Chapter 06

장벽과 터널링

고전 역학에서 언덕보다 에너지가 작은 공은 언덕을 넘지 못한다. 하지만 전자는 파동이어서, 장벽 안에서 지수적으로 줄어들 뿐 0이 되지 않고 반대편으로 새어 나간다. 이 터널링(tunneling)은 반도체에서 피할 수 없는 골칫거리이자 쓸모 있는 도구다. 1 nm 남짓한 게이트 산화막의 누설 전류, 플래시 메모리의 프로그램과 소거, 오믹 접촉, 원자를 보는 현미경이 모두 이 장의 공식 하나 $T \sim e^{-2\kappa a}$에서 나온다. 아래에서 전자 파속이 장벽에 부딪혀 갈라지는 모습을 보자.

장벽 모서리의 흰 점을 끌어 높이·폭을 바꿔 보세요

계단 퍼텐셜에서 $E>V_0$일 때도 반사가 일어나고 $E \lt V_0$일 때 파동이 침투 깊이 $1/\kappa$만큼 스며드는 것을 경계 조건으로 설명한다.
사각 장벽의 투과 확률 정확해와 두꺼운 장벽 근사 $T \approx 16\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})e^{-2\kappa a}$를 쓰고, $E>V_0$의 공명 투과 조건을 구한다.
전달 행렬로 임의의 다층 구조의 투과 확률을 계산하고, 이중 장벽의 공명 터널링과 부성 저항을 설명한다.
WKB 근사 $T \approx \exp(-2\int\kappa\,dx)$로 사다리꼴·삼각 장벽을 다루고, 알파 붕괴의 가모프 인자를 추정한다.
게이트 산화막의 직접 터널링과 파울러–노드하임 터널링을 구별하고, EOT와 high-k 절연막이 왜 필요한지 정량적으로 설명한다.
주사 터널링 현미경의 전류가 간격 0.1 nm마다 약 한 자릿수 바뀌는 이유를 계산한다.

계단 퍼텐셜: 반사와 침투

가장 단순한 장애물은 높이 $V_0$의 계단 퍼텐셜(potential step)이다: $x\lt 0$에서 $V=0$, $x>0$에서 $V=V_0$. 반도체에서는 GaAs/AlGaAs 같은 이종 접합의 전도대 어긋남이 바로 이런 계단이다. 왼쪽에서 에너지 $E$의 전자가 들어온다고 하자. 고전 입자라면 답은 뻔하다: $E>V_0$이면 100% 넘어가고(느려질 뿐), $E\lt V_0$이면 100% 튕겨 나온다. 양자 역학의 답은 두 경우 모두 다르다.

각 영역에서 시간 독립 슈뢰딩거 방정식의 해는 평면파 또는 지수 함수다. 파수는

$$k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \qquad k' = \frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}\ (E>V_0), \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\ (E\lt V_0)$$

이 책의 단위에서 $\hbar^2/2m_e = 0.0381$ eV·nm²이므로 $k\,[\text{nm}^{-1}] = \sqrt{E\,[\text{eV}]\cdot (m/m_e)/0.0381}$.

왼쪽: $\psi_\text{I} = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$(입사 + 반사), 오른쪽: $\psi_\text{II} = Ce^{ik'x}$(투과만). $x=0$에서 $\psi$와 $\psi'$이 연속이어야 한다는 두 조건 $A+B=C$, $k(A-B)=k'C$를 풀면

$$\frac{B}{A} = \frac{k-k'}{k+k'}, \quad \frac{C}{A} = \frac{2k}{k+k'} \quad\Longrightarrow\quad R = \left(\frac{k-k'}{k+k'}\right)^2, \quad T = \frac{k'}{k}\left|\frac{C}{A}\right|^2 = \frac{4kk'}{(k+k')^2}$$

$T$에 $k'/k$가 붙는 것은 확률 흐름(probability current) $j = (\hbar k/m)|\psi|^2$의 비로 정의하기 때문이다. 오른쪽에서 전자는 느려지므로 진폭이 커져도 흐름은 작다. 항상 $R+T=1$.

계단 퍼텐셜. 가운데: $E>V_0$인데도 반사파가 생겨 왼쪽에 정상파 무늬(진폭의 맥놀이)가 생긴다. 오른쪽: $E\lt V_0$이면 반사율은 1이지만 파동함수는 벽 안으로 $e^{-\kappa x}$로 스며든다.

에너지가 계단 높이의 1.5배($E = 1.5V_0$)인 전자가 계단에 들어온다. 반사되는 비율은 대략?

$k'/k = \sqrt{0.5/1.5} = 0.577$이므로 $R = (0.423/1.577)^2 = 0.072$. 에너지가 계단보다 커도 파동은 "갑작스러운 변화"에서 반사된다. 아래에서 에너지 선을 $V_0$ 바로 위까지 내려 보라 — $R$이 1에 가까워진다.

에너지 선의 흰 점을 위아래로 끈다

|ψ|² 보기

MINI LAB위: 파동함수의 실수부가 시간에 따라 진동한다($V_0 = 1$ eV, 자유 전자). 아래: 반사율 $R(E/V_0)$ 곡선 위의 점. $E\lt V_0$에서는 오른쪽 꼬리의 길이(침투 깊이)가 $E\to V_0$에서 길어지는 것을 보라.

장벽 속으로 스며드는 파동

$E\lt V_0$이면 $k'$이 허수 $i\kappa$가 되어 $\psi_\text{II} = Ce^{-\kappa x}$이다. 위 공식에서 $k' \to i\kappa$로 바꾸면 $|B/A| = |k-i\kappa|/|k+i\kappa| = 1$: 모두 반사된다. 그러나 확률 밀도 $|\psi|^2 \propto e^{-2\kappa x}$는 벽 안에서 0이 아니다. $|\psi|$가 $1/e$로 줄어드는 거리를 침투 깊이(penetration depth) $\delta = 1/\kappa$라 한다.

장벽이 전자 에너지보다 1.00 높고 유효 질량이 1.00이면 $\kappa$ = , 침투 깊이 $\delta$ = 이다. 벽 안 0.5 nm 지점의 확률 밀도는 경계의 배다.

침투 깊이는 원자 크기(0.1–0.3 nm) 정도다. 그래서 장벽이 수 nm 이하로 얇아지면 꼬리가 반대편 끝에 닿고, 거기서 다시 진행파가 생긴다 — 이것이 터널링이다.

운동 에너지 0.40 eV의 전자가 높이 0.30 eV의 계단 퍼텐셜에 수직으로 들어온다(양쪽 유효 질량 같음). 반사 확률과 투과 확률은?

풀이 보기

전략 $k \propto \sqrt{E}$, $k'\propto\sqrt{E-V_0}$이므로 비례 상수는 상관없다. $R = ((k-k')/(k+k'))^2$.

풀이 $k'/k = \sqrt{0.10/0.40} = 0.5$. $R = \left(\dfrac{1-0.5}{1+0.5}\right)^2 = \dfrac19 = 0.111$, $T = 1-R = 0.889$.

R = 0.111, T = 0.889

검토 $T = 4kk'/(k+k')^2 = 4(0.5)/(1.5)^2 = 0.889$로 일치한다. 고전적으로는 $R=0$이었을 것이다.

사각 장벽의 투과 확률

이제 폭 $a$, 높이 $V_0$의 사각 장벽(rectangular barrier)을 생각한다. 영역 I($x\lt 0$)과 III($x>a$)은 자유 공간이고, 영역 II는 장벽이다. $E\lt V_0$일 때 장벽 안의 해는 늘어나는 지수와 줄어드는 지수의 합이다.

사각 장벽($E = 0.96V_0$, $\kappa a = 1.44$): 영역 I은 입사파와 반사파가 겹친 정상파, 영역 II는 지수적으로 줄어드는 꼬리, 영역 III은 진폭이 작아진 투과파다(투과 확률 3.5%). 파장은 장벽 양쪽에서 같다.

경계 두 곳에서 $\psi$와 $\psi'$의 연속 조건 네 개로 $B, C, D, F$를 $A$로 나타내면 투과 확률 $T = |F/A|^2$의 정확한 식을 얻는다.

$$T = \left[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1}\ (E\lt V_0), \qquad T = \left[1 + \frac{V_0^2\sin^2(k'a)}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}\ (E>V_0)$$

$\kappa a \gg 1$이면 $\sinh\kappa a \approx \tfrac12 e^{\kappa a}$이므로 두꺼운 장벽 근사 $\;T \approx 16\dfrac{E}{V_0}\left(1-\dfrac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$.

모든 것은 지수 $e^{-2\kappa a}$가 지배한다. 앞의 인자 $16\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})$는 최대 4이다. 폭이 두 배가 되면 $T$는 반이 아니라 제곱(×$e^{-2\kappa a}$)만큼 작아진다.

높이 3.1, 폭 1.00의 장벽에 에너지 1.00, 유효 질량 0.42인 전자가 오면 $2\kappa a$ = , 정확한 $T$ = , 근사 $T$ = (). 폭을 0.1 nm 늘리면 $T$는 배가 된다.

장벽의 흰 점: 위(높이), 오른쪽(폭)

전자 에너지 E Re ψ도 그리기

MINI LAB정상 상태의 $|\psi|^2$(채움)와 $\text{Re}\,\psi$(선). 입사 진폭을 1로 맞췄다. 장벽을 넓히면 오른쪽 진폭이 지수적으로 줄고, $E>V_0$에서 폭을 바꾸면 $T=1$이 되는 "공명 폭"이 나타난다(자유 전자).

파속으로 보는 터널링

정상 상태는 무한히 긴 파동이다. 실제 전자는 위치가 어느 정도 정해진 파속(wave packet)이므로, 장벽에 부딪힌 파속은 반사 파속과 투과 파속으로 쪼개진다. 투과 파속의 넓이(확률)는 파속에 포함된 여러 $k$의 $T(k)$를 평균한 값이다.

투과 확률이 18%인 장벽의 폭을 두 배로 늘리면, 투과 확률은 대략?

$T\propto e^{-2\kappa a}$이므로 폭을 2배로 하면 지수 인자가 제곱이 된다. 예: $E = 1$ eV, $V_0 = 1.5$ eV, $a = 0.4 \to 0.8$ nm에서 $T = 0.18 \to 0.011$. 아래 시뮬레이터에서 측정해 보라.

SIMULATOR

파속 터널링 실험실: 측정한 T vs 이론

장벽 꼭대기(높이)와 오른쪽 모서리(폭)를 끈다

평균 에너지 E₀ 파속 폭 σ

장벽 모양

위상을 색으로

장벽 V₀, a—

측정 T (오른쪽 확률)—

이론 T(E₀)—

이론 (파속 평균)—

시간—

크랭크–니콜슨 방법(Q.propagator)으로 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 직접 푼다(자유 전자, 길이 nm, 시간 fs). 해볼 것: ① $E_0 = 1$ eV, $V_0 = 1.5$ eV에서 폭을 0.4 nm와 0.8 nm로 바꿔 측정 T를 비교하라. ② $E_0$을 $V_0$보다 크게 해도 반사 파속이 남는 것을 확인하라. ③ σ를 줄이면(에너지 퍼짐 증가) 측정값이 $T(E_0)$보다 "파속 평균" 쪽에 가까워진다. ④ "2개"를 고르면 장벽 사이에서 파속이 여러 번 왕복하며 조금씩 새어 나온다.

장벽 위의 공명 투과

$E>V_0$이면 $\sin^2(k'a)$ 항 때문에 $T$가 1과 그보다 작은 값 사이를 진동한다. $k'a = n\pi$, 즉 장벽 폭이 장벽 안 반파장의 정수배일 때 두 경계에서 반사된 파동이 상쇄 간섭해 반사가 0이 된다. 박막 광학의 무반사 코팅과 같은 원리다.

$$T = 1 \iff k'a = n\pi \iff E_n = V_0 + \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2, \quad n = 1, 2, \dots$$

공명 에너지는 장벽 높이 위에 "폭 $a$인 무한 우물의 준위"를 얹은 것과 같다.

에너지 1.0 eV의 자유 전자가 높이 4.0 eV, 폭 0.50 nm의 장벽에 입사한다. 투과 확률을 정확한 식과 두꺼운 장벽 근사로 구하라. 폭이 1.0 nm이면?

풀이 보기

전략 $\kappa = \sqrt{(V_0-E)/0.0381}$ nm⁻¹을 구한 뒤 두 식에 넣는다.

풀이 $\kappa = \sqrt{3.0/0.0381} = 8.87$ nm⁻¹, $\kappa a = 4.44$. $\sinh^2(4.44) = 1.78\times10^{3}$, $T = [1 + 16(1.78\times10^3)/(4\cdot1\cdot3)]^{-1} = 4.20\times10^{-4}$. 근사: $16(0.25)(0.75)e^{-8.87} = 3(1.40\times10^{-4}) = 4.20\times10^{-4}$. 폭 1.0 nm: $T = 5.88\times10^{-8}$.

T = 4.20×10⁻⁴ (근사도 같음), 폭 1.0 nm에서 5.88×10⁻⁸

검토 $2\kappa a = 8.9$이면 근사의 오차는 0.01%도 안 된다. 폭을 2배로 하자 $T$가 약 7000분의 1로 줄었다 — 위 드래그 문단에서 확인해 보라.

높이 1.0 eV, 폭 1.0 nm의 장벽에서 $E>V_0$인 자유 전자가 반사 없이 지나가는 가장 낮은 두 에너지는?

풀이 보기

전략 $E_n = V_0 + 0.0381(n\pi/a)^2$ eV.

풀이 $n = 1$: $0.0381\pi^2 = 0.376$ eV → $E_1 = 1.376$ eV. $n = 2$: $4\times0.376 = 1.504$ eV → $E_2 = 2.504$ eV.

E₁ = 1.38 eV, E₂ = 2.50 eV

검토 정확한 식에 $E = 1.376$ eV를 넣으면 $\sin(k'a) = \sin\pi = 0$ → $T = 1$. 위 미니 실험에서 $V_0 = 1$ eV, $a = 1$ nm로 맞추고 $E$를 1.38 eV로 옮겨 확인하라.

전달 행렬과 다층 구조

실제 소자의 퍼텐셜은 장벽 하나가 아니다. 게이트 스택(SiO₂ 계면층 + HfO₂), 공명 터널 다이오드(장벽–우물–장벽), 초격자, 자기 터널 접합… 퍼텐셜이 여러 층의 계단으로 이루어져 있으면 전달 행렬법(transfer-matrix method)으로 체계적으로 풀 수 있다. 층마다 $\psi_j = A_je^{ik_jx} + B_je^{-ik_jx}$($k_j$는 허수일 수 있다)로 두고, 경계마다 두 연속 조건을 2×2 행렬로 쓰는 것이다.

퍼텐셜을 일정한 층들로 나눈다. 모양이 있는 장벽도 얇은 층을 많이 쌓으면 된다.
층마다 오른쪽·왼쪽으로 가는 두 파동의 진폭 $A_j, B_j$를 둔다. 맨 오른쪽에는 투과파만 있다($B_N = 0$).
각 경계에서 $\psi$와 $(1/m)\psi'$(벤다니엘–듀크 조건: 유효 질량이 다른 층)이 연속 → 이웃 층 진폭 사이의 2×2 행렬.
오른쪽 끝에서 시작해 행렬을 차례로 곱하면 입사 진폭이 나오고, 확률 흐름의 비로 $T$를 얻는다.

전달 행렬법. 이 책의 Q.transfer(E, layers)가 바로 이 계산을 한다(오른쪽 끝에서 왼쪽으로 진폭을 거슬러 올라간다).

행렬은 층 수에 비례하는 계산만 필요하므로, 수백 층의 초격자나 연속 퍼텐셜(얇은 층으로 쪼갠 사다리꼴·삼각 장벽)도 순식간에 풀린다. 아래 편집기로 직접 구조를 만들어 보자. 재료는 GaAs($m^* = 0.067m_e$)와 AlGaAs 장벽을 가정했다.

SIMULATOR

다층 구조 편집기와 투과 스펙트럼 T(E)

위: 층 꼭대기(높이)·오른쪽 모서리(폭)를 끈다 · 아래: 눌러서 E 선택

미리 만든 구조

T를 로그 눈금으로 WKB 근사(장벽마다 exp(−2κa)의 곱) 겹쳐 그리기

선택한 E—

T(E)—

첫 공명 (T > 0.5)—

목표: 0.10 eV에서 T > 0.9—

해볼 것: ① "장벽 1"에서는 $T$가 $E$에 따라 매끄럽게 늘지만, "이중 장벽"에서는 $T$가 1에 닿는 날카로운 봉우리가 생긴다 — 우물 속 준위와 같은 에너지다. ② 이중 장벽의 우물 폭을 넓혀 공명을 0.10 eV(±5 meV)에 맞춰라(목표). ③ 장벽 하나를 높이거나 넓혀 비대칭으로 만들면 공명 봉우리의 높이가 1보다 작아진다. ④ 초격자에서는 봉우리들이 모여 "띠"(미니 밴드)를 이룬다 — 12장 에너지 띠의 예고다.

이중 장벽에서 일어나는 일은 광학의 파브리–페로 공진기(Fabry–Pérot resonator)와 같다. 각 장벽의 투과 확률이 $10^{-3}$이라도 우물 속에서 왕복하는 파동이 보강 간섭하는 에너지에서는 반사파들이 서로 상쇄되어 $T = 1$이 된다(장벽이 대칭일 때). 투과 봉우리의 폭 $\Gamma$는 전자가 우물에 머무는 시간 $\tau$와 $\Gamma\tau\sim\hbar$로 연결된다. 장벽이 두꺼울수록 봉우리는 날카롭고 우물 속 준위는 오래 산다.

공명 터널 다이오드와 부성 저항

공명 터널 다이오드(resonant tunneling diode, RTD)는 이중 장벽 양쪽을 고농도로 도핑한 구조다. 왼쪽 이미터의 전자는 전도대 바닥부터 페르미 준위 $E_F$까지 채워져 있다. 전압을 걸면 구조 전체가 기울어 우물 속 공명 준위가 내려온다.

공명 터널 다이오드의 띠 그림. 주황 선이 우물 속 공명 준위, 파란 채움이 이미터·컬렉터의 채워진 전자다. ①→② 전압을 올리면 전류가 늘다가, ③ 준위가 이미터 전도대 바닥보다 내려가면 전류가 오히려 줄어든다.

③의 구간에서는 전압을 올릴수록 전류가 줄어드는 부성 미분 저항(negative differential resistance, NDR)이 나타난다. NDR 소자를 공진 회로에 넣으면 손실을 상쇄해 발진기가 되며, RTD는 수백 GHz–THz 발진기로 쓰인다. 공명 준위가 우물 중심에 있고 전압이 구조에 고르게 걸린다면 준위는 $V/2$만큼 내려오므로, 봉우리 전압은 대략 $V_p \approx 2E_r/q$이다.

공명 준위가 이미터 띠 바닥 아래로 내려간 뒤에도 전압을 계속 올리면 전류는?

공명 통로가 닫히면 비공명 터널링만 남아 전류가 줄고(골짜기), 전압이 더 커지면 장벽 꼭대기가 낮아지고 두 번째 준위가 들어와 다시 늘어난다. 아래 I–V 곡선에서 봉우리 대 골짜기 비(PVR)를 읽어 보라.

SIMULATOR

공명 터널 다이오드: 띠 그림과 I–V

곡선 위 흰 점을 끌어 전압을 바꾼다

우물 폭 w 장벽 폭 b 장벽 높이 V₀ 이미터 E_F

전압 V—

공명 준위 E_r(0 V)—

봉우리 전압—

봉우리/골짜기 비—

전류는 $J \propto \int T(E,V)\,[\max(0,E_F-E) - \max(0, E_F-E-qV)]\,dE$(절대 영도, 3차원 이미터의 공급 함수)로 계산하고, $T(E,V)$는 기울어진 구조를 0.15 nm 층으로 쪼개 전달 행렬로 구했다. 전류는 상대 단위다. 해볼 것: ① 점을 끌어 봉우리와 골짜기에서 띠 그림을 비교하라. ② 우물을 넓히면 $E_r$이 낮아져 봉우리 전압이 줄어든다. ③ 장벽을 두껍게 하면 봉우리 전류는 줄지만 PVR은 어떻게 되는가? (실제 소자의 골짜기 전류는 포논 산란 등으로 이 모형보다 크다.)

다층 터널 구조는 어디에나

게이트 스택(Si / 0.5 nm SiO₂ 계면층 / 2–3 nm HfO₂ / TiN)은 전달 행렬로 누설을 계산하는 대표적 다층 구조다. 9장에서 다룰 STT-MRAM의 자기 터널 접합(MTJ, CoFeB / 약 1 nm MgO / CoFeB)은 터널 장벽 양쪽 전극의 스핀 방향에 따라 투과 확률이 달라지는 소자로, 저항 비(TMR)가 100%를 넘는다. 이중 장벽의 공명 원리는 양자 우물 적외선 검출기(QWIP)와 양자 폭포 레이저(QCL)의 설계에도 그대로 쓰인다. 관련: 신규 메모리(MRAM), MOS 구조.

WKB 근사: 모양이 있는 장벽

장벽의 높이가 위치에 따라 천천히 변하면(한 침투 깊이 안에서 $V$가 거의 일정하면) 장벽을 얇은 사각 장벽들의 연속으로 보고 지수를 더하면 된다. 이것이 WKB 근사(Wentzel–Kramers–Brillouin approximation)다.

$$T \approx \exp\left(-2\int_{x_1}^{x_2}\kappa(x)\,dx\right), \qquad \kappa(x) = \frac{\sqrt{2m\,[V(x)-E]}}{\hbar}$$

$x_1, x_2$는 $V(x) = E$인 고전적 전환점(classical turning points). 사각 장벽이면 $e^{-2\kappa a}$로 돌아간다(앞인자 16…은 빠진다). $2\int\kappa\,dx \gg 1$일 때 정확하다.

반도체에서 특히 중요한 것은 두 가지 모양이다. 전기장 $F$가 걸린 절연막은 사다리꼴, 전기장이 충분히 크면 삼각형이 된다. 높이 $\phi_B$에서 기울기 $qF$로 내려가는 삼각 장벽의 적분은

$$\int_0^{\phi_B/qF}\sqrt{2m(\phi_B - qFx)}\,\frac{dx}{\hbar} = \frac{2\sqrt{2m}\,\phi_B^{3/2}}{3\hbar qF} \quad\Longrightarrow\quad T_\triangle \approx \exp\left(-\frac{4\sqrt{2m}\,\phi_B^{3/2}}{3\hbar qF}\right)$$

이 지수가 파울러–노드하임 터널링의 핵심이다. 지수 안에 $1/F$가 있다는 점을 기억하자.

장벽 오른쪽 끝의 흰 점을 끌어 폭을 바꾼다

모양

E / V₀

MINI LAB$V_0 = 2$ eV, 자유 전자. 색칠한 부분이 $\kappa(x)$를 적분하는 금지 영역이다. 전달 행렬(400층)로 구한 "정확한" $T$와 WKB를 비교하라: 장벽이 두꺼울수록 비율이 일정해지고(앞인자 차이), 지수는 거의 정확하다.

Si에서 SiO₂로 전자가 터널링할 때 장벽 높이 $\phi_B = 3.1$ eV, 산화막 속 유효 질량 $m_\text{ox} = 0.42m_e$이다. 산화막 전기장이 10 MV/cm(= 1 V/nm)일 때 삼각 장벽의 폭(터널 거리)과 WKB 투과 확률을 구하라.

풀이 보기

전략 삼각 장벽의 폭 $d = \phi_B/qF$. 지수는 $\frac43 \kappa_0 d$ 꼴로 쓸 수 있다: $\kappa_0 = \sqrt{m_\text{ox}\phi_B/0.0381}$.

풀이 $d = 3.1\text{ eV}/(1\text{ eV/nm}) = 3.1$ nm. $\kappa_0 = \sqrt{0.42\times3.1/0.0381} = 5.846$ nm⁻¹. 지수 $= \frac43(5.846)(3.1) = 24.16$, $T = e^{-24.16} = 3.2\times10^{-11}$.

d = 3.1 nm, T ≈ 3.2×10⁻¹¹

검토 지수 24.16은 FN 상수 $B = 241.6$ MV/cm를 $F = 10$ MV/cm로 나눈 값과 같다. 같은 높이의 3.1 nm 사각 장벽이면 지수가 $2\kappa_0 d = 36.2$이다. 삼각형이 훨씬 "얇다".

알파 붕괴: 가모프의 설명

터널링이 처음 성공한 곳은 핵물리였다(가모프, 거니·콘던, 1928). 알파 입자는 핵 안에서 강한 핵력의 우물에 갇혀 있고, 핵 밖은 쿨롱 장벽 $V(r) = 2Z_de^2/(4\pi\varepsilon_0 r)$이다. 알파 입자의 에너지(4–9 MeV)는 장벽 꼭대기(약 30 MeV)보다 훨씬 낮지만 터널링으로 빠져나온다. 쿨롱 장벽에 WKB를 적용하면 가모프 인자(Gamow factor)를 얻는다.

$$T \approx e^{-2G}, \quad 2G = 2\sqrt{\frac{2\mu}{E}}\,\frac{2Z_d e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\left[\arccos\sqrt{x} - \sqrt{x(1-x)}\right], \quad x = \frac{R}{b},\ b = \frac{2Z_de^2}{4\pi\varepsilon_0E}$$

$R$: 핵 반지름(≈ 1.2($A_d^{1/3}+4^{1/3}$) fm), $b$: 바깥 전환점, $\mu$: 환산 질량. 반감기 $t_{1/2} = \ln2/(fT)$, $f = v/2R$는 알파 입자가 장벽을 두드리는 빈도(약 $10^{21}$ s⁻¹).

딸핵의 원자 번호 $Z_d$ = 90, 알파 입자 에너지 4.27이면 바깥 전환점 , 가모프 지수 $2G$ = , 반감기 추정 .

에너지가 4.27 MeV(²³⁸U)에서 8.95 MeV(²¹²Po)로 두 배 남짓 바뀔 뿐인데 반감기는 45억 년에서 0.3 µs로 $10^{24}$배 가까이 바뀐다. 지수 안에 $1/\sqrt E$가 들어 있기 때문이다(가이거–누탈 법칙). 이 단순한 모형이 24자릿수에 걸친 반감기를 한두 자릿수 안에서 맞힌다.

접촉 저항, GIDL, TFET

오믹 접촉: 금속–반도체 접합의 쇼트키 장벽(Si에서 0.5–0.8 eV)은 없앨 수 없다. 대신 반도체를 $10^{20}$ cm⁻³ 이상 도핑하면 공핍층 폭 $W = \sqrt{2\varepsilon_s\phi_B/qN}$이 약 3 nm($N = 10^{17}$이면 88 nm)로 얇아져 전자가 삼각형에 가까운 장벽을 터널링으로 통과한다. 비접촉 저항은 $\rho_c \propto \exp\!\big(2\sqrt{\varepsilon_s m^*}\,\phi_B/\hbar\sqrt{N}\big)$로 도핑에 지수적으로 민감하다. GIDL: 게이트–드레인 겹침 영역의 강한 전기장에서 가전자대 전자가 전도대로 터널링하는 밴드 간 터널링이 꺼진 트랜지스터의 누설(DRAM 셀 유지 시간의 적)을 만든다. TFET는 이 밴드 간 터널링을 게이트로 켜고 끄는 트랜지스터로, 열 방출의 한계(상온 60 mV/dec)보다 가파른 스위칭을 노린다. 관련: 금속–반도체 접촉, DRAM 셀, 스케일링.

게이트 산화막의 직접 터널링

MOSFET의 게이트 절연막은 채널의 전자와 게이트 전극 사이의 장벽이다. Si 전도대에서 SiO₂ 전도대까지의 높이는 $\phi_B = 3.1$ eV로 높지만, 두께가 2 nm 아래로 내려가면 터널링 전류가 눈에 띄게 된다. 산화막에 걸린 전압 $V_\text{ox}$이 $\phi_B/q$보다 작으면 장벽은 사다리꼴이고, 전자는 산화막 전체를 가로질러 곧장 게이트로 간다 — 직접 터널링(direct tunneling)이다. $V_\text{ox}>\phi_B/q$이면 장벽이 삼각형이 되어 파울러–노드하임 터널링(다음 절)으로 넘어간다.

Si에서 SiO₂로의 터널링. 주황 영역이 금지 영역($V>E$)이다. 왼쪽: 사다리꼴 장벽 전체를 통과(직접 터널링). 오른쪽: 강한 전기장에서 장벽이 삼각형이 되어, 전자는 거리 $d = \phi_B/qF$만 터널링한 뒤 산화막의 전도대를 타고 간다(FN 터널링).

사다리꼴 장벽에 WKB를 적용하고 앞인자를 FN 꼴로 맞춘 직접 터널링 전류의 근사식(슈에그라프–후)은

$$J_\text{DT} \approx \frac{AF^2}{\left[1-\sqrt{1-qV_\text{ox}/\phi_B}\right]^2}\exp\left\{-\frac{B\left[1-(1-qV_\text{ox}/\phi_B)^{3/2}\right]}{F}\right\}, \quad F = \frac{V_\text{ox}}{t_\text{ox}}$$

$A, B$는 다음 절의 FN 상수(SiO₂: $A = 1.18\times10^{-6}$ A/V², $B = 241.6$ MV/cm). $V_\text{ox}\to\phi_B/q$이면 FN 식과 정확히 이어진다.

이 식으로 $V_\text{ox} = 1$ V에서 계산하면 SiO₂를 0.2 nm 얇게 할 때마다 누설이 약 10배 늘어난다. 이 식 그대로는 절댓값이 측정보다 약 10배 크게 나오므로, 아래 시뮬레이터에서는 앞인자에 보정 계수 0.08을 곱해 발표된 측정 곡선(Lo 등, 1997)에 맞췄다: SiO₂ 2.0 nm ≈ 0.04 A/cm², 1.5 nm ≈ 15 A/cm², 1.2 nm ≈ 6×10² A/cm²(1 V). 두께를 3 nm에서 1 nm로 줄이면 $10^{10}$배다. 게이트 커패시턴스 $C_\text{ox} = \varepsilon_\text{ox}/t_\text{ox}$를 키우려면 얇게 해야 하는데, 얇게 하면 터널링이 폭증한다. 출구는 $\varepsilon$이 큰 절연막을 두껍게 쓰는 것이다. 이때 쓰는 잣대가 등가 산화막 두께(equivalent oxide thickness, EOT)다.

$$\text{EOT} = t_\text{hk}\,\frac{\varepsilon_{\text{SiO}_2}}{\varepsilon_\text{hk}} = t_\text{hk}\,\frac{3.9}{\varepsilon_r}, \qquad C_\text{ox} = \frac{3.9\,\varepsilon_0}{\text{EOT}}$$

여러 층이면 $\text{EOT} = \sum t_i(3.9/\varepsilon_i)$ — 직렬 커패시터.

HfO₂($\varepsilon_r = 25$) 3.0 아래에 SiO₂ 계면층 0.50이 있으면 EOT = 이고 $C_\text{ox}$ = 이다. 같은 EOT의 순수 SiO₂ 대비 물리 두께는 배다.

그러나 $\varepsilon$만 크다고 좋은 것은 아니다. high-k 물질은 대체로 띠 간격이 작아 장벽 $\phi_B$가 낮고 터널링 유효 질량도 작다. 같은 EOT에서 터널링 지수 $2\kappa t_\text{phys}$는 $\varepsilon_r\sqrt{m_\text{ox}\phi_B}$에 비례하므로 이 값이 성능 지수다.

절연막	ε_r	φ_B (eV)	m_ox/m_e	EOT 1 nm의 물리 두께 (nm)	2κt (평탄 띠)	ε_r√(m φ_B)
SiO₂	3.9	3.1	0.42	1.00	11.7	4.45
Si₃N₄	7.5	2.1	0.40	1.92	18.1	6.87
Al₂O₃	9.0	2.8	0.35	2.31	23.4	8.91
HfO₂	25	1.5	0.17	6.41	33.2	12.6

SIMULATOR

게이트 누설 계산기: high-k는 왜 필요한가

절연막 오른쪽 끝을 끌어 두께를 바꾼다

절연막

물리 두께 t SiO₂ 계면층 (high-k 아래) 산화막 전압 V_ox

EOT—

C_ox—

누설 J—

목표: EOT ≤ 1.0 nm, J ≤ 1 A/cm²—

모형: 층마다 $F_i = (3.9/\varepsilon_i)V_\text{ox}/\text{EOT}$로 전압이 나뉘고, 전자(Si 전도대 바닥)가 지나는 금지 영역에서 WKB 지수 $2\int\kappa\,dx$를 적분한다. 앞인자는 SiO₂의 직접 터널링 식을 같은 EOT에 적용하고 보정 계수 0.08을 곱해 측정 곡선에 맞췄다. 해볼 것: ① SiO₂로 목표를 이룰 수 있는가? 1 A/cm²가 되는 두께는? ② HfO₂로 바꿔 EOT 1 nm를 만들어라 — 물리 두께는 6.4 nm다. ③ 실제 HfO₂는 Si 위에 SiO₂ 계면층이 생긴다. 계면층 0.5 nm를 넣고도 목표를 이룰 수 있는가? 계면층을 얇게 만드는 것이 왜 공정의 핵심 과제인지 느껴 보라.

SiO₂ 게이트 산화막을 1.5 nm에서 1.2 nm로 줄였다. 사각 장벽 근사($\phi_B = 3.1$ eV, $m_\text{ox} = 0.42m_e$, 전자 에너지는 장벽 아래 3.1 eV)에서 터널링 확률은 몇 배가 되는가? 0.1 nm마다는?

풀이 보기

전략 앞인자는 같으므로 비는 $e^{2\kappa\Delta t}$이다.

풀이 $\kappa = \sqrt{0.42\times3.1/0.0381} = 5.85$ nm⁻¹. $e^{2(5.85)(0.3)} = e^{3.51} = 33.4$. 0.1 nm마다 $e^{1.17} = 3.22$배.

약 33배 (0.1 nm마다 약 3.2배)

검토 전압이 걸리면 장벽이 사다리꼴로 낮아져 $\kappa$의 평균이 줄지만, 위 시뮬레이터의 직접 터널링 모형에서도 1.5 → 1.2 nm에 약 39배(15 → 6×10² A/cm²)로 비슷하다.

EOT 1.0 nm를 SiO₂와 HfO₂($\varepsilon_r = 25$, $\phi_B = 1.5$ eV, $m_\text{ox} = 0.17m_e$)로 각각 만든다. HfO₂의 물리 두께와, 평탄 띠(사각 장벽) WKB 지수 $2\kappa t$를 비교하라.

풀이 보기

전략 $t_\text{hk} = \text{EOT}\times\varepsilon_r/3.9$, $\kappa = \sqrt{m\phi_B/0.0381}$.

풀이 $t_\text{hk} = 1.0\times25/3.9 = 6.41$ nm. SiO₂: $2(5.85)(1.0) = 11.7$. HfO₂: $\kappa = \sqrt{0.17\times1.5/0.0381} = 2.59$ nm⁻¹, $2(2.59)(6.41) = 33.2$.

t = 6.41 nm; 지수 11.7 vs 33.2 → HfO₂ 쪽 투과 확률이 e^{−21.5} ≈ 5×10⁻¹⁰배

검토 HfO₂의 장벽이 낮고 질량이 가벼워 $\kappa$는 절반 이하지만, 6배 넘게 두꺼운 효과가 이긴다. 대가로 계면 결함, 이동도 저하, 문턱 전압 이동 같은 새 문제가 생겼다.

1.2 nm SiO₂의 벽과 high-k/금속 게이트

90·65 nm 노드의 게이트 산화막은 질화 처리한 SiO₂ 약 1.2 nm, 원자 다섯 층 정도였다. 직접 터널링 누설은 1 V 근처에서 $10^2$–$10^3$ A/cm² 규모로 커져 칩 대기 전력의 큰 몫이 되었고, 더 얇게 할 수 없었다. 2007년 45 nm 노드에서 HfO₂ 계열 high-k 절연막과 금속 게이트(HKMG)가 양산에 들어가, 비슷하거나 더 작은 EOT에서 게이트 누설을 10배 이상 줄였다. 금속 게이트는 다결정 실리콘 게이트의 공핍(EOT를 약 0.4 nm 늘림)과 high-k와의 페르미 준위 고정 문제도 함께 풀었다. 지금의 FinFET·GAA 게이트 스택은 0.5 nm 안팎의 SiO₂ 계면층 위에 HfO₂를 2 nm 정도 올려 EOT 약 0.8–1 nm를 만들며, 계면층을 얇게 하는 것(산소 스캐빈징)이 핵심 공정 과제다. 관련: MOSFET, 스케일링, 공정.

파울러–노드하임 터널링

산화막 전압이 장벽 높이를 넘으면($qV_\text{ox}>\phi_B$) 장벽은 삼각형이 된다. 전자는 폭 $d = \phi_B/qF$만 터널링하면 산화막 전도대로 나와 전기장을 따라 흘러간다. 이를 파울러–노드하임(FN) 터널링(Fowler–Nordheim tunneling)이라 한다(1928년, 금속 표면의 전계 방출을 설명하려고 유도). 전기장이 커질수록 삼각형이 얇아지므로 전류는 전기장에 대해 폭발적으로 늘어난다.

낮은 전압: 사다리꼴 장벽 — 직접 터널링(두꺼운 막에서는 무시할 만큼 작다).
$qV_\text{ox} = \phi_B$: 장벽 오른쪽 끝이 전자 에너지까지 내려와 삼각형이 된다.
높은 전기장: 터널 거리 $d = \phi_B/qF$가 산화막 두께와 무관하게 짧아진다 — FN 영역.

직접 터널링에서 FN 터널링으로. FN 영역의 전류는 두께가 아니라 전기장 $F$로만 정해진다.

삼각 장벽의 WKB 지수에 금속(또는 축퇴 반도체) 속 전자의 공급을 곱하면 FN 식을 얻는다.

$$J_\text{FN} = AF^2\exp\left(-\frac{B}{F}\right), \qquad A = \frac{q^3}{8\pi h\phi_B}\frac{m_e}{m_\text{ox}}, \qquad B = \frac{8\pi\sqrt{2m_\text{ox}}\,\phi_B^{3/2}}{3qh}$$

Si/SiO₂($\phi_B = 3.1$ eV, $m_\text{ox} = 0.42m_e$): $A = 1.18\times10^{-6}$ A/V², $B = 2.42\times10^{10}$ V/m = 241.6 MV/cm. 양변을 $F^2$으로 나누고 로그를 취하면 $\ln(J/F^2) = \ln A - B\cdot(1/F)$: FN 플롯은 기울기 $-B$인 직선이다.

FN 플롯의 기울기에서 $B \propto \sqrt{m_\text{ox}}\,\phi_B^{3/2}$를 읽으면 장벽 높이를 측정할 수 있다. 산화막 품질 검사에서 늘 하는 일이다. 전기장이 10 MV/cm에서 11 MV/cm로 10% 늘면 지수가 $B(1/10 - 1/11)$ = 2.2만큼 바뀌어 전류는 약 11배가 된다.

SiO₂의 FN 전류에서 전기장을 10 MV/cm → 11 MV/cm로 10% 올리면 전류는?

$J_{11}/J_{10} = 1.21\,e^{241.6(1/10-1/11)} = 1.21\,e^{2.20} = 10.9$. 지수 안의 $1/F$가 전류를 지배한다. 아래 FN 플롯의 점을 끌어 확인하라.

SIMULATOR

FN 플롯과 플래시 프로그램 전압

게이트 쪽 흰 점을 위아래로 끌어 전기장을 바꾼다

장벽

터널 산화막 두께 결합비 α_G (제어 게이트 → 부유 게이트)

전기장 F—

터널 거리 d—

J_FN—

필요한 V_CG—

ΔV_t = 3 V 프로그램 시간—

측정점으로 구한 φ_B—

Q.fowlerNordheim(F, φB, mox)로 계산한다. 프로그램 시간은 전하 $\Delta Q = \Delta V_t\,C_\text{ONO}$(ONO EOT 12 nm 가정)를 일정한 $J$로 채우는 시간이다(실제로는 전하가 쌓이며 전기장이 줄어 더 길다). 해볼 것: ① 측정점을 서너 개 찍어 직선의 기울기에서 φ_B를 되찾아라. ② 프로그램 시간을 1 ms 아래로 하려면 전기장이 얼마나 필요한가? ③ Si₃N₄로 바꾸면 같은 전기장에서 전류가 얼마나 커지는가?

NAND 플래시 셀의 터널 산화막(SiO₂)이 8.0 nm, 프로그램 중 산화막 전기장이 10 MV/cm이다. (a) 터널 거리, (b) FN 전류 밀도, (c) 결합비 0.60일 때 필요한 제어 게이트 전압(채널 0 V, 부유 게이트 초기 전하 0), (d) 문턱 전압을 3 V 옮기는 데 필요한 전하(ONO EOT 12 nm)를 이 전류로 채우는 시간을 구하라.

풀이 보기

전략 $d = \phi_B/qF$, $J = AF^2e^{-B/F}$, $V_\text{FG} = F t_\text{ox}$, $V_\text{CG} = V_\text{FG}/\alpha_G$, $\Delta Q = \Delta V_t\cdot 3.9\varepsilon_0/\text{EOT}$.

풀이 (a) $d = 3.1/1.0 = 3.1$ nm. (b) $J = (1.18\times10^{-6})(10^9)^2 e^{-24.16} = 3.80\times10^{1}$ A/m² $= 3.80\times10^{-3}$ A/cm². (c) $V_\text{FG} = 8.0$ V, $V_\text{CG} = 8.0/0.60 = 13.3$ V. (d) $\Delta Q = 3(3.9)(8.854\times10^{-12})/(12\times10^{-9}) = 8.63\times10^{-3}$ C/m², $t = 8.63\times10^{-3}/38.0 = 2.3\times10^{-4}$ s.

d = 3.1 nm, J = 3.8×10⁻³ A/cm², V_CG ≈ 13 V, t ≈ 0.23 ms

검토 실제 NAND의 프로그램 펄스(15–20 V, 수백 µs)와 같은 규모다. 8 nm 막은 낮은 전기장(데이터 보관 중 수 MV/cm 이하)에서 직접 터널링이 사실상 0이어서 10년 보관을 보장한다 — 높은 전기장에서만 열리는 "전기장 스위치"다.

부유 게이트 NAND 셀. 제어 게이트에 높은 전압을 걸면 터널 산화막의 전기장이 약 10 MV/cm가 되어 채널 전자가 FN 터널링으로 부유 게이트에 들어간다(프로그램). 소거는 기판에 높은 전압을 걸어 반대 방향으로 FN 터널링시킨다.

플래시 메모리의 프로그램·소거와 V-NAND

평면 NAND는 약 8 nm 터널 산화막을 통한 FN 터널링으로 부유 게이트에 전자를 넣고(프로그램, 제어 게이트 15–20 V) 빼낸다(소거, 기판 약 20 V). 문턱 전압을 정밀하게 맞추려고 전압을 계단식으로 조금씩 올리는 ISPP 펄스를 쓴다. 3차원 V-NAND는 부유 게이트 대신 질화막의 트랩에 전하를 가두는 전하 트랩(CTF) 셀을 쓰지만, 채널에서 SiO₂ 계열 터널막을 지나는 터널링으로 프로그램한다는 원리는 같다. 높은 전기장의 FN 주입을 수천 번 반복하면 산화막에 결함이 생겨 낮은 전기장에서도 트랩을 거쳐 새는 SILC(stress-induced leakage current)가 늘고, 이것이 쓰기 내구성(P/E 사이클)과 데이터 보존을 제한한다. 관련: NAND 플래시, V-NAND, 메모리 신뢰성.

주사 터널링 현미경

날카로운 금속 바늘을 시료 표면에서 1 nm 이내로 가져가고 0.01–1 V를 걸면, 진공 틈을 지나는 터널링 전류(pA–nA)가 흐른다. 장벽 높이는 대략 두 일함수의 평균 $\phi$(4–5 eV)이고, 전류는 간격 $d$에 지수적으로 민감하다.

$$I \propto V\,e^{-2\kappa d}, \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m_e\phi}}{\hbar} = \sqrt{\frac{\phi\,[\text{eV}]}{0.0381}}\ \text{nm}^{-1}$$

$\phi = 4.5$ eV이면 $\kappa = 10.9$ nm⁻¹, $2\kappa = 21.7$ nm⁻¹: 간격이 0.1 nm 바뀔 때 전류는 $e^{2.17} = 8.8$배 — 약 한 자릿수.

이 극단적 민감도 덕분에 바늘 끝의 맨 앞 원자 하나가 전류 대부분을 나른다. 비니히와 로러는 1981년 이 주사 터널링 현미경(scanning tunneling microscope, STM)을 만들어 1983년 Si(111) 7×7 재구성 표면의 원자 배열을 실공간에서 처음 보였고, 1986년 노벨 물리학상을 받았다. 보통은 전류를 일정하게 유지하도록 압전 소자가 바늘 높이를 되먹임 제어하고(정전류 모드), 그 높이 신호가 곧 표면 지형이다.

STM의 구성. 바늘과 시료 사이 진공 틈이 터널 장벽이다. 되먹임 회로가 전류를 일정하게 유지하도록 바늘 높이 z를 조절하며, z(x, y)를 기록하면 원자 지형이 된다.

장벽 높이(평균 일함수) 4.5에서 간격을 0.10 줄이면 전류는 배가 된다. 전류를 1% 정밀도로 일정하게 유지하면 높이 분해능은 이다.

SIMULATOR

STM 바늘 조종: 정높이 vs 정전류

바늘 끝의 흰 점을 끌어 높이·위치를 바꾼다

모드

설정 전류 장벽 높이 φ 원자 빈자리 하나 숨기기

간격 d—

터널 전류 I—

목표: I = 설정 전류 ±10%—

모형: $I = 1\,\text{nA}\times e^{-2\kappa(d-0.6\,\text{nm})}$, $d$는 바늘 끝에서 가장 가까운 원자 표면까지의 거리. 해볼 것: ① 정높이 모드에서 바늘을 0.1 nm 내려 전류가 약 9배 되는 것을 확인하라. ② 손으로 바늘을 움직여 설정 전류를 맞춰 보라(목표). ③ 정전류 모드를 켜면 바늘이 원자 줄을 따라 오르내리며 지형을 그린다. 숨은 빈자리를 찾아라.

STM에서 장벽 높이 4.5 eV, 터널 전류 1.0 nA로 주사하고 있다. 바늘이 원자 높이 단차(0.05 nm 돌출)를 만나 간격이 그만큼 줄면 전류는 얼마가 되는가? 간격 0.1 nm 변화에는?

풀이 보기

전략 $I_2/I_1 = e^{2\kappa\Delta d}$, $\kappa = \sqrt{4.5/0.0381}$ nm⁻¹.

풀이 $\kappa = 10.87$ nm⁻¹, $2\kappa = 21.7$ nm⁻¹. 0.05 nm: $e^{1.087} = 2.96$ → 2.96 nA. 0.1 nm: $e^{2.17} = 8.79$배.

약 3.0 nA (0.1 nm에는 8.8배)

검토 전류를 몇 % 정밀도로만 재도 높이를 pm(0.001 nm) 수준으로 구별할 수 있다. 원자가 보이는 이유다.

STM의 원리는 반도체 계측에도 쓰인다. 전도성 AFM(C-AFM)은 바늘로 얇은 산화막을 국소적으로 눌러 터널링 전류 지도를 그려 산화막의 약한 점(누설 경로)을 찾고, 주사 터널링 분광(STS)은 $dI/dV$로 표면의 국소 상태 밀도와 띠 간격을 잰다. 원자 단위 소자 연구(실리콘 속 인 원자 하나를 STM 리소그래피로 놓는 양자 소자)도 이 바늘로 이루어진다.

핵심 정리

계단 퍼텐셜에서 $E>V_0$이어도 $R = ((k-k')/(k+k'))^2$만큼 반사되고, $E\lt V_0$이면 전부 반사되지만 파동함수가 침투 깊이 $\delta = 1/\kappa = \hbar/\sqrt{2m(V_0-E)}$만큼 스며든다.
사각 장벽의 투과 확률은 $T = [1 + V_0^2\sinh^2\kappa a/4E(V_0-E)]^{-1}$, 두꺼우면 $T\approx16\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})e^{-2\kappa a}$. 폭·장벽 높이·질량에 지수적으로 민감하다. $E>V_0$에서는 $k'a = n\pi$일 때 $T = 1$(공명).
전달 행렬법은 층마다 진폭 쌍을 두고 경계에서 $\psi$, $(1/m)\psi'$ 연속을 2×2 행렬로 이어 임의 다층 구조의 $T(E)$를 준다. 이중 장벽은 우물 준위에서 $T = 1$인 공명을 보이며, RTD의 부성 저항이 여기서 나온다.
WKB 근사: $T\approx\exp(-2\int\kappa\,dx)$. 삼각 장벽은 $\exp(-4\sqrt{2m}\phi_B^{3/2}/3\hbar qF)$이고, 쿨롱 장벽은 알파 붕괴 반감기의 엄청난 범위를 설명한다(가모프).
게이트 산화막의 직접 터널링(사다리꼴)은 SiO₂ 0.2 nm마다 약 10배씩 늘어난다. 같은 EOT $= t\cdot3.9/\varepsilon_r$에서 물리적으로 두꺼운 high-k(HfO₂)를 쓰는 것이 해법이며, 성능 지수는 $\varepsilon_r\sqrt{m_\text{ox}\phi_B}$다.
FN 터널링(삼각 장벽): $J = AF^2e^{-B/F}$, SiO₂에서 $B = 241.6$ MV/cm. $\ln(J/F^2)$–$1/F$ 직선의 기울기에서 장벽 높이를 얻는다. 플래시 메모리는 약 10 MV/cm의 FN 터널링으로 프로그램·소거한다.
STM 전류 $I\propto e^{-2\kappa d}$는 일함수 4–5 eV에서 간격 0.1 nm마다 약 한 자릿수 바뀌어 원자 분해능을 준다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $\hbar^2/2m_e = 0.0381$ eV·nm², $q = 1.602\times10^{-19}$ C, $\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ F/m를 쓴다. SiO₂: $\varepsilon_r = 3.9$, $\phi_B = 3.1$ eV, $m_\text{ox} = 0.42m_e$, FN 상수 $A = 1.18\times10^{-6}$ A/V², $B = 2.416\times10^{10}$ V/m. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

자유 전자가 에너지보다 0.50 eV 높은 계단 퍼텐셜에 들어간다. 침투 깊이 $\delta = 1/\kappa$는?

$\kappa = \sqrt{0.50/0.0381} = 3.62$ nm⁻¹, $\delta = 0.276$ nm.

에너지가 계단 높이의 두 배($E = 2V_0$)인 전자의 반사 확률은?

$k'/k = \sqrt{(E-V_0)/E} = 1/\sqrt2$.

$R = \left(\dfrac{1-0.7071}{1+0.7071}\right)^2 = (0.1716)^2 = 0.0294$.

두께 3.0 nm의 HfO₂($\varepsilon_r = 25$) 게이트 절연막의 EOT는?

$\text{EOT} = 3.0\times3.9/25 = 0.468$ nm. 실제로는 계면층 때문에 이보다 크다.

GaAs 속 전자($m^* = 0.067m_e$, $E = 0.20$ eV)가 높이 0.50 eV, 폭 1.0 nm의 AlGaAs 장벽을 만난다(질량 차이는 무시). 정확한 식으로 투과 확률을 구하라. 두꺼운 장벽 근사는 왜 여기서 맞지 않는가?

$\kappa = \sqrt{0.067\times0.30/0.0381}$ nm⁻¹. $\kappa a$가 1보다 작은지 보라.

$\kappa = 0.726$ nm⁻¹, $\kappa a = 0.726$, $\sinh^2(0.726) = 0.630$. $T = [1 + 0.25(0.630)/(4\times0.20\times0.30)]^{-1} = [1+0.656]^{-1} = 0.605$. 근사식은 $16(0.4)(0.6)e^{-1.45} = 0.898$로 크게 틀린다 — $\kappa a \gg 1$이 아니기 때문이다. 가벼운 유효 질량은 같은 폭의 장벽을 훨씬 "얇게" 만든다.

SiO₂ 장벽(평탄 띠, 사각 근사, $V_0-E = 3.1$ eV)의 두께를 1.0 nm에서 1.2 nm로 늘리면 투과 확률은 몇 배가 되는가?

$\kappa = 5.846$ nm⁻¹, 비 $= e^{-2(5.846)(0.2)} = e^{-2.338} = 0.0965$. 약 10분의 1.

GaAs 전자($m^* = 0.067m_e$)가 높이 0.30 eV, 폭 10 nm의 장벽 위를 지난다. 반사가 0이 되는 가장 낮은 에너지는?

$E_1 = V_0 + (0.0381/0.067)(\pi/10)^2 = 0.30 + 0.0561 = 0.356$ eV.

SiO₂ 산화막에 8.0 MV/cm의 전기장이 걸렸다. Si 전자가 지나야 하는 삼각 장벽의 폭은?

8.0 MV/cm = 0.80 V/nm. $d = 3.1/0.80 = 3.875$ nm ≈ 3.88 nm.

SiO₂에 11 MV/cm의 전기장이 걸렸을 때 FN 전류 밀도를 A/cm² 단위로 구하라.

$F = 1.1\times10^9$ V/m. $J = (1.18\times10^{-6})(1.21\times10^{18})e^{-24.16/1.1} = 1.43\times10^{12}\times e^{-21.97} = 4.13\times10^{2}$ A/m² $= 0.0413$ A/cm².

어떤 산화막의 FN 플롯 $\ln(J/F^2)$–$1/F$의 기울기가 $-2.60\times10^{10}$ V/m였다. $m_\text{ox} = 0.42m_e$로 가정할 때 장벽 높이는? (3.1 eV에서 $B = 2.416\times10^{10}$ V/m)

$B\propto\phi_B^{3/2}$.

$\phi_B = 3.1\times(2.60/2.416)^{2/3} = 3.1\times1.050 = 3.26$ eV. 질량 가정이 틀리면 $\phi_B$도 틀린다($B\propto\sqrt{m}\phi_B^{3/2}$) — 그래서 FN 분석은 보통 $m_\text{ox}$와 $\phi_B$를 함께 맞춘다.

장벽 높이 4.0 eV인 STM에서 바늘이 0.10 nm 가까워지면 전류는 몇 배가 되는가?

$\kappa = \sqrt{4.0/0.0381} = 10.25$ nm⁻¹, $e^{2(10.25)(0.10)} = e^{2.049} = 7.76$.

GaAs 우물(폭 5.0 nm, $m^* = 0.067m_e$)의 첫 준위를 무한 우물로 근사하고, 전압이 구조에 고르게 걸려 준위가 $V/2$만큼 내려온다고 할 때 RTD의 봉우리 전압(준위가 이미터 띠 바닥에 닿는 전압)을 추정하라.

$E_1 = (0.0381/0.067)(\pi/5.0)^2 = 0.2245$ eV, $V_p \approx 2E_1/q = 0.449$ V. 유한한 장벽(0.3 eV)에서는 준위가 0.09 eV 근처로 훨씬 낮아 봉우리가 약 0.15–0.2 V에 온다(시뮬레이터). 무한 우물 근사는 얕은 우물에서 크게 과대평가한다.

금속–Si 접촉의 장벽 0.60 V, 도핑 $N_D = 1.0\times10^{20}$ cm⁻³일 때 공핍층 폭 $W = \sqrt{2\varepsilon_s\phi_B/qN_D}$는? ($\varepsilon_s = 11.7\varepsilon_0$)

$W = \sqrt{2(11.7)(8.854\times10^{-12})(0.60)/(1.602\times10^{-19}\times10^{26})} = 2.79\times10^{-9}$ m = 2.79 nm. 이 정도면 전자가 장벽을 터널링해 저항이 작은 오믹 접촉이 된다. $10^{17}$ cm⁻³이면 88 nm로 터널링이 불가능하다.

가모프 모형으로 ²³⁸U($E = 4.27$ MeV)와 ²¹²Po($E = 8.95$ MeV)의 지수 $2G$를 구했더니 각각 88.0과 32.3이었다. 두 지수의 차이는? 두드림 빈도가 비슷하다면 반감기 비는 대략 $e^{\Delta(2G)}$이다. 실제 반감기 비($1.41\times10^{17}$ s / $2.94\times10^{-7}$ s)와 비교하라.

$\Delta(2G) = 88.0 - 32.3 = 55.7 \approx 56$. $e^{55.7} = 1.6\times10^{24}$. 실제 비는 $4.8\times10^{23}$으로, 24자릿수에 걸친 비를 3배 이내로 맞혔다(두드림 빈도 차이 약 1.5배도 같은 방향으로 작용한다).

에너지가 장벽 높이보다 큰 전자가 사각 장벽을 만났다. 양자 역학의 예측으로 옳은 것은?

$E>V_0$에서 $T = [1 + V_0^2\sin^2(k'a)/4E(E-V_0)]^{-1}\le1$이고, $k'a = n\pi$일 때만 1이다. 장벽 안의 파동은 진동한다(지수 감소는 $E\lt V_0$일 때).

같은 EOT에서 직접 터널링 누설을 가장 많이 줄이는 절연막의 조건은? ($t_\text{phys} = \text{EOT}\cdot\varepsilon_r/3.9$)

WKB 지수 $2\kappa t_\text{phys} \propto \sqrt{m_\text{ox}\phi_B}\cdot\text{EOT}\,\varepsilon_r$. 유전율이 커도 장벽이 너무 낮으면(예: TiO₂, $\varepsilon_r\approx80$이지만 $\phi_B$가 거의 0) 쓸 수 없다. HfO₂는 균형이 좋다.

개념 확인 퀴즈

장벽의 폭을 두 배로 하면 (두꺼운 장벽에서) 투과 확률은?

$T\propto e^{-2\kappa a}$ → $e^{-2\kappa(2a)} = (e^{-2\kappa a})^2$. $T = 10^{-4}$이던 장벽은 약 $10^{-8}$이 된다.

전자 대신 같은 에너지의 양성자(질량 1836배)가 같은 장벽을 만나면 $\kappa$는?

$\kappa\propto\sqrt m$이므로 $\sqrt{1836} = 42.8$배. 지수 안에 들어가므로 무거운 입자의 터널링은 사실상 불가능해진다 — 원자 전체가 산화막을 터널링하지 않는 이유다.

FN 플롯에서 직선이 되도록 그리는 두 축은?

$J = AF^2e^{-B/F}$이므로 $\ln(J/F^2) = \ln A - B/F$. 기울기가 $-B$다.

대칭 이중 장벽의 각 장벽 투과 확률이 $10^{-3}$이다. 공명 에너지에서 전체 투과 확률은?

우물 속 왕복 파동의 간섭으로 반사파가 상쇄된다(파브리–페로). 공명에서 벗어나면 약 $10^{-6}$이다.

45 nm 노드에서 SiO₂를 HfO₂로 바꾼 가장 직접적인 이유는?

HfO₂는 장벽(1.5 eV)과 띠 간격(5.8 eV)이 SiO₂보다 작고 계면도 나쁘다. 그래도 유전율이 6배 넘게 커서 같은 EOT에서 6배 두껍게 만들 수 있고, 터널링 지수의 이득이 손해보다 크다.