Chapter 16

열적·광학적 성질

고성능 프로세서는 손톱만 한 실리콘에서 수백 와트의 열을 낸다. 그 열은 다이에서 열계면 재료(TIM)와 구리 뚜껑을 거쳐 방열판으로 나가야 하고, 길 위의 층마다 온도가 몇 도씩 오른다. 데워진 층들은 서로 다른 비율로 늘어나 솔더 접합을 비틀고, 급히 식은 세라믹은 표면부터 갈라진다. 같은 원자 결합이 빛도 다룬다. 띠틈보다 에너지가 작은 광자는 그냥 지나가 GaN 웨이퍼는 투명하고, 큰 광자는 삼켜져 실리콘은 회색 거울처럼 보인다. 이 장은 열용량을 짧게 복습한 뒤 열팽창의 원자적 기원(비조화 퍼텐셜과 그뤼나이젠 관계), 열팽창 불일치와 열충격, 전자와 포논이 나르는 열전도와 박막·계면 열저항, 패키지 열 설계, 그리고 빛의 반사·흡수·투과와 분산, 띠틈이 정하는 색과 투명도, 타우크 그림, 발광과 투명 전도막까지를 재료의 눈으로 묶는다. 아래 그림은 데워지며 진동이 커지는 결정이다.

위아래로 끌면 온도 · 누르면 비조화↔조화

뒬롱–프티·디바이 열용량을 몰당·질량당으로 바꿔 쓰고, 비조화 결합 퍼텐셜에서 원자의 평균 위치가 온도와 함께 밀려나는 것으로 열팽창을 설명한다.
그뤼나이젠 관계 $\alpha = \gamma C_V/(3KV_m)$로 선팽창 계수를 어림하고, 결합 세기·녹는점과 $\alpha$의 반비례, 인바와 음의 열팽창의 기구를 설명한다.
열팽창 불일치로 솔더 접합의 전단 변형과 열 사이클 수명을 계산하고, 박막 응력–온도 이력과 열충격 저항 $\Delta T_c = \sigma_f(1-\nu)/(E\alpha)$를 해석한다.
열전도를 전자 몫(비데만–프란츠)과 포논 몫($\kappa = \tfrac13 Cv\ell$)으로 나누고, 결정·비정질, 합금, 박막·초격자, 계면(카피차) 열저항이 $\kappa$를 줄이는 이유를 설명한다.
칩–TIM–뚜껑–방열판의 열저항 회로로 접합 온도를 계산하고, 재료와 두께를 골라 목표 온도를 맞춘다.
복소 굴절률 $n + ik$에서 반사율·흡수 계수·투과율을 계산하고, 코시·셀마이어 분산식과 반사 방지막을 다룬다.
띠틈에서 차단 파장과 재료의 색·투명도를 예측하고, 타우크 그림으로 띠틈을 읽으며, LED 발광색과 투명 전도막(ITO)의 투명 창을 설명한다.

열용량 복습과 열팽창의 원자적 기원

재료를 데우면 원자들이 더 크게 흔들린다. 1 K 올리는 데 드는 에너지가 열용량(heat capacity)이고, 흔들림이 커지면서 원자 간 평균 거리가 늘어나는 것이 열팽창이다. 두 성질 모두 격자 진동, 곧 포논에서 나온다. 고체물리에서 자세히 다뤘으니(고체물리 · 디바이 모형) 재료공학에 필요한 결과만 정리한다.

$$C_V \xrightarrow{T\gg\Theta_D} 3R = 24.9\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},\qquad C_V \approx \frac{12\pi^4}{5}R\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\ (T\ll\Theta_D),\qquad c_p = \frac{C_p}{M}$$

고온에서는 원자 하나가 진동 자유도 3개를 갖고 각각 $k_\mathrm{B}T$를 받으므로 몰당 $3R$이다(뒬롱–프티 법칙(Dulong–Petit law)). 디바이 온도 $\Theta_D$보다 낮으면 진동이 얼어붙어 $T^3$로 줄어든다. 고체는 $C_p - C_V = TV\alpha_V^2K$가 몇 % 이하라 보통 구별하지 않는다. 질량당 비열 $c_p$는 몰 질량 $M$으로 나누므로 가벼운 원소가 크다: Al $24.9/26.98 = 0.92$ J/(g·K)(실측 0.90), Cu 0.39, W 0.14. 다이아몬드($\Theta_D\approx 2200$ K)와 Si(645 K)는 상온에서도 $3R$에 못 미친다.

비조화 퍼텐셜: 평균 위치가 밀려난다

두 원자 사이의 결합 에너지 곡선(2장)은 대칭이 아니다. 가까이 밀면 전자 구름이 겹쳐 에너지가 가파르게 오르지만, 멀리 당기면 완만하게 결합이 풀린다. 이런 비조화 퍼텐셜(anharmonic potential)에서 원자가 에너지 $E$로 진동하면 바깥쪽 되돌이점이 안쪽보다 멀리 있어서 진동의 가운데, 곧 평균 원자 간 거리가 바닥 $r_0$보다 바깥으로 밀린다. 온도가 오를수록 $E$가 커져 더 밀린다. 퍼텐셜이 포물선(조화)이면 진폭만 커지고 평균 위치는 그대로이므로 열팽창이 없다.

$$U(r) = D\left(1-e^{-a(r-r_0)}\right)^2 \approx Da^2x^2 - Da^3x^3,\qquad \langle x\rangle = \frac{3k_\mathrm{B}T}{4Da},\qquad \alpha = \frac{1}{r_0}\frac{d\langle r\rangle}{dT}\approx\frac{3k_\mathrm{B}}{4Dar_0}$$

모스 퍼텐셜($D$: 결합 에너지, $a$: 우물의 폭을 정하는 상수, $x = r - r_0$)을 3차까지 펼치고 볼츠만 평균을 내면 평균 변위가 $T$에 비례한다. 3차 항(비조화성)이 없으면 $\langle x\rangle = 0$이다. $\alpha$는 결합 에너지 $D$에 반비례한다 — 결합이 강하고 우물이 깊은 재료일수록 덜 늘어난다. 이 고전 계산은 저온에서 틀린다: 실제로는 진동이 얼어붙어 $\alpha$도 $C_V$처럼 $T^3$으로 0에 간다.

결합 곡선을 바닥 곡률이 같은 포물선(조화 퍼텐셜)으로 바꾸고 온도를 1000 K까지 올린다. 원자 간 평균 거리는?

포물선 우물은 $r_0$을 중심으로 좌우 대칭이라 진동이 아무리 커져도 평균 위치는 $r_0$이다. 시뮬레이터에서 "조화"를 눌러 $\langle r\rangle - r_0$ 그래프가 0에 붙어 있는지 확인하라. 열팽창은 전적으로 퍼텐셜의 비대칭(3차 항)에서 나온다.

SIMULATOR

비조화 우물 속 원자: 온도를 끌어 평균 위치 보기

흰 원을 끈다

결합 에너지 D

퍼텐셜

온도 T · k_BT—

⟨r⟩ − r₀—

선팽창 α (볼츠만 평균)—

근사 3k_B/(4Dar₀)—

왼쪽은 모스 퍼텐셜($a = 1.5$ Å⁻¹, $r_0 = 2.5$ Å) 속에서 에너지 $k_\mathrm{B}T$로 진동하는 원자, 세로 점선은 볼츠만 평균 위치 $\langle r\rangle$(Mat.morseMean)이다. 오른쪽은 $\langle r\rangle - r_0$의 온도 의존이다. 해볼 것: ① 에너지 선을 올려 되돌이점이 바깥쪽으로 더 멀리 가는 것을 본다. ② $D$를 1 → 4 eV로 키우면 같은 온도에서 우물이 좁고 대칭에 가까워져 $\alpha$가 1/4로 준다. ③ "조화"로 바꾸면 진동은 그대로인데 그래프가 0에 붙는다.

그뤼나이젠 관계와 재료별 열팽창 계수

결정 전체로 보면, 부피가 커질 때 포논 진동수가 얼마나 내려가는지가 비조화성의 척도다. 그 비율을 그뤼나이젠 상수(Grüneisen parameter) $\gamma = -\,d\ln\omega/d\ln V$라 하고, 대부분의 고체에서 1–3이다. 열역학 관계를 정리하면 부피 팽창 계수가 열용량에 비례한다.

$$\alpha_V = 3\alpha = \frac{\gamma\,C_V}{K\,V_m},\qquad V_m = \frac{M}{\rho}$$

$K$: 체적 탄성률, $V_m$: 몰 부피. $\alpha$와 $C_V$가 같은 온도 의존을 갖는 이유(저온 $T^3$, 고온 일정)이고, 단단한($K$가 큰) 재료일수록 덜 늘어나는 이유다. 단, Si처럼 횡파 포논의 $\gamma$가 음수인 결정은 평균 $\gamma$가 작아(0.4–0.5) $\alpha$가 2.6 ppm/K로 작고, 120 K 아래에서는 음수가 된다.

그뤼나이젠 상수 2.00, 체적 탄성률 140, 몰 질량 63.5, 밀도 8.94인 결정은 몰 부피가 이고, 고온($C_V = 3R$)에서 선팽창 계수는 이다.

표를 보면 $\alpha$는 결합 세기와 거꾸로 간다. 녹는점이 높은 W·SiC·다이아몬드는 4 ppm/K 이하, 녹는점이 낮은 Sn·Al·솔더는 20 ppm/K 이상, 사슬 사이가 약한 반데르발스 결합으로 묶인 고분자는 50–300 ppm/K이다. 녹을 때까지 늘어나는 양이 비슷하다는 경험칙($\alpha T_m\approx 0.02$)도 같은 그림이다 — 녹는점은 우물의 깊이 $D$에, $\alpha$는 $1/D$에 비례한다.

그래프를 눌러 끌면 가까운 재료를 고른다

MINI LAB부록 A 자료표(Mat.db)의 녹는점과 열팽창 계수(로그–로그). 점선은 $\alpha T_m = 0.02$이다. 금속은 대체로 선 위에 모이지만, 공유 결합의 Si·다이아몬드와 망상 구조의 용융 실리카(녹는점 대신 연화 온도 근방)는 선보다 훨씬 아래에 있다 — 결합각이 버티는 열린 구조는 진동이 커져도 부피가 덜 는다.

인바와 음의 열팽창

비조화성 말고도 부피를 바꾸는 기구가 있으면 $\alpha$를 0 근처나 음수로 만들 수 있다. Fe–36 % Ni 합금 인바(Invar)는 강자성 상태에서 자기 모멘트가 부피를 키우는데(자기 체적 효과), 온도가 오르면 자화가 줄어 그만큼 부피가 줄어든다. 이것이 격자 팽창을 거의 상쇄해 상온 $\alpha\approx 1.2$ ppm/K이다. 정밀 계측기, LNG 탱크, OLED 증착용 미세 금속 마스크(FMM)가 인바를 쓴다. ZrW₂O₈는 $-9$ ppm/K로 0–1050 K 전체에서 줄어드는데, 아래 그림처럼 금속–산소–금속 연결의 가로 진동이 원인이다. 용융 실리카(0.55)·유리 세라믹(제로듀어, ±0.02)은 같은 가로 진동 덕분에 거의 늘지 않아 노광기 렌즈 지지대와 EUV 마스크 기판에 쓰인다.

금속(M)–산소(O)–금속이 곧게 이어진 연결. 결합 길이는 온도에 거의 무관하다고 하자.
산소가 연결에 수직으로 진동하면 결합 길이는 그대로여도 두 금속이 서로 끌려 들어온다.
온도가 오를수록 가로 진동의 평균 제곱이 커져 이 수축이 결합 자체의 (비조화) 팽창을 이긴다.

음의 열팽창의 "줄 당기기" 기구. 열린 망상 구조(ZrW₂O₈, 저온의 Si, 용융 실리카)에서 크게 나타난다. 비조화 팽창과 이 수축의 합이 실제 $\alpha$다.

구리는 $\gamma = 2.0$, $K = 140$ GPa, 몰 질량 63.55 g/mol, 밀도 8.94 g/cm³이다. 고온 극한 $C_V = 3R$으로 선팽창 계수를 어림하고 실측값 17.0 ppm/K와 비교하라.

풀이 보기

전략 $V_m = M/\rho$를 m³/mol로 바꾼 뒤 $\alpha = \gamma C_V/(3KV_m)$에 넣는다.

풀이 $V_m = 63.55/8.94 = 7.109$ cm³/mol $= 7.109\times10^{-6}$ m³/mol. $\alpha_V = \dfrac{2.0\times24.94}{140\times10^{9}\times7.109\times10^{-6}} = \dfrac{49.9}{9.95\times10^{5}} = 5.01\times10^{-5}$ K⁻¹, $\alpha = \alpha_V/3 = 1.67\times10^{-5}$ K⁻¹.

$\alpha\approx 16.7$ ppm/K (실측 17.0 ppm/K와 2 % 안)

검토 상온은 구리의 디바이 온도(343 K) 근처라 $C_V$가 $3R$보다 조금 작지만(약 24.4) $\gamma$의 불확실성이 더 크다. 이 관계는 단단하고($K$↑) 원자가 빽빽한($V_m$↓) 재료일수록 $\alpha$가 작다는 경향을 정량적으로 준다.

(a) 300 mm Si 웨이퍼를 25 °C에서 400 °C 척 위로 올리면 지름이 얼마나 늘어나는가? $\alpha = 2.6$ ppm/K로 일정하다고 본다. (b) 노광 중 웨이퍼 온도가 0.01 K 변하면 웨이퍼 가장자리(중심에서 150 mm)는 중심에 대해 얼마나 움직이는가?

풀이 보기

전략 자유 팽창 $\Delta L = \alpha L\Delta T$. (b)는 반지름에 적용한다.

풀이 (a) $\Delta d = 2.6\times10^{-6}\times300\ \text{mm}\times375 = 0.293$ mm. (b) $\Delta r = 2.6\times10^{-6}\times150\times10^{6}\ \text{nm}\times0.01 = 3.9$ nm.

(a) 약 0.29 mm(293 µm) (b) 약 3.9 nm

검토 Si의 $\alpha$는 400 °C에서 3.8 ppm/K 가까이 오르므로 (a)의 실제 값은 0.35 mm 근처다. (b)는 겨우 0.01 K인데 오버레이 예산(수 nm)과 맞먹는다 — 노광기가 웨이퍼·레티클 온도를 mK 단위로 관리하고 스테이지를 열팽창이 거의 없는 세라믹·유리 세라믹으로 만드는 이유다.

열팽창 불일치, 열 사이클과 열충격

자유로운 물체는 늘어나도 응력이 없다. 응력은 늘어남이 막힐 때 생기며(5장 · 열응력과 이층판), 막는 것은 대개 붙어 있는 다른 재료이거나 같은 재료의 다른 온도 부분이다. 앞의 경우가 열팽창 불일치(CTE mismatch), 뒤의 경우가 열충격이다. 둘 다 온도가 오르내릴 때마다 되풀이되어 피로 손상을 쌓는다.

솔더 접합의 전단 변형

플립칩이나 BGA에서 실리콘 다이(2.6 ppm/K)와 유기 기판(FR-4 면 방향 14 ppm/K)은 솔더가 굳는 온도(SAC 217 °C)에서 붙는다. 이후 온도가 바뀌면 기판이 다이보다 많이 늘고 줄어, 둘 사이의 솔더 볼은 위아래가 서로 다른 거리만큼 움직이며 비틀린다(전단). 다이 중심은 대칭이라 움직이지 않으므로 상대 변위는 중심에서의 거리 DNP(distance from neutral point)에 비례하고, 모서리 볼이 가장 크게 비틀린다.

$$\Delta\gamma = \frac{L_D\,\Delta\alpha\,\Delta T}{h},\qquad N_f = \frac12\left(\frac{\Delta\gamma}{2\varepsilon_f'}\right)^{1/c}$$

$L_D$: DNP, $h$: 솔더 높이, $\Delta\alpha$: 두 재료의 열팽창 계수 차, $\Delta T$: 온도 사이클의 폭. 수명은 코핀–맨슨형 엥겔마이어 식으로 어림한다($\varepsilon_f' = 0.325$, $c\approx -0.442$, SnPb 자료 — 7장 · 저주기 피로, 17장 · 솔더 접합 수명). 변형이 두 배면 수명은 $2^{2.26}\approx 5$배 짧아진다.

10 mm 다이를 FR-4 기판에 플립칩으로 붙였다. −40 ↔ 125 °C 열 사이클에서 가장 먼저 금이 가는 솔더 볼은? 또 다이를 20 mm로 키우면 그 볼의 전단 변형은?

상대 변위가 DNP에 비례하므로 모서리(대각선 끝) 볼이 가장 크게 비틀리고, 다이 크기를 두 배로 하면 DNP와 $\Delta\gamma$가 두 배, 수명은 약 1/5이 된다. 시뮬레이터에서 다이 모서리를 끌어 확인하라. 큰 다이에 언더필이 필수인 이유다.

SIMULATOR

열 사이클 속 솔더 볼: 다이 크기와 볼 높이를 끌어 수명 보기

온도계 흰 원 · 다이 오른쪽 끝 · 볼 높이 흰 원을 끈다

기판

언더필 채우기

지금 온도 · Δα—

모서리 DNP · 볼 높이—

사이클 전단 변형 폭 Δγ—

수명 N_f (엥겔마이어)—

−40 ↔ 125 °C 사이클($\Delta T = 165$ K)을 돈다. 그림은 다이 오른쪽 절반의 단면이고 변위를 크게 과장했다(기판이 다이보다 더 늘고 줄어 볼이 비틀린다). 응력 0인 온도는 솔더가 굳는 217 °C로 본다. 언더필은 다이와 기판을 한 덩어리로 묶어 볼이 받는 전단을 자유 불일치의 약 10 %로 줄인다고 본 대표값이다. 해볼 것: ① 다이 끝을 끌어 DNP를 두 배로 하면 수명이 약 1/5이 됨을 본다. ② 볼 높이를 키우면 변형이 줄어든다($\propto 1/h$). ③ Si 인터포저로 바꾸면 $\Delta\alpha\approx 0$이 되어 볼 대신 인터포저–기판 사이가 문제가 된다.

10 mm × 10 mm Si 다이(2.6 ppm/K)를 FR-4 기판(14.0 ppm/K)에 높이 100 µm 솔더 볼로 붙였다. −40 ↔ 125 °C 사이클에서 모서리 볼의 전단 변형 폭과 엥겔마이어 수명($\varepsilon_f' = 0.325$, $c = -0.442$)을 구하라. 언더필이 볼 전단을 1/10로 줄이면 수명은?

풀이 보기

전략 모서리 볼의 DNP는 반대각선 $L_D = \sqrt{5^2+5^2} = 7.07$ mm. $\Delta\gamma = L_D\Delta\alpha\Delta T/h$를 수명 식에 넣는다.

풀이 $\Delta\gamma = 7.07\times11.4\times10^{-6}\times165/0.100 = 0.133$. $N_f = \tfrac12(0.133/0.650)^{-1/0.442} = \tfrac12(0.2046)^{-2.262} = 18$ 사이클. 언더필: $\Delta\gamma = 0.0133$, $N_f = \tfrac12(0.02046)^{-2.262} = 3.3\times10^{3}$ 사이클.

언더필 없이 $\Delta\gamma\approx 0.13$, 약 18 사이클 · 언더필 있으면 약 3300 사이클

검토 언더필 없는 유기 기판 플립칩이 수십 사이클 만에 깨진다는 것은 실제 경험과 맞다(1990년대 언더필이 도입된 이유). 변형이 10배 줄면 수명은 $10^{2.26}\approx 180$배 는다. 실제 설계는 유한 요소 해석과 가속 시험으로 확인한다.

박막의 응력–온도 이력

Si 위의 금속 박막을 데웠다 식히면 처음에는 열 불일치 응력이 직선으로 변하다가(5장의 $\sigma_f = \tfrac{E_f}{1-\nu_f}(\alpha_s-\alpha_f)\Delta T$), 응력의 크기가 그 온도의 항복 강도에 닿으면 막이 소성 변형하며 응력이 항복 강도를 따라간다. 금속의 항복 강도는 온도와 함께 떨어지므로 가열과 냉각의 길이 달라 닫힌 고리가 생긴다. 웨이퍼 곡률을 재며 온도를 돌리는 이 측정은 배선 막의 강도와 이완을 보는 표준 방법이고, 고리 넓이가 사이클마다 쌓이는 소성 일이다.

최고 온도

MINI LABSi 위 Al 막($E_f/(1-\nu_f) = 103$ GPa, $\Delta\alpha = -21$ ppm/K)을 25 °C(응력 0)에서 데웠다 식힌다. 항복 강도는 $\sigma_\mathrm{y}(T) = 350 - 0.75(T - 25)$ MPa로 줄어든다고 본 모형이다. 최고 온도가 낮으면 탄성선만 오가고, 높으면 고온 압축 항복과 냉각 중 인장 항복이 생겨 고리가 열린다. 고온에서 압축으로 항복하며 생기는 Al 힐록(hillock)이 이 고리의 왼쪽 아래 끝이다.

열충격

뜨거운 세라믹을 찬물에 넣으면 표면은 곧바로 식어 줄어들려 하지만 아직 뜨거운 속이 붙잡는다. 표면은 면 안 두 방향으로 늘려진 셈이므로 인장 응력 $\sigma = E\alpha\Delta T/(1-\nu)$를 받고, 이것이 파괴 강도를 넘으면 표면 결함에서 균열이 생긴다. 세라믹은 인장에 약하므로 급랭이 급가열보다 위험하다. 버틸 수 있는 최대 온도 급변이 열충격 저항(thermal shock resistance)이다.

$$\Delta T_c = \frac{\sigma_f(1-\nu)}{E\alpha},\qquad R' = \kappa\,\Delta T_c = \frac{\kappa\,\sigma_f(1-\nu)}{E\alpha}\ \ [\mathrm{W/m}]$$

$\Delta T_c$는 열전달이 매우 빠른(표면 온도가 즉시 바뀌는) 극한의 임계 온도 차다. 열전달이 느리면 열전도도 $\kappa$가 큰 재료일수록 속과 겉의 온도 차가 작아지므로 $R'$이 더 맞는 지표다. 강하고($\sigma_f$↑), 무르고($E$↓), 덜 늘어나는($\alpha$↓) 재료가 잘 버틴다(12장 · 세라믹의 열충격, 1장 · 성능 지수).

판 전체가 같은 온도 $T_0$이면 응력이 없다.
찬물에 넣으면 표면만 먼저 식는다. 줄어들지 못한 표면은 인장, 속은 압축을 받는다.
표면 인장 응력이 파괴 강도를 넘으면 표면 균열이 생긴다. 반대로 급가열은 표면을 압축하므로 덜 위험하다.

급랭 열충격의 순서. 응력의 크기는 표면과 속의 온도 차가 정하므로, 열이 빨리 빠지는 얇은 판이나 열전도도가 큰 재료는 같은 급랭에서 응력이 작다.

파괴 강도 330, 영률 380, 푸아송 비 0.22, 열팽창 계수 7.4, 열전도도 30인 세라믹의 임계 급랭 온도 차는 , 열전도를 넣은 지표는 $R'$ = 이다.

부록 A의 자료($\sigma_f$, $E$, $\nu$, $\alpha$)로 알루미나(330 MPa, 380 GPa, 0.22, 7.4 ppm/K), 용융 실리카(104 MPa, 73 GPa, 0.17, 0.55 ppm/K), 질화 규소(700 MPa, 304 GPa, 0.27, 3.3 ppm/K)의 $\Delta T_c$를 비교하라.

풀이 보기

전략 $\Delta T_c = \sigma_f(1-\nu)/(E\alpha)$, $E$는 MPa로 바꾼다.

풀이 알루미나: $330\times0.78/(3.80\times10^{5}\times7.4\times10^{-6}) = 257/2.81 = 92$ K. 용융 실리카: $104\times0.83/(7.3\times10^{4}\times0.55\times10^{-6}) = 86.3/0.0402 = 2.15\times10^{3}$ K. 질화 규소: $700\times0.73/(3.04\times10^{5}\times3.3\times10^{-6}) = 511/1.00 = 509$ K.

Al₂O₃ 약 92 K, Si₃N₄ 약 510 K, 용융 실리카 약 2150 K

검토 실리카의 값은 녹기 전에 의미가 없을 만큼 커서 "물에 넣어도 깨지지 않는다". 강도는 알루미나보다 약하지만 $\alpha$가 13배 작기 때문이다. 질화 규소는 강도로 버틴다. 석영 튜브와 웨이퍼 보트가 급가열·급랭을 견디는 이유이고, 알루미나 부품은 천천히 데우고 식혀야 한다.

열전도: 전자와 포논

열전도도 $\kappa$는 푸리에 법칙 $q = -\kappa\,dT/dx$의 비례 상수다(열·통계물리 · 푸리에 법칙). 재료 사이의 차이는 다섯 자릿수가 넘는다. 무엇이 열을 나르는지(전자인가 포논인가)와 그 운반자가 얼마나 멀리 가서 산란되는지(평균 자유 행로)가 그 차이를 만든다.

상온 열전도도의 범위(부록 A의 대표값). 금속은 전자가, 세라믹·반도체는 포논이 열을 나른다. 다이아몬드는 전자 없이도 구리의 다섯 배다 — 가볍고 강하게 묶인 원자는 포논을 빠르게, 멀리 보낸다. 비정질(SiO₂, SiCOH)과 고분자는 포논이 원자 몇 개 거리에서 흩어져 1 W/(m·K) 근처에 머문다.

전자의 몫: 비데만–프란츠 법칙

금속에서 열을 나르는 주인공은 전기를 나르는 바로 그 자유 전자다. 전자가 산란되는 방식(포논·불순물)이 같으므로 열전도도와 전기 전도도는 비례하고, 비례 계수는 온도에 비례한다. 이것이 비데만–프란츠 법칙(Wiedemann–Franz law)이다(고체물리 · 자유 전자 모형).

$$\kappa_e = L\,\sigma\,T,\qquad L_0 = \frac{\pi^2}{3}\left(\frac{k_\mathrm{B}}{e}\right)^2 = 2.44\times10^{-8}\ \mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}},\qquad \kappa = \kappa_e + \kappa_\mathrm{ph}$$

$L$은 로렌츠 수(Lorenz number)다. 순금속은 실측 $\kappa\rho/T$가 $L_0$에 가깝고(Cu $2.23\times10^{-8}$), 합금은 전자 산란이 많아 $\kappa_e$가 작아지면서 포논 몫이 상대적으로 커져 $L$이 $L_0$보다 커 보인다. 저항률을 알면 열전도도를 어림할 수 있어 배선·박막 금속의 열 해석에 쓴다.

저항률 1.7인 금속은 300에서 전자 열전도도가 $\kappa_e = L_0T/\rho$ = 이다.

포논의 몫: 평균 자유 행로가 정한다

절연체와 반도체는 격자 진동이 열을 나른다. 포논을 기체 분자처럼 보면 기체 운동론의 결과를 그대로 쓸 수 있다.

$$\kappa_\mathrm{ph} = \tfrac13\,C\,v\,\ell,\qquad \frac{1}{\ell} = \frac{1}{\ell_\mathrm{U}} + \frac{1}{\ell_\mathrm{imp}} + \frac{1}{\ell_\mathrm{bdy}}$$

$C$: 부피당 열용량, $v$: 음속, $\ell$: 포논 평균 자유 행로(phonon mean free path). 산란이 여럿이면 마티센 규칙처럼 산란율이 더해진다. 고온에서는 포논끼리의 움클랍 산란($\ell_\mathrm{U}\propto1/T$)이, 합금·동위원소·점결함이 있으면 질량 차 산란($\ell_\mathrm{imp}$)이, 결정립·막 두께가 작으면 경계 산란($\ell_\mathrm{bdy}\approx d$)이 끼어든다(고체물리 · 포논 열전도).

다이아몬드·SiC·AlN·Si처럼 가벼운 원자가 강한 공유 결합으로 묶인 단순 결정은 음속이 빠르고 움클랍 산란이 약해 $\kappa$가 크다. 반대로 비정질은 질서가 없어 포논이 원자 간 거리 정도에서 흩어지므로($\ell\sim$ 0.5 nm) 용융 실리카는 1.4, 결정 석영은 6–10 W/(m·K)다. 결정이라도 합금은 질량이 다른 원자가 무작위로 섞여 짧은 파장 포논을 흩뜨린다: Si에 Ge를 20 % 섞으면 148에서 약 8 W/(m·K)로 떨어진다. 막이 포논 평균 자유 행로(Si 상온 열 운반 포논 수십–수백 nm)보다 얇아지면 경계가 포논을 흩어 박막의 $\kappa$가 덩어리보다 작아진다.

덩어리 Si의 열전도도는 148 W/(m·K)이다. SOI 웨이퍼의 Si 막을 1 µm에서 20 nm로 얇게 하면 막 방향 열전도도는?

막 두께가 포논 평균 자유 행로(대표값 120 nm)보다 훨씬 작으면 포논이 위아래 면에 부딪혀 흩어지는 것이 주된 산란이 된다. 간이 모형 $\kappa = \kappa_b/(1+\ell/d)$로 $148/(1+120/20) = 21$ W/(m·K)이고, 측정값(약 22)도 비슷하다. 얇은 채널의 FinFET·나노시트가 쉽게 달아오르는(자체 발열) 이유다.

SIMULATOR

포논 기체: 막 두께를 끌어 경계 산란 보기

막 윗면의 흰 원을 위아래로 끈다

Ge 함량 x (합금 산란)

표면

막 두께 d—

유효 평균 자유 행로 ℓ—

막 방향 κ—

덩어리 Si 대비—

왼쪽 벽(고온)에서 나온 포논은 남색, 오른쪽 벽(저온)에서 나온 포논은 황동색이다. 포논은 평균 자유 행로마다 방향을 바꾸고(움클랍·합금 산란), 거친 면에 닿으면 무작위 방향으로 튄다. 아래 띠는 위치별 "고온 포논 비율" — 국소 온도에 해당한다. 수치는 $1/\ell = 1/\ell_\mathrm{Si} + 1/\ell_\mathrm{alloy} + (1-p)/d$($\ell_\mathrm{Si} = 120$ nm 대표값, $\ell_\mathrm{alloy} = 1.1\ \text{nm}/[x(1-x)]$, $p$: 거울 반사 비율), $\kappa = 148\,\ell/\ell_\mathrm{Si}$의 간이 모형이다. 해볼 것: ① 막을 얇게 하면 포논이 벽 사이를 직진하며 튀는 것과 κ가 주는 것을 함께 본다. ② 매끈한 면으로 바꾸면 경계가 막 방향 수송을 방해하지 않는다. ③ Ge를 조금만(x = 0.05) 넣어도 κ가 1/6로 준다.

계면 열저항과 초격자

서로 다른 두 고체가 맞닿으면 원자 수준으로 완벽하게 붙어 있어도 계면에서 온도가 뚝 떨어진다. 두 재료의 포논 진동수 분포가 달라 일부 포논이 반사되기 때문이다. 이 불연속을 계면 열저항(thermal boundary resistance) 또는 카피차 저항(Kapitza resistance) $R_\mathrm{K}$라 한다: $\Delta T = qR_\mathrm{K}$. 고체–고체 계면은 $10^{-9}$–$10^{-8}$ m²K/W다. 같은 열저항을 갖는 재료 두께 $\ell_\mathrm{K} = R_\mathrm{K}\kappa$(카피차 길이)는 Si에서 $10^{-9}\times148 = 150$ nm이므로, 두께가 수십 nm인 층을 여러 장 쌓으면 계면이 열 흐름을 지배한다. 주기 $p$인 초격자의 막 수직 방향 열전도도는

$$\frac{p}{\kappa_\mathrm{SL}} = \frac{p/2}{\kappa_1}+\frac{p/2}{\kappa_2}+2R_\mathrm{K}$$

주기마다 계면이 둘이다. Si/Ge 초격자(주기 10 nm)는 3–5 W/(m·K)로 Si의 1/30 수준이다. 열전 소자(낮은 $\kappa$가 좋다)는 이를 이용하고, 다층 배선·3D 적층·GaN-on-SiC는 이 때문에 고생한다.

주기 p R_K

MINI LABSi/Ge 초격자 네 주기에 같은 열유속을 흘릴 때의 온도 분포. 층 안의 기울기는 각 층의 $\kappa$(얇으면 경계 산란으로 준 값), 계면의 계단은 $qR_\mathrm{K}$다. 주기가 카피차 길이보다 짧아지면 온도 강하가 거의 계단에서만 생기고 $\kappa_\mathrm{SL}$이 $p/2R_\mathrm{K}$로 내려간다.

구리($\rho = 1.68\ \mu\Omega\cdot$cm, 실측 $\kappa = 398$)와 스테인리스강 304($\rho = 72\ \mu\Omega\cdot$cm, 실측 $\kappa = 16.2$ W/(m·K))의 300 K 전자 열전도도를 $L_0$로 어림하고, 각 재료에서 포논 몫이 얼마인지 말하라.

풀이 보기

전략 $\kappa_e = L_0T/\rho$, $\rho$를 Ω·m로 바꾼다. 나머지($\kappa - \kappa_e$)를 포논 몫으로 본다.

풀이 구리: $\kappa_e = 2.44\times10^{-8}\times300/1.68\times10^{-8} = 436$ W/(m·K) — 실측보다 조금 크다(실측 $L = 2.23\times10^{-8}$). 스테인리스강: $\kappa_e = 2.44\times10^{-8}\times300/7.2\times10^{-7} = 10.2$ W/(m·K), 포논 몫 $16.2 - 10.2 = 6.0$(약 37 %).

Cu $\kappa_e\approx 436$(사실상 전부 전자) · SS304 $\kappa_e\approx 10.2$, 포논 약 6 W/(m·K)

검토 순금속은 포논 몫이 몇 %에 불과하지만, 전자 산란이 많은 합금은 전자 몫이 작아져 포논 몫이 눈에 띈다. 구리에서 $L \lt L_0$인 것은 상온에서 전자의 비탄성 포논 산란이 열 흐름을 전기 흐름보다 조금 더 방해하기 때문이다.

다층 열저항과 패키지 열 설계

칩의 접합 온도 $T_j$는 성능(누설 전류·속도)과 수명(일렉트로마이그레이션·유전체 파괴, 17장)을 함께 정한다. 열은 다이에서 여러 층을 차례로 지나 공기나 냉각수로 나간다. 층 하나의 열저항은 전기 저항과 같은 꼴이고, 직렬로 쌓인 층은 저항이 더해진다(열·통계물리 · 열저항 회로).

$$R_\mathrm{th} = \frac{L}{\kappa A}\ [\mathrm{K/W}],\qquad T_j = T_a + P\sum_i R_i,\qquad R_\mathrm{TIM} = \frac{\mathrm{BLT}}{\kappa_\mathrm{TIM}} + R_c$$

$L$: 층 두께, $A$: 열이 지나는 넓이, $P$: 소비 전력, $T_a$: 주위 온도. TIM은 두께(접착선 두께, BLT)를 지나는 저항과 양쪽 면의 접촉 저항 $R_c$(m²K/W)가 더해진다. 넓이당 저항(K·cm²/W)으로 적으면 다이 크기와 무관하게 비교할 수 있다. 실제 패키지는 열이 옆으로 퍼지는(spreading) 효과가 있어 1차원 계산보다 조금 낫다.

플립칩 패키지의 위쪽 열 경로와 등가 직렬 열저항 회로. 두께가 수십 µm에 불과한 TIM이 $\kappa$가 작아(1–10 W/(m·K)) 수 mm 두께의 구리 뚜껑보다 큰 저항이 되는 일이 흔하다. 공기 냉각에서는 방열판→주위 저항 $R_\mathrm{sa}$가 가장 크다.

TIM은 표면의 미세한 요철 사이에 갇힐 공기(0.026 W/(m·K))를 몰아내는 재료다. 실리콘 오일이나 에폭시(0.2 W/(m·K)) 기지에 알루미나·질화 붕소·은 같은 열전도 충전재를 50–70 vol% 섞어 만든다. 충전재 입자가 서로 닿아 이어질수록 열이 기지를 덜 거치므로 $\kappa$가 급격히 오른다 — 미세조직(충전재의 양·모양·접촉)이 성질을 정하는 복합재료의 전형이다(14장 · 충전재의 열전도). 더 높은 $\kappa$가 필요하면 인듐 같은 솔더 TIM(86 W/(m·K))이나 갈륨 합금 액체 금속(약 20)을 쓴다.

충전재 부피 분율 V_f BLT

MINI LAB실리콘 기지(0.2 W/(m·K))에 구형 충전재를 섞은 TIM. 왼쪽은 충전재 단면 모식도, 오른쪽은 맥스웰(묽은 분산)과 루이스–닐슨(조밀 충진, $\phi_m = 0.637$) 모형의 $\kappa(V_f)$이다. 충전재 자체의 $\kappa$를 10배 키워도 TIM의 $\kappa$는 별로 오르지 않는다 — 병목은 입자 사이를 잇는 얇은 기지층이다. 같은 이유로 실제 TIM의 $\kappa$는 3–8 W/(m·K)에 머문다.

넓이 1.0 cm²인 다이가 150 W를 낸다. 열 경로는 Si 다이 775 µm(148 W/(m·K)), 서멀 그리스 TIM1 50 µm(4 W/(m·K)), 구리 뚜껑 2.0 mm(398 W/(m·K)), 그리스 TIM2 50 µm(4 W/(m·K)), 방열판–공기 저항 0.25 K/W이다. 모든 층이 다이 넓이로 열을 나른다고 보고(퍼짐 무시, 접촉 저항 무시) 주위 25 °C에서의 접합 온도를 구하라. TIM1을 인듐(86 W/(m·K))으로 바꾸면?

풀이 보기

전략 층마다 $R = L/(\kappa A)$를 구해 더한다(Mat.Rlayers). $A = 10^{-4}$ m².

풀이 $R_\mathrm{die} = 7.75\times10^{-4}/(148\times10^{-4}) = 0.052$, $R_\mathrm{TIM1} = 5\times10^{-5}/(4\times10^{-4}) = 0.125$, $R_\mathrm{lid} = 2\times10^{-3}/(398\times10^{-4}) = 0.050$, $R_\mathrm{TIM2} = 0.125$ K/W. 합 $0.353 + 0.25 = 0.603$ K/W. $T_j = 25 + 150\times0.603 = 115$ °C. 인듐: $R_\mathrm{TIM1} = 5\times10^{-5}/(86\times10^{-4}) = 0.0058$, 합 0.483 K/W, $T_j = 97.5$ °C.

$T_j\approx 115$ °C → 인듐 TIM1이면 약 98 °C

검토 두께 50 µm인 그리스 한 층(0.125 K/W)이 775 µm 실리콘의 2.4배, 2 mm 구리의 2.5배 저항이다. $\kappa$가 100배 작기 때문이다. 실제로는 뚜껑이 열을 옆으로 퍼뜨려 TIM2와 방열판이 다이보다 넓은 면적을 쓰므로 $R_\mathrm{TIM2}$가 몇 분의 일로 준다(아래 시뮬레이터는 4배 넓이로 본다).

도전: 방열 경로 설계

재료를 바꾸고 층 두께를 끌어 접합 온도를 목표 아래로 낮춰 보자. 다이를 얇게 갈면 다이 저항이 줄지만 휨과 깨짐(5·7장)이 걱정이고, TIM의 BLT는 충전재 입자 크기보다 얇게 할 수 없다. 비싼 재료(액체 금속, 수랭)를 쓰면 쉽지만 예산이 있다.

SIMULATOR

패키지 열 경로 실험대: 층 두께를 끌고 재료를 골라 T_j 맞추기

층 윗경계의 흰 원을 위아래로 끈다

TIM1 (다이–뚜껑) 뚜껑 (IHS) TIM2 (뚜껑–방열판) 냉각기 전력 P

전체 열저항 ΣR—

접합 온도 T_j—

재료비—

판정 · 점수—

왼쪽은 열 경로(아래 다이 → 위 냉각기, 두께는 로그로 그렸다), 오른쪽은 층마다의 온도(주위 35 °C). 다이 넓이 1 cm², 뚜껑은 열을 퍼뜨려 평균 2 cm², TIM2와 방열판은 4 cm²로 본다. TIM 양면 접촉 저항은 그리스 $3\times10^{-6}$, 상변화 $2\times10^{-6}$, 액체 금속 $10^{-6}$, 인듐 $0.5\times10^{-6}$ m²K/W(대표값). 성공 조건: 200 W에서 $T_j\le 90$ °C, 재료비 ≤ $25. 점수는 온도 여유와 남은 예산이 클수록 높다. 해볼 것: ① 처음 조건에서 가장 큰 온도 계단이 어디인지 찾는다. ② 다이를 300 µm로 갈고 BLT를 최소로 하면 얼마나 내려가나? ③ 수랭은 쉽지만 예산을 넘는다 — 뚜껑을 빼는 길도 있다.

TIM과 열 설계는 패키지 엔지니어의 숫자 게임

데이터센터 프로세서·GPU·HBM 스택은 전력 밀도가 100 W/cm²를 넘는다. 열저항 예산에서 TIM1(그리스·상변화·인듐·액체 금속)이 차지하는 몫이 커서, 뚜껑 없는 다이 직접 접촉(lidless)·인듐 솔더 TIM·다이 얇게 갈기·뒷면 금속화가 모두 이 숫자를 줄이려는 선택이다. 패키지 휨이 BLT를 고르지 않게 만들면 가장자리에 공극이 생겨 핫스팟이 되므로, 열 설계는 휨(5장)·신뢰성(17장)과 함께 다룬다. → PackagingBook · 열·기계·전기 설계

빛과 재료: 반사·흡수·투과와 분산

빛이 재료에 닿으면 일부는 표면에서 되돌아가고(반사), 일부는 들어가 원자·전자에 에너지를 넘기며 사라지고(흡수), 나머지는 반대쪽으로 빠져나간다(투과). 에너지 보존으로 $R + A + T = 1$이다. 세 몫을 정하는 재료 상수가 복소 굴절률(complex refractive index) $\tilde n = n + ik$다. 실수부 $n$은 재료 속 빛의 속도($c/n$)와 굴절을, 허수부 $k$(소광 계수)는 흡수를 정한다. 전자기학과 고체물리에서 유도한 식을 재료 선택에 쓰는 형태로 정리한다(전자기학 · 수직 입사 반사, 고체물리 · 굴절률·흡수·반사).

판 하나에서의 반사·흡수·투과. 표면 반사는 $n$과 $k$가, 안에서의 감쇠는 흡수 계수 $\alpha$가 정한다. 두께가 침투 깊이 $1/\alpha$보다 훨씬 크면 투과는 0이고, 판이 투명($\alpha d\ll1$)하면 앞뒤 두 면의 반사만 남는다.

$$R = \frac{(n-1)^2+k^2}{(n+1)^2+k^2},\qquad \alpha = \frac{4\pi k}{\lambda},\qquad T = \frac{(1-R)^2e^{-\alpha d}}{1-R^2e^{-2\alpha d}}$$

공기에서 수직 입사할 때의 반사율, 세기 흡수 계수(흡수 계수(absorption coefficient), 보통 cm⁻¹), 앞뒤 면의 다중 반사를 더한 판의 투과율(간섭 무시)이다. 세기가 $1/e$로 주는 거리 $\delta = 1/\alpha$가 침투 깊이(penetration depth)다. 투명한 유리($n = 1.5$)는 면마다 4 %를 반사해 판 투과율이 92 %, Si($n\approx 3.9$)는 35 %를 반사한다. 금속은 $k$가 커서(Al: $k\approx 6.7$) 90 % 이상을 반사하고, 나머지는 수 nm 안에서 흡수된다.

흡수는 빛의 에너지가 재료 속 무언가를 들뜨게 할 수 있을 때 일어난다. 절연체·반도체는 광자 에너지가 띠틈보다 작으면 전자를 들뜨게 하지 못해 투명하고, 띠틈을 넘으면 $\alpha$가 $10^4$–$10^6$ cm⁻¹로 치솟는다(다음 절). 금속은 띠틈이 없어 자유 전자가 모든 가시광을 흡수하고 다시 내놓으므로 반사가 강하다. 자유 전자가 따라 움직이지 못하는 플라스마 진동수보다 높은 자외선에서는 금속도 투명해진다(고체물리 · 드루드 모형).

두께 775 µm인 Si 웨이퍼에 1064 nm 레이저(Nd:YAG)를 수직으로 비춘다. 뒤쪽으로 빠져나오는 빛은 약 몇 %일까? (Si: $n = 3.56$, $\alpha\approx 10$ cm⁻¹)

$R = 0.315$, $\alpha d = 10\times0.0775 = 0.78$, $e^{-0.78} = 0.46$이므로 $T = 0.685^2\times0.46/(1-0.099\times0.21) = 0.22$다. 1064 nm 광자(1.17 eV)는 Si 띠틈(1.12 eV)을 겨우 넘어 간접 흡수만 약하게 일어난다. 그래서 Si 속을 들여다보는 적외선 검사와, 웨이퍼 속에 초점을 맞춰 결함층을 만드는 스텔스 다이싱이 1064–1342 nm를 쓴다. 시뮬레이터에서 파장을 줄이면 투과가 급격히 사라진다.

SIMULATOR

판 하나의 R·A·T: 파장을 바꾸고 두께를 끌어 보기

판 오른쪽 면의 흰 원을 좌우로 끌면 두께(로그)

재료

파장 λ

미리 맞춘 조건

n · k—

흡수 계수 α · 침투 깊이—

두께 d—

R · A · T—

Si의 $n$과 $\alpha$는 Green(2008) 상온 표를 보간한 대표값, Al은 라키치 근방의 대표값, 실리카는 셀마이어 식(Mat.sellmeier)이다. 판 속 남색 농도는 깊이별 세기 $e^{-\alpha x}$, 오른쪽 막대는 $R$(반사)·$A$(흡수)·$T$(투과) 몫이다(Mat.reflectance, Mat.absorptionCoef, Mat.slabTransmission). 해볼 것: ① 308 nm에서 Si의 침투 깊이가 약 6 nm임을 확인한다 — 엑시머 레이저가 표면만 녹이는 이유. ② Si에서 파장을 1200 nm로 늘리면 반사 두 면만 남은 투명판($T\approx 0.54$)이 된다. ③ Al 박막은 20 nm면 거의 불투명하다.

Si는 800 nm에서 $n = 3.68$, $\alpha = 850$ cm⁻¹, 1064 nm에서 $n = 3.56$, $\alpha = 10$ cm⁻¹이다. (a) 800 nm의 반사율, 소광 계수 $k$, 침투 깊이를 구하라. (b) 1064 nm에서 775 µm 웨이퍼의 투과율을 구하라.

풀이 보기

전략 $k = \alpha\lambda/4\pi$는 작아서 반사율에는 거의 영향이 없다. 투과율은 다중 반사 식을 쓴다.

풀이 (a) $k = 850\times8.0\times10^{-5}/(4\pi) = 5.4\times10^{-3}$. $R = (2.68^2+k^2)/(4.68^2+k^2) = 7.18/21.9 = 0.328$. $\delta = 1/850$ cm $= 11.8$ µm. (b) $R = 2.56^2/4.56^2 = 0.315$, $e^{-\alpha d} = e^{-0.775} = 0.461$, $T = 0.685^2\times0.461/(1-0.315^2\times0.461^2) = 0.216/0.979 = 0.221$.

(a) $R\approx 0.33$, $k\approx 5.4\times10^{-3}$, 침투 깊이 약 12 µm (b) $T\approx 22$ %

검토 800 nm 빛은 표면 12 µm 안에서 대부분 흡수된다 — 이미지 센서의 근적외선 감도를 높이려면 Si를 두껍게(또는 빛을 옆으로 꺾어 길게) 써야 하는 이유다. 흡수가 없다면 투과율은 $(1-R)/(1+R) = 0.52$가 상한이다.

반사 방지막

Si 태양 전지나 이미지 센서는 들어온 빛의 35 %를 반사로 잃는다. 굴절률이 공기와 Si 사이인 막을 4분의 1 파장 두께로 올리면 막 윗면과 아랫면에서 반사된 빛이 반 파장 차이로 상쇄된다(전자기학 · 박막 간섭과 반사 방지).

$$d = \frac{\lambda}{4n_c},\qquad R_\mathrm{min} = \left(\frac{n_0n_s - n_c^2}{n_0n_s + n_c^2}\right)^2 \xrightarrow{\ n_c = \sqrt{n_0n_s}\ } 0$$

$n_0$: 바깥(공기 1), $n_s$: 기판, $n_c$: 막. Si(3.9)에는 $n_c\approx 2.0$, 곧 PECVD 질화막(SiNₓ, 조성으로 1.9–2.3 조절)이 거의 이상적이다. 유리(1.5)에는 $\sqrt{1.5} = 1.22$가 필요한데 그런 고체가 드물어 MgF₂(1.38)나 다층막, 다공성 막을 쓴다.

굴절률 3.94인 기판의 맨 표면 반사율은 이다. 굴절률 2.00인 막으로 파장 600에 맞춘 4분의 1 파장 반사 방지막을 만들려면 두께 가 필요하고, 그 파장의 반사율은 로 준다.

굴절률의 분산: 코시와 셀마이어

투명한 재료도 굴절률은 파장에 따라 조금씩 다르다. 흡수 띠(자외선의 전자 들뜸, 적외선의 격자 진동)에 가까워질수록 $n$이 커지므로, 가시광에서는 짧은 파장(보라)의 $n$이 더 크다(정상 분산). 프리즘이 백색광을 무지개로 나누고 렌즈가 색 수차를 만드는 이유다. 두 가지 실험식이 널리 쓰인다.

$$\text{코시: } n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4},\qquad \text{셀마이어: } n^2(\lambda) = 1 + \sum_i\frac{B_i\lambda^2}{\lambda^2 - C_i}$$

셀마이어 식(Sellmeier equation)은 흡수 공명 파장 $\sqrt{C_i}$마다 로런츠 진동자를 하나씩 둔 꼴이라 넓은 파장에서 정확하다(용융 실리카: 0.068·0.116·9.90 µm). 코시 식(Cauchy equation)은 공명에서 먼 투명 영역의 근사로, 엘립소메트리에서 박막 굴절률을 맞출 때 흔히 쓴다. 분산의 크기는 아베 수 $V_d = (n_d-1)/(n_F-n_C)$로 나타낸다(486.1·587.6·656.3 nm, 클수록 분산이 작다).

광원의 흰 원을 끌어 입사각을 바꾼다

분산 ×6 과장

MINI LAB꼭지각 60° 프리즘에 백색광을 넣는다. 굴절률은 셀마이어 식(Mat.sellmeier)으로 파장마다 계산했다. 실제 분산은 작아서 각도 차가 1° 안팎이므로 기본은 굴절률 차이를 6배 과장해 그렸다. 굴절률이 큰 Si₃N₄는 꺾임도, 분산도 크고(아베 수가 작다), CaF₂는 분산이 가장 작아 색 수차를 줄이는 렌즈와 DUV 광학에 쓴다.

레이저 어닐과 고온계는 흡수로 일한다

엑시머 레이저(308 nm)는 Si 속 6–7 nm 안에서 흡수되어 표면 수십 nm만 수십 나노초 동안 녹인다 — 아래 소자를 데우지 않고 도펀트를 활성화하거나 디스플레이의 비정질 Si를 결정화(ELA)하는 원리다. 반대로 Si에 거의 흡수되지 않는 파장의 레이저는 웨이퍼 속에 초점을 맞춰 스텔스 다이싱에 쓴다. 급속 열처리(RTP)의 온도를 재는 고온계는 웨이퍼의 열복사를 읽는데, 방사율 $\varepsilon = 1 - R - T$가 뒷면 막과 도핑·온도에 따라 바뀌어 같은 온도도 다르게 읽힌다. 그래서 뒷면 막을 관리하고 방사율을 보정한다. → ProcessBook · 확산과 열처리

반사 방지막과 SiN 도파로

BSI 이미지 센서는 Si 위에 SiO₂·SiN·HfO₂·Ta₂O₅ 같은 다층 반사 방지막을 올려 가시광 전체에서 반사를 몇 %로 줄이고, 막의 고정 전하로 표면 재결합까지 막는다. 실리콘 포토닉스는 굴절률 2.0인 Si₃N₄ 코어를 1.45인 SiO₂ 클래딩으로 감싼 도파로로 빛을 가둔다. 두 경우 모두 셀마이어 분산과 막 두께의 공정 산포가 성능을 정하므로, 엘립소메트리로 $n(\lambda)$와 두께를 매일 잰다. → OpticsBook · 박막 광학과 TMM

띠틈과 색, 타우크 그림, 발광과 투명 전도막

절연체와 반도체에서 빛의 흡수를 정하는 가장 큰 기준은 띠틈 $E_g$다. 광자 에너지 $h\nu = hc/\lambda$가 $E_g$보다 작으면 가전자띠의 전자를 전도띠로 올려 보낼 수 없어 빛이 지나가고, 크면 흡수된다. 경계가 되는 파장이 흡수 끝(absorption edge), 곧 차단 파장이다.

$$\lambda_c = \frac{hc}{E_g} = \frac{1239.8\ \mathrm{eV\,nm}}{E_g},\qquad \text{가시광 } 380\text{–}780\ \mathrm{nm} \leftrightarrow 3.26\text{–}1.59\ \mathrm{eV}$$

$E_g \gt 3.26$ eV(SiO₂ 9, Al₂O₃ 8.8, GaN 3.39, 다이아몬드 5.5)이면 가시광을 모두 통과시켜 무색 투명하다. $E_g \lt 1.59$ eV(Si 1.12, GaAs 1.42, Ge 0.66)이면 모두 흡수해 검거나, 반사가 강하면 금속 광택의 회색이다. 그 사이면 $\lambda_c$보다 긴 파장만 통과해 색이 생긴다: CdS(2.42 eV, 512 nm)는 노랑, GaP(2.26 eV, 549 nm)는 주황.

광자 에너지가 띠틈보다 작으면 전자가 올라갈 상태가 없어 흡수가 없다.
띠틈을 넘는 광자는 전자–정공 쌍을 만들며 흡수된다. 남는 에너지는 곧 열로 바뀐다.
띠 바닥에 모인 전자와 정공이 재결합하며 띠틈만큼의 빛을 낸다. 간접 띠틈(Si, GaP)은 포논의 도움이 필요해 발광이 약하다.

띠 그림으로 본 투과·흡수·발광. 같은 띠틈이 흡수 끝(색·투명도)과 발광색을 함께 정한다(현대물리 · 빛과 물질).

띠틈 2.26 eV인 GaP 결정 조각을 백색광에 비춰 투과광으로 보면 무슨 색일까?

$\lambda_c = 1239.8/2.26 = 549$ nm보다 짧은 파랑·초록은 흡수되고 노랑·주황·빨강만 통과하므로 주황으로 보인다. 흡수된 쪽이 아니라 남은 쪽이 색이다. 시뮬레이터에서 띠틈 손잡이를 끌어 Si(검정)→GaP(주황)→GaN(투명)을 확인하라.

SIMULATOR

띠틈을 끌어 재료의 색 바꾸기

에너지 축 위 E_g 흰 원을 좌우로 끈다

재료

온도

띠틈 E_g(T)—

차단 파장 λ_c—

투과 가시광 몫—

겉보기—

위는 가시광 스펙트럼(흡수된 부분은 어둡게), 가운데는 광자 에너지 축 위의 흡수 계수 모양, 오른쪽 아래 사각형은 두꺼운 결정을 백색광에 비춰 본 투과광의 색(파장별 색 Mat.wavelengthRGB을 투과 부분만 더한 근사)이다. 띠틈의 온도 의존은 바르시니 식(Mat.varshni, 재료별 대표 계수)이다. 해볼 것: ① 띠틈을 3.3 eV에서 1.6 eV로 천천히 내리며 투명 → 노랑 → 주황 → 빨강 → 검정 순서를 본다. ② GaP를 700 K로 데우면 띠틈이 줄어 색이 붉어진다(가열한 ZnO가 노랗게 보이는 것과 같다). ③ Si는 투과 색이 검정이지만 반사율 35 %라 회색 금속 광택으로 보인다.

띠틈은 온도가 오르면 줄어든다. 격자가 팽창하고 전자–포논 상호작용이 띠를 넓히기 때문이며, 실험식으로는 바르시니 식(Varshni equation) $E_g(T) = E_g(0) - aT^2/(T+b)$을 쓴다(Si: 1.170 eV, $a = 4.73\times10^{-4}$ eV/K, $b = 636$ K). 상온 근처 Si의 기울기는 약 −0.25 meV/K다. 고온계 대신 흡수 끝의 이동으로 웨이퍼 온도를 재는 기법(밴드 끝 열측정)의 원리이고, LED 접합이 데워지면 색이 붉은 쪽으로 밀리는 이유다.

실리콘을 300로 두면 띠틈은 , 차단 파장은 이다.

타우크 그림으로 띠틈 읽기

박막의 띠틈은 투과·반사 스펙트럼에서 흡수 계수 $\alpha(h\nu)$를 구한 뒤 흡수 끝의 모양으로 읽는다. 띠 가장자리 근처에서 흡수는 띠틈 위 에너지의 거듭제곱으로 커진다.

$$\alpha h\nu = A\,(h\nu - E_g)^r\quad\Longrightarrow\quad (\alpha h\nu)^{1/r} \propto h\nu - E_g$$

$r = 1/2$: 직접 허용 전이(GaN, ZnO, GaAs), $r = 2$: 간접 전이(Si, 아나타제 TiO₂)와 비정질(a-Si:H, 타우크의 원래 해석). 그래서 $(\alpha h\nu)^2$ 또는 $(\alpha h\nu)^{1/2}$을 $h\nu$에 대해 그리면(타우크 그림(Tauc plot)) 띠틈 위에 직선 구간이 나타나고, 그 직선을 $\alpha = 0$까지 연장한 $h\nu$ 절편이 $E_g$다. 띠틈 바로 아래에는 무질서가 만든 지수 꼬리(우르바흐 꼬리)가 있어 곡선이 0에 닿지 않으므로, 꼬리가 아니라 위쪽 직선 구간을 맞춰야 한다. 지수 $r$을 잘못 고르면 직선 구간이 없고 절편이 틀린다.

SIMULATOR

타우크 그림: 직선을 끌어 맞춰 띠틈 읽기

직선 위 두 흰 원을 끌어 맞춘다

시료

그림의 세로축

내 직선의 절편 E_g—

자동 맞춤 (Mat.taucFit)—

채점—

흡수 스펙트럼은 $\alpha = A(h\nu-E_g)^r/h\nu$(Mat.taucAlpha)에 우르바흐 꼬리(폭 50 meV)와 측정 잡음을 더해 만든 가상 시료다. 띠틈의 참값은 "새 시료"마다 조금씩 바뀐다. 성공 조건: 맞는 세로축을 고르고 절편이 참값의 ±0.03 eV 안. 해볼 것: ① 꼬리까지 포함해 직선을 그으면 띠틈을 작게 읽는다. ② a-Si:H를 $(\alpha h\nu)^2$으로 그리면 직선 구간이 없다. ③ 자동 맞춤은 최대값의 20–80 % 구간만 쓴다 — 구간 선택이 결과를 바꾼다.

발광: LED의 색은 띠틈이 정한다

순방향 전압을 건 pn 접합에서 전자와 정공이 만나 재결합하면 띠틈만큼의 광자가 나온다. 발광 파장은 $\lambda\approx 1240/E_g$ nm이고, 스펙트럼 폭은 열 에너지와 합금 조성의 요동이 정한다. 색을 바꾸려면 띠틈을 바꿔야 하므로 혼정 반도체의 조성을 조절한다. 청색·녹색은 InₓGa₁₋ₓN(GaN 3.42 eV와 InN 0.7 eV 사이, 휨 계수 약 1.4 eV), 적색은 AlGaInP(1.9–2.0 eV), 적외선은 GaAs·InGaAs다. In 함량을 늘리면 띠틈은 줄지만 격자 불일치가 커지고 In이 뭉쳐 효율이 떨어진다(녹색 틈, green gap). Si·GaP 같은 간접 띠틈은 재결합에 포논이 필요해 발광 효율이 낮다(고체물리 · 복사 재결합).

In 함량 x 접합 온도

MINI LABInₓGa₁₋ₓN 양자 우물 LED의 발광 스펙트럼 근사. $E_g(x) = 3.42(1-x) + 0.70x - 1.43x(1-x)$ eV, 접합 온도 의존은 GaN 바르시니 계수($a = 7.7\times10^{-4}$ eV/K, $b = 600$ K), 선폭은 $1.8k_\mathrm{B}T$에 합금 넓힘 80 meV를 더한 대표값이다(양자 우물의 구속·분극 효과는 무시). x ≈ 0.15면 청색(약 440 nm), 0.3이면 녹색이다. 칩이 데워지면 몇 nm씩 붉은 쪽으로 밀린다 — 디스플레이가 휘도뿐 아니라 색 좌표도 온도 보정하는 이유다.

투명 전도막: 띠틈과 플라스마 진동수 사이의 창

디스플레이·터치 패널·태양 전지의 전극은 빛을 통과시키면서 전기도 통해야 한다. 금속은 전도는 좋지만 불투명하고, 투명한 산화물은 절연체다. 해답은 띠틈이 넓은(3.5 eV 이상, 가시광 흡수 없음) 산화물에 전자를 $10^{20}$–$10^{21}$ cm⁻³만큼 도핑한 투명 전도막(transparent conducting oxide, TCO)이다. 대표가 Sn을 도핑한 In₂O₃, 곧 ITO다. 자유 전자는 드루드 모형대로 플라스마 진동수 아래의 빛을 반사·흡수하므로, 막은 띠틈(자외선 쪽 끝)과 플라스마 파장(적외선 쪽 끝) 사이에서만 투명하다.

$$\omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0\varepsilon_\infty m^*}},\qquad \lambda_p = \frac{2\pi c}{\omega_p},\qquad \rho = \frac{1}{ne\mu},\qquad R_s = \frac{\rho}{t}$$

$n$: 전자 농도, $m^*$: 유효 질량(ITO $\approx 0.35m_e$), $\varepsilon_\infty$: 고주파 유전율(약 3.8), $\mu$: 이동도, $t$: 막 두께, $R_s$: 면저항(sheet resistance)(Ω/□). 전자를 늘리면 $R_s$는 떨어지지만 $\lambda_p\propto n^{-1/2}$가 가시광 쪽으로 다가와 빨강부터 흐려진다. 그래서 이동도를 높이는 것(결정성·산란 줄이기)이 TCO 개발의 핵심이다. 농도가 오르면 전도띠 바닥이 채워져 흡수 끝이 짧은 파장으로 밀린다(번스타인–모스 이동).

전자 농도 n 이동도 μ

MINI LAB150 nm ITO 막의 투과율 근사: 드루드 유전 함수($\varepsilon_\infty = 3.8$, $m^* = 0.35m_e$, 감쇠는 이동도에서)로 반사·자유 전자 흡수를, 타우크형 흡수(Mat.taucAlpha, 띠틈 $3.6 + 0.4(n/10^{21})^{2/3}$ eV 대표 모형)로 자외선 끝을 계산했다(간섭 무시). 가시광 띠(무지개) 안의 평균 투과율과 면저항(Mat.semiRho, Mat.sheetR)이 서로 당기는 절충을 보라.

ITO 막(두께 150 nm)의 전자 농도가 $1.0\times10^{21}$ cm⁻³, 이동도 35 cm²/(V·s), $m^* = 0.35m_e$, $\varepsilon_\infty = 3.8$이다. (a) 플라스마 파장, (b) 저항률과 면저항을 구하라. (c) 농도를 두 배로 하면 둘은 어떻게 바뀌는가?

풀이 보기

전략 SI 단위로 $\omega_p$를 구해 $\lambda_p = 2\pi c/\omega_p$. $\rho = 1/(ne\mu)$는 cm 단위로 계산하고 Ω·m로 바꿔 두께로 나눈다.

풀이 (a) $n = 10^{27}$ m⁻³: $\omega_p^2 = \dfrac{10^{27}\times(1.602\times10^{-19})^2}{8.854\times10^{-12}\times3.8\times0.35\times9.109\times10^{-31}} = 2.39\times10^{30}$, $\omega_p = 1.55\times10^{15}$ rad/s, $\lambda_p = 2\pi\times3.00\times10^{8}/1.55\times10^{15} = 1.22$ µm. (b) $\rho = 1/(10^{21}\times1.602\times10^{-19}\times35) = 1.78\times10^{-4}$ Ω·cm $= 1.78\times10^{-6}$ Ω·m, $R_s = 1.78\times10^{-6}/1.5\times10^{-7} = 11.9$ Ω/□. (c) $\lambda_p$는 $1/\sqrt2$배인 0.86 µm, $R_s$는 절반인 5.9 Ω/□.

(a) $\lambda_p\approx 1.22$ µm (b) $\rho\approx 1.8\times10^{-4}$ Ω·cm, $R_s\approx 12$ Ω/□ (c) 0.86 µm, 약 6 Ω/□

검토 상용 ITO의 $R_s$ 10–15 Ω/□, 가시광 투과 85–90 %와 맞는다. 농도를 더 올리면 플라스마 끝이 빨강(700 nm)에 닿아 막이 푸르스름하게 흐려진다. 저항을 낮추면서 투명도를 지키려면 $n$이 아니라 $\mu$를 올려야 한다.

LED·마이크로 LED와 투명 전극

디스플레이 화소는 이 절의 재료 지식이 모두 모인 곳이다. 청색·녹색 마이크로 LED는 InGaN 양자 우물의 In 함량으로, 적색은 AlGaInP나 양자점 색 변환으로 색을 정하고, 칩이 작아지면 측벽 재결합이 효율을 떨어뜨린다. 화소 전극과 터치 센서는 ITO(또는 IGZO 같은 산화물)를 스퍼터링해 투과율과 면저항을 맞추며, 플렉시블 기판에서는 낮은 공정 온도 때문에 결정성이 떨어져 이동도가 낮아지는 것이 숙제다. → DisplayBook · 마이크로LED와 차세대 발광

핵심 정리

열용량과 열팽창: 고온 $C_V\to 3R$(뒬롱–프티), 저온 $T^3$. 비조화(비대칭) 결합 퍼텐셜 때문에 진동이 커지면 평균 원자 거리가 늘어난다 — 조화 퍼텐셜이면 $\alpha = 0$. 모스 근사 $\alpha\approx 3k_\mathrm{B}/(4Dar_0)$, 그뤼나이젠 $3\alpha = \gamma C_V/(KV_m)$: 결합이 강하고 단단할수록 $\alpha$가 작다($\alpha T_m\approx 0.02$). 인바(자기 체적 효과)·ZrW₂O₈(가로 진동)는 0이나 음의 $\alpha$.
열팽창 불일치와 열충격: 솔더 접합 전단 $\Delta\gamma = L_D\Delta\alpha\Delta T/h$ — 다이 모서리가 가장 위험하고, 수명은 $\Delta\gamma^{-2.26}$로 줄며 언더필이 변형을 크게 줄인다. 박막 응력–온도 곡선은 항복 때문에 이력 고리를 그린다. 열충격 저항 $\Delta T_c = \sigma_f(1-\nu)/(E\alpha)$, 열전달이 느리면 $R' = \kappa\Delta T_c$. 급랭은 표면 인장을 만든다.
열전도: $\kappa = \kappa_e + \kappa_\mathrm{ph}$. 금속은 전자가 나르며 $\kappa_e = L_0\sigma T$($L_0 = 2.44\times10^{-8}$ WΩ/K²). 포논은 $\kappa = \tfrac13Cv\ell$이고 산란율이 더해진다: 움클랍(고온), 합금·점결함(질량 차), 경계(결정립·막 두께). 비정질·고분자는 $\ell$이 원자 거리라 약 1 W/(m·K) 이하, 박막·나노선·합금은 덩어리보다 크게 작다.
계면과 패키지: 카피차 저항 $R_\mathrm{K}\sim10^{-9}$–$10^{-8}$ m²K/W, 카피차 길이 $R_\mathrm{K}\kappa$ — 층이 이보다 얇으면 계면이 지배한다(초격자). 직렬 열저항 $T_j = T_a + P\sum L/(\kappa A)$, TIM은 $\mathrm{BLT}/\kappa + R_c$. 두께 수십 µm인 TIM이 종종 가장 큰 저항이며, 충전재 복합재료의 $\kappa$는 입자 사이 기지가 병목이다.
반사·흡수·투과: $\tilde n = n + ik$, $R = [(n-1)^2+k^2]/[(n+1)^2+k^2]$, $\alpha = 4\pi k/\lambda$, 침투 깊이 $1/\alpha$, 판 투과 $(1-R)^2e^{-\alpha d}/(1-R^2e^{-2\alpha d})$. 4분의 1 파장 반사 방지막 $d = \lambda/4n_c$, $n_c = \sqrt{n_0n_s}$(Si에는 SiN). 정상 분산: 짧은 파장의 $n$이 크다 — 코시(투명 영역 근사)·셀마이어(공명 진동자 합), 아베 수.
띠틈과 색: $\lambda_c = 1239.8/E_g$ nm. $E_g \gt 3.26$ eV 투명, $\lt 1.59$ eV 불투명, 그 사이는 투과하는 긴 파장의 색. $E_g$는 온도와 함께 준다(바르시니). 타우크 그림 $(\alpha h\nu)^{1/r}$ vs $h\nu$의 직선 구간 절편이 $E_g$(직접 $r = 1/2$, 간접·비정질 $r = 2$), 꼬리는 맞추지 않는다.
발광과 TCO: LED 파장 $\approx 1240/E_g$, InGaN 조성으로 청·녹, 접합 온도가 오르면 적색 이동. 투명 전도막은 띠틈(자외선 끝)과 플라스마 파장 $\lambda_p\propto n^{-1/2}$(적외선 끝) 사이가 투명하고, $R_s = 1/(ne\mu t)$와 투명도의 절충은 이동도로 푼다.

연습문제

따로 말이 없으면 $R = 8.314$ J/(mol·K), $L_0 = 2.44\times10^{-8}$ WΩ/K², $hc = 1239.8$ eV·nm, 재료 값은 부록 A를 쓴다. 답이 ±1–2 % 이내면 정답이다.

길이 2.00 m인 알루미늄 봉($\alpha = 23.6$ ppm/K)을 20 °C에서 80 °C로 데우면 몇 mm 늘어나는가?

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 23.6\times10^{-6}\times2000\ \text{mm}\times60 = 2.83$ mm.

텅스텐(몰 질량 183.84 g/mol)의 고온 비열을 뒬롱–프티 법칙으로 어림하라(J/(g·K)).

$c = 3R/M = 24.94/183.84 = 0.136$ J/(g·K). 실측 상온값 0.13과 가깝다(W의 디바이 온도는 400 K).

원자 사이 퍼텐셜이 완벽한 포물선 $U = \tfrac12 k_s(r-r_0)^2$이라면 그 결정의 열팽창 계수는?

대칭 우물에서는 진폭이 아무리 커져도 시간 평균(또는 볼츠만 평균) 위치가 $r_0$이다. 열팽창은 퍼텐셜의 3차(비대칭) 항에서만 나온다. 같은 이유로 조화 결정에서는 포논끼리 산란하지 않아 열전도도도 무한대가 된다 — 비조화성이 열팽창과 유한한 열전도를 함께 만든다.

알루미늄($\gamma = 2.2$, $K = 76$ GPa, 몰 질량 26.98 g/mol, 밀도 2.70 g/cm³)의 고온 선팽창 계수를 그뤼나이젠 관계로 어림하라($C_V = 3R$).

$V_m = 9.99\times10^{-6}$ m³/mol.

$\alpha = \dfrac{\gamma\cdot3R}{3KV_m} = \dfrac{2.2\times24.94}{3\times76\times10^{9}\times9.993\times10^{-6}} = \dfrac{54.9}{2.28\times10^{6}} = 2.41\times10^{-5}$ K⁻¹ = 24.1 ppm/K(실측 23.6).

8 mm × 8 mm Si 다이(2.6 ppm/K)를 FR-4(14.0 ppm/K)에 높이 80 µm 볼로 붙였다(언더필 없음). 0 ↔ 100 °C 사이클에서 모서리 볼의 전단 변형 폭과 엥겔마이어 수명($\varepsilon_f' = 0.325$, $c = -0.442$)을 구하라.

$L_D = \sqrt{4^2+4^2} = 5.66$ mm.

$\Delta\gamma = 5.657\times11.4\times10^{-6}\times100/0.080 = 0.0806$. $N_f = \tfrac12(0.0806/0.65)^{-1/0.442} = \tfrac12(0.1240)^{-2.262} = 56$ 사이클.

소결 SiC($\sigma_f = 450$ MPa, $E = 410$ GPa, $\nu = 0.14$, $\alpha = 4.0$ ppm/K, $\kappa = 120$ W/(m·K))의 $\Delta T_c$와 $R'$을 구하라.

$\Delta T_c = 450\times0.86/(4.10\times10^{5}\times4.0\times10^{-6}) = 387/1.64 = 236$ K. $R' = 120\times236 = 2.83\times10^{4}$ W/m = 28.3 kW/m. 알루미나($R'\approx 2.7$ kW/m)보다 10배 크다 — SiC가 플라스마 장비·RTP 부품에 쓰이는 이유 가운데 하나다.

은의 상온 저항률이 1.59 µΩ·cm이다. 300 K의 전자 열전도도를 어림하라.

$\kappa_e = L_0T/\rho = 2.44\times10^{-8}\times300/1.59\times10^{-8} = 460$ W/(m·K)(실측 429).

간이 모형 $\kappa = \kappa_b/(1+\ell/d)$($\kappa_b = 148$ W/(m·K), $\ell = 120$ nm)로 두께 50 nm Si 막의 막 방향 열전도도를 구하라.

$\kappa = 148/(1+120/50) = 148/3.4 = 43.5$ W/(m·K).

주기 10 nm(층 두께 5 nm씩) 초격자에서 두 층의 열전도도가 모두 20 W/(m·K)이고 계면 열저항이 $R_\mathrm{K} = 1.0\times10^{-9}$ m²K/W이다. 막 수직 방향 유효 열전도도와, 이 층 재료의 카피차 길이를 구하라.

주기마다 계면 두 개.

$p/\kappa_\mathrm{SL} = 10^{-8}/20 + 2\times10^{-9} = 0.5\times10^{-9} + 2.0\times10^{-9} = 2.5\times10^{-9}$, $\kappa_\mathrm{SL} = 10^{-8}/2.5\times10^{-9} = 4.00$ W/(m·K). $\ell_\mathrm{K} = R_\mathrm{K}\kappa = 10^{-9}\times20 = 2\times10^{-8}$ m = 20 nm. 층(5 nm)이 카피차 길이보다 얇으니 계면이 저항의 80 %를 차지한다.

넓이 0.5 cm²인 다이가 40 W를 낸다. 경로는 Si 다이 300 µm(148 W/(m·K)), TIM 40 µm(5 W/(m·K)), 구리 뚜껑 1.5 mm(398 W/(m·K))이고 뚜껑에서 주위(25 °C)까지 1.20 K/W이다. 모든 층이 다이 넓이로 열을 나른다고 보고 접합 온도를 구하라.

$A = 5\times10^{-5}$ m². $R_\mathrm{die} = 3\times10^{-4}/(148\times5\times10^{-5}) = 0.0405$, $R_\mathrm{TIM} = 4\times10^{-5}/(5\times5\times10^{-5}) = 0.160$, $R_\mathrm{lid} = 1.5\times10^{-3}/(398\times5\times10^{-5}) = 0.0754$ K/W. 합 $0.276 + 1.20 = 1.476$ K/W, $T_j = 25 + 40\times1.476 = 84.0$ °C.

200 W 칩(다이 넓이 1 cm²)의 TIM1을 뺀 나머지 경로 저항이 0.25 K/W, 주위 35 °C, 목표 $T_j\le 95$ °C이다. $\kappa = 8$ W/(m·K)인 TIM을 쓰고 접촉 저항 $R_c = 1\times10^{-6}$ m²K/W(양면 합)를 더할 때 허용되는 최대 BLT는?

TIM에 허용되는 저항 = 60/200 − 0.25 K/W.

허용 $\sum R = 60/200 = 0.30$ K/W → $R_\mathrm{TIM}\le 0.05$ K/W → 넓이당 $0.05\times10^{-4} = 5\times10^{-6}$ m²K/W. $\mathrm{BLT}/\kappa\le 5\times10^{-6} - 1\times10^{-6} = 4\times10^{-6}$, $\mathrm{BLT}\le 4\times10^{-6}\times8 = 3.2\times10^{-5}$ m = 32 µm. 접촉 저항이 허용치의 20 %를 먼저 써 버린다는 점에 주의하라.

흡수가 없는 유리($n = 1.50$)의 한 면 수직 반사율과, 판 하나(앞뒤 두 면, 다중 반사 포함)의 투과율을 %로 구하라.

$R = (0.5/2.5)^2 = 0.0400$. 흡수가 없으면 $T = (1-R)^2/(1-R^2) = (1-R)/(1+R) = 0.96/1.04 = 0.923$ → 92.3 %.

308 nm에서 Si의 소광 계수는 $k = 3.5$이다. 흡수 계수와 침투 깊이(nm)를 구하라.

$\alpha = 4\pi k/\lambda = 4\pi\times3.5/(3.08\times10^{-5}\ \text{cm}) = 1.43\times10^{6}$ cm⁻¹, $\delta = 1/\alpha = 7.0\times10^{-7}$ cm = 7.0 nm.

Si(600 nm에서 $n_s = 3.94$)에 굴절률 2.00인 SiN 막을 600 nm용 4분의 1 파장 반사 방지막으로 올린다. 막 두께와 600 nm 반사율(%)을 구하라(흡수 무시).

$d = 600/(4\times2.00) = 75.0$ nm. $R = [(3.94-4.00)/(3.94+4.00)]^2 = (0.00756)^2 = 5.7\times10^{-5}$ = 0.0057 %. 맨 Si의 35 %에서 거의 0이 된다(다른 파장에서는 다시 커진다).

다음 가운데 두꺼운 단결정이 가시광에서 무색 투명한 것은?

$\lambda_c = 1239.8/3.39 = 366$ nm로 가시광(380 nm 이상)보다 짧다. Si·GaAs는 가시광을 모두 흡수하고, GaP는 549 nm보다 짧은 쪽을 흡수해 주황이다.

Si의 띠틈을 바르시니 식($E_g(0) = 1.170$ eV, $a = 4.73\times10^{-4}$ eV/K, $b = 636$ K)으로 400 K에서 구하고, 차단 파장을 구하라.

$E_g = 1.170 - 4.73\times10^{-4}\times160000/1036 = 1.170 - 0.0730 = 1.097$ eV. $\lambda_c = 1239.8/1.097 = 1130$ nm(300 K의 1103 nm보다 길다).

개념 확인 퀴즈

녹는점이 높은 재료일수록 열팽창 계수가 작은 경향의 원인은?

녹는점과 $\alpha$는 같은 결합 퍼텐셜의 두 얼굴이다. 우물이 깊으면($D$↑) $k_\mathrm{B}T/D$가 작아 진동이 바닥 근처의 대칭 부분에 머물고, $\alpha\approx 3k_\mathrm{B}/(4Dar_0)$가 작다.

다이아몬드가 구리보다 열을 잘 전하는 이유로 옳은 것은?

다이아몬드는 절연체라 $\kappa_e\approx0$이다. 음속이 빠르고(약 12 km/s) 디바이 온도가 높아 상온에서도 움클랍 산란이 약하므로 포논 평균 자유 행로가 길다. 동위원소(¹³C)를 줄이면 더 커진다.

두께 50 µm, $\kappa = 5$ W/(m·K)인 TIM과 두께 3 mm 구리판(398 W/(m·K)) 중 같은 넓이에서 열저항이 큰 것은?

$L/\kappa$: TIM $50\times10^{-6}/5 = 1.0\times10^{-5}$, 구리 $3\times10^{-3}/398 = 7.5\times10^{-6}$ m²K/W. 두께가 60분의 1인 TIM이 $\kappa$가 80분의 1이라 저항이 1.3배 크다. 넓이는 둘 다 같으니 비교에 필요 없다.

a-Si:H 박막의 흡수 스펙트럼을 $(\alpha h\nu)^2$–$h\nu$로 그렸더니 직선 구간이 없었다. 가장 알맞은 조치는?

비정질과 간접 전이는 $r = 2$이므로 $(\alpha h\nu)^{1/2}$이 $h\nu - E_g$에 비례한다. 타우크의 원래 해석이 바로 비정질 반도체였다. 맞는 지수를 고르면 넓은 직선 구간이 나타난다.

ITO가 투명하면서 전기가 잘 통하는 이유는?

띠틈(약 3.7–4 eV)이 자외선 끝을, 자유 전자의 플라스마 파장(1–2 µm)이 적외선 끝을 정해 그 사이 가시광이 통과한다. 전자 농도가 너무 높으면 플라스마 끝이 가시광으로 들어온다.

열용량 복습과 열팽창의 원자적 기원

비조화 퍼텐셜: 평균 위치가 밀려난다

비조화 우물 속 원자: 온도를 끌어 평균 위치 보기

그뤼나이젠 관계와 재료별 열팽창 계수

인바와 음의 열팽창

열팽창 불일치, 열 사이클과 열충격

솔더 접합의 전단 변형

열 사이클 속 솔더 볼: 다이 크기와 볼 높이를 끌어 수명 보기

박막의 응력–온도 이력

열충격

열전도: 전자와 포논

전자의 몫: 비데만–프란츠 법칙

포논의 몫: 평균 자유 행로가 정한다

포논 기체: 막 두께를 끌어 경계 산란 보기

계면 열저항과 초격자

다층 열저항과 패키지 열 설계

도전: 방열 경로 설계

패키지 열 경로 실험대: 층 두께를 끌고 재료를 골라 Tj 맞추기

빛과 재료: 반사·흡수·투과와 분산

판 하나의 R·A·T: 파장을 바꾸고 두께를 끌어 보기

반사 방지막

굴절률의 분산: 코시와 셀마이어

띠틈과 색, 타우크 그림, 발광과 투명 전도막

띠틈을 끌어 재료의 색 바꾸기

타우크 그림으로 띠틈 읽기

타우크 그림: 직선을 끌어 맞춰 띠틈 읽기

발광: LED의 색은 띠틈이 정한다

투명 전도막: 띠틈과 플라스마 진동수 사이의 창

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈

패키지 열 경로 실험대: 층 두께를 끌고 재료를 골라 T_j 맞추기