Chapter 07

파괴·피로·크리프

실리콘 원자 사이의 결합을 한꺼번에 끊으려면 30 GPa쯤이 필요하다. 그런데 백그라인딩한 다이는 그 100분의 1인 200–300 MPa에서 깨진다. 표면에 남은 1 µm짜리 미세 균열의 끝이 걸린 응력을 100배로 키우기 때문이다. 재료는 평균 응력이 아니라 가장 나쁜 결함 끝의 응력으로 깨진다. 이 장은 그 생각 하나로 세 가지 파손을 묶는다. 균열이 한 번에 달리는 파괴(그리피스·응력 확대 계수·파괴 인성), 항복보다 낮은 하중이 수백만 번 되풀이되며 균열이 조금씩 자라는 피로(S–N 곡선·코핀–맨슨·파리스 법칙), 녹는점 절반 넘는 온도에서 일정한 하중에도 재료가 천천히 늘어나는 크리프(노턴 식·라슨–밀러 변수·변형 기구 지도)다. 취성 재료의 강도가 왜 들쭉날쭉하고 큰 시편일수록 약한지는 와이블 통계가 답한다. 아래 그림은 가장자리 균열이 있는 판에 반복 하중이 걸리는 모습이다. 색은 균열 끝의 응력 집중, 오른쪽 위는 균열 길이–반복 수 곡선이다. 균열이 임계 길이에 닿으면 판이 한 번에 갈라진다.

위아래로 끌어 하중 진폭을 바꾼다

원자 결합에서 이론 강도 $\sigma_\mathrm{th}\approx\sqrt{E\gamma_s/a_0}\approx E/10$을 어림하고, 타원 균열 끝의 응력 집중과 그리피스 에너지 균형으로 실제 강도가 수십–수백 배 낮은 이유를 설명한다.
응력 확대 계수 $K = Y\sigma\sqrt{\pi a}$와 파괴 인성 $K_\mathrm{IC}$로 파괴 응력·임계 균열 길이를 계산하고, 에너지 해방률 $G = K^2/E'$, 평면 변형 두께 조건, 파괴와 항복 가운데 무엇이 먼저 오는지를 판정한다.
샤르피 충격 시험 곡선에서 연성–취성 전이 온도를 읽고, BCC와 FCC의 차이, 결정립 미세화가 전이 온도를 낮추는 이유를 항복 응력–벽개 응력 교차로 설명한다.
와이블 분포로 취성 재료의 파괴 확률과 설계 응력을 구하고, 와이블 그림에서 $m$과 $\sigma_0$를 추정하며, 시편 부피에 따른 크기 효과를 계산한다.
S–N 곡선과 바스킨 식, 변형 수명(코핀–맨슨), 평균 응력 보정(굿맨·거버·소더버그), 마이너 누적 손상 법칙으로 피로 수명을 계산한다.
파리스 법칙 $da/dN = C\,\Delta K^m$을 적분해 균열이 검출 크기에서 임계 크기까지 자라는 반복 수를 구하고, 손상 허용 설계의 검사 주기를 정한다.
크리프 곡선의 세 단계, 노턴 식의 응력 지수와 활성화 에너지, 라슨–밀러 변수로 파단 시간을 외삽하고, 변형 기구 지도에서 전위 크리프·나바로–헤링·코블 크리프의 영역을 읽는다.

이론 강도와 그리피스 이론

완전한 결정을 잡아당겨 원자면 하나를 통째로 떼어 내는 데 필요한 응력을 이론 강도(theoretical strength)라 한다. 2장의 결합 에너지 곡선을 떠올리자. 원자면 사이의 복원력은 평형 간격 $a_0$에서 0이고, 늘어날수록 커지다가 결합이 끊어지기 직전에 최대가 된다. 이 힘–거리 곡선을 반 주기 사인으로 근사하면, 처음 기울기가 영률 $E$와 같고 곡선 아래 넓이(떼어 낸 일)가 새로 생기는 두 표면의 에너지 $2\gamma_s$와 같다는 두 조건에서 최대 응력이 나온다.

$$\sigma_\mathrm{th}\approx\sqrt{\frac{E\gamma_s}{a_0}}\;\approx\;\frac{E}{10}$$

$\gamma_s$는 표면 에너지(surface energy)[J/m²], $a_0$는 원자면 간격. 대부분의 고체에서 $\gamma_s\approx Ea_0/100$쯤이므로 $\sigma_\mathrm{th}$는 $E$의 5–10분의 1, 곧 수–수십 GPa이다.

영률 165, 표면 에너지 1.2, 원자면 간격 0.235인 고체의 이론 강도는 $\sigma_\mathrm{th} =$ 로 영률의 이다. 실제 강도가 250라면 이론의 밖에 못 쓰는 셈이다.

실제 강도는 이론 강도보다 훨씬 낮다. 유리창은 50 MPa 남짓, 백그라인딩한 실리콘 다이는 수백 MPa에서 깨진다. 1920년 그리피스는 갓 뽑은 지름 수 µm의 유리 섬유가 수 GPa을 견디다가 시간이 지나 표면이 긁히면 수십 MPa로 떨어지는 것을 보고, 차이가 결함에 있다고 보았다. 반대로 결함이 거의 없는 실리콘 휘스커·탄소 나노튜브는 이론 강도의 수십 %까지 간다.

균열 끝의 응력 집중

판 속에 길이 $2a$인 타원 구멍이 있고 균열 끝의 곡률 반지름이 $\rho_t$이면, 1913년 잉글리스의 탄성 해에서 끝의 최대 응력은 다음과 같다. 이 비 $K_t = \sigma_m/\sigma_0$를 응력 집중 계수(stress concentration factor)라 한다.

$$\sigma_m = \sigma_0\left(1 + 2\sqrt{\frac{a}{\rho_t}}\right)\;\xrightarrow{\;a\gg\rho_t\;}\;2\sigma_0\sqrt{\frac{a}{\rho_t}}$$

원 구멍($a = \rho_t$)이면 $K_t = 3$. 날카로운 균열은 끝 반지름이 원자 간격 수준($\rho_t\sim0.3$ nm)이라 길이 1 µm만 되어도 $K_t\approx 100$이다. 표면 균열이면 $a$는 깊이, 내부 균열이면 길이의 절반이다.

타원 끝의 흰 원을 끌어 끝 반지름을 바꾼다

균열 깊이 a

MINI LAB실리콘 표면의 타원 균열(위)과 균열 끝 응력의 로그 막대(아래). 끝을 날카롭게 할수록, 균열이 깊을수록 $\sigma_m$이 이론 강도(빨간 선)에 다가간다. 막대가 빨간 선에 닿을 때의 바깥 응력 $\sigma_0$가 이 결함 하나가 정하는 강도다.

그리피스 에너지 균형

응력 집중만으로는 끝 반지름 $\rho_t$를 알아야 강도를 말할 수 있다. 그리피스는 대신 에너지로 물었다. 두께가 단위인 큰 판에 응력 $\sigma$가 걸려 있을 때 길이 $2a$인 균열이 생기면 균열 둘레의 탄성 에너지가 $\pi\sigma^2a^2/E$만큼 풀려나고, 대신 새 표면 두 장의 에너지 $4a\gamma_s$가 든다. 균열이 조금 더 자랄 때 풀리는 에너지가 드는 표면 에너지보다 크면 균열은 저절로 달린다.

$$U(a) = 4a\gamma_s - \frac{\pi\sigma^2a^2}{E},\qquad \frac{dU}{da} = 0\;\Rightarrow\; \sigma_c = \sqrt{\frac{2E\gamma_s}{\pi a}}$$

평면 변형(두꺼운 판)이면 $E$를 $E/(1-\nu^2)$로 바꾼다. 강도는 $1/\sqrt a$에 비례한다 — 균열이 4배 길면 강도는 절반이다.

곡선 위의 공을 좌우로 끌어 균열 길이를 고른다

응력 σ

MINI LAB유리($E = 69$ GPa, $\gamma_s = 0.3$ J/m²)의 균열 에너지 $U(a)$. 표면 에너지(황동색 점선)는 $a$에 비례해 오르고 풀려나는 탄성 에너지(남색 점선)는 $a^2$으로 내려간다. 꼭대기보다 오른쪽에 놓인 균열(공)은 언덕을 굴러 내려가듯 저절로 자란다. 응력을 올리면 꼭대기가 왼쪽으로 옮겨 가 더 짧은 균열도 위험해진다.

판 속 균열의 길이를 4배로 늘리면 판을 깨뜨리는 응력은 어떻게 될까?

$\sigma_c\propto1/\sqrt a$이다. 균열이 길어지면 풀려나는 탄성 에너지가 $a^2$으로 늘어 표면 에너지($\propto a$)를 쉽게 이긴다. 시뮬레이터에서 균열 끝을 끌어 길이를 4배로 하고 "파괴 응력"이 반이 되는지 보라.

SIMULATOR

판 속 균열의 응력장과 파괴 응력

균열 끝·오른쪽 막대의 흰 원을 끈다

재료

색으로 볼 양

반길이 a—

K = σ√(πa)—

파괴 응력 σ_f—

상태—

무한 판 속 길이 $2a$인 날카로운 균열에 위아래로 응력 $\sigma$를 건 탄성 해(웨스터가드 해)를 칸마다 계산해 $\sigma/\sigma_0$를 로그 색으로 칠했다. 균열 끝에서 응력이 $1/\sqrt r$로 발산하고, 균열 면 바로 위아래는 하중이 빠져 낮다. $K$가 $K_\mathrm{IC}$(자료표 값)에 닿으면 균열이 달린다. 해볼 것: ① 응력을 고정하고 균열 끝을 바깥으로 끌어 임계 길이를 찾는다. ② 같은 균열로 유리와 지르코니아의 파괴 응력을 비교한다($K_\mathrm{IC}$ 0.75 대 7 MPa√m). ③ 균열을 4배로 늘리면 $\sigma_f$가 반이 되는지 확인한다.

큰 유리 판에 40 MPa의 인장 응력이 걸린다. 이 유리의 표면 에너지가 0.3 J/m², 영률이 69 GPa일 때 판이 깨지지 않는 표면 균열의 최대 길이를 그리피스 식으로 구하라.

풀이 보기

전략 $\sigma_c = \sqrt{2E\gamma_s/\pi a}$를 $a$에 대해 푼다. 표면 균열이면 $a$는 깊이 그 자체다.

풀이 $a_c = \dfrac{2E\gamma_s}{\pi\sigma^2} = \dfrac{2(69\times10^9)(0.3)}{\pi(40\times10^6)^2} = \dfrac{4.14\times10^{10}}{5.03\times10^{15}} = 8.2\times10^{-6}$ m

$a_c\approx8.2$ µm

검토 사람 머리카락 굵기의 10분의 1인 흠집 하나가 유리판의 강도를 정한다. 실제 판유리의 표면에는 이런 흠집이 흔하므로 설계 강도를 수십 MPa 아래로 잡는다. 화학 강화(표면에 압축 응력을 거는 이온 교환)가 효과적인 이유도 여기에 있다 — 균열을 열려면 압축 응력부터 이겨야 한다.

실리콘의 영률을 165 GPa, {111} 표면 에너지를 1.2 J/m², 원자면 간격을 0.235 nm로 보자. (a) 이론 강도를 구하라. (b) 백그라인딩이 깊이 2 µm, 끝 반지름 0.5 nm인 미세 균열을 남겼다면 바깥 응력이 얼마일 때 균열 끝 응력이 이론 강도에 이르는가?

풀이 보기

전략 (a) $\sigma_\mathrm{th} = \sqrt{E\gamma_s/a_0}$. (b) $\sigma_m = \sigma_0(1+2\sqrt{a/\rho_t}) = \sigma_\mathrm{th}$를 $\sigma_0$에 대해 푼다.

풀이 (a) $\sigma_\mathrm{th} = \sqrt{(165\times10^9)(1.2)/(0.235\times10^{-9})} = \sqrt{8.43\times10^{20}} = 2.90\times10^{10}$ Pa = 29.0 GPa. (b) $\sqrt{a/\rho_t} = \sqrt{2000/0.5} = 63.2$, $K_t = 1 + 126.5 = 127.5$, $\sigma_0 = 29\,000/127.5 = 228$ MPa.

(a) 약 29 GPa (≈ E/5.7) (b) 약 230 MPa

검토 실제 백그라인딩 다이의 굽힘 강도가 200–400 MPa이라는 측정과 맞는다. 연마·플라스마 식각으로 손상층을 걷어 내면 결함이 얕아지고 무뎌져 강도가 1 GPa 이상으로 오른다(4절).

응력 확대 계수와 파괴 인성

그리피스 식은 유리처럼 완전히 취성인 재료에서만 맞는다. 금속은 균열 끝에서 소성 변형이 일어나 표면 에너지의 수천 배를 소모한다. 1950년대 어윈은 끝의 세부 기구를 묻지 않고 균열 끝 응력장의 세기 하나로 파괴를 판정하는 방법을 제안했다. 균열 끝에서 거리 $r$, 각도 $\theta$인 곳의 응력은 어떤 하중·형상이든 같은 꼴이다.

$$\sigma_{ij} = \frac{K}{\sqrt{2\pi r}}\,f_{ij}(\theta),\qquad K = Y\sigma\sqrt{\pi a}$$

$K$는 응력 확대 계수(stress intensity factor)[MPa√m], $Y$는 형상 인자(무한 판 속 균열 1, 반무한 판의 가장자리 균열 1.12, 유한 폭 판은 $a/W$에 따라 커진다). 균열 끝 근처의 모양은 늘 같고 크기만 $K$가 정한다.

균열이 열리는 세 가지 방식. 공학에서 가장 위험하고 자주 쓰는 것은 모드 I이며, 그 임계값 $K_\mathrm{IC}$를 재료의 파괴 인성으로 표에 싣는다.

파괴 조건

모드 I에서 $K$가 재료 고유의 임계값 $K_\mathrm{IC}$에 이르면 균열이 불안정하게 자란다. 이 임계값을 파괴 인성(fracture toughness)이라 한다. 그래서 응력·균열 길이·재료 가운데 둘을 알면 나머지 하나를 정할 수 있다.

$$\sigma_f = \frac{K_\mathrm{IC}}{Y\sqrt{\pi a}},\qquad a_c = \frac{1}{\pi}\left(\frac{K_\mathrm{IC}}{Y\sigma}\right)^2$$

세라믹 0.5–7, 반도체 0.4–1, 고분자 0.5–3, 금속 20–200 MPa√m(자료표 값은 부록 A). 같은 응력에서 $a_c$는 $K_\mathrm{IC}^2$에 비례하므로 금속은 mm 단위의 균열을, 세라믹과 실리콘은 µm 단위의 균열만 견딘다.

에너지 해방률. 그리피스의 에너지 생각을 일반화한 것이 균열이 단위 넓이만큼 자랄 때 풀려나는 에너지, 곧 에너지 해방률(energy release rate) $G$[J/m²]다. 선형 탄성에서 $G$와 $K$는 같은 정보를 담는다.

$$G = \frac{K^2}{E'},\qquad E' = E\ (\text{평면 응력}),\quad E' = \frac{E}{1-\nu^2}\ (\text{평면 변형})$$

완전 취성이면 $G_\mathrm{IC} = 2\gamma_s$로 그리피스 식이 된다. 금속은 $G_\mathrm{IC} = 2(\gamma_s+\gamma_p)$에서 소성 일 $\gamma_p$가 $\gamma_s$보다 수천 배 크다(오로완 보정).

파괴 인성 50, 영률 207인 재료의 임계 에너지 해방률은 평면 응력으로 $G_\mathrm{IC} =$ 이다. 표면 에너지를 1 J/m²로 보면 새 표면 두 장에 드는 에너지의 배를 균열이 자랄 때 소모하는 셈이다.

두께와 평면 변형. 균열 끝 근처의 재료가 항복하는 소성 영역(plastic zone)의 크기는 $r_p\approx\frac{1}{2\pi}(K/\sigma_\mathrm{y})^2$(평면 응력)이다. 판이 얇으면 두께 방향으로 자유롭게 줄어들어 소성 영역이 커지고, 측정되는 임계값 $K_c$가 커진다. 판이 충분히 두꺼우면 가운데는 두께 방향 변형이 막혀(평면 변형) 삼축 응력이 걸리고 소성 영역이 작아져 $K_c$가 최솟값 $K_\mathrm{IC}$로 떨어진다. 표준 시험(ASTM E399)은 다음 두께를 요구한다.

$$B \ge 2.5\left(\frac{K_\mathrm{IC}}{\sigma_\mathrm{y}}\right)^2$$

강하고 취성인 재료는 얇아도 평면 변형이 되고, 연하고 질긴 재료는 수 cm 두께가 있어야 $K_\mathrm{IC}$를 잴 수 있다. 균열 길이와 리가먼트도 같은 크기 이상이어야 한다.

판 두께 B

MINI LAB균열 앞면을 따라 두께 방향으로 본 소성 영역(왼쪽, 황동색)과 두께에 따른 측정 인성 $K_c$(오른쪽). 표면 근처는 평면 응력이라 소성 영역이 크고(바깥 귀), 가운데는 평면 변형이라 작다. 두께가 $2.5(K_\mathrm{IC}/\sigma_\mathrm{y})^2$를 넘으면 가운데가 지배해 측정값 $K_c$가 $K_\mathrm{IC}$에 수렴한다(어윈 경험식 $K_c = K_\mathrm{IC}\sqrt{1+1.4\beta^2}$, $\beta = (K_\mathrm{IC}/\sigma_\mathrm{y})^2/B$).

파괴가 먼저냐, 항복이 먼저냐

균열이 있는 부재는 두 길로 망가질 수 있다. 남은 단면이 항복하거나($\sigma\ge\sigma_\mathrm{y}$), 균열이 달린다($K\ge K_\mathrm{IC}$). 두 선이 만나는 균열 길이 $a_t = \frac1\pi(K_\mathrm{IC}/Y\sigma_\mathrm{y})^2$보다 짧은 균열은 문제가 되지 않고(항복이 먼저), 긴 균열은 항복보다 낮은 응력에서 부재를 깨뜨린다. 고강도강을 쓰면 $\sigma_\mathrm{y}$가 올라 설계 응력을 높일 수 있지만, 같은 $K_\mathrm{IC}$라면 견디는 균열은 짧아진다 — 강도와 인성의 맞바꿈이다.

SIMULATOR

파괴–항복 지도에서 부재 판정하기

작동점(흰 원)을 끌어 균열 길이와 응력을 고른다

재료

균열 형상

안전 계수

K / K_IC—

σ / σ_y—

전이 균열 a_t—

판정—

가로축은 균열 길이(로그), 세로축은 응력이다. 남색 수평선이 항복 응력, 빨간 곡선이 파괴 응력 $K_\mathrm{IC}/(Y\sqrt{\pi a})$, 옅은 선은 안전 계수로 나눈 허용 한계다. 해볼 것: ① 4340 강에서 0.5 mm 균열이 항복 전에 부재를 깨뜨리는지 본다. ② 같은 작동점을 Al 6061로 바꾸면 무엇이 먼저 오는가? ③ 알루미나에서는 전이 균열이 몇 µm인지 읽고, 세라믹이 왜 "결함 크기로 강도가 정해지는" 재료인지 생각한다.

4340 강($\sigma_\mathrm{y} = 1620$ MPa, $K_\mathrm{IC} = 50$ MPa√m)으로 만든 판이 1000 MPa의 인장 응력을 받는다. (a) 가장자리 균열($Y = 1.12$)의 임계 길이는? (b) 이 강의 $K_\mathrm{IC}$를 평면 변형 조건으로 재려면 시편 두께가 얼마 이상이어야 하는가? (c) Al 6061-T6($\sigma_\mathrm{y} = 276$ MPa, $K_\mathrm{IC} = 29$ MPa√m)이라면?

풀이 보기

전략 $a_c = \frac1\pi(K_\mathrm{IC}/Y\sigma)^2$, $B = 2.5(K_\mathrm{IC}/\sigma_\mathrm{y})^2$.

풀이 (a) $K_\mathrm{IC}/Y\sigma = 50/1120 = 0.04464$ √m, $a_c = 0.04464^2/\pi = 6.34\times10^{-4}$ m. (b) $B = 2.5(50/1620)^2 = 2.5\times9.53\times10^{-4} = 2.38\times10^{-3}$ m. (c) $B = 2.5(29/276)^2 = 2.76\times10^{-2}$ m.

(a) 약 0.63 mm (b) 2.4 mm 이상 (c) 약 28 mm 이상

검토 고강도강은 0.6 mm 균열에도 깨지므로 비파괴 검사로 이보다 작은 균열을 찾아내야 한다(6절). 알루미늄은 연하고 질겨서 얇은 판에서는 평면 변형이 되지 않는다. 얇은 판의 실제 인성은 $K_\mathrm{IC}$보다 크므로 $K_\mathrm{IC}$로 설계하면 안전 쪽이다.

(a) 4340 강의 $G_\mathrm{IC}$를 평면 응력과 평면 변형($\nu = 0.30$)으로 구하라($E = 207$ GPa). (b) 소다석회 유리($K_\mathrm{IC} = 0.75$ MPa√m, $E = 69$ GPa)의 $G_\mathrm{IC}$와 비교하라.

풀이 보기

전략 $G = K^2/E'$. MPa√m을 Pa√m으로 바꾼다.

풀이 (a) $G = (50\times10^6)^2/(207\times10^9) = 2.5\times10^{15}/2.07\times10^{11} = 1.21\times10^4$ J/m²; 평면 변형 $\times(1-0.09) = 1.10\times10^4$ J/m². (b) $G = (0.75\times10^6)^2/(69\times10^9) = 8.2$ J/m².

(a) 약 12 kJ/m²(평면 변형 11 kJ/m²) (b) 약 8 J/m² — 1500배 차이

검토 강의 $2\gamma_s$는 수 J/m²이므로 균열이 자라며 쓰는 에너지 대부분은 균열 끝 소성 변형(전위 운동)이다. 6장의 전위가 움직일 수 있느냐가 인성을 정한다. 유리는 전위가 없어 표면 에너지와 약간의 망목 변형만으로 균열이 자란다.

연성 파괴, 취성 파괴와 연성–취성 전이

같은 강철 막대도 상온에서는 크게 늘어난 뒤 끊기고, 영하 50 °C에서는 유리처럼 소리를 내며 깨진다. 파괴는 균열 끝에서 무슨 일이 일어나느냐에 따라 두 갈래로 나뉜다. 연성 파괴(ductile fracture)는 큰 소성 변형과 함께 천천히 자라는 파괴이고, 파면에는 미세 공동이 자라 이어진 오목한 딤플이 가득하다. 취성 파괴(brittle fracture)는 소성 변형이 거의 없이 균열이 음속에 가깝게 달리는 파괴로, 결정의 특정 면을 따라 갈라지는 벽개(cleavage) 파면이 반짝이는 낱알 모양으로 보인다. 결정립계를 따라 갈라지면 입계 파괴다.

균일 변형 동안은 가공 경화가 단면 감소를 이겨 변형이 고르게 퍼진다.
인장 강도에 이르면 네킹이 시작되고, 목 가운데에 삼축 인장 응력이 걸린다.
개재물·석출물 둘레에서 미세 공동이 생기고 자란다(6장의 석출물이 연성을 깎는 이유).
공동이 이어져 가운데 균열이 되고, 마지막 바깥 고리는 최대 전단 응력 방향으로 끊긴다.

연성 파괴의 네 단계. 파면을 전자 현미경으로 보면 3단계의 공동이 반쪽씩 남은 딤플이 보인다.

균열 끝에서 소성 변형이 먼저 일어나느냐, 벽개가 먼저 일어나느냐를 정하는 것은 두 응력의 경쟁이다. FCC 금속(Al, Cu, Ni, 오스테나이트 스테인리스)은 저온에서도 전위가 쉽게 움직여 항복 응력이 온도에 거의 무관하므로 늘 연성이다. 반면 BCC 금속(페라이트 강, W, Mo)은 나사 전위의 움직임이 열 활성화에 기대므로 온도가 내려가면 항복 응력이 가파르게 오른다. 항복 응력이 벽개 응력을 넘어서는 온도 아래에서는 균열 끝이 소성으로 무뎌지기 전에 벽개가 일어난다. 이 온도를 연성–취성 전이 온도(ductile-to-brittle transition temperature, DBTT)라 한다.

결정립 크기 d

MINI LAB페라이트 강의 항복 응력 $\sigma_\mathrm{y}(T) = \sigma_i(T) + k_\mathrm{y}d^{-1/2}$(남색)과 벽개 응력 $\sigma_c\propto d^{-1/2}$(황동색)의 교차(정성 모형). 결정립을 줄이면 두 응력이 모두 오르지만 벽개 응력이 더 많이 올라 교차점이 저온으로 간다. 결정립 미세화는 강도와 인성을 함께 올리는 거의 유일한 강화 기구다(6장 홀–페치).

샤르피 충격 시험

전이 온도는 샤르피 충격 시험(Charpy impact test)으로 잰다. 10 mm 정사각 단면에 깊이 2 mm의 V 노치를 낸 시편을 진자로 한 번에 쳐서 끊고, 진자가 올라간 높이의 차이에서 흡수 에너지를 얻는다. 노치는 삼축 응력을, 충격은 높은 변형 속도를 만들어 시편을 가장 취성인 조건으로 몰아넣는다.

샤르피 시험기. 시편이 흡수한 에너지만큼 진자가 덜 올라간다. 파면에서 섬유상(연성)과 결정상(벽개) 넓이의 비율, 곧 전단 파면율도 함께 기록한다.

오스테나이트 스테인리스강(FCC)의 샤르피 시편을 액체 질소 온도(−196 °C)에서 치면?

FCC는 항복 응력이 온도에 거의 무관해 벽개 응력을 넘지 못하므로 전이가 없다. 그래서 LNG 탱크와 극저온 장비에는 오스테나이트 스테인리스·9 % Ni 강·알루미늄을 쓴다. 시뮬레이터에서 재료를 바꿔 −196 °C를 쳐 보라.

SIMULATOR

샤르피 진자와 전이 곡선

곡선 위의 흰 원을 끌어 시험 온도를 고른다

재료

시험 온도—

흡수 에너지—

전단 파면율—

파면—

진자(용량 300 J)는 흡수 에너지만큼 덜 올라간다. 곡선은 $E(T) = E_L + \tfrac12(E_U-E_L)[1+\tanh((T-T_0)/C)]$ 꼴의 대표 모형이다. 해볼 것: ① 저탄소강을 −60, −20, 0, 40 °C에서 쳐서 점을 찍고 27 J(20 ft·lbf) 기준 전이 온도를 읽는다. ② 0.6 %C 강은 위 선반이 낮고 전이가 고온으로 간다 — 탄소(펄라이트)가 많을수록 인성이 나쁘다. ③ FCC와 Al 합금에는 전이가 없다.

리버티선과 타이태닉

2차 대전 중 용접으로 빠르게 지은 리버티선 수천 척 가운데 수백 척이 겨울 북대서양에서 갈라졌고, 몇 척은 항구에 정박한 채 두 동강 났다. 당시 선체 강은 황·인이 많고 망가니즈가 적어 전이 온도가 0 °C 근처였고, 용접 이음매의 모서리가 균열 시작점이 되었다. 타이태닉의 리벳과 선체 강판도 같은 이유로 빙하 바다의 온도에서 취성이었다. 오늘날 선박·교량·압력 용기 강은 사용 최저 온도에서 정한 샤르피 에너지(예: −20 °C에서 27 J 이상)를 요구한다.

와이블 통계와 크기 효과

금속은 같은 공정으로 만든 시편이면 강도가 몇 % 안에서 고르다. 세라믹·유리·실리콘은 같은 웨이퍼에서 자른 다이라도 강도가 두세 배씩 다르다. 강도가 시편마다 다른 결함 크기로 정해지기 때문이다. 시편은 사슬처럼 가장 약한 고리, 곧 가장 큰 결함에서 깨진다(최약 고리 가설). 이 생각에서 나오는 분포가 와이블 분포(Weibull distribution)다. 분포 자체와 확률지·모수 추정은 확률과 통계에서 다루었다(확률과 통계 · 신뢰성과 수율). 여기서는 재료 설계에 쓰는 형태로 정리한다.

$$P_f(\sigma) = 1 - \exp\!\left[-\frac{V}{V_0}\left(\frac{\sigma}{\sigma_0}\right)^m\right]$$

$P_f$는 부피 $V$인 시편이 응력 $\sigma$에서 깨질 확률, $\sigma_0$는 부피 $V_0$에서 63.2 %가 깨지는 특성 강도, $m$은 와이블 계수(Weibull modulus)다. $m$이 클수록 강도가 고르다 — 금속 30–100, 공학 세라믹 10–20, 유리·연마 안 한 다이 5–10, 분필 3쯤이다.

와이블 계수 m 설계 응력 σ/σ₀

MINI LAB강도 분포(확률 밀도, 남색)와 누적 파괴 확률 $P_f$(황동색). 같은 $\sigma_0$라도 $m$이 작으면 분포의 왼쪽 꼬리가 길어 낮은 응력에서 깨지는 시편이 많다. 백만 개에 하나($P_f = 10^{-6}$)만 깨지게 하는 설계 응력이 $m$에 얼마나 민감한지 보라.

와이블 그림. 식의 양변에 로그를 두 번 취하면 직선이 된다. 시편 $n$개의 강도를 작은 것부터 늘어놓고 $i$번째의 파괴 확률을 중앙 순위 $F_i = (i-0.3)/(n+0.4)$로 잡아 그리면, 기울기가 $m$이고 $F = 63.2\%$에서 $\sigma_0$를 읽는다.

$$\ln\ln\frac{1}{1-P_f} = m\ln\sigma - m\ln\sigma_0\qquad(V = V_0)$$

같은 재료로 부피가 100배 큰 시편을 만들면($m = 10$) 특성 강도는?

같은 $P_f$를 주려면 $(V/V_0)\sigma^m$이 같아야 하므로 $\sigma_2/\sigma_1 = (V_1/V_2)^{1/m} = 100^{-0.1} = 0.63$. 큰 시편에는 큰 결함이 들어 있을 가능성이 높다. 시뮬레이터에서 부피를 100배로 하고 모든 시편을 꺾어 $\sigma_0$를 비교하라.

SIMULATOR

시편 30개 꺾기와 와이블 그림

하중 손잡이를 아래로 끈다

참 와이블 계수 m 시편 부피 V/V₀

걸린 응력—

깨진 시편—

모형 P_f—

맞춘 m, σ₀—

실리콘 다이($K_\mathrm{IC} = 0.9$ MPa√m, 부피 $V_0$에서 $\sigma_0 = 500$ MPa)를 시편 30개로 만들었다. 각 시편의 강도는 와이블 표본(Mat.weibullSample, 시드 고정)이고, 시편 속 빨간 금은 그 강도에 해당하는 가장 큰 결함 깊이 $a = \frac1\pi(K_\mathrm{IC}/1.12\sigma_f)^2$를 과장해 그린 것이다. 오른쪽은 깨진 시편의 와이블 그림과 모든 시편을 꺾은 뒤의 직선 맞춤(Mat.weibullFit)이다. 해볼 것: ① 하중을 천천히 올려 깨진 비율이 모형 $P_f$를 따라가는지 본다. ② $m$을 3과 30으로 바꿔 강도 산포를 비교한다. ③ 부피를 100배로 해 크기 효과를 확인하고, "새 묶음"으로 30개짜리 추정 $m$이 얼마나 흔들리는지 본다.

와이블 계수 10인 재료에서 시험편 부피가 실제 부품의 100분의 1이면, 부품의 특성 강도는 시험편의 배다. 시험편 강도가 500 MPa라면 부품은 .

시험 방법과 유효 부피. 취성 재료의 강도는 인장 시험 대신 굽힘으로 잰다. 3점 굽힘에서 최대 응력은 하중점 아래 바닥면 한 줄에만 걸리고 나머지는 덜 걸리므로, 같은 재료라도 인장보다 강도가 높게 나온다(유효 부피가 작다). 4점 굽힘은 두 하중점 사이가 같은 응력이라 유효 부피가 크고, 원판을 고리로 받치고 작은 고리나 공으로 누르는 이축 굽힘(볼 위 링, 링 위 링)은 가장자리 결함을 빼고 면 전체를 시험한다.

취성 재료의 강도 시험. 다이 강도는 3점 굽힘(가장자리·측면 결함까지 포함)과 볼 위 링·링 위 링(면 결함)을 함께 재서 손상이 어디에 있는지 가린다.

다이 강도와 그라인딩 손상

웨이퍼를 수십 µm까지 얇게 가는 백그라인딩은 표면 아래에 미세 균열과 전위가 엉킨 손상층(굵은 숫돌에서 수 µm)을 남긴다. 다이 강도는 이 층의 가장 깊은 균열이 정하므로, 손상 깊이를 $a$로 놓고 $\sigma_f = K_\mathrm{IC}/(1.12\sqrt{\pi a})$로 어림할 수 있다. 고운 숫돌·건식 연마·CMP·플라스마 식각으로 손상층을 걷어 내면 강도가 오르고 와이블 계수도 커진다. 다이싱 날이 옆면에 남기는 칩핑은 3점 굽힘 강도를, 그라인딩 자국은 볼 위 링 강도를 깎는다. 얇은 다이일수록 패키지 휨과 몰딩 압력으로 같은 하중에서도 응력이 커지므로 강도 분포의 아래 꼬리($P_f = 10^{-4}$–$10^{-6}$)가 설계 기준이다. → PackagingBook · 웨이퍼 테스트와 박막화, PackagingBook · 다이싱

실리콘($K_\mathrm{IC} = 0.9$ MPa√m)을 백그라인딩해 깊이 5.0의 표면 균열이 남으면 다이 강도는 $\sigma_f\approx$ 다. 연마로 손상층을 걷어 균열을 0.50로 줄이면 , 곧 배가 된다.

웨이퍼 가장자리 칩핑과 파손

웨이퍼가 공정 중에 깨지는 사고의 대부분은 가장자리에서 시작한다. 로봇·카세트·척에 부딪혀 생긴 작은 칩은 가장자리 균열($Y\approx1.12$)이 되고, 급속 열처리의 온도 차가 만드는 원주 방향 열응력이나 진공 척의 휨 응력이 그 균열을 연다. 그래서 웨이퍼는 잘라 낸 직후 가장자리를 둥글게 갈아(에지 그라인딩) 날카로운 모서리를 없애고, 가장자리 검사 장비로 칩·균열을 찾는다. 300 mm 웨이퍼에서 깊이 수십 µm의 칩은 열응력 수십 MPa에서도 위험하다. → ProcessBook · 실리콘 웨이퍼와 세정

다이 시편의 3점 굽힘 강도가 와이블 분포 $m = 10$, $\sigma_0 = 500$ MPa를 따른다. (a) 300 MPa에서의 파괴 확률은? (b) 파괴 확률을 $10^{-4}$ 이하로 하려면 응력을 얼마 아래로 해야 하는가? (c) 다이 크기를 키워 응력이 걸리는 유효 부피가 4배가 되면 특성 강도는?

풀이 보기

전략 $P_f = 1-\exp[-(\sigma/\sigma_0)^m]$, 역으로 $\sigma = \sigma_0[-\ln(1-P_f)]^{1/m}$, 크기 효과 $(V_1/V_2)^{1/m}$.

풀이 (a) $(300/500)^{10} = 0.6^{10} = 6.05\times10^{-3}$, $P_f = 1-e^{-0.00605} = 6.03\times10^{-3}$. (b) $-\ln(1-10^{-4})\approx10^{-4}$, $\sigma = 500\times(10^{-4})^{0.1} = 500\times0.398 = 199$ MPa. (c) $\sigma_0' = 500\times4^{-0.1} = 500\times0.871 = 435$ MPa.

(a) 약 0.6 % (b) 약 200 MPa 이하 (c) 약 435 MPa

검토 평균 강도($\sigma_0\Gamma(1+1/m) = 476$ MPa)의 40 %로 낮춰야 만 개에 하나만 깨진다. $m$을 20으로 올리면 같은 조건의 설계 응력이 316 MPa로 오른다 — 산포를 줄이는 공정 개선이 평균 강도를 올리는 것만큼 값지다.

피로: S–N 곡선과 변형 수명

비행기 날개, 회전하는 축, 켜고 끌 때마다 데워졌다 식는 칩의 솔더 접합은 모두 항복 강도보다 훨씬 낮은 응력을 수백만 번 되풀이해 받는다. 이렇게 반복 하중 아래에서 균열이 생기고 자라 결국 끊어지는 현상을 피로(fatigue)라 한다. 기계 부품 파손의 대부분(흔히 80–90 %로 꼽는다)이 피로이고, 경고 없이 갑자기 일어난다는 점이 위험하다.

반복 응력은 최대 $\sigma_\mathrm{max}$, 최소 $\sigma_\mathrm{min}$으로 정한다. 평균 응력 $\sigma_m = (\sigma_\mathrm{max}+\sigma_\mathrm{min})/2$, 응력 진폭 $\sigma_a = (\sigma_\mathrm{max}-\sigma_\mathrm{min})/2$, 응력비 $R = \sigma_\mathrm{min}/\sigma_\mathrm{max}$다. 완전 반복($R = -1$)에서 진폭 $\sigma_a$와 파단 반복 수 $N_f$의 관계를 그린 것이 S–N 곡선(S–N curve)이고, 고주기 영역은 바스킨 식(Basquin equation)으로 잘 맞는다.

$$\sigma_a = \sigma_f'\,(2N_f)^{b}$$

$\sigma_f'$는 피로 강도 계수(대략 진파괴 강도), $b$는 피로 강도 지수(−0.05 ~ −0.12). $2N_f$는 반전 횟수다. 강과 Ti 합금은 $10^6$–$10^7$회 근처에서 곡선이 평평해져 그 아래로는 끊어지지 않는 피로 한도(fatigue limit)가 있고(강은 대략 인장 강도의 0.5배), Al·Cu 합금은 한도가 없어 $10^7$–$5\times10^8$회의 피로 강도로 설계한다.

반복 슬립이 표면에 돌출·함입을 만든다. 매끈하게 연마하고 표면에 압축 응력(쇼트 피닝)을 걸면 이 단계가 늦어진다.
균열이 최대 전단 면을 따라 결정립 몇 개 깊이까지 자란다(1단계).
하중 축에 수직으로 방향을 바꿔 한 주기에 하나씩 줄무늬를 남기며 자란다(2단계, 6절의 파리스 영역). 하중이 바뀔 때마다 육안으로 보이는 해변 무늬가 생긴다.
균열이 임계 길이에 이르면 남은 단면이 순간적으로 끊긴다.

피로 균열의 수명. 고주기 피로에서는 1–2단계(생성)가 수명의 대부분이고, 결함·노치가 있는 부재에서는 3단계(성장)가 수명을 정한다.

응력 진폭을 그대로 두고 평균 응력만 0에서 인장 쪽으로 300 MPa 올리면 4340 강의 피로 수명은?

인장 평균 응력은 균열을 열어 두어 같은 진폭에서도 손상을 키운다. 굿맨 보정으로 등가 진폭이 $\sigma_a/(1-\sigma_m/\sigma_u)$로 커지고, 바스킨 지수가 작아(−0.1) 진폭이 조금만 커져도 수명이 크게 준다. 압축 평균 응력은 반대로 수명을 늘린다 — 쇼트 피닝과 화학 강화의 원리다.

SIMULATOR

반복 하중 파형과 S–N 곡선

파형의 꼭대기·바닥(흰 원)을 끈다

재료

평균 응력 보정

σ_a · σ_m · R—

등가 진폭 σ_ar—

예상 수명 N_f—

반복 수 · 손상—

왼쪽은 응력–시간 파형과 시편이다. 재생하면 반복 수가 로그 속도로 빨라지며 쌓이고, 손상 $D = n/N_f$이 1에 닿으면 시편이 끊긴다. 오른쪽은 바스킨 S–N 곡선(대표값: 4340 강 $\sigma_f' = 1758$ MPa, $b = -0.098$; 2024-T3 $\sigma_f' = 1103$ MPa, $b = -0.124$)과 현재 등가 진폭의 점이다. 강은 $10^6$회에서 피로 한도로 평평해진다. 해볼 것: ① $R = -1$에서 진폭을 피로 한도 아래로 낮추면 영원히 끊기지 않는다. ② 진폭은 두고 평균 응력을 올려 수명이 얼마나 주는지 본다. ③ 알루미늄은 낮은 진폭에서도 언젠가는 끊긴다.

평균 응력의 보정

S–N 곡선은 보통 완전 반복으로 얻는다. 평균 응력이 있는 하중은 같은 수명을 주는 등가 완전 반복 진폭 $\sigma_{ar}$으로 바꿔 S–N 곡선에 넣는다. 평균 응력 $\sigma_m$과 진폭 $\sigma_a$의 평면에 같은 수명을 주는 선을 그리면 다음 세 가지가 널리 쓰인다.

$$\text{굿맨: }\frac{\sigma_a}{\sigma_{ar}} + \frac{\sigma_m}{\sigma_u} = 1,\qquad \text{거버: }\frac{\sigma_a}{\sigma_{ar}} + \left(\frac{\sigma_m}{\sigma_u}\right)^2 = 1,\qquad \text{소더버그: }\frac{\sigma_a}{\sigma_{ar}} + \frac{\sigma_m}{\sigma_\mathrm{y}} = 1$$

$\sigma_u$는 인장 강도. 굿맨은 실험점의 조금 안쪽(안전 쪽), 거버는 연성 금속의 실험점에 가깝고, 소더버그는 항복까지 막는 가장 보수적인 선이다. $\sigma_{ar}$을 피로 한도 $\sigma_e$로 두면 무한 수명의 경계가 된다.

작동점(흰 원)을 끌어 평균 응력과 진폭을 고른다

MINI LAB4340 강($\sigma_u = 1172$ MPa, $\sigma_\mathrm{y} = 1103$ MPa, $10^6$회 피로 강도 $\sigma_e = 426$ MPa)의 무한 수명 도표. 세 선 안쪽이 안전 영역이고, 원점에서 작동점까지의 거리와 선까지의 거리 비가 안전 계수다. 작동점을 오른쪽(인장 평균)으로 옮기면 같은 진폭에서도 선 밖으로 나간다. 왼쪽(압축 평균)은 수명이 늘어나는 쪽이지만 보통 굿맨 선을 수평으로 이어 보수적으로 다룬다.

누적 손상: 마이너 법칙

실제 부품은 진폭이 여러 가지인 하중을 섞어 받는다. 마이너 법칙(Miner's rule)은 진폭 $\sigma_i$로 $n_i$회 받으면 수명의 $n_i/N_i$를 썼다고 보고, 그 합이 1이 될 때 파단한다고 가정한다.

$$D = \sum_i\frac{n_i}{N_i} = 1$$

순서 효과(큰 하중 뒤 작은 하중이면 수명이 더 짧다)를 무시한 단순 선형 법칙이지만 설계에서 가장 많이 쓴다. 불규칙한 하중 이력은 레인플로 계수법으로 진폭별 횟수로 나눈다.

4340 강 축이 하루에 진폭 600로 20회, 진폭 480로 300회를 받는다(나머지는 피로 한도 아래). 하루 손상은 $D =$ 이므로 수명은 약 이다.

저주기 피로와 변형 수명

반복 수가 $10^4$회보다 적은 저주기 피로에서는 매 주기 소성 변형이 일어나 응력이 아니라 변형이 수명을 정한다. 변형 진폭을 탄성 부분(바스킨)과 소성 부분으로 나누면 코핀–맨슨 식(Coffin–Manson relation)이 소성 부분을 맡는다.

$$\frac{\Delta\varepsilon}{2} = \underbrace{\frac{\sigma_f'}{E}(2N_f)^{b}}_{\text{탄성}} + \underbrace{\varepsilon_f'(2N_f)^{c}}_{\text{소성(코핀–맨슨)}}$$

$\varepsilon_f'$는 피로 연성 계수(대략 진파괴 변형), $c$는 피로 연성 지수(−0.5 ~ −0.7). 두 직선이 만나는 전이 수명 $2N_t = (\varepsilon_f'E/\sigma_f')^{1/(b-c)}$보다 짧은 수명은 연성이, 긴 수명은 강도가 정한다.

전체 변형 범위 Δε

MINI LAB변형–수명 곡선(로그–로그). 점선 두 개가 탄성(바스킨)과 소성(코핀–맨슨) 직선이고 실선이 그 합이다. 고강도강은 전이 수명이 길어(약 1700회) 대부분의 수명을 강도가 정하고, 연한 재료일수록 전이 수명이 짧다. 큰 변형 범위에서는 연성이 큰 재료가, 작은 변형 범위에서는 강한 재료가 오래 간다.

솔더 접합의 열 피로

칩(실리콘 2.6 ppm/K)과 기판(FR-4 약 17 ppm/K)은 열팽창 계수가 다르므로, 전원을 켜고 끌 때마다 그 사이의 솔더 볼이 전단 변형을 받는다. 중립점(칩 가운데)에서 거리 $L_D$인 볼의 전단 변형 범위는 $\Delta\gamma\approx L_D\,\Delta\alpha\,\Delta T/h$($h$는 볼 높이)이고, 솔더는 상온에서도 녹는점의 0.6배라 매 주기 소성·크리프 변형을 한다. 그래서 저주기 피로이며 코핀–맨슨형 식 $N_f = \tfrac12(\Delta\gamma/2\varepsilon_f')^{1/c}$(엥겔마이어, $\varepsilon_f' = 0.325$, $c\approx-0.44$)으로 수명을 어림한다. 가장 바깥 볼이 먼저 끊기고, 언더필이 칩과 기판을 묶어 $\Delta\gamma$를 줄이면 수명이 몇 배에서 열 배 넘게 는다. 시험 조건과 현장 조건의 가속 계수는 17장(노리스–란츠베르크)에서 다룬다. → PackagingBook · 플립칩

중립점에서 10.0 떨어진 높이 0.40의 솔더 볼이 열팽창 계수 차 10.0, 온도 범위 100의 주기를 받으면 $\Delta\gamma =$ , 엥겔마이어 수명 $N_f\approx$ 이다.

4340 강($\sigma_u = 1172$ MPa, $\sigma_f' = 1758$ MPa, $b = -0.0977$) 축이 $\sigma_m = 300$ MPa, $\sigma_a = 500$ MPa의 반복 응력을 받는다. (a) 평균 응력이 없을 때의 수명, (b) 굿맨 보정, (c) 거버 보정 수명을 구하라.

풀이 보기

전략 등가 진폭을 구해 바스킨 식 $N_f = \tfrac12(\sigma_{ar}/\sigma_f')^{1/b}$에 넣는다.

풀이 (a) $N_f = \tfrac12(500/1758)^{1/(-0.0977)} = \tfrac12(0.2844)^{-10.24} = 1.94\times10^5$. (b) $\sigma_{ar} = 500/(1-300/1172) = 500/0.744 = 672$ MPa, $N_f = \tfrac12(672/1758)^{-10.24} = 9.4\times10^3$. (c) $\sigma_{ar} = 500/(1-0.256^2) = 535$ MPa, $N_f = 9.7\times10^4$.

(a) 약 1.9×10⁵회 (b) 약 9.4×10³회 (c) 약 9.7×10⁴회

검토 굿맨과 거버가 열 배 차이 난다. 바스킨 지수가 작아 등가 진폭의 작은 차이가 수명에서 크게 벌어지기 때문이다. 설계에서는 보수적인 굿맨을 쓰고, 실험 자료가 있으면 그에 맞는 선을 고른다.

피로 균열 성장과 손상 허용 설계

용접부·리벳 구멍·주조 기공처럼 처음부터 결함이 있는 부재에서는 균열 생성 단계가 거의 없고, 수명은 균열이 검출 가능한 크기에서 임계 크기까지 자라는 데 걸리는 반복 수가 정한다. 한 주기에 균열이 자라는 길이 $da/dN$을 균열 끝 응력 확대 계수의 범위 $\Delta K = Y\Delta\sigma\sqrt{\pi a}$에 대해 로그–로그로 그리면 세 영역이 나타난다.

피로 균열 성장 곡선. 문턱 $\Delta K_\mathrm{th}$ 아래에서는 균열이 거의 자라지 않고, 가운데 넓은 영역은 직선(파리스 법칙)이며, $K_\mathrm{max}$가 $K_\mathrm{IC}$에 다가가면 속도가 치솟는다.

$$\frac{da}{dN} = C\,(\Delta K)^m\quad\Rightarrow\quad N_f = \int_{a_0}^{a_c}\frac{da}{C\,(Y\Delta\sigma\sqrt{\pi a})^m} = \frac{a_c^{\,1-m/2}-a_0^{\,1-m/2}}{C\,(Y\Delta\sigma\sqrt\pi)^m\,(1-m/2)}\quad(m\ne2)$$

파리스 법칙(Paris law). 단위는 $da/dN$[m/주기], $\Delta K$[MPa√m]. 바섬의 대표값: 페라이트–펄라이트 강 $C = 6.9\times10^{-12}$, $m = 3.0$; 마르텐사이트 강 $1.35\times10^{-10}$, 2.25; 오스테나이트 스테인리스 $5.6\times10^{-12}$, 3.25. $\Delta\sigma$는 인장 부분만 센다(압축에서는 균열이 닫힌다). $Y$가 균열 길이에 따라 변하면 수치 적분한다.

적분을 보면 수명의 대부분은 균열이 작을 때 쓰인다. $m = 3$이면 피적분 함수가 $a^{-3/2}$이라 처음 크기 $a_0$가 수명을 거의 정하고, 임계 크기 $a_c$는 크게 상관없다. 그래서 처음 결함을 줄이는 공정 관리와, 작은 균열을 찾아내는 검사가 핵심이다. 균열이 있다고 가정하고 다음 검사 전에 임계 크기에 닿지 않도록 검사 주기를 정하는 방식을 손상 허용 설계(damage-tolerant design)라 한다. 항공기 구조와 원자로·압력 용기가 이 방식을 쓴다.

페라이트–펄라이트 강($C = 6.9\times10^{-12}$, $m = 3$, $K_\mathrm{IC} = 50$ MPa√m)의 가장자리 균열($Y = 1.12$)이 응력 범위 200($R = 0$)를 받는다. 임계 길이는 $a_c =$ , 처음 균열 0.50에서 파단까지 회이고, 그중 균열이 2 mm를 넘은 뒤 남은 수명은 다.

SIMULATOR

과제: 균열이 달리기 전에 잡는 검사 주기

아래 흰 원을 좌우로 끌어 검사 주기를 정한다

검사 장비 (검출 한계 · 1회 비용)

검사 주기—

검사 · 교체 · 파손—

점수—

판정—

부품 8개가 처음 균열 0.3–0.8 mm, 응력 범위 180–230 MPa(제각각)로 $6\times10^5$회 운항한다. 균열은 파리스 법칙($C = 6.9\times10^{-12}$, $m = 3$, $Y = 1.12$)으로 자라고, $K_\mathrm{max} = K_\mathrm{IC} = 50$ MPa√m인 길이(약 13–20 mm)에 닿으면 파손이다. 검사 때 검출 한계보다 긴 균열은 찾아내 새 부품으로 바꾼다. 점수 = 100 − 30×파손 − 비용×검사 횟수. 70점 이상이면 성공. 해볼 것: ① 장비마다 파손 없이 버티는 가장 긴 주기를 찾는다. ② 검출 한계에서 임계 길이까지의 반복 수(가장 빠른 부품 기준)가 허용 주기를 정한다는 것을 확인한다. ③ 비싼 장비가 늘 이득인지 따져 본다.

페라이트–펄라이트 강판($K_\mathrm{IC} = 50$ MPa√m)에 깊이 0.5 mm의 가장자리 균열($Y = 1.12$)이 있다. 응력이 0과 200 MPa 사이를 반복한다. (a) 임계 균열 길이, (b) 파단까지의 반복 수, (c) 균열이 2 mm가 될 때까지의 반복 수를 구하라($C = 6.9\times10^{-12}$, $m = 3$, $Y$ 일정).

풀이 보기

전략 $a_c = \frac1\pi(K_\mathrm{IC}/Y\sigma_\mathrm{max})^2$. $m = 3$이면 $1-m/2 = -\tfrac12$이므로 $N = \dfrac{2(a_0^{-1/2}-a_c^{-1/2})}{C(Y\Delta\sigma\sqrt\pi)^3}$.

풀이 (a) $a_c = (50/224)^2/\pi = 0.04982/\pi = 0.01586$ m = 15.9 mm. (b) $Y\Delta\sigma\sqrt\pi = 1.12\times200\times1.7725 = 397.0$, $C\times397.0^3 = 6.9\times10^{-12}\times6.26\times10^7 = 4.32\times10^{-4}$. $a_0^{-1/2} = 44.72$, $a_c^{-1/2} = 7.94$ m⁻¹ᐟ². $N = 2(44.72-7.94)/4.32\times10^{-4} = 1.70\times10^5$. (c) $a^{-1/2}$ at 2 mm $= 22.36$: $N = 2(44.72-22.36)/4.32\times10^{-4} = 1.04\times10^5$.

(a) 약 16 mm (b) 약 1.7×10⁵회 (c) 약 1.0×10⁵회 — 수명의 61 %

검토 균열이 0.5 mm에서 2 mm까지 자라는 동안 수명의 60 %를 쓰고, 2 mm에서 16 mm까지는 나머지 40 %만에 자란다. 2 mm 검출 장비라면 검사 간격이 $6.7\times10^4$회보다 짧아야 하고, 보통 그 절반 이하로 잡아 두 번의 검출 기회를 둔다.

크리프와 변형 기구 지도

제트 엔진의 터빈 날개는 1000 °C가 넘는 가스 속에서 원심력을 받으며 수만 시간을 돈다. 하중이 항복 강도보다 한참 낮아도 날개는 조금씩 길어진다. 일정한 하중 아래에서 시간에 따라 변형이 쌓이는 현상을 크리프(creep)라 한다. 원자가 확산으로 움직일 수 있어야 하므로 대략 $T > 0.4T_m$($T_m$은 녹는점, K)에서 중요해진다. 텅스텐(3695 K)에게 1000 °C는 0.34 $T_m$이지만 주석–은–구리 솔더(490 K)에게는 상온 25 °C가 이미 0.61 $T_m$이다.

일정 하중의 크리프 곡선은 세 단계로 나뉜다. 하중을 거는 순간의 탄성 변형 뒤, 1차(천이) 크리프에서는 가공 경화가 회복을 이겨 변형 속도가 줄어든다. 2차(정상 상태) 크리프에서는 가공 경화와 회복(전위의 상승·소멸)이 균형을 이뤄 속도 $\dot\varepsilon_s$가 일정하고, 수명의 대부분이 여기서 지나간다. 3차 크리프에서는 결정립계에 공동이 생겨 이어지고 단면이 줄어 속도가 빨라지다가 파단한다. 설계에는 정상 상태 속도 $\dot\varepsilon_s$와 파단 시간 $t_r$을 쓴다.

SIMULATOR

크리프 시험기: 추를 끌어 하중 걸기

추(흰 원)를 위아래로 끌어 응력을 바꾼다

온도

응력 · 온도—

정상 상태 속도—

파단 시간 t_r—

LMP (C = 20)—

모형 내열 합금: $\dot\varepsilon_s = A\sigma^5e^{-Q/RT}$($Q = 280$ kJ/mol; 700 °C·150 MPa에서 $10^{-4}$ h⁻¹), 몽크먼–그랜트 $\dot\varepsilon_s t_r = 0.05$로 파단 시간을 정하고 Mat.creepCurve로 1·2·3단계 곡선을 그린다. 시험 시간은 파단 시간에 맞춰 늘려 보여 주므로 가로축 눈금을 읽는다. 해볼 것: ① 응력을 두 배로 하면 정상 상태 속도가 $2^5 = 32$배가 되는지 본다. ② 온도를 50 °C만 올려도 파단 시간이 몇 배 줄어드는지 본다. ③ 서로 다른 (온도, 응력)으로 같은 LMP가 나오는 조합을 찾아 "곡선 남기기"로 비교한다.

정상 상태 크리프와 노턴 식

정상 상태 크리프 속도는 응력의 거듭제곱과 아레니우스 인자의 곱으로 잘 맞는다(노턴 식(Norton's law), 멱법칙 크리프).

$$\dot\varepsilon_s = A\,\sigma^{n}\exp\!\left(-\frac{Q_c}{RT}\right)$$

$n$은 응력 지수: 전위가 장애물을 상승으로 넘는 전위 크리프는 3–8, 확산 크리프는 1. 크리프 활성화 에너지 $Q_c$는 대개 자기 확산 에너지와 같다(4장) — 크리프가 원자 확산이 조절하는 과정이라는 증거다. 두 응력의 속도로 $n = \ln(\dot\varepsilon_2/\dot\varepsilon_1)/\ln(\sigma_2/\sigma_1)$, 두 온도로 $Q_c = R\ln(\dot\varepsilon_2/\dot\varepsilon_1)/(1/T_1-1/T_2)$.

응력 지수 5, 활성화 에너지 280인 합금에서 응력을 1.50배로, 온도를 700 °C에서 750로 바꾸면 크리프 속도는 가 된다(응력만: , 온도만: ).

전위 크리프: 전위가 장애물을 상승으로 넘는다. 석출물·고용 원자가 이 과정을 늦추므로 초합금은 γ′ 석출물을 많이 넣는다.
나바로–헤링 크리프(Nabarro–Herring creep): 결정립 내부를 지나는 확산이 결정립을 하중 방향으로 늘인다.
코블 크리프(Coble creep): 결정립계 확산이 같은 일을 한다. 결정립 크기의 세제곱에 반비례하므로 결정립이 작을수록 빠르다.

크리프의 미시 기구. 결정립을 키우면 확산 크리프가 줄어든다 — 상온 강도에는 작은 결정립이, 고온 크리프에는 큰 결정립(더 나아가 단결정 터빈 날개)이 좋다.

변형 기구 지도

어느 기구가 우세한지는 응력과 온도, 결정립 크기가 정한다. 애시비는 정규화 응력 $\sigma/G$와 상동 온도 $T/T_m$의 평면에 각 기구의 속도식을 그려 가장 빠른 기구가 이기는 영역을 칠하고, 같은 변형 속도의 등고선을 함께 그렸다. 이것이 변형 기구 지도(deformation-mechanism map)다. 기구들은 병렬로 일어나므로 전체 속도는 대략 각 기구 속도의 합이고, 가장 빠른 것이 지배한다.

구리의 결정립을 100 µm에서 10 µm로 줄이면, 지도에서 고온·저응력 쪽의 확산 크리프 영역은?

확산 거리(결정립 크기)가 짧아지고 결정립계 면적이 늘어 확산 크리프가 빨라진다. 같은 응력에서 변형 속도가 커지고, 멱법칙 크리프와의 경계가 높은 응력 쪽으로 올라간다. 홀–페치 강화의 반대 방향이다.

SIMULATOR

변형 기구 지도 위의 작동점

작동점(흰 원)을 끌어 온도와 응력을 고른다

재료

결정립 크기 d 변형 속도 등고선

T · T/T_m—

σ · σ/G—

우세 기구—

변형 속도—

프로스트–애시비 형태의 속도식(Mat.creepRates: 멱법칙 크리프, 나바로–헤링, 코블)에 저온 전위 활주(장애물 넘기 모형, 활성화 에너지 $0.5Gb^3$, 한계 응력 $\hat\tau = 6\times10^{-3}G$, $0.2\hat\tau$ 아래에서는 끔)를 더해 칸마다 가장 빠른 기구로 칠했다. 등고선은 $10^{-10}$부터 $10^{2}$ s⁻¹까지 100배 간격이다. 매개변수는 대표값이며 실제 지도와 경계가 조금 다르다. 해볼 것: ① $T/T_m = 0.6$, $\sigma/G = 10^{-4}$에서 결정립 크기를 1 µm–1 mm로 바꿔 우세 기구가 바뀌는 것을 본다. ② 같은 상동 온도·정규화 응력에서 Cu·Al·Ni의 속도를 비교한다. ③ 변형 속도 $10^{-8}$ s⁻¹(1년에 약 30 %)을 넘지 않는 영역의 경계를 따라가 본다.

라슨–밀러 변수와 수명 외삽

설계 수명이 10만 시간(11년)이라도 시험을 그만큼 할 수는 없다. 온도를 올려 짧게 시험한 결과를 낮은 온도의 긴 수명으로 옮기는 방법이 라슨–밀러 변수(Larson–Miller parameter)다. 파단 시간이 아레니우스형($t_r\propto e^{Q/RT}$)이면 $T(\ln t_r - \ln t_0)$이 응력만의 함수가 되는 데서 나온다.

$$\mathrm{LMP} = T\,(C + \log_{10}t_r)\qquad(T\ \text{K},\ t_r\ \text{h},\ C\approx20)$$

한 응력에서 LMP는 하나다. 여러 온도·응력의 파단 시험을 응력–LMP 한 곡선(주곡선)에 모아 두고, 설계 온도와 응력에서 LMP를 읽어 $t_r = 10^{\mathrm{LMP}/T - C}$로 수명을 얻는다. 정상 상태 속도와 파단 시간의 곱이 거의 일정하다는 몽크먼–그랜트 관계(Monkman–Grant relation) $\dot\varepsilon_s t_r\approx$ 일정도 짧은 시험에서 수명을 어림하는 데 쓴다.

곡선 위의 흰 원을 끌어 응력을 고른다

사용 온도

MINI LAB철기 내열 합금 S-590 형태의 응력–LMP 주곡선(캘리스터 교재 그림을 본뜬 대표 곡선, $C = 20$). 응력을 고르면 LMP가 정해지고, 사용 온도가 그 LMP를 파단 시간으로 바꾼다. 온도를 50 °C 올릴 때 수명이 몇 분의 일로 줄어드는지 보라.

고온 장비 부품과 웨이퍼의 크리프

확산로의 석영관과 석영 보트는 1100 °C 근처에서 점성 흐름으로 처져 수명이 정해지고, 더 높은 온도에는 크리프에 강한 SiC 보트와 관을 쓴다. 웨이퍼 자체도 1000 °C가 넘으면 $T/T_m > 0.7$이라 자중과 열응력만으로 지지점에서 전위가 미끄러지고(슬립) 휜다. 대구경 웨이퍼일수록 지지 위치를 세심하게 정하고 승온 속도를 제한한다. 텅스텐 히터 필라멘트는 칼륨 기포를 늘어놓아 결정립계 미끄럼을 막은 도핑 텅스텐으로 크리프 처짐을 늦춘다. 패키지 쪽에서는 솔더가 상온에서 이미 $0.6T_m$이므로 열 피로가 크리프–피로가 되어, 주기의 유지 시간과 주파수가 수명을 바꾼다. → ProcessBook · 확산과 열처리

어떤 내열강의 정상 상태 크리프 속도가 600 °C에서 60 MPa일 때 $1.0\times10^{-7}$ s⁻¹, 120 MPa일 때 $3.2\times10^{-6}$ s⁻¹이고, 60 MPa·650 °C에서 $6.0\times10^{-7}$ s⁻¹이다. (a) 응력 지수 $n$, (b) 활성화 에너지 $Q_c$, (c) 550 °C·80 MPa에서의 크리프 속도를 구하라.

풀이 보기

전략 같은 온도의 두 점에서 $n$, 같은 응력의 두 점에서 $Q_c$를 구하고 노턴 식으로 옮긴다.

풀이 (a) $n = \ln(32)/\ln 2 = 5.0$. (b) $1/873.15 - 1/923.15 = 6.204\times10^{-5}$ K⁻¹, $Q_c = 8.314\ln 6/6.204\times10^{-5} = 2.40\times10^5$ J/mol. (c) $\dot\varepsilon = 1.0\times10^{-7}(80/60)^5\exp[-\tfrac{240\,150}{8.314}(\tfrac{1}{823.15}-\tfrac{1}{873.15})] = 1.0\times10^{-7}\times4.21\times0.134 = 5.6\times10^{-8}$ s⁻¹.

(a) n = 5 (b) 약 240 kJ/mol (c) 약 5.6×10⁻⁸ s⁻¹

검토 $n = 5$는 전위 크리프, 240 kJ/mol은 철의 자기 확산 에너지(약 250 kJ/mol)에 가깝다. 50 °C 낮추면 속도가 7분의 1로 줄어 응력을 33 % 올린 효과(4.2배)를 이긴다 — 크리프 설계에서 온도가 가장 민감한 변수다.

핵심 정리

이론 강도와 균열: $\sigma_\mathrm{th}\approx\sqrt{E\gamma_s/a_0}\approx E/10$. 실제 강도가 수십–수백 배 낮은 것은 결함 끝의 응력 집중 $\sigma_m = \sigma_0(1+2\sqrt{a/\rho_t})$ 때문이다. 그리피스 에너지 균형 $\sigma_c = \sqrt{2E\gamma_s/\pi a}$ — 강도는 $1/\sqrt a$.
파괴 인성: $K = Y\sigma\sqrt{\pi a}$가 $K_\mathrm{IC}$에 이르면 파괴. $a_c = \frac1\pi(K_\mathrm{IC}/Y\sigma)^2$, $G = K^2/E'$, 평면 변형 두께 $B\ge2.5(K_\mathrm{IC}/\sigma_\mathrm{y})^2$. 균열이 $a_t = \frac1\pi(K_\mathrm{IC}/Y\sigma_\mathrm{y})^2$보다 길면 항복 전에 깨진다.
연성–취성 전이: BCC는 저온에서 항복 응력이 벽개 응력을 넘어 취성이 되고, FCC는 전이가 없다. 샤르피 시험으로 전이 온도를 재며, 결정립 미세화는 강도와 함께 인성도 올린다.
와이블 통계: $P_f = 1-\exp[-(V/V_0)(\sigma/\sigma_0)^m]$. 와이블 그림의 기울기가 $m$, 크기 효과 $\sigma_2/\sigma_1 = (V_1/V_2)^{1/m}$. 취성 재료는 평균이 아니라 아래 꼬리($P_f = 10^{-4}$–$10^{-6}$)로 설계하고, 손상층 제거가 강도와 $m$을 함께 올린다.
피로 수명: 바스킨 $\sigma_a = \sigma_f'(2N_f)^b$, 코핀–맨슨 $\Delta\varepsilon_p/2 = \varepsilon_f'(2N_f)^c$, 평균 응력은 굿맨·거버·소더버그로 등가 진폭으로 바꾸고, 여러 진폭은 마이너 법칙 $\sum n_i/N_i = 1$로 더한다. 솔더 열 피로는 $\Delta\gamma = L_D\Delta\alpha\Delta T/h$의 저주기 피로다.
균열 성장: $da/dN = C\Delta K^m$을 적분하면 수명의 대부분은 균열이 작을 때 쓰인다. 손상 허용 설계는 검출 한계에서 임계 길이까지의 반복 수보다 짧은 검사 주기를 정한다.
크리프: $T > 0.4T_m$에서 1·2·3단계. 노턴 식 $\dot\varepsilon_s = A\sigma^ne^{-Q_c/RT}$(전위 크리프 $n$ 3–8, 확산 크리프 $n = 1$, $Q_c\approx$ 자기 확산), 라슨–밀러 $T(20+\log t_r)$로 수명 외삽, 변형 기구 지도에서 응력·온도·결정립 크기로 우세 기구를 읽는다.

연습문제

따로 말이 없으면 자료는 문제에 주어진 값이나 부록 A의 자료표 값을 쓴다. 응력은 MPa, 파괴 인성은 MPa√m, 길이는 문제에 적힌 단위로 답한다. 섭씨는 켈빈으로 바꿔 계산한다($T = t + 273.15$). 답이 ±1–2% 이내면 정답이다.

알루미나의 영률이 380 GPa, 표면 에너지가 0.9 J/m², 원자면 간격이 0.20 nm일 때 이론 강도 $\sqrt{E\gamma_s/a_0}$를 GPa로 구하라.

$\sigma_\mathrm{th} = \sqrt{(380\times10^9)(0.9)/(0.20\times10^{-9})} = \sqrt{1.71\times10^{21}} = 4.14\times10^{10}$ Pa = 41.4 GPa. 영률의 약 1/9이다. 실제 알루미나의 굽힘 강도(약 330 MPa)는 이것의 1 %도 안 된다.

넓은 판 속에 길이 4.0 mm(끝에서 끝까지)인 내부 균열이 있고 수직 방향으로 150 MPa의 응력이 걸린다. $Y = 1$로 보고 응력 확대 계수를 구하라.

내부 균열의 $a$는 전체 길이의 절반이다.

$a = 2.0$ mm. $K = 150\sqrt{\pi\times0.002} = 150\times0.07927 = 11.9$ MPa√m.

깊이 0.1 mm, 끝 반지름 0.1 µm인 표면 흠집의 응력 집중 계수 $\sigma_m/\sigma_0 = 1+2\sqrt{a/\rho_t}$를 구하라.

$a/\rho_t = 100/0.1 = 1000$, $\sigma_m/\sigma_0 = 1 + 2\times31.62 = 64.2$. 끝을 1 µm로 무디게 하면 21로 준다 — 균열 끝에 구멍을 뚫어 균열을 멈추는 방법(드릴 정지 구멍)의 원리다.

Al 6061-T6($K_\mathrm{IC} = 29$ MPa√m) 부재에 200 MPa의 응력이 걸린다. 가장자리 균열($Y = 1.12$)의 임계 길이를 mm로 구하라.

$a_c = \frac1\pi(29/(1.12\times200))^2 = \frac1\pi(0.1295)^2 = 5.34\times10^{-3}$ m = 5.34 mm.

Ti-6Al-4V($K_\mathrm{IC} = 55$ MPa√m, $\sigma_\mathrm{y} = 830$ MPa)의 평면 변형 파괴 인성을 재려면 시편 두께가 최소 몇 mm여야 하는가?

$B = 2.5(55/830)^2 = 2.5\times4.39\times10^{-3} = 1.10\times10^{-2}$ m = 11.0 mm.

평면 변형 조건보다 얇은 판으로 파괴 인성 시험을 하면 측정되는 임계 응력 확대 계수 $K_c$는 $K_\mathrm{IC}$와 비교해 어떠한가?

얇은 판은 평면 응력 상태라 균열 끝의 소성 영역이 커지고 더 많은 에너지를 소모한다. $K_\mathrm{IC}$는 두께를 늘릴 때 수렴하는 최솟값이므로 설계에 쓰면 안전 쪽이다.

폭 8 mm, 두께 100 µm인 다이를 지지 간격 5 mm의 3점 굽힘으로 시험했더니 2.0 N에서 깨졌다. 굽힘 강도 $\sigma = 3FL/(2bd^2)$를 구하라.

$\sigma = 3(2.0)(0.005)/[2(0.008)(1.0\times10^{-4})^2] = 0.030/1.6\times10^{-10} = 1.875\times10^8$ Pa = 188 MPa.

세라믹 부품의 강도가 $m = 8$, $\sigma_0 = 400$ MPa인 와이블 분포를 따른다(부품 부피 = $V_0$). 250 MPa에서의 파괴 확률을 소수로 구하라.

$(250/400)^8 = 0.625^8 = 0.02328$, $P_f = 1-e^{-0.02328} = 0.0230$.

다이 강도 시험에서 10 %가 300 MPa 이하에서, 90 %가 450 MPa 이하에서 깨졌다. 와이블 계수 $m$을 구하라.

$\ln\ln[1/(1-P_f)] = m\ln\sigma - m\ln\sigma_0$를 두 점에 쓰고 빼서 $\sigma_0$를 없앤다.

$\ln\ln(1/0.1) = \ln 2.3026 = 0.8340$, $\ln\ln(1/0.9) = \ln0.10536 = -2.2504$. $m = (0.8340+2.2504)/\ln(450/300) = 3.0844/0.4055 = 7.61$.

$m = 12$인 세라믹에서 굽힘 시험편의 유효 부피가 실제 부품의 1/50이다. 같은 파괴 확률에서 부품 강도는 시험편 강도의 몇 배인가?

$\sigma_2/\sigma_1 = (V_1/V_2)^{1/m} = (1/50)^{1/12} = e^{-3.912/12} = 0.722$.

2024-T3 알루미늄($\sigma_f' = 1103$ MPa, $b = -0.124$)이 완전 반복 진폭 200 MPa를 받을 때의 파단 반복 수를 구하라.

$N_f = \tfrac12(200/1103)^{1/(-0.124)} = \tfrac12(0.1813)^{-8.065} = \tfrac12\times9.55\times10^5 = 4.78\times10^5$회.

4340 강($\sigma_f' = 1758$ MPa, $b = -0.0977$) 시편에 진폭 700 MPa로 2000회를 먼저 건 뒤 진폭을 500 MPa로 바꾸었다. 마이너 법칙으로 몇 회를 더 견디는가?

$N_{700} = \tfrac12(700/1758)^{-10.235} = 6.20\times10^3$, $N_{500} = 1.94\times10^5$. $D_1 = 2000/6199 = 0.323$, $n_2 = (1-0.323)\times1.94\times10^5 = 1.31\times10^5$회.

마르텐사이트 강($C = 1.35\times10^{-10}$, $m = 2.25$, $K_\mathrm{IC} = 50$ MPa√m) 부재에 깊이 0.5 mm의 가장자리 균열($Y = 1.12$)이 있고 응력이 0–300 MPa로 반복된다. 파단까지의 반복 수를 구하라.

먼저 $a_c = \frac1\pi(K_\mathrm{IC}/Y\sigma_\mathrm{max})^2$. 적분 결과 $N = (a_c^{1-m/2}-a_0^{1-m/2})/[C(Y\Delta\sigma\sqrt\pi)^m(1-m/2)]$에서 $1-m/2 = -0.125$.

$a_c = (50/336)^2/\pi = 7.05\times10^{-3}$ m. $Y\Delta\sigma\sqrt\pi = 595.5$, $595.5^{2.25} = 1.75\times10^6$, $C\times$ 이것 $= 2.37\times10^{-4}$. $a_c^{-0.125} = 1.858$, $a_0^{-0.125} = 2.586$. $N = (1.858-2.586)/(2.37\times10^{-4}\times(-0.125)) = 2.46\times10^4$회.

BGA 패키지의 가장 바깥 솔더 볼이 중립점에서 10 mm 떨어져 있고 높이는 0.40 mm다. 패키지와 기판의 열팽창 계수 차가 10 ppm/K이고 온도 범위가 100 K인 주기를 받는다. $\Delta\gamma = L_D\Delta\alpha\Delta T/h$와 $N_f = \tfrac12(\Delta\gamma/2\varepsilon_f')^{1/c}$($\varepsilon_f' = 0.325$, $c = -0.442$)로 수명을 구하라.

$\Delta\gamma = 10\times10^{-6}\times100\times10/0.40 = 0.025$. $\Delta\gamma/2\varepsilon_f' = 0.03846$, $N_f = \tfrac12(0.03846)^{-2.262} = \tfrac12\times1590 = 795$회. 실제 엥겔마이어 식은 $c$가 온도와 주파수에 따라 바뀌며, 언더필이 있으면 이보다 훨씬 길다.

어떤 철기 합금은 140 MPa에서 LMP $= 24.0\times10^3$($T$ K, $t_r$ h, $C = 20$)이다. 750 °C에서 이 응력을 받을 때의 파단 시간을 구하라.

$T = 1023.15$ K, $\log_{10}t_r = 24\,000/1023.15 - 20 = 3.457$, $t_r = 10^{3.457} = 2.86\times10^3$ h(약 4개월). 800 °C였다면 231 h — 50 °C에 열두 배다.

고온·낮은 응력에서 결정립을 작게 만들면 크리프 저항이 오히려 나빠지는 이유로 옳은 것은?

확산 크리프는 공공(원자)이 결정립 하나를 가로지르거나 계면을 따라 흐르며 생기므로 결정립이 작을수록 빠르다. 그래서 터빈 날개는 결정립계를 없앤 단결정으로 만든다.

개념 확인 퀴즈

같은 재료로 만든 판에서 균열 길이가 9배가 되면 파괴 응력은?

$\sigma_f = K_\mathrm{IC}/(Y\sqrt{\pi a})\propto a^{-1/2}$이므로 $1/\sqrt9 = 1/3$이다.

세라믹 다이의 와이블 계수 $m$이 크다는 것은?

$m$은 분포의 폭을 정한다. $m$이 크면 크기 효과 $(V_1/V_2)^{1/m}$도 작아진다. 평균 강도는 주로 $\sigma_0$가 정한다.

피로 수명을 늘리는 방법이 아닌 것은?

인장 평균 응력은 균열을 열어 두어 같은 진폭에서도 수명을 줄인다(굿맨). 나머지는 균열 생성 자리를 줄이거나 응력 집중을 낮춘다.

파리스 법칙($m = 3$)으로 균열 성장 수명을 계산할 때 결과를 가장 크게 좌우하는 것은?

$N\propto(a_0^{-1/2}-a_c^{-1/2})/\Delta\sigma^3$이고 $a_0\ll a_c$이면 $a_c$ 항은 작다. 응력 범위가 두 배면 수명은 1/8이다.

정상 상태 크리프 속도가 응력에 정비례($n = 1$)한다면 우세한 기구는?

확산 크리프는 응력이 공공 농도 차이를 만들고 그 차이에 비례해 물질이 흐르므로 $n = 1$이다. 전위 크리프는 전위 밀도도 응력에 따라 늘어 $n$이 3–8이다.