Chapter 10

응고·결정 성장과 박막 미세조직

재료의 미세조직은 대부분 "굳는 순간"과 "자라는 동안"에 정해진다. 주물의 결정립과 덴드라이트, 300 mm 실리콘 잉곳 속 0.1 µm짜리 빈 구멍(COP), 스퍼터한 텅스텐 막의 기둥 조직, 도금한 구리 배선이 상온에서 저절로 커지는 결정립이 모두 같은 질문의 다른 얼굴이다. 계면 앞에서 열과 용질이 어떻게 흐르는가, 원자는 자리를 찾을 시간이 있는가, 결정립계는 무엇에 끌려 움직이는가. 이 장은 액체에서 고체가 자라는 응고에서 시작해 조성적 과냉과 덴드라이트, 주조 조직, 초크랄스키 성장의 열 균형과 보론코프 기준, 에피택시와 박막 구조 영역 모형을 거쳐, 결정립 성장(포츠 모형)과 구리 자가 어닐링·레이저 어닐까지 간다. 아래 그림은 합금이 아래에서 위로 굳는 모습이다. 계면 앞 온도 기울기가 충분히 가파르면 계면은 평평하게 올라가고, 기울기가 완만해지면 평평한 계면이 저절로 셀로 갈라진다.

위아래로 끌어 온도 기울기 G를 바꾸고, 누르면 계면을 흔든다

액체 속 균질 핵생성의 임계 반지름과 장벽을 과냉도로 계산하고, 순금속 계면이 양의 온도 기울기에서 평탄하고 과냉 액체 속에서 열적 덴드라이트가 되는 이유를 설명한다.
계면 앞 용질 경계층 $C_L(x)$과 액상선 온도 곡선, 실제 온도 직선을 겹쳐 조성적 과냉 기준 $G/V \lt \Delta T_0/D$를 유도하고 평탄·셀·덴드라이트 계면을 판정한다.
2차 덴드라이트 팔 간격 $\lambda_2 = A\dot T^{-n}$으로 냉각 속도와 조직의 크기를 잇고, 칠·주상정·등축정 주조 조직이 생기는 과정과 조절 방법을 말한다.
초크랄스키 성장의 계면 열 균형 $k_s G_s - k_l G_l = \rho_s L v$로 최대 인상 속도를 구하고, 보론코프 기준 $\xi = V/G$로 공공형(COP)·무결함·틈새형 영역을 예측한다.
에피 막의 격자 불일치와 임계 두께, 두께에 따른 부분 완화와 부정합 전위 간격을 계산하고, 손턴 구조 영역 모형으로 스퍼터 막의 미세조직을 기판 온도·압력에서 읽는다.
결정립 성장 $d^2 - d_0^2 = Kt$, 제너 고정 한계 $d_\text{lim} = 4r/3f$, 비정상 성장과 집합 조직을 포츠 모형으로 보이고, 구리 도금막의 자가 어닐링과 엑시머 레이저 결정화(LTPS)에 적용한다.

응고의 과냉과 고–액 계면

액체가 녹는점 $T_m$에 이르렀다고 곧바로 굳지는 않는다. 9장의 고체 속 핵생성과 똑같이, 고체는 작은 핵으로 시작해야 하고 핵의 표면(고–액 계면)이 에너지를 올린다. 액체 속 핵생성에는 변형 에너지가 없으므로 구동력은 과냉 $\Delta T = T_m - T$에 비례하는 $\Delta G_v = \Delta H_f\Delta T/T_m$뿐이다.

$$r^* = \frac{2\gamma_\mathrm{SL}T_m}{\Delta H_f\,\Delta T},\qquad \Delta G^* = \frac{16\pi\gamma_\mathrm{SL}^3T_m^2}{3\,\Delta H_f^2\,\Delta T^2}$$

$\Delta H_f$[J/m³]는 단위 부피당 융해 잠열, $\gamma_\mathrm{SL}$[J/m²]는 고–액 계면 에너지다. 장벽이 $1/\Delta T^2$로 줄어들므로, 순수한 액체 방울은 $T_m$보다 한참 낮아져야 비로소 굳는다.

먼지와 벽을 없앤 작은 금속 방울을 식힌 턴불(Turnbull)의 실험에서, 균질 핵생성에 필요한 최대 과냉(maximum undercooling)은 대략 $0.2\,T_m$였다(구리 236 K, 니켈 319 K). 그런데 실제 주물은 1 K도 과냉되지 않고 굳기 시작한다. 주형 벽, 산화물 막, 일부러 넣은 접종제(inoculant, grain refiner) 위에서 불균질 핵생성이 일어나기 때문이다. 알루미늄 주조에 넣는 Al–Ti–B 모합금의 TiB₂·Al₃Ti 입자가 대표적이다. 접촉각이 작아 장벽 인자 $S(\theta)$가 0에 가깝고, 그래서 결정립 수가 늘어나 조직이 고와진다.

구리($T_m = 1358$ K, $\Delta H_f = 1.77\times10^9$ J/m³, $\gamma_\mathrm{SL} = 0.200$ J/m²)를 236 과냉하면 $r^* =$ , $\Delta G^* =$ 이고, 임계 핵 하나에 원자 가 들어 있다.

구리 액체가 턴불의 최대 과냉 $\Delta T = 236$ K에서 균질 핵생성한다. $T_m = 1085$ °C, $\Delta H_f = 1.77\times10^9$ J/m³, $\gamma_\mathrm{SL} = 0.200$ J/m²(캘리스터 표의 대표값)다. (a) 임계 반지름과 핵생성 장벽, (b) 임계 핵 속 원자 수(FCC, $a = 0.3615$ nm)를 구하라.

풀이 보기

전략 녹는점을 켈빈으로 바꿔(1358 K) $\Delta G_v = \Delta H_f\Delta T/T_m$를 먼저 구한다. 원자 수는 핵 부피를 원자 하나의 부피 $a^3/4$로 나눈다.

풀이 (a) $\Delta G_v = 1.77\times10^9\times236/1358 = 3.08\times10^8$ J/m³. $r^* = 2(0.200)/3.08\times10^8 = 1.30\times10^{-9}$ m. $\Delta G^* = 16\pi(0.200)^3/(3\times(3.08\times10^8)^2) = 1.42\times10^{-18}$ J. (b) $V^* = \tfrac43\pi(1.30\text{ nm})^3 = 9.21$ nm³, 원자 부피 $0.3615^3/4 = 0.01181$ nm³ → 약 780개.

r* = 1.30 nm, ΔG* = 1.42×10⁻¹⁸ J, 원자 약 780개

검토 1122 K의 $kT = 1.55\times10^{-20}$ J이므로 장벽은 약 92 kT로, 핵생성이 막 눈에 띄기 시작하는 크기다. 과냉을 10 K로 줄이면 장벽은 $(236/10)^2 = 557$배가 되어 균질 핵생성은 불가능하다. 실제 주조가 불균질 핵생성에 기대는 이유다.

계면 앞의 온도: 평탄한 계면과 열적 덴드라이트

핵이 생긴 뒤에는 성장이 문제다. 금속의 고–액 계면은 원자 수준에서 거칠어 원자가 아무 자리에나 붙을 수 있으므로, 성장 속도는 계면에서 원자가 붙는 속도보다 잠열을 빼내는 속도로 정해진다. 잠열이 어디로 빠지는지에 따라 계면의 모양이 갈린다.

양의 온도 기울기($G \gt 0$): 주형 벽에서 굳어 들어가는 경우처럼 열이 고체를 통해 빠지면, 계면 앞 액체는 계면보다 뜨겁다. 계면에 우연히 튀어나온 돌기는 더 뜨거운 액체 속으로 들어가 다시 녹는다. 계면은 평탄하게 안정하다.
음의 온도 기울기($G \lt 0$): 과냉된 액체 속에서 자유롭게 자라는 결정은 잠열을 앞쪽 액체로 내보낸다. 돌기는 더 차가운 액체를 만나 더 빨리 자라고, 돌기 옆에서 또 돌기가 난다. 이것이 열적 덴드라이트(thermal dendrite)다. 입방정 금속에서 줄기와 가지는 $\langle100\rangle$ 방향으로 뻗는다.

오른쪽 온도선 위 끝의 흰 원을 좌우로 끌어 G의 부호를 바꾼다

MINI LAB순금속 계면에 돌기를 하나 만들었다. 계면 앞 액체가 더 뜨거우면($G \gt 0$) 돌기는 녹아 사라지고, 더 차가우면($G \lt 0$) 돌기가 자라 가지를 친다. 오른쪽 선은 높이에 따른 실제 온도, 점선은 녹는점이다.

금속의 계면이 "거칠다"는 것은 잭슨(Jackson)의 인자 $\alpha \approx \Delta S_f/R = \Delta H_f/RT_m$으로 판정한다. 금속은 $\alpha \approx 1$(구리 1.17)로 계면이 원자 규모에서 울퉁불퉁하고 어느 방향으로나 고르게 자란다. 실리콘·게르마늄과 많은 산화물은 $\alpha \gt 2$(실리콘 3.58)로 계면이 원자적으로 매끈한 패싯(facet)이 되기 쉽고, 원자가 붙을 계단(step)이 있어야 자란다. 초크랄스키 잉곳 둘레에 {111} 패싯 자국(성장 능선)이 생기고, 실리콘의 수지상 결정이 날카로운 판 모양인 이유다.

고–액 계면의 세 모양. 평탄 계면은 계면 앞 액체가 어디서나 과냉되지 않을 때 생긴다. 계면 앞에 과냉 영역이 조금 생기면 계면이 육각형 기둥 다발 같은 셀로 갈라지고, 과냉 영역이 넓으면 줄기(1차 팔, 간격 $\lambda_1$)와 가지(2차 팔, 간격 $\lambda_2$)를 가진 덴드라이트가 된다. 셀 사이 홈과 팔 사이에는 밀려난 용질이 모인다.

조성적 과냉과 셀·덴드라이트

합금은 순금속과 다르다. 온도 기울기가 분명히 양수($G \gt 0$)인데도 계면이 셀이나 덴드라이트로 갈라진다. 이유는 용질이다. 편석 계수 $k = C_S/C_L \lt 1$이면 고체는 용질을 덜 받아들이므로, 굳을 때 밀려난 용질이 계면 앞 액체에 쌓인다(열·통계물리 책의 편석과 쇼이어 식). 액체 속 확산이 그 용질을 실어 나르는 속도와 계면이 다가오는 속도 $V$가 맞서는 정상 상태에서, 계면 앞 용질 분포는 지수 함수다.

$$C_L(x) = C_0\left[1+\frac{1-k}{k}\,e^{-Vx/D}\right],\qquad T_L(x) = T_m - m\,C_L(x)$$

$x$는 계면에서 액체 쪽으로 잰 거리, $D$[m²/s]는 액체 속 용질의 확산 계수(금속 융액 약 $10^{-9}$ m²/s), $m$[K/wt%]은 액상선 기울기의 크기다. 경계층 두께는 $D/V$이고, 계면 바로 앞 농도는 $C_0/k$로 정상 상태 고체의 조성이 정확히 $C_0$가 된다. $T_L(x)$는 그 자리 액체의 액상선 온도, 곧 그 조성의 액체가 굳기 시작하는 온도다.

계면 바로 앞 액체는 용질이 진해 액상선 온도가 낮고, 멀리 갈수록 $C_0$에 가까워져 액상선 온도가 올라간다. 그런데 실제 온도는 계면에서 $G$의 기울기로 직선을 그리며 올라간다. 실제 온도 직선이 액상선 곡선보다 아래에 있는 구간에서는 액체가 자기 조성 기준으로 과냉되어 있다. 이것을 조성적 과냉(constitutional supercooling)이라 한다. 그 구간으로 내민 돌기는 순금속의 음의 기울기에서처럼 계속 자란다.

$k \lt 1$이면 밀려난 용질이 계면 앞에 쌓여, 계면에서 $C_0/k$로 시작해 $D/V$ 거리에서 $C_0$로 떨어지는 경계층을 만든다.
상태도의 액상선을 따라 농도를 온도로 바꾸면, 계면에서 가장 낮고(고상선 온도 $T_s(C_0)$) 멀리서 $T_L(C_0)$인 액상선 온도 곡선이 된다.
실제 온도는 계면 온도에서 기울기 $G$로 올라간다. 이 직선이 곡선의 계면 접선(초록 점선)보다 가파르면 어디서도 과냉이 없다.
직선이 곡선 아래로 처지는 구간(빨강)이 조성적 과냉 영역이다. 계면은 평탄하게 머물 수 없어 셀이나 덴드라이트가 된다.

조성적 과냉의 조립. 계면 접선의 기울기는 $dT_L/dx|_0 = mC_0(1-k)V/(kD)$이고, 이것과 $G$를 비교한 것이 아래 기준이다.

조성적 과냉 기준(평탄 계면이 불안정한 조건)

$$\frac{G}{V} \lt \frac{m\,C_0\,(1-k)}{k\,D} = \frac{\Delta T_0}{D},\qquad \Delta T_0 = \frac{mC_0(1-k)}{k}$$ $\Delta T_0$는 조성 $C_0$의 액상선과 고상선 사이 온도 간격(응고 구간)이다. 응고 구간이 넓고(용질이 많고 $k$가 작고), 빨리 키우고, 온도 기울기가 완만할수록 계면이 갈라진다. 실제로는 계면 에너지가 짧은 파장의 요동을 눌러 이 기준보다 조금 더 안정하다(멀린스–세케르카 안정성 해석).

Al–2 wt% Cu 합금($m = 2.5$ K/wt%, $k = 0.16$, $D = 3\times10^{-9}$ m²/s)을 $V = 10$ µm/s로 한쪽부터 굳힌다. 주형 설계로 계면 온도 기울기를 20 K/mm까지 올렸다. 계면은?

$\Delta T_0 = 2.5\times2\times0.84/0.16 = 26$ K, 임계 $G/V = 26.3/3\times10^{-9} = 8.75\times10^9$ K·s/m²이므로 $V = 10^{-5}$ m/s에서 $G \ge 87.5$ K/mm여야 평탄하다. 보통 주조의 기울기는 1–10 K/mm이므로 합금 주물은 거의 언제나 덴드라이트로 굳는다. 아래에서 G 직선을 끌어 확인하라.

SIMULATOR

조성적 과냉: 온도 직선을 끌어 과냉 영역 없애기

합금

조성 C₀ 성장 속도 V

응고 구간 ΔT₀—

G / 평탄 임계 G—

최대 조성적 과냉—

계면 모양—

왼쪽: 계면 앞 액상선 온도 $T_L(x)$(황동색)와 실제 온도 직선(남색), 과냉 영역(빨강). 직선 위의 흰 원을 위아래로 끌어 $G$를 바꾼다. 가로축은 계면에서의 실제 거리(µm)이며 경계층 두께 $D/V$의 1.5배까지 보인다. 오른쪽: 그 조건에서 기대되는 계면 모양(모형 구분: $G$가 평탄 임계값의 1배 이상이면 평탄, 0.3–1배 셀, 그 아래 덴드라이트). Al–Cu는 $m = 2.5$ K/wt%, $k = 0.16$, Pb–Sn(Pb 쪽)은 $m = 2.6$, $k = 0.44$로 이 책 상태도(Mat.diagrams)의 기울기에서 읽었다. 해볼 것: ① 과냉 영역이 막 사라지는 G를 찾고 readout의 비가 1이 되는지 본다. ② V를 10배로 하면 경계층이 1/10로 얇아지고 필요한 G는 10배가 된다. ③ $C_0$를 0.1 wt%로 낮추면 평탄 계면이 쉬워진다 — 실리콘 잉곳의 도펀트(ppm 수준)가 평탄 계면을 깨지 않는 이유다.

Al–2.0 합금(응고 구간 )을 10로 굳힐 때 평탄 계면을 지키려면 $G \ge$ 가 필요하다. 기울기 10 K/mm로는 보다 느려야 한다.

Al–2.0 wt% Cu 합금을 일방향 응고한다. 이 책 상태도의 Al 쪽 액상선 기울기 $m = 2.5$ K/wt%, 편석 계수 $k = 0.16$, 액체 속 Cu의 확산 계수 $D = 3.0\times10^{-9}$ m²/s다. (a) 응고 구간 $\Delta T_0$와 계면 온도, (b) $V = 10$ µm/s에서 평탄 계면에 필요한 최소 $G$, (c) $G = 10$ K/mm일 때 평탄 계면을 유지하는 최대 성장 속도를 구하라. 순수 Al의 녹는점은 660 °C다.

풀이 보기

전략 $\Delta T_0 = mC_0(1-k)/k$. 정상 상태 계면의 액체 농도는 $C_0/k$이므로 계면 온도는 $T_m - mC_0/k$(= 조성 $C_0$의 고상선 온도). 평탄 조건 $G/V \ge \Delta T_0/D$.

풀이 (a) $\Delta T_0 = 2.5\times2.0\times0.84/0.16 = 26.25$ K. 액상선 $T_L(C_0) = 660 - 5.0 = 655$ °C, 계면 온도 $660 - 2.5\times12.5 = 628.75$ °C. (b) $\Delta T_0/D = 26.25/3.0\times10^{-9} = 8.75\times10^9$ K·s/m², $G_\text{min} = 8.75\times10^9\times1.0\times10^{-5} = 8.75\times10^4$ K/m $= 87.5$ K/mm. (c) $V_\text{max} = 10^4/8.75\times10^9 = 1.14\times10^{-6}$ m/s.

(a) ΔT₀ = 26.3 K, 계면 ≈ 629 °C (b) G ≥ 87.5 K/mm (c) V ≤ 1.14 µm/s (약 4 mm/h)

검토 4 mm/h는 실험실 브리지먼 장치의 속도다. 산업 주조는 이보다 수천 배 빠르고 기울기는 완만하므로, 합금 주물에서 평탄 계면을 기대할 수 없다. 반대로 실리콘 잉곳은 도펀트 농도가 ppm 이하라 $\Delta T_0$가 mK 수준이어서 시간당 수 cm로 키워도 평탄하다.

덴드라이트 팔 간격과 주조 조직

조성적 과냉이 크면 계면은 덴드라이트가 된다. 줄기(1차 팔)는 열이 빠지는 방향과 가장 가까운 $\langle100\rangle$으로 뻗고, 옆으로 2차 팔, 그 옆에 3차 팔이 난다. 팔 사이 액체는 마지막에 굳으며 용질이 진하다. 8장의 유핵 조직과 같은 미세 편석(microsegregation)이고, 공정 조직·금속간 화합물·수축 기공이 팔 사이에 몰린다. 그래서 주물의 성질은 결정립 크기보다 2차 덴드라이트 팔 간격(secondary dendrite arm spacing, SDAS) $\lambda_2$에 더 민감하다.

2차 팔은 처음에 촘촘하게 났다가, 굳는 동안 가는 팔이 녹고 굵은 팔이 자라는 조대화(9장의 오스트발트 숙성과 같은 곡률 구동력)를 겪는다. 그래서 $\lambda_2$는 액상선에서 고상선까지 걸리는 국부 응고 시간(local solidification time) $t_f$의 세제곱근에 비례하고, $t_f = \Delta T_0/\dot T$이므로 냉각 속도로 쓸 수 있다.

$$\lambda_2 = a\,t_f^{1/3} = A\,\dot T^{-n},\qquad \dot T = G\,V,\quad n\approx\tfrac13$$

$\dot T$[K/s]는 응고 구간의 냉각 속도. 알루미늄 주조 합금의 대표값은 $A\approx50$ µm(K/s)ⁿ, $n\approx1/3$이다(Mat.sdas). 냉각 속도가 1000배 빨라지면 $\lambda_2$는 10배 고와진다.

직선 위의 흰 원을 끌어 냉각 속도를 바꾼다

MINI LAB왼쪽은 $\lambda_2$–$\dot T$ 로그 그래프와 공정별 대표 냉각 속도, 오른쪽은 같은 배율로 그린 덴드라이트 한 줄기다. 모래 주형에서 다이캐스팅, 레이저 적층 제조로 갈수록 팔이 촘촘해진다.

냉각 속도 1.0로 굳힌 알루미늄 주물($A = 50$ µm, $n = 1/3$)의 2차 팔 간격은 $\lambda_2 =$ 이고, 응고 구간 30 K를 지나는 국부 응고 시간은 $t_f =$ 다.

알루미늄 합금($\lambda_2 = 50\,\dot T^{-1/3}$ µm, $\dot T$ K/s)을 (a) 모래 주형($\dot T\approx1$ K/s)과 (b) 고압 다이캐스팅($\dot T\approx100$ K/s)으로 만든다. 각각의 $\lambda_2$를 구하고, (c) $\lambda_2 = 20$ µm를 얻으려면 냉각 속도가 얼마여야 하는지 구하라.

풀이 보기

전략 식에 넣고, (c)는 $\dot T = (A/\lambda_2)^{1/n}$로 뒤집는다.

풀이 (a) $50\times1^{-1/3} = 50$ µm. (b) $50\times100^{-1/3} = 50/4.642 = 10.8$ µm. (c) $\dot T = (50/20)^3 = 15.6$ K/s.

(a) 50 µm (b) 10.8 µm (c) 약 15.6 K/s (금형 주조 수준)

검토 지수 1/3 때문에 $\lambda_2$를 절반으로 줄이려면 냉각 속도를 8배로 올려야 한다. 같은 합금에서 $\lambda_2$가 고우면 공정 Si 입자와 기공이 작고 고르게 흩어져 인장 강도와 특히 연신율이 좋아진다.

주괴의 세 영역: 칠·주상정·등축정

금형에 부은 쇳물은 바깥에서 안쪽으로 굳는다. 단면을 깎아 부식하면 세 영역이 보인다.

주괴 단면의 세 영역. 차가운 벽에 닿은 쇳물이 크게 과냉되어 무수한 핵이 생긴 얇은 칠 영역, 그중 $\langle100\rangle$이 열 흐름과 나란한 결정립만 살아남아 길게 자란 주상정 영역, 가운데 조성적 과냉 액체 속에서 떠다니는 핵이 사방으로 자란 등축정 영역.

칠 영역(chill zone): 벽 근처 액체가 순간적으로 크게 과냉되어 벽 위에서 수많은 핵이 무작위 방위로 생긴다. 얇고 결정립이 아주 곱다.
주상정 영역(columnar zone): 칠 영역의 결정립 가운데 빨리 자라는 방향($\langle100\rangle$)이 열 흐름과 나란한 것이 이웃을 앞질러 막아 버리는 경쟁 성장이 일어난다. 살아남은 결정립이 길쭉하게 자라고 방위도 한쪽으로 모인다(주조 집합 조직).
등축정 영역(equiaxed zone): 가운데 액체가 조성적으로 과냉되면 떨어져 나온 덴드라이트 조각이나 접종 입자 위에 핵이 생겨 사방으로 자란다. 이 결정립들이 주상정 앞을 막으면 주상정–등축정 전이(CET)가 일어난다.

쇳물을 낮은 과열도로 붓고, 접종제를 넣고, 전자기 교반으로 덴드라이트를 부러뜨리면 등축정이 늘어 성질이 고르고 방향성이 없어진다. 거꾸로 제트 엔진 터빈 날개는 바닥만 식히는 일방향 응고로 등축정을 없애고 주상정만, 나아가 나선형 선별기(pigtail)로 결정립 하나만 남겨 단결정 날개를 만든다. 고온 크리프를 일으키는 가로 결정립계를 없애기 위해서다.

SIMULATOR

주괴 단면 만들기: 칠·주상정·등축정과 접종

주형 속을 문지르면 그 자리에 접종 입자가 뿌려진다

주형 냉각능(벽 핵 밀도) 과열도 접종제

칠—

주상정—

등축정—

결정립 수—

왼쪽·오른쪽·아래가 주형 벽이고 위는 열린 쇳물 면이다. 벽에서 생긴 결정립은 각자 $\langle100\rangle$ 방위(짧은 선)를 갖고, 그 방향으로 가장 빨리 자란다. 가운데 핵은 과열도가 낮을수록 벽 가까이에서부터 생기고, 접종제와 손으로 뿌린 입자가 그 수를 늘린다. 색은 결정립 번호다(모형: 이방성 성장 속도를 가진 결정립의 도착 시간 경쟁). 해볼 것: ① 접종제 0, 과열도 120에서 주상정이 가운데까지 자라는 모습(주상정 조직)을 본다. ② 과열도를 낮추고 접종제를 늘려 주상정을 짧게 만든다(CET). ③ 벽에서 조금 떨어진 곳을 문질러 주상정이 거기서 멈추는지 본다.

초크랄스키 성장: 열 균형과 V/G 기준

반도체 웨이퍼의 거의 전부는 석영 도가니의 실리콘 융액에서 씨앗 결정을 돌리며 끌어올리는 초크랄스키 성장으로 만든다. 도펀트의 편석과 축 방향 비저항은 열·통계물리 책에서 다뤘다. 여기서는 재료공학 쪽 두 질문을 본다. 얼마나 빨리 끌어올릴 수 있는가(열 균형), 그리고 그렇게 키운 결정 속에 어떤 결함이 남는가(점결함과 보론코프 기준).

초크랄스키 인상 장치. 계면(빨간 선)에서 생긴 잠열과 융액에서 들어온 열은 모두 결정을 따라 위로 전도되어 결정 표면에서 복사로 빠진다. 열 차폐는 결정 표면의 냉각을 조절해 계면의 온도 기울기 $G$와 그 반지름 방향 분포를 바꾼다.

계면에서 단위 면적·단위 시간에 굳는 실리콘은 잠열 $\rho_sLv$를 낸다. 이 열과 융액에서 계면으로 흘러드는 열 $k_lG_l$을 결정이 위로 실어 내야 한다($k_sG_s$). 이 에너지 수지가 인상 속도를 정한다.

$$k_s\,G_s = k_l\,G_l + \rho_s\,L\,v\qquad\Longrightarrow\qquad v = \frac{k_sG_s - k_lG_l}{\rho_s L},\qquad v_\text{max} = \frac{k_sG_s}{\rho_s L}$$

$G_s$, $G_l$[K/m]는 계면 바로 위(결정)와 아래(융액)의 온도 기울기, $k_s = 22$, $k_l = 56$ W/(m·K)는 녹는점 근처 실리콘 고체·액체의 열전도도, $\rho_s = 2330$ kg/m³, $L = 1.79\times10^6$ J/kg(Mat.SiMelt). $G_l = 0$으로 둔 $v_\text{max}$가 그 $G_s$에서의 이론 최대 속도다. 실제로 이보다 빨리 당기면 결정이 가늘어지다 융액에서 떨어진다.

화살표 끝의 흰 원을 위아래로 끌어 G_s·G_l을 바꾼다

MINI LAB계면의 열 수지. 위쪽 화살표(결정으로 빠지는 열 $k_sG_s$)가 아래쪽 화살표(융액에서 오는 열 $k_lG_l$)보다 긴 만큼이 잠열을 감당할 수 있는 몫이고, 그것이 인상 속도가 된다. 액체의 열전도도가 고체의 2.5배라 $G_l$을 조금만 키워도 속도가 크게 준다.

결정 쪽 기울기 3.0, 융액 쪽 0.50이면 인상 속도는 $v =$ (이론 최대 )이고, 이때 $V/G_s =$ 다.

지름 300 mm 실리콘 잉곳의 계면 온도 기울기가 결정 쪽 $G_s = 3.0$ K/mm, 융액 쪽 $G_l = 0.50$ K/mm다. (a) 인상 속도(mm/min), (b) $G_l = 0$일 때의 최대 속도를 구하라. 자료는 위 식의 값을 쓴다.

풀이 보기

전략 단위를 SI로 맞춰 열 균형에 넣는다: $G_s = 3000$ K/m, $G_l = 500$ K/m. $\rho_sL = 2330\times1.788\times10^6 = 4.166\times10^9$ J/m³.

풀이 (a) $v = (22\times3000 - 56\times500)/4.166\times10^9 = 38000/4.166\times10^9 = 9.12\times10^{-6}$ m/s $= 0.547$ mm/min. (b) $v_\text{max} = 66000/4.166\times10^9 = 1.58\times10^{-5}$ m/s $= 0.951$ mm/min.

(a) 0.55 mm/min (b) 0.95 mm/min

검토 300 mm 잉곳의 실제 인상 속도는 0.4–0.8 mm/min 수준이라 2 m 몸통을 키우는 데 이틀이 걸린다. 더 빨리 키우려면 결정을 더 세게 식혀 $G_s$를 키워야 하는데, 다음에 보듯 $G$는 결함의 종류도 바꾼다.

점결함의 운명: 보론코프의 V/G

녹는점의 실리콘 결정에는 열평형 공공(V)과 자기 틈새 원자(self-interstitial, I)가 각각 $10^{14}$–$10^{15}$ cm⁻³ 들어 있다(3장 결정 결함). 결정이 위로 끌려가며 식으면 이 평형 농도가 급히 줄어 둘은 과포화되고, 서로 만나 쌍소멸한다(V + I → 완전 격자). 어느 쪽이 남는지는 두 흐름의 경쟁이다. 결정이 움직이며 계면에서 점결함을 결정 속으로 실어 가는 흐름은 $V$에 비례하고, 온도 기울기를 따라 점결함이 계면 쪽으로 되돌아가는 확산 흐름은 $G$에 비례한다. 틈새 원자가 공공보다 빨리 확산하므로, $G$가 크면 틈새 원자가 이기고 $V$가 크면 공공이 이긴다.

$$\xi = \frac{V}{G}\quad\begin{cases}\xi \gt \xi_\text{crit} & \text{공공 과잉 → 공동(void, COP), OSF 고리}\\ \xi\approx\xi_\text{crit} & \text{점결함이 서로 상쇄 → 무결함}\\ \xi \lt \xi_\text{crit} & \text{틈새 원자 과잉 → 전위 루프(A 결함)}\end{cases}\qquad \xi_\text{crit}\approx1.3\times10^{-3}\ \tfrac{\text{cm}^2}{\text{min·K}}$$

$V$는 인상 속도[mm/min], $G$는 계면 근처 결정 쪽 축 방향 온도 기울기[K/mm]. $\xi_\text{crit} = 0.13$ mm²/(min·K)(Mat.voronkov, 무결함 창을 ±3 %로 둔 모형). 이 보론코프 기준(Voronkov criterion)이 300 mm 웨이퍼 결함 설계의 출발점이다.

계면에서 결정은 녹는점의 평형 농도만큼 공공과 틈새 원자를 함께 받아들인다.
결정이 움직이며 점결함을 실어 가는 흐름($\propto V$)과, 기울기를 따라 계면 쪽으로 되돌아가는 확산($\propto G$, 틈새 원자가 더 빠름)이 겨룬다.
계면에서 수 cm 안, 약 1100 °C에 이를 때까지 둘이 재결합해 거의 사라지고 많던 쪽만 남는다.
남은 공공은 1100 °C 부근에서 뭉쳐 팔면체 공동(웨이퍼 표면에 드러나면 COP)이 되고, 남은 틈새 원자는 전위 루프가 된다.

보론코프 기준의 물리. 점결함의 종류가 계면 근처 수 cm에서 $V/G$ 하나로 정해지므로, 인상 속도와 핫존 설계가 웨이퍼의 결함 지도를 결정한다.

문제는 $G$가 반지름 방향으로 고르지 않다는 데 있다. 결정 표면이 복사로 식으므로 가장자리의 $G$가 가운데보다 크다. 같은 $V$에서 $\xi$는 가운데가 크고 가장자리가 작아, 웨이퍼 가운데는 공공형, 가장자리는 틈새형이 되기 쉽고 그 경계에 OSF 고리(oxidation-induced stacking fault ring)가 나타난다. 웨이퍼 전체를 무결함으로 만들려면 $V$를 $\xi_\text{crit}$에 맞추는 동시에 열 차폐로 $G$를 반지름 방향으로 고르게 해야 한다.

가운데는 무결함, 가장자리는 틈새형인 잉곳을 키우고 있다. 핫존은 그대로 두고 인상 속도 $V$를 조금 올리면 웨이퍼 결함 지도는?

$\xi = V/G$가 모든 반지름에서 같은 비율로 커진다. $\xi$가 가장 큰 가운데가 먼저 $\xi_\text{crit}$를 넘어 공공형이 되고, 무결함 고리와 틈새형 영역이 바깥으로 밀린다. 아래 실험대에서 점을 위로 끌어 보라.

SIMULATOR

무결함 실리콘 키우기: V–G 평면의 작동점과 웨이퍼 결함 지도

흰 원(작동점: 가운데 G와 인상 속도 V)을 끈다

핫존 설계

인상 속도 V(미세 조정) 가운데 G₀

과제: 웨이퍼 면적의 90 % 이상을 무결함으로 만들면서 인상 속도를 최대로.

ξ 가운데 / 가장자리—

무결함 면적—

열 한계 v_max—

점수(최고 V)—

왼쪽: V–G 평면. 회색 쐐기가 무결함 창 $0.97\xi_\text{crit}\le V/G\le1.03\xi_\text{crit}$, 굵은 가로 선분은 지금 웨이퍼의 가운데(흰 원)부터 가장자리까지의 $G$ 범위다. 점선은 $G_l = 0.3$ K/mm로 둔 열 균형의 속도 한계. 오른쪽: 300 mm 웨이퍼 결함 지도(남색 공공형·COP, 초록 무결함, 황동색 틈새형). 핫존 모형: 기본 $G(r) = G_0(1+0.04u^2)$, $G_0\le2.6$; 열 차폐 $1+0.06u^2$, $G_0\le3.6$; 차폐+냉각관 $1+0.12u^2$, $G_0\le4.6$ K/mm($u = r/R$, 대표값으로 만든 모형). 해볼 것: ① 기본 핫존에서 90 % 무결함을 만든다. ② 냉각관을 달면 $G_0$를 올릴 수 있는데 왜 오히려 실패하는지 본다. ③ 가장 빠른 조합을 찾아 점수를 올린다.

잉곳 가운데의 $G$가 3.0 K/mm, 가장자리가 3.3 K/mm다($\xi_\text{crit} = 0.13$ mm²/(min·K), 무결함 창 ±3 %). (a) 가운데를 정확히 $\xi_\text{crit}$로 맞추는 인상 속도, (b) 그때 가장자리의 $\xi$와 결함 종류, (c) 웨이퍼 전체가 무결함 창 안에 들어갈 수 있는 $G$의 최대 반지름 방향 불균일(가장자리/가운데 − 1)을 구하라.

풀이 보기

전략 $\xi = V/G$. 전체가 창 안이려면 가운데 $\xi\le1.03\xi_c$, 가장자리 $\xi\ge0.97\xi_c$를 동시에 만족해야 한다.

풀이 (a) $V = 0.13\times3.0 = 0.390$ mm/min. (b) $\xi_\text{edge} = 0.390/3.3 = 0.118$ — $0.97\xi_c = 0.126$보다 작아 틈새형(전위 루프). (c) $V/G_0\le1.03\xi_c$와 $V/G_\text{edge}\ge0.97\xi_c$를 나누면 $G_\text{edge}/G_0\le1.03/0.97 = 1.062$, 곧 6.2 %.

(a) 0.390 mm/min (b) ξ = 0.118, 틈새형 (c) 6.2 %

검토 반지름 150 mm에 걸쳐 $G$를 6 % 안으로 맞추는 것은 핫존 설계의 큰 숙제다. 실제 무결함 공정은 점결함이 남아도 뭉치지 않는 Pv·Pi 영역까지 쓰므로 창이 이보다 조금 넓지만, 여전히 인상 속도를 수 % 안에서 다스려야 한다.

COP, 산소 석출과 에피 웨이퍼

공공형 결정의 COP는 연마한 웨이퍼 표면에 0.1 µm 크기의 구덩이로 드러나 입자 검사기에 빛 산란 결함(LPD)으로 잡히고, 그 위의 게이트 산화막을 약하게 만든다(GOI 불량). 해법은 셋이다. V/G를 맞춘 무결함 결정, 수소·아르곤 고온 어닐로 표면 근처 COP를 녹여 없애는 방법, 그리고 웨이퍼 위에 몇 µm 실리콘을 에피로 덮어 COP를 묻는 에피 웨이퍼다. 도가니에서 녹아든 산소(약 $10^{18}$ cm⁻³)는 소자 공정의 열처리 동안 웨이퍼 속에 SiO₂ 석출물(BMD)로 자라 금속 불순물을 붙잡는 내부 게터링을 하고, 표면 근처에는 석출물이 없는 무결함 층(DZ)을 남기도록 열 이력을 설계한다. → ProcessBook · 실리콘 웨이퍼와 세정

에피택시와 박막 구조 영역 모형

기판의 결정 방위를 그대로 이어 막을 키우는 것이 에피택시(epitaxy)다. 막과 기판이 같은 물질이면 동종 에피(Si 위 Si), 다르면 이종 에피(Si 위 SiGe, 사파이어·Si 위 GaN)다. 첫 원자층이 층으로 퍼질지 섬으로 뭉칠지(프랑크–판데르메르베·폴머–베버·스트란스키–크라스타노프 성장 모드)는 표면 에너지의 균형이 정하며, 열·통계물리 책의 박막 성장 모드에서 보았다. 이종 에피에서는 격자 상수의 차이가 미세조직을 정한다.

$$f = \frac{a_s - a_f}{a_f}\qquad(\texttt{Mat.misfit}),\qquad \text{Si}_{1-x}\text{Ge}_x:\ a(x) = 0.5431 + 0.01992x + 0.002733x^2\ \text{nm}$$

$a_s$, $a_f$는 기판과 막의 (응력 없는) 격자 상수다. Si 위 SiGe는 막이 크므로 $f \lt 0$, 막은 면 안에서 압축된다. 이 책은 캘리스터·오링(Ohring)의 정의를 따랐고, 고체물리 책의 $(a_\text{막} - a_\text{기판})/a_\text{기판}$과는 부호와 분모가 다르지만 1 % 아래에서 크기는 거의 같다.

막이 얇으면 막 원자가 기판의 면내 간격을 따르는 의사 정합(pseudomorphic) 막이 되어 불일치를 모두 탄성 변형 $\varepsilon = f$로 받는다. 변형 에너지는 두께에 비례해 쌓이므로, 어떤 두께 $h_c$를 넘으면 계면에 부정합 전위(misfit dislocation)를 넣어 변형을 푸는 편이 낫다. 매슈스–블레이크슬리 임계 두께는 고체물리 책 격자 불일치와 변형 실리콘에서 유도했다(Solid.criticalThickness, Si₀.₈Ge₀.₂ 약 13.5 nm). 재료공학에서 더 중요한 질문은 $h_c$를 넘은 뒤다. 평형에서 막은 한꺼번에 다 풀리지 않는다. 두께 $h$에서 남는 변형 $\varepsilon(h)$는 그 변형의 임계 두께가 마침 $h$가 되는 값, 곧 $h_c(\varepsilon) = h$의 해이고, 나머지 $|f| - \varepsilon$을 부정합 전위가 맡는다.

$$h_c(\varepsilon) = h,\qquad R = 1-\frac{\varepsilon}{|f|}\ (\text{완화율}),\qquad S = \frac{b_\text{eff}}{|f| - \varepsilon},\quad b_\text{eff} = \frac b2 = \frac{a}{2\sqrt2}$$

$S$는 한 방향 부정합 전위의 평균 간격이다. 다이아몬드 구조의 60° 전위는 버거스 벡터 $b = a/\sqrt2 = 0.384$ nm 가운데 계면 안에서 전위선에 수직한 성분 $b/2$만 불일치를 푼다. 완전히 풀린 Si₀.₈Ge₀.₂/Si는 $S = 0.192/0.00748 = 25.7$ nm마다 전위 하나가 필요하다.

곡선 위 흰 원을 좌우로 끌어 막 두께를 바꾼다

Ge 조성 x

MINI LAB위: 두께에 따른 평형 잔류 변형 $\varepsilon(h)$(로그 눈금). $h_c$까지는 $\varepsilon = |f|$로 평평하고, 그 뒤 천천히 줄어든다. 아래: 계면의 부정합 전위(⊥)와 그중 일부가 막을 뚫고 올라간 관통 전위. 두꺼워질수록 전위 간격이 $b_\text{eff}/|f|$로 다가간다.

Si 위 Si_1−xGe_x에서 $x =$ 0.20이면 격자 불일치 $f =$ , 임계 두께 $h_c =$ , 완전 완화에 필요한 부정합 전위 간격 $S =$ 이다.

Si(001) 위에 Si₀.₈Ge₀.₂를 키운다. (a) 격자 불일치 $f$, (b) 매슈스–블레이크슬리 임계 두께($\nu = 0.28$), (c) 막을 100 nm로 키웠을 때 평형 잔류 변형과 완화율, 부정합 전위 간격을 구하라.

풀이 보기

전략 데즈뮤크스 식으로 $a_f$를 구해 $f = (a_s - a_f)/a_f$. $h_c$는 반복 계산(Solid.criticalThickness). (c)는 $h_c(\varepsilon) = 100$ nm를 $\varepsilon$에 대해 푼다.

풀이 (a) $a_f = 0.5431 + 0.003984 + 0.000109 = 0.54719$ nm, $f = (0.5431 - 0.54719)/0.54719 = -0.748\,\%$. (b) $h_c = 13.5$ nm. (c) $h_c(\varepsilon) = 100$ nm의 해 $\varepsilon = 0.146\,\%$ → $R = 1 - 0.146/0.748 = 0.81$, $S = 0.192/(0.00748 - 0.00146) = 31.9$ nm.

(a) f = −0.748 % (b) h_c ≈ 13.5 nm (c) ε ≈ 0.15 %, R ≈ 81 %, S ≈ 32 nm

검토 100 nm 막이 평형에서 80 % 넘게 풀린다. 실제로는 저온에서 빨리 키우면 전위가 생길 시간이 없어 $h_c$의 몇 배까지 준안정으로 버티고(피플–빈 곡선), 이후 고온 공정에서 완화가 일어난다. 소자의 SiGe 층은 그래서 열 예산과 함께 두께를 정한다.

부정합 전위는 계면에만 머물지 않는다. 전위선은 결정 속에서 끝날 수 없으므로 양 끝이 관통 전위(threading dislocation)가 되어 막 표면까지 올라가고, 그 위의 소자에서 누설 전류 경로가 된다. 완화된 SiGe 가상 기판을 만들 때는 Ge 조성을 µm당 10 % 정도로 천천히 올리는 경사 버퍼로 부정합 전위를 여러 층에 나눠 넣고 관통 전위가 서로 만나 소멸하게 해 관통 전위 밀도를 $10^5$–$10^6$ cm⁻² 수준으로 낮춘다. 불일치가 14–16 %인 사파이어 위 GaN은 저온 핵생성층으로 시작해도 관통 전위가 $10^8$–$10^9$ cm⁻²에 이른다.

완화 SiGe 가상 기판. 조성을 계단처럼 조금씩 올리면 각 계면이 작은 불일치만 맡아 부정합 전위(⊥)가 여러 층에 퍼지고, 전위 줄기가 버퍼 안에서 옆으로 미끄러져 소멸할 기회가 많아진다. 한 번에 큰 조성으로 키우면 관통 전위가 막을 뚫고 올라온다.

스퍼터 막의 미세조직: 손턴 구조 영역 모형

배선의 Al·Cu·W·Ti·TaN 막은 대부분 기판 온도가 녹는점보다 훨씬 낮은 조건에서 스퍼터(PVD)로 쌓는다. 막에 도착한 원자(흡착 원자)가 자리를 찾아 움직일 수 있는 거리가 미세조직을 정하고, 그것은 상대 온도 $T/T_m$(기판 온도/막 재료의 녹는점, 둘 다 K)에 달려 있다. 손턴(Thornton)은 여기에 스퍼터 기체 압력을 둘째 축으로 더했다. 압력이 낮으면 원자와 이온이 기체와 덜 부딪혀 큰 에너지로 도착하고 막을 다지는(원자 피닝) 효과가 크다.

영역 1 ($T/T_m$ 낮음)

흡착 원자가 거의 움직이지 못해, 먼저 생긴 봉우리가 뒤에 오는 원자를 가리는 그림자 효과로 끝이 둥근 가는 기둥 사이에 빈틈이 생긴다. 다공성·높은 저항·인장 응력, 공기 중 산화에 약하다.

영역 T (전이)

표면 확산이 조금 생기고 이온 충돌이 빈틈을 메워 치밀한 섬유상 결정립이 된다. 표면이 매끈하고 압축 응력을 띠기 쉽다. 낮은 압력일수록 넓다.

영역 2·3 ($T/T_m$ 높음)

영역 2는 표면 확산으로 막 두께를 관통하는 굵은 기둥 결정립과 패싯 표면, 영역 3은 부피 확산·재결정으로 등축정이 된다. 결정립이 커져 저항이 낮다.

같은 스퍼터 장비에서 기판을 200 °C로 두고 5 mTorr로 알루미늄($T_m = 660$ °C)과 텅스텐($T_m = 3422$ °C)을 각각 쌓는다. 미세조직은?

상대 온도가 Al은 473/933 = 0.51, W는 473/3695 = 0.13이다. 같은 200 °C가 Al에게는 "뜨겁고" W에게는 "차갑다". 그래서 W 막은 기판을 수백 °C로 올리거나 압력을 낮추고 기판 바이어스로 이온 충돌을 늘려 다진다. 아래에서 작동점을 옮겨 보라.

SIMULATOR

손턴 구조 영역 지도: 작동점을 끌어 박막 단면 바꾸기

지도 위 흰 원(기판 온도·Ar 압력)을 끈다

막 재료

기판 바이어스(이온 충돌 강화)

기판 온도—

T/T_m—

영역—

미세조직—

왼쪽: 가로축 Ar 압력(1–30 mTorr, 로그), 세로축 $T/T_m$. 경계선은 Mat.thorntonBounds의 모형값이다. 오른쪽 축의 °C 눈금은 고른 막 재료의 녹는점으로 환산한 기판 온도다. 오른쪽: 그 영역의 막 단면 모식(기둥·빈틈·결정립 크기). 기판 바이어스를 켜면 이온 충돌이 압력을 낮춘 것과 비슷하게 작용한다고 보고 실효 압력을 1/3로 줄였다(모형). 해볼 것: ① Cu를 상온(25 °C)에 두고 압력을 바꿔 영역 1과 T 사이를 오간다. ② W를 고르면 같은 점이 어디로 가는지 본다. ③ W 막을 영역 T로 만드는 조건(낮은 압력·바이어스)을 찾는다.

기판 200 °C, Ar 5 mTorr에서 Al($T_m = 933$ K), Cu(1358 K), W(3695 K) 막을 스퍼터한다. 손턴 모형(이 책의 경계: 5 mTorr에서 $T/T_m$ = 0.218, 0.371, 0.547)으로 각 막의 영역을 판정하고, W를 영역 T로 만들 방법을 제시하라.

풀이 보기

전략 $T/T_m$을 K로 계산해 경계와 비교한다(Mat.thorntonZone).

풀이 $T = 473$ K. Al 0.507 → 0.371과 0.547 사이, 영역 2. Cu 0.348 → 0.218과 0.371 사이, 영역 T. W 0.128 → 0.218 아래, 영역 1. 압력을 1 mTorr로 낮추면 첫 경계가 0.10으로 내려가 W도 영역 T(0.128 > 0.10)가 된다. 기판 바이어스로 이온 충돌을 늘려도 같은 쪽으로 간다.

Al 영역 2, Cu 영역 T, W 영역 1 → 저압(≈1 mTorr)·바이어스로 W를 영역 T로

검토 텅스텐 플러그와 확산 방벽 막이 다공성이면 저항이 오르고 불소·산소가 스며든다. 그래서 W·Ta·TaN은 저압 이온화 PVD(IMP)나 CVD/ALD로 만든다. 같은 장비 조건이 금속마다 다른 미세조직을 주는 것이 손턴 모형의 요점이다.

에피와 스퍼터 막의 공정 창

로직 공정의 SiGe 소스·드레인과 나노시트 Si/SiGe 적층은 임계 두께와 열 예산 안에서 조성·두께를 고르는 에피 공정이고, 배선의 Ti/TiN·Ta/TaN 방벽과 구리 씨앗층은 손턴 지도의 영역 T 근처를 겨냥한 저압·이온화 PVD다. 씨앗층이 영역 1처럼 성기면 도금이 고르지 않고 보이드가 생기며, 너무 뜨거우면 구리가 뭉쳐(응집) 바닥이 끊긴다. → ProcessBook · 박막 증착

결정립 성장: 포츠 모형, 제너 고정, 비정상 성장

굳거나 쌓인 다결정은 가만히 두어도(특히 데우면) 결정립이 커진다. 6장의 회복·재결정 뒤에 오는 단계로, 구동력은 결정립계 에너지 $\gamma_\mathrm{gb}$(약 0.5 J/m²)를 줄이는 것뿐이다. 굽은 결정립계는 곡률 중심 쪽으로 움직이고(작은 결정립이 줄고 큰 결정립이 자란다), 속도는 이동도 $M$과 곡률 압력 $P = 2\gamma_\mathrm{gb}/r$의 곱이다. 평균 크기 $\bar d$에 대해 $d\bar d/dt\propto M\gamma_\mathrm{gb}/\bar d$를 적분하면 포물선 법칙이 나온다.

$$d^{\,n} - d_0^{\,n} = K\,t,\qquad K = K_0\exp\!\left(-\frac{Q}{RT}\right),\qquad n = 2\ (\text{이상적})$$

$Q$[kJ/mol]는 결정립계 이동의 활성화 에너지(대개 결정립계 확산과 비슷하다, Mat.grainGrowth). 실제 금속은 용질 끌림·불순물 때문에 $n = 2$–4로 더 느리다. 2차원에서는 폰 노이만–멀린스 규칙 $dA/dt = (\pi M\gamma/3)(N-6)$이 성립해, 변이 6개보다 적은 결정립은 줄어들고 많은 결정립은 자란다.

이 과정을 원자 하나하나가 아닌 결정립 번호의 격자로 흉내 내는 것이 포츠 모형(Potts model)이다. 격자 칸마다 결정립 번호를 붙이고, 무작위로 고른 칸의 번호를 이웃 번호로 바꿔 보아 경계(서로 다른 이웃 쌍)의 수가 줄면 받아들인다. 이 단순한 규칙만으로 곡률 구동 성장, 120°에 가까운 삼중점, $d^2\propto t$가 저절로 나온다. 시간 단위는 칸마다 한 번씩 시도하는 몬테카를로 스윕(MCS)이다.

같은 격자에 움직이지 않는 작은 입자(전체 칸의 2 %)를 흩어 놓고 결정립을 키운다. 평균 결정립 크기는 시간에 따라?

결정립계가 입자에 걸리면 입자가 경계 면적 일부를 대신해 주어, 경계가 떨어져 나가려면 에너지를 더 내야 한다. 결정립이 커져 곡률 구동력이 약해지면 입자들의 고정력이 이긴다. 이것이 제너 고정이고, 한계 크기는 $d_\text{lim} = 4r/3f$다.

SIMULATOR

포츠 모형 결정립 성장: 정상·제너 고정·비정상과 집합 조직

격자를 문지르면 그 자리를 미세 결정립으로 바꾼다

성장 방식

고정 입자 분율 f

색

시간—

평균 크기 d̄—

결정립 수—

우대 방위 분율—

96×96 격자, 이웃 8개, 온도 인자 $kT = 0.3$(Mat.potts, 시드 고정). 오른쪽 그래프는 $\bar d^2$(칸²)–MCS로, 정상 성장이면 직선이다. 비정상 모드는 번호가 40의 배수인 결정립(약 400개 중 10개, 방위 색에서 붉은 "우대 방위")의 경계가 더 잘 움직이도록 이동도 함수로 우대하고, 나머지는 고정 입자로 묶어 정상 성장을 멈춰 두었다. 해볼 것: ① 정상 모드에서 $\bar d^2$ 곡선이 직선인지 본다. ② 제너 모드에서 곡선이 휘어 눕는 것을 보고, f를 두 배로 하면 정체 크기가 줄어드는지 본다(2차원 격자에서는 3차원 식 $4r/3f$보다 약하게, 대략 $f^{-1/2}$로 준다). ③ 비정상 모드에서 방위 색으로 바꿔 몇몇 결정립이 전체를 먹어 집합 조직이 생기는 것을 본다.

제너(Zener)는 반지름 $r$인 입자 하나가 결정립계를 붙잡는 최대 힘이 $\pi r\gamma_\mathrm{gb}$이고, 부피 분율 $f$의 입자가 단위 면적의 경계에 걸리는 수가 $3f/2\pi r^2$임을 써서, 고정 압력 $3f\gamma_\mathrm{gb}/2r$가 곡률 압력 $2\gamma_\mathrm{gb}/d$와 같아지는 크기를 구했다.

$$d_\text{lim} = \frac{4r}{3f}\qquad(\texttt{Mat.zenerLimit})$$

입자가 작고 많을수록 결정립을 작게 묶는다. 미세 합금강의 Nb(C,N)·TiN, 텅스텐 필라멘트의 칼륨 거품, 알루미늄 배선의 Cu 석출물(θ)이 이 역할을 한다. 앞 계수 4/3은 모형마다 달라(예: 힐레르트 4/9) 실험과 비교할 때는 자릿수 추정으로 쓴다.

반지름 50인 입자가 부피 분율 1.0로 흩어져 있으면 결정립은 $d_\text{lim} =$ 에서 멈춘다. 입자가 숙성해 반지름이 두 배가 되면(같은 $f$) 까지 다시 자란다.

강 속에 반지름 50 nm인 Al₂O₃ 입자가 부피 분율 1.0 % 흩어져 있다. (a) 제너 한계 크기, (b) 처음 결정립 크기가 2.0 µm이고 그 온도에서 $K = 1.0\times10^{-14}$ m²/s($n = 2$)일 때 한계 크기에 이르는 시간을 구하라(고정 효과는 한계에 이르기 전에는 무시).

풀이 보기

전략 (a) $d_\text{lim} = 4r/3f$. (b) $t = (d^2 - d_0^2)/K$.

풀이 (a) $d_\text{lim} = 4(50\text{ nm})/(3\times0.010) = 6.67$ µm. (b) $t = ((6.67\times10^{-6})^2 - (2.0\times10^{-6})^2)/1.0\times10^{-14} = (4.44\times10^{-11} - 4.0\times10^{-12})/10^{-14} = 4.04\times10^3$ s.

(a) 6.67 µm (b) 약 4.0×10³ s (67분)

검토 이 온도에서 몇 시간을 더 두어도 결정립은 6–7 µm에 머문다. 그러나 온도가 높아 입자가 녹거나 숙성하면 고정이 풀리고, 고정이 고르지 않으면 일부 결정립만 풀려 나와 비정상 성장한다.

비정상 성장과 집합 조직

정상 성장이 고정 입자·막 두께·이미 정렬된 방위 때문에 멈춘 조직에서, 몇몇 결정립이 이동도나 에너지 이점을 얻으면 주위를 잡아먹으며 수십–수백 배로 자란다. 이것이 비정상 결정립 성장(abnormal grain growth, 2차 재결정)이다. 입자 분포가 고르지 않거나, 입자가 일부 녹거나, 특정 방위의 결정립계가 이동도가 크거나, 표면 에너지·변형 에너지가 낮은 방위가 있을 때 생긴다. 이긴 결정립이 비슷한 방위라면 결과는 강한 집합 조직(texture), 곧 우선 방위다. 방향성 전기 강판의 고스 방위 {110}⟨001⟩가 의도적으로 만든 비정상 성장의 대표 예다.

박막에서는 표면·계면 에너지가 방위를 고른다. FCC 금속 막은 표면 에너지가 가장 낮은 (111)면이 막 면과 나란한 섬유 집합 조직을 좋아하고, 막이 두꺼워져 변형 에너지가 커지면 탄성적으로 무른 (100) 방위 결정립이 비정상 성장으로 이긴다. 알루미늄 배선은 (111) 집합 조직이 강할수록 일렉트로마이그레이션 수명이 길다(17장). 결정립 방위는 18장의 XRD 극점도나 EBSD로 잰다.

구리 자가 어닐링과 레이저 어닐

결정립 성장이 반도체 공정에서 가장 극적으로 보이는 두 장면이 있다. 하나는 전해 도금한 구리 배선이 상온에서 몇 시간–며칠 동안 저절로 재결정하는 자가 어닐링(self-annealing)이고, 다른 하나는 나노초 레이저로 비정질 실리콘을 녹였다 굳혀 큰 결정립 다결정 실리콘을 만드는 엑시머 레이저 어닐(ELA)이다.

도금 구리의 상온 재결정

다마신 구리는 첨가제(가속제·억제제·평탄제)를 넣은 황산구리 욕에서 도금한다. 막 도금한 구리는 결정립이 50–100 nm로 작고, 첨가제에서 온 황·염소·탄소가 결정립계에 끼어 있으며 결정립계와 쌍정에 큰 에너지를 품고 있다. 구리의 녹는점은 1358 K라 상온은 $T/T_m = 0.22$에 불과하지만, 이 큰 구동력 덕에 일부 결정립이 불순물 고정에서 풀려나며 비정상 성장으로 수 µm까지 자란다. 이때 결정립계 산란이 줄어 저항률이 15–20 % 떨어지고, 막 응력과 경도도 바뀐다. 결과가 시간·온도·첨가제에 따라 달라 CMP 결과가 흔들리므로, 양산은 도금 직후 100–250 °C에서 짧게 어닐해 재결정을 끝내 놓는다.

SIMULATOR

도금 구리 막의 자가 어닐링: 결정립과 저항률

보관·어닐 온도 첨가제 불순물

경과 시간—

평균 결정립—

저항률 ρ—

도금 직후 대비—

왼쪽: 1 µm 두께 막의 평면 2 µm × 2 µm(포츠 80×80, 한 칸 25 nm). 처음 결정립 약 50 nm, 불순물은 고정 입자로 넣었고, 첨가제를 늘리면 고정 입자가 늘어난다. 시간은 MCS를 아레니우스 인자(활성화 에너지 0.9 eV, 상온에서 약 100 MCS가 하루가 되게 맞춘 모형)로 실제 시간에 대응시켰다. 오른쪽: 저항률을 Mat.sizeEffect(Cu: $\rho_0 = 1.72$ µΩ·cm, $\lambda = 39.9$ nm, 결정립계 반사 0.3, 표면 산란 막 두께 1 µm)로 계산한 시간 곡선(로그 시간). 결정립계 반사를 0.3으로 두어 모형의 감소폭(약 30 %)은 실측(15–20 %)보다 조금 크다. 해볼 것: ① 25 °C에서 결정립이 커지기 시작하기까지의 잠복 시간과 저항이 떨어지는 모습을 본다. ② 200 °C로 올리면 같은 변화가 몇 분 안에 끝난다. ③ 첨가제를 늘리면 재결정이 늦어지고 최종 결정립이 작아진다.

구리 도금 후 어닐과 좁은 배선의 결정립

도금 직후 어닐은 자가 어닐링의 들쭉날쭉함을 없애 CMP 연마 속도와 디싱을 안정시킨다. 다만 결정립 성장은 넓은 패드와 두꺼운 덮개층(overburden)에서 시작해 트렌치 속으로 내려가므로, 폭이 수십 nm인 배선 속은 결정립이 작게 남아 결정립계 산란과 표면 산란으로 저항률이 벌크의 2–3배가 된다(11·15장의 크기 효과). 그래서 덮개층 두께·어닐 조건이 미세 배선의 저항과 일렉트로마이그레이션 수명을 함께 정한다. → ProcessBook · 금속 배선

레이저 용융 재결정: LTPS

스마트폰 OLED 화면의 화소 회로는 유리 기판 위 다결정 실리콘(LTPS) 트랜지스터다. 유리는 600 °C를 못 버티므로 노에서 굳힐 수 없고, 50 nm 두께 비정질 실리콘에 308 nm XeCl 엑시머 레이저를 수십 ns 쬐어 실리콘만 순간적으로 녹였다 굳힌다. 결정립 크기는 레이저 에너지 밀도에 아주 민감하다.

부분 용융: 위쪽만 녹아 아래에 남은 고체 알갱이에서 수직으로 자란다. 결정립은 막 두께 정도(수십 nm)이고 에너지와 함께 조금씩 커진다.
거의 완전 용융: 바닥에 고체 섬이 드문드문 남으면 그 몇 개만 씨앗이 되어 옆으로 길게 자라는 초측면 성장(super-lateral growth, SLG)이 일어나 결정립이 0.3–1 µm로 커진다.
완전 용융: 씨앗이 모두 사라지면 액체가 크게 과냉된 뒤 균질 핵생성으로 한꺼번에 굳어 20–50 nm의 미세 결정립이 된다. 에너지를 조금 더 올렸을 뿐인데 결정립이 수십 분의 1로 줄어든다.

곡선 위 흰 원을 좌우로 끌어 레이저 에너지 밀도를 바꾼다

MINI LAB50 nm a-Si 막의 결정립 크기–에너지 밀도 곡선(대표적인 모양을 따른 모형)과 그 에너지에서의 단면(빨강: 녹은 깊이, 아래: 굳은 뒤 결정립). 가장 큰 결정립은 완전 용융 문턱 바로 아래의 좁은 창에서 나온다.

SLG 창은 수 % 폭밖에 안 되고 레이저 펄스 에너지는 펄스마다 흔들리므로, 양산에서는 선 모양 빔을 90–95 % 겹치며 10–20번 쬐어 결정립을 고르게 다듬는다. 같은 생각이 반도체의 레이저 용융 어닐에도 쓰인다. 나노초 레이저로 표면 수십 nm만 녹이면 도펀트가 고용도 이상으로 갇혀 활성화되고, 아래 소자는 거의 데워지지 않는다.

LTPS 백플레인과 ELA 무라

LTPS TFT의 이동도(50–100 cm²/V·s)와 문턱 전압 균일도는 ELA로 만든 결정립의 크기와 결정립계 분포가 정한다. 펄스 에너지가 흔들려 줄마다 결정립이 다르면 화면에 줄무늬 얼룩(샷 무라)이 보인다. 그래서 에너지 밀도를 SLG 창 한가운데에 두고 겹쳐 쬐기 횟수를 늘리며, 결정립 상태를 광학 계측으로 매 기판 확인한다. → DisplayBook · TFT 백플레인

핵심 정리

응고 핵생성과 계면: $r^* = 2\gamma_\mathrm{SL}T_m/\Delta H_f\Delta T$, $\Delta G^* = 16\pi\gamma_\mathrm{SL}^3T_m^2/3\Delta H_f^2\Delta T^2$. 균질 핵생성의 최대 과냉은 약 $0.2T_m$이지만 실제 주조는 벽·접종제 위 불균질 핵생성으로 1 K 안팎에서 굳는다. 순금속 계면은 $G \gt 0$이면 평탄, 과냉 액체 속($G \lt 0$)이면 열적 덴드라이트. 잭슨 인자 $\Delta H_f/RT_m$이 크면(실리콘 3.6) 패싯 성장.
조성적 과냉: 계면 앞 용질 $C_L = C_0[1+\tfrac{1-k}{k}e^{-Vx/D}]$이 액상선 온도를 깎아, 실제 온도 직선이 그 아래로 처지면 과냉 영역이 생긴다. 평탄 조건 $G/V \ge \Delta T_0/D$, $\Delta T_0 = mC_0(1-k)/k$. $G/V$가 작아질수록 평탄 → 셀 → 덴드라이트.
덴드라이트와 주조 조직: $\lambda_2 = a t_f^{1/3} = A\dot T^{-n}$(Al 합금 $A\approx50$ µm, $n\approx1/3$). 팔 사이에 미세 편석·공정·기공이 모여 $\lambda_2$가 성질을 정한다. 주괴는 칠(벽 핵) → 주상정(⟨100⟩ 경쟁 성장) → 등축정(가운데 조성적 과냉·접종). 낮은 과열도·접종·교반은 등축정을, 일방향 응고는 주상정·단결정을 만든다.
초크랄스키: 열 균형 $k_sG_s = k_lG_l + \rho_sLv$, $v_\text{max} = k_sG_s/\rho_sL$(Si: $G_s = 3$ K/mm에서 약 0.95 mm/min). 보론코프 $\xi = V/G$: $\xi \gt \xi_\text{crit}\approx0.13$ mm²/(min·K)이면 공공형(COP·OSF 고리), 작으면 틈새형(전위 루프). 무결함 웨이퍼는 $V$를 맞추고 $G$를 반지름 방향으로 고르게(±3 % 창이면 불균일 6 % 이내).
에피택시: $f = (a_s - a_f)/a_f$. $h_c$까지 의사 정합, 그 뒤 평형 잔류 변형 $\varepsilon(h)$는 $h_c(\varepsilon) = h$의 해, 부정합 전위 간격 $S = b_\text{eff}/(|f| - \varepsilon)$, $b_\text{eff} = b/2$. 관통 전위는 경사 버퍼로 줄인다.
손턴 구조 영역: 상대 온도 $T/T_m$(K)과 Ar 압력이 막 미세조직을 정한다. 영역 1(그림자 효과·다공성) → T(치밀 섬유상, 저압·이온 충돌로 넓어짐) → 2(관통 기둥) → 3(등축 재결정). 같은 기판 온도에서도 녹는점이 높은 W는 영역 1, Al은 영역 2.
결정립 성장: 곡률 구동 $d^2 - d_0^2 = Kt$, $K = K_0e^{-Q/RT}$. 포츠 모형이 이를 재현한다. 제너 고정 $d_\text{lim} = 4r/3f$. 고정이 고르지 않거나 일부 방위가 유리하면 비정상 성장과 집합 조직. 도금 구리는 상온에서 비정상 성장해 저항률이 15–20 % 떨어지고(자가 어닐링), ELA는 완전 용융 문턱 바로 아래의 초측면 성장으로 µm 결정립을 만든다.

연습문제

따로 말이 없으면 실리콘 자료는 $k_s = 22$, $k_l = 56$ W/(m·K), $\rho_s = 2330$ kg/m³, $L = 1.788\times10^6$ J/kg, 보론코프 $\xi_\text{crit} = 0.13$ mm²/(min·K)(무결함 창 ±3 %), $R = 8.314$ J/(mol·K)을 쓴다. 섭씨는 켈빈으로 바꿔 계산한다. 답이 ±1–2 % 이내면 정답이다.

니켈($T_m = 1455$ °C, $\Delta H_f = 2.53\times10^9$ J/m³, $\gamma_\mathrm{SL} = 0.255$ J/m²)이 $\Delta T = 319$ K 과냉에서 균질 핵생성한다. 임계 반지름과 핵생성 장벽을 구하라.

$T_m = 1728$ K. $\Delta G_v = \Delta H_f\Delta T/T_m$을 먼저 구한다.

$\Delta G_v = 2.53\times10^9\times319/1728 = 4.67\times10^8$ J/m³. $r^* = 2(0.255)/4.67\times10^8 = 1.09\times10^{-9}$ m. $\Delta G^* = 16\pi(0.255)^3/(3(4.67\times10^8)^2) = 1.27\times10^{-18}$ J.

알루미늄 쇳물에 넣은 TiB₂ 접종 입자 위에서 고체 핵이 접촉각 30°를 이룬다. 평평한 기판 위 구형 모자 핵으로 보고 장벽 감소 인자 $S(\theta)$를 구하라.

$S = (2+\cos\theta)(1-\cos\theta)^2/4$, $\cos30° = 0.8660$: $S = 2.866\times(0.1340)^2/4 = 0.0129$. 장벽이 1/78로 줄어 1 K 남짓한 과냉으로도 핵이 생긴다.

Pb–10 wt% Sn 합금(Pb 쪽 액상선 기울기 $m = 2.6$ K/wt%, $k = 0.44$, $D = 2.0\times10^{-9}$ m²/s)을 $V = 5.0$ µm/s로 일방향 응고한다. 응고 구간 $\Delta T_0$와 평탄 계면에 필요한 최소 온도 기울기를 구하라.

$\Delta T_0 = 2.6\times10\times0.56/0.44 = 33.1$ K. $G_\text{min} = \Delta T_0V/D = 33.1\times5.0\times10^{-6}/2.0\times10^{-9} = 8.27\times10^4$ K/m $= 82.7$ K/mm.

Al–0.5 wt% Cu($m = 2.5$ K/wt%, $k = 0.16$, $D = 3.0\times10^{-9}$ m²/s)를 온도 기울기 5.0 K/mm인 장치에서 키운다. 평탄 계면을 유지하는 최대 성장 속도는?

$\Delta T_0 = 2.5\times0.5\times0.84/0.16 = 6.5625$ K, $\Delta T_0/D = 2.19\times10^9$ K·s/m². $V_\text{max} = 5000/2.19\times10^9 = 2.29\times10^{-6}$ m/s $= 2.29$ µm/s. 용질을 1/4로 줄이니 허용 속도가 4배가 되었다.

$\lambda_2 = 50\,\dot T^{-1/3}$ µm($\dot T$ K/s)인 알루미늄 합금을 금형에서 8.0 K/s로 굳혔다. 2차 덴드라이트 팔 간격은?

$8^{-1/3} = 0.5$이므로 $\lambda_2 = 25.0$ µm.

어떤 합금 주물에서 냉각 속도 0.50 K/s인 곳의 $\lambda_2$가 60 µm, 13.5 K/s인 곳이 20 µm였다. $\lambda_2 = A\dot T^{-n}$의 $n$과 $A$(µm, $\dot T$ K/s)를 구하라.

$n = \ln(60/20)/\ln(13.5/0.5) = \ln3/\ln27 = 0.333$. $A = 60\times0.5^{1/3} = 47.6$ µm.

실리콘 결정 쪽 계면 온도 기울기가 2.0 K/mm일 때 융액에서 오는 열을 무시한 최대 인상 속도(mm/min)를 구하라.

$v_\text{max} = k_sG_s/\rho_sL = 22\times2000/(2330\times1.788\times10^6) = 1.056\times10^{-5}$ m/s $= 0.634$ mm/min.

인상 속도 0.60 mm/min으로 키우고 싶다. 융액 쪽 계면 기울기가 0.30 K/mm라면 결정 쪽 기울기 $G_s$는 얼마여야 하는가?

$G_s = (\rho_sLv + k_lG_l)/k_s$. $v = 1.0\times10^{-5}$ m/s: $\rho_sLv = 4.166\times10^4$ W/m², $k_lG_l = 56\times300 = 1.68\times10^4$ W/m². $G_s = 5.846\times10^4/22 = 2657$ K/m $= 2.66$ K/mm.

300 mm 잉곳을 0.50 mm/min으로 키운다. 계면의 $G$가 $G(r) = 3.5\,[1+0.20(r/R)^2]$ K/mm($R = 150$ mm)로 분포한다. 가운데와 가장자리의 결함 종류를 말하고, $\xi = \xi_\text{crit}$인 반지름(공공형 영역의 바깥 경계 근처)을 구하라.

가운데 $\xi = 0.5/3.5$, 가장자리 $0.5/4.2$. 경계는 $1+0.2u^2 = V/(\xi_cG_0)$.

가운데 $\xi = 0.143 \gt 1.03\times0.13$ → 공공형(COP), 가장자리 $0.119 \lt 0.97\times0.13$ → 틈새형. $1+0.2u^2 = 0.5/(0.13\times3.5) = 1.0989$ → $u^2 = 0.495$, $u = 0.703$, $r = 105$ mm. 그 둘레에 OSF 고리와 좁은 무결함 고리가 있고 바깥은 틈새형이다.

초크랄스키 실리콘 웨이퍼의 COP(crystal originated particle)에 대한 설명으로 옳은 것은?

공공 과잉($\xi \gt \xi_\text{crit}$) 결정에서 공공이 1100 °C 부근에서 뭉쳐 0.1 µm 크기의 팔면체 공동이 된다. 웨이퍼를 자르고 연마하면 표면에 걸린 공동이 구덩이로 드러나 입자처럼 빛을 산란해 이 이름이 붙었다. 틈새 원자 과잉은 전위 루프(A 결함)가 된다.

Si 위 Si₀.₇Ge₀.₃ 막의 격자 불일치 $f = (a_s - a_f)/a_f$(%)와, 막이 완전히 완화되었을 때 한 방향 부정합 전위의 간격 $S$를 구하라. $a(x) = 0.5431 + 0.01992x + 0.002733x^2$ nm, $b_\text{eff} = a_\text{Si}/(2\sqrt2)$.

$a_f = 0.5431 + 0.005976 + 0.000246 = 0.54932$ nm. $f = (0.5431 - 0.54932)/0.54932 = -1.13\,\%$. $b_\text{eff} = 0.5431/2.828 = 0.1920$ nm, $S = 0.1920/0.01133 = 17.0$ nm.

티타늄($T_m = 1668$ °C) 막을 기판 300 °C, Ar 3 mTorr에서 스퍼터한다. 이 책의 손턴 경계(3 mTorr에서 $T/T_m$ = 0.181, 0.348, 0.532)로 판정한 미세조직은?

$T/T_m = 573/1941 = 0.295$. 0.181과 0.348 사이이므로 영역 T다. 같은 조건의 Al($573/933 = 0.61$)은 영역 3이 된다.

처음 결정립 크기 10 µm인 금속을 어떤 온도에 1.0 h 두었더니 30 µm가 되었다. $d^2 - d_0^2 = Kt$를 따른다면 같은 온도에서 처음부터 50 µm가 될 때까지 걸리는 시간은?

$K = (900 - 100)/1.0 = 800$ µm²/h. $t = (2500 - 100)/800 = 3.00$ h.

어떤 합금의 결정립 성장($n = 2$) 속도 상수가 500 °C에서 $1.0\times10^{-13}$ m²/s이고 활성화 에너지가 150 kJ/mol이다. (a) 600 °C의 $K$, (b) 600 °C에서 5.0 µm 결정립이 50 µm가 되는 시간을 구하라.

(a) $K_2/K_1 = \exp[(150000/8.314)(1/773.15 - 1/873.15)] = \exp(2.673) = 14.5$ → $K = 1.45\times10^{-12}$ m²/s. (b) $t = (2.5\times10^{-9} - 2.5\times10^{-11})/1.45\times10^{-12} = 1.71\times10^3$ s(약 28분). 100 °C 올리자 시간이 1/14.5로 줄었다.

반지름 20 nm인 석출물로 결정립 크기를 2.0 µm 아래로 묶으려면 석출물의 부피 분율이 최소 몇 %여야 하는가?

$f = 4r/3d = 4(20\times10^{-9})/(3\times2.0\times10^{-6}) = 0.0133 = 1.33\,\%$.

두께 500 nm인 도금 구리 막의 결정립이 자가 어닐링으로 60 nm에서 400 nm로 자랐다. 간이 크기 효과 식 $\rho = \rho_0[1 + \tfrac38(1-p)\lambda/t + \tfrac32\tfrac{R}{1-R}\lambda/d]$($\rho_0 = 1.72$ µΩ·cm, $\lambda = 39.9$ nm, $p = 0$, $R = 0.3$)로 전후의 저항률과 감소율을 구하라.

표면 항 $0.375\times39.9/500 = 0.0299$. 결정립계 항 $1.5\times(0.3/0.7)\times39.9/d = 25.65/d$: 60 nm → 0.4275, 400 nm → 0.0641. $\rho = 1.72\times1.4574 = 2.51$, $1.72\times1.0940 = 1.88$ µΩ·cm. 감소율 $1 - 1.88/2.51 = 24.9\,\%$.

개념 확인 퀴즈

순금속은 평탄 계면으로 굳는 조건($G \gt 0$)에서 같은 금속에 용질을 2 % 넣으면 덴드라이트가 되는 까닭은?

온도 기울기는 여전히 양수다. 그러나 계면 바로 앞의 액체는 용질이 진해 액상선 온도가 낮고, 조금 떨어진 액체는 액상선이 높은데 실제 온도는 그만큼 빨리 오르지 못한다. 그 구간에서는 액체가 자기 조성 기준으로 과냉되어 돌기가 자란다.

주괴의 등축정 영역을 넓히는 방법이 아닌 것은?

일방향 응고는 열 흐름을 한 방향으로 만들어 주상정을 키운다(터빈 날개). 등축정은 가운데 액체의 조성적 과냉과 핵(접종 입자·덴드라이트 조각)이 많을 때 생긴다.

핫존을 바꿔 계면 온도 기울기 $G$를 모든 반지름에서 10 % 올렸다. 결함 지도를 그대로 유지하려면 인상 속도는?

결함 종류는 $\xi = V/G$로 정해지므로 $G$를 올리면 $V$도 같은 비율로 올릴 수 있다. 열 균형의 $v_\text{max}$도 $G_s$에 비례해 커지므로 둘이 함께 맞는다. 다만 반지름 방향 불균일이 커지지 않아야 한다.

손턴 모형에서 Ar 압력을 낮추면 영역 T가 넓어지는 이유는?

낮은 압력에서는 평균 자유 행로가 길어 입자가 에너지와 방향을 잃지 않고 도착한다. 이온·고에너지 중성 입자의 충돌이 그림자 효과로 생긴 빈틈을 메우고 원자를 다져(atomic peening) 낮은 $T/T_m$에서도 치밀한 막이 된다. 기판 바이어스도 같은 효과를 준다.

제너 고정으로 결정립이 멈춰 있던 강을 더 높은 온도에 두었더니 몇몇 결정립만 아주 크게 자랐다. 가장 그럴듯한 설명은?

입자가 녹아 $f$가 줄거나 숙성해 $r$이 커지면 $d_\text{lim}$이 커진다. 이 변화가 고르지 않으면 먼저 풀린 결정립이 크기 이점까지 얻어 폭주한다. 결과는 크기 분포가 두 봉우리인 조직이고, 성질이 고르지 않아 대개 피한다.

응고·결정 성장과 박막 미세조직

응고의 과냉과 고–액 계면

계면 앞의 온도: 평탄한 계면과 열적 덴드라이트

조성적 과냉과 셀·덴드라이트

조성적 과냉: 온도 직선을 끌어 과냉 영역 없애기

덴드라이트 팔 간격과 주조 조직

주괴의 세 영역: 칠·주상정·등축정

주괴 단면 만들기: 칠·주상정·등축정과 접종

초크랄스키 성장: 열 균형과 V/G 기준

점결함의 운명: 보론코프의 V/G

무결함 실리콘 키우기: V–G 평면의 작동점과 웨이퍼 결함 지도

에피택시와 박막 구조 영역 모형

스퍼터 막의 미세조직: 손턴 구조 영역 모형

영역 1 (\(T/T_m\) 낮음)

영역 T (전이)

영역 2·3 (\(T/T_m\) 높음)

손턴 구조 영역 지도: 작동점을 끌어 박막 단면 바꾸기

결정립 성장: 포츠 모형, 제너 고정, 비정상 성장

포츠 모형 결정립 성장: 정상·제너 고정·비정상과 집합 조직

비정상 성장과 집합 조직

구리 자가 어닐링과 레이저 어닐

도금 구리의 상온 재결정

도금 구리 막의 자가 어닐링: 결정립과 저항률

레이저 용융 재결정: LTPS

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈