Chapter 15

자성

철 원자 하나의 자기 모멘트는 보어 마그네톤 두 개 남짓이다. 두 모멘트가 서로의 자기장으로 줄을 맞추려 해도 그 에너지는 0.1 K의 열에너지에도 못 미친다. 그런데 철은 1043 K까지 스스로 자화를 유지한다. 줄을 세우는 힘은 자기력이 아니라 파울리 원리와 쿨롱 반발이 함께 만드는 교환 상호작용이다. 이 장은 원자의 모멘트에서 출발해 반자성·상자성, 강자성의 평균장 이론, 자구와 히스테리시스를 지나 스핀 분극 터널링까지 간다. 끝에는 지름 수십 nm의 CoFeB/MgO/CoFeB 기둥 하나에 비트를 10년 동안 담는 STT-MRAM 셀이 있다. 아래 화면은 2차원 격자의 스핀 수백 개다. 온도 손잡이를 끌어 퀴리 온도 위아래를 오가 보자.

온도 손잡이를 끌거나 격자를 문지른다

자화 $M$, 자화율 $\chi$, $B = \mu_0(H+M)$의 관계를 쓰고, 궤도·스핀 모멘트와 란데 $g$ 인자, 훈트 규칙으로 이온의 유효 모멘트 $p_{\text{eff}} = g\sqrt{J(J+1)}$를 구한다(Dy³⁺: 10.6).
랑주뱅 반자성 $\chi = -\mu_0 NZe^2\langle r^2\rangle/6m$과 브릴루앙 함수의 상자성을 계산하고, 퀴리 법칙 $\chi = C/T$와 저온·강자기장 포화를 구분한다.
전도 전자의 파울리 상자성 $\chi_P = \mu_0\mu_B^2 g(E_F)$이 온도와 무관하고 퀴리 값보다 $T/T_F$배 작은 이유를 설명한다.
교환 상호작용 $-2J\,\vec S_i\cdot\vec S_j$와 바이스 분자장으로 자기 일관 $M(T)$를 그래프로 풀고, 퀴리 온도·퀴리–바이스 법칙 $\chi = C/(T-\theta)$·분자장 크기(철 ≈ 10³ T)를 계산한다.
반강자성·페리자성의 넬 온도와 $1/\chi$ 그래프를 읽고, 스토너 기준 $Ig(E_F) > 1$로 Fe·Co·Ni 모멘트(2.22·1.72·0.61 $\mu_B$)가 정수가 아닌 이유를 설명한다.
자벽 두께 $\delta = \pi\sqrt{A/K}$와 자벽 에너지, 결정·형상·계면 이방성을 계산하고, 스토너–울파스 모형의 별모양 임계 곡선으로 보자력과 히스테리시스를 해석한다.
쥘리에르 식 $\text{TMR} = 2P_1P_2/(1-P_1P_2)$, 열 안정성 $\Delta = K_uV/k_BT$로 MRAM 셀의 읽기 신호·데이터 보존·셀 크기 한계를 계산한다.

자화와 원자의 자기 모멘트

자석의 물리는 작은 전류 고리에서 시작한다. 넓이 $a$인 고리에 전류 $I$가 돌면 자기 모멘트(magnetic moment) $\mu = Ia$(단위 A·m² = J/T)가 생기고, 자기장 $\vec B$ 안에서 에너지 $U = -\vec\mu\cdot\vec B$를 가진다. 물질 속에는 이런 원자 크기의 고리가 $10^{28}$–$10^{29}$ m⁻³만큼 들어 있다. 단위 부피당 자기 모멘트의 합이 자화(magnetization) $\vec M$(A/m)이다.

$$\vec B = \mu_0(\vec H + \vec M), \qquad \vec M = \chi\vec H, \qquad \mu_r = 1 + \chi$$

$\vec H$(A/m)는 자유 전류(코일)가 만드는 자기장 세기, $\vec B$(T)는 자기 선속 밀도, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ T·m/A. 선형 물질에서 $\chi$가 자화율(magnetic susceptibility)이다(SI에서 차원 없음). 오래된 자료의 cgs 값은 $\chi_{\text{SI}} = 4\pi\chi_{\text{cgs}}$, 자화는 1 emu/cm³ = 10³ A/m로 바꾼다.

자화율의 부호와 크기로 물질을 나눈다. $\chi < 0$이면 자기장을 밀어내는 반자성, $\chi > 0$이면 끌려 들어가는 상자성이고, 둘 다 $|\chi|$가 $10^{-6}$–$10^{-3}$으로 작다. 철·코발트·니켈 같은 강자성체는 외부 자기장 없이도 자화를 가지며, 겉보기 $\chi$가 $10^2$–$10^5$에 이른다. 다만 강자성체의 $M$은 $H$에 비례하지도 않고 과거 이력에 따라 달라진다(§15.5).

자화율의 크기는 11자리에 걸쳐 있다. 반자성(아래)과 상자성(위)은 $10^{-6}$–$10^{-2}$에 모여 있고, 강자성체만 수백–수십만이다. 웨이퍼의 실리콘은 약한 반자성체다($\chi = -4.1\times10^{-6}$).

궤도 모멘트, 스핀 모멘트, 보어 마그네톤

반지름 $r$의 원 궤도를 속력 $v$로 도는 전자는 전류 $I = -e v/2\pi r$이고 넓이 $\pi r^2$이므로 $\mu = -evr/2$다. 각운동량 $L = m v r$을 쓰면 $\vec\mu_L = -(e/2m)\vec L$이 된다. 양자역학에서 $L_z = m_\ell\hbar$이므로 모멘트는 다음 단위로 양자화된다.

$$\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} = 9.274\times10^{-24}\ \text{J/T} = 5.788\times10^{-5}\ \text{eV/T}$$

보어 마그네톤(Bohr magneton). 1 T에서 $\mu_B B$는 0.058 meV, 온도로 0.67 K다. 상온 $k_BT$(25.9 meV)의 450분의 1에 불과하다(Solid.const.muB).

전자 스핀은 같은 각운동량이라도 모멘트를 두 배 가까이 만든다: $\vec\mu_S = -g_s\mu_B\vec S/\hbar$, $g_s = 2.0023$. 원자 안에서 궤도와 스핀은 스핀–궤도 결합으로 묶여 총각운동량 $\vec J = \vec L + \vec S$로 움직이고(현대물리 9장 스핀과 다전자 원자), 모멘트는 $\vec J$ 방향 성분만 남는다.

$$\vec\mu = -g_J\mu_B\frac{\vec J}{\hbar}, \qquad g_J = \frac32 + \frac{S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}, \qquad p_{\text{eff}} = g_J\sqrt{J(J+1)}$$

$g_J$는 란데 g 인자(Landé g-factor). 자기장 속 에너지는 $E = g_J\mu_B m_J B$($m_J = -J, \dots, J$), 측정되는 유효 자기 모멘트(effective magnetic moment)는 $p_{\text{eff}}\mu_B$이다. 순수 스핀($L = 0$)이면 $g = 2$, 순수 궤도($S = 0$)면 $g = 1$.

훈트 규칙: 이온의 바닥 상태

채워진 껍질은 $L = S = 0$이라 모멘트가 없다. 모멘트는 덜 찬 3d(철족)·4f(희토류) 껍질에서 나온다. 바닥 상태의 $S, L, J$는 훈트 규칙(Hund's rules)이 정한다. ① 배타 원리가 허락하는 한 $S$를 최대로(스핀을 나란히), ② 그 안에서 $L$을 최대로, ③ 껍질이 반 미만이면 $J = |L - S|$, 반 이상이면 $J = L + S$. ①은 다음 절의 교환 에너지, ③은 스핀–궤도 결합의 부호에서 나온다.

4f 껍질의 일곱 궤도($m_\ell = 3, \dots, -3$)에 전자 9개를 넣는다. 규칙 ①: 먼저 일곱 개를 모두 같은 스핀으로 넣어 $S$를 키운다.
남은 두 개는 반대 스핀이어야 한다. 규칙 ②: $L$이 커지도록 $m_\ell = 3, 2$에 넣는다. $S = 5/2$, $L = 5$.
규칙 ③: 껍질이 반 이상 찼으므로 $J = L + S = 15/2$. 분광 기호 $^{2S+1}L_J$로 $^6H_{15/2}$.
란데 인자 $g = 4/3$, 유효 모멘트 $p_{\text{eff}} = 10.63$ — 희토류 염에서 실측한 10.6과 거의 같다.

훈트 규칙은 "스핀은 최대한 나란히, 궤도 회전은 최대한 한쪽으로"다. 4f 전자는 이온 깊숙이 있어 결정 속에서도 이 원자 값이 그대로 측정된다.

3d 이온은 사정이 다르다. 3d 궤도는 이온의 바깥에 있어 이웃 음이온의 전기장(결정장)을 직접 받는다. 결정장은 궤도를 특정 방향의 실함수 꼴로 고정해 $\langle L_z\rangle$를 0으로 만든다. 이를 궤도 모멘트 소멸(orbital quenching)이라 하고, 그 결과 3d 이온의 모멘트는 스핀만의 값 $p = 2\sqrt{S(S+1)}$에 가깝다. 아래 미니 실험에서 두 경우를 비교해 보자.

껍질

전자 수 n

MINI LAB훈트 규칙으로 궤도를 채우고 $S, L, J, g_J, p_{\text{eff}}$를 계산한다. 막대는 $J$로 계산한 값, 스핀만의 값, 실측(Kittel 표, 상자성 염)이다. 4f에서는 $J$ 값이, 3d에서는 스핀만의 값이 실측과 맞는 것을 확인하라. 정확히 반 찬 껍질(d⁵, f⁷)은 $L = 0$이라 둘이 같다.

(a) Ce³⁺(4f¹)의 $S, L, J, g_J, p_{\text{eff}}$를 구하라. (b) Cr³⁺(3d³)의 $J$로 계산한 $p_{\text{eff}}$와 스핀만의 값을 비교하라. 실측은 3.8이다.

풀이 보기

전략 훈트 규칙으로 $S, L$을 정하고, 반 미만이므로 $J = |L - S|$. 란데 식에 넣는다.

풀이 (a) 전자 하나: $S = 1/2$, $m_\ell = 3$에 넣어 $L = 3$, $J = 3 - 1/2 = 5/2$. $g = \tfrac32 + \dfrac{\tfrac34 - 12}{2\cdot\tfrac{35}{4}} = \tfrac32 - \tfrac{45}{70} = \tfrac67$, $p = \tfrac67\sqrt{\tfrac52\cdot\tfrac72} = 2.54$. (b) 세 전자가 $m_\ell = 2, 1, 0$에 같은 스핀: $S = 3/2$, $L = 3$, $J = 3/2$. $g = \tfrac32 + \dfrac{\tfrac{15}{4} - 12}{2\cdot\tfrac{15}{4}} = 0.40$, $p_J = 0.40\sqrt{15/4} = 0.77$. 스핀만: $p_S = 2\sqrt{15/4} = 3.87$.

(a) S = 1/2, L = 3, J = 5/2, g = 6/7, p_eff = 2.54 (실측 2.4) (b) p_J = 0.77, p_S = 3.87 — 실측 3.8은 스핀만의 값

검토 Cr³⁺의 궤도 모멘트는 결정장에 완전히 소멸했다. 희토류처럼 4f가 안쪽에 숨은 이온에서만 $J$가 좋은 양자수로 남는다.

반자성과 상자성

랑주뱅 반자성

자기장을 켜는 순간 원자 속 전자 궤도에는 렌츠 법칙에 따라 그 변화를 거스르는 유도 전류가 생긴다. 고전적으로는 궤도 전체가 라모어 진동수 $\omega_L = eB/2m$으로 세차 운동을 하는 것과 같다. 전자 $Z$개가 반지름 제곱 평균 $\langle r^2\rangle$인 궤도에서 세차 운동을 하면 자기장과 반대 방향의 모멘트가 생기고, 원자 밀도 $N$인 물질의 반자성(diamagnetism) 자화율은 다음과 같다.

$$\chi_{\text{dia}} = -\frac{\mu_0 N Z e^2\langle r^2\rangle}{6m_e}$$

랑주뱅 반자성. $\langle r^2\rangle$는 원자 반지름 제곱 정도($\sim a_0^2$)라 $\chi$는 $-10^{-6}$–$-10^{-5}$이고 온도에 거의 무관하다. 모든 물질에 있지만 상자성·강자성이 있으면 가려진다.

반자성의 극한이 초전도체다. 초전도체는 내부에서 $B = 0$을 유지하는 완전 반자성체($\chi = -1$, 마이스너 효과)인데, 원자 하나하나가 아니라 거시적 초전류가 자기장을 밀어낸다.

헬륨 원자의 두 전자는 각각 $\langle r^2\rangle = 1.193\,a_0^2$($a_0 = 0.05292$ nm)이다. 몰 자화율 $\chi_{\text{mol}} = \chi/N \cdot N_A$(m³/mol)을 구하고 cgs 실측값 $-1.9\times10^{-6}$ cm³/mol과 비교하라.

풀이 보기

전략 랑주뱅 식에서 $N$을 $N_A$로 바꾸면 몰당 값이다. SI 몰 자화율은 cgs 값의 $4\pi\times10^{-6}$배다.

풀이 $\chi_{\text{mol}} = -\dfrac{\mu_0 N_A Z e^2\langle r^2\rangle}{6m_e} = -\dfrac{(1.2566\times10^{-6})(6.022\times10^{23})(2)(1.602\times10^{-19})^2(1.193)(5.292\times10^{-11})^2}{6(9.109\times10^{-31})} = -2.37\times10^{-11}$ m³/mol. cgs로는 $-2.37\times10^{-11}/(4\pi\times10^{-6}) = -1.89\times10^{-6}$ cm³/mol.

χ_mol = −2.37 × 10⁻¹¹ m³/mol (cgs −1.89 × 10⁻⁶ cm³/mol, 실측 −1.9 × 10⁻⁶)

검토 고전적 세차 그림에 양자역학의 $\langle r^2\rangle$만 넣었는데 실측과 1%로 맞는다. 기체 헬륨(1기압)의 부피 자화율은 이 값을 몰 부피 0.0224 m³로 나눈 $\sim10^{-9}$이다.

상자성: 브릴루앙 함수

모멘트가 있는 이온이 서로 독립이라면, 자기장은 $2J+1$개의 준위 $E = g_J\mu_B m_J B$를 만들고 열평형에서 각 준위는 볼츠만 인수 $e^{-E/k_BT}$만큼 찬다. 아래쪽 준위(모멘트가 자기장 방향)가 조금 더 차서 생기는 알짜 자화가 상자성(paramagnetism)이다. 평균을 계산하면

$$M = Ng_JJ\mu_B\,B_J(x), \quad x = \frac{g_JJ\mu_BB}{k_BT}, \quad B_J(x) = \frac{2J+1}{2J}\coth\!\left(\frac{2J+1}{2J}x\right) - \frac{1}{2J}\coth\!\left(\frac{x}{2J}\right)$$

$B_J$는 브릴루앙 함수(Brillouin function)(Solid.brillouin(J, x)). $J = 1/2$이면 $B_{1/2} = \tanh x$, $J \to \infty$(고전 모멘트)이면 랑주뱅 함수 $L(x) = \coth x - 1/x$(Solid.langevin)가 된다. 포화 자화는 $M_s = Ng_JJ\mu_B$.

두 극한이 중요하다. 실온처럼 $x \ll 1$이면 $B_J(x) \approx (J+1)x/3J$이므로 자화는 $B/T$에 비례한다 — 퀴리 법칙(Curie law)이다. 반대로 1 K 근처에서 수 T를 걸면 $x \gg 1$이 되어 모든 모멘트가 정렬하고 $M \to M_s$로 포화한다.

$$\chi = \frac{\mu_0 M}{B} \approx \frac{C}{T}, \qquad C = \frac{\mu_0 N g_J^2 J(J+1)\mu_B^2}{3k_B} = \frac{\mu_0 N p_{\text{eff}}^2\mu_B^2}{3k_B}$$

$C$는 퀴리 상수(Curie constant)(단위 K, Solid.curieC(N, J, g)). $1/\chi$를 $T$에 대해 그리면 원점을 지나는 직선이고, 기울기에서 $p_{\text{eff}}$를 읽는다 — 앞 절의 실측 모멘트는 이렇게 얻었다.

모멘트 밀도 2.0, $J = S =$ 2.5($g = 2$)인 상자성 염의 퀴리 상수는 $C =$ 이다. 온도 300에서 $\chi =$ 이므로, 1 T를 걸면 자화는 $M =$ 로 포화 자화의 이다(퀴리 근사, $x =$ ).

상자성 염에 2 T를 걸고 2 K에서 자화를 쟀다. 이번에는 자기장을 4 T, 온도를 4 K로 둘 다 두 배로 했다. 자화는 어떻게 될까?

준위 사이 간격 $g\mu_BB$와 열에너지 $k_BT$가 함께 두 배가 되어 볼츠만 인수가 그대로다. 브릴루앙 함수는 $B/T$만의 함수이므로 포화 영역이든 선형 영역이든 같은 점에 놓인다. 아래 실험대에서 B와 T를 따로 움직여 확인하라.

SIMULATOR

상자성 실험대: 브릴루앙 곡선 위를 걸어 보기

이온 (J, g = 2)

자기장 B 온도 T 고전 모멘트(랑주뱅) 비교 퀴리 법칙 직선

B/T—

x = gJμ_BB/k_BT—

이온당 ⟨μ⟩—

M/M_s—

퀴리 법칙 예측—

왼쪽: 이온당 모멘트 $\langle\mu_z\rangle = gJ\mu_B B_J(x)$를 $B/T$(T/K)에 대해 그렸다. 곡선 위 흰 원을 좌우로 끌면 B가 바뀐다. 세 곡선은 헨리(1952)가 1.3–4.2 K, 5 T까지 측정한 Cr³⁺·Fe³⁺·Gd³⁺ 염의 데이터가 정확히 올라간 곡선이다. 오른쪽: $2J+1$개 제만 준위와 볼츠만 점유 확률. 온도 슬라이더는 1–300 K 로그 눈금이다. 해볼 것: ① B를 그대로 두고 T만 바꾸어 같은 점에 다시 와 보라(예측 문제). ② 300 K, 8 T에서도 $x$가 0.1도 안 되어 퀴리 직선 위에 있음을 확인하라. 실온 상자성이 늘 선형인 이유다. ③ 고전 랑주뱅 곡선은 같은 $p_{\text{eff}}$로 시작 기울기는 같지만 포화가 늦다. J가 작을수록 차이가 크다.

$J = S = 5/2$, $g = 2$인 이온이 $N = 2.0\times10^{28}$ m⁻³ 들어 있는 염이 있다. (a) 퀴리 상수와 300 K의 $\chi$는? (b) 2.0 K에서 5.0 T를 걸면 $M/M_s$는? 퀴리 법칙으로 계산하면 얼마가 나오는가?

풀이 보기

전략 (a)는 퀴리 상수 식. (b)는 $x$가 1보다 큰지 먼저 보고, 크면 브릴루앙 함수를 그대로 계산한다.

풀이 (a) $C = \dfrac{(1.2566\times10^{-6})(2.0\times10^{28})(4)(9.274\times10^{-24})^2(35/4)}{3(1.381\times10^{-23})} = 1.83$ K, $\chi(300\ \text{K}) = 1.83/300 = 6.09\times10^{-3}$. (b) $x = \dfrac{2\cdot\tfrac52(9.274\times10^{-24})(5.0)}{(1.381\times10^{-23})(2.0)} = 8.40$. $B_{5/2}(8.40) = \tfrac65\coth(10.08) - \tfrac15\coth(1.68) = 1.2000 - 0.2144 = 0.986$. 퀴리 근사 $(J+1)x/3J = (7/15)(8.40) = 3.92$는 1을 넘는다.

(a) C = 1.83 K, χ = 6.09 × 10⁻³ (b) M/M_s = 0.986 — 퀴리 법칙(3.92)은 완전히 틀린다

검토 포화 자화는 $M_s = NgJ\mu_B = 9.27\times10^5$ A/m로 철의 절반이 넘지만, 이것은 2 K·5 T에서만 가능하다. 상온에서 같은 자화를 얻으려면 수백 T가 필요하다 — 강자성체는 이것을 0 T에서 해낸다.

전도 전자의 파울리 상자성

금속의 전도 전자도 스핀 하나($\mu_B$)씩을 가진다. 독립 스핀이라면 퀴리 법칙 $\chi = \mu_0N\mu_B^2/k_BT$를 따라 상온 소듐에서 $7\times10^{-4}$이어야 한다. 실측은 그 100분의 1이고 온도에 거의 무관하다. 7장의 페르미 구가 답이다. 자기장은 스핀 위·아래 띠를 $\pm\mu_BB$만큼 어긋나게 하지만, 깊은 곳의 전자는 뒤집힐 빈자리가 없다. 페르미 준위 근처 폭 $\mu_BB$ 안의 전자만 뒤집히므로 알짜 스핀 수는 $g(E_F)\mu_BB$다.

$$\chi_P = \mu_0\mu_B^2\,g(E_F) = \frac{3N\mu_0\mu_B^2}{2E_F}, \qquad \frac{\chi_P}{\chi_{\text{Curie}}} = \frac{3}{2}\frac{T}{T_F}$$

$g(E_F)$는 두 스핀을 합친 단위 부피·에너지당 상태 밀도(자유 전자 $3N/2E_F$, 7장). 온도와 무관한 이 상자성을 파울리 상자성(Pauli paramagnetism)이라 한다. 자유 전자는 궤도 운동으로 그 1/3 크기의 란다우 반자성도 함께 가진다.

흰 원을 위아래로 끌어 B(과장됨)를 바꾼다

온도 k_BT/E_F

MINI LAB스핀 위(왼쪽)·아래(오른쪽) 자유 전자 상태 밀도를 등을 맞대어 그렸다. 자기장은 두 띠를 $\mp\mu_BB$ 어긋나게 하고, 전자는 공통 페르미 준위까지 다시 찬다. 색칠한 띠만큼($\propto g(E_F)\mu_BB$)만 알짜 스핀이 생긴다. 온도를 올려도 알짜 스핀 수가 거의 그대로인 것을 확인하라 — 파울리 상자성이 온도와 무관한 이유다.

소듐($N = 2.65\times10^{28}$ m⁻³, $E_F = 3.24$ eV)의 자유 전자 파울리 자화율을 구하고, 같은 수의 독립 스핀이 300 K에서 퀴리 법칙을 따를 때와 비교하라.

풀이 보기

전략 $\chi_P = 3N\mu_0\mu_B^2/2E_F$, 퀴리 값 $\chi_C = \mu_0N\mu_B^2/k_BT$($g = 2$, $J = 1/2$이면 $g^2J(J+1)/3 = 1$).

풀이 $\chi_P = \dfrac{3(2.65\times10^{28})(1.2566\times10^{-6})(9.274\times10^{-24})^2}{2(3.24\times1.602\times10^{-19})} = 8.28\times10^{-6}$. $\chi_C = \dfrac{(1.2566\times10^{-6})(2.65\times10^{28})(9.274\times10^{-24})^2}{(1.381\times10^{-23})(300)} = 6.91\times10^{-4}$. 비 $= 0.0120 = \tfrac32 T/T_F$($T_F = 3.76\times10^4$ K).

χ_P = 8.28 × 10⁻⁶ (퀴리 값 6.91 × 10⁻⁴의 1.2%)

검토 스핀 공명으로 잰 소듐의 스핀 자화율은 이 값보다 약 1.5배 크다. 전자끼리의 교환 상호작용이 스핀 정렬을 거든 것으로, 이 증폭이 1을 넘어 폭주하면 강자성이 된다(§15.4의 스토너 기준).

교환 상호작용과 평균장 이론

강자성의 원인이 자기 쌍극자 상호작용일 수는 없다. 0.25 nm 떨어진 두 $\mu_B$ 사이의 쌍극자 에너지는 $\mu_0\mu_B^2/4\pi r^3 \approx 5.5\times10^{-25}$ J, 온도로 0.04 K다. 철의 퀴리 온도 1043 K와는 네 자리가 다르다. 필요한 에너지는 전기적 크기(eV의 1/100)여야 한다.

교환: 파울리 원리 + 쿨롱 반발

전자 두 개의 전체 파동 함수는 맞바꿈에 대해 반대칭이어야 한다. 스핀이 나란한 삼중항($S = 1$)은 스핀 부분이 대칭이므로 공간 부분이 반대칭 $\psi_a(1)\psi_b(2) - \psi_b(1)\psi_a(2)$이고, 두 전자가 같은 곳에 있을 확률이 0이다. 스핀이 반대인 단일항($S = 0$)은 공간 부분이 대칭이라 두 전자가 가까이 올 수 있다. 쿨롱 반발 $e^2/4\pi\varepsilon_0r_{12}$의 기댓값이 두 경우에 달라지므로, 자기력과 무관하게 스핀 방향에 따라 에너지가 갈린다.

이웃한 두 원자의 궤도 $\psi_a$, $\psi_b$에 전자가 하나씩 있다. 두 전자는 쿨롱 힘으로 서로 밀어낸다.
스핀이 반대(단일항)이면 공간 파동 함수가 대칭이어서 두 전자가 같은 자리에 올 수 있다.
스핀이 나란하면(삼중항) 공간 파동 함수가 반대칭이라 $r_1 = r_2$에서 0이 된다. 전자들이 서로를 피하므로 쿨롱 반발 에너지가 달라진다.
두 에너지의 차이를 스핀 연산자로 쓰면 $H = -2J\,\vec S_1\cdot\vec S_2$이다. 교환 적분 $J$의 부호가 정렬을 정한다.

교환 상호작용은 새로운 힘이 아니다. 배타 원리가 공간 배치를 스핀에 묶고, 그 공간 배치에 따라 쿨롱 에너지가 달라진 결과다. 수소 분자(현대물리 분자 결합)에서는 $J < 0$이어서 스핀이 반대인 결합이 생긴다.

격자 전체로 넓히면 하이젠베르크 모형(Heisenberg model) $H = -2\sum_{\langle ij\rangle}J_{ij}\vec S_i\cdot\vec S_j$이 된다. $J > 0$인 물질은 모든 스핀이 나란한 상태가 바닥이다 — 강자성(ferromagnetism)이고, 원자 사이의 이 결합이 교환 상호작용(exchange interaction)이다.

바이스 분자장과 자기 일관 풀이

스핀 하나가 느끼는 이웃의 교환을 평균으로 바꾸면 계산이 풀린다. 1907년 바이스는 교환을 알기도 전에, 자화에 비례하는 내부 자기장 $B_E = \mu_0\lambda M$이 있다고 가정했다. 이것이 분자장(molecular field)이고, 이렇게 요동을 무시하고 평균만 남기는 방법을 평균장 이론(mean-field theory)이라 한다. 각 스핀은 외부장과 분자장의 합 속에서 상자성처럼 행동하지만, 그 분자장이 다시 자화에서 나오므로 $M$은 자기 자신과 맞아야 한다.

$$m \equiv \frac{M}{M_s} = B_J(x), \qquad x = \frac{g_JJ\mu_B(B + \mu_0\lambda M)}{k_BT} \;\Rightarrow\; m = \frac{J+1}{3J}\frac{T}{T_C}\,x\ \ (B = 0)$$

두 식을 $x$–$m$ 평면에 그리면 브릴루앙 곡선과 원점을 지나는 직선이고, 교점이 자발 자화다. 직선의 기울기가 원점에서 곡선의 기울기 $(J+1)/3J$와 같아지는 온도가 퀴리 온도(Curie temperature) $T_C = \lambda C$이다(Solid.meanFieldM(T, Tc, J)).

직선 끝 흰 원을 끌면 T가 바뀐다

MINI LAB그래프 풀이. 브릴루앙 곡선 $m = B_J(x)$와 직선 $m = \frac{J+1}{3J}\frac{T}{T_C}x$의 교점이 자발 자화다. 온도를 올려 직선이 원점의 접선보다 가팔라지면($T > T_C$) 0이 아닌 교점이 사라진다.

Fe·Co·Ni 300 K 실측점

MINI LAB왼쪽에서 정한 온도의 교점이 $M(T)$ 곡선(위)과 $T > T_C$의 $1/\chi$ 직선(아래, 퀴리–바이스) 위의 점으로 움직인다. 점은 Fe·Co·Ni의 300 K 실측 $M_s(300\ \text{K})/M_s(0)$이다(Kittel 표).

$T_C$ 위에서는 자발 자화가 없고, 외부장에 대한 응답만 남는다. $M = (C/T)(H + \lambda M)$을 $M$에 대해 풀면

$$\chi = \frac{C}{T - \theta}, \qquad \theta = T_C = \lambda C\ \ (\text{평균장})$$

퀴리–바이스 법칙(Curie–Weiss law). $1/\chi$가 $T$축을 $\theta$에서 자르는 직선이다. 실제 강자성체의 $\theta$는 $T_C$보다 조금 크고(Ni: $\theta \approx 650$ K, $T_C = 627$ K), $T_C$ 바로 위에서는 요동 때문에 직선에서 벗어난다.

퀴리 온도 1043, $J = S =$ 1.0($g = 2$)인 강자성체에서 평균장이 요구하는 분자장은 $B_E = 3k_BT_C/g\mu_B(J+1) =$ 이다. 이 자기장에서 모멘트 하나의 제만 에너지 $g J\mu_B B_E$는 다. 원자 밀도 $8.49\times10^{28}$ m⁻³(bcc Fe)이면 $\lambda = T_C/C =$ 이고, 쌍극자가 만드는 $\mu_0M_s$는 고작 다.

철(bcc, 원자 밀도 $8.49\times10^{28}$ m⁻³, $T_C = 1043$ K)을 $J = S = 1$, $g = 2$인 스핀으로 보자. (a) 퀴리 상수, $\lambda$, 분자장 $B_E = \mu_0\lambda M_s$는? (b) 평균장의 $k_BT_C = 2zJ_{\text{ex}}S(S+1)/3$(이웃 수 $z = 8$)로 교환 상수 $J_{\text{ex}}$를 meV로 구하라.

풀이 보기

전략 $C = \mu_0Ng^2S(S+1)\mu_B^2/3k_B$, $\lambda = T_C/C$, $M_s = NgS\mu_B$.

풀이 (a) $C = \dfrac{(1.2566\times10^{-6})(8.49\times10^{28})(4)(2)(9.274\times10^{-24})^2}{3(1.381\times10^{-23})} = 1.77$ K, $\lambda = 1043/1.77 = 588$. $M_s = (8.49\times10^{28})(2)(9.274\times10^{-24}) = 1.575\times10^6$ A/m, $B_E = (1.2566\times10^{-6})(588)(1.575\times10^6) = 1.16\times10^3$ T. (b) $J_{\text{ex}} = \dfrac{3k_BT_C}{2zS(S+1)} = \dfrac{3(1043)}{32}k_B = 97.8\ \text{K}\times k_B = 8.4$ meV.

(a) C = 1.77 K, λ = 588, B_E ≈ 1.2 × 10³ T (b) J_ex ≈ 8.4 meV

검토 실험실 최강 정자기장(약 45 T)의 25배가 넘는 "자기장"이 철 속에 늘 있는 셈이다. 물론 진짜 자기장이 아니라 교환 에너지를 자기장 단위로 쓴 것이다. 교환 상수 수 meV는 결합 에너지(eV)의 1/100 정도로, 예상한 크기다.

물질	$T_C$ (K)	$M_s$ (300 K, 10⁶ A/m)	$\mu_0M_s$ (T)	$n_B$ (0 K, $\mu_B$/원자)
Fe (bcc)	1043	1.71	2.15	2.22
Co (hcp)	1388	1.40	1.76	1.72
Ni (fcc)	627	0.485	0.61	0.606
Gd	292	—	—	7.63
Fe₃O₄ (페리)	858	0.48	0.60	4.1 (화학식당)

이징 모형으로 보는 상전이

평균장은 요동을 버렸다. 그 대가를 보려면 요동을 그대로 둔 가장 단순한 모형이 좋다. 이징 모형(Ising model)은 스핀을 위·아래 두 값 $s_i = \pm1$로만 두고 $E = -J\sum s_is_j - h\sum s_i$로 쓴다. 2차원 정사각 격자는 온사거(1944)가 정확히 풀었다. $k_BT_C = 2J/\ln(1+\sqrt2) = 2.269J$이고, 평균장 예측 $zJ = 4J$보다 43% 낮다. 이웃 몇 개의 요동이 질서를 쉽게 깨기 때문이다. 아래 실험대는 메트로폴리스 몬테카를로로 스핀 하나씩 뒤집기를 시도한다. 에너지가 낮아지면 뒤집고, 높아지면 확률 $e^{-\Delta E/k_BT}$로만 뒤집는다.

외부 자기장 없이 높은 온도의 무질서 상태를 $T_C$의 절반까지 빠르게 식혔다. 격자는 곧바로 어떻게 될까?

국소적으로는 금세 정렬하지만, 어느 방향을 고를지는 곳곳에서 따로 정해진다. 그래서 반대 방향 영역이 맞닿은 경계가 생기고, 경계가 줄어드는 쪽으로 천천히 굵어진다(조대화). 체스판은 $J < 0$(반강자성)일 때의 바닥 상태다.

SIMULATOR

이징 몬테카를로 실험대: 자화가 0.5가 되는 온도를 찾아라

격자를 문지르면 스핀이 위로 선다

아래쪽 흰 원을 끌어 T를 바꾼다

온도 k_BT/J 외부장 h/J 자구 경계 보이기

T/T_C—

순간 m—

평균 ⟨|m|⟩—

에너지/스핀—

과녁 ⟨|m|⟩ = 0.50—

40×40 격자(주기 경계), 한 프레임에 격자 전체를 몇 번씩 훑는다. 오른쪽 그래프의 점은 여러분이 머문 온도에서의 평균 $\langle|m|\rangle$이고, 실선은 온사거의 정확한 해 $m = [1 - \sinh^{-4}(2J/k_BT)]^{1/8}$, 점선은 평균장 $m = \tanh(4Jm/k_BT)$이다. 해볼 것: ① 과녁: $h = 0$에서 $\langle|m|\rangle$이 0.50 ± 0.04에 3초 머무는 온도를 찾아라. 무한 격자의 답($T = 0.999\,T_C$)보다 왜 높은가? ② $T_C$ 근처에서 자구 경계를 켜고 온갖 크기의 섬이 생기는 것을 보라(임계 요동). ③ $T = 1.5$에서 "모두 위로" 뒤 $h = -0.3$을 걸어 반대 자구가 핵을 만들고 자라는 자화 반전을 관찰하라.

반강자성·페리자성과 띠 강자성

반강자성과 넬 온도

교환 상수가 음수($J < 0$)이면 이웃 스핀이 반대 방향을 좋아한다. 격자를 두 부격자 A, B로 나누어 A는 위, B는 아래로 정렬한 상태가 반강자성(antiferromagnetism)이다. 알짜 자화는 0이지만 중성자 회절로 보면 자기 단위 셀이 결정 단위 셀의 두 배인 질서가 분명히 있다. 질서가 사라지는 온도를 넬 온도(Néel temperature) $T_N$이라 한다. MnO, NiO 같은 전이 금속 산화물에서는 금속 이온 사이의 산소 이온을 거치는 초교환이 $J < 0$을 만든다.

네 가지 자기 질서. 반강자성은 크기가 같은 두 부격자가 상쇄하고, 페리자성은 크기(또는 수)가 다른 부격자가 반대로 정렬해 알짜 자화가 남는다. 페라이트 Fe₃O₄에서는 사면체 자리의 Fe³⁺(5 $\mu_B$)가 팔면체 자리의 Fe³⁺와 상쇄하고 Fe²⁺(4 $\mu_B$)만 남아 화학식당 4 $\mu_B$(실측 4.1)가 된다.

반강자성체의 자화율은 $T_N$ 위에서 $\chi = C/(T + \theta)$로, $1/\chi$ 직선이 $T$축의 음수 쪽($-\theta$)을 자른다. $T_N$ 아래에서는 스핀 축에 나란한 방향의 $\chi_\parallel$이 0으로 줄고, 수직 방향 $\chi_\perp$는 거의 일정하다. MnO는 $T_N = 116$ K, $\theta = 610$ K, NiO는 $T_N = 525$ K다. 부격자 자화가 서로 다른 페리자성(ferrimagnetism)은 페라이트·가닛(YIG)처럼 절연체이면서 자석이라 고주파 소자에 쓰인다.

T 축 위 흰 원을 끌어 T_C·T_N을 바꾼다

질서

MINI LAB평균장으로 계산한 $\chi(T)$(실선)와 $1/\chi$(점선). 고온의 $1/\chi$ 직선을 연장해 $T$축과 만나는 점 $\theta$의 부호가 상호작용의 부호를 알려 준다: 상자성 0, 강자성 $+T_C$, 반강자성 음수. 반강자성의 $T_N$ 아래에서는 $\chi_\parallel$과 $\chi_\perp$가 갈라진다.

띠 강자성: 왜 2.22 $\mu_B$인가

철 원자의 3d⁶4s² 바닥 상태라면 훈트 규칙으로 4 $\mu_B$여야 한다. 실측 2.22 $\mu_B$는 정수조차 아니다(Co 1.72, Ni 0.606). 금속의 3d 전자는 이온에 묶여 있지 않고 폭 수 eV의 띠(8장)를 이루어 돌아다니기 때문이다. 이런 떠돌이 전자의 강자성은 스핀 위·아래 띠가 교환 에너지만큼 어긋나서 생긴다. 띠를 $\Delta = Im$만큼 어긋나게 하면 다수 스핀이 늘어 교환 에너지 $-Im^2/4$를 얻지만, 소수 스핀 전자를 페르미 준위 위의 빈 상태로 올리는 운동 에너지를 낸다. 이득이 이기는 조건이 스토너 기준(Stoner criterion)이다.

$$I\,g_\sigma(E_F) > 1$$

$I$는 원자당 스토너 교환 매개변수(3d 금속 약 0.9–1 eV), $g_\sigma(E_F)$는 원자당·스핀당 상태 밀도. 기준에 못 미쳐도 스핀 자화율은 $1/(1 - Ig_\sigma)$배 커진다(스토너 증폭, Pd·Pt). 모멘트는 $m = n_\uparrow - n_\downarrow$로 정수일 필요가 없다.

E_F 손잡이를 위아래로 끌어 d 전자 수를 바꾼다

원소(d 전자 수)

스토너 I

MINI LABd 띠 하나(스핀당 5 상태, 폭 5 eV)의 모형 상태 밀도를 위(왼쪽)·아래(오른쪽) 스핀으로 나누어 그리고, 띠 에너지와 교환 에너지 $-Im^2/4$의 합이 최소인 $m$을 찾는다. 한 $I = 0.95$ eV로 Fe(일부만 갈라진 "약한" 강자성), Co·Ni(다수 스핀 띠가 꽉 찬 "강한" 강자성) 모멘트가 모두 나온다. Ni의 0.6 $\mu_B$는 소수 스핀 띠의 빈자리 0.6개다.

이 그림은 스핀트로닉스의 출발점이기도 하다. 페르미 준위에서 위·아래 스핀의 상태 밀도가 다르므로, 강자성 금속이 나르는 전류는 저절로 스핀 분극되어 있다(§15.6). 띠 그림은 반강자성 Cr이나 Mn에서처럼 d 띠가 반쯤 찬 경우에는 강자성이 아닌 다른 질서가 이길 수 있다는 것도 알려 준다(모형에서 d 전자 6개 근처를 보라).

자구, 자기 이방성, 히스테리시스

철은 1043 K 아래에서 스스로 자화되지만, 철못은 보통 자석이 아니다. 시료가 자화 방향이 다른 많은 영역, 자구(magnetic domain)로 나뉘어 서로 상쇄하기 때문이다. 자구는 시료 밖으로 새는 자기장의 에너지 $\tfrac12\mu_0\int H^2dV$를 줄이려고 생긴다. 대신 자구 사이의 경계, 자벽(domain wall)에 에너지를 낸다.

전체가 한 자구이면 양 끝에 자극이 생기고 바깥으로 넓게 퍼진 자기장이 큰 에너지를 품는다.
반대 방향 자구 둘로 나누면 자속이 가까운 이웃으로 돌아가 바깥 자기장 에너지가 약 절반으로 준다. 대신 자벽이 하나 생긴다.
N개로 나누면 바깥 에너지는 약 1/N로 줄고 자벽 수는 N에 비례한다. 둘의 합이 최소인 자구 폭이 정해진다.
끝에 삼각형 닫힌 자구를 두면 자속이 시료 안에서 돌아 바깥 자기장이 거의 사라진다. 이번에는 닫힌 자구의 자화가 결정의 어려운 축을 향하는 이방성 에너지가 대가다.

자구 무늬는 정자기 에너지, 자벽 에너지, 이방성 에너지 사이의 타협이다(키텔의 그림). 외부 자기장은 자벽을 밀어 유리한 자구를 키워 자화를 바꾼다.

자기 이방성

교환 에너지는 스핀끼리의 각도만 따지고, 결정에 대한 방향은 따지지 않는다. 실제로는 스핀–궤도 결합이 스핀을 결정 격자에 묶어 특정 방향(용이축)으로 자화할 때 에너지가 낮다. 이것이 자기 이방성(magnetic anisotropy)이고, 일축 이방성이면 단위 부피당 $E = K_u\sin^2\theta$다($\theta$는 용이축과 자화 사이 각).

결정 이방성: Fe의 용이축은 ⟨100⟩($K_1 \approx 4.8\times10^4$ J/m³), Ni는 ⟨111⟩($K_1 \approx -5\times10^3$), hcp Co는 c축($K_u \approx 4.1\times10^5$). 영구자석 Nd₂Fe₁₄B는 $4.9\times10^6$에 이른다.
형상 이방성: 얇은 막을 수직으로 자화하면 표면 자극이 반자화장 $-M$을 만들어 $\tfrac12\mu_0M_s^2$(Fe 1.8×10⁶ J/m³)의 에너지를 낸다. 그래서 박막은 보통 면 안으로 눕는다.
계면 수직 이방성: CoFeB/MgO 계면에서 Fe 3d와 O 2p의 혼성이 면에 수직인 자화를 좋아하게 한다. 면적당 $K_s \approx 1.3$ mJ/m²인 이 효과는 두께에 반비례하므로, 유효 이방성 $K_{\text{eff}} = K_s/t - \tfrac12\mu_0M_s^2$가 약 1.4 nm보다 얇은 막에서 양수가 된다 — 수직 자기 이방성(perpendicular magnetic anisotropy, PMA). STT-MRAM 자유층의 원리다.

자벽의 두께와 에너지

자벽 안에서 스핀은 한 번에 뒤집히지 않고 여러 원자에 걸쳐 조금씩 돈다. 이웃 스핀 사이 각도가 작을수록 교환 에너지가 적으므로 교환은 두꺼운 벽을 원한다. 그러나 벽 속 스핀은 용이축에서 벗어나 있으므로 이방성은 얇은 벽을 원한다. 교환의 세기를 교환 강성(exchange stiffness) $A$(J/m, Fe 약 $2\times10^{-11}$)로 쓰면 두 비용의 균형이 벽 두께를 정한다.

$$\delta = \pi\sqrt{\frac{A}{K}}, \qquad \sigma_w = 4\sqrt{AK}$$

블로흐 자벽의 정확한 해 $\theta(x) = 2\arctan e^{x/\sqrt{A/K}}$에서 얻는다. 자벽 에너지 $\sigma_w$는 J/m². Fe: $\delta \approx 66$ nm, $\sigma_w \approx 4$ mJ/m².

아래 그래프의 흰 원을 끌어 벽 두께를 바꾼다

물질

MINI LAB스핀이 폭 $w$에 걸쳐 고르게 도는 벽을 가정하면 교환 비용은 $A\pi^2/w$, 이방성 비용은 $Kw/2$다. 벽 두께를 끌어 합이 최소가 되는 곳을 찾아라. 이 간단한 근사의 최적 $w = \pi\sqrt{2A/K}$는 정확한 해 $\delta = \pi\sqrt{A/K}$와 같은 꼴이다.

교환 강성 $A =$ 2.1, 이방성 $K =$ 48인 자성체의 자벽 두께는 $\delta = \pi\sqrt{A/K} =$ 로 격자 상수(0.287 nm)의 배, 자벽 에너지는 $\sigma_w = 4\sqrt{AK} =$ 다. 포화 자화를 $1.7\times10^6$ A/m로 잡으면 공 모양 입자가 단자구로 남는 최대 반지름 $R \approx 36\sqrt{AK}/\mu_0M_s^2$은 다.

히스테리시스와 스토너–울파스 모형

강자성체의 $M$–$H$ 곡선은 같은 길로 돌아오지 않는다. 포화 자화 $M_s$, 자기장을 없앤 뒤 남는 잔류 자화 $M_r$, 자화를 0으로 만드는 보자력(coercivity) $H_c$가 고리를 특징짓는다. 변압기 철심 같은 연자성체는 $H_c$가 작아야 하고(퍼멀로이 ~1 A/m), 영구자석·기록 매체 같은 경자성체는 커야 한다(Nd₂Fe₁₄B ~10⁶ A/m). 큰 시료에서는 결함에 걸린 자벽의 움직임이 고리를 정하지만, 자벽이 들어갈 자리도 없는 작은 단자구 입자는 자화 전체가 한 덩어리로 돈다. 이것이 스토너–울파스 모형(Stoner–Wohlfarth model)이다.

$$\frac{E}{K_uV} = \sin^2\theta - 2h\cos(\theta - \psi), \qquad h = \frac{H}{H_K},\quad H_K = \frac{2K_u}{\mu_0M_s}$$

$\psi$는 자기장과 용이축 사이 각, $H_K$는 이방성 장. 자화는 국소 최소에 머물다가 그 최소가 사라지는 장에서 뛰어 넘는다. 뒤집히는 장은 $h_{sw} = (\cos^{2/3}\psi + \sin^{2/3}\psi)^{-3/2}$이고, 장 벡터 평면에서 이 곡선은 별모양 애스트로이드(Stoner–Wohlfarth astroid) $h_\parallel^{2/3} + h_\perp^{2/3} = 1$이다(Solid.swRelax).

용이축 방향으로 $H_K$만큼 반대 장을 걸어야 뒤집히는 단자구 입자가 있다. 장을 용이축에서 45° 기울여 걸면 뒤집는 데 필요한 장의 크기는?

기울어진 장은 자화를 옆으로 당기는 토크를 함께 준다. $h_{sw}(45°) = (2\cdot2^{-1/3})^{-3/2} = 0.5$로 가장 작다. STT-MRAM의 열 요동이나 초기 기울기가 스위칭을 돕는 것과 같은 이치다. 실험대에서 장 방향을 바꾸며 애스트로이드 위의 점을 확인하라.

SIMULATOR

스토너–울파스 히스테리시스: 장 벡터를 끌어 자화를 뒤집어라

흰 원(장 벡터 끝)을 끈다

장 방향 ψ 장 크기 h = H/H_K

에너지 곡선 E(θ) 보기

자화 각 θ—

장 방향 성분 m_H—

스위칭 장 h_sw(ψ)—

보자력 h_c(ψ)—

왼쪽: 용이축(가로)을 가진 단자구 입자와 자화(굵은 화살표), 장 벡터(가는 화살표), 애스트로이드. 장 벡터 끝이 별 바깥에 있으면 에너지 최소가 하나뿐이고, 안쪽이면 둘이어서 과거가 현재를 정한다. 오른쪽: 장 방향 자화 성분 $m_H = \cos(\theta - \psi)$을 부호 있는 $h$에 대해 그린 고리. 해볼 것: ① ψ = 0°에서 고리를 그리면 직사각형($h_c = 1$), ψ = 90°에서는 고리 없는 직선이 된다. ② ψ를 바꾸며 $h_{sw}$가 45°에서 0.5로 가장 작음을 확인하라. ③ ψ > 45°에서는 $m_H = 0$이 되는 보자력이 스위칭 장보다 작아진다 — 왜일까?

$K_u = 1.0\times10^5$ J/m³, $M_s = 8.0\times10^5$ A/m인 단자구 입자가 있다. (a) 이방성 장 $\mu_0H_K$는? (b) 용이축에서 30° 기울어진 반대 장으로 뒤집으려면 $\mu_0H$가 얼마여야 하는가?

풀이 보기

전략 $\mu_0H_K = 2K_u/M_s$. 기울어진 장은 애스트로이드 식 $h_{sw}(\psi)$를 쓴다.

풀이 (a) $\mu_0H_K = 2(1.0\times10^5)/(8.0\times10^5) = 0.250$ T. (b) $\cos^{2/3}30° = 0.9086$, $\sin^{2/3}30° = 0.6300$, 합 1.5386, $h_{sw} = 1.5386^{-3/2} = 0.524$. $\mu_0H_{sw} = 0.524\times0.250 = 0.131$ T.

(a) μ₀H_K = 0.250 T (b) μ₀H_sw = 0.131 T

검토 실제 입자의 보자력은 모서리나 결함에서 먼저 뒤집힌 부분이 번지는 탓에 $H_K$의 몇 분의 일에 그치는 일이 많다. 스토너–울파스 값은 상한이다.

열 안정성과 초상자성

단자구 입자의 두 최소($\theta = 0, \pi$) 사이에는 높이 $K_uV$의 에너지 장벽이 있다. 입자가 작아지면 장벽이 열에너지에 견주어 낮아지고, 자화가 저절로 넘나든다. 평균 체류 시간은 넬–아레니우스 식을 따른다.

$$\tau = \tau_0\,e^{\Delta}, \qquad \Delta = \frac{K_uV}{k_BT}, \qquad \tau_0 \approx 1\ \text{ns}$$

$\Delta$는 열 안정성 지수(thermal stability factor)(Solid.thermalStability(Ku, V, T)). 측정 시간(약 100 s)보다 $\tau$가 짧으면($\Delta \lesssim 25$) 입자 집단은 강자성 원자로 된 거대한 상자성체처럼 보인다 — 초상자성(superparamagnetism). 하드디스크 매체 입자 크기의 하한도 이것이 정한다.

곡선 위 흰 원을 끌어 입자 지름을 바꾼다

물질 (K_u)

온도 T

MINI LAB공 모양 단자구 입자의 체류 시간 $\tau = \tau_0e^{K_uV/k_BT}$(로그 눈금). 왼쪽 위 입자의 자화는 실제 시간 1초에 평균 $1/\tau$번 뒤집힌다(초당 20번 넘으면 깜박임으로만 보인다). 입자를 1 nm만 키워도 $\tau$가 자릿수 단위로 뛰는 것을 보라.

STT-MRAM 자유층: 계면 PMA와 Δ ≥ 60

STT-MRAM의 비트는 CoFeB(약 1–1.5 nm)/MgO(약 1 nm)/CoFeB 기둥의 위쪽 자유층 자화가 위인지 아래인지다. 자유층을 수직으로 세우는 힘이 CoFeB/MgO 계면 이방성이고, 비트를 지키는 장벽이 $\Delta = K_{\text{eff}}V/k_BT$다. 비트 하나를 10년 보존하는 데는 $\ln(10\ \text{년}/1\ \text{ns}) \approx 40$이면 되지만, 10⁹개 셀 중 하나도 잃지 않으려면 $\ln(10^9\times3.2\times10^{17}) \approx 61$, 그래서 업계 기준이 $\Delta \ge 60$이다. 지름이 줄면 $\Delta \propto d^2$로 떨어지므로, 자유층 위아래에 MgO를 둔 이중 계면 구조로 $K_{\text{eff}}t$를 키운다. → MemoryBook · 차세대 메모리와 PIM·CIM

스핀트로닉스: GMR, TMR, MRAM

보통의 전자 소자는 전자의 전하만 쓴다. 강자성 금속에서는 페르미 준위의 위·아래 스핀 상태 밀도가 달라 전류 자체가 스핀을 나른다. 그 정도를 스핀 분극(spin polarization) $P = (N_\uparrow - N_\downarrow)/(N_\uparrow + N_\downarrow)$($N_\sigma$는 $E_F$의 상태 밀도)로 쓴다. Fe 약 0.44, Co 0.45, Ni 0.33, CoFe 약 0.5다(초전도 터널링 측정). 스핀을 정보로 쓰는 전자 공학이 스핀트로닉스(spintronics)다.

거대 자기 저항: 두 전류 모형

강자성 금속 속 전자는 스핀을 바꾸지 않고 먼 거리를 가므로 위 스핀과 아래 스핀 전류는 병렬로 흐르는 두 도선과 같다(모트의 두 전류 모형). 다수 스핀과 소수 스핀의 산란이 다르면 한 채널의 저항 $r$이 작고 다른 채널의 저항 $R$이 크다. 강자성층 둘을 얇은 비자성 금속(Cr, Cu)으로 띄우면, 두 층이 나란할 때(P) 한 스핀 채널은 양쪽 모두 $r$로 지나가 단락 회로가 되지만, 반대일 때(AP)는 두 채널 모두 한 번씩 $R$을 만난다.

$$R_P = \frac{2rR}{r+R}, \qquad R_{AP} = \frac{r+R}{2}, \qquad \text{GMR} = \frac{R_{AP} - R_P}{R_P} = \frac{(R-r)^2}{4rR}$$

1988년 페르(Fe/Cr 다층막)와 그륀베르크가 독립적으로 발견한 거대 자기 저항(giant magnetoresistance, GMR). 4.2 K에서 저항이 절반 가까이 떨어졌고, 두 사람은 2007년 노벨 물리학상을 받았다.

위층 자화 화살표를 눌러 뒤집는다

채널 저항 비 R/r

MINI LAB두 전류 모형의 저항 회로. 위 스핀(위쪽 길)과 아래 스핀(아래쪽 길) 전자가 강자성층 두 개를 차례로 지난다. 자화와 같은 스핀은 저항 $r$, 반대 스핀은 $R$을 만난다. 점의 흐름 속도가 채널 전류에 비례한다.

자기 터널 접합과 쥘리에르 모형

비자성 금속 대신 1 nm 남짓한 절연막을 넣으면 전류는 양자 터널링(현대물리 터널링)으로만 흐른다. 이 구조가 자기 터널 접합(magnetic tunnel junction, MTJ)이다. 1975년 쥘리에르는 스핀이 보존되는 터널링의 전도도가 양쪽 전극의 같은 스핀 상태 밀도의 곱에 비례한다고 보았다.

두 전극의 자화가 나란하면 다수 스핀(넓은 상태 밀도)끼리, 소수 스핀끼리 터널링한다. 큰 곱 하나가 전도도를 지배한다.
반평행이면 전극 1의 다수 스핀이 전극 2의 소수 스핀 상태로 들어가야 한다. 두 채널 모두 "큰 × 작은" 곱이라 전도도가 작다.
두 전도도의 비를 분극 $P_1, P_2$로 쓰면 쥘리에르 식이 된다.

쥘리에르 모형은 스핀이 보존되고 터널 확률이 스핀과 무관하다고 본다. 비정질 Al₂O₃ 장벽에서는 잘 맞지만(실온 수십 %), 결정질 MgO는 그 가정을 깨고 훨씬 큰 값을 낸다.

$$\text{TMR} = \frac{R_{AP} - R_P}{R_P} = \frac{2P_1P_2}{1 - P_1P_2}$$

터널 자기 저항(tunnel magnetoresistance, TMR)의 쥘리에르 모형(Jullière model)(Solid.julliere(P1, P2)). $P$가 1에 가까우면 발산한다.

분극 $P_1 =$ 0.44, $P_2 =$ 0.45인 두 전극의 쥘리에르 TMR은 다. 평행 저항이 $R_P =$ 3.0이면 반평행 저항은 , 0.1 V 읽기 전류는 각각 와 이다.

쥘리에르 모형으로는 $P = 0.5$인 CoFe에서 67%가 한계다. 2001년 버틀러와 마통은 결정질 Fe(001)/MgO(001)/Fe에서 계산으로 1000% 넘는 TMR을 예측했다. MgO 장벽 속에서는 파동 함수의 대칭에 따라 감쇠율이 다르다. 그런데 가장 느리게 감쇠하는 $\Delta_1$ 대칭 상태가 Fe 페르미 준위에서 다수 스핀에만 있어, 장벽 자체가 다수 스핀만 걸러 통과시키는 스핀 필터링(spin filtering)이 일어난다. 2004년 파킨(IBM)과 유아사(AIST)가 실온 약 200%를 보고했고, 2008년 비정질 CoFeB를 MgO 위에서 열처리로 결정화한 CoFeB/MgO/CoFeB 접합이 실온 604%(5 K 1144%)를 기록했다. 양산 셀의 TMR은 보통 100–200%다.

스핀 전달 토크로 쓰기

읽기는 저항으로 하지만, 쓰기는 어떻게 할까? 초기 MRAM은 셀 옆 도선의 전류 자기장으로 자유층을 뒤집었다. 셀이 작아지면 필요한 전류가 커지고 이웃 셀까지 건드린다. 1996년 슬론체프스키와 버거는 스핀 분극된 전류 자체가 자유층의 자화를 돌릴 수 있음을 보였다. 고정층을 지나며 분극된 전자가 자유층에 들어가면, 자유층 자화에 수직인 스핀 성분을 자화에 넘겨주고 정렬한다. 각운동량 보존이 만드는 이 토크가 스핀 전달 토크(spin-transfer torque, STT)다. 전류 방향을 바꾸면 토크 방향도 바뀌어 P↔AP를 모두 쓸 수 있다. 감쇠를 이겨야 하므로 임계 전류는 $I_{c0} \approx (4e/\hbar)(\alpha/\eta)k_BT\Delta$($\alpha$: 길버트 감쇠 상수, $\eta$: 스핀 전달 효율)로 $\Delta$에 비례한다. 보존을 위해 $\Delta$를 키우면 쓰기 전류도 커지는 맞교환이 생긴다. 스핀 홀 효과가 큰 중금속(W, Pt, Ta) 선에 면 방향 전류를 흘려 만든 스핀 흐름으로 쓰는 스핀–궤도 토크(SOT)는 읽기와 쓰기 경로를 나누어 내구성과 속도를 높이는 차세대 방식이다.

1T-1MTJ STT-MRAM 셀. 트랜지스터 하나가 MTJ 기둥 하나를 고른다. 같은 MTJ 기둥이 저항으로 읽히고, 그 기둥을 지나는 전류의 방향으로 쓰인다. 고정층은 반강자성 결합(Ru 층을 사이에 둔 합성 반강자성)으로 단단히 묶어 자유층에 새는 자기장을 없앤다.

Δ = 80인 MRAM 셀의 지름을 절반으로 줄였다(두께와 재료는 그대로). 열 안정성 Δ는?

$\Delta = K_{\text{eff}}V/k_BT$이고 부피는 지름의 제곱(면적)에 비례한다. 절반 지름 → 1/4 → 20. 보존 시간은 $e^{80}$에서 $e^{20}$으로, 수 년에서 1초 남짓으로 무너진다. 실험대에서 Δ ≥ 60을 지키며 셀을 줄여 보라.

SIMULATOR

MTJ·MRAM 실험대: Δ ≥ 60을 지키며 셀 줄이기

기둥 모서리(지름)와 왼쪽 자(두께)를 끈다

곡선 위 흰 원을 끌어 P를 바꾼다

지름 d 자유층 두께 t

MgO 계면

스핀 분극 P 온도 T

K_eff—

Δ = K_effV/k_BT—

보존 시간 τ₀e^Δ—

TMR(쥘리에르)—

쓰기 전류 I_c0 추정—

도전: Δ ≥ 60 최소 지름(300 K)—

모형: 자유층은 균일하게 도는 거시 스핀, $K_{\text{eff}} = nK_s/t - \tfrac12\mu_0M_s^2$($K_s = 1.3$ mJ/m², $M_s = 1.2\times10^6$ A/m, $n$ = MgO 계면 수), $\tau_0 = 1$ ns, $I_{c0} = (4e/\hbar)(\alpha/\eta)k_BT\Delta$($\alpha = 0.01$, $\eta = 0.4$). $K_{\text{eff}} < 0$이면 자화가 면 안으로 누워 수직 셀이 되지 않는다. 해볼 것: ① 도전: Δ ≥ 60을 유지하며(두께 ≥ 1.0 nm) 지름을 가장 작게 줄여라. 단일 계면과 이중 계면의 기록을 비교하라. ② 두께를 키우면 부피가 커지는데도 Δ가 줄어드는 이유는? ③ 125 °C(398 K) 자동차용 조건에서 Δ가 얼마나 떨어지는지 보라. 실제 셀은 지름 20 nm 아래에서 가장자리부터 뒤집히는 등 이 거시 스핀 모형보다 Δ가 작다.

(a) 시도 시간 $\tau_0 = 1$ ns인 셀 하나가 10년($3.156\times10^8$ s) 동안 평균적으로 뒤집히지 않으려면 $\Delta$는? (b) 10⁹개 셀(1 Gb)에서 10년 동안 뒤집히는 셀이 평균 1개 이하이려면? (c) $K_{\text{eff}}t = 4.0\times10^{-4}$ J/m²(300 K)인 자유층이 (b)를 만족하는 최소 지름은?

풀이 보기

전략 셀 하나가 시간 $t$ 안에 뒤집힐 확률은 $t/\tau$(작을 때). $N$개 셀의 기댓값 $Nt/\tau_0e^{\Delta} \le 1$. (c)는 $\Delta = K_{\text{eff}}t\cdot\pi d^2/4k_BT$.

풀이 (a) $\Delta = \ln(3.156\times10^8/10^{-9}) = \ln(3.156\times10^{17}) = 40.3$. (b) $\Delta = \ln(10^9\times3.156\times10^{17}) = 61.0$. (c) $k_BT = 4.142\times10^{-21}$ J, 필요한 면적 $= 61.0\times4.142\times10^{-21}/4.0\times10^{-4} = 6.32\times10^{-16}$ m², $d = \sqrt{4A/\pi} = 28.4$ nm.

(a) Δ ≈ 40 (b) Δ ≈ 61 (c) d ≈ 28 nm

검토 "Δ ≥ 60"은 칩 단위의 요구다. 지름 28 nm에서 이를 지키려면 단일 계면으로는 거의 한계이므로, 이중 MgO 계면이나 더 큰 $K_s$가 필요하다.

(a) Fe($P = 0.44$)와 Co($P = 0.45$) 전극을 비정질 Al₂O₃ 장벽으로 이은 MTJ의 쥘리에르 TMR은? (b) CoFeB/MgO/CoFeB가 실온에서 보인 604%를 쥘리에르 식으로 해석하면 같은 두 전극의 "유효 분극"은 얼마여야 하는가?

풀이 보기

전략 (a)는 식에 대입. (b)는 $2P^2/(1-P^2) = 6.04$를 $P$에 대해 푼다.

풀이 (a) $P_1P_2 = 0.198$, TMR $= 0.396/0.802 = 0.494$. (b) $2P^2 = 6.04 - 6.04P^2$ → $P^2 = 6.04/8.04 = 0.751$, $P = 0.867$.

(a) TMR ≈ 49 % (b) P_eff ≈ 0.87

검토 CoFeB 자체의 분극은 0.5–0.6이다. 0.87은 전극이 아니라 MgO 장벽의 $\Delta_1$ 대칭 필터링이 만든 값이다. 쥘리에르 식은 MgO에서는 "유효 분극"을 정의하는 식으로만 쓴다.

내장형 MRAM(eMRAM)과 MTJ 식각

STT-MRAM은 SRAM보다 셀이 작고 전원을 꺼도 지워지지 않으며, 로직 배선 공정 중간에 MTJ 층을 끼워 넣어 만든다. 28 nm 아래로 줄이기 어려운 내장 플래시를 대신해 마이크로컨트롤러의 코드 저장, 마지막 단계 캐시 후보로 22–28 nm 로직 공정에 들어갔다. 공정의 고비는 MTJ 식각이다. Co, Fe, Pt, Ru는 휘발성 화합물을 만들지 않아 이온 빔 식각(IBE)으로 물리적으로 깎는데, 튀어 나간 금속이 1 nm MgO 옆벽에 다시 붙으면 단락이 생긴다. 균일한 TMR과 저항–면적 곱(RA)이 수율을 정한다. → MemoryBook · 메모리 계층 구조 · DigitalBook · SRAM과 메모리 회로

자기 저항·홀 센서

하드디스크의 읽기 헤드는 1997년 GMR 스핀 밸브로, 2005년 무렵 TMR 헤드로 바뀌며 기록 밀도를 수백 배 올렸다. 오늘날 헤드의 핵심도 수 nm 두께의 MgO MTJ다. 같은 구조의 TMR 센서와 반도체 홀 센서는 전류 센서, 자동차 바퀴·모터 위치, 스마트폰 나침반, 카메라 손떨림 보정(OIS)의 렌즈 위치 측정에 쓰인다. 홀 센서는 저농도 박막일수록 홀 전압이 커서 InSb·GaAs·저도핑 Si 막을 쓴다(9장). → DeviceBook · 캐리어 수송 · SensorBook · 카메라 모듈: AF·OIS·줌

핵심 정리

$\vec B = \mu_0(\vec H + \vec M)$, $M = \chi H$. 원자의 모멘트는 $\mu_B = e\hbar/2m = 9.274\times10^{-24}$ J/T 단위이고, $\vec\mu = -g_J\mu_B\vec J/\hbar$, $p_{\text{eff}} = g_J\sqrt{J(J+1)}$. 훈트 규칙이 $S, L, J$를 정하며, 3d 이온은 궤도 모멘트가 결정장에 소멸해 스핀만의 값에 가깝다.
반자성 $\chi = -\mu_0NZe^2\langle r^2\rangle/6m \sim -10^{-5}$은 모든 물질에 있다. 독립 모멘트의 상자성은 $M = Ng_JJ\mu_BB_J(x)$, $x = g_JJ\mu_BB/k_BT$: 약한 장에서 퀴리 법칙 $\chi = C/T$, 저온·강자기장에서 포화한다.
전도 전자는 페르미 준위 근처 전자만 뒤집혀 파울리 상자성 $\chi_P = \mu_0\mu_B^2g(E_F)$을 보인다. 온도와 무관하고 퀴리 값의 $\tfrac32T/T_F$배다.
강자성의 원인은 교환 상호작용 $-2J\,\vec S_i\cdot\vec S_j$(파울리 원리 + 쿨롱)이다. 평균장 이론에서 $m = B_J(x)$의 자기 일관 해가 $T < T_C = \lambda C$에서 생기고, 위에서는 $\chi = C/(T-\theta)$. 철의 분자장은 약 10³ T. 요동 때문에 실제 $T_C$는 평균장보다 낮다(2차원 이징: 2.27 vs 4).
$J < 0$이면 반강자성(넬 온도, $\theta < 0$), 부격자 모멘트가 다르면 페리자성. 금속의 3d 강자성은 띠가 갈라지는 스토너 기준 $Ig(E_F) > 1$로 생기고, 그래서 Fe 2.22, Co 1.72, Ni 0.61 $\mu_B$처럼 정수가 아니다.
자구는 정자기 에너지와 자벽 에너지의 타협이다. 자벽 $\delta = \pi\sqrt{A/K}$, $\sigma_w = 4\sqrt{AK}$. 이방성은 결정·형상($\tfrac12\mu_0M_s^2$)·계면($K_s/t$, CoFeB/MgO PMA)에서 온다. 단자구 입자는 스토너–울파스 애스트로이드에서 뒤집히고, $\Delta = K_uV/k_BT$가 25 아래면 초상자성이다.
강자성 금속의 전류는 스핀 분극되어 있다. GMR(두 전류 모형), MTJ의 TMR(쥘리에르 $2P_1P_2/(1-P_1P_2)$, MgO 스핀 필터링으로 실온 수백 %)으로 읽고, STT로 쓴다. STT-MRAM은 CoFeB/MgO 계면 PMA와 $\Delta \ge 60$으로 10년 보존을 지킨다.

연습문제

$\mu_B = 9.274\times10^{-24}$ J/T, $k_B = 1.381\times10^{-23}$ J/K, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ T·m/A, $e = 1.602\times10^{-19}$ C, $\hbar = 1.0546\times10^{-34}$ J·s. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

Er³⁺(4f¹¹)의 바닥 상태를 훈트 규칙으로 정하고 유효 모멘트 $p_{\text{eff}} = g_J\sqrt{J(J+1)}$를 구하라.

빈자리 3개로 생각하면 쉽다: $S = 3/2$, $L = 3 + 2 + 1 = 6$. 반 이상이므로 $J = L + S$.

$S = 3/2$, $L = 6$, $J = 15/2$. $g = \tfrac32 + \dfrac{\tfrac{15}{4} - 42}{2\cdot\tfrac{255}{4}} = 1.5 - 0.3 = 1.2$. $p = 1.2\sqrt{63.75} = 9.58$(실측 9.5).

bcc 철(원자 밀도 $8.49\times10^{28}$ m⁻³)의 원자당 모멘트가 0 K에서 2.22 $\mu_B$이다. 포화 자화 $M_s$는?

$M_s = Nn_B\mu_B = (8.49\times10^{28})(2.22)(9.274\times10^{-24}) = 1.75\times10^6$ A/m($\mu_0M_s = 2.20$ T).

어떤 상자성체의 자화율이 300 K에서 $3.0\times10^{-4}$이다. 퀴리 법칙을 따른다면 77 K에서는?

$\chi \propto 1/T$: $3.0\times10^{-4}\times300/77 = 1.17\times10^{-3}$.

구리($\chi = -9.6\times10^{-6}$)를 $B_0 = 1.00$ T($H = B_0/\mu_0$)의 자기장에 두었다. 자화 $M$은?

$H = 1.00/(4\pi\times10^{-7}) = 7.96\times10^5$ A/m, $M = \chi H = -7.64$ A/m. 철의 포화 자화보다 20만 배 작다.

Gd³⁺($J = S = 7/2$, $g = 2$) 염을 4.2 K에서 5.0 T 자기장에 두었다. 이온당 평균 모멘트 $gJ\mu_BB_J(x)$를 $\mu_B$ 단위로 구하라.

$x = gJ\mu_BB/k_BT$를 먼저 계산하고, $B_{7/2}(x) = \tfrac87\coth\tfrac{8x}{7} - \tfrac17\coth\tfrac{x}{7}$.

$x = 7(9.274\times10^{-24})(5.0)/(1.381\times10^{-23}\times4.2) = 5.60$. $B_{7/2} = 1.1429\coth(6.40) - 0.1429\coth(0.800) = 1.1429 - 0.2152 = 0.928$. $\langle\mu\rangle = 7\times0.928 = 6.49\ \mu_B$(포화 7 $\mu_B$의 93%).

구리($n = 8.47\times10^{28}$ m⁻³, $E_F = 7.00$ eV)의 자유 전자 파울리 자화율은?

$\chi_P = 3n\mu_0\mu_B^2/2E_F = 3(8.47\times10^{28})(1.2566\times10^{-6})(9.274\times10^{-24})^2/(2\times7.00\times1.602\times10^{-19}) = 1.22\times10^{-5}$. 실제 구리는 이온 코어의 반자성이 더 커서 알짜로 반자성(−9.6×10⁻⁶)이다.

어떤 강자성체의 상자성 영역 자화율이 700 K에서 $5.00\times10^{-3}$, 900 K에서 $1.667\times10^{-3}$이다. 퀴리–바이스 법칙 $\chi = C/(T-\theta)$의 $\theta$와 $C$는?

$1/\chi$는 $T$의 일차식이다: $1/\chi = (T - \theta)/C$.

$1/\chi$: 200, 600. 기울기 $1/C = 400/200 = 2$ → $C = 0.500$ K. $200 = (700 - \theta)/0.5$ → $\theta = 600$ K.

니켈($T_C = 627$ K)을 $J = 1/2$, $g = 2$인 스핀으로 보면 평균장 이론의 분자장 $B_E = 3k_BT_C/g\mu_B(J+1)$은?

$J = 1/2$이면 $B_E = k_BT_C/\mu_B = (1.381\times10^{-23})(627)/(9.274\times10^{-24}) = 933$ T.

fcc 니켈(이웃 수 $z = 12$)을 $S = 1/2$ 하이젠베르크 모형으로 보고 평균장 식 $k_BT_C = 2zJ_{\text{ex}}S(S+1)/3$로 교환 상수 $J_{\text{ex}}$를 구하라($T_C = 627$ K).

$J_{\text{ex}} = 3k_BT_C/(2zS(S+1)) = 3(627)k_B/(2\cdot12\cdot0.75) = 104.5\ \text{K}\cdot k_B = 1.443\times10^{-21}$ J = 9.01 meV.

hcp 코발트($A = 3.1\times10^{-11}$ J/m, $K_u = 4.1\times10^5$ J/m³)의 자벽 두께 $\delta = \pi\sqrt{A/K}$와 자벽 에너지 $\sigma_w = 4\sqrt{AK}$는?

$\sqrt{A/K} = \sqrt{7.56\times10^{-17}} = 8.70$ nm, $\delta = 27.3$ nm. $\sqrt{AK} = \sqrt{1.271\times10^{-5}} = 3.565\times10^{-3}$, $\sigma_w = 14.3$ mJ/m². 철보다 이방성이 9배 커서 벽이 얇고 비싸다.

$K_u = 1.0\times10^5$ J/m³, $M_s = 8.0\times10^5$ A/m인 단자구 입자에 용이축과 60° 기울어진 반대 방향 장을 건다. 자화가 뒤집히는 장 $\mu_0H_{sw}$는?

애스트로이드는 $\psi$와 $90° - \psi$에 대칭이다.

$\mu_0H_K = 2K_u/M_s = 0.250$ T. $\cos^{2/3}60° + \sin^{2/3}60° = 0.6300 + 0.9086 = 1.5386$, $h_{sw} = 0.524$, $\mu_0H_{sw} = 0.131$ T(30°와 같다). 단, 60°에서는 $m_H = 0$이 되는 보자력 $h_c = 0.433$이 스위칭 장보다 작다.

수직 자화 자유층의 $K_{\text{eff}}t = 4.0\times10^{-4}$ J/m²이다. 300 K에서 $\Delta = 60$이 되는 원기둥 셀의 지름은?

$\Delta = K_{\text{eff}}t\cdot(\pi d^2/4)/k_BT$ → $\pi d^2/4 = 60(4.142\times10^{-21})/(4.0\times10^{-4}) = 6.21\times10^{-16}$ m², $d = 2.81\times10^{-8}$ m = 28.1 nm.

분극이 0.50과 0.40인 두 전극의 MTJ에서 쥘리에르 TMR(%)은? 평행 저항이 3.0 kΩ이면 반평행 저항은?

$P_1P_2 = 0.20$, TMR $= 0.40/0.80 = 0.50 = 50\%$. $R_{AP} = R_P(1 + \text{TMR}) = 4.5$ kΩ.

다음 중 온도에 거의 무관한 자화율을 모두 담은 것은?

반자성은 궤도 크기 $\langle r^2\rangle$만으로, 파울리 상자성은 $g(E_F)$만으로 정해진다($k_BT \ll E_F$). 퀴리·퀴리–바이스는 $1/T$ 또는 $1/(T-\theta)$에 비례한다.

니켈의 원자당 모멘트가 0.6 $\mu_B$로 정수가 아닌 가장 좋은 설명은?

0.6은 0 K 값이다. 떠돌이 3d 전자의 다수 스핀 띠는 꽉 차고(5개), 소수 스핀 띠에 4.4개가 들어 $m = n_\uparrow - n_\downarrow = 0.6$이다. 원자당 평균 개수이므로 정수일 필요가 없다.

개념 확인 퀴즈

철이 1043 K까지 자화를 유지하게 하는 상호작용은?

쌍극자 에너지는 약 0.04 K 수준이다. 교환은 쿨롱 에너지의 일부라 수–수십 meV로, 1000 K를 설명한다. 스핀–궤도 결합은 이방성의 원인이다.

상자성 염의 자화를 크게 하려면 어느 조건이 가장 효과적인가?

브릴루앙 함수는 $x \propto B/T$만의 함수다. 1 K, 수 T에서 포화한다.

강자성체의 $1/\chi$를 $T_C$ 위에서 그려 직선을 $T$축까지 연장했다. 반강자성체라면 이 직선은 어디를 자르는가?

반강자성의 이웃 교환은 외부장에 대한 정렬을 방해하므로 $\chi = C/(T + \theta)$. 예: MnO $\theta = 610$ K, $T_N = 116$ K.

CoFeB/MgO 자유층을 두껍게 하면 수직 자기 이방성이 사라지는 이유는?

$K_{\text{eff}} = K_s/t - \tfrac12\mu_0M_s^2$가 0이 되는 두께(약 1.4 nm) 위에서는 자화가 면 안으로 눕는다.

MRAM 셀의 지름을 줄일 때 생기는 문제를 옳게 짝지은 것은?

TMR은 면적과 무관하고 저항만 $1/d^2$로 커진다. 보존은 $\tau_0e^\Delta$라 $\Delta$가 반으로 줄면 보존 시간은 제곱근 수준으로 무너진다. 쓰기 전류는 오히려 $\Delta$에 비례해 준다.

자화와 원자의 자기 모멘트

궤도 모멘트, 스핀 모멘트, 보어 마그네톤

훈트 규칙: 이온의 바닥 상태

반자성과 상자성

랑주뱅 반자성

상자성: 브릴루앙 함수

상자성 실험대: 브릴루앙 곡선 위를 걸어 보기

전도 전자의 파울리 상자성

교환 상호작용과 평균장 이론

교환: 파울리 원리 + 쿨롱 반발

바이스 분자장과 자기 일관 풀이

이징 모형으로 보는 상전이

이징 몬테카를로 실험대: 자화가 0.5가 되는 온도를 찾아라

반강자성·페리자성과 띠 강자성

반강자성과 넬 온도

띠 강자성: 왜 2.22 \(\mu_B\)인가

자구, 자기 이방성, 히스테리시스

자기 이방성

자벽의 두께와 에너지

히스테리시스와 스토너–울파스 모형

스토너–울파스 히스테리시스: 장 벡터를 끌어 자화를 뒤집어라

열 안정성과 초상자성

스핀트로닉스: GMR, TMR, MRAM

거대 자기 저항: 두 전류 모형

자기 터널 접합과 쥘리에르 모형

스핀 전달 토크로 쓰기

MTJ·MRAM 실험대: Δ ≥ 60을 지키며 셀 줄이기

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈