Chapter 09

스핀과 다전자 원자

8장의 수소 원자는 양자수 세 개 $n, l, m_l$로 모든 것을 설명하는 듯했다. 그런데 은 원자 빔을 자기장 기울기에 통과시키면 화면에 딱 두 개의 점이 찍힌다. 궤도 각운동량으로는 결코 짝수 개가 나올 수 없다. 전자에는 넷째 양자수, 스핀이 있다. 스핀과 "같은 상태에 전자 둘은 없다"는 파울리 원리를 더하면 주기율표 전체가 풀린다. 아래 화면에서 원자가 자석을 지나는 모습을 보라. 누르면 고전 물리의 예상과 실제 결과가 번갈아 나온다.

누르면 고전 예상 ↔ 실제 결과

궤도 자기 모멘트 $\mu_z = -m_l\mu_B$와 정상 제만 효과 $\Delta E = m_l\mu_B B$로 스펙트럼 선의 갈라짐을 계산한다.
슈테른–게를라흐 실험으로 전자 스핀 $s = \tfrac12$, $g_s \approx 2$를 설명하고, 연속 장치에서 확률 $\cos^2(\theta/2)$를 쓴다.
스핀–궤도 결합으로 생기는 미세 구조와 총 각운동량 $j = l\pm\tfrac12$를 이해하고 나트륨 D선의 두 줄을 해석한다.
동일 입자의 교환 대칭(보손·페르미온)에서 파울리 배타 원리를 끌어내고, 쌓음 원리와 훈트 규칙으로 전자 배치를 쓴다.
가림 효과와 유효 핵전하로 이온화 에너지 경향을, 내부 껍질 전이로 X선 특성선을, 스핀 공명으로 ESR·NMR·MRAM을 설명한다.

궤도 자기 모멘트와 정상 제만 효과

원자핵 주위를 도는 전자는 작은 전류 고리다. 반지름 $r$, 속력 $v$로 도는 전자의 전류는 $I = e/(2\pi r/v)$, 고리 면적은 $\pi r^2$이므로 자기 모멘트의 크기는 $\mu = IA = evr/2$이다. 각운동량 $L = m_e v r$를 쓰면 $\mu = (e/2m_e)L$이 된다. 전자의 전하가 음이므로 방향은 $\vec L$과 반대다.

$$\vec\mu_L = -\frac{e}{2m_e}\vec L, \qquad \mu_z = -\frac{e}{2m_e}L_z = -m_l\,\mu_B, \qquad \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} = 9.274\times10^{-24}\ \text{J/T} = 5.788\times10^{-5}\ \text{eV/T}$$

$\mu_B$: 보어 마그네톤(Bohr magneton). $\mu/L$의 비 $e/2m_e$를 자기 회전 비율(gyromagnetic ratio)이라 한다. 반지름도 속력도 사라지고 각운동량만 남는다는 점이 핵심이다 — 양자역학으로 그대로 옮겨진다.

궤도 운동하는 전자는 전류 고리다. 음전하이므로 자기 모멘트는 각운동량과 반대를 향한다.

자기장 $\vec B = B\hat z$ 속에서 자기 모멘트의 에너지는 $U = -\vec\mu\cdot\vec B = -\mu_z B$이다. 8장에서 $L_z = m_l\hbar$로 양자화되었으므로 에너지도 양자화된다. 원래 $2l+1$겹으로 겹쳐 있던(축퇴된) 준위가 자기장 속에서 같은 간격 $\mu_B B$로 갈라진다 — 이것이 정상 제만 효과(normal Zeeman effect)다.

$$E = E_0 + m_l\,\mu_B B, \qquad m_l = -l, \dots, +l$$

고전적으로는 토크 $\vec\tau = \vec\mu\times\vec B$ 때문에 $\vec L$이 $\vec B$ 둘레로 라모어 세차 운동(Larmor precession)을 하고, 그 진동수 $\nu_L = \mu_B B/h = 14.0\ \text{GHz/T}$가 바로 준위 간격 $\mu_B B$를 $h$로 나눈 값이다.

m_l (l = 1)

자기장 B

MINI LAB길이 $|\vec L| = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt2\,\hbar$인 각운동량은 $z$축과 정해진 각도를 이루며 원뿔 위를 돈다. $L_z = m_l\hbar$만 확정되고 $L_x, L_y$는 정해지지 않는다. 자기장을 키우면 세차가 빨라지고($\nu_L\propto B$), 준위 간격도 같은 비율로 커진다.

자기장 1.0 속에서 이웃한 $m_l$ 준위의 간격은 $\mu_B B$ = , 진동수로는 이다. 파장 644의 선은 씩 갈라진다.

스펙트럼 선은 두 준위 사이의 전이다. 광자의 각운동량 때문에 전기 쌍극자 전이는 $\Delta m_l = 0, \pm1$만 허용된다(8장의 선택 규칙). 위 준위와 아래 준위가 같은 간격 $\mu_B B$로 갈라지면, 허용 전이의 에너지는 $h\nu_0 + \Delta m_l\,\mu_B B$ 세 가지뿐이다. 그래서 정상 제만 효과에서는 선이 언제나 세 줄로 갈라진다.

카드뮴의 643.8 nm 선은 $l = 2$(5겹) 준위에서 $l = 1$(3겹) 준위로의 전이다. 자기장을 걸면 이 선은 몇 줄로 갈라질까?

$5\times3 = 15$쌍 중 $\Delta m_l = 0,\pm1$을 만족하는 전이는 9개지만, 두 준위의 간격이 같아 에너지는 세 값으로 모인다. 아래 시뮬레이터에서 화살표 9개가 세 줄로 겹치는 것을 보라.

SIMULATOR

제만 분리: 자기장 커서를 끌어 과녁 스펙트럼을 맞혀라

위쪽 흰 원(B 커서)을 좌우로 끈다

원자·선

과녁 스펙트럼 보기

B—

μ_BB—

μ_BB/h—

선의 개수—

과녁—

위 그림은 에너지 준위를 자기장 $B$의 함수로 그린 것이다(갈라짐은 크게 과장). 커서 위치의 허용 전이가 화살표로, 그 결과 스펙트럼이 아래 띠에 나타난다. 해볼 것: ① Cd에서 B를 2배로 하면 선 간격 Δλ도 2배가 되는지 확인하라. ② 점선 과녁 스펙트럼과 겹치도록 B를 맞혀라. ③ Na 모드로 바꾸면 D1은 4줄, D2는 6줄로 갈라지고 간격이 서로 다르다 — 이것이 3절의 "비정상" 제만 효과다.

카드뮴의 643.8 nm 선(¹D₂ → ¹P₁, 스핀 0인 상태 사이의 전이)을 1.00 T 자기장 속에서 관측한다. 이웃한 성분 사이의 에너지 간격, 진동수 간격, 파장 간격을 구하라.

풀이 보기

전략 정상 제만 효과이므로 선 간격은 $\Delta E = \mu_B B$. 파장으로는 $E = hc/\lambda$를 미분한 $|\Delta\lambda| = \lambda^2\Delta E/hc$.

풀이 $\Delta E = (5.788\times10^{-5}\ \text{eV/T})(1.00\ \text{T}) = 5.79\times10^{-5}$ eV. $\Delta\nu = \Delta E/h = 14.0$ GHz. $\Delta\lambda = (643.8\ \text{nm})^2(5.788\times10^{-5}\ \text{eV})/(1239.84\ \text{eV}\cdot\text{nm}) = 1.94\times10^{-2}$ nm.

ΔE = 5.79×10⁻⁵ eV, Δν = 14.0 GHz, Δλ = 0.0194 nm (19.4 pm)

검토 선 자체의 에너지 1.93 eV에 비해 3×10⁻⁵배다. 0.02 nm를 분해하려면 분해능 $\lambda/\Delta\lambda\approx 3\times10^4$ 이상의 분광기(파브리–페로, 큰 회절격자)가 필요하다. 시뮬레이터에서 B = 1.00 T일 때 Δλ를 읽어 확인하라.

슈테른–게를라흐 실험과 전자 스핀

균일한 자기장은 자기 모멘트를 돌리기만 하고 밀지는 않는다. 그러나 자기장이 위치에 따라 변하면($\partial B_z/\partial z\neq0$) 알짜힘이 생긴다.

$$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = \mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z}$$

힘의 크기는 $\mu_z$에 비례한다. 원자 빔을 기울기 자석에 통과시키면 화면 위의 위치가 곧 $\mu_z$의 측정값이 된다.

1922년 슈테른과 게를라흐는 오븐에서 증발시킨 은(Ag) 원자를 쐐기형 자석 사이로 보냈다. 고전적으로는 자기 모멘트가 모든 방향을 향할 수 있으므로 화면에 위아래로 길게 번진 띠가 생겨야 한다. 궤도 각운동량의 양자화를 받아들이더라도 $2l+1$은 홀수이므로 홀수 개의 점이 나와야 한다. 결과는 두 점이었다.

오븐에서 나온 은 원자 빔이 슬릿을 지나 기울기 자석으로 들어간다. 은의 바깥 전자는 5s($l = 0$)이므로 궤도 자기 모멘트가 없다.
자기 모멘트 방향이 제멋대로라면 $\mu_z$가 연속적으로 퍼져 화면에 띠가 생겨야 한다.
실제로는 위아래 두 점만 나타났다. $\mu_z$는 두 값만 가진다.
두 값은 $\pm\mu_B$이다. 각운동량 $s$에 대해 $2s+1 = 2$이므로 $s = \tfrac12$ — 전자 고유의 각운동량, 스핀이다.

슈테른–게를라흐 실험. ▶를 눌러 고전 예상과 실제 결과를 비교하라.

1925년 하우드스미트와 윌렌벡은 전자가 고유한 각운동량 스핀(spin)을 가진다고 제안했다. 스핀은 궤도 각운동량과 같은 대수를 따르지만 양자수가 반정수 $s = \tfrac12$이고, 전자가 실제로 "도는" 것은 아니다(전자를 점으로 보면 표면 속도가 빛보다 빨라야 한다). 질량·전하처럼 입자의 고유한 성질이다.

$$|\vec S| = \sqrt{s(s+1)}\,\hbar = \frac{\sqrt3}{2}\hbar, \qquad S_z = m_s\hbar,\ m_s = \pm\tfrac12, \qquad \vec\mu_s = -g_s\frac{e}{2m_e}\vec S,\quad \mu_{s,z} = -g_s m_s\mu_B \approx \mp\mu_B$$

$g_s = 2.0023$: 전자 스핀의 g 인자(g-factor). 궤도($g_l = 1$)의 약 두 배다. 디랙의 상대론적 방정식은 정확히 2를 주고, 0.0023의 차이는 양자 전기역학이 설명한다.

스핀의 벡터 모형. $|\vec S|$는 $S_z$의 최댓값보다 크므로 스핀은 결코 $z$축과 나란할 수 없고, 두 원뿔 중 하나 위에 놓인다.

은 원자(질량 107.87 u)가 550 m/s로 길이 3.50 cm인 자석 속을 지난다. 기울기 $\partial B_z/\partial z = 1.00\times10^3$ T/m, $\mu_z = \pm\mu_B = \pm9.274\times10^{-24}$ J/T일 때, 자석 출구에서 빔의 휨 $z$와 두 빔의 간격은?

풀이 보기

전략 자석 속에서 일정한 힘 $F = \mu_B\,\partial B/\partial z$를 받는 등가속도 운동. 통과 시간 $t = L/v$, $z = \tfrac12 a t^2$.

풀이 $m = 107.87\times1.6605\times10^{-27} = 1.791\times10^{-25}$ kg. $a = (9.274\times10^{-24})(1.00\times10^3)/(1.791\times10^{-25}) = 5.18\times10^4$ m/s². $t = 0.0350/550 = 6.36\times10^{-5}$ s. $z = \tfrac12(5.18\times10^4)(6.36\times10^{-5})^2 = 1.05\times10^{-4}$ m.

z = ±0.105 mm, 두 빔 간격 0.210 mm

검토 원래 실험에서도 간격은 0.2 mm 정도였다. 중력 가속도의 5000배가 넘는 힘이지만 원자가 워낙 빨라 휨이 작다. 자석 뒤 비행 구간을 늘리면 간격이 더 벌어진다.

스핀 의존 산란과 GMR 하드디스크

철·코발트 같은 강자성체 속에서는 스핀 업과 스핀 다운 전자의 상태 밀도가 달라, 두 스핀이 서로 다른 비율로 산란된다. 두께 1 nm 안팎의 비자성 금속(Cu)을 사이에 둔 Fe/Cr·Co/Cu 다층막에서는 두 자성층의 자화가 나란할 때와 반대일 때 저항이 수십 % 차이 난다. 이 거대 자기 저항(GMR, giant magnetoresistance)을 발견한 페르와 그륀베르크는 2007년 노벨상을 받았고, GMR 읽기 헤드는 1997년부터 하드디스크 용량을 폭발적으로 늘렸다. 6절의 MRAM은 이 원리를 터널링으로 바꾼 것이다(SemiBooks · 차세대 메모리).

연속 슈테른–게를라흐 장치: 측정이 상태를 바꾼다

첫 자석($z$축)에서 위로 나온 빔만 골라 둘째 자석에 보내면 무슨 일이 생길까? 둘째 자석도 $z$축이면 100% 위로 나온다 — 상태 $|{+z}\rangle$이 준비된 것이다. 둘째 자석을 $\theta$만큼 기울이면, 각 원자는 새 축에 대해 다시 위 또는 아래 중 하나로만 나오며, 그 확률은

$$P(+\theta \mid +z) = \cos^2\frac{\theta}{2}, \qquad P(-\theta \mid +z) = \sin^2\frac{\theta}{2}$$

반각 $\theta/2$가 스핀 ½의 표지다. $\theta = 90^\circ$($x$축)이면 반반, $\theta = 180^\circ$($-z$축)이면 0과 1. 고전 벡터의 사영 $\cos\theta$와 다르다.

$+z$로 준비한 원자를 60 기운 자석에 보내면 새 축의 위로 나올 확률은 , 아래로 나올 확률은 이다. 원자 1000를 보내면 평균 가 위로 나온다.

더 놀라운 것은 세 단계 실험이다. $z$에서 위를 고르고, $x$에서 위를 고른 뒤, 다시 $z$로 측정하면 $-z$가 다시 나타난다. 첫 측정에서 "위"였다는 정보가 중간의 $x$ 측정 때문에 지워진 것이다. 양자역학에서 측정은 값을 읽는 일이 아니라 상태를 그 축의 고유 상태로 바꾸는 일이다.

$z$ 자석에서 위로 나온 원자만 $x$ 자석에 보내고, 거기서 위로 나온 원자만 다시 $z$ 자석에 보낸다. 마지막 $z$ 자석에서 아래($-z$)로 나오는 비율은?

$x$ 측정 뒤 상태는 $|{+x}\rangle$이고, 이 상태의 $z$ 측정은 $\cos^2 45^\circ = \tfrac12$씩 나뉜다. 시뮬레이터에서 원자 100개를 보내 확인하라.

SIMULATOR

슈테른–게를라흐 연쇄 장치: 자석 축을 돌려 목표 비율을 만들어라

자석 위 눈금판의 흰 원을 끌어 축을 돌린다

자석 개수

1번 자석 통과 출구

2번 자석 통과 출구

보낸 원자0

마지막 자석 +0

마지막 자석 −0

측정 + 비율—

이론 + 비율—

목표—

눈금판의 화살표가 자석 축(위 = $+z$, 오른쪽 = $+x$)이다. 선택하지 않은 출구의 원자는 막힌다. 목표: 마지막 자석에 들어간 원자 중 + 출구로 나오는 비율을 "목표" 값에 맞춰라(이론값 ±2%). 해볼 것: ① z–x–z(0°, 90°, 0°)에서 50%를 확인하라. ② 가운데 자석을 빼면(2개) +z → +z는 100%다. 가운데에 x 자석을 넣으면 오히려 −z가 생긴다! ③ 2번 자석 각도를 120°로 하면 $\cos^2 60^\circ = 25\%$.

스핀–궤도 결합과 미세 구조

전자의 입장에서 보면 양전하인 핵이 전자 주위를 돈다. 도는 전하는 전류이므로 전자 위치에 자기장 $\vec B_\text{orb}\propto\vec L$을 만든다. 이 자기장 속에서 스핀 자기 모멘트가 에너지 $-\vec\mu_s\cdot\vec B_\text{orb}$를 가지므로, 에너지는 $\vec L\cdot\vec S$에 비례한다. 이것이 스핀–궤도 결합(spin–orbit coupling)이다.

$$E_{so} = A\,\vec L\cdot\vec S, \qquad \vec J = \vec L + \vec S, \qquad \vec L\cdot\vec S = \tfrac12\left(J^2 - L^2 - S^2\right) = \frac{\hbar^2}{2}\big[j(j+1) - l(l+1) - s(s+1)\big]$$

$\vec J$: 총 각운동량(total angular momentum). 양자수 $j = l+\tfrac12$ 또는 $l-\tfrac12$($l = 0$이면 $j = \tfrac12$뿐), $|\vec J| = \sqrt{j(j+1)}\hbar$, $J_z = m_j\hbar$, $m_j = -j,\dots,j$. $A > 0$이면 $j = l+\tfrac12$이 위로 간다.

결합이 있으면 $L_z$와 $S_z$는 따로 보존되지 않고, $\vec L$과 $\vec S$가 $\vec J$ 둘레를 함께 세차 운동한다. 좋은 양자수는 $n, l, j, m_j$이고, 상태는 항 기호(term symbol) $n\,{}^{2s+1}L_j$로 쓴다. 예: $3\,{}^2P_{3/2}$($n = 3$, $l = 1$, $j = \tfrac32$).

궤도

MINI LAB벡터 모형: $\vec L$(보라)과 $\vec S$(청록)가 합쳐 $\vec J$를 만들고, 둘 다 $\vec J$ 둘레를 돈다. $j = l+\tfrac12$이면 $\vec L\cdot\vec S > 0$(거의 나란함), $j = l-\tfrac12$이면 $\vec L\cdot\vec S < 0$이다. 에너지 차이는 $\vec L\cdot\vec S$ 값의 차 $(l+\tfrac12)\hbar^2$에 비례한다.

수소의 2p 준위에서 이 갈라짐은 $4.5\times10^{-5}$ eV(10.9 GHz)로, 보어 준위의 $\alpha^2\approx 5\times10^{-5}$배 크기다($\alpha = 1/137$: 미세 구조 상수). 그래서 이름이 미세 구조(fine structure)다. 무거운 원자일수록 핵 가까이 파고드는 전자가 큰 핵전하를 느껴 갈라짐이 커진다. 나트륨의 3p 준위는 2.1 meV 갈라져 노란 빛이 두 줄(D선)이 된다.

수소였다면 $n = 3$의 3s, 3p, 3d는 모두 같은 에너지다.
나트륨에서는 안쪽 전자 10개가 핵을 가린다. 핵 가까이 파고드는 3s가 더 낮아진다(5절).
3p 준위는 스핀–궤도 결합으로 $j = \tfrac32$(4겹)와 $j = \tfrac12$(2겹)로 갈라진다. 3s는 $l = 0$이라 갈라지지 않는다.
두 준위에서 3s로 떨어지는 전이가 D2(589.00 nm)와 D1(589.59 nm)이다.

나트륨 D선의 기원. 가로등의 노란빛은 두 줄이다.

D1 선 589.59과 D2 선 589.00의 광자 에너지 차이는 이다. 이 갈라짐을 스핀 자기 모멘트가 자기장 속에서 뒤집히는 에너지 $2\mu_B B$로 해석하면, 전자가 느끼는 궤도 자기장은 이다.

나트륨 D1 = 589.592 nm, D2 = 588.995 nm이다. (a) 3p 준위의 미세 구조 갈라짐을 meV로 구하라. (b) 이 에너지가 스핀($\mu_z = \pm\mu_B$)이 자기장 $B$ 속에서 뒤집히는 에너지 $2\mu_B B$와 같다면 $B$는?

풀이 보기

전략 $\Delta E = hc(1/\lambda_2 - 1/\lambda_1)$. 차이가 아주 작으므로 유효숫자를 충분히 남긴다.

풀이 (a) $E_1 = 1239.842/589.592 = 2.102881$ eV, $E_2 = 1239.842/588.995 = 2.105013$ eV, $\Delta E = 2.131\times10^{-3}$ eV. (b) $B = \Delta E/(2\mu_B) = 2.131\times10^{-3}/(2\times5.788\times10^{-5}) = 18.4$ T.

(a) 2.13 meV (b) 약 18 T

검토 실험실 초전도 자석과 맞먹는 자기장을 전자는 원자 안에서 늘 느낀다. 그래서 1 T 정도의 외부 자기장은 미세 구조를 깨지 못하고 $j$ 준위를 다시 잘게 나눌 뿐이다(아래 비정상 제만 효과).

비정상 제만 효과

스핀이 있는 원자에서는 자기 모멘트가 $\vec\mu = -(\mu_B/\hbar)(\vec L + 2\vec S)$로, $\vec J$와 나란하지 않다. 약한 자기장에서는 $\vec J$ 방향 성분만 효과가 있고, 에너지 이동은 란데 g 인자(Landé g-factor) $g_J$로 쓴다.

$$\Delta E = g_J\,m_j\,\mu_B B, \qquad g_J = 1 + \frac{j(j+1) + s(s+1) - l(l+1)}{2j(j+1)}$$

${}^2S_{1/2}$: $g = 2$, ${}^2P_{1/2}$: $g = \tfrac23$, ${}^2P_{3/2}$: $g = \tfrac43$. 위아래 준위의 $g_J$가 다르므로 간격이 달라지고, 선은 세 줄보다 많이 갈라진다: D1은 4줄, D2는 6줄.

역사적으로 스핀을 몰랐던 시절에는 세 줄로 갈라지는 경우만 "정상"이라 불렀다. 실제로는 대부분의 원자가 "비정상"이고, 정상 제만 효과는 총 스핀이 0인 특수한 경우다. 자기장이 내부 자기장(수십 T)보다 커지면 $\vec L$과 $\vec S$의 결합이 끊어져 다시 세 줄 비슷하게 돌아간다(파셴–바크 효과(Paschen–Back effect)). 1절 시뮬레이터의 Na 모드에서 비정상 갈라짐을 확인하라.

동일 입자와 파울리 배타 원리

고전 물리에서는 똑같이 생긴 당구공 두 개도 궤적을 따라가면 구별할 수 있다. 양자역학에서는 궤적이 없으므로 같은 종류의 전자 둘은 원리적으로 구별할 수 없다. 두 입자의 파동함수 $\psi(x_1, x_2)$에서 두 입자를 바꿔도 관측 가능한 확률 밀도는 같아야 한다.

$$|\psi(x_2, x_1)|^2 = |\psi(x_1, x_2)|^2 \ \Rightarrow\ \psi(x_2, x_1) = \pm\,\psi(x_1, x_2)$$

$+$: 대칭(symmetric), $-$: 반대칭(antisymmetric). 자연은 입자 종류마다 둘 중 하나를 고른다.

상호작용이 없는 두 입자가 한 입자 상태 $\psi_a$, $\psi_b$를 차지하면, 곱 $\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)$는 교환에 대해 대칭도 반대칭도 아니다. 두 순서를 더하거나 빼야 한다.

$$\psi_\pm(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt2}\Big[\psi_a(x_1)\psi_b(x_2) \pm \psi_b(x_1)\psi_a(x_2)\Big]$$

$\psi_-$에서 $x_1 = x_2$이면 두 항이 정확히 상쇄되어 0이다. 반대칭 입자 둘은 같은 곳에서 발견되지 않는다. $a = b$이면 $\psi_-$는 어디서나 0 — 같은 상태에 둘이 들어갈 수 없다.

보손 (대칭)

스핀이 정수(0, 1, 2…). 광자, 포논, 글루온, ⁴He 원자, 쿠퍼 쌍. 같은 상태에 몇 개든 들어가며 오히려 모이려 한다 — 레이저(13장), 초유체, 보스–아인슈타인 응축.

페르미온 (반대칭)

스핀이 반정수(½, 3/2…). 전자, 양성자, 중성자, 쿼크, ³He 원자. 한 상태에 하나뿐 — 원자 껍질 구조, 금속의 페르미 에너지(10장), 백색 왜성.

스핀과 대칭의 이 연결을 스핀–통계 정리(spin–statistics theorem)라 한다(파울리, 1940, 상대론적 양자장론의 결과). 전자에 대한 결론이 파울리 배타 원리(Pauli exclusion principle)다.

파울리 배타 원리

한 원자 안의 두 전자는 네 양자수 $(n, l, m_l, m_s)$가 모두 같을 수 없다. 한 오비탈($n, l, m_l$)에는 스핀이 반대인 전자가 최대 둘 들어간다.

폭 $L$인 상자에 서로 상호작용하지 않는 입자 둘이 $n = 1$, $n = 2$ 상태에 있다. 두 입자가 모두 왼쪽 절반에서 발견될 확률이 가장 작은 경우는?

반대칭 파동함수는 대각선 $x_1 = x_2$ 근처에서 0에 가까워져 두 입자를 떼어 놓는다. 구별 가능 25%, 보손 43%, 페르미온 7%. 아래에서 확인하라.

SIMULATOR

두 입자 확률 밀도: 대칭과 반대칭

왼쪽 지도의 흰 원을 끌어 두 입자 위치 (x₁, x₂)를 고른다

입자 종류

한 입자 상태 (a, b)

왼쪽 절반 사각형 표시

|ψ(x₁,x₂)|² · L²—

둘 다 왼쪽 절반—

거리 < L/5—

평균 거리 ⟨|x₁−x₂|⟩—

왼쪽: 가로축 $x_1$, 세로축 $x_2$에서 두 입자를 함께 발견할 확률 밀도. 점선은 $x_1 = x_2$. 오른쪽: 두 입자 사이 거리의 분포(세 경우를 겹쳐 그림, 굵은 선이 현재 선택). 해볼 것: ① 페르미온에서 대각선 위는 언제나 0이다. 흰 원을 대각선에 올려 보라. ② 보손은 가까이, 페르미온은 멀리 — 힘이 없는데도 생기는 이 "교환 효과"가 훈트 규칙과 화학 결합(11장)의 뿌리다. ③ (1, 1)을 고르면 페르미온의 파동함수가 사라진다: 파울리 원리.

폭 $L$인 무한 우물의 $\psi_1, \psi_2$ 상태에 두 입자가 있다. 두 입자가 모두 $0 < x < L/2$에서 발견될 확률을 (a) 구별 가능한 입자, (b) 보손, (c) 페르미온(공간 반대칭)에 대해 구하라.

풀이 보기

전략 $|\psi_\pm|^2$를 펼치면 직접 항 둘과 교차 항이 나온다. 왼쪽 절반에 대한 적분을 $P_n = \int_0^{L/2}\psi_n^2dx = \tfrac12$, $I = \int_0^{L/2}\psi_1\psi_2\,dx$로 쓴다.

풀이 $I = \frac2L\int_0^{L/2}\sin\frac{\pi x}{L}\sin\frac{2\pi x}{L}dx = \frac{4}{3\pi} = 0.4244$. (a) $P_1P_2 = 0.250$. (b), (c) $P_\pm = \tfrac12\big[2P_1P_2 \pm 2I^2\big] = 0.250 \pm 0.180$.

(a) 0.250 (b) 0.430 (c) 0.0699

검토 교차 항(교환 항)이 확률을 ±18%p나 바꾼다. 입자 사이에 힘이 전혀 없어도 대칭성만으로 생기는 효과다. 시뮬레이터 수치와 비교하라.

스핀까지 포함하면 전체 파동함수(공간 × 스핀)가 반대칭이어야 한다. 두 전자의 스핀이 반대(스핀 홑겹, 반대칭)이면 공간 부분은 대칭이어도 되므로 두 전자가 가까이 있을 수 있다 — 수소 분자의 공유 결합(11장). 스핀이 나란하면(세겹, 대칭) 공간 부분이 반대칭이라 서로 피한다. 전자 $N$개의 반대칭 파동함수는 슬레이터 행렬식(Slater determinant)으로 쓴다.

다전자 원자와 주기율표

전자가 여럿이면 전자끼리의 반발 때문에 슈뢰딩거 방정식을 정확히 풀 수 없다. 가장 쓸모 있는 근사는 독립 전자 근사(independent-electron approximation)다. 각 전자는 핵과 나머지 전자들의 평균 전하가 만드는 구대칭 퍼텐셜 속에서 움직인다고 보고, 수소처럼 $n, l, m_l, m_s$로 상태를 붙인다. 달라지는 점은 하나, 에너지가 $n$뿐 아니라 $l$에도 의존한다는 것이다.

가림 효과와 유효 핵전하

바깥 전자는 안쪽 전자들에 가려 핵전하 $Ze$ 전부를 느끼지 못한다. 이를 유효 핵전하(effective nuclear charge) $Z_\text{eff}$로 나타내면 수소꼴 공식을 빌려 쓸 수 있다.

$$E_n \approx -\frac{Z_\text{eff}^2}{n^2}(13.6\ \text{eV}), \qquad Z_\text{eff} = n\sqrt{\frac{E_\text{ion}}{13.6\ \text{eV}}}$$

$Z_\text{eff} = Z - \sigma$, $\sigma$: 가림 상수. 같은 $n$에서 $l$이 작은 오비탈(s)은 핵 가까이 파고드는 꼬리가 있어(침투(penetration)) 가림을 덜 받고 에너지가 낮다: $E_{ns} < E_{np} < E_{nd}$.

바깥 전자

안쪽 껍질(1s²2s²2p⁶) 표시

MINI LAB바깥 전자의 지름 확률 분포 $P(r) = r^2R^2$(수소꼴)와 나트륨 안쪽 껍질 전자 구름(회색)을 겹쳤다. 3s는 안쪽 껍질 속에 작은 봉우리가 있어 가려지지 않은 핵전하를 잠깐씩 느낀다. 3d는 거의 파고들지 않는다. 4s의 침투가 3d보다 커서 칼륨에서는 4s가 3d보다 먼저 찬다.

이온화 에너지가 5.14인 원자의 바깥 전자가 $n$ = 3 껍질에 있다면 $Z_\text{eff}$ = 이다.

나트륨($Z = 11$)의 첫째 이온화 에너지는 5.139 eV이다. 3s 전자가 느끼는 유효 핵전하와 가림 상수를 구하라. 안쪽 전자 10개가 완벽하게 가린다면 $Z_\text{eff}$는 얼마여야 하는가?

풀이 보기

전략 $E_\text{ion} = 13.6\,Z_\text{eff}^2/n^2$을 $Z_\text{eff}$에 대해 푼다.

풀이 $Z_\text{eff} = 3\sqrt{5.139/13.606} = 3(0.6146) = 1.84$. $\sigma = 11 - 1.84 = 9.16$. 완벽한 가림이라면 $Z_\text{eff} = 1$, 이온화 에너지는 $13.6/9 = 1.51$ eV였을 것이다.

Z_eff ≈ 1.84, σ ≈ 9.2 (완전 가림이면 1)

검토 1보다 큰 것은 3s의 침투 때문이다. 위 미니 실험에서 3s의 안쪽 봉우리를 확인하라. 같은 방법으로 Li(2s)는 1.26, K(4s)는 2.26이다.

쌓음 원리와 훈트 규칙

바닥 상태의 전자 배치는 에너지가 낮은 오비탈부터 파울리 원리에 따라 채운다(쌓음 원리(aufbau principle)). 버금껍질 $l$에는 $2(2l+1)$개(s 2, p 6, d 10, f 14), 껍질 $n$에는 $2n^2$개가 들어간다. 채우는 순서는 대략 $n + l$이 작은 것부터, 같으면 $n$이 작은 것부터다(마델룽 규칙).

$n + l = 1, 2$: 1s, 2s.
$n + l = 3, 4$: 2p, 3s, 그리고 3p, 4s. 4s($4+0$)가 3d($3+2$)보다 먼저다.
$n + l = 5, 6$: 3d, 4p, 5s와 4d, 5p, 6s.
대각선 규칙이 주는 전체 순서와 대표적 예외.

마델룽($n + l$) 규칙. 침투 효과가 만든 에너지 순서를 외우기 쉽게 정리한 것이다.

훈트 규칙

같은 버금껍질의 오비탈(예: 2p 셋)에 전자를 넣을 때는 먼저 각 오비탈에 하나씩, 스핀을 나란히 넣고, 그 다음에 짝을 짓는다. 바닥 상태는 총 스핀 $S$가 가장 큰 배치다.

이유는 앞 절의 교환 대칭이다. 스핀이 나란한 두 전자는 공간 파동함수가 반대칭이라 서로 멀리 떨어져 있고, 그만큼 전자 사이 반발 에너지가 작다. 다른 오비탈에 나눠 들어가는 것도 같은 이유로 유리하다. 질소(2p³)는 홀전자 셋이 모두 나란한 $S = \tfrac32$ 상태다.

SIMULATOR

전자 배치 빌더: 주기율표를 끌고, 훈트 규칙 퀴즈에 도전하라

표를 눌러 원소 선택 · 퀴즈: 상자를 누른다

원자 번호 Z 훈트 규칙 퀴즈 모드

원소—

전자 배치—

홀전자 수—

총 스핀 S—

퀴즈 점수0 / 0

아래 상자 도표는 에너지 순서(위로 갈수록 높음)로 오비탈을 놓았다. 해볼 것: ① Z를 1부터 하나씩 늘리며 2p에 전자가 들어가는 순서(B → C → N → O)를 보라. 홀전자 수가 1, 2, 3, 2로 변한다. ② K(19)에서 4s가 3d보다 먼저 찬다. Cr(24)과 Cu(29)는 예외다. ③ 퀴즈 모드: 마지막 버금껍질이 빈 상자로 나온다. 상자를 누를 때마다 빈칸 → ↑ → ↓ → ↑↓로 바뀐다. 훈트 규칙에 맞게 채우고 "확인"을 눌러라.

주기율표의 모양은 버금껍질의 용량 2, 6, 10에서 나온다. 같은 족은 바깥 전자 배치가 같다. 실리콘의 이웃 족인 13·15족이 반도체의 도펀트다.

도펀트는 왜 13족과 15족인가

실리콘은 [Ne] 3s²3p², 바깥 전자가 넷이다. 결정에서는 3s와 3p가 섞인 sp³ 혼성 오비탈 넷이 이웃 원자 넷과 각각 스핀이 반대인 전자쌍으로 공유 결합한다(11장). 이 자리에 15족 인(P, 3s²3p³)이 들어가면 결합에 쓰고 남는 전자 하나가 45 meV만 받으면 떨어져 나가는 도너가 되고(8장의 수소 모형), 13족 붕소(B, 2s²2p¹)는 결합 하나가 비어 정공을 내놓는 억셉터가 된다. 비소(As)·안티모니(Sb)·인듐(In)도 같은 족이라 같은 역할을 한다 — 주기율표의 세로줄이 곧 도핑 설계도다(SemiBooks · 도핑, 소자 · 캐리어).

이온화 에너지의 경향

첫째 이온화 에너지는 바깥 전자를 떼어 내는 데 드는 에너지다. 한 주기 안에서는 $Z$가 커질수록 같은 껍질의 전자들이 서로를 잘 가리지 못해 $Z_\text{eff}$가 커지고 이온화 에너지가 늘어난다. 18족(비활성 기체)에서 최대이고, 다음 원소(1족)에서 새 껍질이 시작되며 급락한다. 2족 → 13족(새 p 버금껍질), 15족 → 16족(p 오비탈에 처음 짝을 지음 — 짝지은 전자 사이 반발)의 작은 꺾임도 껍질 구조의 흔적이다.

SIMULATOR

이온화 에너지 그래프: 커서를 끌어 껍질 구조를 읽어라

흰 원(커서)을 좌우로 끈다

세로축

주기 경계 표시 1족·18족 강조

원소—

바깥 전자—

이온화 에너지—

Z_eff = n√(E/13.6)—

자료: NIST 원자 스펙트럼 데이터베이스(Z = 1–36). 해볼 것: ① He(24.6 eV)에서 Li(5.4 eV)로의 급락을 $n = 1\to2$로 설명하라. ② $Z_\text{eff}$ 모드에서 한 주기 안에서는 $Z_\text{eff}$가 거의 직선으로 늘고 새 주기에서 처음으로 돌아감을 보라. ③ N(14.5) > O(13.6), Be(9.3) > B(8.3)인 이유는? ④ 1족·18족을 강조해 주기마다 되풀이되는 톱니 모양을 보라. 가림이 없다면 Na의 3s 전자는 13.6×11²/9 = 183 eV가 필요했을 것이다.

내부 껍질 X선과 스핀 공명

지금까지는 바깥 전자의 eV 단위 에너지를 다루었다. 안쪽 껍질 전자는 핵전하를 거의 그대로 느끼므로 결합 에너지가 keV에 이른다. 빠른 전자나 X선이 K 껍질($n = 1$) 전자를 떼어 내면, 위 껍질 전자가 그 빈자리로 떨어지며 X선 광자를 낸다. 3장에서 본 특성 X선(characteristic X-ray)의 기원이 바로 이 껍질 구조다.

K 껍질에 빈자리가 생기면 L → K(Kα), M → K(Kβ) 전이로 X선이 나온다. L 껍질 빈자리는 다시 Lα 등을 낸다(눈금은 개략적).

Kα 전이에서 떨어지는 L 전자는 K 껍질에 남은 전자 하나에 가려 대략 $Z - 1$의 핵전하를 느낀다. 보어 공식의 $n = 2\to1$ 에너지에 $(Z-1)^2$을 곱하면 모즐리 법칙이 된다.

$$E_{K\alpha} \approx \frac34(13.6\ \text{eV})(Z-1)^2 = (10.2\ \text{eV})(Z-1)^2, \qquad \sqrt{E_{K\alpha}}\propto Z - 1$$

모즐리(1913)는 이 직선으로 원소를 원자량이 아닌 원자 번호 순서로 줄 세웠고, 비어 있던 43, 61, 72, 75번 원소의 자리를 예언했다.

원자 번호 Z

MINI LAB모즐리 그림: 가로축 Z, 세로축 $\sqrt{E_{K\alpha}}$. 점은 실측값, 선은 $(10.2\ \text{eV})(Z-1)^2$ 예측이다. 무거운 원소로 갈수록 상대론 효과로 실측값이 조금 위로 벗어난다.

구리($Z = 29$)의 Kα X선 에너지와 파장을 모즐리 법칙으로 추정하고, 실측값 8.048 keV(0.1541 nm)와 비교하라.

풀이 보기

전략 $E = 10.2(Z-1)^2$ eV, $\lambda = hc/E$.

풀이 $E = \tfrac34(13.606)(28)^2 = 8.00\times10^3$ eV. $\lambda = 1239.84/8000 = 0.155$ nm.

E ≈ 8.00 keV, λ ≈ 0.155 nm (실측과 0.6% 차이)

검토 박막 X선 회절(XRD) 장비의 표준 광원이 바로 Cu Kα(0.1541 nm)다. 전자 현미경의 에너지 분산 X선 분광(EDS)은 이 특성선의 에너지로 원소를 가려낸다: Si Kα 1.74 keV, Ti 4.51 keV, Cu 8.05 keV, W Lα 8.40 keV(W와 Cu는 겹치기 쉬워 조심).

전자 스핀 공명과 핵자기 공명

홀전자 하나를 자기장 $B$ 속에 두면 스핀 준위가 $\Delta E = g\mu_B B$로 갈라진다. 이 간격과 같은 에너지의 마이크로파를 쪼이면 스핀이 뒤집히며 흡수가 일어난다. 이것이 전자 스핀 공명(ESR 또는 EPR)이다. 원자핵의 스핀도 같은 일을 하지만 핵 자기 모멘트가 약 2000배 작아(핵 마그네톤 $\mu_N = \mu_B m_e/m_p$) 라디오파 영역이 된다 — 핵자기 공명(NMR), 그리고 병원의 MRI다.

$$h\nu = g\,\mu_B B \quad(\text{ESR: } 28.0\ \text{GHz/T}), \qquad \nu_\text{H} = 42.58\ \text{MHz/T}\ (\text{양성자 NMR})$$

ESR에서는 주파수를 고정하고(X 밴드 9–10 GHz) 자기장을 쓸며 흡수를 찾는다. $g$가 자유 전자값 2.0023에서 얼마나 벗어나는지가 전자가 놓인 화학 환경의 지문이다.

마이크로파 9.5에서 g = 2.0023인 홀전자의 공명 자기장은 이다. 같은 자기장에서 양성자의 NMR 주파수는 이다.

(111) Si/SiO₂ 계면의 P_b 중심(계면 실리콘의 끊어진 결합에 있는 홀전자)은 자기장이 계면에 수직일 때 $g = 2.0014$, 나란할 때 $g\approx2.0088$을 보인다. 9.50 GHz ESR에서 두 경우의 공명 자기장과 그 차이를 구하라.

풀이 보기

전략 $B = h\nu/(g\mu_B)$. $h\nu = (6.626\times10^{-34})(9.50\times10^9) = 6.295\times10^{-24}$ J.

풀이 $B_\perp = 6.295\times10^{-24}/(2.0014\times9.274\times10^{-24}) = 0.3391$ T, $B_\parallel = 6.295\times10^{-24}/(2.0088\times9.274\times10^{-24}) = 0.3379$ T. 차이 1.25 mT.

0.3391 T와 0.3379 T, 차이 약 1.2 mT

검토 0.4%의 g 차이가 mT 단위로 분명히 갈린다. 시료를 돌리며 공명 자기장이 바뀌는 모양(이방성)으로 결함이 어느 결정 방향의 끊어진 결합인지까지 알아낸다.

ESR로 산화막 결함 잡기

MOS 소자의 문턱 전압 이동과 계면 준위 밀도 $D_{it}$의 주범인 P_b 중심(Si 쪽 끊어진 결합, $g$ ≈ 2.001–2.009)과 SiO₂ 속 산소 빈자리 E′ 중심($g$ ≈ 2.0005)은 ESR로 직접 세고 구별한다. 수소 어닐링(H₂/N₂ 포밍 가스, 400–450 °C)이 P_b를 Si–H로 막아 ESR 신호와 $D_{it}$가 함께 줄어드는 것, 그리고 핫캐리어·NBTI 스트레스나 방사선 뒤 다시 늘어나는 것이 ESR로 확인되었다. 소자 크기에서는 전류로 읽는 ESR(EDMR, SDR)을 쓴다(SemiBooks · 불량 분석, 소자 · MOS).

스핀을 저장하는 메모리: 자기 터널 접합

두 강자성층 사이에 1 nm 남짓한 MgO 절연막을 끼우면 전자는 터널링(6장)으로 건너간다. 강자성체에서는 스핀 업과 다운의 상태 밀도가 달라, 두 층의 자화가 나란하면(P) 다수 스핀이 다수 스핀 상태로 쉽게 건너가 저항이 낮고, 반대면(AP) 저항이 높다. 이 자기 터널 접합(MTJ, magnetic tunnel junction)의 저항비를 터널 자기 저항(TMR)이라 한다.

$$\text{TMR} = \frac{R_{AP} - R_P}{R_P}, \qquad \text{TMR}_\text{줄리에르} = \frac{2P_1P_2}{1 - P_1P_2}, \qquad R(\theta) = R_P + \frac{R_{AP} - R_P}{2}(1 - \cos\theta)$$

$P$: 스핀 분극률. $\theta$: 두 자화 사이 각. MgO(001) 장벽은 특정 대칭의 파동함수만 잘 통과시켜(스핀 여과) 상온 TMR 200% 이상을 낸다.

MTJ 적층(실제 소자는 수직 자화 방식이 주류이나 그림은 이해를 위해 수평으로 그렸다). 정보는 자유층 자화의 방향, 곧 전자 스핀 집단의 방향으로 저장된다.

TMR R_P

MINI LAB왼쪽 자유층 자화 화살표의 끝(흰 원)을 끌어 돌려 보라. 고정층(아래)과의 각 $\theta$에 따라 저항이 $R_P$에서 $R_{AP}$까지 $1-\cos\theta$ 꼴로 변한다. 읽기 회로는 이 두 저항의 차이를 0과 1로 구분한다.

MTJ의 평행 저항이 $R_P = 2.0$ kΩ, TMR = 150%이다. (a) $R_{AP}$는? (b) 0.10 V로 읽을 때 두 상태의 전류 차이는? (c) 두 전극의 스핀 분극률이 같다면 줄리에르 모형에서 $P$는?

풀이 보기

풀이 (a) $R_{AP} = R_P(1 + \text{TMR}) = 2.0(2.5) = 5.0$ kΩ. (b) $I_P = 0.10/2000 = 50\ \mu$A, $I_{AP} = 0.10/5000 = 20\ \mu$A, 차이 30 μA. (c) $2P^2/(1-P^2) = 1.5$ → $P^2 = 1.5/3.5 = 0.429$ → $P = 0.655$.

(a) 5.0 kΩ (b) 30 μA (c) P ≈ 0.65

검토 감지 증폭기가 구별하기 충분한 차이다. TMR이 작으면(예: 초기 AlOx 장벽 20–40%) 셀마다 저항 산포에 신호가 묻힌다. MgO 장벽이 상용화의 열쇠였다.

STT-MRAM: 스핀으로 쓰는 비휘발 메모리

STT-MRAM은 전자의 스핀 각운동량 자체를 쓰기에 이용한다. 고정층을 지나며 스핀이 한쪽으로 정렬된 전류가 자유층에 들어가면 스핀 각운동량을 넘겨주며 자화를 돌린다(스핀 전달 토크(STT)). 수직 자화 CoFeB/MgO MTJ(지름 수십 nm, 장벽 약 1 nm)는 열 안정성 $\Delta = E_b/k_BT \gtrsim 60$으로 10년 보존을 지키며, 28 nm 이하 로직 공정의 BEOL에 내장 메모리(eMRAM)로 들어가 eFlash를 대체하고 있다. 쓰기 전류를 더 줄이는 SOT-MRAM도 연구 중이다(SemiBooks · 차세대 메모리, 메모리 계층).

핵심 정리

궤도 자기 모멘트 $\mu_z = -m_l\mu_B$, $\mu_B = e\hbar/2m_e = 5.788\times10^{-5}$ eV/T. 자기장 속 준위는 $m_l\mu_B B$씩 갈라지고, $\Delta m_l = 0,\pm1$ 선택 규칙 때문에 정상 제만 효과는 세 줄이다.
슈테른–게를라흐 실험의 두 점은 전자 스핀 $s = \tfrac12$($S_z = \pm\hbar/2$, $g_s = 2.0023$, $\mu_z\approx\mp\mu_B$)을 보여 준다. 연속 측정에서 $P(+\theta\mid+z) = \cos^2(\theta/2)$이며, 측정은 상태를 바꾼다.
스핀–궤도 결합 $E\propto\vec L\cdot\vec S$로 $j = l\pm\tfrac12$ 준위가 갈라진다(미세 구조). 나트륨 3p의 2.13 meV 갈라짐이 D1·D2 두 줄을 만든다. 약한 자기장에서는 $\Delta E = g_J m_j\mu_B B$(비정상 제만 효과).
동일 입자의 파동함수는 교환에 대해 대칭(보손, 정수 스핀) 또는 반대칭(페르미온, 반정수 스핀)이다. 반대칭에서 파울리 배타 원리가 나온다: 네 양자수가 같은 전자는 둘일 수 없다.
다전자 원자에서 에너지는 $n$과 $l$에 의존한다(가림·침투). 쌓음 원리($n + l$ 규칙), 버금껍질 용량 $2(2l+1)$, 훈트 규칙(스핀을 나란히, 오비탈은 따로)으로 전자 배치와 주기율표의 모양이 정해진다.
이온화 에너지는 주기 안에서 $Z_\text{eff}$와 함께 늘고 새 껍질에서 급락한다. 내부 껍질 전이는 특성 X선을 내며 $E_{K\alpha}\approx10.2(Z-1)^2$ eV(모즐리).
스핀 준위 간격 $g\mu_B B$에 공명하는 마이크로파 흡수(ESR, 28.0 GHz/T)로 산화막 결함을 분석하고, 스핀 의존 터널링(MTJ, TMR)과 스핀 전달 토크로 MRAM을 만든다.

연습문제

상수: $\mu_B = 5.788\times10^{-5}$ eV/T $= 9.274\times10^{-24}$ J/T, $h = 6.626\times10^{-34}$ J·s, $hc = 1239.84$ eV·nm, 1 u $= 1.6605\times10^{-27}$ kg, 13.6 eV(뤼드베리 에너지 13.606 eV). 답이 ±1% 이내면 정답이다.

2.00 T 자기장 속에서 정상 제만 효과로 갈라진 이웃 준위 사이의 에너지 간격은?

$\Delta E = \mu_B B = (5.788\times10^{-5})(2.00) = 1.16\times10^{-4}$ eV.

656.3 nm 선이 2.00 T에서 정상 제만 효과로 세 줄로 갈라진다면 이웃 성분 사이의 파장 간격은?

$|\Delta\lambda| = \lambda^2\Delta E/hc$.

$\Delta\lambda = (656.3)^2(1.1577\times10^{-4})/1239.84 = 0.0402$ nm. (실제 수소 Hα는 스핀 때문에 더 복잡하게 갈라진다.)

$n = 4$ 껍질에 들어갈 수 있는 전자의 최대 개수는?

$l = 0,1,2,3$에 대해 $2(2l+1) = 2+6+10+14 = 32 = 2n^2$.

은 원자(107.87 u)가 600 m/s로 길이 5.00 cm, 기울기 800 T/m인 자석을 지난다. $\mu_z = \mu_B$인 원자가 자석 출구에서 휘는 거리는?

$a = \mu_B(\partial B/\partial z)/m$, $t = L/v$, $z = \tfrac12at^2$.

$m = 1.791\times10^{-25}$ kg, $a = (9.274\times10^{-24})(800)/m = 4.14\times10^4$ m/s², $t = 8.33\times10^{-5}$ s, $z = \tfrac12(4.14\times10^4)(8.33\times10^{-5})^2 = 1.44\times10^{-4}$ m = 0.144 mm.

$+z$로 준비한 원자를 $z$축에서 60° 기운 자석에 보낸다. (a) 그 자석의 + 출구로 나올 확률 $P_1$은? (b) + 출구로 나온 원자를 다시 $z$ 자석에 보낼 때, 처음 원자 하나가 최종적으로 $-z$ 출구로 나올 확률 $P_2$는?

(a) $\cos^2 30^\circ = 0.750$. (b) $+60^\circ$ 상태에서 $-z$(180°)까지 각은 120° → $\cos^2 60^\circ = \sin^2 30^\circ = 0.25$. $P_2 = 0.75\times0.25 = 0.1875$. 시뮬레이터에서 0°, 60°, 0°로 확인하라.

나트륨 D선 588.995 nm와 589.592 nm 광자의 에너지 차이는?

$\Delta E = 1239.84(1/588.995 - 1/589.592) = 2.13\times10^{-3}$ eV = 2.13 meV.

${}^2D_{5/2}$ 상태($l = 2$, $s = \tfrac12$, $j = \tfrac52$)의 란데 g 인자는?

$g_J = 1 + \dfrac{(35/4) + (3/4) - 6}{2(35/4)} = 1 + \dfrac{3.5}{17.5} = 1.20$.

d 전자($l = 2$)가 $j = \tfrac32$ 상태에 있을 때 $\vec L\cdot\vec S$를 $\hbar^2$ 단위로 구하라. $j = \tfrac52$와의 에너지 차이는 $A\hbar^2$의 몇 배인가(풀이 참고)?

$\vec L\cdot\vec S/\hbar^2 = \tfrac12[\tfrac32\cdot\tfrac52 - 6 - \tfrac34] = \tfrac12(3.75 - 6.75) = -1.5$. $j = \tfrac52$에서는 $+1.0$이므로 차이는 $2.5A\hbar^2 = (l+\tfrac12)A\hbar^2$.

포타슘(K)의 첫째 이온화 에너지는 4.341 eV이고 바깥 전자는 4s이다. 유효 핵전하는?

$Z_\text{eff} = 4\sqrt{4.341/13.606} = 4(0.5649) = 2.26$.

다음 중 파울리 배타 원리에 어긋나는 전자 배치는?

s 버금껍질은 오비탈이 하나($m_l = 0$)라 $m_s = \pm\tfrac12$ 두 전자만 들어간다. 2s³은 불가능하다. 들뜬 상태나 Cr의 예외 배치는 원리에 어긋나지 않는다.

질소(1s²2s²2p³)의 바닥 상태 2p 배치로 옳은 것은?

훈트 규칙: 세 오비탈에 하나씩, 스핀을 나란히. 총 스핀 $S = \tfrac32$이 최대다. 전자 배치 빌더의 퀴즈 모드로 연습해 보라.

배선의 확산 방지막을 TEM-EDS로 분석한다. 타이타늄($Z = 22$)의 Kα 에너지를 모즐리 법칙으로 추정하라.

$E = \tfrac34(13.606)(21)^2 = 4.50\times10^3$ eV = 4.50 keV(실측 4.51 keV). 파장은 0.276 nm.

웨이퍼 표면 오염 입자의 EDS 스펙트럼에서 6.40 keV에 강한 Kα 봉우리가 보였다. 모즐리 법칙으로 원자 번호를 추정하라(정수).

$Z = 1 + \sqrt{E/(10.2\ \text{eV})}$.

$Z - 1 = \sqrt{6400/10.204} = 25.04$ → $Z = 26$, 철(Fe). 스테인리스 부품이나 배관에서 온 금속 오염일 가능성이 크다.

$g = 2.0055$인 결함(비정질 실리콘의 끊어진 결합)을 9.40 GHz ESR로 측정한다. 공명 자기장은?

$B = h\nu/(g\mu_B) = (6.626\times10^{-34})(9.40\times10^9)/(2.0055\times9.274\times10^{-24}) = 0.335$ T.

MTJ의 $R_P = 3.0$ kΩ, TMR = 180%이다. 반평행 저항 $R_{AP}$와, 0.10 V 읽기 전압에서 두 상태의 전류 차이 $\Delta I$를 구하라.

$R_{AP} = 3.0(1 + 1.8) = 8.4$ kΩ. $\Delta I = 0.10/3000 - 0.10/8400 = 33.3 - 11.9 = 21.4\ \mu$A.

개념 확인 퀴즈

슈테른–게를라흐 실험에서 은 원자 빔이 두 갈래로 나뉜 것이 궤도 각운동량으로 설명될 수 없는 이유는?

$l$은 정수이므로 $2l+1$은 홀수다. 짝수 2는 반정수 각운동량 $s = \tfrac12$에서만 나온다. 게다가 은의 바깥 전자는 $l = 0$이다.

$z$ → $x$ → $z$ 연속 슈테른–게를라흐 장치(각 단계에서 + 출구만 통과)에서 마지막 자석의 결과는?

$x$ 측정이 상태를 $|{+x}\rangle$로 바꾸어 앞선 $z$ 정보를 지웠다. $\cos^2 45^\circ = \tfrac12$.

두 전자가 같은 오비탈에 있으려면 반드시 무엇이 달라야 하는가?

같은 오비탈이면 $n, l, m_l$이 같으므로 파울리 원리에 따라 $m_s$가 $+\tfrac12$과 $-\tfrac12$로 달라야 한다.

포타슘(K)에서 마지막 전자가 3d가 아니라 4s에 들어가는 이유로 가장 알맞은 것은?

$l$이 작은 4s는 핵 근처에 봉우리가 있어 큰 유효 핵전하를 느낀다. 3d는 거의 침투하지 않아 $Z_\text{eff}\approx1$에 가깝다.

네온(21.6 eV)에서 소듐(5.1 eV)으로 첫째 이온화 에너지가 급락하는 이유는?

$Z_\text{eff}$가 약 1.8로 작고 $n = 3$이라 핵에서 멀다. $13.6\times1.84^2/9 = 5.1$ eV.