Appendix A

물리 상수와 반도체 자료

본문의 예제와 연습문제에 필요한 상수와 재료 값을 한곳에 모았다. 표는 그대로 찾아 쓰고, 단위 환산과 자주 하는 계산은 각 절의 계산기에서 바로 한다. 이 책의 기본 단위는 길이 nm, 에너지 eV, 질량은 전자 질량 $m_e$의 배수다. 이 단위에서는 $hc = 1239.84\ \text{eV}\cdot\text{nm}$, $\hbar^2/2m_e = 0.0381\ \text{eV}\cdot\text{nm}^2$ 두 숫자만 기억하면 대부분의 양자 계산이 손으로 끝난다.

기본 물리 상수 (CODATA 2018)

2019년 SI 재정의로 $h$, $e$, $k_B$, $N_A$, $c$는 정의된 정확한 값이 되었다(표의 "정확"). 나머지는 측정값이며 마지막 자리까지 적었다. 계산에는 유효숫자 4–5자리면 충분하다.

기호	이름	SI 값	편리한 형태
c	진공 속 빛의 속력	299 792 458 m/s (정확)	0.2998 nm/fs
h	플랑크 상수	6.626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s (정확)	4.135 667 7 × 10⁻¹⁵ eV·s
ħ	환산 플랑크 상수 h/2π	1.054 571 817 × 10⁻³⁴ J·s	0.658 212 eV·fs
e	기본 전하	1.602 176 634 × 10⁻¹⁹ C (정확)	1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J
mₑ	전자 질량	9.109 383 701 5 × 10⁻³¹ kg	mₑc² = 510.999 keV
mₚ	양성자 질량	1.672 621 923 69 × 10⁻²⁷ kg	mₚc² = 938.272 MeV, mₚ/mₑ = 1836.15
k_B	볼츠만 상수	1.380 649 × 10⁻²³ J/K (정확)	8.617 333 × 10⁻⁵ eV/K
ε₀	진공 유전율	8.854 187 812 8 × 10⁻¹² F/m	e²/4πε₀ = 1.439 96 eV·nm
N_A	아보가드로 수	6.022 140 76 × 10²³ mol⁻¹ (정확)	R = N_Ak_B = 8.314 J/(mol·K)
a₀	보어 반지름	5.291 772 109 03 × 10⁻¹¹ m	0.052 918 nm
Ry	뤼드베리 에너지	2.179 872 × 10⁻¹⁸ J	13.605 693 eV; R_∞ = 1.097 373 × 10⁷ m⁻¹
α	미세 구조 상수	7.297 352 569 3 × 10⁻³	1/137.035 999
μ_B	보어 마그네톤	9.274 010 078 3 × 10⁻²⁴ J/T	5.788 382 × 10⁻⁵ eV/T
σ	슈테판–볼츠만 상수	5.670 374 419 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)	—
b	빈 변위 상수	2.897 771 955 × 10⁻³ m·K	λ_maxT = 2898 μm·K
λ_C	전자의 콤프턴 파장 h/mₑc	2.426 310 238 67 × 10⁻¹² m	2.426 pm

eV·nm 단위의 편리한 조합

원자·고체 물리의 계산은 거의 모두 아래 조합으로 쓸 수 있다. 줄 단위를 거치지 않으므로 자릿수 실수가 줄어든다.

조합	값	쓰는 곳
$hc$	1239.84 eV·nm	광자 $E = hc/\lambda$: λ(nm) = 1239.84 / E(eV) 1장
$\hbar c$	197.327 eV·nm	상대론적 운동량 $pc$, 파수 $k = pc/\hbar c$
$\hbar^2/2m_e$	0.0381 eV·nm²	$E = (\hbar^2/2m)k^2$, 우물 준위 $E_n = 0.376\,n^2/(m^*L^2)$ eV 5장
$e^2/4\pi\varepsilon_0$	1.440 eV·nm	쿨롱 에너지 $U = 1.44/r$ eV (r in nm) 8장
$m_ec^2$	511.0 keV	전자 현미경의 상대론 보정 2장
$k_BT$ (300 K)	25.85 meV ≈ 1/38.7 eV	열에너지 척도, 볼츠만 인자 10장
1 eV	1.602 × 10⁻¹⁹ J = 241.80 THz = 8065.5 cm⁻¹ = 11 604.5 K	에너지 단위 환산(아래 계산기)
$\hbar$	0.6582 eV·fs	시간 전개 $e^{-iEt/\hbar}$: 1 eV의 위상은 0.66 fs에 1 rad
전자 파장	λ(nm) = 1.226 / √E(eV)	비상대론 드브로이 파장(자유 전자) 2장

온도 T = 300에서 열에너지는 $k_BT$ = 이다. 실리콘 띠 간격 1.12 eV는 그 배이고, 띠 간격을 넘는 볼츠만 인자 $e^{-E_g/2k_BT}$ = 이다. 이 열에너지와 같은 에너지의 광자는 파장 의 적외선이다.

단위 환산: 광자와 전자

광자 하나의 에너지는 파장·진동수·파수·온도 어느 것으로도 나타낼 수 있다. 분광학에서는 파수(cm⁻¹), 광학과 리소그래피에서는 파장(nm), 소자 물리에서는 eV, 열 문제에서는 $E/k_B$(K)를 쓴다. 관계식은 모두 하나다.

$$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} = hc\,\tilde\nu = k_BT_{\text{eq}},\qquad \lambda\,[\text{nm}] = \frac{1239.84}{E\,[\text{eV}]},\qquad \tilde\nu\,[\text{cm}^{-1}] = 8065.5\,E\,[\text{eV}]$$

TOOL

광자 단위 환산기

스펙트럼을 좌우로 끌기

값 단위

파장 λ—

에너지 E—

진동수 ν—

파수 ν̃—

온도 E/k_B—

운동량 p = h/λ—

가로축은 로그 눈금이다. 표시된 선은 Cu Kα X선 0.154 nm, EUV 13.5 nm, ArF 193 nm, KrF 248 nm, i선 365 nm, 실리콘 흡수 끝 1107 nm, 광통신 1550 nm, CO₂ 레이저 10.6 μm. 해볼 것: ① EUV(13.5 nm) 광자는 91.8 eV — ArF의 14배다. ② 단위를 cm⁻¹로 바꾸고 1000을 넣으면 0.124 eV, 10 μm: FTIR이 보는 분자 진동 영역이다. ③ 단위 K에 300을 넣으면 25.85 meV, 48 μm의 원적외선.

전자의 운동 에너지와 드브로이 파장

전자를 전압 $V$로 가속하면 운동 에너지 $K = eV$를 얻는다. 수 keV 이하에서는 $\lambda = h/\sqrt{2m_eK}$로 충분하지만, 투과 전자 현미경(100–300 kV)에서는 $K$가 $m_ec^2 = 511\ \text{keV}$에 견줄 만해 상대론 식을 써야 한다.

$$\lambda = \frac{hc}{\sqrt{K(K + 2m_ec^2)}} \;\xrightarrow{K\ll m_ec^2}\; \frac{h}{\sqrt{2m_eK}} = \frac{1.226\ \text{nm}}{\sqrt{K\,[\text{eV}]}}$$

TOOL

전자 파장 계산기 (상대론 포함)

운동 에너지 K (eV) = 가속 전압 (V) 또는 파장 λ (nm)

λ (상대론)—

λ (비상대론)—

비상대론 오차—

속력 v/c—

로런츠 인자 γ—

운동량 pc—

위 칸에 에너지를 넣으면 파장이, 아래 칸에 파장을 넣으면 필요한 에너지가 나온다. 해볼 것: ① 200 kV TEM 전자의 파장은 2.51 pm — 비상대론 식은 9% 길게 준다. ② SEM의 1 kV 전자는 38.8 pm로, 상대론 보정이 0.05%뿐이다. ③ 실리콘 격자 상수 0.543 nm와 같은 파장을 내려면 몇 eV가 필요한가?(약 5.1 eV — 저에너지 전자 회절 LEED의 영역)

가속 전압 54로 가속한 전자의 파장은 이다(데이비슨–거머 실험은 54 V). 이는 실리콘 격자 상수 0.5431 nm의 배이며, 같은 파장의 광자라면 에너지가 이다 — 같은 파장에서 전자는 광자보다 훨씬 "가볍게" 결정을 본다.

주요 반도체의 물성 (300 K 대표값)

아래 값은 이 책의 계산 엔진(Q.materials)이 쓰는 300 K 대표값이다. 유효 질량은 정의(상태 밀도 질량 $m_n^*, m_p^*$, 전도도 질량 $m_c^*$, 계곡의 세로·가로 질량 $m_l, m_t$)에 따라 값이 다르므로 어느 것을 쓰는지 늘 확인하라. 표기: 상태 밀도 유효 질량(density-of-states effective mass)은 $N_c, N_v$와 캐리어 농도 계산에, 전도도 유효 질량(conductivity effective mass)은 이동도와 얕은 주개의 수소 모형에 쓴다.

물질	E_g (eV)	띠 간격	λ_g = hc/E_g (nm)	격자 상수 a (nm)	ε_r	χ (eV)	m_n* / m_p*	m_l / m_t	m_c*	n_i (cm⁻³)
Si 실리콘	1.12	간접	1107	0.5431	11.7	4.05	1.08 / 0.81	0.98 / 0.19	0.26	1.0 × 10¹⁰
Ge 저마늄	0.66	간접	1879	0.5658	16.0	4.0	0.56 / 0.29	1.64 / 0.082	0.12	2.0 × 10¹³
GaAs 갈륨 비소	1.42	직접	873	0.5653	12.9	4.07	0.067 / 0.48	0.067 (등방)	0.067	2.1 × 10⁶
GaN 질화 갈륨	3.4	직접	365	0.3189 (육방, a)	8.9	4.1	0.20 / 1.0	0.20 (등방)	0.20	~10⁻¹⁰
InP 인화 인듐	1.34	직접	925	0.5869	12.5	4.38	0.08 / 0.6	0.08 (등방)	0.08	1.3 × 10⁷
4H-SiC 탄화 규소	3.26	간접	380	0.3073 (육방, a)	9.7	3.7	0.37 / 1.0	0.33 / 0.42	0.37	~5 × 10⁻⁹

유효 상태 밀도(300 K): Si $N_c = 2.8\times10^{19}$, $N_v = 1.04\times10^{19}$; Ge $1.04\times10^{19}$, $6.0\times10^{18}$; GaAs $4.7\times10^{17}$, $7.0\times10^{18}\ \text{cm}^{-3}$. χ는 전자 친화도(진공 준위에서 전도대 바닥까지). 문헌마다 값이 조금씩 다르다 — 예를 들어 Si의 $n_i$는 최근 값 $9.65\times10^9$(Sproul–Green, Altermatt)와 고전 값 $1.45\times10^{10}$(Sze 초판)이 함께 쓰이고, Si의 $N_v$는 $1.04$–$1.83\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$으로 정의에 따라 다르다. GaN·SiC의 $n_i$는 계산값으로, 실제로는 결함·불순물이 훨씬 많은 캐리어를 만든다. 이 책의 예제와 연습문제는 이 표의 값을 쓴다.

TOOL

반도체 고르기: 띠 간격 대 격자 상수

점을 눌러 선택

물질

흡수 끝 λ_g—

E_g/k_BT (300 K)—

N_c (m_n*로 계산)—

주개 결합 에너지 (수소 모형)—

유효 보어 반지름—

원자 밀도 8/a³—

점의 색은 직접(채움)·간접(테두리) 띠 간격을 구분한다. 오른쪽 축은 흡수 끝 파장(nm)이다. 해볼 것: ① GaAs와 Ge는 격자 상수가 0.1% 안으로 같다 — 그래서 Ge 위에 GaAs를 키운다. ② 가시광(1.8–3.1 eV) 영역에 드는 물질이 없다: 빨강 LED는 AlGaInP, 파랑 LED는 InGaN 합금으로 띠 간격을 맞춘다. ③ GaN·SiC는 육방정이라 a만 표시했다(다이아몬드 구조의 원자 밀도 식은 쓰지 않는다).

어떤 질량을 쓸까

실리콘 전자의 질량을 0.26, 0.19, 0.98, 1.08 중 무엇으로 쓰는지는 문제가 묻는 것에 달렸다. (100) 웨이퍼 반전층의 양자 구속처럼 한 방향의 운동은 그 방향의 계곡 질량(바닥 준위는 $m_l = 0.98$인 두 계곡, 들뜬 준위는 $m_t = 0.19$인 네 계곡), 이동도와 주개 결합 에너지는 전도도 질량 0.26, 캐리어 농도는 상태 밀도 질량 1.08이다(12장). TCAD의 물성 파일도 같은 구분을 쓴다 — 결정과 에너지 띠, 캐리어.

게이트 절연막과 EOT

MOS 소자의 게이트 절연막은 두 가지로 평가한다. 정전 용량을 정하는 비유전율 $\varepsilon_r$과, 누설 전류를 정하는 장벽 높이(실리콘 전도대와의 오프셋 $\Delta E_c$)와 막 속 터널링 유효 질량 $m_{ox}$이다. 유전율이 큰 막일수록 띠 간격과 장벽이 낮아지는 경향이 있어, 둘 사이에서 타협한다(6장).

절연막	ε_r	E_g (eV)	ΔE_c (eV, Si 대비)	ΔE_v (eV, 계산)	m_ox (mₑ)	EOT/t = 3.9/ε_r
SiO₂ 이산화 규소	3.9	9.0	3.1	4.78	0.42	1
Si₃N₄ 질화 규소	7.5	5.3	2.1	2.08	0.40	0.52
Al₂O₃ 산화 알루미늄	9.0	8.8	2.8	4.88	0.35	0.43
HfO₂ 산화 하프늄	25	5.8	1.5	3.18	0.17	0.156

$\Delta E_v = E_g - E_{g,\text{Si}} - \Delta E_c$로 계산한 값. 박막의 유전율·오프셋·터널링 질량은 증착법과 열처리에 따라 달라지며(예: HfO₂ $\varepsilon_r$ 16–25, $m_{ox}$ 0.1–0.4, SiO₂ $m_{ox}$ 0.3–0.5), 위 값은 교재·논문에서 흔히 쓰는 대표값이다.

실리콘 전도대 바닥을 0으로 놓은 띠 정렬(세로 1 eV = 34 px). 위 숫자는 전자의 장벽 $\Delta E_c$, 아래 숫자는 정공의 장벽 $\Delta E_v$, 괄호는 띠 간격. HfO₂는 유전율이 6배 크지만 전자 장벽은 SiO₂의 절반이다.

등가 산화막 두께(equivalent oxide thickness, EOT)는 같은 정전 용량을 주는 SiO₂의 두께다. 여러 층이 직렬로 쌓이면 각 층의 $t_i/\varepsilon_i$가 더해진다.

$$\text{EOT} = \sum_i t_i\,\frac{3.9}{\varepsilon_{r,i}},\qquad C_{ox} = \frac{3.9\,\varepsilon_0}{\text{EOT}},\qquad T_{\text{WKB}} \approx \exp\!\Big(-2\sum_i \kappa_i t_i\Big),\quad \kappa_i = \sqrt{\frac{m_{ox,i}\,\Delta E_{c,i}}{0.0381\ \text{eV}\cdot\text{nm}^2}}$$

TOOL

EOT 계산기: 계면 SiO₂ + high-k

high-k 오른쪽 끝을 끌기

high-k 막

계면 SiO₂ t_IL high-k 두께 t_HK

EOT—

물리 두께—

C_ox—

T_WKB (막 전체)—

T_WKB (같은 EOT의 SiO₂)—

누설 감소—

투과 확률은 Si 전도대 바닥(E = 0, 낮은 바이어스)의 전자가 사다리꼴이 아닌 사각 장벽들을 지나는 WKB 추정이다. 실제 게이트 누설은 전계와 공급 함수까지 넣어 계산하지만, "같은 EOT에서 몇 자릿수 줄어드나"는 이 식으로 잘 맞는다. 해볼 것: ① 계면층 0.5 nm + HfO₂ 2 nm는 EOT 0.81 nm — 같은 EOT의 SiO₂보다 투과가 약 800배(세 자릿수 가까이) 작다. ② 계면층을 1 nm로 두껍게 하면 EOT가 늘어난다: 계면층이 EOT 축소의 병목이다. ③ Si₃N₄로 바꾸면 이득이 훨씬 작다.

목표 EOT 0.8를 한 층으로 얻으려면 물리 두께가 SiO₂ , Si₃N₄ , Al₂O₃ , HfO₂ 여야 한다. 이때 정전 용량은 이다.

45 nm 노드의 HKMG 전환

SiO₂(질화 SiON) 게이트는 1.2 nm 근처에서 직접 터널링 누설이 100 A/cm²를 넘어 더 얇아질 수 없었다. 2007년 45 nm 노드에서 HfO₂ 기반 high-k와 금속 게이트(HKMG)로 바꾸면서, 물리 두께는 2 nm 이상으로 늘리고 EOT는 1 nm 아래로 낮췄다. 위 계산기에서 같은 EOT의 누설이 수 자릿수 줄어드는 것이 그 이유다. 남은 병목인 계면 SiO₂를 얇게 하는 '계면층 스캐빈징'이 이후 노드의 과제가 되었다 — MOS 구조, 스케일링.

빠른 계산기

본문에서 반복해 쓰는 다섯 가지 계산을 바로 할 수 있게 모았다. 각 도구는 해당 장의 식을 그대로 쓴다.

페르미–디랙 점유 확률

TOOL

f(E) = 1/(1 + e^(E−E_F)/kT)

곡선 위를 좌우로 끌기

온도 T E − E_F

k_BT—

점유 f—

빈 확률 1 − f—

볼츠만 근사 e^{−(E−E_F)/kT}—

점선은 볼츠만 근사, 회색 계단은 T = 0. $E - E_F > 3k_BT$(300 K에서 78 meV)이면 볼츠만 근사의 오차가 5% 아래다 — 비축퇴 반도체에서 $n = N_ce^{-(E_c-E_F)/kT}$를 쓰는 근거다(10장).

진성 캐리어 농도와 온도

$$n_i = \sqrt{N_cN_v}\;e^{-E_g/2k_BT},\qquad N_{c,v} = 2\left(\frac{2\pi m^*_{n,p}k_BT}{h^2}\right)^{3/2}\propto T^{3/2}$$

계산기는 표의 $n_i$(300 K)에서 출발해 $n_i(T) = n_i(300)\,(T/300)^{3/2}\,e^{-[E_g(T)/2k_BT - E_g(300)/2k_B\cdot300]}$로 넓힌다. Si만 띠 간격의 온도 의존(바르시니 식)을 넣고, 나머지는 $E_g$를 고정한다.

TOOL

n_i(T) 계산기

좌우로 끌어 온도 바꾸기

물질

온도 T

E_g(T)—

N_c(T) (식)—

N_v(T) (식)—

n_i(T)—

E_i − E_mid = ¾kT ln(m_p*/m_n*)—

세로축은 로그(cm⁻³). 가는 선은 다른 물질. 해볼 것: ① Si는 300 K → 400 K에서 $n_i$가 약 500배 — 도핑 $10^{15}\ \text{cm}^{-3}$인 Si가 몇 K에서 진성($n_i$가 도핑과 같아짐)이 되는지 찾아보라(약 550 K). ② SiC·GaN은 800 K에서도 $n_i$가 Si의 상온 값에 못 미친다: 고온·고전압 전력 소자 재료. ③ 식으로 계산한 $N_c, N_v$는 표의 값과 다를 수 있다(정의 차이).

얕은 주개의 수소 모형

$$E_b = \frac{m^*}{\varepsilon_r^2}\,(13.6\ \text{eV}),\qquad a_B^* = \frac{\varepsilon_r}{m^*}\,a_0 = \frac{\varepsilon_r}{m^*}\,(0.0529\ \text{nm})$$

TOOL

주개 결합 에너지와 궤도 반지름

원의 테두리를 끌어 ε_r 바꾸기

물질 (m_c*, ε_r)

유효 질량 m* 비유전율 ε_r

결합 에너지 E_b—

유효 보어 반지름 a_B*—

E_b / k_BT (300 K)—

궤도 속 원자 수 (Si 밀도)—

회색 점은 실리콘 원자 간격(0.235 nm)의 격자, 보라 원은 반지름 $a_B^*$, 그림자는 1s 확률 밀도 $e^{-2r/a_B^*}$다. 궤도가 원자 수천 개를 덮으므로 결정을 연속 유전체로 보는 근사가 맞는다. 측정값: Si의 P 45, As 54, Sb 43 meV(수소 모형 25.8 meV; 중심 세포 보정이 차이를 낸다), GaAs의 Si 주개 5.8 meV(모형 5.48 meV).

사각 장벽 투과

$$T = \left[1 + \frac{V_0^2\sinh^2\kappa a}{4E(V_0 - E)}\right]^{-1} \approx \frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\,e^{-2\kappa a},\qquad \kappa = \sqrt{\frac{m^*(V_0 - E)}{0.0381\ \text{eV}\cdot\text{nm}^2}}$$

TOOL

투과 확률 T(a)

점을 좌우로 끌어 두께 a

장벽 (V₀, m*)

전자 에너지 E 장벽 높이 V₀ 두께 a 유효 질량 m*

T (정확)—

T (지수 근사)—

κ / 침투 깊이 1/κ—

0.1 nm 두꺼워질 때—

실선은 정확한 식(Q.barrierT), 점선은 지수 근사. 절연막 버튼은 V₀ = ΔE_c, m* = m_ox를 넣는다. 해볼 것: ① SiO₂ 장벽(E = 1 eV)에서 두께 0.1 nm마다 T가 약 1/2.6로 준다 — 원자층 하나(0.3 nm)가 자릿수 하나다. ② E를 V₀ 위로 올리면 곡선이 출렁인다: 장벽 위 공명 투과($\kappa a$ 대신 $k_2a = n\pi$).

무한 우물 준위

$$E_n = \frac{\hbar^2}{2m^*}\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 = \frac{0.376\ \text{eV}}{m^*}\,\frac{n^2}{(L/\text{nm})^2}$$

TOOL

우물 폭과 준위

오른쪽 벽을 끌기

우물 폭 L 유효 질량 m*

질량 바로 넣기

E₁—

E₂—

E₂ − E₁ / k_BT(300 K)—

1 → 2 전이 파장—

무한 우물은 유한 장벽(예: SiO₂ 3.1 eV)에서의 실제 준위보다 약간 높게 준다 — 파동함수가 장벽으로 스며 유효 폭이 넓어지기 때문이다(5장). 해볼 것: 5 nm 나노시트에서 $m_l$과 $m_t$의 바닥 준위 차이(15 meV 대 79 meV)가 계곡 분리를 만든다.

계산기로 확인하는 공정 감각

NAND 플래시의 터널 산화막은 7–8 nm다. 장벽 계산기에서 SiO₂, a = 5 nm만 놓아도 T가 $10^{-21}$ 수준이고 7 nm면 $10^{-29}$까지 떨어지므로 10년 동안 전하를 붙잡는다. 프로그램 때는 강한 전계로 장벽을 삼각형으로 기울여 파울러–노드하임 터널링을 쓴다. 같은 원리로 DRAM 셀 커패시터의 ZrO₂/Al₂O₃ 적층도 EOT와 누설 사이에서 두께를 정한다 — NAND, DRAM 셀.

자주 쓰는 공식 요약

장마다 가장 많이 쓰는 식을 모았다. 단위는 이 책의 관례(nm, eV, $m_e$)를 따른다.

장	핵심 공식
1 광자	$E = h\nu = hc/\lambda$, $p = h/\lambda$; 광전 효과 $K_{\max} = h\nu - \phi$; 빈 $\lambda_{\max}T = 2898\ \mu\text{m}\cdot\text{K}$; 슈테판 $P/A = \sigma T^4$; 콤프턴 $\Delta\lambda = \lambda_C(1-\cos\theta)$
2 물질파	$\lambda = h/p$; 전자 $\lambda = 1.226/\sqrt{K}$ nm; 군속도 $v_g = d\omega/dk$; 불확정성 $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$, $\Delta E\,\Delta t \gtrsim \hbar/2$
3 원자 스펙트럼	뤼드베리 $1/\lambda = R_\infty Z^2(1/n_1^2 - 1/n_2^2)$; 보어 $E_n = -13.6Z^2/n^2$ eV, $r_n = n^2a_0/Z$; 모즐리 $\sqrt{\nu}\propto Z-1$
4 슈뢰딩거 방정식	$i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2\Psi + V\Psi$; $\int\|\psi\|^2dx = 1$; $\langle A\rangle = \int\psi^*\hat A\psi\,dx$; $\hat p = -i\hbar\,\partial_x$
5 양자 우물	무한 우물 $E_n = \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2m^*L^2}$; 유한 우물 짝 $k\tan(kL/2) = \kappa$, 홀 $-k\cot(kL/2) = \kappa$; 상자 $E = \frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\big(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}+\frac{n_z^2}{L_z^2}\big)$
6 터널링	$T \approx 16\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})e^{-2\kappa a}$; WKB $T \approx e^{-2\int\kappa\,dx}$; FN $J = AF^2e^{-B/F}$, $B = \frac{4\sqrt{2m_{ox}}\,\phi_B^{3/2}}{3e\hbar}$
7 조화 진동자	$E_n = (n+\tfrac12)\hbar\omega$; $x_0 = \sqrt{\hbar/m\omega}$; 분자 진동 $\omega = \sqrt{k/\mu}$, $\mu = m_1m_2/(m_1+m_2)$
8 수소 원자	$E_n = -13.6/n^2$ eV; $L^2 = l(l+1)\hbar^2$, $L_z = m\hbar$; 선택 규칙 $\Delta l = \pm1$; 얕은 주개 $E_b = 13.6\,m^*/\varepsilon_r^2$ eV
9 스핀과 다전자 원자	$S_z = \pm\hbar/2$; 제만 $\Delta E = g\mu_BB$, $\mu_B = 5.79\times10^{-5}$ eV/T; 한 껍질 정원 $2n^2$
10 양자 통계	$f = 1/(e^{(E-E_F)/kT}+1)$; $g_{3D} = \frac{1}{2\pi^2}\big(\frac{2m}{\hbar^2}\big)^{3/2}\sqrt E$; $g_{2D} = m/\pi\hbar^2$; $E_F = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3}$; $n = N_ce^{-(E_c-E_F)/kT}$, $n_i = \sqrt{N_cN_v}e^{-E_g/2kT}$
11 분자와 결합	두 준위 결합 $E_\pm = \bar E \pm \sqrt{\Delta^2 + t^2}$; 결합·반결합 분리 $2\|t\|$; N원자 사슬 $E_j = E_0 - 2t\cos\frac{j\pi}{N+1}$
12 에너지 띠	블로흐 $\psi_k = u_k(x)e^{ikx}$; 강결합 $E = E_0 - 2t\cos ka$; $v_g = \hbar^{-1}dE/dk$; $m^* = \hbar^2/(d^2E/dk^2)$; $\hbar\,dk/dt = F$
13 빛과 물질	$A_{21}/B_{21} = 8\pi h\nu^3/c^3$; 흡수 $I = I_0e^{-\alpha x}$; 직접 띠 $\alpha\propto\sqrt{h\nu - E_g}$; 반응도 $R = \eta\lambda/1.24$ A/W (λ in μm); LED 파장 $\lambda \approx 1240/E_g$ nm

표 읽기 확인 문제

이 부록의 표와 계산기만으로 풀 수 있다. 특별한 말이 없으면 표의 300 K 대표값을 쓴다.

EUV 노광 광원(13.5 nm)과 ArF 엑시머 레이저(193 nm) 광자 하나의 에너지를 각각 구하라.

$E = 1239.84/\lambda$.

$1239.84/13.5 = 91.8\ \text{eV}$, $1239.84/193 = 6.42\ \text{eV}$. EUV 광자 하나가 약 14배의 에너지를 지니므로, 같은 선량에서 광자 수는 1/14 — 확률적 결함(stochastics)의 근원이다.

실리콘과 GaN이 흡수할 수 있는 가장 긴 파장(흡수 끝)은 각각 얼마인가?

$\lambda_g = 1239.84/E_g$: Si $1239.84/1.12 = 1107\ \text{nm}$, GaN $1239.84/3.4 = 365\ \text{nm}$. Si 이미지 센서는 1.1 μm 너머를 보지 못하고, GaN은 가시광에 투명한 자외선 검출기가 된다.

200 kV로 가속한 TEM 전자의 드브로이 파장을 상대론 식으로 구하라(pm 단위).

$\lambda = hc/\sqrt{K(K+2m_ec^2)}$, $K = 2\times10^5\ \text{eV}$, $m_ec^2 = 510\,999\ \text{eV}$.

$\sqrt{2\times10^5\times(2\times10^5 + 1.022\times10^6)} = 4.944\times10^5\ \text{eV}$, $\lambda = 1239.84/4.944\times10^5 = 2.51\times10^{-3}\ \text{nm} = 2.51\ \text{pm}$. 비상대론 식은 2.74 pm(9% 과대).

계면 SiO₂ 0.5 nm 위에 HfO₂ 2.0 nm를 쌓은 게이트 절연막의 EOT는?

$\text{EOT} = 0.5 + 2.0\times3.9/25 = 0.5 + 0.312 = 0.812\ \text{nm}$. 물리 두께 2.5 nm의 1/3이지만, 그중 60%가 계면층에서 온다.

GaAs($m^* = 0.067$, $\varepsilon_r = 12.9$)의 얕은 주개 결합 에너지와 유효 보어 반지름을 수소 모형으로 구하라.

$E_b = 13.606\times0.067/12.9^2 = 5.48\ \text{meV}$, $a_B^* = 0.05292\times12.9/0.067 = 10.2\ \text{nm}$. 상온 $k_BT$(25.9 meV)보다 훨씬 작아 주개는 거의 모두 이온화된다.

에너지 1 eV인 전자가 높이 3.1 eV, 두께 1 nm인 사각 장벽(막 속 유효 질량 0.42)을 지나갈 확률을 정확한 식으로 구하라.

$\kappa = \sqrt{0.42\times2.1/0.0381} = 4.81\ \text{nm}^{-1}$, $\sinh(4.81) \approx 61.6$.

$T = [1 + 3.1^2\sinh^2(4.812)/(4\times1\times2.1)]^{-1} = [1 + 9.61\times3795/8.4]^{-1} = 2.31\times10^{-4}$. 지수 근사 $16(1)(2.1)/3.1^2\cdot e^{-9.62} = 2.3\times10^{-4}$도 잘 맞는다(계산기의 '자유' 질량 대신 0.42를 넣어 확인).

실리콘의 $n_i = 1.0\times10^{10}\ \text{cm}^{-3}$(300 K)에서 출발해, $E_g = 1.12\ \text{eV}$가 변하지 않는다고 보고 400 K의 $n_i$를 구하라.

$n_i \propto T^{3/2}e^{-E_g/2k_BT}$의 비를 쓴다.

$\frac{n_i(400)}{n_i(300)} = (4/3)^{1.5}\exp\!\big[\frac{1.12}{2\times8.617\times10^{-5}}(\frac1{300} - \frac1{400})\big] = 1.540\times e^{5.416} = 346$. 따라서 $n_i = 3.46\times10^{12}\ \text{cm}^{-3}$. 띠 간격의 온도 감소까지 넣으면(계산기) 조금 더 커진다.

표의 물질 중 효율 좋은 발광 소자(LED, 레이저)를 만들 수 있는 직접 띠 간격 반도체끼리 묶은 것은?

GaAs·GaN·InP는 전도대 바닥과 가전자대 꼭대기가 같은 k(Γ점)에 있어 포논 없이 광자를 낸다. Si·Ge·4H-SiC는 간접이다(12장, 13장).

조합	값	쓰는 곳
\(hc\)	1239.84 eV·nm	광자 \(E = hc/\lambda\): λ(nm) = 1239.84 / E(eV) 1장
\(\hbar c\)	197.327 eV·nm	상대론적 운동량 \(pc\), 파수 \(k = pc/\hbar c\)
\(\hbar^2/2m_e\)	0.0381 eV·nm²	\(E = (\hbar^2/2m)k^2\), 우물 준위 \(E_n = 0.376\,n^2/(m^*L^2)\) eV 5장
\(e^2/4\pi\varepsilon_0\)	1.440 eV·nm	쿨롱 에너지 \(U = 1.44/r\) eV (r in nm) 8장
\(m_ec^2\)	511.0 keV	전자 현미경의 상대론 보정 2장
\(k_BT\) (300 K)	25.85 meV ≈ 1/38.7 eV	열에너지 척도, 볼츠만 인자 10장
1 eV	1.602 × 10⁻¹⁹ J = 241.80 THz = 8065.5 cm⁻¹ = 11 604.5 K	에너지 단위 환산(아래 계산기)
\(\hbar\)	0.6582 eV·fs	시간 전개 \(e^{-iEt/\hbar}\): 1 eV의 위상은 0.66 fs에 1 rad
전자 파장	λ(nm) = 1.226 / √E(eV)	비상대론 드브로이 파장(자유 전자) 2장

장	핵심 공식
1 광자	\(E = h\nu = hc/\lambda\), \(p = h/\lambda\); 광전 효과 \(K_{\max} = h\nu - \phi\); 빈 \(\lambda_{\max}T = 2898\ \mu\text{m}\cdot\text{K}\); 슈테판 \(P/A = \sigma T^4\); 콤프턴 \(\Delta\lambda = \lambda_C(1-\cos\theta)\)
2 물질파	\(\lambda = h/p\); 전자 \(\lambda = 1.226/\sqrt{K}\) nm; 군속도 \(v_g = d\omega/dk\); 불확정성 \(\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2\), \(\Delta E\,\Delta t \gtrsim \hbar/2\)
3 원자 스펙트럼	뤼드베리 \(1/\lambda = R_\infty Z^2(1/n_1^2 - 1/n_2^2)\); 보어 \(E_n = -13.6Z^2/n^2\) eV, \(r_n = n^2a_0/Z\); 모즐리 \(\sqrt{\nu}\propto Z-1\)
4 슈뢰딩거 방정식	\(i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2\Psi + V\Psi\); \(\int\|\psi\|^2dx = 1\); \(\langle A\rangle = \int\psi^*\hat A\psi\,dx\); \(\hat p = -i\hbar\,\partial_x\)
5 양자 우물	무한 우물 \(E_n = \frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2m^*L^2}\); 유한 우물 짝 \(k\tan(kL/2) = \kappa\), 홀 \(-k\cot(kL/2) = \kappa\); 상자 \(E = \frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\big(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}+\frac{n_z^2}{L_z^2}\big)\)
6 터널링	\(T \approx 16\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})e^{-2\kappa a}\); WKB \(T \approx e^{-2\int\kappa\,dx}\); FN \(J = AF^2e^{-B/F}\), \(B = \frac{4\sqrt{2m_{ox}}\,\phi_B^{3/2}}{3e\hbar}\)
7 조화 진동자	\(E_n = (n+\tfrac12)\hbar\omega\); \(x_0 = \sqrt{\hbar/m\omega}\); 분자 진동 \(\omega = \sqrt{k/\mu}\), \(\mu = m_1m_2/(m_1+m_2)\)
8 수소 원자	\(E_n = -13.6/n^2\) eV; \(L^2 = l(l+1)\hbar^2\), \(L_z = m\hbar\); 선택 규칙 \(\Delta l = \pm1\); 얕은 주개 \(E_b = 13.6\,m^*/\varepsilon_r^2\) eV
9 스핀과 다전자 원자	\(S_z = \pm\hbar/2\); 제만 \(\Delta E = g\mu_BB\), \(\mu_B = 5.79\times10^{-5}\) eV/T; 한 껍질 정원 \(2n^2\)
10 양자 통계	\(f = 1/(e^{(E-E_F)/kT}+1)\); \(g_{3D} = \frac{1}{2\pi^2}\big(\frac{2m}{\hbar^2}\big)^{3/2}\sqrt E\); \(g_{2D} = m/\pi\hbar^2\); \(E_F = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3}\); \(n = N_ce^{-(E_c-E_F)/kT}\), \(n_i = \sqrt{N_cN_v}e^{-E_g/2kT}\)
11 분자와 결합	두 준위 결합 \(E_\pm = \bar E \pm \sqrt{\Delta^2 + t^2}\); 결합·반결합 분리 \(2\|t\|\); N원자 사슬 \(E_j = E_0 - 2t\cos\frac{j\pi}{N+1}\)
12 에너지 띠	블로흐 \(\psi_k = u_k(x)e^{ikx}\); 강결합 \(E = E_0 - 2t\cos ka\); \(v_g = \hbar^{-1}dE/dk\); \(m^* = \hbar^2/(d^2E/dk^2)\); \(\hbar\,dk/dt = F\)
13 빛과 물질	\(A_{21}/B_{21} = 8\pi h\nu^3/c^3\); 흡수 \(I = I_0e^{-\alpha x}\); 직접 띠 \(\alpha\propto\sqrt{h\nu - E_g}\); 반응도 \(R = \eta\lambda/1.24\) A/W (λ in μm); LED 파장 \(\lambda \approx 1240/E_g\) nm

기본 물리 상수 (CODATA 2018)

eV·nm 단위의 편리한 조합

단위 환산: 광자와 전자

광자 단위 환산기

전자의 운동 에너지와 드브로이 파장

전자 파장 계산기 (상대론 포함)

주요 반도체의 물성 (300 K 대표값)

반도체 고르기: 띠 간격 대 격자 상수

게이트 절연막과 EOT

EOT 계산기: 계면 SiO₂ + high-k

빠른 계산기

페르미–디랙 점유 확률

f(E) = 1/(1 + e(E−EF)/kT)

진성 캐리어 농도와 온도

ni(T) 계산기

얕은 주개의 수소 모형

주개 결합 에너지와 궤도 반지름

사각 장벽 투과

투과 확률 T(a)

무한 우물 준위

우물 폭과 준위

자주 쓰는 공식 요약

표 읽기 확인 문제

f(E) = 1/(1 + e^(E−E_F)/kT)

n_i(T) 계산기