Chapter 18

재료 분석과 특성 평가

고객이 돌려보낸 칩 하나에서 비아 하나의 저항이 열 배로 뛰었다. 원인은 비아 바닥 몇 nm짜리 산화막일 수도, 방벽 금속의 틈일 수도, 구리 속 보이드일 수도 있다. 이것을 가려내는 일이 재료 분석이다. 앞의 열일곱 장이 "미세조직이 성질을 정한다"를 보였다면, 이 장은 그 미세조직을 실제로 보고 재는 방법이다. 결정 구조와 결정립·잔류 응력은 X선 회절로, 형상은 전자 현미경과 AFM으로, 원소는 특성 X선(EDS)으로, 화학 상태는 광전자(XPS)로, ppm 아래의 도펀트 깊이 분포는 이차 이온 질량 분석(SIMS)으로 본다. 회절의 원리와 구조 인자는 고체물리 책(고체물리 · 역격자와 회절)에서, 특성 X선의 기원은 현대물리 책(현대물리 · 원자 스펙트럼)에서 다루었으니, 여기서는 어떤 분석법을 고르고 결과를 어떻게 읽으며 어디서 속는가에 집중한다. 아래 그림은 SiO₂ 밑에 묻힌 텅스텐 선 위로 전자빔을 훑는 모습이다. 위쪽 곡선은 되튀어 나온 후방 산란 전자의 세기다. 낮은 전압에서는 묻힌 선이 보이지 않고, 높은 전압에서는 보인다.

끌어 빔을 옮기고, 누르면 3 kV ↔ 15 kV

분말 회절 패턴에서 상을 찾고, 피크 폭으로 셰러 결정자 크기를 구하며, 윌리엄슨–홀 그림으로 크기와 미세 변형을 분리한다.
sin²ψ 법으로 박막의 잔류 응력을 구하고, 극점도와 피크 세기 비로 집합 조직을, 그레이징 입사로 얇은 막의 신호를 읽는다.
전자–시료 상호작용 부피를 카나야–오카야마 범위로 어림하고, 이차 전자·후방 산란 전자·특성 X선이 어느 깊이에서 나오는지 설명한다.
SEM·TEM의 분해능을 전자 파장·수차·프로브 크기로 계산하고, 지형·조성·회절·Z 대비를 구별하며, FIB 시편 준비 과정을 설명한다.
EDS 스펙트럼에서 모즐리 법칙과 선 겹침을 고려해 원소를 판정하고, XPS 결합 에너지·화학 이동·분석 깊이로 화학 상태와 덮개층 두께를 구한다.
SIMS 깊이 분포의 깊이 분해능·매트릭스 효과·도즈를 해석하고, RBS 운동학 인자와 AFM 거칠기를 계산하며, 불량 사례에 맞는 분석 순서를 고른다.

X선 회절: 상 분석, 결정자 크기, 미세 변형

X선 회절(XRD)은 재료 실험실에서 가장 먼저 켜는 장비다. 브래그 조건 $2d\sin\theta = \lambda$를 만족하는 각도에서만 회절이 일어나므로, 회절 패턴의 피크 위치는 면 간격 $d$, 곧 결정 구조와 격자 상수를 말해 준다. 피크 세기는 구조 인자와 다중도, 그리고 결정립들이 어느 방향으로 놓였는지(집합 조직)를 말한다. 피크 폭은 결정이 얼마나 작고 얼마나 비뚤어졌는지를 말한다. 원리는 고체물리 책에서 보았으니, 여기서는 이 세 가지를 실무에서 읽는 법을 정리한다.

상 분석: 피크 목록을 참조 카드에 맞춘다

시료가 무엇으로 이루어졌는지 알아내는 상 분석(phase identification)은 측정한 피크의 $d$ 값 목록을 ICDD PDF 같은 데이터베이스의 참조 패턴(카드)과 맞추는 일이다. 규칙은 단순하다. ① 강한 피크 세 개의 $d$로 후보를 고르고, ② 후보 카드의 피크가 모두 측정 패턴에 있는지, ③ 남는 피크가 없는지 본다. 혼합물이면 남은 피크로 두 번째 상을 찾는다. 함정도 정해져 있다. 단결정 기판은 θ–2θ 주사에서 표면에 평행한 면 한 무리(예: Si(001) 웨이퍼의 400)만 보이고, 박막은 집합 조직 때문에 세기 비가 카드와 다르며, 1–2 % 이하의 부상(minor phase)은 배경에 묻힌다.

참조 카드 켜기

MINI LABSi(001) 웨이퍼 위 구리 막을 공기 중에서 열처리한 시료의 θ–2θ 패턴(Cu Kα, 모형). 참조 카드(막대)를 켜고 끄며 측정 피크(굵은 선)가 모두 설명되도록 상을 고른다. 쓸데없는 카드를 켜면 감점이다. 막대 높이는 분말(무작위 방향) 세기라 측정 세기와 다를 수 있다.

피크 폭: 셰러 식

무한히 큰 완전 결정이라면 회절 피크는 장비가 허락하는 만큼 날카롭다. 결정이 작으면 브래그 각에서 조금 벗어나도 상쇄될 면이 모자라 피크가 넓어진다. 회절에 함께 기여하는 결맞은 영역의 크기를 결정자 크기(crystallite size)라 한다. 결정자는 결정립 하나일 수도 있고, 결정립 속 아결정립·쌍정으로 나뉜 조각일 수도 있으므로, XRD 크기는 현미경으로 본 결정립 크기보다 작거나 같다.

$$D = \frac{K\lambda}{\beta\cos\theta},\qquad \beta^2 = \beta_\text{측정}^2 - \beta_\text{장비}^2\ (\text{가우스형}),\quad \beta = \beta_\text{측정} - \beta_\text{장비}\ (\text{로렌츠형})$$

$\beta$는 2θ 눈금에서 잰 반치폭(FWHM)을 라디안으로 바꾼 값, $\theta$는 브래그 각(2θ의 절반), $K\approx0.9$는 모양 인자(구형 결정자의 FWHM 기준 0.89–0.94). 장비 폭은 큰 결정의 표준 시료(LaB₆, Si 분말)로 따로 잰다. 셰러 식은 대략 100–200 nm 아래에서만 쓸모 있다 — 그보다 크면 폭이 장비 폭에 묻힌다.

Cu Kα(0.15406 nm)로 2θ = 43.5에서 반치폭 0.40를 쟀고 장비 폭이 0.10이면, 가우스 보정 폭은 , 결정자 크기는 이다. 장비 폭을 빼지 않으면 로 과소평가한다.

스퍼터 구리 막의 Cu(111) 피크가 2θ = 43.32°에 있고 반치폭이 0.40°다. 같은 조건에서 표준 시료의 폭은 0.10°다. 피크 모양을 가우스형으로 보고 $K = 0.9$로 결정자 크기를 구하라. 장비 폭을 그냥 빼면(로렌츠형) 얼마인가?

풀이 보기

전략 장비 폭을 보정한 뒤 라디안으로 바꿔 셰러 식에 넣는다.

풀이 $\beta = \sqrt{0.40^2 - 0.10^2} = 0.3873°= 6.760\times10^{-3}$ rad. $\theta = 21.66°$, $\cos\theta = 0.9294$. $D = 0.9\times0.15406/(6.760\times10^{-3}\times0.9294) = 22.1$ nm. 로렌츠형이면 $\beta = 0.30° = 5.236\times10^{-3}$ rad, $D = 28.5$ nm.

$D\approx22$ nm (가우스 보정), 28 nm (로렌츠 보정)

검토 보정 방식만 바꿔도 30 % 가까이 차이 난다. 셰러 크기는 절대값보다 같은 방식으로 잰 시료끼리의 비교(열처리 전후 등)에 쓰는 것이 안전하다. 실제 피크는 둘의 중간인 의사 보이트(pseudo-Voigt)형이다.

크기냐 변형이냐: 윌리엄슨–홀 그림

피크를 넓히는 원인은 크기만이 아니다. 결정립마다, 또는 결정립 속 전위 주변마다 면 간격이 조금씩 다르면($\Delta d/d$의 분포) 각 영역의 피크가 조금씩 다른 각도에 서고, 합치면 넓어진다. 이 불균일한 변형을 미세 변형(microstrain)이라 한다. 브래그 식을 미분하면 $\Delta(2\theta) = -2\tan\theta\,(\Delta d/d)$이므로 변형에 의한 폭은 $\tan\theta$에 비례하고, 크기에 의한 폭($1/\cos\theta$)보다 고각에서 훨씬 빨리 자란다. 두 폭을 더하고 $\cos\theta$를 곱하면 직선이 된다.

$$\beta\cos\theta = \frac{K\lambda}{D} + 4\varepsilon\sin\theta$$

$\beta\cos\theta$를 $4\sin\theta$에 대해 그린 것이 윌리엄슨–홀 그림(Williamson–Hall plot)이다. 절편이 $K\lambda/D$, 기울기가 미세 변형 $\varepsilon$이다. 두 폭이 더해진다는 가정은 로렌츠형 피크에 맞는다. 기울기가 음수면 탄성 이방성(방향마다 다른 영률)이나 적층 결함을 의심한다.

결정자 크기는 그대로 두고 미세 변형만 키운다(냉간 가공). 패턴의 다섯 피크 가운데 어느 쪽이 가장 많이 넓어질까?

변형 폭은 $4\varepsilon\tan\theta$다. 2θ = 43°에서 $\tan\theta = 0.40$, 95°에서 1.09로 2.7배다. 크기 폭($1/\cos\theta$)의 비는 1.4배뿐이다. 시뮬레이터에서 ε을 올리며 W–H 점들이 기울어지는지 보라. 불균일 변형은 넓힘을, 균일한 변형(잔류 응력)은 위치 이동을 만든다 — 다음 절.

SIMULATOR

피크 폭 읽기와 윌리엄슨–홀 맞춤

두 흰 원을 끌어 직선을 맞춘다

시료

결정자 크기 D 미세 변형 ε 장비 폭

내 직선 → D—

내 직선 → ε—

최소제곱 맞춤—

셰러(111)만—

위는 구리 막의 θ–2θ 패턴(로렌츠형, Cu Kα), 짧은 가로 막대가 각 피크에서 잰 반치폭이다. 아래는 장비 폭을 뺀 $\beta\cos\theta$ 대 $4\sin\theta$ 점과 내가 놓은 직선이다. 해볼 것: ① ε = 0으로 두면 점들이 수평선 위에 선다 — 크기만 있는 시료. ② D를 150 nm로 키우고 ε을 올리면 셰러 식(111 하나만 쓴 값)이 크기를 크게 과소평가한다. ③ "미지 시료"에서 두 흰 원을 끌어 점들에 직선을 맞추고 D와 ε을 읽는다(최소제곱값과 10 % 안이면 ✓).

구리 막의 장비 보정 반치폭(로렌츠형)이 (111) 2θ = 43.32°에서 0.478°, (220) 74.13°에서 0.658°, (311) 89.94°에서 0.793°다. 결정자 크기와 미세 변형을 구하라($K = 0.9$, $\lambda = 0.15406$ nm).

풀이 보기

전략 각 피크에서 $x = 4\sin\theta$, $y = \beta\cos\theta$(라디안)를 계산해 직선을 맞춘다.

풀이 $x$ = 1.4764, 2.4109, 2.8269; $y$ = $7.754\times10^{-3}$, $9.164\times10^{-3}$, $9.792\times10^{-3}$. 최소제곱 기울기 $\varepsilon = 1.51\times10^{-3}$, 절편 $5.526\times10^{-3}$. $D = 0.9\times0.15406/5.526\times10^{-3} = 25.1$ nm.

$D\approx25$ nm, $\varepsilon\approx1.5\times10^{-3}$(0.15 %)

검토 (111) 하나로 셰러 식을 쓰면 $D = 0.9\times0.15406/(8.343\times10^{-3}\times0.9294) = 17.9$ nm로 크기를 30 % 작게 본다. 미세 변형 0.15 %에 영률 110 GPa를 곱하면 약 170 MPa — 결정립마다 응력이 이만큼 흩어져 있다는 뜻이다.

잔류 응력, 집합 조직, 박막 회절

피크 폭이 불균일한 변형을 말한다면, 피크 위치의 이동은 결정 전체에 고르게 걸린 변형, 곧 잔류 응력(residual stress)을 말한다. 박막은 증착·열처리·열팽창 차이 때문에 거의 늘 수백 MPa에서 수 GPa의 응력을 품고 있다(5장의 스토니 식은 웨이퍼 휨으로 막 전체의 평균 응력을 잰다). XRD는 원자면 간격을 변형 게이지로 써서 결정 상별로, 국소적으로 응력을 잰다.

회절 기하에 따라 보는 것이 다르다. θ–2θ는 표면에 평행한 면, ψ를 기울이면 비스듬한 면, 그레이징 입사는 얕은 층을 본다.

sin²ψ 법

막이 면내 등이축 응력 $\sigma$(인장이 양)를 받으면 면내 방향으로 늘고, 푸아송 효과로 두께 방향으로 준다. 표면 법선에서 $\psi$만큼 기운 방향의 변형은 등방 탄성에서

$$\varepsilon_\psi = \frac{d_\psi - d_0}{d_0} = \frac{1+\nu}{E}\,\sigma\sin^2\psi - \frac{2\nu}{E}\,\sigma \quad\Rightarrow\quad \sigma = \frac{E}{(1+\nu)\,d_0}\,\frac{\partial d_\psi}{\partial\sin^2\psi}$$

고각 피크(2θ ≳ 120°) 하나를 여러 ψ에서 재고 $d_\psi$를 $\sin^2\psi$에 대해 그린다. 기울기가 양이면 인장, 음이면 압축이다. 분모의 $d_0$(무응력 면 간격)는 잘 모르지만 $d_{\psi=0}$으로 바꿔도 오차가 0.1 % 수준이라 응력 값이 거의 변하지 않는다 — 이것이 이 방법의 강점이다. $\sin^2\psi^* = 2\nu/(1+\nu)$인 방향에서는 $d_\psi = d_0$이다. 실제로는 방향별 탄성을 반영한 X선 탄성 상수 $\tfrac12 S_2 = (1+\nu)/E$를 쓴다.

SIMULATOR

시편을 기울여 응력 재기

시편 끝의 흰 원을 끌어 ψ를 바꾼다

막

막 응력 σ (참값) 참값 숨기기(미지 시료)

ψ · 2θ—

측정점—

기울기 ∂d/∂sin²ψ—

구한 응력—

왼쪽은 회절 기하(입사·회절 X선은 고정, 시편이 ψ만큼 기운다)와 지금 ψ의 피크(점선은 ψ = 0의 피크), 오른쪽은 측정한 $d_\psi$ 대 $\sin^2\psi$다. 탄성 상수는 이 책 자료표의 등방값(Cu 110 GPa·0.34, W 411 GPa·0.28, Al 69 GPa·0.33). 해볼 것: ① ψ를 0°에서 60°까지 끌며 피크가 어느 쪽으로 가는지 본다 — 인장이면 $d$가 커져 2θ가 작아진다. ② 측정점 4–5개로 응력을 구하고 참값과 비교한다(측정마다 ±0.002° 잡음). ③ W를 골라 −1000 MPa(스퍼터 W의 전형적인 압축)를 재 본다. 영률이 커서 같은 응력이라도 피크 이동이 작다.

열처리한 구리 막의 Cu(331) 피크(Cu Kα1, 0.15406 nm)가 $\psi = 0$에서 2θ = 136.948°, $\sin^2\psi = 0.6$($\psi = 50.8°$)에서 136.420°였다. 두 점으로 막 응력을 구하라. $E = 110$ GPa, $\nu = 0.34$.

풀이 보기

전략 각 2θ를 $d$로 바꾸고 기울기를 구한 뒤 $d_0\approx d_{\psi=0}$으로 놓는다.

풀이 $d = \lambda/(2\sin\theta)$: $d_0' = 0.0828056$ nm, $d_{0.6} = 0.0829572$ nm. 기울기 $= (0.0829572-0.0828056)/0.6 = 2.527\times10^{-4}$ nm. $\sigma = 110{,}000\times2.527\times10^{-4}/(1.34\times0.0828056) = 251$ MPa.

$\sigma\approx+250$ MPa (인장)

검토 2θ가 기울임에 따라 0.53° 줄었다 — 면 간격이 면내 쪽으로 갈수록 커지는 인장이다. 구리 막을 400 °C에서 식히면 열팽창 차이(Cu 17, Si 2.6 ppm/K)로 인장이 걸리고, 항복 강도에서 멈춘다(17장의 응력 이동이 여기서 시작된다).

집합 조직과 극점도

다결정의 결정립들이 아무렇게나 놓이지 않고 특정 방향으로 쏠린 상태를 집합 조직(texture)이라 한다. FCC 금속 박막은 표면 에너지가 가장 낮은 {111}이 표면에 평행하게 자라는 〈111〉 섬유 집합 조직(면 법선만 정렬, 면내 회전은 무작위)이 흔하다. θ–2θ 패턴에서는 (111)이 카드보다 지나치게 세고 (200)은 약해진다. 방향 분포 자체를 보려면 2θ를 한 피크에 고정하고 시편을 기울이고(χ) 돌리며(φ) 세기를 재어 반구 위에 그린다. 이것이 극점도(pole figure)다. 전자 후방 산란 회절(EBSD)은 같은 정보를 결정립 하나하나의 지도로 준다.

〈111〉 정렬 분율 퍼짐

MINI LAB막의 결정립 수백 개에 대한 {111} 극점도(등면적 투영, 가운데가 표면 법선)와 θ–2θ에서 볼 I(111)/I(200) 비. 〈111〉 섬유 집합 조직이면 가운데 점과 70.5° 고리가 생긴다. 분율을 0으로 내리면 극이 고르게 흩어지고 세기 비가 분말값으로 돌아온다.

집합 조직은 공정 지표다

구리 배선의 일렉트로마이그레이션 수명은 〈111〉 섬유 집합 조직이 강하고 결정립이 클수록 길다(17장). 그래서 공정 개발 때 θ–2θ의 I(111)/I(200) 비나 (111) 로킹 곡선 반치폭을 집합 조직 지표로 관리하고, 방벽·씨앗층 조건을 바꾸면 먼저 이 값을 본다. 좁은 배선 속 결정립은 EBSD·TEM 방위 지도(ACOM)로 직접 본다.

얇은 막: 그레이징 입사

대칭 θ–2θ에서 X선은 수 µm–수십 µm 깊이까지 들어가므로, 20 nm짜리 막의 회절은 기판 신호 옆에서 희미하다. 그레이징 입사 회절(grazing-incidence XRD, GIXRD)은 입사각 $\alpha$를 0.3–1°로 낮게 고정해 빛의 경로를 막 속에 눕힌다. 입사각이 전반사 임계각 $\alpha_\mathrm c = \sqrt{2\delta}$(굴절률 $n = 1-\delta-i\beta$, Si에서 Cu Kα로 약 0.22°)보다 작으면 X선은 표면 밑 수 nm까지만 스며든다. 에피층의 조성·변형은 고분해능 XRD의 로킹 곡선과 역공간 지도로 잰다(고체물리 · 고분해능 XRD).

흰 원을 끌어 입사각을 바꾼다

시료

MINI LAB입사각 $\alpha$에 따른 X선 침투 깊이(세기가 $1/e$이 되는 깊이, Cu Kα, 굴절 포함 · 이상 분산 무시)다. 임계각 아래에서는 수 nm, 위에서는 $\sin\alpha/\mu$로 빠르게 깊어진다. 20 nm 막이 전체 회절 신호에서 차지하는 비(입사 경로만 고려한 어림)를 함께 본다.

전자–시료 상호작용과 상호작용 부피

SEM·TEM·EDS·EBSD·전자 탐침 미세 분석이 모두 같은 사건에서 출발한다. 수 keV–수백 keV 전자가 고체에 들어가면 두 가지 일이 일어난다. 원자핵의 전기장에 휘는 탄성 산란은 에너지를 거의 잃지 않고 방향을 바꾸며(원자 번호가 클수록 세다), 전자와의 비탄성 산란은 방향은 조금 바꾸고 에너지를 조금씩 잃게 한다. 수천 번의 산란 끝에 전자가 멈출 때까지 훑고 지나간 영역이 상호작용 부피(interaction volume)다. 가벼운 원소에서는 좁은 목 아래로 넓게 퍼지는 눈물방울, 무거운 원소에서는 얕은 반구 모양이다.

상호작용 부피와 신호의 발생 깊이. 같은 빔에서 나와도 신호마다 정보 깊이와 가로 분해능이 수천 배 다르다. 이차 전자는 표면 몇 nm, 특성 X선은 µm 크기 영역에서 나온다.

부피의 크기는 카나야–오카야마 범위(Kanaya–Okayama range)로 어림한다.

$$R_\text{KO}\,[\mu\text{m}] = \frac{0.0276\,A\,E_0^{1.67}}{Z^{0.889}\,\rho}$$

$E_0$는 가속 전압(keV), $A$는 몰 질량(g/mol), $\rho$는 밀도(g/cm³). 전압을 두 배로 올리면 범위는 $2^{1.67} = 3.2$배. 밀도가 크고 무거운 원소일수록 좁다. 특성 X선이 나오는 영역은 전자 에너지가 흡수단 에너지 $E_\mathrm c$보다 클 때뿐이라 더 작다(앤더슨–하슬러 범위 $R_x = 0.064(E_0^{1.68}-E_\mathrm c^{1.68})/\rho$ µm).

되튀어 나오는 전자의 비율인 후방 산란 계수(backscatter coefficient) $\eta$는 C 0.06, Si 0.16, Cu 0.30, Au 0.49로 원자 번호와 함께 커지고 가속 전압에는 거의 무관하다. 후방 산란 전자(backscattered electron, BSE) 영상이 조성(평균 원자 번호) 대비를 주는 이유다. 반면 수 eV의 이차 전자(secondary electron, SE)는 표면 몇 nm에서만 빠져나오므로 표면 형상에 민감하다. 아래 시뮬레이터는 탄성 산란을 차폐 러더퍼드 단면적으로, 에너지 손실을 베테 식으로 처리하는 단일 산란 몬테카를로(조이 모형)다.

Si에 10 kV로 쏘던 빔을 20 kV로 올린다. 상호작용 부피의 깊이는?

$R\propto E_0^{1.67}$이므로 $2^{1.67} = 3.2$배(1.5 µm → 4.7 µm)다. 전자는 에너지가 클수록 단면적이 작아($\propto1/E^2$) 덜 휘고, 손실률도 작아 멀리 간다. 반면 $\eta$는 거의 변하지 않는다.

SIMULATOR

몬테카를로 상호작용 부피

막 아래 경계의 흰 원을 끌어 두께를 바꾼다

가속 전압 E₀ 기판 표면 막

보기

전자 수—

후방 산란 η—

최대 깊이(95 %) / R_KO—

막에 남긴 에너지 · 기판 도달 전자—

남색 궤적은 시료 속에서 멈춘 전자, 황동색은 표면으로 되튀어 나온 후방 산란 전자다. 점선 반원은 기판(또는 막)의 카나야–오카야마 범위. "X선 발생"은 전자 에너지가 흡수단보다 큰 곳에서 이온화가 일어난 자리를 막의 대표 선(황동색)과 기판의 대표 선(남색)으로 찍는다(점 밀도는 선마다 따로 맞췄다). 해볼 것: ① 막을 "없음"으로 하고 C → Au로 바꾸며 눈물방울이 반구로, η가 0.06 → 0.5로 바뀌는지 본다. ② Si 위 Cu 막 200 nm를 15 kV와 5 kV로 쏘며 막에 남긴 에너지 비율과 기판까지 간 전자의 비율을 비교한다 — 얇은 막의 EDS는 전압을 낮춰야 기판 신호에 덜 속는다. ③ 모형 MC의 최대 깊이는 카나야–오카야마 범위보다 10–40 % 작게 나온다(무거운 원소일수록 차이가 크다). R_KO는 "넉넉한 상한"으로 쓴다.

(a) Si의 카나야–오카야마 범위를 5 kV와 20 kV에서 구하라. (b) Si 위 200 nm 알루미늄 막을 EDS로 분석하면서 전자가 막을 뚫지 않게 하려면 가속 전압을 몇 kV 아래로 해야 하는가? 그 전압에서 Al Kα($E_\mathrm c = 1.56$ keV)는 나오는가? (Si: $A = 28.09$, $Z = 14$, $\rho = 2.33$; Al: 26.98, 13, 2.70)

풀이 보기

전략 (a)는 식에 대입, (b)는 $R_\text{KO} = 0.2$ µm를 $E_0$에 대해 푼다.

풀이 (a) $Z^{0.889} = 14^{0.889} = 10.44$. 5 kV: $0.0276\times28.09\times5^{1.67}/(10.44\times2.33) = 0.468$ µm. 20 kV: $\times4^{1.67} = \times10.1$ → 4.74 µm. (b) $E_0^{1.67} = 0.2\times13^{0.889}\times2.70/(0.0276\times26.98) = 7.09$, $E_0 = 7.09^{1/1.67} = 3.23$ keV. 과전압비 $U = E_0/E_\mathrm c = 3.23/1.56 = 2.1$이므로 Al Kα는 충분히 나온다.

(a) 0.47 µm, 4.7 µm (b) 약 3.2 kV 이하, Al Kα는 여기된다(U ≈ 2)

검토 과전압비는 2 이상이 바람직하다(이온화 단면적이 $U\approx2$–3에서 커진다). 그래서 무거운 원소의 K선(Cu Kα, $E_\mathrm c = 8.98$ keV)을 얇은 막에서 재려면 L선(Cu Lα 0.93 keV)으로 바꿔 저전압을 쓴다.

SEM·TEM: 분해능과 대비

광학 현미경의 분해능은 빛의 파장이 막는다. 레일리 기준 $d = 0.61\lambda/\mathrm{NA}$로 550 nm 빛과 개구수 0.95 대물렌즈면 약 350 nm다. 전자의 드브로이 파장(현대물리 · 물질파)은 수 pm이라 파장으로는 원자보다 백 배 작은 것도 볼 수 있지만, 실제 분해능은 전자 렌즈의 수차가 정한다. 전자 렌즈는 볼록 렌즈만 만들 수 있어 구면 수차를 상쇄할 수 없기 때문이다(수차 보정기는 다극자 렌즈로 이것을 우회한다).

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_eeV\left(1+\dfrac{eV}{2m_ec^2}\right)}},\qquad d_\text{Scherzer} = 0.66\,C_\mathrm s^{1/4}\lambda^{3/4}$$

왼쪽은 상대론 보정을 넣은 전자 파장(200 kV에서 2.51 pm, 보정 없이 계산하면 2.74 pm). 오른쪽은 위상 대비 HRTEM의 점 분해능을 정하는 셰르처 분해능(Scherzer resolution)이다. $C_\mathrm s$는 대물렌즈의 구면 수차(spherical aberration) 계수(보정 없는 TEM 0.5–1.2 mm). 에너지가 다른 전자가 다른 곳에 초점을 맺는 색수차(chromatic aberration) $C_\mathrm c$는 시료가 두꺼울수록(에너지 손실이 클수록) 상을 흐린다.

가속 전압 200에서 전자 파장은 이고, 구면 수차 $C_\mathrm s$ = 1.20인 대물렌즈의 셰르처 분해능은 이다.

SEM은 덩어리 시료 위를 훑으며 튀어나온 전자·X선을 세고, STEM은 얇은 시료를 통과한 전자를 산란각별 고리 검출기로 센다. 고각 산란(HAADF)은 원자 번호에 강하게 의존한다.

SEM의 분해능은 프로브 크기

SEM 상의 한 점은 시료 위 빔 한 점이므로, 분해능은 시료 위에 맺힌 빔 지름(프로브 크기)이 정한다. 반각 $\alpha$로 수렴하는 빔의 지름은 네 가지 흐림의 제곱합으로 어림한다.

$$d_\text{p}^2 = \underbrace{\left(\frac{2}{\pi}\frac{\sqrt{I/B}}{\alpha}\right)^2}_{\text{광원 축소상}} + \underbrace{\left(\frac{1.22\lambda}{\alpha}\right)^2}_{\text{회절}} + \underbrace{\left(\tfrac12C_\mathrm s\alpha^3\right)^2}_{\text{구면 수차}} + \underbrace{\left(C_\mathrm c\alpha\frac{\Delta E}{E_0}\right)^2}_{\text{색수차}}$$

$I$는 프로브 전류, $B$는 광원 휘도(가속 전압에 비례), $\Delta E$는 전자 에너지 퍼짐(W 필라멘트 약 2 eV, 쇼트키 전계 방출 0.7 eV). 회절은 $\alpha$가 작을수록, 구면 수차는 클수록 나쁘므로 최적 $\alpha$가 있다. 저전압에서는 $\Delta E/E_0$가 커져 색수차가 지배한다.

흰 원을 좌우로 끌어 수렴 반각 α를 고른다

가속 전압

전자원

MINI LAB프로브 크기의 네 성분(가는 선)과 합(굵은 선), 모형 렌즈($C_\mathrm s = C_\mathrm c = 2$ mm, 전류 100 pA). 흰 원을 끌어 최소점을 찾으면 ✓. 1 kV로 내리면 색수차가 왜 최적점을 끌어올리는지, W 필라멘트에서는 광원 항이 왜 지배하는지 보라.

대비: 무엇이 밝고 어두운가

SEM 이차 전자: 지형

빔이 기울어진 면을 칠수록 표면 가까이에서 나는 SE가 많아(대략 $1/\cos\theta$) 가장자리·돌기가 밝다(모서리 효과). 검출기를 향한 면이 밝아 입체감이 생긴다. 절연체는 대전돼 밝기가 왜곡된다.

SEM 후방 산란 전자: 조성·결정 방위

$\eta$가 평균 원자 번호와 함께 커지므로 무거운 상이 밝다(솔더 속 Pb-풍부상, Cu–Sn 금속간 화합물 구분). 결정 방위에 따라 빔이 깊이 스며드는 채널링 대비로 결정립이 보인다.

TEM·STEM: 회절·위상·Z

명시야(BF) TEM에서는 브래그 조건에 걸린 결정립·전위 주변이 어둡다(회절 대비). 고분해능 TEM의 격자 무늬는 위상 대비로 초점에 따라 뒤집힌다. STEM HAADF(high-angle annular dark field)는 세기가 $Z^{1.6\text{–}1.9}$에 비례하는 비간섭성 상이라 밝기를 곧바로 무거운 원자로 읽는다.

검출기

Z 지수 n 시료 두께

MINI LABSi 기판 / SiO₂ 계면층 / HfO₂ / TiN 게이트 단면의 원자 기둥 STEM 모형 상과 가로로 평균한 세기 곡선. HAADF는 기둥 세기가 $\sum Z^n$에 비례해 Hf 층이 압도적으로 밝다. BF로 바꾸면 대비가 뒤집히고 두께에 따라 흐려진다. 시료가 두꺼우면 깊이 방향 겹침이 커져 얇은 층의 경계가 넓어진다(모형).

200 kV TEM($C_\mathrm s = 1.2$ mm)의 전자 파장과 셰르처 분해능을 구하라. Si [110] 단면에서 (111) 면($d = 0.3136$ nm)과 (220) 면($d = 0.192$ nm) 격자 무늬를 각각 분해할 수 있는가?

풀이 보기

전략 상대론 파장을 구해 셰르처 식에 넣고($C_\mathrm s$는 nm 단위로), 면 간격과 비교한다.

풀이 $eV/(2m_ec^2) = 200/1022 = 0.1957$. $\lambda = 6.626\times10^{-34}/\sqrt{2\times9.109\times10^{-31}\times1.602\times10^{-19}\times2\times10^5\times1.1957} = 2.508\times10^{-12}$ m. $d = 0.66\times(1.2\times10^6)^{1/4}\times(2.508\times10^{-3})^{3/4} = 0.66\times33.10\times0.01121 = 0.245$ nm.

$\lambda = 2.51$ pm, $d_\text{Scherzer}\approx0.245$ nm — (111)은 분해, (220)은 셰르처 한계 밖

검토 파장(2.5 pm)보다 분해능이 백 배 나쁘다 — 수차가 지배한다는 뜻이다. 구면 수차 보정기를 단 STEM은 프로브를 0.1 nm 아래로 줄여 Si 덤벨(0.136 nm 간격)까지 HAADF로 가른다.

시편 준비: FIB 라멜라

TEM 시료는 전자가 지나갈 만큼 얇아야 한다(보통 100 nm 이하, 원자 분해 STEM은 30 nm 이하). 반도체 불량 분석에서는 특정 비아·트랜지스터 하나를 골라 잘라야 하므로 집속 이온 빔(focused ion beam, FIB)을 쓴다. 30 kV Ga⁺ 이온 빔으로 원하는 자리를 깎아 얇은 판, 곧 라멜라(lamella)를 만든다. SEM 기둥과 FIB 기둥을 함께 단 이중 빔 장비에서는 깎으며 동시에 SEM으로 본다.

관심 부위 위에 Pt나 C 보호막을 덮는다. 이온 빔이 표면을 깎거나 Ga를 심는 것을 막는다.
Ga⁺ 빔으로 관심 부위 양쪽에 계단형 홈을 판다. 가운데에 1–2 µm 두께 벽이 남는다.
벽의 바닥과 한쪽 옆을 끊어 기판에서 거의 떼어낸다.
미세 탐침을 Pt로 용접해 벽을 들어 올리고 TEM 그리드 기둥에 붙인다(리프트아웃).
양면을 번갈아 깎아 100 nm 아래로 얇게 하고, 마지막에 2–5 kV 저전압으로 손상층(수 nm 비정질층·Ga 주입)을 걷어 낸다.

FIB 리프트아웃 라멜라 제작. 한 시편에 2–4시간 걸리며, 관심 부위를 1 µm 안에서 찾아 잘라야 한다. 이온 빔 손상과 재증착은 TEM 상의 인공물이 된다.

TEM 단면은 불량 분석의 결론 사진이다

게이트 산화막의 핀홀, 비아 바닥의 잔류 산화막, 방벽 금속의 끊김, 실리사이드의 응집은 대개 수 nm 크기라 FIB 라멜라를 떠서 STEM HAADF와 EDS·EELS 지도로 확인한다. 다만 100 nm 두께 라멜라 속에는 구조가 깊이 방향으로 겹쳐 보이고(투영 효과), FIB 손상층이 계면처럼 보일 수 있어 판독에 경험이 필요하다. → FailureBook · TEM·STEM

EDS와 XPS: 원소와 화학 상태

전자나 X선이 원자의 내각 전자를 떼어 내면 두 가지 신호가 나온다. 바깥 전자가 빈자리로 떨어지며 내놓는 특성 X선(characteristic X-ray)은 원소마다 에너지가 정해져 있어 원소를 알려 준다. 떨어져 나간 광전자의 에너지는 원자가 놓인 화학 환경까지 알려 준다. 앞의 것을 세는 것이 에너지 분산 X선 분광(energy-dispersive X-ray spectroscopy, EDS), 뒤의 것이 X선 광전자 분광(X-ray photoelectron spectroscopy, XPS)이다.

EDS: 모즐리 법칙과 선 겹침

K껍질 빈자리를 L껍질 전자가 메우면 Kα선이 나온다. 수소 비슷한 원자 모형에서 핵전하가 안쪽 전자 하나에 가려 $Z-1$로 보이므로 모즐리 법칙(Moseley's law)이 나온다.

$$E_{\mathrm K\alpha}\approx \tfrac34\,(13.6\ \text{eV})\,(Z-1)^2 = 10.2\ \text{eV}\times(Z-1)^2$$

Si(Z = 14) 1.72 keV(실측 1.740), Cu(29) 8.00 keV(8.048). 무거운 원소는 K선 에너지가 가속 전압을 넘으므로 L선·M선으로 잰다(W Lα 8.40, W Mα 1.775 keV). 원리는 현대물리 책 원자 스펙트럼 장에서 다루었다.

실리콘 드리프트 검출기(SDD)는 Mn Kα(5.895 keV)에서 반치폭 약 125–130 eV의 분해능을 가지며, 에너지 $E$에서의 폭은 $\mathrm{FWHM}(E)\approx\sqrt{\mathrm{FWHM}_\mathrm{Mn}^2 + 2.5\,(E - 5895\ \text{eV})}$ eV다(Si Kα에서 약 80 eV). 두 선의 간격이 이보다 작으면 겹친다. 반도체 시료에서 악명 높은 겹침이 Si Kα(1.740)–W Mα(1.775)–Ta Mα(1.710), S Kα(2.308)–Mo Lα(2.293), Ti Lα(0.452)–N Kα(0.392)다. 판정 요령은 같은 원소의 다른 선(W Lα 8.40 keV, Mo Kα 17.48 keV, Ti Kα 4.51 keV)을 함께 확인하는 것이다.

SIMULATOR

EDS 스펙트럼 읽기: 피크를 눌러 후보 원소 찾기

스펙트럼을 누르거나 끌어 에너지 커서를 옮긴다

시료 가속 전압 검출기 분해능(Mn Kα) 세로축 로그 정답 원소 표시

커서 에너지—

이 에너지의 FWHM—

±FWHM 안의 후보 선—

모형 스펙트럼(제동 복사 배경 + 가우스 피크 + 계수 잡음). 피크 세기는 과전압비 $U = E_0/E_\mathrm c$에 따라 달라지고 $U\le1$이면 사라진다. 해볼 것: ① "W 플러그 / Si"를 10 kV로 보면 1.75 keV 근처 피크가 하나뿐이다. 커서를 대 보면 후보가 Si·Ta·W 셋이다 — 전압을 15 kV 넘게 올려 W Lα(8.40 keV)가 나타나는지 본다. ② "MoS₂ 막"은 2.3 keV 하나로는 S와 Mo를 가를 수 없다. 25 kV 이상에서 Mo Kα가 보인다. ③ 분해능을 60 eV(파장 분산 WDS에 가까운 상상)로 줄이면 어느 겹침이 풀리는가?

SDD의 분해능이 Mn Kα에서 129 eV다. (a) Si Kα(1.740 keV)에서의 FWHM을 구하라. (b) Si Kα–W Mα, Si Kα–Hf Mα(1.645 keV)의 간격과 비교해 각각 분리할 수 있는지 판단하라. (c) 모즐리 법칙으로 Si Kα를 어림하라.

풀이 보기

전략 분해능의 에너지 의존식을 쓰고, 간격이 FWHM보다 충분히(대략 FWHM 이상) 큰지 본다.

풀이 (a) $\sqrt{129^2 + 2.5\times(1740-5895)} = \sqrt{16641 - 10388} = 79.1$ eV. (b) Si–W: $1775-1740 = 35$ eV < 79 eV → 한 봉우리로 겹친다. Si–Hf: $1740-1645 = 95$ eV > 79 eV → 어깨가 있는 두 봉우리로 갈린다(피팅이 필요하다). (c) $10.2\times13^2 = 1724$ eV, 실측보다 1 % 작다.

(a) 약 79 eV (b) Si/W 분리 불가, Si/Hf 겨우 분리 (c) 1.72 keV

검토 W를 확인하려면 W Lα(8.40 keV)를 찾는다. 그러려면 W L₃ 흡수단(10.2 keV)보다 높은 전압(15 kV 이상)이 필요하고, 그러면 상호작용 부피가 커진다 — 분석 조건은 늘 맞바꿈이다.

EDS 정량은 측정 세기를 표준 시료와 비교한 k-비에 원자 번호(Z)·흡수(A)·형광(F) 보정을 곱해 얻는다(ZAF 보정). 평평하고 균질한 덩어리 시료에서 주성분은 상대 ±2–5 %, 검출 한계는 약 0.1 wt%다. 그러나 ① 상호작용 부피(µm)보다 작은 입자·얇은 막, ② 거친 표면, ③ B·C·N·O 같은 가벼운 원소(흡수가 크고 형광 수율이 작다), ④ 선 겹침이 있으면 숫자를 믿을 수 없다. 나노 구조는 얇은 TEM 라멜라에서 STEM-EDS로 재야 상호작용 부피가 수 nm로 줄어든다.

"EDS에서 F가 나왔다"의 의미

본딩 패드 변색 부위에서 F·O·C가 나오면 패시베이션 식각(CF₄ 계열) 잔류 불소나 세정 잔사를 의심한다. 하지만 10 kV EDS의 정보 깊이는 수백 nm라 표면 몇 nm의 오염 농도는 희석돼 보이고, Al이 Al₂O₃인지 AlF₃인지는 알 수 없다. 그래서 원소 목록을 얻은 다음 XPS(화학 상태, 표면 수 nm)나 TOF-SIMS(분자 조각, 표면 1–2 nm)로 넘어간다. → FailureBook · 원소·화학 분석

XPS: 결합 에너지와 화학 이동

XPS는 단색 Al Kα(1486.6 eV) X선을 쬐어 나온 광전자의 운동 에너지를 잰다. 시료와 분광기가 전기적으로 연결되면 페르미 준위가 같아지므로, 결합 에너지는 분광기의 일함수만 알면 정해진다.

시료 속 내각 전자의 결합 에너지(BE)는 페르미 준위에서 잰다.
에너지 $h\nu$인 X선 광자가 흡수되어 내각 전자를 떼어 낸다(광전 효과).
광전자가 분광기로 날아간다. 시료와 분광기는 접지로 연결돼 페르미 준위가 같고, 분광기 안의 전자는 분광기 일함수 $\varphi_\mathrm{sp}$만큼 더 올라야 한다.
에너지 보존에서 $\mathrm{BE} = h\nu - \mathrm{KE} - \varphi_\mathrm{sp}$. 시료의 일함수는 식에서 사라진다.

XPS 결합 에너지의 기준. 절연체는 광전자가 빠져나간 만큼 양으로 대전돼 모든 봉우리가 높은 BE로 밀리므로, 탄화수소 오염의 C 1s를 284.8 eV에 맞춰 보정한다.

같은 원소라도 이웃 원자가 전자를 끌어가면(산화) 남은 내각 전자가 더 단단히 묶여 결합 에너지가 커진다. 이것이 화학 이동(chemical shift)이다. Si 2p는 원소 Si 99.3 eV에서 SiO₂ 103.3 eV까지 산화수 하나당 약 1 eV씩(계면의 아산화물 Si¹⁺–Si³⁺) 옮겨 가고, 이웃이 산소보다 덜 전기음성적인 질소인 Si₃N₄는 101.8 eV다. Ti 2p₃/₂는 Ti 454.0, TiN 455.0, TiO₂ 458.8 eV, Al 2p는 Al 72.7, Al₂O₃ 74.6 eV다(이 책 자료표 Mat.xpsBE의 대표값).

XPS가 표면 분석인 이유는 광전자가 에너지를 잃지 않고 빠져나올 수 있는 거리가 수 nm뿐이기 때문이다. 이 거리가 비탄성 평균 자유 행로(inelastic mean free path, IMFP) $\lambda$다. 깊이 $z$에서 나온 전자가 이탈각 $\theta$(표면 법선 기준)로 탈출할 확률은 $e^{-z/\lambda\cos\theta}$이므로 신호의 95 %가 깊이 $3\lambda\cos\theta$ 안에서 나온다. 산화막 속 Si 2p 광전자(KE ≈ 1380 eV)는 $\lambda\approx3.4$ nm, 정보 깊이는 약 10 nm다. 검출기를 표면 쪽으로 눕히면($\theta$를 키우면) 더 얕은 층만 본다. 이것이 각도 분해 XPS(angle-resolved XPS, ARXPS)다.

$$\frac{I_\text{ox}}{I_\text{Si}} = R_\infty\left(e^{d/\lambda\cos\theta}-1\right)\quad\Rightarrow\quad d = \lambda\cos\theta\,\ln\!\left(1+\frac{R}{R_\infty}\right)$$

기판 Si 위 두께 $d$인 SiO₂ 덮개층. $R = I_\text{ox}/I_\text{Si}$는 측정한 Si⁴⁺/Si⁰ 봉우리 넓이 비, $R_\infty$(≈ 0.9)는 두꺼운 SiO₂와 깨끗한 Si의 세기 비, $\lambda$는 산화막 속 Si 2p 광전자의 감쇠 길이(≈ 3.4 nm). 여러 $\theta$에서 $\ln(1+R/R_\infty)$를 $1/\cos\theta$에 대해 그리면 원점을 지나는 기울기 $d/\lambda$의 직선이다.

자연 산화막(약 1.5 nm)이 덮인 Si 웨이퍼의 Si 2p 스펙트럼을 표면 법선 방향(θ = 0°)에서 재다가 검출기를 θ = 70°로 눕힌다. 산화물(103 eV) 봉우리와 기판(99 eV) 봉우리의 비는?

눕혀 보면 전자가 막을 비스듬히 지나와야 하므로 유효 탈출 깊이가 $\lambda\cos\theta$로 준다. 기판 신호는 $e^{-d/\lambda\cos\theta}$로 줄고 표면층 신호의 비중이 커진다. 70°에서 $\cos\theta = 0.34$라 정보 깊이가 3분의 1이다.

SIMULATOR

Si 2p 스펙트럼으로 산화막 두께 읽기

검출기(흰 원)를 끌어 이탈각을 바꾼다

SiO₂ 두께 d 두께 숨기기(미지 시료) 대전(+2.0 eV 이동)

이탈각 θ · 정보 깊이 3λcosθ—

넓이 비 R = I_ox/I_Si—

이 각도로 구한 d—

ARXPS 직선 맞춤 d—

왼쪽은 시료와 검출기, 오른쪽 위는 Si 2p 스펙트럼(결합 에너지는 관례대로 오른쪽으로 갈수록 작다), 아래는 기록한 각도별 $\ln(1+R/R_\infty)$ 대 $1/\cos\theta$다. 모형: $\lambda = 3.4$ nm, $R_\infty = 0.9$, 계면 아산화물(Si¹⁺–Si³⁺)은 작게 그렸고 넓이 비에는 Si⁴⁺만 쓴다. 해볼 것: ① 두께 0에서 8 nm까지 올려 기판 봉우리가 언제 거의 사라지는지 본다(약 $3\lambda$). ② "미지 시료"에서 세 각도 이상을 기록해 직선 기울기로 두께를 읽는다. ③ 대전을 켜면 두 봉우리가 함께 밀려 화학 상태를 잘못 읽게 된다 — 비는 그대로다.

Al Kα로 Si 2p를 재니 Si⁴⁺/Si⁰ 넓이 비가 0.62, 이탈각 0이면 $\lambda = 3.4$ nm, $R_\infty = 0.9$에서 산화막 두께는 , 이 각도의 정보 깊이는 이다.

Al Kα(1486.6 eV)로 잰 Si 웨이퍼의 Si 2p 영역에 운동 에너지 1382.8 eV와 1378.9 eV에 봉우리가 있다. 분광기 일함수는 4.5 eV다. (a) 각 봉우리의 결합 에너지와 화학 상태는? (b) 표면 법선 방향에서 잰 넓이 비 $I_\text{ox}/I_\text{Si} = 0.62$이면 산화막 두께는?

풀이 보기

전략 $\mathrm{BE} = h\nu - \mathrm{KE} - \varphi$로 바꾸어 자료표와 비교하고, 덮개층 식을 쓴다.

풀이 (a) $1486.6 - 1382.8 - 4.5 = 99.3$ eV → 원소 Si(기판). $1486.6 - 1378.9 - 4.5 = 103.2$ eV → SiO₂(Si⁴⁺, 화학 이동 3.9 eV). (b) $d = 3.4\times\cos0°\times\ln(1 + 0.62/0.9) = 3.4\times0.524 = 1.78$ nm.

(a) 99.3 eV (Si⁰), 103.2 eV (SiO₂) (b) $d\approx1.8$ nm

검토 실온 공기 중 자연 산화막은 하루–몇 주에 1–2 nm다. 두께가 $\lambda$의 3배(10 nm)를 넘으면 기판 신호가 사라져 이 방법을 쓸 수 없고, 엘립소메트리나 TEM으로 넘어간다. $\lambda$와 $R_\infty$의 불확도(±10 %) 때문에 절대 두께는 ±0.2 nm 수준이다.

깊이와 표면: SIMS·RBS·AFM

트랜지스터의 문턱 전압은 채널 속 도펀트 $10^{17}$–$10^{18}$ cm⁻³(원자 분율 수 ppm)의 깊이 분포가 정하고, 얕은 접합은 수 nm 안에서 농도가 세 자릿수 떨어진다. 이것을 재는 표준이 이차 이온 질량 분석(secondary ion mass spectrometry, SIMS)이다. 수 keV의 O₂⁺(양이온 원소: B, Al, In) 또는 Cs⁺(음이온이 잘 되는 원소: As, P, O, C, H) 1차 이온으로 시료를 한 층씩 깎아 내며, 튀어나온 이온을 질량 분석기로 센다. 검출 한계는 원소에 따라 $10^{14}$–$10^{16}$ cm⁻³(ppb–ppm)로 모든 분석법 가운데 가장 낮다.

세기를 농도로, 시간을 깊이로

이차 이온 수율은 원소와 매트릭스(주변 원자)에 따라 몇 자릿수 달라서, 세기만으로는 농도를 알 수 없다. 그래서 같은 매트릭스에 알려진 도즈를 주입한 표준 시료로 상대 감도 인자(relative sensitivity factor, RSF)를 정한다. 깊이는 분석이 끝난 분화구의 깊이를 촉침 단차계로 재어 스퍼터 속도를 구한다.

$$C\,[\text{cm}^{-3}] = \mathrm{RSF}\,\frac{I_\text{불순물}}{I_\text{매트릭스}},\qquad z = \dot z\,t,\qquad \Phi = \int C\,dz$$

$\dot z$는 스퍼터 속도(분화구 깊이/총 시간), $\Phi$는 도즈(cm⁻²). 깊이를 nm로 쓰면 적분에 $10^{-7}$ cm/nm를 곱한다. RSF는 매트릭스가 바뀌면(Si → SiO₂ → 금속) 함께 바뀌므로, 계면 근처의 농도는 그대로 믿을 수 없다. 이것이 매트릭스 효과(matrix effect)다.

분화구 깊이 250를 500 동안 팠으면 스퍼터 속도는 이다. 시각 120(깊이 )에서 ¹¹B 세기가 3000, ³⁰Si 세기가 1.5×10⁶ cps이고 RSF = 2.0×10²² cm⁻³(예시값)이면 붕소 농도는 이다.

깊이 분해능: 측정 분포는 참 분포를 흐린 것

1차 이온은 표면을 깎으면서 아래 원자를 더 깊이 밀어 넣고(원자 섞임·충돌 밀어 넣기), 분화구 바닥은 거칠어진다. 그래서 무한히 얇은 δ층도 측정하면 앞쪽은 가파르게 오르고(상승 길이 $\lambda_\mathrm u$) 뒤쪽은 지수 꼬리로 천천히 내려가는(하강 길이 $\lambda_\mathrm d$) 비대칭 봉우리가 된다. 측정 분포는 참 분포와 이 깊이 분해 함수의 합성곱이다. 하강 길이는 보통 "한 자릿수 떨어지는 거리(nm/decade)"로 말하며, 1차 이온 에너지를 낮추고 입사각을 키우면 줄어든다(B, O₂⁺ 1 keV에서 약 2 nm/decade). 이 흐림이 깊이 분해능(depth resolution)을 정한다.

Si 속에 붕소 δ층(두께 1 원자층 미만) 하나를 묻고 SIMS로 재면 측정 분포는 어떻게 보일까?

1차 이온이 붕소를 깊은 쪽으로 밀어 넣으므로 꼬리는 깊은 쪽에 생긴다. 봉우리 높이는 낮아지고 폭은 넓어지지만 넓이(도즈)는 보존된다. 시뮬레이터에서 1차 이온 에너지를 바꾸며 꼬리 길이를 보라.

SIMULATOR

SIMS 깊이 분포: 참 분포와 측정 분포

참 분포의 흰 원(봉우리·간격)을 끈다

참 분포

1차 이온 에너지 표면 자연 산화막 1.5 nm (매트릭스 효과) 세로축 선형

봉우리 깊이 참 / 측정—

봉우리 농도 측정/참—

도즈 참 / 측정(배경 제외)—

하강 길이(모형)—

회색 선이 참 분포, 남색이 측정 분포(Mat.simsBlur: 지수 상승·하강 + 가우스 흐림, 검출 한계 배경 $2\times10^{15}$ cm⁻³). 상승·하강 길이와 가우스 폭은 1차 이온 에너지에 따라 늘어나는 모형값이고, 왼쪽 회색 띠는 스퍼터가 정상 상태에 이르기 전의 표면 과도 구간이다. 해볼 것: ① δ층 다섯 개의 간격을 끌어 좁히며, 8 keV에서는 언제 골짜기가 사라지는지 본다(분해되지 않음). ② 주입 봉우리를 표면 가까이 끌고 산화막을 켜면 계면에 가짜 봉우리가 생긴다 — 매트릭스 효과. ③ 어떤 조건에서도 측정 도즈가 참 도즈와 거의 같은지 확인한다(흐림은 넓이를 보존한다).

B를 주입한 Si를 O₂⁺ SIMS로 500 s 분석했고, 분화구 깊이는 250 nm였다. 120 s에서 ¹¹B 세기가 3.0×10³ cps, ³⁰Si 세기가 1.5×10⁶ cps였다. RSF = 2.0×10²² cm⁻³(예시값)이다. (a) 이 점의 깊이와 붕소 농도는? (b) 이 점이 봉우리이고 분포가 반치폭 50 nm의 가우스라면 도즈는?

풀이 보기

전략 속도로 깊이를, RSF로 농도를 구하고, 가우스 넓이 $\Phi = C_\text{p}\sqrt{2\pi}\,\sigma = 1.064\,C_\text{p}\,\mathrm{FWHM}$을 쓴다.

풀이 (a) $\dot z = 250/500 = 0.50$ nm/s, $z = 0.50\times120 = 60$ nm. $C = 2.0\times10^{22}\times3.0\times10^3/1.5\times10^6 = 4.0\times10^{19}$ cm⁻³. (b) $\Phi = 1.064\times4.0\times10^{19}\times50\times10^{-7} = 2.1\times10^{14}$ cm⁻².

(a) 60 nm, $4.0\times10^{19}$ cm⁻³ (b) $\Phi\approx2.1\times10^{14}$ cm⁻²

검토 이온 주입기에 설정한 도즈와 SIMS 적분 도즈를 비교하는 것이 주입 공정 검증의 기본이다. 스퍼터 속도가 일정하다는 가정은 다층 구조(SiO₂/Si, SiGe/Si)에서 깨지므로 층마다 속도를 따로 보정한다.

도펀트 SIMS와 확산 모형 검증

주입 직후와 어닐 후의 SIMS 분포를 겹쳐 보면 붕소의 과도 증속 확산(TED), 비소의 클러스터링, 계면 편석을 직접 읽을 수 있고, TCAD 확산 모형의 계수는 이 측정으로 맞춘다. 단, SIMS는 원자 수를 세므로 전기적으로 활성화된 농도는 따로 재야 한다(확산 저항 분포 SRP, 4점 탐침, 홀 측정). → DopingBook · 계측

RBS: 표준 시료 없는 정량

러더퍼드 후방 산란 분광(Rutherford backscattering spectrometry, RBS)은 2 MeV 안팎의 He⁺ 이온을 쏘아 거의 뒤로(θ ≈ 170°) 튀어나온 이온의 에너지를 잰다. 탄성 충돌의 운동량·에너지 보존만으로 표면 원자에서 튄 이온의 에너지가 정해진다.

$$E_1 = K E_0,\qquad K = \left[\frac{\sqrt{M_2^2 - M_1^2\sin^2\theta} + M_1\cos\theta}{M_1 + M_2}\right]^2$$

$K$는 운동학 인자(kinematic factor), $M_1$은 He(4.003), $M_2$는 표적 원자의 질량. 깊이에서 튄 이온은 들어가고 나오며 에너지를 잃어 더 낮은 에너지에 나타나므로, 스펙트럼의 폭이 막 두께를 말한다. 산란 단면적이 $Z_2^2$에 비례해 이론으로 계산되므로 표준 시료 없이 면밀도(원자/cm²)와 조성비를 수 % 정확도로 준다. 가벼운 기판 위 무거운 원소에 강하고, 무거운 원소끼리는 $K$가 비슷해 가르기 어렵다.

흰 원을 끌어 표적 질량을 바꾼다

산란각 θ

MINI LAB2.0 MeV He의 운동학 인자 $K(M_2)$ 곡선과 반도체에서 흔한 원소의 표면 산란 에너지. 질량 1 차이가 만드는 에너지 차(질량 분해)를 검출기 분해능(약 15 keV)과 비교해 보라. 가벼운 원소 사이는 넓게 벌어지고, Hf·Ta·W는 몇 keV 안에 몰린다.

AFM: 표면 높이와 거칠기

원자힘 현미경(atomic force microscope, AFM)은 끝 반지름 수 nm의 탐침을 단 외팔보로 표면을 훑으며 높이를 잰다. 높이 분해능은 0.1 nm 아래라 CMP 후 표면, 에피 표면, 게이트 산화막 계면 거칠기의 표준 측정이다. 거칠기는 평균선에서의 높이 편차 $z_i$로 정의한다.

$$R_\mathrm a = \frac1N\sum|z_i|,\qquad R_\mathrm q = \sqrt{\frac1N\sum z_i^2},\qquad R_\mathrm z = z_\text{max}-z_\text{min}\ (\text{여기서는 최고–최저})$$

$R_\mathrm q$(RMS)는 가우스 표면이면 $R_\mathrm a$의 약 1.25배다. 측정한 상은 표면과 탐침 모양의 탐침 겹침(tip convolution)이다. 탐침이 좁은 골에 들어가지 못해 골은 좁고 얕게, 돌기는 넓게 보인다. 탐침보다 작은 구조의 폭은 믿을 수 없다.

탐침 끝 반지름 표면 거칠기 R_q

MINI LAB폭 20·40·80 nm, 깊이 30 nm 홈과 무작위 거칠기가 있는 400 nm 구간의 참 표면(회색)과 AFM 측정 높이(남색, Mat.tipDilate). 평평한 구간에서 잰 거칠기와 홈의 겉보기 깊이를 비교한다. 탐침 반지름이 홈 폭의 절반을 넘으면 바닥에 닿지 못한다.

분석법 고르기와 불량 분석

분석법은 세 질문으로 고른다. 무엇을 알고 싶은가(형상·원소·화학 상태·결정 구조·전기적 성질), 어디서(정보 깊이와 가로 분해능 — 표면 1 nm인가 덩어리인가, 10 nm 점인가 mm 면적인가), 얼마나(주성분인가 ppm 불순물인가, 곧 검출 한계). 여기에 시료를 망가뜨려도 되는가(비파괴 → 파괴 순서)와 시간·비용이 붙는다.

분석법	무엇을	정보 깊이	가로 분해능	검출 한계	파괴
광학 현미경	형상·색	표면(투명 막은 통과)	~0.3 µm	—	아니오
SEM (SE/BSE)	형상·조성 대비	1–10 nm / 0.1–1 µm	1–5 nm	—	대개 아니오
SEM-EDS	원소	0.3–3 µm	0.3–3 µm	~0.1 wt%	아니오
TEM/STEM-EDS·EELS	구조·원소·결합	시료 두께 통과	0.1–1 nm	~0.5 at%	예(FIB)
XRD	상·응력·집합 조직	µm–수십 µm (GI: nm)	0.1–10 mm	~1 vol%	아니오
XPS	원소·화학 상태	3–10 nm	10–100 µm	~0.1 at%	아니오(깊이 분석은 예)
AES	원소(일부 화학)	1–5 nm	~10 nm	~0.1 at%	아니오
동적 SIMS	원소·동위원소 깊이 분포	깊이 분해 1–5 nm	10–100 µm	ppb–ppm	예
TOF-SIMS	분자 조각·유기 오염	1–2 nm	~0.1–1 µm	ppm	거의 아니오
RBS	조성·면밀도(표준 없이)	~1 µm (분해 ~10 nm)	~1 mm	0.1–1 at%(무거운 원소)	아니오
AFM	높이·거칠기	표면	~탐침 반지름	—	아니오
XRF·엘립소메트리	막 두께·조성(인라인)	µm / 막 전체	25 µm–mm	~ppm(XRF)	아니오
C-SAM·X선 CT	패키지 속 박리·보이드	mm (패키지 통과)	1–50 µm	—	아니오

반도체 불량 분석(failure analysis, FA)은 이 표를 순서대로 엮는 일이다. 전기 측정으로 불량 모드를 확인하고, 비파괴 방법(X선, C-SAM, 발광·열 현미경)으로 위치를 수 µm 안으로 좁힌 뒤, 디프로세싱·FIB로 그 자리를 열어 SEM·TEM·EDS로 물리적 원인을 본다. 순서가 뒤바뀌면 증거가 사라진다. 검출 한계와 정보 깊이가 맞지 않는 장비를 쓰면 "아무것도 안 나왔다"가 "없다"로 잘못 읽힌다.

불량을 전기적으로 재현하고 모드(단선·단락·누설·저항 증가)를 정한다.
패키지와 칩을 열지 않고 X선·초음파(C-SAM)·발광/열 현미경으로 위치를 좁힌다.
몰딩을 녹이고(디캡) 층을 벗기거나(디프로세싱) FIB로 그 자리만 자른다. 여기서부터 파괴다.
SEM·TEM으로 형상을, EDS·EELS·XPS·SIMS로 성분과 화학 상태를 본다.
관찰한 현상을 공정·설계·재료의 원인과 잇고 재현 실험으로 확인한다.

불량 분석 흐름. 단계가 진행할수록 보는 범위는 좁아지고 분해능은 높아지며 시료는 되돌릴 수 없게 된다.

SIMULATOR

불량 분석 사건 파일: 분석법을 골라 원인 찾기

지도의 분석법을 눌러 쓴다

사건

쓴 시간·비용—

모은 단서—

이 사건 점수—

총점(해결한 사건)—

가로축은 정보 깊이, 세로축은 가로 분해능(둘 다 로그), 동그라미 색은 무엇을 재는지(남색 원소, 황동색 화학 상태, 초록 구조, 회색 형상·위치, 빨강 전기)다. 분석법을 누르면 결과가 기록에 쌓인다. 핵심 단서를 모두 모으면 원인 보기가 열린다. 점수: 100점에서 쓴 비용을 빼고, 파괴 분석을 비파괴 분석보다 먼저 쓰면 −20(증거 훼손), 원인을 틀리면 −30. 해볼 것: ① "패드 변색"을 EDS → XPS 순서로 풀어 본다. ② "비아 저항 증가"에서 XRD를 쓰면 왜 아무것도 안 나오는가(면적과 깊이가 맞지 않는다). ③ 다섯 사건을 모두 70점 이상으로 푼다.

인라인 계측은 분석 장비의 빠른 사촌이다

양산 라인에서는 웨이퍼를 깨지 않고 수 초 만에 재는 계측 장비가 같은 물리를 쓴다. 엘립소메트리와 반사율 분광은 막 두께·광학 상수를, XRF는 금속 막 두께와 조성을, 인라인 XRD·XRR은 결정상과 밀도·두께를, CD-SEM은 패턴 폭을, 광 산란(OCD)은 3D 형상을 잰다. 계측값이 관리 한계를 벗어나면 위의 분석 장비로 원인을 파고든다. → ProcessBook · 계측·결함·수율

핵심 정리

XRD 위치·세기·폭: 피크 위치는 상과 격자 상수(상 분석은 카드와 피크 목록 맞추기), 세기 비는 집합 조직(〈111〉 박막은 I(111)/I(200)이 분말 2.2보다 크다, 극점도), 폭은 크기와 미세 변형. 셰러 $D = K\lambda/\beta\cos\theta$(장비 폭 보정 필수), 윌리엄슨–홀 $\beta\cos\theta = K\lambda/D + 4\varepsilon\sin\theta$.
잔류 응력: sin²ψ 법 $\sigma = \frac{E}{(1+\nu)d_0}\frac{\partial d_\psi}{\partial\sin^2\psi}$. 인장이면 기울기 양. $d_0$ 대신 $d_{\psi=0}$을 써도 된다. 얇은 막의 상 분석은 그레이징 입사(임계각 근처 침투 수 nm).
상호작용 부피: $R_\text{KO} = 0.0276AE_0^{1.67}/(Z^{0.889}\rho)$ µm, 전압 두 배면 3.2배. SE는 표면 수 nm(지형), BSE는 $\eta(Z)$로 조성 대비, 특성 X선은 µm 영역(EDS 공간 분해능). 얇은 막은 전압을 낮추고 L·M선을 쓴다.
현미경 분해능과 대비: $\lambda$(상대론) 200 kV 2.51 pm, 셰르처 $0.66C_\mathrm s^{1/4}\lambda^{3/4}$(≈ 0.24 nm), SEM은 프로브 크기(광원·회절·구면·색수차의 제곱합, 저전압은 색수차). HAADF 세기 $\propto Z^{1.7}$. TEM 시료는 FIB 라멜라(< 100 nm).
EDS·XPS: 모즐리 $E_{\mathrm K\alpha}\approx10.2(Z-1)^2$ eV, SDD 분해능 ~130 eV(Mn Kα)라 Si Kα/W Mα/Ta Mα, S Kα/Mo Lα, Ti Lα/N Kα가 겹친다 — 다른 선으로 확인. XPS $\mathrm{BE} = h\nu - \mathrm{KE} - \varphi$, 화학 이동(Si⁰ 99.3, SiO₂ 103.3 eV), 정보 깊이 $3\lambda\cos\theta$, 덮개층 $d = \lambda\cos\theta\ln(1+R/R_\infty)$.
SIMS·RBS·AFM: SIMS $C = \mathrm{RSF}\cdot I/I_\text{m}$, 깊이는 분화구로, 측정 분포는 참 분포와 비대칭 응답의 합성곱(도즈 보존, 꼬리는 깊은 쪽), 계면은 매트릭스 효과. RBS $E_1 = KE_0$로 표준 없이 정량. AFM $R_\mathrm a$·$R_\mathrm q$·$R_\mathrm z$, 탐침 겹침으로 골은 좁고 얕게 보인다.
분석법 고르기: 무엇을(형상·원소·화학·구조)·어디서(깊이·면적)·얼마나(검출 한계)를 먼저 정하고 비파괴 → 파괴 순서로. 불량 분석은 전기 검증 → 위치 찾기 → 열기 → 물리 분석 → 근본 원인.

연습문제

따로 말이 없으면 Cu Kα1 파장 $\lambda = 0.15406$ nm, 셰러 상수 $K = 0.9$, $h = 6.626\times10^{-34}$ J·s, $m_e = 9.109\times10^{-31}$ kg, $e = 1.602\times10^{-19}$ C, $c = 2.998\times10^8$ m/s다. 피크 폭은 장비 보정이 끝난 2θ 반치폭이며 계산에서는 라디안으로 바꾼다. 답이 ±1–2 % 이내면 정답이다.

구리(FCC, $a = 0.3615$ nm)의 (200) 피크가 나타나는 2θ를 구하라.

$d_{200} = a/\sqrt{4} = 0.18075$ nm. $\sin\theta = 0.15406/(2\times0.18075) = 0.42617$, $\theta = 25.225°$, $2\theta = 50.45°$. FCC의 소멸 규칙(h, k, l이 모두 홀수이거나 모두 짝수)을 만족하므로 실제로 나타난다.

알루미늄 막의 (111) 피크가 2θ = 38.47°에서 반치폭 0.250°, (222) 피크가 82.44°에서 0.420°다(로렌츠형, 장비 보정 끝). 두 점의 윌리엄슨–홀 직선으로 결정자 크기 $D$와 미세 변형 $\varepsilon$을 구하라.

$x = 4\sin\theta$, $y = \beta\cos\theta$(β 라디안)을 두 점에서 계산해 기울기와 절편을 구한다.

(111): $\theta = 19.235°$, $x = 1.3178$, $y = 4.3633\times10^{-3}\times0.94418 = 4.1197\times10^{-3}$. (222): $\theta = 41.22°$, $x = 2.6358$, $y = 7.3304\times10^{-3}\times0.75218 = 5.5138\times10^{-3}$. 기울기 $\varepsilon = (5.5138-4.1197)\times10^{-3}/(2.6358-1.3178) = 1.058\times10^{-3}$. 절편 $= 4.1197\times10^{-3} - 1.058\times10^{-3}\times1.3178 = 2.726\times10^{-3}$. $D = 0.9\times0.15406/2.726\times10^{-3} = 50.9$ nm. 같은 면 무리의 1·2차 반사를 쓰면 방향에 따른 탄성 이방성의 영향이 없어 깔끔하다.

스퍼터 텅스텐 막의 W(321) 피크($d_0 = 0.08460$ nm)로 sin²ψ 측정을 했더니 $d_\psi$ 대 $\sin^2\psi$ 기울기가 $-2.10\times10^{-4}$ nm였다. $E = 411$ GPa, $\nu = 0.28$일 때 막 응력은? (인장을 양으로)

$\sigma = E\cdot\text{기울기}/[(1+\nu)d_0] = 411{,}000\times(-2.10\times10^{-4})/(1.28\times0.08460) = -797$ MPa. 압축 약 0.8 GPa — 낮은 압력에서 스퍼터한 내화 금속 막은 원자 피닝(atomic peening)으로 큰 압축 응력을 갖는다.

구리 막의 θ–2θ 패턴에서 I(111)/I(200) = 15로, 분말 카드의 비(약 2.2)보다 훨씬 크다. 가장 알맞은 해석은?

대칭 θ–2θ는 표면에 평행한 면만 회절시킨다. (111)이 상대적으로 강하다는 것은 {111}이 표면에 평행한 결정립이 무작위보다 많다는 뜻이다. 크기는 폭을, 응력은 위치를, 다른 상은 새 피크를 바꾼다.

구리($A = 63.55$, $Z = 29$, $\rho = 8.96$ g/cm³)에 15 kV 전자빔을 쏠 때 카나야–오카야마 범위를 구하라.

$15^{1.67} = 92.06$, $29^{0.889} = 19.96$. $R = 0.0276\times63.55\times92.06/(19.96\times8.96) = 0.903$ µm.

Si 위의 300 nm 구리 막을 SEM-EDS로 분석하면서 전자가 막을 뚫지 않게 하려면 가속 전압을 최대 몇 kV로 해야 하는가(카나야–오카야마 범위 기준)? 그 전압에서 Cu Kα($E_\mathrm c = 8.98$ keV)를 쓸 수 있는가?

$E_0^{1.67} = R Z^{0.889}\rho/(0.0276A)$.

$E_0^{1.67} = 0.30\times19.95\times8.96/(0.0276\times63.55) = 30.57$, $E_0 = 30.57^{1/1.67} = 7.75$ kV. 이 전압은 Cu K 흡수단(8.98 keV)보다 낮아 Cu Kα가 아예 나오지 않는다. Cu Lα(0.93 keV, $U\approx8$)로 분석해야 한다.

300 kV로 가속한 전자의 파장을 상대론 보정을 넣어 구하라.

$eV/(2m_ec^2) = 300/1021.998 = 0.29354$. $\lambda = h/\sqrt{2m_eeV(1.29354)} = 6.626\times10^{-34}/\sqrt{2\times9.109\times10^{-31}\times1.602\times10^{-19}\times3\times10^5\times1.29354} = 1.969\times10^{-12}$ m. 보정을 빼면 2.24 pm로 14 % 크다.

300 kV TEM의 구면 수차 계수가 $C_\mathrm s = 1.2$ mm일 때 셰르처 분해능을 구하라.

$C_\mathrm s = 1.2\times10^6$ nm, $\lambda = 1.969\times10^{-3}$ nm. $d = 0.66\times(1.2\times10^6)^{0.25}\times(1.969\times10^{-3})^{0.75} = 0.66\times33.10\times9.35\times10^{-3} = 0.204$ nm. 200 kV(0.245 nm)보다 좋지만 Si (220)(0.192 nm)에는 조금 모자란다.

모즐리 법칙 $E\approx10.2\ \text{eV}\,(Z-1)^2$으로 니켈(Z = 28)의 Kα 에너지를 어림하라.

$10.2\times27^2 = 7436$ eV = 7.44 keV. 실측 7.478 keV보다 0.6 % 작다. 이웃한 Co Kα(6.93)·Cu Kα(8.05)와는 0.5 keV 넘게 떨어져 EDS로 쉽게 가른다.

분해능 130 eV(Mn Kα)인 SDD로 한 봉우리만 보고는 가장 구별하기 어려운 짝은?

S Kα와 Mo Lα의 간격은 15 eV로, 그 에너지의 FWHM(약 88 eV)보다 훨씬 작다. 나머지 짝은 250–590 eV 떨어져 있다. MoS₂나 Mo 위 황 오염은 Mo Kα(17.48 keV, 20 kV 넘는 전압 필요)나 WDS로 확인한다.

Mg Kα(1253.6 eV) XPS로 운동 에너지 1145.4 eV의 Si 2p 봉우리를 보았다. 분광기 일함수가 4.5 eV이면 결합 에너지는? (절연체 대전은 없다고 본다)

$\mathrm{BE} = 1253.6 - 1145.4 - 4.5 = 103.7$ eV → SiO₂의 Si⁴⁺. 같은 봉우리를 Al Kα로 재면 운동 에너지는 233 eV 커지지만 결합 에너지는 같다 — 결합 에너지가 X선원에 무관한 물질 고유값인 이유다.

이탈각 θ = 45°(표면 법선 기준)에서 Si 2p의 Si⁴⁺/Si⁰ 넓이 비가 0.85였다. $\lambda = 3.4$ nm, $R_\infty = 0.9$일 때 SiO₂ 두께는?

$d = \lambda\cos\theta\ln(1+R/R_\infty) = 3.4\times0.7071\times\ln(1.9444) = 2.404\times0.6650 = 1.60$ nm.

얇은 산화막의 넓이 비 $I_\text{ox}/I_\text{Si}$가 θ = 0°에서 0.360, θ = 60°에서 0.872였다. $\lambda = 3.4$ nm만 알고 $R_\infty$는 모를 때, 두 측정으로 두께 $d$와 $R_\infty$를 함께 구하라.

$x = d/\lambda$라 하면 $\cos60° = 1/2$이므로 $R_{60}/R_0 = (e^{2x}-1)/(e^x-1) = e^x+1$.

$e^x + 1 = 0.872/0.360 = 2.4222$ → $e^x = 1.4222$, $x = 0.3522$, $d = 3.4\times0.3522 = 1.20$ nm. $R_\infty = R_0/(e^x - 1) = 0.360/0.4222 = 0.853$. 각도를 바꾸면 미지의 세기 비까지 스스로 보정할 수 있다 — ARXPS의 장점이다.

SIMS 분석 840 s 뒤 분화구 깊이가 420 nm였다. 200 s 지점에서 ¹¹B 세기 4.0×10³ cps, ³⁰Si 세기 2.0×10⁶ cps였고 RSF = 1.5×10²² cm⁻³이다. 이 지점의 깊이와 붕소 농도를 구하라.

스퍼터 속도 $420/840 = 0.50$ nm/s, $z = 0.50\times200 = 100$ nm. $C = 1.5\times10^{22}\times4.0\times10^3/2.0\times10^6 = 3.0\times10^{19}$ cm⁻³.

2.000 MeV He($M_1 = 4.003$)를 θ = 170°로 검출하는 RBS에서 표면 Hf(178.49)와 Ta(180.95)에서 튄 He의 에너지 차를 구하라. 검출기 분해능이 15 keV라면 두 원소를 가를 수 있는가?

$K_\text{Hf} = 0.91482$, $K_\text{Ta} = 0.91592$(식에 대입). $\Delta E = 2000\times(0.91592-0.91482) = 2.22$ keV로 검출기 분해능 15 keV보다 훨씬 작아 가를 수 없다. 반면 Si($K = 0.566$, 1131 keV)와 O($K = 0.362$, 725 keV)는 수백 keV 떨어진다. 무거운 원소끼리는 PIXE나 XPS·EDS를 함께 쓴다.

AFM 선 주사에서 같은 간격으로 읽은 높이가 2, −1, 3, −2, 0, −3, 1, 0 nm다. $R_\mathrm a$와 $R_\mathrm q$를 구하라.

평균은 0. $R_\mathrm a = (2+1+3+2+0+3+1+0)/8 = 1.50$ nm. $R_\mathrm q = \sqrt{(4+1+9+4+0+9+1+0)/8} = \sqrt{3.5} = 1.87$ nm. 최고–최저 $R_\mathrm z = 6$ nm. $R_\mathrm q/R_\mathrm a = 1.25$로 가우스 표면의 값과 같다.

개념 확인 퀴즈

냉간 압연한 금속 판의 XRD 피크가 넓어졌다. 윌리엄슨–홀 그림의 점들이 기울기가 큰 직선 위에 서고 절편은 거의 0이다. 넓어진 주된 원인은?

절편 $K\lambda/D$가 0에 가까우면 크기 넓힘은 작고, 기울기 $\varepsilon$가 크면 미세 변형이 지배한다. 균일한 응력은 폭이 아니라 위치를 옮긴다.

Si 위 50 nm 박막의 조성을 SEM-EDS 20 kV로 쟀더니 Si가 90 at%로 나왔다. 가장 그럴듯한 설명은?

20 kV에서 Si의 범위는 약 4.7 µm다. 50 nm 막은 신호 발생 부피의 극히 일부라 기판이 지배한다. 전압을 낮추거나, 얇은 막 정량 보정(박막 모델)을 하거나, 단면 TEM-EDS로 잰다.

STEM HAADF 상에서 HfO₂ 층이 Si 기판보다 훨씬 밝게 보이는 주된 이유는?

HAADF는 러더퍼드형 고각 산란을 모으는 비간섭성 상이라 밝기가 기둥 속 원자들의 $Z^n$ 합에 비례한다. 회절 대비와 달리 초점·방위에 덜 민감해 바로 조성으로 읽는다.

XPS로 SiO₂/Si의 Si 2p를 볼 때 이탈각을 0°에서 70°로 바꾸면(표면 법선 기준) 정보 깊이는 약 몇 배가 되는가?

정보 깊이 $3\lambda\cos\theta$에서 $\cos70° = 0.34$다. 표면 쪽으로 눕혀 볼수록 얕은 층만 본다.

SIMS로 B δ층을 쟀더니 깊은 쪽으로 긴 꼬리가 있는 봉우리가 나왔다. 1차 이온 에너지를 1 keV에서 0.25 keV로 낮추면?

충돌 밀어 넣기와 섞임 깊이가 1차 이온 에너지와 함께 줄어 깊이 분해능이 좋아진다. 대신 스퍼터 속도가 느려 분석 시간이 길어진다. 흐림은 넓이를 보존하므로 도즈는 그대로다.