Chapter 08

수소 원자

보어 모형은 수소의 선 스펙트럼을 맞혔지만 전자가 왜 그 궤도에만 머무는지, 궤도가 왜 원이어야 하는지는 말하지 못했다. 이제 슈뢰딩거 방정식을 3차원 쿨롱 퍼텐셜에서 정면으로 푼다. 답은 원 궤도가 아니라 확률 구름(오비탈)이고, 그 구름을 세 개의 정수 $n, l, m$이 정한다. 아래 구름은 $|\psi|^2$에 비례하는 확률로 전자의 위치를 하나씩 뽑아 찍은 점들이다.

누르면 다음 오비탈 · 좌우로 끌면 회전

구면 좌표에서 3차원 슈뢰딩거 방정식을 $\psi = R(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$로 분리하고, 세 양자수가 어떤 경계 조건에서 나오는지 설명한다.
각운동량의 양자화 $L^2 = l(l+1)\hbar^2$, $L_z = m\hbar$를 벡터 모형으로 그리고, $L$이 $z$축과 나란할 수 없는 이유를 말한다.
유효 퍼텐셜(원심 장벽)로 지름 방정식을 이해하고, $E_n = -13.6\ \text{eV}/n^2$과 축퇴도 $n^2$을 확인한다.
지름 확률 분포 $P(r)$에서 가장 그럴듯한 반지름·평균 반지름·마디 수를 구하고, s·p·d 오비탈 모양을 해석한다.
수소 꼴 이온과 반도체 속 얕은 주개·엑시톤에 수소 모형을 적용하고, 선택 규칙 $\Delta l = \pm1$과 궤도 자기 모멘트를 계산한다.

3차원 슈뢰딩거 방정식과 변수 분리

수소 원자는 양성자 하나와 전자 하나다. 양성자는 전자보다 1836배 무거우므로 거의 움직이지 않는다고 보고(정확히는 환산 질량(reduced mass) $\mu = m_e m_p/(m_e + m_p)$를 쓰면 되고, 에너지가 0.05% 바뀐다), 원점에 고정된 양성자가 만드는 쿨롱 퍼텐셜 속의 전자 하나를 푼다.

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + U(r)\,\psi = E\,\psi, \qquad U(r) = -\frac{ke^2}{r} = -\frac{1.440\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{r}$$

$k = 1/4\pi\varepsilon_0$. 퍼텐셜이 거리 $r$에만 의존하는 중심력(central force) 문제다. 이런 대칭에는 직교 좌표 $(x,y,z)$보다 구면 좌표(spherical coordinates) $(r,\theta,\phi)$가 맞는다.

구면 좌표. $\theta$는 $z$축에서 잰 극각(0–180°), $\phi$는 $xy$ 평면에서 잰 방위각(0–360°)이다. 오른쪽: 쿨롱 퍼텐셜은 무한히 깊지만 바닥 상태 에너지는 유한하다 — 불확정성 원리가 전자를 핵에 떨어지지 못하게 한다.

구면 좌표의 라플라시안을 쓰면 방정식은 $r$, $\theta$, $\phi$의 세 부분으로 갈라진다. 해를 세 함수의 곱 $\psi = R(r)\,\Theta(\theta)\,\Phi(\phi)$로 놓고 대입해 양변을 $\psi$로 나누면, 한 변수만의 함수가 나머지와 같아야 하므로 각각 상수여야 한다. 이 변수 분리(separation of variables)에서 분리 상수 두 개($m$과 $l$)가 나오고, 마지막 지름 방정식에서 에너지 $E$가 양자화된다.

방정식을 쓰고 해를 세 함수의 곱으로 놓는다.
$\phi$ 부분은 가장 간단하다. 파동함수가 한 바퀴 돌아 같은 값이 되어야 하므로(단일값) $m$은 정수다.
$\theta$ 부분이 극($\theta = 0, \pi$)에서 발산하지 않으려면 분리 상수가 $l(l+1)$ 꼴이어야 하고 $|m| \le l$이다.
지름 부분이 무한대에서 0으로 줄어드는(정규화 가능한) 해는 특정 에너지에서만 있다. 이것이 $n$이다.

변수 분리의 흐름. 1차원 우물에서 경계 조건이 정수 $n$ 하나를 낳았듯, 3차원에서는 세 방향의 조건이 정수 세 개를 낳는다.

$\phi$ 방정식은 조화 진동과 같아서 해가 $\Phi = e^{im\phi}$이다. $\phi$와 $\phi + 2\pi$는 공간의 같은 점이므로 $\Phi(\phi + 2\pi) = \Phi(\phi)$, 즉 $e^{i2\pi m} = 1$이어야 한다. 그래서 $m$은 정수다. 이것이 자기 양자수(magnetic quantum number)이고(9장에서 자기장 속 준위 갈라짐으로 이름의 이유를 본다), 뒤에서 보듯 $L_z = m\hbar$를 뜻한다.

MINI LAB원 둘레를 따라 $\mathrm{Re}\,\Phi = \cos m\phi$를 그렸다. $m$이 정수가 아니면 한 바퀴 돌아온 곳(빨간 점)에서 파동이 이어지지 않는다 — 한 점에서 확률 진폭이 두 값을 가질 수는 없다. 정수 $m$에서만 매끈한 고리가 된다.

지름 함수 $R(r)$는 보통 $u(r) = rR(r)$로 바꿔 쓴다. 그러면 지름 방정식이 1차원 슈뢰딩거 방정식과 똑같은 꼴이 되어, 5–7장에서 익힌 도구(퍼텐셜 그림, 수치 고유값 풀이)를 그대로 쓸 수 있다. 이는 3절에서 다룬다.

각운동량의 양자화와 구면 조화 함수

$\Theta$와 $\Phi$를 합친 각도 부분을 구면 조화 함수(spherical harmonics) $Y_l^m(\theta,\phi) \propto P_l^m(\cos\theta)\,e^{im\phi}$라 한다($P_l^m$은 버금 르장드르 함수). 이 함수는 각운동량 연산자의 고유함수이기도 하다. 중심력에서는 토크가 없어 각운동량이 보존되므로, 에너지와 함께 각운동량도 "정해진 값"을 갖는 상태를 고를 수 있다.

$$\hat L^2\,Y_l^m = l(l+1)\hbar^2\,Y_l^m, \qquad \hat L_z\,Y_l^m = m\hbar\,Y_l^m, \qquad l = 0, 1, 2, \dots,\quad m = -l, \dots, +l$$

$l$: 궤도 양자수(orbital quantum number). 각운동량의 크기는 $|\vec L| = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar$이고 $z$ 성분은 $2l+1$가지 값 $m\hbar$만 가능하다. $\hat L_z = -i\hbar\,\partial/\partial\phi$이므로 $e^{im\phi}$에 작용하면 바로 $m\hbar$가 나온다.

궤도 양자수 2이면 각운동량 크기는 $|L|$ = 이고, $L_z$는 가지 값을 가질 수 있다. $L_z$의 최댓값 $l\hbar$는 $|L|$보다 작으므로 $\vec L$은 $z$축과 적어도 기울어져 있다.

벡터 모형: 원뿔 위의 각운동량

$|L| = \sqrt{l(l+1)}\hbar$가 $l\hbar$보다 크다는 사실은 깊은 뜻이 있다. $\vec L$이 $z$축과 정확히 나란하면 $L_x = L_y = 0$이 되어 세 성분이 모두 정해지는데, 각운동량 성분끼리는 동시에 정확히 정할 수 없다($[\hat L_x, \hat L_y] = i\hbar\hat L_z$, 2장 불확정성 원리의 각운동량 판). 그래서 $L_z$가 정해진 상태에서 $L_x, L_y$는 정해지지 않고, 고전적으로 그리면 $\vec L$이 $z$축 둘레의 원뿔 위 어딘가에 있는 그림이 된다. 이것이 벡터 모형(vector model)이다.

$$\cos\theta_L = \frac{L_z}{|L|} = \frac{m}{\sqrt{l(l+1)}}, \qquad L_x^2 + L_y^2 = \left[l(l+1) - m^2\right]\hbar^2 \ne 0$$

SIMULATOR

벡터 모형: $\vec L$의 끝을 끌어 $m$을 골라라

흰 원(L의 끝)을 위아래로 끈다

궤도 양자수 l

가능한 모든 원뿔 보기 고전 각운동량(연속)과 비교

|L|—

L_z = mħ—

z축과의 각 θ—

√(L_x² + L_y²)—

해볼 것: ① $l = 2$에서 $m$을 끝까지 올려도 $\vec L$이 $z$축에 닿지 않는다(35.3°). ② $l$을 키우면 최소 각이 줄어든다 — 큰 $l$에서 양자 결과가 고전(아무 방향이나 가능)에 가까워지는 대응 원리(correspondence principle). ③ $l = 0$이면 각운동량이 0이다. 보어 모형의 바닥 상태($L = \hbar$)와 다르다!

$l = 2$인 상태에서 (a) 각운동량의 크기, (b) 가능한 $L_z$ 값, (c) $\vec L$과 $z$축 사이 각의 최솟값을 구하라.

풀이 보기

전략 $|L| = \sqrt{l(l+1)}\hbar$, $L_z = m\hbar$ ($m = -l..l$), $\cos\theta = m/\sqrt{l(l+1)}$에서 $m = l$이 최소 각.

풀이 (a) $|L| = \sqrt6\,\hbar = 2.449 \times 1.0546\times10^{-34} = 2.58\times10^{-34}$ J·s. (b) $L_z = -2\hbar, -\hbar, 0, \hbar, 2\hbar$의 다섯 값. (c) $\cos\theta = 2/\sqrt6 = 0.8165$ → $\theta = 35.3^\circ$.

(a) 2.58×10⁻³⁴ J·s (√6 ħ) (b) 0, ±ħ, ±2ħ (c) 35.3°

검토 위 시뮬레이터에서 $l = 2$, 맨 위 원뿔의 각과 같다. 각운동량의 단위는 ħ이고, 원자 세계에서 ħ ≈ 10⁻³⁴ J·s는 매우 작지만 "띄엄띄엄"이 본질이다.

구면 조화 함수의 모양과 실수 오비탈

$Y_l^m$의 크기 $|Y_l^m|^2$는 $\phi$에 의존하지 않는다($|e^{im\phi}|=1$). 그래서 $m \ne 0$인 복소 함수는 $z$축 둘레로 도넛처럼 대칭이다. 화학과 반도체에서 쓰는 $p_x, p_y, d_{xy}$ 같은 모양은 $+m$과 $-m$ 상태를 더하고 빼서 만든 실수 오비탈(real orbitals)이다. 예를 들어 $p_x \propto (Y_1^{-1} - Y_1^{1}) \propto \sin\theta\cos\phi = x/r$, $p_z \propto \cos\theta = z/r$. 같은 에너지·같은 $|m|$의 선형 결합이므로 여전히 정상 상태다(다만 $L_z$는 정해지지 않는다).

m (실수 오비탈)

MINI LAB각도 부분 $|Y|^2$의 극좌표 그림(중심에서의 거리 = 그 방향의 확률 밀도). 보라 = $Y > 0$, 청록 = $Y < 0$. 각 마디($Y = 0$인 방향)의 개수는 언제나 $l$이다: $|m|$개는 $z$축을 품은 평면, $l - |m|$개는 원뿔이다.

실수 오비탈의 각도 모양(개략도). 색은 파동함수의 부호다. p 오비탈 셋은 서로 90° 돌린 같은 모양이고, d 오비탈 다섯 가운데 넷은 네잎 모양, $d_{z^2}$만 아령 + 고리 모양이다. 부호는 분자 결합에서 겹침이 보강인지 상쇄인지를 정한다(11장).

s와 p가 섞여 만드는 실리콘 결정

실리콘의 바깥 전자는 $3s^2 3p^2$이다. 결정 속에서 3s 하나와 3p 셋($p_x, p_y, p_z$)이 섞여 109.5° 간격의 sp³ 혼성 오비탈(sp³ hybrid) 네 개가 되고, 이웃 원자 넷과 결합 길이 0.235 nm의 공유 결합을 이룬다. 그 결과가 격자 상수 0.543 nm의 다이아몬드 구조다. 결합 오비탈이 원자 $10^{22}$개로 퍼지면 가전자대, 반결합 오비탈이 전도대가 된다 — 수소의 실수 오비탈 모양이 곧 띠 구조의 출발점이다(11장). 참고: SemiBooks 소자 · 결정 구조

지름 방정식과 에너지 준위

$u(r) = rR(r)$로 쓰면 지름 방정식은 1차원 문제가 된다. 각운동량의 효과는 퍼텐셜에 더해지는 항 하나로 들어간다.

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2} + \underbrace{\left[-\frac{ke^2}{r} + \frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}\right]}_{U_\text{eff}(r)} u = E\,u, \qquad u(0) = 0$$

둘째 항은 원심 장벽(centrifugal barrier)이다. 고전 역학에서 각운동량 $L$인 입자의 회전 운동 에너지 $L^2/2mr^2$와 같다. $l \ge 1$이면 핵 근처가 막혀 전자가 핵에 접근하지 못한다.

이 방정식은 해석적으로 풀린다(라게르 다항식). 정규화 가능한 해는 $n = n_r + l + 1$ ($n_r = 0, 1, 2, \dots$는 지름 마디 수)일 때만 있고, 에너지는 놀랍게도 $n$에만 의존한다.

$$E_n = -\frac{m(ke^2)^2}{2\hbar^2}\frac{1}{n^2} = -\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2}, \qquad a_0 = \frac{\hbar^2}{mke^2} = 0.0529\ \text{nm}$$

보어 모형과 정확히 같은 에너지다. 그러나 각운동량은 보어의 $n\hbar$가 아니라 $\sqrt{l(l+1)}\hbar$이고, $l$은 $0$부터 $n-1$까지 여러 값이 가능하다.

2s($n=2, l=0$) 전자는 핵 근처까지 가고, 2p($n=2, l=1$) 전자는 원심 장벽 때문에 핵에서 떨어져 있다. 수소에서 두 상태의 에너지는?

순수한 $1/r$ 퍼텐셜에서는 같다! 이것이 수소의 "우연한" 축퇴다(실은 $1/r$ 퍼텐셜의 숨은 대칭 때문). 아래에서 l을 바꿔 가며 준위가 같은 높이에 오는지 보라. 그리고 "가려진 쿨롱"을 켜서 알칼리 원자처럼 축퇴가 깨지는 것도 확인하라.

SIMULATOR

유효 퍼텐셜과 준위: 숨은 준위를 맞혀라

오른쪽 "?" 칸의 흰 원을 끌어 에너지를 예측

왼쪽에 그릴 l

가려진 쿨롱(알칼리 원자 흉내) u(r) 함께 그리기

이 l의 준위 (eV)—

문제—

점수0

왼쪽은 $U_\text{eff}(r)$와 지름 방정식을 유한 차분으로 수치로 푼 준위·$u(r)$, 오른쪽은 모든 $l$의 준위 사다리다(점선 = $-13.6/n^2$). 해볼 것: ① s·p·d·f의 같은 $n$ 준위가 한 줄에 서는 것(축퇴)을 확인하라. ② $l$이 커지면 원심 장벽이 커지고, 가장 낮은 준위는 $n = l + 1$이 된다. ③ "가려진 쿨롱"에서는 핵 근처에 가는 s가 가장 크게 내려가고 d·f는 거의 그대로다 — 나트륨의 3s < 3p < 3d 순서의 이유.

양자수 규칙과 축퇴

양자수	이름	가능한 값	정하는 것
$n$	주 양자수	1, 2, 3, …	에너지 $E_n$, 크기($\sim n^2a_0$)
$l$	궤도 양자수	0, 1, …, $n-1$ (s, p, d, f, …)	$\|L\| = \sqrt{l(l+1)}\hbar$, 각도 모양
$m$ ($m_l$)	자기 양자수	$-l, \dots, 0, \dots, +l$	$L_z = m\hbar$, 방향

주어진 $n$에서 상태 수는 $\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1) = n^2$이다. 이 모든 상태가 같은 에너지를 가지므로 준위 $E_n$의 축퇴도(degeneracy)는 $n^2$이다(전자 스핀을 넣으면 $2n^2$ — 9장에서 주기율표의 2, 8, 18의 기원이 된다).

$n = 1$: $l = 0$만 가능 — 1s 하나.
$n = 2$: 2s(1개) + 2p($m = -1, 0, 1$의 3개) = 4개가 모두 −3.40 eV.
$n = 3$: 3s + 3p + 3d(5개) = 9개.
$n = 4$: 16개. 일반적으로 $n^2$. 위로 갈수록 준위가 촘촘해지고 0(이온화)에 모인다.

수소의 준위 그림(세로축은 비례가 아님). 점 하나가 $m$ 상태 하나다. 같은 줄의 모든 상태가 같은 에너지 — 이 축퇴가 다전자 원자에서 깨지는 방식이 주기율표를 만든다.

원자 번호 1인 수소 꼴 원자(전자 하나)에서 전자가 3 준위에서 2 준위로 옮겨 가면, 두 준위 에너지는 이고 광자 에너지 , 파장 이다.

(a) 수소의 $n = 3$ 준위에는 몇 개의 $(l, m)$ 상태가 있으며 에너지는 얼마인가? (b) $n = 3 \to 2$ 전이로 나오는 광자의 파장은?

풀이 보기

전략 상태 수는 $n^2$. 광자 에너지 $\Delta E = 13.606(1/4 - 1/9)$ eV, $\lambda = hc/\Delta E$ ($hc = 1239.84$ eV·nm).

풀이 (a) 3s(1) + 3p(3) + 3d(5) = 9개, $E_3 = -13.606/9 = -1.51$ eV. (b) $\Delta E = -1.512 - (-3.401) = 1.890$ eV, $\lambda = 1239.84/1.890 = 656$ nm.

(a) 9개, −1.51 eV (b) 656 nm (Hα, 붉은빛)

검토 3장 보어 모형의 결과와 같다. 핵의 움직임(환산 질량)까지 넣으면 656.5 nm(진공)로 0.05% 길어지고, 공기 중 측정값은 656.3 nm다.

지름 확률 분포와 오비탈

전자를 반지름 $r$과 $r + dr$ 사이의 얇은 껍질에서 찾을 확률은 $|\psi|^2$에 껍질 부피 $4\pi r^2 dr$를 곱한 것이다. 각도에 대해 적분하면(구면 조화 함수는 정규화되어 있다)

$$P(r)\,dr = r^2\,|R_{nl}(r)|^2\,dr = |u(r)|^2\,dr, \qquad \int_0^\infty P(r)\,dr = 1$$

바닥 상태: $\psi_{100} = \dfrac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}$, $P_{1s}(r) = \dfrac{4r^2}{a_0^3}e^{-2r/a_0}$. $|\psi|^2$은 핵에서 가장 크지만, 껍질 부피 $r^2$이 0이라 $P(r)$은 핵에서 0이다.

1s 전자를 찾을 확률 $P(r)$이 가장 큰 반지름(가장 그럴듯한 반지름)은 어디일까?

$dP/dr = 0$에서 $r = a_0$ — 보어 궤도 반지름이 "가장 그럴듯한" 거리로 살아남는다. 하지만 평균 $\langle r\rangle$은 $1.5a_0$이다. 분포의 꼬리가 바깥으로 길기 때문이다. 아래에서 세 값을 비교하라.

SIMULATOR

지름 확률 분포 P(r): 경계를 끌어 확률을 모아라

흰 원을 좌우로 끌면 0부터 r까지의 확률이 칠해진다

주 양자수 n

궤도 양자수 l

같은 n의 모든 l 겹쳐 보기

경계 r—

P(0 ~ r)—

r_최대 · ⟨r⟩—

지름 마디—

도전—

해볼 것: ① 1s에서 경계를 $a_0$에 두면 확률은 32.3%뿐이다 — 전자는 보어 반지름 밖에 더 많이 있다. ② 2s의 지름 마디($r = 2a_0$)와 그 안쪽의 작은 봉우리를 찾아라. 이 "핵 근처 침투"가 다전자 원자에서 s의 에너지를 낮춘다. ③ $l = n - 1$(1s, 2p, 3d, 4f)이면 봉우리가 하나뿐이고 $r_\text{최대} = n^2a_0$ — 보어 궤도와 정확히 같다.

$$\langle r\rangle_{nl} = \frac{a_0}{2Z}\left[3n^2 - l(l+1)\right], \qquad \text{지름 마디: } n - l - 1\text{개}, \quad \text{각 마디: } l\text{개}, \quad \text{전체: } n - 1\text{개}$$

원자의 크기는 대략 $n^2a_0$에 비례해 커진다. 같은 $n$에서 $l$이 클수록 $\langle r\rangle$이 조금 작다(원에 가까운 궤도).

수소 1s 전자가 $r < a_0$에서 발견될 확률은?

풀이 보기

전략 $P(r) = (4r^2/a_0^3)e^{-2r/a_0}$를 0부터 $a_0$까지 적분. $x = 2r/a_0$로 바꾸면 $\tfrac12\int_0^{2} x^2e^{-x}dx$.

풀이 $\int x^2 e^{-x}dx = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x}$이므로 $\tfrac12[2 - (4 + 4 + 2)e^{-2}] = 1 - 5e^{-2} = 1 - 0.677 = 0.323$.

32.3%

검토 시뮬레이터에서 경계를 1.00 a₀에 두면 같은 값이 나온다. 절반(50%)이 되는 반지름은 1.34 a₀다.

$R_{21} = \dfrac{1}{\sqrt{24}}a_0^{-3/2}\dfrac{r}{a_0}e^{-r/2a_0}$이다. 2p 전자의 가장 그럴듯한 반지름과 $\langle r\rangle$을 nm로 구하라.

풀이 보기

전략 $P = r^2R^2 \propto r^4e^{-r/a_0}$. 미분해 0으로 놓는다. 평균은 공식 $\langle r\rangle = (a_0/2)(3n^2 - l(l+1))$.

풀이 $dP/dr \propto (4r^3 - r^4/a_0)e^{-r/a_0} = 0$ → $r = 4a_0 = 0.212$ nm. $\langle r\rangle = (a_0/2)(12 - 2) = 5a_0 = 0.265$ nm.

r_최대 = 4a₀ = 0.212 nm, ⟨r⟩ = 5a₀ = 0.265 nm

검토 $n^2a_0 = 4a_0$: $l = n - 1$이면 보어 반지름과 같다는 규칙과 맞는다.

오비탈을 3차원으로 보기

전체 파동함수는 $\psi_{nlm} = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$이다. 아래 뷰어는 $|\psi|^2$에 비례하는 확률로 전자의 위치를 수천 번 "측정"해 찍은 점구름이다(지름은 $P(r)$에서, 방향은 $|Y|^2$에서 뽑는다). 점이 빽빽한 곳이 전자를 자주 발견하는 곳이고, 색은 $\psi$의 부호다.

오비탈 점구름 뷰어

오비탈 (n, l, m) 반쪽 잘라 속 보기 (x < 0만) 자동 회전

상태—

E_n—

마디 (지름 · 각)—

⟨r⟩—

끌어서 돌리고, 휠·두 손가락으로 확대한다. 해볼 것: ① 2s·3s를 "반쪽 잘라" 보면 양파 같은 껍질(지름 마디)이 보인다. ② 3p와 2p를 비교하라: 모양은 같고 3p에는 껍질이 하나 더 있다. ③ 같은 오비탈을 "다시 측정"하면 점의 배치는 매번 다르지만 구름의 모양은 같다 — 양자역학이 예측하는 것은 분포다.

SIMULATOR

단면 확률 밀도: 끌어서 자르는 평면을 돌려라

끌면 단면이 돈다 (좌우: z축 둘레, 위아래: 기울기)

오비탈

표시

평면

단면—

마디 (지름 · 각)—

보이는 범위—

마디는 어두운 선(평면에서 보면 원 = 지름 마디, 직선·쌍곡선 꼴 = 각 마디)으로 나타난다. 해볼 것: ① 3d_z²를 xz 평면에서 보고 원뿔 마디(54.7°)를 찾아라. ② 2p_x를 xy 평면에서 yz 평면으로 돌리면 밀도가 사라진다 — 마디 평면 위에 섰기 때문이다. ③ 3s의 동심원 두 개가 지름 마디 $n - l - 1 = 2$다.

수소 꼴 계: 이온에서 반도체 속 불순물까지

핵 전하가 $Ze$이고 전자가 하나뿐인 이온(He⁺, Li²⁺, …)을 수소 꼴 원자(hydrogen-like atom)라 한다. 퍼텐셜이 $-Zke^2/r$이 되므로 모든 식에서 $ke^2 \to Zke^2$로 바꾸면 된다.

$$E_n = -\frac{13.6\ \text{eV}\,Z^2}{n^2}, \qquad a = \frac{a_0}{Z}$$

핵 전하가 클수록 전자는 $Z$배 가깝게 끌려오고, 결합 에너지는 $Z^2$배로 깊어진다.

같은 생각을 다른 매질에 적용할 수 있다. 실리콘 결정 속에 인(P) 원자가 실리콘 자리를 차지하면, 다섯 개의 바깥 전자 중 넷은 결합에 쓰이고 하나가 남는다. 남은 전자는 P⁺ 이온에 쿨롱 힘으로 묶이지만, 그 사이는 진공이 아니라 실리콘이다. 두 가지가 바뀐다: 쿨롱 힘이 비유전율 $\varepsilon_r$만큼 약해지고($ke^2 \to ke^2/\varepsilon_r$), 전자는 결정 속에서 유효 질량(effective mass) $m^*$로 움직인다(12장).

$$E_b = 13.6\ \text{eV}\times\frac{m^*/m_e}{\varepsilon_r^2}, \qquad a_B^* = a_0\,\frac{\varepsilon_r}{m^*/m_e}$$

이것이 얕은 주개(shallow donor)의 수소 모형이다. 실리콘($m^* = 0.26m_e$, $\varepsilon_r = 11.7$)에서 결합 에너지는 수소의 1/530, 반지름은 45배가 된다.

유효 질량 0.26, 비유전율 11.7인 반도체의 주개는 결합 에너지 , 유효 보어 반지름 이다. 상온 열에너지 $k_BT$ = 25.9 meV의 배이고, 전자 구름 안에 실리콘 원자가 약 개 들어간다.

실리콘 속 인 주개. 남은 전자는 수천 개의 실리콘 원자에 걸친 넓은 "수소 원자"를 만든다(왼쪽). 띠 그림(오른쪽)에서 그 바닥 상태는 전도대 바로 아래의 주개 준위 $E_d$이고, 이온화는 전자가 전도대로 올라가는 것이다.

주개가 상온에서 거의 다 이온화되는 이유

수소 모형은 실리콘 주개의 결합 에너지를 25.8 meV로 예측한다. 실측은 P 45 meV, As 54 meV, Sb 43 meV다. 차이는 중심 세포 보정(central-cell correction) 때문이다: 불순물 바로 근처에서는 연속 매질 가정이 깨지고 원소마다 핵심 전자의 퍼텐셜이 다르다. 그래도 결합 에너지는 상온 $k_BT$ = 25.9 meV의 1–2배에 불과하고, 전도대에는 받아 줄 상태가 $N_c = 2.8\times10^{19}$ cm⁻³만큼 많아서(10장) 주개는 상온에서 거의 모두 이온화된다. 그래서 $N_D = 10^{16}$ cm⁻³을 넣으면 전자 농도도 $10^{16}$ cm⁻³이다. 반대로 붕소(B)나 인듐(In) 같은 받개는 같은 모형의 "정공 수소 원자"이고, 깊은 준위(In 160 meV)는 상온에서 다 이온화되지 않는다. 참고: SemiBooks 소자 · 캐리어, SemiBooks 도핑

실리콘에서 $m^* = 0.26m_e$, $\varepsilon_r = 11.7$이다. (a) 주개 결합 에너지와 유효 보어 반지름을 구하라. (b) 반지름 $a_B^*$인 구 안에 실리콘 원자($5.00\times10^{22}$ cm⁻³)는 몇 개인가?

풀이 보기

전략 수소 결과를 $m^*/\varepsilon_r^2$와 $\varepsilon_r/m^*$로 비례 환산한다.

풀이 (a) $E_b = 13.606 \times 0.26/11.7^2 = 13.606\times 1.899\times10^{-3} = 0.0258$ eV, $a_B^* = 0.0529\times 11.7/0.26 = 2.38$ nm. (b) $V = \tfrac43\pi(2.38\times10^{-7}\ \text{cm})^3 = 5.66\times10^{-20}$ cm³ → $5.00\times10^{22}\times5.66\times10^{-20} \approx 2.8\times10^3$개.

(a) 25.8 meV, 2.38 nm (b) 약 2800개

검토 전자 구름이 원자 수천 개에 걸치므로 결정을 "유전율 $\varepsilon_r$인 연속 매질"로 본 가정이 대체로 정당하다. 핵 근처에서만 그 가정이 깨져 실측 45 meV와 차이가 난다.

빛을 흡수해 생긴 전자와 정공이 서로 끌어 묶인 상태를 엑시톤(exciton)이라 한다. GaAs에서 $m_e^* = 0.067m_e$, $m_h^* = 0.48m_e$, $\varepsilon_r = 12.9$일 때 엑시톤 결합 에너지와 반지름을 수소 모형으로 구하라.

풀이 보기

전략 전자와 정공이 서로 돌므로 환산 질량 $\mu = m_e^*m_h^*/(m_e^* + m_h^*)$를 쓴다.

풀이 $\mu = (0.067)(0.48)/(0.547) = 0.0588m_e$. $E_b = 13.606\times0.0588/12.9^2 = 4.81$ meV, $a = 0.0529\times12.9/0.0588 = 11.6$ nm.

E_b ≈ 4.8 meV, a ≈ 12 nm

검토 실측 약 4.2 meV. 상온 $k_BT$(25.9 meV)보다 훨씬 작아 GaAs 엑시톤은 상온에서 금방 깨지고 저온 흡수 스펙트럼에서만 뚜렷하다. 반면 GaN(약 25 meV)이나 단층 MoS₂(수백 meV)의 엑시톤은 상온에서도 살아남아 LED·광소자 설계에 중요하다.

계	질량 (mₑ)	εᵣ · Z	결합 에너지(모형)	반지름(모형)	실측
H	1	1 · 1	13.6 eV	0.0529 nm	13.6 eV
He⁺	1	1 · 2	54.4 eV	0.0265 nm	54.4 eV
Li²⁺	1	1 · 3	122 eV	0.0176 nm	122 eV
Si 속 주개	0.26	11.7 · 1	25.8 meV	2.38 nm	P 45, As 54 meV
Ge 속 주개	0.12	16.0 · 1	6.4 meV	7.1 nm	≈ 12–13 meV
GaAs 속 주개	0.067	12.9 · 1	5.5 meV	10.2 nm	≈ 5.8 meV
GaAs 엑시톤	0.059 (μ)	12.9 · 1	4.8 meV	11.6 nm	4.2 meV

주개 궤도가 겹치면: 금속–절연체 전이

주개 농도가 낮으면 각 "수소 원자"는 외따로 있고, 극저온에서는 전자가 주개에 묶여 실리콘이 절연체처럼 된다(캐리어 얼어붙음). 농도를 높여 이웃 주개 사이 거리 $n^{-1/3}$이 $a_B^*$의 몇 배 정도로 줄면 궤도가 겹쳐 전자가 주개에서 주개로 옮겨 다닌다. 모트(Mott)의 판정 기준은

$$n_c^{1/3}\,a_B^* \approx 0.26$$

이 농도 위에서는 절대 0도에서도 전도가 남는다: 금속–절연체 전이(metal–insulator transition). 실리콘 속 P의 실측 $n_c = 3.7\times10^{18}$ cm⁻³이다.

주개 농도 N_D

a*_B

MINI LAB두께 $2a_B^*$인 얇은 층(가로 80 nm) 속 주개와 그 전자 구름(반지름 $a_B^*$). 농도를 올리면 구름이 이어져 전자가 흐를 길이 생긴다. 수소 모형 반지름으로는 $1.3\times10^{18}$ cm⁻³, 실측 전이점 $3.7\times10^{18}$ cm⁻³에 맞는 유효 반지름은 1.68 nm다(실리콘 전도대의 비등방 질량과 중심 세포 효과로 궤도가 수소 모형보다 작다).

축퇴 도핑과 원자 하나짜리 소자

MOSFET 소스·드레인은 $10^{20}$ cm⁻³ 이상으로 도핑한다. 모트 농도의 수십 배이므로 주개 준위는 이미 전도대와 합쳐진 축퇴 반도체(degenerate semiconductor)로, 금속처럼 행동해 저온에서도 얼어붙지 않고 금속–반도체 접촉의 장벽을 터널링으로 뚫어 저항이 낮은 오믹 접촉을 만든다(6장). 반대쪽 극단에서는 주개 하나를 쓴다. 2012년 STM 리소그래피로 실리콘 속 정확한 자리에 P 원자 하나를 넣은 단원자 트랜지스터가 만들어졌고, P 주개 전자(또는 핵)의 스핀을 큐비트로 쓰는 실리콘 양자 컴퓨터(케인 제안, 1998)가 연구되고 있다. 이때 주개 사이 거리를 정하는 척도가 바로 $a_B^* \approx 2$ nm다. 참고: SemiBooks 소자 · 금속–반도체 접촉, MOSFET

He⁺ 이온에서 (a) 바닥 상태 전자를 떼어 내는 데 필요한 에너지와 (b) $n = 2 \to 1$ 전이의 파장을 구하라.

풀이 보기

전략 $Z = 2$: 에너지는 $Z^2 = 4$배.

풀이 (a) $4\times13.606 = 54.4$ eV. (b) $\Delta E = 54.42(1 - 1/4) = 40.8$ eV, $\lambda = 1239.84/40.82 = 30.4$ nm.

(a) 54.4 eV (b) 30.4 nm (극자외선)

검토 파장이 정확히 1/4로 줄었다(수소 Lyα 121.5 nm의 1/4). He II 30.4 nm 선은 광전자 분광의 극자외선 광원으로 쓰인다. EUV 리소그래피의 13.5 nm(91.8 eV)는 이보다 더 짧다.

선택 규칙과 궤도 자기 모멘트

들뜬 상태의 전자는 광자를 내며 낮은 상태로 떨어진다. 그러나 에너지만 맞는다고 아무 전이나 일어나지는 않는다. 가장 흔한 전기 쌍극자 전이(electric dipole transition)의 확률은 $\langle f|\vec r|i\rangle$에 비례하는데, 각도 적분이 0이 아니려면

$$\Delta l = \pm 1, \qquad \Delta m = 0, \pm 1 \qquad (\Delta n\ \text{은 무엇이든})$$

이것이 선택 규칙(selection rule)이다. 광자는 각운동량 $1\hbar$를 가지고 나가므로 원자의 $l$이 정확히 1 바뀌어야 한다(각운동량 보존). 또 $\vec r$은 홀함수라 짝·홀($(-1)^l$)이 바뀌어야 한다.

수소 3d 전자가 바로 1s로 떨어지며 12.1 eV 광자를 낼 수 있을까?

3d → 1s는 $\Delta l = 2$라 (쌍극자) 금지다. 3d는 2p로($\Delta l = -1$, Hα 656 nm), 2p는 1s로(Lyα 122 nm) 두 단계를 거친다. 아래 게임에서 직접 시도해 보라.

SIMULATOR

전이 게임: 준위에서 준위로 끌어 광자를 만들어라

한 준위의 흰 원에서 다른 준위로 끌어 놓는다

목표: 허용 전이만 써서 아래 네 선을 모두 만들어라.

마지막 전이—

파장—

금지 시도0

세로축은 $1/n$ 눈금이다(위쪽 준위가 몰리지 않게 벌렸다). 해볼 것: ① 3s → 2p, 3p → 2s, 3d → 2p는 모두 허용이고 같은 656 nm를 낸다 — 축퇴 때문에 한 선으로 겹친다. ② 2s → 1s를 시도해 보라. 금지! 2s 상태는 광자 두 개를 동시에 내며 0.12 s나 걸려 붕괴하는 준안정 상태(metastable state)다(2p의 수명은 1.6 ns). ③ 아래에서 위로 끌면 흡수다. 같은 규칙이 적용된다.

플라즈마 발광과 준안정 원자

수소가 들어간 플라즈마(H₂ 애싱, 수소 함유 식각 가스)는 발머선 Hα 656.3 nm, Hβ 486.1 nm를 강하게 내고, 이 선의 세기 변화로 식각·애싱의 종말점을 잡는다(광학 발광 분광, OES). 선택 규칙 때문에 광자를 내고 쉽게 떨어지지 못하는 준안정 상태도 공정에 중요하다: 아르곤의 준안정 상태(11.5 eV, 수명 수 초)는 플라즈마 속에서 오래 살아남아 다른 분자를 이온화(페닝 이온화)하거나 표면에 에너지를 전달한다. 참고: SemiBooks 식각 · 종말점 검출, 플라즈마

궤도 자기 모멘트와 보어 마그네톤

핵 둘레를 도는 전자는 작은 고리 전류다. 반지름 $r$, 속력 $v$인 원 궤도의 전류는 $I = e/(2\pi r/v)$, 넓이는 $\pi r^2$이므로 자기 모멘트 $\mu = IA = evr/2 = (e/2m)L$이다. 전자가 음전하라 방향은 $\vec L$과 반대다. 이 고전 결과가 양자역학에서도 그대로 성립한다.

$$\vec\mu = -\frac{e}{2m_e}\vec L, \qquad \mu_z = -m\,\mu_B, \qquad \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} = 9.274\times10^{-24}\ \text{J/T} = 5.788\times10^{-5}\ \text{eV/T}$$

$\mu_B$: 보어 마그네톤(Bohr magneton), 원자 자성의 자연 단위. 자기장 $B$ 속에서 에너지는 $U = -\vec\mu\cdot\vec B = m\mu_B B$만큼 바뀌어 한 준위가 $2l+1$개로 갈라진다. 이것이 $m$을 "자기" 양자수라 부르는 이유이고, 전자 스핀과 함께 9장에서 자세히 본다.

준위

자기장 B

MINI LAB자기장을 켜면 $m$마다 $m\mu_B B$만큼 에너지가 옮겨 $2l+1$개 준위가 같은 간격으로 갈라진다(스핀은 무시). 1 T에서 간격은 58 μeV — 광학 선 에너지(eV)의 10만분의 1이지만 분광기로 충분히 잰다.

2p 전자($m = +1$)가 $B = 1.00$ T 속에 있다. (a) 자기 에너지 $U = m\mu_B B$는? (b) 이웃한 $m$ 준위 사이를 잇는 광자의 진동수는?

풀이 보기

풀이 (a) $U = (1)(5.788\times10^{-5}\ \text{eV/T})(1.00\ \text{T}) = 5.79\times10^{-5}$ eV = 57.9 μeV. (b) $f = U/h = 5.788\times10^{-5}/4.1357\times10^{-15} = 1.40\times10^{10}$ Hz = 14.0 GHz.

(a) 57.9 μeV (b) 14.0 GHz (마이크로파)

검토 상온 $k_BT$(25.9 meV)의 450분의 1이다. 그래서 자기 준위 사이의 점유 차이는 아주 작고, 전자 스핀 공명(ESR) 같은 측정은 마이크로파 영역에서 이뤄진다.

핵심 정리

중심력 문제는 구면 좌표에서 $\psi = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$로 분리된다. 단일값 조건이 $m$을, 극에서의 유한성이 $l$을, 무한대에서의 정규화 가능성이 $n$을 정한다.
각운동량은 $|L| = \sqrt{l(l+1)}\hbar$, $L_z = m\hbar$ ($m = -l..l$)로 양자화된다. $|m| \le l < \sqrt{l(l+1)}$이라 $\vec L$은 $z$축과 나란할 수 없다(벡터 모형의 원뿔).
지름 방정식은 $u = rR$에 대한 1차원 방정식이고, 유효 퍼텐셜에 원심 장벽 $l(l+1)\hbar^2/2mr^2$이 더해진다. 에너지는 $E_n = -13.6\ \text{eV}/n^2$로 $n$에만 의존하며 축퇴도는 $n^2$(스핀 포함 $2n^2$).
규칙: $n = 1, 2, \dots$; $l = 0..n-1$; $m = -l..l$. 마디는 지름 $n-l-1$개, 각 $l$개.
지름 확률 $P(r) = r^2R^2$. 1s의 가장 그럴듯한 반지름은 $a_0$, 평균은 $1.5a_0$; 일반적으로 $\langle r\rangle = (a_0/2Z)[3n^2 - l(l+1)]$.
수소 꼴: $E \propto Z^2\mu/\varepsilon_r^2$, 반지름 $\propto \varepsilon_r/(Z\mu)$. 실리콘 주개는 약 26 meV(실측 45–54 meV)·2.4 nm의 커다란 수소 원자라 상온에서 거의 다 이온화되고, $n_c^{1/3}a_B^* \approx 0.26$에서 금속–절연체 전이가 일어난다.
전기 쌍극자 선택 규칙 $\Delta l = \pm1$, $\Delta m = 0, \pm1$. 궤도 자기 모멘트 $\mu_z = -m\mu_B$, $\mu_B = 5.79\times10^{-5}$ eV/T.

연습문제

$\hbar = 1.0546\times10^{-34}$ J·s, $a_0 = 0.05292$ nm, 수소 바닥 에너지 13.606 eV, $hc = 1239.84$ eV·nm, $\mu_B = 5.788\times10^{-5}$ eV/T를 쓰고 핵은 무한히 무겁다고 본다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

f 상태($l = 3$) 전자의 궤도 각운동량 크기는 ħ의 몇 배인가?

$|L| = \sqrt{l(l+1)}\hbar = \sqrt{12}\,\hbar = 3.46\hbar$ (= $3.65\times10^{-34}$ J·s).

스핀을 무시할 때 수소의 $n = 4$ 준위에 속하는 서로 다른 $(l, m)$ 상태는 몇 개인가?

$l = 0, 1, 2, 3$에 대해 $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = n^2$개.

수소 3d 상태의 에너지는?

에너지는 $n$에만 의존: $E_3 = -13.606/9 = -1.51$ eV. 3s, 3p와 같다.

수소 원자의 상태로 가능한 양자수 조합 $(n, l, m)$은?

$l \le n - 1$, $|m| \le l$이어야 한다. (2,2,0)은 $l = n$, (3,1,−2)는 $|m| > l$, (1,0,1)은 $|m| > l$이라 불가. (3,2,−2)는 3d 상태 중 하나다.

$l = 2$, $m = 2$인 상태에서 $\vec L$과 $z$축 사이의 각은?

$\cos\theta = m/\sqrt{l(l+1)}$.

$\cos\theta = 2/\sqrt6 = 0.816$ → $\theta = 35.3^\circ$.

수소의 $n = 4 \to 2$ 전이(Hβ)로 나오는 광자의 파장은?

$\Delta E = 13.606(1/4 - 1/16) = 2.551$ eV, $\lambda = 1239.84/2.551 = 486$ nm (청록색).

수소 3d 전자의 지름 확률 분포가 최대인 반지름을 nm로 구하라.

$l = n - 1$이면 $P(r) \propto r^{2n}e^{-2r/na_0}$.

$P \propto r^6e^{-2r/3a_0}$ → $dP/dr = 0$에서 $6/r = 2/3a_0$ → $r = 9a_0 = 0.476$ nm.

수소 2s 전자의 평균 반지름 $\langle r\rangle$은 몇 nm인가?

$\langle r\rangle = (a_0/2)(3\cdot4 - 0) = 6a_0 = 0.318$ nm. 같은 $n$의 2p(5a₀)보다 크다.

수소 1s 전자가 $r > 2a_0$에서 발견될 확률은?

$x = 2r/a_0$로 바꾸면 $P = \tfrac12\int_4^\infty x^2e^{-x}dx$.

$\tfrac12(x^2 + 2x + 2)e^{-x}\big|_{x=4} = \tfrac12(26)e^{-4} = 13e^{-4} = 0.238$. 전자의 약 4분의 1이 보어 반지름의 두 배보다 바깥에 있다.

Li²⁺ 이온의 바닥 상태 전자를 떼어 내는 데 필요한 에너지는?

$Z^2 \times 13.606 = 9\times13.606 = 122$ eV.

전기 쌍극자 선택 규칙으로 허용되는 전이는?

$\Delta l = \pm1$이어야 한다. 3d→1s는 $\Delta l = -2$, 2s→1s와 3p→2p는 $\Delta l = 0$. 4f→3d는 $\Delta l = -1$로 허용.

4p 오비탈의 지름 마디와 각 마디의 개수는?

지름: $n - l - 1 = 4 - 1 - 1 = 2$, 각: $l = 1$(마디 평면 하나). 합 $n - 1 = 3$.

저마늄에서 전도 유효 질량 $m^* = 0.12m_e$, $\varepsilon_r = 16.0$이다. 수소 모형으로 얕은 주개의 결합 에너지를 meV로 구하라.

$E_b = 13.606\times0.12/16.0^2 = 6.38\times10^{-3}$ eV = 6.38 meV. 실측(P 12.0 meV)은 약 두 배 — 중심 세포 보정과 비등방 질량 때문이다.

GaAs($m^* = 0.067m_e$, $\varepsilon_r = 12.9$)의 얕은 주개에 대해 결합 에너지(meV)와 유효 보어 반지름(nm)을 구하라.

$E_b = 13.606\times0.067/12.9^2 = 5.48$ meV, $a_B^* = 0.05292\times12.9/0.067 = 10.2$ nm. GaAs는 전도대가 등방적이라 실측(약 5.8 meV)과 잘 맞는다.

모트 기준 $n_c^{1/3}a_B^* = 0.26$과 수소 모형 반지름 $a_B^* = 2.38$ nm를 써서 실리콘 주개의 금속–절연체 전이 농도를 cm⁻³ 단위로 추정하라.

$a_B^* = 2.38\times10^{-7}$ cm.

$n_c = (0.26/2.38\times10^{-7}\ \text{cm})^3 = (1.092\times10^6)^3 = 1.30\times10^{18}$ cm⁻³. 실측 $3.7\times10^{18}$의 3분의 1 정도 — 실제 궤도가 수소 모형보다 작다(실측 결합 에너지가 더 크다)는 사실과 들어맞는다.

개념 확인 퀴즈

수소의 2s와 2p 상태가 같은 에너지를 갖는 까닭은?

축퇴는 쿨롱 퍼텐셜의 특별한 성질이다. 다전자 원자처럼 퍼텐셜이 1/r에서 벗어나면 같은 n에서 s < p < d로 갈라진다.

$L_z$가 $|L|$과 같아질 수 없는 근본 이유는?

$L_x, L_y, L_z$는 서로 교환되지 않는다. $L_z = |L|$이면 $L_x = L_y = 0$으로 모두 정해지므로 불가능하다. 그래서 $L_z$의 최댓값은 $l\hbar < \sqrt{l(l+1)}\hbar$.

1s 전자의 $|\psi|^2$는 핵에서 최대인데 $P(r)$은 핵에서 0이다. 왜인가?

$|\psi|^2$은 "단위 부피당" 확률, $P(r)$은 "단위 반지름당" 확률이다. s 상태에는 원심 장벽이 없다($l = 0$).

실리콘 속 주개 전자의 결합 에너지가 수소보다 500배쯤 작은 주된 이유는?

$0.26/11.7^2 = 1/527$. 같은 이유로 반지름은 $\varepsilon_r/m^* = 45$배 커진다.

수소 2s 상태가 0.12 s나 되는 긴 수명을 갖는 이유는?

갈 수 있는 아래 상태는 1s뿐인데 $\Delta l = 0$이라 한 광자 전이가 막혀 있다. 훨씬 느린 두 광자 붕괴만 남는다 — 준안정 상태.

양자수	이름	가능한 값	정하는 것
\(n\)	주 양자수	1, 2, 3, …	에너지 \(E_n\), 크기(\(\sim n^2a_0\))
\(l\)	궤도 양자수	0, 1, …, \(n-1\) (s, p, d, f, …)	\(\|L\| = \sqrt{l(l+1)}\hbar\), 각도 모양
\(m\) (\(m_l\))	자기 양자수	\(-l, \dots, 0, \dots, +l\)	\(L_z = m\hbar\), 방향

3차원 슈뢰딩거 방정식과 변수 분리

각운동량의 양자화와 구면 조화 함수

벡터 모형: 원뿔 위의 각운동량

벡터 모형: \(\vec L\)의 끝을 끌어 \(m\)을 골라라

구면 조화 함수의 모양과 실수 오비탈

지름 방정식과 에너지 준위

유효 퍼텐셜과 준위: 숨은 준위를 맞혀라

양자수 규칙과 축퇴

지름 확률 분포와 오비탈

지름 확률 분포 P(r): 경계를 끌어 확률을 모아라

오비탈을 3차원으로 보기

오비탈 점구름 뷰어

단면 확률 밀도: 끌어서 자르는 평면을 돌려라

수소 꼴 계: 이온에서 반도체 속 불순물까지

주개 궤도가 겹치면: 금속–절연체 전이

선택 규칙과 궤도 자기 모멘트

전이 게임: 준위에서 준위로 끌어 광자를 만들어라

궤도 자기 모멘트와 보어 마그네톤

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈