Chapter 14

유전체와 광학적 성질

게이트 절연막, 배선 사이 절연막, 이미지 센서의 실리콘, 강유전 메모리 셀은 모두 전기장에 대한 물질의 응답 하나로 설명된다. 전기장이 걸리면 원자의 전자 구름이 찌그러지고, 이온이 밀리고, 극성 분자가 돌아서고, 움직이는 전하가 결정립 경계에 쌓인다. 이 네 가지 반응은 무게도 속도도 달라서, 전기장이 빨리 흔들릴수록 무거운 것부터 따라오지 못한다. 직류에서 εr = 80인 물의 굴절률이 √80 ≈ 9가 아니라 1.33인 것도 이 때문이다. 이 장은 분극에서 시작해 국소장, 로런츠 진동자, 굴절률과 흡수, 금속의 플라스마, 반도체의 흡수 끝과 엑시톤, 강유전체까지 하나의 함수 ε(ω)로 엮는다. 먼저 아래 화면에서 전기장 방향과 진동수를 바꿔 보자.

화살표 끝과 막대 위 흰 원을 끈다

분극 $\vec P = \varepsilon_0\chi\vec E$, 비유전율 $\varepsilon_r = 1+\chi$, 분극률 $\vec p = \alpha\vec E_{loc}$를 구분하고, 전자·이온·배향·계면 분극이 어느 진동수에서 꺼지는지 설명한다.
로런츠 국소장 $\vec E_{loc} = \vec E + \vec P/3\varepsilon_0$에서 클라우지우스–모소티 식을 유도하고, 공극률로 low-k 막의 유전율을 계산한다.
로런츠 진동자 모형으로 복소 유전 함수 $\varepsilon(\omega) = \varepsilon' + i\varepsilon''$의 공명·흡수 봉우리·이상 분산을 그리고, 크라머스–크로니히 관계의 뜻을 말한다.
복소 굴절률 $\tilde n = n + i\kappa$에서 흡수 계수 $\alpha = 4\pi\kappa/\lambda$와 수직 입사 반사율을 계산하고, 리댄–삭스–텔러 관계로 이온 결정의 잔류선 띠를 예측한다.
드루드 유전 함수로 금속의 플라스마 진동수(Cu 자유 전자값 10.8 eV)를 구하고, 금속과 도핑 반도체·투명 전극의 반사 끝을 설명한다.
직접($\alpha\propto\sqrt{\hbar\omega - E_g}$)·간접(포논 보조, $\propto(\hbar\omega - E_g \pm E_{ph})^2$) 흡수 끝과 엑시톤 결합 에너지를 계산한다.
란다우 자유 에너지로 강유전 상전이, 자발 분극, P–E 히스테리시스와 항전기장을 설명하고, 도핑된 HfO₂가 강유전 메모리에 쓰이는 이유를 말한다.

분극과 유전율: 네 가지 분극 기구

평행판 축전기의 두 판 사이에 절연체를 끼우면 같은 전압에서 전하가 $\varepsilon_r$배 더 쌓인다. 절연체 속에서는 전자가 원자를 떠나 흐르지는 못해도, 원자 안에서 조금씩 밀릴 수는 있기 때문이다. 양전하 중심과 음전하 중심이 거리 $\vec d$만큼 어긋난 원자는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment) $\vec p = q\vec d$를 가진다. 단위 부피당 쌍극자 모멘트의 합이 분극(polarization) $\vec P$이다(단위 C/m²).

유전체 속 원자들의 쌍극자가 나란히 서면 내부에서는 이웃 전하끼리 상쇄되고, 두 표면에만 속박 전하 $\mp P$가 남는다. 이 전하가 판의 자유 전하가 만든 장을 일부 가려, 같은 전압에서 더 많은 자유 전하가 판에 모인다.

대부분의 절연체에서 분극은 거시 전기장에 비례한다. 비례 상수를 전기 감수율(electric susceptibility) $\chi$라 하고, 전기 변위 $\vec D$와 비유전율(relative permittivity) $\varepsilon_r$을 정의한다.

$$\vec P = \varepsilon_0\chi\vec E, \qquad \vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec P = \varepsilon_0(1+\chi)\vec E = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec E, \qquad \varepsilon_r = 1 + \chi$$

반도체 공정에서는 $\varepsilon_r$을 흔히 "k값"이라 부른다(SiO₂ 3.9, Si₃N₄ 7.5, Al₂O₃ 9, HfO₂ 약 25, Si 11.7). 결정에 따라 $\chi$는 텐서지만, 입방정과 비정질 막에서는 스칼라다.

원자 하나의 쌍극자는 그 원자 자리의 전기장 $\vec E_{loc}$에 비례한다: $\vec p = \alpha\vec E_{loc}$. 비례 상수 $\alpha$가 분극률(polarizability)이다(단위 C·m²/V. $\alpha/4\pi\varepsilon_0$은 부피 차원이라 흔히 Å³로 쓴다). $\vec E_{loc}$이 거시장 $\vec E$와 다를 수 있다는 점이 다음 절의 주제다. 여기서는 분극률이 어디서 오는지 보자.

전자 분극: 모든 원자의 전자 구름이 핵에 대해 밀린다. 움직이는 것이 가벼운 전자라 자외선 진동수까지 따라온다.
이온 분극: 이온 결정(NaCl, HfO₂)에서는 양이온과 음이온이 서로 반대로 밀린다. 원자핵 질량이 움직이므로 적외선(광학 포논) 진동수에서 공명하고 그 위에서는 꺼진다.
배향 분극: 영구 쌍극자를 가진 분자(물)는 전기장 방향으로 돌지만, 열운동이 방향을 흩뜨린다. 회전은 이웃에 부딪히며 느리게 일어나므로 마이크로파 영역에서 꺼진다(완화형).
계면(공간 전하) 분극: 조금이라도 움직일 수 있는 전하(이온, 갇힌 전자)가 결정립계나 층 경계까지 흘러가 쌓인다. 거리가 길어 가장 느리다(맥스웰–바그너 분극).

분극의 네 기구. 아래로 갈수록(①→④) 움직이는 대상이 무겁거나 멀리 가야 하므로 응답이 느리다. 전기장 진동수를 올리면 ④부터 차례로 따라오지 못한다.

전자 분극의 크기는 간단한 모형으로 어림할 수 있다. 원자를 반지름 $R$인 균일한 전자 구름(전하 $-Ze$) 속의 점 핵($+Ze$)으로 보자. 핵이 구름 중심에서 $d$만큼 밀리면 가우스 법칙에서 구름이 핵을 끌어당기는 장은 $Zed/(4\pi\varepsilon_0R^3)$이고, 이것이 외부장 $E$와 같아지는 곳에서 멈춘다.

$$d = \frac{4\pi\varepsilon_0R^3}{Ze}E, \qquad p = Zed = 4\pi\varepsilon_0R^3E \;\Rightarrow\; \alpha_e = 4\pi\varepsilon_0R^3$$

분극률은 원자 부피에 비례한다. 수소 원자의 정확한 양자역학 값은 $\alpha/4\pi\varepsilon_0 = 4.5a_0^3 = 0.667$ Å³이다. 큰 원자일수록, 바깥 전자가 느슨하게 묶일수록 분극률이 크다(He 0.205, Ar 1.64, Xe 4.04 Å³).

전기장 E

원자

MINI LAB균일 구름 모형의 원자. 구름 반지름은 실측 분극률이 나오도록 $R = (\alpha/4\pi\varepsilon_0)^{1/3}$로 잡았다. 그림 속 밀림은 보이도록 크게 과장했고, 실제 비율 $d/R = E/E_{at}$은 아래 숫자로 읽는다. SiO₂가 절연 파괴되는 10 MV/cm(10⁹ V/m)에서도 핵은 구름 반지름의 0.1–0.5%만 밀린다 — 분극이 전기장에 선형인 이유다.

분극의 진동수 의존

정적 비유전율은 네 기구의 기여를 모두 더한 값이다. 그러나 교류 전기장에서는 기구마다 따라올 수 있는 한계가 있다. 배향·계면 분극처럼 마찰을 받으며 천천히 자리 잡는 기구는 유전 완화(dielectric relaxation)를 보인다. 완화 시간 $\tau$인 데바이 완화는 $\varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty + \Delta\varepsilon/(1 - i\omega\tau)$이고, $\omega\tau = 1$에서 손실이 최대가 된다. 전자·이온 분극은 용수철에 매달린 질량처럼 공명한다(§14.3). 어느 쪽이든 진동수가 한계를 넘으면 그 기구의 기여는 사라지고 $\varepsilon'$이 계단처럼 내려간다. 계단마다 에너지를 먹는 흡수 봉우리 $\varepsilon''$이 따라온다. 손실의 크기는 손실 탄젠트(loss tangent) $\tan\delta = \varepsilon''/\varepsilon'$로 나타낸다.

물의 정적 비유전율은 약 80이다. 빛은 전자기파이고 굴절률은 $n = \sqrt{\varepsilon_r}$이므로 물의 굴절률은 약 9여야 할 것 같다. 실제 값은 1.33이다($n^2 = 1.78$). 왜일까?

물 분자의 배향 완화 진동수는 실온에서 약 20 GHz다(전자레인지 2.45 GHz가 이 손실 꼬리를 쓴다). 그 위로는 εr이 약 5로, 적외선 공명들을 지나면 가시광에서는 전자 분극의 $n^2 \approx 1.78$만 남는다. 아래 스펙트럼에서 진동수 점을 끌어 계단을 확인하라.

SIMULATOR

분극 기구 스펙트럼: 손실 봉우리 네 개를 모두 찾아라

흰 원을 좌우로 끌어 진동수를 바꾼다

④ 계면(공간 전하) ③ 배향(극성 분자) ② 이온 ① 전자

진동수 f—

ε′—

ε″—

tan δ—

따라오는 기구—

찾은 봉우리—

가상의 유전체에 네 기구를 모두 넣은 모형이다: 계면 Δε = 30(데바이, 100 Hz), 배향 Δε = 20(데바이, 1 GHz), 이온 Δε = 3(공명, 10 THz), 전자 Δε = 1.5(공명, 2×10¹⁵ Hz). 공명 폭은 로그 눈금에서 보이도록 넓게 잡았다. 해볼 것: ① 점을 ε″ 봉우리 위에 올려 네 기구의 손실 봉우리를 모두 찾아라(봉우리 근처 0.3자리 이내). ② 봉우리 하나를 지날 때마다 ε′이 그 기구의 Δε만큼 내려가는 것을 확인하라. ③ 배향 기구를 끄면(비극성 고체, 예: SiO₂) 마이크로파 손실이 사라진다 — 고주파 회로 기판과 전자레인지 용기의 차이다.

실리콘 산화막의 정적 값 3.9와 광학 진동수의 $n^2 = 1.46^2 = 2.13$의 차이(1.8)는 이온 분극의 몫이다. HfO₂는 $n \approx 2.0$이라 $\varepsilon_\infty \approx 4$인데 정적 값은 25 안팎이다. 높은 k값의 85% 이상이 무거운 Hf 이온과 산소 사이의 "무른" 결합이 만드는 이온 분극에서 온다. 무른 결합은 낮은 진동수의 광학 포논을 뜻하고(§14.4의 LST 관계), 대체로 띠 간격도 작게 만든다. high-k 재료는 k값과 띠 간격(누설 전류 장벽)을 맞바꾸는 셈이다.

절연막	정적 εr	광학 n	ε∞ ≈ n²	띠 간격 (eV)	주된 용도
SiO₂	3.9	1.46	2.1	9.0	게이트 계면층, STI, 층간 절연
Si₃N₄	7.5	2.0	4.0	5.3	식각 정지막, 스페이서, 전하 저장(NAND)
Al₂O₃	9	1.65	2.7	8.8	DRAM 유전막, 차단막
HfO₂	≈ 25	2.0	4.0	5.8	HKMG 게이트, DRAM, 강유전 메모리
SiCOH(다공성)	2.2–3.0	1.3–1.4	≈ 1.8	≈ 8	BEOL 배선 사이 low-k

MOS 트랜지스터의 게이트 정전 용량은 $C/A = \varepsilon_0\varepsilon_r/t$이다. 두께 1.2 nm 이하의 SiO₂는 직접 터널링 누설이 너무 커서 쓸 수 없지만, 같은 $C/A$를 $\varepsilon_r$이 큰 두꺼운 막으로 얻을 수 있다. 그래서 high-k 막의 두께를 "같은 정전 용량을 주는 SiO₂ 두께"로 환산한 등가 산화막 두께(equivalent oxide thickness, EOT)를 쓴다.

$$\text{EOT} = t_{hk}\frac{3.9}{\varepsilon_{hk}}, \qquad \text{EOT}_{stack} = t_{IL} + t_{hk}\frac{3.9}{\varepsilon_{hk}}$$

$t_{IL}$은 HfO₂와 실리콘 사이에 생기는 얇은 SiO₂ 계면층. 직렬 축전기의 역수 합 $1/C = \sum t_i/(\varepsilon_0\varepsilon_i)$을 SiO₂ 두께로 쓴 것이다(Q.EOT).

계면층 SiO₂ 0.50 위에 비유전율 25.0인 high-k 막을 4.5 쌓으면 EOT는 , 게이트 정전 용량은 다. 물리 두께는 로, 같은 정전 용량의 SiO₂ 단일막보다 두껍다.

같은 정전 용량을 주는 게이트 절연막. HfO₂는 SiO₂보다 6.4배 두꺼워 터널링 누설이 수천 배 줄어든다. 실제로는 Si 위에 HfO₂를 바로 올리면 계면이 나빠, 0.5 nm 안팎의 SiO₂ 계면층(IL)을 두고 그 몫까지 EOT에 더한다.

EOT 1.2 nm를 얻으려 한다. (a) HfO₂($\varepsilon_r = 25$) 단일막이면 물리 두께는? (b) 0.5 nm SiO₂ 계면층이 있으면 HfO₂ 두께는? (c) 이때 단위 면적 정전 용량(µF/cm²)은?

풀이 보기

전략 $\text{EOT} = t_{IL} + t_{hk}(3.9/\varepsilon_{hk})$를 $t_{hk}$에 대해 풀고, $C/A = 3.9\varepsilon_0/\text{EOT}$.

풀이 (a) $t = 1.2\times25/3.9 = 7.69$ nm. (b) $t_{hk} = (1.2 - 0.5)\times25/3.9 = 4.49$ nm. (c) $C/A = 3.9\times8.854\times10^{-12}/(1.2\times10^{-9}) = 2.88\times10^{-2}$ F/m² $= 2.88\ \mu\text{F/cm}^2$.

(a) 7.69 nm (b) 4.49 nm (c) 2.88 µF/cm²

검토 계면층 0.5 nm가 EOT 예산의 40%를 먹는다. 그래서 최신 공정은 계면층을 0.3 nm 안팎까지 줄이거나(scavenging), HfO₂보다 k가 큰 막을 찾는다.

high-k 금속 게이트(HKMG)와 EOT

45 nm 노드(2007)에서 SiO₂N 게이트(물리 두께 1.2 nm 근처, 누설 약 100 A/cm²)는 한계에 이르렀고, HfO₂ 기반 high-k와 금속 게이트가 들어왔다. EOT를 유지하며 물리 두께를 3배 이상 늘리면 직접 터널링 전류가 지수적으로 줄어 누설이 수백–수천 배 낮아진다. 대신 HfO₂는 띠 간격(5.8 eV)과 Si와의 전도대 오프셋(약 1.5 eV)이 SiO₂보다 작고, 이온 분극에 딸린 무른 광학 포논이 채널 전자를 산란해(원격 포논 산란) 이동도를 떨어뜨린다. 문턱 전압은 금속 게이트의 일함수로 맞춘다. → DeviceBook · MOS 커패시터(고유전율 게이트와 EOT)

국소장과 클라우지우스–모소티 식

희박한 기체에서는 원자 하나가 느끼는 장이 외부장 그대로다. 그러나 고체에서는 이웃 원자들도 모두 분극되어 있어, 그 쌍극자들이 만드는 장이 더해진다. 원자 자리에 실제로 걸리는 장을 국소장(local field) $\vec E_{loc}$이라 한다. 로런츠는 이를 다음 그림처럼 계산했다.

거시장 $\vec E$는 유전체 전체를 평균한 장이다. 한 원자 자리의 장은 판의 전하와 다른 모든 원자 쌍극자가 그 점에 만드는 장의 합이다.
원자 둘레에 원자 간격보다 훨씬 큰 가상의 구를 판다. 구 밖은 연속 분극체로, 구 안은 원자 쌍극자 하나하나로 다룬다.
구를 파내면 구 벽에 속박 전하 $-P\cos\theta$가 드러난다. 균일하게 분극된 구의 장을 뒤집은 것이므로 구 중심에 $+\vec P/3\varepsilon_0$의 장을 만든다(로런츠 장(Lorentz field)).
구 안 이웃 쌍극자들의 장은 입방 격자(또는 무질서한 비정질·액체)에서 대칭 때문에 합이 0이다. 남는 것은 $\vec E_{loc} = \vec E + \vec P/3\varepsilon_0$이다.

로런츠 공동으로 국소장 구하기. 이웃들이 같은 방향으로 분극되어 있으므로 각 원자는 거시장보다 센 장을 느낀다 — 분극이 분극을 키우는 되먹임이다.

이제 $\vec P = N\alpha\vec E_{loc}$($N$은 단위 부피당 원자 수)에 로런츠 국소장을 넣고, $\vec P = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\vec E$와 비교하면 미시량 $\alpha$와 거시량 $\varepsilon_r$을 잇는 식이 나온다.

$$P = N\alpha\left(E + \frac{P}{3\varepsilon_0}\right) \;\Rightarrow\; \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r + 2} = \frac{N\alpha}{3\varepsilon_0} = \frac{1}{3\varepsilon_0}\sum_j N_j\alpha_j$$

클라우지우스–모소티 식(Clausius–Mossotti relation). 원자가 여러 종류면 $N_j\alpha_j$를 더한다. 광학 진동수에서 $\varepsilon_r = n^2$과 전자 분극률만 쓰면 로런츠–로렌츠 식 $(n^2-1)/(n^2+2) = N\alpha_e/3\varepsilon_0$이 된다(Solid.clausiusMossotti, Solid.polarizability).

국소장 보정이 없다면 $\varepsilon_r = 1 + N\alpha/\varepsilon_0$로 $N\alpha$에 정비례한다. 보정이 있으면 $N\alpha/3\varepsilon_0$이 1에 다가갈 때 $\varepsilon_r$이 발산한다 — 국소장이 분극을 키우고 그 분극이 다시 국소장을 키우는 폭주다. 이것이 §14.7 강유전체에서 "분극 파국"이라 부르는 현상의 한 그림이다. 반대로 $N$을 줄이면(구멍을 내면) $\varepsilon_r$이 떨어진다. 이것이 low-k 막의 원리다.

분자 분극률이 $\alpha/4\pi\varepsilon_0 =$ 5.32인 분자가 단위 부피당 2.21개 있으면 $N\alpha/3\varepsilon_0 =$ 이고, 클라우지우스–모소티 식은 $\varepsilon_r =$ 을 준다. 국소장 보정을 빼면 밖에 안 된다.

low-k: 밀도를 낮추고 극성을 줄인다

클라우지우스–모소티 식은 유전율을 낮추는 두 방법을 알려 준다. 첫째, 분극률이 작은 결합을 쓴다. Si–O 결합의 일부를 Si–CH₃나 Si–F로 바꾸면 이온 분극이 줄어든다(SiOF 3.6, SiCOH 2.7–3.0). 둘째, 단위 부피당 분자 수 $N$을 줄인다. 막에 나노 크기 구멍을 내면 구멍 부피만큼 $N$이 줄어든다. 공극률 $p$인 막은 고체 부분의 $(\varepsilon_s - 1)/(\varepsilon_s + 2)$에 $(1-p)$를 곱하면 된다(로런츠–로렌츠 혼합, 구멍은 $\varepsilon = 1$).

$$\frac{\varepsilon_{eff} - 1}{\varepsilon_{eff} + 2} = (1 - p)\,\frac{\varepsilon_s - 1}{\varepsilon_s + 2}$$

공극률 p

모재

MINI LAB과녁: k = 2.50 ± 0.02 만들기. 오른쪽 곡선 위의 흰 점을 끌거나 슬라이더로 공극률을 바꾼다. 실선은 클라우지우스–모소티(로런츠–로렌츠) 혼합, 점선은 단순 부피 평균 $\varepsilon = (1-p)\varepsilon_s + p$이다. 구멍이 많아질수록 막은 무르고(탄성률 $\propto(1-p)^2$ 근사) 플라스마·습기·구리가 스며들기 쉬워진다.

비정질 SiO₂(밀도 2.20 g/cm³, 몰질량 60.08 g/mol)의 정적 비유전율은 3.9이다. (a) SiO₂ 한 단위의 분극률 $\alpha/4\pi\varepsilon_0$(Å³)를 구하라. (b) 이 SiO₂에 구멍을 내어 k = 2.5를 만들려면 공극률이 얼마여야 하는가?

풀이 보기

전략 (a) 클라우지우스–모소티 식을 $\alpha$에 대해 푼다: $\alpha = (3\varepsilon_0/N)(\varepsilon_r-1)/(\varepsilon_r+2)$. (b) 혼합식에서 $1 - p = \dfrac{(k-1)/(k+2)}{(\varepsilon_s-1)/(\varepsilon_s+2)}$.

풀이 (a) $N = 2.20\times6.022\times10^{23}/60.08 = 2.205\times10^{22}$ cm⁻³ $= 2.205\times10^{28}$ m⁻³. $(\varepsilon_r - 1)/(\varepsilon_r + 2) = 2.9/5.9 = 0.4915$. $\alpha = 3(8.854\times10^{-12})(0.4915)/(2.205\times10^{28}) = 5.92\times10^{-40}$ C·m²/V, $\alpha/4\pi\varepsilon_0 = 5.32\times10^{-30}$ m³ = 5.32 Å³. (b) $(2.5-1)/(2.5+2) = 0.3333$, $1 - p = 0.3333/0.4915 = 0.678$, $p = 0.322$.

(a) α/4πε₀ = 5.32 Å³ (b) 공극률 약 32%

검토 단순 부피 평균으로는 32% 공극에서 k = 2.97밖에 안 내려간다고 잘못 예측한다. 국소장 효과가 $\varepsilon$을 $N$에 대해 초선형으로 만들기 때문에, 밀도를 줄이는 효과도 그만큼 크다. 실제 공정에서는 k = 3.0 SiCOH 모재에 17% 정도 구멍을 내어 2.5를 얻는다.

BEOL low-k와 RC 지연

배선 지연은 $RC \propto \rho\,\varepsilon_r L^2/(t\,s)$로, 배선 사이 절연막의 k값에 정비례한다. SiO₂(3.9)를 k = 2.5 다공성 SiCOH로 바꾸면 같은 배선에서 정전 용량(과 동적 전력 $CV^2f$)이 약 36% 줄어든다. 그러나 다공성 막은 CMP 압력에 깨지고, 식각·애싱 플라스마가 구멍 속 Si–CH₃를 떼어 내 친수성 Si–OH가 생기면 물(εr ≈ 80)이 흡착되어 k가 다시 올라간다(플라스마 손상). 그래서 손상층 복원, 구멍 밀봉, 그리고 아예 배선 사이를 비우는 에어갭(k → 1)이 함께 쓰인다. → ProcessBook · 금속 배선(RC 지연과 저유전막)

로런츠 진동자와 복소 유전 함수

전자 분극과 이온 분극의 진동수 의존은 하나의 모형으로 그릴 수 있다. 전하 $-e$, 질량 $m$인 입자가 용수철(복원 진동수 $\omega_0$)에 묶여 있고, 움직일 때 마찰(감쇠율 $\gamma$)을 받으며, 진동하는 국소장 $E e^{-i\omega t}$에 끌려 다닌다고 하자. 이것이 로런츠 진동자 모형(Lorentz oscillator model)이다. 전자에서는 $\hbar\omega_0$가 띠 간 전이 에너지(수 eV), 이온에서는 광학 포논 에너지(수십 meV)에 해당한다.

$$m\left(\ddot x + \gamma\dot x + \omega_0^2x\right) = -eEe^{-i\omega t} \;\Rightarrow\; x = \frac{-eE/m}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega}e^{-i\omega t}$$

변위는 복소수다. 크기는 진폭, 위상은 힘에 대한 지연을 뜻한다. $\omega \ll \omega_0$이면 변위가 힘을 그대로 따라가고(위상 0), $\omega = \omega_0$에서 90° 늦으며 진폭이 최대, $\omega \gg \omega_0$이면 180° 반대로 움직이며 진폭이 $1/\omega^2$로 줄어든다.

감쇠 γ/ω₀

MINI LAB오른쪽 그래프의 흰 점을 끌어 구동 진동수 $\omega/\omega_0$를 바꾼다. 왼쪽은 전하(●)가 용수철에 매달려 구동 전기장(화살표)에 끌리는 모습이다. 그림의 흔들림 속도는 보기 좋게 고정했고, 진폭과 위상 지연만 실제 비율을 따른다. 공명에서 전하가 힘보다 1/4주기 늦게 움직일 때 마찰로 에너지를 가장 많이 먹는다.

단위 부피당 $N$개의 진동자가 있으면 분극은 $P = -Nex$이고, $\varepsilon(\omega) = 1 + P/(\varepsilon_0E)$이다. 진동자가 여럿이면 기여를 더하고, 관심 진동수보다 훨씬 높은 공명들의 몫을 상수 $\varepsilon_\infty$로 묶는다.

$$\varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty + \sum_j\frac{S_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i\gamma_j\omega}, \qquad S_j = \frac{N_je^2}{\varepsilon_0m}f_j$$

$S_j$는 진동자 세기(진동수² 단위), $f_j$는 양자역학의 진동자 세기(전이 확률의 몫). $S_j/\omega_j^2$가 그 공명이 정적 유전율에 보태는 양 $\Delta\varepsilon_j$다(Solid.lorentz(w, [{w0, g, S}], einf)).

유전 함수는 복소수다: 복소 유전 함수(complex dielectric function) $\varepsilon(\omega) = \varepsilon'(\omega) + i\varepsilon''(\omega)$. 실수부 $\varepsilon'$은 전기장과 같은 위상으로 따라오는 분극(저장, 굴절), 허수부 $\varepsilon''$은 90° 늦은 분극(에너지 흡수)이다. 진동자 하나에 대해

$$\varepsilon' = \varepsilon_\infty + \frac{S(\omega_0^2 - \omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}, \qquad \varepsilon'' = \frac{S\gamma\omega}{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}$$

$\varepsilon''$은 $\omega_0$에서 높이 약 $S/\gamma\omega_0$, 폭 $\gamma$인 흡수 봉우리다. $\varepsilon'$은 공명 아래에서 진동수와 함께 커지다가(정상 분산), 공명 근처에서 급히 떨어져 음수까지 내려간 뒤(이상 분산) 높은 진동수에서 $\varepsilon_\infty$로 돌아온다.

진동수가 올라갈 때 굴절률이 커지는 보통의 경우를 정상 분산이라 한다(유리 프리즘에서 보라색이 더 꺾이는 이유: SiO₂의 전자 공명이 약 10 eV에 있고, 가시광은 그 아래 꼬리에 있다). 흡수 봉우리 안에서는 반대로 진동수가 오를수록 $\varepsilon'$이 줄어드는데, 이것이 이상 분산(anomalous dispersion)이다. 아래 실험대에서 진동자 하나를 직접 빚어 보자.

SIMULATOR

로런츠 진동자 실험대: 반사율 90% 띠를 과녁에 맞혀라

위: 봉우리 흰 원(ω₀·세기) · 아래: 탐침 흰 원

공명 ħω₀ 세기 S 감쇠 ħγ

배경 ε∞

탐침 ħω—

ε′, ε″—

n, κ—

반사율 R—

흡수 계수 α—

정적 ε(0)—

과녁—

세 그래프는 위에서부터 $\varepsilon', \varepsilon''$ / 굴절률 $n$과 소광 계수 $\kappa$ / 수직 입사 반사율 $R$이다(가로축 광자 에너지 eV, 세기 S는 eV²). 노란 띠가 과녁 구간이다. 해볼 것: ① 감쇠를 줄이고 세기를 키우면 $\varepsilon' < 0$인 구간이 생긴다. 그 구간에서 $n \approx 0$, $\kappa$가 커져 빛이 들어가지 못하고 거의 다 반사된다. 과녁 구간 전체에서 R ≥ 90%를 만들어라. ② $\varepsilon'$이 0을 다시 지나는 진동수 $\omega_L = \sqrt{\omega_0^2 + S/\varepsilon_\infty}$가 반사 띠의 윗끝이다(§14.4의 LO 진동수). ③ 정적 유전율 $\varepsilon(0) = \varepsilon_\infty + S/\omega_0^2$: 흡수가 낮은 진동수에 있을수록 정적 유전율에 크게 보탠다.

크라머스–크로니히 관계

시뮬레이터에서 $\varepsilon''$의 봉우리를 옮기면 $\varepsilon'$의 모양도 따라 움직인다. 우연이 아니다. 분극은 원인(전기장)보다 먼저 생길 수 없다는 인과율만으로 $\varepsilon'$과 $\varepsilon''$은 서로를 결정한다. 이것이 크라머스–크로니히 관계(Kramers–Kronig relations)다.

$$\varepsilon'(\omega) - 1 = \frac{2}{\pi}\,\mathcal{P}\!\!\int_0^\infty\frac{\omega'\varepsilon''(\omega')}{\omega'^2 - \omega^2}\,d\omega', \qquad \varepsilon(0) - 1 = \frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{\varepsilon''(\omega')}{\omega'}\,d\omega'$$

$\mathcal P$는 주값 적분. 둘째 식(정적 극한)은 "정적 유전율은 모든 진동수의 흡수를 $1/\omega'$로 가중해 더한 것"이라는 뜻이다. 흡수가 낮은 진동수(적외선의 이온 공명)에 있을수록 정적 유전율에 크게 보태므로, HfO₂ 같은 high-k 재료는 강한 적외선 흡수를 가진다. 실무에서는 넓은 대역의 반사율 $R(\omega)$만 재고 위상을 크라머스–크로니히 적분으로 되살려 $n, \kappa$를 얻는다.

어떤 물질이 가시광과 적외선을 전혀 흡수하지 않고 자외선 10 eV 근처에서만 흡수한다. 이 물질의 정적 유전율에 대해 옳은 것은?

정적 극한의 크라머스–크로니히 식에서 $\varepsilon''$이 10 eV 근처에만 있으면 $\varepsilon(0) - 1$은 그 봉우리 하나의 몫이고, 가시광의 $n^2 - 1$도 같은 봉우리의 꼬리다. 다이아몬드($\varepsilon_s = 5.7$, $n^2 = 5.8$)가 그런 예다.

굴절률·흡수·반사와 이온 결정의 잔류선

비자성 물질 속 전자기파의 파수는 $k = \tilde n\omega/c$이고, 복소 굴절률은 $\tilde n = \sqrt{\varepsilon}$이다. 복소 굴절률(complex refractive index) $\tilde n = n + i\kappa$의 실수부 $n$은 위상 속도 $c/n$을, 허수부 $\kappa$(소광 계수(extinction coefficient))는 감쇠를 정한다.

$$\tilde n^2 = \varepsilon: \quad \varepsilon' = n^2 - \kappa^2, \quad \varepsilon'' = 2n\kappa; \qquad n = \sqrt{\tfrac{|\varepsilon| + \varepsilon'}{2}}, \quad \kappa = \sqrt{\tfrac{|\varepsilon| - \varepsilon'}{2}}$$

Solid.nk(eps)가 이 변환을 한다. 흡수가 약하면($\varepsilon'' \ll \varepsilon'$) $n \approx \sqrt{\varepsilon'}$, $\kappa \approx \varepsilon''/2n$.

진행파 $E \propto e^{i(\tilde n\omega z/c - \omega t)} = e^{i(n\omega z/c - \omega t)}e^{-\kappa\omega z/c}$의 세기($|E|^2$)는 $e^{-2\kappa\omega z/c}$로 줄어든다. 세기가 $1/e$로 줄어드는 거리의 역수가 흡수 계수(absorption coefficient)다. 공기에서 수직으로 들어오는 빛이 표면에서 반사되는 비율 반사율(reflectance)은 경계 조건에서 나온다.

$$I(z) = I_0e^{-\alpha z}, \qquad \alpha = \frac{2\omega\kappa}{c} = \frac{4\pi\kappa}{\lambda}; \qquad R = \left|\frac{\tilde n - 1}{\tilde n + 1}\right|^2 = \frac{(n-1)^2 + \kappa^2}{(n+1)^2 + \kappa^2}$$

$\lambda$는 진공 파장. 흡수 깊이 $\delta = 1/\alpha$. 투명한 유리($n = 1.5$)는 $R = 4\%$, 실리콘($n \approx 3.9$)은 약 35%를 반사한다. $\kappa \gg n$이면 $R \to 1$(금속 거울).

파장 633에서 굴절률 3.88, 소광 계수 0.019인 물질은 $\varepsilon = $ 이고, 흡수 계수 $\alpha =$ (흡수 깊이 ), 수직 입사 반사율 $R =$ 이다.

He–Ne 레이저 파장 633 nm에서 결정 실리콘의 복소 굴절률은 $\tilde n = 3.88 + 0.019i$이다. (a) $\varepsilon'$, $\varepsilon''$ (b) 흡수 계수와 흡수 깊이 (c) 수직 입사 반사율을 구하라.

풀이 보기

전략 $\varepsilon' = n^2 - \kappa^2$, $\varepsilon'' = 2n\kappa$, $\alpha = 4\pi\kappa/\lambda$, $R = ((n-1)^2+\kappa^2)/((n+1)^2+\kappa^2)$.

풀이 (a) $\varepsilon' = 15.054 - 0.0004 = 15.05$, $\varepsilon'' = 2(3.88)(0.019) = 0.147$. (b) $\alpha = 4\pi(0.019)/(633\times10^{-7}\ \text{cm}) = 3.77\times10^3$ cm⁻¹, $\delta = 1/\alpha = 2.65\ \mu$m. (c) $R = (2.88^2 + 0.019^2)/(4.88^2 + 0.019^2) = 8.295/23.81 = 0.348$.

(a) ε′ = 15.05, ε″ = 0.147 (b) α = 3.77 × 10³ cm⁻¹, δ = 2.65 µm (c) R = 34.8%

검토 $\kappa$는 $n$의 0.5%밖에 안 되지만, 파장 0.633 µm의 4배 거리에서 빛이 $1/e$로 준다. 반사율은 거의 $n$만으로 정해진다. 실리콘 표면이 회색 금속처럼 번쩍이는 것은 흡수가 아니라 큰 $n$ 때문이다 — 태양 전지와 이미지 센서가 반사 방지막을 씌우는 이유다.

분광 타원 계측: n, κ로 박막 두께 재기

공정 라인의 박막 두께 계측기는 대부분 분광 타원 계측(spectroscopic ellipsometry)이나 분광 반사계다. 비스듬히 들어간 편광 빛이 반사될 때 p·s 편광의 진폭비 $\tan\Psi$와 위상차 $\Delta$는 막과 기판의 $\tilde n(\lambda)$, 막 두께에 따라 달라진다. 측정 스펙트럼을 로런츠 진동자(또는 그 변형인 타우–로런츠, 코디–로런츠) 모형의 $\varepsilon(\omega)$로 맞추면 두께가 Å 단위로, 광학 상수가 함께 나온다. 모형이 크라머스–크로니히 관계를 만족해야 맞춤 값이 물리적으로 의미가 있다. 반사 스펙트럼의 간섭 무늬로 막 두께를 맞히는 원리는 ProcessBook · 계측·결함·수율과 OpticsBook · 박막 광학과 TMM에서 직접 해 볼 수 있다.

이온 결정: TO·LO 포논과 리댄–삭스–텔러 관계

NaCl이나 GaAs 같은 극성 결정에서는 양이온과 음이온이 서로 반대로 움직이는 광학 포논(5장)이 진동 쌍극자를 만든다. 전자기파는 횡파라서 횡 광학(TO) 포논과 결합하고, 그 진동수 $\omega_{TO}$에서 로런츠 공명이 일어난다. 이온 기여 위쪽의 전자 분극은 $\varepsilon_\infty$로 묶으면

$$\varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty + \frac{(\varepsilon_s - \varepsilon_\infty)\,\omega_{TO}^2}{\omega_{TO}^2 - \omega^2 - i\gamma\omega}$$

$\varepsilon_s$는 정적 유전율(이온 분극 포함), $\varepsilon_\infty$는 고주파(광학) 유전율. 감쇠를 무시하면 $\varepsilon$은 $\omega_{TO}$에서 발산하고, 그 위 어떤 진동수에서 0을 지난다.

$\varepsilon(\omega_L) = 0$인 진동수는 특별하다. $\vec D = \varepsilon\varepsilon_0\vec E = 0$이어도 $\vec E \ne 0$일 수 있으므로, 자유 전하 없이 스스로 유지되는 종파 분극 진동이 가능하다. 이것이 종 광학(LO) 포논이다. 위 식에 $\varepsilon(\omega_{LO}) = 0$을 넣으면 리댄–삭스–텔러 관계(Lyddane–Sachs–Teller relation)가 나온다.

$$\frac{\omega_{LO}^2}{\omega_{TO}^2} = \frac{\varepsilon_s}{\varepsilon_\infty}$$

LO 포논은 이온 변위가 만드는 분극 전하의 복원력이 더해져 TO보다 진동수가 높다. Si·Ge·다이아몬드처럼 같은 원자만 있는 공유 결정은 진동 쌍극자가 없어 $\omega_{LO} = \omega_{TO}$, $\varepsilon_s = \varepsilon_\infty$이다.

$\omega_{TO} < \omega < \omega_{LO}$에서는 $\varepsilon < 0$이어서 빛이 결정 안으로 전파하지 못하고 거의 다 반사된다. 이 강한 반사 띠를 잔류선 띠(reststrahlen band)라 한다. 독일어 "남은 빛"은 결정 표면에서 여러 번 반사시키면 이 띠의 적외선만 남는다는 데서 붙은 이름이다. 아래에서 TO·LO 진동수를 끌어 보자.

결정

MINI LAB가로축은 파수(cm⁻¹, 1 cm⁻¹ = 0.124 meV = 30 GHz). 흰 원 두 개(TO, LO)를 좌우로 끌면 리댄–삭스–텔러 관계로 정적 유전율이 계산되고, 그 사이에 잔류선 띠(R ≈ 1)가 생긴다. 결정을 고르면 실측 TO·LO와 실측 $\varepsilon_s$로 되돌아간다. Si를 골라 LO와 TO를 겹쳐 보라 — 띠가 사라진다.

GaAs의 TO 포논은 268 cm⁻¹(8.03 THz)이고, $\varepsilon_s = 12.9$, $\varepsilon_\infty = 10.9$이다. (a) LST 관계로 LO 포논 파수를 구하라. (b) 잔류선 띠의 진공 파장 범위(µm)는?

풀이 보기

전략 $\omega_{LO} = \omega_{TO}\sqrt{\varepsilon_s/\varepsilon_\infty}$. 파장(µm) $= 10^4/\tilde\nu$(cm⁻¹).

풀이 (a) $\tilde\nu_{LO} = 268\sqrt{12.9/10.9} = 268\times1.0879 = 291.6$ cm⁻¹ (8.74 THz). (b) $\lambda = 10^4/291.6 = 34.3\ \mu$m ~ $10^4/268 = 37.3\ \mu$m.

(a) 292 cm⁻¹ (b) 약 34.3–37.3 µm

검토 라만 분광으로 잰 GaAs의 LO는 292 cm⁻¹로 잘 맞는다. GaAs는 이온성이 약해 TO·LO 차이가 9%뿐이지만, NaCl은 60%(164 → 264 cm⁻¹)나 된다. 반도체 계면에서 LO 포논은 전자를 강하게 산란하는 극성 광학 포논 산란의 주인공이다.

금속의 드루드 유전 함수와 플라스마 진동수

금속의 전도 전자는 용수철에 묶여 있지 않다. 로런츠 모형에서 $\omega_0 = 0$으로 두고 감쇠율을 7장 드루드 모형의 충돌률 $\gamma = 1/\tau$로 놓으면 된다. 이것이 드루드 유전 함수(Drude dielectric function)다.

$$\varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 + i\gamma\omega}, \qquad \omega_p^2 = \frac{ne^2}{\varepsilon_0m^*}$$

$\omega_p$는 플라스마 진동수(plasma frequency), $\varepsilon_\infty$는 이온 코어·속 전자(띠 간 전이)의 배경 분극. $\omega \ll \gamma$이면 $\varepsilon'' \approx \omega_p^2/\gamma\omega = \sigma_0/\varepsilon_0\omega$로 직류 전도도 $\sigma_0 = ne^2\tau/m$이 그대로 나온다(Solid.drudeEps, Solid.plasmaE).

$\omega_p$는 전자 기체 전체가 이온 배경에 대해 출렁이는 집단 진동의 진동수이기도 하다. 전자들이 $x$만큼 밀리면 표면에 전하 $\pm nex$가 생겨 장 $nex/\varepsilon_0$이 전자를 되돌리고, 운동 방정식 $m\ddot x = -ne^2x/\varepsilon_0$은 진동수 $\omega_p$의 진동을 준다. 이 진동의 양자를 플라스몬(plasmon)이라 하며, 얇은 금속박을 지나는 전자의 에너지 손실 분광(EELS)에서 $\hbar\omega_p$ 간격의 손실 봉우리로 보인다.

감쇠가 작으면($\gamma \ll \omega$) $\varepsilon \approx \varepsilon_\infty(1 - \omega_p^{*2}/\omega^2)$, $\omega_p^* = \omega_p/\sqrt{\varepsilon_\infty}$이다. $\omega < \omega_p^*$이면 $\varepsilon < 0$, $\tilde n$이 순허수가 되어 빛이 들어가지 못하고 다 반사된다. $\omega > \omega_p^*$이면 $\varepsilon > 0$으로 금속이 투명해진다. 알칼리 금속이 자외선에 투명해지는 현상(우드, 1933)이 이것이다.

자유 전자 밀도가 $n = 10^x$ m⁻³, $x =$ 28.93(곧 $n =$ ), 유효 질량 1.00, 배경 유전율 1.0이면 플라스마 에너지는 $\hbar\omega_p =$ , 가려진 반사 끝은 $\hbar\omega_p^* =$ (파장 )이다. 이보다 긴 파장은 반사되고 짧은 파장은 투과한다.

자유 전자 모형으로 구리의 $\hbar\omega_p$는 10.8 eV(파장 115 nm, 자외선)다. 이 값만 보면 구리는 가시광 전체를 거의 똑같이 반사해 은처럼 하얗게 보여야 한다. 실제 구리는 붉은 금빛이다. 왜일까?

구리의 3d 띠 꼭대기는 $E_F$ 아래 약 2 eV에 있어, 2.1 eV(590 nm)보다 큰 광자는 d 전자를 4s 전도대의 빈 상태로 들뜨게 하며 흡수된다. 그래서 반사율이 주황 근처에서 꺾이고 붉은색만 강하게 반사된다. 금(약 2.4 eV)도 같은 이유로 노랗고, d 띠가 4 eV 아래에 있는 은은 가시광 전체를 반사해 하얗다. 시뮬레이터에서 "Cu(띠 간)"을 골라 확인하라.

SIMULATOR

드루드 금속의 반사: 플라스마 끝을 끌어 투명 전극을 만들어라

흰 원(반사 끝 ħωp*)을 좌우로 끈다

물질 감쇠 ħγ 배경 ε∞

ħω_p—

반사 끝 ħω_p*—

끝 파장—

R(550 nm)—

반사색—

과제—

가로축은 광자 에너지(로그 눈금), 무지개 띠가 가시광(1.65–3.1 eV)이다. 위 그래프는 반사율, 아래는 $\varepsilon'$(실선)과 $\varepsilon''$(점선)이다. 해볼 것: ① Na·Al·Cu(자유 전자)에서 $\varepsilon'$이 0을 지나는 곳이 반사율 절벽이다. Al은 15.8 eV까지 반사해 자외선 거울로 쓰인다. ② "Cu(띠 간 전이 포함)"을 고르면 2 eV 위에서 반사율이 떨어지고 반사색이 붉어진다. ③ "투명 전극 과제": 가시광 평균 반사율 < 10%이면서 0.3 eV(파장 4 µm) 적외선 반사율 > 80%가 되게 반사 끝을 옮겨라 — ITO가 창문 단열 코팅과 디스플레이 전극을 겸하는 이유다.

(a) 구리($n = 8.47\times10^{28}$ m⁻³, $m^* = m_e$, $\varepsilon_\infty = 1$)의 $\hbar\omega_p$와 해당 파장을 구하라. (b) 인을 $10^{20}$ cm⁻³ 도핑한 n⁺ 실리콘($m^* = 0.26m_e$, $\varepsilon_\infty = 11.7$)의 가려진 플라스마 에너지 $\hbar\omega_p^*$와 파장은?

풀이 보기

전략 $\hbar\omega_p^* = \hbar\sqrt{ne^2/(\varepsilon_\infty\varepsilon_0m^*)}$, $\lambda = 1239.84/(\hbar\omega\ \text{eV})$ nm.

풀이 (a) $\omega_p = \sqrt{(8.47\times10^{28})(1.602\times10^{-19})^2/(8.854\times10^{-12}\times9.109\times10^{-31})} = 1.642\times10^{16}$ s⁻¹, $\hbar\omega_p = 1.732\times10^{-18}$ J = 10.8 eV, $\lambda_p = 115$ nm. (b) $n = 10^{26}$ m⁻³: $\omega_p^* = \sqrt{10^{26}(1.602\times10^{-19})^2/(11.7\times8.854\times10^{-12}\times0.26\times9.109\times10^{-31})} = 3.23\times10^{14}$ s⁻¹, $\hbar\omega_p^* = 0.213$ eV, $\lambda = 5.82\ \mu$m.

(a) 10.8 eV, 115 nm (b) 0.213 eV, 5.8 µm

검토 전자 밀도가 85만 배 작고 배경 가림이 커서 n⁺ Si의 반사 끝은 중적외선으로 내려온다. 도핑 농도가 높은 소스·드레인이나 웨이퍼는 적외선을 반사·흡수(자유 캐리어 흡수)하므로, 적외선 투과로 도핑을 재거나 레이저 어닐의 흡수를 계산할 때 이 효과를 넣어야 한다.

반도체의 흡수 끝과 엑시톤

반도체에서 가장 중요한 흡수는 가전자대의 전자가 광자를 먹고 전도대로 뛰는 띠 간 전이다. 현대물리 13장에서는 흡수 계수와 침투 깊이가 무엇인지 보았다. 여기서는 흡수 끝의 모양이 왜 물질마다 다른지를 띠 구조(8장)에서 끌어낸다.

직접 전이: 결합 상태 밀도

광자의 운동량 $\hbar\cdot2\pi/\lambda$는 브릴루앙 영역 크기 $\hbar\cdot2\pi/a$의 1/1000 이하라서, 광자만 흡수하는 전이는 $E$–$k$ 그림에서 수직($\vec k$ 보존)이다. GaAs처럼 가전자대 꼭대기와 전도대 바닥이 같은 $\vec k$(Γ)에 있는 직접 띠 간격 반도체에서는 $\hbar\omega = E_g + \hbar^2k^2/2\mu$($\mu$는 전자·정공의 환산 질량)인 상태 쌍이 모두 흡수에 참여한다. 그런 쌍의 수, 곧 결합 상태 밀도(joint density of states)는 3차원에서 $\sqrt{\hbar\omega - E_g}$에 비례한다.

$$\alpha_{dir}(\hbar\omega) \approx A^*\sqrt{\hbar\omega - E_g} \qquad (\hbar\omega > E_g)$$

$A^* \propto \mu^{3/2}|p_{cv}|^2$. GaAs에서 $A^* \approx 4\times10^4$ cm⁻¹·eV⁻¹ᐟ²로, 띠 간격보다 0.1 eV 위에서 이미 $\alpha \approx 10^4$ cm⁻¹이다. 실험에서는 $\alpha^2$을 $\hbar\omega$에 대해 그려(타우크 그림) 직선을 외삽해 $E_g$를 읽는다.

간접 전이: 포논의 도움

Si·Ge는 전도대 바닥이 브릴루앙 영역 가장자리 근처(Si는 X 방향 85% 지점, Ge는 L점)에 있다. 띠 간격 $E_g$만큼의 광자로 전자를 전도대 바닥에 보내려면 결정 운동량 $\hbar\Delta k$를 누군가 대 주어야 하는데, 그 역할을 포논이 한다. 포논을 흡수($+E_{ph}$)하거나 방출($-E_{ph}$)하는 두 경로가 있다.

실리콘의 가전자대 꼭대기는 Γ, 전도대 바닥은 X 방향에 있다. Γ에서 수직으로 전도대에 가려면 3.4 eV가 필요하다.
띠 간격(1.12 eV) 근처의 광자는 $k$를 바꾸지 못하므로, 전자를 에너지만 맞는 "가상 상태"로 보낸다.
같은 순간 포논 하나가 흡수되거나 방출되며 결정 운동량 $\hbar\Delta k$를 맞춘다. 광자·포논 두 입자가 함께 관여하는 2차 과정이라 확률이 작다.
포논을 흡수하면 $E_g - E_{ph}$부터, 방출하면 $E_g + E_{ph}$부터 흡수가 시작된다. 흡수 경로는 포논이 있어야 하므로 보스–아인슈타인 점유수 $n_{ph}$에 비례해 저온에서 사라진다.

간접 띠 간격 반도체의 포논 보조 흡수(phonon-assisted absorption). 시작 상태와 끝 상태가 모두 $\sqrt{E}$ 상태 밀도를 가지고 $\vec k$ 제약이 없으므로, 둘을 합성곱하면 흡수 끝이 제곱 꼴이 된다.

$$\alpha_{ind}(\hbar\omega) = B\left[\frac{(\hbar\omega - E_g + E_{ph})^2}{e^{E_{ph}/k_BT} - 1} + \frac{(\hbar\omega - E_g - E_{ph})^2}{1 - e^{-E_{ph}/k_BT}}\right]$$

각 항은 괄호 안이 양수일 때만 더한다. 앞 항이 포논 흡수($\propto n_{ph}$), 뒤 항이 포논 방출($\propto n_{ph}+1$). Si에서 주로 관여하는 포논은 TO(58 meV)와 TA(18 meV)다. $\sqrt\alpha$를 그리면 두 직선 구간이 나오고, 두 절편의 가운데가 $E_g$, 간격의 절반이 $E_{ph}$다.

SIMULATOR

흡수 끝 실험대: 목표 흡수 깊이를 주는 광자를 찾아라

흰 원을 좌우로 끌어 광자 에너지를 바꾼다

반도체

세로축

온도 T 엑시톤 효과(GaAs, 엘리엇 식)

광자—

흡수 계수 α—

흡수 깊이 1/α—

E_g(T)—

목표—

곡선은 위 식의 단순 모형이다(Si: $E_{ph}$ = 58 meV 하나, Ge: LA 27.6 meV 간접 + 0.80 eV 직접, GaAs: 직접). Si의 점은 Green(2008)의 300 K 실측 대표값으로, 모형은 띠 끝 0.2 eV 안에서만 잘 맞는다. 해볼 것: ① Si를 10 K로 식히면 포논 흡수 경로가 사라져 흡수 끝이 $E_g + E_{ph}$로 밀린다. √α 그림에서 두 직선 구간을 찾아보라. ② Ge는 0.66 eV 간접 끝 위 0.80 eV에서 직접 전이가 열려 α가 100배 뛴다 — 1550 nm 광통신 검출기에 Ge를 쓰는 이유다. ③ GaAs를 저온에서 엑시톤 효과와 함께 보면 띠 간격 바로 아래에 날카로운 봉우리가 선다.

파장 λ

MINI LAB실리콘 속 빛의 세기 $I(z)/I_0 = e^{-\alpha z}$(왼쪽 단면, 색은 파장색)와 청·녹·적·근적외 네 파장의 감쇠 곡선(오른쪽). 오른쪽 그래프의 흰 원을 끌어 흡수층 두께 $d$를 바꾸면 각 파장이 그 안에서 흡수되는 비율 $1 - e^{-\alpha d}$가 나온다. 흡수 계수는 Green(2008)의 300 K 대표값을 로그 보간한 근사다(400 nm 9.5×10⁴, 500 nm 1.1×10⁴, 600 nm 4.1×10³, 800 nm 850, 1000 nm 64 cm⁻¹).

후면 조사(BSI) 이미지 센서의 실리콘 흡수층이 3.0 µm이다. 반사를 무시할 때 450 nm(α = 2.55×10⁴ cm⁻¹), 550 nm(6.39×10³), 650 nm(2.81×10³), 850 nm(535 cm⁻¹) 빛이 이 층에서 흡수되는 비율을 구하라.

풀이 보기

전략 흡수 비율 $= 1 - e^{-\alpha d}$, $d = 3.0\times10^{-4}$ cm.

풀이 450 nm: $\alpha d = 7.65$ → 99.95%. 550 nm: $\alpha d = 1.917$ → 85.3%. 650 nm: $\alpha d = 0.843$ → 57.0%. 850 nm: $\alpha d = 0.161$ → 14.8%.

450 nm 99.95%, 550 nm 85.3%, 650 nm 57.0%, 850 nm 14.8%

검토 청색은 표면 0.4 µm 안에서 거의 다 흡수되어 표면 재결합과 결함에 민감하고, 적색·근적외선은 3 µm로는 모자란다. 근적외 감도(얼굴 인식, 차량용)를 위해 흡수층을 6 µm 이상으로 두껍게 하거나, 표면에 피라미드·회절 구조를 새겨 빛을 비스듬히 가두는 이유다. 두꺼운 층에서는 빛이 옆 화소로 번지는 광학 크로스토크가 문제가 되어 깊은 트렌치 격리(DTI)를 판다.

이미지 센서와 실리콘 흡수 깊이

컬러 필터를 통과한 청·녹·적 광자는 실리콘 속 서로 다른 깊이에서 전자–정공 쌍을 만든다(흡수 깊이 약 0.4·1.6·3.6 µm). 핀드 포토다이오드의 공핍 영역이 이 깊이를 덮어야 양자 효율이 높고, 표면 근처에서 생긴 청색 신호를 잃지 않으려면 표면 패시베이션이 중요하다. 흡수 계수의 강한 파장 의존은 위아래로 쌓은 적층형 컬러 센서(포베온)의 원리이기도 하다. 반사 방지막의 두께와 굴절률도 이 장의 $\tilde n$으로 설계한다. → SensorBook · 광전 변환과 포토다이오드 · OpticsBook · 박막 광학과 TMM

엑시톤

지금까지는 전도대로 올라간 전자와 남은 정공이 서로 모른다고 가정했다. 실제로 둘은 쿨롱 힘으로 끌어당긴다. 결정 속에서 쿨롱 힘은 $\varepsilon_r$만큼 약해지고 질량은 유효 질량이므로, 전자–정공 쌍은 수소 원자를 축소·확대한 결합 상태를 만든다. 이것이 엑시톤(exciton)이다. 10장의 얕은 도너와 같은 계산에서 $m^*$를 환산 질량 $\mu = (1/m_e^* + 1/m_h^*)^{-1}$로 바꾸면 된다.

$$E_n = E_g - \frac{E_b}{n^2}, \qquad E_b = \frac{\mu/m_e}{\varepsilon_r^2}\times13.6\ \text{eV}, \qquad a_X = \frac{\varepsilon_r}{\mu/m_e}\,a_0$$

$E_b$는 엑시톤 결합 에너지(exciton binding energy), $a_X$는 엑시톤 보어 반지름(Solid.exciton(mu, er)). 흡수 스펙트럼에서는 $E_g$ 아래에 수소 계열 봉우리가 서고, $E_g$ 위 연속 흡수도 쿨롱 끌림 때문에 커진다(엘리엇 식, 조머펠트 인자).

전자 유효 질량 0.067, 정공 유효 질량 0.50, 비유전율 12.9이면 환산 질량 $\mu =$ , 엑시톤 결합 에너지 $E_b =$ , 반지름 $a_X =$ 이다. 실온 열에너지 $k_BT = 25.9$ meV와 비교하면 .

GaAs의 엑시톤은 약 4–5 meV(실측 4.2 meV)로 실온 $k_BT$의 1/6이라 쉽게 깨지고, 저온 흡수 스펙트럼에서만 뚜렷하다. 띠 간격이 크고 $\varepsilon_r$이 작은 GaN(약 25 meV)·ZnO(60 meV)는 실온에서도 엑시톤이 살아남는다. 단층 MoS₂·WS₂ 같은 2차원 반도체에서는 두 효과가 겹친다. 2차원 수소 모형의 결합 에너지는 3차원의 4배이고, 막 밖은 진공(εr = 1)이라 전기력선이 막 밖으로 새어 나가 가림이 약하다. 그래서 결합 에너지가 수백 meV(단층 WS₂ 약 0.3 eV)에 이르러, 실온에서도 광학 성질을 엑시톤이 지배한다.

GaAs의 $m_e^* = 0.067m_e$, 무거운 정공 $m_h^* = 0.50m_e$, $\varepsilon_r = 12.9$이다. 수소 모형으로 (a) 엑시톤 결합 에너지 (b) 보어 반지름을 구하고, (c) 결합 에너지가 $k_BT$와 같아지는 온도를 구하라.

풀이 보기

전략 $\mu = m_e^*m_h^*/(m_e^* + m_h^*)$, $E_b = 13.606\ \text{eV}\times\mu/\varepsilon_r^2$, $a_X = 0.0529\ \text{nm}\times\varepsilon_r/\mu$.

풀이 $\mu = 0.067\times0.50/0.567 = 0.0591$. (a) $E_b = 13606\ \text{meV}\times0.0591/166.4 = 4.83$ meV. (b) $a_X = 0.0529\times12.9/0.0591 = 11.6$ nm. (c) $T = E_b/k_B = 4.83\times10^{-3}/8.617\times10^{-5} = 56$ K.

(a) 4.8 meV (b) 11.6 nm (c) 약 56 K

검토 반지름이 격자 상수(0.565 nm)의 20배이므로 연속체(유효 질량·εr) 근사가 정당하다. 실측 4.2 meV와의 차이는 가전자대 비등방성과 εr의 진동수 의존 때문이다. 10 nm보다 얇은 양자 우물에 가두면 엑시톤이 납작해져 결합 에너지가 2배 이상 커진다(16장).

강유전체와 HfO₂

보통 유전체는 전기장을 끄면 분극이 0으로 돌아간다. 그런데 어떤 결정은 전기장 없이도 분극을 가진다. 이것을 자발 분극(spontaneous polarization)이라 하고, 그 방향을 외부 전기장으로 뒤집을 수 있는 물질을 강유전체(ferroelectric)라 한다. 철(ferro)과 관계없이 강자성체(15장)의 자화와 닮았다는 뜻의 이름이다. 페로브스카이트 BaTiO₃에서는 산소 팔면체 가운데의 Ti⁴⁺ 이온이 한쪽으로 약 0.01 nm 비켜 앉아 셀마다 쌍극자가 생긴다. 높은 온도에서는 이 비켜 앉음이 사라진 상유전체(paraelectric) 상이 되며, 그 전이 온도가 퀴리 온도 $T_c$(BaTiO₃ 약 120 °C)다.

왜 이온이 스스로 비켜 앉을까? 앞 절의 클라우지우스–모소티 식에서 $N\alpha/3\varepsilon_0 \to 1$이면 유전율이 발산했다. 한 이온의 변위가 만든 분극이 국소장을 통해 이웃의 변위를 부르고, 그 힘이 짧은 거리의 복원력을 이기면 대칭적인 자리가 불안정해진다. 격자 동역학으로 보면 TO 포논의 진동수가 0으로 내려가는 무른 모드(soft mode)이고, LST 관계 $\varepsilon_s = \varepsilon_\infty\omega_{LO}^2/\omega_{TO}^2$에서 $\omega_{TO} \to 0$이면 $\varepsilon_s \to \infty$이다.

란다우 자유 에너지

미시 기구를 몰라도 상전이는 대칭만으로 다룰 수 있다. 란다우 이론(Landau theory)은 자유 에너지를 질서 변수 $P$의 거듭제곱으로 전개한다. $P$와 $-P$는 대칭이므로 짝수 차수만 남는다.

$$F(P, T) = F_0 + \tfrac12\alpha_0(T - T_c)P^2 + \tfrac14\beta P^4 + \tfrac16\gamma P^6 - EP$$

$\alpha_0, \beta > 0$, $\gamma = 0$이면 연속(2차) 전이, $\beta < 0, \gamma > 0$이면 불연속(1차) 전이(BaTiO₃). 평형 분극은 $\partial F/\partial P = 0$인 최소점이다(Solid.landauF).

2차 전이($\gamma = 0$)에서 $E = 0$이면 $T > T_c$일 때 최소점은 $P = 0$ 하나다. $T < T_c$이면 $P^2$ 계수가 음수가 되어 $P = 0$이 언덕 꼭대기로 바뀌고, 양쪽에 두 골짜기가 생긴다.

$$P_s = \sqrt{\frac{\alpha_0(T_c - T)}{\beta}} \quad (T < T_c), \qquad \frac{1}{\chi} = \varepsilon_0\frac{\partial^2F}{\partial P^2} = \begin{cases}\varepsilon_0\alpha_0(T - T_c) & T > T_c \\ 2\varepsilon_0\alpha_0(T_c - T) & T < T_c\end{cases}$$

$T_c$ 위의 감수율 $\chi = C/(T - T_c)$, $C = 1/\varepsilon_0\alpha_0$이 퀴리–바이스 법칙(Curie–Weiss law)이다. 전이점에서 유전율이 발산하므로 BaTiO₃는 $T_c$ 근처에서 εr이 10⁴에 이르러 적층 세라믹 축전기(MLCC)에 쓰인다.

전이의 종류

MINI LAB오른쪽 그래프의 흰 원을 좌우로 끌어 온도 $T/T_c$를 바꾼다. 왼쪽은 $F(P)$, 오른쪽은 자발 분극 $P_s(T)$(실선)와 역감수율 $1/\chi$(점선)다. 2차 전이에서는 $P_s$가 $\sqrt{T_c - T}$로 연속해서 0이 되고, 1차 전이에서는 $T_c$보다 조금 높은 온도에서 $P_s$가 뚝 끊긴다. 1차 전이에서 $T_c$ 근처의 $F(P)$를 보면 골짜기 세 개가 동시에 있다.

P–E 히스테리시스와 항전기장

$T < T_c$에서 전기장 $E$를 걸면 $F$에 $-EP$가 더해져 퍼텐셜이 기울어진다. 분극이 $-P_s$ 골짜기에 있을 때 양의 전기장을 조금 걸면 골짜기가 얕아질 뿐 분극은 그대로 머문다. 기울기가 충분히 커서 $-P_s$ 쪽 골짜기가 아예 사라지는 순간 분극이 $+P$ 쪽으로 굴러떨어진다. 그 전기장이 항전기장(coercive field) $E_c$이고, 전기장을 0으로 되돌려도 남는 분극이 잔류 분극(remanent polarization) $P_r$이다. 전기장을 왕복시키면 분극이 닫힌 고리를 그리는 히스테리시스(hysteresis)가 나타난다.

$$E(P) = \alpha_0(T - T_c)P + \beta P^3, \qquad E_c = \frac{2}{3\sqrt3}\,\alpha_0(T_c - T)P_s \quad (\text{기울기 } dE/dP = 0\text{인 곳})$$

이것은 결정 전체가 한꺼번에 뒤집힌다고 본 "고유" 항전기장이다. 실제 결정은 결함이나 전극 근처에서 반대 방향 자구가 먼저 생겨 벽이 움직이며 뒤집히므로, 실측 $E_c$는 고유값보다 10–100배 작다(BaTiO₃ 수 kV/cm).

강유전체 축전기에 $+E$를 걸어 분극을 $+P_s$로 만든 뒤 전기장을 0으로 되돌렸다. 분극은 어떻게 될까?

$E = 0$에서 $F(P)$는 대칭인 두 골짜기를 가지고, 그 사이 장벽은 실온 열에너지보다 훨씬 높다(셀 부피 전체가 함께 넘어야 한다). 아래 실험대에서 공을 굴려 확인하라.

SIMULATOR

강유전체 P–E 히스테리시스: 비트를 써 보라

흰 원을 좌우로 끌어 전기장 E를 건다

전기장 E 온도 T/T_c

E—

P—

P_s(T)—

고유 E_c(T)—

과제—

왼쪽: 지금 전기장에서의 $F(P) = \tfrac12\alpha_0(T - T_c)P^2 + \tfrac14\beta P^4 - EP$와 그 위의 공(분극). 공은 마찰 속에서 비탈을 따라 내려가고 열 요동으로 조금 떤다. 오른쪽: P–E 자취. 축척은 HfO₂ 계열 강유전 박막의 대표 크기($T = T_c/2$에서 $P_s$ = 20 µC/cm², 고유 $E_c$ = 1 MV/cm)에 맞췄다. 해볼 것: ① 전기장을 천천히 늘리면 $E_c$에서 골짜기가 사라지는 순간 공이 굴러떨어진다. ② "새 비트 과제"가 요구하는 상태(+ 또는 −)를 쓰고 E를 0으로 되돌려 저장하라. ③ 온도를 $T_c$ 위로 올리면 고리가 닫혀 직선(상유전체)이 되고, $T_c$에 가까울수록 고리가 작아진다.

어떤 강유전체의 란다우 계수가 $\alpha_0 = 6.0\times10^5$ J·m/(C²·K), $\beta = 9.6\times10^9$ J·m⁵/C⁴, $T_c = 1300$ K(2차 전이 가정)이다. $T = 300$ K에서 (a) 자발 분극 $P_s$(µC/cm²) (b) 고유 항전기장(kV/cm)을 구하라. (c) $T_c$ 위의 퀴리–바이스 상수 $C$는?

풀이 보기

전략 $a \equiv \alpha_0(T_c - T)$, $P_s = \sqrt{a/\beta}$, $E_c = 2aP_s/(3\sqrt3)$, $C = 1/(\varepsilon_0\alpha_0)$.

풀이 $a = 6.0\times10^5\times1000 = 6.0\times10^8$ J·m/C². (a) $P_s = \sqrt{6.0\times10^8/9.6\times10^9} = 0.250$ C/m² = 25.0 µC/cm². (b) $E_c = 2(6.0\times10^8)(0.250)/5.196 = 5.77\times10^7$ V/m = 577 kV/cm. (c) $C = 1/(8.854\times10^{-12}\times6.0\times10^5) = 1.88\times10^5$ K.

(a) 25.0 µC/cm² (b) 577 kV/cm (c) C ≈ 1.9 × 10⁵ K

검토 $P_s$는 BaTiO₃(26 µC/cm²)와 비슷하지만, 고유 $E_c$는 BaTiO₃ 실측(수 kV/cm)보다 100배 크다. 자구벽 이동이 뒤집기를 쉽게 하기 때문이다. 반대로 10 nm 두께의 HfO₂ 막은 자구가 작고 결정립이 나노 크기라, 실측 $E_c$(1–2 MV/cm)가 고유값에 훨씬 가깝다.

HfO₂의 강유전성

오랫동안 강유전 메모리는 PZT(Pb(Zr,Ti)O₃)·SBT 같은 페로브스카이트를 썼다. 이 물질들은 $P_r$이 크고 $E_c$가 작지만, 100 nm 안팎 두께가 필요하고 납·비스무트가 실리콘 공정을 오염시키며, 수소 분위기에서 쉽게 열화된다. 2011년 Si를 조금 넣은 HfO₂ 박막에서 강유전성이 보고되면서 판이 바뀌었다. 이미 게이트 절연막으로 공장에 들어와 있던 물질이 10 nm 두께에서 강유전체가 된 것이다.

HfO₂의 강유전성은 덩어리에서는 안정하지 않은 사방정 Pca2₁ 상에서 나온다. 이 상에서는 산소 이온 절반이 Hf 원자면 위나 아래 한쪽으로 치우쳐 앉고, 전기장이 이를 반대쪽으로 옮기면 분극이 뒤집힌다. 도핑·두께·기계적 구속·열처리가 이 준안정 상을 붙잡는다.

Hf₀.₅Zr₀.₅O₂(HZO) 같은 강유전 HfO₂는 $P_r$ 10–25 µC/cm², $E_c$ 1–2 MV/cm로, 페로브스카이트보다 $E_c$가 20배 크다. 10 nm 막이면 1–2 V로 뒤집을 수 있어 CMOS 전압에 맞는다. 다만 처음 몇백 번 사이클 동안 $P_r$이 커지는 웨이크업, 10⁹–10¹¹회 뒤의 피로, 한쪽 상태로 오래 두면 고리가 옆으로 밀리는 각인(imprint) 같은 신뢰성 문제가 있다. 대부분 산소 공공과 그 재분포, 그리고 비극성 상과의 경쟁에서 온다.

강유전 메모리: FeRAM과 FeFET

FeRAM(1T1C)은 DRAM의 축전기를 강유전 축전기로 바꾼 것이다. 읽을 때 한쪽으로 펄스를 걸어 분극이 뒤집히며 나오는 전하($2P_rA$)가 있는지 본다 — 읽기가 파괴적이라 다시 써 주어야 하지만, 전원 없이 기억하고 쓰기가 ns 수준으로 빠르다. HfO₂ 덕분에 3차원 커패시터로 고밀도화가 가능해졌다. FeFET(1T)는 게이트 절연막 자체를 강유전체로 바꿔, 분극 방향에 따라 문턱 전압이 $\Delta V_T \approx 2E_ct_{FE}$만큼 달라지게 한다(메모리 창). 읽기가 비파괴적이고 NAND처럼 쌓을 수 있지만, 계면 전하 포획과 감극장이 내구성을 제한한다. 강유전 터널 접합(FTJ)과 음의 정전 용량(NC-FET) 연구도 같은 물질에서 출발했다. → MemoryBook · 차세대 메모리(FeRAM과 FeFET)

핵심 정리

분극 $\vec P = \varepsilon_0\chi\vec E$, $\varepsilon_r = 1+\chi$. 전자(자외선까지)·이온(적외선까지)·배향(마이크로파까지)·계면(저주파) 분극이 정적 유전율을 이루고, 진동수가 오르면 무거운 기구부터 꺼지며 $\varepsilon'$이 계단처럼 내려가고 계단마다 $\varepsilon''$ 흡수 봉우리가 선다.
로런츠 국소장 $\vec E_{loc} = \vec E + \vec P/3\varepsilon_0$에서 클라우지우스–모소티 식 $(\varepsilon_r-1)/(\varepsilon_r+2) = N\alpha/3\varepsilon_0$. 밀도(공극)와 분극률을 줄이면 low-k(SiO₂에 32% 공극 → k 2.5), 이온 분극이 큰 무른 결합이면 high-k(HfO₂ ≈ 25)가 된다. EOT = $t_{IL} + t_{hk}(3.9/\varepsilon_{hk})$.
로런츠 진동자 $\varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty + S/(\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega)$: $\omega_0$에서 $\varepsilon''$ 흡수 봉우리와 $\varepsilon'$의 이상 분산. 크라머스–크로니히 관계로 $\varepsilon'$과 $\varepsilon''$은 서로를 결정하고, 정적 유전율은 모든 흡수를 $1/\omega$로 가중한 합이다.
$\tilde n = n + i\kappa = \sqrt\varepsilon$, $\alpha = 4\pi\kappa/\lambda$, $R = ((n-1)^2+\kappa^2)/((n+1)^2+\kappa^2)$. $\varepsilon' < 0$이면 빛이 들어가지 못해 강하게 반사한다. 이온 결정: LST 관계 $\omega_{LO}^2/\omega_{TO}^2 = \varepsilon_s/\varepsilon_\infty$, TO–LO 사이가 잔류선 띠.
드루드 $\varepsilon = \varepsilon_\infty - \omega_p^2/(\omega^2 + i\gamma\omega)$, $\omega_p^2 = ne^2/\varepsilon_0m^*$. 금속은 $\omega_p^*$ 아래에서 반사, 위에서 투명(Cu 자유 전자 10.8 eV, Al 15.8 eV). 금속의 색은 띠 간 전이(Cu 약 2 eV)가 정하고, 도핑 반도체·ITO의 반사 끝은 적외선에 있다.
직접 흡수 끝 $\alpha \propto \sqrt{\hbar\omega - E_g}$, 간접(포논 보조) $\alpha \propto (\hbar\omega - E_g \pm E_{ph})^2$(흡수 경로 $\propto n_{ph}$). Si 흡수 깊이는 400 nm 0.1 µm에서 1000 nm 160 µm까지 변한다. 엑시톤 $E_b = 13.6\ \text{eV}\cdot\mu/\varepsilon_r^2$: GaAs 약 4–5 meV, 2차원 반도체 수백 meV.
강유전체: 자발 분극과 퀴리 온도, 란다우 $F = \tfrac12\alpha_0(T-T_c)P^2 + \tfrac14\beta P^4 - EP$에서 $P_s \propto \sqrt{T_c - T}$, 퀴리–바이스 $\chi \propto 1/(T - T_c)$, 항전기장에서 골짜기가 사라지며 분극이 뒤집히는 P–E 히스테리시스. 도핑 HfO₂의 사방정 Pca2₁ 상이 10 nm에서 강유전성을 보여 FeRAM·FeFET를 CMOS에 들여왔다.

연습문제

$\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ F/m, $e = 1.602\times10^{-19}$ C, $m_e = 9.109\times10^{-31}$ kg, $\hbar = 1.0546\times10^{-34}$ J·s, $k_B = 8.617\times10^{-5}$ eV/K, $N_A = 6.022\times10^{23}$ mol⁻¹, $hc = 1239.84$ eV·nm, 수소 리드베리 13.606 eV, $a_0 = 0.0529$ nm. SiO₂의 εr = 3.9. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

두께 3.0 nm인 Al₂O₃(εr = 9.0) 게이트 절연막의 EOT는?

$\text{EOT} = 3.0\times3.9/9.0 = 1.30$ nm.

Si 위에 0.50 nm SiO₂ 계면층과 2.5 nm HfO₂(εr = 25)를 쌓았다. 스택의 EOT와 단위 면적 정전 용량은?

직렬 축전기: $\text{EOT} = t_{IL} + t_{hk}(3.9/\varepsilon_{hk})$, $C/A = 3.9\varepsilon_0/\text{EOT}$.

$\text{EOT} = 0.50 + 2.5\times3.9/25 = 0.50 + 0.39 = 0.890$ nm. $C/A = 3.9\times8.854\times10^{-12}/0.890\times10^{-9} = 3.88\times10^{-2}$ F/m² = 3.88 µF/cm².

파장 500 nm에서 소광 계수가 κ = 0.10인 박막의 흡수 계수는?

$\alpha = 4\pi\kappa/\lambda = 4\pi(0.10)/(500\times10^{-7}\ \text{cm}) = 2.51\times10^4$ cm⁻¹. 흡수 깊이 0.40 µm.

복소 굴절률이 $3.88 + 0.019i$인 실리콘 표면에 빛이 수직으로 들어갈 때 반사율은?

$R = (2.88^2 + 0.019^2)/(4.88^2 + 0.019^2) = 8.295/23.81 = 0.348$ = 34.8%.

고체 아르곤의 밀도는 1.77 g/cm³(몰질량 39.95 g/mol), 원자 분극률은 $\alpha/4\pi\varepsilon_0 = 1.64$ Å³이다. 클라우지우스–모소티 식으로 비유전율을 구하라.

$N = \rho N_A/M$, $x = N\alpha/3\varepsilon_0 = 4\pi N(\alpha/4\pi\varepsilon_0)/3$, $\varepsilon_r = (1+2x)/(1-x)$.

$N = 1.77\times6.022\times10^{23}/39.95 = 2.668\times10^{22}$ cm⁻³ = $2.668\times10^{28}$ m⁻³. $x = (4\pi/3)(2.668\times10^{28})(1.64\times10^{-30}) = 0.1833$. $\varepsilon_r = 1.3666/0.8167 = 1.67$(실측 약 1.6).

k = 3.0인 SiCOH 모재에 구멍을 내어 k = 2.2를 얻으려 한다. 로런츠–로렌츠 혼합식을 쓰면 공극률은?

$(3.0-1)/(3.0+2) = 0.400$, $(2.2-1)/(2.2+2) = 0.2857$. $1 - p = 0.2857/0.400 = 0.714$, $p = 0.286$ = 28.6%.

NaCl의 TO 포논은 164 cm⁻¹, $\varepsilon_s = 5.9$, $\varepsilon_\infty = 2.34$이다. 리댄–삭스–텔러 관계로 예측한 LO 포논 파수는?

$\tilde\nu_{LO} = 164\sqrt{5.9/2.34} = 164\times1.588 = 260$ cm⁻¹(실측 264 cm⁻¹). 잔류선 띠는 파장 38–61 µm.

알루미늄의 자유 전자 밀도는 $1.81\times10^{29}$ m⁻³이다($m^* = m_e$, $\varepsilon_\infty = 1$). 플라스마 에너지와 해당 진공 파장은?

$\omega_p = \sqrt{1.81\times10^{29}(1.602\times10^{-19})^2/(8.854\times10^{-12}\times9.109\times10^{-31})} = 2.40\times10^{16}$ s⁻¹, $\hbar\omega_p = 15.8$ eV, $\lambda_p = 1239.84/15.8 = 78.5$ nm(실측 투명화 약 15 eV).

ITO 박막의 자유 전자 밀도가 $1.0\times10^{21}$ cm⁻³, 유효 질량 $0.35m_e$, 배경 유전율 $\varepsilon_\infty = 4.0$이다. 가려진 플라스마 에너지 $\hbar\omega_p^*$와 그 파장(µm)은? 이보다 긴 파장은 반사된다.

$\omega_p^* = \sqrt{ne^2/(\varepsilon_\infty\varepsilon_0m^*)}$. n은 m⁻³로 바꾼다.

$\omega_p^* = \sqrt{10^{27}(1.602\times10^{-19})^2/(4.0\times8.854\times10^{-12}\times0.35\times9.109\times10^{-31})} = 1.508\times10^{15}$ s⁻¹, $\hbar\omega_p^* = 0.992$ eV, $\lambda = 1.25\ \mu$m. 가시광(1.65–3.1 eV)은 투과하고 열적외선은 반사한다.

GaN의 $m_e^* = 0.20m_e$, $m_h^* = 1.0m_e$, $\varepsilon_r = 8.9$이다. 수소 모형 엑시톤의 결합 에너지와 보어 반지름은?

$\mu = 0.20\times1.0/1.20 = 0.1667$. $E_b = 13606\times0.1667/79.21 = 28.6$ meV, $a_X = 0.0529\times8.9/0.1667 = 2.83$ nm. 실온 $k_BT$(25.9 meV)보다 커서 GaN 엑시톤은 실온에서도 보인다(실측 약 25 meV).

550 nm에서 실리콘의 흡수 계수는 $6.39\times10^3$ cm⁻¹이다. 빛의 세기가 표면 값의 10%로 줄어드는 깊이는?

$e^{-\alpha z} = 0.1$ → $z = \ln10/\alpha = 2.303/6390 = 3.60\times10^{-4}$ cm = 3.60 µm.

실리콘($E_g = 1.124$ eV)의 간접 흡수에 58 meV TO 포논이 관여한다. (a) 포논 흡수 경로와 (b) 포논 방출 경로의 흡수 문턱 광자 에너지는? (c) 포논 흡수 경로의 세기는 포논 점유수 $n_{ph} = 1/(e^{E_{ph}/k_BT} - 1)$에 비례한다. 300 K와 77 K의 점유수 비는? (띠 간격의 온도 변화는 무시)

(a) $1.124 - 0.058 = 1.066$ eV (b) $1.124 + 0.058 = 1.182$ eV. (c) $k_BT$ = 25.85 meV(300 K), 6.635 meV(77 K). $n(300) = 1/(e^{2.244} - 1) = 0.1187$, $n(77) = 1/(e^{8.741} - 1) = 1.60\times10^{-4}$. 비 = 742. 액체 질소 온도에서는 포논 흡수 경로가 사실상 사라진다.

어떤 HfO₂ 계열 강유전 막을 란다우 2차 전이 모형으로 맞추었더니, 상온에서 $\alpha_0(T - T_c) = -1.2\times10^9$ J·m/C², $\beta = 1.2\times10^{10}$ J·m⁵/C⁴였다. 자발 분극(µC/cm²)과 고유 항전기장(MV/cm)은?

$P_s = \sqrt{|a|/\beta}$, $E_c = 2|a|P_s/(3\sqrt3)$. 1 C/m² = 100 µC/cm².

$P_s = \sqrt{1.2\times10^9/1.2\times10^{10}} = 0.316$ C/m² = 31.6 µC/cm². $E_c = 2(1.2\times10^9)(0.316)/5.196 = 1.46\times10^8$ V/m = 1.46 MV/cm.

비정질 SiO₂의 정적 비유전율은 3.9인데, 가시광 굴절률은 1.46($n^2 = 2.13$)이다. 그 차이 약 1.8을 만드는 기구는?

비정질 고체의 Si–O 단위는 회전할 수 없으므로 배향 분극이 없다. 가시광에서는 전자 분극(2.13)만 남고, 정적 값에는 Si–O 신축·굽힘 진동(약 1070·800·460 cm⁻¹)의 이온 분극이 더해진다.

은(Ag)과 구리(Cu)는 자유 전자 플라스마 에너지가 둘 다 9–11 eV인데, 은은 하얗고 구리는 붉다. 차이를 가장 잘 설명하는 것은?

드루드 항만으로는 두 금속 모두 가시광 전체를 반사한다. 띠 간 흡수의 문턱이 가시광 안(Cu 2.1 eV, Au 2.4 eV)에 있으면 그 위 색이 덜 반사되어 붉거나 노랗게 보인다.

개념 확인 퀴즈

1 GHz 마이크로파에서 순수한 물의 유전 손실이 가장 큰 이유는?

데바이 완화의 $\varepsilon''$은 $\omega\tau = 1$에서 최대이고, 그 양쪽 꼬리에서도 상당하다. 전자레인지 2.45 GHz는 손실이 크면서도 음식 속까지 들어가도록 고른 타협점이다.

배선 사이 절연막의 k값을 낮추는 방법으로 클라우지우스–모소티 식과 맞지 않는 것은?

무겁고 이온성이 큰 결합은 이온 분극을 키워 high-k를 만든다. low-k는 $N\alpha$를 줄이는 방향이다.

어떤 진동수 구간에서 물질의 $\varepsilon'$이 음수이고 감쇠가 작다. 이 구간에서 일어나는 일은?

$\tilde n = i\kappa$이면 $R = |(i\kappa - 1)/(i\kappa + 1)|^2 = 1$. 금속의 $\omega < \omega_p$와 이온 결정의 잔류선 띠가 이 경우다.

강한 X선이나 원자외선 영역($\hbar\omega \gg \hbar\omega_p$)에서 금속의 굴절률은?

$\omega \gg \omega_p$에서는 전자가 너무 빨리 흔들리는 장을 따라가지 못해 분극이 작다. X선 굴절률이 1보다 $10^{-5}$–$10^{-6}$ 작은 것을 이용해 전반사 거울(스침각 입사)을 만든다.

도핑된 HfO₂ 박막이 강유전성을 보이는 직접적 원인은?

HfO₂는 페로브스카이트가 아니다. 덩어리에서 안정한 단사정 상은 비극성이고, 극성 사방정 상은 나노 두께와 도핑에서만 붙잡힌다.