Chapter 01

재료와 재료 선택

스마트폰 속 칩 하나에는 주기율표의 원소 60여 가지가 들어 있다. 트랜지스터의 실리콘과 하프늄 산화막, 배선의 구리와 탄탈럼, 층간 절연막의 다공성 유리, 범프의 주석 합금, 몰딩의 에폭시와 실리카, 기판의 유리 섬유 복합재료까지 — 어느 하나도 우연히 고른 것이 아니다. 각 재료는 그 자리에서 요구되는 성질을 가장 잘, 가장 싸게, 가장 믿을 수 있게 만족하기 때문에 그 자리에 있다. 이 장은 재료를 분류하고(금속·세라믹·고분자·반도체·복합재료), 성질이 원자 결합과 미세조직에서 나온다는 큰 그림을 세운 뒤, 성질의 범위와 단위를 익히고, 애시비 성질 지도와 성능 지수로 재료를 체계적으로 고르는 법을 배운다. 아래 그림은 이 책의 재료 50여 가지를 한 성질의 로그 자 위에 늘어놓은 것이다. 성질이 바뀔 때마다 점들이 미끄러져 자리를 옮기는데, 어떤 성질은 범위가 스무 자릿수를 넘는다.

누르면 다음 성질 · 점 위를 끌면 재료 이름

재료를 금속·세라믹·유리·고분자·반도체·복합재료로 나누고, 각 분류의 대표 성질을 금속·이온·공유·2차 결합의 미시 그림으로 설명한다.
구조–공정–성질–성능 사면체로 한 재료(예: 구리 배선)의 공정이 미세조직을, 미세조직이 성질을, 성질이 성능을 정하는 사슬을 따라간다.
밀도·탄성률·강도·파괴 인성·열팽창·열전도도·전기 저항률·유전율의 정의와 단위를 알고, SI와 영미 단위를 바꾸며, 성질 범위가 몇 자릿수에 걸치는지 말한다.
애시비 성질 지도를 읽고, 로그–로그 축 위에서 성능 지수 $E/\rho$, $E^{1/2}/\rho$, $E^{1/3}/\rho$가 기울기 1·2·3인 직선이 됨을 이용해 후보를 골라낸다.
목적·제약·자유 변수를 세워 가볍고 단단한(강한) 봉·보·판, 열충격 저항, 열 분산판의 성능 지수를 유도하고 계산한다.
선별 → 순위 → 문서화의 재료 선택 절차를 밟고, 가중 점수법과 교환 상수로 여러 목표 사이의 절충을 정량적으로 판단한다.
칩 단면(트랜지스터–배선–패키지–기판)의 각 층 재료와 그 재료를 고른 이유를 성질로 설명한다.

재료의 분류와 원자 결합

공학에서 쓰는 고체 재료는 수만 가지지만, 원자가 서로 붙어 있는 방식(결합)과 원자 배열에 따라 몇 개의 큰 무리로 나뉜다. 캘리스터는 금속(metals), 세라믹(ceramics), 고분자(polymers), 복합재료(composites)를 4대 분류로 들고, 여기에 반도체(semiconductors)·생체 재료 같은 첨단 재료를 덧붙인다. 애시비는 세라믹에서 비정질인 유리(glasses)를, 고분자에서 고무 같은 엘라스토머를 따로 떼어 낸다. 이 책의 자료표(Mat.db, 부록 A)도 금속·세라믹·유리·반도체·고분자·복합재료·자연 재료의 일곱 무리로 나눈다.

분류	주된 결합	대표 재료	대표 성질(자료표 범위)
금속	금속 결합	Al, Cu, W, 강, Ti 합금, 솔더	$E$ 32–447 GPa, 연성, 큰 파괴 인성(8–200 MPa·√m), 전도체($10^{-8}$–$10^{-6}$ Ω·m)
세라믹	이온·공유 결합	Al₂O₃, AlN, SiC, Si₃N₄, ZrO₂	$E$ 175–1050 GPa, 단단하지만 취성($K_\mathrm{IC}$ 1.5–7), 내열, 대부분 절연
유리	공유(비정질 망목)	용융 실리카, 붕규산 유리, SiCOH	투명, 절연($10^{10}$–$10^{18}$ Ω·m), 매우 취성($K_\mathrm{IC}\lt 1$)
반도체	공유 결합	Si, Ge, GaAs, GaN, 4H-SiC	띠틈 0.7–3.4 eV, 도핑으로 저항률을 수십 자릿수 조절, 취성
고분자	사슬 안 공유 + 사슬 사이 2차 결합	PE, PMMA, 에폭시, 폴리이미드	가벼움(0.9–2.2 g/cm³), 무름($E\lt 3$ GPa), 큰 열팽창(20–310 ppm/K), 낮은 사용 온도
복합재료	두 재료 이상	CFRP, GFRP, FR-4, EMC	구성 재료의 장점을 섞음 — 가볍고 단단하거나, 열팽창을 맞추거나

분류마다 성질이 이렇게 다른 이유는 원자 사이의 결합에 있다. 2장에서 결합 에너지 곡선으로 자세히 다루고(원자 결합과 결정 구조), 일반화학에서 이온화 에너지와 전기 음성도의 주기성을 보았다(일반화학 · 주기적 성질). 여기서는 네 가지 결합의 미시 그림과 그 결과만 한눈에 본다.

금속 결합: 원자가 전자를 내놓아 양이온 격자를 자유 전자가 감싼다. 결합에 방향이 없어 원자층이 미끄러져도 결합이 끊어지지 않는다 — 연성과 높은 전기·열 전도도의 뿌리.
이온 결합: 전자를 주고받은 양이온과 음이온이 정전기력으로 붙는다. 이웃은 늘 반대 전하여야 하므로 원자층을 한 칸 밀면 같은 전하가 마주 보고 밀어내 쪼개진다 — 단단하지만 취성.
공유 결합: 이웃 원자끼리 전자쌍을 나눠 갖는다. 결합의 방향과 각도가 정해져 있어 가장 단단하고(다이아몬드 $E$ = 1050 GPa) 녹는점이 높지만, 결합이 비틀리면 끊어진다. 전자가 결합에 묶여 띠틈이 생긴다.
분자 사슬과 2차 결합(secondary bond): 고분자 사슬 안은 공유 결합이지만 사슬 사이는 반데르발스 힘·수소 결합 같은 약한 2차 결합이다. 약한 고리가 성질을 정해 탄성률이 작고 열팽창이 크며 낮은 온도에서 물러진다.

네 가지 결합의 미시 그림. 결합의 세기는 탄성률·녹는점을, 방향성은 연성과 취성을, 전자가 자유로운지는 전기 전도를 정한다.

결합의 방향성이 기계적 성질을 어떻게 정하는지 직접 확인하자. 결정의 위쪽 절반을 아래쪽 절반에 대해 원자 간격 $a$만큼 민다고 하자. 실제 금속은 이렇게 한꺼번에 밀리지 않고 전위가 한 줄씩 옮겨 가며 미끄러지지만(6장), 미끄럼면을 사이에 둔 결합이 밀린 뒤에도 유지되는지는 이 단순한 그림으로 충분히 보인다.

이온 결정(NaCl형)의 위쪽 절반을 원자 간격 하나만큼 옆으로 밀면 어떻게 될까?

이온 결합 자체는 방향이 없지만 "이웃은 반대 전하"라는 조건이 붙는다. 한 칸 밀면 양이온 위에 양이온, 음이온 위에 음이온이 오므로 미끄럼면 에너지가 가장 높아지고 결정이 그 면을 따라 갈라진다. 시뮬레이터에서 결합마다 에너지 곡선의 모양을 비교하라.

SIMULATOR

결합의 종류와 미끄러짐: 위쪽 절반을 밀어 보기

위쪽 블록의 흰 원을 좌우로 끈다

결합

밀린 거리 s/a—

미끄럼면 에너지—

결과—

오른쪽(좁은 화면에서는 아래) 곡선은 미끄럼면을 사이에 둔 결합의 에너지를 밀린 거리의 함수로 그린 정성 모형이다(최댓값을 1로). 해볼 것: ① 금속에서 $s/a = 1$까지 밀면 원자 배열이 처음과 똑같아진다 — 결합이 끊어지지 않고 영구 변형만 남는다(연성). ② 이온 결정은 $s/a\approx0.6$을 넘기면 같은 전하가 마주 보며 쪼개진다. ③ 공유 결정은 결합이 조금(약 0.25a)만 비틀려도 끊어진다. ④ 분자 사슬은 사슬 사이 2차 결합이 약해 에너지 언덕이 아주 낮다 — 쉽게 미끄러지고 무르다.

분류는 출발점일 뿐이다

같은 분류 안에서도 성질은 크게 다르다. 순수 알루미늄의 항복 강도는 35 MPa지만 시효 경화한 6061-T6는 276 MPa다. 세라믹인 TiN은 금속처럼 전기가 통하고($2.2\times10^{-7}$ Ω·m), 탄화 규소는 소결체와 단결정의 저항률이 일곱 자릿수 다르다. 결합이 "가능한 범위"를 정하고, 그 범위 안의 자리는 미세조직과 공정이 정한다 — 다음 절의 주제다.

구조–공정–성질–성능

재료과학과 재료공학을 한 그림으로 요약한 것이 재료 사면체(materials tetrahedron)다. 꼭짓점은 구조·공정·성질·성능이다. 구조는 원자 결합과 결정 구조(2장)에서 결함(3장), 결정립·상의 배열인 미세조직(microstructure)(8–10장)까지 여러 길이 규모를 아우른다. 공정은 주조·압연·열처리·증착·어닐처럼 재료를 만들고 다듬는 과정이고, 성질은 외부 자극(힘·열·전기장·빛)에 대한 재료의 반응, 성능은 그 재료로 만든 부품이 실제 쓰임새에서 보이는 결과다. 사면체 가운데에는 이 모두를 재는 특성 평가(18장)가 있다.

재료 사면체. 공정이 구조(미세조직)를 만들고, 구조가 성질을 정하며, 성질이 성능을 정한다. 구리 배선에서는 도금 뒤 어닐로 결정립이 자라면 저항률이 낮아지고 전자 이동(electromigration) 수명이 길어진다.

사슬의 한 고리를 직접 만져 보자. 구리를 어닐하면 결정립이 자란다(10장). 결정립계는 전위의 움직임을 막으므로, 결정립이 작을수록 항복 강도가 크다. 이것이 6장의 홀–페치 식 $\sigma_\mathrm{y} = \sigma_0 + k_\mathrm{y}d^{-1/2}$이다. 같은 원소, 같은 결정 구조인데 공정이 미세조직을 바꾸고 미세조직이 성질을 바꾼다.

구리를 높은 온도에서 오래 어닐해 결정립 지름이 5 µm에서 50 µm로 10배 커졌다. 홀–페치 식에서 결정립 크기에 따르는 강화 항 $k_\mathrm{y}d^{-1/2}$은 어떻게 될까?

강화 항은 $d^{-1/2}$에 비례하므로 $d$가 10배면 $1/\sqrt{10}\approx0.32$배다. 구리($\sigma_0$ = 25 MPa, $k_\mathrm{y}$ = 0.11 MPa·√m)에서 강화 항은 49 MPa에서 16 MPa로 줄고 항복 강도는 74 MPa에서 41 MPa로 떨어진다.

어닐 후 결정립 지름 d

MINI LAB시야 100 µm × 100 µm의 구리 결정립(보로노이 모형). 어닐로 결정립을 키우면(슬라이더를 오른쪽으로) 결정립계가 줄고 항복 강도 $\sigma_\mathrm{y} = 25 + 0.11/\sqrt d$ MPa가 떨어진다. 공정 → 구조 → 성질의 사슬이 한 슬라이더 위에 있다.

전기 도금 직후 구리 막의 평균 결정립 지름은 0.2 µm 안팎이고, 상온에서 며칠 또는 어닐로 1–2 µm 이상으로 자란다(자가 어닐링). 홀–페치 계수 $\sigma_0 = 25$ MPa, $k_\mathrm{y} = 0.11$ MPa·√m로 결정립 지름이 0.2 µm와 2 µm일 때의 항복 강도를 구하고 비를 구하라.

풀이 보기

전략 $d$를 m 단위로 넣는다. $k_\mathrm{y}$의 단위가 MPa·√m이므로 $k_\mathrm{y}/\sqrt d$가 곧 MPa다.

풀이 $d = 2\times10^{-7}$ m: $\sqrt d = 4.47\times10^{-4}\ \sqrt{\text{m}}$, $k_\mathrm{y}/\sqrt d = 246$ MPa, $\sigma_\mathrm{y} = 271$ MPa. $d = 2\times10^{-6}$ m: $k_\mathrm{y}/\sqrt d = 77.8$ MPa, $\sigma_\mathrm{y} = 103$ MPa. 비는 $271/103 = 2.6$.

$\sigma_\mathrm{y}\approx271$ MPa(0.2 µm) → 103 MPa(2 µm), 약 2.6배 차이

검토 자료표의 풀림 구리(69 MPa)는 결정립이 수십 µm인 덩어리 값이다. 같은 구리라도 미세조직에 따라 항복 강도가 몇 배씩 달라지므로, 재료 이름만으로 성질을 말할 수 없다. 배선 구리가 단단하면 CMP와 열 순환 응력에는 유리하지만 결정립계가 많아 저항률과 전자 이동에는 불리하다 — 성질끼리도 절충이 생긴다.

이 책은 사면체의 꼭짓점을 차례로 돈다. 아래 지도에서 각 부가 무엇을 다루는지 보고, 필요한 장으로 바로 건너뛰어도 된다.

이 책의 지도. 구조(1–4장)에서 성질(5–7장)로, 공정이 만드는 미세조직(8–10장)을 거쳐 재료별 특징(11–14장)과 기능 성질·신뢰성·분석(15–18장)으로 간다. 부록 A는 이 장에서 쓰는 재료 자료표와 계산기다.

재료 성질의 범위와 단위

재료를 고르려면 성질을 숫자로, 같은 단위로 비교해야 한다. 이 책 전체에서 쓰는 주요 성질과 단위를 정리하면 다음과 같다. 범위는 자료표(Mat.db)의 상온 대표값에서 가장 작은 값과 큰 값이다.

성질	기호	단위	정의(한 줄)	자료표 범위
밀도	$\rho$	g/cm³ (= Mg/m³)	단위 부피의 질량	0.50(목재) – 19.3(W·Au)
영률	$E$	GPa	탄성 영역의 응력/변형, 강성	0.002(PDMS) – 1050(다이아몬드)
강도	$\sigma_\mathrm{y}$, $\sigma_\mathrm{f}$	MPa	금속·고분자는 항복 강도, 세라믹·유리는 굽힘 파괴 강도	3(콘크리트) – 1620(4340 강)
파괴 인성	$K_\mathrm{IC}$	MPa·√m	균열이 있을 때 파괴에 버티는 능력	0.3(SiCOH) – 200(304 스테인리스)
열팽창 계수	$\alpha$	ppm/K (= 10⁻⁶/K)	온도 1 K당 길이 변화율	0.55(용융 실리카) – 310(PDMS)
열전도도	$\kappa$	W/(m·K)	온도 기울기당 열 흐름	0.12(PP·목재) – 2000(다이아몬드)
전기 저항률	$\rho_\mathrm{e}$	Ω·m (박막은 µΩ·cm)	단위 길이·단위 넓이당 저항	$1.6\times10^{-8}$(Ag) – $10^{18}$(실리카)
상대 유전율	$\varepsilon_\mathrm{r}$($k$)	—	진공 대비 전기 용량 배율	2.0 – 25(ZrO₂)
가격	$C_\mathrm{m}$	USD/kg	덩어리 원료의 대략적 값	0.1(콘크리트) – $10^6$(다이아몬드)

두 가지를 눈여겨보자. 첫째, 성질마다 범위가 엄청나게 넓다. 영률은 다섯 자릿수 반, 열전도도는 네 자릿수, 전기 저항률은 스물여섯 자릿수에 걸친다. 그래서 재료 성질은 거의 언제나 로그 눈금으로 그린다. 둘째, 밀도 $\rho$와 저항률 $\rho_\mathrm{e}$가 같은 글자를 쓰므로, 이 책에서는 헷갈릴 수 있는 곳에서 저항률에 아래첨자를 붙인다. 고체물리 책의 물성표(고체물리 · 고체 물성 자료)가 반도체 쪽 값을 더 자세히 모아 두었다.

세로 커서를 좌우로 끈다

성질

MINI LAB분류별 성질 범위를 로그 자 위에 막대로 그렸다(점은 개별 재료). 커서를 끌어 가장 가까운 재료와 그 값을 읽어 보라. 저항률 축에서 금속과 절연체 사이의 거리, 영률 축에서 고분자와 세라믹 사이의 거리를 자릿수로 세어 보자.

단위 바꾸기

미국 자료와 장비 사양서는 아직 영미 단위를 많이 쓴다. 1 psi(제곱인치당 파운드힘) = 6.895 kPa이므로 1 ksi = 6.895 MPa, 1 Msi($10^6$ psi) = 6.895 GPa다. 저항률은 박막 분야에서 µΩ·cm를 쓴다: $1\ \mu\Omega\,\text{cm} = 10^{-6}\ \Omega\times10^{-2}\ \text{m} = 10^{-8}\ \Omega\,\text{m}$. 밀도 1 g/cm³ = 1000 kg/m³, 열팽창 1 ppm/K = $10^{-6}$ K⁻¹다.

강도 400는 이고, 영률 207은 이다. 저항률 1.7은 이고, 두께 100 nm 막이면 면저항이 이다.

(a) 탄소강 1020의 영률 207 GPa를 psi로 바꿔라. (b) 자료표의 Al 6061($E$ = 69 GPa, $\rho$ = 2.70 g/cm³), 탄소강 1020(207 GPa, 7.85 g/cm³), Ti-6Al-4V(114 GPa, 4.43 g/cm³)의 비강성 $E/\rho$를 GPa/(g/cm³)로 구해 비교하라.

풀이 보기

전략 1 psi = 6894.76 Pa. 비강성(specific stiffness)은 영률을 밀도로 나눈 값이다.

풀이 (a) $207\times10^9/6894.76 = 3.00\times10^7$ psi(30 Msi). (b) Al 6061: $69/2.70 = 25.6$, 강: $207/7.85 = 26.4$, Ti-6Al-4V: $114/4.43 = 25.7$ GPa·cm³/g.

(a) $3.00\times10^7$ psi (b) 세 금속 모두 약 26 GPa·cm³/g으로 거의 같다

검토 흔히 쓰는 구조 금속 셋의 비강성이 2–3% 안에서 같다는 것은 우연이 아니다. 금속의 영률과 밀도는 둘 다 원자 사이 결합과 원자 질량이 정하는데, 전이 금속 무리에서 그 비가 비슷하다. 그래서 "인장 봉의 강성"만 보면 이 셋에 우열이 없고, 보와 판에서야 차이가 난다(5절).

애시비 성질 지도

성질을 하나씩 보면 재료 선택이 끝나지 않는다. 실제 설계는 늘 두 개 이상의 성질을 함께 요구한다 — 가볍고 단단하게, 강하고 질기게, 열은 잘 통하되 전기는 막게. 애시비(M. F. Ashby)는 두 성질을 로그–로그 축에 놓고 모든 재료를 한 장에 찍은 재료 성질 지도(materials property chart, Ashby chart)를 만들었다. 지도 위에서 같은 분류의 재료는 한 무리로 모인다. 결합과 원자 배열이 비슷하면 성질도 비슷하기 때문이다. 영률–밀도 지도에서 세라믹은 오른쪽 위(무겁고 단단함), 고분자는 왼쪽 아래(가볍고 무름), 금속은 오른쪽 가운데에 자리 잡고, 복합재료와 목재는 그 사이의 빈자리를 메운다.

로그 축의 진짜 힘은 성능 지수가 직선이 된다는 데 있다. 5절에서 유도하겠지만 가볍고 단단한 인장 봉은 $M = E/\rho$가, 보는 $M = E^{1/2}/\rho$가, 판은 $M = E^{1/3}/\rho$가 클수록 좋다. 일반적으로 $M = E^{1/n}/\rho$의 로그를 취하면

$$\log E = n\log\rho + n\log M$$

$\log E$–$\log\rho$ 평면에서 기울기 $n$인 직선이다. 한 직선 위의 재료는 모두 같은 $M$, 곧 같은 성능을 낸다. 직선을 위(왼쪽 위)로 평행 이동할수록 $M$이 커지고, 직선보다 위에 있는 재료만 그 성능을 넘는다.

$M = E/\rho$의 로그는 $\log E = \log\rho + \log M$ — 기울기 1인 직선이다.
$M = E^{1/2}/\rho$이면 양변을 제곱해 $E = M^2\rho^2$, 곧 기울기 2.
$M = E^{1/3}/\rho$이면 $E = M^3\rho^3$, 기울기 3. 기울기가 클수록 같은 성능을 내는 데 필요한 영률이 밀도에 더 민감하다 — 가벼운 재료가 이긴다.
선을 평행 이동하면 $M$이 바뀐다. 선보다 위에 있는 재료가 그 $M$을 넘는 후보이고, 선을 계속 올리면 마지막에 남는 몇 개가 최선의 후보다.

성능 지수 기울기선. 로그–로그 지도에서 거듭제곱 꼴의 성능 지수는 모두 직선이 되므로, 자 하나를 지도 위에 대고 밀기만 하면 재료의 순위가 나온다.

영률–밀도 지도에 기울기 2인 선($E^{1/2}/\rho$, 가볍고 단단한 보)을 대고 위로 밀어 올린다. 다이아몬드를 빼면 마지막까지 남는 재료 무리는 어디일까?

$E^{1/2}/\rho$는 밀도에 1차, 영률에 1/2차로 의존하므로 밀도가 작은 쪽이 크게 유리하다. 결 방향 목재($\sqrt{11}/0.50 = 6.6$)가 SiC(6.3)·4H-SiC(6.6)와 겨루고, CFRP(유사 등방 5.0)·알루미나(5.0)가 뒤를 잇는다. 고분자는 가볍지만 영률이 너무 작고(PMMA 1.5), 강은 무겁다(1.8).

SIMULATOR

애시비 성질 지도와 성능 지수 기울기선

흰 원을 끌어 선을 평행 이동 · 점 위에 올리면 이름

지도

기울기선 분류 영역 묶음

선의 지수 M—

선 위쪽 재료—

상위 3—

가리킨 재료—

점은 자료표(Mat.db)의 상온 대표값, 색칠한 영역은 같은 분류의 볼록 껍질이다. 강도 축은 금속·고분자의 항복 강도와 세라믹·유리의 굽힘 강도를 함께 쓴다. 해볼 것: ① E–ρ 지도에서 기울기 1, 2, 3을 바꿔 가며 선을 올려 마지막 다섯 재료가 어떻게 바뀌는지 본다(봉에서는 세라믹, 판에서는 목재·CFRP). ② $K_\mathrm{IC}$–σ 지도에서 $K_\mathrm{IC}/\sigma_\mathrm{y}$ 선을 올리면 금·구리·솔더 같은 연한 금속만 남는다 — "부서지기 전에 항복하는" 재료다. ③ κ–α 지도에서 $\kappa/\alpha$(열 변형 저항) 선을 올려 다이아몬드·SiC·Si·AlN이 남는 것을 확인한다.

Al 6061($E$ = 69 GPa, $\rho$ = 2.70 g/cm³)을 지나는 기울기 2인 선이 있다. (a) 이 선 위에서 밀도 1.55 g/cm³인 재료의 영률은 얼마인가? (b) 유사 등방 CFRP(60 GPa, 1.55 g/cm³)는 이 선의 위에 있는가, 아래에 있는가? (c) 같은 질문을 기울기 1인 선으로 하면?

풀이 보기

전략 기울기 2인 선 위에서는 $E^{1/2}/\rho$가 일정하므로 $E = E_\mathrm{Al}(\rho/\rho_\mathrm{Al})^2$. 기울기 1이면 $E = E_\mathrm{Al}(\rho/\rho_\mathrm{Al})$.

풀이 (a) $E = 69\times(1.55/2.70)^2 = 69\times0.3296 = 22.7$ GPa. (b) CFRP는 60 GPa > 22.7 GPa이므로 선 위쪽, 곧 보로서 알루미늄보다 낫다: $E^{1/2}/\rho$ = 5.00 대 3.08. (c) 기울기 1이면 $E = 69\times1.55/2.70 = 39.6$ GPa. CFRP(60 GPa)는 여전히 위쪽이지만 차이는 줄어든다: $E/\rho$ = 38.7 대 25.6.

(a) 22.7 GPa (b) 위쪽 — 보로 쓰면 Al보다 1.62배 가볍다 (c) 위쪽, 봉으로는 1.51배 가볍다

검토 보 질량은 $\rho/E^{1/2}$에 비례하므로 Al 대비 CFRP의 질량비는 $3.08/5.00 = 0.62$. 지도 위의 수직 거리(자릿수)를 기울기로 환산하면 이 비를 눈으로 읽을 수 있다.

성능 지수 유도

성능 지수는 외워야 할 공식이 아니라 매번 유도하는 것이다. 애시비의 방법은 부품의 설계 요구를 네 가지로 번역하는 데서 출발한다.

기능

부품이 하는 일: 하중을 버티는 봉, 휘지 않는 보, 열을 퍼뜨리는 판, 웨이퍼를 붙잡는 척.

목적 함수(objective)

최소화(또는 최대화)할 양: 질량, 원가, 부피, 열 변형, 에너지 손실.

제약 조건(constraints)

반드시 만족할 조건: 강성 $S\ge S^*$, 파괴되지 않음, 사용 온도, 절연, 정해진 길이 $L$.

여기에 설계자가 마음대로 정할 수 있는 자유 변수(free variable)(단면적, 두께)가 있다. 제약 조건으로 자유 변수를 없애고 목적 함수에 대입하면, 목적 함수가 하중·치수에 관한 항 × 재료 성질에 관한 항으로 갈라진다. 재료 항의 역수가 성능 지수(performance index, material index) $M$이다. 이 분리가 핵심이다 — 하중이나 길이가 바뀌어도 재료의 순위는 바뀌지 않는다.

가볍고 단단한 인장 봉

길이 $L$인 봉이 인장 하중을 받으며 강성 $S = F/\delta = EA/L$가 $S^*$ 이상이어야 한다. 목적은 질량 $m = AL\rho$의 최소화, 자유 변수는 단면적 $A$다. 제약에서 $A = S^*L/E$이므로

$$m = S^*L^2\left(\frac{\rho}{E}\right)\quad\Longrightarrow\quad M_\text{봉} = \frac{E}{\rho}$$

질량은 $\rho/E$에 비례하고, 가장 가벼운 봉은 비강성 $E/\rho$가 가장 큰 재료로 만든다. 단면 모양은 상관없다.

목적: 길이 $L$이 정해진 정사각 단면(한 변 $b$) 외팔보의 질량 $m = b^2L\rho$를 최소로.
제약: 끝에 $F$를 걸었을 때 처짐이 $\delta^*$ 이하, 곧 굽힘 강성 $S = F/\delta = C_1EI/L^3\ge S^*$. 단면 2차 모멘트 $I = b^4/12$, 외팔보는 $C_1 = 3$.
자유 변수 소거: 제약에서 $b^2 = \left(12S^*L^3/C_1E\right)^{1/2}$를 얻어 목적 함수에 넣는다.
성능 지수: $m = \left(12S^*/C_1\right)^{1/2}L^{5/2}\,(\rho/E^{1/2})$. 질량은 $\rho/E^{1/2}$에 비례하므로 $M = E^{1/2}/\rho$가 클수록 가볍다.

가볍고 단단한 보의 성능 지수 유도. 보에서는 단면을 키우면 강성이 $b^4$로, 질량은 $b^2$로만 늘기 때문에 영률의 지수가 1/2로 줄어든다 — 가벼운 재료를 두껍게 쓰는 편이 유리하다.

판(폭 $w$ 고정, 두께 $t$가 자유 변수)이면 $I = wt^3/12$이므로 $t\propto E^{-1/3}$, $m = wtL\rho\propto\rho/E^{1/3}$이 되어 $M = E^{1/3}/\rho$다. 강성 대신 강도가 제약이면(부러지거나 항복하지 않을 것) $E$ 자리에 강도가 들어간다. 정사각 단면 보의 굽힘 응력 $\sigma = 6M_\mathrm{b}/b^3$이 $\sigma_\mathrm{f}$를 넘지 않아야 하므로 $b\propto\sigma_\mathrm{f}^{-1/3}$, $m\propto\rho/\sigma_\mathrm{f}^{2/3}$이다.

기능과 제약	목적	성능 지수 $M$(클수록 좋다)	지도 기울기
인장 봉, 강성 고정	질량 최소	$E/\rho$	1 (E–ρ)
보, 굽힘 강성 고정	질량 최소	$E^{1/2}/\rho$	2 (E–ρ)
판, 굽힘 강성 고정	질량 최소	$E^{1/3}/\rho$	3 (E–ρ)
인장 봉 / 보 / 판, 강도 고정	질량 최소	$\sigma_\mathrm{f}/\rho$, $\sigma_\mathrm{f}^{2/3}/\rho$, $\sigma_\mathrm{f}^{1/2}/\rho$	1, 3/2, 2 (σ–ρ)
위의 것, 원가 최소	원가 $m C_\mathrm{m}$	$\rho$ 자리에 $\rho C_\mathrm{m}$	—
급랭에도 깨지지 않음	허용 온도 차 최대	$\Delta T_\mathrm{c} = \sigma_\mathrm{f}(1-\nu)/(E\alpha)$	1 (σ–Eα)
열 분산판, 칩과 열팽창 정합	열저항 최소	$\kappa$ (제약: $\lvert\alpha-\alpha_\mathrm{Si}\rvert$ 작게)	κ–α
정밀 부품, 열 변형 최소	뒤틀림 최소	$\kappa/\alpha$	1 (κ–α)
파괴 전 항복(누설 전 파괴 방지)	안전	$K_\mathrm{IC}/\sigma_\mathrm{y}$	1 (K–σ)

같은 굽힘 강성을 내는 외팔보를 가장 가볍게 만드는 재료는 다음 중 무엇일까? (자료표 대표값: 강 207 GPa·7.85, Al 6061 69 GPa·2.70, 유사 등방 CFRP 60 GPa·1.55, 결 방향 목재 11 GPa·0.50 g/cm³)

$E^{1/2}/\rho$는 강 1.83, Al 3.08, CFRP 5.00, 목재 6.63이다. 영률이 강의 1/19밖에 안 되는 목재가 보로서는 가장 가볍다 — 단면을 두껍게 하면 강성이 $b^4$로 늘기 때문이다. 다만 섬유를 한 방향으로 정렬한 CFRP($E\approx$ 140 GPa)는 목재를 넘는다. 시뮬레이터에서 하중을 바꿔도 순위가 그대로인지 보라.

SIMULATOR

가볍고 단단한 봉·보·판 — 하중을 끌어도 순위는 그대로

하중 화살표 끝의 흰 원을 위아래로 끈다 · 막대를 누르면 재료 선택

부품

재료

하중 F—

필요한 치수—

질량—

가장 가벼운 재료—

길이 $L$ = 1 m, 허용 처짐(또는 늘음) $\delta^*$ = 5 mm로 고정하고, 하중 $F$를 끌어 강성 요구 $S^* = F/\delta^*$를 바꾼다. 보는 정사각 단면 외팔보, 판은 폭 0.1 m 외팔판, 봉은 인장 봉이다. 위 그림의 단면은 선택한 재료에 필요한 크기를 같은 축척으로 그린 것이다. 해볼 것: ① 하중을 10 N에서 1000 N으로 바꿔도 막대 길이의 순서는 그대로다 — 순위는 성능 지수만이 정한다. ② 봉 → 보 → 판으로 바꾸면 강·알루미나 같은 무거운 재료가 아래로, 목재·CFRP·마그네슘이 위로 올라간다. ③ 판에서 Al과 강의 질량비가 약 2배인 것을 $E^{1/3}/\rho$로 확인한다.

밀도 2.70, 영률 69인 재료로 강(207 GPa, 7.85 g/cm³)과 같은 강성의 부품을 만들면 질량이 인장 봉에서 강의 배, 보에서 배, 판에서 배다.

길이 1.00 m인 인장 봉의 강성이 $1.0\times10^7$ N/m(1 kN당 0.1 mm 늘어남) 이상이어야 한다. Al 6061(69 GPa, 2.70 g/cm³), 탄소강 1020(207 GPa, 7.85 g/cm³), CFRP(60 GPa, 1.55 g/cm³)로 만들 때 필요한 단면적과 질량을 구하라.

풀이 보기

전략 $A = S^*L/E$, $m = S^*L^2\rho/E$. 단위는 SI(Pa, kg/m³)로.

풀이 Al: $A = 10^7\times1/69\times10^9 = 1.45\times10^{-4}$ m²(145 mm²), $m = 10^7\times1\times2700/69\times10^9 = 0.391$ kg. 강: $A$ = 48.3 mm², $m = 10^7\times7850/207\times10^9 = 0.379$ kg. CFRP: $A$ = 167 mm², $m = 10^7\times1550/60\times10^9 = 0.258$ kg.

Al 0.391 kg, 강 0.379 kg, CFRP 0.258 kg — 봉에서는 Al과 강이 거의 같고 CFRP가 약 1/3 가볍다

검토 질량비는 $E/\rho$의 역비와 같다: 강 26.4, Al 25.6, CFRP 38.7. 강 봉은 가늘고 Al 봉은 굵지만 무게는 같다. 3절 예제의 "비강성이 같다"는 결론이 그대로 질량으로 나타났다.

길이 1.00 m인 정사각 단면 외팔보의 끝에 100 N을 걸었을 때 처짐이 5.0 mm 이하여야 한다. 외팔보 끝 처짐은 $\delta = FL^3/3EI$, $I = b^4/12$다. Al 6061, 탄소강 1020, CFRP의 한 변 $b$와 질량을 구하라.

풀이 보기

전략 $\delta = 4FL^3/(Eb^4)$에서 $b = (4FL^3/E\delta)^{1/4}$, $m = b^2L\rho$.

풀이 $4FL^3/\delta = 4\times100\times1/0.005 = 8.0\times10^4$ N/m. Al: $b^4 = 8.0\times10^4/69\times10^9 = 1.159\times10^{-6}$ m⁴, $b$ = 32.8 mm, $m = (0.0328)^2\times1\times2700 = 2.91$ kg. 강: $b$ = 24.9 mm, $m$ = 4.88 kg. CFRP: $b$ = 34.0 mm, $m$ = 1.79 kg.

Al 2.91 kg(b = 32.8 mm), 강 4.88 kg(24.9 mm), CFRP 1.79 kg(34.0 mm)

검토 질량비 강 : Al : CFRP = 1 : 0.596 : 0.367은 $\rho/E^{1/2}$의 비(0.546 : 0.325 : 0.200)와 정확히 같다. 봉에서는 비겼던 강과 Al이 보에서는 1.68배 차이가 난다.

열충격과 열 분산

뜨거운 세라믹 판을 찬물에 넣으면 표면이 먼저 식어 줄어들려 하지만, 아직 뜨거운 안쪽이 붙잡아 표면에 인장 응력이 생긴다. 표면이 완전히 구속되었다고 보면 이 응력은 이축 열응력 $\sigma = E\alpha\Delta T/(1-\nu)$이고(5장), 이것이 파괴 강도 $\sigma_\mathrm{f}$에 이르면 균열이 난다. 깨지지 않고 견디는 최대 온도 차가 열충격 저항(thermal shock resistance)이다.

$$\Delta T_\mathrm{c} = \frac{\sigma_\mathrm{f}(1-\nu)}{E\alpha}$$

$\sigma_\mathrm{f}$ 파괴 강도(MPa), $E$ 영률(MPa로 맞춘다), $\alpha$ 열팽창 계수(K⁻¹), $\nu$ 푸아송 비. 강하고, 무르고(탄성률이 작고), 열팽창이 작을수록 열충격에 강하다. 열전도도가 크면 온도 차 자체가 작아지므로 실제로는 $\kappa$를 곱한 지수($R' = \kappa\Delta T_\mathrm{c}$)도 쓴다(16장).

굽힘 강도 330, 영률 380, 열팽창 7.4, 푸아송 비 0.22인 세라믹은 $\Delta T_\mathrm{c} =$ 까지 견딘다.

온도 차 눈금의 흰 원을 좌우로 끈다

MINI LAB세라믹·유리·실리콘 판을 $\Delta T$만큼 뜨거운 상태에서 급랭한다. 각 판의 $\Delta T_\mathrm{c}$(축 위의 ▼ 표시)를 넘으면 균열이 생긴다. 알루미나와 소다석회 유리는 100 K도 견디지 못하고, 질화 규소는 약 500 K, 용융 실리카는 2000 K 넘게 견딘다 — 석영 튜브를 불꽃에서 꺼내 물에 담가도 멀쩡한 이유다.

자료표 값으로 알루미나($\sigma_\mathrm{f}$ = 330 MPa, $E$ = 380 GPa, $\alpha$ = 7.4 ppm/K, $\nu$ = 0.22), 질화 규소(700 MPa, 304 GPa, 3.3 ppm/K, 0.27), 용융 실리카(104 MPa, 73 GPa, 0.55 ppm/K, 0.17)의 열충격 저항 $\Delta T_\mathrm{c}$를 구하라.

풀이 보기

전략 $E\alpha$를 MPa/K로 만든다: $E$[GPa]×10³×$\alpha$[ppm/K]×10⁻⁶.

풀이 알루미나: $E\alpha = 380\times10^3\times7.4\times10^{-6} = 2.81$ MPa/K, $\Delta T_\mathrm{c} = 330\times0.78/2.81 = 91.5$ K. 질화 규소: $E\alpha = 1.00$ MPa/K, $\Delta T_\mathrm{c} = 700\times0.73/1.00 = 509$ K. 용융 실리카: $E\alpha = 0.0402$ MPa/K, $\Delta T_\mathrm{c} = 104\times0.83/0.0402 = 2150$ K.

알루미나 약 92 K, 질화 규소 약 510 K, 용융 실리카 약 2150 K

검토 알루미나는 질화 규소의 절반쯤 강하지만 $E\alpha$가 2.8배 커서 열충격 저항이 1/5.6이다. 실리카는 강도가 가장 낮은데도 열팽창이 극히 작아 압도적이다. 실제 대형 부품은 결함 크기 분포와 열전달 조건 때문에 이보다 낮은 온도 차에서 깨진다(7장 와이블).

열을 퍼뜨리는 열 분산판(heat spreader)의 목적은 열저항 $R = t/(\kappa A)$의 최소화이므로 지수는 단순히 $\kappa$다. 그런데 칩에 직접 붙는 판이라면 온도가 오르내릴 때 열팽창 불일치 $\Delta\alpha\Delta T$가 접합부를 깨뜨리지 않아야 한다는 제약이 붙는다. 정전척이라면 웨이퍼에 전압을 걸어야 하므로 전기 절연이 또 하나의 제약이다. 이처럼 지수는 하나지만 제약이 여럿인 경우가 흔하고, 다음 절의 선별 단계가 그것을 처리한다.

정전척과 석영 부품은 열충격 지수로 고른다

플라스마 식각·증착 장비의 정전척(ESC)은 웨이퍼 아래에서 수백 W/cm²의 열을 빼내면서 수 kV의 척킹 전압을 버텨야 한다. 그래서 절연성이 높고 열전도도가 큰 AlN(170 W/m·K, $10^{12}$ Ω·m)이나 알루미나를 쓰고, 고온 척은 저항률을 조절한 AlN으로 존슨–라벡 힘을 쓴다. 공정 온도 변화와 램프 가열이 빠른 부품은 열충격 저항이 중요하다. 반응관·돔·창은 $\Delta T_\mathrm{c}$가 큰 용융 석영을, 플라스마에 닿는 벽은 플루오린 플라스마에 강한 Y₂O₃ 코팅을 쓰는데, Y₂O₃는 열충격 저항이 90 K 정도로 낮아 두꺼운 덩어리 대신 코팅으로 쓴다. → EtchBook · 반응기: 배럴에서 ICP까지

재료 선택의 절차와 절충

성능 지수가 생겼으니 재료 선택은 네 단계의 절차가 된다. 수만 가지 재료를 처음부터 다 볼 필요 없이, 단계마다 후보가 줄어든다.

재료 선택 절차. 제약 조건은 통과/탈락을 가르고(선별), 목적 함수는 순서를 정한다(순위). 마지막 문서화 단계에서 자료표에 없는 요인 — 공정 호환성, 오염, 공급망, 환경 규제 — 을 따진다.

선별(screening)은 지도 위에 수평선·수직선(한계값)이나 창(범위)을 그어 그 밖의 재료를 지우는 일이고, 순위 매기기(ranking)는 남은 재료를 기울기선으로 줄 세우는 일이다. 직접 해 보자. 아래 과제는 반도체 장비와 패키지에서 실제로 마주치는 요구 조건이다. 지도 위의 선별선을 끌어 조건을 표시하고, 모든 조건을 만족한다고 생각하는 재료의 점을 눌러 제출한다. 점 위에 손가락(마우스)을 올리면 그 재료의 관련 성질이 나온다.

SIMULATOR

재료 고르기 과제: 조건을 모두 만족하는 재료를 찾아라

흰 원을 끌어 선별선을 옮기고, 점을 눌러 제출

과제—

점수—

판정—

가리킨 재료—

처음 맞히면 10점, 두 번째에 맞히면 5점이다. 틀린 재료를 내면 어떤 조건에서 탈락했는지 알려 준다. 선별선이 가르는 "통과" 쪽은 옅게 칠해지고, 모든 선별선을 통과한 재료는 진하게 남는다. 해볼 것: ① 과제 3(정전척)에서 SiC가 열전도도·열팽창은 좋은데 왜 탈락하는지 저항률로 확인한다. ② 과제 4(Si와 열팽창이 맞는 기판)에서 유전율 선별선을 6에서 8로 올리면 어떤 재료가 새로 통과할까? ③ 다섯 과제를 모두 첫 번째에 맞혀 50점을 노린다.

여러 목표 사이의 절충

목적이 둘 이상이면(가볍게 그리고 싸게) 한 재료가 모두에서 이기는 일은 드물다. 두 가지 방법이 있다. 첫째는 가중 점수법(weighted-property method)이다. 각 성질을 후보 중 가장 좋은 값을 100으로 하는 척도로 바꾸고($\beta_i$), 중요도 가중치 $w_i$(합 1)를 곱해 더한다.

$$\beta_i = 100\times\frac{p_i}{p_{i,\max}}\ (\text{클수록 좋은 성질}),\qquad \beta_i = 100\times\frac{p_{i,\min}}{p_i}\ (\text{작을수록 좋은 성질}),\qquad \gamma = \sum_i w_i\beta_i$$

점수 $\gamma$가 가장 큰 재료를 고른다. 간단하지만 가중치가 주관적이고, 가중치를 조금 바꾸면 승자가 바뀔 수 있다 — 반드시 민감도를 확인한다.

열 분산판 후보 Cu(κ 398, α 17.0, 9 $/kg), AlN(170, 4.5, 60), W(173, 4.5, 40)를 가중치 열전도도 40, 열팽창 정합(|α − 2.6|이 작을수록) 30, 가격 30(합으로 나눠 정규화)로 매기면 점수는 이고, 승자는 다.

둘째는 목표를 하나의 원가로 묶는 방법이다. 질량 1 kg을 줄이는 값어치를 교환 상수(exchange constant) $\alpha_\mathrm{m}$(USD/kg)로 정하면 벌점 함수 $Z = \alpha_\mathrm{m}m + C$를 최소화하는 문제가 된다. 자동차는 $\alpha_\mathrm{m}$이 수 USD/kg, 항공기는 수백, 인공위성은 수만 USD/kg이다. 질량–원가 평면에서 어느 쪽으로도 더 나은 재료가 없는 후보들의 경계를 파레토 전선(Pareto front)이라 하며, 최적 재료는 늘 이 전선 위에 있다.

SIMULATOR

질량과 원가의 절충: 교환 상수와 파레토 전선

흰 원을 끌어 같은 벌점 곡선을 옮긴다

교환 상수 α_m 인성 선별 $K_\mathrm{IC}\ge15$ MPa·√m

최적 재료—

최소 벌점 Z—

곡선 위 Z—

길이 0.5 m, 굽힘 강성 2 kN/m인 정사각 단면 외팔보(예: 장비 반송 로봇 팔)를 각 재료로 만들 때의 질량과 원료 원가(자료표 가격)를 로그–로그로 그렸다. 굵은 선이 파레토 전선, 곡선이 $Z = \alpha_\mathrm{m}m + C$ = 일정이다. 해볼 것: ① $\alpha_\mathrm{m}$을 1 USD/kg에서 1000 USD/kg으로 올리며 최적 재료가 강 → 마그네슘 합금 → CFRP로 바뀌는 문턱을 찾는다(약 2.2와 110 USD/kg). ② 곡선의 흰 원을 끌어 내리다 처음 닿는 점이 최적 재료다. ③ Al 6061은 파레토 전선 위에 있지만 어떤 $\alpha_\mathrm{m}$에서도 최적이 되지 못한다 — 전선이 안쪽으로 오목한 자리다. ④ 인성 선별을 끄면 목재와 세라믹이 들어와 전선을 바꾼다 — 선별을 먼저 하는 이유다(목재는 클린룸에 들일 수도 없다).

전력 칩 아래 열 분산판 후보 Cu(κ 398 W/m·K, α 17.0 ppm/K, ρ 8.94 g/cm³, 9 USD/kg), AlN(170, 4.5, 3.26, 60), Mo(138, 4.8, 10.22, 40), W(173, 4.5, 19.3, 40)를 가중치 열전도도 0.3, 열팽창 정합 $\lvert\alpha-2.6\rvert$ 0.4, 밀도 0.1, 가격 0.2로 평가하라. 어떤 재료가 이기는가? 열팽창 가중치를 0.4에서 0.2로 줄이고 열전도도를 0.5로 올리면?

풀이 보기

전략 열전도도는 클수록($\beta = 100\kappa/398$), 나머지는 작을수록($\beta = 100p_{\min}/p$) 좋다. $\lvert\Delta\alpha\rvert$는 Cu 14.4, AlN 1.9, Mo 2.2, W 1.9.

풀이 $\beta_\kappa$ = 100, 42.7, 34.7, 43.5. $\beta_\alpha$ = 13.2, 100, 86.4, 100. $\beta_\rho$ = 36.5, 100, 31.9, 16.9. $\beta_C$ = 100, 15.0, 22.5, 22.5. 점수(0.3, 0.4, 0.1, 0.2): Cu $30.0+5.3+3.6+20.0 = 58.9$, AlN $12.8+40.0+10.0+3.0 = 65.8$, Mo $10.4+34.6+3.2+4.5 = 52.6$, W $13.0+40.0+1.7+4.5 = 59.2$. 가중치를 (0.5, 0.2, 0.1, 0.2)로 바꾸면 Cu 76.3, AlN 54.4, Mo 42.3, W 47.9.

처음 가중치에서는 AlN(65.8), 열전도도를 중시하면 Cu(76.3)가 이긴다

검토 승자가 가중치에 민감하다는 것이 이 방법의 약점이자 쓰임새다. 실제로 저전력·대면적 칩은 Cu 히트 스프레더를 TIM 위에 띄워 쓰고(열팽창 불일치를 유연한 TIM이 흡수), 다이를 직접 붙이는 전력 모듈 기판은 AlN·Si₃N₄ 세라믹이나 CuW·CuMo 복합재료를 쓴다.

히트 스프레더와 TIM — 열전도와 열팽창의 줄다리기

고성능 프로세서 패키지는 다이 → TIM1 → 구리 덮개(히트 스프레더) → TIM2 → 방열판 순으로 열을 뺀다. 구리는 열전도도가 높고 싸지만 열팽창(17 ppm/K)이 실리콘(2.6 ppm/K)의 6배라 다이에 직접 납땜하면 열 순환에 접합이 깨진다. 그래서 그 사이에 열전도 그리스·인듐 같은 무른 TIM을 두어 불일치를 흡수하고, 다이 크기가 큰 칩에서는 덮개 휨과 TIM의 펌프 아웃이 신뢰성 문제가 된다. 열팽창을 맞춰야 하는 곳에는 AlN, CuW·CuMo, 다이아몬드–구리 복합재료처럼 κ–α 지도의 "높은 κ, 낮은 α" 구석에 있는 재료를 쓴다. → PackagingBook · 열·기계·전기 설계

칩 한 개 속의 재료 지도

이제 칩을 단면으로 잘라 보자. 플립칩 패키지 하나에는 이 장에서 본 거의 모든 분류의 재료가 들어 있고, 각 층의 재료는 지금까지의 절차 — 기능을 번역하고, 제약으로 거르고, 지수로 줄 세우고, 공정 호환성으로 문서화 — 를 거쳐 선택되었다. 단계를 넘기며 각 층의 재료와 그 재료를 고른 성질을 확인하라.

트랜지스터(FEOL): 단결정 Si는 띠틈 1.12 eV, 도핑으로 저항률을 조절할 수 있고, 무엇보다 SiO₂라는 완벽한 자연 산화막을 갖는다. 게이트 절연막은 누설을 막으며 전기 용량을 키우려고 SiO₂($\varepsilon_\mathrm{r}$ 3.9)에서 HfO₂(약 20)로 바뀌었다(15장). 콘택은 좁고 깊은 구멍을 CVD로 채울 수 있고 열에 강한 텅스텐.
배선(BEOL): 구리(1.68 µΩ·cm)가 알루미늄(2.65)을 밀어낸 것은 저항률과 전자 이동 저항 때문이다. 구리는 실리콘·산화막 속으로 빨리 확산하므로 Ta/TaN 배리어로 감싼다(4장). 층간 절연막은 RC 지연을 줄이려고 $\varepsilon_\mathrm{r}$ 2.7인 SiCOH를 쓰는데, 영률이 8 GPa로 SiO₂의 1/9이라 CMP·패키지 응력에 약하다 — 전기 성질과 기계 성질의 절충.
1차 패키지: 범프는 녹는점이 낮은(217–221 °C) 무연 솔더 SAC305나 구리 기둥으로 다이와 기판을 잇는다. 언더필과 EMC는 에폭시(α 60 ppm/K)에 실리카를 60–85 wt% 채워 열팽창을 9–30 ppm/K로 낮춘 복합재료다(14장) — 실리콘과의 불일치를 줄이기 위해서다.
기판과 방열: 패키지 기판은 유리 섬유·에폭시 복합재료(BT·FR-4, α≈14)에 구리 배선을 쌓은 것이다. 대면적 AI 칩에서는 휨을 줄이려고 Si와 열팽창이 가까운 유리 코어 기판이 등장했다. 열은 TIM을 지나 구리 덮개(κ 398)로 퍼진다.

칩 속 재료 지도. 왼쪽은 플립칩 패키지 단면(다이가 뒤집혀 배선층이 아래를 향한다), 오른쪽은 다이의 트랜지스터와 배선층을 뒤집기 전 방향으로 확대한 모식도다(축척 무시).

층	재료	고른 이유(성질)	절충·다음 후보
기판·채널	단결정 Si	띠틈 1.12 eV, 자연 산화막, 큰 단결정, κ 148	전력 소자는 SiC(3.26 eV)·GaN(3.39 eV)
게이트 절연막	HfO₂ / SiO₂ 계면층	높은 $\varepsilon_\mathrm{r}$로 같은 EOT에서 더 두껍게 — 터널 누설 감소	계면 결함, 결정화, 강유전 HfZrO
콘택·플러그	W (TiN 접착층)	CVD 충전, 녹는점 3695 K, 확산 안정	저항률 5.6 µΩ·cm → Co·Ru·Mo
배선	Cu + Ta/TaN	낮은 저항률, 전자 이동 저항(Al의 수십 배 수명)	폭 20 nm 아래 크기 효과 → Ru·Mo(11장)
층간 절연	SiCOH(다공성)	$\varepsilon_\mathrm{r}$ 2.7 → RC 지연 감소	약한 기계 강도($E$ 8 GPa), 흡습, 플라스마 손상
범프·솔더	SAC305, Cu 기둥	낮은 녹는점(490 K), 젖음성, 무연 규제	열 피로(7장), IMC 성장(8장)
언더필·EMC	에폭시 + 실리카	절연, 성형성, 충전으로 α 낮춤	흡습·팝콘 균열(17장), 휨
패키지 기판	BT·ABF + 유리 섬유 + Cu	미세 배선, 가격, 적층 가공	α≈14로 Si와 불일치 → 유리 코어
히트 스프레더	Cu (Ni 도금)	κ 398, 가공성, 가격	α 17 → TIM으로 불일치 흡수

FEOL·MOL·BEOL — 공정 구간마다 다른 재료 제약

트랜지스터를 만드는 FEOL은 1000 °C 넘는 어닐을 견디는 재료만 쓸 수 있고(Si, SiO₂, 고온에 안정한 HfO₂·TiN), 금속 배선을 올린 BEOL부터는 구리와 저유전막이 견디는 400–450 °C 아래로 온도 상한이 떨어진다. 이 열 예산 제약이 재료 선택의 첫 번째 선별선이다. 새 재료를 들일 때는 오염(구리·금 같은 깊은 준위 원소), 식각·CMP 가능성, 장비 호환성이라는 문서화 항목이 성질보다 먼저 걸러 내는 경우가 많다. → ProcessBook · 반도체 제조 개요

패키지 신뢰성 문제의 대부분은 층마다 다른 열팽창 계수에서 시작한다. 온도가 $\Delta T$ 바뀌면 붙어 있는 두 층 사이에 불일치 변형 $\Delta\alpha\,\Delta T$가 생기고, 이것이 솔더 접합의 전단 변형, 기판의 휨, 계면의 박리를 일으킨다(5·7·17장).

에폭시 몰딩 컴파운드(EMC)에 실리카 가루를 무게로 85%나 채워 넣는 가장 중요한 이유는?

순수 에폭시의 열팽창은 60 ppm/K로 실리콘(2.6)의 20배가 넘는다. 열팽창이 0.55 ppm/K인 실리카를 채우면 복합재료의 α가 크게 낮아져(14장 터너·커너 식) 다이와 리드프레임·기판 사이의 불일치가 줄어든다. 아래 미니 실험에서 순수 에폭시와 EMC를 바꿔 보라.

위쪽 온도 눈금의 흰 원을 좌우로 끈다

봉지재

기판

MINI LAB같은 길이(20 mm)의 Si 다이, 봉지재, 기판을 독립적으로 $\Delta T$만큼 가열했을 때의 늘어남을 60배 과장해 그렸다(점선 상자가 원래 길이). 끝의 엇갈림이 불일치 변형 $\Delta\alpha\Delta T$이고, 붙어 있으면 이만큼이 접합부의 전단과 휨으로 바뀐다. 리플로(약 240 K 온도 변화)에서 FR-4와 유리 코어의 차이를 비교하라.

한 변 20 mm인 Si 다이(α = 2.6 ppm/K)를 FR-4 기판(14 ppm/K)에 SAC305로 붙였다. 솔더가 굳는 217 °C에서 25 °C까지 식을 때 (a) 불일치 변형 $\Delta\alpha\Delta T$와 (b) 다이 중심에서 모서리까지(대각선 절반) 다이와 기판의 상대 변위를 구하라. (c) 기판을 붕규산 유리 코어(3.3 ppm/K)로 바꾸면 상대 변위는?

풀이 보기

전략 $\Delta T = 192$ K. 대각선 절반 $= 20\sqrt2/2 = 14.1$ mm. 상대 변위 ≈ $\Delta\alpha\Delta T\times$거리(접합이 변형을 모두 받는다고 본 상한).

풀이 (a) $\Delta\alpha = 11.4$ ppm/K, $\varepsilon = 11.4\times10^{-6}\times192 = 2.19\times10^{-3}$(0.219%). (b) $2.19\times10^{-3}\times14.14\ \text{mm} = 31.0$ µm. (c) $\Delta\alpha = 0.7$ ppm/K → $1.34\times10^{-4}\times14.14$ mm = 1.90 µm.

(a) 0.219% (b) 약 31 µm (c) 약 1.9 µm — 16배 작다

검토 범프 높이가 수십 µm인데 모서리 범프가 31 µm 어긋나려 하면 전단 변형이 1에 가깝다. 실제로는 언더필이 다이와 기판을 묶어 대부분을 휨으로 바꾸고 범프의 변형을 줄인다. 유리 코어는 불일치 자체를 없애는 재료 쪽의 해법이다.

패키지 기판의 재료 — 유기 기판에서 유리 코어로

유기 기판은 유리 섬유 직물에 BT·에폭시 수지를 함침한 코어 위에 ABF 같은 절연 필름과 구리 배선을 번갈아 쌓아 만든다. 미세 배선과 가격은 좋지만 열팽창이 14–17 ppm/K로 실리콘과 크게 달라, 다이와 기판이 커질수록 리플로 휨과 범프 균열이 심해진다. 그래서 실리콘 인터포저(2.5D)나 열팽창을 3–4 ppm/K로 맞출 수 있는 유리 코어 기판을 쓴다. 유리는 평탄도와 유전 손실도 좋지만 취성이 커서($K_\mathrm{IC}\lt 1$) 관통 구멍 가공과 취급 중 균열이 새 과제가 된다 — 이번에는 파괴 인성이 선별선이다. → PackagingBook · 기판과 패키지 형태

핵심 정리

분류와 결합: 금속(금속 결합 — 연성·전도), 세라믹(이온·공유 — 단단·취성·내열), 유리(비정질 공유 망목), 반도체(공유, 띠틈), 고분자(사슬 안 공유 + 사슬 사이 2차 결합 — 가볍고 무름), 복합재료(조합). 결합의 세기가 $E$·녹는점을, 방향성이 연성/취성을, 자유 전자가 전도를 정한다.
재료 사면체: 공정 → 구조(미세조직) → 성질 → 성능. 같은 구리도 결정립 크기에 따라 $\sigma_\mathrm{y} = \sigma_0 + k_\mathrm{y}d^{-1/2}$가 몇 배 달라진다. 특성 평가가 가운데서 모두를 잇는다.
범위와 단위: $E$는 약 6자릿수, $\kappa$는 4자릿수, $\rho_\mathrm{e}$는 26자릿수에 걸쳐 로그로 그린다. 1 ksi = 6.895 MPa, 1 Msi = 6.895 GPa, 1 µΩ·cm = 10⁻⁸ Ω·m, 1 ppm/K = 10⁻⁶ K⁻¹. 강·Al·Ti의 $E/\rho$는 모두 약 26 GPa·cm³/g.
애시비 지도: 두 성질의 로그–로그 지도에서 분류가 무리를 이룬다. $M = E^{1/n}/\rho$는 기울기 $n$인 직선이고, 선을 왼쪽 위로 옮길수록 $M$이 커진다. 선 위쪽 재료만 통과한다.
성능 지수: 목적·제약·자유 변수를 세우고 자유 변수를 소거하면 $m = (\text{하중·치수 항})\times(\text{재료 항})$. 강성: 봉 $E/\rho$, 보 $E^{1/2}/\rho$, 판 $E^{1/3}/\rho$. 강도: $\sigma_\mathrm{f}/\rho$, $\sigma_\mathrm{f}^{2/3}/\rho$, $\sigma_\mathrm{f}^{1/2}/\rho$. 원가 최소는 $\rho\to\rho C_\mathrm{m}$. 순위는 하중과 무관하다.
열충격·열 분산: $\Delta T_\mathrm{c} = \sigma_\mathrm{f}(1-\nu)/(E\alpha)$ — 알루미나 약 90 K, 질화 규소 약 510 K, 용융 실리카 약 2150 K. 열 분산판은 $\kappa$가 지수이고 $\lvert\alpha-\alpha_\mathrm{Si}\rvert$·절연이 제약이다(AlN, CuW, 다이아몬드 복합재료).
선택 절차와 절충: 번역 → 선별(제약, 통과/탈락) → 순위(지수) → 문서화(공정 호환·공급·신뢰성). 여러 목적은 가중 점수 $\gamma = \sum w_i\beta_i$(가중치 민감도 확인)나 벌점 $Z = \alpha_\mathrm{m}m + C$로 묶고, 최적은 파레토 전선 위에 있다. 칩의 모든 층(Si·HfO₂·W·Cu/TaN·SiCOH·SAC305·EMC·BT·Cu 덮개)이 이 절차의 결과다.

연습문제

따로 말이 없으면 재료 값은 이 장의 자료표 대표값(부록 A)을 쓴다: 탄소강 1020(207 GPa, 7.85 g/cm³), 4340 강($\sigma_\mathrm{y}$ 1620 MPa, 7.85 g/cm³), Al 6061(69 GPa, 276 MPa, 2.70 g/cm³), Ti-6Al-4V(114 GPa, 830 MPa, 4.43 g/cm³), AZ31(45 GPa, 1.77 g/cm³), CFRP(60 GPa, 1.55 g/cm³). 1 psi = 6894.76 Pa. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

탄소강의 영률 207 GPa를 psi로 나타내라.

$207\times10^9\ \text{Pa}/6894.76\ \text{Pa/psi} = 3.00\times10^7$ psi (30 Msi).

미국 사양서에 어느 알루미늄 합금의 항복 강도가 50 ksi로 적혀 있다. MPa로 바꿔라.

1 ksi = 6.895 MPa이므로 $50\times6.895 = 345$ MPa.

$\log E$–$\log\rho$ 지도에서 가볍고 단단한 판의 성능 지수 $E^{1/3}/\rho$가 일정한 선의 기울기는?

$E^{1/3}/\rho = M$이면 $E = M^3\rho^3$, 곧 $\log E = 3\log\rho + 3\log M$이다. 기울기 3.

Ti-6Al-4V의 비강성 $E/\rho$를 구하라.

$114/4.43 = 25.7$ GPa·cm³/g. 강(26.4)·Al(25.6)과 거의 같다.

정전척 본체 재료의 조건이 "전기 저항률 $10^{10}$ Ω·m 이상, 열전도도 100 W/(m·K) 이상, 열팽창 6 ppm/K 이하, 가격 1000 USD/kg 이하"다. 다음 중 모든 조건을 만족하는 것은? (자료표: Al₂O₃ $10^{13}$ Ω·m·30 W/m·K·7.4 ppm/K·3 USD/kg, AlN $10^{12}$·170·4.5·60, 소결 SiC $10^2$·120·4.0·20, 다이아몬드 $10^{12}$·2000·1.0·$10^6$)

알루미나는 열전도도(30)와 열팽창(7.4)에서, 소결 SiC는 저항률($10^2$ Ω·m — 반도체에 가깝다)에서, 다이아몬드는 가격에서 탈락한다. AlN만 남는다.

길이 1.00 m, 강성 $1.0\times10^7$ N/m 이상인 인장 봉을 Al 6061로 만들 때 최소 질량을 구하라.

$S = EA/L$에서 $A$를 구해 $m = AL\rho$에 넣는다.

$m = S^*L^2\rho/E = 1.0\times10^7\times1.00^2\times2700/(69\times10^9) = 0.391$ kg.

같은 길이·같은 굽힘 강성의 정사각 단면 보를 탄소강과 CFRP로 만든다. 질량비 $m_\text{강}/m_\text{CFRP}$는?

보의 질량은 $\rho/E^{1/2}$에 비례한다. 강 $7.85/\sqrt{207} = 0.5456$, CFRP $1.55/\sqrt{60} = 0.2001$. 비는 $0.5456/0.2001 = 2.73$.

노트북 덮개 같은 판(폭·길이 고정, 두께가 자유 변수)을 같은 굽힘 강성으로 Al 6061과 마그네슘 합금 AZ31로 만든다. 질량비 $m_\text{Al}/m_\text{AZ31}$은?

판의 질량은 $\rho/E^{1/3}$에 비례한다.

Al: $2.70/69^{1/3} = 2.70/4.102 = 0.6582$. AZ31: $1.77/45^{1/3} = 1.77/3.557 = 0.4976$. 비 $0.6582/0.4976 = 1.32$. 마그네슘 판이 24% 가볍다 — 노트북·카메라 몸체에 마그네슘을 쓰는 이유다.

질화 규소($\sigma_\mathrm{f}$ = 700 MPa, $E$ = 304 GPa, $\nu$ = 0.27, $\alpha$ = 3.3 ppm/K)의 열충격 저항 $\Delta T_\mathrm{c}$를 구하라.

$E\alpha = 304\times10^3\times3.3\times10^{-6} = 1.003$ MPa/K. $\Delta T_\mathrm{c} = 700\times0.73/1.003 = 509$ K.

길이 0.50 m인 인장 봉이 $1.0\times10^5$ N을 항복하지 않고 버텨야 한다(안전 계수 1). 4340 강으로 만들 때 최소 질량은?

$A = F/\sigma_\mathrm{y} = 10^5/1.62\times10^9 = 6.17\times10^{-5}$ m². $m = AL\rho = 6.17\times10^{-5}\times0.50\times7850 = 0.242$ kg. 일반적으로 $m = FL\rho/\sigma_\mathrm{y}$, 지수는 $\sigma_\mathrm{y}/\rho$.

Si 다이(2.6 ppm/K)를 구리 리드프레임(17.0 ppm/K)에 붙인 뒤 온도가 150 K 변한다. 두 재료의 불일치 변형을 %로 구하라.

$\Delta\alpha = 14.4$ ppm/K, $\Delta\alpha\Delta T = 14.4\times10^{-6}\times150 = 2.16\times10^{-3}$ = 0.216%.

두께 1.0 mm, 넓이 1.0 cm²인 판을 열이 두께 방향으로 지난다. 구리(398 W/m·K)와 AlN(170 W/m·K) 판의 열저항 $R = t/(\kappa A)$를 구하라.

Cu: $10^{-3}/(398\times10^{-4}) = 0.0251$ K/W. AlN: $10^{-3}/(170\times10^{-4}) = 0.0588$ K/W. 100 W를 흘리면 판 양면의 온도 차가 각각 2.5 K, 5.9 K다.

강도가 제약인 정사각 단면 보(굽힘 모멘트 고정, 항복하지 않을 것)를 Ti-6Al-4V와 Al 6061로 만든다. (a) 성능 지수를 유도하고 (b) 질량비 $m_\text{Ti}/m_\text{Al}$을 구하라.

굽힘 응력 $\sigma = M_\mathrm{b}c/I = 6M_\mathrm{b}/b^3\le\sigma_\mathrm{y}$에서 $b$를 구해 $m = b^2L\rho$에 넣는다.

(a) $b = (6M_\mathrm{b}/\sigma_\mathrm{y})^{1/3}$, $m = (6M_\mathrm{b})^{2/3}L\,\rho/\sigma_\mathrm{y}^{2/3}$ → $M = \sigma_\mathrm{y}^{2/3}/\rho$. (b) Ti: $4.43/830^{2/3} = 4.43/88.3 = 0.0502$, Al: $2.70/276^{2/3} = 2.70/42.4 = 0.0637$. 비 0.788 — 강성 보에서는 Ti가 Al보다 28% 무겁지만(2.41 대 3.08), 강도 보에서는 21% 가볍다. 제약이 바뀌면 순위가 바뀐다.

Al 6061을 지나는 판 기울기선($E^{1/3}/\rho$ 일정) 위에서 밀도 1.20 g/cm³인 재료의 영률은 얼마여야 하는가? 에폭시(2.6 GPa, 1.20 g/cm³)는 판으로서 Al보다 나은가?

$E = 69\times(1.20/2.70)^3 = 69\times0.0878 = 6.06$ GPa. 에폭시는 2.6 GPa로 선 아래에 있으므로 판으로서 Al보다 무겁다: $E^{1/3}/\rho$ = 1.15 대 1.52. 섬유로 강화해 영률을 6 GPa 넘게 올리면(GFRP 25 GPa → 1.54) Al을 앞선다.

알루미나 부품($E$ = 380 GPa, $\nu$ = 0.22, $\alpha$ = 7.4 ppm/K)이 300 K의 급랭을 견디려면 굽힘 강도가 얼마 이상이어야 하는가? 자료표 값(330 MPa)과 비교하라.

$\sigma_\mathrm{f}\ge E\alpha\Delta T/(1-\nu) = 380\times10^3\times7.4\times10^{-6}\times300/0.78 = 1.08\times10^3$ MPa. 자료표의 3배가 넘으므로 알루미나로는 불가능하다. $\Delta T_\mathrm{c}$가 큰 질화 규소(509 K)나 용융 실리카로 바꾸거나, 가열·냉각 속도를 줄여 $\Delta T$를 낮춘다.

정전척 후보 AlN(κ 170 W/m·K, 60 USD/kg, $K_\mathrm{IC}$ 3.0 MPa·√m)과 Al₂O₃(30, 3, 4.2)를 가중치 열전도도 0.5, 가격 0.3, 파괴 인성 0.2의 가중 점수법으로 평가하라. 두 재료의 점수를 구하라.

열전도도·파괴 인성은 $\beta = 100p/p_{\max}$, 가격은 $\beta = 100p_{\min}/p$.

AlN: $\beta$ = (100, 5.0, 71.4) → $0.5\times100 + 0.3\times5.0 + 0.2\times71.4 = 65.8$. Al₂O₃: $\beta$ = (17.6, 100, 100) → $8.8 + 30 + 20 = 58.8$. AlN이 이기지만, 가격 가중치를 0.5로 올리면(열전도도 0.3) AlN 46.8, Al₂O₃ 75.3으로 뒤집힌다 — 실제로 저온·저전력 척은 알루미나, 고온·고열 부하 척은 AlN을 쓴다.

개념 확인 퀴즈

금속이 대체로 연성이고 세라믹이 취성인 가장 근본적인 이유는?

연성의 실제 기구는 전위의 이동(6장)이지만, 전위가 쉽게 움직일 수 있는지는 결합의 방향성과 전하 조건이 정한다. 세라믹에서는 전위가 거의 움직이지 못해 응력이 균열 끝에 몰린다.

영률–밀도 로그 지도에서 기울기 1인 직선 위에 있는 두 재료 A, B에 대한 설명으로 옳은 것은?

기울기 1 선 위에서는 $E/\rho$가 같고, 인장 봉의 질량이 $\rho/E$에 비례하므로 같다. 보($\rho/E^{1/2}$)는 기울기 2인 선이어야 같다.

보에 거는 하중을 두 배로 늘렸다(허용 처짐은 그대로). 가장 가벼운 재료의 순위는?

자유 변수를 소거하면 질량이 (하중·치수 항)×(재료 항)으로 갈라지므로, 하중은 모든 재료에 같은 배수를 곱할 뿐이다. 순위를 바꾸는 것은 기능(봉·보·판)과 제약(강성·강도)의 종류다.

다음 중 열충격에 가장 강한 재료의 조합은?

$\Delta T_\mathrm{c} = \sigma_\mathrm{f}(1-\nu)/(E\alpha)$. 용융 실리카는 강도가 104 MPa로 낮지만 $E\alpha$가 알루미나의 1/70이어서 2000 K 넘게 견딘다.

재료 선택 절차에서 "전기 저항률 $10^{10}$ Ω·m 이상"이라는 요구는 어느 단계에서 쓰이는가?

"이상이면 된다"는 조건은 제약 조건이다. 제약은 통과/탈락만 가르고, 통과한 재료끼리는 목적 함수(성능 지수)로 순위를 매긴다. 절연이 충분하면 저항률이 더 커도 이득이 없다.

성질	기호	단위	정의(한 줄)	자료표 범위
밀도	\(\rho\)	g/cm³ (= Mg/m³)	단위 부피의 질량	0.50(목재) – 19.3(W·Au)
영률	\(E\)	GPa	탄성 영역의 응력/변형, 강성	0.002(PDMS) – 1050(다이아몬드)
강도	\(\sigma_\mathrm{y}\), \(\sigma_\mathrm{f}\)	MPa	금속·고분자는 항복 강도, 세라믹·유리는 굽힘 파괴 강도	3(콘크리트) – 1620(4340 강)
파괴 인성	\(K_\mathrm{IC}\)	MPa·√m	균열이 있을 때 파괴에 버티는 능력	0.3(SiCOH) – 200(304 스테인리스)
열팽창 계수	\(\alpha\)	ppm/K (= 10⁻⁶/K)	온도 1 K당 길이 변화율	0.55(용융 실리카) – 310(PDMS)
열전도도	\(\kappa\)	W/(m·K)	온도 기울기당 열 흐름	0.12(PP·목재) – 2000(다이아몬드)
전기 저항률	\(\rho_\mathrm{e}\)	Ω·m (박막은 µΩ·cm)	단위 길이·단위 넓이당 저항	\(1.6\times10^{-8}\)(Ag) – \(10^{18}\)(실리카)
상대 유전율	\(\varepsilon_\mathrm{r}\)(\(k\))	—	진공 대비 전기 용량 배율	2.0 – 25(ZrO₂)
가격	\(C_\mathrm{m}\)	USD/kg	덩어리 원료의 대략적 값	0.1(콘크리트) – \(10^6\)(다이아몬드)

기능과 제약	목적	성능 지수 \(M\)(클수록 좋다)	지도 기울기
인장 봉, 강성 고정	질량 최소	\(E/\rho\)	1 (E–ρ)
보, 굽힘 강성 고정	질량 최소	\(E^{1/2}/\rho\)	2 (E–ρ)
판, 굽힘 강성 고정	질량 최소	\(E^{1/3}/\rho\)	3 (E–ρ)
인장 봉 / 보 / 판, 강도 고정	질량 최소	\(\sigma_\mathrm{f}/\rho\), \(\sigma_\mathrm{f}^{2/3}/\rho\), \(\sigma_\mathrm{f}^{1/2}/\rho\)	1, 3/2, 2 (σ–ρ)
위의 것, 원가 최소	원가 \(m C_\mathrm{m}\)	\(\rho\) 자리에 \(\rho C_\mathrm{m}\)	—
급랭에도 깨지지 않음	허용 온도 차 최대	\(\Delta T_\mathrm{c} = \sigma_\mathrm{f}(1-\nu)/(E\alpha)\)	1 (σ–Eα)
열 분산판, 칩과 열팽창 정합	열저항 최소	\(\kappa\) (제약: \(\lvert\alpha-\alpha_\mathrm{Si}\rvert\) 작게)	κ–α
정밀 부품, 열 변형 최소	뒤틀림 최소	\(\kappa/\alpha\)	1 (κ–α)
파괴 전 항복(누설 전 파괴 방지)	안전	\(K_\mathrm{IC}/\sigma_\mathrm{y}\)	1 (K–σ)