Chapter 13

빛과 물질의 상호작용

원자나 반도체가 빛을 만나면 할 수 있는 일은 세 가지뿐이다. 광자를 흡수하거나, 저절로 광자를 내보내거나, 들어온 광자에 이끌려 똑같은 광자를 하나 더 내보낸다. 마지막 과정을 거울 두 장 사이에 가두면 레이저가 되고, 반도체의 띠 간격 위에서 일어나게 하면 LED·반도체 레이저·포토다이오드·이미지 센서가 된다. 아래는 레이저 공진기 속의 원자들이다 — 들뜬 원자 옆을 지나는 광자가 쌍둥이를 낳으며 불어나는 모습을 보라.

누르면 펌프 섬광 — 모든 원자가 들뜬다

흡수·자발 방출·유도 방출을 아인슈타인 계수 $A_{21}, B_{12}, B_{21}$로 쓰고, 열평형 조건에서 플랑크 복사 법칙을 유도한다.
들뜬 상태의 수명 $\tau$와 자연 선폭 $\Delta\nu = 1/2\pi\tau$, 도플러 선폭, 결맞음 길이를 계산한다.
두 준위로는 밀도 반전이 불가능한 이유와 3·4준위 레이저의 원리를 설명하고, 문턱 조건 $g_\text{th} = \alpha_i + \frac{1}{2L}\ln\frac{1}{R_1R_2}$를 쓴다.
직접·간접 띠 간격의 흡수 끝 모양을 구별하고, 흡수 계수 $\alpha$로 침투 깊이 $1/\alpha$와 흡수 비율 $1 - e^{-\alpha d}$를 구한다.
LED의 발광 파장 $\lambda \approx hc/E_g$, 내부·외부 양자 효율, 탈출 원뿔 $\eta_\text{extr} \approx 1/4n^2$을 계산한다.
포토다이오드 응답도 $\mathcal{R} = \eta q\lambda/hc$와 차단 파장 $\lambda_c = hc/E_g$를 써서 광검출기와 태양 전지를 분석한다.

두 준위계와 세 과정

에너지 $E_1$(아래)과 $E_2$(위) 두 준위만 있는 원자를 생각하자. 두 준위의 차와 같은 에너지 $h\nu = E_2 - E_1$의 광자만 이 원자와 주고받을 수 있다(1장의 광자, 3장의 선 스펙트럼). 아인슈타인은 1916년, 빛과 원자 사이에 일어나는 과정이 다음 셋뿐이라고 보고 각각의 빈도를 계수로 나타냈다.

빛과 두 준위 원자의 세 과정. 유도 방출로 나온 광자는 들어온 광자와 진동수·방향·위상·편광이 모두 같다 — 레이저 빛이 결맞는 이유다.

흡수(absorption): 아래 준위 원자가 광자를 삼키고 위로 올라간다. 단위 부피·단위 시간당 빈도는 $B_{12}\,\rho(\nu)\,N_1$이다. $\rho(\nu)$는 진동수 $\nu$ 근처 복사의 에너지 밀도(J·s/m³), $N_1$은 아래 준위의 원자 수 밀도다.
자발 방출(spontaneous emission): 위 준위 원자가 빛이 없어도 저절로 내려오며 광자를 낸다. 빈도 $A_{21} N_2$. 방향과 위상은 무작위다.
유도 방출(stimulated emission): 위 준위 원자가 지나가는 광자에 "떠밀려" 내려오며 똑같은 광자를 하나 더 낸다. 빈도 $B_{21}\,\rho(\nu)\,N_2$.

$$\frac{dN_2}{dt} = B_{12}\rho N_1 - A_{21}N_2 - B_{21}\rho N_2$$

위 준위 수의 변화율. 흡수는 $N_2$를 늘리고, 두 방출은 줄인다.

열평형에서 아인슈타인 관계와 플랑크 법칙

원자들이 온도 $T$의 흑체 복사 속에서 평형에 있으면 $dN_2/dt = 0$이고, 준위 분포는 10장의 볼츠만 분포 $N_2/N_1 = e^{-h\nu/kT}$(두 준위의 겹침수가 같을 때)를 따른다. 이 두 조건만으로 $\rho(\nu)$의 꼴이 정해진다 — 아인슈타인이 원자의 세부 구조를 전혀 모르고도 플랑크 법칙을 다시 얻은 방법이다.

평형에서는 단위 시간에 위로 올라가는 원자 수와 아래로 내려오는 원자 수가 같다.
식을 $\rho$에 대해 정리한다. 아직 어떤 온도 의존성도 가정하지 않았다.
원자 분포가 볼츠만을 따른다는 사실(10장)을 넣는다.
모든 온도에서 플랑크 법칙(1장)과 같아야 하므로 두 관계가 강제된다. 고온 극한에서 레일리–진스와 맞추려면 $B_{12} = B_{21}$이어야 한다.

아인슈타인의 유도. 결과 $B_{12} = B_{21}$은 "흡수와 유도 방출은 같은 동전의 양면"이라는 뜻이다.

$$B_{12} = B_{21} \equiv B, \qquad \frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}, \qquad \frac{\text{자발 방출}}{\text{유도 방출}} = \frac{A_{21}}{B_{21}\rho(\nu)} = e^{h\nu/kT} - 1$$

매질의 굴절률이 $n$이면 $c \to c/n$로 바꿔 $A/B = 8\pi n^3 h\nu^3/c^3$. $\nu^3$ 의존성 때문에 진동수가 높을수록(자외선·X선) 자발 방출이 압도적으로 빨라진다.

파장 0.6의 빛이 온도 300의 열복사 속에 있으면 $h\nu/kT$ = 이고, 자발 방출이 유도 방출보다 배 많다.

즉 일상의 온도에서 가시광은 거의 전부 자발 방출로 나온다(전구, 형광등, LED). 유도 방출을 우세하게 만들려면 $\rho$를 엄청나게 키우고(공진기에 빛을 가두기) 동시에 $N_2 > N_1$을 만들어야 한다. 아래 미니 실험에서 온도를 아무리 올려도 열평형으로는 $N_2 > N_1$이 되지 않음을 확인하라.

온도 T 준위 차 ΔE

MINI LAB원자 200개가 열적으로 위아래를 오간다. 평형 비율은 $N_2/N_1 = e^{-\Delta E/kT}$이므로 $T \to \infty$에서도 1에 다가갈 뿐 넘지 못한다. ΔE = 2 eV(가시광)이면 30000 K에서도 위 준위가 절반에 한참 못 미친다.

He–Ne 레이저의 632.8 nm 전이를 두 준위로 보자. (a) 300 K 열평형에서 $N_2/N_1$은? (b) 이때 자발 방출과 유도 방출의 비는? (c) 300 K에서 두 빈도가 같아지는 파장은?

풀이 보기

전략 $h\nu = hc/\lambda$를 eV로 구하고 $kT = 0.025852$ eV(300 K)로 나눈다.

풀이 (a) $h\nu = 1239.84/632.8 = 1.959$ eV, $h\nu/kT = 75.8$ → $N_2/N_1 = e^{-75.8} = 1.2\times10^{-33}$. (b) $e^{75.8} - 1 \approx 8\times10^{32}$. (c) $e^{h\nu/kT} - 1 = 1$ → $h\nu = kT\ln 2 = 0.0179$ eV → $\lambda = 1239.84/0.0179$ nm = 69.2 µm.

(a) 1.2 × 10⁻³³ (b) 약 8 × 10³² 배 (c) 69 µm (원적외선)

검토 위 준위는 사실상 비어 있다. 레이저를 만들려면 열평형과 전혀 다른 분포(밀도 반전)를 펌핑으로 만들어야 한다. 태양 표면(5800 K)에서도 이 비는 약 49로, 여전히 자발 방출이 우세하다.

수명과 선폭

빛을 끈 뒤 위 준위에 $N_2(0)$개가 있으면, 자발 방출만 남아 $dN_2/dt = -A_{21}N_2$이다. 해는 지수 감소이고, 위 준위의 평균 머무름 시간을 수명(lifetime)이라 한다.

$$N_2(t) = N_2(0)\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{1}{A_{21}}, \qquad \frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_r} + \frac{1}{\tau_{nr}}$$

빛을 내지 않고 열(포논)로 에너지를 잃는 비복사 전이(nonradiative transition)가 있으면 두 빈도가 더해진다. 그때 빛으로 나가는 비율 $\eta = \tau_{nr}/(\tau_r + \tau_{nr})$이 뒤에 나오는 LED의 내부 양자 효율이다.

개별 원자가 언제 붕괴할지는 알 수 없다 — 각 원자는 매 순간 같은 확률로 붕괴한다(방사성 붕괴와 같은 통계). 아래 미니 실험에서 원자 100개가 하나씩 무작위로 빛을 내지만, 붕괴 시각의 히스토그램은 정확히 지수 함수를 그린다.

수명 τ

MINI LAB화면의 1초 = 1 ns. 왼쪽 원자가 빛을 낼 때마다 오른쪽 히스토그램에 쌓인다. 곡선은 $N_0 e^{-t/\tau}$의 예측이다. τ를 줄이면 붕괴가 빨라지고, 아래에 표시되는 자연 선폭은 넓어진다.

자연 선폭과 시간–에너지 불확정성

지수적으로 줄어드는 진동 $e^{-t/2\tau}\cos 2\pi\nu_0 t$를 푸리에 분해하면 한 진동수가 아니라 폭이 있는 로런츠 선 모양(Lorentzian line shape)이 나온다. 반치폭은

$$\Delta\nu_\text{nat} = \frac{1}{2\pi\tau}, \qquad \Delta E\,\tau = \hbar$$

2장의 시간–에너지 불확정성 $\Delta E\,\Delta t \gtrsim \hbar$과 같은 꼴이다. 파장 폭으로는 $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu/c$.

수명이 10인 파장 630의 전이는 자연 선폭이 $\Delta\nu$ = , $\Delta\lambda$ = 이다. 이 선폭만 있다면 빛의 결맞음 길이 $l_c \approx c/\Delta\nu$는 이다.

실제 기체에서는 자연 선폭보다 훨씬 넓은 도플러 넓어짐(Doppler broadening)이 지배한다. 원자들이 맥스웰 분포로 움직이므로 관측자에게 보이는 진동수가 $\nu_0(1 \pm v/c)$로 퍼진다. 고체에서는 포논과의 충돌로 생기는 넓어짐이 크다. 반도체에서는 전자·정공이 띠 안에 에너지 $\sim kT$로 퍼져 있어 LED 스펙트럼의 폭이 약 $1.8kT$(≈ 47 meV)가 된다.

$$\Delta\nu_D = \frac{2\nu_0}{c}\sqrt{\frac{2kT\ln 2}{M}}$$

가우스 선 모양의 반치폭. $M$: 원자 질량.

(a) 수명 10 ns인 632.8 nm 전이의 자연 선폭(진동수와 파장)을 구하라. (b) He–Ne 방전관 속 네온 원자($M = 20.0$ u, $T = 400$ K)의 도플러 선폭과 비교하라.

풀이 보기

풀이 (a) $\Delta\nu = 1/(2\pi\times10^{-8}) = 15.9$ MHz, $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu/c = (632.8\times10^{-9})^2(1.59\times10^7)/(3.00\times10^8) = 2.1\times10^{-14}$ m. (b) $\nu_0 = c/\lambda = 4.74\times10^{14}$ Hz, $\sqrt{2kT\ln2/M} = \sqrt{2(1.381\times10^{-23})(400)(0.693)/(3.32\times10^{-26})} = 480$ m/s → $\Delta\nu_D = 2(4.74\times10^{14})(480)/c = 1.52$ GHz.

(a) 15.9 MHz (0.021 pm) (b) 1.52 GHz — 자연 선폭의 약 95배

검토 He–Ne 레이저의 이득 대역(~1.5 GHz) 안에 공진기 모드가 여러 개 들어갈 수 있다(다음 절). 단일 모드로 만든 He–Ne 레이저의 실제 선폭은 공진기가 골라내므로 이보다 훨씬 좁다.

밀도 반전과 레이저

세기 $I$인 빛이 매질을 지나면, 흡수는 $BN_1$에 비례해 광자를 없애고 유도 방출은 $BN_2$에 비례해 똑같은 광자를 더한다. 자발 방출은 다른 방향으로 흩어지므로 빔에는 거의 기여하지 않는다. 그 결과 빔은 거리에 따라 지수적으로 변한다.

$$\frac{dI}{dz} = \sigma(N_2 - N_1)\,I \equiv g\,I \quad\Rightarrow\quad I(z) = I_0\,e^{gz}$$

$\sigma$: 유도 방출 단면적(cm²), $g = \sigma(N_2 - N_1)$: 이득 계수(gain coefficient). 보통은 $N_1 > N_2$라 $g < 0$(흡수, 비어–람베르트 법칙)이다.

빛이 증폭되려면 $N_2 > N_1$, 즉 밀도 반전(population inversion)이 필요하다. 그런데 앞 절에서 보았듯 열평형은 반전을 만들 수 없다. 그렇다면 강한 빛을 쪼여(광 펌핑) 원자를 억지로 올리면 어떨까?

두 준위 원자에 아주 강한 펌프 빛을 쪼이면, 위 준위 원자 수 $N_2$는 전체의 몇 %까지 올라갈 수 있을까?

펌프 빛은 흡수($BN_1\rho$)와 똑같은 비율로 유도 방출($BN_2\rho$)도 일으킨다. 펌프가 아무리 세도 두 과정이 균형을 이루는 $N_2 = N_1$이 한계다. 아래에서 2준위로 두고 펌프를 끝까지 끌어 확인한 뒤, 3·4준위로 바꿔 보라.

SIMULATOR

원자 집단 펌핑: 밀도 반전을 만들어라

왼쪽 막대의 흰 원을 위아래로 끌어 펌프 세기를 바꾼다

준위 구조

펌프 빈도 W 위 레이저 준위 수명 τ

위 레이저 준위—

아래 레이저 준위—

ΔN/N—

도전: 반전 3초 유지—

원자 120개의 무작위 전이를 그대로 흉내 낸다(시간 단위 ms, 빠른 비복사 전이는 25 ms⁻¹). 오른쪽 그래프의 점선은 정상 상태 예측값이다. 해볼 것: ① 2준위에서 W를 최대로 해도 위 준위가 50%를 넘지 못함을 확인하라. ② 3준위(루비 레이저형)에서는 $W\tau > 1$이어야 반전된다 — τ를 늘리면 쉬워진다. ③ 4준위에서는 아래 레이저 준위가 늘 비어 있어 아주 약한 펌프로도 반전된다. 세 구조 모두에서 도전을 시도해 보라.

3준위와 4준위 레이저

해결책은 준위를 더 쓰는 것이다. 펌프는 위쪽의 넓은 펌프 띠로 원자를 올리고, 원자는 그곳에서 빠르게(비복사로) 수명이 긴 준안정 준위(metastable level)로 떨어진다. 펌프 빛의 진동수가 레이저 전이와 다르므로, 펌프가 레이저 준위의 원자를 다시 끌어내리지 않는다.

펌프(섬광등, 다른 레이저, 전류)가 바닥 상태 원자를 넓은 펌프 띠로 올린다.
펌프 띠의 원자는 수 ns 이하로 빠르게 준안정 준위로 떨어진다(열로 에너지를 버린다).
준안정 준위는 수명이 길어(루비 3 ms, Nd:YAG 0.23 ms) 원자가 쌓인다. 여기서 아래로의 유도 방출이 레이저 빛이다.
4준위에서는 아래 레이저 준위 E₁도 빠르게 비워지므로 $N_1 \approx 0$. 3준위는 아래 레이저 준위가 바닥 상태라 원자의 절반 이상을 퍼 올려야 한다.

3준위와 4준위 레이저. 1960년 메이먼의 첫 레이저(루비)는 3준위였지만, 오늘날 대부분은 4준위 구조다. 반도체 레이저도 전도대 바닥과 원자가대 꼭대기가 빠르게 채워지고 비워지는 4준위처럼 동작한다.

공진기와 문턱 조건

반전된 매질만으로는 증폭기다. 레이저(Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)가 되려면 빛을 되먹임해야 한다. 이득 매질 양 끝에 반사율 $R_1, R_2$인 거울을 두면 파브리–페로 공진기(Fabry–Pérot resonator)가 된다.

레이저 공진기. 빛이 한 번 왕복하며 얻는 이득이 거울 투과와 내부 손실을 정확히 메울 때 발진이 지속된다. 반도체 레이저에서는 쪼갠 결정면(벽개면) 자체가 거울이다.

세기 $I$인 빛이 길이 $L$을 한 번 왕복하면 $R_1R_2\,e^{2(g-\alpha_i)L}$배가 된다. 이 값이 1보다 크면 빛이 불어나고, 불어난 빛이 반전을 소모해(이득 포화(gain saturation)) 결국 정확히 1에서 멈춘다. 따라서 발진의 문턱 조건(threshold condition)은

$$R_1R_2\,e^{2(g_\text{th} - \alpha_i)L} = 1 \quad\Rightarrow\quad g_\text{th} = \alpha_i + \underbrace{\frac{1}{2L}\ln\frac{1}{R_1R_2}}_{\alpha_m\ (\text{거울 손실})}$$

이득 = 손실. 위상 조건 $2nL = m\lambda$은 공진 모드를 정하고, 이웃 모드 간격은 $\Delta\nu = c/2nL$, $\Delta\lambda = \lambda^2/2nL$이다(분산이 있으면 $n$ 대신 군굴절률 $n_g$).

문턱을 넘으면 반전(따라서 이득)은 $g_\text{th}$에 묶이고, 추가로 넣는 펌프는 모두 광자로 바뀐다. 그래서 출력–펌프 그래프는 문턱에서 날카롭게 꺾인다. 반도체 레이저에서 그 기울기(기울기 효율(slope efficiency))는

$$P_\text{out} = \eta_i\,\frac{h\nu}{q}\,\frac{\alpha_m}{\alpha_i + \alpha_m}\,(I - I_\text{th})$$

$\eta_i$: 주입 효율. 거울 손실 $\alpha_m$이 클수록 문턱은 높아지지만 빛을 밖으로 많이 내보낸다 — 거울 반사율에는 최적값이 있다.

반도체 레이저의 앞 거울 반사율 $R_2$를 0.99로 높이면(뒤 거울은 0.95) 60 mA에서 앞으로 나오는 출력은 어떻게 될까?

$R_2 \to 1$이면 $\alpha_m \to$ 작아져 문턱은 내려가지만, 기울기 효율 $\propto \alpha_m/(\alpha_i+\alpha_m)$이 0으로 간다. 공진기 안의 빛은 강하지만 대부분 내부 손실로 사라진다. 아래에서 R₂를 끌어 최적값을 찾아라.

SIMULATOR

레이저 문턱: 거울 반사율을 설계해 목표 출력을 내라

그래프의 흰 원을 좌우로 끌어 주입 전류를 바꾼다

뒤 거울 R₁ 앞 거울 R₂ 내부 손실 α_i 주입 전류 I

거울 손실 α_m—

문턱 이득 g_th—

문턱 전류 I_th—

앞면 기울기 효율—

도전: 60 mA에서 앞면 ≥ 35 mW—

850 nm GaAs 레이저, 공진기 길이 300 µm, 이득 $g = g_0\ln(I/I_\text{tr})$($g_0$ = 40 cm⁻¹, $I_\text{tr}$ = 8 mA), $\eta_i$ = 0.9 모형이다. 벽개면 그대로(R ≈ 0.32)에서 시작한다. 해볼 것: ① 문턱 아래(LED 영역)와 위에서 출력 기울기를 비교하라. ② 뒤 거울에 고반사(HR) 코팅을, 앞 거울에 반사 방지 코팅을 하면? ③ 내부 손실을 키우면 문턱과 기울기가 모두 나빠진다.

GaAs($n = 3.6$) 결정을 쪼개 만든 길이 300 µm의 레이저가 있다. 내부 손실 $\alpha_i$ = 10 cm⁻¹이다. (a) 벽개면 반사율, (b) 문턱 이득, (c) 850 nm 근처의 세로 모드 간격($n$ = 3.6 사용)을 구하라.

풀이 보기

전략 수직 입사 프레넬 반사 $R = ((n-1)/(n+1))^2$, 문턱 조건, $\Delta\lambda = \lambda^2/2nL$.

풀이 (a) $R = (2.6/4.6)^2 = 0.319$. (b) $\alpha_m = \dfrac{1}{2(0.0300\ \text{cm})}\ln\dfrac{1}{0.319^2} = \dfrac{2.284}{0.0600} = 38.0$ cm⁻¹ → $g_\text{th} = 10 + 38.0 = 48.0$ cm⁻¹. (c) $\Delta\lambda = (850\ \text{nm})^2/(2\times3.6\times300\ \text{µm}) = 0.334$ nm (139 GHz).

(a) R = 0.319 (b) g_th = 48.0 cm⁻¹ (c) Δλ ≈ 0.33 nm

검토 반도체의 이득은 수백~수천 cm⁻¹까지 가능하므로 1 mm도 안 되는 짧은 공진기로 충분하다. He–Ne처럼 이득이 0.001 cm⁻¹ 수준인 기체 레이저는 99% 이상의 거울과 수십 cm 공진기가 필요하다. 반도체 이득 대역(수십 nm) 안에 모드가 수십 개 들어가므로, 단일 모드가 필요한 통신용 레이저는 회절 격자(DFB)로 하나만 고른다.

결맞음

유도 방출은 광자를 복제하므로 레이저 빛은 공간적으로(빔 단면 전체가 같은 위상) 그리고 시간적으로(긴 파열이 끊기지 않음) 결맞는(coherent) 빛이다. 시간 결맞음은 선폭으로 정해진다: 결맞음 길이(coherence length) $l_c \approx c/\Delta\nu = \lambda^2/\Delta\lambda$. 선폭 20 nm인 청색 LED는 $l_c \approx (450)^2/20$ nm ≈ 10 µm, 선폭 1 MHz인 단일 모드 레이저는 300 m다. 간섭계, 홀로그래피, 노광 장비의 정렬 센서가 레이저를 쓰는 이유다. 반대로 노광에서는 결맞음이 너무 크면 스페클이 생기므로 광원의 결맞음을 일부러 줄이기도 한다(litho 조명계).

노광 광원과 레이저 공정

DUV 노광기는 엑시머 레이저(excimer laser)를 쓴다. KrF(248 nm, 5.00 eV)와 ArF(193 nm, 6.42 eV)는 들뜬 상태에서만 결합하는 분자(Kr⁺F⁻*)라 아래 준위가 늘 해리되어 비어 있는 이상적인 4준위계다. 펄스당 수~수십 mJ, 수 kHz로 발진하고, 선폭을 1 pm 아래로 좁혀(색수차 억제) 쓴다. EUV(13.5 nm, 91.8 eV)는 이 영역에 쓸 만한 레이저 매질이 없어서, CO₂ 레이저(10.6 µm)로 주석 방울을 때려 만든 플라즈마의 Sn 이온 선 방출(자발 방출!)을 모은다 — $A/B \propto \nu^3$ 때문에 짧은 파장 레이저가 어려운 것과 같은 맥락이다. 그 밖에도 엑시머 레이저 어닐(LTPS 디스플레이), 펨토초 레이저 다이싱, GaN-on-사파이어의 레이저 리프트오프(KrF 광자가 GaN 계면에서만 흡수됨)가 모두 이 장의 물리다. → SemiBooks: EUV 노광, 조명계

ArF 엑시머 레이저(193 nm)의 펄스 하나가 10.0 mJ이다. 광자 하나의 에너지와 펄스 속 광자 수를 구하라. EUV 광자(13.5 nm)는 ArF 광자의 몇 배 에너지인가?

풀이 보기

풀이 $E = 1239.84/193 = 6.42$ eV $= 1.029\times10^{-18}$ J. 광자 수 $= 0.0100/1.029\times10^{-18} = 9.72\times10^{15}$. EUV: $1239.84/13.5 = 91.8$ eV → 14.3배.

6.42 eV, 약 9.7 × 10¹⁵ 개, EUV는 14.3배

검토 같은 노광 에너지(mJ/cm²)라면 EUV는 광자 수가 14배 적다. 광자 수가 적을수록 포아송 잡음($\sqrt{N}/N$)이 커져 패턴 가장자리가 거칠어진다 — 확률적 결함(stochastics) 문제의 뿌리다.

반도체의 띠 사이 흡수

반도체에서 "두 준위"는 원자가대와 전도대라는 두 띠다(12장). 띠 간격보다 에너지가 큰 광자($h\nu \ge E_g$)는 원자가대의 전자를 전도대로 올려 전자–정공 쌍을 만들며 흡수된다. 이 과정에서 에너지와 함께 결정 운동량도 보존되어야 한다. 그런데 가시광 광자의 운동량 $h/\lambda \approx 2\pi/(500\ \text{nm})$은 브릴루앙 영역 크기 $2\pi/a \approx 2\pi/(0.54\ \text{nm})$의 1/1000에 불과하므로, 광학 전이는 E–k 그림에서 거의 수직이어야 한다.

직접 전이와 간접 전이. 간접 띠 간격에서는 전도대 바닥이 다른 k에 있어, 모자란 운동량을 격자 진동(포논, 7장)이 메워야 한다. 세 입자가 동시에 맞아야 하므로 확률이 훨씬 낮다.

빛의 세기는 깊이 $x$에 따라 $I(x) = I_0e^{-\alpha x}$로 줄어든다. 흡수 계수(absorption coefficient) $\alpha$(cm⁻¹)의 역수 $\delta = 1/\alpha$가 침투 깊이(penetration depth)로, 빛이 $1/e$(37%)로 줄어드는 깊이다. 띠 간격 근처에서 $\alpha$의 모양은 상태 밀도(10장)가 정한다.

$$\text{직접:}\ \ \alpha(h\nu) \approx A^*\sqrt{h\nu - E_g}, \qquad \text{간접:}\ \ \alpha(h\nu) \propto (h\nu - E_g \pm E_p)^2$$

직접 흡수 끝은 결합 상태 밀도 $\propto \sqrt{E}$를 그대로 따라 띠 간격 바로 위에서 $10^4$–$10^5$ cm⁻¹로 치솟는다. 간접 흡수는 포논 흡수($-E_p$)·방출($+E_p$) 두 갈래로, $10^1$–$10^3$ cm⁻¹에서 완만하게 오른다. Si는 3.4 eV(365 nm)에 직접 전이가 있어 자외선에서 다시 $10^6$ cm⁻¹이 된다.

파장 (nm)	hν (eV)	Si의 α (cm⁻¹)	침투 깊이 1/α
400 (보라)	3.10	9.5 × 10⁴	0.11 µm
450 (파랑)	2.76	2.6 × 10⁴	0.38 µm
550 (초록)	2.25	6.4 × 10³	1.6 µm
650 (빨강)	1.91	2.8 × 10³	3.6 µm
800 (근적외)	1.55	8.5 × 10²	12 µm
900	1.38	3.1 × 10²	33 µm
1000	1.24	64	160 µm
1100	1.13	3.5	2.9 mm

표는 300 K 실리콘의 대표값이다(문헌값을 반올림). 파랑에서 근적외로 가면 침투 깊이가 0.1 µm에서 수백 µm까지 1000배 넘게 변한다. 이 사실 하나가 이미지 센서, 태양 전지, 레이저 어닐, 적외선 정렬 마크 검사의 설계를 좌우한다.

실리콘 이미지 센서 픽셀에 파란빛(450 nm)과 빨간빛(650 nm)이 들어온다. 어느 쪽이 더 깊이 들어가며, 대략 몇 배인가?

광자 에너지가 클수록 흡수할 수 있는 전자 상태가 많아 α가 크다(침투가 얕다). 450 nm는 0.38 µm, 650 nm는 3.6 µm이다. 아래에서 Si를 고르고 파장 표시를 끌어 보라.

SIMULATOR

흡수 끝과 침투 깊이: 웨이퍼 단면 속의 빛

왼쪽 그래프의 흰 원을 좌우로 끌어 파장을 바꾼다

재료

파장 λ 포토다이오드 깊이 d

광자 에너지—

흡수 계수 α—

침투 깊이 1/α—

깊이 d 안에서 흡수—

Si·Ge는 문헌 대표값 표를 보간했고, GaAs·GaN은 $\alpha = A^*\sqrt{h\nu - E_g}$ 꼴의 단순 모형이다. 오른쪽 단면의 깊이 눈금은 침투 깊이에 맞춰 자동으로 바뀐다. 해볼 것: ① Si에서 450·550·650 nm의 침투 깊이를 표와 비교하라. ② GaAs는 873 nm에서 절벽처럼 떨어지고, Si는 1107 nm 근처까지 완만하게 줄어든다(직접 vs 간접). ③ 1550 nm(광통신)는 Si를 그대로 통과하지만 Ge에는 흡수된다 — 실리콘 포토닉스가 Ge 검출기를 쓰는 이유다.

앞면 조사(FSI) 실리콘 픽셀의 포토다이오드가 표면에서 깊이 3.0 µm까지 전하를 모은다. 위 표의 α를 써서 450 nm와 650 nm 빛이 이 영역에서 흡수되는 비율을 구하라. 650 nm 빛의 90%를 흡수하려면 얼마나 깊어야 하는가?

풀이 보기

전략 깊이 $d$까지 흡수 비율은 $1 - e^{-\alpha d}$. 90% 깊이는 $e^{-\alpha d} = 0.1$ → $d = \ln 10/\alpha$.

풀이 450 nm: $\alpha d = (2.6\times10^4)(3.0\times10^{-4}) = 7.8$ → $1 - e^{-7.8} = 99.96\%$. 650 nm: $\alpha d = (2.8\times10^3)(3.0\times10^{-4}) = 0.84$ → $1 - e^{-0.84} = 56.8\%$. 90% 깊이: $2.303/2.8\times10^3$ cm = 8.2 µm.

450 nm: 99.96%, 650 nm: 57%, 650 nm의 90% 흡수에는 약 8.2 µm

검토 빨간빛의 40% 이상이 포토다이오드 아래로 빠져나가 이웃 픽셀로 번지거나(광학적 크로스토크) 사라진다. 이것이 적색·근적외 감도를 위해 포토다이오드를 깊게 만드는 이유다.

이미지 센서 픽셀의 깊이 설계

파란빛은 표면 0.4 µm 안에서, 빨간빛은 3–8 µm에 걸쳐, 근적외(940 nm, 얼굴 인식·ToF)는 수십 µm에 걸쳐 흡수된다. 앞면 조사(FSI) 구조에서는 파란빛이 금속 배선층과 표면의 결함 많은 층을 지나야 해서 손해를 본다. 웨이퍼를 3–6 µm로 얇게 갈아 뒤에서 빛을 넣는 후면 조사(BSI, backside illumination)는 배선 가림을 없애고, 깊은 트렌치 격리(DTI)로 빨간빛의 옆 번짐을 막는다. 근적외 픽셀은 표면에 피라미드 요철을 새겨 빛의 경로를 늘린다. 같은 원리로 Foveon 센서는 깊이별로 세 포토다이오드를 겹쳐 색을 나눈다. 박막 두께와 $n, k$를 재는 엘립소메트리도 $k = \alpha\lambda/4\pi$라는 같은 흡수를 본다. → SemiBooks: 포토다이오드, 픽셀 구조, 빛과 실리콘, 박막 광학

재결합, LED와 반도체 레이저

흡수의 반대 과정이 복사 재결합(radiative recombination)이다. 전도대의 전자가 원자가대의 정공으로 떨어지며 $h\nu \approx E_g$의 광자를 낸다. 같은 운동량 규칙이 적용되므로 직접 띠 간격 반도체에서는 빠르고, 간접 띠 간격(Si)에서는 포논이 필요해 매우 느리다. 복사 재결합 빈도는 $R_\text{rad} = B\,np$로, 복사 재결합 계수 $B$가 GaAs는 약 $10^{-10}$ cm³/s, Si는 약 $5\times10^{-15}$ cm³/s로 2만 배 차이 난다. Si에서는 같은 시간에 결함을 통한 비복사 재결합(SRH, 8장 이후 소자 과목)이 먼저 일어나 내부 양자 효율이 $10^{-3}$도 안 된다.

직접 띠 간격 (GaAs, InGaN, AlGaInP)

복사 수명 ns 수준. 내부 양자 효율 $\eta_\text{int}$이 80–99%까지 가능 → LED·레이저 재료.

간접 띠 간격 (Si, Ge, SiC)

복사 수명 ms 수준, 비복사가 이긴다. 빛은 잘 흡수하지만(두께만 충분하면) 잘 내지 못한다 → 검출기·태양 전지 재료.

발광 다이오드

발광 다이오드(LED, light-emitting diode)는 pn 접합에 순방향 전류를 흘려 전자와 정공을 활성층에서 만나게 한다. 발광 파장은 띠 간격으로 정해진다.

$$\lambda_\text{peak} \approx \frac{hc}{E_g} = \frac{1239.84\ \text{nm}\cdot\text{eV}}{E_g}, \qquad \eta_\text{ext} = \eta_\text{inj}\,\eta_\text{int}\,\eta_\text{extr} = \frac{P_\text{opt}/h\nu}{I/q}$$

정확히는 캐리어가 띠 가장자리 위 $\sim kT/2$에 분포해 봉우리가 $E_g + kT/2$ 근처다. 외부 양자 효율(EQE)은 주입 효율 × 내부 양자 효율 × 광 추출 효율이다. 전력 효율(wall-plug)은 $P_\text{opt}/IV$.

색은 합금 조성으로 띠 간격을 바꿔 고른다. 청색·녹색은 In_xGa_1−xN(GaN 3.42 eV에서 InN 0.77 eV 쪽으로, 휨 계수 1.43 eV), 적색·주황·노랑은 GaAs에 격자가 맞는 (Al_xGa_1−x)_0.5In_0.5P(1.91–2.23 eV에서 직접)를 쓴다. 두 재료 사이의 녹색–노랑(530–590 nm)은 효율이 떨어지는 "녹색 간극"이다 — InGaN은 In이 많아지면 결정 결함과 압전 전기장이 늘고, AlGaInP는 간접 띠로 바뀐다.

SIMULATOR

LED 색 설계: 띠 간격을 끌어 목표 색을 맞혀라

왼쪽 전도대 위의 흰 원을 위아래로 끌어 띠 간격을 바꾼다

활성층 재료

띠 간격 E_g

조성—

봉우리 파장—

상대 내부 효율(개략)—

목표—

맞힌 색0

스펙트럼 폭은 열 분포와 합금 요동을 합쳐 약 3kT로 그렸다. 효율 막대는 문헌의 경향(녹색 간극, AlGaInP의 직접→간접 전환)을 흉내 낸 개략값이다. 해볼 것: ① 목표 색과 봉우리 파장을 ±3 nm 안으로 맞춰라. 재료가 그 색을 낼 수 없으면 바꿔야 한다. ② 녹색(525 nm)을 InGaN으로 만들면 In 조성이 얼마나 필요한가? ③ AlGaInP에서 E_g를 2.23 eV 위로 올리면 효율이 무너진다.

광 추출과 탈출 원뿔

활성층에서 빛이 만들어져도 밖으로 나오기가 어렵다. 반도체의 굴절률은 $n \approx 2.5$(GaN)–3.5(GaAs)로 커서, 표면에 임계각 $\theta_c = \sin^{-1}(1/n)$보다 비스듬히 닿은 빛은 전반사(total internal reflection)되어 갇힌다. 등방적으로 나온 빛 중 한 면의 탈출 원뿔(escape cone)에 드는 비율은 입체각 비로

$$\eta_\text{extr} = \frac{1 - \cos\theta_c}{2} \approx \frac{1}{4n^2}\quad(n \gg 1)$$

GaAs($n$ = 3.5)에서 2%, GaN(2.5)에서 4%. 원뿔 안에서도 프레넬 반사(수직 입사 $T = 4n/(n+1)^2$)로 일부를 더 잃는다.

굴절률 n

MINI LAB광선 끝의 흰 원을 끌어 방향을 바꿔 보라. 색칠한 원뿔 안의 광선만 공기로 빠져나가고(스넬 법칙 $n\sin\theta = \sin\theta_\text{air}$), 밖의 광선은 전반사로 칩 안에 갇힌다. 그래서 실제 LED는 표면 요철, 칩 뒤집기(flip-chip), 굴절률이 큰 봉지재(n ≈ 1.5)로 원뿔을 넓힌다.

In_xGa_1−xN 활성층의 띠 간격이 2.75 eV다. (a) 발광 파장($hc/E_g$)은? (b) GaN($n$ = 2.5)의 평평한 윗면 하나로 빠져나가는 빛의 비율을 정확한 식과 $1/4n^2$ 근사로 구하라.

풀이 보기

풀이 (a) $\lambda = 1239.84/2.75 = 451$ nm. (b) $\theta_c = \sin^{-1}(1/2.5) = 23.6^\circ$, $(1 - \cos23.6^\circ)/2 = (1 - 0.9165)/2 = 0.0417$. 근사: $1/(4\times6.25) = 0.0400$.

(a) 451 nm (청색) (b) 4.2% (근사 4.0%)

검토 이대로면 EQE가 4%를 넘을 수 없다. 사파이어 기판 위 요철(PSS), 칩 측면 경사, 반사 전극 등으로 오늘날 청색 LED의 추출 효율은 80% 이상이고 EQE는 70%를 넘는다. 이 청색 빛으로 노란 형광체를 여기해 백색 LED를 만든다.

마이크로 LED와 OLED

디스플레이용 마이크로 LED는 한 변이 10 µm 이하인 InGaN·AlGaInP 칩을 전사해 픽셀로 쓴다. 칩이 작아지면 둘레/면적 비가 커져, 식각한 옆벽의 결함에서 비복사 재결합이 늘고 EQE가 급락한다(적색 AlGaInP에서 특히 심함). 옆벽 원자층 증착(ALD) 패시베이션과 적색 InGaN 개발이 그래서 중요하다. 레이저 리프트오프로 사파이어 기판을 떼어 내는 공정도 쓰인다. OLED는 유기 분자의 들뜬 상태(엑시톤)가 빛을 내는데, 스핀 통계상 들뜬 상태의 75%가 삼중항이라 형광 분자는 내부 효율이 25%에 묶이고, 이리듐 같은 무거운 원자로 삼중항도 빛을 내게 한 인광 물질이 이 한계를 넘는다(9장 스핀). → SemiBooks: 마이크로 LED, OLED, 광전 소자

반도체 레이저: 이중 이종 접합과 양자 우물

LED에 공진기(벽개면)를 달고 전류를 충분히 넣어 반전을 만들면 반도체 레이저가 된다. 반도체의 밀도 반전 조건은 전자의 준페르미 준위와 정공의 준페르미 준위 차가 광자 에너지보다 큰 것이다(버나드–듀라포그 조건(Bernard–Duraffourg condition): $E_{Fn} - E_{Fp} > h\nu > E_g$). 초기의 단순 pn 접합(동종 접합) 레이저는 캐리어가 수 µm로 퍼져 나가 상온에서 발진하지 못했다. 이를 해결한 것이 크뢰머와 알표로프(2000년 노벨상)의 이종 접합이다.

동종 접합: 주입된 전자와 정공이 서로 다른 쪽으로 수 µm씩 퍼져 반전 밀도가 낮다. 상온 문턱 전류 밀도가 수만 A/cm²였다.
이중 이종 접합(DH): 띠 간격이 큰 AlGaAs 사이에 GaAs를 0.1–0.2 µm 끼우면 띠 어긋남이 캐리어를 가둔다.
띠 간격이 작은 GaAs는 굴절률도 커서(3.6 vs 3.4) 빛까지 같은 곳에 가둔다. 문턱 이득은 $g_\text{th} = (\alpha_i + \alpha_m)/\Gamma$.
활성층을 양자 우물(5장)로 만들면 상태 밀도가 계단꼴(10장)이 되어 적은 캐리어로 반전되고, 문턱 전류 밀도가 100 A/cm² 수준으로 내려간다.

반도체 레이저의 진화. 캐리어 구속과 광 구속을 한 구조로 이룬 것이 상온 연속 발진의 열쇠였다. 오늘날 광통신 InGaAsP/InP, 광 저장 AlGaInP, 청색 InGaN 레이저가 모두 양자 우물 레이저다.

공진기를 기판에 수직으로 세우고 위아래에 분산 브래그 반사경(DBR, 반사율 99% 이상)을 둔 것이 수직 공진 표면 방출 레이저(VCSEL)다. 활성 영역 길이가 수십 nm밖에 안 되므로 $\alpha_m$을 작게 하려면 $R$이 매우 커야 한다 — 위 문턱 시뮬레이터의 식 그대로다. 스마트폰 얼굴 인식, 데이터 센터 광 연결에 쓰인다.

광검출기와 태양 전지

흡수로 만든 전자–정공 쌍을 전기장으로 갈라 모으면 광검출기(photodetector)다. 가장 흔한 것은 역방향 바이어스한 p–i–n 포토다이오드다. 공핍된 i 층에서 흡수된 광자는 전기장에 의해 바로 갈라져 광전류가 된다.

p–i–n 포토다이오드. 짧은 파장은 표면 근처에서, 긴 파장은 깊은 곳에서 흡수된다. 띠 간격보다 에너지가 작은 광자는 그냥 통과한다.

들어온 광자 하나당 모인 전자 수를 양자 효율(quantum efficiency) $\eta$라 하고, 입사 광전력당 광전류를 응답도(responsivity) $\mathcal{R}$이라 한다.

$$\eta = \frac{I_\text{ph}/q}{P/h\nu}, \qquad \mathcal{R} = \frac{I_\text{ph}}{P} = \frac{\eta q\lambda}{hc} = \eta\,\frac{\lambda\ [\text{nm}]}{1239.84}\ \text{A/W}, \qquad \lambda_c = \frac{hc}{E_g}$$

같은 $\eta$라면 파장이 길수록 광자 하나의 에너지가 작아 같은 전력에 광자가 더 많다 → 응답도는 $\lambda$에 비례해 오르다가 차단 파장 $\lambda_c$(Si 1107 nm, Ge 1879 nm, In_0.53Ga_0.47As 1653 nm)에서 뚝 떨어진다.

양자 효율 0.8인 포토다이오드에 파장 850, 전력 1.0의 빛을 쪼이면 응답도는 , 광전류는 이다. 초당 광자 개가 들어온다.

SIMULATOR

포토다이오드 응답도 곡선

흰 원을 끌어 파장(좌우)과 양자 효율(위아래)을 바꾼다

검출기 재료

흡수층 두께 d 이상 직선 η = 1 표시

파장—

응답도 𝓡—

이 파장의 η—

차단 파장 λ_c—

곡선은 $\mathcal{R}(\lambda) = \eta_0\,e^{-\alpha d_s}(1 - e^{-\alpha d})\,\lambda/1239.84$(표면 손실층 $d_s$ = 0.05 µm)이다. $\eta_0$는 표면 반사와 수집 효율을 합친 값으로, 흰 원을 위아래로 끌어 정한다. 해볼 것: ① 이상 직선(점선)과 비교해 짧은 파장 손실과 차단 파장 근처 손실을 찾아라. ② Si에서 d를 2 µm로 줄이면 근적외 응답이 무너진다. ③ 1310·1550 nm 광통신 대역을 검출할 수 있는 재료는?

850 nm 광 연결용 Si 포토다이오드의 양자 효율이 0.80이다. 응답도와, 2.0 µW의 빛을 받을 때의 광전류를 구하라. 이 검출기로 1310 nm 빛을 볼 수 있는가?

풀이 보기

풀이 $\mathcal{R} = 0.80\times850/1239.84 = 0.548$ A/W. $I = (0.548)(2.0\ \text{µW}) = 1.10$ µA. Si의 차단 파장은 $1239.84/1.12 = 1107$ nm이므로 1310 nm(0.946 eV)는 흡수되지 않는다.

𝓡 = 0.548 A/W, I = 1.10 µA, 1310 nm는 검출 불가

검토 $\eta = 1$이어도 850 nm의 한계 응답도는 0.686 A/W다. 장거리 광통신(1310·1550 nm)에는 Ge나 InGaAs가 필요하다.

실리콘 포토닉스: 빛을 내지 못하는 Si를 보완하기

Si는 간접 띠 간격이라 효율적인 광원이 될 수 없고(복사 재결합 계수가 GaAs의 2만분의 1), 1.12 eV 띠 간격 때문에 1310·1550 nm 통신 파장에 투명하다. 투명함은 도파로로는 장점이다(손실 < 1 dB/cm). 그래서 실리콘 포토닉스 칩은 Si 도파로와 변조기 위에, Si 위에 에피 성장한 Ge 포토다이오드(Ge의 직접 띠 0.80 eV = 1550 nm, 인장 변형으로 흡수 끝을 더 늘림)를 붙이고, 광원은 InP 계열 III–V 레이저를 웨이퍼 접합하거나 플립칩으로 얹는다. AI 데이터 센터의 공동 패키지 광학(CPO)이 이 기술 위에 서 있다. → SemiBooks: 광전 소자, 패키징

태양 전지

태양 전지는 바이어스 없이 동작하는 넓은 포토다이오드다. 광전류 $I_L$이 다이오드 전류와 반대로 흘러 $I = I_L - I_0(e^{qV/kT} - 1)$이 되고, 4사분면에서 전력을 낸다. 띠 간격이 효율을 정한다: $h\nu < E_g$인 광자는 버려지고, $h\nu > E_g$인 광자도 초과분 $h\nu - E_g$를 열(포논)로 잃는다(열화(thermalization)). 예를 들어 Si에 흡수된 450 nm 광자(2.76 eV)는 에너지의 59%를 열로 잃는다. 두 손실의 균형으로 단일 접합 효율의 상한(쇼클리–퀘이서 한계)은 $E_g \approx 1.34$ eV에서 약 33%이고, Si는 오제 재결합까지 고려하면 약 29%다. 띠 간격이 다른 층을 쌓은 다중 접합 전지는 이 한계를 넘는다.

핵심 정리

빛과 원자의 과정은 흡수($B\rho N_1$), 자발 방출($AN_2$), 유도 방출($B\rho N_2$)이다. 열평형과 플랑크 법칙에서 $B_{12} = B_{21}$, $A/B = 8\pi h\nu^3/c^3$가 나온다.
들뜬 상태는 수명 $\tau = 1/A$로 지수 붕괴하고, 자연 선폭은 $\Delta\nu = 1/2\pi\tau$이다. 기체는 도플러, 반도체는 $\sim kT$ 넓어짐이 더 크다. 결맞음 길이 $l_c \approx c/\Delta\nu$.
이득 $g = \sigma(N_2 - N_1)$은 밀도 반전이 있어야 양수다. 두 준위로는 반전이 불가능하고, 3·4준위 펌핑이 필요하다.
레이저 문턱은 이득 = 손실: $g_\text{th} = \alpha_i + \frac{1}{2L}\ln\frac{1}{R_1R_2}$. 문턱 위에서 출력은 펌프에 선형으로 증가하고, 거울 반사율에는 최적값이 있다.
반도체 흡수는 $h\nu \ge E_g$에서 시작한다. 직접 띠는 $\alpha \propto \sqrt{h\nu - E_g}$로 급격하고, 간접 띠는 포논이 필요해 완만하다. 세기는 $e^{-\alpha x}$로 줄고 침투 깊이는 $1/\alpha$(Si: 파랑 0.4 µm, 빨강 3.6 µm, 1000 nm 160 µm).
LED: $\lambda \approx hc/E_g$, $\eta_\text{ext} = \eta_\text{inj}\eta_\text{int}\eta_\text{extr}$, 평평한 면의 추출은 $\approx 1/4n^2$. 반도체 레이저는 이중 이종 접합·양자 우물로 캐리어와 빛을 함께 가둔다.
광검출기: $\mathcal{R} = \eta\lambda[\text{nm}]/1239.84$ A/W, 차단 파장 $\lambda_c = hc/E_g$. 태양 전지는 띠 간격 아래 광자 손실과 열화 손실의 균형으로 효율 한계가 정해진다.

연습문제

$hc$ = 1239.84 eV·nm, $k$ = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K, $c$ = 2.998 × 10⁸ m/s를 쓴다. Si의 흡수 계수는 4절의 표를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

KrF 엑시머 레이저(248 nm) 광자 하나의 에너지는?

$E = 1239.84/248 = 5.00$ eV. SiO₂ 띠 간격(9 eV)보다 작아 석영 렌즈를 투과한다.

준위 차가 0.100 eV인 두 준위(겹침수 같음)의 300 K 열평형 분포 비 $N_2/N_1$은?

$kT = 0.025852$ eV, $N_2/N_1 = e^{-0.100/0.025852} = e^{-3.868} = 0.0209$.

수명이 5.0 ns인 들뜬 상태에서 나오는 빛의 자연 선폭(진동수 반치폭)은?

$\Delta\nu = 1/(2\pi\tau) = 1/(2\pi\times5.0\times10^{-9}) = 3.18\times10^7$ Hz = 31.8 MHz.

1500 K 용광로 속 열복사에서 파장 1.00 µm 빛의 자발 방출 빈도는 유도 방출 빈도의 몇 배인가?

비 $= e^{h\nu/kT} - 1$.

$h\nu = 1.240$ eV, $kT = 0.1293$ eV, $h\nu/kT = 9.59$ → $e^{9.59} - 1 = 1.46\times10^4$.

길이 0.50 m인 기체 레이저 공진기의 거울 반사율이 1.00과 0.97이다. 내부 손실을 무시할 때 문턱 이득 계수는?

$g_\text{th} = \dfrac{1}{2L}\ln\dfrac{1}{R_1R_2} = \dfrac{\ln(1/0.97)}{1.00\ \text{m}} = 0.0305$ m⁻¹. 한 번 지날 때 1.5% 남짓 증폭이면 충분하다.

GaAs($n$ = 3.6) 결정을 쪼갠 두 면을 거울로 쓰는 길이 250 µm 레이저의 내부 손실이 15 cm⁻¹이다. 벽개면 반사율과 문턱 이득을 구하라.

$R = ((n-1)/(n+1))^2$, $L$ = 0.0250 cm.

$R = (2.6/4.6)^2 = 0.319$. $\alpha_m = \ln(1/0.319^2)/(2\times0.0250) = 2.284/0.0500 = 45.7$ cm⁻¹ → $g_\text{th} = 15 + 45.7 = 60.6$ cm⁻¹. 공진기가 짧을수록 거울 손실이 커진다.

군굴절률 4.0, 공진기 길이 300 µm인 1310 nm InGaAsP 레이저의 세로 모드 파장 간격은?

$\Delta\lambda = \lambda^2/(2n_gL) = (1310\ \text{nm})^2/(2\times4.0\times3.00\times10^5\ \text{nm}) = 0.715$ nm.

활성층의 띠 간격이 2.70 eV인 LED의 발광 파장을 $hc/E_g$로 어림하라.

$\lambda = 1239.84/2.70 = 459$ nm (청색).

GaN($n$ = 2.5) LED 칩의 평평한 윗면에서 공기로 나가는 임계각과, $1/4n^2$ 근사의 추출 효율(%)을 구하라.

$\theta_c = \sin^{-1}(1/2.5) = 23.6^\circ$, $1/(4\times2.5^2) = 0.0400 = 4.00\%$. 정확한 식 $(1-\cos\theta_c)/2$는 4.17%.

두께 2.0 µm의 Si 흡수층이 550 nm와 850 nm 빛을 각각 몇 % 흡수하는가? (α: 550 nm 6.4 × 10³ cm⁻¹, 850 nm 535 cm⁻¹, 반사 무시)

550 nm: $1 - e^{-(6.4\times10^3)(2.0\times10^{-4})} = 1 - e^{-1.28} = 72.2\%$. 850 nm: $1 - e^{-0.107} = 10.1\%$. 근적외 검출에는 훨씬 두꺼운 층이나 광 가둠 구조가 필요하다.

실리콘 포토닉스의 Ge 포토다이오드가 1550 nm에서 양자 효율 0.70이다. 응답도와, 50 µW 입력에서의 광전류는?

$\mathcal{R} = 0.70\times1550/1239.84 = 0.875$ A/W, $I = 0.875\times50 = 43.8$ µA.

450 nm 청색 LED가 50 mA, 3.1 V에서 광출력 55 mW를 낸다. 외부 양자 효율과 전력 효율(wall-plug efficiency)을 구하라.

초당 광자 수 $P/h\nu$와 초당 전자 수 $I/q$의 비. $h\nu$를 eV로 쓰면 $\text{EQE} = P[\text{W}]/(h\nu[\text{eV}]\cdot I[\text{A}])$.

$h\nu = 1239.84/450 = 2.755$ eV. EQE $= 0.055/(2.755\times0.050) = 0.399 = 39.9\%$. WPE $= 55/(3.1\times50) = 0.355 = 35.5\%$. 인가 전압(3.1 V)이 광자 에너지(2.76 V 상당)보다 커서 WPE < EQE다.

유도 방출 단면적이 $3.0\times10^{-19}$ cm²인 고체 레이저 매질이 문턱 이득 0.050 cm⁻¹에 도달하려면 반전 밀도 $N_2 - N_1$이 얼마여야 하는가?

$\Delta N = g/\sigma = 0.050/3.0\times10^{-19} = 1.67\times10^{17}$ cm⁻³. Nd 원자 농도(~1.4 × 10²⁰ cm⁻³)의 0.1% 남짓이다.

들어온 광자와 진동수·방향·위상이 모두 같은 광자를 내는 과정은?

유도 방출은 광자를 복제한다. 레이저 빛의 결맞음은 여기서 나온다.

실리콘이 빛을 잘 흡수하면서도 효율적인 LED가 되지 못하는 가장 큰 이유는?

흡수는 두께로 보상할 수 있지만(빛이 충분히 오래 지나가면 결국 흡수), 발광은 경쟁 과정과의 빠르기 싸움이다. Si의 복사 수명은 ms 수준, 결함을 통한 비복사 수명은 µs 수준이다.

개념 확인 퀴즈

X선 레이저를 만들기가 가시광 레이저보다 훨씬 어려운 근본 이유는?

진동수가 100배면 자발 방출 빈도는 10⁶배다. 반사경 문제도 있지만, 근본은 수명이 극도로 짧아진다는 것이다. EUV 노광이 레이저 대신 플라즈마의 자발 방출을 쓰는 이유이기도 하다.

두 준위 원자에 펌프 빛을 아무리 세게 쪼여도 밀도 반전이 안 되는 이유는?

강한 펌프 극한에서 두 준위는 "포화"되어 반반이 된다. 이득 $\sigma(N_2 - N_1)$은 0이 될 뿐 양수가 되지 않는다.

반도체 레이저 공진기의 두 거울 반사율을 모두 높이면?

$\alpha_m$이 줄어 $g_\text{th}$가 낮아지지만, 공진기 밖으로 나가는 빛의 비율 $\alpha_m/(\alpha_i + \alpha_m)$도 줄어든다.

실리콘 이미지 센서에서 근적외(940 nm) 감도를 높이는 방법으로 알맞지 않은 것은?

940 nm의 침투 깊이는 수십 µm다. 얇게 만들수록 빛이 그냥 빠져나간다. 얇은 BSI 센서가 근적외에서 광 가둠 구조를 쓰는 이유다.

양자 효율이 파장에 상관없이 일정한 이상적 포토다이오드의 응답도(A/W)는 파장이 길어지면?

같은 1 W라도 긴 파장 광자는 에너지가 작아 개수가 많다. $\mathcal{R} = \eta\lambda/1239.84$. $h\nu < E_g$가 되면 흡수 자체가 멈춘다.