Chapter 10

반도체의 캐리어 통계

실리콘 원자 5×10²² cm⁻³개 가운데 인 원자를 1억 개에 두 개꼴(10¹⁶ cm⁻³)로 섞으면 전도도가 백만 배 넘게 뛴다. 그 전자들이 실제로 전도대에 올라와 있는지는 온도가 정한다. 50 K에서는 인 원자의 95%가 전자를 붙잡고 있고, 300 K에서는 거의 모두 놓아주며, 700 K에서는 가전자대에서 올라온 진성 전자가 도핑을 압도한다. 이 장은 그 모든 상황을 식 하나, 곧 전하 중성 조건으로 푼다. 아래 띠 그림을 좌우로 끌어 온도를 바꾸며 주개 준위의 전자가 튀어 오르고 페르미 준위가 내려오는 모습을 먼저 보자.

좌우로 끌면 온도가 바뀐다

$n = N_cF_{1/2}(\eta_c)$, $p = N_vF_{1/2}(\eta_v)$와 볼츠만 근사, 질량 작용 법칙으로 진성 농도 $n_i(T)$와 진성 준위 $E_i$를 계산한다(바르시니 $E_g(T)$, $N_{c,v} \propto T^{3/2}$ 포함).
얕은 도너·억셉터의 이온화 에너지를 수소 모형과 실측으로 비교하고, 축퇴 인자 $g_D = 2$, $g_A = 4$로 이온화율을 구한다.
전하 중성 조건 $p + N_D^+ = n + N_A^-$을 그림(쇼클리 도식)과 수치로 풀어 페르미 준위를 정한다.
동결·외인성·진성 세 온도 영역을 구별하고, 아레니우스 그림의 기울기에서 $E_d/2$, $E_d$, $E_g/2$를 읽는다.
보상 도핑의 순 캐리어 농도, 축퇴 도핑에서 볼츠만 근사의 오차와 조이스–딕슨 근사, 모트 전이와 띠 간격 축소를 계산한다.
도핑 농도를 비저항·면저항으로 바꾸고, 웨이퍼 사양("p형 1–10 Ω·cm 붕소")을 농도 범위로 읽는다.

진성 반도체: 복습과 온도 의존

현대물리학 10장 양자 통계 · 반도체의 캐리어 농도에서 유도한 결과를 한 줄로 모으면 이렇다. 포물선 띠의 상태 밀도에 페르미–디랙 분포를 곱해 띠 전체로 적분하면, 전자와 정공의 농도는 "유효 상태 밀도 × 순수한 수"로 나뉜다.

$$n = N_c\,F_{1/2}(\eta_c), \quad \eta_c = \frac{E_F - E_c}{kT}; \qquad p = N_v\,F_{1/2}(\eta_v), \quad \eta_v = \frac{E_v - E_F}{kT}; \qquad N_{c,v} = 2\left(\frac{2\pi m_{n,p}^*kT}{h^2}\right)^{3/2}$$

$F_{1/2}$: $\eta \ll -1$에서 $e^\eta$로 가도록 정규화한 페르미–디랙 적분(Q.fdHalf). $m^*$는 상태 밀도 유효 질량(8장: Si 전도대 $6^{2/3}(m_lm_t^2)^{1/3} = 1.08$). 이 장의 계산기는 Solid.semis의 300 K 값 $N_c = 2.86\times10^{19}$, $N_v = 3.10\times10^{19}$ cm⁻³(Si)를 쓴다.

페르미 준위가 두 띠 끝에서 $3kT$ 이상 떨어져 있으면(비축퇴(nondegenerate)) $F_{1/2}(\eta) \approx e^\eta$이고, 두 식을 곱하면 $E_F$가 사라진다.

$$n = N_ce^{-(E_c - E_F)/kT}, \qquad p = N_ve^{-(E_F - E_v)/kT}, \qquad np = N_cN_ve^{-E_g/kT} \equiv n_i^2$$

질량 작용 법칙(law of mass action) $np = n_i^2$은 평형이고 비축퇴이면 도핑과 상관없이 성립한다. 도핑은 $n$과 $p$의 비율만 바꾼다.

n_i(T): 세 곳에서 온도가 들어간다

진성 농도 $n_i = \sqrt{N_cN_v}\,e^{-E_g/2kT}$에는 온도가 세 군데 숨어 있다. 지수의 $1/kT$, 유효 상태 밀도의 $T^{3/2}$(합쳐서 $T^3$의 제곱근), 그리고 띠 간격 자체의 온도 의존이다. 원자 간격이 열팽창으로 벌어지고 포논이 띠 끝을 흔들어 띠 간격은 온도가 오르면 줄어드는데, 이것을 바르시니 식(Varshni equation)으로 맞춘다.

$$E_g(T) = E_g(0) - \frac{\alpha T^2}{T + \beta}, \qquad n_i(T) = \sqrt{N_c(300)N_v(300)}\left(\frac{T}{300}\right)^{3/2}\exp\!\left[-\frac{E_g(T)}{2kT}\right]$$

Si: $E_g(0) = 1.170$ eV, $\alpha = 4.73\times10^{-4}$ eV/K, $\beta = 636$ K → $E_g(300) = 1.1245$ eV(Solid.Eg). 계산값 $n_i(300\text{ K}) = 1.07\times10^{10}$ cm⁻³(Solid.ni). 측정·교재값은 $9.65\times10^{9}$–$1.5\times10^{10}$ cm⁻³로 흩어져 있으니, 예제와 문제는 쓰는 값을 문제에 밝힌다.

온도 400에서 실리콘의 띠 간격은 , 유효 상태 밀도는 $N_c$ = 이고, 진성 농도는 $n_i$ = 로 300 K의 배다. 띠 간격을 300 K 값에 묶어 두고 계산하면 — 바르시니 보정이 배를 만든다. 같은 온도에서 저마늄은 , 갈륨 비소는 이다.

바르시니 식($E_g(0) = 1.170$ eV, $\alpha = 4.73\times10^{-4}$ eV/K, $\beta = 636$ K)과 300 K 값 $N_c = 2.86\times10^{19}$, $N_v = 3.10\times10^{19}$ cm⁻³을 써서 400 K 실리콘의 $n_i$를 구하고, 300 K 값($1.07\times10^{10}$ cm⁻³)과 비교하라. 띠 간격을 1.1245 eV로 고정하면 얼마가 나오는가?

풀이 보기

전략 세 온도 의존($E_g$, $T^{3/2}$, $1/kT$)을 차례로 계산한다.

풀이 $E_g(400) = 1.170 - (4.73\times10^{-4})(400^2)/(1036) = 1.0969$ eV. $N_c = 2.86\times10^{19}(4/3)^{1.5} = 4.40\times10^{19}$, $N_v = 4.77\times10^{19}$ cm⁻³. $kT = 0.034469$ eV이므로 $n_i = \sqrt{4.40\times10^{19}\cdot4.77\times10^{19}}\;e^{-1.0969/0.068939} = (4.58\times10^{19})(1.230\times10^{-7}) = 5.63\times10^{12}$ cm⁻³. 고정 간격이면 지수가 $e^{-1.1245/0.068939}$가 되어 $3.78\times10^{12}$ cm⁻³.

n_i(400 K) ≈ 5.6×10¹² cm⁻³ (300 K의 약 530배), 고정 간격이면 3.8×10¹² cm⁻³

검토 띠 간격이 28 meV 줄어든 효과는 $e^{0.0276/0.0689} = 1.49$배로, 100 K 상승이 만든 530배에 비하면 작지만 소자 누설 예측에서는 무시할 수 없다.

아레니우스 기울기가 주는 띠 간격은 E_g(300 K)가 아니다

$\ln(n_iT^{-3/2})$를 $1/kT$에 대해 그리면 기울기는 $-\tfrac12\,d(E_g/kT)/d(1/kT) = -\tfrac12\,(E_g - T\,dE_g/dT)$이다. 300 K 근처 실리콘은 $dE_g/dT = -2.55\times10^{-4}$ eV/K이므로 기울기가 주는 값은 $1.1245 + 0.0764 = 1.20$ eV — 선형 외삽한 "0 K 띠 간격"이다. 오래된 교재가 "$n_i$ 측정으로 구한 Si 띠 간격 1.21 eV"라고 쓰는 것은 이 때문이다.

진성 준위 E_i의 위치

$n = p$로 놓고 $E_F$에 대해 풀면 진성 반도체의 페르미 준위, 곧 진성 준위(intrinsic level)가 나온다. 띠 간격 한가운데에서 상태 밀도가 작은 띠 쪽으로 조금 밀린다.

$$E_i - E_v = \frac{E_g}{2} + \frac{kT}{2}\ln\frac{N_v}{N_c} = \frac{E_g}{2} + \frac{3kT}{4}\ln\frac{m_p^*}{m_n^*}$$

Solid.Ei. Si는 $N_v$ 문헌값(1.0–3.1×10¹⁹)에 따라 중앙에서 −13 ~ +1 meV로, 보통 중앙으로 본다. 전도대 상태 밀도가 아주 작은 GaAs($N_c = 4.7\times10^{17}$)는 300 K에서 중앙보다 38 meV 위다.

MINI LAB세 반도체의 $E_i$가 띠 간격 중앙에서 얼마나 벗어나는지(meV)를 온도에 따라 그렸다. 흰 점이 달린 세로 커서를 끌어 온도를 고르면 오른쪽 띠 그림에 그 온도의 $E_i$ 위치가 표시된다. 0 K에서는 셋 다 정확히 중앙이다.

도너와 억셉터: 얕은 준위와 이온화

실리콘 자리에 5족 원자(P, As, Sb)가 들어가면 네 전자는 이웃과 공유 결합을 하고 다섯째 전자가 남는다. 이 전자는 $+e$인 이온 코어에 묶이지만, 결정의 유전율이 쿨롱 인력을 $\varepsilon_r = 11.7$배로 가리고 전자는 유효 질량 $m^*$로 움직이므로 결합이 아주 약하다. 현대물리학 8장의 수소 꼴 모형을 그대로 쓰면

$$E_d^{\,\text{H}} = 13.6\ \text{eV}\times\frac{m^*/m_e}{\varepsilon_r^2} = 25.8\ \text{meV}, \qquad a_B^* = 0.0529\ \text{nm}\times\frac{\varepsilon_r}{m^*/m_e} = 2.38\ \text{nm} \qquad (m^* = 0.26,\ \varepsilon_r = 11.7)$$

전자를 떼어 전도대로 보내는 에너지가 이온화 에너지(ionization energy)이고, 그 전자를 내놓는 불순물이 도너(donor, 주개)다. 3족 원자(B, Al, Ga, In)는 결합 하나가 비어 가전자대에서 전자를 받아들이는 억셉터(acceptor, 받개)로, 같은 모형의 "정공 수소 원자"다.

실측값은 수소 모형보다 크고 원소마다 다르다. 불순물 바로 근처에서는 연속 유전체 가정이 깨져 핵심 전자의 퍼텐셜이 원소별로 달라지기 때문이다(중심 세포 보정(central-cell correction)). 그래도 B·P·As·Sb는 $kT$(25.9 meV)의 1.5–2배 남짓으로 얕고, 인듐은 160 meV로 깊어 상온에서도 다 이온화되지 않는다.

실리콘 속 얕은 불순물 준위(실측, Solid.dopants). 축척대로 그린 왼쪽 띠 그림에서는 띠 끝에 거의 붙어 있어 오른쪽에 확대했다. 수소 모형(점선 25.8 meV)은 크기의 정도만 맞힌다. 깊은 인듐은 적외선 검출기에 쓰일 뿐, 소자 도핑에는 쓰지 않는다.

왜 이온화율의 분모에 2와 4가 붙는가

도너 준위는 띠의 한 상태가 아니라 원자 하나다. 전자를 하나 받으면 스핀이 위든 아래든 되지만, 두 번째 전자는 첫 전자와의 쿨롱 반발 $U$(수십 meV 이상) 때문에 사실상 들어오지 못한다. 그래서 점유 통계가 보통의 페르미–디랙 $1/(1 + e^{x})$과 다르다.

도너가 전자를 내놓은 상태 D⁺. 에너지 0(기준), 경우의 수 1.
전자를 하나 가진 중성 상태 D⁰. 스핀 두 방향이 같은 에너지 $E_d$를 가지므로 경우의 수 2.
전자 두 개 상태는 쿨롱 반발 $U$ 때문에 에너지가 훨씬 높아 볼 일이 없다 — 보통의 띠 상태(↑↓를 독립으로 채움)와 다른 점이 바로 이것이다.
입자 저장소(화학 퍼텐셜 $E_F$)와 닿은 계의 깁스 인자 $g\,e^{-(E - NE_F)/kT}$를 비교하면 중성 대 이온화 비는 $2e^{-(E_d - E_F)/kT}$이다. 여기서 이온화율 공식이 나온다.

도너 하나의 통계. 축퇴 인자 $g_D = 2$는 "전자 하나를 붙잡는 방법이 두 가지"라는 뜻이다.

$$\frac{N_D^+}{N_D} = \frac{1}{1 + g_D\,e^{(E_F - E_d)/kT}}, \qquad \frac{N_A^-}{N_A} = \frac{1}{1 + g_A\,e^{(E_a - E_F)/kT}}, \qquad g_D = 2,\ g_A = 4$$

$g_D$, $g_A$: 축퇴 인자(degeneracy factor). 억셉터의 4는 스핀 2 × Γ점에서 겹친 무거운·가벼운 정공 띠 2(8장)에서 온다. $E_F = E_d$이면 도너는 절반이 아니라 1/3만 이온화되고, $E_F = E_a$이면 억셉터는 1/5만 이온화된다.

준위 종류

MINI LAB가로축은 페르미 준위가 불순물 준위보다 몇 $kT$ 위에 있는가(억셉터는 $E_a - E_F$를 거꾸로 잰다). 곡선 위의 흰 점을 끌어 보라. 도너는 $E_F$가 $E_d$보다 $3kT$ 아래로만 내려가도 90% 넘게 이온화되고, g가 클수록 곡선이 왼쪽으로 밀려 같은 $E_F$에서 덜 이온화된다.

300 K 실리콘에 인을 $N_D = 1.0\times10^{16}$ cm⁻³ 넣었다($E_c - E_d = 45$ meV, $N_c = 2.86\times10^{19}$ cm⁻³, $kT = 0.02585$ eV). 우선 완전 이온화를 가정해 $E_F$를 구하고, 그 $E_F$에서 실제 이온화율을 계산하라.

풀이 보기

전략 완전 이온화 → $n = N_D$ → $E_c - E_F = kT\ln(N_c/n)$. 그 값을 이온화 공식에 넣어 가정이 맞는지 검사한다.

풀이 $E_c - E_F = 0.02585\ln(2860) = 0.2057$ eV. $E_F - E_d = 0.045 - 0.2057 = -0.1607$ eV $= -6.22kT$. $N_D^+/N_D = 1/(1 + 2e^{-6.22}) = 1/(1 + 0.0040) = 0.9960$.

E_c − E_F ≈ 0.206 eV, 이온화율 ≈ 99.6% (중성 도너 0.4%)

검토 중성 도너 0.4%는 $n$을 0.4% 줄일 뿐이라, 다시 풀어도 $E_F$는 0.1 meV밖에 안 바뀐다. 상온의 얕은 도너는 "완전 이온화"로 보아도 된다는 근거다. 같은 계산을 $10^{18}$ cm⁻³에서 하면 이야기가 달라진다(다음 절).

전하 중성 조건과 페르미 준위

균일하게 도핑된 결정 덩어리는 전기적으로 중성이어야 한다. 양전하는 정공과 이온화된 도너, 음전하는 전자와 이온화된 억셉터가 지니므로

$$p(E_F) + N_D^+(E_F) = n(E_F) + N_A^-(E_F)$$

네 항이 모두 $E_F$만의 함수다. 왼쪽(양전하)은 $E_F$가 오를수록 줄고, 오른쪽(음전하)은 늘어나므로 두 곡선은 꼭 한 번 만난다. 그 점이 평형 페르미 준위다. 이 장의 계산기 Solid.solveEF는 이 식을 이분법으로 정확히(FD 적분 포함)푼다.

이 식은 $n$, $p$가 $E_F$에 지수적으로 걸려 있어 손으로 닫힌 꼴로 풀기 어렵다. 그래서 쇼클리 도식(Shockley diagram)을 쓴다: 네 농도를 로그 축에 $E_F$의 함수로 그리면 $n$과 $p$는 기울기 $\pm1/(kT\ln10)$인 직선, 이온화 도너는 $E_d$ 근처에서 꺾이는 곡선이 되고, 양전하 합과 음전하 합이 교차하는 곳을 눈으로 읽을 수 있다.

도너 N_D 억셉터 N_A 온도 T

MINI LAB쇼클리 도식(실리콘, P와 B). 굵은 실선이 양전하 $p + N_D^+$, 굵은 점선이 음전하 $n + N_A^-$이고, 둘이 만나는 ◆가 $E_F$다. 온도를 낮추면 $n$ 직선이 가팔라지며 교점이 $E_d$ 위로 올라가 도너가 전자를 다시 붙잡는다(동결). $N_A$를 $N_D$에 가깝게 올리면 교점이 띠 간격 가운데로 내려온다(보상). 맨 왼쪽(10¹²)은 "억셉터 없음"이다.

근사가 통하는 곳: 완전 이온화와 이차방정식

상온·비축퇴에서는 $N_D^+ = N_D$, $N_A^- = N_A$로 두고 $np = n_i^2$과 연립하면 이차방정식이 된다(Solid.nFull).

$$n = \frac{N_D - N_A}{2} + \sqrt{\left(\frac{N_D - N_A}{2}\right)^2 + n_i^2}, \qquad p = \frac{n_i^2}{n}, \qquad E_F - E_i = kT\ln\frac{n}{n_i}$$

불완전 이온화가 중요하지만 $p$와 $N_A$를 무시할 수 있으면(n형, 저온 또는 고농도), $n = N_ce^{\eta_c}$와 이온화 공식에서 $E_F$를 지우면 역시 이차방정식이 나온다.

$$\frac{n^2}{N_D - n} = \frac{N_c}{g_D}\,e^{-E_d/kT} \equiv N_1 \quad\Rightarrow\quad n = \frac{N_1}{2}\left(\sqrt{1 + \frac{4N_D}{N_1}} - 1\right)$$

여기서 $E_d$는 이온화 에너지 $E_c - E_d$. $N_D \ll N_1$이면 $n \to N_D$(완전 이온화), $N_D \gg N_1$이면 $n \to \sqrt{N_1N_D}$(동결).

300 K 실리콘에 인을 $N_D = 1.0\times10^{17}$ cm⁻³ 넣었다($E_d = 45$ meV, $N_c = 2.86\times10^{19}$ cm⁻³, $kT = 0.025852$ eV, 정공·억셉터 무시, 볼츠만 근사). 이온화율과 $E_c - E_F$를 (a) 반복법과 (b) 이차방정식으로 구하라.

풀이 보기

전략 (a) $n$을 가정 → $E_F$ → 이온화율 → 새 $n$을 되풀이. (b) $N_1 = (N_c/2)e^{-E_d/kT}$를 구해 근의 공식.

풀이 (a) $n_0 = 10^{17}$: $E_c - E_F = kT\ln(286) = 0.14622$ eV, $E_F - E_d = -0.10122$ eV $= -3.915kT$, 이온화율 $1/(1 + 2e^{-3.915}) = 0.9617$. $n_1 = 9.617\times10^{16}$으로 다시: $E_c - E_F = 0.14723$, 이온화율 0.9631. 한 번 더 하면 0.9630에서 멈춘다. (b) $N_1 = 1.43\times10^{19}\,e^{-1.7407} = 2.508\times10^{18}$. $n = (N_1/2)(\sqrt{1 + 4(0.03987)} - 1) = 9.630\times10^{16}$.

이온화율 ≈ 96.3%, E_c − E_F ≈ 0.147 eV (완전 이온화 가정 0.146 eV)

검토 4% 가까이가 중성으로 남는다 — 10¹⁶에서 0.4%였던 것보다 10배 많다. 도핑이 늘면 $E_F$가 $E_d$에 다가가 중성 도너가 늘기 때문이다. FD 적분과 정공까지 넣은 Solid.solveEF도 96.3%를 준다. 실제 10¹⁸ 근처에서는 이온화 에너지 자체가 줄어 이 계산보다 더 많이 이온화된다(6절).

인 도핑 $10^{16}$ cm⁻³ 실리콘을 100 K로 식혔다. 페르미 준위는 도너 준위 $E_d$(전도대 45 meV 아래)와 비교해 어디에 있을까?

$E_c - E_F = 58$ meV로 $E_d$보다 13 meV(1.5$kT$) 아래에 있고, 이온화율은 68%다. 실험대에서 T = 100 K로 놓고 $E_F$ 선을 끌어 양전하·음전하 막대를 맞춰 확인하라.

SIMULATOR

페르미 준위 실험대: 전하 중성의 과녁을 맞혀라

왼쪽 그림의 E_F 선(흰 점)을 위아래로 끈다

도너 N_D 도너 원소 억셉터 N_A 억셉터 원소 온도 T 정답 E_F 보기

E_F − E_v—

양전하 p + N_D⁺—

음전하 n + N_A⁻—

이온화 N_D⁺/N_D, N_A⁻/N_A—

명중0

왼쪽: 띠 그림(축척대로), 도너·억셉터 준위의 점유(채운 점 = 전자를 가진 불순물), 아래쪽 두 막대는 로그 눈금의 양전하와 음전하. 오른쪽: 같은 에너지 축의 상태 밀도 $g(E)$(회색), $f(E)$(점선, 0–1), 실제 전자·정공 분포 $g_cf$, $g_v(1-f)$(색칠, 확대 배율 표시). 막대 길이가 2% 안으로 같아지면 명중이다. 해볼 것: ① $N_D = 10^{16}$, 50 K·100 K·300 K에서 차례로 맞혀 동결이 풀리는 것을 보라. ② 억셉터를 인듐으로 바꾸고 $N_A = 10^{16}$, 300 K에서 이온화율을 읽어라(깊은 준위). ③ "새 과녁"으로 무작위 조건에서 $E_F$를 찾고, 다 맞힌 뒤 "정답 보기"로 비교하라.

온도의 세 영역: 동결 · 외인성 · 진성

도핑된 반도체의 전자 농도를 넓은 온도 범위에서 재면 세 구간이 뚜렷하다. 낮은 온도에서는 도너가 전자를 붙잡고 있어 $n \ll N_D$인 동결 영역(freeze-out region), 중간에서는 도너가 다 이온화되어 $n \approx N_D - N_A$로 거의 일정한 외인성 영역(extrinsic region, 포화 영역), 높은 온도에서는 가전자대에서 들뜬 전자가 도핑을 넘어서는 진성 영역(intrinsic region)이다. $\ln n$을 $1/T$에 대해 그린 아레니우스 그림(Arrhenius plot)에서 세 영역은 기울기가 다른 직선으로 나타나고, 그 기울기가 활성화 에너지다.

n형 반도체의 $\log n$ 대 $1/T$. 가로축 오른쪽이 저온이다(도식).
가운데 넓은 구간에서는 도너가 다 이온화되어 $n$이 도핑으로 고정된다. 소자가 동작하도록 설계하는 온도 범위다.
저온에서는 $n \approx \sqrt{N_cN_D/g_D}\,e^{-E_d/2kT}$ — 기울기가 이온화 에너지의 절반이다. 억셉터가 조금이라도 있어 $n$이 $N_A$보다 작아지면 기울기가 $E_d$ 전체로 두 배가 된다.
고온에서는 $n_i$가 $N_D$를 넘으며 $n \approx n_i$, 기울기 $E_g/2$. 띠 간격이 클수록 이 경계가 높은 온도로 밀려난다.

세 온도 영역과 각 영역의 활성화 에너지. 기울기의 "절반"은 질량 작용 꼴의 제곱근에서 온다: 진성에서는 전자–정공 쌍, 동결에서는 전자–이온화 도너 쌍이 함께 생긴다.

$$n \approx \begin{cases} \sqrt{\dfrac{N_cN_D}{g_D}}\;e^{-E_d/2kT} & \text{동결, } N_A \ll n \ll N_D \\[2mm] \dfrac{N_c}{g_D}\,\dfrac{N_D - N_A}{N_A}\;e^{-E_d/kT} & \text{동결, } n \ll N_A < N_D \\[2mm] N_D - N_A & \text{외인성} \\[1mm] n_i \propto T^{3/2}e^{-E_g/2kT} & \text{진성} \end{cases}$$

첫째 식은 앞 절의 이차방정식에서 $N_D \gg N_1$인 극한이다. $N_c \propto T^{3/2}$ 때문에 그림의 실제 기울기는 $E_d/2 + \tfrac34kT$처럼 조금씩 더해진다. 페르미 준위는 $T \to 0$에서 보상이 없으면 $E_c$와 $E_d$의 가운데로, 보상이 있으면 $E_d$로 간다.

인 도핑 $N_D = 1.0\times10^{16}$ cm⁻³ 실리콘의 50 K 전자 농도를 동결 근사식으로 어림하고 이차방정식 값과 비교하라($N_c(300) = 2.86\times10^{19}$ cm⁻³, $E_d = 45$ meV, $g_D = 2$).

풀이 보기

전략 $N_c(50) = N_c(300)(50/300)^{3/2}$, $N_1 = (N_c/2)e^{-E_d/kT}$, $n \approx \sqrt{N_1N_D}$.

풀이 $N_c(50) = 2.86\times10^{19}\times0.06804 = 1.946\times10^{18}$. $kT = 4.3087$ meV이므로 $E_d/kT = 10.444$, $N_1 = 9.73\times10^{17}\times2.913\times10^{-5} = 2.83\times10^{13}$ cm⁻³. 근사: $n \approx \sqrt{2.83\times10^{13}\times10^{16}} = 5.32\times10^{14}$. 이차방정식: $n = (N_1/2)(\sqrt{1 + 4N_D/N_1} - 1) = 5.18\times10^{14}$ cm⁻³.

n ≈ 5.2×10¹⁴ cm⁻³ — 도너의 약 5%만 이온화

검토 $N_1 \ll N_D$이므로 동결 근사가 3% 안에서 맞는다. Solid.solveEF(FD·정공 포함)는 $5.19\times10^{14}$을 준다. 77 K(액체 질소)에서는 같은 계산으로 37%, 100 K에서 68%, 300 K에서 99.6%가 이온화된다.

같은 실리콘(P $10^{16}$ cm⁻³)을 액체 질소 온도 77 K에 담갔다. 도너는 몇 %가 이온화되어 있을까?

이 도핑에서 77 K는 이미 동결 영역 안이다(37%). 도핑을 $10^{15}$으로 낮추면 같은 77 K에서 74%가 이온화된다 — 도핑이 낮을수록 동결이 늦게 온다. 아래 그림에서 점을 77 K로 끌고 $N_D$를 바꿔 보라.

SIMULATOR

n(T) 아레니우스 그림과 페르미 준위의 여행

곡선 위의 흰 점을 좌우로 끌어 온도를 바꾼다

불순물 농도 N

가로축

T—

다수 캐리어—

이온화율—

E_F − E_v—

영역—

기울기 활성화 에너지—

왼쪽: 다수 캐리어 농도(실선)와 $n_i$(점선), 색 띠는 영역(동결: 이온화 < 90%, 진성: 다수 캐리어가 도핑보다 10% 넘게 많음). 오른쪽: 같은 온도의 $E_F$(굵은 선)와 $E_c$, $E_v$, 불순물 준위, $E_i$. "기울기 활성화 에너지"는 점 위치의 국소 기울기 $-k\,d\ln n/d(1/T)$다. 해볼 것: ① 동결 영역에서 기울기가 $E_d/2$(P: 약 23 meV)에 가깝고, 진성 영역에서 $E_g/2$를 넘어 약 0.6 eV인 것을 확인하라. ② 인듐(160 meV)은 300 K에서도 동결 영역에 걸쳐 있다. ③ $N$을 올리면 진성 영역이 높은 온도로, 동결 영역이 높은 온도 쪽으로 함께 밀린다.

도핑 $N$ = 15 cm⁻³인 층에서 진성 농도가 도핑과 같아지는($n_i = N$) 온도는 실리콘이 , 4H-SiC가 , GaN이 이다. 소자가 도핑대로 동작하려면 $n_i$가 도핑의 10% 아래여야 한다고 하면, 실리콘 한계는 이다.

고온 동작 한계: 진성 농도가 도핑을 넘는 온도

전력 소자의 드리프트층은 높은 전압을 버티려고 $10^{14}$–$10^{15}$ cm⁻³로 아주 낮게 도핑한다. 실리콘에서 $n_i$가 $10^{14}$에 닿는 온도는 약 470 K(200 °C)여서 접합 누설이 폭증하고 도핑으로 정한 전기장 분포가 무너진다 — 실리콘 IGBT·MOSFET의 접합 온도 상한이 150–175 °C인 까닭이다. 띠 간격이 세 배인 4H-SiC와 GaN은 바르시니 외삽으로 같은 조건이 900 °C를 넘는다. 실제 SiC 소자의 한계는 반도체가 아니라 패키지·게이트 산화막이 정한다. 같은 이유로 자동차·유정 탐사용 고온 센서도 넓은 띠 간격 재료로 간다. SemiBooks 소자 · 캐리어 통계, SemiBooks 소자 · pn 접합

극저온 CMOS: 4 K에서 얼어붙는 기판

양자 컴퓨터의 큐비트를 제어하는 회로를 냉동기 안(4 K)에 넣으려는 극저온 CMOS 연구가 활발하다. 4 K의 $kT$는 0.34 meV로 인·붕소 이온화 에너지(45 meV)의 1/130이어서, $10^{15}$–$10^{17}$ cm⁻³로 도핑된 웰과 기판의 캐리어는 완전히 동결된다. 그래도 트랜지스터가 동작하는 것은 채널 전자가 도너가 아니라 게이트 전기장이 소스에서 끌어온 것이고, 소스·드레인은 모트 농도(6절)를 훨씬 넘게 도핑되어 금속처럼 얼지 않기 때문이다. 대신 동결된 기판은 바디 전위를 잡지 못해 문턱 전압 상승, 킨크 효과, 이력 현상이 생기고, 소자 모형(SPICE)을 저온용으로 새로 맞춰야 한다. SemiBooks 소자 · 캐리어 통계, SemiBooks 소자 · MOSFET

보상 도핑

도너와 억셉터가 함께 있으면 도너가 내놓은 전자가 먼저 억셉터의 빈 결합을 채운다. 전도대에 남는 전자는 차이 $N_D - N_A$뿐이고, 이것을 보상(compensation)이라 한다. $K = N_A/N_D$를 보상비(compensation ratio)라 부른다. 외인성 영역에서는 $n \approx N_D - N_A$로 앞 절 공식에 차이만 넣으면 되지만, 보상은 두 가지 흔적을 남긴다.

이온화 불순물은 $N_D + N_A$개다. 캐리어는 차이만큼이지만 전자를 산란시키는 이온은 합만큼 있어, 같은 $n$이라도 보상된 시료의 이동도가 낮다(11장 캐리어 수송).
저온 기울기가 두 배가 된다. $n < N_A$가 되면 이온화된 억셉터가 늘 $N_A$개의 이온화 도너를 붙잡아 두므로, 남은 도너만 $e^{-E_d/kT}$로 이온화된다. 동결 기울기는 $E_d/2$가 아니라 $E_d$다. 홀 측정으로 $n(T)$를 재서 기울기가 어느 쪽인지 보면 보상 여부를 안다.

보상비 K = N_A/N_D

MINI LAB$N_D = 10^{16}$ cm⁻³(P) 실리콘에 붕소를 보상비 $K$만큼 넣었다. 회색 점선은 보상 없는 곡선, 실선은 보상된 곡선이다. 아래 읽음값은 30 K(세로 점선)에서 잰 국소 기울기, 곧 활성화 에너지다. $K$를 키우면 외인성 높이 $N_D(1-K)$가 내려가고, 보상 곡선의 저온 기울기가 $E_d$로 가팔라지는 온도가 높아진다.

300 K 실리콘에 인 $3.0\times10^{16}$ cm⁻³와 붕소 $1.0\times10^{16}$ cm⁻³가 들어 있다(완전 이온화, $n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³, $N_c = 2.86\times10^{19}$ cm⁻³, $kT = 0.02585$ eV). $n$, $p$, $E_F - E_i$, $E_c - E_F$와 이온화 불순물 총농도를 구하라.

풀이 보기

전략 $N_D - N_A \gg n_i$이므로 $n = N_D - N_A$, 나머지는 질량 작용과 볼츠만 식.

풀이 $n = 2.0\times10^{16}$, $p = 10^{20}/(2\times10^{16}) = 5.0\times10^{3}$ cm⁻³. $E_F - E_i = 0.02585\ln(2\times10^{6}) = 0.375$ eV. $E_c - E_F = 0.02585\ln(1430) = 0.188$ eV. 이온화 불순물 $N_D + N_A = 4.0\times10^{16}$ cm⁻³.

n = 2.0×10¹⁶, p = 5.0×10³ cm⁻³, E_F − E_i ≈ 0.375 eV, E_c − E_F ≈ 0.188 eV, 산란 중심 4.0×10¹⁶ cm⁻³

검토 캐리어 농도는 인 $2\times10^{16}$만 넣은 시료와 같지만 산란 이온은 두 배다 — 11장에서 보듯 전자 이동도가 약 13% 낮다. Solid.solveEF(불완전 이온화 포함)는 $n = 1.98\times10^{16}$을 준다.

붕소 15 cm⁻³인 p형 기판에 인을 16.7 cm⁻³ 넣어 웰을 만들면(300 K, 완전 이온화) : 다수 캐리어 , $|E_F - E_i|$ = . 그러나 전자를 산란시키는 이온은 로 순 도핑의 배다.

축퇴 도핑: 모트 전이와 띠 간격 축소

도핑을 $10^{18}$ cm⁻³ 넘게 올리면 세 가지가 한꺼번에 무너진다. 페르미 준위가 전도대 끝에 $3kT$ 안으로 다가가 볼츠만 근사가 틀리고, 도너 궤도가 서로 겹쳐 고립된 "수소 원자" 그림이 사라지며, 많은 전자와 이온이 띠 끝 자체를 끌어내린다. 이렇게 $E_F$가 띠 끝 근처나 띠 안에 있는 반도체가 축퇴 반도체(degenerate semiconductor)다.

볼츠만 근사의 오차와 조이스–딕슨 근사

정확한 식은 $n = N_cF_{1/2}(\eta)$다. 볼츠만 식 $n = N_ce^\eta$는 $\eta = -3$에서 $n$을 1.7%, $\eta = 0$($E_F = E_c$)에서 31% 과대평가한다. 거꾸로 $n$이 주어졌을 때 $E_F$를 구하려면 $F_{1/2}$을 뒤집어야 하는데, 조이스–딕슨 근사(Joyce–Dixon approximation)가 $r = n/N_c$의 급수로 이것을 준다.

$$\frac{E_F - E_c}{kT} \approx \ln r + \frac{r}{\sqrt8} - 4.950\times10^{-3}\,r^2 + 1.484\times10^{-4}\,r^3 - 4.43\times10^{-6}\,r^4, \qquad r = \frac{n}{N_c}$$

첫 항이 볼츠만, 둘째 항 $r/\sqrt8 = r/2^{3/2}$이 FD 첫 보정이다. 넷째 항까지 쓰면 $r \lesssim 8$($\eta \lesssim 4.5$)에서 $\eta$를 0.01 안으로 맞힌다.

MINI LAB정확한 $F_{1/2}(\eta)$(실선)와 볼츠만 $e^\eta$(점선)를 로그 눈금에 겹쳐 그렸다. 곡선 위의 흰 점을 좌우로 끌어 $\eta$를 바꾸면 아래 막대에 볼츠만 근사의 오차(%)가 나온다. 오차가 1%를 넘는 곳이 대략 $\eta = -3.5$, 곧 $E_F$가 띠 끝에서 90 meV(300 K) 안으로 들어온 곳이다.

300 K 실리콘에서 $n = 1.0\times10^{19}$과 $1.0\times10^{20}$ cm⁻³일 때 $E_F - E_c$를 (a) 볼츠만 식, (b) 조이스–딕슨 근사로 구하고, 정확한 값($-24.0$, $+62.9$ meV)과 비교하라($N_c = 2.86\times10^{19}$ cm⁻³, $kT = 25.85$ meV, 완전 이온화).

풀이 보기

전략 $r = n/N_c$를 구해 급수에 넣는다.

풀이 $10^{19}$: $r = 0.3497$, $\ln r = -1.0507$. 볼츠만 $-1.0507kT = -27.2$ meV. 조이스–딕슨: $-1.0507 + 0.1236 - 0.0006 = -0.9277$ → $-24.0$ meV. $10^{20}$: $r = 3.497$, $\ln r = 1.2518$ → 볼츠만 $+32.4$ meV. 조이스–딕슨: $1.2518 + 1.2362 - 0.0605 + 0.0063 - 0.0007 = 2.4331$ → $+62.9$ meV.

10¹⁹: 볼츠만 −27.2, 조이스–딕슨 −24.0 meV / 10²⁰: 볼츠만 +32.4, 조이스–딕슨 +62.9 meV

검토 $10^{20}$에서 볼츠만 식은 $E_F$의 띠 안 깊이를 절반으로 본다. 반대로 정확한 $E_F$를 볼츠만 식에 넣으면 $n$을 $e^{2.432}/3.497 = 3.3$배 과대평가한다. 축퇴 영역의 TCAD 계산에서 "Fermi statistics" 옵션을 켜는 이유다.

모트 전이: 도너 준위가 띠에 녹아든다

도너 사이 평균 거리 $N_D^{-1/3}$이 궤도 반지름 $a_B^* \approx 2$ nm의 몇 배로 줄면 이웃 도너의 궤도가 겹쳐, 날카로운 도너 준위가 폭을 가진 불순물 띠(impurity band)로 퍼진다. 이온화 에너지는 경험적으로 $E_d(N) \approx E_{d0} - \alpha N^{1/3}$($\alpha \approx 3\times10^{-8}$ eV·cm)처럼 줄어 $10^{18}$에서 약 14 meV가 되고, 불순물 띠가 전도대와 합쳐지는 모트 전이(Mott transition) 농도 위에서는 절대 0도에서도 전도가 남는 금속이 된다.

$$N_c^{\text{Mott}\,1/3}\,a_B^* \approx 0.26 \qquad\Rightarrow\qquad N^{\text{Mott}} \approx 3.7\times10^{18}\ \text{cm}^{-3}\ \ (\text{Si:P, 실측})$$

모트 판정과 궤도 겹침 그림은 현대물리학 8장 수소 꼴 원자에 미니 실험이 있다. 이 농도 위에서는 $E_d$와 $g_D$로 쓰는 이온화 공식이 의미를 잃으므로, 계산기들은 보통 "완전 이온화 + FD 통계"로 바꾼다.

농도에 따른 도너의 운명. 위: 도너 궤도(반지름 $a_B^*$)의 겹침. 아래: 띠 그림. 축퇴 영역에서는 $E_F$가 전도대 안에 있고, 많은 전자·이온의 상호작용이 띠 끝을 끌어내린다.

띠 간격 축소

고농도 도핑에서는 캐리어끼리의 교환·상관 에너지와 이온과의 인력이 띠 끝을 낮추어 띠 간격이 줄어든다. 이것이 띠 간격 축소(bandgap narrowing, BGN)다. 실리콘 소자 계산에서 가장 흔히 쓰는 것은 바이폴라 트랜지스터 측정에서 얻은 슬룻붐 식(Slotboom model)이다.

$$\Delta E_g = 9\ \text{meV}\left[\ln\frac{N}{10^{17}} + \sqrt{\left(\ln\frac{N}{10^{17}}\right)^2 + 0.5}\right], \qquad n_{i,\text{eff}}^2 = n_i^2\,e^{\Delta E_g/kT}$$

Solid.bgn(N). $10^{18}$에서 42 meV, $10^{20}$에서 125 meV. 띠 간격이 $kT$의 몇 배만 줄어도 $n_{i,\text{eff}}^2$는 지수로 커진다: 고농도 이미터·소스에 주입된 소수 캐리어가 그만큼 많아진다.

도핑 $N$ = 19 cm⁻³인 실리콘(300 K)은 슬룻붐 식으로 띠 간격이 줄어 가 되고, 유효 진성 농도 제곱은 $n_{i,\text{eff}}^2/n_i^2$ = 배다. 이 농도는 $N_c$의 배, 모트 농도의 배다.

300 K 실리콘에 비소를 $10^{20}$ cm⁻³ 넣었다(완전 이온화). 볼츠만 식으로 구한 $E_F - E_c$는 정확한 값과 비교해 어떨까?

볼츠만 +32 meV, 정확한 FD +63 meV. 상태가 꽉 찬 띠 바닥에는 더 넣을 자리가 없어 전자가 더 위까지 차올라야 하는데, 볼츠만 꼬리는 점유가 1을 넘을 수 있다고 보기 때문이다. 아래 실험대에서 점을 10²⁰으로 끌어 확인하라.

SIMULATOR

고농도 도핑 실험대: FD · 볼츠만 · 조이스–딕슨 · BGN

왼쪽 FD 곡선 위의 흰 점을 좌우로 끌어 농도를 바꾼다

온도 T 띠 간격 축소(슬룻붐) 그리기

n (= N_D)—

E_F − E_c (FD)—

볼츠만 E_F 오차—

조이스–딕슨 오차—

ΔE_g—

n_i,eff²/n_i²—

왼쪽: 완전 이온화를 가정한 $E_F - E_c$(meV) 대 농도. 실선 FD 정확값, 점선 볼츠만, 가는 선 조이스–딕슨. 세로선은 $N_c$와 모트 농도. 오른쪽: 그 농도의 전도대 상태 밀도(포물선)와 채워진 전자(색칠, FD 점유), $E_F$와 BGN만큼 내려간 띠 끝. 해볼 것: ① 볼츠만 오차가 10 meV를 넘는 농도를 찾아라. ② 77 K로 내리면 같은 농도에서 축퇴가 훨씬 일찍 시작한다($N_c \propto T^{3/2}$). ③ $10^{20}$에서 BGN(125 meV)이 $E_F - E_c$(63 meV)보다 크다는 것을 보라.

소스·드레인: 축퇴 도핑과 띠 간격 축소가 만나는 곳

MOSFET의 소스·드레인과 접촉부는 $10^{20}$–$5\times10^{20}$ cm⁻³로 도핑해 저항을 낮춘다. 모트 농도의 100배 가까운 금속성 반도체라 이온화 공식 대신 FD 통계를 쓰고, BGN 100 meV 넘게 띠 끝이 내려간다. 높은 도핑이 금속–반도체 장벽을 얇게 만들어 터널링 접촉 저항을 낮추는 것이 핵심 목적이지만, 활성화 한계가 있다: 고용도를 넘는 원자는 어닐 중 클러스터로 뭉쳐 전자를 내놓지 않으므로(인·비소는 약 $2$–$5\times10^{20}$), 레이저·밀리초 어닐로 평형보다 높은 활성 농도를 잠깐 얼려 두는 기술이 쓰인다. 바이폴라와 태양 전지에서는 BGN이 고농도 이미터의 $n_{i,\text{eff}}^2$를 수십 배 키워 이미터 주입 효율을 깎는다. SemiBooks 소자 · MOSFET, SemiBooks 도핑 · 어닐, SemiBooks 소자 · 금속–반도체 접촉

도핑 농도에서 비저항과 면저항으로

공정 현장에서 도핑은 농도보다 저항으로 먼저 잰다. 4탐침 하나면 몇 초에 끝나기 때문이다. 캐리어 농도와 이동도(mobility) $\mu$(11장에서 자세히)를 알면

$$\rho = \frac{1}{q(n\mu_n + p\mu_p)} \approx \frac{1}{qN\mu_\text{다수}}, \qquad R_s = \frac{\rho}{t}\ \ [\Omega/\square], \qquad R_s = \frac{1}{q\int_0^{x_j}\mu(N)\,N(x)\,dx}\ \ (\text{불균일 층})$$

이동도는 이온화 불순물이 많을수록 줄어든다(Si 전자: $10^{15}$에서 1360, $10^{19}$에서 115 cm²/(V·s)). 이 장은 Solid.mobility(카우기–토머스형 맞춤식)과 Solid.siResistivity(N, type)(300 K, 완전 이온화)의 값만 쓴다. 이렇게 그린 $\rho(N)$을 어빈 곡선이라 부른다. 진성 실리콘은 약 $3\times10^{5}$ Ω·cm($n_i = 1.07\times10^{10}$으로 계산).

면저항(sheet resistance) $R_s$는 두께 $t$인 얇은 층의 정사각형 한 칸이 가진 저항이다. 정사각형의 크기와 무관하므로(길이 $L$이 두 배면 폭 $W$도 두 배) 단위를 Ω/□(옴 퍼 스퀘어)로 쓰고, 배선이나 확산층의 저항은 "몇 칸인가"로 센다: $R = R_s\,L/W$.

면저항. 왼쪽: 정사각형은 크기와 무관하게 저항이 $\rho/t$이다. 가운데: 긴 선의 저항은 칸 수로 센다. 오른쪽: 같은 간격의 4탐침에서 바깥 둘로 전류를 흘리고 안쪽 둘로 전압을 재면 접촉 저항 없이 $R_s$를 얻는다.

CMOS용 실리콘 웨이퍼 사양서에 "p형, 붕소, 비저항 1–10 Ω·cm"라고 적혀 있다. 300 K 어빈 곡선(Solid.siResistivity)으로 붕소 농도 범위를 구하라. 정공 이동도는 $1.4\times10^{15}$에서 460, $1.5\times10^{16}$에서 417 cm²/(V·s)이다.

풀이 보기

전략 $\rho \approx 1/(qN_A\mu_p)$에서 $N_A = 1/(q\rho\mu_p)$. 이동도가 농도에 따라 변하므로 범위의 양 끝에서 따로 계산(또는 곡선을 거꾸로 읽음)한다.

풀이 10 Ω·cm: $N_A = 1/(1.602\times10^{-19}\times10\times460) = 1.36\times10^{15}$. 1 Ω·cm: $N_A = 1/(1.602\times10^{-19}\times1\times417) = 1.50\times10^{16}$ cm⁻³. 곡선을 수치로 뒤집으면 $1.36\times10^{15}$–$1.50\times10^{16}$.

N_A ≈ 1.4×10¹⁵ – 1.5×10¹⁶ cm⁻³ (비저항이 클수록 도핑이 작다)

검토 비저항 10배 범위가 도핑 11배 범위가 된다 — 고농도 쪽 이동도가 낮아서다. 이 정도 도핑은 실리콘 원자 $5\times10^{22}$개 가운데 0.03–0.3 ppm이다. 초크랄스키 성장의 편석 때문에 잉곳 위아래에서 비저항이 다르므로, 사양은 범위로 준다.

SIMULATOR

어빈 곡선: 웨이퍼 사양을 도핑으로 읽어라

곡선 위의 흰 점을 끌어 도핑을 고른다

도펀트 형

도핑 N—

비저항 ρ—

다수 캐리어 이동도—

판정—

300 K 실리콘의 $\rho(N)$(Solid.siResistivity, 완전 이온화). 색 띠는 사양의 비저항 범위다. 과제: 사양서의 "형·도펀트·비저항"에 맞는 곡선을 고르고 그 범위 안의 도핑에 점을 놓은 뒤 판정하라. 해볼 것: ① 같은 $10^{16}$에서 p형 비저항이 n형의 약 2.8배인 것(이동도 비)을 확인하라. ② $10^{19}$ 위에서 곡선 기울기가 −1보다 완만해지는 이유를 이동도 값으로 설명하라.

인 농도 18 cm⁻³로 균일하게 도핑된 두께 1 µm 층은 비저항이 이고 면저항은 이다. 4탐침에 1 mA를 흘리면 안쪽 탐침 사이 전압은 다. 목표: 100 Ω/□ 만들기(±3%) —

인 $1.0\times10^{19}$ cm⁻³로 균일하게 도핑된 두께 0.20 µm 층의 면저항을 구하고, 4탐침(간격이 층 크기보다 훨씬 작음)에 1.0 mA를 흘릴 때 전압을 구하라(이 농도의 전자 이동도 115 cm²/(V·s), 완전 이온화).

풀이 보기

전략 $\rho = 1/(qN\mu)$, $R_s = \rho/t$, $V = IR_s/4.532$.

풀이 $\rho = 1/(1.602\times10^{-19}\times10^{19}\times115) = 5.43\times10^{-3}$ Ω·cm. $R_s = 5.43\times10^{-3}/(2.0\times10^{-5}\ \text{cm}) = 272$ Ω/□. $V = (1.0\times10^{-3})(272)/4.532 = 60$ mV.

R_s ≈ 270 Ω/□, V ≈ 60 mV

검토 소스·드레인 확장(얕은 접합)의 면저항이 수백 Ω/□인 것과 맞는 크기다. 실제 이온 주입층은 농도가 깊이에 따라 변하므로 $R_s = 1/(q\int\mu N\,dx)$로 적분하고, 활성화되지 않은 원자는 빼야 한다.

사양서와 측정실: 비저항·면저항이 도핑의 언어

웨이퍼는 "p형 ⟨100⟩, 붕소, 1–10 Ω·cm" 또는 "n⁺ 기판 0.01–0.02 Ω·cm 비소(에피용)"처럼 비저항으로 주문한다(앞의 예제와 어빈 곡선). 공정이 시작되면 이온 주입·어닐마다 모니터 웨이퍼의 면저항을 4탐침으로 웨이퍼 전면 수십 점 찍어 지도를 만든다: 평균은 도즈와 활성화, 균일도(1σ %)는 주입 균일도와 어닐 온도 분포를 말해 준다. 면저항 1% 변화가 도즈 약 1% 변화에 해당하므로, 장비 이상을 가장 먼저 잡는 지표다. 깊이별 농도가 필요하면 SIMS(원자 수)와 확산 저항 측정(캐리어 수)을 비교해 활성화율을 얻는다. SemiBooks 공정 · 웨이퍼, SemiBooks 도핑 · 계측, SemiBooks 도핑 · 도핑이란

핵심 정리

$n = N_cF_{1/2}(\eta_c)$, $p = N_vF_{1/2}(\eta_v)$가 정확한 식이고, $E_F$가 띠 끝에서 $3kT$ 넘게 떨어진 비축퇴에서만 볼츠만 꼴과 질량 작용 법칙 $np = n_i^2 = N_cN_ve^{-E_g/kT}$이 성립한다. $n_i(T)$에는 $T^{3/2}$, $1/kT$, 바르시니 $E_g(T)$가 함께 들어간다(Si 300 K 약 $1\times10^{10}$ cm⁻³).
얕은 도너·억셉터의 이온화 에너지는 수소 모형(Si 25.8 meV)과 중심 세포 보정으로 정해진다(P 45, As 54, Sb 39, B 45, Al 57, Ga 65, In 160 meV). 이온화율은 $N_D^+/N_D = 1/(1 + g_De^{(E_F - E_d)/kT})$, $g_D = 2$, $g_A = 4$.
페르미 준위는 전하 중성 $p + N_D^+ = n + N_A^-$ 하나로 정해진다. 양쪽이 $E_F$에 대해 반대로 단조이므로 근은 하나이고, 쇼클리 도식이나 이분법으로 푼다.
온도가 오르며 동결($n \approx \sqrt{N_cN_D/g_D}\,e^{-E_d/2kT}$) → 외인성($n \approx N_D - N_A$) → 진성($n \approx n_i$) 영역을 지난다. 아레니우스 기울기는 각각 $E_d/2$(보상되면 $E_d$), 0, $E_g/2$다.
보상 시료는 캐리어가 $N_D - N_A$지만 산란 이온은 $N_D + N_A$다. 저온 기울기가 $E_d$로 두 배가 되는 것이 보상의 지문이다.
$N \gtrsim 10^{18}$ cm⁻³(Si)에서는 볼츠만 근사가 틀리고(조이스–딕슨 또는 FD 적분), 모트 농도 $3.7\times10^{18}$(Si:P) 위에서 도너 준위가 띠에 녹아 금속성이 되며, 띠 간격 축소(슬룻붐: $10^{20}$에서 125 meV)가 $n_{i,\text{eff}}^2$를 키운다.
비저항 $\rho = 1/q(n\mu_n + p\mu_p)$와 면저항 $R_s = \rho/t$(Ω/□)가 도핑을 재는 현장의 언어다. "p형 1–10 Ω·cm 붕소"는 $N_A \approx 1.4\times10^{15}$–$1.5\times10^{16}$ cm⁻³이다.

연습문제

특별한 말이 없으면 300 K, $kT = 0.02585$ eV, $q = 1.602\times10^{-19}$ C이다. 답은 유효숫자 세 자리로 넣는다.

저마늄의 300 K 값 $N_c = 1.04\times10^{19}$, $N_v = 6.0\times10^{18}$ cm⁻³, $E_g = 0.66$ eV로 진성 농도를 구하라.

$n_i = \sqrt{N_cN_v}\,e^{-E_g/2kT}$.

$\sqrt{N_cN_v} = \sqrt{6.24\times10^{37}} = 7.90\times10^{18}$. $E_g/2kT = 0.66/0.0517 = 12.77$, $e^{-12.77} = 2.86\times10^{-6}$. $n_i = 2.26\times10^{13}$ cm⁻³(실측 약 $2\times10^{13}$).

인 $5.0\times10^{15}$ cm⁻³로 도핑한 실리콘(완전 이온화, $n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³)의 정공 농도는?

$n = 5.0\times10^{15}$, $p = n_i^2/n = 10^{20}/(5\times10^{15}) = 2.0\times10^{4}$ cm⁻³.

GaAs의 $N_c = 4.7\times10^{17}$, $N_v = 9.0\times10^{18}$ cm⁻³이다. 300 K에서 진성 준위는 띠 간격 중앙에서 몇 meV 위에 있는가?

$E_i - E_\text{mid} = (kT/2)\ln(N_v/N_c)$.

$(0.02585/2)\ln(19.15) = 0.012925\times2.952 = 0.0382$ eV = 38.2 meV. 전도대 상태가 적어 $E_i$가 전도대 쪽으로 올라간다.

같은 $10^{16}$ cm⁻³로 넣었을 때 300 K 실리콘에서 이온화율이 가장 낮은 불순물은?

이온화 에너지가 160 meV(약 $6kT$)로 가장 깊고, 억셉터라 $g_A = 4$이기도 하다. Solid.solveEF로 계산하면 약 70%만 이온화된다. P·B(45 meV)는 99% 넘게, Ga(65 meV)는 약 98% 이온화된다.

(a) 페르미 준위가 도너 준위와 정확히 같을 때($E_F = E_d$) 도너는 몇 %가 이온화되어 있는가? (b) $E_F = E_a$일 때 억셉터는 몇 %가 이온화되어 있는가?

지수 인자가 1이 되므로 분모에 $1 + g$만 남는다.

(a) $1/(1 + 2) = 33.3\%$. (b) $1/(1 + 4) = 20.0\%$. 보통의 띠 상태(g = 1)라면 50%였을 것이다.

붕소 도핑 실리콘에서 $E_F - E_v = 0.200$ eV이다. 붕소($E_a - E_v = 45$ meV, $g_A = 4$)의 이온화 비율은?

$E_a - E_F = 0.045 - 0.200 = -0.155$ eV $= -5.996kT$. $N_A^-/N_A = 1/(1 + 4e^{-5.996}) = 1/(1 + 0.00995) = 0.990$.

실리콘에 인 $2.0\times10^{16}$과 붕소 $5.0\times10^{15}$ cm⁻³가 들어 있다(완전 이온화, $n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³). 전자 농도와 $E_F - E_i$는?

$n = N_D - N_A = 1.5\times10^{16}$ cm⁻³. $E_F - E_i = 0.02585\ln(1.5\times10^{6}) = 0.02585\times14.22 = 0.368$ eV.

비소 $N_D = 1.0\times10^{15}$ cm⁻³($E_d = 54$ meV) 실리콘의 40 K 전자 농도를 동결 근사식 $n \approx \sqrt{N_cN_D/2}\,e^{-E_d/2kT}$로 어림하라. $N_c(300) = 2.86\times10^{19}$ cm⁻³, $N_c \propto T^{3/2}$, $k = 8.617\times10^{-5}$ eV/K.

$N_c(40) = 2.86\times10^{19}(40/300)^{1.5}$, $kT = 3.447$ meV.

$N_c(40) = 1.392\times10^{18}$. $\sqrt{N_cN_D/2} = \sqrt{6.96\times10^{32}} = 2.64\times10^{16}$. $E_d/2kT = 0.054/0.006894 = 7.833$, $e^{-7.833} = 3.97\times10^{-4}$. $n \approx 1.05\times10^{13}$ cm⁻³ — 도너의 1%만 이온화. $n \ll N_D$이므로 근사가 정당하다(정확한 풀이 $1.04\times10^{13}$).

전력 소자 드리프트층의 도핑이 $1.0\times10^{14}$ cm⁻³이다. 띠 간격을 1.12 eV로 고정하고 $N_c = 2.86\times10^{19}$, $N_v = 3.10\times10^{19}$ cm⁻³(300 K, $\propto T^{3/2}$)를 쓸 때 $n_i$가 도핑과 같아지는 온도는? ($k = 8.617\times10^{-5}$ eV/K, 수치로 풀 것)

$f(T) = \ln[\sqrt{N_cN_v}(T/300)^{1.5}] - 1.12/(2kT) - \ln10^{14}$의 근을 이분법이나 반복으로 찾는다. 450 K와 500 K에서 부호를 확인하라.

$\sqrt{N_cN_v} = 2.978\times10^{19}$. 반복: $T = 1.12/(2k[\ln(2.978\times10^{5}) + 1.5\ln(T/300)])$. $T_0 = 480$ → 괄호 $= 12.604 + 0.705 = 13.309$ → $T = 488.3$ → 괄호 $13.335$ → $T = 487.4$ K(약 214 °C). 바르시니 $E_g(T)$를 쓰면 띠 간격이 줄어 470 K로 내려간다.

300 K 실리콘에서 $n = 5.0\times10^{19}$ cm⁻³($N_c = 2.86\times10^{19}$)이다. 조이스–딕슨 근사의 첫 두 항 $\eta \approx \ln r + r/\sqrt8$로 $E_F - E_c$를 meV로 구하라.

$r = 1.748$, $\ln r = 0.5586$, $r/\sqrt8 = 0.6181$, $\eta = 1.1767$ → $E_F - E_c = 30.4$ meV(정확한 FD 값 30.0 meV, 볼츠만 14.4 meV).

슬룻붐 식으로 $N = 1.0\times10^{19}$ cm⁻³ 실리콘의 띠 간격 축소와 $n_{i,\text{eff}}^2/n_i^2$을 구하라.

$L = \ln100 = 4.605$. $\Delta E_g = 9[4.605 + \sqrt{21.21 + 0.5}] = 9(4.605 + 4.659) = 83.4$ meV. $e^{0.0834/0.02585} = e^{3.226} = 25.2$.

비저항 0.010 Ω·cm, 두께 0.50 µm인 균일한 층의 면저항은? 이 층으로 길이 50 µm, 폭 5 µm 저항을 만들면 몇 Ω인가(답은 면저항)?

$R_s = \rho/t = 0.010/(5.0\times10^{-5}) = 200$ Ω/□. 저항은 $200\times(50/5) = 2000$ Ω(10칸).

n형 실리콘 웨이퍼의 비저항이 5.0 Ω·cm이다. 이 농도의 전자 이동도를 1350 cm²/(V·s)로 보고 도너 농도를 구하라.

$N_D = 1/(q\rho\mu_n) = 1/(1.602\times10^{-19}\times5.0\times1350) = 9.25\times10^{14}$ cm⁻³.

억셉터가 약간 섞인 n형 실리콘의 홀 측정에서 $\ln n$ 대 $1/T$를 그렸더니 30–60 K 구간 기울기가 $-E/k$, $E = 44$ meV였다. 가장 그럴듯한 해석은?

보상이 없으면 기울기는 $E_d/2$지만, $n$이 $N_A$보다 작아지면 $n \propto e^{-E_d/kT}$가 된다. 44 meV는 인(45 meV)과 맞는다. 보상 여부를 모르고 $E_d/2$로 해석하면 88 meV라는 엉뚱한 값을 얻는다.

저마늄의 전도대 유효 질량 $m^* = 0.12m_e$, $\varepsilon_r = 16.0$이다. 수소 모형의 $a_B^* = 0.0529\ \text{nm}\times\varepsilon_r/(m^*/m_e)$와 모트 판정 $N^{1/3}a_B^* = 0.26$으로 금속–절연체 전이 농도를 어림하라.

$a_B^*$를 cm로 바꿔 $N = (0.26/a_B^*)^3$.

$a_B^* = 0.0529\times16/0.12 = 7.05$ nm $= 7.05\times10^{-7}$ cm. $N = (0.26/7.05\times10^{-7})^3 = (3.69\times10^{5})^3 = 5.0\times10^{16}$ cm⁻³. 실리콘보다 두 자릿수 낮은 농도에서 축퇴가 시작된다(실측 Ge:Sb 약 $1.5\times10^{17}$).

개념 확인 퀴즈

질량 작용 법칙 $np = n_i^2$이 성립하지 않는 경우는?

유도에서 $F_{1/2} \approx e^\eta$(비축퇴)와 평형만 썼다. 보상이나 불완전 이온화는 $n$, $p$의 값을 바꿀 뿐 곱에는 영향이 없다. 축퇴 시료에서는 FD 적분과 BGN 때문에 곱이 $n_i^2$에서 벗어난다.

보상이 없는 n형 실리콘을 0 K 가까이 식히면 페르미 준위는 어디로 가는가?

전자는 도너에 거의 다 묶이고 극소수만 전도대에 있다. $n = N_ce^{\eta_c}$와 $N_D^+ \approx n$을 맞추면 $E_F \approx (E_c + E_d)/2 + (kT/2)\ln(N_D/g_DN_c)$. 억셉터가 조금이라도 있으면 $E_F$는 $E_d$에 붙는다.

억셉터의 축퇴 인자가 4인 이유로 가장 알맞은 것은?

억셉터가 정공 하나를 붙잡는 방법의 수다. 실리콘 가전자대 꼭대기는 Γ점에서 두 띠가 겹치므로 궤도 2 × 스핀 2 = 4.

같은 순 도핑 $N_D - N_A = 10^{16}$ cm⁻³인 두 시료 중 하나는 $N_A = 0$, 다른 하나는 $N_A = 10^{17}$이다. 300 K에서 같은 것은?

외인성 영역에서 $n \approx N_D - N_A$이므로 $n$과 $E_F$는 같다. 그러나 이온화 불순물이 $10^{16}$ 대 $2.1\times10^{17}$으로 달라 이동도·비저항이 다르고, 저온 기울기도 $E_d/2$ 대 $E_d$로 다르다.

$10^{15}$ cm⁻³로 도핑된 드리프트층을 쓰는 전력 소자를 300 °C에서 동작시키려 한다. 띠 간격만 고려할 때 알맞은 재료는?

300 °C(573 K)에서 실리콘의 $n_i$는 약 $2\times10^{15}$ cm⁻³로 도핑을 넘는다(진성 영역). 띠 간격 3.3 eV 안팎의 SiC·GaN은 같은 온도에서 $n_i$가 $10^{5}$–$10^{6}$ cm⁻³ 수준이다.

진성 반도체: 복습과 온도 의존

ni(T): 세 곳에서 온도가 들어간다

진성 준위 Ei의 위치

도너와 억셉터: 얕은 준위와 이온화

왜 이온화율의 분모에 2와 4가 붙는가

전하 중성 조건과 페르미 준위

근사가 통하는 곳: 완전 이온화와 이차방정식

페르미 준위 실험대: 전하 중성의 과녁을 맞혀라

온도의 세 영역: 동결 · 외인성 · 진성

n(T) 아레니우스 그림과 페르미 준위의 여행

보상 도핑

축퇴 도핑: 모트 전이와 띠 간격 축소

볼츠만 근사의 오차와 조이스–딕슨 근사

모트 전이: 도너 준위가 띠에 녹아든다

띠 간격 축소

고농도 도핑 실험대: FD · 볼츠만 · 조이스–딕슨 · BGN

도핑 농도에서 비저항과 면저항으로

어빈 곡선: 웨이퍼 사양을 도핑으로 읽어라

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈

n_i(T): 세 곳에서 온도가 들어간다

진성 준위 E_i의 위치