고체 물성 자료
본문의 예제와 연습문제에 필요한 물성값을 한곳에 모았다. 표는 머리글을 눌러 정렬하고, 위쪽 검색 칸에 물질 이름을 넣어 걸러 본다. 값은 특별한 말이 없으면 300 K의 대표값이다. 같은 양도 교재마다 마지막 자리가 다르다. 그래서 이 책의 계산 엔진(Solid.*, Q.*)이 쓰는 값은 그대로 싣고, 문헌값과 다를 때는 둘 다 적은 뒤 출처를 밝혔다. 문제를 풀 때는 문제에 주어진 값을 먼저 쓰고, 없을 때 이 표를 쓴다.
- 반도체·금속·절연막 표에서 필요한 값을 찾고, 어떤 정의의 값(상태 밀도 질량, 전도도 질량, 정적·광학 유전율)인지 확인한다.
- 에너지(eV·meV·cm⁻¹·THz·K), 길이, 농도 단위를 계산기로 바로 바꾼다.
- 온도에 따른 \(E_g\)·\(n_i\)·이동도와, 실리콘 도핑 농도 ↔ 비저항을 계산기로 읽는다.
- 격자 상수–띠 간격 지도에서 격자 정합 에피층을 고르고, \(\rho_0\lambda\)로 배선 금속을 비교한다.
고체물리에서 자주 쓰는 상수
2019년 SI 재정의로 \(h\), \(e\), \(k_B\), \(N_A\), \(c\)는 정의된 정확한 값이 되었다. 나머지는 CODATA 2018 측정값이다. 반도체 소자 계산에서는 길이를 cm, 농도를 cm⁻³로 쓰는 관례가 남아 있어 \(\varepsilon_0\)도 F/cm로 함께 적었다.
| 기호 | 이름 | 값 | 쓰는 곳 |
|---|---|---|---|
| q = e | 기본 전하 | 1.602 176 634 × 10⁻¹⁹ C (정확) | 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J |
| kB | 볼츠만 상수 | 8.617 333 × 10⁻⁵ eV/K | 1.380 649 × 10⁻²³ J/K (정확) |
| kBT | 열에너지 (300 K) | 25.852 meV ≈ 1/38.68 eV | 볼츠만 인자, 열전압 \(V_T = k_BT/q\) = 25.85 mV |
| q/kBT | 역열전압 (300 K) | 38.68 V⁻¹ | 다이오드 \(e^{qV/k_BT}\): 60 mV마다 10배 (ln 10 × 25.85 mV = 59.5 mV) |
| ħ²/2mₑ | 자유 전자 운동 에너지 계수 | 0.038 100 eV·nm² = 3.810 eV·Å² | \(E = 0.0381\,k^2/m^*\) eV (k in nm⁻¹) 7장, 8장 |
| hc | 1239.84 eV·nm | 광자 λ(nm) = 1239.84 / E(eV), 흡수 끝 λg | |
| ħ | 환산 플랑크 상수 | 1.054 572 × 10⁻³⁴ J·s = 0.658 212 eV·fs | 포논 ħω, 완화 시간 |
| mₑ | 전자 질량 | 9.109 384 × 10⁻³¹ kg | mₑc² = 511.0 keV; 유효 질량은 mₑ의 배수 |
| ε₀ | 진공 유전율 | 8.854 188 × 10⁻¹² F/m = 8.854 × 10⁻¹⁴ F/cm | Si: εs = 11.7ε₀ = 1.036 × 10⁻¹² F/cm |
| G₀ = 2e²/h | 전도도 양자 | 7.748 092 × 10⁻⁵ S = 1/(12.906 kΩ) | 란다우어 식, 양자 점 접촉 16장 |
| RK = h/e² | 폰 클리칭 상수 | 25 812.807 Ω (정확) | 양자 홀 평탄 Rxy = RK/ν |
| Φ₀ = h/2e | 자속 양자 | 2.067 834 × 10⁻¹⁵ Wb | 초전도 고리, SQUID |
| μB | 보어 마그네톤 | 9.274 010 × 10⁻²⁴ J/T = 5.788 × 10⁻⁵ eV/T | 제만 분리, 자기 모멘트 15장 |
| a₀, Ry | 보어 반지름, 뤼드베리 | 0.052 918 nm, 13.606 eV | 얕은 주개 \(E_b = 13.6\,m^*/\varepsilon_r^2\) eV |
| L | 로렌츠 수 π²kB²/3e² | 2.443 × 10⁻⁸ W·Ω/K² | 비데만–프란츠 κ = LσT |
| A | 리처드슨 상수 4πmₑqkB²/h³ | 120.17 A/(cm²·K²) | 열전자 방출; Si n형 A* ≈ 112, p형 ≈ 32 |
| NA, R | 아보가드로 수, 기체 상수 | 6.022 141 × 10²³ mol⁻¹, 8.314 J/(mol·K) | 뒬롱–프티 3R = 24.94 J/(mol·K) |
| λ(Cu Kα₁) | X선 파장 | 0.154 060 nm (Kα 평균 0.154 18) | XRD 2장 |
온도 T = 300에서 \(k_BT\) = = = 이고, 역열전압 \(q/k_BT\) = 이다. 다이오드 전류를 10배 바꾸는 전압은 이다. 이 온도는 실리콘 디바이 온도 645 K의 배다.
단위 환산
고체물리는 한 양을 여러 단위로 쓴다. 포논 에너지는 라만 분광에서 cm⁻¹, 중성자 산란에서 meV나 THz, 열 문제에서는 \(\hbar\omega/k_B\)(K)로 적는다. 길이는 결정학에서 Å, 소자에서 nm, 농도는 소자에서 cm⁻³, 물리 식에서 m⁻³다.
| 1 단위 | eV / meV | cm⁻¹ | THz | K (E/kB) |
|---|---|---|---|---|
| 1 eV | 1 | 8065.54 | 241.799 | 11 604.5 |
| 1 meV | 10⁻³ eV | 8.0655 | 0.241 80 | 11.6045 |
| 1 cm⁻¹ | 0.123 984 meV | 1 | 0.029 979 | 1.4388 |
| 1 THz | 4.1357 meV | 33.356 | 1 | 47.992 |
| 1 K | 86.173 μeV | 0.695 03 | 0.020 837 | 1 |
THz는 진동수 \(\nu = E/h\)다(각진동수 \(\omega = 2\pi\nu\)가 아니다). 길이: 1 Å = 0.1 nm = 10⁻⁸ cm. 농도: 1 cm⁻³ = 10⁶ m⁻³ = 10⁻²¹ nm⁻³. 실리콘 원자 밀도 \(8/a^3 = 4.99\times10^{22}\ \text{cm}^{-3}\)이므로 1 ppma ≈ 5 × 10¹⁶ cm⁻³. 그 밖에 1 μΩ·cm = 10⁻⁸ Ω·m, 1 cm²/(V·s) = 10⁻⁴ m²/(V·s), 1 GPa = 10 kbar = 10¹⁰ dyn/cm², 1 W/(cm·K) = 100 W/(m·K).
단위 환산기
포논 에너지 64.5는 , , 에 해당하고, 300 K에서 이 모드의 보스–아인슈타인 점유수는 이다. 농도 10의 16제곱 cm⁻³는 이고, Si 원자 개 중 하나꼴이다. 원자 사이 평균 거리 \(N^{-1/3}\)은 이다.
주요 반도체의 물성 (300 K)
아래 검색 칸은 이 페이지의 모든 정렬 표(반도체·금속·절연막·도펀트·깊은 준위)를 함께 거른다. 머리글을 한 번 누르면 오름차순, 다시 누르면 내림차순이다. 줄을 누르면 비교 그림에 그 물질이 들어간다.
결정 구조와 띠 간격
| 물질 | 결정 구조 | a (nm) | c (nm) | 밀도 (g/cm³) | Eg (eV) | 띠 간격 | λg (nm) | χ (eV) | εs | ε∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Si 실리콘 | 다이아몬드 | 0.54310 | — | 2.329 | 1.12 | 간접 | 1107 | 4.05 | 11.7 | 11.7 |
| Ge 저마늄 | 다이아몬드 | 0.56579 | — | 5.323 | 0.66 | 간접 | 1879 | 4 | 16 | 16 |
| GaAs 갈륨 비소 | 섬아연석 | 0.56533 | — | 5.317 | 1.424 | 직접 | 871 | 4.07 | 12.9 | 10.9 |
| InP 인화 인듐 | 섬아연석 | 0.58687 | — | 4.81 | 1.344 | 직접 | 922 | 4.38 | 12.5 | 9.6 |
| AlAs 비소화 알루미늄 | 섬아연석 | 0.56611 | — | 3.76 | 2.16 | 간접 | 574 | 3.5 | 10.1 | 8.2 |
| InAs 비소화 인듐 | 섬아연석 | 0.60583 | — | 5.67 | 0.354 | 직접 | 3502 | 4.9 | 15.15 | 12.3 |
| GaN 질화 갈륨 | 우르츠광 (육방) | 0.3189 | 0.5185 | 6.15 | 3.39 | 직접 | 366 | 4.1 | 8.9 | 5.35 |
| 4H-SiC 탄화 규소 | 4H (육방) | 0.3073 | 1.0053 | 3.21 | 3.26 | 간접 | 380 | 3.7 | 9.7 | 6.5 |
a·c는 격자 상수(육방정은 a와 c 둘 다), λg = 1239.84/Eg는 흡수 끝 파장, χ는 전자 친화도(electron affinity)(진공 준위에서 전도대 바닥까지), εs는 정적 비유전율, ε∞는 포논보다 빠른 진동수에서의 광학 유전 상수(high-frequency dielectric constant)다. 원소 반도체(Si, Ge)는 극성 포논이 없어 둘이 같다. Si의 εs는 11.7(이 책·Q.materials·Solid.semis)과 11.9(Sze & Ng)가 함께 쓰인다. 육방정 GaN·4H-SiC의 ε·χ는 c축에 수직인 값이고 대표값이다. 4H-SiC의 Eg는 3.23–3.26 eV로 보고된다(Solid.semis는 300 K에서 3.26이 되도록 맞춘 바르시니 식을 쓴다). GaN은 상압에서 녹기 전에 분해되고, SiC는 약 2830 °C에서 승화한다.
유효 질량과 캐리어
| 물질 | ml / mt | mdos,e | mc,e | mhh / mlh | mdos,h | mc,h | Nc (cm⁻³) | Nv (cm⁻³) | ni (cm⁻³) | μn | μp | vsat (cm/s) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Si 실리콘 | 0.98 / 0.19 | 1.08 | 0.26 | 0.49 / 0.16 | 0.81 | 0.39 | 2.8 × 10¹⁹ | 1.04 × 10¹⁹ | 10¹⁰ | 1414 | 471 | 1.07 × 10⁷ |
| Ge 저마늄 | 1.64 / 0.082 | 0.56 | 0.12 | 0.28 / 0.044 | 0.29 | 0.21 | 1.04 × 10¹⁹ | 6 × 10¹⁸ | 2 × 10¹³ | 3900 | 1900 | 약 6 × 10⁶ |
| GaAs 갈륨 비소 | 0.067 (등방) | 0.067 | 0.067 | 0.51 / 0.082 | 0.48 | 0.34 | 4.7 × 10¹⁷ | 7 × 10¹⁸ | 2.1 × 10⁶ | 8500 | 400 | 약 10⁷ |
| InP 인화 인듐 | 0.08 (등방) | 0.08 | 0.08 | 0.6 / 0.089 | 0.6 | — | 5.7 × 10¹⁷ | 1.1 × 10¹⁹ | 1.3 × 10⁷ | 5400 | 200 | 약 10⁷ |
| AlAs 비소화 알루미늄 | 약 1.0 / 0.2 (X) | — | — | — | — | — | 1.5 × 10¹⁹ | 1.7 × 10¹⁹ | 약 10 | 약 200 | 약 100 | — |
| InAs 비소화 인듐 | 0.023 (등방) | 0.023 | 0.023 | 0.41 / 0.026 | 0.41 | — | 8.7 × 10¹⁶ | 6.6 × 10¹⁸ | 10¹⁵ | 40000 | 500 | — |
| GaN 질화 갈륨 | 0.20 (등방) | 0.2 | 0.2 | 약 1.4 / 0.3 | 1 | — | 2.3 × 10¹⁸ | 4.6 × 10¹⁹ | 10⁻¹⁰ | 1000 | 200 | 약 1.5 × 10⁷ |
| 4H-SiC 탄화 규소 | 0.33 / 0.42 (∥/⊥) | 0.37 | 0.37 | — | 1 | — | 1.7 × 10¹⁹ | 2.5 × 10¹⁹ | 5 × 10⁻⁹ | 900 | 120 | 약 2 × 10⁷ |
질량은 mₑ의 배수다. ml/mt는 전도대 골짜기의 세로·가로 질량, mhh/mlh는 무거운·가벼운 정공 질량이다. 상태 밀도 유효 질량(density-of-states effective mass) mdos는 Nc·Nv와 캐리어 농도에, 전도도 유효 질량(conductivity effective mass) mc는 이동도와 플라스마 진동수에 쓴다. Si: \(m_{dos,e} = 6^{2/3}(m_lm_t^2)^{1/3} = 1.08\), \(m_{c,e} = 3/(1/m_l + 2/m_t) = 0.26\)(Solid.mDOS, Solid.mCond; 8장). μ는 도핑이 낮을 때의 이동도(cm²/(V·s))다. Si의 1414/471은 Solid.mobParams의 μmax(마세티형 맞춤)다. 문헌에서는 1350–1450 / 450–500을 쓴다. 화합물의 μ와 vsat은 고순도 결정의 상한(Ioffe NSM)이다. GaAs·InP·GaN의 vsat은 속도가 최고점을 지난 뒤의 고전기장 값이다(최고 속도는 2–2.5 × 10⁷ cm/s).
표의 값 \(N_c = 2.8\times10^{19}\), \(N_v = 1.04\times10^{19}\), \(n_i = 1.0\times10^{10}\ \text{cm}^{-3}\)은 Q.materials(Sze 2판 표값)다. Solid.semis는 서로 맞춰 쓰도록 만든 Green(1990) 값 \(N_c = 2.86\times10^{19}\), \(N_v = 3.10\times10^{19}\), \(E_g = 1.124\) eV를 쓴다. 이 값으로 \(\sqrt{N_cN_v}\,e^{-E_g/2k_BT}\)를 계산하면 \(n_i = 1.07\times10^{10}\ \text{cm}^{-3}\)다. 아래 계산기들이 이 값을 쓴다. 실측 \(n_i\)는 \(9.65\times10^9\)(Altermatt 2003, Sze & Ng 3판)에서 \(1.5\times10^{10}\)(옛 교재)까지 퍼져 있다. Nv가 세 배나 차이 나는 것은 300 K 정공 상태 밀도 질량을 0.81로 잡느냐 1.15(비포물선·온도 효과 포함)로 잡느냐의 차이다. Ge·GaAs도 같다. GaAs의 \(N_v\)는 Q.materials 7.0 × 10¹⁸, Solid.semis 9.0 × 10¹⁸(Sze & Ng)이다. 같은 계산 안에서는 한 출처의 값끼리만 섞어 쓴다.
탄성과 열
| 물질 | C11 (GPa) | C12 | C44 | ΘD (K) | κ (W/m·K) | α (10⁻⁶/K) | 녹는점 (°C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Si 실리콘 | 165.7 | 63.9 | 79.6 | 645 | 148 | 2.6 | 1414 |
| Ge 저마늄 | 128.5 | 48.3 | 66.8 | 374 | 60 | 5.9 | 938 |
| GaAs 갈륨 비소 | 118.8 | 53.8 | 59.4 | 344 | 46 | 5.7 | 1238 |
| InP 인화 인듐 | 101.1 | 56.1 | 45.6 | 425 | 68 | 4.6 | 1062 |
| AlAs 비소화 알루미늄 | 125 | 53.4 | 54.2 | 446 | 91 | 5.2 | 1740 |
| InAs 비소화 인듐 | 83.3 | 45.3 | 39.6 | 280 | 27 | 4.5 | 942 |
| GaN 질화 갈륨 | 390 | 145 | 105 | 600 | 130 | 5.6 | 분해 |
| 4H-SiC 탄화 규소 | 507 | 108 | 159 | 1300 | 370 | 약 4 | 승화 약 2830 |
입방정 탄성 상수 Si·Ge·GaAs는 Solid.elastic, 디바이 온도 Si·Ge·GaAs는 Solid.debyeT 값이다(Sze & Ng는 Si 640 K, GaAs 360 K). InP·InAs·AlAs는 Ioffe NSM·Vurgaftman(2001)의 값이다. GaN·4H-SiC는 육방정이라 C13, C33이 더 있다: GaN C13 ≈ 106, C33 ≈ 398 GPa, 4H-SiC C13 ≈ 52, C33 ≈ 547 GPa(대표값). κ는 300 K 벌크 열전도도이고, 얇은 막과 나노선에서는 경계 산란으로 몇 배 작아진다(6장). Si의 κ는 148(Glassbrenner–Slack)이 흔히 쓰이고, Sze & Ng는 131이다. α는 선팽창 계수다.
| 입방정 (Solid.elastic) | E[100] (GPa) | E[110] | E[111] | B = (C11+2C12)/3 | A = 2C44/(C11−C12) |
|---|---|---|---|---|---|
| Si | 130.1 | 169.1 | 187.9 | 97.8 | 1.56 |
| Ge | 102.1 | 137.0 | 154.5 | 75.0 | 1.67 |
| GaAs | 85.3 | 121.3 | 141.2 | 75.5 | 1.83 |
| 다이아몬드 | 1050 | 1163 | 1206 | 442 | 1.21 |
| Cu | 66.7 | 130.3 | 191.1 | 137.1 | 3.21 |
| Al | 63.2 | 72.0 | 75.6 | 76.4 | 1.22 |
| W | 407.4 | 410.0 | 410.9 | 310.4 | 1.01 |
방향별 영률은 Solid.youngCubic로 계산했다(3장). W는 이방성 비 A ≈ 1이라 거의 등방이고, Cu는 [111]과 [100]의 영률이 세 배 가까이 차이 난다.
두 반도체 비교
온도 의존: Eg(T), ni(T), μ(T)
표의 값은 300 K 값이다. 다른 온도에서는 Solid.semis의 바르시니 식과 \(T^{3/2}\) 상태 밀도로 띠 간격과 진성 농도를 넓히고, 실리콘 이동도는 Solid.mobility(도핑·온도 의존 맞춤식)로 구한다.
| Solid.semis | Eg(0) (eV) | α (10⁻⁴ eV/K) | β (K) | Eg(300) 식 | Nc / Nv (300 K, cm⁻³) | ni(300) 계산 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Si | 1.170 | 4.73 | 636 | 1.125 | 2.86 × 10¹⁹ / 3.10 × 10¹⁹ | 1.07 × 10¹⁰ |
| Ge | 0.7437 | 4.774 | 235 | 0.663 | 1.04 × 10¹⁹ / 6.0 × 10¹⁸ | 2.1 × 10¹³ |
| GaAs | 1.519 | 5.405 | 204 | 1.422 | 4.7 × 10¹⁷ / 9.0 × 10¹⁸ | 2.3 × 10⁶ |
| GaN | 3.47 | 7.7 | 600 | 3.393 | 2.3 × 10¹⁸ / 4.6 × 10¹⁹ | 3.3 × 10⁻¹⁰ |
| 4H-SiC | 3.315 | 3.3 | 240 | 3.26 | 1.7 × 10¹⁹ / 2.5 × 10¹⁹ | 8.5 × 10⁻⁹ |
GaN·SiC의 \(n_i\)는 계산값일 뿐이다. 실제 결정에서는 결함과 잔류 불순물이 이보다 훨씬 많은 캐리어를 만든다. 실리콘 이동도 맞춤식의 매개변수(Solid.mobParams): 전자 μmax = 1414, μmin = 68.5, Nref = 9.2 × 10¹⁶ cm⁻³, α = 0.711; 정공 470.5, 44.9, 2.23 × 10¹⁷, 0.719; 격자 산란 온도 지수 γn = 2.42, γp = 2.2.
온도 계산기
격자 상수–띠 간격 지도
두 결정을 이어 기를 때(에피택시) 격자 상수가 같으면 결함 없이 두껍게 쌓을 수 있다. 이것을 격자 정합(lattice matching)이라 한다. 혼정 \(A_{1-x}B_x\)의 격자 상수는 베가드 법칙(Vegard's law)대로 조성에 거의 정비례하고, 띠 간격은 직선에서 아래로 휜다. 휜 정도를 나타내는 계수가 휨 매개변수(bowing parameter) \(b\)다.
Solid.aSiGe(데즈뮤크스 2차식), 무변형 띠 간격은 x < 0.85에서 \(1.12 - 0.41x + 0.008x^2\) eV(Si 같은 X 골짜기)로 근사하고, 그 위는 Ge의 L 골짜기 값 0.66 eV까지 직선으로 이었다(개략).에피 설계 지도
격자 불일치 \(f = (a_{\text{층}} - a_{\text{기판}})/a_{\text{기판}}\)이 0이 아니면, 얇은 층은 기판에 맞춰 늘거나 줄어든 채(변형) 자라다가 임계 두께를 넘으면 미스핏 전위로 풀린다. 그래서 설계는 두 갈래다. ① 정합: InP 위 In0.53Ga0.47As(광검출기·HBT), GaAs 위 AlGaAs(레이저·HEMT). 지도의 세로선에서 조성을 고른다. ② 의도적 변형: Si 위 Si1−xGex(f ≈ 4.2x%)를 임계 두께 아래로 길러 pMOS 소스·드레인에 압축 응력을 걸고 정공 이동도를 올린다. 이때 Ge 조성은 HRXRD 로킹 곡선으로 잰다(2장). 증착 장비와 성장 조건은 SemiBooks 공정 · 박막 증착(에피택시), 변형 채널은 SemiBooks 공정 · 첨단 소자 공정.
실리콘의 도펀트, 비저항, 깊은 준위
얕은 도펀트
| 원소 | 형 | Eion (meV) | D0 (cm²/s) | Ea (eV) | D(1000 °C) (cm²/s) | √(Dt), 1 h (nm) | 최대 고용도 (cm⁻³) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P 인 | n (주개) | 45 | 3.85 | 3.66 | 1.25 × 10⁻¹⁴ | 67 | 약 1.3 × 10²¹ |
| As 비소 | n (주개) | 54 | 0.32 | 3.56 | 2.59 × 10⁻¹⁵ | 31 | 약 1.8 × 10²¹ |
| Sb 안티모니 | n (주개) | 39 | 0.214 | 3.65 | 7.62 × 10⁻¹⁶ | 17 | 약 7 × 10¹⁹ |
| B 붕소 | p (받개) | 45 | 0.76 | 3.46 | 1.53 × 10⁻¹⁴ | 74 | 약 6 × 10²⁰ |
| Al 알루미늄 | p (받개) | 57 | — | — | — | — | 약 2 × 10¹⁹ |
| Ga 갈륨 | p (받개) | 65 | — | — | — | — | 약 4 × 10¹⁹ |
| In 인듐 | p (받개) | 160 | — | — | — | — | 약 4 × 10¹⁷ |
이온화 에너지는 Solid.dopants(띠 끝에서 잰 값), D0·Ea는 Solid.dopantDiffusion의 진성 확산 대표값이다. D(1000 °C)와 1시간 확산 길이 \(\sqrt{Dt}\)는 그 값으로 계산했다. 실제 확산은 농도·점결함·분위기(산화 증진 확산, 과도 증진 확산)에 따라 몇 배씩 달라진다(4장). 고용도(solid solubility)는 결정이 녹여 받을 수 있는 최대 농도이고, 대략 1100–1200 °C 부근의 최댓값(Trumbore 계열)을 적었다. As·P는 이보다 낮은 농도(약 3 × 10²⁰ cm⁻³)부터 전기적으로 비활성인 덩어리를 만든다.
Si 도핑 ↔ 비저항 계산기
Solid.siResistivity). 위 칸에 N을 넣으면 ρ가, 가운데 칸에 ρ를 넣으면 필요한 N이 나온다. 웨이퍼 사양서의 "p형 1–10 Ω·cm"는 B 약 1.4 × 10¹⁵ – 1.5 × 10¹⁶ cm⁻³다. 해볼 것: ① 10 Ω·cm n형은 P 약 4.5 × 10¹⁴ cm⁻³. ② 같은 N에서 p형 비저항은 n형의 2–3배다(μp < μn). ③ 10¹⁹ 이상에서는 띠 간격 축소와 불완전 이온화를 무시한 이 식의 오차가 커진다(11장).n형 Si에 P를 10의 16.0제곱 cm⁻³ 넣으면 전자 이동도는 , 비저항은 이다. 같은 농도의 B를 넣은 p형은 이다. P 원자 하나가 Si 원자 개 중 하나꼴이다.
깊은 준위 불순물
띠 간격 한가운데 가까운 준위를 만드는 불순물을 깊은 준위(deep level) 불순물이라 한다. 주로 전이 금속이다. 얕은 도펀트와 달리 캐리어를 거의 내놓지 않는다. 대신 전자와 정공을 번갈아 붙잡는 SRH 재결합 중심이 되어 소수 캐리어 수명을 줄이고, 공핍층에서는 누설 전류를 만든다(12장). 실리콘의 중간 띠 \(E_i - E_v\)는 Solid.Ei로 0.563 eV다.
| 불순물 | 자리 | 준위 | 특징 |
|---|---|---|---|
| Fei | 격자간 | Ev + 0.38 (D) | σn ≈ 4 × 10⁻¹⁴, σp ≈ 7 × 10⁻¹⁷ cm² — p형 수명 킬러, 상온에서 B와 FeB 쌍 형성 |
| FeB 쌍 | B와 쌍 | Ec − 0.26 (A), Ev + 0.10 (D) | 빛·200 °C 가열로 Fei ↔ FeB를 오가며 수명이 바뀐다 → Fe 농도 측정법 |
| Aus | 치환 | Ec − 0.55 (A), Ev + 0.35 (D) | 중간 띠 간격 근처 — 고전적 수명 제어(스위칭 다이오드) |
| Pts | 치환 | Ec − 0.23 (A), Ev + 0.32 (D) | 전력 소자 수명 제어(누설이 Au보다 작다) |
| Cu | 격자간·석출 | Ev + 0.24 외 여러 준위 (약) | 확산이 매우 빨라 상온에서도 표면·결함으로 모여 석출물이 된다 |
| Ni | 치환·석출 | Ec − 0.35 (A), Ev + 0.23 (약) | 대부분 NiSi₂ 석출물로 존재 — 산화막 결함의 원인 |
| Tii | 격자간 | Ec − 0.27 (D), Ev + 0.26 (DD) | 확산이 느려 태양 전지용 Si에서도 낮은 농도로 수명을 깎는다 |
| Cri | 격자간 | Ec − 0.22 (D) | Fe처럼 B와 CrB 쌍을 만든다 |
| Zns | 치환 | Ev + 0.31, Ev + 0.55 (A, 약) | 이중 받개 |
D: 주개, A: 받개, DD: 이중 주개. 준위는 Graff(Metal Impurities in Silicon-Device Fabrication, 2000)와 Sze & Ng의 대표값이고, 문헌에 따라 ±0.02–0.05 eV 차이 난다. "약"이라고 적은 준위는 보고값이 흩어져 있다. 확산 대표값(Solid.dopantDiffusion): Fe D = 1.0 × 10⁻³ exp(−0.67 eV/kBT), Cu 3 × 10⁻⁴ exp(−0.18 eV/kBT), Au 1.1 × 10⁻³ exp(−1.12 eV/kBT) cm²/s. 이 식으로 상온 Cu의 \(D\)는 2.8 × 10⁻⁷ cm²/s나 된다. 1시간이면 약 0.3 mm를 간다.
| 재결합 계수 (Solid.recomb) | 복사 B (cm³/s) | 오제 Cn (cm⁶/s) | 오제 Cp (cm⁶/s) | 출처 |
|---|---|---|---|---|
| Si | 4.73 × 10⁻¹⁵ | 2.8 × 10⁻³¹ | 9.9 × 10⁻³² | Trupke 2003; Dziewior–Schmid 1977 |
| Ge | 6.4 × 10⁻¹⁴ | 약 10⁻³⁰ | 약 10⁻³⁰ | 대표값 |
| GaAs | 7.2 × 10⁻¹⁰ | 약 10⁻³⁰ | 약 10⁻³⁰ | 대표값 |
금속: 비저항, 평균 자유 행로, 일함수
| 금속 | 구조 | a (/ c) (nm) | 밀도 (g/cm³) | ρ0 (μΩ·cm) | λ (nm) | ρ0λ (10⁻¹⁶ Ω·m²) | 일함수 W (eV) | n (10²⁸ m⁻³) | EF (eV) | κ (W/m·K) | α (10⁻⁶/K) | ΘD (K) | 녹는점 (°C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cu 구리 | fcc | 0.3615 | 8.96 | 1.68 | 39.9 | 6.70 | 4.65 | 8.47 | 7.00 | 401 | 16.5 | 343 | 1085 |
| Ag 은 | fcc | 0.4086 | 10.49 | 1.59 | 53.3 | 8.47 | 4.26 | 5.86 | 5.49 | 429 | 18.9 | 225 | 962 |
| Au 금 | fcc | 0.4078 | 19.3 | 2.21 | 37.7 | 8.33 | 5.1 | 5.90 | 5.53 | 318 | 14.2 | 165 | 1064 |
| Al 알루미늄 | fcc | 0.4050 | 2.7 | 2.65 | 18.9 | 5.01 | 4.28 | 18.10 | 11.70 | 237 | 23.1 | 428 | 660 |
| W 텅스텐 | bcc | 0.3165 | 19.3 | 5.28 | 19.1 | 10.08 | 4.55 | — | — | 173 | 4.5 | 400 | 3422 |
| Mo 몰리브데넘 | bcc | 0.3147 | 10.28 | 5.34 | 14.4 | 7.69 | 4.6 | — | — | 138 | 4.8 | 450 | 2623 |
| Co 코발트 | hcp | 0.2507 / 0.4069 | 8.9 | 6.2 | 11.8 | 7.32 | 5 | — | — | 100 | 13 | 445 | 1495 |
| Ru 루테늄 | hcp | 0.2706 / 0.4282 | 12.4 | 7.1 | 6.6 | 4.69 | 4.71 | — | — | 117 | 6.4 | 600 | 2334 |
| Ni 니켈 | fcc | 0.3524 | 8.91 | 6.93 | 5.87 | 4.07 | 5.15 | — | — | 91 | 13.4 | 450 | 1455 |
| Ti 타이타늄 | hcp | 0.2951 / 0.4686 | 4.51 | 약 42 | — | — | 4.33 | — | — | 22 | 8.6 | 420 | 1668 |
ρ0는 실온(20–25 °C) 벌크 비저항이다. λ는 300 K 전자의 평균 자유 행로(mean free path)로, 제일원리 페르미 면 계산으로 구한 Gall(J. Appl. Phys. 119, 085101, 2016)의 값이다. Cu·Ag·Au·Al·W·Mo·Co·Ru의 ρ0·λ·W·n·EF는 Solid.metals 값이다. Ni의 ρ0(CRC, 20 °C)와 λ(Gall 2016, ρ0λ = 4.07 × 10⁻¹⁶ Ω·m²)는 새로 넣었다. Ti는 λ 자료를 싣지 않았다. 일함수는 다결정 대표값(Michaelson 1977)이고, 면 방위에 따라 ±0.3 eV 달라진다. 전자 밀도 n과 EF는 자유 전자 모형이 잘 맞는 금속만 적었다(Ashcroft–Mermin; 7장). Solid.metals의 W 항목에 있는 n = 6.3 × 10²⁸ m⁻³은 d 띠 금속에서 뜻이 분명하지 않아 표에서 뺐다. Co·Ru·Ti는 육방정이라 a / c를 함께 적었다. ΘD는 Cu·Ag·Au·Al·W가 Solid.debyeT, 나머지는 Kittel의 값이다.
배선 금속 고르기: ρ0–λ 지도와 얇은 막 비저항
Solid.fsRatio, 난반사 p = 0), 결정립계 산란은 마야다스–샤츠케스(Solid.msRatio, 결정립 D = t)로 넣고 둘을 마티센 규칙으로 더했다(7장). Cu에는 확산 장벽(TaN/Ta) 두께만큼 전도 단면이 줄어드는 효과를 따로 넣을 수 있다. 해볼 것: ① t = 50 nm에서는 Cu가 가장 낮다. ② t를 줄이면 ρ0λ가 작은 Ru·Ni의 순위가 올라간다. ③ Cu 장벽을 한쪽 2 nm로 두면 t ≈ 20 nm 아래에서 Ru·Ni·Mo·Co가 Cu를 앞지르고, t = 10 nm에서는 Cu가 Ru의 두 배다.벌크에서는 ρ0가 작은 금속이 이기지만, 선폭이 λ보다 좁아지면 표면·결정립계 산란 때문에 비저항이 대략 \(\rho \approx \rho_0(1 + c\,\lambda/w)\)로 커진다. 선폭 w가 아주 작을 때 남는 항은 \(c\,\rho_0\lambda/w\)이므로, 좁은 배선의 성능 지표는 ρ0가 아니라 ρ0λ 곱이다. Cu는 6.7, Ru는 약 4.7, Co는 7.3 × 10⁻¹⁶ Ω·m²다. 게다가 Cu는 유전막 속으로 확산하므로 2–3 nm 장벽·라이너가 필요하다. 장벽이 차지하는 단면만큼 전도 면적이 줄어들어 10 nm대 선폭에서는 장벽 없이 쓸 수 있는 Ru·Co·Mo가 유리해진다. 신뢰성(전자 이동 \(E_a\), 녹는점이 높을수록 유리)과 CMP·식각 공정성도 함께 따진다. 공정 쪽 이야기는 SemiBooks 공정 · 금속 배선, 회로 쪽 RC 지연은 SemiBooks 디지털 회로 · 배선.
절연막
| 절연막 | 상태 | 밀도 (g/cm³) | Eg (eV) | εr (정적) | 굴절률 n | ε∞ = n² | ΔEc (eV) | ΔEv (eV) | mox | EOT/t | 항복 (MV/cm) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| SiO₂ 이산화 규소 | 비정질(열산화) | 2.2–2.27 | 9 | 3.9 | 1.46 | 2.13 | 3.1 | 4.78 | 0.42 | 1 | 10–15 |
| Si₃N₄ 질화 규소 | 비정질(LPCVD) | 2.9–3.1 | 5.3 | 7.5 | 2 | 4.00 | 2.1 | 2.08 | 0.4 | 0.52 | 5–10 |
| Al₂O₃ 산화 알루미늄 | 비정질(ALD) | 3.0–3.5 | 8.8 | 9.0 | 1.65 | 2.72 | 2.8 | 4.88 | 0.35 | 0.433 | 5–10 |
| HfO₂ 산화 하프늄 | 단사정/비정질 | 9.7 | 5.8 | 25 | 2 | 4.00 | 1.5 | 3.18 | 0.17 | 0.156 | 4–7 |
| ZrO₂ 산화 지르코늄 | 단사정·정방정 | 5.7–6.1 | 5.8 | 25 | 2.1 | 4.41 | 1.5 | 3.18 | — | 0.156 | 약 4–7 |
| SiCOH low-k | 비정질(PECVD) | 1.2–1.4 | 약 8 | 2.4–3.0 | 1.4 | 1.96 | — | — | — | — | 3–6 |
SiO₂·Si₃N₄·Al₂O₃·HfO₂의 εr·Eg·ΔEc(Si 전도대 기준 전자 장벽)·mox(터널링 유효 질량)는 Q.dielectrics 값이다. ZrO₂는 Robertson(2004)의 대표값이다. ΔEv = Eg − 1.12 − ΔEc로 계산했다. EOT/t = 3.9/εr는 같은 정전 용량을 주는 SiO₂ 두께의 비다. 박막 값은 증착법·열처리·결정상에 따라 크게 달라진다. 예를 들어 HfO₂의 εr는 단사정 약 16–20, 정방정·입방정 약 25–30이다. low-k SiCOH는 치밀막이 2.7–3.0, 다공막이 2.2–2.5이다. 굴절률은 633 nm 근처 값이고, 항복 전계는 막 두께와 측정법에 민감한 대략값이다. MOS 계면과 띠 정렬은 13장, 유전율의 물리는 14장.
표 찾아 쓰기 연습
필요한 값은 모두 이 부록의 표와 계산기에 있다. 문제에 값이 주어지면 그 값을 쓴다.
표의 격자 상수로 (가) Si 기판 위 Ge 층, (나) Ge 기판 위 GaAs 층의 격자 불일치 \(f = (a_{\text{층}} - a_{\text{기판}})/a_{\text{기판}}\)를 %로 구하라.
(가) \((0.56579 - 0.54310)/0.54310 = +4.18\%\)(층이 크다 → 압축 변형). (나) \((0.56533 - 0.56579)/0.56579 = -0.081\%\). Ge 위 GaAs는 거의 정합하여, 우주용 다중 접합 태양 전지가 Ge 기판에서 출발한다.
Si 광학 포논의 라만 선 520.7 cm⁻¹를 meV와 THz로 바꿔라.
\(520.7\times0.123984 = 64.6\ \text{meV}\), \(520.7\times0.0299792 = 15.6\ \text{THz}\). 온도로는 \(64.56/0.086173 = 749\) K이므로 300 K에서는 점유수가 \(1/(e^{2.50}-1) = 0.09\)로 작다.
InP(a = 0.58687 nm)에 격자 정합하는 InxGa1−xAs의 조성 x와 300 K 띠 간격을 구하라. GaAs a = 0.56533 nm, Eg = 1.424 eV; InAs a = 0.60583 nm, Eg = 0.354 eV; 휨 매개변수 b = 0.477 eV.
\(x = 0.02154/0.04050 = 0.532\). \(E_g = 0.468\times1.424 + 0.532\times0.354 - 0.477\times0.532\times0.468 = 0.6665 + 0.1883 - 0.1188 = 0.736\ \text{eV}\). 흡수 끝은 \(1239.84/0.736 = 1684\) nm라 1.55 μm 빛을 흡수한다. 에피 지도의 과녁과 같다.
P를 \(1.0\times10^{16}\ \text{cm}^{-3}\) 도핑한 n형 Si의 300 K 비저항을 구하라. 이동도는 Solid.mobility 맞춤식 값(1184 cm²/(V·s))을 쓰고, 소수 캐리어 기여는 무시한다.
\(\rho = 1/(1.602\times10^{-19}\times10^{16}\times1184) = 0.527\ \Omega\cdot\text{cm}\). 비저항 계산기에 1e16을 넣어도 같은 값이 나온다. 어빈 곡선에서 읽는 0.5 Ω·cm와 맞는다.
붕소의 진성 확산 계수 \(D = 0.76\,\exp(-3.46\ \text{eV}/k_BT)\) cm²/s로 1000 °C에서의 D와 1시간 확산 길이 \(\sqrt{Dt}\)를 구하라.
\(k_BT = 8.617\times10^{-5}\times1273.15 = 0.10971\) eV, \(D = 0.76\,e^{-31.54} = 1.53\times10^{-14}\ \text{cm}^2/\text{s}\). \(\sqrt{Dt} = \sqrt{1.53\times10^{-14}\times3600} = 7.42\times10^{-6}\ \text{cm} = 74\ \text{nm}\). 도펀트 표의 값과 같다.
금속 표의 ρ0와 λ로 Cu와 Ru의 ρ0λ 곱의 비를 구하라. 얇은 선폭 극한에서 어느 쪽이 유리한가?
Cu \(1.68\times39.9 = 67.0\), Ru \(7.1\times6.6 = 46.9\)(단위 μΩ·cm·nm = 10⁻¹⁷ Ω·m²). 비는 \(67.0/46.9 = 1.43\)이다. 선폭이 λ보다 훨씬 좁으면 \(\rho \propto \rho_0\lambda/w\)이므로 Ru가 유리하다. 벌크 비저항만 보면 Cu가 4배 낮다.
격자간 Fe의 주개 준위 Ev + 0.38 eV는 Si의 진성 준위 Ei에서 얼마나 떨어져 있는가? \(E_i - E_v = E_g/2 + (k_BT/2)\ln(N_v/N_c)\)에 Solid.semis 값(Eg = 1.1245 eV, Nc = 2.86 × 10¹⁹, Nv = 3.10 × 10¹⁹ cm⁻³)을 쓴다.
\(E_i - E_v = 0.5622 + 0.012926\times\ln(1.084) = 0.5622 + 0.0010 = 0.563\) eV. \(E_t - E_i = 0.38 - 0.563 = -0.183\) eV. 중간 띠에서 7 kBT 떨어져 있지만 정공 포획 단면적이 작아(σn/σp ≈ 600) p형에서는 강한 재결합 중심이 된다(12장).
1550 nm 광통신 빛을 띠 간 흡수로 검출할 수 있는 물질은?
흡수하려면 \(E_g < 1239.84/1550 = 0.80\) eV여야 한다. Si 1.12, GaAs 1.424, InP 1.344 eV는 모두 크고, In0.53Ga0.47As(0.74 eV, λg ≈ 1.68 μm)만 흡수한다. Ge(0.66 eV)도 흡수하므로 Si 위에 Ge 광검출기를 붙이는 실리콘 포토닉스가 있다.