Chapter 06

소성 변형과 강화 기구

구리 막대를 손으로 구부리면 다시 펴지지 않는다. 원자 결합을 한꺼번에 끊어 결정 절반을 통째로 미끄러뜨리려면 수 GPa가 필요하지만, 실제 구리는 그 100분의 1도 안 되는 응력에서 영구 변형하고, 순수한 단결정은 1만분의 1에서 미끄러진다. 비결은 전위다. 전위가 결합을 한 줄씩만 바꿔 가며 결정을 가로지르면 결정은 원자 한 칸만큼 미끄러지고 표면에 계단이 남는다. 그러니 금속을 강하게 만드는 방법은 모두 한 문장으로 요약된다 — 전위가 움직이기 어렵게 하라. 전위를 많이 만들어 서로 엉키게 하고(가공 경화), 결정립계로 길을 막고(결정립 미세화), 용질 원자와 석출물로 길에 돌을 깐다(고용·석출 강화). 이 장은 인장 시험 곡선을 읽는 법에서 출발해 슬립계와 슈미트 법칙, 네 가지 강화 기구, 경도와 나노압입, 그리고 열처리로 강도와 연성을 되돌리는 회복·재결정·결정립 성장까지 간다. 아래 그림에서는 전단 응력을 받은 결정 속을 칼날 전위(⊥)가 미끄럼면을 따라 지나가며, 지나갈 때마다 양쪽 끝에 높이 $b$의 계단이 하나씩 생긴다.

누르면 전위 생성 · 좌우로 끌면 응력 변화

인장 시험 곡선에서 탄성률·0.2 % 오프셋 항복 강도·인장 강도·연신율·단면 감소율·레질리언스·인성을 읽고, 공칭 응력·변형을 진응력·진변형으로 바꾼다.
홀로몬 식 $\sigma_\mathrm T = K\varepsilon_\mathrm T^{\,n}$과 콩시데르 조건으로 네킹이 시작되는 변형($\varepsilon_\mathrm T = n$)과 인장 강도를 계산한다.
전위의 미끄럼으로 이론 전단 강도와 실제 항복 강도의 차이를 설명하고, FCC·BCC·HCP의 슬립계를 세며, 슈미트 법칙 $\tau_\mathrm R = \sigma\cos\phi\cos\lambda$로 단결정의 항복 응력을 구한다.
프랭크–리드 원에 의한 전위 증식과 테일러 식 $\Delta\sigma = M\alpha Gb\sqrt\rho$로 가공 경화를 설명하고, 냉간 가공도와 강도·연성의 관계를 계산한다.
홀–페치 식, 고용 강화, 석출물의 자름과 오로완 우회로 강화량을 계산하고 최대 강도가 나오는 석출물 크기를 설명한다.
브리넬·비커스 경도를 계산하고, 나노압입 하중–변위 곡선에서 올리버–파르 방법으로 경도와 탄성률을 구한다.
회복·재결정·결정립 성장을 구별하고, 재결정 분율(JMAK)과 결정립 성장 식으로 어닐 조건을 정해 목표 강도와 연성을 함께 맞춘다.

인장 시험과 응력–변형 곡선

소성을 정량적으로 말하려면 먼저 측정법을 정해야 한다. 가장 기본이 되는 것이 인장 시험(tensile test)이다. 지름 $d_0$(흔히 12.8 mm), 표점 거리 $L_0$(50 mm)인 둥근 시편의 양 끝을 잡고 일정한 속도로 잡아당기며, 하중 $F$는 하중계(load cell)로, 표점 사이의 늘어남 $\Delta L$은 신장계(extensometer)로 잰다. 5장에서 탄성 구간의 기울기로 영률을 읽었다(응력·변형과 탄성). 이 장은 그 뒤, 하중을 빼도 되돌아오지 않는 구간을 다룬다.

인장 시험. 하중계가 $F$를, 신장계가 표점 사이의 늘어남 $\Delta L$을 잰다. 공칭(engineering) 값은 처음 치수로 나눈 값이라 계산이 쉽지만, 시편이 가늘어지는 효과를 담지 못한다.

측정한 $F$와 $\Delta L$을 처음 치수로 나눈 것이 공칭 응력(engineering stress) $\sigma = F/A_0$과 공칭 변형(engineering strain) $\varepsilon = \Delta L/L_0$이다. 금속의 응력–변형 곡선은 대개 다음 순서로 지나간다. 처음에는 직선(탄성, 기울기 $E$)이다가, 어느 응력부터 하중을 빼도 변형이 남기 시작한다. 이 경계가 항복 강도(yield strength) $\sigma_\mathrm y$다. 대부분의 금속은 경계가 또렷하지 않으므로 탄성 직선을 변형 0.002만큼 오른쪽으로 옮긴 선이 곡선과 만나는 응력을 항복 강도로 정한다. 이것이 0.2 % 오프셋 항복 강도(0.2 % offset yield strength)다. 항복 뒤에도 응력은 계속 오르다가(가공 경화) 최댓값에 이르는데, 이 최대 공칭 응력이 인장 강도(tensile strength, TS)다. 그 뒤로는 변형이 시편 한가운데로 몰려 목처럼 잘록해지는 네킹(necking)이 일어나고 공칭 응력은 떨어지다 파단한다.

$$\%\mathrm{EL} = \frac{L_f - L_0}{L_0}\times100,\qquad \%\mathrm{RA} = \frac{A_0 - A_f}{A_0}\times100$$

연성은 파단 때까지의 영구 변형으로 나타낸다. 연신율(percent elongation) %EL은 부러진 두 조각을 맞대어 잰 표점 거리 $L_f$로, 단면 감소율(percent reduction in area) %RA는 파단면의 넓이 $A_f$로 구한다. %EL은 네킹이 표점 길이의 일부에서만 일어나므로 $L_0$에 따라 달라지고, %RA는 그렇지 않다.

시편은 늘어나면서 가늘어진다. 순간 단면적 $A_i$로 나눈 응력과, 늘어남을 조금씩 더한 변형이 진응력(true stress)과 진변형(true strain)이다. 소성 변형은 부피를 거의 바꾸지 않으므로($A_iL_i = A_0L_0$) 네킹 전까지는 공칭 값만으로 바꿀 수 있다.

$$\sigma_\mathrm T = \frac{F}{A_i} = \sigma(1+\varepsilon),\qquad \varepsilon_\mathrm T = \int_{L_0}^{L_i}\frac{dL}{L} = \ln\frac{L_i}{L_0} = \ln(1+\varepsilon)$$

두 식은 변형이 표점 전체에 고르게 퍼진 동안(인장 강도 전)만 성립한다. 네킹 뒤의 진응력은 목의 최소 단면적으로 직접 계산한다($\sigma_\mathrm T = F/A_\text{목}$). 진변형은 더할 수 있다: 0.1씩 두 번 늘이면 진변형은 정확히 0.2지만, 공칭 변형은 0.1 + 0.1이 아니라 0.21이다.

균일 소성 구간의 진응력–진변형 곡선은 많은 금속에서 간단한 거듭제곱으로 잘 맞는다. 이것이 홀로몬 식(Hollomon equation)이고, 지수 $n$을 가공 경화 지수(strain-hardening exponent)라 한다.

$$\sigma_\mathrm T = K\,\varepsilon_\mathrm T^{\,n}$$

$K$는 강도 계수(MPa). 대표값(캘리스터 표): 어닐 저탄소강 $n = 0.21$, $K = 600$ MPa; 어닐 구리 0.44, 530; 어닐 304 스테인리스강 0.44, 1275; 2024-T3 알루미늄 0.17, 780. $n$이 클수록 변형이 진행될수록 단단해지는 정도가 커서 네킹이 늦게 온다.

네킹은 왜 생길까? 시편 어딘가가 조금 가늘어지면 그곳 응력이 커진다. 가공 경화가 충분하면 그곳이 단단해져 변형은 다른 곳으로 옮겨 가지만, 가공 경화가 단면적 감소를 따라가지 못하는 순간부터는 가는 곳이 계속 더 가늘어진다. 하중 $F = \sigma_\mathrm TA$가 최대가 되는 조건 $dF = 0$에서 $d\sigma_\mathrm T/\sigma_\mathrm T = -dA/A = d\varepsilon_\mathrm T$, 곧

$$\frac{d\sigma_\mathrm T}{d\varepsilon_\mathrm T} = \sigma_\mathrm T \;\xrightarrow{\;\text{홀로몬}\;}\; \varepsilon_{\mathrm T,u} = n,\qquad \mathrm{TS} = K n^n e^{-n}$$

이것이 콩시데르 조건(Considère criterion)이다. 네킹이 시작되는 균일 진변형은 가공 경화 지수와 같다. 공칭 균일 연신은 $e^{n}-1$, 그때의 공칭 응력(곧 인장 강도)은 진응력 $Kn^n$에 $e^{-n}$을 곱한 값이다.

흰 원을 곡선을 따라 끈다

가공 경화 지수 n

MINI LAB콩시데르 작도. 진응력을 공칭 변형에 대해 그리면 $d\sigma_\mathrm T/d\varepsilon = \sigma_\mathrm T/(1+\varepsilon)$이므로, 네킹 점은 $\varepsilon = -1$에서 그은 접선이 곡선에 닿는 점이다. 흰 원을 끌어 점선이 곡선에 접하게 만들면 그 점의 공칭 변형이 $e^n-1$, 점선이 $\varepsilon = 0$을 지나는 높이가 인장 강도다($K = 530$ MPa).

강도 계수 $K =$ 600, 가공 경화 지수 $n =$ 0.21인 금속은 진변형 에서 네킹을 시작한다. 이때까지 공칭으로 고르게 늘어나고, 인장 강도는 , 네킹 순간의 진응력은 이다.

곡선 아래 넓이도 성질이다. 단위 부피의 재료가 항복할 때까지 흡수했다가 하중을 빼면 돌려주는 에너지가 레질리언스(resilience) $U_r = \sigma_\mathrm y^2/2E$이고, 파단까지 흡수하는 에너지(곡선 아래 전체 넓이)가 인성(toughness)이다. 단위는 J/m³ = Pa이므로 MPa 단위 응력에 무차원 변형을 곱하면 바로 MJ/m³다. 용수철 강은 $\sigma_\mathrm y$가 크고 $E$가 작아야 좋고, 충격을 견뎌야 하는 부품은 강도와 연성을 함께 가져야 인성이 크다(파괴 인성은 7장).

하중을 중간에 빼면 어떻게 될까? 시편은 탄성 변형만큼만 되돌아온다. 되돌아오는 길은 처음 탄성 직선과 평행한 직선(기울기 $E$)이고 이것을 탄성 회복(elastic recovery)이라 한다. 영구 변형이 남은 시편을 다시 당기면 같은 직선을 따라 올라가 하중을 뺐던 응력 근처에서 다시 소성 변형을 시작한다. 한 번 변형된 금속은 항복 강도가 올라간 셈이다 — 3절의 가공 경화다.

어닐한 구리 시편을 공칭 변형 0.20까지 당긴 뒤 하중을 완전히 뺐다가 다시 당긴다. 두 번째 당김에서 소성 변형이 다시 시작되는 공칭 응력은?

제하는 탄성 직선을 따라 내려오고 재하중도 같은 직선을 따라 올라가므로, 하중을 뺐던 응력에 닿을 때까지는 탄성이다. 첫 당김에서 늘어난 전위들이 서로 엉켜 새 항복 강도가 된 것이다. 아래에서 그립을 오른쪽으로 끌었다가 왼쪽으로 되돌려 보라.

SIMULATOR

인장 시험기: 당기고, 빼고, 다시 당기기

재료

곡선

레질리언스·인성 넓이 칠하기

공칭 σ / 진 σ_T—

공칭 ε / 진 ε_T—

상태—

0.2 % 항복 강도—

인장 강도 · %EL—

흡수 에너지—

곡선은 재료별 대표값(부록 A 자료표의 항복·인장 강도)에 맞춘 경화 모형이고, 네킹 뒤 모양은 근사다. 왼쪽 위 시편은 실제 비율로 늘어나고 가늘어진다. 해볼 것: ① 오른쪽 확대 그림에서 오프셋 선의 흰 원을 끌어 0.2 %에 놓고 항복 강도를 읽는다(맞으면 ✓). ② 구리를 ε = 0.2까지 당겼다가 그립을 왼쪽으로 되돌려 하중을 빼고 다시 당긴다 — 새 항복점은 어디인가? ③ 304 스테인리스와 티타늄을 비교한다. 항복 강도는 비슷하지만 가공 경화(n)가 커서 스테인리스가 훨씬 늦게 네킹하고 인성이 세 배다.

지름 12.8 mm, 표점 거리 50.0 mm인 구리 시편을 당겼다. (a) 하중 9.00 kN에서 표점이 0.0318 mm 늘어났다(탄성 구간). 영률은? (b) 최대 하중이 28.3 kN이었다. 인장 강도는? (c) 파단 뒤 표점 거리가 75.0 mm, 파단면 지름이 6.40 mm였다. %EL과 %RA는? (d) 파단 순간 하중이 22.0 kN이었다면 파단 진응력은?

풀이 보기

전략 공칭 값은 처음 치수 $A_0 = \pi(6.40\ \text{mm})^2 = 1.287\times10^{-4}$ m²로 나눈다. 파단 진응력만 파단면 넓이로 나눈다.

풀이 (a) $\sigma = 9000/1.287\times10^{-4} = 69.9$ MPa, $\varepsilon = 0.0318/50.0 = 6.36\times10^{-4}$, $E = \sigma/\varepsilon = 110$ GPa. (b) $\mathrm{TS} = 28300/1.287\times10^{-4} = 220$ MPa. (c) $\%\mathrm{EL} = (75.0-50.0)/50.0 = 50\%$, $\%\mathrm{RA} = 1-(6.40/12.8)^2 = 75\%$. (d) $A_f = \pi(3.20\ \text{mm})^2 = 3.217\times10^{-5}$ m², $\sigma_{\mathrm T,f} = 22000/3.217\times10^{-5} = 684$ MPa.

(a) 110 GPa (b) 220 MPa (c) %EL = 50 %, %RA = 75 % (d) 약 684 MPa

검토 파단 직전의 공칭 응력은 171 MPa로 인장 강도보다 낮지만 목에 걸린 진응력은 그 네 배다. 재료는 파단 직전까지 계속 단단해지고 있었다. "공칭 응력이 떨어진다"는 것은 재료가 약해진다는 뜻이 아니라 단면이 줄어든다는 뜻이다.

어닐 구리의 진응력이 진변형 0.10에서 192 MPa, 0.30에서 312 MPa였다. (a) $K$와 $n$, (b) 네킹이 시작되는 진변형과 공칭 변형, (c) 인장 강도를 구하라.

풀이 보기

전략 로그를 취하면 $\ln\sigma_\mathrm T = \ln K + n\ln\varepsilon_\mathrm T$로 직선이다. 두 점으로 기울기 $n$을 구한다. 네킹은 $\varepsilon_\mathrm T = n$.

풀이 (a) $n = \ln(312/192)/\ln(0.30/0.10) = 0.4855/1.0986 = 0.442$, $K = 192/0.10^{0.442} = 531$ MPa. (b) $\varepsilon_{\mathrm T,u} = 0.442$, 공칭 $e^{0.442}-1 = 0.556$. (c) $\mathrm{TS} = Kn^ne^{-n} = 531\times0.442^{0.442}\times e^{-0.442} = 238$ MPa(그때 진응력은 370 MPa).

(a) K ≈ 531 MPa, n ≈ 0.44 (b) ε_T = 0.44, 공칭 0.56 (c) TS ≈ 238 MPa

검토 캘리스터 표의 어닐 구리($K = 530$ MPa, $n = 0.44$)와 같다. 실제 구리의 균일 연신은 이보다 조금 작은데, 항복 직후 구간은 순수한 거듭제곱에서 벗어나기 때문이다.

솔더와 범프는 매일 항복한다

칩(실리콘, 2.6 ppm/K)과 유기 기판(15–17 ppm/K) 사이의 솔더 범프는 전원을 켜고 끌 때마다 열팽창 차이로 전단된다. SAC305 솔더의 항복 강도는 30–40 MPa로 구리(어닐 약 70 MPa, 도금 필러 수백 MPa)보다 훨씬 낮아, 열 사이클마다 탄성 한계를 넘어 소성 변형하고 그 이력 곡선의 넓이(소성 일)가 쌓여 피로 균열이 자란다(7장, 17장). 그래서 범프 설계는 응력–변형 곡선 전체, 곧 항복 강도·가공 경화·온도에 따른 크리프를 함께 본다. 구리 필러 범프는 솔더 부피를 줄여 피치를 좁히는 대신, 단단한 구리가 칩 쪽 약한 저유전막에 응력을 더 전달한다. → PackagingBook · 범핑과 재배선

전위 운동과 슬립계, 슈미트 법칙

완전한 결정의 위 절반을 아래 절반 위로 통째로 미끄러뜨린다면 미끄럼면의 모든 결합이 동시에 늘어나야 한다. 결합의 복원력을 사인 함수로 어림하면 필요한 전단 응력의 최댓값은 $\tau_\text{th}\approx G/2\pi$다. 이것이 이론 전단 강도(theoretical shear strength)다. 구리($G\approx41$ GPa)라면 약 6.5 GPa인데, 순수한 구리 단결정은 1 MPa도 안 되는 분해 전단 응력에서 미끄러진다. 만 배의 차이를 메우는 것이 3장의 선결함, 전위다(결정 결함, 기초는 고체물리 · 결정 결함).

완전 결정. 전단 응력을 걸어도 결합을 한꺼번에 끊으려면 $G/2\pi$ 정도가 필요하다.
왼쪽 끝에서 칼날 전위가 생겨 들어온다. 전위선(⊥) 왼쪽은 미끄러진 영역, 오른쪽은 아직 아닌 영역이다.
전위가 한 칸 움직일 때마다 핵 바로 아래 한 줄의 결합만 짝을 바꾼다. 필요한 응력은 격자 저항(파이얼스 응력) 정도로 작다.
전위가 결정을 다 지나가면 위 절반 전체가 버거스 벡터 $b$만큼 미끄러지고, 표면에 높이 $b$의 계단(슬립 흔적)이 남는다.

칼날 전위의 미끄럼. 원자 위치는 등방 탄성론의 칼날 전위 변위장($\nu = 0.3$)으로 계산했다. 카펫 전체를 끌지 않고 주름 하나를 밀어 옮기는 것과 같다. 계단 수천 개가 같은 면에 모이면 광학 현미경에서도 보이는 슬립선이 된다.

전위는 아무 면에서나 같은 쉬움으로 움직이지 않는다. 원자가 가장 빽빽하게 놓인 면은 면 사이 간격이 가장 넓어 위아래가 덜 맞물리고, 그 면 안에서 원자가 가장 촘촘한 방향은 버거스 벡터가 가장 짧아 전위 에너지($\propto Gb^2$)가 가장 작다. 그래서 미끄럼은 조밀면 위의 조밀 방향으로 일어난다. 미끄럼면과 그 안의 미끄럼 방향을 한 쌍으로 묶은 것을 슬립계(slip system)라 한다.

세 결정 구조의 대표 슬립계. 칠한 면이 미끄럼면, 황동색 화살표가 미끄럼 방향(버거스 벡터 방향)이다. FCC는 조밀면 {111} 넷이 서로 다른 방향을 향해 어느 쪽으로 당겨도 잘 미끄러진다. HCP는 조밀면이 바닥면 하나뿐이라 다결정에서 연성이 떨어진다.

구조	미끄럼면	미끄럼 방향	슬립계 수	예	상온 거동
FCC	{111}	⟨110⟩	12	Cu, Al, Ni, Au, Ag, γ-Fe	연성이 크고 저온에서도 부서지지 않는다
BCC	{110}, {211}, {321}	⟨111⟩	12 + 12 + 24	α-Fe, W, Mo, Ta, Cr	격자 저항이 커 온도에 민감, 저온 취성(7장)
HCP	(0001) 바닥면 (+ 기둥면·뿔면)	⟨11̄20⟩	3 (+3, +6)	Mg, Zn, Ti, Co, Ru	바닥면만 쉬우면 다결정 연성이 작다(Mg, Zn). Ti는 기둥면도 써서 연성이 있다

나사 전위는 버거스 벡터가 전위선과 나란하므로 그 선을 품은 어느 조밀면으로도 옮겨 갈 수 있다. 이것이 교차 슬립(cross slip)이며, 장애물을 돌아가는 길이 되어 3단계 가공 경화(동적 회복)를 낳는다.

슈미트 법칙과 임계 분해 전단 응력

단결정 막대를 축 방향 응력 $\sigma$로 당기면 미끄럼면에는 전단 성분과 수직 성분이 함께 걸린다. 미끄럼을 일으키는 것은 미끄럼면 위, 미끄럼 방향으로 분해한 전단 응력뿐이다. 하중 축과 미끄럼면 법선 사이의 각을 $\phi$, 하중 축과 미끄럼 방향 사이의 각을 $\lambda$라 하면 힘 $F\cos\lambda$가 넓이 $A/\cos\phi$에 걸리므로

$$\tau_\mathrm R = \sigma\cos\phi\cos\lambda = m\,\sigma,\qquad \sigma_\mathrm y = \frac{\tau_\mathrm{CRSS}}{m_\text{max}}$$

$m = \cos\phi\cos\lambda$를 슈미트 인자(Schmid factor)라 한다. 미끄럼 방향은 미끄럼면 안에 있으므로 $\phi + \lambda \ge 90°$이고, $m$의 최댓값은 $\phi = \lambda = 45°$에서 0.5다. 분해 전단 응력이 재료 고유의 문턱값, 곧 임계 분해 전단 응력(critical resolved shear stress, CRSS)에 이르면 그 슬립계가 미끄러진다. 이것이 슈미트 법칙이다. 순수한 구리·알루미늄 단결정의 CRSS는 0.5–1 MPa, α-철은 수십 MPa다.

미끄럼면의 흰 원을 돌린다

응력 σ / τ_CRSS 방향 비틀림 ψ

MINI LAB단결정 막대 속 한 슬립계. 면을 돌리면 $\phi$가 바뀌고, ψ는 미끄럼 방향을 면 안에서 하중 축이 든 평면 밖으로 돌린다($\cos\lambda = \sin\phi\cos\psi$). $\tau_\mathrm R$이 CRSS를 넘으면 막대가 그 면을 따라 미끄러진다. 오른쪽 그래프의 점이 $m = \tfrac12\sin2\phi$ 곡선(ψ = 0)을 따라가는 것을 보라.

응력 52을 걸었을 때 미끄럼면 법선과의 각 $\phi =$ 45, 미끄럼 방향과의 각 $\lambda =$ 55이면 슈미트 인자는 , 분해 전단 응력은 이다. CRSS가 30 MPa라면

실제 결정에는 슬립계가 12개 있고 각자 $\phi$, $\lambda$가 다르다. 그중 슈미트 인자가 가장 큰 계가 먼저 미끄러진다. 하중 축의 방향을 결정 좌표로 나타내는 데는 스테레오 투영(stereographic projection)이 편하다. 단위 구 위의 방향을 적도면에 투영한 지도로, 가운데가 [001], 가장자리가 [100]·[010]·[110] 같은 수평 방향이다.

FCC 단결정을 정확히 [001] 방향으로 당긴다. 12개 슬립계 가운데 슈미트 인자가 최댓값(0.408)으로 똑같은 계는 몇 개일까?

[001]은 네 {111}면 모두와 같은 각($\cos\phi = 1/\sqrt3$)을 이루고, 각 면의 ⟨110⟩ 세 방향 가운데 수평인 하나($\cos\lambda = 0$)를 뺀 둘이 $\cos\lambda = 1/\sqrt2$다. 4 × 2 = 8개가 $m = 1/\sqrt6 = 0.408$로 동시에 미끄러진다(다중 슬립). 하중 축을 표준 삼각형 한가운데로 옮기면 하나만 남는다(단일 슬립).

SIMULATOR

하중 축을 끌어 가장 먼저 미끄러지는 슬립계 찾기

결정

하중 축 바로 놓기

표준 삼각형만 크게

하중 축 (근사 지수)—

최대 슈미트 인자—

먼저 미끄러지는 계—

단결정 항복 응력—

과제—

왼쪽은 [001] 표준 투영(위쪽 반구), 오른쪽 막대는 12개 슬립계의 슈미트 인자다. 가장 큰 계(들)를 진하게 칠했고, 항복 응력은 $\tau_\mathrm{CRSS}/m_\text{max}$(구리 0.6 MPa, α-철 30 MPa, 대표값)이다. 과제: ① 가장 무른 방향을 찾아라 — $m_\text{max}\ge0.49$. ② 가장 단단한 방향을 찾아라 — $m_\text{max}\le0.28$. 해볼 것: [001]·[011]·[111]에서 같은 값의 막대가 몇 개인지 세어 본다. 다중 슬립 방향에서는 전위끼리 일찍 엉켜 가공 경화가 빠르다.

다결정에서는 결정립마다 방향이 다르고, 이웃 결정립과 떨어지지 않으려면 각 결정립이 임의의 모양 변화를 해내야 한다. 부피가 보존되는 임의의 변형에는 독립된 슬립계가 5개 필요하다(폰 미제스 조건). FCC와 BCC는 넉넉하지만 바닥면 슬립뿐인 HCP 마그네슘·아연은 이를 채우지 못해 다결정이 취약하다. 방향을 평균하면 다결정의 항복 강도는 $\sigma_\mathrm y \approx M\tau_\mathrm{CRSS}$이고, 무작위 방향 FCC의 테일러 인자(Taylor factor)는 $M\approx3.06$이다(단결정의 $1/m_\text{max} = 2$보다 크다).

BCC 철 단결정을 [010] 방향으로 52 MPa의 응력으로 당긴다. (a) (110) 면, [$\bar1$11] 방향 슬립계의 분해 전단 응력을 구하라. (b) 이 계의 CRSS가 30 MPa라면 항복에 필요한 응력은?

풀이 보기

전략 입방정에서 두 방향 사이 각의 코사인은 내적을 크기로 나눈 값이다. $\cos\phi = [010]\cdot(110)/(1\cdot\sqrt2)$, $\cos\lambda = [010]\cdot[\bar111]/(1\cdot\sqrt3)$.

풀이 $\cos\phi = 1/\sqrt2 = 0.707$, $\cos\lambda = 1/\sqrt3 = 0.577$, $m = 0.408$. (a) $\tau_\mathrm R = 52\times0.408 = 21.2$ MPa. (b) $\sigma_\mathrm y = 30/0.408 = 73.5$ MPa.

(a) 21.2 MPa (b) 73.5 MPa

검토 52 MPa에서는 분해 전단 응력이 CRSS에 못 미쳐 탄성 상태다. [010] 축은 BCC {110}⟨111⟩ 12개 가운데 8개가 같은 $m = 0.408$을 갖는 대칭 방향이라 여러 계가 동시에 미끄러진다.

전위 증식과 가공 경화

잘 어닐한 금속에도 전위가 1 m³에 $10^{10}$–$10^{12}$ m 길이만큼 들어 있다. 이 양, 곧 단위 부피당 전위선 길이가 전위 밀도(dislocation density) $\rho$(m⁻²)다. 표면에 계단 하나를 만들 때마다 전위 하나가 결정을 빠져나가므로, 큰 소성 변형을 하려면 전위가 계속 새로 생겨야 한다. 실제로 냉간 가공한 금속의 $\rho$는 $10^{14}$–$10^{16}$ m⁻²까지 늘어난다(1 cm³ 속 전위를 이으면 지구–달 거리가 넘는다). 대표적인 증식 기구가 프랭크–리드 원(Frank–Read source)이다. 두 점(석출물, 다른 전위와의 교차점)에 고정된 길이 $L$의 전위 선분이 전단 응력을 받으면 활처럼 휘고, 반원이 되는 순간을 넘기면 스스로 감아 돌아 닫힌 고리 하나를 내보내고 원래 선분으로 돌아온다. 같은 일이 되풀이되며 고리가 쏟아진다.

$$\tau_\mathrm{FR} \approx \frac{Gb}{L}$$

선 장력 $T\approx\tfrac12Gb^2$을 가진 전위가 응력 $\tau$를 받으면 곡률 반지름 $R = T/\tau b = Gb/2\tau$로 휜다. 반원($R = L/2$)이 가장 큰 응력을 요구하므로 $\tau_\mathrm{FR} = Gb/L$. 고정점 사이가 짧을수록 원을 돌리기 어렵다 — 같은 원리가 4절의 오로완 우회다.

두 고정점(흰 원)을 끌어 L을 바꾼다

전단 응력 τ

MINI LAB구리($G = 41$ GPa, $b = 0.256$ nm) 속 프랭크–리드 원. $\tau\lt Gb/L$이면 선분이 평형 호로 휘어 멈추고, 넘으면 반원을 지나 감아 돌며 고리를 하나씩 내보낸다. 내보낸 고리 수가 전위 밀도를 얼마나 늘리는지 오른쪽 글자로 보라.

전위가 많아지면 서로 방해한다. 미끄럼면을 가로지르는 다른 전위("숲 전위")를 끊고 지나가려면 꺾임(jog)을 만들어야 하고, 두 전위가 만나 움직이지 않는 매듭(로머–코트렐 잠금)을 만들기도 한다. 미끄럼면 위 전위가 평균 간격 $1/\sqrt\rho$의 숲을 지나려면 그 간격에 맞는 프랭크–리드형 응력이 필요하므로 $\tau\propto Gb\sqrt\rho$다. 이것이 테일러 식(Taylor equation)이다.

$$\sigma_\mathrm y = \sigma_i + M\alpha G b\sqrt{\rho}$$

$\sigma_i$는 전위와 무관한 나머지 저항(격자 마찰·결정립계·용질), $M\approx3.06$은 FCC 다결정의 테일러 인자, $\alpha\approx0.2$–0.4는 전위 상호작용 세기. 이렇게 소성 변형이 쌓일수록 단단해지는 현상이 가공 경화(strain hardening, work hardening)이고, 홀로몬 식의 $n$이 그 빠르기를 나타낸다.

구리($M = 3.06$, $\alpha = 0.3$, $G = 41$ GPa, $b = 0.256$ nm)의 전위 밀도가 $10^{x}$ m⁻²의 $x$ = 14이면 전위 사이 평균 간격은 이고, 테일러 식이 주는 강화량은 이다. 밀도를 100배로 늘리면 강화량은 배가 된다.

공장에서는 압연·인발·단조로 상온에서 단면을 줄여 가공 경화를 이용한다. 이것이 냉간 가공(cold work)이고, 그 정도를 단면적 감소율로 나타낸 것이 냉간 가공도다.

$$\%\mathrm{CW} = \frac{A_0 - A_d}{A_0}\times100,\qquad \varepsilon_\mathrm T = \ln\frac{A_0}{A_d} = -\ln\!\left(1 - \frac{\%\mathrm{CW}}{100}\right)$$

$A_0$는 처음, $A_d$는 가공 뒤 단면적. 둥근 선을 인발하면 $A\propto d^2$이므로 지름이 10 % 줄 때 %CW는 19 %다. 진변형은 여러 번의 인발을 더할 수 있지만 %CW는 그렇지 않다.

SIMULATOR

선 인발: 다이를 조여 냉간 가공도 정하기

재료

냉간 가공도 %CW

지름 d₀ → d—

진변형—

항복 강도 · 인장 강도—

연신율—

전위 밀도(테일러 역산)—

미리 늘인 만큼 처음부터 경화 곡선의 뒤쪽에서 출발한다고 보는 모형이다(1절 곡선의 진변형을 $\varepsilon_\mathrm T$만큼 미리 쓴 재료). 선 속의 길쭉한 무늬는 인발 방향으로 늘어난 결정립이다. 해볼 것: ① 구리를 20 % → 40 %로 가공하면 항복 강도는 오르고 연신율은 급히 떨어진다. 항복 강도와 인장 강도가 만나는 지점(균일 연신이 바닥남)을 찾는다. ② 304 스테인리스는 같은 %CW에서 강도가 훨씬 빨리 오른다 — $n = 0.45$. ③ 전위 밀도가 $10^{12}$에서 $10^{15}$ m⁻²로 늘어나는 동안 강도는 몇 배가 되는가?

지름 15.2 mm인 어닐 구리 봉을 12.2 mm로 인발했다. (a) 냉간 가공도와 진변형을 구하라. (b) 항복 강도가 69 MPa에서 330 MPa로 올랐고 어닐 상태의 전위 밀도가 $10^{12}$ m⁻²였다면, 인발 뒤 전위 밀도는? ($M = 3.06$, $\alpha = 0.3$, $G = 41.0$ GPa, $b = 0.2556$ nm, 나머지 기여는 변하지 않는다고 본다.)

풀이 보기

전략 단면적 비는 지름 비의 제곱. 테일러 식의 차이를 쓰면 $\sigma_i$가 지워진다: $\Delta\sigma_\mathrm y = M\alpha Gb(\sqrt{\rho_2}-\sqrt{\rho_1})$.

풀이 (a) $\%\mathrm{CW} = (15.2^2-12.2^2)/15.2^2\times100 = 35.6\%$, $\varepsilon_\mathrm T = 2\ln(15.2/12.2) = 0.440$. (b) $M\alpha Gb = 3.06\times0.3\times41.0\times10^3\ \text{MPa}\times2.556\times10^{-10}\ \text{m} = 9.63\times10^{-6}$ MPa·m. $\sqrt{\rho_2} = 10^6 + 261/9.63\times10^{-6} = 10^6 + 2.71\times10^7 = 2.81\times10^7$ m⁻¹, $\rho_2 = 7.9\times10^{14}$ m⁻².

(a) 35.6 %, 진변형 0.44 (b) 약 $8\times10^{14}$ m⁻² (약 800배)

검토 전위 사이 평균 간격 $1/\sqrt\rho$이 1 µm에서 36 nm로 줄었다. 냉간 가공 금속의 TEM 사진에서 보이는 전위 엉킴과 셀 구조의 크기와 맞는다. 강도를 4.8배 올리는 데 전위가 800배 필요했다 — $\sqrt\rho$ 의존성 때문이다.

가공 경화는 공짜가 아니다. 강도가 오르는 만큼 연성이 줄고(더 늘일 여유가 이미 소진됨), 전위가 전자를 흩뜨려 전기 저항률도 몇 % 오른다(마티센 규칙의 변형 항, 15장). 또 늘어난 전위에 저장된 에너지(가공에 들인 일의 수 %)가 6절 재결정의 구동력이 된다. 한쪽으로 변형한 뒤 반대로 하중을 걸면 처음보다 낮은 응력에서 항복하는 바우싱거 효과(Bauschinger effect)도 나타난다 — 쌓인 전위가 되돌아가는 쪽으로는 도움을 받기 때문이다. 판금 성형과 열 사이클을 받는 솔더 접합에서 중요하다.

결정립 미세화·고용·석출 강화

강화 기구는 모두 같은 질문에 대한 서로 다른 답이다. "미끄러지는 전위 앞에 무엇을 놓을까?" 앞 절의 답은 다른 전위였다. 이 절에서는 결정립계, 용질 원자, 석출물을 놓는다. 여러 기구가 함께 작용하면 대개 강화량을 더해 어림한다($\sigma_\mathrm y \approx \sigma_0 + \Delta\sigma_\text{gb} + \Delta\sigma_\text{ss} + \Delta\sigma_\text{ppt} + \Delta\sigma_\rho$).

결정립계와 홀–페치 식

이웃 결정립은 결정 방향이 달라 슬립계가 이어지지 않는다. 미끄러지던 전위는 결정립계 앞에서 멈추고, 같은 원에서 나온 전위들이 그 뒤에 줄지어 선다. 이렇게 쌓인 전위 쌓임(dislocation pile-up)의 앞머리에는 쌓인 수만큼 커진 응력이 걸리고, 그 응력이 이웃 결정립의 전위 원을 깨울 만큼 커져야 변형이 결정립계를 넘어간다. 결정립이 클수록 줄이 길어 앞머리 응력이 쉽게 커지므로, 작은 결정립일수록 더 큰 외부 응력이 필요하다.

결정립계 앞의 전위 쌓임. 앞머리 응력 $n\tau$가 이웃 결정립의 원을 깨우는 값 $\tau^*$에 이르러야 변형이 전해진다. $n\propto\tau d$이므로 $\tau^2 d$가 일정, 곧 $\tau\propto d^{-1/2}$이 된다.

$$\sigma_\mathrm y = \sigma_0 + k_\mathrm y\,d^{-1/2}$$

이것이 홀–페치 식(Hall–Petch relation)이고, 결정립을 줄여 강하게 하는 것을 결정립 미세화 강화(grain-size strengthening)라 한다. $\sigma_0$는 결정립계가 없을 때의 마찰 응력, $k_\mathrm y$는 결정립계가 얼마나 효과적인 장벽인지를 나타낸다(MPa·√m). 대표값: 구리 $\sigma_0 = 25$ MPa, $k = 0.11$; 알루미늄 16, 0.04; 니켈 20, 0.16; α-철(저탄소강) 70, 0.74; 티타늄 80, 0.40. 강의 $k$가 큰 것은 탄소·질소가 결정립계 근처 전위를 붙잡기 때문이다. 결정립 미세화는 강도와 함께 인성도 올리는 거의 유일한 강화법이다.

SIMULATOR

결정립을 키우고 쪼개 목표 항복 강도 만들기

금속

선분 교차법 표시

평균 교차 길이 ℓ—

ASTM 번호—

σ_y (홀–페치)—

목표—

판정—

포츠 모형(한 칸 = 1 µm)으로 어닐 중 결정립 성장을 흉내 낸다. 가로 시험선이 결정립계와 만나는 점(작은 눈금)을 세어 평균 교차 길이 $\bar\ell = L/N$을 구하고(3장), 이것을 $d$로 써서 홀–페치 직선 위의 점을 옮긴다. 과제: 재생(어닐)으로 결정립을 키우고, 지나치면 조직 위를 끌어 미세 결정립을 심어(냉간 가공 뒤 재결정 흉내) 목표 $\sigma_\mathrm y$ ±3 % 안에 넣어라. 해볼 것: α-Fe와 Al에서 같은 $d$ 변화가 만드는 강도 차이를 비교한다($k$가 18배 다르다).

결정립 크기 $d =$ 10인 구리의 항복 강도는 , 같은 크기의 저탄소강(α-Fe)은 다. 결정립을 이 크기의 1/4로 줄이면 강의 항복 강도는 로 오른다.

저탄소강의 항복 강도가 결정립 크기 25 µm에서 218 MPa, 4.0 µm에서 440 MPa였다. (a) $\sigma_0$와 $k_\mathrm y$를 구하라. (b) 결정립을 1.0 µm로 줄이면 항복 강도는 얼마로 예상되는가?

풀이 보기

전략 $x = d^{-1/2}$로 놓으면 직선이다. 단위를 m로 맞춘다: $25$ µm → $x = 200$ m⁻¹ᐟ², 4.0 µm → 500 m⁻¹ᐟ², 1.0 µm → 1000 m⁻¹ᐟ².

풀이 (a) $k_\mathrm y = (440-218)/(500-200) = 0.74$ MPa·√m, $\sigma_0 = 218 - 0.74\times200 = 70$ MPa. (b) $\sigma_\mathrm y = 70 + 0.74\times1000 = 810$ MPa.

(a) σ₀ = 70 MPa, k_y = 0.74 MPa·√m (b) 약 810 MPa

검토 열기계 가공(제어 압연)으로 만든 1 µm급 초미세립강은 실제로 700–900 MPa에 이른다. 그러나 수십 nm보다 작아지면 결정립 안에 전위가 쌓일 자리가 없고 결정립계 미끄럼이 시작되어 직선에서 벗어나며, 10–20 nm 아래에서는 오히려 약해진다(역 홀–페치).

가는 배선일수록 단단하다

다마신 구리 배선의 결정립 크기는 선폭과 두께에 묶여 수십–수백 nm이고, 텅스텐 플러그·배선은 CVD로 쌓여 더 작다. 홀–페치에 박막 효과(두께 $h$가 작을수록 전위가 휘어 지나가야 해 강도 $\propto1/h$)가 더해져, 같은 구리라도 배선 속에서는 항복 강도가 수백 MPa로 괴상의 몇 배다. 그래서 어닐·열 사이클에서 생기는 열응력(5장)을 소성 변형으로 풀지 못하고 높은 인장 응력이 남아, 비아 아래 보이드(응력 이동)와 일렉트로마이그레이션 수명(17장)에 영향을 준다. 반대로 결정립계는 전자를 흩뜨려 저항률을 올리므로(11·15장), 배선 공정은 강도·저항·신뢰성 사이에서 결정립 크기를 고른다. → ProcessBook · 금속 배선

고용 강화

크기가 다른 용질 원자는 주위 격자를 늘이거나 눌러 응력장을 만든다. 칼날 전위의 위쪽(압축)에는 작은 원자가, 아래쪽(인장)에는 큰 원자가 앉으면 에너지가 낮아지므로, 전위는 용질 원자에 붙잡히거나 응력장의 굴곡을 넘어가야 한다. 이것이 고용 강화(solid-solution strengthening)다. 크기 차이($\delta = \Delta a/a$)와 탄성률 차이가 클수록, 농도 $c$가 높을수록 강하다.

$$\Delta\sigma_\text{ss} \approx A\,c^{2/3}\ (\text{라부슈})\quad\text{또는}\quad A'\,c^{1/2}\ (\text{플라이셔})$$

$c$는 원자 분율. 묽은 용액에서는 전위가 띄엄띄엄 놓인 장애물을 하나씩 넘는 플라이셔형($c^{1/2}$), 진한 용액에서는 많은 원자가 함께 끄는 라부슈형($c^{2/3}$)이 잘 맞는다. 틈새형 용질(강 속 C·N)은 정방 변형장을 만들어 칼날·나사 전위 모두와 강하게 상호작용하므로 치환형보다 수십 배 효과적이다. 탄소 원자가 전위 주위에 모인 코트렐 분위기는 저탄소강의 뚜렷한 항복점과 뤼더스 띠를 낳는다.

용질

MINI LAB고용체 격자와 용질 원자 주위의 변형(색: 늘어난 결합은 남색, 눌린 결합은 황동색). 농도를 올리면 응력장의 굴곡이 촘촘해져 전위가 더 자주 붙잡힌다. 그래프는 Cu–Ni 고용체를 흉내 낸 라부슈형 모형($A = 200$ MPa)과 플라이셔형 비교 곡선이다.

석출 강화: 자르기 대 돌아가기

과포화 고용체를 시효(9장)하면 기지 속에 작은 석출물(precipitate)이 생긴다. 미끄럼면을 지나던 전위는 석출물을 만나면 두 가지 중 쉬운 쪽을 고른다. 석출물이 작고 기지와 정합이면 전위가 석출물을 자르고 지나간다. 자를 때마다 새 계면(역위상 경계·표면 계단)이 생기므로 저항은 석출물이 클수록 커진다($\Delta\tau\propto\sqrt{fr}$). 석출물이 크거나 단단하면 자르는 대신 석출물 사이로 휘어 나가 반대편에서 다시 만나고, 석출물 둘레에 고리를 남기고 지나간다. 이것이 오로완 우회(Orowan bypass)이며, 필요한 응력은 프랭크–리드 원처럼 석출물 사이 간격 $\lambda$에 반비례한다.

곧은 전위선이 석출물 줄을 향해 온다.
석출물에 걸린 점은 멈추고, 사이 부분은 선 장력과 응력이 균형을 이루는 원호로 휜다.
원호가 반원이 될 때 필요한 응력이 최대($Gb/\lambda$)다. 이보다 큰 응력이면 더 휘어 나간다.
석출물 뒤에서 만난 두 가지가 서로 지워져 이어지고, 각 석출물 둘레에 고리가 하나씩 남는다. 고리가 쌓이면 실제 간격이 줄어 다음 전위는 더 어렵다.

오로완 우회. 단단해서 자를 수 없는 석출물·분산 입자(산화물 분산 강화, ODS)는 이 기구로만 지나간다.

$$\Delta\tau_\text{Orowan} \approx \frac{Gb}{\lambda},\qquad \lambda = r_s\sqrt{\pi/f} - 2r_s,\quad r_s = \sqrt{2/3}\,r$$

$f$는 석출물 부피 분율, $r$은 반지름, $r_s$는 미끄럼면이 자르는 평균 단면 반지름, $\lambda$는 미끄럼면 위 석출물 표면 사이 간격. 같은 $f$에서 석출물이 클수록 수가 적어 간격이 넓고 강화가 약하다. 정확한 식에는 $\tfrac{0.8}{2\pi}\ln(\lambda/b)$ 정도의 인자가 더 붙어 값이 이보다 작다. 다결정의 항복 강도 증가는 $\Delta\sigma\approx M\Delta\tau$.

부피 분율 2 %인 석출물을 시효로 천천히 키운다(분율은 그대로, 반지름만 커진다). 강도는 어떻게 변할까?

작은 석출물은 잘리며 $\sqrt{fr}$로 강해지고, 큰 석출물은 오로완 우회로 $1/\lambda\propto1/r$로 약해진다. 전위는 늘 쉬운 쪽을 고르므로 강도는 두 곡선의 아래쪽을 따라가고, 두 곡선이 만나는 반지름에서 최대(최고 시효, peak aging)가 된다. 그보다 오래 시효하면 과시효(overaging)로 약해진다.

SIMULATOR

석출물 사이를 지나는 전위선과 최고 시효 반지름

부피 분율 f

반지름 r · 간격 λ—

필요한 Δτ (기구)—

걸어 준 τ—

다결정 Δσ ≈ MΔτ—

전위선—

Al–Cu 합금을 흉내 낸 모형($G = 26$ GPa, $b = 0.286$ nm, 자름 $\Delta\tau = A\sqrt{fr}$, $A = 600$ MPa/√nm, 우회는 단순 오로완 식). 왼쪽은 미끄럼면을 위에서 본 그림이다. 선 장력 모형의 전위선이 걸어 준 응력으로 위로 밀려가며 작은 석출물은 잘라 어긋나게 하고(반쪽이 밀린 원), 큰 석출물은 고리(남색 원)를 남기고 돌아간다. 해볼 것: ① 응력을 필요한 Δτ보다 조금 낮게 두면 선이 휘어 멈춘다. ② 반지름을 최고 시효점 양쪽으로 옮겨 기구가 바뀌는 것을 본다. ③ $f$를 늘리면 최고점이 어떻게 이동하는가?

반지름 10 nm인 θ′ 석출물이 부피 분율 2.0 %로 퍼진 Al–Cu 합금($G = 26$ GPa, $b = 0.286$ nm)에서 (a) 미끄럼면 위 석출물 사이 간격 $\lambda$, (b) 오로완 응력, (c) 다결정 항복 강도 증가($M = 3.06$)를 구하라. 자름 모형 $\Delta\tau = 600\sqrt{fr}$ MPa($r$ nm)과 비교해 어느 기구가 일어나는가?

풀이 보기

전략 $r_s = \sqrt{2/3}\,r$, $L = r_s\sqrt{\pi/f}$, $\lambda = L - 2r_s$. 두 기구 가운데 작은 응력이 실제로 일어난다.

풀이 (a) $r_s = 8.16$ nm, $L = 8.16\times\sqrt{\pi/0.020} = 102.3$ nm, $\lambda = 102.3 - 16.3 = 86.0$ nm. (b) $\Delta\tau = 26\times10^3\times0.286/86.0 = 86.5$ MPa. (c) $\Delta\sigma = 3.06\times86.5 = 265$ MPa. 자름: $600\sqrt{0.020\times10} = 268$ MPa로 우회보다 세 배 크다.

(a) 86 nm (b) 약 87 MPa (c) 약 265 MPa — 오로완 우회가 일어난다

검토 10 nm 석출물은 이미 최고 시효점(이 모형으로 약 4–5 nm)을 지났다. 실제 2024·2219 합금의 석출 강화량은 수백 MPa로 크기가 맞는다. 정확한 오로완 식의 로그 인자를 넣으면 값이 30–40 % 줄어든다.

경도와 나노압입

인장 시험은 정확하지만 시편을 깎아 만들어야 하고 부품을 망가뜨린다. 단단한 압입자를 표면에 눌러 남은 자국의 크기나 깊이로 국부 소성 저항을 재는 것이 경도(hardness) 시험이다. 빠르고 거의 비파괴이며, 작은 부품·용접부·박막도 잴 수 있다. 압입자 밑의 재료는 사방이 탄성 영역에 둘러싸여 있어 단축 인장보다 큰 평균 압력에서야 소성 유동하므로, 경도(평균 접촉 압력)는 항복 강도의 약 3배다(테이버 관계 $H\approx3\sigma_\mathrm y$).

대표적인 경도 시험. 브리넬·비커스·누프는 자국의 지름이나 대각선을 현미경으로 재고(하중 ÷ 자국 넓이, kgf/mm²), 로크웰은 예비 하중과 본 하중 사이의 압입 깊이 차이를 눈금으로 읽는다. 나노압입은 깊이를 직접 재며 자국을 볼 필요가 없다.

$$\mathrm{HV} = \frac{2F\sin(136°/2)}{d^2} = 1.8544\,\frac{F}{d^2},\qquad H[\text{GPa}] = 0.009807\,\mathrm{HV},\qquad \mathrm{TS}[\text{MPa}]\approx3.45\,\mathrm{HB}$$

비커스 경도(Vickers hardness)의 $F$는 kgf, $d$는 두 대각선의 평균(mm). 자국 넓이(옆면 넓이)로 나눈 값이라 하중에 거의 무관하다. 브리넬 경도(Brinell hardness) HB는 구 자국의 표면적으로 나눈 값으로, 강·주철에서 인장 강도와 $\mathrm{TS}\approx3.45\,\mathrm{HB}$(HB 단위 kgf/mm²)로 이어진다(캘리스터). 둘 다 가공 경화가 다 끝난 재료일수록 $H\approx3\sigma_\mathrm y$에 가깝다.

두 측정선(흰 원)을 자국의 꼭짓점에 맞춘다

시편

하중

MINI LAB현미경으로 본 비커스 자국. 측정선 사이 거리가 대각선 $d$다. 꼭짓점에 정확히 맞추면 ✓가 뜬다. 대각선 1 %의 측정 오차가 경도에서는 2 %가 된다($\mathrm{HV}\propto d^{-2}$). 하중을 바꿔도 HV는 그대로이고 자국 크기만 $\sqrt F$로 변하는 것을 확인하라.

비커스 경도 HV 200은 평균 접촉 압력 이다. 테이버 관계로 보면 항복 강도는 약 , 강이라면 인장 강도는 약 (HB ≈ 0.95 HV로 보고 TS ≈ 3.45 HB). 10 kgf로 누르면 대각선이 인 자국이 남는다.

나노압입과 올리버–파르 방법

박막이나 미세 영역은 자국이 수백 nm라 광학 현미경으로 잴 수 없다. 나노압입(nanoindentation)은 날카로운 베르코비치 압입자를 누르면서 하중 $P$와 깊이 $h$를 nm·µN 정밀도로 계속 기록한다. 누를 때 곡선은 탄성과 소성이 섞여 올라가고, 뺄 때는 탄성 부분만 되돌아온다. 그래서 제하 곡선 꼭대기의 기울기 $S = dP/dh$(접촉 강성)가 탄성률을, 최대 하중을 접촉 넓이로 나눈 값이 경도를 준다. 접촉 넓이는 자국을 보지 않고 깊이로 계산하는데, 이것이 올리버–파르 방법(Oliver–Pharr method)이다.

$$h_c = h_\text{max} - \epsilon\frac{P_\text{max}}{S},\quad A = 24.5\,h_c^2,\quad H = \frac{P_\text{max}}{A},\quad E_r = \frac{\sqrt\pi}{2\beta}\frac{S}{\sqrt A},\quad \frac{1}{E_r} = \frac{1-\nu^2}{E} + \frac{1-\nu_i^2}{E_i}$$

$h_c$는 압입자가 실제로 재료와 닿은 깊이(가장자리가 탄성으로 가라앉은 만큼 $h_\text{max}$보다 얕다), $\epsilon = 0.75$, $\beta = 1.034$(베르코비치). 축소 탄성률(reduced modulus) $E_r$에는 다이아몬드 압입자의 변형($E_i = 1141$ GPa, $\nu_i = 0.07$)이 섞여 있어 시료의 $E$를 따로 꺼낸다. 압입 깊이를 막 두께의 10 % 안으로 두어야 기판 효과를 피한다(뷔클 규칙).

SIMULATOR

나노압입기: 누르고 빼서 경도와 탄성률 읽기

시료

미지 시료의 정체는?

P · h—

S · h_c—

경도 H—

E_r · E—

미지 시료 판정—

하중–변위 곡선은 베르코비치 압입의 대표 모형(누를 때 $P\propto h^2$, 뺄 때 $P\propto(h-h_f)^{1.5}$)이다. 끝까지 누른 뒤 절반 이상 빼면 제하 곡선 꼭대기의 접선(점선)으로 올리버–파르 해석을 한다. 왼쪽 그림의 깊이는 과장했다. 과제: "미지 시료"를 골라 눌러 보고 H와 E로 정체를 맞혀라. 해볼 것: ① 실리카와 실리콘은 경도가 비슷하지만 제하 기울기가 다르다. ② 구리 막은 거의 다 소성이라 $h_f/h_\text{max}$가 1에 가깝고, 실리카는 절반 넘게 탄성으로 되돌아온다. ③ 빼다가 다시 누르면 제하 곡선을 따라 올라간다(탄성).

나노압입기의 면적 함수를 점검하려고 용융 실리카($\nu = 0.17$)를 눌렀다. $P_\text{max} = 10.0$ mN, $h_\text{max} = 301$ nm, 제하 곡선 꼭대기의 기울기 $S = 0.0856$ mN/nm였다. 경도와 시료의 탄성률을 구하라.

풀이 보기

전략 올리버–파르 순서: $h_c$ → $A$ → $H$, $E_r$ → $E$. 단위: mN/nm² = 10⁶ GPa이므로 mN/nm²에 10⁶을 곱하면 GPa다.

풀이 $h_c = 301 - 0.75\times10.0/0.0856 = 301 - 87.6 = 213.4$ nm. $A = 24.5\times213.4^2 = 1.116\times10^6$ nm². $H = 10.0/1.116\times10^6 = 8.96\times10^{-6}$ mN/nm² = 8.96 GPa. $E_r = \frac{\sqrt\pi}{2\times1.034}\frac{0.0856}{\sqrt{1.116\times10^6}}\times10^6 = 69.5$ GPa. $1/E = [1/69.5 - (1-0.07^2)/1141]/(1-0.17^2)$ → $E = 71.8$ GPa.

H ≈ 9.0 GPa, E ≈ 72 GPa

검토 용융 실리카의 표준값($E = 72$ GPa, $H\approx9$ GPa)과 맞으므로 면적 함수가 정상이다. 실리카는 쌓임(pile-up)이 거의 없고 균질해 교정 표준으로 쓴다. 연한 금속막은 자국 둘레가 솟아올라 접촉 넓이를 과소평가하므로 $H$, $E$가 크게 나온다.

본딩선의 경도가 패드를 깬다

와이어 본딩에서는 방전으로 녹인 선 끝의 공(FAB)을 알루미늄 패드에 눌러 붙인다. 금선은 무르고(HV 약 50–60) 가공 경화가 작지만, 값이 싼 구리선은 FAB이 더 단단하고(HV 80–100 이상) 눌릴 때 더 가공 경화되어, 같은 접합을 얻으려면 큰 하중과 초음파가 필요하다. 그 힘이 패드 아래의 약한 저유전막을 깨뜨리는 것이 크레이터링이다. 그래서 구리선은 고순도·대결정립으로 어닐해 무르게 만들고(이 장 6절), 패드 금속을 두껍게 하거나 나노압입으로 패드·FAB의 경도를 관리한다. → PackagingBook · 와이어 본딩

회복·재결정·결정립 성장

냉간 가공한 금속은 강하지만 더 성형할 수 없고 전기 저항도 높다. 가공으로 쌓은 전위의 에너지(저장 에너지(stored energy), 수–수십 J/mol)는 열역학적으로 불안정해서, 원자가 움직일 만큼 데우면 재료는 세 단계를 거쳐 낮은 에너지 상태로 돌아간다. 이것을 이용해 강도와 연성을 원하는 만큼 되돌리는 열처리가 어닐링이다.

냉간 가공 조직: 결정립이 가공 방향으로 길게 늘어났고 그 안에 전위가 엉켜 있다(빨간 선). 강도가 높고 연성이 낮다.
회복(recovery): 낮은 온도에서 전위가 미끄럼·상승으로 서로 지우고 낮은 에너지의 벽으로 정렬한다(다각형화(polygonization)). 잔류 응력과 전기 저항은 회복되지만 강도는 조금만 준다.
재결정(recrystallization): 전위가 거의 없는 새 결정립이 핵생성해 저장 에너지를 먹으며 자란다. 좁은 온도 범위에서 강도가 뚝 떨어지고 연성이 돌아온다.
결정립 성장(grain growth): 재결정이 끝나면 결정립계 에너지를 줄이려고 큰 결정립이 작은 것을 먹는다. 강도는 홀–페치만큼 천천히 더 떨어진다.

어닐링의 세 단계. 오른쪽 그래프는 이 절의 모형(50 % 냉간 가공 구리를 각 온도에서 1시간 어닐)으로 계산했다. 재결정이 일어나는 온도 구간을 칠했다.

재결정 속도는 9장의 핵생성–성장 속도론을 따른다. 등온에서 재결정된 부피 분율은 존슨–멜–아브라미(JMAK) 식이다.

$$X(t) = 1 - \exp\!\left[-\left(\frac{t}{\tau}\right)^{n}\right],\qquad \tau = \tau_0\exp\!\left(\frac{Q}{RT}\right)$$

$n$은 아브라미 지수(핵생성 방식과 차원에 따라 1–4; 2차원 격자에서 일정 속도 핵생성이면 3), $\tau$는 $X = 63\%$에 이르는 시간. 1시간 안에 재결정이 반쯤 끝나는 온도를 재결정 온도(recrystallization temperature)라 하며, 대략 녹는점의 0.3–0.5배(K)다. 냉간 가공도가 클수록(저장 에너지가 클수록), 순도가 높을수록, 처음 결정립이 작을수록 낮다. 가공도가 일정 값(임계 변형(critical strain), 2–20 %)보다 작으면 재결정하지 않거나 몇 개의 거대 결정립만 생긴다.

금속	재결정 온도 (°C)	녹는점 (°C)	T_R/T_m (K/K)
납	−4	327	0.45
주석	−4	232	0.53
알루미늄 (99.999 %)	80	660	0.38
구리 (99.999 %)	120	1085	0.29
황동 (60Cu–40Zn)	475	900	0.64
니켈 (99.99 %)	370	1455	0.37
철	450	1538	0.40
텅스텐	1200	3410	0.40

납과 주석은 상온이 이미 재결정 온도 위라 가공해도 곧바로 재결정한다(가공 경화가 남지 않는다). 상온 가공이 "냉간"인지 "열간"인지는 절대 온도가 아니라 재결정 온도와 비교해 정한다. 표의 값은 고순도 금속의 대표값(캘리스터)이다. 상용 순도 구리는 불순물이 결정립계를 붙잡아 200–300 °C에서 재결정하며, 이 절의 시뮬레이터는 그런 구리(50 % 가공, 1시간에서 $T_R\approx250$ °C)를 흉내 낸 모형이다.

같은 구리를 20 %와 70 % 냉간 가공한 뒤 둘 다 260 °C에서 어닐한다. 어느 쪽이 먼저 재결정을 마치고, 재결정 결정립은 어느 쪽이 작을까?

가공도가 크면 저장 에너지가 커서 핵이 훨씬 많이 생기고(핵생성 속도) 계면도 빨리 움직인다(성장 속도). 핵이 많으니 서로 일찍 부딪혀 결정립이 작다. 아래에서 %CW를 바꾸며 $X(t)$ 곡선이 왼쪽으로 가는 것과 조직의 결정립 크기를 비교하라.

SIMULATOR

어닐 실험대: 재결정 핵이 생겨 자라고, 결정립이 커진다

냉간 가공도 %CW 어닐 온도

어닐 시간—

재결정 분율 X—

결정립 크기—

σ_y · %EL—

왼쪽 조직(한 칸 1 µm)에서 회색 줄무늬는 늘어난 가공 결정립, 밝은 색은 재결정 결정립이다. 핵은 남은 가공 영역에 무작위로 일정 속도로 생기고 일정 속도로 자란다(그래서 점선 JMAK 곡선 $n = 3$과 맞는다). 재결정이 끝나면 포츠 모형이 결정립 성장 식 $d^2 - d_0^2 = Kt$를 따라 결정립을 키운다. 강도·연신율은 재결정 분율로 가공 조직과 재결정 조직을 섞은 모형이다. 해볼 것: ① 260 °C에서 %CW를 20 → 70으로 바꾸면 곡선이 몇 배 빨라지는가? ② 50 % 가공이라면 180 °C 아래에서는 하루를 기다려도 거의 재결정하지 않는다. ③ 550 °C에서 오래 두면 결정립이 시야를 채울 만큼 자라고 강도가 더 내려간다.

재결정이 끝난 뒤의 결정립 성장은 결정립계 에너지(약 0.5 J/m²)가 구동력이다. 굽은 결정립계는 곡률 중심 쪽으로 움직이므로 변이 적은(곡률이 볼록한) 작은 결정립이 줄어들어 사라진다. 이상적인 경우 평균 크기는 $d^2 - d_0^2 = Kt$($K = K_0e^{-Q/RT}$)로 자라고, 실제로는 $d^n - d_0^n = Kt$에서 $n = 2$–4다. 결정립계에 걸린 작은 입자는 경계를 붙잡아 성장을 멈추게 하는데, 이것이 제너 고정(Zener pinning)이며 한계 크기는 $d_\text{lim}\approx4r/3f$다.

고정 입자 분율 f

MINI LAB같은 출발 조직에서 왼쪽은 입자 없이, 오른쪽은 고정 입자(검은 점, 반지름 약 0.5칸)를 섞어 결정립을 키운다. 입자가 많을수록 오른쪽 결정립은 일찍 멈추고 아래 그래프의 $d^2$ 곡선이 눕는다. 강의 미세 탄화물(Nb·Ti·V)과 텅스텐 필라멘트의 도핑(K 거품)이 이 원리로 결정립을 잡는다.

구리 배선의 자가 어닐링

전해 도금한 다마신 구리는 처음에 수십 nm의 미세 결정립과 많은 결함·첨가제 불순물을 품고 있다. 그 저장 에너지가 커서 상온에서도 며칠에 걸쳐 결정립이 수 µm까지 자라는데, 이것이 자가 어닐링(self-annealing)이다. 그동안 면저항이 15–20 % 줄고 경도와 CMP 제거율도 바뀌므로, 공정은 도금 직후 100–400 °C의 짧은 어닐로 성장을 일부러 끝내 둔 뒤 CMP에 들어간다. 좁은 트렌치 속 구리는 경계와 첨가제에 붙잡혀(제너 고정과 비슷하게) 잘 자라지 않아, 선폭이 줄수록 결정립계 산란에 의한 저항 증가가 커진다. → CMPBook · 구리 다마신 CMP

냉간 가공한 구리를 250 °C에서 어닐했더니 10분 뒤 재결정 분율이 0.20, 30분 뒤 0.80이었다. (a) 아브라미 지수 $n$과 $\tau$를 구하라. (b) 95 % 재결정에 걸리는 시간은?

풀이 보기

전략 $\ln[-\ln(1-X)] = n\ln t - n\ln\tau$. 두 점의 기울기가 $n$이다.

풀이 (a) $-\ln(0.80) = 0.2231$, $-\ln(0.20) = 1.609$. $n = \ln(1.609/0.2231)/\ln3 = 1.976/1.099 = 1.80$. $\tau = 10/0.2231^{1/1.80} = 23.0$ min. (b) $t = \tau(-\ln0.05)^{1/n} = 23.0\times2.996^{0.556} = 42.4$ min.

(a) n ≈ 1.8, τ ≈ 23 min (b) 약 42분

검토 20 %에서 80 %까지 20분, 80 %에서 95 %까지 12분이 더 걸린다. 끝으로 갈수록 남은 가공 영역이 줄어 느려지는 JMAK의 특징이다. $n\lt3$인 것은 핵이 처음부터 결정립계에 몰려 생기고(자리 포화) 성장 중 에너지가 회복으로 줄기 때문이다.

설계 과제: 목표 강도와 연성을 함께 가진 구리 선

강도와 연성은 보통 반대로 움직인다. 한 번의 냉간 가공으로 강도를 맞추면 연성이 모자라고, 다 어닐하면 강도가 모자란다. 해법은 가공–어닐–가공이다. 먼저 중간 지름까지 인발하고, 완전히 재결정시켜 가공 경화를 지운 뒤, 마지막에 꼭 필요한 만큼만 냉간 가공한다(캘리스터 설계 예제와 같은 구조). 아래 과제에서 지름 6.4 mm 구리 봉을 지름 5.1 mm 선으로 만들되, 항복 강도 250 MPa 이상, 연신율 22 % 이상, 결정립 50 µm 이하(굵으면 표면이 귤껍질처럼 거칠어지는 오렌지 필(orange peel))를 동시에 맞춰라.

SIMULATOR

구리 선 설계: 중간 지름과 어닐 조건 고르기

중간 어닐 온도 중간 어닐 시간

1차 · 2차 가공도—

중간 어닐: X · d—

최종 σ_y—

최종 %EL—

판정—

위의 어닐 실험대와 같은 구리 모형이다. 중간 어닐에서 덜 재결정된 부분은 1차 가공 경화를 그대로 지니고 2차 가공에 들어간다. 어닐 시간은 로그 눈금(10^x s)이다. 해볼 것: ① 중간 지름을 5.1 mm(곧 한 번에 인발하고 마지막에 어닐)로 두고 어닐 조건만 바꿔 보라 — 두 조건을 함께 맞출 수 있는가? ② 중간 어닐을 너무 뜨겁게 하면 결정립이 커져 무엇이 문제가 되는가? ③ 성공한 조건에서 2차 가공도의 허용 범위를 찾아본다.

핵심 정리

인장 시험: 공칭 $\sigma = F/A_0$, $\varepsilon = \Delta L/L_0$. 0.2 % 오프셋 항복 강도, 인장 강도(최대 공칭 응력), %EL, %RA. 네킹 전까지 $\sigma_\mathrm T = \sigma(1+\varepsilon)$, $\varepsilon_\mathrm T = \ln(1+\varepsilon)$. 레질리언스 $\sigma_\mathrm y^2/2E$, 인성은 곡선 아래 전체 넓이. 제하는 기울기 $E$의 직선이고, 다시 당기면 하중을 뺐던 응력에서 항복한다.
홀로몬과 네킹: $\sigma_\mathrm T = K\varepsilon_\mathrm T^n$. 콩시데르 조건 $d\sigma_\mathrm T/d\varepsilon_\mathrm T = \sigma_\mathrm T$에서 $\varepsilon_{\mathrm T,u} = n$, $\mathrm{TS} = Kn^ne^{-n}$. $n$이 클수록 늦게 네킹한다.
슬립: 전위가 결합을 한 줄씩 바꿔 이론 강도 $G/2\pi$보다 10³–10⁴배 낮은 응력에서 미끄러진다. 조밀면·조밀 방향: FCC {111}⟨110⟩ 12개, BCC {110}⟨111⟩ 12개(+36), HCP 바닥면 3개. 슈미트 법칙 $\tau_\mathrm R = \sigma\cos\phi\cos\lambda$, $\sigma_\mathrm y = \tau_\mathrm{CRSS}/m_\text{max}$, $m\le0.5$. 다결정은 $\sigma_\mathrm y\approx M\tau_\mathrm{CRSS}$($M\approx3.06$).
가공 경화: 프랭크–리드 원($\tau\approx Gb/L$)이 전위를 증식해 $\rho$가 $10^{12}$에서 $10^{15}$ m⁻²로 는다. 테일러 식 $\Delta\sigma = M\alpha Gb\sqrt\rho$. %CW $= (A_0-A_d)/A_0$, $\varepsilon_\mathrm T = -\ln(1-\%\mathrm{CW}/100)$. 강도·저항률이 오르고 연성이 준다.
강화 기구: 홀–페치 $\sigma_\mathrm y = \sigma_0 + k_\mathrm yd^{-1/2}$(강도와 인성을 함께 올린다), 고용 $\Delta\sigma\propto c^{1/2}$–$c^{2/3}$(틈새 용질이 강하다), 석출 — 작으면 자름($\propto\sqrt{fr}$), 크면 오로완 우회($Gb/\lambda$). 두 곡선이 만나는 반지름에서 최고 시효, 그 뒤 과시효.
경도: HV $= 1.8544F/d^2$, $H\approx3\sigma_\mathrm y$, 강은 TS ≈ 3.45 HB. 나노압입 올리버–파르: $h_c = h_\text{max} - 0.75P/S$, $A = 24.5h_c^2$, $H = P/A$, $E_r = \sqrt\pi S/2\beta\sqrt A$. 박막은 깊이를 두께의 10 % 안으로.
어닐링: 회복(전위 재배열, 강도 거의 그대로) → 재결정($X = 1-e^{-(t/\tau)^n}$, $T_R\approx0.3$–$0.5T_m$, 가공도가 클수록 빠르고 미세) → 결정립 성장($d^n - d_0^n = Kt$, 제너 고정 $d_\text{lim}\approx4r/3f$). 가공–어닐–가공으로 강도와 연성을 함께 맞춘다.

연습문제

따로 말이 없으면 구리는 $G = 41.0$ GPa, $b = 0.2556$ nm, FCC 다결정의 테일러 인자 $M = 3.06$, $\alpha = 0.3$을 쓴다. 답이 ±1–2 % 이내면 정답이다.

단면이 10.0 mm × 12.7 mm인 알루미늄 막대($E = 69$ GPa)에 인장 하중 35.5 kN을 걸었다. 변형이 탄성일 때 공칭 응력과 공칭 변형을 구하라.

$A_0 = 10.0\times12.7 = 127$ mm² $= 1.27\times10^{-4}$ m². $\sigma = 35500/1.27\times10^{-4} = 2.80\times10^8$ Pa = 280 MPa. $\varepsilon = \sigma/E = 280/69000 = 4.05\times10^{-3}$.

네킹 전의 한 점에서 공칭 응력이 350 MPa, 공칭 변형이 0.15였다. 진응력과 진변형을 구하라.

$\sigma_\mathrm T = 350\times1.15 = 402.5$ MPa, $\varepsilon_\mathrm T = \ln1.15 = 0.140$.

어닐 저탄소강은 $K = 600$ MPa, $n = 0.21$인 홀로몬 식을 따른다. 인장 강도와 네킹이 시작되는 공칭 변형을 구하라.

콩시데르 조건에서 $\varepsilon_\mathrm T = n = 0.21$. 진응력 $600\times0.21^{0.21} = 432.5$ MPa, TS $= 432.5\times e^{-0.21} = 350$ MPa. 공칭 변형 $e^{0.21}-1 = 0.234$.

응력–변형 곡선에서 원점부터 항복점까지 탄성 구간 아래의 넓이가 나타내는 성질은?

탄성 구간 아래 넓이 $\sigma_\mathrm y^2/2E$는 하중을 빼면 돌려받는 에너지, 곧 레질리언스다. 인성은 파단까지 전체 넓이다.

단결정의 한 슬립계가 하중 축과 $\phi = 60°$, $\lambda = 35°$를 이룬다. 이 계의 CRSS가 6.2 MPa일 때 항복에 필요한 인장 응력을 구하라.

$m = \cos60°\cos35° = 0.500\times0.819 = 0.410$. $\sigma_\mathrm y = 6.2/0.410 = 15.1$ MPa.

FCC 단결정을 [111] 방향으로 당길 때와 [001] 방향으로 당길 때 항복 응력의 비를 구하라. ({111}⟨110⟩ 슬립)

[001]: $\cos\phi = 1/\sqrt3$, $\cos\lambda = 1/\sqrt2$. [111]: (111)면은 $\cos\lambda = 0$이므로 다른 면, 예를 들어 (1̄11)[101]을 본다.

[001]: $m = 1/\sqrt6 = 0.408$. [111]과 (1̄11): $\cos\phi = 1/3$, [101]: $\cos\lambda = 2/\sqrt6 = 0.816$ → $m = 0.272$. 비 $= 0.408/0.272 = 1.50$. [111]은 FCC에서 가장 단단한 인장 방향이다.

다결정 마그네슘이 상온에서 구리보다 연성이 훨씬 작은 주된 이유는?

폰 미제스 조건: 다결정의 각 결정립이 이웃과 맞물려 변형하려면 독립 슬립계 5개가 필요하다. 바닥면 슬립은 독립계가 2개뿐이다. 고온이나 기둥면·뿔면 슬립·쌍정이 쉬운 합금에서는 연성이 늘어난다.

마지막 인발에서 25 % 냉간 가공으로 지름 10.0 mm인 선을 만들려 한다. 인발 전 지름은?

$A_d/A_0 = 0.75$이므로 $d_0 = d/\sqrt{0.75} = 10.0/0.866 = 11.5$ mm.

구리의 전위 밀도가 $10^{14}$ m⁻²일 때 테일러 식이 주는 강화량 $M\alpha Gb\sqrt\rho$를 구하라.

$3.06\times0.3\times41.0\times10^3\ \text{MPa}\times2.556\times10^{-10}\ \text{m}\times10^7\ \text{m}^{-1} = 96.3$ MPa.

구리($k_\mathrm y = 0.11$ MPa·√m)의 결정립을 50 µm에서 5.0 µm로 줄이면 항복 강도가 얼마나 오르는가?

$\Delta\sigma = 0.11\,(1/\sqrt{5.0\times10^{-6}} - 1/\sqrt{50\times10^{-6}}) = 0.11\,(447.2 - 141.4) = 33.6$ MPa.

니켈의 항복 강도가 결정립 64 µm에서 40 MPa, 4.0 µm에서 100 MPa였다. $k_\mathrm y$를 구하고 결정립 1.0 µm에서의 항복 강도를 예측하라.

$d^{-1/2}$ = 125, 500 m⁻¹ᐟ². $k = 60/375 = 0.16$ MPa·√m, $\sigma_0 = 40 - 0.16\times125 = 20$ MPa. $\sigma_\mathrm y(1\,\mu\text m) = 20 + 0.16\times1000 = 180$ MPa.

알루미늄 기지($G = 26$ GPa, $b = 0.286$ nm)에 반지름 20 nm의 단단한 입자가 부피 분율 1.0 %로 퍼져 있다. 미끄럼면 위 입자 사이 간격 $\lambda = r_s\sqrt{\pi/f} - 2r_s$($r_s = \sqrt{2/3}\,r$)와 오로완 응력을 구하라.

$r_s = 16.33$ nm, $r_s\sqrt{\pi/0.01} = 16.33\times17.72 = 289.4$ nm, $\lambda = 289.4 - 32.7 = 256.8$ nm. $\Delta\tau = 26000\times0.286/256.8 = 29.0$ MPa(다결정 $\Delta\sigma\approx89$ MPa).

10 kgf 비커스 시험에서 자국 대각선의 평균이 0.300 mm였다. 비커스 경도를 구하라.

$\mathrm{HV} = 1.8544\times10/0.300^2 = 206$(약 2.02 GPa).

구리 막($\nu = 0.34$)을 베르코비치 압입자로 눌렀다. $P_\text{max} = 5.00$ mN, $h_\text{max} = 383$ nm, 제하 기울기 $S = 0.2584$ mN/nm. 경도와 탄성률을 구하라($\epsilon = 0.75$, $\beta = 1.034$, 다이아몬드 $E_i = 1141$ GPa, $\nu_i = 0.07$).

$h_c$를 먼저 구하고 $A = 24.5h_c^2$. mN/nm²에 10⁶을 곱하면 GPa다.

$h_c = 383 - 0.75\times5.00/0.2584 = 383 - 14.5 = 368.5$ nm, $A = 24.5\times368.5^2 = 3.327\times10^6$ nm². $H = 5.00/3.327\times10^6\times10^6 = 1.50$ GPa. $E_r = (\sqrt\pi/2.068)\times0.2584/1824\times10^6 = 121.4$ GPa. $1/E = (1/121.4 - 0.9951/1141)/(1-0.34^2)$ → $E = 120$ GPa. $h_f$이 $h_\text{max}$에 가까운(거의 소성) 금속은 쌓임 때문에 실제로는 이보다 약간 작다.

어떤 온도에서 재결정이 $X = 1-\exp[-(t/\tau)^{2.5}]$, $\tau = 40$ min을 따른다. 95 % 재결정에 걸리는 시간을 구하라.

$(t/\tau)^{2.5} = -\ln0.05 = 2.996$, $t = 40\times2.996^{0.4} = 40\times1.551 = 62.0$ min.

재결정 직후 결정립이 10 µm인 황동을 어떤 온도에서 30분 두었더니 25 µm가 되었다. 같은 온도에서 40 µm가 되려면 처음부터 몇 분 두어야 하는가? ($d^2 - d_0^2 = Kt$)

$K = (625-100)/30 = 17.5$ µm²/min. $t = (1600-100)/17.5 = 85.7$ min. 크기를 1.6배 키우는 데 시간은 2.9배 든다.

개념 확인 퀴즈

인장 시험에서 인장 강도를 지난 뒤 공칭 응력이 떨어지는 이유는?

공칭 응력은 처음 단면적으로 나눈 값이다. 콩시데르 조건 이후에는 가공 경화($d\sigma_\mathrm T$)가 단면 감소($dA/A$)를 따라가지 못해 하중이 줄지만, 목의 진응력은 파단까지 오른다.

순수 금속의 실제 항복 강도가 이론 전단 강도 $G/2\pi$보다 훨씬 작은 까닭은?

전위 핵 근처 한 줄만 바뀌므로 필요한 응력은 격자 저항(파이얼스 응력) 수준이다. 전위가 없는 위스커나 나노 기둥은 실제로 이론 강도 가까이 버틴다.

냉간 가공한 금속이 단단해지는 직접적인 원인은?

테일러 식 $\Delta\sigma\propto\sqrt\rho$. 프랭크–리드 원 같은 증식 기구로 $\rho$가 수백–수천 배 는다. 이 전위를 없애는 열처리가 회복·재결정이다.

석출 경화 합금을 너무 오래 시효하면 강도가 떨어지는 이유는?

같은 부피 분율에서 반지름이 커지면 $\lambda\propto r$이고 우회 응력 $Gb/\lambda$가 준다. 최고 시효는 자름과 우회 곡선이 만나는 반지름이다.

재결정 온도에 대한 설명으로 옳은 것은?

저장 에너지가 재결정의 구동력이므로 가공도가 클수록 핵이 많이 생겨 낮은 온도에서도 빨리 재결정한다. 불순물은 결정립계를 붙잡아 재결정을 늦춘다.