Chapter 03

원자 모형과 스펙트럼

수소를 넣은 방전관의 빛을 프리즘에 통과시키면 무지개가 아니라 몇 개의 가는 선만 보인다. 수은은 다른 선, 네온은 또 다른 선을 낸다. 선의 위치는 원소의 지문이다. 이 장에서는 α입자로 원자 속을 들여다본 러더퍼드에서 출발해, 선 스펙트럼을 설명한 보어의 양자 조건, 전자 충돌로 준위를 직접 잰 프랑크–헤르츠 실험, 원자 번호를 확정한 모즐리의 X선까지 따라간다. 아래 방전관을 누르면 기체가 바뀐다.

누르면 다른 기체로 바뀐다

러더퍼드 산란에서 충격 매개변수와 산란각의 관계 $b = \tfrac{d}{2}\cot\tfrac\theta2$와 $1/\sin^4(\theta/2)$ 분포를 유도하고, 최근접 거리로 핵 크기의 상한을 추정한다.
뤼드베리 식으로 수소의 라이먼·발머·파셴 계열 파장과 계열 한계를 계산한다.
보어의 각운동량 양자화에서 $r_n = n^2a_0/Z$, $E_n = -13.6\,\text{eV}\,Z^2/n^2$을 얻고, 환산 질량과 수소 꼴 이온에 적용하며 드브로이 정상파로 다시 해석한다.
방출·흡수 스펙트럼과 볼츠만 점유를 구별하고, 플라즈마 발광 분광으로 식각 종말점을 찾는 원리를 설명한다.
프랑크–헤르츠 곡선에서 들뜸 에너지를 읽고, 모즐리 법칙 $E_{K\alpha} \approx 10.2\,\text{eV}\,(Z-1)^2$으로 EDS 스펙트럼의 원소를 판정한다.

톰슨 모형과 러더퍼드 산란

1897년 톰슨이 전자를 발견하자 원자는 "음전하 알갱이를 품은 무언가"가 되었다. 원자 전체는 중성이므로 양전하도 어딘가에 있어야 한다. 톰슨은 반지름 0.1 nm 정도의 고른 양전하 구 안에 전자가 박혀 있다고 생각했다. 이른바 톰슨 모형(Thomson model, plum-pudding model)이다. 이 모형에서는 양전하가 넓게 퍼져 있어 원자 근처의 전기장이 약하다. 그러니 빠른 입자를 쏘면 거의 휘지 않고 지나가야 한다.

두 원자 모형이 예측하는 α입자 궤적. 양전하가 퍼져 있으면 큰 각 산란은 일어나지 않는다. 1909년 가이거와 마스든은 얇은 금속박(백금)에 쏜 α입자 약 8000개 중 1개가 90°보다 크게 튕겨 나오는 것을 보았다.

러더퍼드는 이 결과를 "얇은 종이에 포탄을 쐈더니 튕겨 나와 나를 맞힌 것"에 비유했다. 큰 각도로 휘려면 아주 가까이에서 아주 강한 힘을 받아야 한다. 1911년 그는 원자의 양전하와 질량 거의 전부가 지름 수 fm(1 fm = 10⁻¹⁵ m)인 원자핵(nucleus)에 모여 있다고 결론지었다. 원자 크기의 10만분의 1이다.

양전하가 모인 크기 R을 바꿔 보라

양전하 반지름 R

MINI LAB7.7 MeV α입자가 금(Z = 79)의 양전하를 스치듯(b = R) 지날 때의 최대 산란각. 양전하가 0.1 nm로 퍼져 있으면 0.02°에 불과하고, 금박 1 µm를 지나며 원자 약 4000개와 부딪쳐도 무작위 걸음으로 쌓이는 각은 1–2°다. 90°에 이르려면 R이 수십 fm 이하여야 한다.

충격 매개변수와 산란각

운동 에너지 $K$인 α입자(전하 $2e$)가 전하 $Ze$인 무거운 핵을 향해 날아온다. 핵을 지나는 직선과 입자의 처음 경로 사이 거리를 충격 매개변수(impact parameter) $b$라 한다. 쿨롱 척력은 거리 제곱에 반비례하는 중심력이므로 궤적은 핵을 바깥 초점으로 하는 쌍곡선이고, 각운동량과 에너지 보존에서 다음 관계가 나온다.

$$b = \frac{d}{2}\cot\frac{\theta}{2}, \qquad d = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(2e)(Ze)}{K} = \frac{2Z\times 1.44\ \text{MeV}\cdot\text{fm}}{K}$$

$\theta$: 산란각, $d$: 정면 충돌($b = 0$) 때 입자가 멈추는 최근접 거리(distance of closest approach). $e^2/4\pi\varepsilon_0 = 1.44$ MeV·fm = 1.44 eV·nm은 이 책에서 자주 쓰는 조합이다.

α입자가 핵을 지나는 축에서 거리 b만큼 떨어져 날아온다.
쿨롱 척력이 궤적을 쌍곡선으로 휜다. b = 1.25d이면 θ = 2 arctan(1/2.5) ≈ 44°.
b를 줄이면 핵에 더 가까이 가서 더 크게 휜다. b = 0.3d이면 118° — 뒤로 튕겨 나온다.
b = 0이면 운동 에너지가 모두 퍼텐셜 에너지로 바뀌는 거리 d에서 멈추고 180° 되돌아간다.

충격 매개변수가 산란각을 정한다. 궤적은 실제 쿨롱 힘으로 적분한 것이다($d$ = 40 px).

운동 에너지 7.7인 α입자가 금 핵(Z = 79)을 충격 매개변수 20로 지나가면 산란각은 이다. 정면 충돌 최근접 거리는 , 이 궤적에서 핵에 가장 가까이 가는 거리는 이다.

산란각 분포: 1/sin⁴(θ/2)

금박에 고르게 쏜 α입자는 $b$가 제각각이다. 산란각이 $\theta$보다 큰 입자는 $b < b(\theta)$인 입자, 즉 핵 주위 넓이 $\sigma(\theta) = \pi b^2$ 안으로 들어온 입자다. 이 넓이를 단면적(cross section)이라 한다. $b(\theta)$를 미분해 입체각 $d\Omega = 2\pi\sin\theta\,d\theta$로 나누면 러더퍼드의 미분 단면적(differential cross section)이 나온다.

$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{d}{4}\right)^2\frac{1}{\sin^4(\theta/2)}, \qquad \frac{N(>\theta)}{N_0} = n\,t\,\pi b(\theta)^2 = n\,t\,\pi\frac{d^2}{4}\cot^2\frac\theta2$$

$n$: 박의 원자 수 밀도, $t$: 박 두께. 검출기(일정한 입체각)에 세는 개수는 $1/\sin^4(\theta/2)$에 비례하고 $Z^2$에 비례하며 $1/K^2$에 비례한다. 가이거와 마스든은 이 세 가지를 모두 확인했다.

같은 크기의 검출기를 30°에 둘 때와 150°에 둘 때, 1분 동안 세는 α입자 수의 비(150°/30°)는 대략 얼마일까?

$\sin^4 15^\circ/\sin^4 75^\circ = 0.00515 \approx 1/190$. 아래 시뮬레이터에서 α입자를 여러 번 쏘아 히스토그램(로그 눈금)이 이론 곡선을 따라 두 자릿수 넘게 떨어지는 것을 확인하라.

SIMULATOR

러더퍼드 산란: b를 끌고 빔을 쏘아 분포를 모아라

왼쪽 흰 원을 위아래로 끌어 b를 바꾼다

α 운동 에너지 K

표적 박

최근접 거리 d—

탐침 입자 θ—

핵까지 최소 거리—

쏜 개수 · θ > 90°—

빔은 핵 둘레 반지름 60 fm 원판 안에 고르게 쏜다(그 바깥 입자는 몇 도 이내로만 휜다). 오른쪽 그래프는 단위 입체각당 개수(로그 눈금)이고 실선이 러더퍼드 식이다. 해볼 것: ① b를 d/2로 맞추면 θ = 90°가 됨을 확인하라. ② 표적을 금에서 알루미늄으로 바꾸면 곡선이 $(13/79)^2$배로 내려간다. ③ K를 30 MeV 가까이 올리고 b를 0으로 끌어 보라. 최소 거리가 핵 반지름+α 반지름보다 작아지면 핵력이 끼어들어 러더퍼드 식이 깨진다. 실제로 이 어긋남이 시작되는 에너지에서 핵 반지름을 처음 쟀다.

러더퍼드가 쓴 7.70 MeV α입자를 금(Z = 79) 핵에 쏜다. (a) 정면 충돌 최근접 거리 $d$, (b) 90°로 산란되는 충격 매개변수, (c) $b = 50.0$ fm일 때 산란각을 구하라.

풀이 보기

전략 $d = 2Z(1.44\ \text{MeV}\cdot\text{fm})/K$를 구한 뒤 $b = (d/2)\cot(\theta/2)$를 앞뒤로 쓴다.

풀이 (a) $d = 2(79)(1.440)/7.70 = 29.5$ fm. (b) $\theta = 90^\circ$이면 $\cot 45^\circ = 1$이므로 $b = d/2 = 14.8$ fm. (c) $\tan(\theta/2) = d/(2b) = 29.5/100 = 0.295$ → $\theta = 2\times16.46^\circ = 32.9^\circ$.

(a) 29.5 fm (b) 14.8 fm (c) 32.9°

검토 금 핵 반지름 $R \approx 1.2A^{1/3}$ fm = 7.0 fm보다 d가 4배 크므로 7.7 MeV에서는 α입자가 핵에 닿지 않는다. 그래서 러더퍼드 식이 잘 맞았고, 핵 반지름은 "30 fm보다 작다"는 상한만 얻었다.

두께 1.00 µm 금박(원자 수 밀도 $n = 5.90\times10^{28}\ \text{m}^{-3}$)에 7.70 MeV α입자를 쏠 때 90°보다 크게 산란되는 비율은?

풀이 보기

전략 90° 이상 산란되려면 $b < b_{90} = d/2$이어야 한다. 박 속 핵 하나가 막는 넓이는 $\pi b_{90}^2$이고, 단위 넓이당 핵 수는 $nt$이다.

풀이 $\pi b_{90}^2 = \pi(14.77\times10^{-15}\ \text{m})^2 = 6.86\times10^{-28}\ \text{m}^2$. $nt = (5.90\times10^{28})(1.00\times10^{-6}) = 5.90\times10^{22}\ \text{m}^{-2}$. 비율 $= 5.90\times10^{22}\times6.86\times10^{-28} = 4.05\times10^{-5}$.

약 4.05 × 10⁻⁵ (약 25000개 중 1개)

검토 가이거–마스든의 "8000개 중 1개"와 같은 자릿수다(그들의 박과 선원 조건은 달랐다). 톰슨 모형의 예측은 10⁻³⁰⁰⁰ 수준이라 비교 자체가 안 된다.

선 스펙트럼과 뤼드베리 식

뜨거운 고체(전구 필라멘트)는 1장의 흑체 복사처럼 모든 파장을 내는 연속 스펙트럼(continuous spectrum)을 낸다. 반면 낮은 압력의 기체에 방전을 일으키면 몇 개의 날카로운 파장만 나오는 선 스펙트럼(line spectrum)이 보인다. 원자끼리 거의 상호작용하지 않으므로 원자 하나하나의 성질이 그대로 드러난 것이다.

수소 기체의 가시광 스펙트럼. 회절 격자가 파장별로 빛을 펼치면 네 줄(빨강·청록·파랑·보라)만 남는다. 1885년 발머는 이 네 파장이 한 식으로 맞는다는 것을 찾았다.

스위스의 고등학교 교사 발머는 수소의 네 가시광선 파장이 $\lambda = 364.6\ \text{nm}\times n^2/(n^2-4)$ ($n = 3, 4, 5, 6$)으로 놀랍도록 정확하게 맞는다는 것을 발견했다. 뤼드베리는 이를 파수(파장의 역수)로 일반화했다.

$$\frac{1}{\lambda} = R_\text{H}\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right), \qquad n_2 > n_1, \qquad R_\text{H} = 1.09678\times10^{7}\ \text{m}^{-1}$$

$R_\text{H}$: 수소의 뤼드베리 상수(Rydberg constant). $n_1 = 1$ 라이먼(자외선), $2$ 발머(가시광), $3$ 파셴, $4$ 브래킷, $5$ 푼트(적외선) 계열. 핵이 무한히 무거울 때의 값은 $R_\infty = 1.0973732\times10^7\ \text{m}^{-1}$이다.

수소 원자에서 $n_2 =$ 3인 상태에서 $n_1 =$ 2인 상태로 떨어지면 의 빛이 나온다.

발머 계열에서 $n_2$를 3, 4, 5, …로 계속 키우면 선들은 어떻게 늘어설까?

$n_2 \to \infty$이면 $1/\lambda \to R_\text{H}/4$이므로 $\lambda \to 4/R_\text{H} = 364.7$ nm. 이 계열 한계(series limit)보다 짧은 쪽에는 이온화에 해당하는 연속 스펙트럼이 있다.

계열

최대 n₂

MINI LAB계열마다 첫 선(α)에서 계열 한계(점선)까지 선이 빽빽해진다. 파셴 계열의 한계 820.6 nm가 브래킷 계열의 첫 선(4051 nm)보다 짧다는 것, 발머만 가시광에 들어온다는 것을 확인하라.

$R_\text{H} = 1.09678\times10^7\ \text{m}^{-1}$을 써서 Hα($3\to2$), Hβ($4\to2$)의 진공 파장과 발머 계열 한계를 구하라.

풀이 보기

풀이 Hα: $1/\lambda = R_\text{H}(1/4 - 1/9) = R_\text{H}\cdot5/36$ → $\lambda = 36/(5R_\text{H}) = 656.5$ nm. Hβ: $1/\lambda = R_\text{H}\cdot 3/16$ → $486.3$ nm. 한계: $\lambda = 4/R_\text{H} = 364.7$ nm.

Hα 656.5 nm, Hβ 486.3 nm, 한계 364.7 nm

검토 표에 흔히 나오는 656.3 nm는 공기 중 파장이다(공기 굴절률 1.00028). 분광기 교정에 이 차이(0.18 nm)가 중요할 수 있다.

보어 모형

러더퍼드 원자에는 치명적인 문제가 있었다. 원운동하는 전자는 가속도 운동을 하므로 고전 전자기학에 따라 빛을 내며 에너지를 잃고, 계산하면 약 $10^{-11}$ s 만에 핵으로 나선을 그리며 떨어진다. 또 그 빛은 연속 스펙트럼이어야 한다. 1913년 보어는 고전 물리를 정면으로 거스르는 가정 두 개로 이 문제를 비켜 갔다.

보어의 가정

① 정상 상태: 전자는 각운동량이 $\hbar$의 정수배인 원 궤도에서만 돌 수 있고, 이 궤도에서는 빛을 내지 않는다: $L = m_e v r = n\hbar$ ($n = 1, 2, 3, \dots$).
② 진동수 조건: 전자가 에너지 $E_i$인 상태에서 $E_f$인 상태로 건너뛸 때 에너지 차와 같은 광자 하나를 내거나 흡수한다: $h f = E_i - E_f$.

원 궤도의 힘 균형 $kZe^2/r^2 = m_ev^2/r$. 이것만으로는 궤도가 연속적이다.
$m_evr = n\hbar$를 더하면 허용되는 반지름이 $n^2$에 비례하는 띄엄띄엄한 값이 된다.
운동 에너지와 퍼텐셜 에너지를 더하면 $E_n = -13.6\,\text{eV}\,Z^2/n^2$. 준위 사이를 뛰면 그 차이의 광자가 나온다.

보어 모형의 세 걸음. 두 식에서 $v$를 없애면 반지름이, 반지름을 에너지 식에 넣으면 준위가 나온다.

계산을 따라가 보자. 힘 균형에서 $m_ev^2 = kZe^2/r$이고($k = 1/4\pi\varepsilon_0$), 양자 조건에서 $v = n\hbar/(m_er)$이다. 둘을 연립하면

$$r_n = \frac{n^2}{Z}a_0,\quad a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2} = 0.0529\ \text{nm}, \qquad v_n = \frac{Z}{n}\alpha c,\quad \alpha = \frac{ke^2}{\hbar c} \approx \frac{1}{137}$$

전체 에너지는 $E = \tfrac12m_ev^2 - kZe^2/r = -\tfrac12kZe^2/r$(운동 에너지는 퍼텐셜 에너지 크기의 절반 — 비리얼 정리)이므로

$$E_n = -\frac{m_e(kZe^2)^2}{2\hbar^2}\frac{1}{n^2} = -\frac{13.6\ \text{eV}\cdot Z^2}{n^2}, \qquad \frac1\lambda = \frac{E_{n_2}-E_{n_1}}{hc} = \frac{13.6\ \text{eV}}{hc}Z^2\left(\frac1{n_1^2}-\frac1{n_2^2}\right)$$

$13.6057\ \text{eV}/hc = 1.09737\times10^7\ \text{m}^{-1} = R_\infty$. 보어 모형은 실험값 뤼드베리 상수를 기본 상수($m_e, e, \hbar, \varepsilon_0$)만으로 다섯 자리까지 맞혔다. $n=1$인 바닥 상태(ground state) 에너지의 크기 13.6 eV가 수소의 이온화 에너지(ionization energy)다.

핵 전하 Z = 1인 수소 꼴 원자에서 n = 1인 궤도는 반지름 , 전자 속력 , 에너지 이다.

수소 원자의 에너지 준위(세로축은 실제 에너지 비례). 아래 준위가 같은 전이끼리 한 계열을 이룬다. 바닥 상태로 떨어지는 라이먼 계열은 간격이 커서 모두 자외선이다.

SIMULATOR

보어 원자 준위 사다리: 전자를 끌어 목표 선을 만들어라

원자

궤도에 드브로이 파동 그리기

상태—

r_n · E_n—

마지막 광자—

목표 · 점수—

아래쪽 띠는 로그 눈금 분광기다(가운데 색 영역이 가시광). 전자를 아래 준위로 끌면 방출선이 띠에 찍히고, 위로 끌면 그 에너지의 광자를 흡수해야 한다. 해볼 것: ① 가시광 선 네 개(발머)를 모두 찍어 보라. ② ‘목표 선 받기’를 누르고 띠 위 ▼ 표시의 파장을 만드는 전이를 찾아라. ③ He⁺로 바꾸면 모든 에너지가 4배, 파장은 1/4이 된다. He⁺의 4→3 전이(468.6 nm)는 가시광이다.

환산 질량과 수소 꼴 이온

핵도 무한히 무겁지 않다. 전자와 핵은 공통 질량 중심을 돌므로, 전자 질량 $m_e$ 대신 환산 질량(reduced mass) $\mu = m_eM/(m_e+M)$을 써야 한다. 에너지와 뤼드베리 상수는 $\mu/m_e$배가 된다.

$$E_n = -\frac{\mu}{m_e}\frac{13.6057\ \text{eV}\cdot Z^2}{n^2}, \qquad R_M = \frac{R_\infty}{1 + m_e/M}$$

수소는 $\mu/m_e = 0.999456$, 그래서 $R_\text{H} = 1.09678\times10^7\ \text{m}^{-1}$. 전자 하나만 남은 He⁺(Z = 2), Li²⁺(Z = 3) 같은 수소 꼴 이온(hydrogen-like ion)에도 그대로 쓴다.

(a) 수소 원자 n = 3 궤도의 반지름, 전자 속력, 에너지를 구하라. (b) He⁺에서 3 → 2 전이의 파장은? (He 핵 질량 $M = 7294\,m_e$)

풀이 보기

풀이 (a) $r_3 = 9a_0 = 0.476$ nm, $v_3 = \alpha c/3 = (2.188\times10^6)/3 = 7.29\times10^5$ m/s, $E_3 = -13.61/9 = -1.51$ eV. (b) $R_\text{He} = R_\infty/(1 + 1/7294) = 1.09722\times10^7\ \text{m}^{-1}$. $1/\lambda = Z^2R_\text{He}(1/4 - 1/9) = 4(1.09722\times10^7)(5/36)$ → $\lambda = 164.0$ nm.

(a) 0.476 nm, 7.29 × 10⁵ m/s, −1.51 eV (b) 164.0 nm

검토 He⁺의 파장은 수소 Hα(656.5 nm)의 거의 정확히 1/4이고, 핵이 더 무거워 조금 더 짧다. 속력은 광속의 0.24%로 비상대론 계산이 정당하다.

1932년 유리는 수소 Hα 선 옆에서 약한 선을 찾아 중수소(D, 핵 질량 $3670\,m_e$)를 발견했다. 양성자 질량은 $1836\,m_e$이다. H와 D의 Hα 파장 차이는?

풀이 보기

전략 파장은 $1/\mu$에 비례한다: $\lambda \propto 1 + m_e/M$.

풀이 $\lambda_\text{D}/\lambda_\text{H} = (1 + 1/3670)/(1 + 1/1836) = 0.999728$. $\Delta\lambda = 656.47\times(1 - 0.999728) = 0.179$ nm.

Δλ ≈ 0.179 nm (D 쪽이 짧다)

검토 분해능 $\lambda/\Delta\lambda \approx 3700$인 분광기가 필요하다. 반도체 공장의 발광 분광기도 수 nm에서 0.1 nm까지 분해능이 다양해 이런 계산으로 사양을 고른다.

드브로이 정상파로 다시 보기

보어의 조건 $m_evr = n\hbar$는 왜 성립할까? 2장의 드브로이 파장 $\lambda = h/(m_ev)$를 넣으면 조건은 $2\pi r = n\lambda$가 된다. 궤도 둘레에 전자 파동이 정수 개 들어가 한 바퀴 돌아 자기 자신과 이어지는 정상파(standing wave)일 때만 궤도가 안정하다는 뜻이다. 정수가 아니면 한 바퀴 돌 때마다 위상이 어긋나 상쇄 간섭으로 사라진다.

둘레/λ =

MINI LAB파동을 원 둘레에 감는다. 둘레가 파장의 정수배가 아니면 시작점(빨간 표시)에서 파동이 끊긴다. 정수 n이 곧 보어의 양자수이고, 그때 각운동량이 $L = rp = rh/\lambda = n\hbar$이다.

실리콘 속 주개는 커다란 수소 원자다

실리콘에 인(P)을 넣으면 다섯째 전자가 P⁺ 이온 주위를 돈다. 이 전자는 실리콘 결정 안에 있으므로 쿨롱 힘이 유전율 $\varepsilon_r = 11.7$만큼 약해지고, 질량 대신 유효 질량 $m^* \approx 0.26\,m_e$로 움직인다. 보어 식에 넣으면 결합 에너지 $13.6\ \text{eV}\times0.26/11.7^2 \approx 26$ meV, 궤도 반지름 $0.0529\ \text{nm}\times11.7/0.26 \approx 2.4$ nm — 격자 상수(0.543 nm)의 4배가 넘어 유전체 근사가 그럴듯하다. 실측값(P 45 meV, As 54 meV)과 자릿수가 맞고, 실온 열에너지 $kT = 25.9$ meV와 비슷해 상온에서 대부분 이온화되는 이유가 된다. 자세한 수소 원자 풀이는 8장에서. 도핑 공정은 SemiBooks 도핑, 캐리어 농도는 반도체 소자 · 캐리어 참고.

방출·흡수 스펙트럼과 프랑크–헤르츠 실험

원자는 준위 차이에 맞는 광자를 내기도 하고 받기도 한다. 키르히호프는 1859년 세 가지 경우를 정리했다. 뜨겁고 조밀한 물체는 연속 스펙트럼, 뜨겁고 묽은 기체는 밝은 방출선(emission line), 연속 광원 앞의 차가운 기체는 같은 자리에 어두운 흡수선(absorption line)을 만든다. 태양 스펙트럼의 어두운 프라운호퍼 선이 대표적이다.

키르히호프의 세 스펙트럼. 같은 기체의 흡수선과 방출선은 같은 파장에 있다. 다만 차가운 수소는 거의 모두 바닥 상태에 있으므로 실제 차가운 수소의 흡수선은 라이먼 계열(자외선)뿐이고, 가시광 발머 흡수선은 n = 2가 채워질 만큼 뜨거운 별 대기에서 보인다.

열평형에서 준위 $E_2$와 $E_1$에 있는 원자 수의 비는 볼츠만 분포(Boltzmann distribution)를 따른다.

$$\frac{N_2}{N_1} = \frac{g_2}{g_1}\,e^{-(E_2-E_1)/kT}$$

$g$: 같은 에너지를 갖는 상태 수(겹침수). 수소의 준위 n에는 $g_n = 2n^2$개 상태가 있다(9장). 실온 $kT = 0.0259$ eV에 비해 10.2 eV는 400배 크다.

온도를 바꿔 n = 2 점유율을 보라

온도 T

MINI LAB수소의 $N_2/N_1 = 4e^{-10.2\,\text{eV}/kT}$. 실온에서는 $10^{-171}$ — 우주 전체의 수소를 모아도 하나 없는 수준이다. 태양 표면(5800 K)에서도 10⁻⁹ 정도라, 플라즈마나 방전처럼 전자 충돌로 강제로 들뜨게 해야 원자가 빛을 낸다.

방전이나 플라즈마에서는 전기장으로 가속된 전자가 원자와 부딪쳐 들뜨게 한다. 들뜬 원자는 나노초 안에 광자를 내며 떨어진다. 그래서 플라즈마의 빛을 분광하면 그 안에 어떤 원자·분자가 얼마나 있는지 실시간으로 알 수 있다. 이것이 광학 발광 분광(optical emission spectroscopy, OES)이다.

플라즈마 발광으로 식각 종말점 찾기

SiO₂를 CF₄/Ar 플라즈마로 식각하면 산화막의 산소와 탄소가 만나 CO가 생기고 CO 띠(483.5 nm)가 밝게 빛난다. 산화막이 다 깎여 아래 실리콘이 드러나는 순간 CO는 줄고, 덜 소비된 플루오린 원자의 F 선(703.7 nm)과 실리콘 식각 생성물 SiF(440 nm)가 밝아진다. 장비는 이 선의 세기를 Ar 750.4 nm 같은 기준선으로 나눠(액티노메트리(actinometry)) 플라즈마 밀도 요동을 지우고, 기울기가 꺾이는 시점을 종말점(endpoint)으로 잡는다. 콘택트 홀처럼 열린 면적이 웨이퍼의 1% 미만이면 신호 변화가 몇 %에 그쳐 잡음과 싸워야 한다. SemiBooks 식각 · 종말점 검출, 식각 · 플라즈마 참고.

SIMULATOR

OES 종말점 검출: 막이 뚫리는 순간 식각을 멈춰라

산화막 두께(목표) 식각 속도

감시하는 선 (÷ Ar 750.4)

식각 시간—

명목 시간 (두께/속도)—

결과—

합격 웨이퍼0

실제 막 두께는 웨이퍼마다 ±12% 다르고, 웨이퍼 안에서도 ±6% 고르지 않다. 그래서 명목 시간만 믿으면 실패한다. 위는 분광기 화면, 아래는 감시하는 선 ÷ Ar 선의 시간 변화다. 해볼 것: ① CO 선이 떨어지기 시작해 바닥에 닿은 직후 정지하라(과식각 0–15%면 합격). ② F 선으로 바꾸면 신호가 반대로 오른다. ③ 정지 후 드러나는 색 띠가 웨이퍼 전체가 뚫리는 구간이다. 왜 신호가 계단이 아니라 비스듬한지 설명해 보라.

OES 분광기에 F 703.7 nm 선과 Ar 706.7 nm 선이 나란히 보인다. (a) F 선 광자의 에너지는? (b) 두 선을 분리하려면 분광기의 분해능 $\lambda/\Delta\lambda$가 적어도 얼마여야 하는가?

풀이 보기

풀이 (a) $E = hc/\lambda = 1239.84\ \text{eV}\cdot\text{nm}/703.7\ \text{nm} = 1.762$ eV. (b) $\Delta\lambda = 3.0$ nm → $\lambda/\Delta\lambda = 703.7/3.0 = 235$.

(a) 1.76 eV (b) 약 235 이상

검토 F 703.7 nm는 바닥 상태에서 약 14.7 eV 위의 3p 준위가 3s 준위로 떨어지는 전이라서 광자 에너지는 1.76 eV에 불과하다. 원자를 그 높이까지 올리는 것은 수 eV–수십 eV의 플라즈마 전자다. 분해능 235는 값싼 소형 분광기로도 충분하다.

프랑크–헤르츠 실험

선 스펙트럼은 준위가 띄엄띄엄하다는 간접 증거다. 1914년 프랑크와 헤르츠는 빛이 아니라 전자 충돌로도 원자가 정해진 양만큼만 에너지를 받는다는 것을 보였다. 수은 증기를 채운 관에서 음극(K)의 전자를 그리드(G)까지 전압 $V$로 가속하고, 그리드와 수집판(A) 사이에 작은 역전압 $V_r$을 걸어 에너지가 $eV_r$보다 큰 전자만 전류로 센다.

프랑크–헤르츠 관. 음극 K에서 나온 전자가 K–G 사이에서 가속되며 수은 원자와 부딪친다. 그리드를 지난 뒤 역전압 $V_r$(약 1.5 V)을 넘을 에너지가 남은 전자만 수집판 A에 닿아 전류 I가 된다.

가속 전압 V를 0 V에서 30 V까지 천천히 올리면 수집판 전류 I는 어떻게 변할까?

전자의 에너지가 4.9 eV에 이르면 수은 원자를 들뜨게 하며 에너지를 거의 다 잃는다. V가 4.9 V의 두 배, 세 배가 되면 가는 길에 두 번, 세 번 충돌한다. 그래서 전류의 극대가 약 4.9 V 간격으로 되풀이된다.

SIMULATOR

프랑크–헤르츠 I–V 곡선: 전압 손잡이를 끌어 측정하라

그래프의 흰 원을 좌우로 끌어 V를 바꾼다

기체

역전압 V_r 평균 자유 행로 λ/L 전체 곡선 미리 보기

가속 전압 V—

수집 전류 (상대)—

가는 길의 들뜸 충돌—

극대 간격—

왼쪽은 관 속 전자(점)와 들뜸 충돌이 일어나는 곳(빛나는 띠)이다. 해볼 것: ① V를 천천히 끌며 극대를 셋 이상 기록하고 간격을 읽어라. ② V = 15 V 근처에서 왼쪽 관에 충돌 띠가 세 줄 생기는 것을 확인하라(네온이면 주황빛 띠가 눈에 보인다). ③ 증기를 묽게(λ/L를 크게) 하면 전자가 문턱을 넘고도 한참 더 달린 뒤 부딪쳐 골이 얕아지고 극대가 오른쪽으로 밀린다.

프랑크–헤르츠 곡선의 극대 간격이 4.90 V였다. 이때 들뜬 수은 원자가 바닥 상태로 돌아가며 내는 광자의 파장은? 프랑크와 헤르츠가 관찰한 수은 선은 253.7 nm였다. 이 선에 해당하는 에너지는?

풀이 보기

풀이 $\lambda = hc/E = 1239.84/4.90 = 253$ nm. 반대로 $E = 1239.84/253.7 = 4.887$ eV.

약 253 nm, 253.7 nm ↔ 4.89 eV

검토 전자 충돌로 잰 에너지와 분광기로 잰 광자 에너지가 일치한다. 준위가 실재한다는, 빛과 독립된 증거다. 실제 곡선의 첫 극대는 음극과 그리드의 일함수 차(접촉 전위) 때문에 4.9 V보다 몇 V 밀려 있지만 간격은 영향받지 않는다.

수은 램프의 선 스펙트럼과 노광

초기 노광 장비의 광원은 고압 수은 램프였다. 수은 원자의 방출선 가운데 g선 435.8 nm(2.85 eV), h선 404.7 nm(3.06 eV), i선 365.0 nm(3.40 eV)을 필터로 골라 썼다. 파장이 짧을수록 해상도가 좋아지므로 g선에서 i선으로 옮겨 갔고(i선 스테퍼는 350 nm 공정까지), 그 뒤에는 원자 대신 분자의 들뜬 상태를 쓰는 엑시머 레이저 KrF 248 nm, ArF 193 nm로 넘어갔다(13장). 포토레지스트의 감광제도 이 선 하나의 광자 에너지에 맞춰 설계된다. SemiBooks 리소그래피 · 해상도 참고.

X선 특성선과 모즐리 법칙

X선관에서는 수십 kV로 가속한 전자가 금속 양극에 부딪친다. 나오는 X선 스펙트럼은 두 부분이다. 전자가 원자핵 근처에서 급히 감속하며 내는 연속적인 제동 복사(bremsstrahlung)와, 양극 원소 고유의 날카로운 특성 X선(characteristic X-ray)이다. 제동 복사의 가장 짧은 파장은 전자 하나의 운동 에너지 전부가 광자 하나가 될 때다(듀안–헌트 법칙(Duane–Hunt law)).

$$\lambda_\text{min} = \frac{hc}{eV} = \frac{1239.84\ \text{nm}}{V\,[\text{V}]}$$

30 kV이면 $\lambda_\text{min} = 0.0413$ nm. 1장 광전 효과의 거꾸로 과정이다. 양극 재료와 무관하다.

관 전압

양극

MINI LABX선관 스펙트럼. 전압을 올리면 짧은 파장 끝(λ_min)이 왼쪽으로 가지만 특성선의 위치는 그대로다. 특성선은 전자가 K 껍질 결합 에너지(Cu 8.98 keV, Mo 20.0 keV)보다 큰 에너지를 가져야 나타난다. Mo를 15 kV에서 25 kV로 올려 보라.

특성선은 안쪽 껍질 사이의 전이다. 들어온 전자가 가장 안쪽 K 껍질(n = 1) 전자를 쳐내면 빈자리가 생기고, L 껍질(n = 2) 전자가 떨어지며 Kα선, M 껍질(n = 3)에서 떨어지면 Kβ선을 낸다.

입사 전자가 K 껍질(n = 1) 전자를 원자 밖으로 쳐낸다.
L 껍질(n = 2) 전자가 빈자리로 떨어지며 Kα X선 광자를 낸다.
L 전자가 보는 핵 전하는 K에 남은 전자 하나만큼 가려진 $(Z-1)e$다. 보어 식에 넣으면 모즐리 법칙이다.

특성 X선이 생기는 과정. 가벼운 원소에서는 광자 대신 다른 전자를 내보내는 오제 과정이 더 흔하다(오제 전자 분광의 원리).

1913년 모즐리는 원소 수십 개의 Kα 진동수를 재어 $\sqrt f$가 원자 번호에 정확히 비례함을 발견했다. 보어 식에서 $Z \to Z-1$, $n_2 = 2 \to n_1 = 1$로 놓으면

$$E_{K\alpha} \approx 13.6\ \text{eV}\,(Z-1)^2\left(1 - \frac14\right) = 10.2\ \text{eV}\,(Z-1)^2, \qquad \sqrt{f} \propto Z - 1$$

이 직선 덕분에 원소의 순서가 원자량이 아니라 핵 전하 Z로 확정되었고, 비어 있던 Z = 43, 61, 72, 75 자리가 예언되었다. Co(58.93)와 Ni(58.69)처럼 원자량 순서가 뒤집힌 쌍도 바로잡았다.

원자 번호 Z = 29 원소의 Kα선은 모즐리 식으로 , 파장 이다.

SIMULATOR

모즐리 직선과 EDS: 미지 시료의 원소를 맞혀라

EDS 스펙트럼의 커서(흰 원)를 봉우리로 끈다

실리콘 기판 위 박막(Si 봉우리 포함) 모즐리 직선 10.2 eV (Z−1)² 그리기

커서 에너지—

추정 Z = 1 + √(E/10.2 eV)—

판정—

맞힌 시료0

왼쪽은 전자 현미경 EDS 검출기가 센 X선 개수(에너지 분해능 약 130 eV), 오른쪽은 실측 Kα 에너지의 $\sqrt{E}$를 Z에 대해 그린 모즐리 그림이다. 해볼 것: ① 가장 큰 금속 봉우리에 커서를 놓고 판정하라. 오른쪽에 추정 Z가 직선 위 점으로 표시된다. ② 큰 봉우리 오른쪽의 작은 봉우리는 Kβ다. 거기에 놓고 판정하면 Z가 하나 크게 나와 틀린다. ③ 1.74 keV의 Si 봉우리는 기판에서 온 것이다.

(a) 모즐리 식으로 구리(Z = 29)의 Kα 에너지를 추정하고 실측값 8.048 keV와 비교하라. 이 X선의 파장은? (b) 배선 불량 분석 중 EDS에 4.51 keV 봉우리가 보였다. 어떤 원소인가?

풀이 보기

풀이 (a) $E = 10.20\ \text{eV}\times28^2 = 8.00$ keV, 실측과 0.6% 차이. $\lambda = 1239.84/8048 = 0.1541$ nm. (b) $Z - 1 = \sqrt{4510/10.20} = 21.0$ → $Z = 22$, 타이타늄(Ti).

(a) 8.00 keV(실측 8.048 keV), 0.154 nm (b) Ti

검토 0.1541 nm는 X선 회절(XRD) 장비의 표준 광원 Cu Kα₁ 파장 0.15406 nm 그대로다. Ti는 배선의 장벽 금속(Ti/TiN)으로 흔히 나온다.

EDS 원소 분석과 봉우리 겹침

SEM·TEM에 붙은 에너지 분산 X선 분광(energy-dispersive X-ray spectroscopy, EDS/EDX)은 전자빔이 시료에서 만든 특성 X선을 실리콘 검출기로 센다. 불량 분석에서 이물이 Fe(6.40 keV)인지 Ni(7.48 keV)인지, 배선 단면에 Cu(8.05 keV)가 확산했는지를 수 분 만에 알려 준다. 검출기 분해능은 Mn Kα에서 약 125–130 eV라, Si Kα(1.740 keV)와 W Mα(1.775 keV)처럼 35 eV 차이 나는 봉우리는 겹쳐서 텅스텐 플러그와 실리콘을 구별하기 어렵다. 이럴 때는 W의 L선(8.40 keV)을 함께 보거나 파장 분산 분광(WDS)을 쓴다. SemiBooks 불량 분석, 공정 개요 참고.

보어 모형의 한계

보어 모형은 수소와 수소 꼴 이온의 준위, 뤼드베리 상수, X선 특성선의 Z 의존성까지 설명했다. 그러나 곧 한계가 드러났다.

설명하지 못한 것

① 전자가 둘인 헬륨의 스펙트럼(바닥 상태 이온화 에너지 24.6 eV). ② 선의 세기와 어떤 전이는 거의 일어나지 않는 선택 규칙. ③ 한 선이 여러 가닥으로 갈라지는 미세 구조와 자기장 속 제만 효과(9장). ④ 분자 결합(11장).

원리상 문제

정해진 반지름과 속도를 가진 궤도는 2장의 불확정성 원리와 모순이다($\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$). 바닥 상태에서 $L = \hbar$이라는 예측도 틀렸다. 실제 수소 바닥 상태의 각운동량은 0이다.

1925–26년 슈뢰딩거와 하이젠베르크의 양자역학은 궤도 대신 파동함수로 원자를 기술한다(4장). 수소의 에너지는 보어와 똑같이 $-13.6\ \text{eV}/n^2$으로 나오지만, 전자는 특정 반지름이 아니라 확률 구름으로 퍼져 있다.

양자역학에서 수소 바닥 상태(1s) 전자가 발견될 확률이 가장 큰 반지름(지름 확률 밀도 $P(r) = r^2|R|^2$의 봉우리)은?

$P(r) \propto r^2e^{-2r/a_0}$은 $r = a_0$에서 최대다. 하지만 평균 $\langle r\rangle = 1.5a_0$이고 분포가 넓게 퍼져 있다. 보어 궤도는 이 구름의 "가장 그럴듯한 반지름"만 남긴 그림이다.

주 양자수 n

궤도 모양

MINI LAB수소 원자의 지름 확률 밀도(8장에서 유도). 각운동량이 가장 큰 $l = n-1$ 상태는 봉우리가 정확히 보어 반지름 $n^2a_0$(점선)에 있다. $l = 0$ 상태는 봉우리가 여러 개이고 핵 근처까지 들어온다 — 보어 모형에 없는 상태다.

그래도 보어 모형을 배우는 이유

에너지 눈금(13.6 eV, 0.053 nm), Z²·1/n² 의존성, 환산 질량 보정, 유전체 속 "수소"(주개·받개, 엑시톤)의 크기 어림은 지금도 보어 식으로 몇 초 만에 얻는다. 정확한 계산이 필요하면 8장의 슈뢰딩거 풀이로 넘어가면 된다.

핵심 정리

러더퍼드 산란: $b = (d/2)\cot(\theta/2)$, $d = 2Z(1.44\ \text{MeV}\cdot\text{fm})/K$. 산란 수는 $1/\sin^4(\theta/2)$, $Z^2$, $1/K^2$에 비례하며, 큰 각 산란은 지름 수 fm의 핵을 뜻한다.
수소 선 스펙트럼은 $1/\lambda = R_\text{H}(1/n_1^2 - 1/n_2^2)$을 따른다. $n_1$ = 1, 2, 3이 라이먼·발머·파셴 계열이고, 각 계열은 한계 $n_1^2/R_\text{H}$로 몰린다.
보어 모형: $L = n\hbar$ → $r_n = n^2a_0/Z$, $v_n = Z\alpha c/n$, $E_n = -13.6\ \text{eV}\,Z^2/n^2$. 광자 에너지는 준위 차다. 이 조건은 궤도 둘레의 드브로이 정상파 $2\pi r = n\lambda$와 같다.
핵의 운동은 환산 질량 $\mu = m_eM/(m_e+M)$으로 고친다(H와 D의 Hα 차 0.179 nm). 유전율과 유효 질량을 넣으면 반도체 주개의 결합 에너지도 어림된다.
흡수선은 점유된 아래 준위에서만 생긴다($N_2/N_1 = (g_2/g_1)e^{-\Delta E/kT}$). 플라즈마의 방출선(OES)으로 식각 생성물을 실시간 감시해 종말점을 잡는다.
프랑크–헤르츠 실험은 전자 충돌로 준위를 직접 쟀다: 수은의 전류 극대 간격 4.9 V ↔ 253.7 nm 선.
특성 X선: $E_{K\alpha} \approx 10.2\ \text{eV}\,(Z-1)^2$(모즐리). 제동 복사의 끝은 $\lambda_\text{min} = hc/eV$. EDS는 이 선으로 원소를 판정한다.

연습문제

$e^2/4\pi\varepsilon_0 = 1.440$ MeV·fm, $hc = 1239.84$ eV·nm, $R_\text{H} = 1.09678\times10^7\ \text{m}^{-1}$, 13.606 eV, $a_0 = 0.05292$ nm를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

5.00 MeV α입자가 은(Z = 47) 핵에 정면으로 다가갈 때 최근접 거리는?

$d = 2Z(1.440)/K = 2(47)(1.440)/5.00 = 27.1$ fm.

5.00 MeV α입자가 금(Z = 79) 핵을 충격 매개변수 30.0 fm로 지난다. 산란각은?

먼저 $d$를 구하고 $\tan(\theta/2) = d/(2b)$.

$d = 2(79)(1.440)/5.00 = 45.5$ fm. $\tan(\theta/2) = 45.5/60.0 = 0.758$ → $\theta/2 = 37.2^\circ$, $\theta = 74.4^\circ$.

같은 입체각을 덮는 검출기를 60°와 120°에 두었다. 러더퍼드 식에 따르면 60°에서 세는 개수는 120°의 몇 배인가?

$\sin^4 60^\circ/\sin^4 30^\circ = (0.8660/0.5000)^4 = 9.00$.

두께 0.500 µm 금박($n = 5.90\times10^{28}\ \text{m}^{-3}$, Z = 79)에 5.00 MeV α입자를 쏜다. 90°보다 크게 산란되는 비율은?

90° 이상 → $b < d/2$. 비율 = $nt\pi b_{90}^2$.

$d = 45.5$ fm, $b_{90} = 22.75$ fm, $\pi b_{90}^2 = 1.626\times10^{-27}\ \text{m}^2$. 비율 $= (5.90\times10^{28})(5.00\times10^{-7})(1.626\times10^{-27}) = 4.80\times10^{-5}$.

수소 라이먼 α선(n = 2 → 1)의 파장은?

$1/\lambda = R_\text{H}(1 - 1/4) = 0.75R_\text{H}$ → $\lambda = 1/(0.75\times1.09678\times10^7) = 121.6$ nm.

파셴 계열의 첫 선(n = 4 → 3) 파장은?

$1/\lambda = R_\text{H}(1/9 - 1/16) = R_\text{H}\cdot7/144$ → $\lambda = 144/(7R_\text{H}) = 1876$ nm(적외선).

바닥 상태 He⁺에서 전자를 떼어 내는 데 드는 에너지는? (핵 운동은 무시)

$E = 13.606\times Z^2/1^2 = 13.606\times4 = 54.4$ eV. 환산 질량을 넣어도 54.4 eV(차이 0.01%).

노광 장비에 쓰던 수은 g선(435.8 nm)과 i선(365.0 nm)의 광자 에너지는 각각 몇 eV인가?

$E = 1239.84/435.8 = 2.845$ eV, $1239.84/365.0 = 3.397$ eV. i선 광자가 20% 더 세다.

GaAs(유효 질량 $0.067m_e$, $\varepsilon_r = 12.9$) 속 얕은 주개를 보어 모형으로 다룰 때 결합 에너지와 궤도 반지름은?

$E_b = 13.606\ \text{eV}\,(m^*/m_e)/\varepsilon_r^2$, $a^* = a_0\varepsilon_r/(m^*/m_e)$.

$E_b = 13.606\times0.067/166.4 = 5.48$ meV, $a^* = 0.05292\times12.9/0.067 = 10.2$ nm. 실리콘(약 26 meV)보다 훨씬 얕고 크다 — GaAs 주개가 아주 낮은 온도까지 이온화되어 있는 이유다.

소듐 증기로 프랑크–헤르츠 실험을 했더니 전류 극대 간격이 2.10 V였다. 들뜬 소듐 원자가 내는 빛의 파장은?

$\lambda = 1239.84/2.10 = 590$ nm. 가로등의 노란 소듐 D선(589.0, 589.6 nm)이다.

웨이퍼 위 이물 입자의 EDS 스펙트럼에서 가장 큰 봉우리가 6.40 keV이고 그보다 약간 높은 7.06 keV에 작은 봉우리가 있다. 모즐리 식(10.20 eV (Z−1)²)으로 원소의 원자 번호를 구하라.

큰 봉우리가 Kα: $Z - 1 = \sqrt{6400/10.20} = 25.05$ → $Z = 26$, 철(Fe). 7.06 keV는 Fe Kβ다. 장비 부품의 스테인리스 마모 입자를 의심할 수 있다.

Kα 에너지를 $E = 10.204\ \text{eV}\,(Z-\sigma)^2$으로 쓸 때, 구리(Z = 29)의 실측값 8.048 keV에 맞는 가려 주기 상수 σ는?

$Z - \sigma = \sqrt{8048/10.204} = 28.084$ → $\sigma = 0.916$. 1에 가깝다는 것이 "K에 남은 전자 하나가 가린다"는 그림을 뒷받침한다.

표면 온도 10000 K인 별 대기에서 수소의 n = 2와 n = 1 점유 비 $N_2/N_1$은? ($g_n = 2n^2$, $E_2 - E_1 = 10.20$ eV, $k = 8.617\times10^{-5}$ eV/K)

$g_2/g_1 = 8/2 = 4$.

$kT = 0.8617$ eV, $\Delta E/kT = 11.84$. $N_2/N_1 = 4e^{-11.84} = 2.89\times10^{-5}$. 이 작은 비율로도 별빛의 발머 흡수선이 뚜렷하다(수소 원자가 워낙 많다).

원자핵이 작고 무겁다는 결론을 이끈 가이거–마스든 실험의 결정적 관찰은?

큰 각 산란은 매우 가까운 거리에서 큰 쿨롱 힘을 받아야 가능하다. 퍼진 양전하(톰슨 모형)로는 1° 남짓이 한계다. 대부분이 통과했다는 사실은 원자가 대부분 비어 있음을 보여 줄 뿐이다.

다음 중 보어 모형이 설명할 수 있는 것은?

전자가 하나인 수소 꼴 이온은 $E \propto Z^2$이므로 파장이 $1/Z^2 = 1/9$이 된다(환산 질량 차이만큼 조금 다르다). 나머지는 다전자 상호작용, 스핀–궤도 결합, 양자역학적 각운동량이 필요하다.

개념 확인 퀴즈

α입자의 운동 에너지를 2배로 올리면 정면 충돌 최근접 거리 d는?

$d = k(2e)(Ze)/K$이므로 $1/K$에 비례한다. 에너지를 올릴수록 핵에 가까이 가므로, 러더퍼드 식이 깨지는 에너지에서 핵 반지름을 잴 수 있다.

실온의 수소 기체에 연속 광원을 비추면 흡수선은 어디에 생기는가?

실온에서 거의 모든 원자가 n = 1에 있으므로 n = 1에서 위로 올라가는 흡수(라이먼)만 일어난다.

Li²⁺ 이온의 바닥 상태 궤도 반지름과 에너지는 수소에 비해 어떻게 되는가?

$r_n = n^2a_0/Z$, $E_n = -13.6Z^2/n^2$ eV. Z = 3이면 반지름 1/3, 에너지 −122 eV.

프랑크–헤르츠 실험이 선 스펙트럼과 다른 새로운 점은?

준위의 불연속성이 광자에만 해당하는 성질이 아니라 원자 자체의 성질임을 보였다.

모즐리 식에 $Z$ 대신 $Z-1$이 들어가는 이유는?

빈자리로 떨어지는 L 전자가 보는 전하는 핵 Ze에서 K에 남은 전자 하나를 뺀 $(Z-1)e$에 가깝다(연습문제에서 σ ≈ 0.92).