띠 구조
7장의 자유 전자는 에너지가 \(\hbar^2k^2/2m\) 하나뿐인 포물선이었다. 여기에 결정의 주기 퍼텐셜을 아주 조금만 켜면, 포물선은 브릴루앙 영역 경계마다 끊어지고 그 틈이 띠 간격이 된다. 현대물리학 12장에서 1차원 사슬로 본 이 그림을 이 장은 3차원 실제 결정까지 끌고 간다 — 2차원 격자의 페르미 면, 그래핀의 디랙 원뿔, 그리고 의사퍼텐셜로 직접 계산한 실리콘·저마늄·GaAs의 띠 구조와 골짜기, 유효 질량 텐서, 변형이 골짜기를 갈라 이동도를 높이는 원리까지. 아래 그림에서 퍼텐셜 세기가 저절로 오르내린다. 위아래로 끌어 직접 바꿔 보라.
- 두 평면파 축퇴 섭동으로 영역 경계의 간격 \(E_g = 2|U_G|\)를 유도하고, 확장·축소·반복 영역 그림 사이를 오가며 빈 격자 띠를 접는다.
- 2차원 정사각 격자의 강결합 띠 \(E = -2t(\cos k_xa + \cos k_ya)\)로 등에너지선, 상태 밀도, 반 채움 페르미 면을 구한다.
- 그래핀의 두 부격자 강결합 모형에서 디랙점과 선형 분산 \(E = \pm\hbar v_F|\vec q|\), \(v_F = 3ta/2\hbar\)를 얻는다.
- fcc 브릴루앙 영역의 Γ·X·L·K와 경험적 의사퍼텐셜 띠 구조에서 Si·Ge·GaAs의 간격 종류, 골짜기 위치, 정공 띠를 읽는다.
- 유효 질량 텐서 \((1/m^*)_{ij} = \hbar^{-2}\partial^2E/\partial k_i\partial k_j\)와 회전 타원체 등에너지면으로 상태 밀도 질량·전도도 질량을 계산한다.
- 2축 변형이 Si의 Δ₂·Δ₄ 골짜기를 가르는 크기를 변형 퍼텐셜로 어림하고, 변형 실리콘·SiGe 채널의 이동도 향상과 연결한다.
거의 자유 전자 모형과 띠 간격
현대물리학 12장 결정 속 전자와 에너지 띠에서 세 가지를 보았다. ① 주기 퍼텐셜 속 고유 상태는 블로흐 함수(Bloch function) \(\psi_{n\vec k}(\vec r) = u_{n\vec k}(\vec r)e^{i\vec k\cdot\vec r}\)이고 \(\vec k\)는 제1 브릴루앙 영역 안에서만 의미가 있다. ② 영역 경계에서 진행파가 브래그 반사되어 두 정상파가 되고, 둘이 퍼텐셜을 다르게 느껴 간격이 열린다. ③ 강결합 그림에서는 원자 준위가 폭 \(4t\)의 띠로 넓어진다. 이 절은 ②를 정량적인 계산으로 바꾼다. 이번에는 정상파를 짐작하지 않고, 슈뢰딩거 방정식을 평면파로 전개해 행렬 문제로 푼다 — 뒤에서 실리콘 띠 구조를 계산하는 방법과 똑같은 틀이다.
평면파 전개: 슈뢰딩거 방정식이 행렬이 된다
주기 퍼텐셜은 역격자 벡터 \(\vec G\)(2장)로 푸리에 전개된다. 블로흐 정리에 따라 파동함수도 같은 \(\vec G\)만큼 다른 평면파들의 합이다.
이것을 슈뢰딩거 방정식에 넣고 \(e^{i(\vec k - \vec G)\cdot\vec r}\)의 계수를 모으면, 평면파 계수들이 만족하는 중심 방정식(central equation)이 나온다.
두 평면파만 남기기: 간격 2|UG|의 유도
퍼텐셜이 약하면 \(C_{\vec k - \vec G}\)는 대부분 작다. 큰 것은 운동 에너지가 \(E\)에 가까운 평면파뿐이다. 1차원 영역 경계 \(k \approx G/2 = \pi/a\)에서는 \(e^{ikx}\)와 \(e^{i(k-G)x}\)의 운동 에너지 \(\varepsilon_k\), \(\varepsilon_{k-G}\)가 거의 같으므로, 이 둘만 남기면 중심 방정식은 2×2가 된다(축퇴 섭동 이론(degenerate perturbation theory)).
경계 바로 근처(\(k = \pi/a + \delta\))에서 전개하면 \(E_\pm \approx \varepsilon_0 \pm |U_G| + \dfrac{\hbar^2\delta^2}{2m}\left(1 \pm \dfrac{2\varepsilon_0}{|U_G|}\right)\)이다. 간격 위 띠의 바닥은 곡률이 \(1 + 2\varepsilon_0/|U_G|\)배로 커져 유효 질량이 \(m^* \approx m\,|U_G|/2\varepsilon_0\)로 가벼워지고, 간격 아래 띠의 꼭대기는 음의 질량을 가진다. 간격이 작을수록 띠 끝의 전자가 가볍다 — 작은 간격의 InSb(\(E_g = 0.17\) eV)의 전자 질량이 \(0.014\,m_e\)에 불과한 이유가 여기 있다(뒤의 \(k\cdot p\) 이야기).
격자 상수 0.50인 1차원 결정의 퍼텐셜 푸리에 성분이 \(|U_1| =\) 0.20이면, 경계의 자유 전자 에너지 \(\varepsilon_0 = \hbar^2(\pi/a)^2/2m\)은 이고 두 정상파의 에너지는 , 간격은 이다. 간격 위 띠 바닥의 유효 질량은 어림으로 \(m^*/m \approx |U|/2\varepsilon_0 =\) .
\(a = 0.500\) nm인 1차원 결정에서 \(G = 2\pi/a\) 성분이 \(U_G = 0.200\) eV이다. 두 평면파 근사로 \(k = 0.9\,\pi/a\)의 두 에너지를 구하고, 아래 상태에 \(e^{i(k-G)x}\) 성분이 얼마나 섞여 있는지(\(|C_{k-G}|^2\)) 구하라. \(\hbar^2/2m_e = 0.0381\) eV·nm².
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\(U_2 = 0\)으로 두고 \(U_1\)만 켰다. 둘째 경계 \(k = 2\pi/a\)(축소 영역에서는 Γ의 둘째·셋째 띠 사이)의 간격은?
거의 자유 전자 실험대: 간격을 끌어 열어라
영역 그림과 빈 격자
\(\psi_k\)와 \(\psi_{k+G}\)는 같은 상태이므로 \(E(k)\)를 어떤 \(k\) 범위에 그릴지는 우리의 선택이다. 세 가지 관습이 있다. 자유 전자 포물선을 그대로 펼치고 \(n\)번째 띠를 \(n\)번째 브릴루앙 영역에 두는 확장 영역 그림(extended zone scheme), 모든 띠를 \(\vec G\)만큼 옮겨 제1 영역 안에 겹쳐 쌓는 축소 영역 그림(reduced zone scheme), 그리고 축소 영역의 그림을 모든 영역에 주기적으로 되풀이한 반복 영역 그림(repeated zone scheme)이다. 확장 그림에서 축소 그림으로 옮기는 조작을 영역 접기(zone folding)라 한다.
- 확장 영역: 자유 전자 포물선이 경계 ±π/a, ±2π/a, ±3π/a에서 끊긴다. 띠 n은 n번째 영역에 산다.
- 접기 시작: 둘째 영역의 조각을 ±G(= 2π/a)만큼, 셋째 영역의 조각을 ±2G만큼 옮긴다.
- 축소 영역: 모든 띠가 −π/a…π/a 안에 쌓였다. 같은 k에 띠 번호 n = 1, 2, 3이 붙는다. 간격은 경계(±π/a)와 중심(Γ)에 번갈아 있다.
- 반복 영역: 축소 그림을 G마다 되풀이한다. 어느 띠든 k의 주기 함수임이 드러난다 — 띠 위를 계속 가면 다시 제자리.
퍼텐셜을 완전히 0으로 두고 격자의 주기성만 남긴 것이 빈 격자 모형(empty lattice model)이다. 에너지는 \(E_{\vec G}(\vec k) = \hbar^2|\vec k - \vec G|^2/2m\) — 자유 전자 포물면을 역격자 벡터마다 하나씩 세워 제1 영역 안에서 본 것이다. 3차원 결정의 복잡한 띠 구조도 첫 근사로는 이 접힌 포물면들이고, 퍼텐셜은 교차점마다 간격을 연다. 그래서 빈 격자는 실제 띠 구조를 읽는 지도다: 어디에 띠가 몇 개 겹쳐 있는지(축퇴), 어디서 간격이 열릴지를 미리 알려 준다.
2차원 정사각 격자(격자 상수 \(a\))의 역격자 벡터는 \(\vec G = (2\pi/a)(n_1, n_2)\)다. 영역 중심 Γ = (0, 0), 변의 중심 X = (π/a, 0), 꼭짓점 M = (π/a, π/a)를 잇는 경로에서 빈 격자 띠를 보자. M에서는 \(\vec G = 0, (1,0), (0,1), (1,1)\)(\(2\pi/a\) 단위)의 네 평면파가 모두 \(|\vec k - \vec G| = \sqrt2\pi/a\)로 같은 에너지를 가져 4중 축퇴다.
\(a = 0.400\) nm인 2차원 정사각 격자의 빈 격자 모형에서 (a) X점의 가장 낮은 에너지와 그 축퇴도, (b) M점의 가장 낮은 에너지와 축퇴도, (c) Γ점에서 0 다음으로 낮은 에너지와 축퇴도를 구하라.
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강결합 띠: 1차원에서 2차원으로
강결합 모형은 반대쪽에서 출발한다. 원자 오비탈 \(\phi\) 하나에 에너지 \(E_0\), 최근접 이웃 오비탈 사이의 겹침 적분 \(-t\)(호핑 적분(hopping integral))만 남기면, 블로흐 합 \(\psi_{\vec k} = N^{-1/2}\sum_{\vec R} e^{i\vec k\cdot\vec R}\phi(\vec r - \vec R)\)의 에너지는
1차원 띠는 현대물리학 12장에서 다뤘다(바닥 근처 유효 질량 \(m^* = \hbar^2/2ta^2\), 꼭대기는 음수). 2차원에서 새로 생기는 것은 등에너지선(constant-energy contour)의 모양이다. 띠 바닥(\(\vec k \approx 0\)) 근처에서는 \(E \approx E_0 - 4t + ta^2(k_x^2 + k_y^2)\)라 등에너지선이 원 — 자유 전자와 같다. 그러나 \(E = E_0\)(띠 한가운데)에서는 \(\cos k_xa = -\cos k_ya\), 즉 \(|k_x| + |k_y| = \pi/a\)로 원이 마름모(45° 돌린 정사각형)가 된다. 이 등에너지선은 X점들을 지나며, X는 \(\nabla_k E = 0\)인 안장점이다. 안장점에서는 등에너지선 사이 간격이 무한히 벌어져 상태 밀도가 로그 발산한다 — 판호버 특이점(van Hove singularity).
셀당 전자 수(스핀 포함)가 \(n\)이면 \(E_F\) 아래 영역 넓이가 영역 전체의 \(n/2\)이다. 셀당 전자가 1개, 즉 반 채움(half filling)이면 \(E_F = E_0\)이고 페르미 면(2차원에서는 선)이 정확히 마름모다. 마름모의 마주 보는 변은 같은 벡터 \((\pi/a, \pi/a)\)로 서로 포개진다 — 이런 페르미 면 포개짐(Fermi-surface nesting)은 전하 밀도파나 반강자성 같은 불안정성을 부른다(15장). 구리 산화물 고온 초전도체의 CuO₂ 평면이 이 모형의 대표 예다.
2차원 정사각 격자 강결합 띠에 전자를 셀당 0.2개에서 1개(반 채움)까지 채워 간다. 페르미 선의 모양은?
2차원 강결합 지도: 전자를 채워 페르미 면을 그려라
격자 상수 0.38, 호핑 \(t =\) 0.40인 2차원 정사각 격자의 띠 폭은 \(8t =\) 이고, 띠 바닥의 유효 질량은 \(m^* = \hbar^2/2ta^2 =\) 이다. 반 채움 페르미 선은 [11] 방향으로 \(k_F = \pi/\sqrt2a =\) , [10] 방향으로 \(\pi/a =\) 까지 뻗는다.
\(a = 0.300\) nm, \(t = 1.00\) eV인 2차원 정사각 격자 강결합 띠가 있다. (a) 띠 폭, (b) 띠 바닥의 유효 질량, (c) 반 채움일 때 Γ에서 [11] 방향과 [10] 방향으로 잰 페르미 파수를 구하라.
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그래핀: 띠가 한 점에서 만나는 결정
그래핀은 탄소 원자 한 층이 벌집 모양으로 늘어선 2차원 결정이다. 탄소의 s, pₓ, py 오비탈은 sp² 혼성으로 평면 안 σ 결합을 이루고, 평면에 수직인 pz 오비탈 하나가 전기 전도를 맡는 π 띠를 만든다. 벌집은 브라베 격자가 아니다. 벌집 격자(honeycomb lattice)는 삼각 격자에 원자 두 개(A, B)를 기저로 붙인 것이고, A끼리·B끼리 모은 것을 부격자(sublattice)라 한다.
A 원자의 최근접 이웃 셋은 모두 B이므로, 블로흐 합을 부격자마다 하나씩(\(\psi_A, \psi_B\)) 만들면 해밀토니언은 2×2가 된다. 대각은 \(E_0 = 0\), 비대각은 B 이웃 셋의 위상 합이다.
세 위상 \(e^{i\vec k\cdot\vec\delta_j}\)가 120°씩 벌어져 합이 0이 되는 점에서 \(f = 0\)이다. 그런 점이 영역 꼭짓점 K, K′이고, 거기서 두 띠가 에너지 0(\(= E_F\))에서 만난다 — 간격이 0인 반도체, 또는 페르미 면이 점인 금속이다. K에서 \(\vec q\)만큼 벗어나 \(f\)를 1차까지 전개하면 \(|f| \approx \tfrac32 a|\vec q|\)이므로
디랙 원뿔에서는 띠 곡률이 0이라 \(m^* = \hbar^2/(d^2E/dk^2)\)이 정의되지 않고, 속력이 에너지와 무관하게 \(v_F\)로 일정하다(페르미 속도(Fermi velocity)). 상온 이동도가 \(10^5\) cm²/(V·s)에 이르는 깨끗한 그래핀도 있지만, 간격이 없어 트랜지스터를 끌 수 없다는 것이 논리 소자에서의 약점이다. 간격을 열려면 A·B 대칭을 깨야 한다 — h-BN(질화 붕소)처럼 두 자리가 다른 원자면 대각에 \(\pm\Delta/2\)가 생겨 간격 \(\Delta\)가 열린다(섬아연석의 반대칭 퍼텐셜 \(V_A\)와 같은 원리, 아래 GaAs 참고).
그래핀 띠 단면: 자르는 선을 끌어 디랙점을 찾아라
호핑 \(t =\) 2.70, C–C 거리 0.142 nm인 그래핀의 페르미 속도는 \(v_F = 3ta/2\hbar =\) 이다. 게이트로 페르미 준위를 디랙점 위 0.10로 올리면 페르미 원의 반지름은 \(k_F = E_F/\hbar v_F =\) 이고, 스핀 2 × 골짜기(K, K′) 2를 넣은 전자 면밀도는 \(n = k_F^2/\pi =\) 이다.
\(t = 2.70\) eV, \(a = 0.142\) nm일 때 (a) 페르미 속도, (b) K점에서 \(q = 0.100\) nm⁻¹ 떨어진 상태의 에너지, (c) 같은 \(q\)에서 자유 전자(\(m_e\))의 운동 에너지를 구하라. \(\hbar = 6.582\times10^{-16}\) eV·s.
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실제 반도체의 띠 구조
fcc 브릴루앙 영역과 대칭점
Si, Ge, GaAs는 모두 fcc 브라베 격자에 원자 두 개의 기저를 붙인 다이아몬드·섬아연석 구조다(1장). fcc의 역격자는 bcc이고, 그 위그너–자이츠 셀인 제1 브릴루앙 영역은 깎은 팔면체(정사각형 면 6개, 정육각형 면 8개)다(2장). 띠 구조도는 \(E_n(\vec k)\)를 영역 안의 몇몇 고대칭 선을 따라 그린 것이고, 그 끝점들을 대칭점(high-symmetry point)이라 부른다(좌표는 \(2\pi/a\) 단위).
| 점 | 좌표 (2π/a) | 위치 | 개수(동등한 점) |
|---|---|---|---|
| Γ | (0, 0, 0) | 영역 중심 | 1 |
| X | (1, 0, 0) | 정사각형 면의 중심, [100] 방향 | 6 (면 하나를 두 영역이 나눠 3) |
| L | (½, ½, ½) | 육각형 면의 중심, [111] 방향 | 8 (나눠 가져 4) |
| K | (¾, ¾, 0) | 두 육각형 면이 만나는 모서리의 중점, [110] 방향 | 12 |
| U | (1, ¼, ¼) | 정사각형과 육각형이 만나는 모서리의 중점(K와 동등) | — |
| W | (1, ½, 0) | 꼭짓점 | 24 |
Γ–X 선을 Δ, Γ–L 선을 Λ, Γ–K 선을 Σ라 부른다. 전도대 바닥 근처의 에너지 극소 영역을 골짜기(valley)라 하는데, 실리콘 전도대 골짜기를 "Δ 골짜기"라 하는 이유가 이것이다. 아래 모형을 끌어 돌려 보며, 띠 구조도의 가로축 L–Γ–X–U,K–Γ가 영역 속 어떤 길인지 확인하라.
경험적 의사퍼텐셜: 적은 숫자로 띠 전체를
원자핵 근처의 퍼텐셜은 엄청나게 깊어서 거의 자유 전자 모형이 통할 것 같지 않다. 그런데 원자가 전자는 내각 전자 오비탈과 직교해야 하므로 핵 근처에서 빠르게 진동하고, 이 운동 에너지가 깊은 인력을 상당 부분 상쇄한다. 그 결과 원자가 전자가 실제로 느끼는 유효 퍼텐셜 — 의사퍼텐셜(pseudopotential) — 은 약하고 매끄럽다. 그래서 1절의 평면파 전개가 수백 개의 평면파로 수렴한다. 의사퍼텐셜의 푸리에 성분 몇 개를 실험(띠 간격, 광학 스펙트럼)에 맞춰 정하는 것이 경험적 의사퍼텐셜 방법(empirical pseudopotential method, EPM)이다(코언–버그스트레서, 1966).
다이아몬드 구조에는 원자 두 개가 \(\pm\vec\tau\), \(\vec\tau = (a/8)(1,1,1)\)에 있으므로 결정 퍼텐셜의 푸리에 성분은 구조 인자(structure factor)와 원자 형상 인자(form factor)의 곱이다(2장의 X선 구조 인자와 같은 계산).
원자가 전자는 Si 원자당 4개, 기본 셀(원자 2개)당 8개다. 띠 하나에 셀당 2개(스핀)가 들어가므로 아래 띠 4개가 꽉 찬 가전자대, 5번째부터가 전도대다. 이 책의 의사퍼텐셜 계산은 에너지 기준을 따로 정하지 않으므로, Γ의 4번째 띠(가전자대 꼭대기)를 0으로 옮겨 그린다.
의사퍼텐셜로 계산한 실리콘 띠 구조에서 전도대(5번째 띠)의 가장 낮은 점은 어디일까?
반도체 띠 구조 뷰어: 전도대 바닥을 끌어 찾아라
세 물질의 띠 구조에서 소자 엔지니어가 읽어야 할 것은 다음과 같다.
- 가전자대 꼭대기는 셋 다 Γ다. 결합 p 오비탈에서 나온 세 띠가 Γ에서 겹친다(모형에서는 3중 축퇴). 곡률이 작은 무거운 정공(heavy hole) 띠와 곡률이 큰 가벼운 정공(light hole) 띠가 Γ에서 만나고, 실제 결정에서는 스핀–궤도 결합(spin–orbit coupling)이 셋째 띠를 \(\Delta_{so}\)만큼 끌어내린다: 분리 띠(split-off band). \(\Delta_{so}\)는 Si 0.044, Ge 0.29, GaAs 0.34 eV로 무거운 원자일수록 크다. 이 장의 계산에는 스핀–궤도 결합이 없어 분리 띠가 따로 나타나지 않는다.
- 전도대 최저점은 Si가 Δ 선 위 0.85X(골짜기 6개), Ge가 L점(영역 면 위의 반쪽 골짜기 8개 = 온전한 골짜기 4개), GaAs가 Γ(1개)다. 가전자대 꼭대기와 \(\vec k\)가 같으면 직접 띠 간격(direct band gap), 다르면 간접 띠 간격(indirect band gap)이다.
- 위쪽 골짜기도 중요하다. GaAs의 L 골짜기는 Γ보다 약 0.29 eV 위에 있고 훨씬 무겁다. 센 전기장에서 뜨거워진 전자가 L로 옮겨 가면 느려진다(건 효과, 11장).
| 물질 | 간격 | 최저 전도대 | 모형 Γ | 모형 L | 모형 X(Δ) | 실측(300 K) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Si | 간접 | 0.85X, 6개 | 3.37 | 2.10 | 1.07 | Eg 1.12 (Δ), Γ ≈ 3.4, L ≈ 2.0 |
| Ge | 간접 | L, 4개(반쪽 8개) | 1.22 | 0.95 | 1.02 | Eg 0.66 (L), Γ 0.80, Δ ≈ 0.85 |
| GaAs | 직접 | Γ, 1개 | 1.43 | 1.68 | 1.77 | Eg 1.42 (Γ), L 1.71, X 1.90 |
모형은 Si와 GaAs를 잘 맞히지만 Ge의 간격은 0.3 eV쯤 크게 준다. 형상 인자 세 개의 국소 의사퍼텐셜, 그리고 스핀–궤도 결합이 없는 한계다(Ge의 Γ 전도대는 \(\Delta_{so}\)와 비국소 보정에 특히 민감하다). 골짜기의 순서와 위치 — 소자에 정말 중요한 정성적 사실 — 는 제대로 나온다. 연구용 계산은 비국소 의사퍼텐셜에 스핀–궤도를 넣은 EPM, 강결합(sp³s*, sp³d⁵s*), \(k\cdot p\), 또는 밀도 범함수 이론(DFT)을 쓴다. 표준 DFT(LDA)는 반대로 간격을 크게 과소평가해 Si 간격이 약 0.5 eV로 나오므로, 간격이 중요한 소자 계산에는 보정된 방법이 필요하다.
GaAs의 L 골짜기는 Γ보다 \(\Delta E = 0.29\) eV 위에 있다. Γ 골짜기는 \(m^* = 0.067\,m_e\)의 등방 골짜기 1개, L은 \(m_l = 1.9\), \(m_t = 0.075\,m_e\)인 골짜기 4개다. 비축퇴 평형(300 K, \(kT = 0.02585\) eV)에서 \(n_L/n_\Gamma\)를 구하라.
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골짜기, 등에너지면, 유효 질량 텐서
띠의 극값 \(\vec k_0\) 근처에서 \(E(\vec k)\)를 테일러 전개하면 1차 항은 0이고 2차 항이 남는다. 1차원의 \(1/m^* = \hbar^{-2}d^2E/dk^2\)를 3차원으로 늘린 것이 유효 질량 텐서(effective mass tensor)다.
Si의 골짜기는 \(\langle100\rangle\) 축 위에 있으므로 축 방향이 주축 하나이고, 축에 수직인 두 방향은 대칭으로 같다. 그래서 등에너지면은 회전 타원체(ellipsoid of revolution)이고, 축 방향 질량을 종 질량(longitudinal mass) \(m_l\), 수직 방향 질량을 횡 질량(transverse mass) \(m_t\)라 한다. Si: \(m_l = 0.98\), \(m_t = 0.19\,m_e\) — 반축 비 \(\sqrt{m_l/m_t} = 2.3\)인 길쭉한 시가 모양이다. Ge의 L 골짜기는 \(\langle111\rangle\) 축의 회전 타원체(\(m_l = 1.64\), \(m_t = 0.082\)), GaAs의 Γ 골짜기는 구(\(0.067\))다. 이 숫자들은 사이클로트론 공명(9장)으로 잰다.
질량이 텐서이면 힘과 가속도가 나란하지 않다. 준고전 운동 방정식 \(\hbar\,d\vec k/dt = \vec F\)(9장)와 \(\vec v = \hbar^{-1}\nabla_kE\)에서 \(d\vec v/dt = (1/m^*)\cdot\vec F\) — 가속도는 힘에 역질량 텐서를 곱한 것이다. 가벼운 방향으로는 잘 가속되고 무거운 방향으로는 덜 가속되므로, 가속도는 가벼운 축 쪽으로 기운다.
여러 골짜기의 평균: 상태 밀도 질량과 전도도 질량
골짜기가 여러 개이고 방향마다 질량이 다르면 질량 하나로 요약하는 방법이 목적마다 다르다. 먼저 상태 수를 세자. 골짜기 하나에서 \(E - E_c\) 아래 상태 수는 타원체 부피 \(\tfrac{4\pi}{3}q_1q_2q_3 \propto (m_1m_2m_3)^{1/2}(E - E_c)^{3/2}\)에 비례하므로, 질량 \((m_lm_t^2)^{1/3}\)인 구 하나와 같다. 골짜기 \(g_v\)개를 합치면 \(g_v(m_lm_t^2)^{1/2} = m_{dn}^{3/2}\)이 되도록
다음은 전류다. 전기장 \(\vec F\) 속 골짜기 \(v\)의 전류 밀도는 \(\vec J_v = n_vq^2\tau\,(1/m^*)_v\cdot\vec{\mathcal E}\). 여섯 골짜기의 역질량 텐서를 더하면 x 골짜기 두 개는 \(\mathrm{diag}(1/m_l, 1/m_t, 1/m_t)\), y·z 골짜기는 축이 바뀐 같은 꼴이라, 합은 방향과 무관한 \(\tfrac13(1/m_l + 2/m_t)\)의 등방 텐서다. 입방 결정의 전도도는 골짜기가 이방적이어도 등방이다.
종 질량 \(m_l =\) 0.98, 횡 질량 \(m_t =\) 0.19인 골짜기가 6 있으면 상태 밀도 질량은 \(m_{dn} =\) , 전도도 질량은 \(m_c =\) 이다. 300 K의 유효 상태 밀도는 \(N_c =\) .
Ge의 [111] 골짜기(\(m_l = 1.64\), \(m_t = 0.082\,m_e\))의 역질량 텐서를 입방 축(x, y, z)으로 쓰라. 이 골짜기 전자에게 [100] 방향 힘을 주면 가속도는 힘과 몇 도를 이루는가? [100] 방향의 유효 질량은?
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변형이 띠를 바꾼다
결정을 늘이거나 누르면 원자 간격이 바뀌고, 퍼텐셜의 푸리에 성분과 호핑이 바뀌어 띠가 움직인다. 띠 끝의 이동은 작은 변형에 대해 변형 텐서 \(\varepsilon_{ij}\)(3장)에 비례하고, 그 비례 상수를 변형 퍼텐셜(deformation potential)이라 한다(단위 eV). 부피만 바뀌는 등방 변형은 모든 골짜기를 함께 움직여 간격만 바꾼다. 소자에서 중요한 것은 대칭을 깨는 변형이다 — 동등했던 골짜기들이 서로 다르게 움직여 골짜기 분리(valley splitting)가 생긴다.
Si 골짜기 \(i\)(축 \(\hat a_i\))의 전도대 바닥 이동은 헤링–보그트 식으로 쓴다.
(001) 웨이퍼 위에 Si를 Si₁₋ₓGeₓ 완화층 위에 키우면 면내로 늘어난다(2축 변형(biaxial strain), \(\varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \varepsilon_\parallel > 0\)). 면에 수직 방향은 푸아송 효과로 줄어든다: \(\varepsilon_{zz} = \varepsilon_\perp = -2(C_{12}/C_{11})\varepsilon_\parallel = -0.77\varepsilon_\parallel\). 그러면 면에 수직인 두 골짜기(±z, Δ₂)는 내려가고 면내 네 골짜기(±x, ±y, Δ₄)는 올라간다.
- 변형이 없으면 여섯 골짜기가 같은 에너지에 있고, 전자는 골고루 나뉘어 평균 질량 0.26으로 움직인다.
- 면내 2축 인장: 면에 수직인 Δ₂가 내려가고 면내 Δ₄가 올라간다. 전자가 Δ₂로 모이면 면내 운동 질량은 가벼운 mt = 0.19뿐이고, 골짜기 간 산란도 줄어든다.
- (100) 웨이퍼 nMOS의 반전층은 변형 없이도 골짜기를 가른다. 수직 방향 질량이 무거운 Δ₂(mz = 0.98)의 바닥 부띠가 Δ₄(mz = 0.19)보다 낮다. 2축 인장은 이 분리를 더 키운다.
- 정공: Γ에서 겹쳐 있던 무거운·가벼운 정공 띠가 변형으로 갈라진다. 압축 변형(SiGe 채널)에서는 위로 올라온 띠의 면내 질량이 가벼워져 정공 이동도가 오른다.
(001) Si를 면내로 1 % 늘였다(2축 인장). 전자가 모이는 골짜기와, 그 골짜기 전자가 채널(면내) 방향으로 움직일 때의 질량은?
골짜기 3D: 등에너지면을 돌리고 변형으로 갈라라
Si를 Ge 비율 0.20인 완화된 Si₁₋ₓGeₓ 위에 키우면 면내 변형은 \(\varepsilon_\parallel =\) , 수직 변형은 \(\varepsilon_\perp =\) 이다. 골짜기 분리 \(\Xi_u(\varepsilon_\parallel - \varepsilon_\perp) =\) 이고, 300 K에서 전자의 가 Δ₂ 골짜기에 모인다. 면내 전도도 질량은 0.260 → (질량만의 이동도 이득 ).
완화된 Si₀.₈Ge₀.₂ 가상 기판 위에 키운 얇은 Si 층의 (a) 면내·수직 변형, (b) Δ₄–Δ₂ 분리, (c) 300 K에서 Δ₄ 골짜기의 전자 비율, (d) 면내 전도도 질량을 구하라. \(a_{\text{SiGe}}(x) = 0.5431 + 0.01992x + 0.002733x^2\) nm, \(C_{12}/C_{11} = 0.386\), \(\Xi_u = 9.16\) eV, \(m_l = 0.98\), \(m_t = 0.19\).
풀이 보기
(100) 반전층의 Δ₂ 골짜기와 정공 띠
변형이 없어도 (100) 웨이퍼 nMOS 채널에서는 골짜기가 갈린다. 반전층은 폭 수 nm의 삼각 우물이고, 수직(z) 방향 양자화 에너지는 구속 방향의 질량 \(m_z\)에 반비례한다(16장). Δ₂는 \(m_z = m_l = 0.98\)이라 바닥 부띠가 낮고, Δ₄는 \(m_z = m_t = 0.19\)라 높다(부띠(subband)의 두 사다리). 반전층 전자 대부분이 면내 질량이 가벼운 Δ₂에 있는 것이 (100) 웨이퍼가 nMOS에 유리한 띠 구조상의 이유다. 반대로 정공 이동도는 (110) 웨이퍼·⟨110⟩ 채널에서 더 크다 — 뒤틀린 무거운 정공 띠의 질량이 방향마다 다르기 때문이다.
정공 쪽에서는 Γ의 무거운·가벼운 정공 겹침이 열쇠다. 변형이 없으면 두 띠가 Γ에서 겹쳐 띠 사이 산란이 잦다. 압축 변형은 이 겹침을 풀고, 위로 올라온 띠의 채널 방향 질량을 가볍게 만든다. Ge는 아예 가벼운 정공 질량이 0.043으로 Si(0.16)의 4분의 1이고 정공 이동도가 약 1900 cm²/(V·s)로 Si(약 450)의 4배다. 그래서 pMOS는 압축 변형 SiGe 소스·드레인, SiGe 채널, 나아가 Ge 채널로 진화해 왔다.
핵심 정리
- 주기 퍼텐셜을 평면파로 전개하면 슈뢰딩거 방정식이 중심 방정식(행렬)이 된다. 영역 경계에서 두 평면파만 남긴 2×2 문제가 \(E_\pm = \varepsilon_0 \pm |U_G|\), 간격 \(E_g = 2|U_G|\)를 주고, 간격 근처 띠 끝은 가볍다(\(m^*/m \approx |U_G|/2\varepsilon_0\)).
- 같은 띠를 확장·축소·반복 영역 그림으로 그릴 수 있다. 빈 격자 띠 \(\hbar^2|\vec k - \vec G|^2/2m\)를 제1 영역으로 접으면 실제 띠 구조의 뼈대와 축퇴가 보이고, 퍼텐셜은 교차점마다 간격을 연다.
- 2차원 정사각 격자 강결합 띠 \(E = -2t(\cos k_xa + \cos k_ya)\)는 폭 \(8t\), 바닥 질량 \(\hbar^2/2ta^2\)이다. 페르미 선은 적게 채우면 원, 반 채움에서 \(|k_x| + |k_y| = \pi/a\)의 마름모이고, X의 안장점에서 판호버 특이점이 생긴다.
- 그래핀의 두 부격자 모형 \(E_\pm = \pm t|f(\vec k)|\)는 K·K′에서 띠가 만나는 디랙 원뿔 \(E = \pm\hbar v_F|\vec q|\), \(v_F = 3ta/2\hbar \approx 10^6\) m/s를 준다. A·B 대칭을 깨면 간격이 열린다.
- fcc 영역의 Γ·X·L·K에서 의사퍼텐셜 띠 구조를 읽으면: 가전자대 꼭대기는 모두 Γ(무거운·가벼운 정공, 스핀–궤도 분리 띠), 전도대 바닥은 Si 0.85X(6개, 간접), Ge L(4개, 간접), GaAs Γ(직접). 단순 모형은 Ge 간격을 0.3 eV 크게 준다.
- 유효 질량 텐서 \((1/m^*)_{ij} = \hbar^{-2}\partial^2E/\partial k_i\partial k_j\). 등에너지면은 회전 타원체(Si \(m_l = 0.98\), \(m_t = 0.19\)), 가속도는 힘과 나란하지 않다. 상태 밀도 질량 \(g_v^{2/3}(m_lm_t^2)^{1/3} = 1.08\)과 전도도 질량 \(3/(1/m_l + 2/m_t) = 0.26\)을 구분해 쓴다.
- 2축 인장은 Si의 Δ₂를 낮추고 Δ₄를 올린다: 분리 \(\Xi_u(1 + 2C_{12}/C_{11})\varepsilon_\parallel \approx 0.16\) eV/%. 전자가 면내 질량 0.19인 Δ₂로 모이고 골짜기 간 산란이 줄어 이동도가 오른다. 정공은 압축 변형과 Ge의 가벼운 정공으로 빨라진다.
연습문제
\(\hbar^2/2m_e = 0.0381\) eV·nm², \(\hbar = 6.582\times10^{-16}\) eV·s, \(kT(300\ \text{K}) = 0.02585\) eV. 답이 ±1% 이내면 정답이다.
1차원 결정의 퍼텐셜이 \(V(x) = V_1\cos(2\pi x/a) + V_2\cos(4\pi x/a)\), \(V_1 = 0.60\) eV, \(V_2 = 0.20\) eV이다. 거의 자유 전자 모형(1차)으로 첫째 경계 \(k = \pi/a\)와 둘째 경계 \(k = 2\pi/a\)의 간격을 구하라.
\(U_{2\pi/a} = 0.30\) eV, \(U_{4\pi/a} = 0.10\) eV. 간격 \(2|U|\): \(E_{g1} = 0.60\) eV, \(E_{g2} = 0.20\) eV. 곧 코사인 진폭이 바로 간격이다. (2차 보정 \(U_1^2/\varepsilon_G\)는 둘째 간격을 조금 더 키운다.)
격자 상수 0.350 nm인 2차원 정사각 격자의 빈 격자 모형에서 M점(영역 꼭짓점)의 가장 낮은 에너지는?
M = (π/a, π/a), \(|\vec k| = \sqrt2\pi/a\). \(E = 0.0381\times2\times(\pi/0.350)^2 = 0.0381\times2\times80.57 = 6.14\) eV (4중 축퇴).
\(a = 0.400\) nm, \(U_G = 0.250\) eV인 1차원 결정에서 두 평면파 근사로 \(k = 0.95\,\pi/a\)의 아래 띠 에너지 \(E_-\)를 구하라.
\(k = 7.461\), \(k - G = -8.247\) nm⁻¹. \(\varepsilon_1 = 2.121\), \(\varepsilon_2 = 2.592\) eV. 평균 2.356, 반차 0.235. \(E_- = 2.356 - \sqrt{0.235^2 + 0.250^2} = 2.356 - 0.343 = 2.01\) eV.
호핑 \(t = 0.80\) eV인 2차원 정사각 격자 최근접 강결합 띠의 폭은?
\(E\)는 Γ에서 \(-4t\), M에서 \(+4t\). \(W = 8t = 6.4\) eV.
\(a = 0.400\) nm, \(t = 0.500\) eV인 2차원 정사각 격자 강결합 띠의 바닥 근처 유효 질량은?
\(E \approx -4t + ta^2k^2\) → \(m^*/m_e = 0.0381/(ta^2) = 0.0381/(0.500\times0.160) = 0.476\).
\(a = 0.400\) nm인 2차원 정사각 격자 강결합 띠가 반 채움이다. Γ에서 [11] 방향으로 잰 페르미 파수는?
페르미 선 \(|k_x| + |k_y| = \pi/a\)와 [11] 직선의 교점은 \(k_x = k_y = \pi/2a\). \(|k| = \pi/(\sqrt2a) = 5.55\) nm⁻¹.
호핑을 \(t = 3.00\) eV로 잡으면 그래핀(\(a = 0.142\) nm)의 페르미 속도는?
\(\hbar v_F = 3ta/2 = 1.5\times3.00\times0.142 = 0.639\) eV·nm. \(v_F = 0.639\times10^{-9}/6.582\times10^{-16} = 9.71\times10^5\) m/s — 측정값 \(\approx 1.0\times10^6\)에 가깝다.
그래핀(\(t = 2.70\) eV, \(a = 0.142\) nm)의 페르미 준위를 게이트로 디랙점 위 0.100 eV까지 올렸다. 스핀과 골짜기(K, K′) 축퇴를 모두 넣어 전자 면밀도를 구하라.
\(\hbar v_F = 0.5751\) eV·nm → \(k_F = 0.100/0.5751 = 0.1739\) nm⁻¹. \(n = 4\pi k_F^2/(2\pi)^2 = k_F^2/\pi = 9.62\times10^{-3}\) nm⁻² \(= 9.62\times10^{11}\) cm⁻².
저마늄 전도대 최저점의 위치와 (온전한) 골짜기 수로 옳은 것은?
Ge는 ⟨111⟩ 방향 영역 경계(육각형 면 중심) L에 바닥이 있다. L점 8개는 각각 이웃 영역과 반씩 나눠 가지므로 온전한 골짜기는 4개다. 간접 간격 0.66 eV(300 K), 직접(Γ) 간격은 0.80 eV로 바로 위에 있다.
Ge 전도대(\(m_l = 1.64\), \(m_t = 0.082\,m_e\), 골짜기 4개)의 상태 밀도 유효 질량과 전도도 유효 질량을 구하라.
\(m_{dn} = 4^{2/3}(1.64\times0.082^2)^{1/3} = 2.520\times0.2226 = 0.561\). \(m_c = 3/(1/1.64 + 2/0.082) = 3/(0.610 + 24.39) = 0.120\).
Si의 +x 골짜기(축 [100], \(m_l = 0.98\), \(m_t = 0.19\))에 있는 전자가 [110] 방향으로 움직일 때의 유효 질량 \(m_{\hat u} = 1/(\hat u\cdot(1/m^*)\cdot\hat u)\)을 구하라.
\(\hat u\cdot M^{-1}\cdot\hat u = \tfrac12(1/0.98 + 1/0.19) = \tfrac12(1.020 + 5.263) = 3.142\) → \(m = 0.318\,m_e\).
완화된 Si₀.₇Ge₀.₃ 위에 키운 Si 층의 Δ₄–Δ₂ 골짜기 분리를 구하라. \(a_{\text{SiGe}}(x) = 0.5431 + 0.01992x + 0.002733x^2\) nm, \(C_{12}/C_{11} = 0.386\), \(\Xi_u = 9.16\) eV.
\(a(0.3) = 0.54932\) nm → \(\varepsilon_\parallel = 0.01146\), \(\varepsilon_\perp = -0.772\times0.01146 = -0.00884\). \(\Delta E = 9.16\times(0.01146 + 0.00884) = 0.186\) eV.
2축 인장으로 Δ₂ 골짜기가 Δ₄보다 0.100 eV 낮아졌다. 300 K 비축퇴 평형에서 전자의 몇 %가 Δ₂ 골짜기(2개)에 있는가? 골짜기마다 상태 밀도는 같다.
\(n_2 : n_4 = 2 : 4e^{-0.100/0.02585} = 2 : 4\times0.02089 = 2 : 0.0836\). 비율 \(2/2.0836 = 96.0\,\%\).
(100) Si nMOS 반전층을 전기장 \(\mathcal E = 0.50\) MV/cm의 삼각 우물로 보고, 바닥 부띠 \(E_0 = (\hbar^2/2m_z)^{1/3}\big[\tfrac{3\pi}{2}q\mathcal E\cdot\tfrac34\big]^{2/3}\)를 Δ₂(\(m_z = 0.98\))와 Δ₄(\(m_z = 0.19\))에 대해 구해 차이를 답하라.
\([\tfrac{3\pi}{2}\times0.050\times0.75]^{2/3} = (0.1767)^{2/3} = 0.3149\). Δ₂: \((0.0381/0.98)^{1/3} = 0.3388\) → \(E_0 = 0.1067\) eV. Δ₄: \((0.0381/0.19)^{1/3} = 0.5853\) → \(E_0' = 0.1843\) eV. 차이 0.0776 eV(약 3kT).
Ge 채널 pMOS가 Si pMOS보다 정공 이동도가 큰 띠 구조상의 주된 이유는?
이동도 \(\mu = q\tau/m\)의 \(m\)이 작다. Ge의 가벼운 정공 질량은 Si의 약 4분의 1이고, 분리 띠가 0.29 eV 아래에 있어(Si는 0.044 eV) 정공이 섞일 띠가 적다. 띠 간격 크기는 캐리어 수에 영향을 줄 뿐 이동도와는 무관하며, Ge도 간접 간격이다.
개념 확인 퀴즈
거의 자유 전자 모형에서 \(k = \pi/a\)의 띠 간격을 정하는 것은?
1차원 띠를 축소 영역 그림으로 그리면 둘째 띠와 셋째 띠 사이의 간격은 어디에 있는가?
그래핀의 두 π 띠가 K점에서 간격 없이 만나는 이유는?
Si의 골짜기는 이방적(\(m_l \ne m_t\))인데 변형 없는 Si 결정의 전기 전도도는 방향과 무관하다. 왜인가?
(001) Si에 면내 2축 인장을 주면 전자 이동도(면내)가 오르는 띠 구조상의 이유를 가장 잘 말한 것은?