Chapter 12

결정 속 전자와 에너지 띠

실리콘 결정 1 cm³에는 원자가 5×10²²개 있다. 그런데 그 속의 전자는 원자 하나하나에 부딪히며 비틀거리지 않고, 마치 거의 자유로운 입자처럼 수백 nm를 미끄러져 간다. 비밀은 주기성이다. 완전히 규칙적인 퍼텐셜 속에서 전자의 파동은 산란되지 않는 블로흐 파가 되고, 그 대가로 에너지는 허용된 띠와 금지된 띠 간격으로 갈라진다. 이 장은 양자역학에서 반도체 소자로 넘어가는 다리다. 아래 화면에서 결정 속 전자의 파동과 그 에너지 띠를 먼저 보자.

E(k)를 눌러 상태 선택

결정의 격자·단위 세포·격자 상수를 설명하고, 실리콘(다이아몬드 구조, $a = 0.543$ nm)의 원자 밀도를 계산한다.
블로흐 정리 $\psi_k = u_k(x)e^{ikx}$의 의미와 결정 운동량 $\hbar k$, 브릴루앙 영역을 설명한다.
크로니히–페니 모형의 분산 관계 $\cos kd = f(E)$로 허용 띠와 띠 간격을 구하고, 띠 간격이 영역 경계의 브래그 반사에서 생긴다는 것을 보인다.
강결합 띠 $E = E_0 - 2t\cos ka$로 띠 폭과 유효 질량을 계산하고, 전자 수로 금속·반도체·절연체를 가른다.
군속도 $v = \hbar^{-1}dE/dk$, 유효 질량 $m^* = \hbar^2/(d^2E/dk^2)$, 준고전 운동 $\hbar\,dk/dt = -qF$, 정공의 개념을 쓴다.
실리콘의 6개 Δ 계곡($m_l, m_t$), 무거운·가벼운 정공, 직접·간접 띠 간격과 그 온도 의존을 소자와 연결한다.

결정과 주기 퍼텐셜

결정은 같은 원자 배열이 3차원으로 끝없이 되풀이되는 고체다. 되풀이의 뼈대가 되는 점들의 집합을 격자(lattice), 각 격자점에 붙는 원자 묶음을 기저(basis)라 한다. 결정 전체를 빈틈없이 채우며 반복되는 가장 작은 덩어리가 기본 단위 세포(primitive cell)이고, 대칭을 보기 쉽게 고른 더 큰 덩어리가 관습적 단위 세포(unit cell)다. 단위 세포 한 변의 길이가 격자 상수(lattice constant) $a$다.

실리콘·저마늄·다이아몬드는 다이아몬드 구조(diamond structure)를 가진다. 면심 입방(FCC) 격자의 각 점에 원자 두 개(하나는 $(0,0,0)$, 다른 하나는 $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)a$)를 붙인 꼴이다. GaAs는 같은 뼈대에 두 자리를 Ga와 As가 나눠 앉은 섬아연석 구조다. 11장에서 본 sp³ 혼성 오비탈이 정사면체 결합 네 개를 만드는 이유가 바로 이 구조다.

실리콘의 다이아몬드 구조. 원자마다 이웃 네 개와 정사면체 결합(회색 막대)을 이룬다. 이 장의 수식 대부분은 오른쪽 아래처럼 3차원 결정을 한 방향으로 자른 1차원 사슬에서 유도하고, 마지막 절에서 3차원으로 돌아간다.

전자가 느끼는 퍼텐셜 에너지는 원자핵과 다른 전자들이 만드는 평균 퍼텐셜이다. 원자가 주기적으로 늘어서 있으므로 퍼텐셜도 주기 함수다.

$$V(x + a) = V(x) \qquad (\text{3차원: } V(\vec r + \vec R) = V(\vec r),\ \vec R = n_1\vec a_1 + n_2\vec a_2 + n_3\vec a_3)$$

$\vec R$은 격자 벡터. 결정 속 전자 하나의 문제는 "이 주기 퍼텐셜 속의 1전자 슈뢰딩거 방정식"으로 바뀐다(다른 전자의 영향은 평균장에 넣는다).

원자들이 멀리 떨어져 있으면 각 원자의 깊은 우물 사이에 높은 장벽이 있어 전자는 자기 원자에 묶인다(5장의 유한 우물). 원자를 가까이 모으면 이웃 퍼텐셜이 겹쳐 장벽이 낮아지고, 바깥 껍질 전자는 장벽을 터널링하거나 아예 넘어 결정 전체로 퍼진다. 아래 미니 실험으로 이 변화를 보자.

원자 간격 a 원자 하나의 퍼텐셜(점선)

MINI LAB가려진 쿨롱 퍼텐셜을 가진 원자를 간격 $a$로 늘어놓은 합(실선). 수평선은 바깥 껍질 준위(−10 eV)이고, 색칠한 곳은 고전적으로 전자가 있을 수 있는 영역이다. 간격을 줄이면 원자 사이 장벽 꼭대기가 준위 아래로 내려가 색칠한 영역이 하나로 이어진다 — 전자는 더 이상 한 원자의 것이 아니다.

격자 상수가 0.543인 다이아몬드 구조 결정은 단위 세포에 원자 8개가 있으므로 원자 밀도가 다. 이 간격의 1차원 사슬이라면 전자 파동이 격자에 맞아떨어지는 파수는 $\pi/a =$ (파장 $2a$ = )이고, 그 파수의 자유 전자 에너지는 $\hbar^2(\pi/a)^2/2m_e =$ 다.

실리콘의 격자 상수는 $a = 0.5431$ nm이다. (a) 원자 밀도(cm⁻³), (b) 최근접 원자 거리, (c) 이 간격의 1차원 사슬에서 $k = \pi/a$인 자유 전자의 에너지를 구하라. $\hbar^2/2m_e = 0.0381$ eV·nm².

풀이 보기

전략 단위 세포에 원자 8개, 단위 세포 부피 $a^3$. 최근접 이웃은 $(0,0,0)$과 $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)a$ 사이.

풀이 (a) $a^3 = (0.5431\times10^{-7}\,\text{cm})^3 = 1.602\times10^{-22}$ cm³ → $n = 8/a^3 = 4.99\times10^{22}$ cm⁻³. (b) $d = \sqrt3 a/4 = 0.235$ nm. (c) $\pi/a = 5.785$ nm⁻¹, $E = 0.0381\times(5.785)^2 = 1.27$ eV.

n = 4.99 × 10²² cm⁻³, d = 0.235 nm, E(π/a) = 1.27 eV

검토 원자 밀도는 표준값 5.0×10²² cm⁻³와 같다. 1.27 eV는 Si 띠 간격(1.12 eV)과 같은 크기 — 격자 간격의 전자 파동이 eV 단위의 에너지를 가진다는 것이 띠 구조가 eV 규모인 이유다.

격자 상수 0.543 nm가 말해 주는 것

도핑 농도 $10^{16}$ cm⁻³은 실리콘 원자 $5\times10^{22}/10^{16} = 5\times10^6$개 중 하나만 바꾸는 셈이다. 이렇게 묽은 불순물이 전도도를 수백만 배 바꿀 수 있는 이유가 이 장과 다음 DeviceBook의 주제다. 또 Ge의 격자 상수(0.5658 nm)는 Si보다 4.2% 커서, Si 위에 SiGe를 키우면 격자가 눌려 변형된다. 이 변형이 띠 구조를 바꾸어 이동도를 높인다(뒤의 유효 질량 절). 결정 구조, 면 지수, 웨이퍼 방향은 DeviceBook · 결정과 에너지 띠에서 이어진다.

블로흐 정리

퍼텐셜이 주기 $a$로 반복되면, 결정을 $a$만큼 옮겨도 물리는 똑같다. 따라서 전자를 찾을 확률도 $|\psi(x+a)|^2 = |\psi(x)|^2$이어야 하고, 파동함수 자체는 기껏해야 크기 1인 위상 인자만큼 달라질 수 있다. 그 위상을 $e^{ika}$로 쓰면 결정 속 고유 상태의 모양이 정해진다.

블로흐 정리

주기 퍼텐셜 $V(x+a) = V(x)$ 속 슈뢰딩거 방정식의 고유 상태는 다음 꼴로 쓸 수 있다.

$$\psi_{nk}(x) = u_{nk}(x)\,e^{ikx}, \qquad u_{nk}(x+a) = u_{nk}(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \psi_{nk}(x+a) = e^{ika}\psi_{nk}(x)$$

$k$는 결정 운동량(crystal momentum) $\hbar k$를 정하는 파수, $n$은 띠 번호다.

블로흐 함수(Bloch function)는 자유 전자의 평면파 $e^{ikx}$에 격자와 같은 주기로 출렁이는 함수 $u_k$를 곱한 것이다. 평면파 부분은 전자가 결정 전체에 퍼져 있다는 것을, $u_k$ 부분은 원자 근처에서 파동이 원자 오비탈처럼 일그러진다는 것을 담는다. $|\psi|^2 = |u_k|^2$은 모든 단위 세포에서 똑같다 — 완전한 결정 속 블로흐 전자는 산란되지 않는다. 저항은 주기성을 깨는 것(격자 진동, 불순물, 결함)에서만 생긴다.

자유 전자의 평면파. 파장은 $2\pi/k$로, 여기서는 격자 상수의 4배다.
격자와 같은 주기의 함수 $u_k(x)$. 원자(회색 점) 근처에서 크고 원자 사이에서 작다.
둘을 곱한 블로흐 함수. 평면파가 $u_k$를 따라 일그러지지만, 셀에서 셀로 넘어갈 때 바뀌는 것은 위상 $e^{ika}$뿐이다.

블로흐 함수의 구조. 점선은 $\pm u_k$ 포락선이다.

k는 어디까지 의미가 있나: 브릴루앙 영역

$k$에 $G = 2\pi/a$를 더해도 $e^{i(k+G)a} = e^{ika}$이므로 블로흐 조건은 그대로다. 실제로 $\psi = u_k e^{ikx} = (u_k e^{-iGx})e^{i(k+G)x}$로 고쳐 쓰면 괄호 안도 주기 함수이므로, $k$와 $k+G$는 같은 상태를 두 가지로 이름 붙인 것에 불과하다. 그래서 $k$는 길이 $2\pi/a$인 구간 하나만 보면 충분하고, 보통 원점을 중심으로

$$-\frac{\pi}{a} < k \le \frac{\pi}{a} \qquad (\text{제1 브릴루앙 영역})$$

$G = 2\pi n/a$를 역격자 벡터(reciprocal lattice vector)라 한다. 영역 경계 $k = \pm\pi/a$가 뒤에서 띠 간격이 열리는 자리다.

$\hbar k$는 진짜 운동량이 아니다(블로흐 함수는 운동량 연산자의 고유 함수가 아니다). 하지만 외력에 대해 운동량처럼 반응하므로 결정 운동량이라 부른다. 길이 $L = Na$인 결정에 주기 경계 조건 $\psi(x+L) = \psi(x)$를 주면 $k = 2\pi m/(Na)$로 띄엄띄엄해지고, 영역 안에 정확히 $N$개의 $k$가 들어간다. 즉 띠 하나에는 단위 세포 수만큼의 궤도 상태, 스핀까지 $2N$개의 자리가 있다.

SIMULATOR

블로흐 파동함수 해부: k를 끌어 보라

점을 끌어 k를 바꾼다

파수 k

띠 번호 n

퍼텐셜 세기 U Re ψ (시간에 따라 진동) |ψ|² (확률 밀도) Re u_k (주기 부분) Re e^ikx (평면파 부분)

에너지 E—

셀당 위상 ka—

평면파 파장 2π/|k|—

|ψ|² 이온 위 : 사이—

퍼텐셜은 $V(x) = -2U\cos(2\pi x/a)$, $a = 0.5$ nm(회색 점 = 이온, 퍼텐셜 최저점). 고유 상태는 평면파 13개를 섞어 정확히 푼다. 해볼 것: ① U = 0이면 |ψ|²가 평평한 자유 전자다. ② k = 0의 1번 띠는 이온 위에, 2번 띠는 이온 사이에 전자가 몰린다. ③ k를 ±1(영역 경계)로 보내면 Re ψ가 진행하지 않고 제자리에서 진동하는 정상파가 된다 — 다음 절의 띠 간격이 여기서 생긴다.

$a = 0.500$ nm인 1차원 사슬에 원자가 $N = 1000$개 있고 주기 경계 조건을 쓴다. (a) 허용되는 $k$의 간격과 한 띠의 상태 수(스핀 포함)는? (b) $k = \pi/3a$인 블로흐 상태에서 한 셀 옮길 때 위상 변화와, 파동함수가 정확히 같아지는 최소 이동 거리는?

풀이 보기

전략 $e^{ikNa} = 1$ → $k = 2\pi m/Na$. 영역 길이 $2\pi/a$를 간격으로 나눈다. (b)는 $e^{ika}$의 위상 $ka$.

풀이 (a) $\Delta k = 2\pi/(Na) = 2\pi/500\ \text{nm} = 1.26\times10^{-2}$ nm⁻¹, 상태 수 $(2\pi/a)/\Delta k = N = 1000$, 스핀 포함 2000. (b) $ka = \pi/3$ = 60°. $e^{ikna} = 1$이려면 $n\cdot60^\circ = 360^\circ$ → $n = 6$셀, 즉 3.00 nm.

(a) Δk = 1.26 × 10⁻² nm⁻¹, 2000개 (b) 60°, 6셀 = 3.00 nm

검토 3.00 nm는 평면파 파장 $2\pi/k = 6a$와 같다. 1 mm 결정이면 $N \approx 2\times10^6$이라 $k$는 사실상 연속 변수다.

크로니히–페니 모형

블로흐 정리는 상태의 모양만 알려 준다. 에너지를 구하려면 실제 퍼텐셜을 넣어 풀어야 한다. 1931년 크로니히와 페니는 원자 하나를 폭 $a$인 우물(퍼텐셜 0), 원자 사이를 폭 $b$, 높이 $V_0$인 장벽으로 바꾼 사각 퍼텐셜을 골랐다. 구간마다 해가 단순한 지수 함수라서(5·6장) 손으로 끝까지 풀 수 있는 가장 간단한 결정이다.

크로니히–페니 퍼텐셜. 한 주기 안에서 우물과 장벽의 해를 경계에서 이어 붙이고(ψ와 ψ′ 연속), 다음 주기로 넘어갈 때는 블로흐 조건 $\psi(x+d) = e^{ikd}\psi(x)$를 쓴다.

미지수 $A, B, C, D$ 네 개에 경계 조건 네 개(우물–장벽 경계에서 $\psi, \psi'$ 연속, 장벽–다음 우물 경계에서 블로흐 조건을 쓴 $\psi, \psi'$ 연속)가 걸린다. 자명하지 않은 해가 있으려면 4×4 행렬식이 0이어야 하고, 정리하면 놀랍도록 깔끔한 결과가 나온다.

$$\cos kd = f(E) \equiv \cos\alpha a\,\cosh\beta b + \frac{\beta^2-\alpha^2}{2\alpha\beta}\sin\alpha a\,\sinh\beta b \qquad (0 < E < V_0)$$

$E > V_0$이면 $\beta \to i\beta'$, $\beta' = \sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar$: $f = \cos\alpha a\cos\beta' b - \dfrac{\alpha^2+\beta'^2}{2\alpha\beta'}\sin\alpha a\sin\beta' b$. 왼쪽 $\cos kd$는 −1과 1 사이에만 있을 수 있다.

이 식이 띠 구조의 전부다. 에너지 $E$를 하나 고르면 오른쪽 $f(E)$가 계산된다. $|f(E)| \le 1$이면 실수 $k = \cos^{-1}f/d$가 있어 블로흐 파가 결정 전체에 퍼질 수 있다 — 허용 띠(allowed band). $|f(E)| > 1$이면 $k$가 복소수가 되어 파동이 셀마다 지수적으로 커지거나 줄어든다. 무한 결정에서는 그런 상태가 있을 수 없으므로 그 에너지 구간은 띠 간격(band gap), 금지 띠다.

델타 함수 극한

장벽을 얇고 높게($b\to0$, $V_0\to\infty$) 하되 $V_0 b$를 유지하면 $f(E) = \cos\alpha d + P\,\dfrac{\sin\alpha d}{\alpha d}$, $P = \dfrac{mV_0 b\,d}{\hbar^2}$가 된다. $P = 0$이면 $f = \cos\alpha d$라 모든 에너지가 허용되고 $k = \alpha$ — 자유 전자다. $P$가 커질수록 $\alpha d = n\pi$ 바로 위에서 $|f| > 1$인 구간, 즉 띠 간격이 넓어진다. $P\to\infty$이면 허용 띠가 $\alpha d = n\pi$의 점으로 줄어들어 무한 우물(5장)의 준위가 된다.

장벽 높이 $V_0$를 0으로 내리면, 환원 영역($-\pi/d \le k \le \pi/d$)에 그린 $E(k)$는 어떤 모양이 될까?

$V_0 = 0$이면 $f(E) = \cos\alpha d$이므로 $k = \alpha$ (+ 역격자 벡터의 배수). 포물선 $E = \hbar^2k^2/2m$을 $2\pi/d$ 간격으로 잘라 제1 영역에 겹쳐 놓은 그림이 된다. 아래 시뮬레이터에서 장벽을 0으로 끌어내려 확인하라.

SIMULATOR

크로니히–페니 탐험기: 장벽을 끌어 띠 간격을 만들어라

흰 원을 끌어 V₀·b·d를 바꾼다

장벽 높이 V₀ 장벽 폭 b 주기 d = a + b

E(k) 표시

자유 전자 포물선(점선)

허용 띠 (0–8 eV)—

1번 띠—

첫 띠 간격 E_g1—

1번 띠 바닥 m*—

도전—

위: 퍼텐셜과 허용 띠(색 띠). 왼쪽 아래: $f(E)$ — 회색 세로 띠 $|f| \le 1$ 안에 든 에너지만 허용된다. 오른쪽 아래: 분산 관계 $E(k)$. 도전: 첫 띠 간격 $E_{g1}$을 목표값의 ±3% 안으로 맞춰라. 해볼 것: ① $V_0 = 0$에서 포물선이 접힌 모양을 보고, $V_0$를 조금만 올려 영역 경계($k = \pm\pi/d$와 0)에서 간격이 열리는 것을 보라. ② 장벽을 넓히면(b↑) 띠가 좁아지고 평평해진다 — 무거운 유효 질량. ③ 확장 영역으로 바꾸면 띠 간격이 정확히 $k = n\pi/d$에 있다.

세 가지 그림: 확장·환원·반복 영역

같은 $E(k)$를 그리는 방법이 셋 있다. 띠 $n$을 $n$번째 영역($(n-1)\pi/d < |k| \le n\pi/d$)에 두면 자유 전자 포물선과 비교하기 쉬운 확장 영역(extended zone) 표시가 된다. $k$와 $k + 2\pi/d$가 같은 상태이므로 각 조각을 역격자 벡터만큼 옮겨 제1 영역에 모으면 환원 영역(reduced zone) 표시 — 반도체 띠 구조 그림은 모두 이것이다. 환원 영역 그림을 $2\pi/d$마다 되풀이하면 반복 영역 표시다.

자유 전자: $E = \hbar^2k^2/2m$ 포물선 하나.
주기 퍼텐셜을 켜면 $k = n\pi/d$마다 포물선이 끊기고 띠 간격(보라색 띠)이 열린다 — 확장 영역 표시.
각 조각을 $\pm2\pi/d$만큼 옮겨 제1 영역 $[-\pi/d, \pi/d]$에 모으면 환원 영역 표시가 된다. 2번 띠의 바닥은 $k = \pm\pi/d$, 3번 띠의 바닥은 $k = 0$에 온다.

같은 띠 구조의 두 표시. 반도체의 띠 구조도(뒤의 Si, GaAs)는 모두 환원 영역 표시다.

우물 폭 $a = 0.40$ nm, 장벽 폭 $b = 0.10$ nm, 장벽 높이 $V_0 = 2.0$ eV인 크로니히–페니 결정(자유 전자 질량)에서 (a) $E = 1.0$ eV는 허용 에너지인가? 그렇다면 $k$는? (b) $E = 1.8$ eV는?

풀이 보기

전략 $\alpha = \sqrt{E/0.0381}$, $\beta = \sqrt{(V_0-E)/0.0381}$ (nm⁻¹)을 구해 $f(E)$를 계산하고 $|f| \le 1$인지 본다.

풀이 (a) $\alpha = \beta = 5.123$ nm⁻¹($E = V_0/2$라 같다). $\alpha a = 2.049$, $\beta b = 0.512$. $\beta^2 - \alpha^2 = 0$이라 둘째 항이 사라져 $f = \cos(2.049)\cosh(0.512) = (-0.460)(1.134) = -0.522$. 허용. $k = \cos^{-1}(-0.522)/d = 2.120/0.50 = 4.24$ nm⁻¹ $= 0.675\,\pi/d$.
(b) $\alpha = 6.873$, $\beta = 2.291$ nm⁻¹, $\alpha a = 2.749$, $\beta b = 0.229$. $f = (-0.924)(1.026) + (-1.333)(0.382)(0.231) = -0.948 - 0.118 = -1.07$. $|f| > 1$ → 금지.

(a) 허용, k = 4.24 nm⁻¹ (0.675 π/d) (b) f = −1.07, 띠 간격 안

검토 시뮬레이터 기본값이 바로 이 결정이다. 1번 띠는 0.349–1.529 eV, 2번 띠는 2.233 eV에서 시작하므로 1.8 eV는 0.70 eV 폭의 첫 띠 간격 안에 있다. $f$가 −1에 가까울수록 $k$는 영역 경계 $\pi/d$에 가깝다.

띠 간격의 두 얼굴: 브래그 반사와 강결합

거의 자유로운 전자: 영역 경계의 브래그 반사

왜 하필 $k = n\pi/a$에서 간격이 열릴까? X선 회절의 브래그 조건(Bragg condition) $2a\sin\theta = n\lambda$를 1차원($\theta = 90^\circ$)에 쓰면 $\lambda = 2a/n$, 즉 $k = 2\pi/\lambda = n\pi/a$다. 이 파수의 전자 파동은 원자마다 조금씩 반사된 파동들이 모두 같은 위상으로 더해져 강하게 되돌아온다. 오른쪽으로 가는 $e^{i\pi x/a}$와 반사된 $e^{-i\pi x/a}$가 같은 크기로 섞이면 진행하지 않는 두 정상파가 된다.

$$\psi_+ = \sqrt2\cos\frac{\pi x}{a}, \qquad \psi_- = \sqrt2\,i\sin\frac{\pi x}{a} \qquad\Rightarrow\qquad E_\mp = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\pi}{a}\right)^2 \mp |V_G|, \quad E_g = 2|V_G|$$

$V_G$는 퍼텐셜의 푸리에 성분 $V(x) = \sum_G V_G e^{iGx}$ 가운데 $G = 2\pi/a$ 성분. $\psi_+$는 전자를 양이온 위(퍼텐셜이 낮은 곳)에 모아 에너지가 내려가고, $\psi_-$는 이온 사이에 모아 올라간다.

두 정상파의 $|\psi|^2$는 같은 $k$인데 퍼텐셜을 정반대로 샘플링한다. 그 에너지 차이가 띠 간격이다. 퍼텐셜이 약할 때 $E_g$가 $|V_G|$에 정비례한다는 이 그림을 거의 자유 전자 모형(nearly free electron model)이라 한다. 영역 경계에서 군속도 $dE/dk$가 0이 되는 것도 같은 이유다 — 정상파는 움직이지 않는다.

파동

|V_G| = U

MINI LAB$V(x) = -2U\cos(2\pi x/a)$, $a = 0.5$ nm, $k = \pi/a$. 색칠한 것은 $|\psi|^2$, 선은 시간에 따라 진동하는 Re ψ. 진행파는 $|\psi|^2$가 평평해 퍼텐셜의 평균(0)만 느끼고, 정상파 둘은 각각 $-U$, $+U$를 느낀다. 오른쪽 준위 그림에서 간격 $2U$를 확인하라.

퍼텐셜의 푸리에 성분이 $|V_G| =$ 0.56이면 거의 자유 전자 모형의 띠 간격은 $E_g = 2|V_G| =$ 이고, 이 간격을 건너뛰는 광자의 파장은 $hc/E_g =$ 다.

$a = 0.500$ nm, $V(x) = -2U\cos(2\pi x/a)$, $U = 0.300$ eV인 1차원 결정이 있다. (a) 퍼텐셜이 없을 때 $k = \pi/a$의 자유 전자 에너지는? (b) 퍼텐셜이 있을 때 두 정상파의 에너지와 띠 간격은? 어느 쪽이 아래 띠의 꼭대기인가?

풀이 보기

전략 이 퍼텐셜의 푸리에 성분은 $V_{\pm G} = -U$이다. 1차 섭동으로 $E_\mp = E_0 \mp U$.

풀이 (a) $E_0 = 0.0381\times(\pi/0.500)^2 = 1.504$ eV. (b) $\psi_+\propto\cos(\pi x/a)$: $\langle V\rangle = -2U\langle 2\cos^2(\pi x/a)\cos(2\pi x/a)\rangle = -U$ → $E = 1.204$ eV. $\psi_-\propto\sin$: $\langle V\rangle = +U$ → 1.804 eV. $E_g = 2U = 0.600$ eV.

(a) 1.50 eV (b) cos 정상파 1.20 eV(아래 띠 꼭대기), sin 정상파 1.80 eV(위 띠 바닥), E_g = 0.600 eV

검토 블로흐 시뮬레이터에서 U = 0.3 eV로 두고 k = 1로 보내면 평면파 13개로 정확히 푼 값 1.197, 1.797 eV가 나온다(2차 보정 −0.007 eV). 간격은 여전히 0.600 eV다.

강하게 묶인 전자: 원자 준위가 넓어진 띠

반대쪽 극한에서 출발해도 같은 결론에 이른다. 11장에서 원자 $N$개를 사슬로 이으면 원자 준위 $E_0$ 하나가 $N$개로 갈라지는 것을 보았다. 이웃 오비탈 사이의 겹침(호핑 적분(hopping integral)) $t$만 남기는 강결합 근사(tight-binding approximation)에서, 블로흐 정리를 만족하는 원자 오비탈 $\phi$의 조합

$$\psi_k(x) = \frac{1}{\sqrt N}\sum_n e^{ikna}\,\phi(x - na) \qquad\Rightarrow\qquad E(k) = E_0 - 2t\cos ka$$

띠 폭 $W = 4t$. 바닥($k = 0$)은 모든 오비탈이 같은 위상인 결합 상태, 꼭대기($k = \pi/a$)는 이웃끼리 부호가 엇갈리는 반결합 상태다(11장의 σ, σ* 오비탈).

원자 사이 겹침이 작은 깊은 내각 준위는 $t$가 작아 거의 평평한 좁은 띠가 되고, 겹침이 큰 바깥 껍질 준위는 수 eV 폭의 넓은 띠가 된다. 서로 다른 원자 준위에서 나온 띠들 사이의 빈 공간이 띠 간격이다. 실리콘에서는 sp³ 결합 오비탈들이 가전자대, 반결합 오비탈들이 전도대를 이루고, 둘 사이가 1.12 eV의 띠 간격이다.

원자 수 N 호핑 t

MINI LAB원자 $N$개 사슬의 준위 $E_j = E_0 - 2t\cos\!\big(j\pi/(N+1)\big)$(왼쪽)는 무한 사슬의 띠 $E_0 - 2t\cos ka$ 위의 점 $k_j = j\pi/(N+1)a$(오른쪽)와 정확히 같다. N을 키우면 점이 곡선을 촘촘히 메우고 폭이 $4t$로 다가간다.

거의 자유 전자 (위에서 내려옴)

자유 전자 포물선에서 출발. 약한 주기 퍼텐셜이 영역 경계에서 간격 $2|V_G|$를 연다. 넓은 띠, 가벼운 유효 질량 — 금속의 s·p 전자, 반도체 전도대.

강결합 (아래에서 올라옴)

고립 원자 준위에서 출발. 이웃 겹침 $t$가 준위를 폭 $4t$의 띠로 넓힌다. 좁은 띠, 무거운 유효 질량 — 전이 금속의 d 전자, 절연체의 가전자대.

격자 상수 $a = 0.250$ nm, 호핑 $t = 1.50$ eV인 1차원 강결합 띠의 폭과, 띠 바닥 근처의 유효 질량($m_e$ 단위)을 구하라. 꼭대기에서는?

풀이 보기

전략 바닥 근처에서 $\cos ka \approx 1 - (ka)^2/2$ → $E \approx E_0 - 2t + t a^2k^2$. 이것을 $\hbar^2k^2/2m^*$과 비교한다.

풀이 $W = 4t = 6.00$ eV. $\hbar^2/2m^* = ta^2$ → $m^*/m_e = (\hbar^2/2m_e)/(ta^2) = 0.0381/(1.50\times0.0625) = 0.406$. 꼭대기에서는 $\cos ka \approx -1 + (ka-\pi)^2/2$라 곡률 부호가 바뀌어 $m^* = -0.406\,m_e$.

W = 6.00 eV, m* = 0.406 mₑ (바닥), −0.406 mₑ (꼭대기)

검토 $t$가 클수록(겹침이 클수록) 띠가 넓고 전자가 가볍다. 띠 폭과 유효 질량은 반비례 — 좁은 띠의 전자는 무겁다.

띠 채움: 금속·반도체·절연체

띠 구조를 알았으니 전자를 채우자. 앞 절에서 띠 하나에는 기본 단위 세포 수 $N$만큼의 $k$ 상태, 스핀까지 $2N$개의 자리가 있다고 했다. 기본 단위 세포마다 전자가 $Z_c$개 있다면 바닥부터 파울리 원리대로 채워 $Z_c/2$개의 띠가 찬다. 마지막으로 채워진 준위가 페르미 준위 $E_F$이고(10장), 그 위치가 고체의 성격을 정한다.

페르미 준위가 띠 한가운데: 바로 위에 빈 상태가 무수히 있어, 아주 약한 전기장으로도 전자 분포가 $k$ 공간에서 한쪽으로 쏠린다 → 전류 → 금속(metal). 셀당 전자 수가 홀수이면 반드시 이렇다.
띠가 꽉 차고 위 띠와 사이에 간격: 꽉 찬 띠는 $+k$와 $-k$ 상태가 짝지어 모두 차 있어 전류를 나르지 못한다(뒤의 정공 절). 간격이 작으면(대략 $E_g \lesssim 3$–4 eV) 상온에서 일부 전자가 열로 올라가는 반도체(semiconductor), 크면 절연체(insulator).
짝수 전자인데 띠가 겹침: 위·아래 띠가 에너지에서 겹치면 둘 다 일부만 차서 금속이 된다(Mg, Ca 같은 2족 금속).

띠 채움으로 보는 고체의 분류. 파란색이 전자로 찬 상태, 점선이 페르미 준위다. 반도체 그림의 점은 열로 전도대에 올라간 전자와 가전자대에 남은 빈자리(정공)다.

실리콘을 세어 보자. 기본 단위 세포에 원자 2개, 원자마다 원자가 전자 4개(3s²3p²)이니 셀당 8개 → 띠 4개가 꽉 찬다. 이 4개의 띠가 sp³ 결합 오비탈에서 나온 가전자대(valence band)이고, 바로 위 빈 띠들이 반결합 오비탈에서 나온 전도대(conduction band)다. 가전자대 꼭대기 $E_v$와 전도대 바닥 $E_c$ 사이가 띠 간격 $E_g = E_c - E_v = 1.12$ eV다.

마그네슘은 원자가 전자가 2개(3s²)이고 기본 단위 세포에 원자가 1개다(hcp 구조의 기본 세포에는 사실 2개지만 여기서는 단순화한다). 셀당 전자 2개 = 띠 하나가 꽉 찬다. 그렇다면 Mg는?

짝수 전자라도 띠가 겹치면 전자가 두 띠에 나눠 들어가 둘 다 일부만 찬다. 아래 게임에서 Mg를 골라 페르미 준위를 직접 채워 보라.

SIMULATOR

띠 채움 게임: 전자를 채우고 고체를 분류하라

E_F 선(흰 원)을 위아래로 끈다

물질

① 셀당 전자 수만큼 E_F를 끌어 채운다

② 분류를 고른다

물질 · 셀당 전자—

채운 전자 N(E_F)—

판정—

점수0 / 0

띠마다 셀당 최대 2개(스핀 ↑↓ × $N$개의 $k$)의 전자를 담는다(그림은 띠 안의 상태 밀도를 균일하게 단순화했다). 해볼 것: ① Na와 Al은 홀수 전자라 $E_F$가 반드시 띠 안에 온다. ② Si, Ge, GaAs, 다이아몬드는 모두 셀당 8개로 띠 4개를 꽉 채우지만 띠 간격 크기가 다르다. ③ NaCl은 Cl 3p 띠가 꽉 차고 Na 3s 띠가 비어 8.5 eV 간격의 절연체다.

반도체와 절연체의 경계는 kT가 정한다

반도체와 절연체는 원리상 같다. 차이는 상온의 열에너지 $kT = 25.9$ meV로 간격을 넘는 전자가 얼마나 되느냐뿐이다. 10장에서 본 대로 진성 캐리어 농도는 $n_i = \sqrt{N_cN_v}\,e^{-E_g/2kT}$로, 지수 안의 $E_g/2kT$ 때문에 간격이 조금만 커져도 엄청나게 줄어든다.

띠 간격 1.12, 온도 300에서 $kT$ = , 볼츠만 인자 $e^{-E_g/2kT}$ = . 실리콘의 유효 상태 밀도($\propto T^{3/2}$)를 쓰면 $n_i \approx$ .

절연체라도 페르미 준위는 정의된다. 진성 반도체의 $E_F$는 띠 간격 거의 한가운데에 있고, 도핑하면 전도대나 가전자대 쪽으로 움직인다 — 10장 양자 통계의 캐리어 농도 계산이 바로 이 그림 위에서 이루어진다.

유효 질량, 군속도, 정공

이제 결정 속 전자를 움직여 보자. 전자는 블로흐 파들을 겹친 파속이고, 파속은 군속도로 움직인다(2장). 결정 속 전자의 군속도는 분산 관계의 기울기다.

$$v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}$$

자유 전자라면 $E = \hbar^2k^2/2m$ → $v = \hbar k/m$. 띠의 바닥·꼭대기·영역 경계에서는 $dE/dk = 0$이라 전자가 멈춰 있다(정상파).

준고전 운동 방정식

외부 전기장 $\mathcal{E}$(이 책에서는 $F$로 쓴다)가 전자에 힘 $-qF$를 주면, 시간 $dt$ 동안 한 일 $(-qF)v_g\,dt$가 전자의 띠 에너지 변화 $dE = (dE/dk)\,dk$가 된다. $v_g = \hbar^{-1}dE/dk$를 넣고 정리하면

$$\hbar\frac{dk}{dt} = -qF \qquad (\text{외력만 들어간다: 격자의 힘은 } E(k) \text{ 안에 이미 있다})$$

결정 운동량 $\hbar k$는 뉴턴 법칙의 운동량처럼 외력에만 반응한다. 이온들이 주는 엄청난 주기 힘은 띠 구조에 다 흡수되어 있다.

가속도는 $\dfrac{dv_g}{dt} = \dfrac{1}{\hbar}\dfrac{d^2E}{dk^2}\dfrac{dk}{dt} = \dfrac{1}{\hbar^2}\dfrac{d^2E}{dk^2}(-qF)$이다. 이것을 $a = F_\text{ext}/m$과 비교하면 결정 속 전자는 다음 질량을 가진 입자처럼 행동한다.

유효 질량

$$m^* = \frac{\hbar^2}{d^2E/dk^2}, \qquad \text{띠 바닥 근처: } E(k) \approx E_c + \frac{\hbar^2(k-k_0)^2}{2m^*}$$

유효 질량(effective mass)은 곡률이 크면(뾰족한 띠) 가볍고, 평평한 띠에서는 무겁다. 띠 꼭대기 근처에서는 곡률이 음수라 $m^* < 0$이다.

띠 꼭대기 바로 아래($k$가 영역 경계 근처)에 있는 전자에 오른쪽으로 힘을 준다. 전자의 속도는 어떻게 변할까?

$\hbar\,dk/dt = F_\text{ext}$이므로 $k$는 오른쪽으로 늘어나지만, 꼭대기 근처에서는 $k$가 늘수록 기울기 $dE/dk$가 줄어든다. 속도가 힘과 반대로 변한다 — 영역 경계로 다가가는 파동이 브래그 반사로 되튀는 것이다. 아래에서 점을 꼭대기 근처로 끌어 $m^*$의 부호를 확인하라.

SIMULATOR

유효 질량 측정기: E(k) 위의 점을 끌어라

곡선 위의 점을 좌우로 끈다

띠

강결합 호핑 t 퍼텐셜 세기 U (1·2번 띠) 접촉 포물선(곡률) 접선(기울기)

k—

군속도 v_g—

유효 질량 m*—

행동—

$a = 0.5$ nm. 1·2번 띠는 $V = -2U\cos(2\pi x/a)$의 정확한 띠다. 오른쪽 위는 군속도, 아래는 유효 질량(±4 mₑ에서 자름). 해볼 것: ① 강결합 띠에서 $m^*$가 무한대로 발산하는 변곡점($ka = \pi/2$)을 찾아라 — 그곳에서 속도가 최대다. ② 1번 띠 바닥의 $m^*$가 U를 키울수록 무거워지는가? ③ U를 작게 하면 2번 띠 바닥($k = \pm\pi/a$)의 $m^*$가 매우 가벼워진다: 좁은 간격 = 가벼운 질량.

강결합 띠에서 호핑 1.00, 격자 상수 0.30이면 띠 폭은 $4t$ = , 바닥의 유효 질량은 $m^* = \hbar^2/2ta^2$ = , 꼭대기에서는 이고, 가장 빠른 전자($ka = \pi/2$)의 속도는 $2ta/\hbar$ = 다.

실리콘 전도대 바닥 근처의 전자는 전도도 유효 질량 $m_c = 0.26\,m_e$인 포물선 띠로 다룰 수 있다. 운동 에너지가 $\tfrac32kT$(300 K)인 전자의 속력과, 계곡 바닥에서 잰 파수 $|k - k_0|$를 구하라. 이 $k$는 영역 크기 $\pi/a = 5.78$ nm⁻¹에 비해 얼마나 작은가?

풀이 보기

전략 $E = \tfrac12 m^*v^2 = \hbar^2k^2/2m^*$. $kT = 0.02585$ eV, $m_ec^2 = 0.511$ MeV.

풀이 $E = 1.5\times0.02585 = 0.0388$ eV. $v = c\sqrt{2E/(m^*c^2)} = (3.00\times10^8)\sqrt{2(0.0388)/(0.26\times511000)} = 2.29\times10^5$ m/s. $k = \sqrt{Em^*/(\hbar^2/2m_e)} = \sqrt{0.0388\times0.26/0.0381} = 0.514$ nm⁻¹ — 영역 크기의 8.9%.

v = 2.29 × 10⁵ m/s, |k − k₀| = 0.514 nm⁻¹ (π/a의 약 9%)

검토 자유 전자였다면 $\sqrt{0.26} = 0.51$배인 1.17×10⁵ m/s다. 열평형 전자는 계곡 바닥의 아주 좁은 $k$ 범위에만 있으므로 포물선 근사(일정한 $m^*$)가 잘 맞는다. 다만 전기장이 아주 세면 전자가 계곡 위로 올라가 이 근사가 깨진다(고전계 효과).

블로흐 진동

산란이 전혀 없다면 일정한 전기장 속 전자의 $k$는 $k(t) = k_0 - qFt/\hbar$로 영역을 가로질러 경계에 닿고, $k$와 $k + 2\pi/a$가 같은 상태이므로 반대편 경계에서 다시 나타난다. 속도 $\hbar^{-1}dE/dk$는 부호를 바꾸며 진동하고, 전자는 직류 전기장 속에서 제자리를 왕복한다. 주기는 $k$가 $2\pi/a$만큼 변하는 시간이다.

$$T_B = \frac{2\pi\hbar}{qFa} = \frac{h}{qFa}, \qquad \text{진폭 } \frac{W}{qF}$$

이 블로흐 진동(Bloch oscillation)은 1992년 반도체 초격자에서 처음 관측되었다. 보통 결정에서는 아래 예제처럼 한 주기가 지나기 훨씬 전에 전자가 산란되어 볼 수 없다.

실리콘($a = 0.543$ nm)에 $F = 10$ kV/cm의 전기장을 걸었을 때 블로흐 주기를 구하고, 전자의 운동량 완화 시간 $\tau \approx 0.2$ ps와 비교하라.

풀이 보기

전략 $T_B = h/(qFa)$. $h = 4.136\times10^{-15}$ eV·s이므로 $qFa$를 eV로 쓰면 편하다.

풀이 $F = 10$ kV/cm $= 10^6$ V/m. $qFa = 10^6\times0.543\times10^{-9}$ eV $= 5.43\times10^{-4}$ eV. $T_B = 4.136\times10^{-15}/5.43\times10^{-4} = 7.61\times10^{-12}$ s.

T_B = 7.61 ps ≈ τ의 38배

검토 전자는 한 주기 동안 38번쯤 산란되어 $k$가 영역 경계 근처에도 못 간다. 그래서 보통은 일정한 표류 속도(옴의 법칙)만 보인다. 주기 $d = 10$ nm인 초격자를 쓰면 $a$가 20배 커져 $T_B$가 0.4 ps로 줄어 관측된다(연습문제).

정공: 꽉 찬 띠에서 하나가 빠지면

꽉 찬 띠는 전류를 나르지 못한다. $E(k) = E(-k)$이므로 $v(-k) = -v(k)$이고, 모든 $k$가 차 있으면 속도의 합이 0이다. 전기장이 모든 전자의 $k$를 똑같이 밀어도 꽉 찬 띠는 꽉 찬 채로 남는다. 이제 전자 하나를 $k_e$에서 빼내자.

꽉 찬 띠: $k$와 $-k$의 전자가 반대 속도로 짝지어(화살표) 전체 속도 합 0 — 전류 없음.
$k_e$의 전자를 뺀다. 짝을 잃은 $-k_e$의 전자 때문에 남은 전자들의 속도 합은 $-v(k_e)$, 전류는 $J = -q\sum v = +q\,v(k_e)$.
이 전류는 전하 $+q$인 입자 하나가 빈 상태의 군속도 $v(k_e)$로 움직이는 것과 같다. 빈자리가 띠 꼭대기 근처에 있으면 $m_e^* < 0$이므로 이 입자의 질량은 $m_h^* = -m_e^* > 0$ — 정공.

정공의 탄생. 정공은 실제 입자가 아니라 "꽉 찬 띠 − 전자 하나"라는 다체 상태를 한 입자처럼 기술하는 방법이지만, 홀 효과에서 양전하로 측정될 만큼 실재적이다.

정공

거의 꽉 찬 띠의 빈 상태 $k_e$는 다음 성질을 가진 입자처럼 행동한다: 전하 $+q$, 파수 $k_h = -k_e$, 에너지 $E_h = -E_e$(아래로 갈수록 정공 에너지가 크다), 속도 $v_h = v_e(k_e)$, 유효 질량 $m_h^* = -m_e^*(k_e) > 0$. 운동 방정식은 $\hbar\,dk_h/dt = +qF$ — 양전하 입자의 뉴턴 법칙이다.

SIMULATOR

전기장 속의 k 이동: 블로흐 진동과 정공

빈 상태(흰 원)를 눌러 옮긴다

상황

전기장 F (+x 방향)

k (전자 / 빈 상태)—

속도—

질량—

블로흐 주기 T_B—

강결합 띠($t = 0.5$ eV, $a = 0.5$ nm, 상태 20개). 모든 전자의 $k$가 $\hbar\,dk/dt = -qF$로 함께 움직인다(애니메이션은 블로흐 주기를 몇 초로 늘려 보여 준다). 해볼 것: ① "빈 띠 + 전자 1"에서 전자가 실공간에서 진폭 $W/qF$로 왕복하는 블로흐 진동을 보라. F를 키우면 진폭은 줄고 주기는 짧아진다. ② "꽉 찬 띠 − 1"에서 전류(오른쪽 그래프)는 빈 상태의 속도와 같다. ③ 빈 상태가 띠 꼭대기를 지날 때 전류가 $+x$(F 방향)로 늘어난다: 양전하·양의 질량 입자가 전기장 방향으로 가속되는 것이다.

유효 질량이 곧 이동도다

산란 사이의 평균 시간 $\tau$ 동안 전기장에 가속된 전자의 표류 속도는 $v_d = -(q\tau/m^*)F$이고 이동도는 $\mu = q\tau/m^*$이다. 실리콘 전자의 $\mu \approx 1400$ cm²/V·s, $m_c = 0.26\,m_e$에서 $\tau = \mu m^*/q \approx 0.21$ ps다. 정공은 무거워($\approx 0.4$–0.5 $m_e$) 이동도가 약 450 cm²/V·s로 낮다. 그래서 pMOS는 같은 전류를 내려고 nMOS보다 넓게 그리고, 공정은 변형 실리콘으로 띠 구조 자체를 바꾼다. nMOS 채널을 인장 변형하면 6개 Δ 계곡 중 가벼운 $m_t$ 방향으로 움직이는 계곡의 에너지가 내려가 전자가 그쪽에 몰리고(계곡 분리) 산란도 줄어 이동도가 오른다. pMOS는 SiGe 소스·드레인으로 압축 변형해 가벼운 정공 띠를 이용한다. → DeviceBook · 캐리어, 수송, 미세화와 변형 공학

실제 반도체의 띠 구조

3차원 결정에서 $k$는 벡터가 되고 브릴루앙 영역은 다면체다. FCC 격자(Si, Ge, GaAs)의 영역은 깎은 팔면체이고, 중심을 $\Gamma$, [100] 방향 경계를 $X$($|k| = 2\pi/a$), [111] 방향 경계를 $L$이라 부른다. 띠 구조도는 $E(\vec k)$를 이 대칭점들을 잇는 선 위에서 그린 것이다. 1차원 모형에서 배운 것 — 영역 경계의 간격, 곡률이 정하는 유효 질량, 꼭대기의 정공 — 이 그대로 적용된다.

실리콘의 전도대: 6개의 Δ 계곡

실리콘 전도대의 가장 낮은 점은 $\Gamma$가 아니라 $\Gamma$에서 $X$로 가는 Δ 선 위, $X$까지의 85% 지점($k_0 \approx 0.85\times2\pi/a$)에 있다. 입방 대칭 때문에 $\pm k_x, \pm k_y, \pm k_z$ 여섯 방향에 똑같은 바닥이 있어 계곡(valley)이 6개다. 각 계곡 근처의 에너지는 축 방향과 수직 방향의 곡률이 달라

$$E(\vec k) = E_c + \frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{(k_l - k_0)^2}{m_l} + \frac{k_{t1}^2 + k_{t2}^2}{m_t}\right], \qquad m_l = 0.98\,m_e,\ m_t = 0.19\,m_e$$

$m_l$: 세로(longitudinal) 질량, $m_t$: 가로(transverse) 질량. 등에너지면은 계곡 축 방향으로 길쭉한 회전 타원체다(반축 $\propto\sqrt{m}$).

왼쪽: 실리콘 전도대 바닥 근처의 등에너지면. 여섯 계곡이 $\pm k_x, \pm k_y, \pm k_z$ 축 위 $0.85X$에 있고, 축 방향(무거운 $m_l$)으로 길다. 오른쪽: $\Gamma$에 꼭대기가 있는 가전자대. 곡률이 작은 무거운 정공 띠와 곡률이 큰 가벼운 정공 띠가 $\Gamma$에서 겹치고, 스핀–궤도 상호작용으로 갈라진 띠가 44 meV 아래에 있다.

방향마다 질량이 다르면 "전자의 질량"을 한 숫자로 쓸 수 없다. 용도에 따라 두 가지 평균을 쓴다. 상태 밀도(10장의 $N_c$)에는 계곡 수까지 넣은 상태 밀도 유효 질량(density-of-states effective mass), 전류(이동도)에는 세 방향 $1/m$의 평균인 전도도 유효 질량(conductivity effective mass)을 쓴다.

$$m_{dn} = g_v^{2/3}\,(m_l m_t^2)^{1/3} = 1.08\,m_e \ (g_v = 6), \qquad \frac{1}{m_c} = \frac13\left(\frac{1}{m_l} + \frac{2}{m_t}\right) \Rightarrow m_c = 0.26\,m_e$$

가전자대 꼭대기는 $\Gamma$에 있고 세 띠가 모인다. p 오비탈에서 나온 띠라서 곡률이 서로 다르다: 무거운 정공(heavy hole) $m_{hh} \approx 0.49\,m_e$, 가벼운 정공(light hole) $m_{lh} \approx 0.16\,m_e$, 그리고 0.044 eV 아래의 갈라진 띠(split-off). 정공 상태 밀도 질량은 $m_{dp} = (m_{hh}^{3/2} + m_{lh}^{3/2})^{2/3}$이다.

직접 띠 간격과 간접 띠 간격

GaAs는 전도대 바닥과 가전자대 꼭대기가 모두 $\Gamma$($k = 0$)에 있는 직접 띠 간격(direct band gap) 반도체이고, Si와 Ge는 둘의 $k$가 다른 간접 띠 간격(indirect band gap) 반도체다. 이 차이가 결정적인 이유는 운동량 보존이다. 띠 간격 크기의 광자가 가진 파수 $2\pi/\lambda \approx 2\pi/1000\ \text{nm}$는 영역 크기 $2\pi/a \approx 2\pi/0.5\ \text{nm}$의 1/2000밖에 안 된다. 광자를 흡수하거나 내는 전이는 $k$가 거의 변하지 않는 수직 전이뿐이다. 간접 간격을 건너려면 결정 운동량 $\Delta k$를 격자 진동(포논, 7장)이 대신 내줘야 하는 3체 과정이 되어 확률이 크게 떨어진다.

SIMULATOR

Si·GaAs·Ge 단순화 띠 구조: 전이를 끌어 보라

흰 원 두 개(출발·도착)를 좌우로 끈다

물질

온도 T

띠 간격 E_g(T)—

전이 에너지—

필요한 Δk—

판정—

전도대는 Γ·L·X(Δ) 계곡을 포물선으로 이어 붙인 단순화 그림, 가전자대는 무거운(실선)·가벼운(점선) 정공 띠다. 가로축은 $L \leftarrow \Gamma \rightarrow X$ ($2\pi/a$ 단위). 도전: 포논 없이(수직 전이로) 가능한 가장 낮은 에너지의 전이를 찾아라. 해볼 것: ① GaAs에서는 그것이 곧 띠 간격이다. ② Si에서는 수직 전이 최소값이 띠 간격보다 2 eV 이상 크다 — Si가 빛을 잘 내지 못하는 이유. ③ 온도를 올리면 모든 간격이 줄어든다.

실리콘에서 가전자대 꼭대기($\Gamma$)의 전자가 전도대 바닥($0.85X$, $a = 0.5431$ nm)으로 가려면 결정 운동량이 얼마나 바뀌어야 하는가? $E_g = 1.12$ eV인 광자의 파수와 비교하라.

풀이 보기

전략 $\Delta k = 0.85\times2\pi/a$. 광자 파수 $k_\text{ph} = 2\pi/\lambda = 2\pi E/hc$, $hc = 1239.8$ eV·nm.

풀이 $\Delta k = 0.85\times2\pi/0.5431 = 9.83$ nm⁻¹. $\lambda = 1239.8/1.12 = 1107$ nm, $k_\text{ph} = 2\pi/1107 = 5.68\times10^{-3}$ nm⁻¹. 비 $k_\text{ph}/\Delta k = 5.8\times10^{-4}$.

Δk = 9.83 nm⁻¹ — 광자 파수의 약 1700배

검토 광자는 필요한 결정 운동량의 0.06%밖에 줄 수 없다. 나머지는 파수가 영역 크기 정도인 포논(에너지는 수십 meV에 불과)이 준다. 에너지는 광자가, 운동량은 포논이 맡는 분업이다.

실리콘은 빛을 거의 내지 않는다

전자와 정공이 다시 만나 광자를 내는 복사 재결합은 직접 간격 GaAs에서 1 ns 정도 걸리지만, 간접 간격 Si에서는 포논이 필요해 수 ms 이상으로 느려지고, 그 사이 결함을 통한 비복사 재결합(열)이 먼저 일어난다. 그래서 LED와 레이저는 GaAs, InP, GaN 같은 직접 간격 화합물로 만든다. 흡수는 사정이 다르다: 포논 도움 흡수도 일어나고 광자 에너지가 커지면 직접 전이(약 3.4 eV)까지 쓸 수 있어, Si는 가시광 이미지 센서·포토다이오드로 훌륭하다. 다만 띠 간격 근처(900–1100 nm)에서는 흡수 길이가 수십–수백 μm로 길다. 발광과 흡수의 정량적인 비교는 13장 빛과 물질의 상호작용에서, 소자는 DeviceBook · 광소자와 SensorBook · 포토다이오드에서 다룬다.

띠 간격의 온도 의존

온도가 오르면 격자가 팽창하고 격자 진동이 세져 띠 간격이 줄어든다. 측정값은 바르시니(Varshni) 경험식으로 잘 맞는다.

$$E_g(T) = E_g(0) - \frac{\alpha T^2}{T + \beta}, \qquad \text{Si: } E_g(0) = 1.170\ \text{eV},\ \alpha = 4.73\times10^{-4}\ \text{eV/K},\ \beta = 636\ \text{K}$$

GaAs: 1.519 eV, 5.405×10⁻⁴ eV/K, 204 K. Ge: 0.7437 eV, 4.774×10⁻⁴ eV/K, 235 K. 상온 근처 Si의 기울기는 약 −0.27 meV/K다.

흰 원을 좌우로 끌어 온도를 바꾼다

MINI LAB세 반도체의 $E_g(T)$. 저온에서는 $T^2$, 고온에서는 $T$에 비례해 줄어든다. 띠 간격 파장 $\lambda_g = hc/E_g$도 함께 읽어라 — 온도가 오르면 흡수 끝이 장파장 쪽으로 밀린다.

이 장 다음은 DeviceBook이다

여기까지가 소자 물리의 출발점이다. 전도대 바닥 $E_c$, 가전자대 꼭대기 $E_v$, 띠 간격 $E_g$, 유효 질량 $m_n^*, m_p^*$ — 띠 구조 전체를 이 네 숫자(와 상태 밀도)로 압축한 띠 그림이 pn 접합·MOSFET 해석의 언어다. 단순화한 띠 그림이 깨지는 곳, 예를 들어 5 nm 나노시트의 양자 구속(5장)이나 변형 채널의 계곡 분리를 다룰 때는 TCAD가 강결합·k·p 띠 구조 모델을 직접 푼다. → 결정과 띠 · 캐리어 · 수송 · TCADBook

핵심 정리

결정의 퍼텐셜은 주기 함수 $V(x+a) = V(x)$이고, 그 고유 상태는 블로흐 함수 $\psi_{nk} = u_{nk}(x)e^{ikx}$이다. $k$와 $k + 2\pi/a$는 같은 상태이므로 제1 브릴루앙 영역 $-\pi/a < k \le \pi/a$만 보면 된다. 띠 하나에는 스핀 포함 $2N$개의 자리가 있다.
크로니히–페니 모형의 분산 관계 $\cos kd = f(E)$에서 $|f| \le 1$인 에너지만 허용된다. 장벽이 0이면 자유 전자, 장벽이 클수록 띠 간격은 넓어지고 띠는 좁아진다.
띠 간격은 영역 경계 $k = n\pi/a$의 브래그 반사로 생긴다. 두 정상파가 퍼텐셜을 다르게 느껴 $E_g = 2|V_G|$가 된다. 강결합 그림에서는 원자 준위가 폭 $4t$의 띠 $E_0 - 2t\cos ka$로 넓어진다.
셀당 전자 수와 띠 구조가 금속(띠 일부만 참, 또는 띠 겹침)·반도체(작은 $E_g$)·절연체(큰 $E_g$)를 가른다. Si는 셀당 8개 → 가전자대 4개가 꽉 차고 $E_g = 1.12$ eV.
군속도 $v_g = \hbar^{-1}dE/dk$, 준고전 운동 $\hbar\,dk/dt = -qF$, 유효 질량 $m^* = \hbar^2/(d^2E/dk^2)$. 띠 꼭대기에서는 $m^* < 0$이고, 산란이 없으면 블로흐 진동($T_B = h/qFa$)이 일어난다.
거의 꽉 찬 띠의 빈 상태는 전하 $+q$, 양의 질량 $m_h^* = -m_e^*$인 정공처럼 움직인다.
Si 전도대 바닥은 $0.85X$의 6개 Δ 계곡($m_l = 0.98$, $m_t = 0.19$, $m_{dn} = 1.08$, $m_c = 0.26\,m_e$)이고, 가전자대는 $\Gamma$의 무거운·가벼운 정공 띠다. Si·Ge는 간접, GaAs는 직접 띠 간격이며, 간격은 온도가 오르면 줄어든다($E_g^{\text{Si}}(300\ \text{K}) = 1.12$ eV).

연습문제

$\hbar^2/2m_e = 0.0381$ eV·nm², $\hbar = 6.582\times10^{-16}$ eV·s, $h = 4.136\times10^{-15}$ eV·s, $hc = 1239.8$ eV·nm, $m_e = 9.109\times10^{-31}$ kg. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

저마늄은 실리콘과 같은 다이아몬드 구조이고 격자 상수가 0.5658 nm이다. 원자 밀도는?

단위 세포에 원자 8개. $a^3 = (0.5658\times10^{-7})^3 = 1.811\times10^{-22}$ cm³ → $n = 8/a^3 = 4.42\times10^{22}$ cm⁻³.

GaAs의 격자 상수 0.5653 nm를 주기로 하는 1차원 사슬의 제1 브릴루앙 영역 경계 $\pi/a$는?

$\pi/0.5653 = 5.56$ nm⁻¹.

주기 $a$인 퍼텐셜 속 블로흐 상태 $\psi_k$에 대해 옳은 것은?

블로흐 상태는 한 셀 옮길 때 위상 $e^{ika}$만 바뀐다($|\psi|^2$는 주기적). $\psi$ 자체가 주기적인 것은 $k = 0$일 때뿐이다. $\hbar k$는 결정 운동량이다.

델타 함수 극한의 크로니히–페니 모형 $f(E) = \cos\alpha d + P\sin(\alpha d)/(\alpha d)$에서 $P = 3.0$이다. $\alpha d = \pi/2$인 에너지에서 $f$의 값은? 이 에너지는 허용되는가?

$f = \cos(\pi/2) + 3.0\times1/(\pi/2) = 0 + 1.91 = 1.91$. $|f| > 1$이므로 금지(띠 간격 안). $P = 3$이면 첫 허용 띠가 $\alpha d \approx 2.2$–$\pi$ 사이로 밀려 올라간다.

격자 상수 0.300 nm인 1차원 결정에서 $k = \pi/a$인 자유 전자의 에너지는?

$E = 0.0381\times(\pi/0.300)^2 = 0.0381\times109.7 = 4.18$ eV.

호핑 $t = 0.80$ eV, 격자 상수 $a = 0.40$ nm인 1차원 강결합 띠의 폭과 띠 바닥의 유효 질량은?

바닥 근처 $E \approx E_0 - 2t + ta^2k^2$.

$W = 4t = 3.20$ eV. $m^*/m_e = 0.0381/(ta^2) = 0.0381/(0.80\times0.16) = 0.298$.

바르시니 식(Si: $E_g(0) = 1.170$ eV, $\alpha = 4.73\times10^{-4}$ eV/K, $\beta = 636$ K)으로 400 K(전력 소자 동작 온도)에서 실리콘의 띠 간격을 구하라.

$E_g = 1.170 - (4.73\times10^{-4})(400)^2/(400 + 636) = 1.170 - 75.68/1036 = 1.170 - 0.0731 = 1.097$ eV ≈ 1.10 eV. 300 K보다 28 meV 작아 $n_i$가 크게 늘어난다.

어떤 반도체의 전도대 바닥을 측정했더니 $E - E_c = (0.147\ \text{eV}\cdot\text{nm}^2)\,k^2$이었다. 유효 질량은 자유 전자 질량의 몇 배인가?

$\hbar^2/2m^* = 0.147$ → $m^*/m_e = 0.0381/0.147 = 0.259$. 실리콘 전도도 유효 질량과 비슷하다.

$E(k) = E_0 - 2t\cos ka$, $t = 1.0$ eV, $a = 0.30$ nm인 띠에서 $ka = \pi/2$인 전자의 군속도는?

$v = \hbar^{-1}dE/dk = 2ta\sin(ka)/\hbar = 2(1.0)(0.30\times10^{-9})/(6.582\times10^{-16}) = 9.12\times10^5$ m/s. 이 띠에서 가장 빠른 전자다.

GaAs/AlGaAs 초격자의 주기가 $d = 10.0$ nm이다. 전기장 $F = 10$ kV/cm에서 블로흐 진동 주기는? 결정 격자 상수(0.565 nm)를 주기로 쓸 때보다 몇 배 짧은지도 생각해 보라.

$T_B = h/(qFd)$, $qFd$를 eV로.

$qFd = 10^6\ \text{V/m}\times10^{-8}\ \text{m} = 10^{-2}$ eV. $T_B = 4.136\times10^{-15}/10^{-2} = 4.14\times10^{-13}$ s = 0.414 ps. 주기가 약 18배 길어 $T_B$가 18배 짧아졌고, 운동량 완화 시간(~ps)과 비슷해져 관측이 가능하다.

GaAs의 기본 단위 세포에는 Ga 원자 1개와 As 원자 1개가 있다. 원자가 전자(Ga 4s²4p¹, As 4s²4p³)로 채우면 꽉 차는 띠는 몇 개인가?

셀당 전자 3 + 5 = 8개, 띠 하나에 셀당 2개 → 띠 4개가 꽉 찬다. 실리콘(4 + 4)과 같은 전자 수라서 같은 꼴의 가전자대를 가진다(등전자 계열).

기본 단위 세포에 원자가 하나인 결정 가운데, 띠 구조를 몰라도 반드시 금속이라고 말할 수 있는 것은?

셀당 전자가 홀수(1개)이면 띠 하나가 반만 차 페르미 준위가 띠 안에 있다 → 금속. 짝수이면 띠 겹침 여부에 따라 다르다(Mg는 겹쳐서 금속이지만 띠 구조를 알아야 판단할 수 있다).

Si($a = 0.5431$ nm)의 간접 전이에서 포논이 공급해야 하는 결정 운동량 $\Delta k$(Γ → 0.85X)와, $E_g = 1.12$ eV 광자의 파수와 $\Delta k$의 비를 구하라.

$\Delta k = 0.85\times2\pi/0.5431 = 9.83$ nm⁻¹. $k_\text{ph} = 2\pi\times1.12/1239.8 = 5.68\times10^{-3}$ nm⁻¹ → 비 $5.77\times10^{-4}$.

실리콘 가전자대의 무거운 정공 $m_{hh} = 0.49\,m_e$, 가벼운 정공 $m_{lh} = 0.16\,m_e$이 $\Gamma$에서 겹쳐 있다. 두 띠의 상태 밀도를 더한 정공 상태 밀도 유효 질량 $m_{dp} = (m_{hh}^{3/2} + m_{lh}^{3/2})^{2/3}$은?

3차원 상태 밀도는 $m^{3/2}$에 비례하므로 두 띠의 상태 밀도를 더하면 $m^{3/2}$끼리 더해진다.

$0.49^{1.5} = 0.343$, $0.16^{1.5} = 0.064$ → 합 0.407 → $0.407^{2/3} = 0.549$. 무거운 정공이 상태 밀도의 84%를 차지한다. (교재 값 0.81은 온도 효과와 비포물선성을 넣은 값이다.)

실리콘 전도대 계곡의 $m_l = 0.98\,m_e$, $m_t = 0.19\,m_e$, 계곡 수 6이다. 상태 밀도 유효 질량 $m_{dn}$과 전도도 유효 질량 $m_c$를 구하라.

$m_{dn} = 6^{2/3}(0.98\times0.19^2)^{1/3} = 3.302\times0.3283 = 1.08\,m_e$. $1/m_c = (1/0.98 + 2/0.19)/3 = (1.020 + 10.53)/3 = 3.849$ → $m_c = 0.260\,m_e$. 상태 밀도는 무거운 $m_l$과 계곡 수 때문에 크고, 전류는 가벼운 $m_t$가 주도한다.

개념 확인 퀴즈

주기 $a$인 결정에서 파수 $k$인 블로흐 상태와 $k + 2\pi/a$인 블로흐 상태(같은 띠)는?

$e^{i(k+G)a} = e^{ika}$이고 $u$를 다시 정의하면 같은 함수다. 그래서 제1 브릴루앙 영역만 보면 된다.

1차원 결정에서 띠 간격은 어떤 파수에서 열리는가?

$\lambda = 2a/n$인 파동은 모든 원자에서 같은 위상으로 반사되어 정상파가 되고, 두 정상파의 에너지 차가 간격이다.

기본 단위 세포당 전자 수가 홀수인 결정(띠 겹침과 상관관계 효과 무시)은?

띠 하나는 셀당 2개를 담으므로, 홀수 전자면 마지막 띠가 반만 찬다.

띠 꼭대기 근처 전자의 유효 질량이 음수라는 말의 의미는?

$dv/dt = F_\text{ext}/m^*$에서 $m^* < 0$. 영역 경계로 다가가며 브래그 반사되는 효과가 질량에 담긴 것이다. 그런 빈 상태를 정공으로 보면 질량은 양수가 된다.

실리콘으로 효율 좋은 LED를 만들기 어려운 근본 이유는?

전도대 바닥(0.85X)과 가전자대 꼭대기(Γ)의 $k$가 달라, 광자만으로는 운동량을 맞출 수 없다. 흡수는 포논 도움으로 일어나 Si 광검출기는 잘 작동한다.