Chapter 17

신뢰성과 수율

반도체 공장이 하는 확률 계산의 끝에는 두 질문이 남는다. 웨이퍼 한 장에서 살아 나오는 다이는 몇 개인가(수율), 그리고 출하된 칩은 언제까지 살아 있는가(신뢰성)이다. 두 질문 모두 "결함이 어디에, 언제 생기는가"를 확률로 묻는다. 아래 칩 200개는 같은 공정에서 나왔지만 저마다 다른 시각에 죽는다. 누가 먼저 죽을지는 모르지만, 몇 %가 언제까지 살아 있을지는 분포 하나로 정확히 말할 수 있다. 흰 원을 끌어 와이블 모양 모수 β를 바꾸면 같은 칩들이 "일찍 죽는 무리", "아무 때나 죽는 무리", "늙어서 한꺼번에 죽는 무리"로 바뀐다. 이 장에서는 수명 자료를 분포로 요약하고, 끝나지 않은 시험에서 모수를 추정하고, 온도를 올려 시간을 빨리 감고, 웨이퍼 위 결함 지도로 수율을 예측한다.

흰 원을 끌어 β를 바꾸고, 칩 판을 누르면 처음부터 다시 늙는다

신뢰도 함수 $R(t)$, 누적 분포 함수 $F(t)$, 밀도 $f(t)$, 고장률 $h(t)$, 누적 고장률 $H(t)$를 서로 바꾸어 쓰고, MTTF·FIT·조건부 신뢰도를 계산한다.
욕조 곡선을 약한 부분 모집단(혼합)과 여러 고장 메커니즘(경쟁 위험)으로 분해하고, 지수·와이블·로그 정규 수명의 고장률 모양을 비교한다.
중앙 순위로 와이블 확률지를 그려 직선 회귀와 최대 가능도로 $\beta$, $\eta$, B10 수명을 추정한다.
중도 절단 자료를 버리면 생기는 편향을 확인하고, 카플란–마이어 추정량과 중도 절단 MLE로 바르게 추정한다.
아레니우스·멱법칙 가속 계수로 시험 시간을 사용 시간으로 바꾸고, 카이제곱 상한으로 FIT를 보증하는 HTOL 시험을 설계한다.
번인 시간이 초기 고장률과 수명 소모 사이에서 정해지는 원리를 이해하고, 직렬·병렬·대기 계통의 신뢰도를 시간의 함수로 계산한다.
포아송·머피·시즈·음이항 수율 모형을 결함 밀도의 분포로 유도하고, 결함 군집과 다이 면적이 수율과 웨이퍼당 양품 다이 수를 어떻게 바꾸는지 계산한다.

신뢰도 함수와 고장률

소자의 수명 $T$는 0 이상의 연속 확률 변수다. 5장에서 수명의 누적 분포 함수 $F(t) = P(T \le t)$는 "$t$까지 고장 날 확률"이었다. 신뢰성 공학은 반대쪽을 본다. 시각 $t$까지 살아 있을 확률

$$R(t) = P(T > t) = 1 - F(t)$$

를 신뢰도 함수(reliability function)라 한다. 의학·통계에서는 같은 함수를 생존 함수 $S(t)$라 부른다. $R(0) = 1$에서 시작해 단조 감소하고 $t \to \infty$이면 0으로 간다.

밀도 $f(t) = F'(t) = -R'(t)$는 "처음 모집단 가운데 $t$ 근처에서 단위 시간당 죽는 비율"이다. 그런데 엔지니어가 궁금한 것은 대개 다른 질문이다. 지금까지 살아남은 칩이 다음 한 시간 안에 죽을 확률은 얼마인가? 분모를 처음 모집단에서 살아남은 무리로 바꾼 이 양이 고장률(hazard rate, failure rate)이다.

$$h(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{P(t < T \le t + \Delta t \mid T > t)}{\Delta t} = \frac{f(t)}{R(t)}$$

$h(t)\Delta t$는 $t$까지 살아남은 소자가 다음 $\Delta t$ 안에 고장 날 조건부 확률이다. 단위는 1/시간이고, 반도체에서는 $10^9$ 소자·시간당 고장 수인 FIT로 쓴다.

같은 공정의 소자 1000개로 수명 시험을 시작한다.
2000 h에 800개가 살아 있다. 신뢰도 $R(2000) \approx 0.8$이다.
다음 100 h에 16개가 죽었다. 처음 1000개 기준으로 나누면 밀도, 지금 살아 있는 800개 기준으로 나누면 고장률이다. 고장률이 늘 더 크다($h = f/R \ge f$).
$h = f/R = -R'/R = -(\ln R)'$이므로 적분하면 $R(t) = e^{-H(t)}$이다. 고장률 곡선 하나가 수명 분포 전체를 정한다.

밀도와 고장률은 같은 고장 수를 다른 분모로 나눈 값이다. 고장률의 적분 $H(t)$를 누적 고장률(cumulative hazard)이라 하고, 신뢰도는 그 지수 함수 $e^{-H(t)}$다.

$h = -(\ln R)'$라는 관계 덕분에 고장률은 수명 분포를 고르는 가장 좋은 렌즈가 된다. 고장률이 일정하면 $H = \lambda t$, $R = e^{-\lambda t}$로 지수 분포이고, $h \propto t^{\beta-1}$이면 $H = (t/\eta)^\beta$로 와이블 분포다. 평균 수명은 $E[T] = \int_0^\infty R(t)\,dt$로, 부분 적분으로 얻는다. 수리하지 않는 소자의 평균 수명을 평균 고장 시간(mean time to failure, MTTF)이라 한다.

어떤 수명 분포에서 $R(t) = 0.5$가 되는 시각(중앙 수명)을 골랐다. 이 시각에서 밀도 $f(t)$와 고장률 $h(t)$는 어떤 관계일까?

$h = f/R$이고 $R = 0.5$이므로 $h = 2f$다. 분포와 상관없다. 아래 시뮬레이터에서 커서를 $R = 0.5$인 곳에 놓고 $f$와 $h$ 값을 비교해 보자. 어느 시각에서든 $h \ge f$이고, 오래 갈수록(R이 작을수록) 차이가 커진다.

SIMULATOR

신뢰도의 네 얼굴

아무 판에서나 세로 커서를 좌우로 끈다

수명 분포

모양 β 척도 η

R(t) · F(t)—

밀도 f(t)—

고장률 h(t) = f/R—

H(t) · e^−H—

MTTF—

시간 단위는 천 시간(kh)이다. 네 판은 같은 분포의 네 얼굴이다: 신뢰도(초록)와 누적 분포(빨강), 밀도(커서 왼쪽 넓이 = F, 오른쪽 = R), 고장률, 누적 고장률. 해볼 것: ① 와이블 β를 1보다 작게, 1, 크게 바꾸며 고장률 판의 모양(감소·일정·증가)과 밀도 판의 모양을 같이 보자. ② 커서를 오른쪽 끝으로 끌면 밀도는 0에 가까운데 고장률은 계속 크다. 살아남은 소수가 곧 죽는다는 뜻이다. ③ 로그 정규를 고르면 고장률이 올라갔다가 다시 내려온다. ④ $H(t)$를 읽고 $e^{-H}$가 $R(t)$와 같은지 확인한다.

고장률을 자료에서 직접 재는 방법이 생명표다. 시간을 같은 폭 $\Delta$로 나누고, 구간 $i$가 시작될 때 살아 있는 소자 수 $n_i$와 그 구간에서 죽은 수 $d_i$로 $\hat h_i = d_i/(n_i\Delta)$를 계산한다. 앞쪽 구간은 $n_i$가 커서 추정이 안정하지만, 뒤로 갈수록 살아 있는 소자가 줄어 막대가 크게 흔들린다.

모집단

MINI LAB소자 1000개를 동시에 시험하며 구간마다 $\hat h_i = d_i/(n_i\Delta)$를 쌓는다(초록 막대). 자주색은 참 고장률 $\frac{\beta}{\eta}(t/\eta)^{\beta-1}$($\eta = 1$). 위 띠는 살아 있는 소자 수. 뒤쪽 구간은 $n_i$가 작아 막대가 출렁인다 — 고장률 추정의 표준 오차는 대략 $\hat h_i/\sqrt{d_i}$다.

고장률은 "이미 살아남았다"는 조건을 품은 양이다. 그래서 오래 쓴 소자가 앞으로 얼마나 버틸지를 묻는 조건부 신뢰도(conditional reliability)

$$R(s \mid t) = P(T > t + s \mid T > t) = \frac{R(t+s)}{R(t)} = \exp\!\big(-[H(t+s) - H(t)]\big)$$

는 $t$에서 $t+s$까지의 고장률 넓이로 정해진다. 고장률이 줄어드는 소자는 나이를 먹을수록 더 믿을 만해지고, 고장률이 느는 소자는 덜 믿을 만해진다. 일정하면 나이와 상관없다(5장의 무기억성).

수명이 와이블 $\beta$ = 2.0, $\eta$ = 50인 소자가 이미 20를 버텼다. 다음 10를 더 버틸 확률은 이고, 같은 기간을 새 소자가 버틸 확률은 이다. 지금 고장률은 이다.

어떤 컨트롤러 칩의 고장률이 사용 조건에서 일정하게 50 FIT이다. (가) 10년(87,600 h) 신뢰도, (나) MTTF, (다) 이 칩 100만 개를 출하했을 때 10년 동안의 기대 고장 수를 구하라.

풀이 보기

전략 고장률이 일정하면 지수 분포다. FIT를 1/h로 바꾸어 $R(t) = e^{-\lambda t}$, $\text{MTTF} = 1/\lambda$를 쓴다.

풀이 $\lambda = 50 \times 10^{-9}$/h. (가) $R(87600) = e^{-50\times10^{-9}\times 87600} = e^{-0.00438} = 0.99563$. (나) $\text{MTTF} = 1/\lambda = 2.0\times10^{7}$ h $\approx$ 2283년. (다) $10^6 \times (1 - 0.99563) = 4370$개.

(가) 0.99563 (나) $2.0\times10^7$ h (약 2300년) (다) 약 4370개

검토 MTTF가 2000년이 넘어도 100만 개 중 수천 개는 10년 안에 죽는다. 지수 분포에서 MTTF 시점의 신뢰도는 $e^{-1} = 37\%$에 불과하니, MTTF는 "대부분이 사는 기간"이 아니다. $\lambda t$가 작으면 $F \approx \lambda t$라 기대 고장 수를 $10^6 \times 50\times10^{-9}\times87600 = 4380$으로 어림해도 된다.

수명이 $\mathrm{Weibull}(\beta = 2, \eta = 50{,}000\ \text{h})$인 소자가 있다. (가) 20,000 h 신뢰도, (나) 20,000 h를 버틴 소자가 10,000 h를 더 버틸 확률, (다) 20,000 h에서의 고장률(FIT)을 구하라.

풀이 보기

전략 $H(t) = (t/\eta)^\beta$, $R = e^{-H}$, $R(s\mid t) = e^{-[H(t+s)-H(t)]}$, $h = \frac{\beta}{\eta}(t/\eta)^{\beta-1}$.

풀이 (가) $H(20000) = 0.4^2 = 0.16$, $R = e^{-0.16} = 0.852$. (나) $H(30000) - H(20000) = 0.36 - 0.16 = 0.20$, $R(10000\mid20000) = e^{-0.2} = 0.819$. (다) $h = \frac{2}{50000}\times0.4 = 1.6\times10^{-5}$/h $= 16{,}000$ FIT.

(가) 0.852 (나) 0.819 (다) $1.6\times10^{-5}$/h = 16,000 FIT

검토 새 소자가 10,000 h를 버틸 확률은 $e^{-0.04} = 0.961$로 (나)보다 크다. β > 1이면 나이 든 소자가 덜 믿을 만하다(마모). 지수 분포였다면 두 값이 같았을 것이다.

수명 분포와 욕조 곡선

5장에서 세 수명 분포를 만났다. 일정한 고장률의 지수 분포, 고장률이 $t^{\beta-1}$로 변하는 와이블 분포, 로그를 취하면 정규인 로그 정규 분포다. 실제 제품의 고장률은 어느 하나로도 그려지지 않는다. 출하 직후에는 높다가 내려가고, 오랫동안 낮고 평평하다가, 수명 끝에서 다시 오른다. 이 모양이 욕조 곡선(bathtub curve)이고, 세 구간을 초기 고장(infant mortality), 우발 고장(random failure), 마모 고장(wear-out)이라 한다.

욕조 곡선은 분포 하나가 아니라 두 가지 조립 방식의 결과다. 칩 하나 안에 고장 메커니즘이 여럿 있고(산화막 TDDB, 배선 EM, 트랜지스터 BTI …) 그중 가장 먼저 일어나는 것이 칩을 죽이면, 수명은 메커니즘별 수명의 최솟값이다. 이것이 경쟁 위험(competing risks)이다. 한편 출하된 칩 가운데 일부는 처음부터 잠재 결함(얇은 산화막, 금이 간 비아)을 품은 약한 부분 모집단(weak subpopulation)이다. 이것은 두 모집단이 섞인 혼합 분포다.

욕조 곡선을 만드는 두 조립 방식. 경쟁 위험은 한 칩 안의 메커니즘들이 직렬 계통처럼 경쟁하므로 신뢰도가 곱해지고 고장률이 더해진다. 혼합은 서로 다른 무리가 섞인 것이라 신뢰도가 가중 평균되고, 약한 무리가 먼저 다 죽으면 전체 고장률이 정상 무리 수준으로 떨어진다.

먼저 혼합이 왜 "내려가는" 고장률을 만드는지 보자. 두 무리 모두 고장률이 일정한 지수 분포라도, 섞이면 고장률이 줄어든다. 초기에는 약한 무리가 많이 살아 있어 평균 고장률이 높지만, 그들이 먼저 빠지면서 살아남은 무리의 구성이 정상 쪽으로 바뀌기 때문이다. 개별 칩이 "좋아지는" 것이 아니라 생존자 구성이 바뀐다.

고장률이 일정한 두 무리를 섞었다: 정상 칩(λ = 1)과 약한 칩 5%(λ = 20). 섞인 모집단의 고장률 $h(t)$는 시간에 따라 어떻게 될까?

$t = 0$에서는 $h = 0.05\times20 + 0.95\times1 = 1.95$이지만, 약한 칩이 빠르게 죽으면서 생존자 중 약한 칩의 비율이 줄어 $h \to 1$로 내려간다. 지수 분포 둘의 혼합은 늘 감소 고장률이다. 아래 미니 실험에서 확인하자.

위 띠의 흰 원을 끌어 약한 칩 비율 p를 바꾼다

약한 칩 고장률 배수

MINI LAB정상 칩 $\lambda = 1$과 약한 칩 $k\lambda$를 비율 $1-p : p$로 섞은 모집단의 고장률(자주)과 생존자 가운데 약한 칩의 비율(빨강 점선, 오른쪽 눈금). 두 무리 모두 고장률이 일정한데 섞으면 고장률이 내려간다. 초기 고장 구간의 정체가 이것이다.

실제 제품은 혼합과 경쟁 위험이 겹친다. 출하된 칩의 작은 비율 $p$가 잠재 결함을 품고(초기 고장), 모든 칩이 우발적인 외부 스트레스(고장률 $\lambda$)와 마모 메커니즘(와이블 $\beta_o > 1$)을 함께 겪는다고 하면

$$R(t) = \big[p\,R_{\text{약}}(t) + (1-p)\big]\;e^{-\lambda t}\;e^{-(t/\eta_o)^{\beta_o}},\qquad h(t) = \underbrace{\frac{p f_{\text{약}}(t)}{pR_{\text{약}}(t) + 1 - p}}_{\text{초기}} + \underbrace{\lambda}_{\text{우발}} + \underbrace{\frac{\beta_o}{\eta_o}\Big(\frac{t}{\eta_o}\Big)^{\beta_o - 1}}_{\text{마모}}$$

이다. 경쟁 위험이라 세 항이 더해진다. 고장률은 여러 자릿수에 걸쳐 변하므로 신뢰성 엔지니어는 욕조 곡선을 양 로그 눈금으로 그린다. 그러면 와이블 항은 기울기 $\beta - 1$인 직선이 된다.

SIMULATOR

욕조 곡선 조립하기

흰 원 셋(초기·우발·마모)과 아래 시간 커서를 끈다

약한 칩 모양 β_약 마모 모양 β_o

약한 칩 p · 우발 λ—

마모 η_o—

1년 안 고장—

10년 안 고장—

커서 시각의 고장률—

양 로그 눈금의 고장률(검은 실선)과 세 성분(빨강 초기, 주황 우발, 자주 마모). 아래 띠는 커서 시각의 고장률을 원인별로 나눈 비율이다. 해볼 것: ① 초기 원을 위아래로 끌어 약한 칩 비율을 바꾸면 욕조의 왼쪽 벽만 오르내린다. 1년 고장 ppm이 얼마나 바뀌는지 보자. ② 마모 원을 왼쪽으로 끌어 $\eta_o$를 줄이면 오른쪽 벽이 다가와 10년 고장이 급증한다. ③ $\beta_o$를 키우면 오른쪽 벽이 가팔라진다 — 마모가 "갑자기" 온다. ④ 커서를 끌어 1년, 10년에서 어떤 원인이 고장률을 지배하는지 읽어 보자.

메커니즘마다 맞는 분포가 다르다는 것도 기억하자. 5장에서 본 대로 산화막 TDDB처럼 "가장 약한 곳이 먼저 뚫리는" 고장은 와이블, 배선 EM처럼 여러 요인이 곱해져 서서히 자라는 고장은 로그 정규가 관례다. 두 분포는 중앙값 근처에서는 비슷해도 낮은 분위수에서 크게 갈린다. 보증은 바로 그 낮은 분위수(0.1%, 0.01%)에서 하므로, 분포 선택이 곧 보증 수명의 선택이다.

시험 자료에서 중앙 수명 $t_{50}$ = 40, 10% 수명 $t_{10}$ = 20을 얻었다. 두 점을 지나는 로그 정규 분포(σ = )는 0.1% 수명을 으로, 같은 두 점을 지나는 와이블 분포(β = )는 으로 예측한다.

어떤 칩의 산화막 TDDB 수명은 $\mathrm{Weibull}(\beta = 1.5, \eta = 300\text{년})$, 배선 EM 수명은 $t_{50} = 60$년, $\sigma = 0.5$인 로그 정규 분포를 따르고, 둘은 독립이다. 칩은 둘 중 먼저 일어나는 고장으로 죽는다. 10년 안에 칩이 고장 날 확률과 10년 시점의 메커니즘별 고장률(FIT)을 구하라.

풀이 보기

전략 경쟁 위험이므로 $R = R_{\text{TDDB}}R_{\text{EM}}$, $h = h_{\text{TDDB}} + h_{\text{EM}}$. 로그 정규는 $R = 1 - \Phi\big(\ln(t/t_{50})/\sigma\big)$, $h = f/R$.

풀이 $F_{\text{TDDB}}(10) = 1 - e^{-(10/300)^{1.5}} = 1 - e^{-0.006086} = 0.00607$. $z = \ln(10/60)/0.5 = -3.584$이므로 $F_{\text{EM}}(10) = \Phi(-3.584) = 0.000169$. $F = 1 - (1-0.00607)(1-0.000169) = 0.00624$. 고장률은 $h_{\text{TDDB}} = \frac{1.5}{300}(10/300)^{0.5} = 9.13\times10^{-4}$/년 $= 104$ FIT, $h_{\text{EM}} = f/R = 1.30\times10^{-4}$/년 $= 14.8$ FIT(1년 = 8760 h).

10년 고장 확률 0.62%(6240 ppm), TDDB 104 FIT + EM 15 FIT = 119 FIT

검토 고장 확률이 작으면 $F \approx F_1 + F_2$(0.00607 + 0.00017 = 0.00624)로 거의 같다. 10년 시점에는 TDDB가 고장률의 88%를 차지하지만, EM은 로그 정규라 고장률이 빠르게 커지는 중이어서 20년 뒤에는 순위가 바뀔 수 있다.

와이블 확률지와 모수 추정

수명 시험에서 고장 시각 몇 개를 얻었다. 이 자료가 와이블 분포를 따르는지, 따른다면 $\beta$와 $\eta$가 얼마인지 어떻게 알까? 와이블 누적 분포 함수 $F = 1 - e^{-(t/\eta)^\beta}$를 두 번 로그 취하면 직선이 된다.

$$\ln\!\big[-\ln(1 - F(t))\big] = \beta\ln t - \beta\ln\eta$$

가로축 $x = \ln t$, 세로축 $y = \ln[-\ln(1-F)]$인 종이 위에서 와이블 분포는 기울기 $\beta$인 직선이다. $y = 0$이 되는 곳($F = 1 - e^{-1} = 63.2\%$)의 시각이 $\eta$다. 이렇게 눈금을 매긴 그래프를 와이블 확률지(Weibull probability plot)라 한다.

문제는 각 고장 시각의 $F$를 무엇으로 찍느냐다. $n$개 중 $i$번째로 빠른 고장 시각 $t_{(i)}$에 $i/n$을 쓰면 마지막 점이 $F = 1$이 되어 세로 눈금 밖(무한대)으로 나간다. $F(T_{(i)})$는 8장의 순서 통계량으로 $\mathrm{Beta}(i, n-i+1)$ 분포를 따르므로, 그 중앙값을 쓰는 것이 자연스럽다. 그 근사가 베르나르의 중앙 순위(median rank)다.

$$\hat F_i \approx \frac{i - 0.3}{n + 0.4},\qquad i = 1, \dots, n$$

고장 시각을 작은 것부터 정렬해 순위 $i$를 매긴다.
순위마다 베르나르 중앙 순위 $\hat F_i = (i-0.3)/(n+0.4)$를 계산한다.
$x = \ln t_{(i)}$, $y = \ln[-\ln(1-\hat F_i)]$로 바꾸어 찍는다. 와이블이면 점들이 거의 일직선이다.
$y$를 $x$에 회귀한 직선의 기울기가 $\hat\beta$, $y = 0$이 되는 $t$가 $\hat\eta$다. 이 방법을 중앙 순위 회귀(RRY)라 한다.

와이블 확률지 만드는 법. 예제 17.4의 자료로 기울기 1.54, 특성 수명 595 h를 얻는다. 점이 직선에서 체계적으로 휘면 와이블이 아니거나(로그 정규·혼합) 시간 원점이 어긋난 것이다.

점들에 직선을 맞추는 방법은 두 가지다. 중앙 순위 회귀(rank regression on Y, RRY)는 13장의 최소 제곱으로 $y$를 $x$에 회귀한다. 그림으로 보여 주기 좋고 계산이 쉽다. 최대 가능도는 9장의 방법대로 $\ell(\beta, \eta) = \sum[\ln f(t_i)]$를 최대로 하는 값으로, $\beta$는 방정식

$$\frac{\sum t_i^{\beta}\ln t_i}{\sum t_i^{\beta}} - \frac1\beta - \frac1r\sum_{\text{고장}}\ln t_i = 0,\qquad \hat\eta = \Big(\frac{1}{r}\sum t_i^{\hat\beta}\Big)^{1/\hat\beta}$$

를 수치로 풀어 얻는다($r$은 고장 수, 합 $\sum t_i^\beta$는 중도 절단된 소자까지 포함). 표본이 크면 MLE가 더 효율적이고, 다음 절의 중도 절단을 자연스럽게 다룬다. 표본이 작으면($n < 15$) MLE의 $\hat\beta$는 위로 치우친다.

확률지에서 바로 읽는 대표 수명이 B10 수명(B10 life), 곧 10%가 고장 나는 시각 $t_{0.10} = \eta(-\ln 0.9)^{1/\beta}$다. 베어링 산업에서 나온 이름이고, 반도체에서는 0.1%나 0.01% 분위수를 더 자주 쓴다.

SIMULATOR

와이블 확률지 — 점을 끌고 직선을 맞히기

초록 점을 좌우로 끈다 · 맞히기 모드에서는 자주 직선의 두 끝을 끈다

직선

고장 수 n 참 분포(β = 2, η = 1000 h) 보기

β̂—

η̂—

B10 수명—

결정 계수 r²—

맞히기 점수—

세로축은 $F$(%)를 와이블 눈금으로 매겼다. 해볼 것: ① 가장 오른쪽 점 하나를 멀리 끌어 보자. 회귀 직선은 크게 기울지만 MLE는 덜 흔들린다. ② "직접 맞히기"에서 두 끝을 끌어 세로 방향 잔차 제곱합(SSE)을 최소 값의 5% 이내로 줄이면 과녁 명중이다. 회귀 직선이 $y$ 방향 SSE를 최소로 하는 직선이라는 것을 손으로 확인한다. ③ "새 자료"를 여러 번 누르며 $n = 5$일 때 $\hat\beta$가 참값 2에서 얼마나 멀리 튀는지 보자. ④ 점 몇 개를 왼쪽 아래로 모으면 위로 휜 모양이 된다 — 약한 부분 모집단이 섞인 자료의 전형적인 모양이다.

시험 하나에서 얻은 $\hat\beta$는 얼마나 믿을 만할까? 시험을 수천 번 반복하는 것은 컴퓨터만 할 수 있다. 참값이 $\beta = 2$인 모집단에서 $n$개짜리 시험을 거듭해 두 추정량의 표본 분포를 쌓아 보자.

MINI LAB시험 한 번 = $\mathrm{Weibull}(2, 1000)$에서 $n$개를 뽑아 $\hat\beta$를 회귀(초록)와 MLE(주황)로 구한다. 자주 선은 참값 2. 작은 $n$에서 MLE는 평균이 2보다 뚜렷이 크고(위로 치우침), 둘 다 퍼짐이 크다. $n = 10$이어도 $\hat\beta$가 1.3에서 3까지 흩어진다.

소자 6개를 가속 조건에서 모두 고장 날 때까지 시험해 고장 시각 150, 280, 390, 520, 700, 1050 h를 얻었다. 중앙 순위 회귀로 $\beta$, $\eta$, B10 수명을 구하라.

풀이 보기

전략 정렬 → 중앙 순위 $(i-0.3)/6.4$ → $x = \ln t$, $y = \ln[-\ln(1-\hat F)]$ → $y$를 $x$에 회귀.

풀이 중앙 순위는 0.109, 0.266, 0.422, 0.578, 0.734, 0.891이고 $y$는 −2.156, −1.175, −0.602, −0.147, 0.282, 0.794다. $x$는 5.011, 5.635, 5.966, 6.254, 6.551, 6.957. 최소 제곱 기울기 $\hat\beta = S_{xy}/S_{xx} = 1.537$, 절편 $a = \bar y - \hat\beta\bar x = -9.81$이므로 $\hat\eta = e^{-a/\hat\beta} = 595$ h. B10 $= 595\times(0.10536)^{1/1.537} = 137$ h.

$\hat\beta \approx 1.54$, $\hat\eta \approx 595$ h, B10 $\approx 137$ h ($r^2 = 0.997$)

검토 $\hat\beta > 1$이라 마모형이다. 같은 자료의 MLE는 $\hat\beta = 1.84$, $\hat\eta = 582$ h로 기울기가 꽤 다르다. 6개로는 $\beta$를 ±30% 정도밖에 알 수 없다는 뜻이다. $\eta$는 두 방법이 거의 같다 — 척도는 모양보다 훨씬 잘 추정된다.

중도 절단 자료

9장에서 본 대로 수명 시험은 모든 소자가 죽을 때까지 기다리지 않는다. 정해진 시각 $t_c$에 끝내는 정시 중도 절단(Type I censoring)과 $r$번째 고장에서 끝내는 정수 중도 절단(Type II censoring)이 대표적이고, 현장 반품 자료처럼 소자마다 관찰이 끝나는 시각이 다른 다중 중도 절단도 흔하다. 살아남은 소자를 신뢰성 분야에서는 정지(suspension)라 부른다. 정지는 "적어도 이만큼은 산다"는 정보다. 이 정보를 버리면 어떻게 될까?

소자 20개를 600 h에 시험을 끝냈더니 7개가 고장 나고 13개가 살아 있다. 고장 7개만으로 와이블 $\eta$를 추정하면 참값(1000 h)에 비해 어떻게 나올까?

고장 7개는 모두 600 h 안에 있으니 그것만 보면 "이 소자들은 모두 600 h 안에 죽는다"고 말하는 셈이다. η는 600 h보다도 작게 나온다. 살아남은 13개를 600 h에 고장 난 것으로 쳐도 여전히 작게 나온다. 정지를 정지로 넣은 MLE만 참값 근처에 모인다.

SIMULATOR

정지를 버리면 생기는 편향

위: 이번 시험 20개의 막대 · 아래: 쌓인 η̂ (로그 눈금)

시험 종료 t_c

시험 반복

시험 수—

평균 고장 수 r—

η̂ 중앙값: 고장만—

정지 = 고장 취급—

중도 절단 MLE—

참 수명은 $\mathrm{Weibull}(\beta = 2, \eta = 1000\ \text{h})$. 시험마다 세 방법의 MLE $\hat\eta$를 아래 세 줄에 쌓는다(빨강 고장만, 주황 정지를 $t_c$ 고장으로, 초록 정지 반영). 해볼 것: ① 1000번 돌려 세 히스토그램의 중심을 자주 선(참값)과 비교하자. ② $t_c$를 2500 h로 늘리면 거의 다 고장 나서 세 방법이 비슷해진다. 편향은 정지가 많을수록 크다. ③ $t_c$를 300 h로 줄이면 올바른 MLE도 퍼짐이 커진다. 고장이 적으면 정보가 적다 — 편향 없이도 불확실하다.

정지를 바르게 쓰는 가장 직관적인 방법이 카플란–마이어 추정량(Kaplan–Meier estimator)이다. 고장이 일어난 시각 $t_{(j)}$마다 그 직전에 살아 있던(위험에 노출된) 소자 수 $n_j$와 그때 고장 수 $d_j$로 조건부 생존 확률 $1 - d_j/n_j$를 곱해 나간다.

$$\hat R(t) = \prod_{t_{(j)} \le t}\Big(1 - \frac{d_j}{n_j}\Big)$$

정지된 소자는 정지 시각까지 $n_j$에 들어가고 그 뒤에 빠진다. 정지는 계단을 내리지 않지만 이후 계단의 높이를 키운다(분모가 줄기 때문). 정지가 없으면 경험적 누적 분포 함수의 $1 - \hat F$와 같다.

SIMULATOR

카플란–마이어 곡선 만들기

막대 끝을 좌우로 끌고, 끝 표시를 누르면 고장 ✕ ↔ 정지 ○

정지를 버린 곡선(빨강 점선) 중도 절단 와이블 MLE(자주)

고장 / 전체—

마지막 KM 값—

MLE β̂ · η̂—

B10 (MLE)—

위: 소자 8개의 관찰 기간. 아래: 카플란–마이어 $\hat R(t)$(초록 계단), 정지를 아예 버리고 고장만으로 그린 곡선(빨강 점선), 중도 절단 와이블 MLE의 $R(t)$(자주). 해볼 것: ① 정지 하나를 고장으로 바꾸면 그 시각에 계단이 생기고 뒤쪽 곡선이 모두 내려간다. ② 맨 앞 소자를 정지로 바꾸고 아주 짧게(20 h) 끌어 보자. 일찍 빠진 정지는 곡선을 거의 바꾸지 않는다. ③ 정지들을 오른쪽 끝으로 끌면 KM 곡선은 그대로인데 MLE의 $\hat\eta$는 커진다. KM은 마지막 고장 이후를 말하지 못하지만 모수 모형은 외삽한다.

현장에서 회수한 모듈 8개의 기록(h)이 90(고장), 160(고장), 160(정지), 230(고장), 300(정지), 410(고장), 520(정지), 600(정지)이다. 카플란–마이어 $\hat R(t)$를 구하고 $\hat R(450)$을 답하라.

풀이 보기

전략 고장 시각마다 위험 집합 크기 $n_j$를 센다. 같은 시각에 고장과 정지가 함께 있으면 정지는 그 시각의 고장 뒤에 빠진다고 본다(관례).

풀이 90 h: $n = 8$, $\hat R = 7/8 = 0.875$. 160 h: $n = 7$, $\hat R = 0.875\times6/7 = 0.750$. 이어서 160 h 정지가 빠진다. 230 h: $n = 5$, $\hat R = 0.75\times4/5 = 0.600$. 300 h 정지가 빠진다. 410 h: $n = 3$, $\hat R = 0.6\times2/3 = 0.400$. 그 뒤로는 정지뿐이라 계단이 없다.

$\hat R(450) = 0.400$

검토 정지를 버리고 고장 4개만으로 계산하면 410 h 뒤 $\hat R = 0$이 되어 "450 h에는 모두 죽는다"는 엉뚱한 결론이 나온다. 정지를 고장으로 치면 8개 중 7개가 600 h 안에 "죽어" 역시 비관적이다.

가속 수명 시험과 FIT

사용 조건에서 칩의 중앙 수명은 수십 년이다. 시험실에서 수십 년을 기다릴 수는 없으니 온도·전압·습도를 높여 고장 메커니즘을 빨리 돌린다. 이것이 가속 수명 시험(accelerated life test, ALT)이다. 전제는 스트레스가 메커니즘은 그대로 두고 시간 눈금만 줄인다는 것이다. 그러면 스트레스 조건의 수명 $t_s$와 사용 조건의 수명 $t_u$ 사이에 가속 계수(acceleration factor) $\mathrm{AF} = t_u/t_s$가 성립하고, 와이블이라면 $\beta$는 같고 $\eta$만 AF배로 바뀐다.

온도 가속의 기본 모형은 화학 반응 속도의 아레니우스 모형(Arrhenius model)이다. 고장 반응의 속도가 $e^{-E_a/kT}$에 비례하면 수명은 그 역수에 비례하므로

$$t_{50} = A\,e^{E_a/kT},\qquad \mathrm{AF} = \frac{t_u}{t_s} = \exp\!\Big[\frac{E_a}{k}\Big(\frac{1}{T_u} - \frac{1}{T_s}\Big)\Big]$$

$E_a$는 활성화 에너지(activation energy)(eV), $k = 8.617\times10^{-5}$ eV/K는 볼츠만 상수, 온도는 절대 온도(K)다. $\ln t_{50}$을 $1/kT$에 대해 그리면 기울기 $E_a$인 직선이 된다. 대표값은 EM 0.7–0.9 eV, 산화막 결함 0.3–0.7 eV, 이온 오염 1.0 eV 안팎이다. 맥스웰–볼츠만 인자 $e^{-E/kT}$는 일반물리학 기체 운동론에서 나왔다.

아레니우스 그림. 높은 온도 세 곳의 중앙 수명(초록)을 $\ln t$ 대 $1/kT$ 평면에서 직선으로 잇고 사용 온도까지 외삽한다. 기울기가 활성화 에너지이고, 외삽 거리가 멀수록 13장의 예측 띠처럼 불확실성이 커진다.

활성화 에너지 $E_a$ = 0.70인 메커니즘을 사용 온도 55에서 125로 올려 시험하면 가속 계수는 다. 시험 1000은 사용 조건의 에 해당한다.

가속 계수는 $E_a$에 지수적으로 민감하다. $E_a$를 0.1 eV 틀리면 AF가 두세 배 달라진다. 그래서 $E_a$를 가정하지 않고 자료에서 추정하려면 세 온도 이상에서 시험해 아레니우스 그림의 기울기를 회귀로 구한다. 시험 온도를 어디에 두느냐가 외삽의 정밀도를 좌우한다.

아래 축의 흰 원(시험 온도 셋)을 좌우로 끈다

MINI LAB세 온도에서 각각 10개씩 시험한 로그 정규 수명(초록 점, 참 $E_a = 0.7$ eV, $\sigma = 0.5$)과 회귀 직선(자주), 사용 온도 55 °C까지 외삽한 $t_{50}$의 95% 신뢰 띠. 시험 온도를 서로 붙이거나 모두 높게 두면 기울기 추정이 흔들려 사용 조건 수명의 불확실성이 몇 배로 커진다. 온도를 넓게 벌리고 가장 낮은 온도를 사용 조건 쪽으로 당길수록 띠가 좁다.

전압 가속에는 경험식을 쓴다. TDDB·HCI처럼 전계가 메커니즘을 직접 구동하는 경우 역멱법칙(inverse power law) $t \propto V^{-n}$, 곧 $\mathrm{AF}_V = (V_s/V_u)^n$이나 지수형 E 모형 $\mathrm{AF} = e^{\gamma(E_s - E_u)}$을 쓴다. 습도가 끼면 펙 모형 $\mathrm{AF} = (\mathrm{RH}_s/\mathrm{RH}_u)^{n}\times\mathrm{AF}_{\text{아레니우스}}$를 쓴다. 스트레스가 독립적으로 작용한다고 보면 가속 계수는 곱해진다.

동작 전압 1.00인 산화막을 1.40에서 시험한다. 전압 지수 $n$ = 30이면 $\mathrm{AF}_V = (V_s/V_u)^n$ = 이고, 125 °C/55 °C 온도 가속(0.7 eV, 77.6배)과 겹치면 전체 가속 계수는 , 시험 168 h가 사용 조건 에 해당한다.

가속 계수가 정해지면 고장률을 보증할 차례다. 반도체 신뢰성 시험의 단위는 FIT(failures in time)로, 소자 $10^9$개를 한 시간 돌릴 때(또는 한 개를 $10^9$시간 돌릴 때) 기대 고장 수다. 1 FIT = $10^{-9}$/h, MTTF로는 약 11만 4천 년이다. 사용 조건 고장률이 일정하고(지수), 소자 $N$개를 스트레스 조건에서 $t$시간 시험해 $r$개가 고장 났다면, 등가 소자·시간 $T = N t\,\mathrm{AF}$를 써서 고장률의 단측 상한은

$$\lambda_U = \frac{\chi^2_{1-\mathrm{CL},\,2r+2}}{2T},\qquad \mathrm{FIT}_U = \lambda_U\times10^9$$

$\chi^2_{\alpha,\nu}$는 상위 꼬리 $\alpha$인 카이제곱 분위수, CL은 신뢰 수준(업계 관례 60% 또는 90%)이다. 고장 수가 포아송 분포를 따른다는 데서 나온 정확한 구간이며 10장의 포아송 구간과 같은 식이다. $r = 0$이어도 $\chi^2_{0.4,2} = 1.833$이라 상한은 0이 아니다: "한 개도 안 죽었다"는 "고장률이 0"이 아니라 "아마 $0.916/T$보다 작다"는 뜻이다.

등가 소자·시간 T

신뢰 수준

MINI LAB고장 수 $r = 0, 1, \dots, 6$일 때 FIT 상한(막대)과 점추정 $r/T$(주황 점). 고장이 0이어도 상한은 $\chi^2_{1-\mathrm{CL},2}/2T$이고, 고장이 하나 생길 때마다 상한은 대략 $1/T$씩 오른다. 90% 신뢰 수준은 60%보다 2.5배쯤 비싼 보증이다.

소자 1000개를 사용 조건(가속 없음)에서 1000 h 돌려 하나도 고장 나지 않았다. 60% 신뢰 수준의 FIT 상한은 대략 얼마일까?

$T = 10^6$ 소자·시간, $\lambda_U = 1.833/(2\times10^6) = 9.16\times10^{-7}$/h = 916 FIT. 목표가 10 FIT라면 등가 소자·시간이 $9.2\times10^7$이나 필요하다. 그래서 가속이 필수다. 아래 게임에서 이 시험을 최소 비용으로 설계해 보자.

SIMULATOR

HTOL 시험 설계 — 10 FIT를 가장 싸게 보증하기

오른쪽 그래프의 흰 원을 끌어 시료 수 N을 정한다

시험 시간

오븐 온도

신뢰 수준

가속 계수—

등가 소자·시간—

0 고장 FIT 상한—

비용 (최소 비용)—

판정—

$E_a = 0.7$ eV, 사용 55 °C. 비용 = 소자·소켓 $8 × N + 오븐 $0.01 × N × 시간 + 일정 지연 $6 × 시간. 해볼 것: ① 고장 0개를 가정하고 FIT 상한이 10 이하가 되도록 N과 시간을 고르되 비용을 최소 비용의 3% 이내로 줄이면 성공이다. N을 늘리는 것과 시간을 늘리는 것 중 무엇이 싼가? ② 150 °C로 올리면 가속이 3.3배 커져 훨씬 싸진다. 하지만 패키지 재료의 유리 전이 온도를 넘거나 사용 조건에 없는 메커니즘이 깨어나면 결과를 쓸 수 없다. ③ "시험 실행"으로 참 고장률이 4 FIT인 제품을 실제로 시험해 보자. 좋은 제품이어도 고장이 하나 나면 상한이 두 배 넘게 뛰어 보증에 실패할 수 있다.

3개 로트에서 77개씩, 모두 231개를 125 °C에서 1000 h 고온 동작 시험(HTOL)했다. 사용 온도 55 °C, $E_a = 0.7$ eV로 가정한다. (가) 가속 계수와 등가 소자·시간, (나) 고장이 0개일 때 60% 신뢰 FIT 상한, (다) 고장이 1개였다면?

풀이 보기

전략 아레니우스 AF → $T = Nt\,\mathrm{AF}$ → $\lambda_U = \chi^2_{0.4,\,2r+2}/2T$.

풀이 (가) $\frac{1}{kT_u} - \frac{1}{kT_s} = \frac{1}{8.617\times10^{-5}}\big(\frac{1}{328.15} - \frac{1}{398.15}\big) = 6.21$ eV⁻¹, $\mathrm{AF} = e^{0.7\times6.21} = 77.6$. $T = 231\times1000\times77.6 = 1.79\times10^{7}$ 소자·시간. (나) $\chi^2_{0.4,2} = 1.833$, $\lambda_U = 1.833/(2\times1.79\times10^7) = 5.11\times10^{-8}$/h = 51 FIT. (다) $\chi^2_{0.4,4} = 4.045$, $\lambda_U = 113$ FIT.

(가) AF ≈ 77.6, $T \approx 1.79\times10^7$ 소자·시간 (나) 약 51 FIT (다) 약 113 FIT

검토 업계 표준 HTOL(231개 × 1000 h)은 0 고장일 때 50 FIT 안팎을 보증한다. 10 FIT를 보증하려면 시료를 다섯 배로 늘리거나 시험 온도를 올려야 한다. 고장 하나가 상한을 2.2배로 올리므로, 시험 중 고장은 반드시 고장 분석으로 원인을 밝혀 "이 시험과 무관한 고장"인지 판정한다.

신뢰성 인증의 숫자는 거의 다 이 절의 식이다 신뢰성 인증 보고서는 HTOL(고온 동작), HAST·THB(온습도, 펙 모형), TC(온도 순환, 코핀–맨슨 멱법칙), ELFR(초기 고장률) 결과를 표로 정리한다. 각 줄에는 시료 수, 시험 시간, 가정한 $E_a$와 가속 계수, 고장 수, 60% 또는 90% 신뢰 FIT가 적힌다. 고객은 그 숫자로 시스템 고장률을 합산하고, 자동차용은 더 많은 로트와 0 고장을 요구한다. 메커니즘별로 TDDB는 와이블과 E 모형, EM은 로그 정규와 블랙 방정식 $t_{50} \propto J^{-n}e^{E_a/kT}$를 쓰는 식으로 이 절의 가속 모형이 그대로 붙는다. → FailureBook · 불량 메커니즘(수명의 통계: 와이블, 가속 계수, FIT)

번인: 약한 칩 미리 걸러 내기

욕조 곡선의 왼쪽 벽은 고객에게 가장 비싸다. 출하 첫해에 죽는 칩은 시스템을 세우고 반품과 분석 비용을 부른다. 그래서 출하 전에 칩을 고온·고전압에서 몇 시간에서 며칠 돌려 약한 칩을 공장 안에서 미리 죽인다. 이것이 번인(burn-in)이다. 번인을 거친 칩의 출하 후 첫 기간 고장 비율을 초기 고장률(early life failure rate, ELFR)이라 부르고 ppm으로 관리한다.

번인 $t_b$시간은 가속 계수 AF를 곱해 사용 조건의 $t_e = \mathrm{AF}\,t_b$시간을 미리 산 것과 같다. 번인을 통과한 칩은 조건부 신뢰도의 식대로 $t_e$부터 수명을 시작한다.

$$\mathrm{ELFR} = P(T \le t_e + t_1 \mid T > t_e) = 1 - \frac{R(t_e + t_1)}{R(t_e)}$$

$t_1$은 출하 후 관심 기간(보통 1년 = 8760 h)이다. $R$은 앞 절의 혼합 + 경쟁 위험 모형이다.

번인이 고장률이 줄어드는 구간(β < 1)에서만 이득이라는 점이 핵심이다. 약한 무리를 거의 다 걸러 낸 뒤에도 번인을 계속하면 정상 칩의 수명만 깎는다. 마모 메커니즘(β > 1)이 있으면 번인이 길수록 출하 후 고장이 오히려 늘어난다.

번인 시간을 0에서 점점 늘리면 출하 후 1년 고장(ELFR)은 어떻게 될까?

약한 칩이 빠지는 동안 ELFR은 빠르게 준다. 약한 칩이 거의 다 빠지면 우발 고장(λ × 1년)이 바닥이 되고, 더 길면 마모 쪽으로 수명을 미리 써 버려 다시 오른다. 바닥 근처의 가장 짧은 시간이 경제적인 번인 시간이다.

SIMULATOR

번인 시간 정하기 — ELFR 250 ppm을 가장 짧게

고장률 곡선 위 흰 원(번인 끝)을 좌우로 끈다

번인 온도

약한 칩 비율

번인 시간 t_b—

등가 사용 시간 t_e—

번인 중 탈락—

출하 후 1년 ELFR—

판정—

모형: 약한 칩 $p$가 $\mathrm{Weibull}(0.5, 500\ \text{h})$, 모든 칩이 우발 20 FIT와 마모 $\mathrm{Weibull}(4, 50\text{년})$을 겪는다(사용 조건 기준). 가로축은 사용 조건으로 환산한 시간이다. 아래 그래프는 번인 시간에 따른 ELFR 곡선과 지금 위치. 해볼 것: ① 흰 원을 오른쪽으로 끌어 ELFR이 250 ppm 아래로 내려가는 가장 짧은 번인 시간을 찾자(최소 시간의 10% 이내면 성공). ② 150 °C로 바꾸면 같은 효과를 몇 시간에 얻는가? AF 비율 259/77.6 = 3.3과 비교하자. ③ 원을 끝까지 끌면 ELFR이 다시 오른다. 마모 수명을 공장에서 써 버린 것이다.

출하 전 칩의 2000가 $\mathrm{Weibull}(\beta_{\text{약}}$ = 0.50, $\eta_{\text{약}}$ = 500$)$인 약한 칩이다. 가속 계수 78배 조건에서 24 번인하면 사용 조건 을 산 셈이고, 약한 칩은 만 남는다(제거율 ).

번인은 시간·온도·전압의 경제학 메모리와 고성능 프로세서는 출하 전 번인 보드에 수백 개씩 꽂아 오븐에서 고전압으로 돌리고, 그 사이 기능 시험을 함께 한다(TDBI). 번인 시간은 이 절의 계산대로 약한 부분 모집단의 비율과 β, 가속 계수로 정하며, 출하 후 반품 자료가 쌓이면 와이블 분석으로 다시 줄인다. 오븐 용량과 소켓 비용이 비싸서 웨이퍼 레벨 번인, 고전압 스트레스 시험, IDDQ 같은 대체 스크린과 통계적 이상치 제거(PAT)로 번인을 줄이려는 노력이 계속된다. 칩이 스스로 열을 내 온도가 더 오르는 열폭주도 번인 설계의 제약이다. → TestBook · 번인과 신뢰성 스크리닝

계통 신뢰도

3장에서 독립 부품의 직렬 계통은 신뢰도를 곱하고, 병렬 계통은 실패 확률을 곱한다는 것을 배웠다. 그때는 신뢰도가 고정된 숫자였다. 이제 각 부품의 신뢰도가 시간의 함수 $R_i(t)$이므로 계통 신뢰도도 시간의 함수가 된다. 고장률이 일정한(지수) 부품 $n$개의 직렬 계통은

$$R_{\text{직렬}}(t) = \prod e^{-\lambda_i t} = e^{-(\sum\lambda_i)t},\qquad \lambda_{\text{계통}} = \sum_i \lambda_i$$

로 다시 지수 분포이고 고장률이 더해진다. 보드의 FIT는 부품 FIT의 합이다. 이것이 부품 고장률 목록(FIT 예산)으로 시스템 신뢰도를 계산하는 근거다.

서버 보드에 40개의 칩이 있고 칩 하나의 고장률이 20, 땜 접합 5000개는 각각 0.10이다. 보드 고장률은 , MTTF는 , 5년 신뢰도는 이다.

병렬(중복) 계통은 사정이 다르다. 같은 지수 부품 두 개를 능동 병렬로 두면 $R(t) = 1 - (1 - e^{-\lambda t})^2 = 2e^{-\lambda t} - e^{-2\lambda t}$이고, 이것은 지수 분포가 아니다. 처음에는 둘 다 살아 있어 계통 고장률이 0에 가깝고, 하나가 죽고 나면 남은 하나의 고장률 $\lambda$로 다가간다. 중복은 고장률을 "증가형"으로 바꾼다. 평균 수명은

$$\text{MTTF}_{\text{능동 }n} = \frac{1}{\lambda}\Big(1 + \frac12 + \cdots + \frac1n\Big),\qquad \text{MTTF}_{\text{대기 }n} = \frac{n}{\lambda},\qquad \text{MTTF}_{k/n} = \frac1\lambda\sum_{j=k}^{n}\frac1j$$

능동 병렬은 $n$개가 동시에 닳는다. 대기 중복(standby redundancy)은 예비가 쉬고 있다가 고장 때 완벽하게 전환된다고 가정하면 수명이 지수 $n$개의 합(얼랑 분포)이 되어 평균이 $n/\lambda$다. $k$-out-of-$n$은 살아 있는 부품이 $n, n-1, \dots, k$개인 동안의 평균 체류 시간 $1/(j\lambda)$을 더한다.

부품 수 n

방식

MINI LAB고장률 $\lambda = 1$인 지수 부품 $n$개로 만든 계통의 신뢰도(왼쪽)와 고장률(오른쪽). 회색 점선은 부품 하나. 중복 계통의 고장률은 0에서 출발해 증가한다 — 중복은 초기 신뢰도를 크게 올리지만 결국 마지막 부품의 고장률로 수렴한다. 2-out-of-n은 $n = 2$이면 직렬이라 고장률이 $2\lambda$로 일정하다.

실제 시스템은 직렬 단계마다 중복 수준이 다르다. 각 단계의 중복을 바꾸며 시스템 수명 분포가 어떻게 바뀌는지, 그리고 계산이 맞는지 시스템 수백 대를 가상으로 돌려 확인해 보자.

SIMULATOR

중복 설계 블록 만들기

각 단의 맨 위 블록(흰 원)을 위아래로 끌어 중복 개수를 바꾼다

예비 방식

가상 운전

R(5년)—

MTTF—

5년 시점 고장률—

부품 비용—

가상 운전 대수—

판정—

네 단(전원 0.08/년·비용 2, 제어기 0.02/년·비용 5, 메모리 0.04/년·비용 2, 냉각 팬 0.15/년·비용 1)이 직렬이고, 단마다 같은 부품을 1–4개 둔다. 아래 그래프는 이론 $R(t)$(자주)와 가상 운전으로 얻은 카플란–마이어 곡선(초록), 중복 없는 설계(회색 점선). 해볼 것: ① 가장 약한 단(팬)만 두 개로 늘려도 5년 신뢰도가 얼마나 오르는가? ② 같은 개수라도 대기 중복이 능동 병렬보다 오래 간다. 예비가 쉬는 동안 닳지 않기 때문이다. ③ 능동 병렬로 비용 20 이하에서 R(5년) ≥ 0.75를 만들어 보자(달성하면 판정 칸에 표시된다). 신뢰도가 높고 비싼 제어기를 중복하는 것은 거의 효과가 없다. 대기 중복으로 바꾸면 같은 비용으로 0.85를 넘길 수 있다.

메모리는 부품 수준이 아니라 비트 수준에서 $k$-out-of-$n$을 쓴다. 72비트 워드에 오류 정정 부호(ECC)를 붙이면 64비트 데이터 가운데 비트 하나가 틀려도 고칠 수 있어, 워드는 "72개 중 71개 이상 정상"이면 산다. 소프트 에러와 비트 마모가 비트마다 독립이고 드물면 워드 고장 확률은 비트 고장 확률의 제곱에 비례하게 떨어진다(MemoryBook · 신뢰성과 오류 정정).

MTTF 10,000 h(지수)인 전원 모듈로 (가) 단독, (나) 두 개 능동 병렬, (다) 두 개 대기 중복(완벽 전환), (라) 세 개 중 두 개 이상 필요(2-out-of-3)를 구성했다. 5000 h 신뢰도와 MTTF를 비교하라.

풀이 보기

전략 $r = e^{-\lambda t} = e^{-0.5} = 0.6065$. 능동 $1-(1-r)^2$, 대기 $e^{-\lambda t}(1+\lambda t)$, 2-out-of-3 $3r^2 - 2r^3$.

풀이 (가) 0.607, 10,000 h. (나) $1 - 0.3935^2 = 0.845$, $\frac{1}{\lambda}(1 + \frac12) = 15{,}000$ h. (다) $0.6065\times1.5 = 0.910$, $2/\lambda = 20{,}000$ h. (라) $3(0.6065)^2 - 2(0.6065)^3 = 0.657$, $\frac1\lambda(\frac12 + \frac13) = 8333$ h.

R(5000 h): 0.607 / 0.845 / 0.910 / 0.657, MTTF: 10,000 / 15,000 / 20,000 / 8,333 h

검토 2-out-of-3은 5000 h 신뢰도는 단독보다 높지만 MTTF는 오히려 짧다. $r > 0.5$인 동안은 다수결이 유리하지만 길게 보면 부품 셋 중 둘이 살아 있어야 하는 부담이 크다. 계통 설계는 평균 수명이 아니라 임무 시간의 신뢰도로 비교해야 한다.

수율 모형과 결함 군집

이제 시간을 멈추고 웨이퍼 위의 공간을 보자. 4장에서 결함이 웨이퍼 위에 고르게, 독립적으로 떨어지면 다이 하나의 결함 수가 $\mathrm{Poisson}(\lambda = D_0A)$이고 수율은 결함이 하나도 없을 확률 $Y = e^{-D_0A}$라는 것을 보았다. 여기서 $D_0$는 결함 밀도(defect density)(개/cm²), $A$는 다이 면적이다. 정확히는 결함 하나가 떨어져서 다이를 죽이는 넓이, 곧 임계 면적(critical area) $A_c$를 써야 한다.

임계 면적. 간격 $s$인 배선 사이에서 지름 $x$인 결함은 $x > s$일 때만 단락을 만들고, 그 중심이 떨어져야 하는 띠의 넓이 $A_c(x)$는 $x$에 따라 커진다. 결함 크기 분포와 곱해 적분한 평균 임계 면적이 수율 식의 $A$ 자리에 들어간다. 같은 결함이라도 배선이 촘촘한 블록이 더 잘 죽는다.

그런데 실제 웨이퍼에서는 포아송 모형이 큰 다이의 수율을 늘 비관적으로 예측한다. 결함이 고르게 떨어지지 않고 결함 군집(defect clustering)을 이루기 때문이다. 입자는 장비의 특정 부분에서 한꺼번에 떨어지고, 스크래치는 줄지어 생기고, 웨이퍼 가장자리는 결함이 많다. 결함이 몰린 다이는 어차피 죽은 다이이므로, 같은 수의 결함이 더 적은 다이를 죽인다.

웨이퍼 전체의 평균 결함 밀도 $D_0$가 같을 때, 결함이 고르게 흩어진 웨이퍼와 몇 곳에 뭉친 웨이퍼 중 어느 쪽 수율이 높을까?

결함 수 평균이 같아도 뭉치면 결함 여러 개가 같은 다이에 겹쳐 떨어진다. 죽는 다이 수는 "결함이 하나 이상인 다이"라 겹친 결함은 낭비된다. 그래서 군집될수록 수율이 높다. 차이는 다이가 클수록 커진다.

SIMULATOR

웨이퍼 결함 지도와 수율 모형

오른쪽 그래프의 흰 원을 좌우로 끌어 다이 면적을 바꾼다

결함 분포

평균 결함 밀도 D₀ 군집 모수 α

다이 수 · 양품—

관측 수율—

포아송 e^−D₀A—

음이항 (α)—

다이당 결함 분산/평균—

300 mm 웨이퍼(가장자리 3 mm 제외)에 결함을 뿌린다. 군집 모드에서는 3 cm 칸마다 결함 밀도가 감마 분포 $\mathrm{Gamma}(\alpha, D_0/\alpha)$를 따른다. 오른쪽: 같은 결함 지도를 여러 다이 면적으로 잘라 얻은 관측 수율(초록 점)과 모형 곡선(포아송·머피·시즈·음이항). 해볼 것: ① 무작위 모드에서 초록 점이 포아송 곡선 위에 놓이는지 보자. ② 군집 모드로 바꾸면 같은 $D_0$에서 점들이 포아송보다 위로 올라가 음이항 곡선을 따른다. ③ α를 키우면(군집 약화) 음이항 곡선이 포아송으로 다가간다. ④ 다이 면적을 키우며 분산/평균 비가 1보다 얼마나 커지는지 보자. 4장의 과대 산포다.

군집을 모형에 넣는 방법은 우아하다. 다이마다 결함 밀도 $D$ 자체가 확률 변수라고 보는 것이다. 주어진 $D$에서 결함 수는 포아송이니 수율은 $e^{-DA}$이고, 이것을 $D$의 분포 $g(D)$로 평균하면 된다.

$$Y = \int_0^\infty e^{-DA}\,g(D)\,dD = E\big[e^{-DA}\big]$$

$g$가 $D_0$에 몰린 점이면 포아송 $e^{-D_0A}$, 삼각 분포면 머피 모형(Murphy model) $\big(\frac{1-e^{-D_0A}}{D_0A}\big)^2$, 지수 분포면 시즈 모형(Seeds model) $\frac{1}{1+D_0A}$, 감마 분포 $\mathrm{Gamma}(\alpha, D_0/\alpha)$면 음이항 수율 모형(negative binomial yield model) $\big(1 + \frac{D_0A}{\alpha}\big)^{-\alpha}$이다. 감마로 섞은 포아송이 4장의 음이항 분포가 되기 때문에 붙은 이름이다. $\alpha$를 군집 모수(cluster parameter)라 하고, 작을수록 심하게 뭉친다. 업계에서는 대개 0.3–5 사이이고, $\alpha \to \infty$이면 포아송, $\alpha = 1$이면 시즈다.

밀도 분포 g(D)

MINI LAB왼쪽: 다이마다 다른 결함 밀도 $D$의 분포(평균은 모두 $D_0$). 오른쪽: 그 분포로 평균한 수율 $E[e^{-DA}]$를 $D_0A$에 대해 그린 곡선. 선택한 모형은 자주색 실선, 나머지는 회색. 옌센 부등식 때문에 $e^{-DA}$의 평균은 평균의 $e^{-D_0A}$보다 늘 크다 — 퍼짐이 클수록 수율이 높다.

수율 모형은 거꾸로도 쓴다. 측정한 수율과 다이 면적에서 결함 밀도를 역산해 라인끼리, 제품끼리 결함 수준을 비교한다. 이때 어떤 모형을 쓰느냐에 따라 $D_0$가 달라지므로 비교는 같은 모형끼리 해야 한다.

면적 1.5인 다이의 수율이 70이다. 포아송 모형으로 역산한 결함 밀도는 , 군집 모수 α = 2.0인 음이항 모형으로는 이다. 같은 공정으로 면적 4.0인 다이를 만들면 포아송은 , 음이항은 을 예측한다.

수율은 결국 돈이다. 웨이퍼 한 장에서 나오는 양품 다이 수는 웨이퍼에 들어가는 다이 수와 수율의 곱이다. 지름 $d$인 웨이퍼에 넓이 $S$인 정사각형 다이는 대략

$$\text{DPW} \approx \frac{\pi d^2}{4S} - \frac{\pi d}{\sqrt{2S}},\qquad \text{양품 다이} = \text{DPW}\times Y(S)$$

둘째 항은 가장자리에서 잘리는 다이다. 다이를 키우면 DPW가 $1/S$로 줄고 수율도 떨어져 양품 수가 이중으로 줄어든다. 큰 칩을 여러 개의 작은 칩렛으로 나누어 패키지에서 다시 잇는 설계가 등장한 이유다.

SIMULATOR

칩렛 분할 게임 — 시스템 한 개당 비용 최소화

오른쪽 비용 곡선의 흰 원을 끌어 분할 수 k를 고른다

결함 밀도 D₀ 군집 모수 α 칩렛 하나의 조립 수율

칩렛 면적 · 개수—

웨이퍼당 다이 · 수율—

웨이퍼당 양품 다이—

시스템당 비용—

판정—

논리 면적 6 cm²인 칩을 $k$개로 나눈다. 칩렛마다 칩 사이 연결부 0.1 cm²가 더 붙는다. 비용 = (웨이퍼 $12,000 × k / 웨이퍼당 양품 다이 + 패키지 $20 + 칩렛당 조립 $8) ÷ 조립 수율$^k$. 수율은 음이항 모형, 웨이퍼 300 mm. 해볼 것: ① 지금 조건에서 비용이 최소인 $k$를 찾자. ② $D_0$를 0.05로 낮추면(성숙 공정) 통짜 칩이 이긴다. 새 공정일수록 칩렛이 유리하다. ③ α를 줄여 군집을 강하게 하면 큰 다이의 수율이 덜 나빠져 최적 $k$가 줄어든다. ④ 조립 수율이 0.95로 나쁘면 잘게 나눈 대가가 커진다.

새 공정의 결함 밀도는 시간이 지나며 줄어든다. 결함 원인을 하나씩 찾아 없애는 과정이라 감소 속도는 처음에 빠르고 점점 느려진다. 흔히 $D_0(t) = D_\infty + (D_{\text{시작}} - D_\infty)e^{-t/\tau}$처럼 지수 감쇠로 그리는 이 곡선이 수율 학습 곡선(yield learning curve)이다.

위 판의 흰 원 셋(시작 밀도·학습 시간 τ·최종 밀도)을 끈다

MINI LAB위: 결함 밀도 학습 곡선. 아래: 같은 결함 밀도에서 작은 다이(0.5 cm², 초록)와 큰 다이(3 cm², 주황)의 음이항 수율(α = 2). 큰 다이는 같은 학습 속도에서도 목표 수율 80%에 몇 달 늦게 닿는다. 그래서 새 공정의 첫 제품은 대개 작은 칩이다.

(가) $D_0 = 0.3$/cm², 다이 면적 1.5 cm²일 때 포아송·머피·시즈·음이항(α = 2) 수율을 구하라. (나) 이 다이의 실제 수율이 70%였다면 포아송과 음이항(α = 2) 모형으로 역산한 $D_0$는?

풀이 보기

전략 $x = D_0A = 0.45$를 네 식에 넣는다. 역산은 $D_0 = -\ln Y/A$(포아송), $D_0 = \alpha(Y^{-1/\alpha} - 1)/A$(음이항).

풀이 (가) 포아송 $e^{-0.45} = 0.638$. 머피 $\big((1 - e^{-0.45})/0.45\big)^2 = (0.8055)^2 = 0.648$. 시즈 $1/1.45 = 0.690$. 음이항 $(1 + 0.225)^{-2} = 0.666$. (나) 포아송 $D_0 = -\ln0.7/1.5 = 0.238$/cm². 음이항 $D_0 = 2(0.7^{-1/2} - 1)/1.5 = 2(1.1952 - 1)/1.5 = 0.260$/cm².

(가) 0.638 / 0.648 / 0.690 / 0.666 (나) 포아송 0.238, 음이항 0.260 개/cm²

검토 네 모형의 순서(포아송 < 머피 < 음이항(α=2) < 시즈)는 $g(D)$의 퍼짐 순서와 같다. 같은 수율을 설명하려면 군집 모형은 더 높은 $D_0$를 요구한다. 다른 모형으로 역산한 $D_0$를 서로 비교하면 10% 이상 틀릴 수 있다.

수율 모형은 결함 엔지니어의 공용어다 수율 엔지니어는 웨이퍼 소트 결과에서 계통 불량(가장자리 링, 스크래치, 특정 샷)을 먼저 떼어 내고 남은 무작위 성분에 이 절의 모형을 맞춘다. 제품마다 다이 면적이 달라도 층별 임계 면적과 $D_0$로 나누어 쓰면 수율을 예측할 수 있고, 인라인 검사기가 센 결함 수와 "치명 확률"을 곱해 층별 제한 수율을 쌓아 올린다. 군집 모수 α는 같은 다이 안 결함 수의 분산/평균에서 추정한다. → YieldBook · 결함 밀도와 수율 모델

수율 학습이 원가를 정한다 새 공정 노드의 원가 경쟁은 학습 곡선의 기울기 경쟁이다. 결함 밀도를 몇 달 먼저 0.1/cm² 아래로 내리면 큰 다이 제품을 먼저 낼 수 있고, 같은 웨이퍼 투입으로 양품을 더 많이 판다. 칩렛·리던던시·다이 크기 선택은 모두 "지금의 $D_0$와 α에서 양품 다이 하나의 원가"를 최소로 하는 결정이며, 이 절의 DPW × Y 계산이 출발점이다. → YieldBook · 수율 학습과 경제성

핵심 정리

신뢰도 $R = 1 - F$, 밀도 $f = -R'$, 고장률 $h = f/R$(생존자 기준), 누적 고장률 $H = \int h$, $R = e^{-H}$. 넷 중 하나가 나머지를 정한다. MTTF $= \int_0^\infty R\,dt$, 조건부 신뢰도 $R(s\mid t) = R(t+s)/R(t)$. 1 FIT = $10^{-9}$/h.
욕조 곡선 = 약한 부분 모집단의 혼합(초기 고장, 감소 고장률) + 경쟁 위험(우발 λ + 마모 β > 1). 경쟁 위험은 고장률이 더해지고, 혼합은 신뢰도가 가중 평균된다. 지수 분포끼리 섞어도 고장률은 감소한다.
와이블 확률지: $x = \ln t$, $y = \ln[-\ln(1-\hat F)]$, 중앙 순위 $\hat F_i = (i-0.3)/(n+0.4)$. 기울기가 $\beta$, $F = 63.2\%$의 시각이 $\eta$, B10 $= \eta(-\ln0.9)^{1/\beta}$. 작은 표본에서 $\hat\beta$는 크게 흔들리고 MLE는 위로 치우친다.
정지(중도 절단된 소자)를 버리거나 고장으로 치면 수명을 과소 추정한다. 카플란–마이어 $\hat R(t) = \prod(1 - d_j/n_j)$와 중도 절단 MLE($\sum t_i^\beta$에 정지 포함, 분모는 고장 수 $r$)를 쓴다.
아레니우스 $\mathrm{AF} = \exp[\frac{E_a}{k}(\frac1{T_u} - \frac1{T_s})]$, 전압 멱법칙 $(V_s/V_u)^n$, 가속은 곱한다. FIT 상한 $\lambda_U = \chi^2_{1-\mathrm{CL},2r+2}/(2NtA_F)$, 0 고장 60%면 $0.916/T$.
번인은 사용 조건 $t_e = \mathrm{AF}\,t_b$를 미리 사는 것이다. ELFR $= 1 - R(t_e + t_1)/R(t_e)$는 약한 칩이 빠지는 동안 줄고, 마모 수명을 깎기 시작하면 다시 는다. 직렬 계통은 FIT를 더하고, 중복은 고장률을 증가형으로 바꾸며, 능동 $n$중 MTTF $= \frac1\lambda\sum_{k\le n}\frac1k$, 대기 $n/\lambda$.
수율 $Y = E[e^{-DA}]$: 포아송 $e^{-D_0A}$, 머피 $((1-e^{-D_0A})/D_0A)^2$, 시즈 $1/(1+D_0A)$, 음이항 $(1 + D_0A/\alpha)^{-\alpha}$. 결함이 뭉칠수록(α 작을수록) 같은 $D_0$에서 수율이 높다. 양품 다이 = DPW × Y.

연습문제

1년은 8760 h, 볼츠만 상수 $k = 8.617\times10^{-5}$ eV/K로 계산한다. 카이제곱 분위수(상위 꼬리): $\chi^2_{0.4,2} = 1.833$, $\chi^2_{0.4,4} = 4.045$, $\chi^2_{0.1,2} = 4.605$, $\chi^2_{0.1,4} = 7.779$. 웨이퍼당 다이 수는 $\lfloor\pi d^2/4S - \pi d/\sqrt{2S}\rfloor$로 계산한다.

소자의 신뢰도가 $R(t) = e^{-(t/1000)^2}$(t는 h)이다. 500 h에서의 고장률 $h(500)$은?

$H(t) = (t/1000)^2$이고 $h = H'$이다.

$h(t) = \frac{d}{dt}(t/1000)^2 = 2t/10^6$. $h(500) = 1.00\times10^{-3}$/h. 와이블 $\beta = 2$, $\eta = 1000$ h의 $\frac{\beta}{\eta}(t/\eta)^{\beta-1} = 0.002\times0.5$와 같다.

고장률이 일정하게 200 FIT인 칩 100만 개가 1년(8760 h) 동안 동작하면 기대 고장 수는?

$10^6\times(1 - e^{-200\times10^{-9}\times8760}) = 10^6\times(1 - e^{-0.001752}) = 1750$개. $\lambda t$가 작아 $10^6\times0.001752 = 1752$로 어림해도 된다.

수명이 $\mathrm{Weibull}(\beta = 1.8, \eta = 12{,}000\ \text{h})$인 펌프 베어링의 B10 수명과 5000 h 신뢰도를 구하라.

B10 $= 12000\times(-\ln0.9)^{1/1.8} = 12000\times0.10536^{0.5556} = 3437$ h. $R(5000) = e^{-(5000/12000)^{1.8}} = e^{-0.2068} = 0.813$.

소자 10개를 모두 고장 날 때까지 시험했다. 세 번째 고장의 베르나르 중앙 순위 $\hat F_3$와 와이블 확률지 세로 좌표 $y_3 = \ln[-\ln(1-\hat F_3)]$를 구하라.

$\hat F_3 = (3 - 0.3)/(10 + 0.4) = 0.2596$. $y_3 = \ln(-\ln 0.7404) = \ln 0.3006 = -1.202$.

와이블 확률지에 그은 직선이 $F = 10\%$에서 200 h, $F = 63.2\%$에서 1000 h를 지난다. 모양 모수 $\beta$는?

$F = 63.2\%$는 $y = 0$이다. 기울기 = $\Delta y/\Delta\ln t$.

$y(10\%) = \ln(-\ln0.9) = -2.250$, $y(63.2\%) = 0$. $\beta = (0 - (-2.250))/(\ln1000 - \ln200) = 2.250/1.609 = 1.40$. $\eta = 1000$ h.

$E_a = 0.7$ eV인 메커니즘을 사용 온도 55 °C 대신 125 °C에서 시험한다. 가속 계수와, 시험 1000 h가 사용 조건 몇 년에 해당하는지 구하라.

$\mathrm{AF} = \exp\big[\frac{0.7}{8.617\times10^{-5}}\big(\frac1{328.15} - \frac1{398.15}\big)\big] = e^{4.352} = 77.6$. $1000\times77.6 = 77{,}645$ h $= 8.86$년.

소자 500개를 가속 계수 80인 조건에서 2000 h 시험해 고장이 하나도 없었다. 60%와 90% 신뢰 수준의 FIT 상한을 구하라.

$T = 500\times2000\times80 = 8\times10^7$ 소자·시간. 60%: $1.833/(1.6\times10^8) = 1.145\times10^{-8}$/h = 11.5 FIT. 90%: $4.605/(1.6\times10^8) = 2.88\times10^{-8}$/h = 28.8 FIT.

사용 조건 55 °C에서 10 FIT 이하를 90% 신뢰로 보증하려 한다. 125 °C($E_a = 0.7$ eV)에서 1000 h 시험하고 고장 0개를 허용할 때 필요한 최소 시료 수는?

필요한 등가 소자·시간 $T = \chi^2_{0.1,2}/(2\lambda)$를 먼저 구한다.

$T = 4.605/(2\times10^{-8}) = 2.303\times10^8$ 소자·시간. AF = 77.6이므로 실제 소자·시간은 $2.303\times10^8/77.65 = 2.966\times10^6$, $N = 2.966\times10^6/1000 = 2965.5$ → 2966개. 고장 1개까지 허용하려면 $\chi^2_{0.1,4} = 7.779$로 약 5010개가 필요하다.

소자 10개를 500 h까지 시험해 180, 320, 410 h에 고장 나고 7개는 살아 있었다. 같은 메커니즘의 과거 자료로 $\beta = 2$를 안다고 할 때 $\eta$의 최대 가능도 추정값은?

$\beta$가 알려지면 $\hat\eta = \big(\sum t_i^\beta / r\big)^{1/\beta}$이고 합에는 정지 시각도 들어간다.

$\sum t_i^2 = 180^2 + 320^2 + 410^2 + 7\times500^2 = 2{,}052{,}900$, $r = 3$. $\hat\eta = \sqrt{2052900/3} = 827$ h. 정지를 빼고 고장 3개만 쓰면 $\sqrt{302900/3} = 318$ h로 터무니없이 작아진다.

모듈 6개의 기록(h)이 50(고장), 80(정지), 120(고장), 120(고장), 200(정지), 260(고장)이다. 카플란–마이어 추정값 $\hat R(150)$은?

50 h: $n = 6$, $5/6$. 80 h 정지로 $n = 4$. 120 h: $d = 2$, $n = 4$, $\hat R = \frac56\times\frac24 = 0.417$. 150 h까지 다른 고장이 없으므로 $\hat R(150) = 0.417$.

$D_0 = 0.4$/cm², 다이 면적 2 cm²이다. 포아송 수율과 군집 모수 α = 1.5인 음이항 수율을 구하라.

$D_0A = 0.8$. 포아송 $e^{-0.8} = 0.449$. 음이항 $(1 + 0.8/1.5)^{-1.5} = 1.5333^{-1.5} = 0.527$. 군집을 고려하면 수율이 8%p 높게 예측된다.

300 mm 웨이퍼, $D_0 = 0.2$/cm²인 공정에서 시즈 모형을 쓴다. 다이 면적이 100 mm²일 때와 200 mm²일 때 웨이퍼당 기대 양품 다이 수를 구하라.

100 mm²: DPW $= \lfloor 706.9 - 66.6\rfloor = 640$, $Y = 1/(1 + 0.2\times1) = 0.833$, 양품 533개. 200 mm²: DPW $= \lfloor353.4 - 47.1\rfloor = 306$, $Y = 1/1.4 = 0.714$, 양품 219개. 면적을 두 배로 하면 양품 수는 절반보다 더 줄어(41%) 다이 원가가 2.4배가 된다.

출하 전 칩의 2000 ppm이 $\mathrm{Weibull}(\beta = 0.5, \eta = 500\ \text{h})$(사용 조건)인 약한 칩이다. 125 °C에서 24 h 번인한다($E_a = 0.7$ eV, 사용 55 °C). 번인 뒤 남은 약한 칩은 처음 모집단의 몇 ppm인가?

AF = 77.6이므로 $t_e = 24\times77.6 = 1863$ h. $R_{\text{약}}(1863) = e^{-\sqrt{1863/500}} = e^{-1.931} = 0.145$. 남은 약한 칩 $2000\times0.145 = 290$ ppm. 약한 칩의 85%를 걸렀지만 290 ppm이 남는다. β가 작을수록 꼬리가 길어 다 걸러 내기 어렵다.

고장률 $2\times10^{-4}$/h인 지수 부품 3개로 (가) 하나만 살아도 되는 능동 병렬, (나) 둘 이상 살아야 하는 2-out-of-3 계통을 만든다. 각각의 MTTF는?

(가) $\frac1\lambda(1 + \frac12 + \frac13) = 5000\times1.833 = 9167$ h. (나) $\frac1\lambda(\frac12 + \frac13) = 5000\times0.833 = 4167$ h.

출하 후 반품 자료를 와이블 확률지에 그렸더니 기울기가 0.4였다. 이 고장은 욕조 곡선의 어느 구간이며 어떤 대책이 맞는가?

$\beta < 1$이면 고장률이 시간에 따라 줄어드는 초기 고장이다. 잠재 결함을 품은 약한 부분 모집단이 원인이므로 번인·고전압 스트레스로 출하 전에 걸러 내는 것이 맞다. 마모($\beta > 1$)에 번인을 하면 오히려 수명을 깎는다.

같은 $D_0$와 다이 면적에서 수율을 가장 높게 예측하는 모형은?

수율 $E[e^{-DA}]$는 $D$의 분포가 퍼질수록 크다. 퍼짐 순서는 점(포아송) < 삼각(머피) < 감마 α = 2 < 지수(시즈, 음이항 α = 1과 같음)이므로 시즈가 가장 높다. 예제 17.8에서 0.638 < 0.648 < 0.666 < 0.690이었다.

개념 확인 퀴즈

같은 시각에서 밀도 $f(t)$와 고장률 $h(t)$를 비교하면?

$h = f/R$이고 $0 < R \le 1$이므로 $h \ge f$다. 생존자로 나누기 때문이다. 시간이 갈수록 $R$이 작아져 차이가 커진다.

고장률이 일정한 칩들인데 반품 자료의 고장률이 시간에 따라 줄어든다. 가장 그럴듯한 설명은?

지수 분포끼리 섞어도 혼합의 고장률은 감소한다. 약한 무리가 먼저 빠지면서 생존자 구성이 바뀌기 때문이다. 개별 칩의 고장률이 변하지 않아도 모집단 고장률은 변한다.

와이블 확률지에서 앞쪽 점들은 완만하고 뒤쪽 점들은 가파르게 꺾여 보인다(두 직선). 무엇을 의심해야 할까?

와이블 하나라면 점들이 한 직선 위에 있다. 기울기가 다른 두 구간은 β가 다른 메커니즘(예: 초기 결함과 마모)이 겹친 신호다. 고장 분석으로 메커니즘별로 나누어 따로 그린다.

HTOL에서 고장이 0개였다. 고장률에 대해 옳은 말은?

고장 수가 포아송이면 0 고장은 $\lambda T$가 작다는 증거일 뿐이다. 60% 신뢰로 $\lambda < 0.916/T$, 90%로 $\lambda < 2.303/T$라고 말한다. 시험이 클수록 상한이 낮아진다.

결함 군집을 무시하고 포아송 모형으로 큰 다이의 수율을 예측하면?

군집되면 결함이 같은 다이에 겹쳐 떨어져 죽는 다이가 줄어든다. 포아송은 이 겹침을 무시하므로 수율을 과소 예측하고, 차이는 $D_0A$가 클수록 커진다.