Chapter 02

역격자와 X선 회절

원자 사이 거리는 0.2–0.5 nm라서 가시광선 현미경으로는 보이지 않는다. 그런데 파장이 0.154 nm인 X선을 결정에 비추면 원자면들이 일제히 거울처럼 빛을 되돌려 보내는 각도가 있다. 그 각도들의 목록이 곧 결정의 지문이다. 앞 장이 원자가 놓인 실공간을 다뤘다면, 이 장은 회절이 사는 역공간으로 넘어간다. 역격자, 브릴루앙 영역, 구조 인자라는 도구를 갖추고 나면, 팹의 인라인 XRD가 SiGe 소스·드레인의 Ge 조성을 0.5% 정밀도로 읽어 내는 원리까지 이해하게 된다. 아래 화면에서 X선이 원자면에서 반사되는 모습을 먼저 보자.

입사각 손잡이나 그래프를 끌어 보세요

브래그 법칙 $2d\sin\theta = n\lambda$를 경로차로 유도하고, 입방정 $d_{hkl} = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$과 함께 회절각을 계산한다.
역격자 벡터 $\vec b_i$를 실격자에서 구하고, $\vec G_{hkl} \perp (hkl)$, $|\vec G_{hkl}| = 2\pi/d_{hkl}$를 보인다. fcc의 역격자가 bcc임을 계산한다.
라우에 조건 $\vec k' - \vec k = \vec G$가 브래그 법칙과 같음을 보이고, 에발트 구로 어떤 반사가 나타나는지 판단한다.
브릴루앙 영역을 역격자의 위그너–자이츠 셀로 그리고, fcc 영역(깎은 팔면체)의 Γ·X·L·K 점의 좌표와 거리를 구한다.
구조 인자 $F_{hkl}$로 bcc·fcc·다이아몬드·섬아연석의 소멸 규칙을 유도하고, 원자 산란 인자와 디바이–월러 인자의 역할을 설명한다.
분말 회절 패턴을 지수화해 구조와 격자 상수를 정하고, 셰러 식으로 결정립 크기를 구한다.
고분해능 XRD의 (004)·(224) 로킹 곡선과 역공간 지도에서 SiGe 에피층의 Ge 조성과 완화도를 구한다.

브래그 법칙: 원자면이 거울이 되는 각도

결정에 X선을 쏘면 각 원자의 전자 구름이 X선의 전기장에 흔들려 같은 진동수의 빛을 사방으로 다시 내보낸다(톰슨 산란). 원자 하나가 내보내는 빛은 약하고 방향도 없지만, 수십억 개 원자가 규칙적으로 늘어서 있으면 이야기가 달라진다. 대부분의 방향에서는 산란파들의 위상이 제멋대로라 서로 지워지고, 특정한 방향에서만 모든 원자의 파가 같은 위상으로 겹쳐 강한 빔이 된다. 이것이 회절(diffraction)이다.

1913년 W. L. 브래그는 이 현상을 놀랍도록 단순한 그림으로 풀었다. 결정을 간격 $d$인 평행한 원자면의 더미로 보고, 각 면이 X선의 일부를 거울처럼 반사한다고 생각하자. 한 면에서의 반사는 입사각과 반사각이 같은 방향에서 위상이 맞는다(같은 면 안 원자들끼리). 남은 질문은 서로 다른 면에서 반사된 파의 위상이 맞느냐다. 아래 그림에서 아래 면에서 반사된 파는 위 면의 파보다 $d\sin\theta$씩 두 번, 모두 $2d\sin\theta$ 더 간다.

간격 $d$인 두 원자면에서의 반사. 굵은 주황 구간이 아래 면에서 반사된 파가 더 가는 길이다. 이 경로차가 파장의 정수배일 때 모든 면의 반사파가 같은 위상으로 더해진다.

브래그 법칙

간격 $d$인 원자면 무리에서 파장 $\lambda$인 X선이 강하게 반사되는 조건은

$$2d\sin\theta = n\lambda \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

$\theta$는 원자면과 빔 사이의 각(브래그 각(Bragg angle))으로, 면 법선과의 각이 아니다. 입사 빔과 회절 빔 사이의 각은 $2\theta$이고, 회절계는 보통 이 $2\theta$를 눈금으로 쓴다.

$\sin\theta \le 1$이므로 $\lambda \le 2d$여야 반사가 생긴다. 가시광선(400–700 nm)으로는 원자 간격(0.3 nm)의 면이 반사를 만들 수 없고, 1 Å 근처의 X선이어야 한다. 실험실 회절계는 대부분 구리 표적에서 나오는 Cu Kα1(Cu Kα1 line) 선 $\lambda = 0.15406$ nm를 쓴다. $n$차 반사는 간격 $d/n$인 가상의 면에서의 1차 반사로 볼 수 있어서, 결정학에서는 보통 $n$을 밀러 지수에 흡수해 $2d_{hkl}\sin\theta = \lambda$로 쓴다. 예를 들어 (111) 면의 2차 반사는 "(222) 반사"라 부른다.

입방정에서 면 간격은 앞 장에서 본 대로 $d_{hkl} = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$이다. 따라서

$$\sin^2\theta_{hkl} = \frac{\lambda^2}{4a^2}\,(h^2 + k^2 + l^2)$$

입방정에서는 $\sin^2\theta$가 정수 $N = h^2+k^2+l^2$에 비례한다. 분말 패턴을 지수화할 때 이 사실을 쓴다(5절).

면 간격 0.3136(실리콘 (111) 면)에 파장 0.1541인 X선을 비추면, 1차 반사는 $\theta =$ , 회절계 눈금으로 $2\theta =$ 에서 나타난다.

왜 하필 위상이 정확히 맞을 때만 밝을까? 면이 두 장이면 경로차가 반 파장일 때만 완전히 꺼지고 그 사이는 어중간하게 밝다. 그러나 면이 $N$장이면 합 $\sum_n e^{in\delta}$($\delta = 2\pi\cdot2d\sin\theta/\lambda$)는 $\delta$가 $2\pi$의 정수배에서 크기 $N$이 되고, 조금만 벗어나도 거의 0이 된다. 봉우리 폭은 $1/N$에 비례해 좁아진다. 결정은 $N \sim 10^5$장이 넘으니 반사는 칼날처럼 날카롭다. 거꾸로 결정이 작으면 봉우리가 넓어진다 — 5절의 셰러 식이 이 원리를 이용한다.

면 간격 0.3136 nm인 실리콘 (111) 면에 Cu Kα1(0.1541 nm)을 쓰면, 입사각을 0°에서 90°까지 돌릴 때 강한 반사($n = 1, 2, \dots$)는 몇 번 나타날까?

$n \le 2d/\lambda = 0.6272/0.1541 = 4.07$이므로 $n = 1, 2, 3, 4$의 네 번이다. 실험대에서 입사각을 끌어 과녁 네 개를 모두 찾아보자. (실제 Si에서는 $n = 2$, 곧 (222) 반사가 구조 인자 때문에 거의 사라진다 — 4절.)

SIMULATOR

브래그 실험대: 경로차를 파장에 맞춰라

광원 손잡이를 끌어 입사각을 바꾼다

입사각 θ 면 간격 d 파장 λ

X선 관

찾은 반사(과녁)

경로차 2d sinθ—

경로차 / λ—

반사 세기(면 20장)—

해볼 것: ① 입사각을 끌어 경로차/λ가 1, 2, 3 …이 되는 각을 모두 찾아 과녁을 채워라. 오른쪽 두 파가 겹쳐 합이 커지는지 보라. ② Mo Kα(짧은 파장)로 바꾸면 과녁이 몇 개로 늘어나는가? Cr Kα는? ③ 면 간격을 0.1 nm로 줄이고 Cr Kα를 쓰면 왜 반사가 하나도 없는가?

실리콘($a = 0.5431$ nm)의 (111) 면에서 Cu Kα1($\lambda = 0.15406$ nm) 1차 반사가 나타나는 $2\theta$를 구하라. 이 면 무리로 가능한 최고 차수 $n$은?

풀이 보기

전략 $d_{111} = a/\sqrt3$을 구해 브래그 법칙에 넣는다. 최고 차수는 $\sin\theta \le 1$에서.

풀이 $d_{111} = 0.5431/1.7321 = 0.31356$ nm. $\sin\theta = \lambda/2d = 0.15406/0.62712 = 0.24566$ → $\theta = 14.22°$, $2\theta = 28.44°$. $n_\text{max} = \lfloor 2d/\lambda \rfloor = \lfloor 4.07 \rfloor = 4$.

2θ = 28.44°, n ≤ 4

검토 실리콘 분말 회절의 첫 봉우리가 실제로 $2\theta = 28.44°$에 있다(표준 자료). 이 값은 장비 각도 보정에 쓰는 기준이기도 하다.

다이아몬드 구조로 알려진 시료의 (111) 반사가 Cu Kα1로 $2\theta = 27.28°$에서 관측되었다. 면 간격과 격자 상수를 구하고 물질을 추정하라.

풀이 보기

전략 $d = \lambda/(2\sin\theta)$, 다음 $a = d\sqrt{3}$.

풀이 $\theta = 13.64°$, $\sin\theta = 0.23582$ → $d = 0.15406/(2\times0.23582) = 0.3266$ nm. $a = 0.3266\times\sqrt3 = 0.5658$ nm.

d₁₁₁ = 0.3266 nm, a = 0.5658 nm → 저마늄(Ge)

검토 Si보다 각이 1.16° 작다. 격자 상수가 4.2% 크면 $\sin\theta$가 4.2% 작아지기 때문이다. 이 작은 각도 차이가 6절에서 SiGe 조성을 재는 원리다.

역격자와 라우에 조건

브래그 그림은 직관적이지만, 면 무리가 수없이 많은 3차원 결정에서 "어느 면에서 어떤 방향으로 반사되는가"를 한꺼번에 다루기에는 불편하다. 면 무리 하나를 그 법선 방향과 간격 두 가지로 요약하면 화살표 하나로 나타낼 수 있다. 방향은 면에 수직, 길이는 $2\pi/d$인 벡터 — 이런 벡터들이 모여 만드는 격자가 역격자(reciprocal lattice)다.

역격자

실격자의 기본 벡터가 $\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3$이면 역격자의 기본 벡터는

$$\vec b_1 = 2\pi\,\frac{\vec a_2\times\vec a_3}{\vec a_1\cdot(\vec a_2\times\vec a_3)},\quad \vec b_2 = 2\pi\,\frac{\vec a_3\times\vec a_1}{\vec a_1\cdot(\vec a_2\times\vec a_3)},\quad \vec b_3 = 2\pi\,\frac{\vec a_1\times\vec a_2}{\vec a_1\cdot(\vec a_2\times\vec a_3)}$$

로, $\vec a_i\cdot\vec b_j = 2\pi\delta_{ij}$를 만족한다. 역격자 벡터(reciprocal lattice vector)는 $\vec G = h\vec b_1 + k\vec b_2 + l\vec b_3$($h,k,l$ 정수)이고, 모든 실격자 벡터 $\vec R$에 대해 $e^{i\vec G\cdot\vec R} = 1$이다.

마지막 성질이 역격자의 정체다. 역격자 벡터는 "격자의 주기와 맞아떨어지는 평면파 $e^{i\vec G\cdot\vec r}$의 파수"들이다. 결정의 전자 밀도처럼 격자 주기를 가진 함수는 모두 이런 평면파들의 푸리에 급수 $n(\vec r) = \sum_{\vec G} n_{\vec G}\,e^{i\vec G\cdot\vec r}$로 쓸 수 있다. 실격자의 단위가 길이라면 역격자의 단위는 길이의 역수(nm⁻¹)이고, 실격자에서 촘촘한 방향은 역격자에서 듬성듬성해진다. 결정학에서는 $2\pi$를 빼고 $|\vec G| = 1/d$로 쓰기도 하니 문헌을 읽을 때 조심한다(이 책은 물리 관례 $2\pi$를 넣는다).

MINI LAB왼쪽 실격자의 기본 벡터 $\vec a_1$(청록), $\vec a_2$(주황) 끝을 끌어 보라. 오른쪽 역격자에서 $\vec b_1$은 언제나 $\vec a_2$에 수직이고 $\vec b_2$는 $\vec a_1$에 수직이다. $\vec a_1$을 늘이면 $\vec b_1$은 짧아진다 — 실격자 셀 넓이와 역격자 셀 넓이의 곱은 늘 $(2\pi)^2$이다.

역격자 벡터와 면 무리

역격자의 쓸모는 다음 정리에 있다. 밀러 지수 $(hkl)$인 면 무리에 대해, 역격자 벡터 $\vec G_{hkl} = h\vec b_1 + k\vec b_2 + l\vec b_3$는

$$\vec G_{hkl} \perp (hkl)\ \text{면}, \qquad |\vec G_{hkl}| = \frac{2\pi}{d_{hkl}}$$

증명: $(hkl)$ 면은 축을 $\vec a_1/h, \vec a_2/k, \vec a_3/l$에서 자른다. 면 위의 두 벡터 $\vec a_1/h - \vec a_2/k$와 $\vec G$의 내적은 $2\pi - 2\pi = 0$이라 수직이다. 원점에서 면까지의 거리는 $\hat G\cdot\vec a_1/h = 2\pi/|\vec G|$이다.

즉 면 무리 하나 = 역격자점 하나다. 실리콘 결정 속의 수많은 면들((111), (220), (311), …)이 역공간에서는 질서 정연한 점들의 격자로 정리된다. 입방정에서는 $\vec b_i = (2\pi/a)\hat x_i$라서 $|\vec G_{hkl}| = (2\pi/a)\sqrt{h^2+k^2+l^2}$이고, 위의 $d_{hkl}$ 식이 바로 나온다.

MINI LAB오른쪽 역격자에서 $\vec G$의 끝(흰 손잡이)을 다른 역격자점으로 끌어 보라. 왼쪽 실격자에 그 $(hk)$ 면 무리(직선들)가 그려진다. $\vec G$가 길수록 면 간격이 좁고, 면은 늘 $\vec G$에 수직이다.

라우에 조건과 에발트 구

회절을 파수 벡터로 다시 쓰자. 입사 X선의 파수 벡터를 $\vec k$, 회절된 X선을 $\vec k'$라 하면(탄성 산란이므로 $|\vec k'| = |\vec k| = 2\pi/\lambda$), 위치 $\vec r$의 전자에서 산란된 파는 위상 인자 $e^{-i\Delta\vec k\cdot\vec r}$($\Delta\vec k = \vec k' - \vec k$)를 얻는다. 결정 전체의 산란 진폭은 전자 밀도의 푸리에 변환

$$A(\Delta\vec k) \propto \int n(\vec r)\,e^{-i\Delta\vec k\cdot\vec r}\,dV = \sum_{\vec G} n_{\vec G}\int e^{i(\vec G - \Delta\vec k)\cdot\vec r}\,dV$$

적분은 $\Delta\vec k = \vec G$일 때만 결정 부피에 비례하는 큰 값이 되고, 그 밖에서는 진동해 거의 0이 된다.

라우에 조건

회절은 산란 벡터가 역격자 벡터와 같을 때 일어난다.

$$\Delta\vec k = \vec k' - \vec k = \vec G$$

이것이 라우에 조건(Laue condition)이다. 산란 진폭의 크기는 $n_{\vec G}$에, 곧 단위 셀 안 원자 배치(4절의 구조 인자)에 달려 있다.

입사 X선의 파수 벡터 $\vec k$, 크기 $2\pi/\lambda$.
탄성 산란이므로 회절 파 $\vec k'$도 크기가 같고 방향만 $2\theta$ 꺾인다.
라우에 조건: 두 벡터의 차가 역격자 벡터 $\vec G$. $\vec k, \vec k', \vec G$는 두 변이 같은 삼각형을 이룬다. $\vec G$는 반사면의 법선이고, $\vec k$와 면이 이루는 각이 $\theta$다.
삼각형 밑변 $|\vec G| = 2k\sin\theta$에 $|\vec G| = 2\pi/d$를 넣으면 브래그 법칙이 나온다. 두 그림은 같은 물리다.

라우에 조건 $\vec k' - \vec k = \vec G$에서 브래그 법칙으로. 제곱하면 $2\vec k\cdot\vec G + G^2 = 0$ — 이 식은 다음 절의 브릴루앙 영역 경계, 그리고 8장 띠 구조에서 전자파가 반사되는 조건으로 다시 나온다.

라우에 조건을 그림으로 푸는 방법이 에발트 구(Ewald sphere)다. 역격자를 그리고, 입사 파수 벡터 $\vec k$를 그 끝이 역격자 원점 O에 오도록 놓는다. $\vec k$의 시작점 C를 중심으로 반지름 $k = 2\pi/\lambda$인 구를 그리면, 구 표면에 걸린 역격자점마다 회절 빔이 하나씩 나간다(C에서 그 점을 향하는 방향이 $\vec k'$). 구가 아무 점도 지나지 않으면 회절은 없다. 단색 X선과 고정된 단결정으로는 대개 반사가 없으므로, 실험은 다음 셋 중 하나로 구에 점을 걸리게 한다.

라우에법

파장이 연속인 백색 X선 → 반지름이 다른 구가 여러 개 → 많은 반사가 한 번에 생긴다. 고정 결정의 방위를 정하는 데 쓴다.

회전 결정법·고분해능 XRD

단색 X선, 결정을 돌려($\omega$) 원하는 역격자점을 구 위로 가져온다. 6절의 로킹 곡선이 이 방식이다.

분말법

단색 X선, 무작위 방향의 미세 결정 수백만 개 → 각 $|\vec G|$가 구와 원뿔 모양으로 만나 회절 고리가 생긴다(5절).

X선 파장을 절반으로 줄이면($k$가 두 배) 에발트 구에 걸릴 수 있는 역격자점의 범위는 어떻게 되는가?

$|\vec G| = 2k\sin\theta \le 2k$이므로 원점에서 $2k$ 안의 점만 반사될 수 있다(이를 "한계 구"라 한다). 파장이 짧을수록 더 많은($d$가 작은) 반사가 가능하다. 아래에서 C를 끌어 구를 키워 보자.

SIMULATOR

에발트 구 2D: 구에 걸리면 빛난다

C(파수 벡터의 꼬리)를 끌어 방향과 파장을 바꾼다

결정 회전 ω 파장 퍼짐(라우에법) 한계 구(반지름 2k) 보기

과녁

파장 λ (a = 0.5431 nm 정사각 격자)—

켜진 반사—

해볼 것: ① C를 끌어 구가 (1 1) 점을 지나게 하라. 그 순간 C에서 그 점으로 회절 빔 $\vec k'$가 나간다. ② C는 그대로 두고 결정 회전 ω만 돌려도 점들이 구를 지나며 차례로 켜진다 — 회전 결정법이다. ③ 파장 퍼짐을 키우면 두 구 사이의 모든 점이 한 번에 켜진다(라우에법). 과녁 문제를 풀어 보라.

fcc 격자의 기본 벡터 $\vec a_1 = \tfrac a2(0,1,1)$, $\vec a_2 = \tfrac a2(1,0,1)$, $\vec a_3 = \tfrac a2(1,1,0)$에서 역격자 기본 벡터를 구하고, 실리콘($a = 0.5431$ nm)의 $|\vec G_{111}|$과 $d_{111}$을 구하라.

풀이 보기

전략 정의대로 외적을 계산한다. 기본 셀 부피는 $a^3/4$.

풀이 $\vec a_2\times\vec a_3 = \tfrac{a^2}{4}(-1,1,1)$, $\vec a_1\cdot(\vec a_2\times\vec a_3) = a^3/4$ → $\vec b_1 = \tfrac{2\pi}{a}(-1,1,1)$. 같은 방법으로 $\vec b_2 = \tfrac{2\pi}{a}(1,-1,1)$, $\vec b_3 = \tfrac{2\pi}{a}(1,1,-1)$. 이 세 벡터는 한 변 $4\pi/a$인 정육면체의 체심 입방(bcc) 격자를 만든다. $\vec G_{111}$(관용 지수)은 $\vec b_1+\vec b_2+\vec b_3 = \tfrac{2\pi}{a}(1,1,1)$이고 $|\vec G_{111}| = 2\pi\sqrt3/a = 20.04$ nm⁻¹, $d_{111} = 2\pi/|\vec G| = a/\sqrt3 = 0.3136$ nm.

b₁ = (2π/a)(−1,1,1) 등 → bcc, |G₁₁₁| = 20.0 nm⁻¹, d₁₁₁ = 0.3136 nm

검토 거꾸로 bcc의 역격자는 fcc다. 관용 지수로 쓴 fcc 역격자에는 $(100)$이나 $(110)$ 같은 점이 없다 — 4절에서 "fcc는 $h,k,l$이 모두 홀수이거나 모두 짝수일 때만 반사"라는 소멸 규칙으로 다시 만난다.

웨이퍼 방위는 X선으로 확인한다

단결정 잉곳을 자르기 전에, 라우에 사진이나 단색 X선 회절로 (100) 축이 잉곳 축에서 몇 도 기울었는지 재어 오프컷을 0.1° 안쪽으로 맞추고, 노치(또는 플랫) 위치를 ⟨110⟩ 방향에 새긴다. 로직 웨이퍼의 (100)±0.5°, 에피용 웨이퍼의 의도적 오프컷 4° 같은 사양이 모두 이 측정으로 보증된다. → ProcessBook · 실리콘 웨이퍼와 세정

브릴루앙 영역

실공간에서 한 격자점에 "가장 가까운 영역"으로 자른 기본 셀이 위그너–자이츠 셀이다(원점과 이웃 격자점을 잇는 선분의 수직 이등분면으로 둘러싸인 영역). 같은 작업을 역격자에서 하면 브릴루앙 영역(Brillouin zone)을 얻는다. 원점 Γ에서 가장 가까운 이등분면들로 둘러싸인 영역이 제1 브릴루앙 영역이다.

왜 하필 이등분면일까? 라우에 조건 $\vec k' = \vec k + \vec G$와 $|\vec k'| = |\vec k|$를 묶으면 $2\vec k\cdot\vec G + G^2 = 0$, 곧 $\vec k\cdot(\vec G/2) = |\vec G/2|^2$이다. 이것은 "$\vec k$의 끝이 $\vec G$의 수직 이등분면 위에 있다"는 식이다. 브릴루앙 영역의 경계는 회절(브래그 반사)이 일어나는 모든 파수 벡터의 자리다. X선이든 결정 속 전자의 파동이든 포논이든, 파수가 영역 경계에 닿으면 반사된다. 현대물리학 결정 속 전자와 에너지 띠에서 1차원 경계 $k = \pm\pi/a$에 띠 간격이 열린 이유가 바로 이것이고, 8장에서 3차원 띠 구조를 그릴 때 이 장의 영역과 점 이름을 쓴다.

2차원 정사각 격자와 육방 격자의 제1 브릴루앙 영역(색칠). 회색 점은 이웃 역격자점, 점선은 Γ에서 그 점까지의 $\vec G$이며 영역 경계는 이 선분의 수직 이등분선이다. 육방 격자의 역격자는 30° 돌아간 육방 격자이고, 영역은 정육각형이 된다. 주황 삼각형은 띠 구조를 그릴 때 따라가는 대칭 경로다.

영역 안에서 대칭이 높은 점에는 이름이 붙는다. 중심은 늘 Γ점(Gamma point)이고, 정사각 격자에서 변의 중점은 X, 꼭짓점은 M, 육방 격자에서 변의 중점은 M, 꼭짓점은 K다. 그래핀의 원뿔형 띠(디랙 점)는 K에 있다(16장).

MINI LAB흰 손잡이(파수 벡터 $\vec k$의 끝)를 끌어 보라. 색은 브릴루앙 영역 번호다: $\vec k$에서 Γ보다 가까운 역격자점이 $n-1$개이면 제$n$ 영역. 고차 영역들은 조각조각 흩어져 있지만, 역격자 벡터만큼 옮기면 모두 제1 영역을 정확히 한 번 덮는다(넓이가 같다).

fcc 격자의 브릴루앙 영역: 깎은 팔면체

실리콘·저마늄·GaAs·구리처럼 fcc 격자를 가진 결정의 역격자는 bcc다(앞 예제). bcc 역격자의 위그너–자이츠 셀은 정팔면체의 꼭짓점 여섯 개를 잘라 낸 깎은 팔면체(truncated octahedron)로, 정사각형 면 6개와 정육각형 면 8개를 가진다. 정사각형 면은 $\langle100\rangle$ 방향의 가장 가까운 역격자점 (2π/a)(2,0,0)의 이등분면이고, 육각형 면은 $\langle111\rangle$ 방향 (2π/a)(1,1,1)의 이등분면이다.

점	좌표 (2π/a 단위)	위치	Γ에서 거리	띠 구조에서
Γ	(0, 0, 0)	영역 중심	0	GaAs 전도대 바닥, 모든 반도체의 가전자대 꼭대기
X	(1, 0, 0)	정사각형 면 중심	2π/a	Si 전도대 바닥은 Γ–X 선의 0.85 지점(Δ 골짜기)
L	(½, ½, ½)	육각형 면 중심	√3 π/a	Ge 전도대 바닥
K	(¾, ¾, 0)	육각형 두 면이 만나는 모서리 중점	3√2 π/(2a)	경로 Γ–K(Σ 선)의 끝
W	(1, ½, 0)	꼭짓점	√5 π/a	—
U	(1, ¼, ¼)	정사각형·육각형 면이 만나는 모서리 중점	3√2 π/(2a)	U와 K는 역격자 벡터만큼 떨어진 같은 점

띠 구조 경로 L–Γ–X–U|K–Γ 축과 이웃 역격자점

MINI LABfcc 결정의 제1 브릴루앙 영역. 끌어서 돌려 보라. 정사각형 면 중심이 X, 육각형 면 중심이 L이다. 8장의 실리콘 띠 구조 그래프 가로축이 바로 이 주황 경로를 따라간다. 점을 누르면 이름과 좌표가 나온다.

격자 상수 0.5431인 fcc 결정(이 값은 Si)에서 Γ–X 거리는 $2\pi/a =$ , Γ–L은 , Γ–K는 다. 자유 전자라면 X점의 에너지는 $\hbar^2k^2/2m_e =$ 로, 띠 구조의 에너지 눈금이 왜 수 eV인지 알 수 있다.

실리콘($a = 0.5431$ nm)에서 Γ–X, Γ–L 거리를 nm⁻¹로 구하고, 각 점에서 자유 전자의 에너지($\hbar^2/2m_e = 0.0381$ eV·nm²)를 구하라. 전도대 바닥이 있는 $0.85\,X$의 파수도 구하라.

풀이 보기

전략 표의 거리 식에 $a$를 넣는다.

풀이 $\Gamma X = 2\pi/0.5431 = 11.57$ nm⁻¹ → $E = 0.0381\times11.57^2 = 5.10$ eV. $\Gamma L = \sqrt3\pi/0.5431 = 10.02$ nm⁻¹ → $E = 3.82$ eV. $0.85\,X = 9.83$ nm⁻¹.

ΓX = 11.6 nm⁻¹ (5.10 eV), ΓL = 10.0 nm⁻¹ (3.82 eV), 0.85X = 9.83 nm⁻¹

검토 L이 X보다 Γ에 가깝다(육각형 면이 정사각형 면보다 안쪽). 빛의 파수(1 eV 광자 $\approx 5\times10^{-3}$ nm⁻¹)는 영역 크기의 1/2000 정도라서, 광학 전이는 영역에서 거의 수직이다 — Si의 간접 전이에 포논이 필요한 이유다.

구조 인자와 소멸 규칙

라우에 조건은 "어디에서 회절이 일어날 수 있는가"를 말해 줄 뿐, "얼마나 강한가"는 말하지 않는다. 세기는 단위 셀 안에서 원자들이 내보내는 파가 서로 얼마나 보강하는지에 달려 있다. 관용 단위 셀 안 원자 $j$의 분수 좌표를 $(x_j, y_j, z_j)$라 하면, $\vec G_{hkl}$ 방향의 산란 진폭은

구조 인자

$$F_{hkl} = \sum_{j\,\in\,\text{셀}} f_j\,e^{2\pi i(hx_j + ky_j + lz_j)}, \qquad I_{hkl} \propto |F_{hkl}|^2$$

$F_{hkl}$을 구조 인자(structure factor), $f_j$를 원자 $j$의 원자 산란 인자(atomic form factor)라 한다. 원자마다 크기 $f_j$, 방향(위상) $2\pi(hx_j+ky_j+lz_j)$인 화살표를 이어 붙인 합이 $F$다.

관용 셀(입방체)에는 격자점이 여러 개 있으므로, 어떤 $(hkl)$에서는 화살표들이 정확히 상쇄되어 $F = 0$이 된다. 이렇게 라우에 조건은 만족해도 사라지는 반사를 소멸 규칙(extinction rule, systematic absence)이라 한다. 소멸 규칙은 결정 구조를 판별하는 가장 강력한 단서다.

단순 입방(원자 1개, (0,0,0)): $F = f$. 모든 반사가 있다.
체심 입방 bcc((0,0,0), (½,½,½)): $F = f[1 + e^{i\pi(h+k+l)}]$ → $h+k+l$이 짝수면 $2f$, 홀수면 0. (100)·(111) 없음, (110)·(200)·(211) 있음.
면심 입방 fcc((0,0,0), (0,½,½), (½,0,½), (½,½,0)): $F = f[1 + e^{i\pi(k+l)} + e^{i\pi(h+l)} + e^{i\pi(h+k)}]$ → $h,k,l$이 모두 홀수이거나 모두 짝수면 $4f$, 섞이면 0. (111)·(200)·(220)·(311) 있음.

다이아몬드 구조는 fcc 격자의 각 점에 원자 두 개($(0,0,0)$과 $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$)를 붙인 것이다. 합을 격자 합 × 기저 합으로 나눌 수 있다.
fcc 격자 인자는 지수의 홀짝이 섞이면 0이다.
기저 인자는 두 원자의 위상차 $\pi(h+k+l)/2$에 달렸다. 짝수 지수이면서 $h+k+l = 4m+2$이면 두 원자가 정반대 위상이라 지워진다. 그래서 fcc에서는 보이던 (200)과 (222)가 실리콘에서는 사라진다.

다이아몬드 구조의 소멸 규칙. 같은 fcc 격자라도 기저가 다르면 회절 패턴이 다르다.

섬아연석 구조(zincblende structure)(GaAs, InP, 3C-SiC)는 같은 자리에 서로 다른 원자 A, B가 앉는다. 기저 인자가 $f_A + f_B\,e^{i\pi(h+k+l)/2}$가 되므로 다이아몬드에서 꺼졌던 반사가 $4|f_A - f_B|$만큼 살아난다.

$$F_{200}^{\text{섬아연석}} = 4(f_A - f_B), \qquad F_{220} = 4(f_A + f_B), \qquad |F_{111}|^2 = 16(f_A^2 + f_B^2)$$

GaAs는 Ga(Z = 31)와 As(Z = 33)의 전자 수가 거의 같아 (200)이 (220)의 $10^{-3}$ 정도로 아주 약하다. InP(49, 15)는 (200)이 뚜렷하다. 이 "약하게 살아난 금지 반사"로 섬아연석의 질서(반위상 결함, 조성)를 본다.

원자 산란 인자와 디바이–월러 인자

원자의 전자는 점이 아니라 0.1 nm 크기의 구름이다. 산란각이 커지면 구름의 앞쪽과 뒤쪽에서 산란된 파 사이에 위상차가 생겨 원자 하나의 산란이 약해진다. 그래서 $f$는 전방($\theta = 0$)에서 전자 수 $Z$와 같고, $s = \sin\theta/\lambda$가 커질수록 줄어든다. 또 원자는 열 때문에 평형 자리 주위를 진동하므로 산란 위상이 흐려진다. 이 효과를 디바이–월러 인자(Debye–Waller factor) $e^{-2Bs^2}$(세기 기준, $B = 8\pi^2\langle u^2\rangle$)로 넣는다. 실리콘 상온에서 $B \approx 0.46$ Å²다.

디바이–월러 B

MINI LAB근사 원자 산란 인자 $f(s)$(점선)와 열진동까지 넣은 유효값 $f\,e^{-Bs^2}$(실선). 세로 눈금선은 Si 분말 반사의 $s$ 위치다. $B$를 키우면(온도를 높이면) 고각 반사가 먼저 약해진다. 곡선을 끌면 그 $s$의 값을 읽는다.

실리콘(다이아몬드 구조)의 (200) 반사는? fcc 격자라 $h,k,l$이 모두 짝수인데…

$h+k+l = 2$이라 기저 인자 $1 + e^{i\pi} = 0$. 아래 페이저 그림에서 원자 8개의 화살표(4개는 위상 0, 4개는 위상 π)가 서로 상쇄되는지 확인하자. 구조를 섬아연석으로 바꾸면 두 묶음의 길이가 달라 합이 조금 남는다.

SIMULATOR

구조 인자 페이저 합: 화살표가 상쇄되면 반사가 사라진다

역격자점을 누르거나 끌어 hkl을 고른다

구조

지도 면 l f_B/f_A (두 종류일 때)

자주 쓰는 B/A

선택한 반사—

F (f_A = 1 단위)—

|F|²—

해볼 것: ① 다이아몬드에서 (2 0 0)과 (2 2 0)을 차례로 눌러 화살표들이 상쇄되거나 한 방향으로 모이는 것을 보라. (1 1 1)에서는 두 묶음이 90° 어긋난다. 지도 면을 l = 2로 올려 (2 2 2)도 확인하라. ② 섬아연석으로 바꾸고 GaAs와 InP를 비교하라. (2 0 0)의 |F|²는 몇 배 차이인가? ③ 암염에서 KCl(K⁺와 Cl⁻는 전자 수가 18개로 같다)을 고르면 지도가 어떤 구조처럼 보이는가?

원자 산란 인자를 전자 수로 근사($f \approx Z$)할 때, 섬아연석 GaAs(Ga 31, As 33)와 InP(In 49, P 15)에서 $|F_{200}|^2/|F_{220}|^2$을 각각 구하라.

풀이 보기

전략 $F_{200} = 4(f_A - f_B)$, $F_{220} = 4(f_A + f_B)$를 쓴다.

풀이 GaAs: $(31-33)^2/(31+33)^2 = 4/4096 = 9.8\times10^{-4}$. InP: $(49-15)^2/(64)^2 = 1156/4096 = 0.282$.

GaAs 9.8 × 10⁻⁴, InP 0.282

검토 두 화합물의 전자 수 합(64)은 같지만 차이가 크게 다르다. GaAs의 (200)은 실리콘처럼 거의 사라지고, InP의 (200)은 뚜렷하다. 실제 $f$는 각도에 따라 줄지만 비율은 크게 바뀌지 않는다.

분말 회절과 셰러 식

단결정 대신 무작위 방향의 미세한 결정(분말이나 다결정 박막)을 쓰면, 어떤 결정립은 반드시 각 $(hkl)$ 면이 브래그 각을 이루는 방향으로 놓여 있다. 그래서 입사각을 돌릴 필요 없이 모든 $d_{hkl}$이 한 번에 원뿔 모양 회절을 만든다. 실험실 회절계는 시료를 $\theta$만큼, 검출기를 $2\theta$만큼 함께 돌려(θ–2θ 주사(θ–2θ scan)) 시료 면에 평행한 면들의 반사를 차례로 기록한다.

왼쪽: 분말 회절계. 시료 면에 평행한 원자면만 반사 조건을 만족하므로 $\theta = \omega$, 검출기는 $2\theta$에 있다. 오른쪽: 고분해능 XRD의 로킹 곡선. 단결정 기판의 반사 근처에서 시료를 아주 조금씩 기울이며(ω) 기판과 에피층의 반사를 각각 찾는다(6절).

분말 패턴의 봉우리 세기는 $|F|^2$ 말고도 몇 가지 인자를 곱해 얻는다.

$$I_{hkl} \propto |F_{hkl}|^2 \cdot m_{hkl} \cdot \frac{1+\cos^2 2\theta}{\sin^2\theta\cos\theta} \cdot e^{-2Bs^2}$$

$m_{hkl}$은 다중도(multiplicity): 같은 $d$를 가진 등가 면의 수(입방정 {100} 6, {110} 12, {111} 8, {311} 24). 가운데 항은 편광과 기하(로런츠) 인자, 마지막은 디바이–월러 인자다. 실제 측정에는 흡수, 우선 방위(박막에서 특정 면이 표면에 평행하게 몰리는 것)가 더해진다.

입방정 패턴을 지수화하는 요령은 $\sin^2\theta \propto N = h^2+k^2+l^2$이다. 관측한 $\sin^2\theta$들을 첫 값으로 나눠 정수비를 찾는다. 허용되는 $N$의 순서가 구조마다 다르다.

구조	허용되는 N = h²+k²+l² (작은 순)	첫 두 봉우리의 sin²θ 비
단순 입방	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 …(7 없음)	1 : 2
bcc	2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 …	1 : 2
fcc	3, 4, 8, 11, 12, 16, 19 …	3 : 4
다이아몬드	3, 8, 11, 16, 19, 24, 27 …	3 : 8

단순 입방과 bcc는 첫 비가 같지만 단순 입방에는 $N = 7$이 없는 빈칸이 생기고, bcc는 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16처럼 고르게 이어진다($N=7$에 해당하는 위치에 봉우리가 있으면 bcc). 실리콘 분말의 실제 봉우리는 Cu Kα1로 $2\theta = 28.44°$(111), $47.30°$(220), $56.12°$(311)이고, 표준 자료(PDF) 상대 세기는 100 : 55 : 30이다. 이 장의 시뮬레이터는 근사 산란 인자와 $B = 0.5$ Å²로 100 : 62 : 36을 준다 — 위치는 정확하고 세기는 근사다.

SIMULATOR

분말 회절 시뮬레이터: 미지 시료의 구조를 맞혀라

그래프 위를 끌면 커서 위치의 d와 지수를 읽는다

구조

격자 상수 a 원자 번호 Z_A, Z_B X선 파장 결정립 크기 D 디바이–월러 B = 0.5 Å²

미지 시료 게임

버튼을 누르면 정체를 모르는 시료의 패턴(주황)이 겹쳐진다. 구조·Z·a를 바꿔 내 모형(청록)을 겹쳐라.

커서—

첫 두 봉우리 sin²θ 비—

일치도—

해볼 것: ① 다이아몬드(Si)와 fcc를 번갈아 눌러 (200)·(222) 봉우리가 나타났다 사라지는 것을 보라. ② 섬아연석에서 GaAs와 InP를 비교하라. ③ 결정립 크기를 10 nm 아래로 줄이면 봉우리가 넓어진다(셰러). ④ 미지 시료를 받아 첫 봉우리들의 sin²θ 비로 구조를 먼저 정하고, 첫 봉우리 위치로 a를 맞춰라. 일치도 90% 이상이면 성공.

어떤 금속 분말의 Cu Kα1 회절 봉우리가 $2\theta = 38.47°, 44.72°, 65.10°, 78.23°$에 있다. 결정 구조와 격자 상수를 구하라.

풀이 보기

전략 $\sin^2\theta$를 구해 정수비를 찾고 표와 비교한다.

풀이 $\sin^2\theta = 0.10855,\ 0.14474,\ 0.28947,\ 0.39802$. 첫 값으로 나누고 3을 곱하면 $3.000 : 4.000 : 8.00 : 11.00$ → $N = 3, 4, 8, 11$ → fcc의 (111), (200), (220), (311). $a = \lambda\sqrt{N}/(2\sin\theta)$: (311)에서 $a = 0.15406\times\sqrt{11}/(2\times0.63089) = 0.4050$ nm.

fcc, a = 0.4050 nm (알루미늄)

검토 정수비가 3 : 8로 시작했다면 다이아몬드, 2 : 4(1 : 2)면 bcc나 sc다. 격자 상수는 고각 봉우리에서 구하는 것이 정확하다($\theta$가 클수록 $d$의 각도 오차가 작다).

봉우리 폭과 결정립 크기: 셰러 식

1절에서 본 대로 봉우리 폭은 반사에 참여하는 면 수 $N$에 반비례한다. 결정립 두께가 $D = Nd$이면 봉우리 반치폭(라디안, $2\theta$ 눈금)은 대략 $\lambda/(D\cos\theta)$이다. 정확한 비례 상수까지 넣은 식이 셰러 식(Scherrer equation)이다.

$$D = \frac{K\lambda}{\beta\cos\theta}$$

$\beta$: 결정립 크기 때문에 넓어진 반치폭($2\theta$ 눈금, 라디안), $K \approx 0.9$(결정립 모양에 따라 0.89–0.94), $\theta$: 브래그 각. 측정 폭 $\beta_\text{m}$에서 장비 폭 $\beta_\text{i}$를 빼야 한다(가우스형이면 $\beta^2 = \beta_\text{m}^2 - \beta_\text{i}^2$). 미세 변형도 폭을 넓히므로($\propto\tan\theta$), 여러 봉우리로 둘을 나누는 방법(윌리엄슨–홀 그림)을 쓴다. 대략 100 nm 넘는 결정립은 장비 폭에 묻혀 재기 어렵다.

결정립 속 면 수 N

MINI LABSi (111) 면 $N$장에서 반사된 파를 정확히 더한 세기(라우에 간섭 함수 $\sin^2(N\delta/2)/\sin^2(\delta/2)$, 최댓값 1로 맞춤). 반치폭에서 셰러 식으로 되돌려 구한 크기를 실제 두께 $Nd$와 비교해 보라. 주변의 작은 물결이 유한한 두께의 흔적이다.

2θ = 28.44의 봉우리에서 장비 폭을 뺀 반치폭이 0.39이면, Cu Kα1(0.15406 nm), $K = 0.9$로 결정립 크기는 $D =$ 다.

LPCVD로 증착한 다결정 실리콘 박막의 (111) 봉우리($2\theta = 28.44°$)의 측정 반치폭이 0.40°, 같은 장비로 잰 표준 시료의 폭이 0.10°였다. 결정립 크기를 구하라($K = 0.9$, 가우스형 폭 보정).

풀이 보기

전략 폭을 제곱으로 빼고 라디안으로 바꿔 셰러 식에 넣는다.

풀이 $\beta = \sqrt{0.40^2 - 0.10^2} = 0.387°= 6.76\times10^{-3}$ rad. $\cos 14.22° = 0.9694$. $D = 0.9\times0.15406/(6.76\times10^{-3}\times0.9694) = 21.2$ nm.

D ≈ 21 nm

검토 장비 폭을 빼지 않으면 20.5 nm로 3% 작게 나온다. 결정립이 클수록 보정의 영향이 커진다. 실제 다결정 Si 결정립은 기둥 모양이라 박막 수직 방향 크기만 이 값으로 잰다.

박막이 결정인지, 결정립이 얼마나 큰지

증착 직후의 비정질 실리콘이 어닐링으로 다결정이 되었는지, 텅스텐·구리 배선이나 high-k HfO₂가 어떤 상(단사정·정방정·사방정)으로 결정화되었는지는 스침각 XRD(GIXRD)의 θ–2θ 패턴으로 본다. 강유전성 HfZrO 메모리는 사방정 봉우리(약 30.5°)의 세기로, 배선 구리는 (111) 우선 방위와 셰러 결정립 크기로 관리한다. 결정립이 작을수록 배선 저항이 커진다(7장). → ProcessBook · 박막 증착

고분해능 XRD: SiGe 에피층의 조성과 변형

현대 로직 공정에서 XRD가 가장 바쁘게 일하는 곳은 에피 SiGe다. PMOS 소스·드레인을 SiGe로 채워 채널을 압축 변형시키고, 게이트 올 어라운드(GAA) 나노시트는 Si/SiGe를 번갈아 쌓은 초격자에서 시작한다. 이때 Ge 조성 $x$가 1% 틀리면 식각 선택비와 변형이 달라진다. 고분해능 X선 회절(high-resolution XRD, HRXRD)은 단결정 분광기로 파장 퍼짐과 빔 발산을 수 각초로 줄여, 기판 봉우리와 에피층 봉우리 사이의 각도 차이 $\Delta\omega$를 0.001° 수준으로 잰다.

베가드 법칙과 정방 변형

Si₁₋ₓGeₓ 합금의 격자 상수는 Si(0.5431 nm)와 Ge(0.5658 nm) 사이에서 거의 직선으로 변한다(베가드 법칙(Vegard's law)). 실제로는 약간 아래로 휘어서, 다음 보정식(Dismukes 1964)을 많이 쓴다.

$$a_\text{SiGe}(x) = 0.54310 + 0.01992\,x + 0.002733\,x^2\ \ \text{nm}$$

$x = 1$에서 0.5658 nm(Ge). 직선 보간보다 $x = 0.5$에서 0.0007 nm(0.13%) 작다. 격자 불일치 $f = (a_\text{SiGe} - a_\text{Si})/a_\text{Si} \approx 0.042x$.

얇은 SiGe를 Si(001) 기판 위에 키우면, 면 안의 격자 상수가 기판에 맞춰 $a_\parallel = a_\text{Si}$로 눌린다(의사 정합(pseudomorphic) 성장). 면 안에서 눌린 결정은 푸아송 효과로 위아래로 늘어나 정육면체가 정방(tetragonal) 상자가 된다. (001) 면의 2축 변형에 대해 탄성론(3장)은

$$\varepsilon_\perp = -\frac{2C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_\parallel, \qquad \varepsilon_\parallel = \frac{a_\parallel - a_\text{SiGe}}{a_\text{SiGe}},\quad a_\perp = a_\text{SiGe}(1 + \varepsilon_\perp)$$

Si: $C_{11} = 165.7$, $C_{12} = 63.9$ GPa($2C_{12}/C_{11} = 0.771$). Ge: 128.5, 48.3 GPa. SiGe는 조성으로 선형 보간한다. 두께가 임계 두께를 넘으면 계면에 부정합 전위가 생겨 층이 일부 완화된다. 완화도(degree of relaxation) $R = (a_\parallel - a_\text{Si})/(a_\text{SiGe} - a_\text{Si})$: 완전 변형 0, 완전 완화 1.

Si 기판의 정육면체 셀.
Ge가 섞인 SiGe는 자유 상태에서 더 큰 정육면체다($x = 0.3$이면 1.15% 크다).
얇게 키우면 면 안은 기판에 맞춰 눌리고, 그 대가로 위아래는 더 늘어난다($x = 0.3$: $a_\perp$가 Si보다 2.0% 크다). (004) 반사는 $a_\perp$만 본다.
두껍게 키우면 계면에 부정합 전위가 생기며 원래 정육면체로 돌아간다. 면 안 격자 상수 $a_\parallel$을 보려면 면에 비스듬한 (224) 같은 비대칭 반사가 필요하다.

에피층의 변형 상태. 대칭 반사 하나만으로는 "조성이 높고 완화된 층"과 "조성이 낮고 변형된 층"을 구별할 수 없다 — 그래서 HRXRD는 (004)와 (224)를 함께 잰다.

대칭 (004) 반사는 표면에 평행한 면 간격 $d_{004} = a_\perp/4$만 본다. 기판과 층의 브래그 각 차이가 로킹 곡선의 봉우리 간격이다. 미분하면

$$\Delta\omega_{004} = \theta_\text{층} - \theta_\text{기판} \approx -\frac{\Delta d}{d}\tan\theta_B, \qquad \theta_B^{\,\text{Si}(004)} = 34.565°\ (\text{Cu K}\alpha_1)$$

층의 $d$가 크므로 층 봉우리는 기판보다 낮은 각(음의 $\Delta\omega$)에 있다. 비대칭 (224) 반사는 면이 표면과 $\varphi = 35.26°$ 기울어 있어서, 스침 입사($\omega = \theta_B - \varphi$)와 스침 출사($\omega = \theta_B + \varphi$) 두 기하에서 잰 $\Delta\omega$로 $a_\parallel$과 $a_\perp$를 함께 푼다. 역공간 지도(RSM)는 $\vec G_{224}$의 면내 성분 $Q_\parallel$과 수직 성분 $Q_\perp$를 2차원으로 직접 그린다.

Ge 조성 $x =$ 0.300인 SiGe의 자유 격자 상수는 , 불일치는 $f =$ 다. Si(001) 위에 완전 변형으로 키우면 $a_\perp =$ 이고, Cu Kα1 (004) 로킹 곡선에서 층 봉우리는 기판보다 $\Delta\omega =$ 떨어져 나타난다. 매슈스–블레이크슬리 임계 두께(평형값)는 약 다. 저온에서 빠르게 키우면 이보다 몇 배 두꺼워도 준안정 상태로 변형이 유지된다.

같은 Ge 30% 층이라도 완전 변형(R = 0)일 때와 완전 완화(R = 1)일 때, (004) 로킹 곡선의 층 봉우리는 기판에서 어느 쪽이 더 멀리 떨어질까?

완전 변형이면 면 안이 눌린 만큼 위아래가 늘어나 $a_\perp$가 자유 격자 상수보다 더 크다(0.5541 대 0.5493 nm). 그래서 $\Delta\omega_{004}$는 −2806″ 대 −1605″다. (004)만 보고 완화를 모른 채 조성을 구하면 크게 틀린다.

SIMULATOR

SiGe/Si(001) 로킹 곡선과 역공간 지도

층 점(주황)을 끌어 조성·완화도를 바꾼다

Ge 조성 x 완화도 R 층 두께 t

반사

역산 문제

미지 층의 곡선(점선)과 지도 점(◇)에 내 층을 겹쳐 x와 R을 맞혀라.

a∥ / a⊥—

Δω (004)—

Δω (224) 입사 / 출사—

임계 두께 h_c—

해볼 것: ① R = 0에서 x만 바꾸면 지도의 층 점이 기판 바로 아래 세로선(완전 변형선)을 따라 움직인다. R을 1로 올리면 원점을 지나는 대각선(완전 완화선)으로 옮겨 간다. ② 두께를 키우면 층 봉우리가 좁아지고 두께 무늬의 간격이 좁아진다. ③ (004)만 보면 구별이 안 되는 두 층(예: x = 0.30, R = 0.5와 x ≈ 0.24, R = 0)을 (224)로 구별해 보라. ④ 역산 문제를 풀어 보라.

Si(001) 위 SiGe 층의 Cu Kα1 (004) 로킹 곡선에서 층 봉우리가 기판보다 $\Delta\omega = -2806″$ 떨어져 있다. 역공간 지도로 층이 완전 변형($R = 0$)임을 확인했다. $2C_{12}/C_{11} = 0.766$(조성 0.3 근처 보간값)을 써서 Ge 조성을 구하라.

풀이 보기

전략 층의 브래그 각 → $d_{004}$ → $a_\perp$. 완전 변형이므로 $a_\parallel = a_\text{Si}$. $a_\perp = a_L[1 - 0.766(a_\text{Si} - a_L)/a_L]$를 $a_L$에 대해 풀고, 보정 베가드 식을 $x$에 대해 푼다.

풀이 $\theta_\text{층} = 34.5646° - 0.7794° = 33.7851°$. $d = 0.15406/(2\sin33.7851°) = 0.138523$ nm → $a_\perp = 0.55409$ nm. $a_\perp = a_L + 0.766(a_L - a_\text{Si})$ → $a_L = (a_\perp + 0.766\,a_\text{Si})/1.766 = 0.54932$ nm. $0.002733x^2 + 0.01992x = 0.00622$ → $x = 0.300$.

x ≈ 0.30 (Si₀.₇Ge₀.₃)

검토 완화를 무시하고 $a_\perp$를 그대로 자유 격자 상수로 쓰면 $x \approx 0.52$라는 엉터리 답이 나온다. 변형 상태를 먼저 알아야 하는 이유다.

인라인 XRD 계측

300 mm 팹의 인라인 HRXRD는 패턴이 있는 웨이퍼의 50 µm 크기 시험 패드에서 수 분 안에 (004) 로킹 곡선과 (224) RSM을 찍어 SiGe 소스·드레인의 Ge 조성(±0.5%), 두께, 완화도를 매 로트 관리한다. 소스·드레인 SiGe의 Ge가 높을수록 채널 압축 응력이 커져 PMOS 구동 전류가 오르지만, 임계 두께를 넘겨 완화되면 응력이 사라지고 누설이 생긴다. → ProcessBook · 계측·결함·수율

나노시트 초격자의 위성 봉우리

GAA 나노시트는 Si와 SiGe(Ge 25–35%)를 각각 5–10 nm씩 3–4쌍 쌓은 초격자에서 시작한다. 주기 $\Lambda$인 초격자는 $2\pi/\Lambda$ 간격의 새로운 역격자점(위성 봉우리)을 만들므로, 로킹 곡선의 위성 간격으로 주기를, 평균 봉우리 위치로 평균 조성을 읽는다. 나중에 SiGe를 선택 식각해 시트를 띄울 때 식각 속도가 Ge 조성에 민감하다. → ProcessBook · 첨단 소자 공정

핵심 정리

간격 $d$인 원자면의 반사는 경로차 $2d\sin\theta$가 파장의 정수배일 때 강하다: $2d\sin\theta = n\lambda$. 입방정 $d_{hkl} = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$, 회절계 눈금은 $2\theta$다. 면이 $N$장이면 봉우리 폭은 $1/N$에 비례한다.
역격자 $\vec b_i$는 $\vec a_i\cdot\vec b_j = 2\pi\delta_{ij}$로 정의되고, $\vec G_{hkl}$은 $(hkl)$ 면에 수직이며 $|\vec G_{hkl}| = 2\pi/d_{hkl}$이다. fcc의 역격자는 bcc, bcc의 역격자는 fcc다.
라우에 조건 $\vec k' - \vec k = \vec G$는 브래그 법칙과 같다. 에발트 구(중심 C, 반지름 $2\pi/\lambda$) 위의 역격자점마다 회절 빔이 나간다. 라우에법·회전 결정법·분말법은 구에 점을 걸리게 하는 세 방법이다.
브릴루앙 영역은 역격자의 위그너–자이츠 셀이고, 그 경계는 브래그 반사가 일어나는 파수다. fcc 결정의 영역은 깎은 팔면체: Γ(0,0,0), X(1,0,0), L(½,½,½), K(¾,¾,0) (2π/a 단위).
구조 인자 $F_{hkl} = \sum f_j e^{2\pi i(hx_j+ky_j+lz_j)}$. bcc는 $h+k+l$ 짝수, fcc는 모두 홀수 또는 모두 짝수만 반사. 다이아몬드는 여기에 더해 $h+k+l = 4m+2$인 (200)·(222)가 금지되고, 섬아연석에서는 $4|f_A - f_B|$로 약하게 살아난다.
분말 패턴은 $\sin^2\theta \propto h^2+k^2+l^2$의 정수비로 지수화한다(fcc 3:4, 다이아몬드 3:8, bcc 2:4). 세기에는 $|F|^2$, 다중도, 로런츠–편광 인자, 디바이–월러 인자가 곱해진다. 셰러 식 $D = K\lambda/(\beta\cos\theta)$로 결정립 크기를 구한다.
SiGe/Si(001) 에피층은 면 안이 눌려 $a_\perp$가 커진다($\varepsilon_\perp = -2C_{12}\varepsilon_\parallel/C_{11}$). (004) 로킹 곡선은 $a_\perp$만, (224)는 $a_\parallel$까지 본다. 둘을 함께 쓰면 Ge 조성과 완화도가 동시에 정해진다.

연습문제

Cu Kα1 $\lambda = 0.15406$ nm, $a_\text{Si} = 0.5431$ nm, $\hbar^2/2m_e = 0.0381$ eV·nm². SiGe 격자 상수는 본문의 보정 베가드 식을 쓴다. 각도는 도(°), 답이 ±1% 이내면 정답이다.

면 간격 0.200 nm인 면 무리에서 Cu Kα1 1차 반사가 일어나는 브래그 각 $\theta$는?

$\sin\theta = 0.15406/(2\times0.200) = 0.38515$ → $\theta = 22.65°$ ($2\theta = 45.31°$).

구리(fcc, $a = 0.3615$ nm)의 (220) 면 간격은?

$d = 0.3615/\sqrt{8} = 0.1278$ nm.

bcc 금속(예: 텅스텐)의 분말 회절에서 나타나지 않는 반사는?

bcc는 $h+k+l$이 짝수인 반사만 있다. (111)은 합이 3(홀수)이라 $F = f(1 + e^{3\pi i}) = 0$.

그래핀의 육방 격자 상수는 $a = 0.246$ nm이다($\vec a_1 = a(1, 0)$, $\vec a_2 = a(\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2})$). 역격자 기본 벡터의 길이 $|\vec b_1|$은?

2차원에서 $\vec b_1$은 $\vec a_2$에 수직이고 $\vec a_1\cdot\vec b_1 = 2\pi$이다.

$\vec b_1 \perp \vec a_2$이고 $\vec a_1$과 30°를 이루므로 $|\vec a_1||\vec b_1|\cos30° = 2\pi$ → $|\vec b_1| = 4\pi/(\sqrt3 a) = 4\pi/(1.732\times0.246) = 29.5$ nm⁻¹.

GaAs($a = 0.56533$ nm)의 브릴루앙 영역에서 Γ점과 L점 사이 거리는?

L = (2π/a)(½,½,½) → 거리 $\sqrt3\pi/a = 5.441/0.56533 = 9.63$ nm⁻¹.

실리콘 단결정에서 어떤 반사라도 일어날 수 있는 가장 긴 X선 파장은? (실리콘에서 실제로 나타나는 가장 큰 $d$는 $d_{111}$이다.)

$|\vec G| \le 2k$, 곧 $\lambda \le 2d$.

$\lambda_\text{max} = 2d_{111} = 2\times0.5431/\sqrt3 = 0.627$ nm. 이보다 긴 파장에서는 에발트 구가 너무 작아 원점 외의 역격자점에 닿지 못한다. (200)이 금지라서 (111)이 가장 큰 $d$다.

실리콘의 다음 반사 가운데 구조 인자가 0인 것은?

(222)는 모두 짝수이고 $h+k+l = 6 = 4\cdot1+2$라 기저 인자 $1+e^{3\pi i} = 0$. (400)은 $h+k+l = 4$라 $|F|^2 = 64f^2$로 강하다. 다만 실제 Si에서는 결합 전자의 비대칭 때문에 (222)가 아주 약하게($10^{-3}$ 정도) 보인다.

섬아연석 InP에서 $f \approx Z$(In 49, P 15)로 근사할 때 $|F_{200}|^2/|F_{220}|^2$은?

$(49-15)^2/(49+15)^2 = 1156/4096 = 0.282$.

저마늄($a = 0.5658$ nm)의 (220) 봉우리는 Cu Kα1으로 $2\theta$ 몇 도에 나타나는가?

$d_{220} = 0.5658/\sqrt8 = 0.20004$ nm, $\sin\theta = 0.15406/0.40008 = 0.38507$ → $\theta = 22.648°$, $2\theta = 45.30°$. Si(47.30°)보다 2° 낮다.

bcc인 텅스텐 분말의 첫 봉우리가 Cu Kα1로 $2\theta = 40.26°$에 있다. 격자 상수는?

bcc의 첫 반사는 (110)이다.

$d_{110} = 0.15406/(2\sin20.13°) = 0.15406/0.68836 = 0.22381$ nm. $a = d\sqrt2 = 0.3165$ nm.

$2\theta = 40.0°$인 봉우리의 (장비 폭을 뺀) 반치폭이 0.25°다. $K = 0.9$, Cu Kα1으로 결정립 크기는?

$\beta = 0.25° = 4.363\times10^{-3}$ rad, $\cos20° = 0.9397$. $D = 0.9\times0.15406/(4.363\times10^{-3}\times0.9397) = 33.8$ nm.

HfO₂ 박막의 $2\theta = 32.0°$ 봉우리의 측정 반치폭이 0.30°, 장비 폭이 0.12°다(둘 다 가우스형). $K = 0.9$, Cu Kα1으로 결정립 크기는?

$\beta = \sqrt{0.30^2 - 0.12^2} = 0.2750° = 4.799\times10^{-3}$ rad. $\cos16° = 0.9613$. $D = 0.9\times0.15406/(4.799\times10^{-3}\times0.9613) = 30.1$ nm. 보정하지 않으면 27.6 nm로 8% 작게 나온다.

Si₀.₇₅Ge₀.₂₅의 자유 격자 상수와 Si에 대한 격자 불일치(%)는?

$a = 0.54310 + 0.01992(0.25) + 0.002733(0.25)^2 = 0.54310 + 0.004980 + 0.000171 = 0.54825$ nm. $f = 0.00515/0.5431 = 0.948\%$.

Si₀.₈Ge₀.₂ 층을 Si(001) 위에 완전 변형으로 키웠다. $2C_{12}/C_{11} = 0.768$일 때 $a_\perp$와 Cu Kα1 (004) 로킹 곡선의 $\Delta\omega$(각초, ″)를 구하라. Si(004)의 브래그 각은 34.5646°다.

$a_L = 0.54719$ nm. $a_\perp = a_L[1 - 0.768(a_\text{Si} - a_L)/a_L]$.

$a_L = 0.547193$ nm, $\varepsilon_\parallel = (0.54310 - 0.547193)/0.547193 = -7.48\times10^{-3}$, $\varepsilon_\perp = +5.745\times10^{-3}$ → $a_\perp = 0.55034$ nm. $d_{004} = 0.137584$ nm, $\sin\theta = 0.55987$ → $\theta = 34.0471°$. $\Delta\omega = (34.0471 - 34.5646)\times3600 = -1863″$.

(004)와 (224) 측정으로 SiGe/Si(001) 층의 $a_\parallel = 0.54621$ nm, $a_\perp = 0.55171$ nm를 얻었다. $2C_{12}/C_{11} = 0.766$으로 Ge 조성 $x$와 완화도 $R$을 구하라.

$a_\perp - a_L = -0.766(a_\parallel - a_L)$에서 $a_L = (a_\perp + 0.766\,a_\parallel)/1.766$.

$a_L = (0.55171 + 0.766\times0.54621)/1.766 = 0.54932$ nm. $0.002733x^2 + 0.01992x - 0.00622 = 0$ → $x = 0.300$. $R = (0.54621 - 0.54310)/(0.54932 - 0.54310) = 0.50$. 절반쯤 완화된 Si₀.₇Ge₀.₃다.

개념 확인 퀴즈

역격자 벡터 $\vec G_{hkl}$에 대해 옳은 것은?

역격자점 하나가 면 무리 하나를 나타낸다. 기저는 방향이 아니라 그 점의 세기(구조 인자)를 정한다.

에발트 구 그림에서 회절이 일어나는 조건은?

구 위의 점 $\vec G$에 대해 $\vec k' = \vec k + \vec G$의 크기가 $k$와 같아 탄성 산란과 라우에 조건을 동시에 만족한다.

fcc 금속에서는 보이는 (200) 반사가 같은 fcc 격자를 가진 실리콘에서 사라지는 이유는?

기저 인자 $1 + e^{i\pi(h+k+l)/2}$가 $h+k+l = 2$에서 0이다. 격자(fcc)가 같아도 기저가 회절 패턴을 바꾼다.

분말 회절 봉우리가 넓어지는 원인이 아닌 것은?

봉우리 폭은 면 수에 반비례한다. 결정립이 크면 크기 때문의 폭은 장비 폭보다 작아져 보이지 않는다. 셰러 식은 대략 100 nm 이하에서 쓸모 있다.

Si(001) 위 SiGe 층의 (004) 로킹 곡선만으로 Ge 조성을 정할 수 없는 이유는?

완화도를 모르면 "고조성·완화"와 "저조성·변형"이 같은 $a_\perp$를 줄 수 있다. 비대칭 (224)로 $a_\parallel$을 함께 재야 한다.