관로에서 유량을 2배로 늘리면 수두 손실은?

$h_L = 32\mu LV/(\rho gD^2) \propto V$. $f = 64/Re$가 $1/V$로 줄면서 $V^2$의 한 제곱을 상쇄한다.

완전 거친 난류 영역의 관로에서 유량을 2배로 늘리면 수두 손실은?

$f$가 일정하므로 $h_L \propto V^2$. 매끈한 관이면 $f$가 조금 줄어 약 3.4배($V^{1.75}$)다.

같은 상용 강관에서 유속을 크게 높였더니 매끈한 관 곡선보다 마찰 계수가 커졌다. 가장 좋은 설명은?

$\delta_s \approx 5\nu/u_*$이고 $u_*$는 유속과 함께 커진다. $\varepsilon$이 저층보다 커지면 거칠기가 마찰을 좌우한다.

병렬로 연결된 두 관에서 반드시 같은 것은?

두 가지는 같은 두 절점 A, B를 잇고, A와 B의 에너지 수두는 하나뿐이므로 $h_{L1} = h_{L2}$.

한 변이 $a$인 정사각형 덕트의 수력 직경은?

$D_h = 4A/p = 4a^2/(4a) = a$. 내접원의 지름과 같다.