Chapter 11

평형과 탄성

다리, 건물, 크레인, 사다리, 그리고 우리의 뼈 — 공학과 생물의 많은 구조물은 움직이지 않도록 설계된다. 움직이지 않으려면 힘의 합도, 토크의 합도 0이어야 한다. 그리고 실제 물체는 완전한 강체가 아니어서 힘을 받으면 조금 늘어나고 줄어든다. 아래 블록을 끌어 탁자 끝 너머로 최대한 내밀어 보자. 블록 하나 길이보다 더 멀리 내밀 수 있을까?

블록을 좌우로 끌어 보세요

강체 평형의 두 조건 $\sum\vec F = 0$, $\sum\vec\tau = 0$을 쓰고, 평형이면 어느 점에 대해서도 토크 합이 0임을 이해한다.
무게 중심을 계산하고, 물체가 넘어지는 조건(무게 중심이 받침면 밖)을 판단한다.
사다리·매달린 보·크레인·팔 근육 같은 정적 평형 문제를 자유 물체도와 영리한 회전축 선택으로 푼다.
응력·변형률과 영률·부피 탄성률·전단 탄성률을 정의하고 늘어남·압축·비틀림을 계산한다.
응력–변형률 곡선에서 비례 한계, 탄성 한계, 항복, 극한 강도, 파괴를 구별하고 영구 변형을 설명한다.

평형 조건

10장에서 알짜힘은 질량 중심의 가속을, 알짜 토크는 회전 가속을 정함을 배웠다. 물체가 가속하지도 회전 가속하지도 않으려면 둘 다 0이어야 한다. 특히 처음에 정지해 있어 계속 정지하는 경우를 정적 평형(static equilibrium)이라 한다.

강체의 평형 조건

제1조건(병진): $\sum\vec F_\text{ext} = 0$. 제2조건(회전): 임의의 점에 대해 $\sum\vec\tau_\text{ext} = 0$. 정적 평형이면 여기에 더해 $\vec v_\text{cm} = 0$, $\vec\omega = 0$이다.

$$\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0, \qquad \sum\tau_z = 0 \quad(\text{xy 평면의 힘})$$

평면 문제에서는 식이 세 개이므로 미지수도 세 개까지 풀 수 있다. 알짜힘이 0이면 토크 합은 기준점과 무관하다: 점 P에 대한 토크와 O에 대한 토크의 차는 $\vec r_{PO}\times\sum\vec F = 0$이다.

두 받침 위의 보. 받침 A를 회전축으로 잡으면 미지수 $N_A$가 토크 식에서 사라져 $N_B$를 곧바로 얻는다.

받침 B를 치운 순간(평형 아님)

MINI LAB기준점 P(흰 원)를 아무 데나 끌어 보라. 네 힘의 토크(막대)는 P에 따라 제각각 바뀌지만 합은 늘 0이다. 짐(주황 원)을 옮기면 받침의 힘이 다시 계산된다. 받침 B를 치우면 알짜힘이 0이 아니게 되고, 토크 합이 P의 위치에 따라 달라진다.

길이 24 m 다리 위에서 트럭이 왼쪽 받침 A로부터 18 m(전체의 3/4) 지점에 서 있다. 트럭 무게 중 받침 A가 떠받치는 몫은?

B에 대한 토크: $N_A L = W(L - x)$ → $N_A = W(1 - x/L) = W/4$. 가까운 받침 B가 3/4을 진다. 다리 자체 무게는 따로 반씩 나뉜다.

SIMULATOR

다리 받침의 반력: 차를 끌어 옮겨라

차(흰 원)를 좌우로 끈다

차량

다리 질량

차의 위치 x—

받침 A—

받침 B—

A + B—

경간 24 m, 받침은 양 끝. 아래 그래프는 차의 위치에 따른 두 반력이다. 해볼 것: ① 차가 건너가는 동안 $N_A$와 $N_B$는 직선으로 바뀌고 합은 일정하다. ② 다리 질량을 0으로 하면 차가 받침 바로 위에 있을 때 반대편 받침의 힘은 0이다. ③ 받침이 셋이면? — 아래 콜아웃.

심화: 정역학적으로 부정정인 구조

받침이 셋 이상인 다리나 다리가 넷인 탁자는 평형 식(평면에서 세 개)보다 미지수가 많다. 이런 구조를 부정정(statically indeterminate)이라 한다. 각 받침이 얼마를 지는지는 평형 조건만으로는 정해지지 않고, 받침과 구조물이 얼마나 변형되는지(이 장 후반의 탄성)를 함께 알아야 한다. 다리 넷인 탁자가 울퉁불퉁한 바닥에서 덜컹거리는 것은 실제로는 세 다리만 힘을 받기 때문이다.

길이 4.00 m, 질량 20.0 kg인 균일한 판자가 가운데 받침 위에 있다. 30.0 kg 어린이가 받침에서 왼쪽 1.50 m에 앉았다. 25.0 kg 어린이는 어디에 앉아야 하는가? 받침이 판자를 미는 힘은?

풀이 보기

전략 받침에 대한 토크 합 = 0(판자의 무게와 받침 힘은 토크 0). 그다음 $\sum F_y = 0$.

풀이 $(30.0)g(1.50) = (25.0)g\,x$ → $x = 1.80$ m(오른쪽). $N = (30.0 + 25.0 + 20.0)(9.80) = 735$ N.

받침 오른쪽 1.80 m, N = 735 N

검토 가벼운 쪽이 더 멀리 앉는다. g는 양변에서 약분된다. 10장의 시소 도전과 같은 문제다.

길이 24.0 m, 질량 12.0 t인 균일한 다리가 양 끝 A, B에 받쳐 있다. 1.50 t 승용차가 A에서 6.00 m 지점에 서 있을 때 두 받침의 힘은?

풀이 보기

전략 A에 대한 토크로 $N_B$, 그다음 힘의 합으로 $N_A$.

풀이 $N_B(24.0) = (12000)(9.80)(12.0) + (1500)(9.80)(6.00)$ → $N_B = 6.25\times10^4$ N. $N_A = (13500)(9.80) - N_B = 1.323\times10^5 - 6.25\times10^4 = 6.98\times10^4$ N.

N_A = 6.98 × 10⁴ N, N_B = 6.25 × 10⁴ N

검토 차가 A 쪽에 가까우니 A가 조금 더 진다. 시뮬레이터에서 x = 6 m에 놓아 확인하라(69.8 kN, 62.5 kN).

무게 중심

물체의 각 부분에 작용하는 중력은 수많은 작은 힘이다. 이 힘들의 토크를 모두 더한 효과는, 전체 무게가 한 점에 작용한다고 볼 때와 같다. 그 점이 무게 중심(center of gravity)이다.

$$x_\text{cg} = \frac{\sum_i m_ig_ix_i}{\sum_i m_ig_i} \;\xrightarrow{\;g\ \text{일정}\;}\; x_\text{cm} = \frac{\sum_i m_ix_i}{\sum_i m_i}$$

물체 크기에 비해 $g$가 변하지 않으면 무게 중심은 질량 중심(8장)과 같다. 지구 규모의 물체(높은 건물조차 거의 차이가 없다)에서만 둘이 달라진다.

무게 중심을 찾는 실험적 방법이 있다. 물체를 한 점에 매달면 무게 중심이 매단 점 바로 아래에 올 때까지 돈다(그래야 중력의 토크가 0). 다른 점에 매달아 한 번 더 연직선을 그으면 두 선의 교점이 무게 중심이다.

판을 한 점 A에 자유롭게 매단다.
정지하면 무게 중심은 A를 지나는 연직선 위에 있다.
다른 점 B에 매달아 그은 연직선(초록)과 먼저 그은 선(주황)의 교점이 무게 중심이다.

매달린 물체는 무게 중심이 매단 점 바로 아래에 올 때 평형이다.

SIMULATOR

도전: 모빌 수평 맞추기

막대의 매단 점(흰 원)을 끌어 옮긴다

각 막대에 걸린 무게 중심 표시

위 막대 매단 점—

아래 막대 매단 점—

위 막대 기울기—

아래 막대 기울기—

막대 질량은 무시한다(위 40 cm, 아래 24 cm). 매단 점은 막대보다 3 cm 위에 있어, 막대는 자기에 걸린 무게 중심이 매단 점 바로 아래에 올 때까지 기운다(그림에서는 37°에서 멈추게 했다). 해볼 것: ① 먼저 아래 막대를 맞춰라: $m_Bx_B = m_Cx_C$. ② 위 막대에는 아래 모빌 전체($m_B + m_C$)가 한 점에 걸린 것과 같다. ③ 두 막대가 모두 수평이 되면 성공.

받침 위에 선 물체는 무게 중심에서 내린 연직선이 받침면 안에 있으면 서 있고, 밖으로 나가면 넘어진다. 무게 중심이 낮고 받침면이 넓을수록 넘어지기 어렵다. 위의 블록 쌓기도 같은 원리다. 각 블록 위에 놓인 블록들 전체의 무게 중심이 그 블록의 끝을 넘지 않으면 된다.

피사의 사탑(높이 약 56 m, 바닥 지름 약 15.5 m)은 지금 약 4° 기울어 있다. 탑을 균일한 원기둥으로 보면, 몇 도까지 기울어야 넘어질까?

무게 중심(높이 28 m)에서 내린 연직선이 바닥 가장자리(중심에서 7.75 m)를 지날 때: $\tan\theta = 7.75/28 \Rightarrow \theta \approx 15.5^\circ$. 실제 위험은 넘어짐이 아니라 지반이 무게를 버티지 못하는 것이다.

SIMULATOR

피사의 사탑: 얼마나 기울일 수 있을까

탑 꼭대기(흰 원)를 끌어 기울인다

기울기 θ

무게 중심 높이

꼭대기의 수평 이동—

무게 중심의 수평 이동—

넘어지는 각도—

상태—

모형: 높이 55.9 m, 바닥 지름 15.5 m의 강체 원기둥. 해볼 것: ① 무게 중심에서 내린 연직선(점선)이 바닥 가장자리를 넘는 순간 탑이 회전하며 쓰러진다. ② 무게 중심을 낮추면 넘어지는 각도가 커진다($\tan\theta_c = r/h_\text{cg}$). ③ 1990–2001년 보강 공사는 북쪽 지반을 파내 기울기를 5.5°에서 약 4°로 되돌렸다.

길이 1.00 m, 질량 2.00 kg인 균일한 막대 한끝에 3.00 kg 공(크기 무시)이 붙어 있다. 막대의 다른 끝에서 무게 중심까지의 거리는?

풀이 보기

풀이 막대의 무게 중심은 0.500 m. $x_\text{cg} = \dfrac{(2.00)(0.500) + (3.00)(1.00)}{5.00} = 0.800$ m.

0.800 m

검토 무거운 공 쪽으로 치우쳤다. 이 점을 손가락 하나로 받치면 막대가 균형을 이룬다.

정적 평형 문제 풀기

풀이 전략

① 평형인 물체를 고르고 자유 물체도를 그린다(무게는 무게 중심에, 경첩의 힘은 방향을 모르므로 두 성분으로). ② 좌표축을 잡고 $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$을 쓴다. ③ 회전축은 미지의 힘이 가장 많이 지나는 점으로 잡는다 — 그 힘들은 토크 식에서 사라진다. ④ 미지수 개수와 식 개수를 맞춰 푼다. 음수가 나오면 그 힘의 방향을 반대로 가정했다는 뜻일 뿐이다.

벽에 경첩으로 달린 수평 보를 줄이 비스듬히 잡아 준다. 끝에 짐이 매달려 있다.
자유 물체도: 줄의 장력 T(줄 방향), 두 무게, 그리고 방향을 모르는 경첩의 힘을 두 성분 H_x, H_y로.
미지수 H_x, H_y가 지나는 경첩에 대해 토크를 쓰면 T만 남는다. T의 지레팔은 L sin 30°.
T를 구한 뒤 힘의 두 성분 식에서 H_x, H_y를 얻는다.

정적 평형 문제의 표준 순서. 회전축 선택 하나로 연립 방정식이 한 줄짜리 식으로 바뀐다.

벽에 기댄 사다리. 바닥 접점을 회전축으로 잡으면 미지수 $N_\text{바닥}$과 $f$가 토크 식에서 빠진다. 사다리를 눕힐수록 벽의 힘과 필요한 마찰이 커진다.

SIMULATOR

사다리 미끄러짐: 꼭대기까지 오를 수 있는 가장 낮은 각도를 찾아라

사다리 꼭대기와 사람(흰 원)을 끈다

바닥의 μ_s 사다리 각도 θ 사람 위치(바닥에서) d

벽의 힘 N_벽—

필요한 마찰 f—

최대 정지 마찰 μ_sN—

상태—

사다리 5.0 m, 15 kg. 사람 70 kg. 벽은 마찰이 없다. 미끄러지기 시작하면 $\mu_k = 0.8\mu_s$로 미끄러진다(근사: 수직항력은 무게와 같다고 둠). 해볼 것: ① 사람이 위로 갈수록 필요한 마찰이 커진다 — 사다리는 사람이 높이 있을 때 미끄러진다. ② μ_s를 바꿔 가며 꼭대기까지 오를 수 있는 최소 각도를 찾아라(2° 이내면 성공). ③ 사람이 바닥 가까이 있을 때 필요한 마찰은 얼마인가?

길이 5.00 m, 질량 15.0 kg인 균일한 사다리가 마찰 없는 벽에 바닥과 60.0°로 기대어 있다. 70.0 kg인 사람이 사다리를 따라 3.75 m 올라갔다. 벽의 힘, 바닥의 마찰력, 미끄러지지 않으려면 필요한 최소 $\mu_s$는?

풀이 보기

전략 바닥 접점에 대한 토크: 벽의 힘(지레팔 $L\sin\theta$)이 두 무게(지레팔 $x\cos\theta$)와 균형.

풀이 $N_\text{벽}(5.00\sin60.0^\circ) = (9.80)\cos60.0^\circ[(15.0)(2.50) + (70.0)(3.75)]$ → $N_\text{벽} = \dfrac{4.90\times300}{4.330} = 339$ N. $f = N_\text{벽} = 339$ N, $N_\text{바닥} = (85.0)(9.80) = 833$ N, $\mu_s \ge 339/833 = 0.408$.

N_벽 = f = 339 N, μ_s ≥ 0.408

검토 사람이 꼭대기(5.00 m)까지 가면 $\mu_s \ge 0.52$가 필요하다. 시뮬레이터로 확인하라.

길이 3.00 m, 질량 20.0 kg인 균일한 수평 보가 한끝은 벽에 경첩으로, 다른 끝은 벽으로 이어진 줄(보와 30.0°)로 지탱된다. 보의 끝에 50.0 kg 짐이 매달려 있다. 줄의 장력과 경첩이 보에 주는 힘의 성분은?

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전략 위 단계별 그림처럼 경첩을 회전축으로 잡아 미지수 두 개(경첩 힘 성분)를 없앤다.

풀이 $T\sin30.0^\circ\,(3.00) = (20.0)(9.80)(1.50) + (50.0)(9.80)(3.00)$ → $T = \dfrac{(10.0 + 50.0)(9.80)}{0.500} = 1176$ N. $H_x = T\cos30.0^\circ = 1018$ N(벽에서 바깥쪽으로 보를 민다), $H_y = (70.0)(9.80) - T\sin30.0^\circ = 686 - 588 = 98.0$ N(위로).

T = 1.18 × 10³ N, H_x = 1.02 × 10³ N, H_y = 98.0 N

검토 장력이 매단 무게(490 N)의 두 배를 넘는다. 줄이 납작할수록(각도가 작을수록) 장력이 커진다 — 빨랫줄을 팽팽하게 당겨도 가운데가 처지는 이유다.

SIMULATOR

크레인 붐: 케이블이 끊어지지 않게 짐을 가장 멀리 옮겨라

붐 끝과 짐(흰 원)을 끈다

짐의 질량

붐 각도 β 짐의 위치(붐을 따라) s

케이블 장력 T—

받침핀의 힘—

짐의 수평 거리—

최고 기록—

붐: 길이 12 m, 질량 800 kg(균일), 아래 끝은 핀으로 고정. 케이블은 붐 끝에서 핀 바로 위 6 m 높이의 기둥 꼭대기로 간다. 케이블 한계 40 kN. 해볼 것: ① 붐을 눕히면 짐의 지레팔($s\cos\beta$)은 커지는데 케이블의 지레팔은 작아진다. ② 1 t은 어디든 갈 수 있지만, 2 t과 3 t은 최대 거리를 내는 최적 각도가 따로 있다. ③ 핀의 힘은 붐을 따라 미는 성분이 크다.

손의 공 아래팔 각도

MINI LAB이두근(주황 선)이 붙은 점(흰 원)을 끌어 팔꿈치에서의 거리를 바꿔 보라. 근육의 지레팔은 4 cm 남짓, 공의 지레팔은 35 cm다. 그래서 근육은 공 무게의 열 배가 넘는 힘을 내야 하고, 팔꿈치 관절은 그만큼 큰 힘을 받는다. 이두근이 연직이면 아래팔 각도는 결과를 바꾸지 않는다(모든 지레팔이 cos θ배).

아래팔(1.50 kg, 무게 중심은 팔꿈치에서 0.150 m)을 수평으로 하고 손에 5.00 kg 공(팔꿈치에서 0.350 m)을 들었다. 이두근은 팔꿈치에서 0.0400 m 지점에 연직으로 붙어 있다. 이두근의 힘과 팔꿈치 관절의 힘은?

풀이 보기

전략 팔꿈치를 축으로 잡으면 관절 힘이 사라진다.

풀이 $F_b(0.0400) = (9.80)[(5.00)(0.350) + (1.50)(0.150)]$ → $F_b = 9.80\times1.975/0.0400 = 484$ N. 관절: $E = F_b - (6.50)(9.80) = 420$ N(아래 방향).

F_b = 484 N, E = 420 N (아래)

검토 49 N짜리 공을 드는 데 근육이 484 N을 낸다. 대신 근육이 1 cm 줄면 손은 약 9 cm 움직인다 — 우리 팔은 힘을 손해 보고 속도와 운동 범위를 얻는 지레다.

응력, 변형률, 탄성률

지금까지는 물체를 강체로 보았다. 실제로는 다리도 차가 지나가면 조금 휘고, 기둥은 짧아지며, 케이블은 늘어난다. 변형의 정도는 힘 자체보다 단위 넓이당 힘과 원래 길이에 대한 비율로 말해야 크기와 무관한 물질의 성질이 된다.

응력과 변형률

응력(stress)은 변형을 일으키는 단위 넓이당 힘(Pa = N/m²), 변형률(strain)은 그로 인한 변형의 비율(단위 없음)이다. 응력이 충분히 작으면 둘은 비례한다(훅 법칙(Hooke's law)): 응력/변형률 = 탄성률(elastic modulus).

세 가지 변형. 인장·압축은 면에 수직인 힘, 부피 변형은 모든 방향의 균일한 압력, 전단은 면에 나란한 힘이 일으킨다. 점선이 원래 모양이다(변형은 크게 과장).

$$Y = \frac{F_\perp/A}{\Delta L/L_0}, \qquad B = -\frac{\Delta p}{\Delta V/V_0}, \qquad S = \frac{F_\parallel/A}{x/h}$$

$Y$: 영률(Young's modulus), $B$: 부피 탄성률(bulk modulus)(음의 부호는 압력이 늘면 부피가 줄기 때문, $1/B$은 압축률(compressibility)), $S$: 전단 탄성률(shear modulus). 영률로 쓰면 늘어난 길이는 $\Delta L = FL_0/(AY)$이다.

지름 1.0, 길이 2.0인 철사(영률 200)에 10 추를 매달면 응력은 , 변형률은 , 철사는 늘어난다.

물질	영률 Y (GPa)	부피 탄성률 B (GPa)	전단 탄성률 S (GPa)	극한 인장 강도 (MPa)
강철	200	160	75	400–1500
알루미늄	70	75	25	90–310
구리	110	140	44	220
유리	50–70	37	26	≈ 50
뼈(넙다리뼈, 길이 방향)	≈ 17	—	≈ 3	≈ 130
고무	0.001–0.1	≈ 2	≈ 0.0006	≈ 15
물	—	2.2	—	—

변형

물질 응력

MINI LAB같은 응력에서 탄성률이 작은 물질일수록 크게 변형된다. 그림의 변형은 200배로 과장했다. 물은 모양이 정해지지 않은 유체라 영률·전단 탄성률이 없고, 부피 변형만 있다. 대부분의 고체는 같은 물질이라도 $Y$, $B$, $S$가 서로 다르다.

바닷속 4000 깊이에서 수압은 해수면보다 높다($\rho = 1025$ kg/m³). 이 압력에서 물 1.00 L는 , 강철 1.00 L는 줄어든다.

길이 2.00 m, 지름 1.00 mm인 강철선($Y = 2.0\times10^{11}$ Pa)에 10.0 kg 추를 매달았다. 응력, 변형률, 늘어난 길이는?

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풀이 $A = \pi(0.500\times10^{-3})^2 = 7.85\times10^{-7}$ m². $\sigma = (10.0)(9.80)/A = 1.25\times10^8$ Pa. $\varepsilon = \sigma/Y = 6.24\times10^{-4}$. $\Delta L = \varepsilon L_0 = 1.25\times10^{-3}$ m.

σ = 1.25 × 10⁸ Pa, ε = 6.24 × 10⁻⁴, ΔL = 1.25 mm

검토 응력 125 MPa는 연강의 항복 응력(약 250 MPa)의 절반이므로 추를 떼면 원래 길이로 돌아온다. 위 드래그 숫자 문단의 기본값과 같다.

가장 깊은 바다(약 11 km)에서 수압은 해수면보다 약 $1.10\times10^8$ Pa 높다. 물의 부피는 몇 % 줄어드는가? ($B = 2.2\times10^9$ Pa)

풀이 보기

풀이 $\Delta V/V_0 = -\Delta p/B = -(1.10\times10^8)/(2.2\times10^9) = -0.050$.

약 5.0 % 줄어든다

검토 물은 "압축되지 않는다"고 흔히 말하지만, 바다 밑바닥에서는 5%나 줄어든다. 그래도 같은 압력의 공기(이상 기체)라면 부피가 1/1000로 줄었을 것이다.

탄성과 소성, 파괴

훅 법칙은 작은 응력에서만 성립한다. 시편을 계속 당기며 응력과 변형률을 그리면 응력–변형률 곡선(stress–strain curve)을 얻는다. 처음 직선 구간의 끝이 비례 한계(proportional limit), 하중을 없앴을 때 원래 모양으로 돌아오는 최대 응력이 탄성 한계(elastic limit)다. 그 너머에서 물질은 항복(yield)하여 소성 변형(plastic deformation)을 겪는다: 하중을 없애도 영구 변형이 남는다. 곡선의 최고점이 극한 강도(ultimate strength)이고, 그 뒤 시편은 가운데가 잘록해지며(넥킹) 결국 파괴(fracture)된다.

연강 막대를 항복점을 훨씬 넘게 늘린 뒤 하중을 완전히 없앴다. 막대의 길이는?

하중을 없앨 때는 처음 직선과 같은 기울기 $Y$로 돌아온다. 탄성 변형분 $\sigma/Y$만 회복되고 나머지는 영구 변형으로 남는다. 다시 당기면 같은 직선을 따라 올라가 이전 응력에서야 항복한다(가공 경화).

SIMULATOR

응력–변형률 곡선: 시편을 끌어 늘려라

그래프 위의 흰 원을 좌우로 끈다

물질

가로축

변형률 ε

응력 σ—

변형률 ε—

영구 변형—

구간—

곡선은 공칭(처음 넓이 기준) 응력이다. 해볼 것: ① 연강을 항복점 너머(ε ≈ 0.05)까지 늘린 뒤 ‘하중 제거’ — 점이 기울기 $Y$인 직선을 따라 내려와 영구 변형이 남는다. ② 다시 끌면 같은 직선으로 올라가 원래 곡선에 합류한다. ③ 유리는 탄성 구간 끝에서 곧바로 깨진다(취성). ‘탄성 구간 확대’로 처음 직선의 기울기가 영률임을 확인하라.

연성 물질

강철·구리·알루미늄처럼 항복 후 크게 늘어난 뒤 파괴된다. 파괴 전에 눈에 띄게 변형하므로 경고가 되고, 망치로 펴거나 철사로 뽑을 수 있다.

취성 물질

유리·주철·콘크리트·뼈처럼 탄성 한계 근처에서 거의 늘어나지 않고 갑자기 깨진다. 압축에는 강하지만 인장에 약해 철근 같은 보강이 필요하다.

피로 파괴

항복 응력보다 훨씬 낮은 응력이라도 수백만 번 반복되면 작은 균열이 자라 갑자기 파괴될 수 있다. 비행기 날개, 다리, 자전거 크랭크는 극한 강도가 아니라 이 피로(fatigue) 한계를 기준으로 설계한다. 클립을 몇 번 구부렸다 펴면 부러지는 것도 소성 변형의 반복이다.

핵심 정리

강체의 평형: $\sum\vec F = 0$이고 $\sum\vec\tau = 0$. 알짜힘이 0이면 토크 합은 어느 점에 대해서든 같으므로, 미지의 힘이 많이 지나는 점을 회전축으로 잡는다.
무게 중심 $x_\text{cg} = \sum m_ix_i/\sum m_i$(g 일정). 무게 중심에서 내린 연직선이 받침면을 벗어나면 넘어진다.
정적 평형 문제: 자유 물체도 → 힘의 성분 식 → 영리한 회전축의 토크 식. 평면 문제는 식 세 개로 미지수 세 개까지 푼다.
응력 = 힘/넓이, 변형률 = 변형/원래 크기, 탄성률 = 응력/변형률. 인장 $Y$, 부피 $B$, 전단 $S$.
늘어난 길이 $\Delta L = FL_0/(AY)$, 부피 변화 $\Delta V/V_0 = -\Delta p/B$.
탄성 한계를 넘으면 소성 변형으로 영구 변형이 남고, 극한 강도 너머에서 넥킹과 파괴가 일어난다. 하중 제거는 기울기 $Y$의 직선을 따른다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s²를 쓴다. 탄성률은 본문의 표를 참고하라. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

가운데에 받침이 있는 균일한 시소에서 40.0 kg 어린이가 받침에서 2.00 m에 앉았다. 25.0 kg 어린이는 반대쪽 어디에 앉아야 균형이 되는가?

$40.0\times2.00 = 25.0\,x$ → $x = 3.20$ m.

x축 위의 세 물체: 1.00 kg(x = 0), 2.00 kg(x = 0.400 m), 3.00 kg(x = 1.00 m). 무게 중심의 위치는?

$x = (0 + 0.800 + 3.00)/6.00 = 0.633$ m.

길이 6.00 m, 질량 30.0 kg인 균일한 판자가 양 끝에서 받쳐 있다. 75.0 kg 페인트공이 왼쪽 끝에서 1.50 m에 서 있다. 두 받침의 힘은?

왼쪽 끝에 대한 토크로 오른쪽 힘을 먼저 구한다.

$N_\text{오}(6.00) = (9.80)[(30.0)(3.00) + (75.0)(1.50)]$ → $N_\text{오} = 331$ N. $N_\text{왼} = (105)(9.80) - 331 = 698$ N.

균일한 사다리가 마찰 없는 벽에 기대어 있다. 바닥과의 $\mu_s = 0.400$일 때, 미끄러지지 않는 최소 각도(바닥과 이루는 각)는?

$\tan\theta \ge 1/(2\mu_s) = 1.25$ → $\theta \ge 51.3^\circ$.

10.0 kg 균일한 사다리(길이 L)가 마찰 없는 벽에 기대어 있고 바닥과의 $\mu_s = 0.500$이다. 60.0 kg인 사람이 꼭대기까지 오르려면 사다리와 바닥 사이 각도가 최소 얼마여야 하는가?

바닥 접점에 대한 토크: $N_\text{벽}L\sin\theta = g\cos\theta(m_lL/2 + m_pL)$, 그리고 $N_\text{벽} \le \mu_s(m_l + m_p)g$.

$\tan\theta \ge \dfrac{m_l/2 + m_p}{\mu_s(m_l + m_p)} = \dfrac{65.0}{35.0} = 1.857$ → $\theta \ge 61.7^\circ$.

길이 2.00 m, 질량 10.0 kg인 수평 보가 벽에 경첩으로 달려 있고, 끝은 보와 40.0°를 이루는 줄로 벽에 이어져 있다. 보 끝에 30.0 kg 짐이 매달려 있을 때 줄의 장력은?

경첩에 대한 토크: $T\sin40.0^\circ L = (9.80)(10.0\cdot L/2 + 30.0\cdot L)$ → $T = 343/0.6428 = 534$ N.

지름 2.00 cm인 막대가 5.00 kN의 인장력을 받는다. 응력은?

$A = \pi(0.0100)^2 = 3.14\times10^{-4}$ m², $\sigma = 5000/A = 1.59\times10^7$ Pa.

길이 1.50 m 알루미늄 막대($Y = 7.0\times10^{10}$ Pa)에 $2.00\times10^7$ Pa의 인장 응력이 걸린다. 늘어난 길이는 몇 mm인가?

$\Delta L = (\sigma/Y)L_0 = (2.86\times10^{-4})(1.50) = 4.29\times10^{-4}$ m = 0.429 mm.

길이 2.00 m 강철선($Y = 2.0\times10^{11}$ Pa)이 400 N을 받을 때 0.500 mm보다 더 늘어나면 안 된다. 최소 지름은?

$A = FL_0/(Y\Delta L) = 800/(2.0\times10^{11}\times5.00\times10^{-4}) = 8.00\times10^{-6}$ m², $d = \sqrt{4A/\pi} = 3.19$ mm.

부피 1.00 L인 구리 덩어리($B = 1.4\times10^{11}$ Pa)에 $2.00\times10^7$ Pa의 압력이 더해졌다. 부피는 몇 cm³ 줄어드는가?

$|\Delta V| = V_0\Delta p/B = (1000\text{ cm}^3)(1.43\times10^{-4}) = 0.143$ cm³.

높이 0.100 m, 윗면 넓이 0.0100 m²인 강철 덩어리($S = 7.5\times10^{10}$ Pa)의 윗면에 나란하게 $1.00\times10^5$ N이 작용한다(아랫면 고정). 윗면이 옆으로 밀리는 거리는?

$x = Fh/(AS) = (10^5)(0.100)/[(0.0100)(7.5\times10^{10})] = 1.33\times10^{-5}$ m = 0.0133 mm.

1200 kg 엘리베이터가 1.50 m/s²로 위로 가속한다. 강철 케이블의 극한 강도가 $5.0\times10^8$ Pa라면, 끊어지지 않기 위한 최소 지름은? (안전율 없이)

$T = m(g + a) = 1200(11.3) = 1.356\times10^4$ N, $A = T/\sigma = 2.71\times10^{-5}$ m², $d = \sqrt{4A/\pi} = 5.88$ mm. 실제로는 안전율 10 이상을 둔다.

폭 0.40 m, 높이 1.20 m인 균일한 상자를 한 모서리로 기울인다. 몇 도를 넘으면 스스로 넘어지는가?

무게 중심(높이 0.60 m)이 모서리 바로 위에 올 때: $\tan\theta = 0.20/0.60$ → $18.4^\circ$.

어떤 물체에 작용하는 알짜힘이 0이다. 옳은 것은?

짝힘이 작용하면 알짜힘은 0이지만 토크가 있다. 알짜힘이 0이면 토크 합은 기준점과 무관하다.

철사를 탄성 한계를 넘어 늘린 뒤 하중을 없앴다. 옳은 것은?

탄성 변형분만 회복되고 소성 변형분은 남는다(응력–변형률 시뮬레이터).

개념 확인 퀴즈

정적 평형 문제에서 회전축을 고르는 가장 좋은 기준은?

평형이면 어디를 잡아도 답은 같지만, 미지의 힘이 지나는 점을 잡으면 그 힘이 토크 식에서 빠져 식이 간단해진다.

같은 무게의 짐을 줄 하나로 수평 보 끝에 매달 때, 줄과 보 사이 각을 30°에서 60°로 키우면 줄의 장력은?

$T = (\text{토크})/(L\sin\theta)$이므로 $\sin\theta$가 커지면 T는 작아진다.

같은 힘으로 같은 물질의 철사를 당긴다. 지름을 2배로 하면 늘어난 길이는?

$\Delta L = FL_0/(AY)$, 넓이는 지름의 제곱에 비례한다.

무게 중심이 낮고 바닥이 넓은 물체가 넘어지기 어려운 이유는?

임계각 $\tan\theta_c = (\text{반폭})/h_\text{cg}$.