Chapter 12

생성과 재결합

실리콘 웨이퍼에 빛을 비추면 전자–정공 쌍이 생긴다. 빛을 끄면 이 쌍들은 사라지는데, 깨끗한 웨이퍼에서는 수 밀리초를 버티고 철 원자가 10¹² cm⁻³(실리콘 원자 500억 개에 하나)만 섞여도 수 마이크로초 만에 사라진다. 재결합은 대부분 띠 간격 한가운데 놓인 결함 준위가 "징검다리" 노릇을 해서 일어나기 때문이다. 이 장은 비평형 캐리어를 의사 페르미 준위로 기술하고, 복사·SRH·오제 세 가지 재결합 기구와 표면 재결합을 계산한다. 그다음 광생성과 연속 방정식으로 확산 길이를 구하고, 마지막에 광전도 감쇠 측정으로 웨이퍼의 철 농도를 맞혀 본다. 아래 띠 그림에서 결함 준위를 위아래로 끌어 재결합 빈도가 어떻게 바뀌는지 먼저 보자.

결함 준위의 흰 원을 위아래로 끈다 · 빈 곳을 누르면 빛 펄스

과잉 캐리어 $\Delta n$과 저주입·고주입을 구분하고, 의사 페르미 준위 $E_{Fn}, E_{Fp}$로 $np = n_i^2 e^{(E_{Fn}-E_{Fp})/k_BT}$를 계산한다.
복사 재결합 $R = B(np - n_i^2)$에서 Si($B \approx 4.7\times10^{-15}$ cm³/s)와 GaAs($\sim10^{-10}$)가 10⁵배 차이 나는 이유를 간접 띠 간격과 포논으로 설명한다.
결함 준위의 포획·방출 네 과정에서 SRH 식 $U = (np-n_i^2)/[\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)]$을 유도하고, 띠 중간 준위가 가장 해로운 이유와 $\tau = 1/(\sigma v_{th}N_t)$를 계산한다.
오제 재결합($C \approx 10^{-31}$ cm⁶/s)을 더해 유효 수명의 도핑·주입 수준 의존을 그린다.
표면 재결합 속도 $S$로 웨이퍼의 유효 수명을 구하고, 열산화막·Al₂O₃ 패시베이션이 왜 필요한지 설명한다.
열 생성과 광생성 $G = \alpha\Phi e^{-\alpha x}$, 연속 방정식을 세워 정상 상태 확산 해 $\Delta p(x) = \Delta p(0)e^{-x/L_p}$와 확산 길이를 구한다.
광전도 감쇠(μ-PCD·QSSPC)로 수명을 읽고, Fe–B 쌍 분리 전후 수명 차이로 철 농도를 환산한다.

평형과 비평형: 과잉 캐리어와 의사 페르미 준위

10장에서 다룬 열평형 반도체에서는 전자와 정공이 끊임없이 생기고 사라지지만, 생기는 빠르기와 사라지는 빠르기가 정확히 같아 농도가 변하지 않는다. 열이 만드는 열 생성률(thermal generation rate) $G_{th}$와 재결합률 $R_{th}$이 같고, 그 결과가 질량 작용 법칙 $n_0p_0 = n_i^2$이다. 여기서 $n_i$는 300 K 실리콘에서 약 $1\times10^{10}$ cm⁻³(교재에 따라 $9.65\times10^9$–$1.5\times10^{10}$; Solid.ni('Si')는 $1.07\times10^{10}$)이다.

빛을 비추거나 접합에 순방향 전압을 걸어 캐리어를 밀어 넣으면 균형이 깨진다. 평형값보다 많아진 몫을 과잉 캐리어(excess carrier)라 한다.

$$n = n_0 + \Delta n, \qquad p = p_0 + \Delta p, \qquad \Delta n = \Delta p \;(\text{쌍으로 생기고 전하 중성 유지})$$

빛이 만든 쌍은 전자 하나와 정공 하나이므로 보통 $\Delta n = \Delta p$다(포획된 전하가 많으면 조금 달라진다).

도핑된 반도체에서 과잉 캐리어가 다수 캐리어보다 훨씬 적으면($\Delta n \ll p_0$, p형) 저주입(low-level injection)이라 한다. 이때 다수 캐리어 농도는 거의 그대로이고 소수 캐리어만 수천·수만 배로 늘어난다 — 그래서 재결합 속도를 정하는 것은 소수 캐리어다. 반대로 $\Delta n \gg p_0$이면 고주입(high-level injection)이고, 전자와 정공이 거의 같은 농도로 함께 움직인다.

열평형 p형 실리콘. 생성과 재결합이 같은 빠르기로 일어나 $n_0p_0 = n_i^2$이고, 전자와 정공의 점유를 페르미 준위 하나가 정한다.
빛을 켜면 광생성 $G_L$이 더해져 재결합보다 빨리 쌍이 생기고 과잉 캐리어가 쌓인다. 소수 캐리어(전자)가 상대적으로 크게 늘어난다.
$\Delta n$이 커질수록 재결합도 빨라져, 결국 $G_L = U$인 정상 상태가 된다. 전자와 정공은 각자 띠 안에서는 평형이지만 서로는 평형이 아니어서, 페르미 준위가 $E_{Fn}$과 $E_{Fp}$로 갈라진다.
빛을 끄면 과잉 캐리어가 수명 $\tau$로 지수 감쇠하고 두 준위가 다시 하나로 합쳐진다. 이 감쇠를 재는 것이 7절의 광전도 감쇠 측정이다.

빛을 켜고 끌 때의 띠 그림. 비평형의 크기는 두 의사 페르미 준위의 간격 $E_{Fn}-E_{Fp}$로 나타난다.

전자는 전도대 안에서 서로 아주 빨리(피코초) 부딪혀 전도대만의 열평형에 이르고, 정공도 가전자대 안에서 그렇다. 띠 사이 재결합은 그보다 수백만 배 느리다. 그래서 전자 농도와 정공 농도를 따로따로 페르미–디랙 분포로 쓸 수 있다. 이때 쓰는 두 개의 "가짜" 페르미 준위가 의사 페르미 준위(quasi-Fermi level)다.

의사 페르미 준위

비축퇴 반도체에서 $$n = n_i\,e^{(E_{Fn}-E_i)/k_BT}, \qquad p = n_i\,e^{(E_i-E_{Fp})/k_BT}, \qquad np = n_i^2\,e^{(E_{Fn}-E_{Fp})/k_BT}.$$ 평형에서는 $E_{Fn} = E_{Fp} = E_F$이고, $np > n_i^2$(주입)이면 $E_{Fn} > E_{Fp}$, $np < n_i^2$(추출, 역바이어스 공핍층)이면 $E_{Fn} < E_{Fp}$다.

저주입 p형에서는 $E_{Fp}$가 평형 $E_F$에서 거의 움직이지 않고, $E_{Fn}$만 전도대 쪽으로 크게 올라간다. 간격 $E_{Fn}-E_{Fp}$는 태양 전지에서 꺼낼 수 있는 최대 전압(암시 개방 전압)이고, 13장의 pn 접합에서는 순방향 전압 $qV$가 된다. 빛 세기를 끌어 두 준위가 어떻게 갈라지는지 보자.

수명 τ

MINI LAB위쪽 해(흰 원)를 좌우로 끌어 광생성률 $G$를 10¹⁴–10²² cm⁻³s⁻¹로 바꾼다. 정상 상태 $\Delta n = G\tau$에서 소수 캐리어 쪽 의사 페르미 준위가 먼저 움직이고, $\Delta n$이 도핑을 넘는 고주입에서야 다수 쪽도 움직인다($n_i = 1.07\times10^{10}$ cm⁻³, 300 K, 비축퇴 근사).

억셉터 16 의 p형 실리콘($n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³)에 과잉 캐리어 14 를 넣으면 전자는 평형의 배가 되고 정공은 배가 된다. $E_{Fn}-E_i =$ , $E_i-E_{Fp} =$ 이고 갈라진 폭은 , 주입 상태는 이다.

$N_A = 1.0\times10^{16}$ cm⁻³인 p형 실리콘($n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³, $k_BT = 0.02585$ eV)이 빛을 받아 $\Delta n = \Delta p = 1.0\times10^{14}$ cm⁻³가 되었다. 평형 페르미 준위와 두 의사 페르미 준위의 위치($E_i$ 기준), 그리고 $E_{Fn}-E_{Fp}$를 구하라.

풀이 보기

전략 각 농도를 $n = n_ie^{(E_{Fn}-E_i)/kT}$, $p = n_ie^{(E_i-E_{Fp})/kT}$에 넣어 로그를 취한다.

풀이 평형: $E_i - E_F = kT\ln(10^{16}/10^{10}) = 0.02585\times13.82 = 0.3571$ eV. 빛을 받은 뒤 $n = 10^{14} + 10^4 \approx 1.0\times10^{14}$, $p = 1.01\times10^{16}$. $E_{Fn}-E_i = 0.02585\ln(10^4) = 0.2381$ eV, $E_i - E_{Fp} = 0.02585\ln(1.01\times10^6) = 0.3574$ eV.

$E_{Fn} = E_i + 0.238$ eV, $E_{Fp} = E_i - 0.357$ eV(평형보다 0.3 meV 이동), $E_{Fn}-E_{Fp} = 0.595$ eV

검토 저주입($\Delta n/p_0 = 1\%$)이라 $E_{Fp}$는 사실상 그대로이고, 전자 농도가 $10^4$에서 $10^{14}$으로 $10^{10}$배 늘어 $E_{Fn}$이 $kT\ln10^{10} = 0.595$ eV 올라갔다. 이 웨이퍼로 만든 태양 전지는 이 빛에서 최대 약 0.6 V를 낼 수 있다.

띠 대 띠 복사 재결합

가장 단순한 재결합은 전도대의 전자가 가전자대의 빈자리(정공)로 곧장 떨어지며 띠 간격만큼의 에너지를 광자로 내놓는 것이다. 이것이 복사 재결합(radiative recombination)이고, LED와 레이저가 빛을 내는 원리다(현대물리학 빛과 물질의 자발 방출). 전자 하나가 정공 하나를 만나야 하므로 빈도는 두 농도의 곱에 비례하고, 평형에서는 같은 크기의 열 생성과 상쇄된다.

$$R_{rad} = B\,(np - n_i^2), \qquad \tau_{rad} = \frac{\Delta n}{R_{rad}} = \frac{1}{B\,(n_0 + p_0 + \Delta n)}$$

$B$는 복사 재결합 계수(radiative recombination coefficient)(cm³/s). 저주입 p형이면 $\tau_{rad} \approx 1/(Bp_0)$, 고주입이면 $1/(B\Delta n)$으로 수명이 주입에 반비례해 짧아진다.

반도체	띠 간격	$B$ (cm³/s, 300 K)	$\tau_{rad}$ ($p_0 = 10^{17}$)
Si	간접 1.12 eV	$4.7\times10^{-15}$	2.1 ms
Ge	간접 0.66 eV	$\sim6\times10^{-14}$	≈ 0.16 ms
GaAs	직접 1.42 eV	$\sim10^{-10}$ (문헌 1–7×10⁻¹⁰)	수–수십 ns

Si의 값은 Trupke 등(2003)의 측정값이고 Solid.recomb에 들어 있다. GaAs는 광자 재흡수(광자 재활용)를 어떻게 빼느냐에 따라 문헌값이 몇 배 다르다. 어느 쪽이든 직접 간격 GaAs가 간접 간격 실리콘보다 10⁵배쯤 빨리 빛을 낸다. 왜 그럴까?

답은 운동량에 있다. 8장에서 본 것처럼 실리콘의 전도대 바닥은 Γ에서 X 쪽으로 85% 간 곳에 있고, 가전자대 꼭대기는 Γ에 있다. 띠 간격 정도 에너지의 광자는 파수가 $2\pi/\lambda \approx 5.6\times10^{-3}$ nm⁻¹로, 브릴루앙 영역 크기 $2\pi/a = 11.6$ nm⁻¹의 2000분의 1밖에 안 된다. 광자는 에너지는 넉넉히 가져가지만 운동량은 거의 못 가져간다. 그래서 간접 간격에서는 전자의 결정 운동량을 포논(phonon)이 동시에 받아 가야 한다. 광자와 포논이 함께 참여하는 2차 과정이라 확률이 수만 배 작다.

MINI LAB전도대 바닥(흰 원)을 좌우로 끌어 $k$ 위치를 옮긴다. 바닥이 $k = 0$에 있으면 전자가 수직으로(광자만 내고) 떨어지고, 비켜나 있으면 포논(가로 화살표)이 운동량을 받아 가야 한다. 광자의 운동량 길이는 그림에서 눈에 보이지 않을 만큼 짧다.

다수 캐리어 농도 17 인 반도체의 저주입 복사 수명은 실리콘($B = 4.73\times10^{-15}$)에서 , GaAs($B = 7.2\times10^{-10}$)에서 로, 비는 다. 실리콘의 실제 수명은 보통 이보다 훨씬 짧으니, 실리콘에서 복사 재결합은 거의 언제나 조연이다.

정공 농도 $p_0 = 1.0\times10^{17}$ cm⁻³인 p형 Si($B = 4.73\times10^{-15}$ cm³/s)와 p형 GaAs($B = 7.2\times10^{-10}$ cm³/s)에서 저주입 복사 수명을 구하라.

풀이 보기

전략 저주입이면 $n_0 \ll p_0$, $\Delta n \ll p_0$이므로 $\tau_{rad} = 1/(Bp_0)$.

풀이 Si: $\tau = 1/(4.73\times10^{-15}\times10^{17}) = 2.11\times10^{-3}$ s. GaAs: $\tau = 1/(7.2\times10^{-10}\times10^{17}) = 1.39\times10^{-8}$ s.

Si 2.1 ms, GaAs 14 ns (비 약 1.5×10⁵)

검토 GaAs LED에서는 주입한 전자가 수십 ns 안에 빛으로 바뀌어 다른 재결합을 이긴다. 실리콘은 2 ms 동안 빛을 낼 차례를 기다리는 사이 결함에 먼저 잡힌다 — 실리콘 LED가 어두운 이유다.

실리콘의 복사 재결합이 GaAs보다 10⁵배쯤 느린 가장 직접적인 이유는?

광자는 운동량을 거의 나르지 못하므로, 간접 띠 간격에서는 운동량 차이를 포논이 흡수하거나 내놓아야 하는 2차 과정이 된다. 띠 간격 크기는 GaAs(1.42 eV)가 오히려 더 크다.

결함을 통한 SRH 재결합

실리콘에서 실제로 캐리어를 죽이는 주범은 띠 간격 안에 준위를 만드는 결함과 불순물이다(4장의 결함 준위). 전자가 먼저 결함 준위로 떨어지고, 거기서 정공을 붙잡아 재결합한다. 큰 에너지 계단 하나를 작은 계단 둘로 나누니, 에너지를 격자 진동(포논 여러 개)으로 쉽게 넘길 수 있다. 1952년 쇼클리·리드와 홀이 따로 정리해 SRH 재결합(Shockley–Read–Hall recombination)이라 부른다. 이런 결함을 재결합 중심(recombination center), 또는 트랩(trap)이라 한다.

(a) 전자 포획: 비어 있는 결함(비율 $1-f$)이 전도대 전자를 잡는다. 빠르기는 전자 농도 $n$과 포획 계수 $c_n = \sigma_nv_{th}$에 비례한다.
(b) 전자 방출: 잡힌 전자가 열에너지를 받아 전도대로 되돌아간다. 준위가 전도대에 가까울수록($n_1$이 클수록) 잦다. 상세 균형에서 $e_n = c_nn_1$, $n_1 = n_ie^{(E_t-E_i)/kT}$.
(c) 정공 포획: 전자가 찬 결함(비율 $f$)이 가전자대 정공을 잡는다 — 결함 속 전자가 가전자대로 떨어지는 것과 같다. (a) 다음에 (c)가 오면 쌍 하나가 사라진다.
(d) 정공 방출: 가전자대 전자가 빈 결함으로 올라가 정공을 남긴다. $e_p = c_pp_1$, $p_1 = n_ie^{(E_i-E_t)/kT}$. (d) 다음 (b)가 오면 쌍 하나가 생긴다(열 생성).
정상 상태에서 결함의 점유율 $f$는 들어오는 전자 흐름과 나가는 전자 흐름이 같도록 정해진다. 그 조건에서 순재결합률 = (a) − (b) = (c) − (d).

결함 준위 하나를 둘러싼 네 과정. 방출(점선)은 재결합을 되돌리는 "헛걸음"이다. 준위가 띠 끝에 가까우면 잡힌 캐리어가 금방 되돌아가 재결합을 끝내지 못한다.

결함 농도를 $N_t$, 전자가 찬 비율을 $f$라 하자. 정상 상태에서 결함의 전자 수가 변하지 않으려면 (a) − (b) = (c) − (d)여야 한다.

SRH 식 유도

$c_nnN_t(1-f) - c_nn_1N_tf = c_ppN_tf - c_pp_1N_t(1-f)$를 $f$에 대해 풀면 $$f = \frac{c_nn + c_pp_1}{c_n(n+n_1) + c_p(p+p_1)}.$$ 이를 (a) − (b)에 넣고 $n_1p_1 = n_i^2$을 쓰면 $$U = \frac{c_nc_pN_t\,(np - n_i^2)}{c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}.$$ 분자·분모를 $c_nc_pN_t$로 나누고 $\tau_{n0} = 1/(c_nN_t)$, $\tau_{p0} = 1/(c_pN_t)$로 쓰면 아래 식이 된다. $n_1, p_1$은 "페르미 준위가 $E_t$에 있다면 가질 전자·정공 농도"로, 방출을 상세 균형으로 포획에 묶어 준 결과다.

$$U_{SRH} = \frac{np - n_i^2}{\tau_{p0}(n + n_1) + \tau_{n0}(p + p_1)}, \qquad \tau_{n0} = \frac{1}{\sigma_n v_{th} N_t}, \quad \tau_{p0} = \frac{1}{\sigma_p v_{th} N_t}$$

$\sigma_n,\sigma_p$는 포획 단면적(capture cross section), $v_{th} \approx 10^7$ cm/s는 열속도(Solid.srh, Solid.tauCapture). 이 장에서는 편의상 $v_{th} = 1\times10^7$ cm/s로 쓴다($\sqrt{3kT/m^*}$로는 전자 약 $2\times10^7$, 문헌에 따라 $1.1$–$2.3\times10^7$).

저주입 p형이면 $n \ll p \approx p_0$이고, 준위가 띠 중간 근처라 $n_1, p_1 \ll p_0$이면 $U \approx \Delta n/\tau_{n0}$이다. 소수 캐리어 수명은 소수 캐리어의 포획이 정한다 — p형에서는 $\sigma_n$, n형에서는 $\sigma_p$가 중요하다. 결함이 정공을 잡는 일은 정공이 넘쳐나서 언제나 즉시 일어나기 때문이다.

포획 단면적 $\sigma =$ -14.3 인 결함이 12 만큼 있으면($v_{th} = 10^7$ cm/s) 소수 캐리어 포획 수명은 $\tau = 1/(\sigma v_{th}N_t) =$ 이다. 결함 한 개가 캐리어를 기다리는 "포획 부피"는 1초에 를 쓸고 지나가며, 결함은 실리콘 원자 개에 하나꼴이다.

어느 준위가 가장 해로운가

준위가 전도대 가까이 있으면 $n_1$이 커져 분모가 커지고, 가전자대 가까이 있으면 $p_1$이 커진다. 잡힌 캐리어가 짝을 만나기 전에 열로 튕겨 나가기 때문이다. 그래서 $U$는 $E_t$가 띠 중간 근처일 때 가장 크다. 정확히는 $\tau_{p0}n_1 + \tau_{n0}p_1$이 가장 작은 곳, $E_t = E_i + \tfrac{kT}{2}\ln(\sigma_p/\sigma_n)$이다. 다만 도핑된 웨이퍼의 저주입에서는 $n_1, p_1$이 $p_0$보다 작기만 하면 되므로, 띠 중간 주변 수백 meV가 모두 "치명 구간"이다.

p형 웨이퍼($N_A = 10^{15}$)에 같은 농도의 결함을 넣는다. 포획 단면적은 같고 준위 위치만 다르다. 소수 캐리어 수명이 가장 짧은 것은?

얕은 준위는 잡은 캐리어를 열로 곧 다시 내놓아($n_1$ 또는 $p_1$이 $p_0$보다 커져) 재결합을 마치지 못한다. 아래 실험대에서 흰 원을 띠 끝까지 끌어 수명이 몇 자리나 길어지는지 보라.

SIMULATOR

SRH 실험대: 가장 빠르게 죽이는 준위를 찾아라

흰 원을 좌우로 끌어도 E_t가 바뀐다

결함

웨이퍼

결함 농도 N_t σ_n σ_p 과잉 캐리어 Δn

E_t − E_v—

n₁ · p₁—

τ_n0 · τ_p0—

점유율 f—

U_SRH—

τ_SRH = Δn/U—

과녁—

왼쪽 띠 그림의 화살표 굵기는 결함 하나가 1초에 겪는 네 과정의 빈도(로그 눈금)다: (a) 전자 포획, (b) 전자 방출, (c) 정공 포획, (d) 정공 방출. 오른쪽은 준위 위치에 따른 수명 $\tau_{SRH}(E_t)$(로그)와 지금까지 지나간 자취다. 해볼 것: ① "과녁 도전"을 누르면 곡선이 숨겨지고 결함의 $\sigma_n/\sigma_p$·웨이퍼가 무작위로 바뀐다. 흰 원을 끌어 수명이 최솟값의 2% 안에 드는 준위를 찾아라. ② Fe_i($\sigma_n/\sigma_p \approx 700$)에서는 치명 구간이 $E_i$보다 아래로 치우친다 — 이유를 $n_1$과 $\tau_{p0}$로 설명해 보라. ③ Δn을 10¹⁶까지 올리면(고주입) 수명이 $\tau_{n0}+\tau_{p0}$로 다가간다. Fe_i는 저주입에서보다 훨씬 덜 해롭고 FeB는 그렇지 않다.

실리콘 공정에서 문제가 되는 금속 불순물의 준위와 포획 단면적은 아래와 같다. 값은 측정법(DLTS, 주입 의존 수명 분광 IDLS)과 연구진에 따라 준위는 수십 meV, 단면적은 몇 배씩 달라서 대표값과 범위로 적었다(Graff 2000; Istratov·Hieslmair·Weber 1999, 2000; Macdonald·Geerligs 2004; Rein 2005 정리).

실리콘 띠 간격(1.12 eV) 속 대표 금속 불순물 준위. 실선은 수명에 주로 영향을 주는 준위, 점선은 같은 불순물의 다른 준위다. 금(Au)과 Fe_i처럼 띠 중간에 가까운 준위가 강한 재결합 중심이다. Cu·Ni은 확산이 매우 빨라 냉각 중 석출물로 모이며, 석출물은 띠 간격 안에 넓게 퍼진 상태를 만든다.

불순물	준위(대표값, 범위)	$\sigma_n$ (cm²)	$\sigma_p$ (cm²)	특징
Fe_i(격자간 철)	$E_v + 0.38$ (0.38–0.39)	$\approx5\times10^{-14}$ (1–5×10⁻¹⁴)	$\approx7\times10^{-17}$	p형 저주입에서 매우 해롭다, $\sigma_n/\sigma_p$ ≈ 10³
FeB 쌍	$E_c - 0.23$ (0.23–0.26)	$\approx5\times10^{-15}$ (10⁻¹⁵–3×10⁻¹⁴)	$\approx3\times10^{-15}$	실온 p형에서 Fe_i⁺가 B⁻와 짝을 이룬 상태
Au(치환)	받개 $E_c - 0.55$, 주개 $E_v + 0.35$	$\sim10^{-16}$–10⁻¹⁵(받개)	$\sim10^{-15}$–10⁻¹⁴	띠 중간 준위, 전력 소자의 수명 조절에 일부러 넣기도
Cr_i / CrB	$E_c - 0.22$ / $E_v + 0.28$	$\sim10^{-14}$	$\sim10^{-16}$–10⁻¹⁵	철과 비슷하게 B와 짝
Ti_i, Mo_i	$E_c - 0.27$, $E_v + 0.28$	$\sim10^{-14}$	$\sim10^{-15}$	확산이 느려 웨이퍼 속에 남는다
Cu, Ni	격자간 상태는 얕음, 석출물이 문제	석출물 크기·밀도에 좌우		확산이 매우 빨라 표면·결함으로 모인다(게터링)

p형 웨이퍼에 격자간 철이 $N_t = 1.0\times10^{12}$ cm⁻³ 들어 있다. $\sigma_n = 5\times10^{-14}$ cm², $v_{th} = 1\times10^7$ cm/s이면 저주입 전자 포획 수명은? 철을 $10^{10}$ cm⁻³로 줄이면?

풀이 보기

전략 띠 중간 근처 준위, p형 저주입이므로 $\tau \approx \tau_{n0} = 1/(\sigma_nv_{th}N_t)$.

풀이 $\tau = 1/(5\times10^{-14}\times10^7\times10^{12}) = 2.0\times10^{-6}$ s. $N_t$가 100분의 1이면 수명은 100배인 $2.0\times10^{-4}$ s.

$10^{12}$ cm⁻³: 2.0 μs, $10^{10}$ cm⁻³: 200 μs

검토 실리콘 원자 밀도는 $5\times10^{22}$ cm⁻³이므로 $10^{12}$은 0.02 ppb다. 화학 분석으로 겨우 잡히는 양이 수명을 2 μs로 떨어뜨린다 — 수명 측정이 가장 민감한 금속 오염 검출법인 이유다. 실제로는 $n_1, p_1$과 주입 수준 때문에 조금 길어진다(연습문제 12).

$N_A = 1.0\times10^{15}$ cm⁻³ 웨이퍼($n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³, $kT = 0.02585$ eV)에 $\sigma_n = \sigma_p$인 결함이 있다. 저주입 수명을 $E_t = E_i$일 때의 몇 배인지, $E_t = E_i + 0.30$ eV와 $E_i + 0.40$ eV에 대해 구하라.

풀이 보기

전략 저주입 p형: $n \approx \Delta n \ll p_0$, $n_0$도 무시. $\tau = \Delta n/U = [\tau_{p0}(n+n_1) + \tau_{n0}(p_0+p_1)]/p_0$. $\tau_{n0} = \tau_{p0} = \tau_0$이고 $n \ll n_1$이면 $\tau/\tau_0 \approx 1 + (n_1+p_1)/p_0$.

풀이 $E_t = E_i$: $n_1 = p_1 = 10^{10}$, $\tau \approx \tau_0$. $+0.30$ eV: $n_1 = 10^{10}e^{11.61} = 1.10\times10^{15}$, $\tau/\tau_0 = 1 + 1.10 = 2.10$. $+0.40$ eV: $n_1 = 10^{10}e^{15.47} = 5.25\times10^{16}$, $\tau/\tau_0 = 53.5$.

$E_i+0.30$ eV: 2.1배, $E_i+0.40$ eV: 54배

검토 준위가 0.1 eV 더 얕아질 때마다 $n_1$이 $e^{0.1/kT} \approx 48$배 커진다. $n_1$이 $p_0$를 넘는 순간부터 수명이 급격히 길어진다. 도핑이 높을수록 치명 구간이 넓어진다.

금속 오염 관리

팹은 Fe·Cu·Ni·Cr 같은 금속을 10¹⁰ atoms/cm²(표면) 수준 아래로 관리한다. 출처는 이온 주입기의 빔 라인 부품, 식각·증착 챔버 벽, 웨이퍼 반송 장치, 세정 약품이다. 표면 농도는 TXRF·VPD-ICP-MS로, 벌크 오염은 이 장의 수명 측정(μ-PCD, SPV의 철 맵)으로 잡는다. 1 ppb도 안 되는 철이 DRAM 접합 누설과 이미지 센서 백점을 만들기 때문에, 새 장비나 정비 뒤에는 모니터 웨이퍼를 돌려 수명을 확인한 다음에 생산 웨이퍼를 넣는다. SemiBooks DopingBook · 결함과 이슈

오제 재결합과 유효 수명

캐리어 농도가 아주 높으면 세 입자 과정이 끼어든다. 전자와 정공이 재결합하며 내놓은 에너지를 빛이나 포논이 아니라 근처의 세 번째 캐리어가 받아 띠 깊숙이 튀어 오르고, 그 캐리어는 곧 포논을 내며 띠 바닥으로 식는다. 이것이 오제 재결합(Auger recombination)이다. 세 번째 입자가 전자면 eeh 과정, 정공이면 ehh 과정이다. 세 번째 입자가 운동량도 받아 가므로 간접 간격에서도 포논 도움이 필요 없다.

오제 재결합. 재결합 에너지(≈ 띠 간격)를 세 번째 캐리어가 운동 에너지로 받는다. 세 입자가 만나야 하므로 빈도가 농도의 세제곱에 비례하고, 고농도에서만 중요하다.

$$R_{A} = (C_n n + C_p p)(np - n_i^2), \qquad \tau_A \approx \frac{1}{C_n N_D^2}\;(\text{n형}),\quad \frac{1}{C_p N_A^2}\;(\text{p형}),\quad \frac{1}{(C_n+C_p)\Delta n^2}\;(\text{고주입})$$

실리콘: $C_n \approx 2.8\times10^{-31}$, $C_p \approx 9.9\times10^{-32}$ cm⁶/s(Dziewior–Schmid 1977, Solid.recomb). 중간 농도에서는 전자–정공 쿨롱 끌림 때문에 실효 계수가 몇 배 커지고, 고주입 양극성 값은 $C_a \approx 1.7\times10^{-30}$ cm⁶/s로 측정된다(Sinton–Swanson 1987, Richter 등 2012의 매개변수화).

세 기구는 서로 독립인 통로이므로 빈도가 더해지고, 수명은 역수로 더해진다. 여기에 표면(6절)을 더한 것이 측정되는 수명이다.

$$\frac{1}{\tau_{eff}} = \frac{1}{\tau_{SRH}} + \frac{1}{\tau_{rad}} + \frac{1}{\tau_{A}} \;\Big(+ \frac{1}{\tau_{s}}\Big)$$

가장 짧은 수명(가장 빠른 통로)이 전체를 지배한다. 실리콘에서는 보통 저농도·저주입에서 SRH, $10^{18}$ cm⁻³ 이상에서 오제가 지배하고, 복사는 아주 깨끗한 웨이퍼의 고주입에서만 무시하기 어렵다(Solid.tauEff).

τ_SRH

MINI LAB저주입 소수 캐리어 수명의 도핑 의존. 흰 원을 좌우로 끌어 도핑을 바꾼다. 기울기 −1 구간은 복사, −2 구간은 오제가 지배한다. n형(전자가 다수, 소수는 정공)의 오제 계수가 더 커서 고농도 n⁺ 영역의 정공 수명이 더 짧다.

철(Fe_i)로 오염된 p형 웨이퍼($N_A = 10^{16}$)에 빛을 점점 세게 비춰 과잉 캐리어를 $10^{12}$에서 $10^{15}$ cm⁻³로 늘린다. SRH 수명은 어떻게 될까?

Fe_i는 전자를 아주 잘 잡지만($\sigma_n$ 큼) 정공은 잘 못 잡는다($\sigma_p$ 작음). 저주입에서는 정공이 넘쳐 $\tau \approx \tau_{n0}$으로 짧지만, $\Delta n$이 $p_0$에 다가가면 정공 포획이 병목이 되어 $\tau \to \tau_{n0}+\tau_{p0}$로 길어진다. 아래 실험대에서 Fe_i와 FeB 곡선이 $\Delta n \approx 2\times10^{14}$ 근처에서 교차하는 것을 보라.

SIMULATOR

수명 대 주입 수준: 세 기구의 합성

흰 원을 좌우로 끌어 Δn을 바꾼다

결함

도핑 종류

도핑 N 결함 농도 N_t FeB 곡선 겹쳐 보기

Δn—

τ_SRH—

τ_rad—

τ_A—

τ_eff—

지배 기구—

E_Fn − E_Fp—

감쇠 경과 시간—

실선 굵은 곡선이 유효 수명, 가는 곡선들이 각 기구다($v_{th} = 10^7$ cm/s, 결함 매개변수는 3절 표의 대표값). "감쇠 재생"은 $\Delta n = 10^{17}$에서 빛을 끈 뒤 점이 곡선을 따라 내려가는 모습이다 — 시간은 오른쪽 아래 값으로 읽는다. 해볼 것: ① Fe_i와 FeB 곡선의 교차점($\approx 2\times10^{14}$)을 찾아라. 이 점 아래(저주입)에서는 Fe_i가, 위에서는 FeB가 더 해롭다 — 7절 철 측정의 열쇠다. ② $N_t = 10^9$로 깨끗하게 하고 도핑을 10¹⁹로 올리면 오제 기울기 −2가 드러난다. ③ 감쇠 재생을 해 보면 고주입 부분(오제)은 순식간에 지나가고 저주입 부분이 대부분의 시간을 차지한다.

$N_D = 1.0\times10^{19}$ cm⁻³인 n⁺ 실리콘에서 정공의 오제 수명과 복사 수명을 구하라($C_n = 2.8\times10^{-31}$ cm⁶/s, $B = 4.73\times10^{-15}$ cm³/s). SRH 수명이 1 μs라면 유효 수명은?

풀이 보기

전략 n형 저주입: eeh 과정 $R_A \approx C_nn_0^2\Delta p$, $\tau_A = 1/(C_nN_D^2)$. 복사 $\tau_{rad} = 1/(BN_D)$.

풀이 $\tau_A = 1/(2.8\times10^{-31}\times10^{38}) = 3.57\times10^{-8}$ s. $\tau_{rad} = 1/(4.73\times10^{-15}\times10^{19}) = 2.11\times10^{-5}$ s. $1/\tau_{eff} = 10^6 + 2.80\times10^7 + 4.7\times10^4 = 2.91\times10^7$ s⁻¹.

$\tau_A = 36$ ns, $\tau_{rad} = 21$ μs, $\tau_{eff} \approx 34$ ns

검토 오제가 SRH보다 28배 빠르다. 태양 전지 에미터, 소스·드레인처럼 $10^{19}$ 이상 도핑한 곳에서는 결함을 아무리 줄여도 수명이 수십 ns를 넘지 못한다. 그래서 고효율 전지는 에미터를 얇고 가볍게 도핑한다.

생성, 연속 방정식, 확산 길이

열 생성: 공핍층의 $np < n_i^2$

SRH 식의 분자 $np - n_i^2$는 음수가 될 수도 있다. 역바이어스 걸린 pn 접합의 공핍층처럼 캐리어가 쓸려 나가 $n, p \ll n_i$인 곳에서는 $U < 0$, 곧 결함이 쌍을 만들어 낸다. 네 과정 중 (d) 정공 방출 다음 (b) 전자 방출이 일어나는 것이다. $n = p \approx 0$을 넣으면

$$G_{th} = -U = \frac{n_i^2}{\tau_{p0}n_1 + \tau_{n0}p_1} \;\xrightarrow{E_t = E_i,\;\tau_{n0}=\tau_{p0}=\tau_0}\; \frac{n_i}{2\tau_0} \equiv \frac{n_i}{\tau_g}$$

$\tau_g$는 생성 수명(generation lifetime). 준위가 띠 중간에서 벗어나면 $n_1$ 또는 $p_1$이 커져 $\tau_g$가 지수적으로 길어진다 — 생성은 재결합보다 더 띠 중간 준위에 민감하다.

공핍층 폭 $W_d$ 전체에서 생긴 쌍은 전기장에 쓸려 나가 역방향 생성 전류(generation current) $J_{gen} = qn_iW_d/\tau_g$가 된다. $n_i$에 비례하므로 온도가 8–10 K 오를 때마다 두 배가 된다. 13장에서 이것이 pn 접합 역방향 누설의 주성분임을 보게 된다.

온도 300에서 $n_i =$ 이다(Solid.ni). 생성 수명 $\tau_g =$ -4, 공핍층 폭 1.0이면 열 생성률은 , 생성 전류 밀도는 이다. 면적 1 μm² 포토다이오드라면 1초에 전자 개가 빛 없이 쌓인다(암전류).

이미지 센서 암전류와 백점, DRAM 리텐션

CMOS 이미지 센서의 포토다이오드는 빛이 없을 때도 공핍층 열 생성으로 전자를 모은다. 이 암전류는 노출 시간 동안 쌓여 어두운 화면에 잡음을 만들고, 온도가 6–8 °C 오를 때마다 대략 두 배가 된다. 어느 한 픽셀의 공핍층에 금속 원자나 결함 몇 개가 띠 중간 준위를 만들면 그 픽셀만 수십 배 밝게 빛나는 백점(핫 픽셀)이 된다. 같은 물리가 DRAM 셀 커패시터의 전하를 접합 누설로 빼내 리텐션 시간을 정하므로, 몇 개의 "꼬리 셀"이 리프레시 주기를 결정한다. 그래서 두 제품 모두 웨이퍼의 금속 오염과 STI 측벽·계면 결함을 극도로 관리한다. SemiBooks SensorBook · 노이즈, SNR, 다이내믹 레인지

광생성

광자 에너지가 띠 간격보다 큰 빛은 실리콘 속으로 들어가며 흡수 계수 $\alpha$로 지수 감쇠한다. 깊이 $x$에서 1초·1 cm³당 생기는 쌍의 수, 광생성률(optical generation rate)은 그 깊이에서 흡수되는 광자 수다.

$$G(x) = \alpha\,\Phi_0\,(1-R)\,e^{-\alpha x}$$

$\Phi_0$는 입사 광자 선속(cm⁻²s⁻¹), $R$은 표면 반사율(맨 실리콘 약 0.3–0.4, 반사 방지막으로 수 %). $1/\alpha$는 흡수 깊이로, 실리콘에서 400 nm 0.1 μm, 532 nm 약 1.3 μm, 800 nm 약 12 μm, 1000 nm 약 0.16 mm다(Green 2008 근사).

파장 532, 출력 1.0인 레이저를 1 mm² 넓이에 비추면(반사 무시) 광자 에너지 , 선속 $\Phi_0 =$ , 흡수 계수 $\alpha \approx$ (흡수 깊이 )이고, 표면의 광생성률은 $G(0) =$ 이다. 두께 775 μm 웨이퍼가 흡수하는 비율은 다.

연속 방정식

캐리어는 생기고 사라질 뿐 아니라 흘러 다닌다. 얇은 단면 조각 하나를 놓고 들어오고 나가는 정공 수를 셈하면 연속 방정식(continuity equation)을 얻는다.

두께 $dx$ 조각에 왼쪽 면으로 들어오는 정공과 오른쪽 면으로 나가는 정공의 차는 $-\frac{1}{q}\frac{\partial J_p}{\partial x}A\,dx$이다.
조각 안에서 빛이 1초에 $G\,A\,dx$개 쌍을 만든다.
조각 안에서 1초에 $\Delta p/\tau_p\cdot A\,dx$개가 재결합한다(저주입).
세 항을 더하면 정공 수의 변화율이다. 전자도 같은 꼴($+\frac1q\partial J_n/\partial x$)이다.

연속 방정식은 캐리어 수의 장부 정리다. 11장의 전류 식 $J_p = q\mu_ppE - qD_p\,\partial p/\partial x$를 넣으면 표류–확산–재결합을 한 식에 담는다.

$$\frac{\partial \Delta p}{\partial t} = D_p\frac{\partial^2 \Delta p}{\partial x^2} - \mu_pE\frac{\partial \Delta p}{\partial x} + G - \frac{\Delta p}{\tau_p}$$

n형 속 소수 캐리어(정공), 전기장이 균일하고 저주입일 때. 전기장이 없고 정상 상태이며 $x > 0$에서 빛이 없으면 $D_p\Delta p'' = \Delta p/\tau_p$만 남는다.

표면 $x = 0$에서 $\Delta p(0)$을 유지하고(예: 표면 근처에서만 흡수되는 빛) 시료가 충분히 두꺼우면 해는

$$\Delta p(x) = \Delta p(0)\,e^{-x/L_p}, \qquad L_p = \sqrt{D_p\tau_p}, \qquad D_p = \frac{k_BT}{q}\mu_p$$

$L_p$는 확산 길이(diffusion length)(Solid.diffLength), $D_p$는 아인슈타인 관계로 이동도에서 얻는다(Solid.einstein, Solid.mobility). 소수 캐리어가 재결합하기 전에 평균적으로 퍼져 가는 거리다. 두께 $W$인 곳 끝에 옴 접촉($\Delta p(W) = 0$)이 있으면 $\Delta p = \Delta p(0)\sinh[(W-x)/L_p]/\sinh(W/L_p)$이다.

200 μm에 옴 접촉

MINI LAB왼쪽 면에서 주입된 정공(점)이 마구걷기로 퍼지다가 수명이 다하면 사라진다. 쌓인 막대(분포)가 $e^{-x/L_p}$ 곡선으로 모인다. 곡선 위 흰 원($x = L_p$, $1/e$ 지점)을 좌우로 끌면 수명 $\tau_p = L_p^2/D_p$가 바뀐다.

$N_D = 1\times10^{16}$ cm⁻³인 n형 실리콘에서 정공 이동도는 430 cm²/(V·s), 정공 수명은 10 μs다. $D_p$, $L_p$를 구하고, 표면에서 100 μm 들어간 곳의 $\Delta p/\Delta p(0)$을 구하라($kT/q = 0.02585$ V).

풀이 보기

전략 아인슈타인 관계 → 확산 길이 → 지수 프로파일.

풀이 $D_p = 0.02585\times430 = 11.1$ cm²/s. $L_p = \sqrt{11.1\times10^{-5}} = 1.054\times10^{-2}$ cm = 105 μm. $\Delta p/\Delta p(0) = e^{-100/105.4} = 0.387$.

$D_p = 11.1$ cm²/s, $L_p = 105$ μm, 0.39

검토 수명 10 μs는 평범한 값인데도 확산 길이가 웨이퍼 두께의 7분의 1이다. 태양 전지는 $L$이 두께보다 몇 배 길어야(수명 ms급) 뒷면 근처에서 생긴 캐리어까지 모은다.

표면 재결합과 패시베이션

결정의 표면은 거대한 결함이다. 실리콘 표면 원자는 이웃 하나를 잃어 짝 없는 결합(댕글링 본드)을 갖고, 이것이 띠 간격 안에 넓게 퍼진 계면 트랩(interface trap) 준위를 만든다(산화막 계면의 P_b 중심). 면적당 트랩 밀도가 $N_{it}$(cm⁻²)이면 표면 단위 넓이에서 1초에 일어나는 재결합은 표면의 과잉 캐리어 농도에 비례한다.

$$U_s = S\,\Delta n_s \;(\text{cm}^{-2}\text{s}^{-1}), \qquad S \approx \sigma v_{th} N_{it}$$

$S$는 표면 재결합 속도(surface recombination velocity)(cm/s). 표면이 캐리어를 빨아들이는 "속도"로 읽는다. 맨 표면·자연 산화막 $10^3$–$10^5$, 잘 만든 열산화막(수소 어닐링 뒤) 10–100, Al₂O₃·SiNₓ·a-Si:H 1–10 cm/s 수준이다.

두께 $W$인 웨이퍼의 양면이 같은 $S$를 가지면, 측정되는 수명에 표면 몫 $1/\tau_s$가 더해진다. $S$가 작으면 캐리어가 두께 전체에 고르게 퍼진 채 양면에서 새어 나가므로 $1/\tau_s = 2S/W$이다(Solid.tauSurface). $S$가 크면 표면 근처 캐리어가 고갈되어, 캐리어가 표면까지 확산해 가는 시간이 병목이 된다. 감쇠의 기본 모드를 풀면

$$\frac{1}{\tau_{eff}} = \frac{1}{\tau_b} + D\beta^2,\quad \beta\tan\frac{\beta W}{2} = \frac{S}{D}; \qquad \tau_s \approx \frac{W}{2S} + \frac{1}{D}\Big(\frac{W}{\pi}\Big)^2$$

오른쪽은 Sproul(1994)의 근사로 모든 $S$에서 5% 안에 맞는다. $S \to \infty$여도 $\tau_s$는 $W^2/(\pi^2D)$보다 짧아지지 않는다(775 μm 웨이퍼, $D = 35$ cm²/s에서 17 μs).

벌크 수명 1.00, 두께 775, $D =$ 35 cm²/s인 웨이퍼의 양면 표면 재결합 속도가 1 이면, 단순식 $2S/W$로는 $\tau_{eff} =$ , Sproul 근사로는 이다. 측정값은 벌크 수명의 만 보여 준다.

그래서 수명을 재려면 표면부터 막아야 한다. 패시베이션(passivation)에는 두 길이 있다. 화학적 패시베이션은 댕글링 본드를 수소·산소로 묶어 $N_{it}$ 자체를 줄인다(열산화 + 수소 어닐링으로 $D_{it} \sim 10^{10}$ cm⁻²eV⁻¹). 전계 효과 패시베이션은 막 속 고정 전하로 표면의 한 종류 캐리어를 밀어내, 재결합에 필요한 두 짝 중 하나를 없앤다. Al₂O₃는 $-(1\text{–}5)\times10^{12}$ cm⁻²의 음전하로 p형 표면의 전자를, SiNₓ는 양전하로 n형 표면의 정공을 밀어낸다. 임시로는 아이오딘–에탄올 같은 용액에 담가 재기도 한다.

SIMULATOR

웨이퍼 단면 속 과잉 캐리어

흰 원: 흡수 깊이 1/α(좌우), 뒷면(좌우)으로 두께

앞면

뒷면

앞면 S₁ 뒷면 S₂ 벌크 수명 τ_b

파장 λ (1/α)—

두께 W—

확산 길이 L—

흡수 비율—

τ_eff = ∫Δn/∫G—

τ_eff/τ_b—

과제—

p형 10¹⁵ 웨이퍼($D_n = 35$ cm²/s), 저주입 정상 상태의 연속 방정식 $D\Delta n'' - \Delta n/\tau_b + G(x) = 0$을 경계 조건 $D\Delta n' = S_1\Delta n$(앞면), $-D\Delta n' = S_2\Delta n$(뒷면)으로 수치로 푼다. 옅은 면이 $G(x)$, 굵은 선이 $\Delta n(x)$(최댓값으로 규격화)다. QSSPC가 재는 수명은 $\int\Delta n\,dx / \int G\,dx$다. 해볼 것: ① 앞면을 맨 표면으로 하고 파장을 짧게(1/α를 왼쪽으로) 하면 캐리어가 생기자마자 앞면으로 빨려 들어가 $\tau_{eff}$가 크게 떨어진다. 긴 파장에서는 덜하다. ② "두께 과제": 표면이 정해진 웨이퍼에서 측정 수명이 벌크의 80% 이상 되는 가장 얇은 두께를 찾아라. ③ 벌크 수명을 10 ms로 올리면 확산 길이가 웨이퍼보다 훨씬 길어져 프로파일이 거의 평평해진다.

두께 775 μm, 벌크 수명 1.00 ms, $D = 35$ cm²/s인 웨이퍼를 (a) 양면 $S = 10$ cm/s로 패시베이션했을 때와 (b) 맨 표면 $S = 1\times10^4$ cm/s일 때 측정되는 유효 수명을 구하라.

풀이 보기

전략 (a)는 $S$가 작아 $1/\tau_s = 2S/W$. (b)는 확산 제한을 넣은 Sproul 근사 $\tau_s = W/2S + W^2/(\pi^2D)$.

풀이 (a) $2S/W = 20/0.0775 = 258$ s⁻¹, $1/\tau_{eff} = 1000 + 258 = 1258$ → 0.795 ms. (b) $\tau_s = 0.0775/(2\times10^4) + 0.0775^2/(9.870\times35) = 3.9$ μs + 17.4 μs = 21.3 μs, $1/\tau_{eff} = 1000 + 4.70\times10^4$ → 20.8 μs.

(a) 0.80 ms, (b) 21 μs

검토 맨 표면 웨이퍼로는 벌크가 1 ms든 10 ms든 21 μs 안팎만 읽힌다. 수명 측정 전 패시베이션(또는 표면 영향을 계산해 빼기)이 필수인 이유다.

열산화막과 Al₂O₃ 패시베이션

MOSFET 게이트 산화막의 계면 품질($D_{it}$)과 웨이퍼 수명 측정의 표면 패시베이션은 같은 물리다. 열산화 뒤 수소 섞인 기체(포밍 가스) 어닐링이 P_b 중심을 묶어 $S$를 10 cm/s 근처로 낮춘다. 고효율 태양 전지의 PERC·TOPCon 구조는 뒷면 Al₂O₃의 음전하로 전계 효과 패시베이션을 하고, 이미지 센서는 깊은 트렌치(DTI) 벽과 뒷면(BSI)에 음전하 high-k 막을 입혀 계면에서 생기는 암전류를 막는다. SemiBooks ProcessBook · 열산화

수명 측정과 철 오염

과잉 캐리어는 전도도를 $\Delta\sigma = q(\mu_n + \mu_p)\Delta n$만큼 올린다. 빛 펄스로 쌍을 만든 뒤 전도도가 줄어드는 모양을 보면 수명이 나온다. 이것이 광전도 감쇠(photoconductance decay, PCD)다. 전극을 붙이지 않고 전도도를 재는 방법이 두 가지 널리 쓰인다.

μ-PCD. 짧은 레이저 펄스가 쌍을 만들고, 웨이퍼가 반사하는 마이크로파 세기가 전도도를 따라 바뀐다. 반로그 그래프에서 감쇠 기울기가 $-1/\tau_{eff}$다. 스테이지를 옮기며 재면 웨이퍼 전체의 수명 지도가 나온다.

μ-PCD (과도)

마이크로파 반사로 전도도를 비접촉 측정. 짧은 펄스 뒤 감쇠에서 $\tau$를 읽는다. 공간 분해능이 좋아(mm 이하) 웨이퍼 지도에 쓰고, 흔히 바이어스 빛을 같이 비춰 주입 수준을 정한다. 신호의 절대 크기는 몰라도 된다(기울기만 씀). SEMI MF1535.

QSSPC (준정상 상태)

천천히 꺼지는 섬광(수 ms)을 비추며 유도 코일로 전도도를, 기준 셀로 $G$를 잰다. 매 순간 $\tau = \Delta n/G$(엄밀히는 $\Delta n/(G - d\Delta n/dt)$)이므로 한 번에 $\tau(\Delta n)$ 곡선 전체가 나온다. 태양 전지 공정의 표준이고, 암시 개방 전압도 준다.

SPV (표면 광전압)

여러 파장의 빛으로 생긴 표면 전압에서 소수 캐리어 확산 길이를 구한다. 철 측정(SEMI MF391)에 오래 쓰여 왔고, 검출 한계가 $10^9$–$10^{10}$ cm⁻³다.

Fe–B 쌍 분리로 철 농도 재기

수명이 짧다는 것만으로는 범인을 모른다. 철은 스스로 신분을 밝히는 드문 불순물이다. p형 실리콘에서 격자간 철 Fe_i⁺는 음이온화된 붕소 B_s⁻와 쿨롱 힘으로 짝을 지어 FeB 쌍이 되는데, 이 짝은 빛이나 열로 끊을 수 있고 끊으면 수명이 바뀐다.

실온에서 오래 둔 p형 웨이퍼의 철은 거의 다 붕소와 짝을 지은 FeB 상태다. 이때 수명 $\tau_{before}$를 잰다.
강한 빛을 비추거나 200 °C 남짓 가열해 쌍을 끊는다. 빛을 받으면 철이 전자를 잡아 중성이 되어 붕소와의 쿨롱 결합이 풀린다.
분리 직후 수명 $\tau_{after}$를 잰다. 저주입 p형에서는 Fe_i가 더 해로워 수명이 짧아진다. 두 역수의 차는 철 농도에만 비례한다.
몇 시간 뒤 철이 다시 붕소에 붙으면 수명이 돌아온다. 이 되돌림이 다른 금속과 철을 구별하는 지문이다.

Fe–B 쌍 분리법(Zoth–Bergholz 1990). 같은 웨이퍼, 같은 자리에서 두 번 재므로 표면과 다른 결함의 몫이 빼기에서 사라진다.

SRH 식에서 $1/\tau = N_t/(\text{결함의 성질과 주입, 도핑으로 정해지는 양})$이므로

$$[\text{Fe}] = C\Big(\frac{1}{\tau_{after}} - \frac{1}{\tau_{before}}\Big), \qquad C = \Big[\frac{1}{N_t\tau_{Fe_i}} - \frac{1}{N_t\tau_{FeB}}\Big]^{-1}$$

$C$는 도핑과 주입 수준에 따라 바뀐다. Zoth–Bergholz의 고전값은 $C = 1.05\times10^{13}$ μs·cm⁻³(1–10 Ω·cm, 저주입)이고, 이후 측정으로 $C$의 도핑·주입 의존을 넣은 식이 쓰인다(Macdonald 등 2004). $\Delta n$이 교차점($\approx 1$–$2\times10^{14}$ cm⁻³)을 넘으면 차의 부호가 뒤집히므로, 반드시 저주입에서 잰다.

벌크 수명이 1 ms인 깨끗한 웨이퍼를 패시베이션 없이(맨 표면, $S \sim 10^4$ cm/s) μ-PCD로 재면 화면에 나오는 수명은 대략?

$S$가 아무리 커도 캐리어가 표면까지 확산해 가는 시간 $W^2/(\pi^2D)$(775 μm에서 약 17 μs)은 걸린다. 그래서 맨 웨이퍼는 벌크와 상관없이 수십 μs로 읽힌다. 아래 실험대에서 표면을 바꿔 확인하고, 그다음 철 농도 맞히기에 도전하라.

SIMULATOR

광전도 감쇠 실험대: 미지 웨이퍼의 철 농도 맞히기

흰 원 두 개를 곡선 위에서 좌우로 끌어 기울기를 읽는다

웨이퍼

표면

펄스 주입 Δn(0)

철의 상태

추정 [Fe] (cm⁻³)

읽은 τ—

기록 τ_before (FeB)—

기록 τ_after (Fe_i)—

이 조건의 C—

표면 몫 τ_s—

판정—

위 그래프는 펄스 뒤 μ-PCD 신호(잡음 포함, 반로그)다. 두 흰 원 사이 기울기에서 $\tau = (t_2-t_1)/\ln(s_1/s_2)$를 읽는다. 아래 그림은 웨이퍼 단면으로, 뒷면 흰 원을 위아래로 끌면 두께(150–1000 μm), 앞면 눈금의 흰 원을 좌우로 끌면 $S$(1–10⁶ cm/s)가 바뀐다. 웨이퍼에는 철 말고도 알 수 없는 다른 결함이 있다. "C"는 이 도핑·주입에서 모형(3절 대표값, $v_{th} = 10^7$)으로 계산한 환산 계수다. 해볼 것: ① "미지 웨이퍼"를 누르고 FeB 상태에서 τ를 읽어 기록, Fe_i로 바꿔 다시 기록한 뒤 $[\text{Fe}] = C(1/\tau_{after} - 1/\tau_{before})$를 계산해 제출하라(±25%면 성공). ② 표면을 맨 표면으로 바꾸면 두 상태의 차이가 잡음에 묻힌다. ③ 주입을 10¹⁶으로 올리면 감쇠가 직선이 아니고, FeB와 Fe_i의 순서가 뒤집힌다.

p형 웨이퍼(1–10 Ω·cm)를 저주입 μ-PCD로 쟀더니 어둠 속 보관 뒤 수명이 200 μs, 강한 빛으로 Fe–B 쌍을 분리한 직후 50 μs였다. Zoth–Bergholz 계수 $C = 1.05\times10^{13}$ μs·cm⁻³로 철 농도를 구하라.

풀이 보기

전략 $[\text{Fe}] = C(1/\tau_{after} - 1/\tau_{before})$, 수명은 μs 그대로.

풀이 $1/50 - 1/200 = 0.0200 - 0.0050 = 0.0150$ μs⁻¹. $[\text{Fe}] = 1.05\times10^{13}\times0.0150 = 1.58\times10^{11}$ cm⁻³.

$[\text{Fe}] \approx 1.6\times10^{11}$ cm⁻³ (약 3 ppt)

검토 분리 전 200 μs에는 철 말고 다른 결함과 표면 몫도 들어 있지만 빼기에서 사라진다. 수명이 4배 줄었으므로 수명을 깎는 주범이 철이다. 웨이퍼 제조사 사양은 보통 $10^{10}$ cm⁻³ 이하다. 아래 실험대의 모형 C(p 10¹⁶, 저주입에서 약 $2\times10^{12}$ μs·cm⁻³)가 이 값보다 5배쯤 작은 것은, C가 측정 주입 수준·도핑과 문헌에서 고른 $\sigma_n, \sigma_p$·준위 값에 따라 몇 배씩 달라지기 때문이다. 실무에서는 장비의 주입 수준과 웨이퍼 비저항에 맞춰 보정한 C를 쓴다.

공정 장비 오염 모니터링

수명 측정은 퍼니스·RTP·이온 주입기·습식 세정조가 웨이퍼에 금속을 묻히는지 감시하는 표준 도구다. 모니터 웨이퍼를 장비에 통과시킨 뒤 산화나 열처리로 금속을 벌크에 넣고, μ-PCD 지도로 수명 분포를, Fe–B 분리로 철 지도를 만든다. 지도의 무늬가 범인을 알려 준다 — 가장자리 고리는 보트·척 접촉, 한쪽 반점은 반송 로봇, 웨이퍼 전체 저하는 기체나 약품 오염이다. SemiBooks DeviceBook · 생성과 재결합

핵심 정리

비평형에서는 $np \ne n_i^2$이고, 전자·정공 각자의 의사 페르미 준위로 $np = n_i^2e^{(E_{Fn}-E_{Fp})/kT}$를 쓴다. 저주입에서는 소수 캐리어 준위만 크게 움직인다.
복사 재결합 $R = B(np - n_i^2)$: 직접 간격 GaAs($B \sim 10^{-10}$)는 빠르고, 간접 간격 Si($4.7\times10^{-15}$)는 포논이 필요해 10⁵배 느리다.
SRH: $U = (np-n_i^2)/[\tau_{p0}(n+n_1)+\tau_{n0}(p+p_1)]$, $\tau_0 = 1/(\sigma v_{th}N_t)$. 얕은 준위는 열 방출로 헛걸음해 해가 적고, 띠 중간 준위가 가장 해롭다. 저주입 수명은 소수 캐리어 포획이 정한다.
오제 $R = (C_nn + C_pp)(np - n_i^2)$, $C \sim 10^{-31}$ cm⁶/s는 $10^{18}$ cm⁻³ 이상에서 지배한다. $1/\tau_{eff} = \sum 1/\tau_i$이고 주입·도핑에 따라 지배 기구가 바뀐다.
공핍층($np < n_i^2$)에서는 같은 결함이 쌍을 만든다: $G = n_i/\tau_g$. 암전류·접합 누설·DRAM 리텐션의 근원이다. 광생성은 $G = \alpha\Phi e^{-\alpha x}$.
연속 방정식의 정상 상태 해 $\Delta p = \Delta p(0)e^{-x/L_p}$, $L_p = \sqrt{D_p\tau_p}$. 표면은 $U_s = S\Delta n$으로 $1/\tau_s \approx 2S/W$(작은 $S$)를 더하고, 큰 $S$에서도 $W^2/\pi^2D$에서 포화한다.
광전도 감쇠(μ-PCD, QSSPC)로 수명을 재고, p형에서 Fe–B 쌍 분리 전후 $[\text{Fe}] = C(1/\tau_{after} - 1/\tau_{before})$로 10¹⁰ cm⁻³ 수준의 철을 잡는다.

연습문제

필요하면 $k_BT = 0.02585$ eV(300 K), $q = 1.602\times10^{-19}$ C, $v_{th} = 1\times10^7$ cm/s를 쓴다. $n_i$는 문제에 주어진 값을 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

$N_D = 1.0\times10^{15}$ cm⁻³인 n형 실리콘($n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³)에 $\Delta n = \Delta p = 1.0\times10^{13}$ cm⁻³가 주입되었다. 의사 페르미 준위의 간격 $E_{Fn}-E_{Fp}$는?

$E_{Fn}-E_{Fp} = kT\ln(np/n_i^2)$, $n = 1.01\times10^{15}$, $p \approx 1.0\times10^{13}$.

$E_{Fn} - E_i = 0.02585\ln(1.01\times10^5) = 0.2979$ eV, $E_i - E_{Fp} = 0.02585\ln(10^3) = 0.1786$ eV. 합 0.476 eV.

$N_A = 1.0\times10^{16}$ cm⁻³인 p형 실리콘($B = 4.73\times10^{-15}$ cm³/s)의 저주입 복사 수명은?

$\tau_{rad} = 1/(BN_A) = 1/(4.73\times10^{-15}\times10^{16}) = 2.11\times10^{-2}$ s = 21 ms. 실제 웨이퍼 수명(수 μs–수 ms)보다 길어 복사는 거의 기여하지 않는다.

포획 단면적 $1.0\times10^{-15}$ cm²인 결함이 $5.0\times10^{11}$ cm⁻³ 있다. 소수 캐리어 포획 수명은?

$\tau = 1/(\sigma v_{th}N_t) = 1/(10^{-15}\times10^7\times5\times10^{11}) = 2.0\times10^{-4}$ s = 200 μs.

실리콘 LED가 어두운(내부 양자 효율이 낮은) 가장 근본적인 이유는?

복사 수명이 ms 단위로 길어 결함(μs) 재결합에 지고 만다. 내부 양자 효율 ≈ $\tau_{eff}/\tau_{rad}$이 10⁻³ 이하가 된다.

$N_D = 1.0\times10^{16}$ cm⁻³ n형 실리콘($n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³)에 $\sigma_n = \sigma_p$인 결함이 $E_t = E_i - 0.40$ eV에 있다. 저주입 수명은 같은 결함이 $E_i$에 있을 때의 몇 배인가?

n형 저주입: $\tau = [\tau_{p0}(n_0+n_1) + \tau_{n0}(p+p_1)]/n_0$. 준위가 가전자대 쪽이므로 $p_1$이 크다.

$p_1 = n_ie^{0.40/0.02585} = 10^{10}\times5.25\times10^6 = 5.25\times10^{16}$, $n_1 \approx 2\times10^3$. $\tau/\tau_0 = (n_0 + p_1)/n_0 = 1 + 5.25 = 6.25$. 도핑이 높아 $p_1$이 덜 치명적이다(같은 준위가 10¹⁵ 웨이퍼에서는 53배).

$N_A = 5.0\times10^{18}$ cm⁻³ p⁺ 실리콘($C_p = 9.9\times10^{-32}$ cm⁶/s)에서 전자의 오제 수명은? SRH 수명이 1.0 μs이면 유효 수명은(복사 무시)?

$\tau_A = 1/(C_pN_A^2) = 1/(9.9\times10^{-32}\times2.5\times10^{37}) = 4.04\times10^{-7}$ s. $1/\tau_{eff} = 10^6 + 2.475\times10^6$ → $2.88\times10^{-7}$ s.

$N_A = 1\times10^{17}$ cm⁻³ p형 실리콘에서 전자 이동도는 800 cm²/(V·s), 전자 수명은 2.0 μs다. 전자의 확산 길이는?

$D_n = 0.02585\times800 = 20.7$ cm²/s, $L_n = \sqrt{20.68\times2\times10^{-6}} = 6.43\times10^{-3}$ cm = 64.3 μm.

800 nm 빛의 실리콘 흡수 계수를 $8.5\times10^2$ cm⁻¹라 하자. 표면에서 10 μm 안에 흡수되는 광자의 비율(반사 무시)과, 광생성률이 표면값의 1%로 떨어지는 깊이는?

$1 - e^{-850\times10^{-3}} = 1 - e^{-0.85} = 0.573$. $x = \ln100/\alpha = 4.605/850$ cm = 54.2 μm.

두께 725 μm 웨이퍼의 벌크 수명은 2.0 ms로 알려져 있다. 양면을 패시베이션한 뒤 잰 유효 수명이 500 μs라면 표면 재결합 속도는(작은 $S$ 근사, 양면 같음)?

$2S/W = 1/\tau_{eff} - 1/\tau_b = 2000 - 500 = 1500$ s⁻¹, $S = 1500\times0.0725/2 = 54.4$ cm/s. 확산 항 $W^2/(\pi^2D) \approx 15$ μs는 $W/2S = 0.67$ ms에 비해 작아 근사가 맞다.

역바이어스 pn 접합의 공핍층 폭이 1.0 μm다. 결함 준위가 $E_i$에 있고 $\tau_{n0} = \tau_{p0} = 1.0$ μs, $n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³이면 생성 전류 밀도는?

$G = n_i/(2\tau_0) = 5.0\times10^{15}$ cm⁻³s⁻¹. $J = qGW_d = 1.602\times10^{-19}\times5\times10^{15}\times10^{-4} = 8.01\times10^{-8}$ A/cm².

이미지 센서 픽셀의 공핍 영역이 1.0 μm × 1.0 μm × 0.50 μm다. 결함은 $E_i$에 있고 $\tau_{n0} = \tau_{p0} = 1.0$ ms, $n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³이다. 1초에 열 생성되는 전자 수는?

$G = n_i/(2\tau_0) = 5.0\times10^{12}$ cm⁻³s⁻¹. 부피 $10^{-4}\times10^{-4}\times5\times10^{-5} = 5\times10^{-13}$ cm³. $5\times10^{12}\times5\times10^{-13} = 2.5$ e⁻/s. 이 픽셀에 수명 1 μs급 결함이 몰리면 2500 e⁻/s — 백점이 된다.

p형 웨이퍼의 저주입 수명이 Fe–B 분리 전 400 μs, 분리 후 80 μs였다. $C = 1.05\times10^{13}$ μs·cm⁻³이면 철 농도는?

$[\text{Fe}] = 1.05\times10^{13}(1/80 - 1/400) = 1.05\times10^{13}\times0.0100 = 1.05\times10^{11}$ cm⁻³.

$N_A = 1.0\times10^{16}$ cm⁻³ p형 실리콘($n_i = 1.0\times10^{10}$ cm⁻³, $E_i - E_v = 0.56$ eV)에 Fe_i가 $1.0\times10^{11}$ cm⁻³ 있다($E_t = E_v + 0.38$ eV, $\sigma_n = 5\times10^{-14}$, $\sigma_p = 7\times10^{-17}$ cm²). $\Delta n = 1.0\times10^{13}$ cm⁻³에서 SRH 수명은?

$\tau = [\tau_{p0}(n_0+n_1+\Delta n) + \tau_{n0}(p_0+p_1+\Delta n)]/(n_0+p_0+\Delta n)$.

$\tau_{n0} = 20$ μs, $\tau_{p0} = 14.3$ ms, $p_1 = n_ie^{0.18/kT} = 1.06\times10^{13}$, $n_1 = 9.5\times10^6$.

$\tau_{p0}\Delta n/p_0 = 14.29\text{ ms}\times10^{-3} = 14.3$ μs, $\tau_{n0}(p_0+p_1+\Delta n)/p_0 = 20.0\times1.0021 = 20.0$ μs. 합을 $(p_0+\Delta n)/p_0 = 1.001$로 나누면 34.3 μs. 저주입 극한(20 μs)보다 70% 길다 — $\sigma_p$가 작아 $\Delta n = 10^{13}$에서도 정공 포획이 벌써 병목이 된다.

μ-PCD 신호가 140 μs 동안 4분의 1로 줄었다. 웨이퍼 두께는 775 μm, 양면 $S = 100$ cm/s다. 유효 수명과, 작은 $S$ 근사로 구한 벌크 수명은?

$\tau_{eff} = 140/\ln4 = 101$ μs. $1/\tau_b = 1/(1.010\times10^{-4}) - 2\times100/0.0775 = 9902 - 2581 = 7321$ s⁻¹, $\tau_b = 137$ μs. (확산 항까지 넣은 Sproul 근사로는 135 μs.)

p형 웨이퍼 뒷면에 Al₂O₃ 막을 입히면 표면 재결합이 크게 줄어든다. 가장 중요한 이유 두 가지를 바르게 짝지은 것은?

재결합에는 전자와 정공이 모두 필요하다. Al₂O₃는 $N_{it}$를 줄이고(화학적), 음전하로 p형 표면의 전자를 밀어내 $np$를 작게 만든다(전계 효과). SiNₓ는 양전하라 n형 표면에 알맞다.

개념 확인 퀴즈

역바이어스 걸린 pn 접합 공핍층의 의사 페르미 준위에 대해 옳은 것은?

$np = n_i^2e^{(E_{Fn}-E_{Fp})/kT} < n_i^2$이면 SRH 식의 $U$가 음수, 곧 순생성이다. 이것이 역방향 누설(생성 전류)이다.

같은 농도·같은 포획 단면적이라면, p형 실리콘의 소수 캐리어 수명을 가장 크게 깎는 결함 준위 위치는?

얕은 준위는 잡은 캐리어를 열로 다시 내놓는다($n_1$ 또는 $p_1$이 큼). 띠 중간 준위는 잡은 캐리어를 짝을 만날 때까지 붙들어 둔다.

$10^{20}$ cm⁻³으로 도핑한 소스·드레인 영역의 소수 캐리어 수명을 정하는 기구는?

$\tau_A = 1/(CN^2)$는 $10^{20}$에서 1 ns 아래로 내려간다. 농도 제곱에 비례하므로 고농도에서는 결함 농도와 무관하게 오제가 이긴다.

p형 실리콘을 저주입으로 잴 때 Fe–B 쌍을 분리하면 수명이 짧아지는 이유는?

철 원자 수는 그대로이고 상태만 바뀐다. 그래서 두 수명 역수의 차가 철 농도에만 비례한다. 고주입(교차점 위)에서는 오히려 반대가 된다.

두께가 두 배인 웨이퍼(양면 $S$는 같고 작다)를 재면 표면 몫 $1/\tau_s$는?

$1/\tau_s = 2S/W$: 같은 표면 넓이에 더 많은 캐리어가 담기므로 표면이 비우는 데 시간이 더 걸린다. 큰 $S$에서는 $\tau_s \approx W^2/(\pi^2D)$라 두께의 제곱에 비례해 길어진다.

불순물	준위(대표값, 범위)	\(\sigma_n\) (cm²)	\(\sigma_p\) (cm²)	특징
Fe_i(격자간 철)	\(E_v + 0.38\) (0.38–0.39)	\(\approx5\times10^{-14}\) (1–5×10⁻¹⁴)	\(\approx7\times10^{-17}\)	p형 저주입에서 매우 해롭다, \(\sigma_n/\sigma_p\) ≈ 10³
FeB 쌍	\(E_c - 0.23\) (0.23–0.26)	\(\approx5\times10^{-15}\) (10⁻¹⁵–3×10⁻¹⁴)	\(\approx3\times10^{-15}\)	실온 p형에서 Fe_i⁺가 B⁻와 짝을 이룬 상태
Au(치환)	받개 \(E_c - 0.55\), 주개 \(E_v + 0.35\)	\(\sim10^{-16}\)–10⁻¹⁵(받개)	\(\sim10^{-15}\)–10⁻¹⁴	띠 중간 준위, 전력 소자의 수명 조절에 일부러 넣기도
Cr_i / CrB	\(E_c - 0.22\) / \(E_v + 0.28\)	\(\sim10^{-14}\)	\(\sim10^{-16}\)–10⁻¹⁵	철과 비슷하게 B와 짝
Ti_i, Mo_i	\(E_c - 0.27\), \(E_v + 0.28\)	\(\sim10^{-14}\)	\(\sim10^{-15}\)	확산이 느려 웨이퍼 속에 남는다
Cu, Ni	격자간 상태는 얕음, 석출물이 문제	석출물 크기·밀도에 좌우		확산이 매우 빨라 표면·결함으로 모인다(게터링)

반도체	띠 간격	\(B\) (cm³/s, 300 K)	\(\tau_{rad}\) (\(p_0 = 10^{17}\))
Si	간접 1.12 eV	\(4.7\times10^{-15}\)	2.1 ms
Ge	간접 0.66 eV	\(\sim6\times10^{-14}\)	≈ 0.16 ms
GaAs	직접 1.42 eV	\(\sim10^{-10}\) (문헌 1–7×10⁻¹⁰)	수–수십 ns

평형과 비평형: 과잉 캐리어와 의사 페르미 준위

띠 대 띠 복사 재결합

결함을 통한 SRH 재결합

어느 준위가 가장 해로운가

SRH 실험대: 가장 빠르게 죽이는 준위를 찾아라

오제 재결합과 유효 수명

수명 대 주입 수준: 세 기구의 합성

생성, 연속 방정식, 확산 길이

열 생성: 공핍층의 \(np < n_i^2\)

광생성

연속 방정식

표면 재결합과 패시베이션

웨이퍼 단면 속 과잉 캐리어

수명 측정과 철 오염

μ-PCD (과도)

QSSPC (준정상 상태)

SPV (표면 광전압)

Fe–B 쌍 분리로 철 농도 재기

광전도 감쇠 실험대: 미지 웨이퍼의 철 농도 맞히기

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈