용어집과 종합 문제

\(M\) = Al \(69^{1/3}/2.70 = 4.102/2.70 = 1.519\), 강 \(5.915/7.85 = 0.754\), CFRP \(3.915/1.55 = 2.526\) (GPa¹ᐟ³·cm³/g). 질량비 강/Al \(= 1.519/0.754 = 2.02\), CFRP/Al \(= 1.519/2.526 = 0.601\). 봉(\(E/\rho\))에서는 비겼던 강과 Al이 판에서는 두 배 차이가 난다 — 강성이 두께의 세제곱으로 커지므로, 가벼운 재료로 두껍게 만드는 쪽이 유리하다. → 1장 성능 지수 유도

AlN: \(E\alpha = 330\times10^3\times4.5\times10^{-6} = 1.485\) MPa/K, \(\Delta T_\mathrm c = 300\times0.76/1.485 = 154\ \text{K}\). SiC: \(E\alpha = 1.64\) MPa/K, \(\Delta T_\mathrm c = 450\times0.86/1.64 = 236\ \text{K}\). 둘 다 알루미나(약 92 K)보다 훨씬 낫다. 열이 천천히 들어오는 조건의 지수 \(R' = \kappa\Delta T_\mathrm c\)로 보면 AlN \(170\times154 = 26\) kW/m, SiC \(120\times236 = 28\) kW/m로 비슷해진다 — 높은 열전도가 낮은 강도를 메운다. → 1장 열충격·열 분산 지수

보의 굽힘 응력은 \(\sigma = M_\mathrm b(b/2)/I\propto M_\mathrm b/b^3\)이므로 강도 제약에서 \(b\propto(M_\mathrm b/\sigma_\mathrm f)^{1/3}\), 질량 \(m = b^2L\rho\propto\rho/\sigma_\mathrm f^{2/3}\). 그래서 지수는 \(\sigma_\mathrm f^{2/3}/\rho\)다. \(\sigma_\mathrm f/\rho\)는 인장 봉, \(\sigma_\mathrm f^{1/2}/\rho\)는 판, \(E/\rho\)는 강성 제약의 봉이다. 하중·길이는 \(m\)에 곱해지는 상수일 뿐이라 재료 순위를 바꾸지 않는다. → 1장 성능 지수 유도

절차는 번역(목적·제약·자유 변수) → 선별(제약을 넘지 못하면 통과/탈락) → 순위(성능 지수) → 문서화다. 구리는 열전도가 가장 좋아도 절연 제약에서 탈락하므로 순위에 오르지 못한다. 가중 점수와 파레토 전선은 순위 단계의 도구이고, 공정 호환·공급·신뢰성 확인은 마지막 문서화 단계다. → 1장 재료 선택의 절차와 절충

\(a = 2\sqrt2\times0.1431 = 0.4047\ \text{nm}\), \(V_\mathrm C = (4.047\times10^{-8})^3 = 6.63\times10^{-23}\) cm³. \(\rho = 4\times26.98/(6.63\times10^{-23}\times6.022\times10^{23}) = 107.9/39.9 = 2.70\ \text{g/cm}^3\) — 실측 2.70과 같다. X선으로 잰 격자 상수(0.4049 nm)도 맞는다. 밀도 계산을 거꾸로 쓰면 구조를 판정할 수 있다: 같은 \(R\)로 BCC를 가정하면 \(2.70/1.089 = 2.48\)이 나와 실측과 어긋난다. → 2장 FCC·BCC·HCP와 이론 밀도

\(r_\mathrm C/r_\mathrm A = 72/140 = 0.514\) → 배위수 6, 암염. \(a = 2(0.072 + 0.140) = 0.424\ \text{nm}\), \(V_\mathrm C = 7.62\times10^{-23}\) cm³. \(\rho = 4\times40.31/(7.62\times10^{-23}\times6.022\times10^{23}) = 3.51\ \text{g/cm}^3\)(실측 3.58, 실측 \(a\) = 0.421 nm). 반지름 표의 1% 오차가 밀도에서는 세제곱으로 3%가 된다. → 2장 틈새 자리와 이온 결정의 배위수

\(a = 4\times0.1241/\sqrt3 = 0.2866\) nm, \(a^2 = 0.08214\) nm². \(\mathrm{PD}_{110} = 2/(\sqrt2\times0.08214) = 17.2\ \text{nm}^{-2}\), \(\mathrm{PD}_{100} = 1/0.08214 = 12.2\ \text{nm}^{-2}\). 가장 조밀한 {110}이 슬립면이고, 슬립 방향은 그 면 안의 조밀 방향 ⟨111⟩이다(6장). 면밀도는 산화·식각 속도와 벽개면도 좌우한다. → 2장 밀러 지수와 선밀도·면밀도

SiC 폴리타입은 모두 배위수 4의 사면체를 쌓는다. 3C(ABC, 육방성 0%)부터 2H(AB, 100%)까지 쌓는 주기가 다르고, 숫자는 한 주기의 층 수다. 띠틈은 2.36 eV(3C)에서 3.26 eV(4H), 3.33 eV(2H)까지 육방성과 함께 커지며, 4H가 높은 띠틈과 이동도로 전력 소자 기판이 되었다. → 2장 공유 결정, 다형과 동소체

\(\ln10^5 = 11.513\). (가) \(T = 0.90/(8.617\times10^{-5}\times11.513) = 907\ \text{K} = 634\ {}^\circ\mathrm C\). (나) \(T = 0.90/(8.617\times10^{-5}\times13.013) = 803\ \text{K} = 529\ {}^\circ\mathrm C\). 엔트로피 인자 \(e^{1.5}\approx4.5\)가 같은 농도의 온도를 100 K 넘게 낮춘다. 공공 농도가 확산 속도를 정하므로(4장) 이 차이는 확산 계수 외삽에도 그대로 들어간다. → 3장 점결함의 평형 농도

+2가 Ca가 +4가 자리에 들어가면 유효 전하는 −2(\(''\))다. 양이온 자리 하나에 산소 자리 둘인 ZrO₂의 자리 비를 맞추려면 산소 하나가 정상 자리에 들어가고 하나는 비어야 하며, 그 공공(\(\mathrm V_\mathrm O^{\bullet\bullet}\), +2)이 전하를 맞춘다. 세 번째 식은 자리 비(양이온 1 : 산소 2)는 맞지만 전하가 −2로 남는다. 이 산소 공공이 YSZ·CSZ의 이온 전도를 만든다. → 3장 이온 결정의 결함과 크뢰거–빙크 표기

Cu \(70/63.55 = 1.1015\) mol, Zn \(30/65.38 = 0.4589\) mol, Zn \(= 0.4589/1.5604\times100 = 29.4\ \text{at\%}\). 두 원소의 몰 질량이 비슷해 wt%와 at%가 거의 같다. Zn은 Cu와 반지름 차가 4%, 전기음성도도 비슷해 흄–로더리 규칙을 대부분 만족하지만, 구조(HCP)와 원자가가 달라 고용 한계(약 35 wt%)가 있다. → 3장 치환형·틈새형 고용체와 흄–로더리 규칙

(가) \(N = 2^7 = 128\). (나) \(\log_{10}\bar\ell = -(8 + 3.288)/6.6439 = -1.699\), \(\bar\ell = 0.0200\ \text{mm} = 20.0\ \mu\text{m}\). 번호가 하나 커질 때 단위 넓이의 결정립 수는 두 배, 교차 길이는 \(1/\sqrt2\)배가 된다. 홀–페치 식(6장)에 넣는 \(d\)는 이 \(\bar\ell\) 또는 그 1.5배쯤인 3차원 지름이므로, 어느 값을 썼는지 밝혀야 한다. → 3장 결정립 크기 측정

\(D(1173\ \text{K}) = 2.3\times10^{-5}e^{-15.18} = 5.92\times10^{-12}\) m²/s, \(D(1273\ \text{K}) = 2.3\times10^{-5}e^{-13.98} = 1.95\times10^{-11}\ \text{m}^2/\text{s}\). \(t_2 = 10\times5.92/19.5 = 3.04\ \text{h}\). 100 °C 올려 시간을 3분의 1로 줄인다. 대가는 오스테나이트 결정립 성장과 노의 수명이라, 침탄 뒤 결정립을 다시 미세화하는 열처리가 따른다. → 4장 확산 기구와 확산 자료

빠른 Cu 원자가 Ni 쪽으로 더 많이 넘어가므로 반대 방향의 공공 흐름이 Cu 쪽으로 쌓이고, 격자면이 Cu 쪽에서 사라져 표지가 그쪽으로 \(v = (D_\mathrm{Cu} - D_\mathrm{Ni})\partial X_\mathrm{Cu}/\partial x\)로 움직인다. 전위 상승 같은 흡수원이 공공을 다 받지 못하면 Cu 쪽에 커켄달 보이드가 남는다. \(\tilde D = X_\mathrm{Ni}D_\mathrm{Cu} + X_\mathrm{Cu}D_\mathrm{Ni}\)는 두 값의 조성 가중 평균이다. Cu₃Sn 속 보이드도 같은 원리다. → 4장 상호 확산, 다르켄 식, 커켄달 효과

\(RT = 4765\) J/mol. \(D_\mathrm l = 7.8\times10^{-5}e^{-44.28} = 4.60\times10^{-24}\ \text{m}^2/\text{s}\), \(D_\mathrm{gb} = 10^{-5}e^{-22.04} = 2.70\times10^{-15}\ \text{m}^2/\text{s}\) — 아홉 자릿수 차이다. \(f = 3\times0.5/500 = 0.0030\), \(D_\text{eff}/D_\mathrm l \approx 1 + 0.003\times5.87\times10^8 = 1.76\times10^6\). 그러나 \(\sqrt{D_\mathrm lt} = 0.13\) nm는 \(d\)보다 훨씬 작고 \(\delta/20 = 0.025\) nm보다는 커서 B 영역이다 — 하트 평균은 A 영역에서만 뜻이 있고, 여기서는 원자가 결정립계를 따라 깊이 들어가 옆으로 조금 새는 V자 분포가 된다. 낮은 온도·작은 결정립일수록 결정립계가 확산을 지배한다는 결론은 같다. → 4장 단회로 확산

\(T = 673.15\) K, \(Q/RT = 32.16\), \(D = 10^{-8}e^{-32.16} = 1.08\times10^{-22}\ \text{m}^2/\text{s}\). (나) \(t_\text{lag} = (3\times10^{-9})^2/(6\times1.08\times10^{-22}) = 1.39\times10^4\ \text{s} = 3.86\ \text{h}\). (다) \(L_\text{min} = 3.64\sqrt{1.08\times10^{-22}\times3.6\times10^4} = 7.17\ \text{nm}\). 같은 방벽이라도 공정 열 예산이 10배면 두께는 \(\sqrt{10}\)배가 필요하다 — 방벽 두께를 정하는 것은 대개 사용 수명이 아니라 후속 공정의 열 예산이다. → 4장 확산 방벽

\(c = 10\), \(R = \sqrt{50^2 + 30^2} = 58.3\) MPa. \(\sigma_1 = 68.3\ \text{MPa}\), \(\sigma_2 = -48.3\ \text{MPa}\), 면 안 최대 전단 \(= R = 58.3\ \text{MPa}\). \(\tan2\theta_p = 60/100\)에서 \(\theta_p = 15.5°\). \(\sigma_z = 0\)도 주응력이지만 \(\sigma_1\)과 \(\sigma_2\) 사이에 있으므로 절대 최대 전단도 58.3 MPa로 같다. 취성 기판의 균열은 \(\sigma_1\)에 수직으로, 곧 \(x\)축에서 105.5° 방향으로 자란다. → 5장 주응력과 모어 원

\(\Delta\text{bow} = +32\) µm, \(\Delta\kappa = -8\times32\times10^{-6}/0.300^2 = -2.84\times10^{-3}\) m⁻¹(막 쪽 볼록). \(\sigma_f = 180\times10^9\times(775\times10^{-6})^2\times(-2.84\times10^{-3})/(6\times1.0\times10^{-6}) = -51.3\ \text{MPa}\), 압축. 경험칙(1 MPa·µm ≈ 0.62 µm)으로도 \(32/0.62 = 52\) MPa·µm다. 스토니 식에는 막의 탄성 상수가 들어가지 않으므로 기판만 알면 어떤 막이든 잴 수 있다. → 5장 박막 응력, 스토니 식과 웨이퍼 휨

\(E_f/(1-\nu_f) = 110/0.66 = 167\ \text{GPa}\). \(\sigma_f = 166.7\times10^3\times(2.6 - 17.0)\times10^{-6}\times(-375) = +900\ \text{MPa}\)(인장). 덩어리 구리의 항복 강도(약 70 MPa)는 물론, 미세 결정립 막의 항복 강도(수백 MPa)도 넘는다. 그래서 실제 막은 식는 도중 항복해 응력이 수백 MPa에서 멈추고, 다시 데우면 다른 길로 돌아오는 응력–온도 이력 고리를 그린다(16장). 금속 막은 식으면 인장, SiO₂는 압축이라는 부호 판단이 먼저다. → 5장 열변형, 열응력과 이층판의 휨

주응력 \((\sigma, \sigma, 0)\)을 넣으면 \(\sigma_\text{vM} = \sqrt{\tfrac12[0 + \sigma^2 + \sigma^2]} = |\sigma|\). 등이축 상태는 정수압 \(2\sigma/3\)과 편차 응력의 합이고, 편차 부분(면 밖으로 기운 면의 전단 \(\sigma/2\))이 항복을 일으킨다. \(0.577\sigma_\mathrm y\)는 순수 전단의 항복 조건이다. 사방이 막힌 배선처럼 세 방향이 모두 인장이면 등가 응력이 작아 항복하지 못하고 정수압 인장이 남는다. → 5장 폰 미제스 등가 응력과 항복 기준

\(\varepsilon_{\mathrm T,u} = 0.49\), 공칭 \(e^{0.49} - 1 = 0.632\). 그때 진응력 \(895\times0.49^{0.49} = 631\) MPa, \(\mathrm{TS} = 631/1.632 = 387\ \text{MPa}\). 가공 경화 지수가 큰 황동·구리는 늦게 네킹해 균일 연신이 크다 — 깊은 드로잉에 쓰는 이유다. → 6장 인장 시험과 응력–변형 곡선

\(\cos\phi = 1/\sqrt3 = 0.577\), \(\cos\lambda = 1/\sqrt2 = 0.707\), \(m = 1/\sqrt6 = 0.408\). \(\sigma_\mathrm y = 0.80/0.408 = 1.96\ \text{MPa}\). [001] 하중에서는 12개 슬립계 중 8개가 같은 \(m\)을 가져 처음부터 여러 계가 함께 미끄러진다(다중 슬립 → 가공 경화가 빠르다). 다결정은 \(\sigma_\mathrm y\approx3.06\tau_\mathrm{CRSS}\)로 단결정보다 훨씬 크다. → 6장 슬립계와 슈미트 법칙

\(h_c = 384 - 0.75\times5.00/0.256 = 384 - 14.6 = 369\ \text{nm}\). \(A = 24.5\times369.4^2 = 3.34\times10^6\) nm², \(H = 5.00/3.34\times10^6 = 1.50\ \text{GPa}\). \(E_r = 1.772\times0.256/(2\times1.034\times1828) = 1.20\times10^{-4}\) mN/nm² = 120 GPa. \(1/E = [1/120 - 0.9951/1141]/0.8844\)에서 \(E = 119\ \text{GPa}\)(구리 자료표 110). 깊이가 두께의 4%라 기판 효과가 없고, \(H/3\approx500\) MPa는 미세 결정립 막의 높은 항복 강도를 보여 준다. 금속은 \(S\)가 커서 제하가 거의 수직이다. → 6장 경도와 나노압입

전위는 두 기구 가운데 응력이 작은 쪽을 고른다. \(r\)이 작을 때는 자름 응력이 더 작아 그것이 강도를 정하고 \(r\)과 함께 오른다. \(r\)이 커지면 같은 \(f\)에서 석출물 사이 간격 \(\lambda\propto r/\sqrt f\)이 넓어져 오로완 응력이 \(1/r\)처럼 떨어진다. 두 곡선의 교점이 최고 시효이고, 그 뒤 LSW 조대화(9장)가 과시효를 이끈다. → 6장 결정립 미세화·고용·석출 강화

(가) \(K_\mathrm{IC}/Y\sigma = 0.9/224 = 4.02\times10^{-3}\) √m, \(a_c = (4.02\times10^{-3})^2/\pi = 5.14\times10^{-6}\ \text{m} = 5.14\ \mu\text{m}\). (나) \(\sigma_f = 0.9/(1.12\sqrt{\pi\times10^{-6}}) = 453\ \text{MPa}\). 균열 깊이를 5배 줄이면 강도는 \(\sqrt5 = 2.2\)배 오른다 — 백그라인딩 뒤 손상층을 식각·연마로 걷어내는 스트레스 릴리프가 다이 강도를 올리는 원리다. → 7장 응력 확대 계수와 파괴 인성

(가) \((250/400)^8 = 0.625^8 = 0.02328\), \(P_f = 1 - e^{-0.02328} = 0.0230\). (나) \(\sigma = 400\times(10^{-5})^{1/8} = 400\times0.2371 = 94.9\ \text{MPa}\). (다) \(400\times10^{-1/8} = 400\times0.750 = 300\ \text{MPa}\). 평균 강도가 377 MPa인 재료라도 10만 개 중 하나만 깨지게 하려면 95 MPa 아래로 설계해야 하고, 부품이 크면 그마저 더 낮아진다. \(m\)을 키우는 것(결함 크기 분포를 좁히는 것)이 평균을 올리는 것만큼 중요하다. → 7장 와이블 통계와 크기 효과

(가) \(a_c = (50/201.6)^2/\pi = 0.0196\ \text{m} = 19.6\ \text{mm}\). (나) \(C(Y\Delta\sigma\sqrt\pi)^3 = 6.9\times10^{-12}\times(357.3)^3 = 3.15\times10^{-4}\). \(a_0^{-1/2} = 70.71\), \(a_c^{-1/2} = 7.15\) m⁻¹ᐟ², \(N = 2\times63.56/3.15\times10^{-4} = 4.04\times10^5\). (다) \(a^{-1/2}(1\ \text{mm}) = 31.62\), \(N = 2\times39.09/3.15\times10^{-4} = 2.48\times10^5\). 수명의 61%가 균열이 0.2에서 1 mm로 자라는 동안 쓰인다 — 작은 균열을 찾는 검출 한계가 검사 주기를 정한다. → 7장 피로 균열 성장과 손상 허용 설계

BCC의 나사 전위는 이동에 열활성이 크게 필요해 저온에서 항복 응력이 급히 오른다. 그 값이 벽개 응력을 넘으면 소성 변형 없이 깨진다 — 샤르피 흡수 에너지가 전이 온도 아래에서 급락한다. FCC는 항복 응력의 온도 의존이 작아 전이가 없다. 결정립 미세화는 BCC 강의 전이 온도를 낮추는 몇 안 되는 방법이다. → 7장 연성–취성 전이

\(W_\alpha = (45 - 38.75)/(50.0 - 38.75) = 6.25/11.25 = 0.556\), \(W_\mathrm L = 0.444\). 액체 \(0.444\times1.50 = 0.667\ \text{kg}\), 그 속 Ni \(0.667\times0.3875 = 0.258\ \text{kg}\). 검산: α 속 Ni \(0.833\times0.500 = 0.417\) kg, 합 0.675 kg = 1.50 × 0.45. 먼저 굳는 α가 녹는점이 높은 Ni를 더 많이 가져가므로, 빨리 식히면 결정 중심이 Ni가 많은 유핵 조직이 된다. → 8장 상태도 읽기: 상·조성·분율

\(W_{\beta'} = (70 - 61.9)/(97.8 - 61.9) = 8.1/35.9 = 0.226\), \(W_\mathrm e = 0.774\). \(W_\alpha = (97.8 - 70)/(97.8 - 18.3) = 27.8/79.5 = 0.350\). α는 모두 공정 조직 안에 있다: 공정 조직의 α 비율 \((97.8 - 61.9)/79.5 = 0.452\)에 0.774를 곱하면 같은 0.350이 나온다. 현미경에서는 둥근 β 덩어리가 층상 공정 조직 사이에 보인다. → 8장 공정계: Pb–Sn과 무연 솔더의 조직

\(W_{\mathrm{Fe_3C}'} = (1.20 - 0.76)/(6.70 - 0.76) = 0.44/5.94 = 0.0741\), \(W_\mathrm p = 0.926\). \(W_{\mathrm{Fe_3C}} = (1.20 - 0.022)/(6.70 - 0.022) = 1.178/6.678 = 0.176\). 7%뿐인 초석 시멘타이트가 옛 오스테나이트 결정립계를 그물처럼 덮어 강을 취약하게 만든다 — 과공석강은 구상화 풀림으로 이 그물을 끊는다. → 8장 공석 반응과 Fe–Fe₃C 상태도

압력 고정 상규칙 \(F = C - P + 1 = 2 - 3 + 1 = 0\). 그래서 공정 조성 액체는 순금속처럼 한 온도(Pb–Sn 183 °C)에서 굳고, 냉각 곡선에 수평 구간이 생긴다. 두 상 영역(\(F = 1\))에서는 온도를 정하면 결합선 끝의 조성이 정해진다. → 8장 상태도 읽기

\(-\ln0.7 = 0.3567\), \(-\ln0.5 = 0.6931\), \(-\ln0.1 = 2.303\). \(t_{50} = 100\times(0.6931/0.3567)^{1/3} = 125\ \text{s}\), \(t_{90} = 100\times(2.303/0.3567)^{1/3} = 186\ \text{s}\). \(k = 0.3567/100^3 = 3.57\times10^{-7}\) s⁻³. 연속 핵생성(\(n\) = 4)이면 같은 30% 점에서 출발해도 곡선이 더 가팔라진다 — 아브라미 그림의 기울기로 기구를 가른다. → 9장 JMAK 식과 아브라미 지수

\(S = (2.5)(0.5)^2/4 = 0.156\), \(\Delta G^*_\text{het} = 0.156\times80 = 12.5kT\). 속도 비 \(e^{80 - 12.5} = e^{67.5}\approx2\times10^{29}\)배. 그래서 실제 석출은 거의 늘 결정립계·전위·개재물 위에서 먼저 일어나고, 균질 핵생성은 과포화가 아주 클 때만 보인다. \(\theta = 90°\)이면 \(S = 0.5\), \(\theta\to0\)이면 장벽이 사라진다(젖음). → 9장 고체 속 핵생성

\(M_s = 539 - 253.8 - 24.3 - 6.05 = 255\ {}^\circ\mathrm C\). \(f_M = 1 - e^{-0.011\times229.8} = 1 - e^{-2.53} = 0.920\), 잔류 오스테나이트 8%. 탄소가 1.0%면 \(M_s\)가 116 °C로 내려가 잔류 오스테나이트가 37%에 이른다(본문 예제) — 고탄소강은 서브제로 처리나 뜨임으로 잔류 오스테나이트를 줄인다. → 9장 마르텐사이트 변태

350 °C는 코 아래, \(M_s\) 위다. 여기서 항온 유지하면 오스테나이트가 페라이트와 미세 탄화물의 베이나이트로 다 변한 뒤라, 상온으로 식혀도 마르텐사이트가 생길 오스테나이트가 남지 않는다(오스템퍼링). 코 위에서 유지하면 펄라이트(온도가 낮을수록 미세), 코를 피해 \(M_s\) 아래로 곧장 식히면 마르텐사이트다. → 9장 TTT·CCT 도표와 강의 열처리

(가) \(\Delta T_0 = 2.5\times1.0\times0.84/0.16 = 13.1\ \text{K}\). (나) \(G = 13.125\times2\times10^{-5}/3\times10^{-9} = 8.75\times10^4\ \text{K/m} = 87.5\ \text{K/mm}\). (다) \(V = 5000\times3\times10^{-9}/13.125 = 1.14\times10^{-6}\ \text{m/s} = 1.14\ \mu\text{m/s}\). 1% 용질만으로도 평탄 계면은 아주 느릴 때만 가능하다 — 보통 주조는 셀·덴드라이트로 굳고, 단결정 성장(초크랄스키)은 도펀트가 묽고 \(G\)가 큰 덕분에 평탄 계면을 지킨다. → 10장 조성적 과냉과 셀·덴드라이트

\(\rho_sL = 4.166\times10^9\) J/m³. \(V = (22\times2500 - 56\times400)/4.166\times10^9 = 32\,600/4.166\times10^9 = 7.83\times10^{-6}\) m/s \(= 0.470\ \text{mm/min}\). \(V_\text{max} = 55\,000/4.166\times10^9 = 1.32\times10^{-5}\) m/s \(= 0.792\ \text{mm/min}\). \(\xi = 0.470/2.5 = 0.188 > 0.13\) → 공공형: 공공이 남아 뭉친 COP·보이드가 생긴다. 무결함 웨이퍼를 원하면 같은 \(G\)에서 \(V\)를 약 0.33 mm/min까지 낮추거나, 열 차폐로 \(G\)를 키워야 한다. → 10장 초크랄스키 성장: 열 균형과 V/G 기준

\(T/T_m = 573.15/1941 = 0.295\)로 0.218과 0.371 사이 — 영역 T다. 비율은 반드시 켈빈 온도로 계산한다. 같은 300 °C에서 구리(1358 K)는 0.422로 영역 2, 탄탈럼(3290 K)은 0.174로 영역 1이다. 고융점 방벽 금속은 낮은 압력·기판 바이어스(이온 충돌)로 영역 T를 넓혀 치밀하게 만든다. → 10장 에피택시와 박막 구조 영역 모형

\(P = 873.15\times(20 + 0.301) = 17\,726\). \(20 + \log t_2 = 17\,726/823.15 = 21.534\), \(t_2 = 10^{1.534} = 34.2\ \text{h}\). 50 °C 낮추는 데 17배의 시간이 든다. 같은 형식의 라슨–밀러 변수가 크리프 파단 수명 외삽(7장)에도 쓰인다. 250–400 °C 뜨임 취성 구간은 이 환산과 관계없이 피한다. → 11장 철강의 분류와 열처리

(가) \(\rho_\mathrm{Cu} = 1.72(1 + 1.018\times39.9/16) = 1.72\times3.539 = 6.09\ \mu\Omega\cdot\text{cm}\). \(R' = 6.09\times10^{-8}/(16\times38\times10^{-18}) = 1.00\times10^8\) Ω/m \(= 100\ \Omega/\mu\text{m}\). (나) \(\rho_\mathrm{Ru} = 7.8(1 + 1.018\times6.59/20) = 10.4\ \mu\Omega\cdot\text{cm}\), \(R' = 10.42\times10^{-8}/(800\times10^{-18}) = 130\ \Omega/\mu\text{m}\). 20 nm에서는 방벽이 단면의 24%를 먹어도 구리 선이 아직 23% 낮다. 폭이 더 줄면 방벽이 차지하는 몫이 커져 15 nm 안팎에서 순위가 뒤집힌다 — Ru·Mo·Co 배선이 최하층부터 들어오는 이유다. → 11장 배선 금속의 선택

노랭(풀림) → 공랭(불림) → 기름·물 급랭(담금질)으로 냉각이 빨라지며 조직이 조대 펄라이트 → 미세 펄라이트 → 마르텐사이트로 바뀐다. 불림은 주조·단조로 거칠어진 결정립을 미세화해 강도와 인성을 함께 올린다. 뜨임은 담금질 뒤에 하는 재가열이다. → 11장 철강의 분류와 열처리

연화점: \(T = 122.95 + 6201.9/(6.6 + 4.083) = 122.95 + 580.5 = 703.5\ {}^\circ\mathrm C\). 변형점: \(T = 122.95 + 6201.9/17.583 = 475.7\ {}^\circ\mathrm C\). 변형점 아래에서는 점성 흐름이 시간 규모 수 시간 안에 응력을 풀지 못한다 — 서냉은 서냉점(10¹² Pa·s, 약 514 °C)에서 변형점까지를 천천히 지나게 하는 것이다. → 12장 점도–온도 관계와 유리 성형

수식제 30 mol → NBO 60 mol, \(\mathrm{NBO/T} = 60/70 = 0.857\). 사면체당 다리 산소 \(4 - 0.857 = 3.14\). 창유리(74·16·10, 0.703)보다 망목이 더 끊겨 점도와 작업 온도가 낮고 열팽창이 크다. 석영 유리(NBO/T = 0)가 내열성이 좋고 팽창이 작은 것과 반대 끝이다. → 12장 유리의 구조와 유리 전이

\(E = 380(1 - 0.19 + 0.009) = 380\times0.819 = 311\ \text{GPa}\)(−18%). \(\sigma_f = 330e^{-0.6} = 330\times0.549 = 181\ \text{MPa}\)(−45%). 기공은 하중을 받는 단면을 줄이는 것보다 균열의 씨앗으로 강도를 더 크게 깎는다. 열충격 지수 \(\sigma_f/E\)도 함께 낮아지므로, 정전척처럼 급속 가열하는 부품은 상대 밀도 99% 이상을 요구한다. → 12장 소결: 구동력과 치밀화

용융 실리카는 \(\alpha\) = 0.55 ppm/K로 열충격에 아주 강하지만, 결정화한 크리스토발라이트는 결합을 끊지 않고 사면체 각도만 바뀌는 변위형 전이로 부피가 수 % 뛴다. 이 층이 식을 때 몸체와 어긋나 표면부터 갈라진다. 알칼리 오염이 실투를 촉진하므로 튜브 세정과 장갑 취급이 수명을 정한다. → 12장 규산염 사면체와 실리카

\(M_w = 0.5\times10 + 0.5\times100 = 55.0\ \text{kg/mol}\). \(M_n = 1/(0.5/10 + 0.5/100) = 1/0.055 = 18.2\ \text{kg/mol}\). \(Đ = 3.03\). 사슬 수로는 짧은 사슬이 10배 많아 \(M_n\)은 짧은 쪽에, \(M_w\)는 긴 쪽에 끌린다. 같은 \(M_n\)이라도 긴 사슬 꼬리가 녹은 점도·얽힘과 레지스트의 용해 대비를 좌우하므로, GPC로 분포 전체를 본다. → 13장 분자량 분포

\(X_n = 1/0.005 = 200\), \(Đ = 1.995\). 반복 단위 \(200/2 = 100\)개, \(M_n = 100\times226.3 = 22.6\ \text{kg/mol}\). 전환율이 99%이면 \(X_n\)은 100, 99.9%면 1000 — 단계 중합은 마지막 0.5%가 사슬 길이를 정하므로, 단량체 순도와 정확한 화학량론이 핵심이다. → 13장 카로더스 식과 플로리 분포

\(G = 950\times8.314\times300/5.0 = 4.74\times10^5\ \text{Pa} = 0.474\ \text{MPa}\). \(\sigma = 0.474\times(2 - 0.25) = 0.829\ \text{MPa}\). 350 K: \(0.829\times350/300 = 0.968\ \text{MPa}\). 금속과 반대로 데우면 더 뻣뻣해진다 — 사슬이 펼쳐질수록 엔트로피가 줄어드는 것이 복원력이고, 그 크기가 \(T\)에 비례하기 때문이다. 가교가 촘촘할수록(\(M_c\)가 작을수록) 단단하다. → 13장 고무 탄성의 엔트로피 기원

\(T_g\) 근처에서 사슬 마디 운동의 완화 시간이 측정 주기와 같아져 에너지 손실이 가장 크다(\(\tan\delta\) 봉우리). 그 위에서는 마디가 따라 움직여 \(E'\)이 고무 영역으로 떨어진다. 주파수를 높이면 같은 완화를 더 높은 온도에서 만나므로 봉우리가 고온으로 옮긴다 — 시간–온도 중첩(WLF)이다. 패키지 휨 계산에 \(T_g\) 위아래의 탄성률과 \(\alpha_1/\alpha_2\)를 따로 넣는 이유다. → 13장 점탄성과 동적 탄성률

실리카 \(80/2.20 = 36.4\) cm³, 에폭시 \(20/1.20 = 16.7\) cm³. \(V_f = 36.4/53.0 = 0.686\), \(\rho = 100/53.0 = 1.89\ \text{g/cm}^3\). 탄성률·열팽창·열전도는 부피 분율로 정해지므로, 같은 80 wt%라도 무거운 알루미나 충전재라면 부피 분율이 훨씬 작다. 고충전에서는 점도가 발산해 약 90 wt%가 실용 상한이다. → 14장 복합재료의 구성과 분류

\(E_1 = 0.6\times72.5 + 0.4\times2.6 = 44.5\ \text{GPa}\). \(E_f/E_m = 27.88\), \(\eta = 26.88/29.88 = 0.8997\), \(E_2 = 2.6\times(1 + 1.080)/(1 - 0.540) = 11.7\ \text{GPa}\). 로이스 \(1/(0.6/72.5 + 0.4/2.6) = 6.17\ \text{GPa}\). 횡방향은 무른 기지가 직렬로 끼어 섬유 방향의 4분의 1에 그친다. 그래서 기판은 직교로 짠 유리 직물을 써서 면 안 두 방향을 맞춘다. → 14장 연속 섬유 강화

\(l_c = 3450\times10/(2\times30) = 575\ \mu\text{m}\). \(l = 5\) mm: \(3450\times0.3\times(1 - 0.0575) + 60\times0.7 = 975.5 + 42 = 1018\ \text{MPa}\). 연속: \(1035 + 42 = 1077\ \text{MPa}\). 섬유가 \(l_c\)의 9배만 되어도 연속 섬유 강도의 95%를 낸다(\(l\gt15l_c\)이면 사실상 같다). 계면이 약하면 \(l_c\)가 길어져 같은 섬유로도 강도가 떨어진다 — 실레인 커플링제로 계면을 다듬는 이유다. → 14장 단섬유와 계면

열 수축이 다른 층이 두께 방향으로 비대칭이면 면 안 변형과 굽힘이 짝지어(\(\mathbf B\ne0\)) 식을 때 휜다. [0/90]은 안장(큰 판은 원통)으로 휜다. 거울 대칭이면 위아래가 같은 힘으로 당겨 휨 없이 면 안으로만 줄어든다. [0/0/0/0]도 휘지는 않지만 섬유 방향과 횡방향의 수축이 크게 달라 면 안 이방성이 남는다. 다이·EMC·기판이 쌓인 패키지는 본래 비대칭이라 휜다. → 14장 적층판, 샌드위치와 패키지 휨

\(\rho_\text{열} = 1.68(1 + 0.00393\times55) = 2.04\ \mu\Omega\cdot\text{cm}\). \(\rho_\mathrm i = 118\times0.005\times0.995 = 0.587\ \mu\Omega\cdot\text{cm}\). \(\rho = 2.63\ \mu\Omega\cdot\text{cm}\)(65.6 %IACS). 0.5%의 고용 원소가 저항을 29% 올린다. 같은 강도를 석출로 얻으면 기지가 순수해져 전도도를 훨씬 덜 잃는다 — 리드프레임 구리 합금이 석출 경화형인 이유다. → 15장 금속의 저항률: 마티센 규칙과 합금

\(R_\mathrm s = 10\times10^{-8}/50\times10^{-9} = 2.00\ \Omega/\square\). \(V = R_\mathrm sI/4.532 = 2.00\times10^{-3}/4.532 = 0.441\ \text{mV}\). 선은 \(100/0.5 = 200\)□라 \(R = 400\ \Omega\). 면저항 하나만 알면 두께를 몰라도 모든 모양의 저항을 □ 수로 셀 수 있다. 반대로 \(R_\mathrm s\)와 알려진 \(\rho\)로 두께를 어림하는 것이 4탐침 계측의 쓰임이다. → 15장 박막·배선의 저항

\(\mathrm{EOT} = 0.60 + 2.5\times3.9/22 = 0.60 + 0.443 = 1.04\ \text{nm}\). \(C/A = 3.9\times8.854\times10^{-12}/1.043\times10^{-9} = 3.31\times10^{-2}\) F/m² \(= 3.31\ \mu\text{F/cm}^2\). 물리 두께 3.1 nm로 1.04 nm SiO₂의 용량을 내므로 터널링 누설이 자릿수로 준다. 계면층 0.6 nm가 EOT의 58%를 차지한다 — 계면층을 얇게 하는 것이 \(k\)를 더 키우는 것보다 효과적인 단계에 와 있다. → 15장 high-k 게이트 절연막과 EOT

분극 기구마다 응답 시간이 달라 주파수가 그 역수를 넘으면 기여가 사라진다: 계면(Hz–kHz) → 배향(MHz–GHz, 물 약 20 GHz) → 이온(THz, 적외선) → 전자(PHz, 자외선). 빠질 때마다 \(\varepsilon'\)이 한 계단 내려가고 그 근처에서 \(\varepsilon''\)이 봉우리를 보인다(디바이 완화는 \(\omega\tau = 1\)). 그래서 SiO₂의 저주파 \(\varepsilon_\mathrm r\) 3.9는 광학 \(n^2 = 2.1\)보다 크다. → 15장 유전체의 분극과 유전율의 주파수 의존

\(\kappa_e = 2.44\times10^{-8}\times300/5.6\times10^{-8} = 131\ \text{W/(m·K)}\), \(\kappa_\mathrm{ph} = 173 - 131 = 42.3\ \text{W/(m·K)}\)(24%). 구리에서는 포논 몫이 수 %뿐이지만, 저항률이 큰 전이 금속은 포논이 무시할 수 없는 몫을 나른다. 반대로 전기 저항만 재서 배선·비아의 열전도를 어림할 때는 이 차이만큼 과소 평가한다. → 16장 열전도: 전자와 포논

\(R_\mathrm{Si} = 0.5\times10^{-3}/(148\times2\times10^{-4}) = 0.0169\), \(R_\mathrm{TIM} = 30\times10^{-6}/(5\times2\times10^{-4}) = 0.0300\), \(R_\mathrm{Cu} = 0.0188\) K/W. \(\sum R = 0.0657 + 0.20 = 0.266\ \text{K/W}\), \(T_\mathrm J = 30 + 120\times0.266 = 61.9\ {}^\circ\mathrm C\). 패키지 안에서는 두께 30 µm인 TIM이 0.5 mm 실리콘보다 큰 저항이다. 방열판을 바꾸지 않고 패키지 안을 줄이려면 TIM의 \(\kappa\)와 접합층 두께(BLT)부터 본다. → 16장 다층 열저항과 패키지 열 설계

(가) \(\lambda_c = 1239.8/3.39 = 366\ \text{nm}\) — 가시광을 모두 통과시켜 무색 투명하고, 청색·자외선 LED의 바탕이 된다. (나) \(n_c = \sqrt{3.94} = 1.98\), \(d = 600/(4\times1.985) = 75.6\ \text{nm}\) — 굴절률 약 2인 SiNₓ가 맞는다. (다) \(R = (2.94/4.94)^2 = 0.354\). 맨 실리콘은 빛의 35%를 되돌리므로 태양 전지와 이미지 센서는 반사 방지막으로 이를 수 %까지 줄인다. → 16장 빛과 재료: 반사·흡수·투과와 분산

\(\lambda_c = 1239.8/2.42 = 512\) nm. 띠틈보다 큰 에너지(짧은 파장)의 빛은 전자를 들뜨게 하며 흡수되고, 긴 파장(녹·황·적)은 통과한다. 청·보라가 빠진 흰빛은 노랗게 보인다. 띠틈이 3.26 eV(380 nm)보다 크면 투명, 1.59 eV(780 nm)보다 작으면 불투명(Si는 금속 광택의 회색)이다. → 16장 띠틈과 색

\(\mathrm{PBR} = 143.09\times8.96/(2\times63.55\times6.00) = 1282/762.6 = 1.68\). 1과 2 사이라 산화막이 금속을 빈틈없이 덮는 보호막이 된다. 성장은 막 속 이온 확산이 정해 포물선 법칙 \(x^2 = k_pt\)를 따른다. 그래도 구리 배선은 산화 속도가 충분히 작지 않아 SiN·SiCN 캡이나 Co 캡으로 덮는다. → 17장 고온 산화

전류 항 \(2^2 = 4\). 온도 항 \(\exp[10\,444\times(1/378.15 - 1/573.15)] = \exp(9.397) = 1.20\times10^4\). \(\mathrm{AF} = 4.82\times10^4\), \(t_{50} = 20\times4.82\times10^4/8766 = 110\ \text{년}\). \(t_{0.1\%} = 110\times e^{-1.082} = 37.3\ \text{년}\). 중앙 수명이 아니라 분포의 아래 꼬리가 사양을 정한다. \(E_a\)를 0.80 eV로 잘못 잡으면 AF가 2.8배 작아지는 등, 외삽은 \(E_a\)·\(n\)의 불확실성과 줄 가열에 민감하다. → 17장 일렉트로마이그레이션

\((jL)_c = 2\times10^8\times1.18\times10^{-29}/(1.602\times10^{-19}\times2.5\times10^{-8}) = 5.89\times10^5\ \text{A/m} = 5.89\times10^3\ \text{A/cm}\). \(L_B = 5.89\times10^3/2\times10^6 = 2.95\times10^{-3}\ \text{cm} = 29.5\ \mu\text{m}\). 이보다 짧은 선은 끝에 쌓인 역응력이 전자 바람과 맞서 원자 이동이 멈춘다. 설계 규칙이 짧은 선에 더 큰 전류를 허용하는 근거다. → 17장 블레흐 길이

음극의 환원 반응(산소 환원) 전류를 모두 작은 양극이 산화로 갚아야 하므로, 양극 전류 밀도는 넓이 비만큼 커진다. "작은 양극, 큰 음극"이 가장 나쁜 조합이다. 전위 차는 어느 쪽이 양극인지를 정하고(Al이 훨씬 활성), 넓이 비가 속도를 정한다. 침투 속도는 \(r = iM/(nF\rho)\)로 µm 두께 패드를 몇 주 만에 뚫을 수 있다. → 17장 부식의 형태

\(d_{111} = 0.4049/\sqrt3 = 0.2338\ \text{nm}\). \(\sin\theta = 0.15406/0.4676 = 0.3295\), \(\theta = 19.24°\), \(2\theta = 38.48°\). \(\beta = 0.30° = 5.236\times10^{-3}\) rad, \(D = 0.9\times0.15406/(5.236\times10^{-3}\times0.9442) = 28.0\ \text{nm}\). 이 값은 결정립 지름이 아니라 막 두께 방향으로 결맞는 영역의 크기이며, 미세 변형도 폭을 넓히므로 여러 피크로 윌리엄슨–홀 분석을 해야 둘을 가른다. → 18장 X선 회절

\(Z^{0.889} = 19.95\). 10 kV: \(0.0276\times63.55\times46.77/(19.95\times8.96) = 0.459\ \mu\text{m}\). 20 kV: \(\times2^{1.67} = 3.18\)배, \(1.46\ \mu\text{m}\). 둘 다 300 nm보다 깊으니 아래 층 신호가 섞인다. 막만 보려면 5 kV 안팎으로 낮추고(\(R\approx0.15\) µm) 들뜸 에너지가 낮은 Cu Lα(0.93 keV)를 쓴다 — Cu Kα(8.98 keV 들뜸)는 그 전압에서 나오지 않는다. → 18장 전자–시료 상호작용과 상호작용 부피

\(\mathrm{BE} = 1486.6 - 1378.9 - 4.5 = 103.2\ \text{eV}\) — Si⁰(99.3 eV)보다 약 4 eV 높은 Si⁴⁺, 곧 SiO₂다. \(d = 3.4\ln(1 + 0.40/0.9) = 3.4\times0.368 = 1.25\ \text{nm}\) — 상온 자연 산화막 두께다. 정보 깊이가 약 \(3\lambda = 10\) nm이므로 이보다 두꺼운 막은 기판 신호가 사라져 이 방법을 쓸 수 없다. → 18장 EDS와 XPS

EDS·XPS의 검출 한계는 약 0.1 at%(≈ 5×10¹⁹ cm⁻³)라 도펀트 꼬리를 볼 수 없고, EDS는 붕소 같은 가벼운 원소에 약하다. XRD는 원소 농도가 아니라 결정 구조를 본다. SIMS는 ppm–ppb 검출 한계와 nm 깊이 분해능으로 도펀트 분포의 표준 방법이며, 표준 시료의 RSF로 농도를, 분화구 깊이로 깊이를 정한다. → 18장 분석법 고르기와 불량 분석