Chapter 07

조화 진동자

원자 사이의 결합, 결정 속 원자의 떨림, MEMS 공진기의 진동판 — 무엇이든 안정한 평형점 근처에서 살짝 흔들리면 용수철처럼 움직인다. 양자역학에서 이 용수철은 에너지를 \(\hbar\omega\) 단위로만 주고받고, 가장 낮은 상태에서도 멈추지 않는다. 이 장은 우물(5장)과 장벽(6장)에 이어 슈뢰딩거 방정식을 정확히 풀 수 있는 세 번째 모형을 다루고, 그 답이 분자의 적외선 흡수와 결정의 포논으로 이어지는 길을 따라간다. 아래 그림을 끌어 파속을 옆으로 옮겨 놓아 보라.

끌어서 파속을 옮기면 그 자리에서 진동을 시작한다

극소점 근처는 모두 포물선

안정한 평형점 \(x_0\)에서는 힘이 0이므로 \(V'(x_0) = 0\)이고, 되돌리는 힘이 있으려면 \(V''(x_0) > 0\)이어야 한다. 퍼텐셜을 \(x_0\) 둘레에서 테일러 전개(Taylor expansion)하면

$$V(x) = V(x_0) + \underbrace{V'(x_0)}_{0}(x-x_0) + \tfrac12 V''(x_0)(x-x_0)^2 + \tfrac16 V'''(x_0)(x-x_0)^3 + \cdots$$
상수항은 에너지 기준을 옮기면 없어지고, 1차 항은 평형 조건으로 0이다. 변위가 작으면 3차 이상 항은 2차 항보다 훨씬 작다.

따라서 진폭이 작은 한, 어떤 퍼텐셜도 조화 진동자(harmonic oscillator) \(V \approx \tfrac12 k(x-x_0)^2\)로 보인다. 힘 상수와 고유 진동수는 극소점의 곡률 하나로 정해진다.

$$k = \left.\frac{d^2V}{dx^2}\right|_{x_0}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad f = \frac{\omega}{2\pi}$$
곡률이 클수록(우물이 뾰족할수록), 질량이 작을수록 빨리 진동한다. 진폭과 무관한 진동수 — 이것이 "조화"라는 말의 뜻이다.
xV x₀ 1차까지: 기울기 0 (힘 0) 2차: ½k(x−x₀)²잘 맞는 구간 3차 항 포함: 비대칭(비조화성)
  1. 원자 사이 퍼텐셜처럼 비대칭인 실제 곡선. 바닥 \(x_0\)이 안정한 평형점이다.
  2. 1차 근사는 수평선이다. 평형점에서는 힘 \(-V'\)이 0이다.
  3. 2차 근사가 포물선이다. 바닥 근처 작은 진폭에서는 실제 곡선과 거의 겹친다.
  4. 진폭이 커지면 3차 항이 보이기 시작한다. 늘어나는 쪽이 완만해 진동이 느려진다 — 비조화성(7.5절).
극소점 근처의 테일러 전개. ▶를 눌러 근사 차수를 하나씩 올려 보라.

힘 상수 30인 퍼텐셜 바닥에 질량 1인 원자가 있으면, \(k\)는 이고 각진동수 \(\omega =\) , 주기 로 떨린다. 진동 양자 하나는 \(\hbar\omega =\) , 분광학 단위로 이다.

위 문단의 단위 환산 \(1\ \text{eV/Å}^2 = 16.02\ \text{N/m}\)을 기억해 두면 편하다. 화학 결합의 힘 상수는 수백~수천 N/m(수십~백여 eV/Ų)이고, 진동 주기는 수~수십 fs다. 분광학에서는 진동수를 파수(wavenumber) \(\tilde\nu = 1/\lambda = f/c\)(cm⁻¹)로 쓴다. \(1\ \text{meV} = 8.066\ \text{cm}^{-1}\).

SIMULATOR

포물선 맞히기: 곡률로 진동 주기를 예측하라

흰 원 두 개를 끌어 포물선을 바닥에 맞춘다
퍼텐셜 종류
입자
내 k—
예측 주기—
측정 주기—
판정—
점수0
해볼 것: ① 아래쪽 원을 바닥으로, 옆 원을 곡선 위로 끌어 포물선을 맞춘 뒤 '판정'을 누르라(곡률 오차 8% 이내, 꼭짓점 0.05 Å 이내면 명중). ② '진동시켜 보기'로 실제 곡선 위에서 입자를 굴려 측정 주기가 예측 주기와 맞는지 보라. ③ 진폭을 0.6 Å 이상으로 키우면 모스 퍼텐셜에서는 주기가 길어지고, 주기 퍼텐셜에서도 길어진다. 포물선 근사가 깨지는 순간이다.

아르곤 원자 두 개 사이의 퍼텐셜을 레너드-존스 꼴 \(V(r) = 4\varepsilon[(\sigma/r)^{12} - (\sigma/r)^6]\), \(\varepsilon = 10.4\) meV, \(\sigma = 0.340\) nm로 근사한다. 평형 거리에서의 힘 상수와 진동 양자 \(\hbar\omega\)를 구하라. 두 원자가 함께 움직이므로 질량은 환산 질량 \(\mu = m_\text{Ar}/2 = 19.97\) u를 쓴다(7.5절).

풀이 보기
전략 \(V'(r_0) = 0\)에서 \(r_0\)을 구하고 \(k = V''(r_0)\)를 계산한다.
풀이 \(V' = 0\) → \(r_0 = 2^{1/6}\sigma = 0.382\) nm. 두 번 미분해 대입하면 \(k = \dfrac{72\varepsilon}{2^{1/3}\sigma^2} = 57.1\,\dfrac{\varepsilon}{\sigma^2} = 57.1\times\dfrac{(0.0104)(1.602\times10^{-19}\ \text{J})}{(0.340\times10^{-9}\ \text{m})^2} = 0.824\) N/m. \(\omega = \sqrt{k/\mu} = \sqrt{0.824/(3.317\times10^{-26})} = 4.98\times10^{12}\) s⁻¹, \(\hbar\omega = 3.28\) meV (26.5 cm⁻¹).
k ≈ 0.824 N/m, ħω ≈ 3.28 meV
검토 공유 결합(수백 N/m)보다 수백 배 무르다. 반데르발스 결합이 약하다는 뜻이다. 실온 \(kT = 25.9\) meV가 \(\hbar\omega\)보다 커서 Ar₂ 분자는 실온에서 쉽게 깨진다.

고전 진동자와 확률 분포

고전 진동자 \(x(t) = A\cos\omega t\)의 에너지는 \(E = \tfrac12 kA^2\)이고, 입자는 \(-A \le x \le A\) 사이만 오간다. 끝점 \(x = \pm A\)에서 운동 에너지가 0이 되어 방향을 바꾸므로 이 점을 고전적 전환점(classical turning point)이라 한다. 그 바깥은 \(E < V\)인 고전적으로 금지된 영역이다.

무작위한 순간에 입자의 사진을 찍는다고 하자. 입자가 \(dx\) 구간에 머무는 시간은 \(dt = dx/|v|\)이고 반주기 \(T/2 = \pi/\omega\) 동안 한 번 지나가므로, 위치의 확률 밀도는 속력에 반비례한다.

$$P_\text{cl}(x)\,dx = \frac{dt}{T/2} = \frac{\omega\,dx}{\pi\,|v|} = \frac{dx}{\pi\sqrt{A^2 - x^2}}, \qquad |v| = \omega\sqrt{A^2-x^2}$$
\(\int_{-A}^{A}P_\text{cl}\,dx = 1\). 가운데에서 가장 작고(빨리 지나감) 전환점에서 무한대로 커진다(거의 멈춰 있음). 무한대지만 적분은 유한하다.
m −A+A x P(x) = 1/(π√(A²−x²)) 가장 빨리 지나가는 곳 = 가장 드물게 보이는 곳 전환점: 잠깐 멈춤전환점
고전 진동자의 위치 확률 밀도. 입자는 느리게 움직이는 전환점 근처에서 가장 자주 발견되고, \(|x| > A\)에는 절대 가지 않는다.

진동하는 추를 무작위한 순간에 수천 번 사진 찍어 위치의 히스토그램을 만들면, 막대가 가장 높은 곳은?

추는 끝에서 느려지므로 그곳에 오래 머문다. 아래 실험에서 히스토그램이 쌓이는 모양을 보라. 양자 바닥 상태는 정반대(가운데가 가장 높음)라는 점을 7.3절에서 확인한다.
MINI LAB무작위 순간마다 추의 위치를 한 번씩 기록한다. 쌓이는 막대가 곡선 \(1/(\pi\sqrt{A^2-x^2})\)에 다가가는 것을 보라. 가운데 \(|x| < A/2\)에 있을 확률은 정확히 1/3이다.

고전 진동자가 \(|x| < A/2\) 구간에서 발견될 확률을 구하라. 구간 폭이 전체의 절반인데 확률도 절반인가?

풀이 보기
전략 \(P_\text{cl}\)을 적분한다. \(\int dx/\sqrt{A^2-x^2} = \arcsin(x/A)\).
풀이 \(\displaystyle\int_{-A/2}^{A/2}\frac{dx}{\pi\sqrt{A^2-x^2}} = \frac{2}{\pi}\arcsin\frac12 = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{6} = \frac13\).
1/3 ≈ 0.333 (폭은 절반이지만 확률은 1/3)
검토 시간으로 보아도 같다. \(x = A\cos\omega t\)가 \(|x| < A/2\)인 구간은 위상 \(60^\circ\)–\(120^\circ\)로 반주기의 1/3이다. 위 미니 실험의 판독값과 비교하라.

양자 조화 진동자

퍼텐셜 \(V = \tfrac12 m\omega^2x^2\)을 시간 독립 슈뢰딩거 방정식(4장)에 넣는다.

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac12 m\omega^2x^2\psi = E\psi$$
길이 눈금 \(x_0 = \sqrt{\hbar/m\omega}\)와 무차원 좌표 \(\xi = x/x_0\)를 쓰면 \(\psi'' = (\xi^2 - 2E/\hbar\omega)\psi\)로 깔끔해진다.

큰 \(|\xi|\)에서는 \(\psi'' \approx \xi^2\psi\)이므로 \(\psi \sim e^{-\xi^2/2}\)처럼 가우스 꼴로 줄어든다. \(\psi = h(\xi)e^{-\xi^2/2}\)로 놓으면 \(h\)에 대한 방정식이 나오고, 그 급수 해가 무한히 이어지면 \(e^{+\xi^2}\)처럼 발산한다. 급수가 끊어져 다항식이 될 때만 정규화할 수 있는데, 그 조건이 바로 에너지 양자화다.

양자 조화 진동자

에너지 고유값과 고유함수는

$$E_n = \left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega, \qquad \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} H_n(\xi)\,e^{-\xi^2/2}, \qquad n = 0, 1, 2, \ldots$$

\(H_n\)은 에르미트 다항식(Hermite polynomial): \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2\xi\), \(H_2 = 4\xi^2-2\), \(H_3 = 8\xi^3-12\xi\), 점화식 \(H_{n+1} = 2\xi H_n - 2nH_{n-1}\).

세 가지가 눈에 띈다. ① 준위 간격이 모두 같다(\(\hbar\omega\)) — 무한 우물(\(\propto n^2\))과 다르다. ② 가장 낮은 에너지가 0이 아니라 \(\tfrac12\hbar\omega\)이다. 이것을 영점 에너지(zero-point energy)라 한다. ③ \(\psi_n\)은 마디가 \(n\)개이고, 짝수 \(n\)은 짝함수, 홀수 \(n\)은 홀함수다.

진동 양자가 \(\hbar\omega =\) 65인 진동자의 영점 에너지는 , \(n =\) 1 준위는 다. 실온(300 K)의 \(kT = 25.9\) meV와 비교하면 \(\hbar\omega/kT =\) , 첫 들뜬 상태에 있을 볼츠만 비율 \(e^{-\hbar\omega/kT}\)는 이다.

준위 사다리와 고전 분포의 비교

바닥 상태 \(\psi_0 \propto e^{-x^2/2x_0^2}\)는 가우스 함수이고, \(|\psi_0|^2\)은 가운데에서 가장 크다. 고전 진동자는 끝에서 가장 자주 보였으니 정반대다. 그러나 \(n\)이 커지면 \(|\psi_n|^2\)은 점점 가운데가 낮고 끝이 높은 모양이 되고, 빠른 진동을 평균하면 고전 분포 \(P_\text{cl}\)과 겹친다. 이것이 보어의 대응 원리(correspondence principle)다. 같은 에너지의 고전 진폭은 \(\tfrac12 m\omega^2A^2 = (n+\tfrac12)\hbar\omega\)에서 \(A = x_0\sqrt{2n+1}\)이다.

SIMULATOR

에너지 사다리: 준위를 끌어 ψn과 고전 분포를 비교하라

오른쪽 흰 원을 위아래로 끌어 준위를 고른다
그릴 것
En—
마디 수—
전환점 ±ξt—
금지 영역 확률—
유한 차분 수치 해—
해볼 것: ① n = 0에서 금지 영역(전환점 바깥)에 있을 확률이 약 16%임을 읽어라. ② n을 하나씩 올리며 마디 수와 짝·홀 대칭을 확인하라. ③ n = 30 이상에서 |ψ|²의 빠른 진동이 고전 곡선을 감싸듯 따라가는 것을 보라 — 대응 원리. 금지 영역 확률이 n과 함께 줄어든다. ④ 마지막 칸은 같은 포물선을 Q.solve(800점 유한 차분)로 푼 값이다. 높은 n에서 격자 오차가 조금씩 커진다.

바닥 상태(n = 0) 입자를 측정했을 때 고전적 전환점 바깥에서 발견될 확률은 대략?

\(\int_{|\xi|>1}|\psi_0|^2d\xi = \operatorname{erfc}(1) = 0.157\). 파동함수는 6장의 장벽 속처럼 지수적으로 줄어들 뿐 바로 0이 되지 않는다. 위 시뮬레이터의 '금지 영역 확률'에서 확인하라.

전자가 \(\hbar\omega = 1.00\) eV인 포물선 퍼텐셜에 갇혀 있다. 길이 눈금 \(x_0\), 바닥 상태 에너지, 위치 퍼짐 \(\Delta x\)를 구하고 \(\Delta x\,\Delta p = \hbar/2\)임을 보여라. (\(\hbar^2/2m_e = 0.0381\) eV·nm²)

풀이 보기
전략 \(x_0^2 = \hbar/m\omega = \hbar^2/(m\cdot\hbar\omega) = 2(\hbar^2/2m)/\hbar\omega\). 가우스 \(|\psi_0|^2 \propto e^{-x^2/x_0^2}\)의 표준 편차는 \(x_0/\sqrt2\).
풀이 \(x_0 = \sqrt{2(0.0381)/1.00} = 0.276\) nm, \(E_0 = 0.500\) eV, \(\Delta x = 0.276/\sqrt2 = 0.195\) nm. 비리얼 정리로 \(\langle T\rangle = \langle V\rangle = E_0/2\)이므로 \(\langle p^2\rangle = 2m\langle T\rangle = m\hbar\omega/2\), \(\Delta p = \sqrt{m\hbar\omega/2}\). 곱하면 \(\Delta x\Delta p = \sqrt{\hbar/2m\omega}\sqrt{m\hbar\omega/2} = \hbar/2\).
x₀ = 0.276 nm, E₀ = 0.500 eV, Δx = 0.195 nm, ΔxΔp = ħ/2
검토 바닥 상태는 불확정성 원리(2장)의 등호를 만족하는 "최소 불확정 상태"다. 영점 에너지는 바로 이 최소 퍼짐의 대가다 — 입자를 바닥 \(x = 0\)에 정지시키면 \(\Delta x = \Delta p = 0\)이 되어 원리에 어긋난다.

바닥 상태 진동자가 고전적으로 금지된 영역 \(|x| > x_0\)에서 발견될 확률을 구하라. (\(\operatorname{erfc}(1) = 0.1573\))

풀이 보기
전략 \(E_0 = \tfrac12\hbar\omega = \tfrac12 m\omega^2A^2\)에서 \(A = x_0\), 즉 \(\xi_t = 1\). \(|\psi_0|^2 = \pi^{-1/2}e^{-\xi^2}\)을 바깥에서 적분한다.
풀이 \(P = 2\displaystyle\int_1^\infty \frac{e^{-\xi^2}}{\sqrt\pi}d\xi = \operatorname{erfc}(1) = 0.157\).
P ≈ 0.157 (약 16%)
검토 \(n = 1\)이면 0.112, \(n = 5\)이면 0.074로 줄어든다(사다리 시뮬레이터). 큰 \(n\)에서 0으로 가는 것은 대응 원리와 맞는다.
심화: 사다리 연산자

디랙은 미분 방정식을 풀지 않고 같은 답을 얻었다. \(\hat a = \tfrac{1}{\sqrt2}(\xi + \tfrac{d}{d\xi})\), \(\hat a^\dagger = \tfrac{1}{\sqrt2}(\xi - \tfrac{d}{d\xi})\)를 정의하면 \([\hat a, \hat a^\dagger] = 1\)이고 해밀토니안은 \(\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a + \tfrac12)\)이 된다. 교환 관계로부터 \(\hat a^\dagger\)는 에너지를 \(\hbar\omega\)만큼 올리고(올림 연산자(raising operator)) \(\hat a\)는 내린다: \(\hat a^\dagger\psi_n = \sqrt{n+1}\,\psi_{n+1}\), \(\hat a\psi_n = \sqrt n\,\psi_{n-1}\). 사다리에는 바닥이 있어야 하므로 \(\hat a\psi_0 = 0\), 즉 \((\xi + d/d\xi)\psi_0 = 0\) → \(\psi_0 \propto e^{-\xi^2/2}\). 나머지는 \(\psi_n = (\hat a^\dagger)^n\psi_0/\sqrt{n!}\)로 모두 만들어진다. \(\hat x \propto \hat a + \hat a^\dagger\)이므로 위치(쌍극자) 연산자는 \(n\)을 ±1만 바꾼다 — 7.5절의 선택 규칙 \(\Delta n = \pm1\)이 여기서 나온다. 같은 연산자가 10장 이후 광자·포논을 "생성·소멸"하는 언어가 된다.

MEMS 공진기와 영점 진동

가속도계·자이로·RF 필터의 MEMS 공진기도 조화 진동자다. 유효 질량 \(10^{-12}\) kg(1 ng), 공진 주파수 10 MHz인 빔의 영점 진폭 \(x_\text{zp} = \sqrt{\hbar/2m\omega}\)은 약 \(9\times10^{-16}\) m로 양성자 크기 정도이고, 실온의 열적 점유 \(kT/\hbar\omega\)는 약 \(6\times10^5\)이다. 그래서 실제 소자의 잡음 바닥은 영점 진동이 아니라 열 잡음(브라운 운동)이 정한다. 영점 진동이 보이려면 GHz 공진기를 mK까지 냉각해야 한다. 열 잡음 한계는 센서 잡음 장을 참고하라.

결맞음 상태: 고전처럼 움직이는 파속

정상 상태 \(\psi_n e^{-iE_nt/\hbar}\) 하나는 \(|\psi|^2\)이 시간에 따라 변하지 않는다. 진동하는 무언가를 보려면 서로 다른 \(n\)을 겹쳐야 한다. 가장 단순한 겹침 \(\psi = (\psi_0 + \psi_1 e^{-i\omega t})/\sqrt2\)에서는 두 항의 간섭 때문에 \(|\psi|^2\)이 진동수 \((E_1-E_0)/\hbar = \omega\)로 좌우로 흔들린다. 준위 간격이 모두 같으므로, 아무리 많은 준위를 겹쳐도 모든 간섭 항이 \(\omega\)의 정수배로 진동해 주기 \(T = 2\pi/\omega\)마다 정확히 원래 모양으로 돌아온다.

겹칠 준위
MINI LAB두 정상 상태를 겹치면 \(|\psi|^2\)이 \((E_m - E_n)/\hbar\)로 흔들린다. 0 + 1은 좌우로 출렁여 \(\langle x\rangle\)이 진동하지만, 0 + 2는 같은 자리에서 부풀었다 줄었다 할 뿐 \(\langle x\rangle = 0\)이다 — 쌍극자가 진동하려면 이웃한 준위(\(\Delta n = \pm1\))가 섞여야 한다.

특별한 겹침인 결맞음 상태(coherent state)는 바닥 상태 가우스를 옆으로 \(x_c\)만큼 옮겨 놓은 것이다. 이 파속은 모양(폭 \(x_0/\sqrt2\))을 그대로 유지한 채 중심이 고전 진동자처럼 \(\langle x\rangle = x_c\cos\omega t\)로 왕복한다. 겹친 준위의 무게는 푸아송 분포이고 평균 양자수는 \(\langle n\rangle = |\alpha|^2 = x_c^2/2x_0^2\)이다. 레이저 빛이 바로 광자의 결맞음 상태다(13장).

4장에서 자유 입자의 가우스 파속은 시간이 지나면 퍼졌다. 포물선 바닥의 가우스(폭이 바닥 상태와 같음)를 옆으로 옮겨 놓고 놓으면?

포물선의 복원력이 퍼지려는 경향을 정확히 상쇄한다. 아래 시뮬레이터는 크랭크–니콜슨 방법(Q.propagator)으로 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 직접 푼다. 폭을 바꾸거나 비조화 항을 켜면 이 마법이 깨진다.
SIMULATOR

결맞음 상태: 파속을 끌어 놓고 왕복을 지켜보라

파속 꼭대기의 흰 원을 좌우로 끈다
⟨x⟩—
σx—
⟨E⟩—
시간—
전자, \(\hbar\omega = 0.100\) eV(주기 41.4 fs, \(x_0 = 0.873\) nm). 해볼 것: ① 파속을 2–3 nm 옮겨 놓으면 σx가 0.617 nm로 거의 일정하고, 아래 그래프의 ⟨x⟩(t)가 고전 곡선(점선)과 겹친다. ② 폭을 0.5나 2로 바꾸면 반주기마다 숨 쉬듯 폭이 변한다(압축 상태). 그래도 중심은 고전처럼 움직인다. ③ 비조화 항을 켜면 준위 간격이 고르지 않아 파속이 퍼지고 흐트러진다.

바닥 상태 가우스를 \(x_c = 3x_0\)만큼 옮겨 놓았다. 평균 양자수 \(\langle n\rangle\)과 평균 에너지를 \(\hbar\omega\) 단위로 구하고, 같은 진폭의 고전 진동자 에너지와 비교하라.

풀이 보기
전략 \(\langle n\rangle = |\alpha|^2 = x_c^2/(2x_0^2)\), \(\langle E\rangle = (\langle n\rangle + \tfrac12)\hbar\omega\).
풀이 \(\langle n\rangle = 9/2 = 4.5\), \(\langle E\rangle = 5.0\,\hbar\omega\). 고전 에너지 \(\tfrac12 m\omega^2x_c^2 = \tfrac12\hbar\omega(x_c/x_0)^2 = 4.5\,\hbar\omega\).
⟨n⟩ = 4.5, ⟨E⟩ = 5.0 ħω (고전 4.5 ħω + 영점 0.5 ħω)
검토 결맞음 상태의 에너지는 "고전 진동 에너지 + 영점 에너지"다. 시뮬레이터에서 \(x_c = 2.62\) nm로 옮기면 ⟨E⟩ ≈ 0.50 eV가 나온다.

이원자 분자의 진동과 적외선 흡수

두 원자 \(m_1\), \(m_2\)가 결합으로 묶여 있으면 무게 중심은 자유롭게 움직이고, 원자 사이 거리 \(r\)만 진동한다. 상대 좌표의 운동 방정식에서는 질량 자리에 환산 질량(reduced mass)이 들어간다.

$$\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}, \qquad \tilde\nu = \frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{k}{\mu}}$$
한쪽이 매우 무거우면(\(m_2 \gg m_1\)) \(\mu \to m_1\): 가벼운 원자가 고정된 벽에 매달려 떠는 것과 같다. H–Cl의 \(\mu = 0.980\) u는 H 질량과 거의 같다.
m₁ m₂ k무게 중심 두 원자가 서로 반대로 움직인다: r = x₂ − x₁ ⇔ μk 고정된 벽에 매달린 질량 μ 하나 μ = m₁m₂/(m₁+m₂), ω = √(k/μ)
이원자 분자의 2체 문제는 환산 질량 \(\mu\) 하나의 1차원 진동자 문제와 같다.

분자는 전기 쌍극자 복사로 빛을 흡수한다. 흡수 확률은 \(\langle\psi_{n'}|\,x\,|\psi_n\rangle\)에 비례하는데, 조화 진동자에서는 이 값이 \(n' = n\pm1\)일 때만 0이 아니다. 이것이 선택 규칙(selection rule) \(\Delta n = \pm1\)이다. 준위 간격이 모두 \(\hbar\omega\)이므로 흡수선은 하나, 진동수 \(\omega\)에만 생긴다. 또 진동하면서 쌍극자 모멘트가 변해야 하므로 HCl, CO는 적외선을 흡수하지만 N₂, O₂, H₂ 같은 동핵 분자는 흡수하지 않는다(적외선 비활성).

n = 0n = 1n = 2n = 3 광자 ħω 흡수: 0 → 1 1 → 2도 같은 ħω → 흡수선은 한 줄 0 → 2 (Δn = 2): 조화 진동자에서는 금지비조화성 때문에 약한 배음(overtone)으로 보인다 H–Cl: 늘어나면 쌍극자 변화 → 적외선 활성N≡N: 쌍극자 항상 0 → 적외선 비활성(라만 활성)
  1. 광자의 에너지 \(hc\tilde\nu\)가 \(\hbar\omega\)와 같으면 바닥에서 첫 들뜬 상태로 올라간다.
  2. 간격이 모두 같으므로 다른 \(\Delta n = 1\) 전이도 같은 진동수에서 일어난다. 실온에서는 거의 모든 분자가 \(n = 0\)에 있다.
  3. \(\Delta n = 2\) 이상은 쌍극자 행렬 요소가 0이라 금지된다. 실제 분자는 비조화성으로 약한 배음을 보인다.
  4. 흡수하려면 진동이 쌍극자 모멘트를 바꿔야 한다. 동핵 이원자 분자는 적외선으로 보이지 않는다.
적외선 흡수의 선택 규칙. 진동 분광은 분자마다 다른 \(\tilde\nu\)를 지문처럼 읽는다.

H–Cl의 H를 중수소 D(질량 2배)로 바꾸면 결합 힘 상수는 그대로다. 흡수선 파수는?

\(\mu\)가 0.980 u에서 1.904 u로 거의 두 배가 되므로 \(\tilde\nu \propto 1/\sqrt\mu\)는 약 0.717배, 2886 → 약 2070 cm⁻¹. 아래 시뮬레이터에서 원자 A를 D로 바꿔 보라.
SIMULATOR

적외선 흡수선 맞히기: 힘 상수를 끌어 목표 파수를 찾아라

포물선 위 흰 원을 위아래로 끌어 k를 바꾼다
목표
환산 질량 μ—
흡수 파수—
파장 · ħω—
목표—
해볼 것: ① 목표 HCl(2886 cm⁻¹)을 ±10 cm⁻¹ 안으로 맞혀 힘 상수(약 481 N/m)를 찾아라. ② CO(2143 cm⁻¹)는 삼중 결합이라 k가 약 1860 N/m로 훨씬 크다. ③ 맞힌 뒤 원자 A를 H→D로 바꿔 동위 원소 이동을 보라. ④ '무작위'는 원자와 숨은 k를 골라 준다.

H³⁵Cl의 적외선 흡수선은 2886 cm⁻¹이다. 결합의 힘 상수, 광자 에너지와 파장, 300 K에서 \(n = 1\)에 있는 분자의 비율을 구하라. (\(m_\text{H} = 1.00783\) u, \(m_\text{Cl} = 34.9689\) u)

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전략 \(k = \mu(2\pi c\tilde\nu)^2\). 볼츠만 비율 \(e^{-hc\tilde\nu/kT}\).
풀이 \(\mu = 0.97959\) u \(= 1.6266\times10^{-27}\) kg. \(2\pi c\tilde\nu = 2\pi(2.998\times10^8)(2.886\times10^5\ \text{m}^{-1}) = 5.436\times10^{14}\) s⁻¹. \(k = 1.6266\times10^{-27}\times(5.436\times10^{14})^2 = 481\) N/m. \(E = hc\tilde\nu = 0.358\) eV, \(\lambda = 1/\tilde\nu = 3.47\) μm. \(hc\tilde\nu/kT = 0.358/0.02585 = 13.8\) → \(e^{-13.8} = 9.7\times10^{-7}\).
k ≈ 481 N/m, E = 0.358 eV, λ = 3.47 μm, n = 1 비율 ≈ 1×10⁻⁶
검토 481 N/m ≈ 30 eV/Ų — 공유 결합다운 크기다. 실온에서 분자는 사실상 모두 바닥 상태이고, 흡수선은 0 → 1 전이 하나다(엄밀히는 비조화성 때문에 바닥의 곡률에서 구한 값 2991 cm⁻¹보다 조금 낮다).

수소로 덮인 실리콘 표면의 Si–H 신축 진동은 약 2100 cm⁻¹에서 흡수한다. 힘 상수를 구하고, 중수소로 바꾼 Si–D의 흡수 파수를 조화 진동자 모형으로 예측하라. (\(m_\text{Si} = 27.977\) u, \(m_\text{D} = 2.0141\) u)

풀이 보기
전략 힘 상수는 같고 환산 질량만 바뀐다: \(\tilde\nu_\text{D} = \tilde\nu_\text{H}\sqrt{\mu_\text{H}/\mu_\text{D}}\).
풀이 \(\mu_\text{SiH} = 0.9728\) u → \(k = \mu(2\pi c\tilde\nu)^2 = 253\) N/m. \(\mu_\text{SiD} = 1.8788\) u → \(\tilde\nu_\text{D} = 2100\sqrt{0.9728/1.8788} = 1511\) cm⁻¹.
k ≈ 253 N/m, Si–D ≈ 1.51×10³ cm⁻¹
검토 측정값은 약 1520 cm⁻¹로 잘 맞는다. Si–H 결합은 HCl보다 무르다(253 vs 481 N/m). 게이트 산화막 계면의 수소를 중수소로 바꾸면(중수소 어닐) 뜨거운 전자에 의한 계면 결합 끊김이 크게 줄어 소자 수명이 길어진다. 진동 양자가 작아진 Si–D 모드가 실리콘 격자 포논과 에너지를 잘 주고받아, 전자가 넣어 준 진동 에너지가 결합을 끊기 전에 빠져나가기 때문으로 설명된다.
FTIR로 박막과 웨이퍼를 읽는다

푸리에 변환 적외선 분광(FTIR)은 공정 라인의 대표적 비파괴 분석이다. 열산화막 SiO₂의 Si–O–Si 비대칭 신축은 약 1075 cm⁻¹(9.3 μm)에 강한 흡수를 주고, 이 봉우리의 위치와 폭으로 막의 밀도·응력·조성을 판단한다(PECVD 막은 낮은 파수로 밀린다). 수소가 들어간 질화막·비정질 실리콘은 Si–H 2100 cm⁻¹, N–H 약 3340 cm⁻¹ 흡수로 수소 함량을 잰다. 초크랄스키 웨이퍼 속 침입형 산소는 1107 cm⁻¹(0.137 eV) 흡수의 세기로 농도(보통 10¹⁷–10¹⁸ cm⁻³)를 정량한다(ASTM F1188 계열 보정 계수). 산소 농도는 게터링과 웨이퍼 휨을 좌우한다. 공정 전반은 공정, 박막 광학은 박막 광학을 참고하라.

비조화성과 모스 퍼텐셜

실제 결합은 아주 많이 늘이면 끊어진다. 포물선은 영원히 올라가지만, 실제 퍼텐셜은 해리 에너지 \(D_e\)에서 평평해진다. 모스 퍼텐셜(Morse potential)은 이를 잘 흉내 내면서 정확히 풀린다.

$$V(r) = D_e\left(1 - e^{-a(r-r_e)}\right)^2, \qquad k = 2D_ea^2, \qquad E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac12\right) - \frac{[\hbar\omega(n+\frac12)]^2}{4D_e}$$
둘째 항이 비조화성(anharmonicity)이다. 준위 간격 \(E_{n+1} - E_n = \hbar\omega[1 - (n+1)\hbar\omega/2D_e]\)가 위로 갈수록 줄어들고, 간격이 0이 되는 곳 근처에서 분자가 해리(dissociation)된다. 실제 결합 에너지는 \(D_0 = D_e - E_0\)이다.
MINI LAB실선은 모스 준위, 점선은 같은 곡률의 조화 진동자 준위다. 처음 몇 준위는 거의 같지만 위로 갈수록 모스 준위가 촘촘해지고, \(D_e\) 위로는 속박 상태가 없다. 기본값은 HCl(\(D_e = 4.62\) eV, \(\hbar\omega = 0.37\) eV)이다.

결정 격자 진동과 포논

결정 속 원자는 이웃 원자와 결합으로 이어진 거대한 용수철 그물이다. 가장 단순한 모형은 질량 \(m\)인 원자들이 간격 \(a\)로 놓이고 이웃끼리 힘 상수 \(K\)인 용수철로 이어진 1차원 사슬이다. \(n\)번째 원자의 평형 위치로부터의 변위를 \(u_n\)이라 하면

$$m\ddot u_n = K(u_{n+1} - u_n) - K(u_n - u_{n-1}) = K(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n)$$
uₙ n−1nn+1 a Km 변위 uₙ: 평형 위치에서 잰 값
1차원 단원자 사슬. 각 원자는 양옆 용수철의 늘어남 차이만큼 힘을 받는다.

모든 원자가 같은 진동수로 떨고 위상만 자리마다 \(ka\)씩 늦는 파동 해 \(u_n = A e^{i(kna - \omega t)}\)를 넣으면 \(-m\omega^2 = K(e^{ika} + e^{-ika} - 2) = -4K\sin^2(ka/2)\)이므로 분산 관계(dispersion relation)를 얻는다.

$$\omega(k) = 2\sqrt{\frac{K}{m}}\,\left|\sin\frac{ka}{2}\right|, \qquad -\frac{\pi}{a} < k \le \frac{\pi}{a}$$
긴 파장(\(ka \ll 1\))에서 \(\omega \approx a\sqrt{K/m}\,k\): 소리처럼 선형이고 음속은 \(v_s = a\sqrt{K/m}\). 영역 끝 \(k = \pi/a\)에서 이웃 원자가 정반대로 움직이며 최대 진동수 \(2\sqrt{K/m}\)에 이른다. \(k\)와 \(k + 2\pi/a\)는 원자 위치에서 똑같은 운동이므로 첫 브릴루앙 영역(Brillouin zone)만 보면 된다(12장).

사슬의 각 정규 모드는 독립적인 조화 진동자이므로 양자역학에서 에너지가 \((n_k+\tfrac12)\hbar\omega(k)\)로 양자화된다. 그 에너지 양자 \(\hbar\omega(k)\) 하나를 포논(phonon)이라 한다. 빛의 양자가 광자이듯, 격자 진동의 양자가 포논이다. 원자가 두 종류(또는 단위 세포에 원자 두 개)인 사슬에서는 이웃이 같이 움직이는 음향 가지 위에, 단위 세포 안의 두 원자가 서로 반대로 움직이는 광학 가지가 생긴다. 실리콘의 광학 포논은 \(k = 0\)에서 15.6 THz, 약 64 meV(520 cm⁻¹)다.

SIMULATOR

원자 사슬의 포논: 분산 곡선 위의 점을 끌어라

분산 곡선 위 흰 원을 끈다
사슬
k—
파장 λ—
f · ħω—
군속도 dω/dk—
Si 원자(28.09 u), 원자 간격 0.235 nm, \(K = 112\) N/m(최대 진동수가 Si의 15.6 THz가 되도록 맞춘 값). 해볼 것: ① k를 0 근처에서 키우면 ω가 k에 비례하다가 영역 끝에서 평평해진다(군속도 0 — 정상파). ② '영역 밖 k'를 켜고 k = 2π/a 근처로 가면 원자 운동이 k ≈ 0과 똑같아 보인다. 원자 사이의 파동은 의미가 없기 때문이다. ③ 이원자 사슬에서 광학 가지의 k = 0 모드를 골라 두 원자가 서로 반대로 움직이는 것을 보라. 질량비를 1로 하면 간격(띠 간격)이 닫힌다.

진동수 15.6인 포논 하나의 에너지는 , 분광학 단위로 이다. 온도 300에서 이 모드의 평균 포논 수는 이다.

위 문단의 평균 포논 수는 \(\bar n = 1/(e^{\hbar\omega/kT} - 1)\)로 계산했다. 들뜬 진동자 준위의 볼츠만 무게를 모두 더하면 나오는 결과로, 10장에서 보스–아인슈타인 분포(Bose–Einstein distribution)의 특수한 경우(화학 퍼텐셜 0)임을 보게 된다. \(kT \gg \hbar\omega\)이면 \(\bar n \approx kT/\hbar\omega\)로 고전 등분배 정리가 되살아나고, \(kT \ll \hbar\omega\)이면 모드가 "얼어붙어" 거의 들뜨지 않는다. 저온에서 고체의 비열이 0으로 가는 이유다.

MINI LAB한 진동 모드의 평균 포논 수(실선)와 고전 값 \(kT/\hbar\omega\)(점선). 음향 포논(수 meV)은 실온에서 고전적으로 들뜨지만, 63 meV 광학 포논은 300 K에서 0.1개 정도만 있다. 온도를 올리면 광학 포논이 빠르게 늘어나 전자를 더 자주 산란한다.

실리콘의 라만 봉우리는 520 cm⁻¹이다. 이 광학 포논의 에너지(meV), 진동수(THz), 300 K에서 평균 포논 수를 구하라.

풀이 보기
전략 \(E = hc\tilde\nu\), \(f = c\tilde\nu\), \(\bar n = 1/(e^{E/kT}-1)\).
풀이 \(E = 520\times1.2398\times10^{-4}\) eV \(= 64.5\) meV, \(f = (2.998\times10^{10}\ \text{cm/s})(520\ \text{cm}^{-1}) = 15.6\) THz. \(E/kT = 64.5/25.85 = 2.49\) → \(\bar n = 1/(e^{2.49}-1) = 0.0900\).
ħω ≈ 64.5 meV, f ≈ 15.6 THz, n̄(300 K) ≈ 0.090
검토 소자 수송 계산에서는 흔히 63 meV(광학·골짜기 사이 포논의 대표값)를 쓴다. 포논 하나가 전자 에너지를 0.06 eV씩 빼앗으므로, 강한 전기장에서 가속된 전자는 광학 포논을 내놓으며 속도가 포화된다(포화 속도 약 10⁷ cm/s).
라만 520 cm⁻¹로 변형을 잰다

라만 분광은 레이저 광자가 포논 하나를 만들고 그만큼 에너지를 잃고 산란되는 현상을 본다. 무변형 Si의 봉우리는 520 cm⁻¹이고, 결정이 늘어나면(인장) 결합이 물러져 \(K\)가 줄고 \(\omega \propto \sqrt K\)도 줄어 봉우리가 낮은 파수로 이동한다. 이축 응력 1 GPa당 약 −4 cm⁻¹ 이동한다. SiGe 위의 변형 실리콘(strained Si), 소스·드레인 SiGe 스트레서가 채널에 주는 응력, TSV 주위의 응력 분포를 수백 nm 분해능으로 지도로 그린다. 변형이 이동도를 높이는 원리는 소자 미세화를 참고하라.

포논이 이동도와 발열을 지배한다

상온 실리콘에서 전자 이동도(약 1400 cm²/V·s)를 제한하는 주범은 격자 진동, 즉 포논 산란이다. 온도가 오르면 포논 수가 늘어 이동도가 대략 \(T^{-3/2}\)~\(T^{-2.4}\)로 떨어지므로 뜨거운 칩은 느려진다. 반대로 채널에서 가속된 전자가 내놓은 광학 포논은 느린 음향 포논으로 붕괴하며 열이 되어 퍼진다 — 트랜지스터 발열의 미시적 경로다. 나노시트처럼 얇은 채널에서는 포논이 경계에서 산란돼 열전도도가 벌크(약 150 W/m·K)보다 크게 낮아진다. 또 Si는 간접 띠 간격이라 광자 혼자서는 전자를 띠 끝에서 띠 끝으로 올릴 수 없고, 결정 운동량을 보태 줄 포논이 함께 흡수·방출되어야 한다(12·13장). 수송은 캐리어 수송을 참고하라.

핵심 정리

  1. 안정한 평형점 근처의 퍼텐셜은 모두 \(\tfrac12 k(x-x_0)^2\)로 보이며, \(k = V''(x_0)\), \(\omega = \sqrt{k/m}\)이다. 진폭이 커지면 3차 이상 항(비조화성)이 드러난다.
  2. 고전 진동자의 위치 확률 밀도는 \(1/(\pi\sqrt{A^2-x^2})\)로 전환점에서 가장 크고, \(|x| > A\)에서는 0이다.
  3. 양자 진동자의 에너지는 \(E_n = (n+\tfrac12)\hbar\omega\)로 등간격이고, 영점 에너지 \(\tfrac12\hbar\omega\)는 불확정성 원리의 결과다. 고유함수는 \(H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\), \(x_0 = \sqrt{\hbar/m\omega}\).
  4. 바닥 상태는 고전적 전환점 바깥에서 약 16% 확률로 발견된다. 큰 \(n\)에서는 \(|\psi_n|^2\)의 평균이 고전 분포와 같아진다(대응 원리).
  5. 준위 간격이 같아 결맞음 상태(옮겨 놓은 바닥 상태 가우스)는 퍼지지 않고 \(\langle x\rangle = x_c\cos\omega t\)로 고전처럼 왕복한다.
  6. 이원자 분자의 진동 파수는 \(\tilde\nu = \sqrt{k/\mu}/2\pi c\), 선택 규칙 \(\Delta n = \pm1\), 쌍극자가 변해야 적외선 활성이다. 모스 퍼텐셜은 비조화성과 해리를 설명한다.
  7. 1차원 원자 사슬의 분산은 \(\omega = 2\sqrt{K/m}|\sin(ka/2)|\)이고, 각 모드의 에너지 양자 \(\hbar\omega(k)\)가 포논이다. 평균 포논 수는 \(1/(e^{\hbar\omega/kT}-1)\)이다(10장).

연습문제

상수: \(h = 6.626\times10^{-34}\) J·s, \(\hbar = 1.0546\times10^{-34}\) J·s, \(c = 2.998\times10^8\) m/s, \(1\ \text{u} = 1.6605\times10^{-27}\) kg, \(k_B = 8.617\times10^{-5}\) eV/K, \(\hbar^2/2m_e = 0.0381\) eV·nm², \(hc = 1.2398\times10^{-4}\) eV·cm. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

진동수 \(f = 9.00\times10^{13}\) Hz인 분자 진동의 영점 에너지는 몇 eV인가?

\(E_0 = \tfrac12 hf = \tfrac12(6.626\times10^{-34})(9.00\times10^{13})/(1.602\times10^{-19}) = 0.186\) eV.

고전 진동자(진폭 \(A\))가 바깥 구간 \(|x| > 0.8A\)에서 발견될 확률은?

\(P(|x|<0.8A) = (2/\pi)\arcsin0.8\).

\(P = 1 - (2/\pi)\arcsin(0.8) = 1 - (2/\pi)(0.9273) = 0.410\). 폭은 전체의 20%인데 확률은 41%다.

CO의 진동 흡수선은 2143 cm⁻¹이다. 흡수되는 적외선의 파장(μm)과 광자 에너지(eV)는?

\(\lambda = 1/\tilde\nu = 1/(2143\ \text{cm}^{-1}) = 4.67\times10^{-4}\) cm \(= 4.67\) μm. \(E = hc\tilde\nu = 1.2398\times10^{-4}\times2143 = 0.266\) eV.

위 문제의 ¹²C¹⁶O(\(m_\text{C} = 12.000\) u, \(m_\text{O} = 15.995\) u)의 결합 힘 상수는?

\(\mu = 6.856\) u, \(k = \mu(2\pi c\tilde\nu)^2\) — 파수는 m⁻¹로 바꾼다.

\(\mu = 6.856\) u \(= 1.1385\times10^{-26}\) kg. \(2\pi c\tilde\nu = 2\pi(2.998\times10^8)(2.143\times10^5) = 4.037\times10^{14}\) s⁻¹. \(k = 1.1385\times10^{-26}\times(4.037\times10^{14})^2 = 1.86\times10^3\) N/m. 삼중 결합이라 HCl(481 N/m)의 약 4배다.

H³⁵Cl의 흡수선이 2886 cm⁻¹일 때, 힘 상수가 같다고 보고 D³⁵Cl의 흡수선을 예측하라. (\(m_\text{H} = 1.00783\), \(m_\text{D} = 2.01410\), \(m_\text{Cl} = 34.9689\) u)

\(\mu_\text{HCl} = 0.97959\) u, \(\mu_\text{DCl} = 1.90441\) u. \(\tilde\nu = 2886\sqrt{0.97959/1.90441} = 2070\) cm⁻¹ (측정값 약 2091 cm⁻¹).

실리콘 나노 구조에서 전자(유효 질량 \(0.19m_e\))가 포물선 구속을 받아 준위 간격 \(\hbar\omega = 20.0\) meV를 보인다. 길이 눈금 \(x_0 = \sqrt{\hbar/m^*\omega}\)는?

\(x_0^2 = 2(\hbar^2/2m_e)/[(m^*/m_e)\hbar\omega]\).

\(x_0 = \sqrt{2(0.0381)/(0.19\times0.0200)} = \sqrt{20.05} = 4.48\) nm. 바닥 상태 폭 \(\Delta x = x_0/\sqrt2 = 3.2\) nm로 나노시트 두께와 비슷한 크기다.

첫 들뜬 상태 \(\psi_1\)이 고전적 전환점 바깥(\(|\xi| > \sqrt3\))에서 발견될 확률은? \(|\psi_1|^2 = (2/\sqrt\pi)\xi^2e^{-\xi^2}\)이고 \(\int_b^\infty \xi^2e^{-\xi^2}d\xi = \tfrac{b}{2}e^{-b^2} + \tfrac{\sqrt\pi}{4}\operatorname{erfc}(b)\), \(\operatorname{erfc}(\sqrt3) = 0.01431\).

\(P = 2\cdot\dfrac{2}{\sqrt\pi}\left[\dfrac{\sqrt3}{2}e^{-3} + \dfrac{\sqrt\pi}{4}\operatorname{erfc}\sqrt3\right] = \dfrac{2\sqrt3}{\sqrt\pi}e^{-3} + \operatorname{erfc}\sqrt3 = 0.0973 + 0.0143 = 0.112\). 사다리 시뮬레이터에서 n = 1로 확인하라.

CZ 실리콘 웨이퍼의 침입형 산소 농도는 FTIR에서 1107 cm⁻¹ 흡수로 잰다. 이 진동 양자의 에너지(meV)와 흡수 파장(μm)은?

\(E = 1.2398\times10^{-4}\times1107 = 0.1373\) eV \(= 137\) meV. \(\lambda = 10^4/1107 = 9.03\) μm(중적외선).

변형 실리콘 채널의 라만 봉우리가 520.0 cm⁻¹에서 516.8 cm⁻¹로 이동했다. 광학 포논 진동수가 \(\omega \propto \sqrt K\)라고 보면 유효 힘 상수 \(K\)는 몇 % 변했는가?

작은 변화에서 \(\Delta\omega/\omega = \tfrac12\Delta K/K\).

\(\Delta\omega/\omega = -3.2/520 = -0.615\%\) → \(\Delta K/K = 2\times(-0.615\%) = -1.23\%\). 늘어난(인장) 결합이 물러졌다. 이축 응력 계수 −4 cm⁻¹/GPa로는 약 0.8 GPa다.

\(\hbar\omega = 63.0\) meV인 실리콘 광학 포논 모드의 평균 포논 수를 300 K와 400 K에서 구하라. 칩이 뜨거워지면 광학 포논 산란이 얼마나 늘어날지 짐작해 보라.

\(kT = 25.85\), 34.47 meV. \(\bar n = 1/(e^{63.0/25.85}-1) = 1/(e^{2.437}-1) = 0.0958\), \(\bar n = 1/(e^{1.828}-1) = 0.192\). 100 K 오르는 동안 두 배가 된다 — 흡수 산란율은 \(\bar n\)에 비례한다.

Si 원자(28.09 u)가 간격 \(a = 0.250\) nm, 힘 상수 \(K = 60.0\) N/m인 1차원 사슬을 이룬다. 최대 진동수 \(f_\text{max}\)와 긴 파장 음속 \(v_s\)는?

\(\sqrt{K/m} = \sqrt{60.0/(4.664\times10^{-26})} = 3.587\times10^{13}\) s⁻¹. \(f_\text{max} = 2\sqrt{K/m}/2\pi = 11.4\) THz. \(v_s = a\sqrt{K/m} = (0.250\times10^{-9})(3.587\times10^{13}) = 8.97\times10^3\) m/s \(= 8.97\) km/s. 실제 Si의 종파 음속 약 8.4 km/s와 비슷하다.

모스 퍼텐셜로 본 HCl은 \(D_e = 4.62\) eV, \(\hbar\omega = 0.371\) eV다. (a) \(0\to1\) 전이 파수, (b) 속박 준위의 개수(\(E_{n+1} - E_n > 0\)인 \(n\)의 범위, \(n = 0\) 포함)를 구하라.

\(E_1 - E_0 = \hbar\omega - (\hbar\omega)^2/2D_e\). \(E_n\)은 \(n+\tfrac12 = 2D_e/\hbar\omega\)에서 최대가 되고, 그 위로는 속박 준위가 없다.

(a) \(E_1 - E_0 = 0.371 - 0.371^2/9.24 = 0.371 - 0.0149 = 0.3561\) eV → \(0.3561/1.2398\times10^{-4} = 2872\) cm⁻¹. (b) \(E_n\)은 \(n + \tfrac12 = 2D_e/\hbar\omega = 24.9\)에서 최대이므로 \(n = 0, 1, \ldots, 24\)의 25개 준위가 \(D_e\) 아래에 있다. 모스 미니 실험의 판독값과 비교하라.

다음 중 진동 적외선 흡수를 보이지 않는 분자는?

N₂는 같은 원자 두 개라 진동해도 쌍극자 모멘트가 0으로 남는다. 그래서 공기의 주성분 N₂·O₂는 적외선을 거의 흡수하지 않고, 온실 효과는 CO₂·H₂O가 맡는다. N₂ 진동은 라만으로 관측한다.

양자 조화 진동자의 바닥 상태 에너지가 0이 아니라 \(\tfrac12\hbar\omega\)인 이유로 가장 알맞은 것은?

절대 영도에서도 남는 에너지다. 입자를 바닥에 정지시키면 \(\Delta x = \Delta p = 0\)이 되어 불확정성 원리에 어긋난다. 바닥 상태는 \(\Delta x\Delta p = \hbar/2\)를 정확히 만족한다. 정상 상태이므로 빛을 내놓지 않는다.

유효 질량 \(1.0\times10^{-12}\) kg, 공진 주파수 10.0 MHz인 MEMS 공진기의 영점 진폭 \(x_\text{zp} = \sqrt{\hbar/2m\omega}\)와 300 K에서 열적 점유의 크기 \(kT/\hbar\omega\)를 구하라.

\(\omega = 2\pi\times10^7 = 6.283\times10^7\) s⁻¹. \(x_\text{zp} = \sqrt{1.0546\times10^{-34}/(2\times10^{-12}\times6.283\times10^7)} = 9.16\times10^{-16}\) m. \(kT/\hbar\omega = (1.381\times10^{-23}\times300)/(1.0546\times10^{-34}\times6.283\times10^7) = 6.25\times10^5\). 열 진동 진폭은 영점의 약 \(\sqrt{2\times6.25\times10^5} \approx 1100\)배다.

개념 확인 퀴즈

무한 사각 우물과 조화 진동자의 준위 간격을 비교한 것으로 옳은 것은?

우물 \(E_n \propto n^2\), 진동자 \(E_n = (n+\tfrac12)\hbar\omega\). 위로 갈수록 좁아지는 것은 모스 퍼텐셜(과 수소 원자)이다.

분자의 결합 힘 상수를 4배로 하고 환산 질량은 그대로 두면 진동 흡수 파수는?

\(\tilde\nu \propto \sqrt{k/\mu}\).

양자 진동자의 \(|\psi_n|^2\)이 고전 확률 분포와 가장 비슷해지는 경우는?

대응 원리. n = 0은 오히려 정반대로 가운데가 가장 높다.

결맞음 상태 파속이 포물선 퍼텐셜에서 퍼지지 않고 왕복하는 가장 근본적인 이유는?

비조화 항을 켜면 간격이 달라지고 파속이 흐트러진다(결맞음 시뮬레이터).

1차원 원자 사슬에서 \(k = \pi/a\)(영역 끝) 모드의 특징은?

\(e^{i\pi} = -1\)이라 이웃 위상이 반대이고, \(d\omega/dk = a\sqrt{K/m}\cos(ka/2) = 0\)인 정상파다.