Chapter 06

고체의 열적 성질

최신 칩의 트랜지스터 하나가 내는 열은 수 µW에 불과하지만, 그 열이 빠져나갈 길은 폭 수 nm의 실리콘 나노시트와 열을 거의 통하지 않는 산화막뿐이다. 열을 담는 그릇(비열), 열에 따라 늘어나는 정도(열팽창), 열을 나르는 능력(열전도)은 모두 앞 장의 포논이 정한다. 19세기 고전 물리는 고체의 비열이 온도와 상관없이 $3R$이라고 예측했지만, 차갑게 식힌 결정은 그 예측을 정면으로 거슬렀다. 이 장은 그 실패에서 양자화된 격자 진동으로, 다시 나노미터 소자의 자체 발열로 이어지는 길을 따라간다. 아래에서 온도를 바꾸면 원자의 떨림과 비열이 함께 변한다.

그래프를 끌어 온도를 바꿔 보세요

등분배 정리로 뒬롱–프티 법칙 $C = 3R$을 유도하고, 저온에서 이 법칙이 깨지는 이유를 설명한다.
보스–아인슈타인 점유수로 아인슈타인 비열을 유도하고, 저온에서 지수적으로 줄어드는 이유를 $\hbar\omega$와 $k_BT$의 비교로 설명한다.
디바이 모형의 차단 파수 $k_D = (6\pi^2 n)^{1/3}$과 디바이 온도 $\Theta_D$를 계산하고, 저온 $T^3$ 법칙으로 비열을 구한다.
1차원·3차원 포논 상태 밀도를 디바이 근사와 비교하고, 열에너지와 영점 에너지를 계산한다.
퍼텐셜의 비대칭(비조화성)이 열팽창을 만드는 과정을 보이고, 그뤼나이젠 매개변수와 열팽창 불일치 응력을 계산한다.
기체 운동론 $\kappa = \tfrac13 Cv\ell$로 포논 평균 자유 행로를 추정하고, 정상·움클랍 과정, $\kappa(T)$의 봉우리, 얇은 막·나노와이어·계면의 열저항을 소자 자체 발열과 연결한다.

고전 비열: 뒬롱–프티 법칙과 그 실패

물질 1몰의 온도를 1 K 올리는 데 드는 열이 몰 열용량(heat capacity)이다. 부피를 고정하면 $C_V = (\partial U/\partial T)_V$, 압력을 고정하면 $C_P$이다. 고체는 열팽창이 작아서 둘의 차 $C_P - C_V = 9\alpha^2 B V_m T$가 상온에서 Si는 0.02 J/(mol·K), Cu도 0.7 J/(mol·K)(3%)에 그친다. 이 장의 이론은 $C_V$를 계산하고, 실험값은 보통 $C_P$다.

1819년 뒬롱과 프티는 금속 원소 대부분의 몰 열용량이 약 25 J/(mol·K)로 거의 같다는 것을 발견했다. 고전 통계역학은 이것을 간단히 설명한다. 결정 속 원자 하나는 평형 위치 둘레에서 $x, y, z$ 세 방향으로 진동하는 조화 진동자이고, 그 에너지에는 운동 에너지 제곱항 3개($\tfrac12 mv_x^2$ …)와 퍼텐셜 에너지 제곱항 3개($\tfrac12 Kx^2$ …)가 있다. 등분배 정리(equipartition theorem)에 따르면 제곱항 하나가 평균 $\tfrac12 k_BT$씩 가지므로 원자 하나의 평균 에너지는 $3k_BT$다.

고전 고체 모형. 원자마다 독립적인 진동 자유도가 3개이고, 그 하나하나가 운동·퍼텐셜 제곱항을 하나씩 가진다. 실제로는 원자들이 결합으로 얽혀 있지만, 3N개의 정규 모드(5장의 포논)로 풀어 쓰면 똑같이 독립 진동자 3N개가 된다.

뒬롱–프티 법칙

고전 조화 진동자로 이루어진 고체의 몰 열용량(원자 1몰 기준)은 온도와 물질에 상관없이 일정하다.

$$U = 3N k_B T = 3RT \quad\Longrightarrow\quad C_V = 3R = 24.94\ \text{J/(mol K)}$$

화합물은 원자 수로 센다. GaAs 1몰(원자 2몰)은 $6R$이다.

질량 기준 비열(specific heat)로 바꾸면 $c = 3R/M$이므로 가벼운 원소일수록 1 g당 비열이 크다. 아래 숫자 문단에서 원자량을 바꿔 보자.

몰질량이 28.09인 원소의 고전 비열은 $c = 3R/M =$ 이다. 측정한 비열이 0.712라면 몰 열용량은 , 고전 예측의 다.

표를 보면 납·금·구리는 $3R$ 근처지만, 실리콘은 80%, 다이아몬드는 겨우 25%다. 원자가 가볍고 결합이 단단한 물질일수록 상온에서 이미 고전 값에 못 미친다. 그리고 1900년대 초 저온 실험(네른스트)은 모든 고체의 비열이 $T \to 0$에서 0으로 간다는 것을 보였다. 열역학 제3법칙이 요구하는 결과이기도 하다. 고전 이론으로는 어느 쪽도 설명할 수 없다.

물질	몰질량 (g/mol)	$C_P$(298 K) (J/(mol·K))	$C_P/3R$	$\Theta_D$ (K)
납 Pb	207.2	26.65	1.07	105
금 Au	196.97	25.42	1.02	165
구리 Cu	63.55	24.44	0.98	343
알루미늄 Al	26.98	24.20	0.97	428
저마늄 Ge	72.63	23.22	0.93	374
실리콘 Si	28.09	20.00	0.80	645
다이아몬드 C	12.01	6.11	0.245	2230

$C_P$는 CRC Handbook의 298.15 K 값, $\Theta_D$는 저온 비열로 정한 디바이 온도(Kittel)다. 납이 $3R$을 넘는 것은 $C_P - C_V$와 비조화 효과 때문이다(5절).

다이아몬드는 상온에서 $3R$의 25%밖에 안 된다. 그렇다면 다이아몬드를 1000 K로 데우면?

비열은 물질마다 다른 함수가 아니라 $T/\Theta_D$의 보편 함수에 가깝다. 다이아몬드($\Theta_D$ ≈ 2000 K)의 1000 K는 납(105 K)의 50 K와 비슷한 상황이다. 아래 미니 실험에서 온도를 올려 확인하라.

온도 T 298 K 실측값(빈 원)

MINI LAB가로축은 $T/\Theta_D$(로그), 세로축은 $C_V/3R$이다. 실선은 3절의 디바이 곡선 하나뿐인데, 온도를 바꾸면 여섯 물질이 각자의 $\Theta_D$에 따라 그 한 곡선 위를 미끄러진다. 298 K에 두면 빈 원(실측 $C_P$)이 채운 점과 거의 겹친다.

(a) 실리콘($M = 28.09$ g/mol)의 뒬롱–프티 비열을 J/(g·K)로 구하라. (b) 298 K 실측 비열은 0.712 J/(g·K)이다. 고전 값의 몇 %인가? (c) 지름 300 mm, 두께 775 µm인 웨이퍼(밀도 2.329 g/cm³)를 상온에서 1 K 데우는 데 드는 열은?

풀이 보기

전략 $c = 3R/M$. 웨이퍼 질량은 부피 × 밀도.

풀이 (a) $c = 3(8.314)/28.09 = 0.888$ J/(g·K). (b) $0.712/0.888 = 0.802$, 80%. (c) 부피 $\pi(15\ \text{cm})^2(0.0775\ \text{cm}) = 54.8$ cm³, 질량 127.6 g, $Q = mc\Delta T = 127.6 \times 0.712 \times 1 = 90.8$ J.

(a) 0.888 J/(g·K) (b) 80% (c) 약 91 J

검토 Si의 $\Theta_D$(645 K)는 상온의 두 배가 넘어서, 높은 진동수 모드 일부가 아직 "얼어" 있다. 고온 공정(1000 K 이상)에서는 비열이 고전 값에 다가가 오히려 조금 넘는다.

아인슈타인 모형: 양자화된 진동자

1907년 아인슈타인은 플랑크의 양자 가설을 고체에 적용했다. 원자 $N$개의 결정을 진동수가 모두 같은 $\omega_E$인 독립 양자 조화 진동자 $3N$개로 본다. 현대물리학에서 배웠듯이 양자 조화 진동자의 에너지는 $E_n = (n + \tfrac12)\hbar\omega$로 띄엄띄엄하고, 온도 $T$에서 진동자의 평균 들뜸 수는 보스–아인슈타인 분포를 따른다. 들뜸 양자 하나가 곧 포논 하나다.

$$\langle n\rangle = \frac{1}{e^{\hbar\omega/k_BT} - 1}, \qquad \langle \varepsilon\rangle = \hbar\omega\left(\langle n\rangle + \tfrac12\right)$$

$\langle n\rangle$은 보스–아인슈타인 점유수(Bose–Einstein occupation)로, 진동수 $\omega$인 모드에 평균 몇 개의 포논이 있는지를 말한다. 포논 수는 보존되지 않으므로 화학 퍼텐셜이 0이다. $\tfrac12\hbar\omega$는 $T = 0$에서도 남는 영점 에너지.

내부 에너지 $U = 3N\langle\varepsilon\rangle$을 온도로 미분하고 아인슈타인 온도(Einstein temperature) $\Theta_E = \hbar\omega_E/k_B$로 쓰면

$$C_V^{\text{E}} = 3Nk_B\,\frac{x^2 e^x}{(e^x - 1)^2}, \qquad x = \frac{\Theta_E}{T}$$

고온($x \ll 1$): $C_V \to 3Nk_B(1 - x^2/12)$, 뒬롱–프티로 돌아간다. 저온($x \gg 1$): $C_V \approx 3Nk_B\,x^2 e^{-x}$, 지수적으로 0이 된다.

왜 저온에서 비열이 사라질까? 진동자를 첫 들뜬 상태로 올리려면 에너지 $\hbar\omega$가 한꺼번에 필요하다. $k_BT \ll \hbar\omega$이면 그만한 열 요동이 일어날 확률이 볼츠만 인자 $e^{-\hbar\omega/k_BT}$만큼 작아서, 진동자는 바닥 상태에 "얼어" 열을 받아들이지 못한다. 고전 등분배는 에너지가 연속이라고 가정했기 때문에 이 얼어붙음을 볼 수 없었다.

고온: 열에너지 $k_BT$(왼쪽 막대)가 준위 간격보다 훨씬 크다. 준위가 사실상 연속이라 고전 등분배가 맞는다.
$T = \Theta_E$: $k_BT$가 간격과 같다. 아직 들뜸이 꽤 있지만 바닥 상태가 많아지기 시작한다.
저온: $k_BT$가 간격보다 훨씬 작다. 첫 들뜬 상태에 갈 확률이 $e^{-4} \approx 2\%$뿐이라 온도를 조금 올려도 에너지가 거의 늘지 않는다 — 비열이 얼어붙는다.

양자 진동자의 얼어붙음. 비열은 "온도를 올릴 때 점유 확률이 얼마나 바뀌는가"이므로, 모든 진동자가 바닥에 갇힌 저온에서는 0에 가깝다.

T / Θ_E

MINI LAB위 그림을 연속으로 바꿔 본다. 막대는 점유 확률 $P(n)$, 굵은 선은 평균 에너지 $\langle\varepsilon\rangle$, 점선은 영점 에너지 $\tfrac12\hbar\omega$다. 왼쪽 $k_BT$ 막대 끝의 흰 원을 위아래로 끌어 온도를 바꿔도 된다. $T/\Theta_E$를 0.1 아래로 내리면 평균 에너지가 영점에 달라붙는다.

SIMULATOR

아인슈타인 고체: 진동자 48개의 포논 세기

곡선 위 점을 끌어 온도 선택

온도 T 아인슈타인 온도 Θ_E 고전 값 3R 표시 다이아몬드 실측(298 K)

이론 ⟨n⟩—

48개 표본 평균 n—

C_V (J/(mol·K))—

C_V/3R—

왼쪽 칸 하나가 진동자 하나이고, 쌓인 점의 개수가 그 진동자의 포논 수 $n$이다. 매 순간 몇 개씩 열 평형 분포에서 새로 뽑힌다. 해볼 것: ① $\Theta_E$ = 1320 K(아인슈타인이 다이아몬드에 맞춘 값)에서 $T$를 298 K에 두면 곡선이 실측점 6.11 J/(mol·K)를 지난다. ② $T$를 100 K로 내리면 48칸이 거의 다 비고 $C_V$는 0.008 J/(mol·K)가 된다. ③ $\Theta_E$를 바꿔도 곡선 모양은 그대로이고 가로로만 늘었다 줄었다 한다.

아인슈타인은 다이아몬드에 $\Theta_E = 1320$ K를 맞췄다. (a) 300 K, (b) 100 K에서 몰 열용량을 구하라. (c) 300 K에서 진동자당 평균 포논 수는?

풀이 보기

전략 $x = \Theta_E/T$를 구해 $C = 3R\,x^2e^x/(e^x-1)^2$, $\langle n\rangle = 1/(e^x - 1)$에 넣는다.

풀이 (a) $x = 4.40$, $e^x = 81.45$, $C = 24.94 \times 19.36 \times 81.45/80.45^2 = 6.08$ J/(mol·K). (b) $x = 13.2$, $C = 24.94 \times 174.2 \times e^{-13.2} \approx 8.0\times10^{-3}$ J/(mol·K). (c) $\langle n\rangle = 1/80.45 = 0.0124$.

(a) 6.08 J/(mol·K) (b) 8.0 × 10⁻³ J/(mol·K) (c) 0.012

검토 (a)는 실측 6.11과 0.5% 이내로 맞는다 — 양자론이 고체에서 거둔 첫 성공이다. 하지만 다음 절의 디바이 모형은 (b)에서 0.18로 스무 배 넘게 큰 값을 주고, 저온 측정은 디바이 쪽을 따른다. 지수 함수는 저온에서 너무 빨리 줄어든다.

아인슈타인 모형은 비열이 $T \to 0$에서 사라지는 이유를 처음 설명했지만, 저온 실측은 지수 함수가 아니라 $T^3$에 비례해 천천히 줄어든다. 진동수가 하나뿐이라는 가정이 틀렸기 때문이다. 앞 장의 분산 관계에서 보았듯이 긴 파장의 음향 포논은 진동수가 0에 가까워서, 아무리 낮은 온도에서도 들뜰 수 있는 모드가 늘 남아 있다.

디바이 모형과 T³ 법칙

1912년 디바이는 결정을 연속 탄성체로 보았다. 모든 포논이 음파처럼 $\omega = vk$($v$는 음속)로 움직이고, 모드 수가 실제 결정과 같은 $3N$개가 되도록 파수를 어떤 최댓값에서 자른다. 핵심은 이것뿐이다.

실제 분산(회색)을 원점의 기울기, 곧 음속 $v$를 그대로 쓰는 직선으로 바꾼다. 저진동수에서는 정확하고 영역 경계에서는 틀리다.
주기 경계 조건으로 허용된 $\vec k$는 부피 $(2\pi)^3/V$마다 하나다. 원자 $N$개면 편광 하나당 모드도 $N$개이므로, 그만큼을 담는 구의 반지름이 디바이 파수 $k_D$다.
반지름 $k$인 구 껍질의 모드 수는 $k^2$, 곧 $\omega^2$에 비례한다. 상태 밀도는 $\omega^2$로 늘다가 $\omega_D = vk_D$에서 뚝 끊긴다.

디바이 모형의 세 가지 근사. 그림 ②는 2차원 단면이다. 모드를 세는 방법은 자유 전자의 페르미 구(7장)와 똑같다.

모드를 세어 보자. 부피 $V$ 안에서 $|\vec k| < k$인 상태 수는 편광 하나당 $\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{4\pi k^3}{3} = \dfrac{Vk^3}{6\pi^2}$이다. 이것이 $N$이 되는 $k$가 디바이 파수(Debye wave number)다.

$$k_D = (6\pi^2 n)^{1/3}, \qquad \omega_D = v k_D, \qquad \Theta_D = \frac{\hbar\omega_D}{k_B}, \qquad g(\omega) = \frac{9N\omega^2}{\omega_D^3}\ (\omega \le \omega_D)$$

$n = N/V$은 원자 수 밀도. 편광 3개(종파 1, 횡파 2)가 같은 음속을 갖는다고 보았다. $\omega_D$는 디바이 차단 진동수(Debye cutoff frequency), $\Theta_D$는 디바이 온도(Debye temperature)다.

모드마다 평균 에너지 $\hbar\omega\langle n\rangle$을 $g(\omega)$로 더하면 열에너지가 되고, 온도로 미분하면 디바이 비열이 된다($x = \hbar\omega/k_BT$로 치환).

$$C_V^{\text{D}} = 9Nk_B\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\int_0^{\Theta_D/T}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}\,dx$$

고온($T \gg \Theta_D$): 적분 ≈ $\tfrac13(\Theta_D/T)^3$ → $3Nk_B$. 저온($T \ll \Theta_D$): 위끝을 ∞로 보내면 적분 = $4\pi^4/15$.

디바이 T³ 법칙

$T \lesssim \Theta_D/50$에서 절연체의 열용량은 온도의 세제곱에 비례한다.

$$C_V = \frac{12\pi^4}{5}Nk_B\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 = 1944\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\ \text{J/(mol K)}$$

의미: $k_BT$보다 에너지가 작은 모드, 곧 $k < k_BT/\hbar v$인 구 안의 모드만 들뜬다. 그 수가 $T^3$에 비례하고 각각 $k_BT$ 정도를 가지므로 $U \propto T^4$, $C \propto T^3$이다.

디바이 온도는 결합이 단단하고(음속이 크고) 원자가 가벼울수록 높다. 다이아몬드 2230 K, Si 645 K, Cu 343 K, Pb 105 K. 상온이 $\Theta_D$보다 충분히 높은 물질만 뒬롱–프티 값에 이른다. 이제 $\Theta_D$ 하나로 모의 측정값 전체를 맞혀 보자.

SIMULATOR

비열 실험대: Θ를 끌어 측정점에 맞혀라

흰 원을 좌우로 끌어 Θ를 바꾼다

모형

모형 온도 Θ 로그–로그 축

시료—

RMS 상대 오차—

판정—

점은 이 장 표의 $\Theta_D$로 만든 디바이 곡선에 2.5% 잡음을 얹은 모의 측정값이다(진짜 측정에서는 $\Theta_D$가 온도에 따라 몇 % 변한다). RMS 오차는 $\sqrt{\langle[\ln(C_\text{모형}/C_\text{측정})]^2\rangle}$이라 저온 점도 고온 점과 같은 비중을 가진다. 해볼 것: ① 오차를 4% 아래로 내려 "명중"을 띄우고, 시료의 정체를 맞혀라. ② 모형을 아인슈타인으로 바꾸면 어떤 Θ로도 오차가 크게 남는다. 로그 축을 켜서 어디서 틀리는지 보라. ③ 아인슈타인으로 고온 점만 맞으면 Θ_E가 Θ_D의 약 0.75–0.8배가 된다.

곡선 위 점을 끌어 보세요

Θ_D

MINI LAB로그–로그 축에서 디바이 비열(실선)은 저온에서 기울기 3인 직선(점선, $T^3$ 법칙)이 되고 고온에서 수평선($3R$)이 된다. 아인슈타인 곡선($\Theta_E = 0.78\,\Theta_D$, 회색)은 저온에서 절벽처럼 떨어진다. 점을 끌면 그 온도의 국소 기울기 $d\ln C/d\ln T$가 나온다.

디바이 온도가 343인 결정을 10.0로 식히면 $T^3$ 법칙으로 $C_V$ = 이고, 디바이 적분을 그대로 계산하면 ($T^3$ 근사의 오차 )다. 이는 뒬롱–프티 값의 에 불과하다.

Si($\Theta_D = 645$ K)의 몰 열용량을 (a) 10 K, (b) 300 K에서 구하라. (c) 10 K에서 아인슈타인 모형($\Theta_E = 500$ K)은 얼마를 주는가?

풀이 보기

전략 10 K는 $\Theta_D/64$라 $T^3$ 법칙이 맞는다. 300 K는 적분을 수치로 계산한다.

풀이 (a) $C = 1944 \times (10/645)^3 = 1944 \times 3.727\times10^{-6} = 7.24\times10^{-3}$ J/(mol·K). (b) $x_D = 2.15$, 적분을 수치 계산하면 $C = 20.0$ J/(mol·K). (c) $x = 50$, $C = 3R \cdot 2500\,e^{-50} \approx 1.2\times10^{-17}$ J/(mol·K).

(a) 7.24 × 10⁻³ J/(mol·K) (b) 20.0 J/(mol·K) (c) ~10⁻¹⁷ J/(mol·K)

검토 (b)는 실측 20.0과 일치한다. (c)는 (a)보다 열네 자릿수 넘게 작다. 저온에서 실제로 열을 받는 것은 $\hbar\omega \lesssim k_BT$인 긴 파장 음향 포논인데, 아인슈타인 모형에는 그런 모드가 없다.

Si의 원자 수 밀도는 $n = 4.994\times10^{28}$ m⁻³(격자 상수 0.5431 nm, 단위 셀에 원자 8개)이다. 세 편광의 평균 음속을 $v = 5.9$ km/s로 잡고 $k_D$, $\omega_D$, $\Theta_D$를 구하라.

풀이 보기

전략 $k_D = (6\pi^2n)^{1/3}$, $\omega_D = vk_D$, $\Theta_D = \hbar\omega_D/k_B$.

풀이 $6\pi^2 n = 2.957\times10^{30}$ m⁻³ → $k_D = 1.435\times10^{10}$ m⁻¹. $\omega_D = 5900 \times 1.435\times10^{10} = 8.47\times10^{13}$ rad/s. $\Theta_D = (1.0546\times10^{-34})(8.47\times10^{13})/(1.3806\times10^{-23}) = 647$ K.

k_D = 1.44 × 10¹⁰ m⁻¹, ω_D = 8.47 × 10¹³ rad/s (13.5 THz), Θ_D ≈ 647 K

검토 영역 경계 $\pi/a = 5.78\times10^{9}$ m⁻¹의 2.5배 정도로, 구의 반지름이 브릴루앙 영역 크기와 같은 규모다. 결과는 저온 비열로 정한 645 K와 맞는다. 실제로는 횡파가 종파보다 훨씬 느려서, 평균은 $3/v^3 = 1/v_L^3 + 2/v_T^3$로 낸다.

Θ_D는 상수가 아니다

실제 상태 밀도는 $\omega^2$가 아니므로(다음 절), 온도마다 측정 비열에 맞는 $\Theta_D(T)$를 거꾸로 구하면 조금씩 변한다. 다이아몬드는 저온에서 2230 K지만 300 K 실측값 6.11 J/(mol·K)에 맞추려면 약 1870 K가 필요하다(2230 K를 쓰면 4.1). 표의 $\Theta_D$는 "이 물질의 포논이 대략 어느 에너지까지 있는가"를 알려 주는 눈금으로 쓴다.

포논 상태 밀도와 열에너지

비열이든 열에너지든 결국 "진동수 $\omega$ 근처에 모드가 몇 개 있는가"만 알면 계산된다. 그 분포가 포논 상태 밀도(phonon density of states) $g(\omega)$다. $g(\omega)\,d\omega$는 $\omega$와 $\omega + d\omega$ 사이의 모드 수이고, 전체 넓이는 $3N$이다.

$$U = U_0 + \int_0^{\infty} g(\omega)\,\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_BT} - 1}\,d\omega, \qquad U_0 = \int_0^\infty g(\omega)\,\frac{\hbar\omega}{2}\,d\omega$$

$U_0$은 온도와 무관한 영점 에너지(zero-point energy). 비열은 둘째 항만 미분한 것이다.

1차원 사슬. 길이 $L = Na$인 사슬에서 $k$는 $2\pi/L$ 간격이므로 $dk$ 안의 모드 수는 $L\,dk/2\pi$, $\pm k$ 둘을 세어 $g(\omega) = (L/\pi)\,(d\omega/dk)^{-1}$이다. 단원자 사슬 $\omega = \omega_m|\sin(ka/2)|$를 넣으면

$$g_{1\text{D}}(\omega) = \frac{2N}{\pi}\,\frac{1}{\sqrt{\omega_m^2 - \omega^2}}$$

상태 밀도는 군속도에 반비례한다. 영역 경계에서 군속도가 0이 되므로 $\omega \to \omega_m$에서 $g$가 발산한다. 이런 특이점을 반 호프 특이점(van Hove singularity)이라 한다.

1차원 단원자 사슬. 왼쪽: 디바이 직선은 원점 기울기(음속)가 같고, 모드 수가 같도록 같은 $k_D = \pi/a$에서 자른다. 그래서 $\omega_D$가 실제 최대 진동수 $\omega_m$보다 1.57배 크다. 오른쪽: 두 상태 밀도는 넓이가 같지만, 실제 쪽은 $\omega_m$에 모드가 몰린다.

3차원. 실제 결정의 $g(\omega)$는 저진동수에서만 디바이의 $\omega^2$를 따르고, 그 위로는 영역 경계의 평평한 분산이 만드는 반 호프 봉우리들이 솟는다. Si는 횡파 음향 가지가 약 4–5 THz에서 큰 봉우리를 만들고, 광학 포논이 꼭대기 약 15.6 THz(라만선 520.7 cm⁻¹, 64.5 meV)까지 있다. 디바이 근사($f_D = k_B\Theta_D/h = 13.4$ THz)는 이 복잡한 분포를 넓이와 저진동수 기울기만 맞춘 $\omega^2$ 하나로 대신한다. 아래 시뮬레이터는 가장 단순한 3차원 격자(단순 입방, 최근접 용수철)의 상태 밀도를 브릴루앙 영역 전체에서 직접 세어 디바이 근사와 비교한다.

SIMULATOR

포논 상태 밀도: 실제 격자 대 디바이

점을 끌어 온도 선택

차원

온도 k_BT/ħω₀ 비열에 기여하는 몫 칠하기

실제 최대 ω_max—

디바이 ω_D—

C/3R 실제 · 디바이—

비 실제/디바이—

진동수 단위 $\omega_0 = \sqrt{K/M}$. 3차원은 $\omega^2 = 4\omega_0^2(\sin^2\tfrac{k_xa}2 + \sin^2\tfrac{k_ya}2 + \sin^2\tfrac{k_za}2)$인 스칼라 격자(편광 3개가 같은 분산)를 영역 안 11만 개 $k$점에서 세었다. 디바이 근사는 같은 음속과 같은 모드 수로 맞춘 것이다. 칠한 부분은 $g(\omega)$에 모드 하나의 비열 $x^2e^x/(e^x-1)^2$을 곱한 것으로, 그 넓이가 곧 $C_V$다. 해볼 것: ① 아주 낮은 온도와 아주 높은 온도에서는 비가 1이다(저진동수와 모드 수를 맞췄으니까). ② 중간 온도에서 비가 1에서 가장 멀어진다. ③ 1차원 사슬의 특이점에서도 비열은 유한하다.

열에너지와 영점 에너지. 디바이 모형에서 영점 에너지는 $U_0 = \int g\,\tfrac12\hbar\omega\,d\omega = \tfrac98 Nk_B\Theta_D$다. Si 1몰이면 6.03 kJ/mol, 원자 하나에 0.063 eV다. 놀랍게도 상온 Si의 열에너지 $U - U_0$(3.09 kJ/mol)는 영점 에너지보다 작다. $T = 0$에서도 원자는 $\langle u^2\rangle \neq 0$으로 떨고 있고, 이 떨림은 X선 회절 세기(디바이–월러 인자), 동위 원소에 따른 격자 상수 차이, 헬륨이 상압에서 얼지 않는 현상에 나타난다.

점을 끌어 온도 선택

Θ_D

MINI LAB원자 1몰의 내부 에너지(디바이). 바닥의 띠가 영점 에너지 $\tfrac98 R\Theta_D$, 그 위가 열에너지 $U - U_0$이고, 점선은 고전 $3RT$다. 모드마다 $\hbar\omega(\langle n\rangle + \tfrac12) \approx k_BT + (\hbar\omega)^2/12k_BT$이므로 고온에서 열에너지는 $3RT - \tfrac98R\Theta_D$에 다가가고, 영점을 더한 전체 에너지는 고전 직선에 위쪽에서 달라붙는다. 점을 끌어 두 기여의 비를 읽어라.

디바이 모형($\Theta_D = 645$ K)으로 Si 1몰의 (a) 영점 에너지, (b) 300 K 열에너지 $U - U_0$를 구하고 (c) 고전 값 $3RT$와 비교하라. 수치 적분값 $\int_0^{2.15} x^3/(e^x-1)\,dx = 1.369$를 써도 된다.

풀이 보기

전략 $U_0 = \tfrac98 R\Theta_D$. $U - U_0 = 9RT(T/\Theta_D)^3\int_0^{x_D} x^3/(e^x-1)\,dx$.

풀이 (a) $U_0 = 1.125 \times 8.314 \times 645 = 6.03\times10^3$ J/mol. (b) $(300/645)^3 = 0.1006$, $U - U_0 = 9 \times 8.314 \times 300 \times 0.1006 \times 1.369 = 3.09\times10^3$ J/mol. (c) $3RT = 7.48\times10^3$ J/mol.

(a) 6.03 kJ/mol (0.063 eV/원자) (b) 3.09 kJ/mol (c) 고전 7.48 kJ/mol의 41%

검토 비열(20.0 J/(mol·K))이 $3R$의 80%인데 열에너지는 41%뿐인 것은, 에너지는 0 K부터 쌓인 적분이라 저온의 "얼어 있던" 구간이 그대로 남아 있기 때문이다.

급속 열처리(RTP)에서 지름 300, 두께 775인 Si 웨이퍼(질량 )를 250로 데우려면, 고온 비열을 뒬롱–프티 값 0.888 J/(g·K)로 잡아 웨이퍼에만 의 열이 들어가야 한다. 상온에서 1000 °C까지 올리는 데 웨이퍼가 흡수하는 열은 약 다.

열 예산은 비열과 확산이 함께 정한다

RTP·스파이크 어닐은 램프 등에서 나온 수십 kW를 웨이퍼 한 장에 몇 초 동안 쏟아붓는다. 웨이퍼의 열용량이 작을수록 빨리 데우고 식힐 수 있어서, 도펀트가 $\sqrt{Dt}$만큼만 움직이는 짧은 "열 예산"을 맞출 수 있다. 밀리초 플래시·레이저 어닐은 더 나아가 표면 수십–수백 µm만 데운다. 열이 두께 방향으로 퍼지는 길이 $\sqrt{D_\text{th}t}$(열 확산도 $D_\text{th} = \kappa/\rho c$, 상온 Si 약 $9\times10^{-5}$ m²/s)가 1 ms 동안 약 0.3 mm이기 때문이다. 퍼니스·RTA·스파이크·밀리초 어닐의 비교와 확산 길이 계산은 SemiBooks ProcessBook · 확산과 열처리에서 이어진다.

비조화성과 열팽창

지금까지는 원자 사이 힘을 완벽한 용수철(퍼텐셜 $\tfrac12Kx^2$)로 보았다. 이 조화 근사(harmonic approximation)에서는 포논끼리 상호작용하지 않고, 결정은 데워도 늘어나지 않는다. 포물선은 좌우 대칭이라 원자가 아무리 크게 흔들려도 평균 위치가 제자리이기 때문이다. 실제 원자 사이 퍼텐셜(3장의 레너드–존스 퍼텐셜 등)은 비대칭이다. 가까이 다가가면 급하게 치솟고(파울리 반발), 멀어지면 완만하게 풀린다. 이 비조화성(anharmonicity)이 열팽창과, 다음 절의 포논–포논 산란(열저항)을 모두 만든다.

퍼텐셜이 완벽한 포물선(조화)이라면, 온도를 올려 진동 진폭이 커질 때 원자 사이 평균 거리는?

포물선은 평형점 좌우가 대칭이라 원자는 양쪽에서 똑같은 시간을 보낸다. 평균 위치는 진폭과 무관하게 평형점이다. 시뮬레이터에서 "조화"로 바꾸고 온도를 올려 확인하라.

SIMULATOR

비대칭 퍼텐셜 속 원자: 평균 위치가 밀려난다

에너지 선의 흰 원을 위아래로

퍼텐셜

온도 k_BT/ε

평균 거리 ⟨r⟩ − r₀—

상대 팽창—

아르곤 환산 온도—

선팽창 계수(환산)—

왼쪽: 두 원자 사이 퍼텐셜 $U(r)$(Solid.lj, 길이 단위 σ, 에너지 단위 ε)과, 열평형의 전형적 에너지 $-\varepsilon + k_BT$로 진동하는 원자. 세로 점선은 평형 거리 $r_0 = 2^{1/6}\sigma$, 굵은 세로선은 한 주기 시간 평균 위치다. 오른쪽: 볼츠만 평균 $\langle r\rangle - r_0$를 온도의 함수로 그린 것(점선은 저온 근사 $0.164\,k_BT/\varepsilon$). 환산은 아르곤(ε/k_B = 120 K, σ = 0.34 nm)의 원자 쌍 하나를 기준으로 한 것이다. 해볼 것: ① 온도를 올리면 원자가 바깥쪽(완만한 벽)에서 더 오래 머물러 평균이 오른쪽으로 간다. ② "조화"로 바꾸면 진폭은 커져도 평균은 $r_0$에 그대로다. ③ 저온에서 $\langle r\rangle - r_0$는 $T$에 비례한다 — 열팽창 계수가 일정한 구간이다.

정량적으로 보려면 평형점 둘레에서 퍼텐셜을 $U(x) = cx^2 - gx^3 - fx^4$으로 전개한다($g > 0$이면 바깥쪽이 완만). 볼츠만 분포로 평균 변위를 구하면

$$\langle x\rangle = \frac{\int x\,e^{-U/k_BT}dx}{\int e^{-U/k_BT}dx} \approx \frac{3g}{4c^2}\,k_BT$$

$g = 0$(대칭)이면 $\langle x\rangle = 0$. 3차항이 있어야 팽창한다. 레너드–존스 퍼텐셜에서는 $3g/4c^2 = -U'''/2U''^2 = 0.164\,\sigma/\varepsilon$이다.

유도: 지수 함수를 전개한다

$e^{-U/k_BT} \approx e^{-cx^2/k_BT}\left(1 + \dfrac{gx^3}{k_BT} + \dfrac{fx^4}{k_BT}\right)$로 전개하면 분자는 $\int x\,e^{-cx^2/k_BT}\,(gx^3/k_BT)\,dx = \dfrac{3\sqrt\pi}{4}\dfrac{g}{c^{5/2}}(k_BT)^{3/2}$만 살아남고(홀함수 적분은 0), 분모는 $\sqrt{\pi k_BT/c}$다. 나누면 $\langle x\rangle = 3gk_BT/4c^2$이다. 고전 결과라 $T \gtrsim \Theta_D$에서 맞고, 저온에서는 열팽창 계수도 비열처럼 0으로 간다.

그뤼나이젠 매개변수. 결정 전체로 보면 비조화성은 "부피가 바뀌면 포논 진동수가 바뀐다"로 나타난다. 그 민감도를 그뤼나이젠 매개변수(Grüneisen parameter) $\gamma = -\,d\ln\omega/d\ln V$라 한다. 부피가 늘면 결합이 느슨해져 진동수가 내려가므로 보통 $\gamma > 0$이다. 열역학으로 정리하면 부피 팽창 계수 $\beta = 3\alpha$가 비열에 비례한다.

$$\alpha = \frac{\gamma\,C_V}{3B\,V_m} \qquad (\alpha\text{: 선팽창 계수},\ B\text{: 부피 탄성률},\ V_m\text{: 몰 부피})$$

그래서 $\alpha(T)$는 $C_V(T)$를 닮는다: 저온에서 $T^3$으로 0, $\Theta_D$ 위에서 거의 일정. 상온 값으로 거꾸로 구하면 Si $\gamma \approx 0.47$, Cu $\gamma \approx 2.0$이다.

공유 결합이 단단하고 방향성이 있는 Si는 $\gamma$가 작아 상온 선팽창 계수가 $\alpha = 2.6\times10^{-6}$ K⁻¹에 불과하다. 금속 결합인 Cu는 $16.5\times10^{-6}$ K⁻¹로 여섯 배가 넘는다. Si는 약 20–120 K에서 $\alpha < 0$, 곧 데우면 오히려 줄어드는 음의 열팽창도 보인다. 다이아몬드 구조의 낮은 진동수 횡파 음향 모드는 부피가 늘면 진동수가 올라가서($\gamma < 0$) 저온에서 이 모드들이 먼저 들뜨기 때문이다. 상온 이상에서 Si의 $\alpha$는 조금씩 커져 1000 K 근처에서 약 $4\times10^{-6}$ K⁻¹가 된다.

물질	선팽창 계수 α (10⁻⁶ K⁻¹, 약 300 K)	비고
용융 실리카 SiO₂	0.5	열 산화막·석영 유리
실리콘 Si	2.6	웨이퍼, 기준
텅스텐 W	4.5	콘택 플러그, Si와 잘 맞는다
갈륨 비소 GaAs	5.7
구리 Cu	16.5	배선, 패키지 리드프레임
알루미늄 Al	23.1

서로 다른 $\alpha$를 가진 두 층을 높은 온도에서 붙인 뒤 식히면, 둘이 함께 줄어들어야 하므로 막에 열 불일치 응력(thermal mismatch stress)이 생긴다. 두꺼운 기판 위 얇은 막의 2축 응력은 $\sigma = M_f(\alpha_s - \alpha_f)\Delta T$($M_f = E_f/(1-\nu_f)$, 2축 탄성률, $\Delta T = T_\text{나중} - T_\text{처음}$)이고, 기판은 그 반작용으로 휜다. 휨의 곡률은 스토니 식 $1/R = 6\sigma t_f/(M_s t_s^2)$으로 구한다.

선팽창 계수 16.5인 금속막(2축 탄성률 180 GPa) 1.0를 Si 웨이퍼(α = 2.6×10⁻⁶/K, 300 mm, 775 µm) 위에 올리고 300만큼 식히면, 막의 열 변형은 , 탄성 응력은 , 웨이퍼 가장자리의 휨은 이다.

Si 웨이퍼 위 Cu 막(2축 탄성률 $M_f = 180$ GPa)을 400 °C에서 응력 없이 열처리한 뒤 100 °C로 식혔다($\Delta T = -300$ K). $\alpha_\text{Cu} = 16.5\times10^{-6}$, $\alpha_\text{Si} = 2.6\times10^{-6}$ K⁻¹로 일정하다고 보고 탄성 응력을 구하라. 인장인가 압축인가?

풀이 보기

전략 $\sigma = M_f(\alpha_s - \alpha_f)\Delta T$. 막이 더 많이 줄어들려 하는데 기판이 붙잡으므로 막은 늘어난 상태(인장)가 된다.

풀이 $\alpha_s - \alpha_f = -13.9\times10^{-6}$ K⁻¹, $\sigma = 180\times10^9 \times (-13.9\times10^{-6}) \times (-300) = +7.5\times10^{8}$ Pa.

σ ≈ +750 MPa (인장)

검토 이 값은 얇은 Cu 막의 항복 응력(보통 수백 MPa)을 넘는다. 실제로는 막이 소성 변형해 응력이 수백 MPa에서 멈추고, 가열·냉각을 되풀이하면 히스테리시스를 그린다. 이 반복 응력이 배선의 공공·힐록과 일렉트로마이그레이션 신뢰성 문제로 이어진다.

열팽창 불일치가 패키지를 휘게 한다

칩(Si, 2.6)·구리(16.5)·유기 기판(대략 15 전후)·몰딩 수지는 $\alpha$가 크게 다르다. 리플로(약 260 °C)에서 상온으로 식을 때 층마다 줄어드는 양이 달라 패키지 전체가 바이메탈처럼 휘고(warpage), 솔더 범프와 언더필 가장자리에 응력이 몰린다. 웨이퍼 단계에서도 두꺼운 막의 열 응력이 웨이퍼를 휘게 해 노광 초점과 본딩을 방해한다. 열이 칩에서 방열판으로 지나가는 열 계면 재료(TIM)는 이 휨을 흡수할 만큼 무르면서도 열을 잘 통해야 하는 모순된 재료다. 휨·응력·TIM은 SemiBooks PackagingBook · 열·기계·전기 설계에서 계산한다.

포논 열전도: 기체 운동론과 움클랍 산란

결정의 한쪽을 데우면 열은 푸리에 법칙 $\vec q = -\kappa\nabla T$를 따라 흐른다. $\kappa$가 열전도도(thermal conductivity)다. 금속에서는 자유 전자가 열을 주로 나르지만(7장), 반도체와 절연체에서는 포논이 나른다. 뜨거운 쪽에는 포논이 많고 차가운 쪽에는 적어서, 포논 기체가 뜨거운 쪽에서 차가운 쪽으로 확산하는 것이다. 기체 분자 운동론을 그대로 쓰면

$$\kappa = \frac13\,C\,v\,\ell$$

$C$: 단위 부피 열용량(J/(m³·K)), $v$: 포논 평균 속력(음속), $\ell$: 포논 평균 자유 행로(phonon mean free path) — 포논이 산란되기까지 가는 평균 거리. Solid.kappaKinetic(C, v, ℓ).

유도: 한 번 산란될 때마다 국소 온도를 기억한다

$z$ 방향 온도 기울기가 있다고 하자. $z$ 축과 각 $\theta$로 움직이는 포논은 마지막 산란 지점 $z - \ell\cos\theta$의 에너지 밀도를 싣고 온다. 그 점과 이곳의 에너지 차는 $-C\,\ell\cos\theta\,dT/dz$이고 속도 성분은 $v\cos\theta$이므로, 모든 방향에 대한 평균을 내면 $q = -Cv\ell\,\langle\cos^2\theta\rangle\,dT/dz = -\tfrac13 Cv\ell\,dT/dz$이다. 3차원 방향 평균 $\langle\cos^2\theta\rangle = 1/3$에서 1/3이 나온다.

Si의 상온 값을 넣어 보자. $C = \rho c = 2329 \times 712 = 1.66\times10^6$ J/(m³·K), $v \approx 6400$ m/s, 측정 $\kappa \approx 148$ W/(m·K)(교재와 시료에 따라 148–150)이면 $\ell = 3\kappa/Cv \approx 42$ nm이다. 원자 간격의 약 200배다. 아래 미니 실험은 이 "포논 기체"를 직접 흘려 본다.

평균 자유 행로 ℓ/L

MINI LAB왼쪽 벽은 뜨겁고(입자가 닿으면 주황색, 에너지 1), 오른쪽 벽은 차갑다(파랑, 에너지 0). 포논 입자는 평균 $\ell$마다 무작위 방향으로 산란된다(2차원). 아래 막대는 위치별 평균 에너지, 곧 "온도"다. $\ell \ll L$이면 온도가 직선으로 내려가는 확산(푸리에) 영역이고 열 흐름이 $\ell$에 비례한다. $\ell \gg L$이면 포논이 벽에서 벽으로 곧장 날아가는 탄도 영역이라 열 흐름이 더는 늘지 않는다. 점선은 보간식 $1/(1 + 2L/\pi\ell)$.

무엇이 포논을 산란시키는가? 시료 표면과 결정립계(경계 산란(boundary scattering)), 불순물·공공·동위 원소 같은 점결함(진동수의 4제곱에 비례, 레일리 산란과 같은 꼴), 그리고 가장 중요한 포논–포논 산란이다. 조화 결정에서는 포논끼리 그냥 지나가지만, 퍼텐셜의 3차항(앞 절의 비조화성)이 있으면 포논 둘이 합쳐져 하나가 되거나 하나가 둘로 쪼개진다. 에너지와 결정 운동량이 보존된다.

$$\hbar\omega_1 + \hbar\omega_2 = \hbar\omega_3, \qquad \vec k_1 + \vec k_2 = \vec k_3 + \vec G$$

$\vec G = 0$이면 정상 과정(normal process, N), $\vec G \neq 0$(역격자 벡터)이면 움클랍 과정(umklapp process, U)이다. 움클랍은 독일어로 "뒤집기".

정상 과정. 작은 $\vec k_1, \vec k_2$가 합쳐진 $\vec k_3$도 영역 안에 있다. 포논 기체 전체의 결정 운동량(오른쪽 방향)이 그대로 보존되므로 열 흐름이 줄지 않는다.
두 포논의 파수가 영역 크기의 절반쯤으로 크면, 합이 영역 밖으로 나간다.
영역 밖의 파수는 역격자 벡터 $\vec G$를 빼서 영역 안으로 되접어야 한다. 새 포논 $\vec k_3$는 왼쪽을 향한다 — 열 흐름이 뒤집혀 저항이 생긴다.

정상 과정과 움클랍 과정(2차원 단면). 열저항을 만드는 것은 움클랍 과정이다. 정상 과정은 포논 분포를 섞기만 한다.

움클랍 과정이 일어나려면 파수가 영역 크기의 절반 정도, 곧 에너지가 $k_B\Theta_D/2$ 정도인 포논이 있어야 한다. 그런 포논의 수는 $e^{-\Theta_D/bT}$($b \approx 2$–3)에 비례하므로 저온에서는 움클랍이 지수적으로 사라진다. 그래서 $\kappa(T)$는 봉우리를 가진다.

저온: 움클랍이 거의 없어 $\ell$이 시료 크기 $L$까지 길어진다(경계 산란). $\kappa \approx \tfrac13 C(T)vL \propto T^3$.
중간: 움클랍이 $e^{-\Theta_D/bT}$로 깨어나며 $\ell$이 급격히 짧아진다. 둘이 엇갈리는 곳(Si는 수십 K)에서 봉우리.
고온($T \gtrsim \Theta_D$): $C$는 일정, 포논 수가 $T$에 비례해 $\ell \propto 1/T$, 따라서 $\kappa \propto 1/T$.

Si 덩어리를 300 K에서 100 K로 식히면 열전도도는?

100 K에서 비열은 300 K의 30%쯤으로 줄지만, 움클랍 산란이 지수적으로 줄어 평균 자유 행로는 스무 배 가까이 길어진다. 실측 Si는 100 K에서 900 W/(m·K) 안팎에 이른다. 아래 모형에서 확인하라.

SIMULATOR

실리콘 κ(T): 경계·결함·움클랍이 만드는 봉우리

곡선 위 점을 끌어 온도 선택

시료 크기 L 점결함·동위 원소 산란 (자연 Si) 300 K 실측 148 W/(m·K) 표시

온도—

κ—

유효 ℓ—

주된 산란—

모형(회색 근사): $\kappa = \tfrac13 C_V^{\text{D}}(T)\,v\,\ell$, $v$ = 6400 m/s, $\Theta_D$ = 645 K, 매티센 규칙 $1/\ell = 1/L + 1/\ell_\text{I} + 1/\ell_\text{U}$, 점결함 $1/\ell_\text{I} \propto \min(T, 230\ \text{K})^4$, 움클랍 $1/\ell_\text{U} \propto T e^{-\Theta_D/2.5T}$. 300 K에서 148이 되도록 맞춘 교육용 모형이라, 봉우리 높이는 실측(자연 Si 수천 W/(m·K))과 수 배 다를 수 있다. 오른쪽은 각 산란이 정하는 길이(로그 축). 해볼 것: ① $L$을 1 µm 아래로 줄이면 봉우리가 낮아지고 높은 온도로 밀린다. ② 100 nm에서는 상온 κ도 눈에 띄게 준다 — 다음 절의 나노 구조. ③ 점결함 산란을 끄면(동위 원소 정제 ²⁸Si) 봉우리가 크게 높아진다.

물질	κ (W/(m·K), 약 300 K)	주된 운반자
다이아몬드	≈ 2000–2200	포논(가볍고 단단, 높은 Θ_D)
구리 Cu	≈ 400	전자
알루미늄 Al	≈ 237	전자
실리콘 Si(벌크)	148–150	포논
저마늄 Ge	≈ 60	포논
갈륨 비소 GaAs	≈ 55	포논
SiO₂(비정질 열산화막)	≈ 1.4	포논(무질서, ℓ ≈ 원자 간격)

다이아몬드의 상온 열전도도는 2200 W/(m·K), 비열 0.509 J/(g·K), 밀도 3.515 g/cm³, 평균 음속 12 km/s이다. 기체 운동론으로 $\ell$을 구하고 Si(42 nm)와 비교하라.

풀이 보기

전략 $\ell = 3\kappa/(Cv)$, $C = \rho c$(단위 부피).

풀이 $C = 3515 \times 509 = 1.789\times10^6$ J/(m³·K). $\ell = 3 \times 2200/(1.789\times10^6 \times 1.2\times10^4) = 3.07\times10^{-7}$ m.

ℓ ≈ 310 nm (Si의 약 7배)

검토 다이아몬드는 $\Theta_D$(2230 K)가 상온보다 훨씬 높아 움클랍에 필요한 큰 파수 포논이 드물다($e^{-\Theta_D/bT}$). 그래서 $C$는 Si와 비슷한데도 $\ell$과 $\kappa$가 훨씬 크다.

나노 구조의 열전도와 계면 열저항

앞 절의 42 nm는 모든 포논을 하나의 평균으로 뭉친 회색 값이다. 실제 포논은 진동수마다 자유 행로가 크게 다르다. 열용량의 대부분을 가진 높은 진동수 포논은 수 nm–수십 nm에서 산란되지만, 수는 적어도 군속도가 크고 산란이 드문 낮은 진동수 음향 포논은 수백 nm–µm를 날아간다. 제일원리 계산과 측정은 상온 Si 열전도의 약 절반을 자유 행로가 수백 nm 이상인 포논이 나른다고 본다. 열을 나르는 포논을 가중치로 센 포논 평균 자유 행로 분포(phonon mean-free-path spectrum)는 회색 평균보다 열 배쯤 긴 쪽에 중심이 있다.

그래서 막 두께나 선 지름이 수백 nm 아래로 내려가면, 긴 행로의 포논부터 경계에 막혀 열전도도가 벌크보다 훨씬 작아진다. 가장 간단한 모형은 경계를 산란체 하나로 보고 매티센 규칙으로 더하는 것이다.

$$\frac{1}{\ell_\text{eff}} = \frac{1}{\ell} + \frac{1}{F\,t} \quad\Longrightarrow\quad \kappa_\text{eff} = \sum_i \frac{\kappa_i}{1 + \ell_i/(F\,t)}$$

$t$: 막 두께 또는 선 지름, $F$: 기하 인자(이 장의 모형에서 막의 면 방향 $F = 2$, 나노와이어 $F = 1$). 왼쪽은 회색 모형($\ell$ 하나), 오른쪽은 자유 행로 분포를 묶음 $i$로 나눈 모형. 실제 거친 표면·포논 집속을 무시한 근사다.

SIMULATOR

얇은 Si의 열전도도: 두께를 끌어 보라

흰 원을 좌우로 끌어 두께 선택

구조

두께·지름 t 분포 중앙값 ℓ₅₀

회색 모형 (ℓ = 42 nm)—

분포 모형—

벌크 대비 (분포)—

과녁: 벌크의 1/4—

분포 모형은 열전도 기여를 $\ln\ell$에 대한 정규 분포(중앙값 $\ell_{50}$, 표준 편차 $\ln$ 단위 1)로 둔 교육용 가정이다. 오른쪽은 누적 기여 $\kappa_\text{acc}(\ell)/\kappa$(실선)와, 경계 때문에 살아남는 몫(색칠)이다. 측정은 두께 20 nm 안팎의 Si 막에서 약 20 W/(m·K)대, 지름 20 nm대 Si 나노와이어에서 10 W/(m·K) 아래를 보고한다(표면 거칠기에 크게 좌우). 해볼 것: ① 회색 모형은 수십 nm 막에서 κ를 크게 과대평가한다. ② 과녁: 분포 모형으로 κ를 벌크의 1/4(37 W/(m·K))로 만드는 두께를 찾아라. ③ $\ell_{50}$을 바꾸면 같은 두께에서도 결과가 크게 달라진다 — 분포를 아는 것이 나노 열설계의 핵심이다.

계면 열저항. 두 물질의 경계에서도 열이 막힌다. 열유속 $q$가 지나갈 때 경계 양쪽에 온도 불연속 $\Delta T$가 생기고, $R_K = \Delta T/q$를 계면 열저항(thermal boundary resistance) 또는 처음 액체 헬륨–고체 경계에서 이를 발견한 사람의 이름을 따 카피차 저항(Kapitza resistance)이라 한다. 두 물질의 음속·밀도(음향 임피던스)와 포논 상태 밀도가 달라 포논 일부가 경계에서 반사되기 때문이다. 상온 고체–고체 계면은 대략 $10^{-9}$–$10^{-8}$ m²·K/W(경계 열전도 100–1000 MW/(m²·K))다. 이 값은 같은 저항을 주는 Si 두께 $R_K\kappa_\text{Si}$로 환산하면 수백 nm–µm, SiO₂로는 수 nm에 해당해서, 층이 얇은 나노 소자일수록 계면이 열 경로를 지배한다.

계면의 흰 원을 위아래로 끌어 R_K 조절

SiO₂ 두께

MINI LAB열유속 100 MW/m²(트랜지스터 근처 국소 값 규모)가 Si 1 µm → 계면 → SiO₂ → 방열 쪽으로 흐를 때의 온도 분포. 층 폭은 실제 비율이 아니다. 계면 열저항을 $2\times10^{-9}$ m²·K/W로 두면 그 온도 계단이 SiO₂ 1.4 nm, Si 296 nm와 같다는 것을 읽어라.

트랜지스터 열 경로(개략, 비율 무시). 주황 점이 발열이 가장 큰 드레인 쪽 채널이다. 벌크 소자는 열이 Si 기판으로 퍼지지만, SOI는 매립 산화막이 κ가 Si의 1/100인 열 장벽이 되고, 나노시트는 κ가 줄어든 수 nm 실리콘이 산화막·high-k에 둘러싸여 금속 접촉과 게이트를 통해서만 열을 내보낸다.

이렇게 소자 자신이 낸 열로 채널 온도가 오르는 현상을 자체 발열(self-heating)이라 한다. 채널이 뜨거워지면 포논 산란이 늘어 이동도와 구동 전류가 떨어지고, 일렉트로마이그레이션·BTI 같은 열화가 빨라진다. 가장 단순한 1차원 추정은 매립 산화막을 두께 $t$, 넓이 $A$인 열저항 $R = t/(\kappa A)$로 보는 것이다.

트랜지스터가 200를 넓이 0.50에서 내고, 열이 두께 145의 매립 산화막(κ = 1.4 W/(m·K))을 곧장 지나간다면, 산화막의 열저항은 , 온도 상승은 이다. 같은 두께가 Si였다면 에 그친다.

SOI 소자가 0.2 mW를 0.5 µm² 넓이에서 발생시키고, 열이 145 nm 두께의 매립 SiO₂(κ = 1.4 W/(m·K))를 수직으로만 지나간다고 하자. (a) 산화막의 열저항, (b) 온도 상승을 구하라. (c) 실제 상승이 이보다 작은 이유는?

풀이 보기

전략 1차원 전도: $R = t/(\kappa A)$, $\Delta T = PR$.

풀이 (a) $R = 145\times10^{-9}/(1.4 \times 0.5\times10^{-12}) = 2.07\times10^5$ K/W. (b) $\Delta T = 2\times10^{-4} \times 2.07\times10^5 = 41$ K.

(a) 2.1 × 10⁵ K/W (b) 약 41 K

검토 (c) 열은 산화막 위 실리콘 막을 따라 옆으로 퍼지고(넓이가 사실상 커진다), 금속 접촉·게이트로도 빠져나간다. 반대로 얇은 Si 막의 κ가 벌크보다 작고 계면 열저항이 더해지는 효과는 온도를 올린다. 정량 계산에는 TCAD의 격자 온도 방정식이 필요하다. 그래도 10 K 단위의 상승은 이동도를 수 % 깎기에 충분하다.

Si/금속 계면의 열저항이 $R_K = 2\times10^{-9}$ m²·K/W라면, 같은 열저항을 주는 Si 층과 SiO₂ 층의 두께는 각각 얼마인가? ($\kappa_\text{Si} = 148$, $\kappa_\text{SiO₂} = 1.4$ W/(m·K))

풀이 보기

전략 두께 $d$인 층의 면적당 열저항은 $d/\kappa$. $d = R_K\kappa$.

풀이 Si: $2\times10^{-9} \times 148 = 2.96\times10^{-7}$ m. SiO₂: $2\times10^{-9} \times 1.4 = 2.8\times10^{-9}$ m.

Si 약 300 nm, SiO₂ 약 2.8 nm

검토 두께 5 nm 나노시트 하나에 계면이 위아래로 둘씩 있으니, 열 경로에서 실리콘 자체보다 계면이 훨씬 큰 저항이 된다.

자체 발열: 채널이 내는 열이 채널을 늦춘다

SOI와 나노시트 소자는 정전기 제어가 뛰어난 대신 열이 갇힌다. TCAD는 표류–확산 방정식에 격자 온도 방정식 $\rho c\,\partial T/\partial t = \nabla\cdot(\kappa\nabla T) + H$(발열 $H \approx \vec J\cdot\vec E$)를 함께 풀고, $\kappa$를 온도와 막 두께의 함수로 넣는다 — 이 절의 $\kappa(T)$와 $\kappa(t)$가 바로 그 입력이다. 벌크와 SOI의 발열 비교, 열 시정수(벌크 수백 ps–ns, SOI 수–수십 ns)는 SemiBooks TCADBook · 고전계: 항복과 신뢰성의 자기 발열 절에서 직접 계산해 볼 수 있다.

FinFET에서 나노시트로: 얇을수록 뜨겁다

단채널 효과를 누르려면 채널 몸체를 수 nm로 얇게 하고 게이트로 감싸야 한다(평면 → FinFET → GAA 나노시트). 정전기적으로는 정답이지만, 열적으로는 이 장의 모든 악재가 겹친다. 몸체 두께가 포논 자유 행로보다 훨씬 얇아 κ가 벌크의 몇 분의 일로 떨어지고, 주위는 κ ≈ 1–2 W/(m·K)인 산화막·high-k이며, 경로마다 계면 열저항이 끼어든다. 그래서 첨단 공정은 후면 전력 공급, 열 전도성 좋은 층간 재료, 칩 수준 열 해석을 함께 설계한다. 소자 구조의 변천과 자연 길이는 SemiBooks DeviceBook · 스케일링과 단채널 효과에서 다룬다.

핵심 정리

고전 등분배는 원자당 $3k_BT$, 곧 $C_V = 3R = 24.9$ J/(mol·K)(뒬롱–프티)를 준다. 실제 비열은 $T/\Theta_D$가 작을수록 이보다 작고 $T \to 0$에서 0이 된다.
아인슈타인 모형: 진동수 하나의 양자 진동자 $3N$개, $\langle n\rangle = 1/(e^{\hbar\omega/k_BT}-1)$, $C = 3R\,x^2e^x/(e^x-1)^2$. $k_BT \ll \hbar\omega$이면 진동자가 얼어 비열이 지수적으로 사라진다.
디바이 모형: $\omega = vk$, $k_D = (6\pi^2n)^{1/3}$, $\Theta_D = \hbar vk_D/k_B$, $g(\omega) \propto \omega^2$. 저온에서 $C = 1944\,(T/\Theta_D)^3$ J/(mol·K)($T^3$ 법칙), 고온에서 $3R$. Si $\Theta_D$ = 645 K, 상온 $C$ = 20.0 J/(mol·K).
포논 상태 밀도가 열적 성질을 모두 정한다. 실제 $g(\omega)$는 저진동수에서만 $\omega^2$이고 반 호프 특이점을 가진다. 영점 에너지 $\tfrac98 Nk_B\Theta_D$(Si 6.0 kJ/mol)는 상온 Si의 열에너지보다 크다.
조화 결정은 팽창하지 않는다. 퍼텐셜의 비대칭(3차항)이 $\langle x\rangle = 3gk_BT/4c^2$의 팽창을 만들고, $\alpha = \gamma C_V/3BV_m$(그뤼나이젠). Si 2.6×10⁻⁶, Cu 16.5×10⁻⁶ K⁻¹. 차이는 열 불일치 응력 $\sigma = M_f(\alpha_s-\alpha_f)\Delta T$와 휨을 만든다.
포논 열전도 $\kappa = \tfrac13Cv\ell$. Si 148 W/(m·K)이면 회색 평균 $\ell$ ≈ 42 nm. 열저항은 결정 운동량을 뒤집는 움클랍 과정($\vec G \neq 0$)이 만든다. $\kappa(T)$는 저온 $T^3$(경계 산란), 수십 K의 봉우리, 고온 $\sim 1/T$이다.
열을 나르는 포논의 자유 행로는 수백 nm–µm까지 퍼져 있어, 얇은 막·나노와이어의 κ는 벌크보다 훨씬 작다. 계면 열저항 $10^{-9}$–$10^{-8}$ m²·K/W와 SiO₂(1.4 W/(m·K))가 더해져 SOI·나노시트 소자의 자체 발열을 만든다.

연습문제

$R = 8.314$ J/(mol·K), $k_B = 1.381\times10^{-23}$ J/K $= 8.617\times10^{-5}$ eV/K, $\hbar = 1.0546\times10^{-34}$ J·s, $12\pi^4R/5 = 1944$ J/(mol·K). 답이 ±1% 이내면 정답이다(따로 적은 경우 제외).

저마늄($M = 72.63$ g/mol)의 뒬롱–프티 비열을 J/(g·K)로 구하라.

$c = 3R/M$.

$c = 3 \times 8.314/72.63 = 0.343$ J/(g·K). 298 K 실측 23.22 J/(mol·K) = 0.320 J/(g·K)로 고전 값의 93%다($\Theta_D$ = 374 K).

아인슈타인 모형에서 $T = \Theta_E$일 때 원자 1몰의 열용량은?

$x = 1$을 $3R\,x^2e^x/(e^x-1)^2$에 넣는다.

$e/(e-1)^2 = 2.718/2.952 = 0.9207$. $C = 24.94 \times 0.9207 = 23.0$ J/(mol·K). 아인슈타인 온도에서 이미 고전 값의 92%다.

Si의 광학 포논(라만선, $\hbar\omega = 64.5$ meV)이 300 K에서 평균 몇 개 들뜨는가?

$k_BT$ = 25.85 meV. $\langle n\rangle = 1/(e^{\hbar\omega/k_BT}-1)$.

$\hbar\omega/k_BT = 64.5/25.85 = 2.495$, $e^{2.495} = 12.12$, $\langle n\rangle = 1/11.12 = 0.0899$. 600 K에서는 0.40으로 늘어난다. 라만 스펙트럼의 반스토크스/스토크스 세기 비 $\langle n\rangle/(\langle n\rangle + 1)$로 시료 온도를 재는 원리다.

구리($\Theta_D = 343$ K)의 격자 열용량을 5 K에서 구하라(mJ/(mol·K)). 전자 기여는 무시한다.

$T/\Theta_D = 0.0146$이라 $T^3$ 법칙을 쓴다.

$C = 1944 \times (5/343)^3 = 1944 \times 3.097\times10^{-6} = 6.02\times10^{-3}$ J/(mol·K) = 6.02 mJ/(mol·K). 실제 금속에서는 이 온도에서 전자 비열 $\gamma T$(Cu $\gamma$ ≈ 0.7 mJ/(mol·K²))가 3.5 mJ/(mol·K)로 같은 규모라 둘을 함께 써야 한다(7장).

어떤 원소 절연체의 몰 열용량이 4.0 K에서 $2.0\times10^{-3}$ J/(mol·K)로 측정되었다. 디바이 온도는?

$T^3$ 법칙을 $\Theta_D$에 대해 푼다: $\Theta_D = T(1944/C)^{1/3}$.

$1944/0.002 = 9.72\times10^5$, 세제곱근 99.06. $\Theta_D = 4.0 \times 99.06 = 396$ K. $T/\Theta_D = 0.01$이라 근사가 정확하다.

Si의 디바이 온도 645 K에 해당하는 차단 각진동수 $\omega_D$와 진동수 $f_D$(THz)를 구하라.

$\omega_D = k_B\Theta_D/\hbar = 1.381\times10^{-23} \times 645/1.0546\times10^{-34} = 8.44\times10^{13}$ rad/s, $f_D = \omega_D/2\pi = 13.4$ THz. 실제 Si 포논의 최대 진동수(광학 포논 15.6 THz)와 같은 규모다.

디바이 모형에서 다이아몬드($\Theta_D = 2230$ K)의 원자 하나당 영점 에너지를 eV로 구하라.

원자 $N$개의 영점 에너지는 $\tfrac98 Nk_B\Theta_D$.

$u_0 = \tfrac98 k_B\Theta_D = 1.125 \times 8.617\times10^{-5} \times 2230 = 0.216$ eV. 상온 열에너지($3k_BT$의 일부인 수 meV)보다 훨씬 크다.

완전한 무한 결정에서 포논–포논 산란 가운데 열저항을 만드는 것은?

N 과정은 포논 기체의 총 결정 운동량을 보존해 열 흐름(흐르는 포논 분포)을 그대로 둔다. U 과정은 역격자 벡터만큼 운동량을 격자에 넘겨 흐름 방향을 뒤집으므로 저항을 만든다. 결함·경계도 저항을 만들지만 완전한 결정에서는 U 과정이 유일하다.

지름 300 mm Si 웨이퍼를 25 °C에서 1000 °C로 데우면 지름이 얼마나 늘어나는가? $\alpha = 2.6\times10^{-6}$ K⁻¹로 일정하다고 본다.

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 2.6\times10^{-6} \times 300 \times 975 = 0.761$ mm. 실제로는 $\alpha$가 고온에서 커지므로 1 mm 가까이 된다. 웨이퍼를 받치는 서셉터·링과의 열팽창 차이가 고온 공정에서 슬립(4장)을 일으킬 수 있다.

2축 탄성률 180 GPa, $\alpha = 16.5\times10^{-6}$ K⁻¹인 막이 Si($\alpha = 2.6\times10^{-6}$ K⁻¹) 위에서 응력 없이 붙은 뒤 300 K 식었다. 탄성 응력의 크기는?

$|\sigma| = M_f|\alpha_f - \alpha_s|\Delta T = 180\times10^9 \times 13.9\times10^{-6} \times 300 = 7.51\times10^8$ Pa = 751 MPa(인장).

알루미늄의 상온 선팽창 계수는 $23.1\times10^{-6}$ K⁻¹, 부피 탄성률 76 GPa, 단위 부피 열용량 $2.42\times10^6$ J/(m³·K)이다. 그뤼나이젠 매개변수 $\gamma$는?

$\alpha = \gamma C/(3B)$에서 $C$는 단위 부피 열용량($C_V/V_m$).

$\gamma = 3B\alpha/C = 3 \times 76\times10^9 \times 23.1\times10^{-6}/2.42\times10^6 = 2.17$. ($C_P$를 $C_V$ 대신 썼으므로 약간 작게 나온다.) 금속은 보통 2 안팎, Si는 0.5 안팎이다.

다이아몬드: $\kappa$ = 2200 W/(m·K), 단위 부피 열용량 $1.789\times10^6$ J/(m³·K), 평균 음속 12.0 km/s. 회색 평균 자유 행로는?

$\ell = 3\kappa/(Cv) = 6600/(1.789\times10^6 \times 1.2\times10^4) = 3.07\times10^{-7}$ m = 307 nm.

벌크 Si의 회색 평균 자유 행로를 42 nm, $\kappa_\text{bulk} = 148$ W/(m·K)로 두고, 지름 $d = 50$ nm 나노와이어의 경계 산란을 매티센 규칙 $1/\ell_\text{eff} = 1/\ell + 1/d$로 넣으면 κ는?

$C$와 $v$는 그대로이므로 $\kappa \propto \ell_\text{eff}$.

$\ell_\text{eff} = 1/(1/42 + 1/50) = 22.8$ nm, $\kappa = 148 \times 22.8/42 = 148/(1 + 42/50) = 80.4$ W/(m·K). 실측 50 nm대 나노와이어는 이보다 훨씬 작은 수십 W/(m·K) 이하다. 회색 모형은 자유 행로가 긴 포논이 열을 많이 나른다는 사실을 놓쳐 크기 효과를 과소평가한다.

SOI 트랜지스터가 0.20 mW를 넓이 0.50 µm²에서 내고, 열이 두께 145 nm 매립 SiO₂(κ = 1.4 W/(m·K))를 수직으로 지나간다는 1차원 모형에서 산화막 양단 온도 차는?

$\Delta T = Pt/(\kappa A) = 2.0\times10^{-4} \times 1.45\times10^{-7}/(1.4 \times 5.0\times10^{-13}) = 41.4$ K. 옆으로 퍼지는 열 덕분에 실제는 이보다 작지만, Si 기판이었다면 0.4 K에 그쳤을 것이다.

순수한 결정 막대의 열전도도가 저온 쪽에서 $T^3$에 비례하는 이유로 가장 알맞은 것은?

저온에서는 움클랍이 지수적으로 사라져 포논이 시료 표면까지 곧장 간다($\ell \approx L$, 경계 산란). 음속은 거의 일정하므로 $\kappa = \tfrac13CvL$은 디바이 $C \propto T^3$을 그대로 따른다. 그래서 이 구간의 κ는 시료가 굵을수록 크다.

개념 확인 퀴즈

고전 이론(뒬롱–프티)이 저온 비열을 설명하지 못하는 근본 이유는?

등분배는 에너지가 연속일 때만 맞는다. 준위 간격이 $k_BT$보다 크면 진동자는 바닥 상태에 머물러 열을 받지 못한다. 0 K에서도 영점 진동은 남는다.

저온에서 디바이 모형이 아인슈타인 모형보다 실험에 잘 맞는 이유는?

$\hbar\omega < k_BT$인 모드 수가 $T^3$에 비례해 $C \propto T^3$이 된다. 아인슈타인 모형에는 $\omega_E$ 하나뿐이라 저온에서 $e^{-\Theta_E/T}$로 너무 빨리 사라진다.

원자 사이 퍼텐셜이 정확히 포물선이라면 일어나지 않는 것은?

조화 결정에서는 포논이 서로 상호작용하지 않고, 대칭 퍼텐셜이라 평균 위치도 변하지 않는다. 열팽창과 움클랍 열저항은 모두 3차 비조화항에서 나온다(이 경우 완전한 결정의 열전도도는 무한대가 된다).

Si의 상온 회색 평균 자유 행로는 약 42 nm인데, 두께 100 nm Si 막의 κ가 벌크보다 크게 줄어드는 이유는?

42 nm는 열용량 가중 평균이다. κ에 대한 기여로 따지면 자유 행로 분포의 중심이 수백 nm에 있어, 그보다 얇은 구조에서는 크기 효과가 회색 모형의 예측보다 훨씬 크다.

SOI·나노시트 트랜지스터에서 자체 발열이 벌크 소자보다 심한 직접적인 이유는?

같은 전력이라도 열이 빠져나갈 길의 열저항 $R = t/\kappa A$가 크면 온도가 크게 오른다. SiO₂의 κ는 Si의 약 1/100이다.