Chapter 14

복합재료

반도체 패키지를 잘라 보면 거의 모든 층이 복합재료다. 칩을 덮은 몰딩 화합물(EMC)은 무게의 85–90 %가 실리카 가루인 에폭시이고, 칩 아래 기판은 유리 섬유 천에 에폭시를 먹인 판이며, 칩과 방열판 사이의 열계면 재료(TIM)는 실리콘 고무에 알루미나·질화 알루미늄 입자를 가득 채운 반죽이다. 어느 것도 한 재료로는 얻을 수 없는 성질의 조합 — 실리콘과 구리 사이의 열팽창, 절연이면서 열은 통하는 성질, 가벼우면서 단단한 판 — 을 두 재료를 섞어 만든다. 이 장은 섞으면 성질이 어떻게 정해지는지를 묻는다. 두 상이 나란히 놓이느냐 직렬로 놓이느냐에 따른 혼합 법칙의 두 경계(보이트·로이스)와 그 사이를 좁히는 하신–슈트리크만 경계, 섬유가 하중을 나눠 받는 방식과 짧은 섬유가 제 몫을 하려면 필요한 임계 길이, 방향을 조금만 틀어도 탄성률이 무너지는 이방성, 입자 충전재가 정하는 열팽창과 열전도, 층을 쌓은 판의 휨과 패키지 휨, 그리고 섬유가 균열을 붙잡아 인성을 높이는 기구다. 아래 그림은 하중을 받는 복합재료 판이다. 섬유가 하중 방향과 나란할 때와 기울어질 때 늘어나는 정도를 비교해 보라.

좌우로 끌면 섬유 각도 · 누르면 섬유↔입자

복합재료를 기지·강화재·계면으로 나누어 보고 입자 강화·섬유 강화·구조(적층·샌드위치) 복합재료로 분류하며, 무게 분율과 부피 분율을 오가고 밀도를 계산한다.
등변형(보이트)·등응력(로이스) 혼합 법칙을 유도하고, 하신–슈트리크만 경계가 왜 더 좁은지 설명하며 실제 입자 복합재료의 탄성률이 어디에 놓이는지 예측한다.
연속 섬유 복합재료의 축 방향 탄성률·하중 분담·강도를 계산하고, 횡방향 탄성률을 할핀–차이 식으로, 비축 방향 탄성률을 변환 식으로 구한다.
전단 지연 모형으로 단섬유의 응력 분포를 그리고 임계 섬유 길이 $l_c = \sigma_f^* d/2\tau_c$와 불연속 섬유 복합재료의 강도를 계산한다.
충전재 무게 분율에서 EMC의 열팽창 계수(혼합·터너·커너)와 탄성률을, TIM의 열전도도(맥스웰·루이스–닐슨)를 계산하고, 점도 한계와 함께 충전재 배합을 설계한다.
적층판의 대칭성이 휨을 정하는 이유를 설명하고, 다층 보 모형으로 다이–EMC–기판 패키지의 온도별 휨을 계산한다.
섬유 뽑힘·가교·층간 분리 같은 복합재료의 파괴 기구를 설명하고, 뽑힘 에너지 $G_\text{po} = V_f\sigma_f^{*2}d/24\tau$로 계면 강도와 인성의 맞바꿈을 정량화한다.

복합재료의 구성과 분류

1장에서 재료를 금속·세라믹·고분자·반도체·복합재료로 나눴다(재료와 재료 선택). 앞의 넷은 원자 결합의 종류로 나뉘지만 복합재료(composite material)는 다르다. 화학적으로 다르고 경계로 구분되는 두 가지 이상의 상을 일부러 섞어, 어느 한 상도 가지지 못한 성질의 조합을 얻은 재료다. 합금의 석출물이나 펄라이트도 두 상이지만 상태도가 정해 준 자연스러운 조직이므로 보통 복합재료라 부르지 않는다. 복합재료는 설계자가 상의 종류·양·모양·배열을 고른다.

대부분의 복합재료는 연속된 한 상인 기지(matrix)와 그 속에 흩어진 강화재(reinforcement)로 이루어진다. 기지는 강화재를 붙잡아 모양을 유지하고, 하중을 강화재에 전달하며, 강화재를 환경과 마모로부터 보호한다. 강화재는 강성·강도를 더하거나(섬유), 열팽창을 낮추거나(실리카), 열을 나르거나(알루미나·질화 붕소) 한다. 둘이 맞닿은 계면(interface)은 부피는 작아도 하중 전달과 파괴를 좌우하는 세 번째 구성 요소다. 기지가 고분자면 PMC(고분자 기지 복합재료), 금속이면 MMC, 세라믹이면 CMC라 한다.

복합재료의 분류(캘리스터 체계). 입자 강화는 거의 등방이고, 섬유 강화는 섬유의 길이와 배열이 이방성을 정한다. 구조 복합재료는 층(적층판)이나 심재(샌드위치)의 배치로 판 전체의 성질을 설계한다. 금속 속 나노 산화물로 전위를 막는 분산 강화(6장)도 입자 강화의 한 갈래지만, 강화 기구는 하중 분담이 아니라 오로완 우회다.

같은 유리–에폭시라도 강화재의 모양과 배열에 따라 성질이 크게 다르다. 입자는 어느 방향으로나 같은 효과를 내지만, 섬유는 자기 축 방향에서만 강하다. 아래 미니 실험에서 하중 방향을 돌려 다섯 가지 미세조직의 강성이 방향에 따라 어떻게 변하는지 비교해 보자. 계산 모형은 3–4절에서 차례로 유도한다.

흰 원(하중 방향)을 원을 따라 끈다

MINI LAB유리 섬유(또는 유리 구슬) 40 vol%–에폭시. 왼쪽은 미세조직, 오른쪽은 방향별 영률의 극좌표 그림(바깥 점선 원 = 보이트 상한 31 GPa)이다. 입자는 원, 연속 섬유는 섬유 방향으로 길쭉한 8자 모양이다. 섬유를 무작위로 흩으면 다시 원이 되지만 반지름은 연속 섬유 최댓값의 절반에도 못 미친다 — 이방성을 포기하고 등방성을 얻는 값이다.

부피 분율과 무게 분율

복합재료의 성질 공식은 모두 부피 분율 $V_f$(강화재가 차지하는 부피의 비율)로 쓴다. 그런데 배합표와 제품 규격은 무게 분율 $w_f$로 적는 일이 많다("실리카 88 wt% EMC"). 두 값은 밀도가 다르면 크게 다르다. 기공이 없다고 하면

$$V_f = \frac{w_f/\rho_f}{w_f/\rho_f+(1-w_f)/\rho_m},\qquad \rho_c = V_f\rho_f+(1-V_f)\rho_m = \left(\frac{w_f}{\rho_f}+\frac{1-w_f}{\rho_m}\right)^{-1}$$

밀도는 질량과 부피가 그대로 더해지므로 혼합 법칙이 정확히 성립하는 유일한 성질이다. 무거운 충전재일수록 같은 wt%에서 vol%가 작다. 실측 밀도가 이 값보다 작으면 그 차이가 기공률(void content)이다: $V_\text{void} = 1-\rho_\text{측정}/\rho_c$.

밀도 2.20인 충전재를 밀도 1.20인 수지에 88 넣으면 부피 분율은 , 복합재료 밀도는 이다.

용융 실리카($\rho = 2.20$ g/cm³) 88 wt%를 에폭시($\rho = 1.20$ g/cm³)에 넣은 몰딩 화합물이 있다. (a) 실리카의 부피 분율, (b) EMC의 밀도, (c) 1 cm³ 속 실리카 질량을 구하라. (d) 같은 부피 분율을 알루미나($\rho = 3.89$ g/cm³)로 만들려면 몇 wt%가 필요한가?

풀이 보기

전략 질량 100 g을 기준으로 각 상의 부피를 구하면 부피 분율과 밀도가 함께 나온다.

풀이 (a) 실리카 88 g → 40.0 cm³, 에폭시 12 g → 10.0 cm³. $V_f = 40.0/50.0 = 0.800$. (b) $\rho_c = 100/50.0 = 2.00$ g/cm³(또는 $0.8\times2.20+0.2\times1.20$). (c) $0.800\times2.20 = 1.76$ g. (d) 알루미나 0.800 cm³ = 3.112 g, 에폭시 0.200 cm³ = 0.240 g → $w = 3.112/3.352 = 0.928$, 곧 92.8 wt%.

(a) 80.0 vol% (b) 2.00 g/cm³ (c) 1.76 g (d) 92.8 wt%

검토 88 wt%라는 숫자가 주는 인상보다 부피 분율이 작다(80 %). 성질은 부피 분율이 정하므로 충전재를 바꿀 때는 wt%가 아니라 vol%를 맞춰야 한다. 자료표의 EMC(85 wt%)는 75.6 vol%다.

혼합 법칙과 탄성률의 경계

두 상의 영률 $E_f$(강화재)와 $E_m$(기지), 부피 분율 $V_f$를 알면 복합재료의 영률을 알 수 있을까? 답은 "상들이 어떻게 배열되어 있느냐에 달렸다"이다. 극단적인 두 배열을 생각하면 가능한 값의 범위가 나온다. 판 모양의 두 상을 하중과 나란히 세우면 두 상은 같은 만큼 늘어나야 하고(등변형(isostrain)), 하중과 수직으로 쌓으면 같은 힘이 두 상을 차례로 지나간다(등응력(isostress)). 용수철로 말하면 병렬과 직렬이다.

하중과 나란한 두 상: 같은 변형, 응력은 단단한 상이 더 많이 받는다. 힘은 넓이 비율로 더해진다.
하중과 수직으로 쌓인 두 상: 같은 응력, 변형은 무른 상이 더 많이 한다. 늘어남이 두께 비율로 더해진다.
어떤 배열의 복합재료도 두 극단 사이의 탄성률을 가진다(푸아송 비 차이를 무시할 때).

혼합 법칙의 두 극단. 보이트는 강성($E$)을, 로이스는 순응($1/E$)을 부피 평균한다. 5장에서 다결정의 평균 탄성률을 구할 때 쓴 바로 그 두 경계다(응력·변형과 탄성).

등변형 배열에서 하중 $F_c = F_f+F_m$을 단면적으로 나누면 $\sigma_c = V_f\sigma_f+V_m\sigma_m$($V_m = 1-V_f$)이고, 모든 상의 변형이 같으므로 $\varepsilon$으로 나누면 혼합 법칙(rule of mixtures)의 상한이 된다. 등응력 배열에서는 변형이 두께 비율로 더해져 하한이 된다.

$$E_\text{V} = V_fE_f+(1-V_f)E_m,\qquad \frac{1}{E_\text{R}} = \frac{V_f}{E_f}+\frac{1-V_f}{E_m}$$

보이트(Voigt, 상한)와 로이스(Reuss, 하한). 두 상의 강성 대비 $E_f/E_m$가 클수록 두 경계는 크게 벌어진다. 에폭시(2.6 GPa)–실리카(73 GPa) 50 vol%면 37.8 GPa와 5.0 GPa로 일곱 배 넘게 차이 난다. 열전도도·전기 전도도·유전율에도 같은 꼴(병렬·직렬)이 성립한다.

강화재 73, 기지 2.6, 부피 분율 50이면 보이트 상한 , 로이스 하한 , 두 경계의 비 이다.

하신–슈트리크만 경계

보이트·로이스 경계는 상의 모양에 대해 아무것도 가정하지 않으므로 넓다. 미세조직이 통계적으로 등방(입자 강화처럼 어느 방향이나 같음)이라는 정보를 더하면 경계를 훨씬 좁힐 수 있다. 하신(Hashin)과 슈트리크만(Shtrikman)은 변분 원리로 등방 두 상 재료의 체적·전단 탄성률이 넘을 수 없는 가장 좁은 경계를 구했다. 체적 탄성률의 경계는

$$K_\text{HS}^{-} = K_1+\frac{V_2}{\dfrac{1}{K_2-K_1}+\dfrac{3V_1}{3K_1+4G_1}},\qquad K_\text{HS}^{+} = K_2+\frac{V_1}{\dfrac{1}{K_1-K_2}+\dfrac{3V_2}{3K_2+4G_2}}$$

상 1이 무른 상($K_1\lt K_2$, $G_1\lt G_2$)이면 $K^-$가 하한, $K^+$가 상한이다. 전단 탄성률도 비슷한 꼴이고, $E = 9KG/(3K+G)$로 영률 경계를 얻는다(Mat.hashinShtrikman). 하한은 "무른 기지 속에 단단한 구가 떠 있는" 코팅 구 배열이 정확히 달성하고, 상한은 그 반대(단단한 기지 속 무른 구)가 달성한다.

그래서 실제 입자 복합재료는 연속상이 무엇이냐에 따라 경계의 어느 쪽에 붙는다. 무른 고분자가 연속상이고 단단한 입자가 흩어진 EMC·TIM은 HS 하한 근처에 놓인다(입자가 서로 닿기 시작하는 고충전에서는 조금 위로 올라간다). 반대로 단단한 금속이 연속상인 WC–Co 초경합금은 상한 쪽이다. 아래 시뮬레이터에서 두 상의 배열을 돌려 보고, 부피 분율을 끌어 네 경계가 어떻게 벌어지는지 확인하라.

에폭시(2.6 GPa)에 구형 실리카(73 GPa)를 50 vol% 고르게 섞었다. 복합재료의 영률은 대략 얼마일까?

연속상인 에폭시가 하중 경로를 끊지 않으므로 단단한 입자는 하중을 많이 나눠 받지 못한다. HS 하한이 7.3 GPa이고, 입자 복합재료 실측에 잘 맞는 할핀–차이(ξ = 2)는 9.0 GPa다. "혼합 법칙 = 단순 평균"은 섬유가 하중과 나란할 때만 맞는다.

SIMULATOR

혼합 법칙 실험대: 배열을 돌리고 부피 분율을 끌기

왼쪽: 판의 흰 원을 돌린다 · 오른쪽: 흰 원을 좌우로 끈다

두 상

배열

하신–슈트리크만 경계 보기

V_f—

보이트 · 로이스—

HS 하한 · 상한—

이 배열의 E—

층상 배열에서 각도 0°는 등변형(보이트), 90°는 등응력(로이스)이고 그 사이는 층판의 비축 탄성률(3절의 변환 식)이다. 구형 입자 배열은 연속상이 기지인 모리–다나카 값(= HS 하한)이다. 해볼 것: ① 실리카–에폭시에서 층을 0°에서 90°로 돌리면 E가 각도 30° 근처까지 급히 떨어진다. ② 텅스텐–구리처럼 대비가 작으면(3.7배) 네 경계가 거의 겹친다 — 그래서 금속–금속 복합재료는 혼합 법칙만으로 충분하다. ③ 구형 입자에서 HS 하한이 로이스보다 높게, 그러나 보이트보다는 훨씬 낮게 놓이는 것을 본다.

에폭시($E = 2.6$ GPa, $\nu = 0.35$)와 용융 실리카($E = 73$ GPa, $\nu = 0.17$)를 50 vol%씩 섞었다. 보이트·로이스 경계와 체적 탄성률의 하신–슈트리크만 경계를 구하라.

풀이 보기

전략 HS 식에는 $K$와 $G$가 필요하다. $K = E/3(1-2\nu)$, $G = E/2(1+\nu)$로 바꾼다. 상 1 = 에폭시(무른 상).

풀이 $E_\text{V} = 0.5\times73+0.5\times2.6 = 37.8$ GPa, $E_\text{R} = 1/(0.5/73+0.5/2.6) = 5.02$ GPa. 에폭시 $K_1 = 2.6/0.9 = 2.89$, $G_1 = 2.6/2.7 = 0.963$ GPa. 실리카 $K_2 = 73/1.98 = 36.9$, $G_2 = 73/2.34 = 31.2$ GPa. $K^- = 2.89+\dfrac{0.5}{1/(36.9-2.89)+1.5/(8.67+3.85)} = 2.89+\dfrac{0.5}{0.0294+0.1198} = 6.24$ GPa. $K^+ = 36.9+\dfrac{0.5}{1/(2.89-36.9)+1.5/(110.6+124.8)} = 36.9+\dfrac{0.5}{-0.0294+0.0064} = 15.2$ GPa.

$E_\text{V} = 37.8$, $E_\text{R} = 5.02$ GPa; $6.24\le K\le15.2$ GPa (HS 영률 경계 7.3–26.9 GPa)

검토 체적 탄성률의 보이트·로이스 경계는 19.9와 5.4 GPa이므로 HS가 양쪽에서 좁혔다. 같은 계산의 영률 하한 7.3 GPa가 에폭시 기지 입자 복합재료의 기준선이다. 실리카를 76 vol%(85 wt%)까지 채운 실제 EMC는 약 22 GPa(자료표 값)로, 이 부피 분율의 HS 하한(15 GPa)보다 조금 높다 — 입자끼리 닿아 하중 경로가 생기기 때문이다.

연속 섬유 강화: 하중 분담과 이방성

가는 섬유는 같은 재료의 덩어리보다 훨씬 강하다. 유리 덩어리의 인장 강도는 수십 MPa지만 지름 10 µm 유리 섬유는 3 GPa를 넘는다. 단면이 작으면 그 속에 큰 결함이 있을 확률이 작기 때문이다(7장의 와이블 크기 효과, 파괴·피로·크리프). 탄소 섬유는 흑연 면이 섬유 축과 나란히 늘어서 축 방향 영률이 230–900 GPa에 이른다. 그러나 섬유는 혼자서는 쓸모가 없다. 굽히면 부러지고, 누르면 꺾인다. 기지가 섬유를 붙잡아 하중을 나눠 주고 압축을 버티게 할 때 비로소 구조재가 된다.

축 방향: 등변형과 하중 분담

연속 섬유가 하중과 나란한 단방향 복합재료(unidirectional composite)는 등변형 배열 그 자체다. 섬유와 기지가 잘 붙어 있으면 같이 늘어나므로 축 방향(1 방향) 영률은 보이트 식 $E_1 = V_fE_f+V_mE_m$이다. 응력은 탄성률에 비례해 나뉘므로 섬유가 받는 하중의 비율은

$$\frac{F_f}{F_m} = \frac{E_fV_f}{E_mV_m},\qquad \frac{F_f}{F_c} = \frac{E_fV_f}{E_fV_f+E_mV_m}$$

유리 섬유(72.5 GPa) 40 vol%–에폭시(2.6 GPa)면 섬유가 하중의 95 %를 받는다. 섬유는 부피의 40 %인데 하중은 95 %를 진다. 섬유 응력 $\sigma_f = E_f\varepsilon$과 기지 응력 $\sigma_m = E_m\varepsilon$의 비는 $E_f/E_m$(28배)이다.

하중을 더 올리면 무슨 일이 생길까? 섬유는 파단까지 거의 선형 탄성이지만, 고분자나 금속 기지는 훨씬 작은 변형에서 항복하거나 비선형이 된다. 그래서 응력–변형 곡선은 두 단계로 꺾인다.

두 상 모두 탄성이면 기울기는 보이트 영률이다.
기지가 항복하면 추가 하중은 거의 섬유만 받아 기울기가 $V_fE_f$로 준다(섬유가 대부분을 받으므로 꺾임은 작다).
섬유가 파단 변형 $\varepsilon_f^*$에 이르면 남은 기지가 하중을 받지 못해 복합재료가 파괴된다.

단방향 복합재료의 응력–변형 곡선(모식도). $V_f$가 아주 작으면 섬유가 끊어진 뒤 기지 혼자 버티는 편이 더 강할 수 있는데, 이 경계를 최소 섬유 분율이라 한다. 실용 복합재료는 $V_f = 0.5$–0.65다.

E-유리 섬유($E_f = 72.5$ GPa, $\sigma_f^* = 3450$ MPa) 40 vol%를 에폭시($E_m = 2.6$ GPa)에 정렬한 판을 섬유 방향으로 50 MPa로 당긴다. (a) 축 방향 영률, (b) 섬유가 받는 하중 분율, (c) 섬유와 기지의 응력, (d) 축 방향 인장 강도를 구하라. 섬유 파단 변형에서 기지 응력은 $\sigma_m' = 60$ MPa로 본다.

풀이 보기

전략 등변형: 영률은 보이트, 응력은 $E\varepsilon$, 강도는 섬유가 끊어질 때의 응력 합.

풀이 (a) $E_1 = 0.4\times72.5+0.6\times2.6 = 30.6$ GPa. (b) $F_f/F_c = 29.0/30.56 = 0.949$. (c) $\varepsilon = 50/30560 = 1.64\times10^{-3}$, $\sigma_f = 72500\times1.64\times10^{-3} = 119$ MPa, $\sigma_m = 2600\times1.64\times10^{-3} = 4.25$ MPa. 확인: $0.4\times119+0.6\times4.25 = 50$ MPa. (d) $\sigma_c^* = 0.4\times3450+0.6\times60 = 1416$ MPa.

(a) 30.6 GPa (b) 94.9 % (c) $\sigma_f = 119$ MPa, $\sigma_m = 4.3$ MPa (d) 약 1.42 GPa

검토 섬유가 하중을 거의 다 지므로 기지는 응력보다 하중 전달·보호 역할이다. 실측 강도는 섬유 정렬 불량, 섬유 강도의 분산(와이블), 기공 때문에 이 값의 70–80 %에 그친다.

횡방향: 로이스보다 크고 보이트보다 훨씬 작다

섬유와 수직으로 당기면(2 방향) 섬유와 기지는 대략 직렬로 놓인다. 그러나 둥근 섬유는 판처럼 하중 경로를 완전히 끊지 않으므로 실제 횡방향 영률 $E_2$는 로이스 값보다 크다. 실측에 잘 맞는 반경험식이 할핀–차이 식(Halpin–Tsai equation)이다.

$$\frac{E}{E_m} = \frac{1+\xi\eta V_f}{1-\eta V_f},\qquad \eta = \frac{E_f/E_m-1}{E_f/E_m+\xi}$$

$\xi$는 강화재의 모양과 하중 방향을 담는 형상 인자다. $\xi\to0$이면 로이스, $\xi\to\infty$이면 보이트가 된다. 원형 섬유의 횡방향 $E_2$와 구형 입자는 $\xi\approx2$, 횡방향 전단 $G_{12}$는 $\xi\approx1$, 정렬된 단섬유의 축 방향은 $\xi\approx2l/d$(종횡비의 두 배)를 쓴다.

흰 원을 끌어 V_f 선택

형상 인자 ξ

MINI LAB유리 섬유–에폭시. 할핀–차이 곡선(진한 선)이 $\xi$에 따라 로이스(아래 점선)와 보이트(위 점선) 사이를 오간다. $\xi = 2$(횡방향)에서 $V_f = 0.6$이면 11.7 GPa로, 로이스 값 6.2 GPa의 두 배 가까이 된다. 종횡비 50인 정렬 단섬유($\xi = 100$)의 축 방향은 보이트 값의 90 % 남짓까지 다가간다 — 길이가 충분하면 단섬유도 연속 섬유처럼 일한다(4절).

비축 방향: 조금만 틀어도 무너지는 강성

단방향 판을 섬유와 $\theta$만큼 기운 방향으로 당기면 탄성률은 $E_1$과 $E_2$ 사이의 단순한 보간이 아니다. 판의 탄성 상수 $E_1, E_2, G_{12}, \nu_{12}$로 순응 행렬을 돌리면

$$\frac{1}{E_x(\theta)} = \frac{\cos^4\theta}{E_1}+\left(\frac{1}{G_{12}}-\frac{2\nu_{12}}{E_1}\right)\sin^2\theta\cos^2\theta+\frac{\sin^4\theta}{E_2}$$

가운데 항의 $1/G_{12}$가 핵심이다. 기지가 지배하는 전단 탄성률 $G_{12}$는 $E_1$보다 수십 배 작으므로, 각도가 조금만 생겨도 전단 변형이 순응을 지배한다. 탄소 섬유–에폭시($E_1 = 140$, $E_2 = 10$, $G_{12} = 5$ GPa)는 10°만 틀어도 $E_x$가 80 GPa로, 30°면 21 GPa로 떨어진다(Mat.offAxisE).

탄소 섬유–에폭시 단방향 판(섬유 방향 영률 약 140 GPa)을 섬유와 30° 기운 방향으로 당긴다. 그 방향의 영률은?

$\cos^4\theta/E_1$ 항은 작지만 $(1/G_{12})\sin^2\theta\cos^2\theta$ 항이 $1/5\times0.1875 = 0.0375$로 압도한다. $E_x(30°)\approx 21$ GPa. 정렬 오차 몇 도가 강성을 크게 떨어뜨리는 이유이고, 실제 구조물은 여러 방향의 층을 쌓는다.

SIMULATOR

단방향 판의 극좌표 탄성률: 하중 방향을 돌리기

극좌표 그림의 흰 원을 돌린다

섬유–에폭시

섬유 부피 분율 V_f 0/90 직교 적층 · 유사 등방 겹쳐 보기

하중 각도 θ—

E_x(θ)—

E_x/E₁—

E₁ · E₂ · G₁₂—

판의 상수는 $E_1$ = 보이트, $E_2$ = 할핀–차이(ξ = 2), $G_{12}$ = 할핀–차이(ξ = 1), $\nu_{12}$ = 혼합(Mat.udPly)이다. 섬유 값: 탄소 230 GPa, 아라미드 131 GPa, E-유리 72.5 GPa(대표값). 섬유를 등방으로 본 모형이라 횡방향이 무른 아라미드·탄소 섬유의 $E_2$는 실제보다 조금 크게 나온다. 해볼 것: ① 탄소에서 θ를 0°에서 조금씩 늘려 E가 절반이 되는 각도를 찾는다(약 10°). ② E-유리는 $E_1/E_2$가 작아 극좌표 모양이 덜 뾰족하다. ③ 적층을 켜면 0/90 판은 0°·90°에서 단단하고 45°에서 약하며, [0/±45/90] 유사 등방 판은 원이 된다 — 대신 반지름이 $E_1$의 40 % 정도다.

패키지 기판은 유리 섬유 천 복합재료

FR-4와 BT 수지 기판의 코어는 E-유리 섬유를 날실·씨실로 짠 천에 에폭시(또는 BT 수지)를 먹여 여러 장 쌓고 구리박과 함께 눌러 굳힌 적층판이다. 섬유가 면 안 두 방향으로 놓여 면 안 열팽창은 14–17 ppm/K로 억제되지만, 섬유가 없는 두께 방향은 수지가 지배해 유리 전이 아래에서도 50–70 ppm/K에 이른다 — 비아 도금 구리가 두께 방향으로 반복 피로를 받는 이유다. 고성능 패키지는 유리 섬유와 무기 충전재를 늘린 저 CTE 코어, 그 위에 실리카를 채운 빌드업 필름(ABF), 나아가 섬유 없이 유리판 하나를 쓰는 유리 코어(CTE를 실리콘에 가깝게 3–9 ppm/K로 맞추고 평탄도가 좋다)로 가고 있다. 섬유 천의 직조 무늬는 고속 신호선 아래에서 유전율을 위치마다 바꿔 신호 지연 차이(fiber weave effect)도 만든다. → PackagingBook · 기판과 패키지 형태

단섬유와 계면: 전단 지연과 임계 섬유 길이

섬유가 짧으면 하중을 어떻게 받을까? 섬유의 끝에서는 섬유가 받는 인장 응력이 0이다. 기지가 섬유 표면을 따라 전단 응력 $\tau$로 끌어당겨야 섬유 속 응력이 끝에서부터 쌓인다. 이것이 전단 지연(shear lag) 모형의 핵심이다. 섬유 조각 $dx$의 힘 평형은 $\tfrac{\pi d^2}{4}d\sigma_f = \pi d\,\tau\,dx$이므로, 계면이 버틸 수 있는 최대 전단 응력 $\tau_c$(계면 전단 강도 또는 기지의 전단 항복 강도)로 끌면 섬유 응력은 끝에서 직선으로 오른다.

$$\frac{d\sigma_f}{dx} = \frac{4\tau_c}{d}\quad\Rightarrow\quad \sigma_f(x) = \frac{4\tau_c}{d}\,x\ \ (\text{끝에서 거리 }x),\qquad l_c = \frac{\sigma_f^*d}{2\tau_c}$$

섬유 가운데에서 응력이 섬유 강도 $\sigma_f^*$에 이르려면 양쪽 끝에서 $l_c/2$씩, 곧 길이가 임계 섬유 길이(critical fiber length) $l_c$ 이상이어야 한다. 탄소 섬유($d = 7$ µm, $\sigma_f^* = 3.5$ GPa)와 $\tau_c = 20$ MPa면 $l_c = 0.61$ mm, 종횡비 $l_c/d\approx90$이다. 계면이 약하면 $l_c$가 길어진다.

$l\lt l_c$이면 섬유는 끊어지기 전에 계면이 미끄러지거나 기지가 전단 파괴되어 뽑혀 나온다. 섬유 강도를 다 쓰지 못한다. $l\gt l_c$이면 가운데 부분이 $\sigma_f^*$까지 올라가지만 양 끝 $l_c/2$씩은 덜 일하므로 섬유 평균 응력은 $\sigma_f^*(1-l_c/2l)$이다. 정렬된 불연속 섬유 복합재료의 축 방향 강도는

$$\sigma_{cd}^* = \sigma_f^*V_f\left(1-\frac{l_c}{2l}\right)+\sigma_m'(1-V_f)\quad(l\gt l_c),\qquad \sigma_{cd'}^* = \frac{l\tau_c}{d}V_f+\sigma_m'(1-V_f)\quad(l\lt l_c)$$

$l = 5l_c$이면 연속 섬유 효율의 90 %, $l = 15l_c$이면 97 %다. 그래서 $l\gt15l_c$이면 연속 섬유처럼 다룬다(Mat.fiberStrength, Mat.criticalFiberLength).

임계 길이가 1 mm인 계에서 길이 0.8 mm 섬유를 넣은 복합재료를 계속 당기면, 섬유는 어떻게 될까?

끝에서 오르는 응력은 가운데($l/2 = 0.4$ mm)에서 최대 $4\tau_c(0.4\text{ mm})/d = 0.8\sigma_f^*$에 그친다. 하중을 더 올려도 계면이 이미 $\tau_c$로 미끄러지고 있으므로 섬유 응력은 더 오르지 않는다. 섬유 강도의 80 %만 쓰고 뽑혀 나온다.

SIMULATOR

전단 지연 실험대: 섬유 길이와 하중을 끌어 응력 분포 보기

섬유 오른쪽 끝 · 하중 화살표의 흰 원을 끈다

섬유

계면 전단 강도 τ_c

임계 길이 l_c—

l / l_c—

섬유 평균 응력 / 최대—

상태—

위는 기지 속 섬유 한 가닥(색 = 섬유 응력, 끝의 작은 화살표 = 계면 전단), 아래는 섬유를 따라 그린 응력 분포다. 먼 곳의 섬유 응력($E_f\varepsilon$)은 하중 화살표로 정한다. 해볼 것: ① 길이를 $l_c$보다 짧게 하고 "파단까지 당기기"를 누르면 응력이 $\sigma_f^*$에 닿지 못한 채 뽑힘이 된다. ② $\tau_c$를 두 배로 하면 $l_c$가 절반이 되어 같은 섬유가 끊어질 수 있다. ③ $l = 5l_c$에서 평균/최대 응력 비가 0.9가 되는 것을 확인한다.

섬유 강도 3500, 지름 7, 계면 전단 강도 20이면 $l_c$ = (종횡비 )이다. 길이 2 섬유의 강도 효율은 이다.

탄소 섬유($d = 7$ µm, $\sigma_f^* = 3500$ MPa)와 에폭시의 계면 전단 강도가 20 MPa다. 섬유 30 vol%를 정렬했고 $\sigma_m' = 60$ MPa다. (a) 임계 섬유 길이, (b) 섬유 길이 2 mm일 때와 (c) 0.3 mm일 때의 축 방향 강도를 구하고 (d) 연속 섬유와 비교하라.

풀이 보기

전략 $l_c$를 구한 뒤 길이가 그보다 긴지 짧은지에 따라 식을 고른다.

풀이 (a) $l_c = 3500\times7\times10^{-6}/(2\times20) = 6.125\times10^{-4}$ m = 0.613 mm. (b) $l/l_c = 3.27$: $\sigma = 3500\times0.3\times(1-0.613/4)+60\times0.7 = 889+42 = 931$ MPa. (c) $l\lt l_c$: $\sigma = (0.3\times10^{-3}\times20/7\times10^{-6})\times0.3+42 = 857\times0.3+42 = 299$ MPa. (d) 연속: $3500\times0.3+42 = 1092$ MPa.

(a) 0.61 mm (b) 931 MPa (연속의 85 %) (c) 299 MPa (27 %) (d) 1092 MPa

검토 임계 길이 아래로 섬유를 자르면 강도가 급격히 떨어진다. 사출 성형용 단섬유 펠릿에서 섬유가 스크루에 잘려 0.2–0.5 mm가 되는 것이 강도 손실의 주원인이고, 실레인 결합제로 $\tau_c$를 높이는 이유다.

섬유 방향이 무작위면 하중 방향과 나란한 섬유가 일부뿐이므로 효율이 더 준다. 탄성률에 곱하는 방향 효율 인자(크렌첼)는 정렬 1, 면 안 무작위 3/8, 3차원 무작위 1/5다. 앞의 미니 실험에서 "단섬유·무작위"가 원이면서도 반지름이 작았던 이유다.

입자 충전재: 열팽창과 열전도

패키지에서 입자 복합재료를 쓰는 이유는 대개 강도가 아니라 열이다. 에폭시의 열팽창 계수는 60 ppm/K 안팎으로 실리콘(2.6)의 20배가 넘는다. 이대로 칩을 덮으면 경화 온도에서 식을 때 칩과 와이어와 기판을 잡아 뜯는다. 열팽창이 0.55 ppm/K인 용융 실리카를 부피의 75–83 %까지 채우면 EMC의 열팽창이 8–12 ppm/K로 내려와 실리콘(2.6)과 유기 기판(14–17) 사이에 자리 잡는다. 같은 원리로 실리콘 고무에 알루미나나 질화 알루미늄을 채운 TIM은 고분자의 유연함을 지키면서 열전도도를 열 배 이상 끌어올린다.

열팽창: 단순 혼합·터너·커너

가장 단순한 추측은 부피 평균 $\alpha_c = V_f\alpha_f+V_m\alpha_m$이다. 그러나 열팽창이 다른 두 상은 서로를 잡아당기고 밀어 내부 응력을 만든다. 기지는 더 팽창하려다 단단한 입자에 붙잡히고, 그 응력이 기지의 팽창을 줄인다. 터너 식(Turner equation)은 모든 상이 같은 부피 변형을 한다고 보고(등변형) 내부 응력의 합이 0인 조건에서 체적 탄성률로 가중 평균한다. 커너 식(Kerner equation)은 구형 입자 둘레의 기지가 전단으로 변형하는 것까지 고려한다.

$$\alpha_\text{T} = \frac{\alpha_fK_fV_f+\alpha_mK_mV_m}{K_fV_f+K_mV_m},\qquad \alpha_\text{K} = \bar\alpha+V_fV_m(\alpha_f-\alpha_m)\frac{K_f-K_m}{V_mK_f+V_fK_m+3K_fK_m/4G_m}$$

$\bar\alpha = V_f\alpha_f+V_m\alpha_m$. 단단한 입자($K_f\gg K_m$)는 터너 식에서 큰 가중치를 받아 $\alpha$를 강하게 끌어내린다. 터너는 하한에 가깝고(실측보다 작게 예측), 단순 혼합은 상한에 가깝다. 커너는 그 사이로 입자 충전 수지의 실측에 가장 잘 맞는다(Mat.cteMix, Mat.cteTurner, Mat.cteKerner).

용융 실리카(0.55 ppm/K)를 에폭시(60 ppm/K)에 85 채우면 부피 분율 , 열팽창 계수는 단순 혼합 , 터너 , 커너 이다.

흰 원을 좌우로 끈다

MINI LAB세 모형의 열팽창 계수와 부피 분율. 아래 띠는 실리콘(2.6), 위 띠는 유기 기판(14–17 ppm/K)이다. 유리 전이 위(기지 $\alpha_m\approx180$ ppm/K, $G_m$이 수십 MPa로 떨어짐)로 가면 커너가 단순 혼합에 붙는다 — 무른 기지는 입자를 붙잡지 못해 내부 응력의 이득이 사라진다. 알루미나는 열은 잘 통하지만 자기 $\alpha$가 7.4 ppm/K라 같은 부피 분율에서 실리카보다 $\alpha$가 높다.

에폭시($\alpha = 60$ ppm/K, $E = 2.6$ GPa, $\nu = 0.35$, $\rho = 1.20$)에 용융 실리카($\alpha = 0.55$ ppm/K, $E = 73$ GPa, $\nu = 0.17$, $\rho = 2.20$)를 85 wt% 채웠다. 유리 전이 아래 열팽창 계수를 단순 혼합·터너·커너 식으로 구하고 자료표 값(9 ppm/K)과 비교하라.

풀이 보기

전략 먼저 vol%로 바꾼다. $K$, $G$는 예제 14.2에서 구했다: 에폭시 $K_m = 2.89$, $G_m = 0.963$; 실리카 $K_f = 36.9$ GPa.

풀이 $V_f = (85/2.20)/(85/2.20+15/1.20) = 38.64/51.14 = 0.756$. 단순 혼합: $0.756\times0.55+0.244\times60 = 15.1$ ppm/K. 터너: $\dfrac{0.55\times36.9\times0.756+60\times2.89\times0.244}{36.9\times0.756+2.89\times0.244} = \dfrac{15.3+42.3}{27.9+0.71} = 2.0$ ppm/K. 커너: 보정 항의 분모 $0.244\times36.9+0.756\times2.89+3\times36.9\times2.89/(4\times0.963) = 9.0+2.18+83.0 = 94.2$, 보정 $= 0.756\times0.244\times(-59.45)\times(34.0/94.2) = -3.96$, $\alpha_\text{K} = 15.1-3.96 = 11.1$ ppm/K.

단순 혼합 15.1, 터너 2.0, 커너 11.1 ppm/K (자료표 9 ppm/K)

검토 터너는 실측의 4분의 1도 안 되고, 단순 혼합은 너무 크다. 커너가 가장 가깝다. 실제 EMC가 더 낮은 것은 입자 크기 분포가 넓어 입자끼리 닿는 골격이 생기고, 에폭시 자체도 배합에 따라 50 ppm/K대로 낮기 때문이다. 같은 계산의 할핀–차이 탄성률은 19 GPa다.

EMC는 실리카를 얼마나 넣느냐의 싸움

EMC 배합의 첫 손잡이는 실리카 함량이다. 함량을 올리면 열팽창이 실리콘에 가까워져 칩·와이어에 걸리는 열응력과 패키지 휨이 줄고, 흡습량도 준다(실리카는 물을 흡수하지 않는다). 대신 탄성률이 오르고, 무엇보다 점도가 치솟아 몰딩 중 와이어 스윕·미충전·보이드가 생긴다. 그래서 구형 실리카를 쓰고(분쇄 각진 입자보다 잘 구른다), 크고 작은 입자를 섞어 큰 입자 사이 빈틈을 작은 입자가 메우게 하며(다봉 분포), 실레인 결합제로 표면을 처리한다. 최근 EMC는 90 wt% 이상, 가장 큰 입자는 좁은 틈을 메우는 MUF용이면 수십 µm 이하로 제한한다. 낮은 열응력 지수 $E\,\Delta\alpha$와 흐름성의 절충이 배합 설계다. → PackagingBook · 몰딩과 봉지

충전 상한과 점도

입자를 한없이 채울 수는 없다. 입자들이 서로 닿아 움직이지 못하는 최대 충전 분율(maximum packing fraction) $\phi_m$에 다가가면 반죽의 점도가 발산한다. 크리거–도허티 식이 대표적이다.

$$\frac{\eta}{\eta_0} = \left(1-\frac{V_f}{\phi_m}\right)^{-[\eta]\phi_m}$$

$[\eta]$는 고유 점도(구 2.5, 각진 입자 3–4), $\phi_m$은 입자 모양·크기 분포가 정한다. 같은 크기 구의 무작위 조밀 충전은 0.64, 각진 분쇄 입자는 0.60 안팎, 크기가 넓게 분포한 구는 작은 입자가 틈을 메워 0.85–0.9까지 오른다. 점도 한계가 정해지면 충전 상한은 $\phi_m$이 정한다.

열전도: 맥스웰과 루이스–닐슨

열전도도도 병렬(상한)·직렬(하한) 경계 사이에 있고, 그 폭은 탄성률보다 훨씬 넓다. 알루미나(30 W/(m·K))와 실리콘 고무(0.15)는 200배 차이다. 무른 기지 속에 고립된 구형 입자의 해석해가 맥스웰 식(Maxwell equation)(맥스웰–오이켄)이고, 이것이 열전도의 HS 하한이다. 입자가 서로 닿기 시작하는 고충전에서는 루이스–닐슨 식(Lewis–Nielsen equation)이 최대 충전 분율 $\phi_m$을 넣어 급증을 따라간다.

$$\frac{k_c}{k_m} = \frac{k_p+2k_m+2V_f(k_p-k_m)}{k_p+2k_m-V_f(k_p-k_m)},\qquad \frac{k_c}{k_m} = \frac{1+ABV_f}{1-B\psi V_f},\ \ B = \frac{k_p/k_m-1}{k_p/k_m+A},\ \ \psi = 1+\frac{1-\phi_m}{\phi_m^2}V_f$$

왼쪽이 맥스웰, 오른쪽이 루이스–닐슨($A = 1.5$: 구, 판·섬유는 더 크다). 두 식 모두 $k_p/k_m\to\infty$이면 $k_p$가 사라진다: 맥스웰은 $(1+2V_f)/(1-V_f)$로 수렴한다. 입자가 고립되어 있으면 열은 결국 기지를 지나야 하므로, 입자의 열전도도보다 입자끼리의 연결이 중요하다(Mat.kMaxwell, Mat.kLewisNielsen).

식이 말하는 "연결"을 직접 보자. 아래 시뮬레이터는 무작위로 놓인 원판 입자 사이로 열이 흐르는 2차원 격자(64×64)를 축차 과완화(SOR)로 실제로 푼다. 왼쪽 벽은 뜨겁고 오른쪽 벽은 차갑다. 열류를 재어 유효 열전도도를 구하고, 같은 면적 분율의 2차원 맥스웰 식(맥스웰–가넷)과 비교한다.

열전도도가 기지의 100배인 원판 입자를 면적의 40 %만큼, 서로 닿지 않게 흩었다. 유효 열전도도는 기지의 몇 배쯤일까?

열은 입자 사이의 기지 틈을 반드시 지나야 하므로 입자가 아무리 좋아도 기지가 병목이다. 2차원 맥스웰 값은 2.3배이고, 격자 풀이도 그 근처(입자 사이 틈이 좁은 곳에서 약간 높다)를 준다. 입자를 겹치도록 허용하면 연결된 경로가 생기는 순간 값이 뛴다.

SIMULATOR

미시 열전도 격자: 입자를 놓고 끌어 유효 열전도도 재기

입자 끌기 · 빈 곳 누르면 추가 · 두 번 누르면 삭제

목표 면적 분율 열전도도 비 k_p/k_m

입자 배치

보기

실제 면적 분율—

격자 풀이 k_c/k_m—

2D 맥스웰 · 직렬 · 병렬—

수렴—

왼쪽 경계 T = 1, 오른쪽 T = 0, 위아래 단열. 칸 사이 전도는 두 칸 열전도도의 조화 평균이다. 오른쪽 그래프의 선은 2차원 맥스웰(진한 선)과 직렬·병렬 경계(점선), 점은 지금 배치의 풀이 값이다(로그 축). 해볼 것: ① "서로 떨어짐"에서 면적 분율을 올려도 점이 맥스웰 곡선을 따라간다. ② "겹침 허용"으로 0.6 이상 올리면 입자가 왼쪽에서 오른쪽까지 이어지는 순간 점이 곡선 위로 크게 뛴다 — 퍼콜레이션이다. ③ 입자 몇 개를 끌어 왼쪽–오른쪽 사슬을 손으로 이어 보라. 열류 보기에서 열이 사슬로 몰리는 것이 보인다.

3차원은 2차원보다 연결이 쉽다(겹치는 구의 퍼콜레이션 문턱은 부피 분율 약 0.29, 원판은 면적 약 0.68). 고충전 TIM이 맥스웰보다 루이스–닐슨을 따르는 것은 입자 접촉 사슬 때문이다. 반대로 이 성질을 거꾸로 쓰는 재료가 이방성 도전 필름(anisotropic conductive film, ACF)이다. 도전 입자(금 도금 고분자 구, 니켈)를 퍼콜레이션 문턱보다 훨씬 적게(수 vol%) 넣어 면 방향으로는 절연을 유지하고, 전극 사이에서 눌러 붙일 때만 두께 방향으로 입자 하나가 위아래 전극을 잇는다(디스플레이 구동 IC 본딩, DisplayBook · 제조 공정과 수율).

실리콘 고무($k_m = 0.15$ W/(m·K))에 구형 알루미나($k_p = 30$)를 60 vol% 채운 TIM의 열전도도를 (a) 직렬·병렬 경계, (b) 맥스웰 식, (c) 루이스–닐슨 식($A = 1.5$, $\phi_m = 0.637$)으로 구하라. (d) 알루미나를 AlN($k_p = 170$)으로 바꾸면 맥스웰 값은 얼마나 오르는가?

풀이 보기

전략 경계는 혼합 법칙, 맥스웰은 대입. 루이스–닐슨은 $B$, $\psi$를 먼저 구한다.

풀이 (a) 병렬 $0.6\times30+0.4\times0.15 = 18.1$, 직렬 $1/(0.6/30+0.4/0.15) = 0.372$. (b) $k_p-k_m = 29.85$: $0.15\times\dfrac{30+0.3+35.82}{30+0.3-17.91} = 0.15\times\dfrac{66.12}{12.39} = 0.800$. (c) $k_p/k_m = 200$, $B = 199/201.5 = 0.988$, $\psi = 1+(0.363/0.406)\times0.6 = 1.537$, $B\psi V_f = 0.911$: $k = 0.15\times(1+1.5\times0.988\times0.6)/(1-0.911) = 0.15\times1.889/0.0894 = 3.17$. (d) AlN: $0.15\times\dfrac{170+0.3+203.8}{170+0.3-101.9} = 0.821$, 2.5 % 오른다.

(a) 0.37–18.1 (b) 0.80 (c) 3.2 W/(m·K) (d) 0.82 — 거의 그대로

검토 경계가 50배나 벌어져 쓸모가 없고, 고립된 입자 모형(맥스웰)과 접촉을 넣은 모형(루이스–닐슨)이 네 배 다르다. 실제 60 vol% 알루미나 TIM은 1.5–3 W/(m·K)로 그 사이에 있다. 입자를 다섯 배 좋은 것으로 바꿔도 맥스웰 값은 거의 그대로다 — TIM 성능은 충전률과 입자 접촉, 그리고 TIM 양쪽 계면의 접촉 열저항이 정한다.

도전: EMC 배합 설계

이제 배합 설계자가 되어 보자. 충전재 종류와 입자 형상·크기 분포를 고르고 충전량을 끌어, 목표 열팽창(과 열전도)을 맞추면서 성형할 수 있는 점도를 지켜야 한다.

SIMULATOR

배합 게임: 열팽창 목표와 점도 한계 사이

흰 원을 좌우로 끌어 충전량을 정한다

과제

충전재

입자 형상·분포

충전량—

α₁ (커너) · k (루이스–닐슨)—

상대 점도 η/η₀—

판정—

점수 (최고)—

기지 에폭시(60 ppm/K, 0.19 W/(m·K)). 과제 ①: $8\le\alpha_1\le10$ ppm/K, 과제 ②: $\alpha_1\le13$ ppm/K이면서 $k\ge1.5$ W/(m·K). 두 과제 모두 상대 점도 300 이하(크리거–도허티, 성형 한계의 모형값). 위 그래프는 열팽창(목표 띠), 가운데는 열전도, 아래는 로그 축 점도(빨간 선 = 한계)다. 점수는 성공했을 때 점도 여유가 클수록 높다. 해볼 것: ① 분쇄 실리카로는 점도 한계 전에 열팽창이 20 ppm/K 아래로 내려가지 않는다. ② 과제 ②에서 알루미나는 열은 충분히 통하지만 자기 열팽창 때문에 $\alpha_1$ 조건을 맞추지 못한다.

TIM: 가장 얇은 층이 가장 큰 열저항

칩에서 방열판까지 열은 실리콘 → TIM1 → 히트 스프레더(구리 덮개) → TIM2 → 방열판으로 흐른다. TIM은 두께가 수십 µm에 불과하지만 열전도도가 1–6 W/(m·K)로 구리(398)의 백분의 일 수준이라 전체 열저항의 큰 몫을 차지한다. 충전률을 올리면 열전도도는 오르지만 점도와 경도가 올라 얇게 퍼지지 않는다(본드 라인 두께 BLT가 커진다). 열저항은 $R = \text{BLT}/k+R_\text{계면}$이므로 $k$만 올려서는 소용이 없다. 그래서 고성능 프로세서는 인듐 같은 금속 TIM(약 80 W/(m·K))이나 액체 금속, 상변화 재료를 쓰고, 그래핀·질화 붕소 판상 충전재로 면 방향 열 확산을 돕는다. → PackagingBook · 열·기계·전기 설계

적층판, 샌드위치와 패키지 휨

단방향 판은 한 방향만 강하므로, 실제 구조물은 방향이 다른 판(층(ply, lamina))을 여러 장 쌓은 적층판(laminate)을 쓴다. 쌓는 순서는 각도를 대괄호에 적는다. [0/90]은 두 층, [0/90]_s는 그것을 거울로 붙인 대칭 적층 [0/90/90/0], [0/±45/90]_s는 면 안 어느 방향으로나 강성이 같은 유사 등방 적층이다.

고전 적층판 이론(classical laminate theory, CLT)은 각 층의 강성 행렬을 층의 각도만큼 돌려 두께 방향으로 적분한다. 면 안 힘과 변형을 잇는 $\mathbf A$, 굽힘 모멘트와 곡률을 잇는 $\mathbf D$, 그리고 둘을 엮는 결합 행렬 $\mathbf B = \sum_k\bar{\mathbf Q}_k(z_k^2-z_{k-1}^2)/2$가 나온다. 적층이 가운데 면에 대해 대칭이면 위아래 층이 상쇄되어 $\mathbf B = 0$이다. $\mathbf B\ne0$인 비대칭 적층은 면 안으로 당기거나 온도만 바꿔도 휜다.

비대칭 [0/90] 판을 경화 온도에서 만든다.
두 층은 x 방향 열팽창이 크게 다르다.
붙은 채 식으면 바이메탈처럼 휜다. y 방향은 부호가 반대다.
대칭 적층은 휨이 상쇄된다. 기판·PCB를 위아래 대칭으로 설계하는 이유다.

적층판의 열 휨. 구리 배선 밀도가 위아래로 다른 패키지 기판, 한쪽 면만 몰딩한 패키지는 모두 "비대칭 적층"이다.

직교 적층 [0/90]_s처럼 0°와 90°가 같은 양이면 면 안 성질은 두 방향의 평균에 가깝다. 푸아송 효과를 무시하면 x 방향 영률과 열팽창은 두 층을 등변형으로 묶은 값이다($\alpha$는 터너 식과 같은 꼴의 강성 가중 평균).

$$E_x\approx\frac{E_1+E_2}{2},\qquad \alpha_x\approx\frac{E_1\alpha_1+E_2\alpha_2}{E_1+E_2}$$

섬유 방향 강성이 크므로 $\alpha_x$는 섬유 방향 $\alpha_1$에 끌려간다. 탄소 섬유(축 방향 $\alpha\approx-0.5$ ppm/K)–에폭시 직교 적층은 면 안 열팽창이 거의 0이 되어 위성 반사판·정밀 광학대에 쓰인다. 유리 섬유 천 기판의 면 안 CTE 14–17 ppm/K도 같은 원리다.

층의 $E_1$ = 140, $E_2$ = 10, $\alpha_1$ = -0.5, $\alpha_2$ = 30인 직교 적층의 면 안 영률은 약 , 열팽창은 약 이다.

경화 온도에서 ΔT

MINI LAB탄소 섬유–에폭시 층($V_f = 0.6$, 층 두께 0.25 mm, 판 100 mm)의 CLT 계산. 왼쪽은 x 방향, 오른쪽은 y 방향에서 본 판의 휨(과장)이다. 비대칭 [0/90]은 x와 y에서 휨 방향이 반대인 안장이고, 대칭 적층은 ΔT를 아무리 키워도 평평하다. [0/45]는 비틀림 곡률 $\kappa_{xy}$까지 생긴다.

샌드위치 패널과 다층 패키지

굽힘 강성은 두께의 세제곱에 비례한다($D = Eh^3/12(1-\nu^2)$). 단단한 얇은 면재 두 장을 가볍고 무른 심재(허니콤, 발포체)로 띄워 놓은 샌드위치 패널(sandwich panel)은 면재가 굽힘 응력을, 심재가 전단을 맡아 무게를 거의 늘리지 않고 굽힘 강성을 수십 배 키운다. 면재 두께 $t_f$, 심재 두께 $c$면 $D\approx E_ft_f(c+t_f)^2/2$다.

반도체 패키지도 굽힘 관점에서 보면 여러 층을 쌓은 판이다. 다이 영역을 아래부터 기판–다이–EMC의 세 층 보로 보고, 각 층의 이축 탄성률 $E_i' = E_i/(1-\nu_i)$, 열팽창 $\alpha_i$로 휨을 구한다. 변형을 $\varepsilon(z) = \varepsilon_0-\kappa z$로 두고 힘과 모멘트의 평형을 풀면

$$\kappa = -\frac{S_0M_T-S_1N_T}{S_0S_2-S_1^2},\qquad S_n = \sum_iE_i'\frac{z_{i+1}^{n+1}-z_i^{n+1}}{n+1},\quad N_T = \sum_iE_i'\alpha_i\Delta T\,t_i,\quad M_T = \sum_iE_i'\alpha_i\Delta T\frac{z_{i+1}^2-z_i^2}{2}$$

$z$는 맨 아래에서 잰 높이. 여기서 $\kappa\gt0$이면 가장자리가 올라간 ∪(스마일), $\kappa\lt0$이면 가운데가 솟은 ∩(크라잉)이다. 두 층이면 5장의 티모셴코 식과 같다. 몸체 길이 $L$의 휨은 $\delta\approx\kappa L^2/8$.

구조 복합재료의 두 얼굴. 샌드위치는 두께 방향 배치로 굽힘 강성을 설계하고, 몰드 패키지는 열팽창이 다른 층의 배치로 휨이 정해진다. 패키지에서 다이 영역과 다이 바깥 영역의 층 구성이 달라 휨은 위치마다 다르다(이 장의 모형은 다이 영역의 1차원 보).

얇은 EMC(0.2 mm)로 덮은 패키지가 175 °C 몰딩 뒤 상온에서 가운데가 솟은 ∩ 모양이었다. 리플로(260 °C)로 가열하면?

몰딩 온도(175 °C)가 휨 0의 기준이다. 상온의 ∩은 기판이 다이보다 많이 줄어든 결과이고, 175 °C를 넘어 가열하면 반대로 기판이 더 늘어나 ∪가 된다. 유리 전이 위에서 EMC가 물러져 다이–기판 이층판처럼 행동하므로 고온 휨이 크다. 휨의 부호가 온도 구간마다 바뀌는 것이 리플로 중 볼 미접합의 원인이다.

SIMULATOR

패키지 휨 실험대: 층 두께와 온도를 끌어 휨 맞추기

EMC 윗면 · 다이 윗면 · 온도계의 흰 원을 끈다

기판 코어

EMC 실리카 함량

온도—

휨 δ (14 mm)—

25 °C · 260 °C—

과제: 두 온도 모두 |δ| ≤ 30 µm—

아래부터 기판 0.3 mm–Si 다이–EMC의 세 층 보, 휨 0 기준 175 °C(몰딩), EMC 유리 전이 150 °C(위: 탄성률 약 1/20, 열팽창 3–4배; 온도를 1 K씩 나눠 증분으로 적분). EMC 성질은 5절의 커너·할핀–차이 식으로 함량에서 계산한다. 위는 패키지 단면(휨 과장), 아래는 −50–300 °C의 휨 곡선과 지금 온도다. 해볼 것: ① 유기 기판에서 EMC를 두껍게 하면 상온 휨이 ∩에서 ∪로 넘어간다 — 0이 되는 두께를 찾는다. ② 과제를 유기 기판으로 풀어 본다(EMC 두께가 핵심). ③ 유리 코어는 Si에 가까운 열팽창 덕에 어떤 조합이든 휨이 작다.

아래부터 유기 기판(0.30 mm, $E' = 28$ GPa, $\alpha = 14$ ppm/K), Si 다이(0.20 mm, $E' = 212$ GPa, $\alpha = 2.6$), 85 wt% EMC(0.20 mm, $E' = 27$ GPa, $\alpha = 11$)가 쌓인 패키지를 175 °C에서 휨 없이 몰딩하고 25 °C로 식혔다. 유리 전이를 무시하고 곡률과 14 mm 길이의 휨을 구하라.

풀이 보기

전략 경계 높이는 $z = 0, 0.3, 0.5, 0.7$ mm. 단위를 GPa·mm로 두고 $S_0, S_1, S_2, N_T, M_T$를 층마다 더한다. $\Delta T = -150$ K.

풀이 $S_0 = 28(0.3)+212(0.2)+27(0.2) = 56.2$. $S_1 = 28(0.09)/2+212(0.25-0.09)/2+27(0.49-0.25)/2 = 1.26+16.96+3.24 = 21.46$. $S_2 = [28(0.027)+212(0.098)+27(0.218)]/3 = 9.139$. $\sum E'\alpha t = 117.6+110.2+59.4 = 287.2$ → $N_T = -0.04309$. $\sum E'\alpha(z_{i+1}^2-z_i^2)/2 = 17.64+44.10+35.64 = 97.38$ → $M_T = -0.01461$. $\kappa = -\dfrac{56.2(-0.01461)-21.46(-0.04309)}{56.2(9.139)-21.46^2} = -\dfrac{0.1037}{53.10} = -1.95\times10^{-3}$ mm⁻¹ = −1.95 m⁻¹. $\delta = 1.95\times(0.014)^2/8 = 4.8\times10^{-5}$ m.

$\kappa\approx-1.95$ m⁻¹(∩, 가운데가 솟음), 휨 약 48 µm

검토 가장 많이 줄어드는 기판이 맨 아래에 있으니 ∩이 맞다. EMC를 0.4 mm로 두껍게 하면 같은 계산에서 휨이 0.4 µm로 거의 사라진다 — 위에서 덜 줄어드는 다이와 더 줄어드는 기판 사이를 EMC가 위쪽에서 균형 잡는다. 실제 설계는 고온(유리 전이 위) 휨까지 함께 맞춰야 한다.

언더필: 솔더 범프를 지키는 충전 에폭시

플립칩은 실리콘 다이(2.6 ppm/K)를 솔더 범프로 유기 기판(15 ppm/K 안팎)에 바로 붙인다. 온도가 오르내릴 때마다 다이와 기판의 늘어남 차이가 가장자리 범프에 큰 전단 변형으로 몰려 수백 사이클 만에 피로 균열이 난다(7장·17장). 다이와 기판 사이 틈을 실리카 50–70 wt% 충전 에폭시로 채우는 언더필은 다이–언더필–기판을 한 몸의 적층판으로 묶어 전단을 범프 대신 넓은 면적이 나눠 받게 해 수명을 열 배 이상 늘린다. 언더필의 열팽창은 솔더(22 ppm/K)에 가깝게, 탄성률은 충분히 높게, 점도는 수십 µm 틈을 모세관 흐름으로 메울 만큼 낮아야 한다 — 이 장의 충전재 배합 문제가 그대로 나타난다. 언더필이 다이나 기판에서 떨어지는 계면 박리가 대표 불량이다. → PackagingBook · 플립칩

복합재료의 파괴와 인성

에폭시의 파괴 인성은 0.6 MPa·√m, 유리는 0.75 MPa·√m로 둘 다 취성이다. 그런데 둘을 섞은 유리 섬유–에폭시는 $K_\mathrm{IC}$가 15–40 MPa·√m에 이른다. 취성 재료 둘을 섞어 인성을 수십 배 키울 수 있는 것은 균열이 섬유를 지나가며 여러 겹의 에너지 소모 기구를 거치기 때문이다.

섬유 복합재료의 파괴 기구. 계면이 적당히 약해야 균열이 섬유를 그대로 자르지 않고(평탄한 취성 파면) 계면을 따라 꺾이고, 섬유가 다른 높이에서 끊어진 뒤 뽑혀 나오며 에너지를 소모한다. 층간 분리는 층 사이에 섬유가 없어 생기는 적층판의 약점이다.

가장 큰 몫은 보통 섬유 뽑힘(fiber pull-out)이다. 섬유는 강도가 가장 약한 곳에서 끊어지는데, 그 위치는 균열면에서 조금 떨어져 있다. 끊어진 조각이 계면 마찰 $\tau$를 이기며 빠져나오는 일은, 묻힌 길이 $x$에 대해 $\int_0^x\pi d\tau s\,ds = \pi d\tau x^2/2$다. 연속 섬유에서 파단 위치가 균열면에서 $l_c/2$ 이내에 고르게 분포한다고 보고 단위 넓이당 섬유 수 $4V_f/\pi d^2$를 곱하면

$$G_\text{po} = \frac{V_f\,\sigma_f^{*2}\,d}{24\,\tau}\qquad(\text{단위: MPa}^2\cdot\mu\text{m}/\text{MPa} = \text{J/m}^2\text{ 로 쓰면 편하다})$$

강한 섬유, 굵은 섬유, 약한 계면일수록 뽑힘 에너지가 크다. 계면이 강하면($\tau$ 큼) $l_c$가 짧아 뽑히는 길이도 짧다. 그런데 4절에서 계면이 강할수록 강도가 높았다. 강도와 인성이 계면 강도를 두고 맞바꿔지는 것이 복합재료 설계의 핵심 절충이다. 이 밖에 섬유 가교, 계면 분리(새 표면 에너지), 기지의 소성 변형이 더해진다.

섬유 50, 강도 2000, 지름 10, 계면 마찰 10이면 뽑힘 에너지 $G_\text{po}$ = , 최대 뽑힘 길이 , 이 $G$에 해당하는 $K = \sqrt{EG}$($E$ = 30 GPa) = 이다.

실레인 결합제를 바꿔 유리 섬유–에폭시의 계면 마찰 $\tau$를 10 MPa에서 20 MPa로 두 배 높였다. 섬유 뽑힘으로 소모되는 에너지는?

마찰력은 두 배지만 뽑히는 길이($\propto1/\tau$)가 절반이 되고, 일은 길이의 제곱에 비례하므로 $2\times(1/2)^2 = 1/2$이다. 시뮬레이터에서 $\tau$를 바꿔 가교 응력 곡선 아래 넓이가 어떻게 바뀌는지 보라. 최대 가교 응력은 비슷한데 꼬리가 짧아진다.

SIMULATOR

섬유 가교와 뽑힘: 균열을 벌려 에너지 재기

위 판의 흰 원을 끌어 균열을 벌린다

섬유

계면 마찰 τ

균열 벌어짐 δ—

가교 응력 p—

끊어진 · 다 빠진 섬유—

소모 에너지 ∫p dδ—

$V_f = 0.5$, 섬유 36가닥(그림은 일부). 섬유마다 강도는 와이블($m = 5$), 파단 위치는 응력이 걸린 길이 안에서 무작위다. 끊어지기 전 섬유 응력은 마찰 미끄럼 모형 $\sigma = \sqrt{4\tau E_f\delta/d}$, 끊어진 뒤는 남은 묻힌 길이에 비례하는 마찰 $4\tau h/d$다. 그래프는 가교 응력–벌어짐 곡선, 칠한 넓이가 지금까지 소모한 에너지이고, 판독의 괄호 안은 같은 섬유들로 계산한 $G_\text{po}$ 식의 값이다. 해볼 것: ① $\tau$를 낮추면 최대 가교 응력은 그대로이고 꼬리가 길어져 에너지가 커진다. ② 탄소 섬유는 가늘어서(7 µm) 같은 $\tau$에서 에너지가 작다.

흰 원을 좌우로 끌어 τ 선택

섬유 길이 l

MINI LAB정렬된 단섬유 탄소–에폭시($V_f = 0.3$, $d = 7$ µm, $\sigma_f^* = 3.5$ GPa). 위는 강도(4절), 아래는 뽑힘 에너지(로그 축)를 계면 강도에 대해 그렸다. $l\lt l_c$이면 모든 섬유가 뽑혀 $G = V_f\tau l^2/6d$로 $\tau$와 함께 오르고, $l\gt l_c$이면 $l_c/l$만큼의 섬유만 뽑혀 $G\propto1/\tau^2$로 떨어진다. 인성은 $l = l_c$가 되는 $\tau$에서 최대이고, 강도는 그보다 큰 $\tau$에서 포화한다.

E-유리 섬유($d = 10$ µm, 복합재료 속 강도 $\sigma_f^* = 2000$ MPa, $E_f = 72.5$ GPa) 50 vol%–에폭시의 계면 마찰이 $\tau = 10$ MPa다. (a) 뽑힘 에너지, (b) 가장 긴 뽑힘 길이, (c) 섬유가 끊어지기 직전의 균열 벌어짐을 구하고 (d) 에폭시의 $G_c\approx0.2$ kJ/m²와 비교하라.

풀이 보기

전략 MPa·µm = J/m²를 쓰면 단위 환산이 필요 없다. 응력이 걸리는 길이는 균열면 한쪽에서 $l_c/2 = \sigma_f^*d/4\tau$다.

풀이 (a) $G_\text{po} = 0.5\times2000^2\times10/(24\times10) = 8.33\times10^4$ J/m² = 83 kJ/m². (b) $l_c/2 = 2000\times10/40 = 500$ µm(평균 250 µm). (c) $\delta = \sigma^2d/4\tau E_f = 2000^2\times10/(4\times10\times72500) = 13.8$ µm.

(a) 약 83 kJ/m² (b) 0.5 mm (c) 약 14 µm (d) 에폭시의 400배

검토 섬유가 끊어질 때까지의 탄성 벌어짐(14 µm)보다 뽑힘 벌어짐(수백 µm)이 훨씬 커서, 에너지 대부분이 뽑힘에서 온다. 파면에 털처럼 삐져나온 섬유가 이 기구의 흔적이다. 실측 인성은 섬유 강도 분포·뽑힘 각도·계면 분리 에너지에 따라 이 어림의 몇 분의 일에서 비슷한 수준이다.

층간 분리와 패키지 박리

적층판은 면 안으로는 섬유가 버티지만 두께 방향과 층 사이 전단은 수지만 버틴다. 그래서 층간 분리(delamination)가 적층판의 대표 파괴다. 충격이 남긴 보이지 않는 층간 분리가 압축 강도를 절반 가까이 떨어뜨리고, 자유 가장자리에서는 층마다 다른 푸아송 수축 때문에 층간 응력이 집중한다. 층간 파괴 인성 $G_\mathrm{Ic}$(모드 I, 이중 외팔보 시험)와 $G_\mathrm{IIc}$(모드 II)로 평가하고, 인성을 높인 수지·두께 방향 바느질·핀으로 막는다.

패키지에서도 같은 일이 벌어진다. EMC–리드프레임, EMC–다이, 언더필–기판 계면은 서로 다른 재료가 만나는 층간이다. 흡습한 패키지를 리플로하면 계면의 수분이 수증기로 팽창해 박리와 균열(팝콘 균열)이 생기고, 열 사이클은 휨과 층간 전단으로 계면 균열을 키운다. 계면의 접착 에너지가 재료의 인성만큼 중요한 이유이고, 17장에서 신뢰성 시험과 함께 다룬다(재료 열화와 신뢰성).

인성을 높이는 세 갈래

① 섬유·입자로 균열을 붙잡거나 꺾기(뽑힘·가교·편향), ② 기지 자체를 질기게(고무 입자나 열가소성 수지를 섞은 강인화 에폭시), ③ 층간을 보강(바느질, 3차원 직조). 세라믹 기지 복합재료(SiC 섬유–SiC 기지)는 일부러 탄소·BN 계면 코팅을 넣어 계면을 약하게 만들어서 취성 세라믹에 금속 같은 "우아한 파괴"를 준다.

핵심 정리

구성과 분류: 복합재료 = 기지 + 강화재 + 계면. 입자 강화(거의 등방), 섬유 강화(연속·불연속, 정렬·무작위), 구조(적층판·샌드위치). 성질은 부피 분율로 정해진다: $V_f = (w_f/\rho_f)/[w_f/\rho_f+(1-w_f)/\rho_m]$. 밀도만 혼합 법칙이 정확하다. 88 wt% 실리카 EMC = 80 vol%.
탄성률 경계: 등변형(보이트) $E_\text{V} = V_fE_f+V_mE_m$이 상한, 등응력(로이스) $1/E_\text{R} = V_f/E_f+V_m/E_m$이 하한. 등방 미세조직이면 하신–슈트리크만 경계가 더 좁고, 무른 기지 속 단단한 입자(EMC·TIM)는 HS 하한 근처(고충전에서는 약간 위)에 놓인다.
연속 섬유: 축 방향은 보이트, 섬유 하중 분율 $E_fV_f/(E_fV_f+E_mV_m)$(유리–에폭시 40 vol%에서 95 %), 강도 $\sigma_c^* = V_f\sigma_f^*+V_m\sigma_m'$. 횡방향은 할핀–차이 $E/E_m = (1+\xi\eta V_f)/(1-\eta V_f)$($\xi\approx2$). 비축 영률은 $1/G_{12}$ 항 때문에 10–30°에서 급감한다 → 여러 방향의 층을 쌓는다.
단섬유: 전단 지연으로 섬유 응력이 끝에서 $4\tau_cx/d$로 오른다. $l_c = \sigma_f^*d/2\tau_c$. $l\gt l_c$: $\sigma_f^*V_f(1-l_c/2l)+\sigma_m'V_m$, $l\lt l_c$: $(l\tau_c/d)V_f+\sigma_m'V_m$. $l\gt15l_c$이면 연속 섬유와 같다. 방향 효율: 정렬 1, 면 안 무작위 3/8, 3차원 1/5.
충전재의 열팽창·열전도: 단순 혼합(상한) ≥ 커너 ≥ 터너(하한 쪽). 커너가 EMC 실측에 가깝다(85 wt% → 11 ppm/K). 열전도는 맥스웰(고립 구, $k_p\to\infty$에서도 $(1+2V_f)/(1-V_f)$배에 그침)과 루이스–닐슨($\phi_m$으로 접촉·급증 반영). 고충전에서는 입자 연결(퍼콜레이션)이 지배하고, 점도는 $(1-V_f/\phi_m)^{-[\eta]\phi_m}$로 발산해 충전 상한을 정한다. ACF는 문턱 아래 충전으로 면 방향 절연을 지킨다.
적층판과 휨: 대칭 적층은 결합 행렬 $\mathbf B = 0$이라 온도가 바뀌어도 휘지 않는다. 비대칭 [0/90]은 식으면 안장(실제 큰 판은 원통). 직교 적층 $\alpha_x\approx(E_1\alpha_1+E_2\alpha_2)/(E_1+E_2)$. 패키지는 기판–다이–EMC 다층 보: 휨 0 기준은 몰딩 온도, EMC 두께·함량·기판 CTE로 상온과 리플로 휨을 함께 맞춘다. 언더필은 범프의 전단을 적층판 전체로 나눈다.
파괴와 인성: 섬유 뽑힘·가교·계면 분리·층간 분리. $G_\text{po} = V_f\sigma_f^{*2}d/24\tau$(MPa·µm = J/m²) — 유리–에폭시 80 kJ/m²대, 기지의 수백 배. 계면이 강하면 강도는 오르고 뽑힘 인성은 떨어진다($l = l_c$에서 인성 최대). 층 사이·이종 재료 계면의 박리가 적층판과 패키지의 약점이다.

연습문제

따로 말이 없으면 에폭시 $E = 2.6$ GPa, $\nu = 0.35$, $\rho = 1.20$ g/cm³, $\alpha = 60$ ppm/K, $k = 0.19$ W/(m·K); 용융 실리카 $E = 73$ GPa, $\nu = 0.17$, $\rho = 2.20$ g/cm³, $\alpha = 0.55$ ppm/K를 쓴다. 답이 ±1–2 % 이내면 정답이다.

알루미늄($E = 69$ GPa) 기지에 SiC 입자($E = 410$ GPa)를 30 vol% 넣은 금속 기지 복합재료의 보이트 상한과 로이스 하한을 구하라.

$E_\text{V} = 0.3\times410+0.7\times69 = 171$ GPa. $E_\text{R} = 1/(0.3/410+0.7/69) = 1/(7.32\times10^{-4}+1.014\times10^{-2}) = 91.9$ GPa. 실제 SiC/Al은 약 100–115 GPa로 하한 쪽(HS 하한 근처)이다.

연속 섬유가 하중과 나란한 단방향 복합재료의 축 방향 영률을 구할 때 쓰는 가정은?

잘 붙은 섬유와 기지는 축 방향으로 같이 늘어나므로 등변형(보이트)이다. 응력은 $E$에 비례해 나뉘어 섬유가 훨씬 많이 받는다.

알루미나($\rho = 3.89$ g/cm³) 70 wt%를 에폭시에 채운 언더필의 알루미나 부피 분율과 밀도를 구하라.

100 g 기준: 알루미나 70/3.89 = 18.0 cm³, 에폭시 30/1.20 = 25.0 cm³. $V_f = 18.0/43.0 = 0.419$, $\rho = 100/43.0 = 2.33$ g/cm³.

에폭시에 구형 알루미나($k = 30$ W/(m·K))를 40 vol% 채웠다. 맥스웰 식으로 열전도도를 구하라.

$k_p-k_m = 29.81$. $k = 0.19\times\dfrac{30+0.38+0.8\times29.81}{30+0.38-0.4\times29.81} = 0.19\times\dfrac{54.23}{18.46} = 0.558$ W/(m·K). 에폭시의 2.9배일 뿐이다.

탄소 섬유($E = 230$ GPa) 60 vol%–에폭시 단방향 판의 축 방향 영률과 섬유가 받는 하중의 비율을 구하라.

$E_1 = 0.6\times230+0.4\times2.6 = 139.0$ GPa. $F_f/F_c = 138/139.04 = 0.993$. 기지는 하중의 0.7 %만 받는다.

E-유리 섬유($E = 72.5$ GPa) 50 vol%–에폭시 단방향 판의 횡방향 영률을 할핀–차이 식($\xi = 2$)과 로이스 식으로 구하라.

$\eta = (E_f/E_m-1)/(E_f/E_m+2)$.

$E_f/E_m = 27.88$, $\eta = 26.88/29.88 = 0.900$. $E_2 = 2.6\times(1+2\times0.9\times0.5)/(1-0.9\times0.5) = 2.6\times1.900/0.550 = 8.98$ GPa. 로이스: $1/(0.5/72.5+0.5/2.6) = 5.02$ GPa.

지름 10 µm, 강도 3450 MPa인 유리 섬유와 수지의 계면 전단 강도가 30 MPa다. 임계 섬유 길이는?

$l_c = \sigma_f^*d/2\tau_c = 3450\times10\times10^{-6}/60 = 5.75\times10^{-4}$ m = 0.575 mm.

앞 문제의 섬유를 길이 3.0 mm로 잘라 35 vol% 정렬했다($\sigma_m' = 60$ MPa). 섬유 방향 인장 강도는?

$l = 3.0\gt l_c = 0.575$ mm. $\sigma = 3450\times0.35\times(1-0.575/6.0)+60\times0.65 = 1207.5\times0.9042+39 = 1092+39 = 1131$ MPa(연속 섬유 1247 MPa의 91 %).

같은 섬유–수지($l_c = 0.575$ mm)에서 섬유 기여분이 연속 섬유의 95 %가 되게 하려면 섬유 길이가 최소 얼마여야 하는가?

$1-l_c/2l = 0.95$ → $l = l_c/0.10 = 10l_c = 5.75$ mm.

탄소 섬유–에폭시 단방향 판의 $E_1 = 140$, $E_2 = 10$, $G_{12} = 5$ GPa, $\nu_{12} = 0.3$이다. 섬유와 45° 방향의 영률을 구하라.

$\cos^4 = \sin^4 = \sin^2\cos^2 = 0.25$. $1/E = 0.25/140+(1/5-0.6/140)\times0.25+0.25/10 = 0.001786+0.04893+0.025 = 0.07571$ → $E = 13.2$ GPa. 횡방향(10 GPa)보다 조금 클 뿐이다.

실리카 60 vol%를 채운 에폭시의 열팽창 계수를 단순 혼합 식과 커너 식으로 구하라. ($K_m = 2.89$, $G_m = 0.963$, $K_f = 36.9$ GPa)

혼합: $0.6\times0.55+0.4\times60 = 24.3$ ppm/K. 커너: 분모 $0.4\times36.9+0.6\times2.89+3\times36.9\times2.89/(4\times0.963) = 14.75+1.73+82.97 = 99.45$, 보정 $= 0.6\times0.4\times(-59.45)\times(33.98/99.45) = -4.88$ → $19.5$ ppm/K.

단순 혼합 식을 믿고 EMC의 열팽창을 10 ppm/K로 맞추려면 실리카를 몇 wt% 넣어야 하는가? (이 식이 과대평가하므로 실제로는 더 적게 든다.)

$10 = 0.55V+60(1-V)$ → $V = 50/59.45 = 0.841$. $w = 0.841\times2.20/(0.841\times2.20+0.159\times1.20) = 1.850/2.041 = 0.907$ → 90.7 wt%. 커너 식으로는 약 87 wt%(V ≈ 0.78)면 된다.

층의 $E_1 = 140$ GPa, $E_2 = 10$ GPa, $\alpha_1 = -0.5$ ppm/K, $\alpha_2 = 30$ ppm/K인 탄소–에폭시 [0/90]_s 판의 면 안 열팽창을 푸아송 효과를 무시하고 어림하라.

$\alpha_x = (140\times(-0.5)+10\times30)/150 = 230/150 = 1.53$ ppm/K. 실리콘(2.6)보다도 작다.

예제 14.7의 패키지에서 EMC 두께만 0.40 mm로 바꿨다. 같은 방법으로 곡률 크기를 구하라. (계산이 길다: $S_0 = 61.6$, $S_1 = 25.78$, $S_2 = 12.613$ GPa·mmⁿ, $N_T = -0.051996$, $M_T = -0.0217344$를 확인하고 써도 된다.)

$S_0M_T-S_1N_T = 61.6(-0.0217344)-25.78(-0.051996) = -1.338839+1.340457 = 1.618\times10^{-3}$. $S_0S_2-S_1^2 = 776.96-664.61 = 112.37$. $|\kappa| = 1.44\times10^{-5}$ mm⁻¹ = 0.0144 m⁻¹, 14 mm 휨 0.35 µm로 거의 평평하다. 두 큰 수의 차이이므로 중간값을 넉넉한 자릿수로 들고 가야 한다.

탄소 섬유($d = 7$ µm, $\sigma_f^* = 3500$ MPa) 60 vol%–에폭시의 계면 마찰이 20 MPa다. 뽑힘 에너지를 구하라.

$G = 0.6\times3500^2\times7/(24\times20) = 5.145\times10^7/480 = 1.07\times10^5$ J/m² = 107 kJ/m².

연속 섬유 복합재료의 파괴 인성(뽑힘 에너지)을 키우려면 섬유–기지 계면을 어떻게 해야 하는가?

$G_\text{po}\propto1/\tau$이므로 계면이 약할수록 뽑힘 길이가 길어져 에너지가 크다. 너무 약하면 하중 전달이 나빠져 강도가 떨어지므로 절충이 필요하다. 섬유가 가늘면 $G_\text{po}\propto d$로 오히려 작아진다.

개념 확인 퀴즈

하신–슈트리크만 경계가 보이트·로이스 경계보다 좁은 이유는?

보이트·로이스는 배열에 대해 아무 가정도 하지 않는다(층상 배열이 각각을 달성한다). 등방성을 가정하면 층상처럼 극단적인 배열이 빠지므로 경계가 좁아진다. HS 경계는 코팅 구 배열이 정확히 달성하는 엄밀한 경계다.

섬유 길이가 임계 길이보다 짧은 복합재료에서 일어나는 일은?

끝에서 전단으로 쌓이는 응력이 가운데에서 $2\tau_cl/d\lt\sigma_f^*$에 그친다. 강도는 $(l\tau_c/d)V_f+\sigma_m'V_m$로 떨어진다.

TIM의 열전도도를 올리려고 알루미나(30 W/(m·K))를 같은 부피의 AlN(170)으로 바꿨는데 거의 오르지 않았다. 가장 그럴듯한 이유는?

$k_p\gg k_m$이면 맥스웰 값은 $k_p$와 무관해진다. 충전률, 입자끼리의 접촉, 계면 열저항을 바꿔야 한다.

[0/90] 비대칭 적층판을 경화한 뒤 식혔더니 휘었다. 휨을 없애는 가장 직접적인 방법은?

대칭 적층은 결합 행렬 $\mathbf B$가 0이라 면 안 열변형이 굽힘을 만들지 않는다. 경화 온도를 높이면 $\Delta T$가 커져 오히려 더 휜다.

EMC의 실리카 함량을 올릴 때 나타나는 변화로 옳지 않은 것은?

물을 흡수하는 것은 에폭시이고 실리카는 흡수하지 않으므로, 함량을 올리면 흡습량은 준다. 열팽창↓, 탄성률↑, 점도↑가 배합 설계의 세 축이다.