Chapter 10

양자 통계

실리콘 1 cm³에는 원자가 5×10²² 개 있고, 전자는 그 네 배다. 이 전자 하나하나의 파동함수를 풀 수는 없다. 대신 상태가 몇 개 있고(상태 밀도), 각 상태가 얼마나 채워지는가(분포 함수)만 알면 된다. 이 장은 동전 세기에서 출발해 볼츠만 인자 $e^{-E/kT}$를 얻고, 입자가 구별되지 않는다는 양자역학의 요구에서 페르미–디랙과 보스–아인슈타인 분포를 끌어낸다. 마지막에는 반도체 소자 물리의 출발점인 캐리어 농도 $n = N_c e^{-(E_c-E_F)/kT}$와 $np = n_i^2$를 엄밀하게 유도한다. 아래 화면에서 전자들이 에너지 사다리를 오르내린다 — 좌우로 끌어 온도를 바꿔 보자.

좌우로 끌면 온도가 바뀐다

미시 상태 수를 세어 작은 계가 큰 열저장고와 접촉할 때 볼츠만 인자 $e^{-E/kT}$가 나오는 이유를 설명한다.
구별 가능한 입자·보손·페르미온의 미시 상태를 직접 열거하고, 세 분포 $1/(e^{(E-\mu)/kT}+a)$를 구별한다.
상자 속 k 공간 세기로 1·2·3차원 상태 밀도를 유도하고, 양자 우물의 2차원 계단 상태 밀도를 설명한다.
자유 전자 모형으로 금속의 페르미 에너지(Cu 7.0 eV)를 계산하고, 전자 열용량이 작은 이유를 설명한다.
흑체 복사와 포논 점유를 보스–아인슈타인 분포로 다시 유도한다.
$n = \int g_c f\,dE = N_c F_{1/2}(\eta)$에서 볼츠만 근사의 조건을 밝히고, 진성 농도·질량 작용 법칙·전하 중성으로 도핑된 반도체의 페르미 준위를 구한다.

미시 상태 세기와 볼츠만 분포

동전 100개를 던지면 앞면이 50개 근처로 나온다. 동전 하나하나의 결과를 모두 적은 것이 미시 상태(microstate)이고, "앞면 몇 개"만 적은 것이 거시 상태(macrostate)다. 모든 미시 상태가 똑같이 일어날 만하다고 가정하면(통계역학의 기본 가정), 관측되는 거시 상태는 미시 상태 수 $W$가 가장 많은 것이다. 앞면 50개인 미시 상태는 $\binom{100}{50} \approx 1.0\times10^{29}$가지, 앞면 100개는 단 1가지다. 볼츠만은 이 수의 로그를 엔트로피로 정의했다: $S = k_B\ln W$.

에너지도 똑같이 센다. 에너지가 $\varepsilon$ 단위(퀀텀)로 나뉘어 있고 입자들이 퀀텀을 무작위로 주고받는다고 하자. 입자 하나에 주목하면, 그 입자가 퀀텀을 많이 가질수록 나머지 입자(열저장고)가 쓸 수 있는 퀀텀이 줄어 저장고의 미시 상태 수가 급격히 줄어든다. 그래서 높은 에너지일수록 드물어진다.

입자 하나와 진동자 20개짜리 저장고가 퀀텀 20개(전체 에너지 U = 20ε)를 나눠 가진다. 입자의 에너지가 E이면 저장고에는 U − E가 남는다.
저장고가 남은 퀀텀 q개를 진동자 20개에 나누는 방법은 $\Omega_R(q) = \binom{q+19}{q}$가지다. 입자가 E를 가질 확률은 $\Omega_R(U-E)$에 비례한다.
이웃 막대의 비가 0.513 · 0.500 · 0.486 · 0.472 · 0.457 — 거의 일정하다. 일정한 비로 줄어드는 것이 지수 함수다. 저장고가 무한히 크면 비는 정확히 상수 $e^{-\varepsilon/kT}$가 된다.

작은 계 + 큰 저장고 = 볼츠만 인자. 확률이 지수적으로 줄어드는 것은 "에너지를 가져가면 저장고의 경우의 수가 줄어든다"는 세기의 결과다.

이것을 일반화하자. 저장고의 미시 상태 수 $\Omega_R$의 로그를 $U$ 근처에서 전개하면($E \ll U$)

$$\ln\Omega_R(U-E) \approx \ln\Omega_R(U) - E\,\frac{\partial \ln\Omega_R}{\partial U} \equiv \ln\Omega_R(U) - \frac{E}{k_BT} \quad\Longrightarrow\quad P(E) \propto \Omega_R(U-E) \propto e^{-E/k_BT}$$

$1/k_BT \equiv \partial\ln\Omega/\partial U$가 온도의 통계적 정의다. 위 예에서 $\ln(1/0.5) = \varepsilon/kT$이므로 $kT \approx 1.44\varepsilon$.

볼츠만 분포

온도 $T$인 열저장고와 에너지를 주고받는 계가 에너지 $E_i$인 상태(겹침수 $g_i$)에 있을 확률은 $P_i = g_i e^{-E_i/k_BT}/Z$이다. $Z = \sum_i g_i e^{-E_i/k_BT}$는 분배 함수(partition function)다. 두 상태의 점유 비는 $P_2/P_1 = (g_2/g_1)\,e^{-(E_2-E_1)/k_BT}$.

이제 많은 입자가 퀀텀을 주고받는 계를 직접 돌려 보자. 아래 시뮬레이터는 입자들이 무작위로 퀀텀 하나씩을 넘겨주는 과정을 수십만 번 반복하며, 각 준위에 있는 입자 수의 시간 평균을 막대로 쌓는다. 처음에는 구별 가능(B) 모드로 두자. 나머지 두 모드(BE, FD)는 다음 절의 주제다.

입자 40개가 평균 3ε씩의 에너지를 무작위로 주고받는다. 평형에서 입자가 가장 많이 있는 준위는?

볼츠만 분포는 단조 감소 함수다. 평균 에너지가 3ε여도 가장 흔한 에너지는 0이다 — 소수의 입자가 큰 에너지를 가져가 평균을 끌어올린다. 막대가 지수 곡선을 따라 쌓이는지 확인하라.

SIMULATOR

에너지 퀀텀 나눠 주기: 점유 히스토그램

아래 축의 ◆ 핸들을 끌어 평균 에너지를 바꾼다

입자의 종류

입자 수 N 입자당 평균 에너지 이론 분포 겹쳐 그리기 세로축 로그

맞춘 온도 kT—

화학 퍼텐셜 μ—

바닥 준위 점유—

누적 표본—

준위 간격은 ε로 일정하다(조화 진동자 사다리). 막대는 시간 평균 점유, 회색 테두리는 지금 이 순간의 점유다. 해볼 것: ① B 모드에서 로그 축을 켜면 막대가 직선이 된다 — 기울기가 $-1/kT$다. ② 평균 에너지를 키우면 kT가 커지고 분포가 완만해진다. ③ BE 모드는 바닥 준위에 입자가 몰리고(뭉침), FD 모드는 준위마다 최대 1개라서 아래가 꽉 찬 "바다"가 생긴다. FD에서는 평균 에너지를 (N−1)/2 ε 아래로 낮출 수 없다.

어떤 계에서 겹침이 없는 두 상태의 에너지 차가 0.100 eV이다. 300 K에서 위 상태와 아래 상태의 점유 비는?

풀이 보기

전략 볼츠만 비 $e^{-\Delta E/kT}$. 300 K에서 $kT = (8.617\times10^{-5})(300) = 0.02585$ eV.

풀이 $\Delta E/kT = 0.100/0.02585 = 3.868$, $e^{-3.868} = 0.0209$.

위 상태 : 아래 상태 = 0.0209 (약 1 : 48)

검토 $\Delta E$가 $kT$의 약 4배이므로 2% 정도만 올라간다. $\Delta E$를 두 배(0.2 eV)로 하면 비는 제곱(4.4×10⁻⁴)이 된다 — 지수 함수의 성질이다.

메모리 데이터 유지 시간의 아레니우스 가속 시험

플래시 메모리의 전하 손실이나 소자 열화처럼 활성화 에너지 $E_a$를 넘어야 일어나는 과정의 속도는 볼츠만 인자 $e^{-E_a/kT}$에 비례한다(아레니우스 법칙(Arrhenius law)). 그래서 높은 온도에서 시험하면 시간을 압축할 수 있다. 가속 계수는 $AF = \exp[(E_a/k)(1/T_\text{사용} - 1/T_\text{시험})]$. $E_a = 1.1$ eV, 사용 55 °C, 시험 125 °C이면 $AF \approx 934$ — 10년(87 600 h) 보증을 약 94 h 굽기로 확인한다. $E_a$를 0.1 eV만 잘못 잡아도 $AF$가 약 1.9배 달라지므로, 활성화 에너지 측정이 신뢰성 평가의 핵심이다. → 메모리: 신뢰성, 반도체 테스트

구별 불가능성: 세 가지 통계

앞 절의 세기는 입자에 이름표(A, B, C…)를 붙일 수 있다고 가정했다. 그러나 9장에서 보았듯이 같은 종류의 양자 입자는 원리적으로 구별할 수 없다. 두 전자를 맞바꾼 상태는 같은 상태이며, 파동함수는 교환에 대해 대칭(보손)이거나 반대칭(페르미온)이어야 한다(9장). 따라서 미시 상태를 세는 규칙이 셋으로 갈린다.

맥스웰–볼츠만 (B)

입자를 구별한다. "A가 준위 1, B가 준위 2"와 "B가 1, A가 2"는 다른 상태. 고전 기체, 그리고 양자 입자라도 상태가 아주 드물게 채워질 때의 근사.

보스–아인슈타인 (BE)

구별하지 않고, 한 상태에 몇 개든 들어간다. 각 준위의 입자 수만이 상태를 정한다. 광자, 포논, ⁴He 원자 — 정수 스핀.

페르미–디랙 (FD)

구별하지 않고, 한 상태에 최대 1개(파울리 배타 원리). 전자, 양성자, 중성자 — 반정수 스핀. 스핀 ↑·↓는 서로 다른 상태로 센다.

입자 수

전체 에너지

MINI LAB준위 간격 ε인 사다리에 입자를 놓는 모든 방법을 직접 열거했다. 작은 사다리 하나가 미시 상태 하나다. 색 점은 이름표가 있는 입자(B), 회색 점은 구별되지 않는 입자다. 같은 에너지에서도 세는 방법에 따라 미시 상태 수와 바닥 준위의 평균 점유가 다르다.

준위 0, ε, 2ε가 있다(각 준위는 상태 하나). 입자 2개의 전체 에너지가 2ε일 때 (a) 구별 가능 입자, (b) 보손, (c) 스핀 없는 페르미온의 미시 상태를 모두 적고, 각 경우 바닥 준위의 평균 점유를 구하라.

풀이 보기

전략 에너지 합이 2ε인 배치: 두 입자가 (0, 2ε)이거나 (ε, ε). 세는 규칙만 다르다.

풀이 (a) B: (A=0, B=2ε), (A=2ε, B=0), (A=ε, B=ε) → 3가지. 바닥 준위 점유는 1, 1, 0 → 평균 2/3. (b) BE: {0, 2ε}, {ε, ε} → 2가지, 평균 점유 (1 + 0)/2 = 1/2. (c) FD: {ε, ε}는 금지 → {0, 2ε} 1가지, 평균 점유 1.

(a) 3가지, ⟨n₀⟩ = 0.667 (b) 2가지, 0.500 (c) 1가지, 1.00

검토 B 세기에서는 "서로 다른 준위"인 배치가 이름표 교환 때문에 두 번 세어진다. 보손은 같은 준위에 모이는 배치의 비중이 상대적으로 크고(뭉침), 페르미온은 같은 준위를 아예 막는다. 위 미니 실험에서 확인하라.

세 분포 함수

입자 수가 많아지면 한 상태(에너지 $E$)의 평균 점유 $\bar n(E)$는 세 가지 꼴로 정리된다. $\mu$는 화학 퍼텐셜(chemical potential)으로, 입자 수를 맞추는 상수다. 고체 물리에서는 전자의 $\mu$를 페르미 준위(Fermi level) $E_F$라 부른다.

$$\bar n(E) = \frac{1}{e^{(E-\mu)/kT} + a}, \qquad a = \begin{cases} +1 & \text{페르미–디랙} \\ 0 & \text{맥스웰–볼츠만} \\ -1 & \text{보스–아인슈타인} \end{cases}$$

$E - \mu \gg kT$이면 세 식 모두 $e^{-(E-\mu)/kT}$로 같아진다: 상태가 드물게 채워지면 입자가 같은 상태에서 만날 일이 없으므로 구별 여부가 상관없다.

상태 하나만 보면 바로 나온다

에너지 $E$인 단일 입자 상태 하나를 "계", 나머지 모든 입자를 "저장고"로 보자. 입자 $n$개가 이 상태에 있을 확률은 $e^{-n(E-\mu)/kT}$에 비례한다(입자 하나를 저장고에서 가져올 때마다 에너지 $E$를 쓰고 $\mu$를 돌려받는다). $x = (E-\mu)/kT$라 두면 — 페르미온($n = 0, 1$): $\bar n = e^{-x}/(1 + e^{-x}) = 1/(e^x + 1)$. 보손($n = 0, 1, 2, \dots$): 등비급수 $\sum n e^{-nx}/\sum e^{-nx} = 1/(e^x - 1)$. 차이는 오직 "$n$이 몇까지 허용되는가"에서 나온다.

세 분포 함수. 페르미–디랙은 1을 넘지 못하고 $E = \mu$에서 정확히 1/2이다. 보스–아인슈타인은 $E \to \mu$에서 발산하므로 보손의 $\mu$는 가장 낮은 준위보다 아래에 있어야 한다. 오른쪽 꼬리에서는 셋이 볼츠만 꼴로 합쳐진다.

페르미–디랙 분포의 온도 의존

전자에 대한 $f(E) = 1/(1 + e^{(E-E_F)/kT})$를 페르미–디랙 분포 함수(Fermi–Dirac distribution)라 한다. $T = 0$이면 $E_F$ 아래는 모두 1, 위는 모두 0인 계단이다. 온도가 오르면 계단의 모서리가 $E_F$ 양쪽 몇 $kT$ 폭으로 둥글어진다: $f(E_F - 2kT) = 0.881$, $f(E_F + 2kT) = 0.119$. 또 $1 - f(E_F + \Delta) = f(E_F - \Delta)$ — $E_F$ 아래에서 전자가 비어 있을 확률(정공의 점유)은 위에서 전자가 있을 확률과 대칭이다.

온도 300에서 열에너지는 $kT$ = 이다. 바닥보다 0.10 높은 상태는 $\Delta E/kT$ = 이므로 볼츠만 인자 만큼 덜 채워진다.

300 K의 $kT = 25.85$ meV는 반도체 공학의 "자"다. 열 전압 $kT/q = 25.85$ mV, 다이오드 전류가 10배 바뀌는 데 드는 전압 $\ln 10\,kT/q = 59.5$ mV(실온 MOSFET의 문턱 아래 기울기 한계 60 mV/dec)가 모두 여기서 나온다.

흰 점(E_F)을 좌우로 끌 수 있다

온도 T 볼츠만 꼬리 e^{−(E−E_F)/kT}

MINI LAB음영은 $E_F \pm 2kT$ 구간이다. 온도를 0으로 내리면 계단, 올리면 모서리가 넓어진다. 점선(볼츠만 꼬리)은 $E - E_F > 3kT$에서 FD 곡선과 5% 안으로 겹친다 — 이것이 다음에 반도체에서 쓸 볼츠만 근사의 조건이다.

상태 밀도: k 공간에서 세기

분포 함수는 상태 하나가 채워질 확률이다. 입자 수를 구하려면 에너지 $E$와 $E + dE$ 사이에 상태가 몇 개 있는지 알아야 한다. 단위 부피·단위 에너지당 상태 수를 상태 밀도(density of states) $g(E)$라 한다. 5장의 상자를 다시 꺼내자. 한 변 $L$인 무한 우물에서 파수는 $k_x = n_x\pi/L$ ($n_x = 1, 2, \dots$)처럼 띄엄띄엄하고, 3차원에서는 $(k_x, k_y, k_z)$ 격자점 하나가 상태 하나(스핀까지 2개)다.

폭 L인 상자에서 정상파의 파수는 $k = n\pi/L$로 양자화된다(5장 무한 우물).
2·3차원에서는 $(k_x, k_y, \dots)$ 격자의 한 점이 공간 상태 하나다. 점 하나가 k 공간에서 $(\pi/L)^d$의 넓이(부피)를 차지한다.
반지름 $k$와 $k + dk$ 사이 껍질 안의 점을 센다(그림에서는 10개). $n$이 양수이므로 2차원은 원의 1/4, 3차원은 구의 1/8만 쓴다.
반지름 $k$ 안의 상태 수(스핀 2 포함)는 $Vk^3/3\pi^2$. $E = \hbar^2k^2/2m$으로 바꾸어 미분하면 상태 밀도가 된다.

상자 속 세기. 상자의 모양이나 경계 조건(주기 경계 조건이면 $k = 2\pi n/L$, $n$은 음수 포함)에 상관없이, 큰 상자의 상태 밀도는 같은 답을 준다.

$N(E)/V = (1/3\pi^2)(2mE/\hbar^2)^{3/2}$을 $E$로 미분하면 3차원 상태 밀도가, 같은 방법을 2차원(원의 1/4, 넓이 $A$)과 1차원(선분, 길이 $L$)에 쓰면 나머지가 나온다.

$$g_{3D}(E) = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\!\sqrt{E}, \qquad g_{2D} = \frac{m}{\pi\hbar^2}\;(\text{상수}), \qquad g_{1D}(E) = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}\,\frac{1}{\sqrt{E}}$$

모두 스핀 겹침 2를 포함한다. 단위는 차례로 부피·넓이·길이당, 에너지당. 반도체에서는 $m$을 유효 질량 $m^*$로 바꾸고, 실리콘 전도대처럼 같은 계곡이 여럿이면 계곡 수 $g_v$를 곱한다. 엔진 함수: Q.dos3D(E, m), Q.dos2D(m).

양자 우물(5장)에서는 두께 방향 운동이 $E_n = n^2E_1$로 양자화되고, 면 방향으로는 자유롭다. 따라서 하위 띠 하나마다 2차원 상태 밀도 $m/\pi\hbar^2$가 하나씩 켜져서 상태 밀도가 계단이 된다. 우물 폭 $L$로 나누어 부피당으로 바꾸면 계단의 모서리가 정확히 3차원 포물선 $\sqrt E$ 위에 놓인다 — 우물을 넓히면 계단이 촘촘해져 3차원 결과로 돌아간다.

SIMULATOR

1D·2D·3D 상태 밀도: 양자 우물의 계단

첫 계단의 ◆ 모서리를 좌우로 끌면 우물 폭이 바뀐다

유효 질량

우물(선) 폭 L 양자선(L×L 단면) 1D 상태 밀도 2D 계단 아래 채우기

E₁, E₂—

2D 계단 높이 m*/πħ²—

첫 하위 띠만 채우는 면밀도—

회색 곡선 = 3D(덩어리) $\sqrt E$, 강조색 계단 = 양자 우물 2D(부피당으로 환산), 점선 봉우리 = 양자선 1D. 해볼 것: ① L을 40 nm로 넓히면 계단이 촘촘해져 포물선과 구별하기 어렵다. ② L = 5 nm에서는 첫 하위 띠 아래(0 < E < E₁)에 상태가 하나도 없다 — 바닥 에너지가 올라간 것이다. ③ 1D를 켜면 하위 띠 바닥마다 $1/\sqrt{E - E_n}$ 봉우리가 솟는다(반 호브 특이점).

실리콘 전도대(상태 밀도 유효 질량 $m^* = 1.08\,m_e$, 6개 계곡 포함)에서 $E_c$와 $E_c + kT$(300 K) 사이에 있는 상태 수를 cm³당으로 구하라.

풀이 보기

전략 상태 밀도를 0부터 $kT$까지 적분하면 $N = (1/3\pi^2)(2m^*kT/\hbar^2)^{3/2}$.

풀이 $2m^*kT/\hbar^2 = 2(1.08)(9.109\times10^{-31})(0.02585\times1.602\times10^{-19})/(1.0546\times10^{-34})^2 = 7.33\times10^{17}$ m⁻². $(7.33\times10^{17})^{3/2} = 6.27\times10^{26}$, $÷3\pi^2$ → $2.12\times10^{25}$ m⁻³.

약 2.1×10¹⁹ cm⁻³

검토 실리콘 원자 밀도(5.0×10²²)의 1/2400에 불과하다. 이 값은 6절의 유효 상태 밀도 $N_c = 2.8\times10^{19}$ cm⁻³과 거의 같다 — $N_c$는 "띠 바닥에서 $kT$ 남짓 안의 상태 수"라는 뜻이다.

반전층의 2D 상태 밀도와 양자 용량

MOSFET의 반전층은 두께 수 nm의 삼각 우물(5장)이라 전자가 2D 하위 띠에 산다. (100) 실리콘의 바닥 하위 띠는 면에 수직인 질량이 무거운 계곡 2개($g_v = 2$, 면 방향 질량 $m_t = 0.19$)로 이루어져 $g_{2D} = g_v m_t/\pi\hbar^2 = 1.59\times10^{14}$ cm⁻²eV⁻¹이다. 페르미 준위를 $dE$만큼 올리면 $dn_s = g_{2D}\,dE$개가 더 들어오므로, 반전층은 $C_q = e^2 g_{2D} \approx 25$ µF/cm²의 양자 용량(quantum capacitance)을 산화막 용량과 직렬로 붙인다. EOT 1 nm 산화막의 $C_{ox} = 3.45$ µF/cm²과 비교하면 양자 용량이 전체 게이트 용량을 약 12% 깎는다 — 얇은 게이트에서 "전기적 두께"가 물리적 두께보다 두꺼워지는 이유 중 하나다. → 소자: MOS 구조, 스케일링

자유 전자 금속과 페르미 에너지

금속의 가전자는 이온 사이를 거의 자유롭게 움직인다. 이 전자들을 상자 속 자유 전자 기체로 보자(자유 전자 모형(free-electron model)). $T = 0$에서 전자는 파울리 원리에 따라 가장 낮은 상태부터 하나씩 채운다. 마지막 전자가 들어간 에너지가 페르미 에너지(Fermi energy) $E_F$다. 3D 상태 수 공식 $N/V = (1/3\pi^2)(2mE_F/\hbar^2)^{3/2}$를 뒤집으면

$$E_F = \frac{\hbar^2}{2m}\left(3\pi^2 n\right)^{2/3}, \qquad v_F = \sqrt{2E_F/m}, \qquad T_F = E_F/k_B, \qquad \langle E\rangle_{T=0} = \tfrac35E_F$$

$n$: 전도 전자 수 밀도. 엔진 함수 Q.fermiEnergy(n)(n은 m⁻³).

전도 전자 밀도가 8.47인 금속의 페르미 에너지는 , 페르미 속력은 , 페르미 온도는 이다.

구리는 원자당 전도 전자 1개를 내놓고, 전자 밀도는 $8.47\times10^{28}$ m⁻³이다. $E_F$, $v_F$, $T_F$를 구하라.

풀이 보기

전략 자유 전자 공식에 그대로 넣는다. $3\pi^2 n = 2.508\times10^{30}$ m⁻³.

풀이 $(3\pi^2n)^{2/3} = 1.846\times10^{20}$ m⁻². $\hbar^2/2m_e = 6.104\times10^{-39}$ J·m² → $E_F = 1.127\times10^{-18}$ J = 7.03 eV. $v_F = \sqrt{2(1.127\times10^{-18})/9.109\times10^{-31}} = 1.57\times10^6$ m/s. $T_F = 7.03/8.617\times10^{-5} = 8.16\times10^4$ K.

E_F = 7.03 eV, v_F = 1.57×10⁶ m/s, T_F = 8.2×10⁴ K

검토 실온의 $kT$(0.026 eV)보다 270배 크다. 금속 전자는 실온에서도 "거의 절대 영도"에 있는 셈이다. 전자의 평균 에너지 $\tfrac35E_F = 4.2$ eV는 고전 기체($\tfrac32kT = 0.039$ eV)의 100배가 넘는다.

페르미 바다. 상태 밀도 $g \propto \sqrt E$ 아래를 $E_F$까지 채운다. 온도를 올려도 바뀌는 것은 $E_F$ 근처 몇 $kT$ 폭의 "표면"뿐이다. 바다 깊은 곳의 전자는 위가 모두 차 있어 열에너지 $kT$를 받아도 갈 곳이 없다.

전자 열용량이 작은 이유

고전 물리에 따르면 자유 전자 기체는 전자당 $\tfrac32k$의 열용량을 가져야 하지만, 실험값은 그 1% 정도다. 파울리 원리가 답이다. 열을 받아 들뜰 수 있는 전자는 $E_F$에서 $kT$ 안쪽의 약 $g(E_F)kT$개뿐이고, 각자 약 $kT$를 얻는다. 들뜬 에너지 $\sim g(E_F)(kT)^2$를 $T$로 미분하면 $T$에 비례하는 열용량이 나온다. 정확한 계산(조머펠트 전개)은

$$C_\text{el} = \frac{\pi^2}{3}g(E_F)\,k^2T = \frac{\pi^2}{2}Nk\,\frac{T}{T_F}$$

구리 300 K: $C_\text{el}/Nk = (\pi^2/2)(300/81\,600) = 0.018$. 고전값 $\tfrac32Nk$의 1.2%, 격자 열용량 $3Nk$의 0.6%다.

온도 T

MINI LAB구리($E_F = 7.03$ eV)의 점유 상태 밀도 $g(E)f(E)$. 주황 영역이 $E_F$ 위로 올라간 전자다. 온도를 수만 K까지 과장해야 겨우 보인다. 들뜬 전자의 비율은 $T$에 비례하고($(3\ln2/2)\,kT/E_F \approx 1.04\,kT/E_F$), 실온 구리에서는 0.4%다.

광자와 포논: 보스–아인슈타인 분포

광자와 포논(격자 진동의 양자, 7장)은 보손이고, 벽이나 격자에 흡수·방출되면서 개수가 보존되지 않는다. 개수를 맞출 필요가 없으므로 화학 퍼텐셜은 $\mu = 0$이고, 진동수 $\nu$인 모드 하나의 평균 양자 수는

$$\bar n(\nu) = \frac{1}{e^{h\nu/kT} - 1}$$

조화 진동자의 에너지 사다리 $h\nu(n + \tfrac12)$에 볼츠만 가중치를 준 평균과 같다(7장). 영점 에너지 $\tfrac12h\nu$는 열적으로 바뀌지 않으므로 빼고 쓴다.

흑체 복사를 다시 유도하기

1장에서는 플랑크 식을 "가설"로 받아들였다. 이제 세기만으로 유도할 수 있다. 한 변 $L$인 공동 속 전자기파 모드를 3절과 똑같이 세면(편광 2개가 스핀 2를 대신한다), 진동수 $\nu$와 $\nu + d\nu$ 사이 모드 수는 부피당 $(8\pi\nu^2/c^3)\,d\nu$이다. 모드마다 $h\nu\,\bar n$의 에너지를 가지므로

$$u(\nu)\,d\nu = \underbrace{\frac{8\pi\nu^2}{c^3}}_{\text{모드 밀도}}\;\underbrace{h\nu}_{\text{양자 에너지}}\;\underbrace{\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1}}_{\text{BE 점유}}\,d\nu$$

$\bar n$를 고전 등분배 값 $kT/h\nu$로 바꾸면 레일리–진스 식 $8\pi\nu^2kT/c^3$이 되어 자외선 파탄이 생긴다. 보스–아인슈타인 점유가 높은 진동수 모드를 지수적으로 꺼서 파탄을 막는다.

온도 T 레일리–진스(고전)

MINI LAB세 인수의 곱이 스펙트럼을 만든다: 점선(모드 밀도 × 에너지 $\propto\nu^3$)은 계속 커지고, 점점선(BE 점유)은 $h\nu \gg kT$에서 지수적으로 죽는다. 굵은 선이 곱이고, 점은 1장의 Q.planck로 계산한 값이다 — 정확히 겹친다. 봉우리는 $h\nu_\text{max} = 2.821\,kT$.

포논 점유

결정의 격자 진동도 같은 분포를 따른다. 실리콘의 광학 포논 에너지는 $\hbar\omega = 63$ meV로 300 K의 $kT$보다 2.4배 크다. 그래서 실온에서 광학 포논은 드물게만 들뜨고, 온도가 오르면 빠르게 늘어난다. 전자가 포논을 흡수·방출하며 산란되는 확률은 각각 $\bar n$과 $\bar n + 1$에 비례하므로, 온도가 오를수록 포논 산란이 늘어 이동도가 떨어진다.

에너지 63인 포논 모드는 300에서 평균 개 들뜬다(고전 등분배라면 $kT/\hbar\omega$ = 개). 전자가 이 포논을 흡수하는 비율 대 방출하는 비율은 $\bar n : (\bar n + 1)$ = 이다.

(a) 실리콘 광학 포논(63 meV)의 평균 점유를 300 K와 600 K에서 구하라. (b) 300 K에서 파장 10.0 µm인 적외선 모드의 평균 광자 수는?

풀이 보기

전략 $\bar n = 1/(e^{x} - 1)$, $x = \hbar\omega/kT$. 광자 에너지는 $hc/\lambda = 1239.84/10\,000$ eV.

풀이 (a) 300 K: $x = 0.063/0.02585 = 2.437$ → $\bar n = 0.0958$. 600 K: $x = 1.218$ → $\bar n = 0.420$. (b) $h\nu = 0.1240$ eV, $x = 4.796$ → $\bar n = 8.33\times10^{-3}$.

(a) 0.0958 (300 K), 0.420 (600 K) (b) 8.33×10⁻³

검토 온도를 두 배로 하자 포논 수는 4.4배가 되었다 — $x > 1$인 영역에서는 볼츠만 꼬리처럼 지수적으로 변한다. 실온 열복사의 봉우리(약 10 µm)에서도 모드 하나에 광자가 1%도 없다.

반도체의 캐리어 농도

이제 이 장의 목표다. 반도체 전도대의 전자 농도 $n$은 "상태 수 × 점유 확률"을 띠 전체에 대해 더한 것이다. 전도대 바닥 근처에서 띠는 포물선 $E = E_c + \hbar^2k^2/2m_n^*$이므로 상태 밀도는 3D 자유 전자 꼴에서 $E$를 $E - E_c$로, $m$을 상태 밀도 유효 질량 $m_n^*$로 바꾼 것이다.

$$n = \int_{E_c}^{\infty} g_c(E)\,f(E)\,dE, \qquad g_c(E) = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_n^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}\!\sqrt{E - E_c}, \qquad f(E) = \frac{1}{1 + e^{(E-E_F)/kT}}$$

$x = (E - E_c)/kT$, $\eta = (E_F - E_c)/kT$로 바꾸면 적분은 상수와 순수한 수의 곱으로 깔끔하게 나뉜다.

$$n = \underbrace{2\left(\frac{2\pi m_n^*kT}{h^2}\right)^{3/2}}_{N_c}\;\underbrace{\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\frac{\sqrt x\,dx}{1 + e^{x-\eta}}}_{F_{1/2}(\eta)} = N_c\,F_{1/2}(\eta)$$

$N_c$: 전도대 유효 상태 밀도(effective density of states), Q.Neff(m, T). $F_{1/2}$: 페르미–디랙 적분($\eta \ll -1$에서 $e^\eta$로 가도록 정규화), Q.fdHalf(η). 이 식은 근사 없이 정확하다(포물선 띠 가정만 있다).

$E_F$가 $E_c$보다 몇 $kT$ 이상 아래에 있으면($\eta < -3$) 전도대 전체에서 $E - E_F > 3kT$이므로 $f$를 볼츠만 꼬리로 바꿀 수 있고, $\int_0^\infty\sqrt x\,e^{-x}dx = \sqrt\pi/2$ 덕분에 $F_{1/2}(\eta) \to e^{\eta}$가 된다. 이것이 비축퇴(nondegenerate) 반도체의 표준 결과다. 정공(가전자대의 빈자리, 점유 $1 - f$)도 똑같이 계산한다.

$$n = N_c\,e^{-(E_c - E_F)/kT}, \qquad p = N_v\,e^{-(E_F - E_v)/kT} \qquad (E_c - E_F > 3kT,\; E_F - E_v > 3kT)$$

실리콘 300 K: $N_c = 2.8\times10^{19}$ cm⁻³ ($m_n^* = 6^{2/3}(m_lm_t^2)^{1/3} = 1.08$, 계곡 6개 포함). $N_v$는 정공 띠의 비포물선성 때문에 문헌값이 1.0–3.1×10¹⁹ cm⁻³로 흩어져 있다. 이 장의 계산기는 $N_v = 3.1\times10^{19}$(정공 상태 밀도 질량 1.15)과 $E_g(T)$를 써서 $n_i(300\text{ K}) \approx 1.0\times10^{10}$ cm⁻³를 재현한다.

상태 밀도는 띠 바닥에서 0으로 시작해 $\sqrt{E - E_c}$로 자란다.
점유 확률은 위로 갈수록 지수적으로 준다(볼츠만 꼬리). 그림은 $E_c$에서의 값으로 맞춰 그렸다 — 실제로는 $4\times10^{-4}$이다.
곱 $g_c f$가 전자의 에너지 분포다. 바닥 바로 위 $kT/2$에서 가장 많고, 몇 $kT$ 위로 가면 사라진다.
곡선 아래 넓이가 전자 농도다. 전자들은 띠 바닥 위 평균 $\tfrac32kT$의 운동 에너지를 가진 고전 기체처럼 행동한다.

캐리어 농도 적분의 해부. "작은 상태 밀도 × 작은 점유 확률"이 띠 바닥 근처의 좁은 띠 하나로 모인다.

SIMULATOR

f(E) × g(E) = 점유 상태 밀도

가운데 칸의 흰 점(E_F)을 위아래로 끈다

재료

온도 T E_F − E_v 볼츠만 근사 겹쳐 그리기

n (FD 정확)—

n (볼츠만)—

p—

np / n_i²—

η = (E_F − E_c)/kT—

왼쪽: 띠 가장자리와 상태 밀도 $g_c, g_v$. 가운데: $f(E)$. 오른쪽: 곱 $n(E) = g_cf$(위)과 $p(E) = g_v(1-f)$(아래)를 같은 축척으로 그렸다(작은 쪽은 몇 배 확대했는지 표시). 해볼 것: ① $E_F$를 띠 간격 안에서 위아래로 움직여도 $np/n_i^2 = 1$이 유지된다(질량 작용 법칙). ② $E_F$를 $E_c$ 가까이(η > −3) 올리면 볼츠만 값이 FD 값보다 커지기 시작하고, $E_F > E_c$(축퇴)에서는 몇 배나 틀린다. 이때 $np/n_i^2 < 1$이 된다. ③ 온도를 올리면 두 꼬리가 함께 굵어진다.

300 K 실리콘에서 $E_c - E_F = 0.200$ eV이다. 전자 농도는? 볼츠만 근사를 써도 되는지 확인하라($N_c = 2.8\times10^{19}$ cm⁻³).

풀이 보기

전략 $0.200/0.02585 = 7.74 > 3$이므로 비축퇴. $n = N_ce^{-(E_c-E_F)/kT}$.

풀이 $n = (2.8\times10^{19})e^{-7.737} = (2.8\times10^{19})(4.37\times10^{-4}) = 1.22\times10^{16}$ cm⁻³.

n ≈ 1.2×10¹⁶ cm⁻³

검토 $\eta = -7.74$에서 $F_{1/2}(\eta)/e^\eta = 0.9998$ — 볼츠만 근사의 오차는 0.02%다. 위 시뮬레이터에서 $E_F - E_v = 0.92$ eV로 맞춰 확인해 보라.

진성 반도체와 질량 작용 법칙

불순물이 없으면 전자는 가전자대에서 들떠 올라온 것뿐이므로 $n = p \equiv n_i$(진성 캐리어 농도(intrinsic carrier concentration)). 비축퇴 식 두 개를 곱하면 $E_F$가 사라진다.

$$np = N_cN_v\,e^{-E_g/kT} = n_i^2, \qquad n_i = \sqrt{N_cN_v}\,e^{-E_g/2kT} \propto T^{3/2}e^{-E_g/2kT}$$

질량 작용 법칙 $np = n_i^2$은 평형·비축퇴이기만 하면 도핑과 무관하다. $n_i$의 지수에 $E_g/2$가 들어가는 것은 전자–정공 쌍 하나를 만드는 데 $E_g$가 들고, 그 쌍이 두 입자로 나뉘기 때문이다. 진성 준위: $E_i = \tfrac12(E_c + E_v) + \tfrac34kT\ln(m_h^*/m_n^*)$ — Si에서는 중앙에서 몇 meV 안쪽이라 보통 띠 간격 중앙으로 본다.

실리콘 칩의 접합 온도가 25이면 진성 농도는 $n_i$ = 로, 25 °C의 배다. 공핍층 생성 누설($\propto n_i$)은 그만큼, 확산 누설($\propto n_i^2$)은 배 커진다.

실리콘의 온도를 300 K에서 400 K로 올리면(띠 간격 1.12 eV로 고정) 진성 농도는 대략 몇 배가 될까?

$T^{3/2}$ 인수는 1.54배지만 지수 인수 $e^{-E_g/2kT}$가 225배를 준다. 합쳐서 약 346배. 아레니우스 그래프에서 기울기 $-E_g/2k$인 직선이 이 민감도를 보여 준다.

SIMULATOR

진성 농도의 아레니우스 그래프: 고온 소자에 어떤 재료?

세로 커서의 ◆를 좌우로 끌어 온도를 고른다

재료 고르기(도전 답)

커서 온도—

n_i(Si)—

n_i(SiC)—

판정—

가로축은 $1000/T$(오른쪽이 저온), 세로축은 로그. 직선의 기울기가 $-E_g/2k$다. 도전: 동작 온도와 드리프트층 도핑 $N_D$가 주어진다. 진성 캐리어가 도핑의 1% 미만이어야($n_i < 0.01N_D$) 소자가 제어된다. 조건을 만족하는 재료 중 띠 간격이 가장 작은 것(가장 성숙하고 값싼 쪽)을 골라라. 계산: $n_i = \sqrt{N_cN_v}e^{-E_g/2kT}$, $N_{c,v} \propto T^{3/2}$; Si·Ge·GaAs는 $E_g(T)$ 반영, SiC·GaN은 300 K 값 고정.

10 K마다 두 배: 누설 전류와 넓은 띠 간격 전력 반도체

실온 근처 실리콘에서 $n_i$는 10 K 오를 때마다 약 2.1배가 된다($n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³ at 300 K). pn 접합의 역방향 누설은 공핍층 생성 성분($\propto n_i$)과 확산 성분($\propto n_i^2$, 10 K에 약 4.5배)으로 이루어지므로, 접합 온도가 오르면 누설이 지수적으로 늘고, 그 누설이 다시 열을 내는 열 폭주가 생길 수 있다. 그래서 칩 데이터시트는 접합 온도 상한(Si 보통 125–175 °C)을 둔다. 띠 간격이 3배인 4H-SiC(3.26 eV)와 GaN(3.4 eV)은 300 K $n_i$가 10⁻⁸–10⁻¹⁰ cm⁻³ 수준이고 500 °C에서도 10⁹ cm⁻³ 수준이다 — 전기차 인버터·고전압 전력 소자가 SiC로 가는 이유다(높은 항복 전계도 같은 띠 간격에서 나온다). → 소자: 캐리어, pn 접합, 생성·재결합

도핑과 페르미 준위의 위치

실리콘에 인(P, 5족)을 넣으면 여분의 전자 하나가 P⁺ 이온에 약하게 묶인다. 8장의 수소 모형에서 질량을 $m^*$, 유전율을 $\varepsilon_r\varepsilon_0$로 바꾸면 결합 에너지는 $13.6\text{ eV}\times m^*/\varepsilon_r^2 \approx 26$ meV($m^* = 0.26$, $\varepsilon_r = 11.7$; 실측 P 45 meV) — $kT$와 비슷하므로 실온에서 거의 모두 이온화되어 전도대로 올라간다. 붕소(B, 3족)는 같은 방식으로 정공을 내놓는다. 이온화된 주개 농도 $N_D^+$와 받개 농도 $N_A^-$가 정해지면, 남은 미지수 $E_F$는 전하 중성 하나로 결정된다.

$$p + N_D^+ = n + N_A^-, \qquad N_D^+ = \frac{N_D}{1 + 2e^{(E_F - E_d)/kT}}, \qquad N_A^- = \frac{N_A}{1 + 4e^{(E_a - E_F)/kT}}$$

$n = N_cF_{1/2}(\eta_c)$, $p = N_vF_{1/2}(\eta_v)$를 넣으면 $E_F$에 대한 방정식 하나가 된다. 왼쪽은 $E_F$에 대해 감소, 오른쪽은 증가하므로 근은 꼭 하나 있다. 인수 2·4는 주개·받개 준위의 겹침(스핀, 가전자대 겹침)에서 온다.

완전 이온화($N_D^+ = N_D$)와 비축퇴를 가정하면 $np = n_i^2$과 연립해서 닫힌 꼴이 나온다.

$$n = \frac{N_D - N_A}{2} + \sqrt{\left(\frac{N_D - N_A}{2}\right)^2 + n_i^2}, \qquad p = \frac{n_i^2}{n}, \qquad E_c - E_F = kT\ln\frac{N_c}{n}, \qquad E_F - E_i = kT\ln\frac{n}{n_i}$$

$N_D \gg n_i$이면 $n \approx N_D$. 도핑이 10배 늘 때마다 $E_F$는 $kT\ln10 = 59.5$ meV씩 전도대 쪽으로 올라간다.

도핑에 따른 페르미 준위. n형은 $E_c$ 쪽으로, p형은 $E_v$ 쪽으로 간다. $10^{20}$ cm⁻³처럼 $N_c$보다 많이 넣으면 $E_F$가 전도대 안으로 들어가는 축퇴 반도체가 되어 볼츠만 식을 쓸 수 없다.

300 K 실리콘에 인을 $N_D = 1.0\times10^{16}$ cm⁻³ 넣었다. $n$, $p$, $E_c - E_F$, $E_F - E_i$를 구하라($n_i = 1.0\times10^{10}$, $N_c = 2.8\times10^{19}$ cm⁻³, 완전 이온화).

풀이 보기

전략 $N_D \gg n_i$이므로 $n = N_D$. 질량 작용 법칙으로 $p$, 볼츠만 식을 뒤집어 $E_F$.

풀이 $n = 1.0\times10^{16}$, $p = n_i^2/n = 10^{20}/10^{16} = 1.0\times10^4$ cm⁻³. $E_c - E_F = 0.02585\ln(2.8\times10^{19}/10^{16}) = 0.02585\times7.937 = 0.205$ eV. $E_F - E_i = 0.02585\ln(10^6) = 0.357$ eV.

n = 1.0×10¹⁶, p = 1.0×10⁴ cm⁻³, E_c − E_F = 0.205 eV, E_F − E_i = 0.357 eV

검토 소수 캐리어(정공)는 다수 캐리어의 10⁻¹²배다. $0.205 + 0.357 = 0.562$ eV ≈ $E_g/2$로 앞뒤가 맞는다. $E_c - E_F = 7.9kT > 3kT$이므로 비축퇴 가정도 성립한다.

300 K 실리콘의 주개 농도를 10¹⁶에서 10¹⁸ cm⁻³로 100배 늘리면, 페르미 준위는 전도대 쪽으로 얼마나 올라갈까?

$\Delta E_F = kT\ln100 = 2\times59.5 = 119$ meV(볼츠만·완전 이온화 근사). 시뮬레이터에서 $N_D$ 핸들을 끌어 확인하고, 10¹⁸ 근처에서는 불완전 이온화와 축퇴 효과로 이 단순한 값에서 어긋나기 시작하는 것도 보라.

SIMULATOR

도핑 → 페르미 준위 계산기: 목표 E_F를 맞혀라

오른쪽 눈금의 N_D·N_A 핸들을 위아래로 끈다

재료

온도 T 불완전 이온화 포함

N_D, N_A—

n, p—

E_c − E_F—

이온화 N_D⁺/N_D—

상태—

계산: 전하 중성 $p + N_D^+ = n + N_A^-$을 $n = N_cF_{1/2}$, $p = N_vF_{1/2}$(FD 정확)로 이분법 풀이. 주개·받개 준위는 Si 45 meV, Ge 12/10 meV, GaAs 6/26 meV이고, 고농도에서 불순물 띠가 생겨 이온화 에너지가 $N^{1/3}$에 비례해 줄어드는 경험식을 넣었다. 해볼 것: ① 목표선(점선)에 $E_F$를 맞혀라. ② 온도를 50 K로 내리면 전자가 주개에 다시 붙는 동결(freeze-out)이 보인다. ③ 600 K 이상에서는 $n_i$가 도핑을 넘어 $E_F$가 $E_i$로 돌아간다(진성 영역). ④ $N_D$와 $N_A$를 같게 하면 보상되어 진성처럼 된다.

300 K 실리콘에 $N_D = 1.0\times10^{20}$ cm⁻³(완전 이온화 가정)를 넣었다. (a) 볼츠만 식으로 $E_F - E_c$를 구하고, (b) 페르미–디랙 적분으로 정확한 값을 구하라. (c) 정확한 $E_F$를 볼츠만 식에 넣으면 $n$을 몇 배로 잘못 계산하는가? ($N_c = 2.8\times10^{19}$)

풀이 보기

전략 $n/N_c = 3.571$. 볼츠만: $e^\eta = 3.571$. 정확: $F_{1/2}(\eta) = 3.571$을 수치로 푼다(Q.fdHalf를 이분법).

풀이 (a) $\eta_B = \ln3.571 = 1.273$ → $E_F - E_c = 0.0329$ eV. (b) $F_{1/2}(\eta) = 3.571$ → $\eta = 2.479$ → $E_F - E_c = 0.0641$ eV. (c) $e^{2.479}/3.571 = 11.92/3.571 = 3.34$배.

(a) +0.033 eV (b) +0.064 eV (c) 약 3.3배 과대

검토 $E_F$가 $E_c$보다 위에 있으므로 $f$가 1에 가까운 상태가 많고, 볼츠만 꼬리는 1을 넘는 "점유"를 주어 과대평가한다. 볼츠만 근사는 $\eta < -3$에서만 믿을 수 있다.

축퇴 도핑된 소스/드레인

MOSFET의 소스·드레인과 접촉부는 저항을 줄이려고 $10^{20}$ cm⁻³ 이상 도핑한다. 이 농도는 $N_c$의 3배가 넘어 $E_F$가 전도대 바닥 위 약 64 meV에 있다(축퇴). 이때 $n = N_ce^{-(E_c-E_F)/kT}$과 $np = n_i^2$은 성립하지 않고, 띠 간격 좁아짐(BGN)까지 겹쳐 유효 $n_{i,\text{eff}}$가 커진다. TCAD는 이를 위해 페르미–디랙 통계 옵션과 BGN 모델을 켠다. 금속–반도체 접촉에서 이렇게 높은 도핑은 장벽을 얇게 만들어 터널링 오믹 접촉을 만든다(6장). → 소자: MOSFET, 금속–반도체 접촉, 도핑 공정, TCAD, 캐리어

핵심 정리

모든 미시 상태가 똑같이 일어날 만하면, 저장고와 접촉한 계가 에너지 $E$인 상태에 있을 확률은 $e^{-E/kT}$에 비례한다. 온도는 $1/kT = \partial\ln\Omega/\partial U$로 정의된다. 300 K의 $kT = 25.85$ meV.
같은 양자 입자는 구별되지 않는다. 한 상태의 평균 점유는 $\bar n = 1/(e^{(E-\mu)/kT} + a)$: 페르미–디랙 $a = +1$(최대 1), 보스–아인슈타인 $a = -1$, 볼츠만 $a = 0$. $E - \mu \gg kT$이면 셋이 같아진다.
상자 속 k 공간 세기로 $g_{3D} \propto \sqrt E$, $g_{2D} = m/\pi\hbar^2$(상수), $g_{1D} \propto 1/\sqrt E$. 양자 우물의 상태 밀도는 하위 띠마다 켜지는 계단이다.
자유 전자 금속: $E_F = (\hbar^2/2m)(3\pi^2n)^{2/3}$ (Cu 7.0 eV, $T_F \approx 8\times10^4$ K). $E_F$ 근처 $kT$ 폭의 전자만 들뜰 수 있어 전자 열용량은 고전값의 약 $T/T_F$배다.
광자·포논은 $\mu = 0$인 보손이다. 모드 밀도 $8\pi\nu^2/c^3$ × $h\nu$ × $1/(e^{h\nu/kT}-1)$이 플랑크 식이다.
$n = \int g_cf\,dE = N_cF_{1/2}(\eta)$는 정확하다. $E_c - E_F > 3kT$이면 $n = N_ce^{-(E_c-E_F)/kT}$, 정공도 같다. 둘을 곱하면 $np = n_i^2$, $n_i \propto T^{3/2}e^{-E_g/2kT}$(Si 300 K: 1.0×10¹⁰ cm⁻³, 10 K마다 약 2배).
페르미 준위는 전하 중성 $p + N_D^+ = n + N_A^-$으로 정해진다. 비축퇴에서 $E_c - E_F = kT\ln(N_c/n)$; $N_D \gtrsim N_c$이면 축퇴되어 FD 적분을 써야 한다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $k_B = 8.617\times10^{-5}$ eV/K, 300 K에서 $kT = 0.02585$ eV, 실리콘은 $N_c = 2.8\times10^{19}$ cm⁻³, $n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³, 완전 이온화를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다(따로 적은 경우 제외).

액체 질소 온도(77 K)에서 $kT$는 몇 meV인가?

$kT = (8.617\times10^{-5})(77) = 6.635\times10^{-3}$ eV = 6.64 meV.

400 K에서 에너지가 0.300 eV 다른 두 상태(겹침 없음)의 점유 비(위/아래)는?

$kT = 0.03447$ eV, $\Delta E/kT = 8.703$, $e^{-8.703} = 1.66\times10^{-4}$.

간격 ε인 준위 사다리(0, ε, 2ε, …; 각 준위는 상태 하나)에 입자 3개가 전체 에너지 3ε로 있다. 구별 가능 입자, 보손, 스핀 없는 페르미온의 미시 상태 수를 각각 구하라.

B: 퀀텀 3개를 입자 3개에 나누는 방법 $\binom{3+2}{2}$. BE: 3을 세 개 이하의 수로 나누는 분할. FD: 서로 다른 세 준위의 합이 3.

B: $\binom{5}{2} = 10$. BE: {3,0,0}, {2,1,0}, {1,1,1} → 3. FD: 서로 다른 준위 {0,1,2}만 가능 → 1. 미니 실험(입자 3개, 에너지 3)으로 확인하라.

300 K에서 페르미 준위보다 0.100 eV 높은 상태가 전자로 채워질 확률은?

$f = 1/(1 + e^{3.868}) = 1/(1 + 47.86) = 0.0205$. 볼츠만 근사 $e^{-3.868} = 0.0209$와 2% 차이.

유효 질량 $1.08\,m_e$(스핀 포함)인 포물선 띠에서 띠 바닥부터 0.100 eV 위까지 있는 상태 수를 cm³당으로 구하라.

$N = \int_0^E g\,dE = (1/3\pi^2)(2m^*E/\hbar^2)^{3/2}$.

$2m^*E/\hbar^2 = 2(1.08)(9.109\times10^{-31})(1.602\times10^{-20})/(1.0546\times10^{-34})^2 = 2.835\times10^{18}$ m⁻². $(\cdot)^{3/2} = 4.77\times10^{27}$, $÷3\pi^2$ → $1.61\times10^{26}$ m⁻³ = $1.61\times10^{20}$ cm⁻³.

알루미늄은 원자당 전도 전자 3개를 내놓아 $n = 18.1\times10^{28}$ m⁻³이다. 자유 전자 모형의 페르미 에너지는?

$(3\pi^2n)^{2/3} = (5.359\times10^{30})^{2/3} = 3.063\times10^{20}$ m⁻², $E_F = (6.104\times10^{-39})(3.063\times10^{20}) = 1.870\times10^{-18}$ J = 11.7 eV.

(100) 실리콘 반전층의 바닥 하위 띠는 계곡 2개($g_v = 2$)이고 면 방향 유효 질량은 $0.19\,m_e$다. 2D 상태 밀도 $g_{2D} = g_vm^*/\pi\hbar^2$(스핀 포함)로 양자 용량 $C_q = e^2g_{2D}$를 µF/cm²로 구하라.

$g_{2D} = 2(0.19)(9.109\times10^{-31})/(\pi(1.0546\times10^{-34})^2) = 9.91\times10^{36}$ J⁻¹m⁻². $C_q = e^2g_{2D} = (1.602\times10^{-19})^2(9.91\times10^{36}) = 0.254$ F/m² = 25.4 µF/cm². EOT 1 nm의 $C_{ox} = 3.45$ µF/cm²보다 7배 크지만 직렬이므로 무시할 수 없다.

300 K 흑체 공동에서 파장 10.0 µm인 모드 하나의 평균 광자 수는? ($hc = 1239.84$ eV·nm)

$h\nu = 0.12398$ eV, $x = 4.796$, $\bar n = 1/(e^{4.796} - 1) = 8.33\times10^{-3}$.

띠 간격을 1.12 eV로 고정하고 $N_c, N_v \propto T^{3/2}$라 할 때, 실리콘의 $n_i(400\text{ K})/n_i(300\text{ K})$는?

$(T_2/T_1)^{3/2}\exp[-(E_g/2k)(1/T_2 - 1/T_1)]$.

$(4/3)^{1.5} = 1.540$. $E_g/2k = 6499$ K, $1/300 - 1/400 = 8.333\times10^{-4}$ K⁻¹ → $e^{5.415} = 224.8$. 곱: 346.

300 K 실리콘에 붕소를 $N_A = 5.0\times10^{17}$ cm⁻³ 넣었다. 전자 농도 $n$과 $E_i - E_F$를 구하라.

$p = N_A$, $n = n_i^2/p = 10^{20}/(5\times10^{17}) = 200$ cm⁻³. $E_i - E_F = kT\ln(p/n_i) = 0.02585\ln(5\times10^7) = 0.458$ eV.

300 K 실리콘에 주개 $1.0\times10^{20}$ cm⁻³가 모두 이온화되어 있다. 페르미–디랙 적분으로 $E_F - E_c$를 구하라. ($F_{1/2}(2.0) = 2.824$, $F_{1/2}(2.5) = 3.610$, $F_{1/2}(3.0) = 4.488$)

$F_{1/2}(\eta) = n/N_c = 3.571$. 주어진 표 사이를 선형 보간하라.

$3.571$은 $\eta = 2.0$과 2.5 사이: $\eta \approx 2.0 + 0.5(3.571 - 2.824)/(3.610 - 2.824) = 2.475$ (정확한 수치 풀이 2.479). $E_F - E_c = 2.479\times0.02585 = 0.0641$ eV. 볼츠만 식은 0.0329 eV로 절반밖에 안 된다.

NAND 플래시의 전하 손실 활성화 에너지가 1.10 eV이다. 55 °C에서 10년(87 600 h) 동안의 데이터 유지와 같은 열화를 125 °C 굽기로 재현하려면 몇 시간이 필요한가?

$AF = \exp[(E_a/k)(1/T_1 - 1/T_2)]$, 온도는 K로.

$T_1 = 328.15$ K, $T_2 = 398.15$ K. $E_a/k = 12\,765$ K, $1/T_1 - 1/T_2 = 5.358\times10^{-4}$ → $AF = e^{6.839} = 934$. $t = 87\,600/934 = 93.8$ h.

금속 속 전도 전자의 점유를 기술하는 분포는?

전자는 페르미온이다. 금속에서는 $T \ll T_F$라 볼츠만 근사가 전혀 맞지 않는다. 볼츠만 꼴이 쓰이는 것은 비축퇴 반도체처럼 상태가 드물게 채워질 때뿐이다.

반도체의 전자 농도를 $n = N_ce^{-(E_c-E_F)/kT}$로 계산해도 되는 조건은?

전도대의 모든 상태에서 $E - E_F > 3kT$여야 $f \approx e^{-(E-E_F)/kT}$의 오차가 5% 아래다. $E_F$가 띠 간격 안에 있어도 $E_c$에 $3kT$보다 가까우면 오차가 커진다.

개념 확인 퀴즈

볼츠만 분포에서 에너지가 높을수록 점유가 줄어드는 근본 이유는?

$P(E) \propto \Omega_R(U - E)$. 저장고의 경우의 수는 에너지에 대해 지수적으로 늘기 때문에, 가져간 에너지만큼 지수적으로 손해를 본다.

$T > 0$에서 페르미–디랙 분포의 $f(E_F)$는?

$f(E_F) = 1/(1 + e^0) = 1/2$. 이것이 페르미 준위의 정의이기도 하다: 점유 확률이 반인 에너지.

2차원 전자 기체(양자 우물의 하위 띠 하나)의 상태 밀도는 에너지에 따라 어떻게 변하는가?

k 공간에서 넓이 $\pi k^2 \propto E$이므로 $dN/dE$가 상수다. 하위 띠가 여럿이면 계단이 된다.

n형 실리콘의 도핑을 늘리면 소수 캐리어(정공) 농도는?

$p = n_i^2/n \approx n_i^2/N_D$. 페르미 준위가 $E_c$ 쪽으로 올라가면 가전자대 꼭대기와 $E_F$ 사이가 벌어져 정공이 지수적으로 준다.

광자 기체의 화학 퍼텐셜이 0인 이유는?

$\mu$는 입자 수를 맞추는 라그랑주 승수다. 개수에 제약이 없으면 $\mu = 0$. 포논도 마찬가지다.

미시 상태 세기와 볼츠만 분포

에너지 퀀텀 나눠 주기: 점유 히스토그램

구별 불가능성: 세 가지 통계

맥스웰–볼츠만 (B)

보스–아인슈타인 (BE)

페르미–디랙 (FD)

세 분포 함수

페르미–디랙 분포의 온도 의존

상태 밀도: k 공간에서 세기

1D·2D·3D 상태 밀도: 양자 우물의 계단

자유 전자 금속과 페르미 에너지

전자 열용량이 작은 이유

광자와 포논: 보스–아인슈타인 분포

흑체 복사를 다시 유도하기

포논 점유

반도체의 캐리어 농도

f(E) × g(E) = 점유 상태 밀도

진성 반도체와 질량 작용 법칙

진성 농도의 아레니우스 그래프: 고온 소자에 어떤 재료?

도핑과 페르미 준위의 위치

도핑 → 페르미 준위 계산기: 목표 EF를 맞혀라

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈

도핑 → 페르미 준위 계산기: 목표 E_F를 맞혀라