Chapter 05

응력·변형과 탄성

300 mm 실리콘 웨이퍼 위에 질화막을 1 µm 올리면, 막이 1 GPa로 당기는 것만으로 웨이퍼 가운데가 가장자리보다 0.6 mm 가까이 내려앉는다. 막은 웨이퍼 두께의 0.13 %밖에 안 되는데도 그렇다. 반대로 휨을 재면 눈에 보이지 않는 막 속 응력을 거꾸로 계산할 수 있다. 이 장은 그 계산에 필요한 탄성학을 재료공학의 눈으로 정리한다. 힘과 찌그러짐을 방향까지 담아 적는 응력·변형 텐서, 좌표를 돌릴 때 성분이 바뀌는 규칙과 모어 원, 등방성 재료의 훅 법칙과 네 탄성 상수, 원자 결합에서 오는 탄성률과 단결정 실리콘의 이방성, 온도가 만드는 열응력과 이층판의 휨, 박막 응력의 스토니 식과 웨이퍼 bow·warp, 그리고 여러 방향 응력이 함께 걸릴 때 항복을 판정하는 폰 미제스 기준이다. 아래 그림은 증착되는 박막(위 띠)과 함께 휘는 웨이퍼, 그리고 휨을 재는 두 줄기 레이저다.

누르면 인장↔압축 · 위아래로 끌면 응력 크기

면에 작용하는 힘(트랙션)에서 응력 텐서를, 변위의 기울기에서 변형 텐서를 세우고 공학 전단 변형 $\gamma = 2\varepsilon_{xy}$와 강체 회전을 구별한다.
좌표를 돌린 응력 성분을 계산하고, 주응력·주방향·최대 전단 응력을 식과 모어 원으로 구하며 3차원의 세 모어 원을 읽는다.
등방성 훅 법칙으로 다축 응력의 변형과 부피 변화를 계산하고 $E, \nu, G, K$ 사이를 변환하며, 단축 응력·이축 응력·단축 변형의 탄성률 $E$, $E/(1-\nu)$, $\lambda+2G$를 구별한다.
결합 퍼텐셜 곡선의 곡률에서 탄성률을 어림하고, 입방정 탄성 상수로 실리콘의 방향별 영률(130–188 GPa)과 (001) 면의 이축 탄성률 180 GPa를 계산하며 다결정의 평균 탄성률을 설명한다.
열변형과 막힌 봉의 열응력, 기판 위 박막의 열 불일치 응력 $\sigma_f = \tfrac{E_f}{1-\nu_f}(\alpha_s-\alpha_f)\Delta T$, 이층판(티모셴코) 휨을 계산한다.
스토니 식으로 박막 응력과 웨이퍼 곡률·휨(bow)을 오가고, 여러 층의 휨을 더해 웨이퍼 휨 예산을 짠다.
폰 미제스·트레스카 등가 응력으로 다축 응력 상태의 항복 여부를 판정하고, 정수압 응력이 항복에 기여하지 않는 이유를 설명한다.

응력과 변형을 텐서로 쓰기

일반물리에서는 봉을 당기는 힘을 단면적으로 나눈 $\sigma = F/A$와 늘어난 비율 $\varepsilon = \Delta l/l_0$로 탄성을 다뤘다(일반물리 · 평형과 탄성). 그러나 웨이퍼 위 박막은 면 안의 두 방향으로 동시에 당겨지고, 배선은 세 방향으로 갇혀 있으며, 솔더 범프는 비틀린다. 이런 상태를 적으려면 "어느 면에" "어느 방향으로" 힘이 걸리는지를 함께 담아야 한다.

물체 속 한 점을 지나는 가상의 면을 생각하자. 면의 바깥 법선이 $\hat n$일 때 그 면을 통해 한쪽이 다른 쪽에 미치는 단위 넓이당 힘을 트랙션(traction) $\mathbf t(\hat n)$이라 한다. 같은 점이라도 면의 방향을 바꾸면 트랙션이 바뀐다. 그런데 좌표면 세 개(법선 $x, y, z$)의 트랙션만 알면 어떤 면의 트랙션도 계산된다(작은 사면체의 힘 평형, 코시의 정리). 그 세 트랙션의 성분 아홉 개를 모은 것이 응력 텐서(stress tensor)다.

$$\boldsymbol\sigma = \begin{pmatrix}\sigma_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{yx}&\sigma_{yy}&\tau_{yz}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{zz}\end{pmatrix},\qquad t_i = \sigma_{ij}\,n_j,\qquad \tau_{ij} = \tau_{ji}$$

첫째 첨자는 면의 법선, 둘째 첨자는 힘의 방향이다. 대각 성분은 면에 수직인 수직 응력(인장 +, 압축 −), 비대각 성분은 면을 따라 미끄러뜨리는 전단 응력이다. 작은 정육면체가 돌기 시작하지 않으려면(모멘트 평형) $\tau_{xy} = \tau_{yx}$이므로 독립 성분은 여섯 개다.

법선이 $+x$인 면에는 수직 응력 하나와 전단 응력 둘이 걸린다.
세 좌표면의 성분을 모으면 3×3 행렬, 곧 응력 텐서가 된다.
모멘트 평형이 짝 전단 응력을 같게 만들어 텐서는 대칭이다.

응력 텐서의 성분. 첨자 규칙(면, 방향)만 지키면 박막·배선·범프의 어떤 응력 상태도 같은 표로 적는다.

법선이 $\hat n$인 임의의 면에 걸리는 트랙션은 $\mathbf t = \boldsymbol\sigma\hat n$이고, 그 가운데 면에 수직인 성분이 수직 응력 $\sigma_n = \hat n\cdot\boldsymbol\sigma\hat n$, 나머지가 전단 응력 $\tau_n = |\mathbf t - \sigma_n\hat n|$이다. 단면적 $A_0$인 봉을 축 방향 $\sigma$로 당길 때 축과 각 $\theta$를 이루는 법선의 비스듬한 면에서는

$$\sigma_n = \sigma\cos^2\theta,\qquad \tau_n = \sigma\sin\theta\cos\theta = \tfrac12\sigma\sin2\theta$$

전단 응력은 $\theta = 45°$에서 최대 $\sigma/2$다. 연성 금속의 인장 시편이 45° 방향의 미끄럼 띠로 항복하는 이유이고, 6장의 슈미트 법칙이 바로 이 계산을 슬립 면에 한 것이다.

지름 10 봉을 15으로 당기면 축 응력은 이다. 법선이 축과 30를 이루는 면에서 수직 응력은 , 전단 응력은 이다.

변형 텐서와 강체 회전

점 $\mathbf x$가 $\mathbf u(\mathbf x)$만큼 움직였다고 하자. 이웃한 두 점의 상대 변위는 변위 기울기 $\partial u_i/\partial x_j$가 정한다. 그런데 이 기울기에는 물체를 찌그러뜨리지 않고 돌리기만 하는 부분도 섞여 있다. 대칭 부분만이 길이와 각도를 바꾸며, 이것이 (작은 변형의) 변형 텐서(strain tensor)다.

$$\varepsilon_{ij} = \tfrac12\!\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right),\qquad \omega_{ij} = \tfrac12\!\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right),\qquad \gamma_{xy} = 2\varepsilon_{xy}$$

$\varepsilon_{xx} = \partial u_x/\partial x$는 x 방향 늘어남, $\gamma_{xy}$는 원래 직각이던 두 선 사이 각의 감소(rad)로 공학 전단 변형(engineering shear strain)이라 한다. 텐서 성분 $\varepsilon_{xy}$는 그 절반이다. $\omega$는 강체 회전으로 응력을 만들지 않는다. 부피 변화율은 대각합 $\Delta V/V = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}$이다.

두 흰 원(사각형의 x·y 모서리)을 끈다

MINI LAB정사각형 격자를 변위 기울기 하나로 균일하게 변형한다. 오른쪽 아래 수치는 변형 성분과 회전각이다. "강체 회전"은 격자가 크게 돌아도 변형이 거의 0이고, "단순 전단"은 같은 $\gamma$의 "순수 전단"에 회전이 더해진 것임을 확인하라(돌림이 크면 작은 변형 근사가 깨져 대각 성분이 조금 생긴다).

지름 10 mm 알루미늄 봉을 15 kN으로 당긴다. (a) 축 응력과 (b) 법선이 축과 30°를 이루는 면의 수직 응력·전단 응력, (c) 전단 응력이 최대인 면과 그 값을 구하라.

풀이 보기

전략 응력 텐서는 $\sigma_{xx} = F/A$ 하나뿐이다. 면의 법선 $\hat n = (\cos\theta, \sin\theta, 0)$으로 $\mathbf t = \boldsymbol\sigma\hat n$을 구해 성분을 나눈다.

풀이 (a) $A = \pi(0.010)^2/4 = 7.854\times10^{-5}$ m², $\sigma = 15000/7.854\times10^{-5} = 191$ MPa. (b) $\mathbf t = (\sigma\cos\theta, 0, 0)$, $\sigma_n = \sigma\cos^2 30° = 191\times0.75 = 143$ MPa, $\tau_n = \sigma\sin30°\cos30° = 191\times0.433 = 82.7$ MPa. (c) $\sin2\theta = 1$인 $\theta = 45°$ 면에서 $\tau_{\max} = \sigma/2 = 95.5$ MPa.

(a) 191 MPa (b) $\sigma_n = 143$ MPa, $\tau_n = 82.7$ MPa (c) 45° 면에서 95.5 MPa

검토 면을 기울이면 힘이 넓은 면에 퍼지고($1/\cos\theta$) 수직 성분도 줄어($\cos\theta$) $\cos^2\theta$가 된다. 0°와 90° 면에는 전단이 없다 — 다음 절의 주응력 면이다.

좌표 회전, 주응력과 모어 원

응력 텐서의 성분은 좌표축을 어떻게 잡느냐에 따라 달라진다. 그러나 물리적 상태는 하나이므로 성분들은 정해진 규칙으로 함께 바뀐다. 박막·표면처럼 $z$ 방향 성분이 0인 평면 응력(plane stress) 상태에서 $xy$ 축을 $\theta$만큼 반시계 방향으로 돌리면

$$\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta,\qquad \tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\theta+\tau_{xy}\cos2\theta$$

$\sigma_{y'}$은 $\theta$ 대신 $\theta+90°$를 넣은 값이다. 모든 각이 $2\theta$로 들어가므로 성분은 180°마다 되풀이된다. $\sigma_{x'}+\sigma_{y'} = \sigma_x+\sigma_y$는 회전해도 그대로인 불변량이다.

전단 성분이 0이 되는 방향이 반드시 있다. 그 방향을 주방향(principal direction), 그때의 수직 응력을 주응력(principal stress)이라 한다. 주응력은 그 점의 수직 응력 가운데 가장 큰 값과 가장 작은 값이고, 둘의 차이 절반이 면 안 최대 전단 응력이다.

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm R,\qquad R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2},\qquad \tan2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y},\qquad \tau_{\max}^{xy} = R$$

최대 전단 면은 주방향과 45°를 이룬다. 3차원에서 주응력은 응력 행렬의 고윳값 $\sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3$이고 주방향은 고유 벡터다. 절대 최대 전단 응력은 $(\sigma_1-\sigma_3)/2$다.

회전 공식의 두 줄을 제곱해 더하면 $\big(\sigma_{x'}-\tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\big)^2+\tau_{x'y'}^2 = R^2$이다. 곧 점 $(\sigma_{x'}, \tau_{x'y'})$은 좌표를 어떻게 돌려도 중심 $\big(\tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}, 0\big)$, 반지름 $R$인 원 위에 있다. 이것이 모어 원(Mohr's circle)이다. 요소를 $\theta$ 돌리면 원 위의 점은 $2\theta$ 돈다. 이 책은 전단 축을 아래쪽이 +가 되게 그려 요소와 점이 같은 방향으로 돌게 한다.

$\sigma_x = 80$, $\sigma_y = -20$, $\tau_{xy} = 40$ MPa인 요소를 반시계로 돌려 전단이 사라지는 방향을 찾으려 한다. 몇 도쯤 돌려야 할까?

$\tan2\theta_p = 2\times40/(80+20) = 0.8$이므로 $2\theta_p = 38.7°$, $\theta_p = 19.3°$다. 모어 원 위의 점은 38.7° 돌아 σ 축(전단 0)에 닿는다. 원 위 각도가 요소 각도의 두 배라는 점을 시뮬레이터에서 확인하라. 45°는 주방향에서 최대 전단 방향까지의 각이다.

SIMULATOR

응력 요소를 돌리면 모어 원 위의 점이 함께 돈다

요소의 모서리나 원 위의 점을 끈다

σ_x σ_y τ_xy

미리 맞춘 상태

회전 θ—

σx′ · σy′ · τx′y′ (MPa)—

σ₁ · σ₂ (MPa) · θp—

면 안 τmax—

왼쪽 요소의 남색 화살표는 수직 응력(바깥쪽 = 인장), 황동색은 전단 응력이다. 오른쪽 원의 X′ 점은 x′ 면, Y′ 점은 y′ 면의 상태이며 둘은 지름의 양 끝이다. 해볼 것: ① 요소를 돌려 τ가 0이 되는 각(주방향)을 찾고 "주방향으로" 버튼과 비교한다. ② 거기서 45° 더 돌리면 전단이 최대 $R$이고 두 수직 응력이 원의 중심값으로 같아진다. ③ "등이축"(박막의 응력 상태)은 원이 점으로 줄어든다 — 면 안 어느 방향으로도 전단이 없다.

대표 응력 상태와 모어 원. 등이축 박막은 면 안에서는 원이 점이지만, 막에 수직인 $\sigma_3 = 0$과 짝을 지은 원(점선)은 반지름 $\sigma/2$다 — 박막의 최대 전단은 면 밖으로 기운 면에 걸린다. 정수압은 모든 원이 점이라 전단이 전혀 없다.

σ_z τ_yz

MINI LAB위 시뮬레이터의 면 안 상태($\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$)에 $\sigma_z$와 $\tau_{yz}$를 더한 3차원 응력의 주응력을 고윳값으로 구해 세 모어 원을 그린다. 모든 면의 $(\sigma_n, \tau_n)$은 큰 원 안, 작은 두 원 밖의 회색 영역에 있다. $\sigma_z = 0$이어도 $\sigma_1$과 $\sigma_2$가 같은 부호이면 가장 큰 원은 $\sigma_3 = 0$과 짝을 짓는다는 점을 보라.

배선 아래 실리콘 표면의 한 점에서 $\sigma_x = 80$ MPa, $\sigma_y = -20$ MPa, $\tau_{xy} = 40$ MPa이다($\sigma_z$ = 0). (a) 주응력과 주방향, (b) 면 안 최대 전단 응력과 절대 최대 전단 응력, (c) 축을 30° 돌린 성분을 구하라.

풀이 보기

전략 모어 원의 중심 $c = (\sigma_x+\sigma_y)/2$와 반지름 $R$을 먼저 구한다. 3차원에서는 $\sigma_z = 0$도 주응력 하나다.

풀이 (a) $c = 30$, $R = \sqrt{50^2+40^2} = 64.0$ MPa이므로 $\sigma_1 = 94.0$, $\sigma_2 = -34.0$ MPa. $\tan2\theta_p = 80/100$에서 $\theta_p = 19.3°$(σ₁ 방향). (b) 면 안 $\tau_{\max} = R = 64.0$ MPa. 세 주응력이 94.0, 0, −34.0이므로 절대 최대 $(94.0+34.0)/2 = 64.0$ MPa — 이번에는 같다. (c) $\sigma_{x'} = 30+50\cos60°+40\sin60° = 89.6$, $\sigma_{y'} = 30-25-34.6 = -29.6$, $\tau_{x'y'} = -50\sin60°+40\cos60° = -23.3$ MPa.

(a) σ₁ = 94.0 MPa, σ₂ = −34.0 MPa, θp = 19.3° (b) 64.0 MPa(둘 다) (c) 89.6, −29.6, −23.3 MPa

검토 $\sigma_{x'}+\sigma_{y'} = 60 = \sigma_x+\sigma_y$(불변량). 30°는 주방향 19.3°를 지나쳤으므로 전단의 부호가 바뀌었다. 주응력의 부호가 서로 다르면 $\sigma_3 = 0$이 가운데에 끼어 면 안 최대가 곧 절대 최대다.

등방성 훅 법칙과 탄성 상수

작은 변형에서 응력과 변형은 비례한다. 성질이 방향에 무관한 등방성(isotropic) 재료 — 무작위 방위의 다결정 금속, 유리, 비정질 박막 — 에서는 비례 상수가 둘뿐이다. 당긴 방향으로 늘어나는 정도를 정하는 영률(Young's modulus) $E$와, 옆으로 줄어드는 정도를 정하는 푸아송 비(Poisson's ratio) $\nu = -\varepsilon_\text{옆}/\varepsilon_\text{축}$이다. 세 방향 응력의 효과를 더하면(중첩) 일반화된 훅 법칙이 된다.

$$\varepsilon_x = \frac{1}{E}\big[\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\big],\quad \varepsilon_y = \frac{1}{E}\big[\sigma_y-\nu(\sigma_z+\sigma_x)\big],\quad \varepsilon_z = \frac{1}{E}\big[\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)\big],\quad \gamma_{ij} = \frac{\tau_{ij}}{G}$$

전단 응력은 같은 면의 전단 변형만 만든다(등방성에서는 수직 응력과 전단이 섞이지 않는다). $G$는 전단 탄성률(shear modulus)이다.

등방성 재료의 탄성 상수는 독립인 것이 둘뿐이므로 나머지는 모두 $E$와 $\nu$로 쓸 수 있다. 순수 전단을 45° 돌린 주응력 상태($\sigma_1 = -\sigma_2 = \tau$)에 훅 법칙을 적용하면 $G$가, 정수압 $\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = -p$를 넣으면 체적 탄성률(bulk modulus) $K = -p/(\Delta V/V)$가 나온다.

$$G = \frac{E}{2(1+\nu)},\qquad K = \frac{E}{3(1-2\nu)},\qquad \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)},\qquad \frac{\Delta V}{V} = \frac{1-2\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z) = \frac{\sigma_m}{K}$$

$\sigma_m = (\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)/3$는 평균(정수압) 응력, $\lambda$는 라메 상수다. $G, K > 0$이어야 하므로 $-1 \lt \nu \lt 0.5$. 대부분의 금속은 0.3–0.35, 세라믹 0.2–0.25, 고무는 0.5에 가깝다(부피가 거의 변하지 않는다). 역으로 $E = 9KG/(3K+G)$, $\nu = (3K-2G)/(2(3K+G))$.

$E =$ 110, $\nu =$ 0.34인 재료는 $G =$ , $K =$ , $\lambda =$ 이다. 이 재료의 박막(등이축 응력)이 느끼는 탄성률은 $E/(1-\nu) =$ 이다.

고무줄($\nu\approx0.49$)을 길이 방향으로 2 % 늘인다. 고무의 부피는 어떻게 될까?

$\Delta V/V = (1-2\nu)\varepsilon = 0.02\times0.02 = 0.0004$, 곧 0.04 %다. 두 옆 방향이 각각 $\nu\varepsilon$씩 줄어 늘어난 길이를 거의 다 상쇄한다. 구리(ν = 0.34)는 같은 2 %에서 0.64 % 늘어난다. 시뮬레이터에서 재료를 바꿔 가며 부피 변화를 비교하라.

SIMULATOR

막대를 끌어 늘이면 가늘어진다: 푸아송 효과와 옆 구속

막대 오른쪽 끝의 흰 원을 좌우로 끈다

재료

옆면 조건

격자 보기

축 변형 ε—

옆 변형—

부피 변화 ΔV/V—

축 응력 · 옆 응력—

그림의 변형은 보기 쉽게 크게 과장했다(축·옆 모두 ×40, 끌 수 있는 변형은 1 %까지). 금속은 대개 0.1–0.5 %에서 항복하므로 그 위는 선형 탄성을 가정한 계산이다. 해볼 것: ① 같은 변형에서 구리·실리카·고무의 부피 변화를 비교한다 — $\Delta V/V = (1-2\nu)\varepsilon$. ② "막힘"으로 바꾸면 옆이 줄지 못해 옆벽이 막대를 민다(옆 응력 $\lambda\varepsilon$). 같은 변형에 필요한 축 응력은 $\lambda+2G$배로 커지고, 고무에서는 폭발적으로 커진다 — 갇힌 고무는 거의 압축되지 않는다. ③ 음의 푸아송 폼은 당기면 옆으로도 굵어진다.

푸아송 비 ν

MINI LAB"탄성률"은 하중 조건마다 다르다. 같은 변형을 만드는 데 드는 응력을 $E$ 배수로 그렸다: 단축 응력(인장 시편) $E$, 평면 변형(넓은 판의 굽힘) $E/(1-\nu^2)$, 등이축 응력(박막) $E/(1-\nu)$, 단축 변형(옆이 막힌 층, 음파) $\lambda+2G$, 그리고 $G$, $K$. $\nu$가 0.5에 다가가면 $K$와 단축 변형 탄성률만 무한히 커진다.

지름 12 mm 알루미늄 봉($E = 69$ GPa, $\nu = 0.33$)을 길이 방향으로 당겼더니 지름이 $3.0\times10^{-3}$ mm 줄었다(탄성 영역). (a) 걸어 준 힘, (b) 길이 100 mm 구간의 늘어남, (c) 부피 변화율을 구하라.

풀이 보기

전략 옆 변형에서 푸아송 비로 축 변형을 얻고, 훅 법칙으로 응력, 단면적으로 힘을 구한다.

풀이 옆 변형 $\varepsilon_x = -3.0\times10^{-3}/12 = -2.50\times10^{-4}$. 축 변형 $\varepsilon_z = -\varepsilon_x/\nu = 7.58\times10^{-4}$. (a) $\sigma = E\varepsilon_z = 69000\times7.58\times10^{-4} = 52.3$ MPa, $F = \sigma\pi(6\ \text{mm})^2 = 52.3\times113.1 = 5.91\times10^3$ N. (b) $\Delta l = 7.58\times10^{-4}\times100 = 0.0758$ mm. (c) $\Delta V/V = \varepsilon_z+2\varepsilon_x = (1-2\nu)\varepsilon_z = 2.58\times10^{-4}$.

(a) 약 5.9 kN (b) 0.076 mm (c) $+2.6\times10^{-4}$

검토 52 MPa는 순 알루미늄의 항복 강도(약 35 MPa)를 넘지만 합금(6061-T6, 276 MPa)이면 탄성 범위다. 인장에서 부피가 조금 늘어나는 것은 $\nu \lt 0.5$인 모든 재료의 성질이다.

탄성률의 원자적 기원과 단결정의 이방성

2장에서 본 결합 에너지 곡선 $U(r)$으로 돌아가자. 원자 사이 힘은 $F = -dU/dr$이고, 평형 거리 $r_0$ 근처에서 작게 늘이면 $F\approx -S_0(r-r_0)$, 곧 결합 하나가 용수철 상수 $S_0 = (d^2U/dr^2)_{r_0}$인 용수철처럼 행동한다. 단면 $r_0^2$마다 결합 하나가 있다고 보면 응력은 $\sigma = S_0(r-r_0)/r_0^2$, 변형은 $(r-r_0)/r_0$이므로

$$E \approx \frac{S_0}{r_0} = \frac{1}{r_0}\left(\frac{d^2U}{dr^2}\right)_{r_0},\qquad \text{레너드–존스 }U = 4\varepsilon\!\left[\Big(\frac{\sigma}{r}\Big)^{12}-\Big(\frac{\sigma}{r}\Big)^{6}\right]\ \Rightarrow\ E\approx\frac{72\,\varepsilon}{r_0^3}$$

탄성률은 퍼텐셜 우물 바닥의 곡률이고, 우물이 깊고(강한 결합) 원자가 촘촘할수록 크다. 같은 우물 깊이가 녹는점도 정하므로 $E$와 $T_m$은 함께 간다. 다이아몬드(1050 GPa), SiC·Si₃N₄(300–450), 텅스텐(411), 실리콘(165), 구리(110), 알루미늄(69), 그리고 사슬 사이가 판데르발스 결합인 고분자(1–3 GPa) 순이다. 결합 곡선의 유도와 마델룽 합은 고체물리에서 다뤘다(고체물리 · 결합과 탄성).

우물 바닥의 흰 원을 끌어 깊이와 거리를 바꾼다

원자 간 거리 r

MINI LAB레너드–존스 결합 곡선(남색)과 바닥에 맞춘 포물선(황동 점선). 슬라이더로 원자를 평형에서 밀고 당기면 복원력이 처음에는 직선(훅 법칙)이다가 크게 당기면 약해진다 — 비조화성이 열팽창과 이론 강도(7장)의 기원이다. 흰 원을 위로 끌어 우물을 얕게 하거나 오른쪽으로 끌어 원자를 멀게 하면 어림 탄성률 $72\varepsilon/r_0^3$이 어떻게 바뀌는지 보라. 아르곤(ε ≈ 0.010 eV, σ = 0.34 nm)은 약 2 GPa로 측정 체적 탄성률(2.7 GPa)과 크기가 맞는다.

입방정 단결정의 탄성: 실리콘

단결정에서는 결합이 특정 방향으로 놓여 있어 탄성이 방향에 따라 다르다. 입방정의 훅 법칙은 독립 상수 셋 $C_{11}, C_{12}, C_{44}$(강성)으로 쓰고, 역행렬인 순응 계수 $S_{11}, S_{12}, S_{44}$로 방향 $\hat n = (l_1, l_2, l_3)$의 영률을 구한다.

$$\frac{1}{E_{\hat n}} = S_{11}-2\Big(S_{11}-S_{12}-\frac{S_{44}}{2}\Big)\big(l_1^2l_2^2+l_2^2l_3^2+l_3^2l_1^2\big),\qquad A = \frac{2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}$$

Si(300 K): $C_{11} = 165.7$, $C_{12} = 63.9$, $C_{44} = 79.6$ GPa → $S_{11} = 7.68$, $S_{12} = -2.14$, $S_{44} = 12.56$ (×10⁻³ GPa⁻¹). 방향 인자는 ⟨100⟩에서 0, ⟨110⟩에서 1/4, ⟨111⟩에서 1/3이므로 $E_{100} = 130$, $E_{110} = 169$, $E_{111} = 188$ GPa. 제너 이방성 비(Zener anisotropy ratio) $A$는 등방이면 1이고 Si 1.56, Cu 3.21, W 1.01이다.

(001) 웨이퍼는 노치(또는 플랫)가 [110] 방향을 가리키고, 다이를 자르는 선과 채널도 ⟨110⟩을 따른다. 면 안 영률은 방향에 따라 30 % 다르지만, 박막이 웨이퍼를 등이축으로 당길 때의 이축 탄성률은 (001) 면 안에서 방향과 무관하다 — 스토니 식(6절)에 180 GPa 하나를 쓰는 근거다.

(001) 실리콘 웨이퍼 위에 MEMS 외팔보를 만든다. 웨이퍼 면 안에서 어느 방향으로 놓아야 가장 뻣뻣할까?

Si는 $A = 1.56 \gt 1$이어서 ⟨100⟩이 가장 무르고 ⟨111⟩이 가장 단단하다. (001) 면 안에는 ⟨111⟩이 없으므로 ⟨110⟩(169 GPa)이 가장 단단하고 ⟨100⟩(130 GPa)과 30 % 차이 난다. 입방 대칭은 2차 텐서(전도도·열팽창)만 등방으로 만든다. 4차 텐서인 탄성은 아니다.

SIMULATOR

결정 방향을 돌리며 영률과 푸아송 비 읽기

흰 원을 끌어 방향을 돌린다

결정

면

과녁: 목표 영률 (±1 GPa)

—

방향—

영률 E—

ν (면 안 · 면 밖)—

A · 범위—

남색 곡선은 면 안 방향 $\hat n$의 영률 $E_{\hat n}$(원점에서의 거리), 점선 원은 다결정 평균(힐)이다. 푸아송 비는 $\hat n$으로 당길 때 면 안 수직 방향과 면 법선 방향의 수축비로, 입방정에서는 두 값이 다르다. 해볼 것: ① (001)에서 [100]과 [110]의 E와 ν를 읽는다(Si [110]: 면 안 0.06, 면 밖 0.36). ② (111) 면에서는 곡선이 원이다 — (111) 섬유 집합 조직의 구리 배선은 면 안으로 등방이다. ③ W는 어느 면에서도 거의 원이다(A ≈ 1). ④ "새 과녁"을 눌러 목표 E가 되는 방향을 찾아라.

트랜지스터 채널도 이방성을 쓴다. 변형 실리콘은 SiGe 소스·드레인이나 응력을 가진 질화막(CESL)으로 채널을 ⟨110⟩ 방향으로 수백 MPa–1 GPa 누르거나 당겨 띠 구조를 바꾸고 이동도를 높인다. 같은 힘이 만드는 변형은 그 방향의 $E$와 $\nu$가 정하므로 응력 설계에는 방향별 상수가 필요하다. 에피층의 격자 불일치 변형과 임계 두께는 고체물리에서 다뤘다(고체물리 · 결합과 탄성).

다결정의 탄성률: 결정립 평균

다결정은 방위가 다른 결정립의 모자이크다. 하중을 받으면 결정립마다 방향 영률이 다르므로 응력과 변형이 결정립마다 다르게 나뉜다. 모든 결정립의 변형이 같다고 보면(보이트, 등변형) 강성의 평균이, 응력이 같다고 보면(로이스, 등응력) 순응의 평균이 나오고, 실제 값은 그 사이다. 실무에서는 두 경계의 평균(힐 평균)을 쓴다. 집합 조직이 있으면 결과가 달라진다. 이 경계들은 14장 복합재료의 혼합 법칙과 같은 구조다(복합재료).

MINI LAB결정립 48개(보로노이)의 색은 가로 방향 영률이다(파랑 = 무름, 주황 = 단단함). 오른쪽(좁은 화면은 아래) 막대에 이 결정립들의 등응력 평균(영률의 조화 평균 — 무작위 방위면 로이스 값에 다가간다)과, 단결정 상수로 계산한 보이트(V)·힐(H)·로이스(R) 값을 함께 보인다. 구리는 결정립마다 67–191 GPa로 세 배 가까이 다르다. (111) 섬유 집합 조직을 고르면 모든 결정립이 같은 색 — 면 안 영률이 방향과 무관하기 때문이다.

Si의 $C_{11} = 165.7$, $C_{12} = 63.9$, $C_{44} = 79.6$ GPa로 (a) 순응 계수, (b) [100]·[110]·[111]의 영률, (c) (001) 면의 이축 탄성률 $M = C_{11}+C_{12}-2C_{12}^2/C_{11}$을 구하고, (d) 같은 단면의 외팔보를 [110]으로 놓을 때 [100]보다 처짐이 몇 배인지 구하라.

풀이 보기

전략 입방정은 $S_{11} = (C_{11}+C_{12})/[(C_{11}-C_{12})(C_{11}+2C_{12})]$, $S_{12} = -C_{12}/[\cdots]$, $S_{44} = 1/C_{44}$. 외팔보 처짐은 $1/E$에 비례한다.

풀이 (a) $(C_{11}-C_{12})(C_{11}+2C_{12}) = 101.8\times293.5 = 2.988\times10^4$. $S_{11} = 229.6/29880 = 7.68\times10^{-3}$, $S_{12} = -2.14\times10^{-3}$, $S_{44} = 1.256\times10^{-2}$ GPa⁻¹. (b) $S_{11}-S_{12}-S_{44}/2 = 3.54\times10^{-3}$. $E_{100} = 1/S_{11} = 130$, $E_{110} = 1/(S_{11}-3.54\times10^{-3}/2) = 169$, $E_{111} = 1/(S_{11}-2\times3.54\times10^{-3}/3) = 188$ GPa. (c) $M = 165.7+63.9-2(63.9)^2/165.7 = 180$ GPa. (d) $E_{100}/E_{110} = 0.770$배.

(b) 130, 169, 188 GPa (c) 180 GPa (d) [110] 보의 처짐은 [100]의 0.77배

검토 등방 근사로 $E = 130$ GPa, $\nu = 0.28$([100] 당김, [010] 수축)을 넣으면 $E/(1-\nu) = 181$ GPa로 이축 탄성률과 맞는다. (001) 면 안에서 이축 탄성률이 방향에 무관하기 때문이다.

열변형, 열응력과 이층판의 휨

온도가 $\Delta T$ 오르면 자유로운 물체는 모든 방향으로 $\varepsilon_\text{th} = \alpha\Delta T$만큼 늘어난다($\alpha$: 선 열팽창 계수(coefficient of thermal expansion, CTE), ppm/K). 자유 팽창은 응력을 만들지 않는다. 응력은 팽창이 막힐 때 생긴다. 전체 변형은 탄성 변형과 열변형의 합이므로 훅 법칙은 $\varepsilon_x = [\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)]/E+\alpha\Delta T$가 된다. 열팽창의 원자적 기원(비조화 퍼텐셜)은 16장에서 다룬다(열적·광학적 성질).

$$\text{양 끝이 막힌 봉: }\ \sigma = -E\alpha\Delta T,\qquad \text{면 안이 모두 막힌 판: }\ \sigma = -\frac{E}{1-\nu}\,\alpha\Delta T$$

가열($\Delta T \gt 0$)하면 압축, 냉각하면 인장이다. 면 안 두 방향이 모두 막히면 $\varepsilon_x = \varepsilon_y = 0$에서 이축 탄성률 $E/(1-\nu)$이 나온다. 알루미늄 봉을 50 K만 데워도 $69\ \text{GPa}\times23.6\times10^{-6}\times50 = 81$ MPa — 순 알루미늄의 항복 강도를 넘는다.

온도 변화 ΔT

MINI LAB위는 자유 봉(늘어나기만 하고 응력 0), 아래는 양 끝을 벽에 고정한 봉이다. 고정한 봉은 늘어나지 못한 만큼 $-\alpha\Delta T$의 탄성 변형을 떠안는다. 응력이 항복 강도(점선)를 넘으면 빨갛게 바뀐다. 금속은 수십 K에서 항복하지만 실리카는 $\alpha$가 작아 수백 K에도 버틴다 — 같은 원리가 열충격 저항(12장)이다.

기판 위 박막의 열 불일치 응력

박막은 두꺼운 기판에 붙어 있어 면 안으로는 기판의 열변형을 그대로 따라가야 한다. 증착 온도 $T_\text{dep}$에서 응력이 없던 막을 $T$로 식히면 막이 따라가야 할 변형은 $(\alpha_s-\alpha_f)\Delta T$($\Delta T = T-T_\text{dep}$)이고, 막은 면 안 등이축 응력, 면에 수직으로는 자유($\sigma_z = 0$)다.

$$\sigma_f^\text{th} = \frac{E_f}{1-\nu_f}\,(\alpha_s-\alpha_f)\,\Delta T,\qquad \Delta T = T-T_\text{dep}$$

막의 $\alpha$가 기판보다 크면(Al·Cu 배선, 고분자 on Si) 식힐 때 막이 더 줄어들려다 붙잡혀 인장, 작으면(SiO₂ on Si) 압축이다. Si의 $\alpha = 2.6$ ppm/K가 기준선이다. 이 식은 막 응력의 한 부분일 뿐이고, 증착 중에 생기는 진성 응력(6절)이 더해진다.

증착(또는 어닐) 온도에서는 응력이 없다.
따로 떼어 식히면 막과 기판이 다르게 줄어든다.
붙어 있으므로 막이 기판의 길이에 맞춰 늘려지거나 눌린다.

열 불일치 응력이 생기는 과정(Al 같은 금속 막 on Si). SiO₂처럼 $\alpha_f \lt \alpha_s$이면 화살표가 반대가 되어 막은 압축이다.

영률 69, 푸아송 비 0.33, 열팽창 계수 23.6인 막을 Si(2.6 ppm/K) 위에 400에서 응력 없이 만든 뒤 25 °C로 식히면 열응력은 , 막의 열 불일치 변형은 이다.

1000 °C에서 키운 열산화막(SiO₂: $E = 73$ GPa, $\nu = 0.17$, $\alpha = 0.55$ ppm/K)을 Si($\alpha = 2.6$ ppm/K) 위에서 25 °C로 식혔다. 성장 중 응력은 없었다고 보고 상온 열응력을 구하라. 또 양 끝이 막힌 알루미늄 봉($E = 69$ GPa, $\alpha = 23.6$ ppm/K)을 50 K 데울 때의 응력과 비교하라.

풀이 보기

전략 막은 등이축이므로 $E_f/(1-\nu_f)$, 봉은 단축이므로 $E$를 쓴다. $\Delta T$의 부호에 주의한다.

풀이 막: $E_f/(1-\nu_f) = 73/0.83 = 88.0$ GPa, $\Delta T = 25-1000 = -975$ K. $\sigma_f = 88.0\times10^3\ \text{MPa}\times(2.6-0.55)\times10^{-6}\times(-975) = -176$ MPa. 봉: $\sigma = -69\times10^3\times23.6\times10^{-6}\times50 = -81.4$ MPa.

산화막 약 −176 MPa(압축), 막힌 Al 봉 −81 MPa(압축)

검토 실측 열산화막 응력은 −200 ~ −300 MPa로 이보다 크다. 산화 중 Si가 SiO₂로 바뀌며 부피가 2.2배로 늘어 생기는 진성 압축 응력이 더해지기 때문이다(고온에서 점성 흐름으로 일부 풀린다). 산화막이 Si를 볼록하게 휘게 하는 이유다.

이층판의 휨

두 층의 두께가 비슷하면 "막은 늘려지고 기판은 그대로"라는 그림이 맞지 않는다. 두 층 모두 늘어나고 줄어들며, 그 짝힘이 판을 크게 휜다. 바이메탈 온도계가 그렇고, 실리콘 다이를 구리 리드프레임이나 유기 기판에 붙인 패키지가 그렇다. 티모셴코의 이층 보 해는

$$\kappa = \frac{1}{R} = \frac{6(\alpha_2-\alpha_1)\Delta T\,(1+m)^2}{h\left[3(1+m)^2+(1+mn)\left(m^2+\dfrac{1}{mn}\right)\right]},\qquad m = \frac{h_1}{h_2},\ n = \frac{E_1}{E_2},\ h = h_1+h_2$$

층 1이 위, 층 2가 아래다. $\kappa \gt 0$이면 층 1 쪽이 오목하다(층 2가 더 늘어나려는 경우). 판이면 $E$ 대신 $E/(1-\nu)$를 쓴다. 층 1이 아주 얇으면($m\to0$) $\kappa \to 6E_1h_1(\alpha_2-\alpha_1)\Delta T/(E_2h_2^2)$가 되어 다음 절의 스토니 식과 같아진다. 길이 $L$의 휨(가운데 높이)은 $\delta\approx\kappa L^2/8$.

두께 0.3 mm 실리콘 다이를 0.2 mm 구리판 위에 175 °C에서 단단히 붙인 뒤 상온으로 식힌다. 다이를 위에 두고 보면 모양은?

구리(17 ppm/K)가 실리콘(2.6 ppm/K)보다 훨씬 많이 줄어들려 하므로 아래층이 짧아져 판이 아래쪽으로 오목, 곧 다이 쪽이 볼록(∩)해진다. 티모셴코 식의 $\kappa$가 음수다. 10 mm 다이면 휨이 70 µm를 넘는다 — 실제로는 접착층의 크리프와 소성이 일부를 풀어 준다.

SIMULATOR

이층판 실험대: 온도와 두께 비를 끌어 휨 보기

온도계 흰 원 · 두 층 경계의 흰 원을 끈다

위층 (층 1) 아래층 (층 2) 전체 두께 h 길이 L

ΔT (붙인 온도 기준)—

두께 비 m = h₁/h₂—

곡률 κ (m⁻¹) · R—

휨 δ (길이 L)—

왼쪽은 붙인 온도(175 °C)에서 출발해 온도계로 정한 온도까지 바뀐 이층판(휨은 과장), 곁의 그래프는 같은 전체 두께에서 두께 비에 따른 곡률과 지금의 점이다. 해볼 것: ① Si 다이 on Cu에서 경계를 끌어 곡률이 가장 큰 두께 비를 찾는다. ② 아래층을 AlN으로 바꾸면 열팽창이 Si와 비슷해 휨이 거의 사라진다 — 파워 모듈이 세라믹 기판을 쓰는 이유. ③ 전체 두께를 두 배로 하면 곡률은 절반이 된다($\kappa\propto1/h$).

두께 0.30 mm Si 다이($E = 165$ GPa, $\alpha = 2.6$ ppm/K)를 두께 0.20 mm Cu($E = 110$ GPa, $\alpha = 17.0$ ppm/K)에 175 °C에서 단단히 붙이고 25 °C로 식혔다. 보 근사로 곡률 반지름과 길이 10 mm의 휨을 구하라.

풀이 보기

전략 층 1 = Si, 층 2 = Cu로 티모셴코 식에 넣는다. $m = 1.5$, $n = 1.5$, $h = 0.50$ mm, $\Delta T = -150$ K.

풀이 분자: $6\times(17.0-2.6)\times10^{-6}\times(-150)\times(2.5)^2 = -0.0810$. 분모: $h[3(2.5)^2+(1+2.25)(2.25+1/2.25)] = 5.0\times10^{-4}\times[18.75+3.25\times2.694] = 5.0\times10^{-4}\times27.51 = 0.01375$ m. $\kappa = -5.89$ m⁻¹, $R = 0.170$ m. $\delta = \kappa L^2/8 = 5.89\times(0.010)^2/8 = 7.36\times10^{-5}$ m.

$R\approx0.17$ m, 휨 약 74 µm(다이 쪽 볼록)

검토 $\kappa \lt 0$은 층 1(Si) 쪽이 볼록이라는 뜻이다. 실제 다이 부착은 솔더나 에폭시의 크리프로 응력이 일부 풀려 휨이 이보다 작지만, 몰딩·리플로 온도 구간마다 휨의 부호가 바뀌는 패키지 휨 문제의 출발점이 이 식이다.

패키지 휨은 온도마다 모양이 바뀐다

패키지는 실리콘(2.6 ppm/K), 구리(17), EMC(유리 전이 아래 8–10, 위 30 이상), 유기 기판(면 방향 14–17)이 쌓인 다층판이다. 몰딩 경화 온도(175 °C)에서 응력이 0이라도 상온으로 식으면 이 장의 이층판처럼 휘고, 리플로(250 °C 근처)에서는 EMC가 유리 전이를 넘어 반대로 휠 수 있다. 휨이 크면 솔더 볼이 기판에 닿지 않거나(비접촉 개방) 다리가 생기므로(브리지) JEDEC 규격은 리플로 온도 구간 전체의 휨을 $\pm$수십 µm 안으로 관리한다. 설계는 층 두께·EMC 조성(충전재 비율)으로 곡률을 서로 상쇄시키는 일이다. → PackagingBook · 열·기계·전기 설계

박막 응력, 스토니 식과 웨이퍼 휨

박막의 응력은 열 불일치만으로 생기지 않는다. 막이 자라는 동안 원자가 쌓이는 방식 자체가 응력을 남기며 이를 진성 응력(intrinsic stress)이라 한다. 상온에서 측정하는 막 응력은 진성 응력과 열응력의 합이다: $\sigma_f = \sigma_\text{int}+\sigma_\text{th}$.

진성 응력의 두 기원. 스퍼터 W·Mo는 아르곤 압력을 낮추면 압축, 높이면 인장으로 바뀐다. PECVD 질화막은 RF 주파수·전력·수소 함량으로 −2 GPa 압축에서 +1.5 GPa 인장까지 조절해 변형 실리콘 채널의 응력원(CESL)으로 쓴다. 미세조직(10장의 구조 영역)이 응력을 정한다.

막 (대표 공정)	대표 응력 (MPa)	주된 기원
열산화 SiO₂ (건식·습식)	−200 ~ −350	Si → SiO₂ 부피 팽창 + 열 불일치
PECVD SiO₂ (TEOS)	−50 ~ −300	이온 충돌, 수분 흡수로 변함
LPCVD Si₃N₄	+1000 ~ +1200	고온 치밀화 + 열 불일치(인장)
PECVD SiN	−2000 ~ +1500	RF 주파수·수소 함량으로 조절
CVD W	+800 ~ +1500	결정립 합침(인장)
전해 도금 Cu (어닐 후)	+100 ~ +300	재결정·결정립 성장 + 열 불일치
스퍼터 Al·Cu (식힌 뒤)	+100 ~ +400	열 불일치(항복으로 제한)

막 응력은 직접 잴 수 없지만 막이 기판에 남기는 휨은 잴 수 있다. 막이 면 안으로 $\sigma_f$라면 단위 폭당 힘 $\sigma_fh_f$가 기판 표면에 걸리고, 그 힘이 기판 중립면에서 $h_s/2$만큼 떨어져 있으므로 굽힘 모멘트가 생긴다. 이 모멘트와 기판의 굽힘 저항을 맞춘 것이 스토니 식(Stoney equation)이다.

막이 기판 표면에 붙어 있다.
막 응력은 표면에 단위 폭당 힘 $\sigma_fh_f$를 건다. 힘은 중립면에서 $h_s/2$ 떨어져 있다.
이 모멘트가 판을 곡률 $\kappa$로 굽힌다.
두 모멘트를 같게 놓으면 스토니 식이다.

스토니 식의 유도. 막이 기판보다 아주 얇고($h_f \ll h_s$), 휨이 작고, 막 응력이 고르다는 가정이 들어 있다.

$$\sigma_f = \frac{M_s\,h_s^2}{6\,h_f}\,\kappa,\qquad M_s = \frac{E_s}{1-\nu_s},\qquad \delta = \frac{\kappa D^2}{8}$$

$\kappa = 1/R$은 곡률, $D$는 웨이퍼 지름, $\delta$는 가운데와 가장자리의 높이 차(새그)다. (001) Si는 $M_s = 180$ GPa(4절). 인장막($\sigma_f \gt 0$)은 막 쪽이 오목, 압축막은 볼록하다. 이 장은 막을 위에 두고 가운데가 높으면(볼록) bow를 +로 적으므로 $\text{bow} = -\kappa D^2/8$이다. 휨 측정은 보통 증착 전후 곡률의 차이 $\Delta\kappa$로 막 하나의 응력을 구한다.

두께 775, 지름 300인 (001) 실리콘 웨이퍼 위에 응력 1000, 두께 1.00인 막을 올리면 곡률 반지름은 , bow는 이다.

막이 여러 층이면 각 층의 힘 $\sigma_ih_i$가 독립적으로 모멘트를 만들므로 곡률이 더해진다: $\kappa = \frac{6}{M_sh_s^2}\sum_i\sigma_ih_i$. 웨이퍼 휨을 관리하는 사람에게 막 응력의 단위는 사실상 "MPa·µm"(= N/m, 단위 폭당 힘)이다. 300 mm·775 µm 웨이퍼에서는 $\sum\sigma_ih_i$ 1 MPa·µm가 bow 약 0.62 µm에 해당한다. 뒷면에 올린 막은 같은 응력이라도 반대 방향으로 휘게 하므로, 앞면의 휨을 뒷면 막으로 상쇄하는 것이 3D NAND의 표준 기법이다.

같은 막을 증착한 웨이퍼를 뒷면 연삭으로 775 µm에서 250 µm로 얇게 했다(막은 그대로). bow는?

스토니 곡률은 $1/h_s^2$에 비례한다: $(775/250)^2 = 9.6$배. 그래서 얇은 웨이퍼(패키지용, TSV용)는 작은 막 응력에도 크게 휘고, 연삭 손상층 자체의 압축 응력도 휨을 만든다. 휨이 기판 두께를 넘으면 선형 스토니 식이 맞지 않고 판이 안장꼴로 휘기도 한다.

SIMULATOR

스토니 웨이퍼: 막을 쌓으면 휜다 · 가운데를 끌면 응력이 나온다

웨이퍼 가운데 흰 원을 위아래로 끈다

막 응력 σ_f 막 두께 h_f 웨이퍼 두께 h_s

웨이퍼 지름

현재 막 두께—

곡률 반지름 R—

bow—

σ_f h_f—

"증착"을 누르면 막이 0에서 정한 두께까지 자라며 웨이퍼가 휜다(휨은 과장해 그리고 실제 값은 오른쪽 위 눈금). 가운데 흰 원을 끌면 그 bow를 만드는 막 응력을 스토니 식으로 거꾸로 계산해 슬라이더를 옮긴다 — 실제 응력 측정이 이렇다. 해볼 것: ① 300 mm에서 200 mm로 바꾸면 같은 막의 bow가 $(200/300)^2 = 0.44$배다. ② 웨이퍼를 250 µm로 얇게 하면 bow가 약 10배가 된다. ③ bow가 웨이퍼 두께를 넘으면 경고가 뜬다 — 큰 처짐 영역이다.

곡률 κ 검출기 거리 L

MINI LAB레이저 곡률 측정. 간격 $d$인 평행 빔 두 줄기가 휜 웨이퍼에서 반사하면 반사 각이 $2\kappa d$만큼 벌어지거나 모여, 거리 $L$의 검출기에서 점 간격이 $d' = d(1-2\kappa L)$로 바뀐다. $\kappa = (1-d'/d)/(2L)$로 곡률을 얻는다. 곡률 0.01 m⁻¹(반지름 100 m)도 1 m 떨어진 검출기에서는 간격이 2 % 바뀌어 쉽게 잰다. 웨이퍼를 데우며 재면 응력–온도 곡선이 나온다.

증착 장비 옆의 응력 측정기

박막 공정에서 막 응력은 두께·굴절률과 함께 매일 재는 관리 항목이다. 증착 전 웨이퍼의 곡률을 레이저로 스캔해 두고 증착 후 다시 재어 $\Delta\kappa$에서 스토니 식으로 응력을 계산한다(막의 탄성 상수를 몰라도 되는 것이 큰 장점이다). 응력이 기준을 벗어나면 막이 뜨거나(압축, 버클링) 갈라지고(인장, 균열), 아래 소자에 응력을 전달해 문턱 전압을 바꾸며, 노광 장비가 척에 고정하지 못할 만큼 웨이퍼가 휜다. PECVD 질화막은 RF 전력·주파수 혼합비로 응력을 조절하는 대표적인 손잡이다. → ProcessBook · 박막 증착

웨이퍼 모양의 두 지표(SEMI 규격). 막 응력이 고르면 구형 휨이라 bow와 warp가 같은 정보지만, 패턴 밀도가 다르거나 막이 비등방이면 안장꼴이 되어 bow는 작아도 warp는 크다. 3D NAND처럼 셀 영역과 주변 회로의 막 구성이 다르면 방향마다 휨이 다르다.

300 mm (001) Si 웨이퍼($h_s = 775$ µm)에 PECVD 질화막 500 nm를 올렸더니 bow가 +5 µm에서 −45 µm로 바뀌었다. 막 응력을 구하라($M_s = 180$ GPa).

풀이 보기

전략 막 하나의 효과는 bow 변화 $\Delta\text{bow} = -50$ µm다. $\Delta\kappa = -8\,\Delta\text{bow}/D^2$를 스토니 식에 넣는다.

풀이 $\Delta\kappa = 8\times50\times10^{-6}/(0.300)^2 = 4.44\times10^{-3}$ m⁻¹($R = 225$ m, 막 쪽 오목). $\sigma_f = \dfrac{180\times10^{9}\times(775\times10^{-6})^2\times4.44\times10^{-3}}{6\times500\times10^{-9}} = 1.60\times10^{8}$ Pa.

$\sigma_f\approx+160$ MPa(인장)

검토 bow가 음수 쪽으로 갔으니(가운데가 내려앉음) 인장이 맞다. 경험칙(1 MPa·µm ≈ 0.62 µm)으로도 $50/0.62 = 80$ MPa·µm, 0.5 µm로 나누면 160 MPa다. 반지름 225 m는 눈으로 볼 수 없는 휨이지만 레이저로는 쉽게 잰다.

도전: 웨이퍼 휨 예산 맞추기

여러 층을 차례로 쌓는 동안 웨이퍼는 단계마다 노광 장비와 이송 장비의 척에 고정되어야 한다. 그래서 마지막 휨만이 아니라 모든 단계의 휨이 한계 안에 있어야 한다. 각 층의 증착 조건(곧 응력)을 골라 휨 예산을 맞춰 보자.

SIMULATOR

휨 예산 게임: 층마다 응력을 골라 척킹 한계 지키기

층마다 막대의 흰 원을 끌어 응력을 고른다

공정 흐름

단계 최대 |bow|—

최종 bow—

판정—

점수—

300 mm·775 µm 웨이퍼, 스토니 중첩 $\text{bow} = -0.623\ \mu\text{m}\times\sum\sigma_ih_i$[MPa·µm]. 위 그래프는 단계마다의 bow(회색 띠 = 척킹 한계), 아래는 층 목록이다. 막대 범위는 그 공정에서 고를 수 있는 응력이다. 성공 조건: 모든 단계 |bow| ≤ 한계, 최종 |bow| ≤ 20 µm. 점수는 최종 휨이 작고 단계 여유가 클수록 높다. 해볼 것: ① 로직 배선에서 텅스텐 층의 큰 인장을 앞 층의 압축으로 미리 상쇄해 둔다. ② 3D NAND에서 마지막 뒷면 막은 같은 부호의 응력이 반대로 휘게 한다는 점을 이용한다.

3D NAND의 휨: 수백 층을 쌓는 동안

3D NAND는 산화막/질화막 쌍을 수백 층 쌓은 몰드에 채널 구멍을 뚫고, 질화막을 빼낸 자리에 텅스텐 워드라인을 채운다. 몰드만 수–10 µm 두께라 층마다 수십 MPa만 어긋나도 300 mm 웨이퍼가 수백 µm 휜다. 그래서 산화막·질화막의 응력을 서로 상쇄하도록 증착 조건을 맞추고, 텅스텐 대체 뒤의 큰 인장은 뒷면 보상막으로 되돌린다. 휨이 방향마다 다르면(블록 슬릿이 한 방향으로 길다) 안장꼴이 생겨 노광 오버레이 오차가 커진다. → MemoryBook · V-NAND

얇게 간 웨이퍼는 작은 응력에도 휜다

패키지용 웨이퍼는 뒷면 연삭으로 50–100 µm까지 얇아진다. 스토니 곡률이 $1/h_s^2$에 비례하므로 775 µm에서 50 µm로 갈면 같은 앞면 막이 240배 휜다. 연삭이 남긴 뒷면 손상층(미세 균열·비정질층)도 압축 응력을 가진 "막"으로 작용한다. 그래서 연삭 뒤 스트레스 릴리프(건식 연마·습식 식각)로 손상층을 걷어 내고, 캐리어나 테이프 프레임에 붙여 다룬다. 다이 강도(7장)도 같은 손상층이 정한다. → PackagingBook · 웨이퍼 테스트와 박막화

폰 미제스 등가 응력과 항복 기준

인장 시험은 응력 성분 하나로 항복 강도 $\sigma_\mathrm{y}$를 준다(6장). 그런데 실제 부품과 박막은 여러 성분이 함께 걸린다. 그 상태가 항복하는지 판단하려면 다축 응력을 "인장 시험으로 치면 얼마"인 숫자 하나로 바꿔야 한다. 금속의 소성은 전위가 슬립 면에서 전단으로 미끄러지는 것이므로, 기준은 전단과 관련된 양이어야 하고 모든 방향으로 같게 누르는 정수압 응력과는 무관해야 한다. 실험으로도 금속은 수천 MPa의 정수압에서 항복하지 않는다.

응력을 정수압 부분 $\sigma_m$과 나머지 편차 응력 $s_{ij} = \sigma_{ij}-\sigma_m\delta_{ij}$로 나누면, 모양을 바꾸는 것은 편차 응력뿐이다. 편차 응력이 저장하는 탄성 에너지(뒤틀림 에너지)가 임계값에 이르면 항복한다는 것이 폰 미제스 항복 기준(von Mises yield criterion)이고, 최대 전단 응력이 임계값에 이르면 항복한다는 것이 트레스카 항복 기준(Tresca yield criterion)이다.

$$\sigma_\text{vM} = \sqrt{\tfrac12\big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\big]},\qquad \sigma_\text{Tr} = \sigma_1-\sigma_3,\qquad \text{항복: }\ \sigma_\text{eq} = \sigma_\mathrm{y}$$

$\sigma_\text{vM}$을 폰 미제스 등가 응력(von Mises equivalent stress)이라 한다. 성분으로는 $\sqrt{\tfrac12[(\sigma_x-\sigma_y)^2+(\sigma_y-\sigma_z)^2+(\sigma_z-\sigma_x)^2]+3(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{zx}^2)}$. 단축 인장이면 둘 다 $\sigma$. 순수 전단에서 항복하는 전단 응력은 폰 미제스 $\sigma_\mathrm{y}/\sqrt3 = 0.577\sigma_\mathrm{y}$, 트레스카 $0.5\sigma_\mathrm{y}$로 다르다(실험은 대개 폰 미제스에 가깝다). 모든 주응력에 같은 값을 더해도 두 값은 변하지 않는다.

평면 응력($\sigma_3 = 0$)에서 폰 미제스 기준은 $\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2 = \sigma_\mathrm{y}^2$인 기운 타원이고, 트레스카 기준은 그 안에 내접하는 육각형이다. 박막의 등이축 응력 $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$는 타원의 꼭짓점 방향이며 $\sigma_\text{vM} = |\sigma|$ — 단축 인장과 같은 응력에서 항복한다.

항복 강도 200 MPa인 알루미늄 막이 웨이퍼 위에서 등이축으로 $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$를 받는다. 막에 수직으로는 응력이 없다. 몇 MPa에서 항복할까?

주응력이 $(\sigma, \sigma, 0)$이면 $\sigma_\text{vM} = \sqrt{\tfrac12[0+\sigma^2+\sigma^2]} = \sigma$, 트레스카도 $\sigma-0 = \sigma$다. 등이축 상태는 정수압 $2\sigma/3$에 단축 압축 $-\sigma$(막에 수직)를 더한 것과 같고, 정수압 부분은 항복에 기여하지 않는다. 시뮬레이터에서 하중점을 대각선 위로 끌어 확인하라.

SIMULATOR

σ₁–σ₂ 평면의 항복면: 하중점을 끌어 항복 판정하기

하중점(흰 원)을 끈다

항복 강도 σ_y 세 번째 주응력 σ₃

하중 경로

주응력 (σ₁, σ₂, σ₃)—

폰 미제스 · 트레스카—

안전 계수 σy/σeq—

판정—

남색 타원은 폰 미제스, 황동색 육각형은 트레스카 항복면이다. 하중점이 안쪽이면 탄성, 선에 닿으면 항복이다. 원점에서 하중점까지의 점선은 비례 하중 경로이고, 그 연장이 항복면과 만나는 점까지가 여유다. 해볼 것: ① 순수 전단($\sigma_1 = -\sigma_2$)에서 두 기준의 차이가 가장 크다(15 %). ② $\sigma_3$를 바꾸면 항복면 전체가 대각선을 따라 $(\sigma_3, \sigma_3)$만큼 옮겨 간다 — 정수압을 더해도 항복은 그대로라는 뜻이다. ③ 평면 변형($\sigma_2 = \nu(\sigma_1+\sigma_3)$, ν = 0.5)은 단축보다 15 % 더 버틴다.

축 응력 200와 비틀림 전단 응력 100가 함께 걸린 축에서 폰 미제스 등가 응력 $\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$은 , 트레스카 $\sqrt{\sigma^2+4\tau^2}$는 이다. 항복 강도 300이면

항복 강도 250 MPa인 강 축에 축 방향 인장 200 MPa와 비틀림 전단 100 MPa가 함께 걸린다. (a) 주응력, (b) 폰 미제스·트레스카 등가 응력과 항복 여부, (c) 인장을 200 MPa로 둔 채 폰 미제스 기준으로 허용되는 최대 전단 응력을 구하라.

풀이 보기

전략 표면 요소는 $\sigma_x = 200$, $\sigma_y = 0$, $\tau_{xy} = 100$, $\sigma_z = 0$인 평면 응력이다.

풀이 (a) $c = 100$, $R = \sqrt{100^2+100^2} = 141.4$: $\sigma_1 = 241.4$, $\sigma_2 = 0$(면 밖), $\sigma_3 = -41.4$ MPa. (b) $\sigma_\text{vM} = \sqrt{200^2+3\times100^2} = 264.6$ MPa, $\sigma_\text{Tr} = 241.4+41.4 = 282.8$ MPa. 둘 다 250 MPa를 넘으므로 항복한다. (c) $200^2+3\tau^2 = 250^2$에서 $\tau = \sqrt{(62500-40000)/3} = 86.6$ MPa.

(a) 241, 0, −41 MPa (b) 265 MPa, 283 MPa — 항복 (c) 86.6 MPa

검토 가장 큰 주응력(241 MPa)만 보면 항복 강도 아래라 "안전"으로 잘못 판단한다. 전단이 섞이면 등가 응력으로 봐야 한다. 트레스카는 늘 폰 미제스 이상이므로 보수적인 설계 기준이 된다.

갇힌 배선: 응력은 큰데 항복하지 않는다

산화막과 질화막으로 사방이 둘러싸인 구리·알루미늄 배선은 식으면서 세 방향 모두 인장을 받는다(예: 400, 300, 250 MPa). 폰 미제스 등가 응력은 132 MPa에 불과해 소성 변형으로 응력을 풀 수 없고, 평균 응력 317 MPa의 큰 정수압 인장이 남는다. 이 정수압이 공공을 끌어모아 배선 속에 보이드를 키우는 것이 응력 이동(stress migration)이다(17장, 재료 열화와 신뢰성). 항복 기준이 "편차 응력"만 보는 이유와 그 한계를 함께 보여 주는 예다.

핵심 정리

응력·변형 텐서: 면 $\hat n$의 트랙션 $\mathbf t = \boldsymbol\sigma\hat n$. 응력은 대칭 텐서(독립 6성분). 변형은 변위 기울기의 대칭 부분 $\varepsilon_{ij} = \tfrac12(\partial_ju_i+\partial_iu_j)$이고 반대칭 부분은 강체 회전이다. 공학 전단 변형 $\gamma = 2\varepsilon_{xy}$, 부피 변화 $\Delta V/V = \operatorname{tr}\boldsymbol\varepsilon$.
주응력과 모어 원: 좌표를 $\theta$ 돌리면 모어 원 위의 점이 $2\theta$ 돈다. $\sigma_{1,2} = \tfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm R$, $R = \sqrt{(\tfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}$, $\tan2\theta_p = 2\tau_{xy}/(\sigma_x-\sigma_y)$. 3차원에서는 고윳값 $\sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3$, 절대 최대 전단 $(\sigma_1-\sigma_3)/2$ — 등이축 박막도 면 밖으로 기운 면에 $\sigma/2$의 전단이 있다.
등방성 훅 법칙: $\varepsilon_x = [\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)]/E$, $\gamma = \tau/G$. $G = E/2(1+\nu)$, $K = E/3(1-2\nu)$, $-1 \lt \nu \lt 0.5$. 하중 조건마다 유효 탄성률이 다르다: 단축 $E$, 등이축(박막) $E/(1-\nu)$, 평면 변형 $E/(1-\nu^2)$, 단축 변형 $\lambda+2G$.
탄성의 원자적 기원과 이방성: $E\approx(1/r_0)\,d^2U/dr^2$ — 결합 곡선 바닥의 곡률. 입방정 $1/E_{\hat n} = S_{11}-2(S_{11}-S_{12}-S_{44}/2)J$. Si: $E_{100} = 130$, $E_{110} = 169$, $E_{111} = 188$ GPa, (001) 이축 $M = 180$ GPa(면 안 등방), $A = 1.56$. 다결정은 보이트·로이스 사이(힐 평균), 집합 조직에 따라 달라진다.
열응력: 막힌 봉 $-E\alpha\Delta T$, 박막 $\sigma_f = \tfrac{E_f}{1-\nu_f}(\alpha_s-\alpha_f)(T-T_\text{dep})$ — 금속 막 on Si는 식으면 인장, SiO₂는 압축. 두께가 비슷한 이층판은 티모셴코 식으로 휘고, 얇은 층의 극한이 스토니 식이다.
스토니 식과 웨이퍼 휨: $\sigma_f = M_sh_s^2\kappa/(6h_f)$, 막의 탄성 상수가 필요 없다. bow $= \mp\kappa D^2/8$(인장은 막 쪽 오목). 여러 층은 $\sum\sigma_ih_i$(MPa·µm)가 더해지고 뒷면 막은 부호가 반대다. 300 mm·775 µm에서 1 MPa·µm ≈ 0.62 µm. 곡률 $\propto1/h_s^2$이라 얇은 웨이퍼는 크게 휜다. 모든 공정 단계의 휨이 척킹 한계 안에 있어야 한다.
항복 기준: 정수압은 항복에 기여하지 않는다. 폰 미제스 $\sigma_\text{vM} = \sqrt{\tfrac12\sum(\sigma_i-\sigma_j)^2}$, 트레스카 $\sigma_1-\sigma_3$. 순수 전단 항복은 $0.577\sigma_\mathrm{y}$(vM)·$0.5\sigma_\mathrm{y}$(Tr), 등이축 박막은 $|\sigma| = \sigma_\mathrm{y}$에서 항복한다. 사방이 갇힌 배선은 등가 응력이 작아 항복하지 못하고 정수압 인장이 남는다.

연습문제

따로 말이 없으면 (001) Si 웨이퍼의 이축 탄성률 $M_s = E_s/(1-\nu_s) = 180$ GPa, Si의 열팽창 계수 2.6 ppm/K를 쓴다. 인장 응력은 +, 압축은 −로 답한다. bow는 막을 위에 두고 가운데가 높으면 +다. 답이 ±1–2 % 이내면 정답이다.

지름 8.0 mm, 길이 200 mm인 강 봉($E = 207$ GPa)을 12 kN으로 당긴다. 축 응력과 늘어난 길이를 구하라.

$A = \pi d^2/4$, $\Delta l = \sigma l_0/E$. 단위: MPa = N/mm².

$A = \pi(8.0)^2/4 = 50.27$ mm², $\sigma = 12000/50.27 = 239$ MPa. $\Delta l = 239\times200/207000 = 0.231$ mm.

알루미늄($E = 69$ GPa, $\nu = 0.33$)의 전단 탄성률과 체적 탄성률을 구하라.

$G = 69/(2\times1.33) = 25.9$ GPa, $K = 69/(3\times0.34) = 67.6$ GPa.

평면 응력 상태에서 좌표축을 어떻게 돌려도 값이 변하지 않는 것은?

회전 공식에서 $\sigma_{x'}+\sigma_{y'} = \sigma_x+\sigma_y$이다(모어 원의 중심이 그대로). $\sigma_1\sigma_2 = \sigma_x\sigma_y-\tau_{xy}^2$도 불변량이다.

$\sigma_x = -40$ MPa, $\sigma_y = 60$ MPa, $\tau_{xy} = -30$ MPa인 평면 응력의 주응력과 면 안 최대 전단 응력을 구하라.

중심 $c = 10$, 반지름 $R = \sqrt{50^2+30^2}$.

$R = \sqrt{2500+900} = 58.3$ MPa. $\sigma_1 = 10+58.3 = 68.3$, $\sigma_2 = 10-58.3 = -48.3$ MPa, $\tau_{\max} = 58.3$ MPa. $\tan2\theta_p = -60/(-100) = 0.6$이지만 $\sigma_x-\sigma_y \lt 0$이므로 $2\theta_p = 31.0°-180°$, σ₁ 방향은 $\theta_p = -74.5°$(곧 105.5°)이다 — σ₁은 $y$축 가까이에 있다.

웨이퍼 위 박막이 등이축 인장 500 MPa를 받고 막에 수직인 응력은 0이다. 막 속의 절대 최대 전단 응력은?

면 안의 모어 원은 점이다. 세 주응력은 (500, 500, 0).

$\tau_{\max} = (\sigma_1-\sigma_3)/2 = (500-0)/2 = 250$ MPa. 면 안 어떤 방향에도 전단이 없지만 막 면과 45° 기운 면에 250 MPa가 걸린다. 막이 두께 방향으로 기운 슬립이나 균열을 일으키는 이유다.

티타늄 시편을 단축 200 MPa로 당겼더니 축 방향 변형 게이지가 $1.94\times10^{-3}$, 옆 방향 게이지가 $-6.60\times10^{-4}$을 읽었다. 영률과 푸아송 비를 구하라.

$E = 200/1.94\times10^{-3} = 1.03\times10^{5}$ MPa = 103 GPa, $\nu = 6.60\times10^{-4}/1.94\times10^{-3} = 0.340$.

구리($E = 110$ GPa, $\nu = 0.34$) 정육면체에 정수압 100 MPa를 가한다. 부피 변화율을 퍼센트로 구하라.

$K = E/3(1-2\nu)$, $\Delta V/V = -p/K$.

$K = 110/(3\times0.32) = 114.6$ GPa. $\Delta V/V = -100/114600 = -8.73\times10^{-4} = -0.0873$ %.

Si의 순응 계수 $S_{11} = 7.68\times10^{-3}$, $S_{12} = -2.14\times10^{-3}$, $S_{44} = 1.256\times10^{-2}$ GPa⁻¹로 [110]과 [111] 방향의 영률을 구하라.

방향 인자 $J = l_1^2l_2^2+l_2^2l_3^2+l_3^2l_1^2$는 [110]에서 1/4, [111]에서 1/3.

$S_0 = S_{11}-S_{12}-S_{44}/2 = 7.68+2.14-6.28 = 3.54\times10^{-3}$. $1/E_{110} = 7.68-3.54/2 = 5.91\times10^{-3}$ → 169 GPa. $1/E_{111} = 7.68-2\times3.54/3 = 5.32\times10^{-3}$ → 188 GPa.

양 끝이 단단한 벽에 고정된 구리 봉($E = 110$ GPa, $\alpha = 17.0$ ppm/K)을 20 °C에서 120 °C로 데운다. 봉의 응력은?(항복은 생각하지 않는다)

$\sigma = -E\alpha\Delta T = -110000\times17.0\times10^{-6}\times100 = -187$ MPa(압축). 순 구리의 항복 강도(약 69 MPa)를 넘으므로 실제로는 소성 변형한다.

Si 웨이퍼 위 알루미늄 막($E = 69$ GPa, $\nu = 0.33$, $\alpha = 23.6$ ppm/K)이 400 °C 어닐에서 응력이 완전히 풀렸다. 25 °C로 식혔을 때 탄성으로만 계산한 열응력은?

$\sigma_f = \dfrac{69000}{0.67}\times(2.6-23.6)\times10^{-6}\times(25-400) = 103000\times(-21.0\times10^{-6})\times(-375) = +811$ MPa(인장). 막의 항복 강도(수백 MPa)를 훨씬 넘으므로 실제로는 식는 도중 소성 변형해 상온 응력이 200–400 MPa로 제한된다 — 응력–온도 곡선의 이력이 이렇게 생긴다.

200 mm Si 웨이퍼(두께 725 µm)에 인장 1000 MPa인 LPCVD 질화막 300 nm를 올렸다. 가운데가 가장자리보다 얼마나 낮아지는지(µm)와 곡률 반지름을 구하라.

$\kappa = 6\sigma_fh_f/(M_sh_s^2)$, 처짐 $\kappa D^2/8$.

$\kappa = 6\times10^{9}\times3\times10^{-7}/(180\times10^{9}\times(7.25\times10^{-4})^2) = 1800/94610 = 1.90\times10^{-2}$ m⁻¹, $R = 52.7$ m. 처짐 $= 0.0190\times(0.200)^2/8 = 9.50\times10^{-5}$ m = 95.0 µm(인장이므로 막 쪽 오목, bow = −95 µm).

775 µm 웨이퍼의 앞면 막이 만든 bow가 +30 µm이다. 막은 그대로 두고 뒷면을 연삭해 300 µm로 얇게 하면 bow는?(연삭 손상층의 응력과 큰 처짐 효과는 무시한다)

스토니 곡률 $\propto1/h_s^2$: $30\times(775/300)^2 = 30\times6.67 = 200$ µm. 실제로는 뒷면 손상층의 압축 응력도 bow를 바꾸므로 스트레스 릴리프 공정이 필요하다.

300 mm·775 µm 웨이퍼 앞면에 두께 6.0 µm, 평균 응력 −200 MPa인 몰드 적층을 올렸다. (a) 이때의 bow를 구하라. (b) 뒷면에 응력 −300 MPa인 산화막을 올려 bow를 0으로 만들려면 몇 µm가 필요한가?

1 MPa·µm당 bow 0.623 µm. 뒷면 막은 같은 응력이라도 앞면 막과 반대 방향으로 휘게 한다.

(a) $\sum\sigma h = -200\times6.0 = -1200$ MPa·µm, 압축이므로 볼록: bow $= +0.623\times1200 = +748$ µm. (b) 뒷면의 압축막은 뒷면을 볼록하게, 곧 앞면을 오목하게 만든다. 유효 $\sum\sigma h = -1200-(-300)h_b = 0$에서 $h_b = 4.00$ µm.

산화막에 갇힌 구리 배선의 주응력이 (400, 300, 250) MPa이다. 폰 미제스 등가 응력과 평균(정수압) 응력을 구하라.

$\sigma_\text{vM} = \sqrt{\tfrac12[(100)^2+(50)^2+(150)^2]} = \sqrt{17500} = 132$ MPa. $\sigma_m = (400+300+250)/3 = 317$ MPa. 등가 응력은 작아 항복하지 않지만 정수압 인장이 커서 보이드가 자란다.

항복 강도 300 MPa인 축이 축 방향 인장 150 MPa를 받는다. 항복하지 않고 더 걸 수 있는 최대 비틀림 전단 응력을 폰 미제스와 트레스카 기준으로 각각 구하라.

평면 응력 $(\sigma, 0, \tau)$: $\sigma_\text{vM} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$, $\sigma_\text{Tr} = \sqrt{\sigma^2+4\tau^2}$.

vM: $\tau = \sqrt{(300^2-150^2)/3} = \sqrt{22500} = 150$ MPa. Tr: $\tau = \sqrt{(300^2-150^2)/4} = 130$ MPa. 트레스카가 13 % 보수적이다.

웨이퍼 앞면에 인장 응력의 텅스텐 막을 증착했다. 막을 위로 두고 본 웨이퍼 모양은?

인장막은 줄어들려 하므로 표면을 끌어당겨 막 쪽이 오목해진다(그릇 모양). 압축막은 반대로 막 쪽이 볼록해진다(돔 모양). 막이 얇아도 $\sigma_fh_f$가 크면 수백 µm 휜다.

개념 확인 퀴즈

평면 응력의 모어 원에서 원의 반지름이 뜻하는 것은?

원 위의 점 가운데 τ가 가장 큰 곳(원의 맨 위·아래)의 τ가 $R$이다. 중심이 평균 수직 응력, 중심 ± $R$이 두 주응력이다.

푸아송 비가 0.5에 가까운 재료(고무)의 성질로 옳은 것은?

$K = E/3(1-2\nu)$가 $\nu\to0.5$에서 발산한다. 고무는 모양은 쉽게 바뀌지만(작은 $G$) 부피는 거의 바뀌지 않는다. 옆이 막힌 고무 패드가 매우 뻣뻣한 이유다.

스토니 식으로 막 응력을 구할 때 필요 없는 값은?

막의 힘 $\sigma_fh_f$와 기판의 굽힘 저항만 맞추므로 막의 탄성 상수는 들어가지 않는다. 처음 보는 신소재 막의 응력도 휨만 재면 구할 수 있는 이유다(단 $h_f\ll h_s$).

금속에 매우 큰 정수압(모든 방향으로 같은 압축)을 걸면?

정수압 상태는 모든 면에서 전단이 0이므로 전위를 움직이지 못한다. 폰 미제스·트레스카 모두 주응력의 차이만 보므로 0이다.

(001) 실리콘 웨이퍼에 대한 설명으로 옳은 것은?

$E_{100} = 130$, $E_{110} = 169$ GPa로 다르지만, (001) 면의 이축 탄성률 $C_{11}+C_{12}-2C_{12}^2/C_{11} = 180$ GPa는 면 안 회전에 대해 불변이다. 스토니 식에 한 값을 쓰는 근거다.