Chapter 04

슈뢰딩거 방정식

2장에서 전자가 파동처럼 간섭한다는 것을 보았다. 그렇다면 그 파동은 어떤 방정식을 따라 움직이는가? 뉴턴의 $F = ma$가 공의 궤적을 정해 주듯, 슈뢰딩거 방정식은 파동함수 $\Psi(x,t)$의 변화를 정해 준다. 이 장에서는 방정식을 세우고, 그 해가 무엇을 뜻하는지(확률), 무엇을 계산할 수 있는지(기댓값), 왜 에너지가 띄엄띄엄해지는지(경계 조건)를 차례로 만져 본다. 아래 상자 속 전자 파속을 눌러 다시 던져 보라.

누른 자리에 새 전자 파속을 놓는다 (색 = 위상)

평면파와 $E = \hbar\omega$, $p = \hbar k$에서 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 이끌어 낸다.
보른 해석으로 $|\Psi|^2$를 확률 밀도로 읽고, 파동함수를 정규화하며 구간 확률과 확률 흐름을 계산한다.
위치·운동량·에너지 연산자로 기댓값 $\langle x\rangle$, $\langle p\rangle$와 표준편차 $\Delta x$, $\Delta p$를 구한다.
변수 분리로 시간 독립 방정식을 얻고, 정상 상태의 위상 회전과 두 정상 상태 중첩의 맥놀이 주기 $h/(E_2 - E_1)$를 계산한다.
허용되는 파동함수의 조건을 말하고, 슈팅법으로 "꼬리가 0이 되는 에너지"만 허용됨을 보인다.
자유 입자 가우스 파속의 퍼짐 $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2}$을 유효 질량과 함께 다룬다.

파동 방정식이 필요한 이유

고전 역학에서는 처음 위치 $x_0$와 속도 $v_0$를 알면 $F = ma$로 이후의 궤적 $x(t)$가 모두 정해진다. 그런데 전자는 이중 슬릿에서 간섭 무늬를 만들고, 원자 속에서는 특정 에너지만 가진다. 궤적 하나로는 이런 현상을 설명할 수 없다. 전자의 상태는 공간에 퍼진 파동함수(wave function) $\Psi(x,t)$로 기술해야 하고, 그러면 "처음 $\Psi(x,0)$이 주어졌을 때 나중의 $\Psi(x,t)$를 정해 주는 방정식"이 필요하다.

고전 역학은 점 하나의 궤적을, 양자 역학은 공간 전체에 퍼진 함수 $\Psi(x,t)$의 변화를 예측한다. 두 경우 모두 "처음 상태 + 운동 방정식 → 나중 상태"라는 구조는 같다.

평면파에서 방정식 세우기

가장 단순한 물질파는 운동량이 정해진 자유 전자의 평면파(plane wave)다. 2장의 드브로이 관계 $p = h/\lambda = \hbar k$와 아인슈타인 관계 $E = hf = \hbar\omega$를 쓰면, 이 파동은

$$\Psi(x,t) = A\,e^{i(kx - \omega t)} = A\,e^{i(px - Et)/\hbar}$$

$\hbar = h/2\pi = 6.582\times10^{-16}$ eV·s $= 0.6582$ eV·fs. 실수 $\cos(kx-\omega t)$가 아니라 복소수 지수 함수를 쓰는 까닭은 아래 미니 실험에서 확인한다.

우리가 찾는 방정식은 이 평면파를 해로 가지면서 자유 입자의 에너지 관계 $E = p^2/2m$을 담아야 한다. 시간으로 한 번, 공간으로 두 번 미분해 보면 길이 보인다.

출발점: 운동량 $p = \hbar k$, 에너지 $E = \hbar\omega$인 복소 평면파.
시간으로 미분하면 $\omega$가 앞으로 나온다. $i\hbar\,\partial/\partial t$를 걸면 에너지 $E$가 곱해진다.
공간으로 두 번 미분하면 $-k^2$이 나온다. $-(\hbar^2/2m)\partial^2/\partial x^2$은 운동 에너지 $p^2/2m$을 곱한다.
에너지 보존 $E = K + V$를 연산으로 옮긴 것이 시간 의존 슈뢰딩거 방정식이다.

슈뢰딩거 방정식은 "유도"되는 것이 아니라, 평면파와 에너지 관계에서 추측해 실험으로 검증된 기본 법칙이다. 이 추측이 퍼텐셜 $V(x)$가 있을 때도 옳다는 것이 원자 스펙트럼·터널링·반도체 띠 구조로 확인되었다.

시간 의존 슈뢰딩거 방정식

질량 $m$인 입자가 퍼텐셜 에너지 $V(x)$ 속에 있을 때 파동함수는 다음을 따른다.

$$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V(x)\,\Psi \equiv \hat H\Psi$$

$\hat H$는 해밀토니언(Hamiltonian), 곧 전체 에너지 연산자다. 이 장에서 길이는 nm, 에너지는 eV, 시간은 fs를 쓰고, $\hbar^2/2m_e = 0.0381$ eV·nm²을 자주 쓴다.

이 방정식은 세 가지 점에서 고전 파동 방정식과 다르다. ① 시간 미분이 한 번뿐이라 처음 $\Psi(x,0)$만 알면 미래가 정해진다. ② 계수에 $i$가 있어 해는 본질적으로 복소수다. ③ 선형이라 두 해의 합도 해다(중첩 원리). 자유 입자의 분산 관계는 $\omega = \hbar k^2/2m$으로 빛($\omega = ck$)과 달리 $k$의 제곱에 비례한다.

파수 k

표시

MINI LAB파란 실선은 실수부, 주황 점선은 허수부, 회색 띠는 $|\Psi|^2$이다. 복소 평면파는 $|\Psi|^2$이 어디서나 일정해 "운동량은 정확하지만 위치는 전혀 모르는" 상태를 나타낸다. 실수 $\cos(kx-\omega t)$로 바꾸면 $|\Psi|^2$에 줄무늬가 생겨 입자가 "있다 없다" 하며 흘러간다. 더 큰 문제는 이 함수가 슈뢰딩거 방정식을 만족하지 않는다는 것이다: 시간 미분은 $\sin$을, 공간 2계 미분은 $\cos$을 낳아 양변이 같아질 수 없다. 시간 1계 미분 방정식의 해가 되려면 $i$가 필요하다. $k$를 2배로 하면 $\omega$는 4배가 된다.

질량 1.00 $m_e$인 입자의 드브로이 파장이 $\lambda =$ 0.50이면 $k = 2\pi/\lambda =$ , 운동 에너지 $E = \hbar^2k^2/2m =$ , 각진동수 $\omega = E/\hbar =$ 이다. 마루가 움직이는 위상 속도 $\omega/k$는 , 파속이 움직이는 군속도 $d\omega/dk = \hbar k/m$는 — 입자의 실제 속도는 군속도이고, 정확히 위상 속도의 2배다.

드브로이 파장 0.50 nm인 자유 전자의 파수 $k$, 운동 에너지 $E$, 각진동수 $\omega$, 군속도와 위상 속도를 구하라.

풀이 보기

전략 $k = 2\pi/\lambda$, $E = (\hbar^2/2m)k^2$에 $\hbar^2/2m_e = 0.0381$ eV·nm²을 쓴다. 군속도는 $\hbar k/m = p/m$이다.

풀이 $k = 2\pi/0.50 = 12.57$ nm⁻¹. $E = 0.0381\times12.57^2 = 6.02$ eV. $\omega = E/\hbar = 6.02/0.6582 = 9.14$ fs⁻¹ $= 9.14\times10^{15}$ s⁻¹. $v_g = h/(m\lambda) = 6.626\times10^{-34}/(9.109\times10^{-31}\times5.0\times10^{-10}) = 1.45\times10^6$ m/s, $v_p = v_g/2 = 7.27\times10^5$ m/s.

k = 12.6 nm⁻¹, E = 6.02 eV, ω = 9.14×10¹⁵ s⁻¹, v_g = 1.45×10⁶ m/s, v_p = 7.27×10⁵ m/s

검토 $E = \tfrac12 m v_g^2 = \tfrac12(9.109\times10^{-31})(1.45\times10^6)^2 = 9.64\times10^{-19}$ J $= 6.02$ eV로 일치한다. 위상 속도는 관측되는 속도가 아니다.

유효 질량 방정식

결정 속 전자는 원자핵 수십억 개가 만드는 복잡한 주기 퍼텐셜을 느끼지만, 띠 바닥 근처에서는 그 효과가 질량 하나로 요약된다. 전도대 전자의 포락 함수는 $m$을 유효 질량(effective mass) $m^*$로 바꾼 같은 슈뢰딩거 방정식을 따른다: 실리콘 Δ 계곡의 가로 질량 $m_t^* = 0.19\,m_e$, 세로 질량 $m_l^* = 0.98\,m_e$, GaAs $m^* = 0.067\,m_e$. 이 장의 모든 시뮬레이터에 $m^*$를 넣을 수 있게 한 이유다. 같은 $\lambda$에서 에너지는 $1/m^*$배가 되므로, GaAs 전자는 자유 전자보다 15배 높은 구속 에너지를 얻는다. 왜 그런지는 12장 에너지 띠에서 다룬다. → SemiBooks: 결정과 에너지 띠

보른 해석: 확률 밀도와 정규화

$\Psi$는 복소수이므로 직접 측정할 수 있는 양이 아니다. 1926년 보른(M. Born)은 $\Psi$의 절댓값 제곱이 입자를 발견할 확률 밀도라고 해석했다. 2장 이중 슬릿의 전자 하나하나는 화면의 한 점에만 찍히지만, 수천 개를 모으면 $|\Psi|^2$ 모양의 간섭 무늬가 된다.

보른 해석

시각 $t$에 입자의 위치를 측정해 $a$와 $b$ 사이에서 발견할 확률은

$$P(a \le x \le b) = \int_a^b |\Psi(x,t)|^2\,dx, \qquad |\Psi|^2 = \Psi^*\Psi$$

$|\Psi|^2$은 확률 밀도(probability density), 1차원에서 단위는 1/길이(nm⁻¹)다. 따라서 $\Psi$의 단위는 nm⁻¹ᐟ².

$\Psi$는 부호(위상)를 가진 진폭이고, 관측되는 것은 $|\Psi|^2$의 넓이다. 진폭이 음수인 곳도 $|\Psi|^2$은 양수이며, 마디($\Psi = 0$)에서는 입자를 발견할 확률이 0이다.

입자는 어딘가에는 반드시 있으므로 전체 확률은 1이어야 한다. 이것을 정규화(normalization) 조건이라 한다.

$$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2\,dx = 1$$

슈뢰딩거 방정식은 선형이므로 해에 상수를 곱해도 해다. 그 상수(정규화 상수)를 이 조건으로 정한다. 방정식은 한 번 정규화된 $\Psi$를 시간이 흘러도 정규화된 채로 유지한다.

폭 $L$인 상자 속 전자가 $\psi = \sqrt{2/L}\,\sin(2\pi x/L)$ 상태에 있다. 위치를 여러 번 측정하면 측정값이 가장 많이 모이는 곳은?

$|\psi|^2 \propto \sin^2(2\pi x/L)$은 $L/4$와 $3L/4$에서 최대, 가운데 마디 $L/2$에서 0이다. $\psi$가 음수인 오른쪽 절반도 $|\psi|^2$은 똑같다. 아래에서 점을 쌓아 확인하라.

SIMULATOR

측정 한 번, 점 하나: 히스토그램이 |ψ|²이 될 때까지

위 그래프의 흰 점을 위아래로 끌어 ψ 모양을 바꾼다

상태 불러오기

|ψ|² 곡선 겹치기

측정 횟수0

표본 평균 / ⟨x⟩—

표본 표준편차 / Δx—

P(0 < x < L/2)—

해볼 것: ① 측정 10번일 때와 1000번일 때 히스토그램을 비교하라. 개별 결과는 무작위지만 분포는 $|\psi|^2$로 정확히 예측된다. ② ψ의 한 점을 음수로 끌어 부호를 뒤집어도 $|\psi|^2$이 같다면 측정 분포는 바뀌지 않는다. ③ "치우침" 상태에서 표본 평균이 ⟨x⟩에 다가가는 속도를 보라 — 오차는 대략 $\Delta x/\sqrt N$으로 줄어든다.

폭 $L$인 상자($0 \le x \le L$) 속 입자의 파동함수가 $\psi(x) = A\,x(L - x)$이다. (a) 정규화 상수 $A$를 구하라. (b) $0 \le x \le L/4$에서 발견할 확률을 구하고, 바닥 상태 $\sqrt{2/L}\sin(\pi x/L)$의 값과 비교하라.

풀이 보기

전략 $\int_0^L|\psi|^2dx = 1$을 풀고, $u = x/L$로 바꿔 구간 적분을 한다.

풀이 (a) $\int_0^L x^2(L-x)^2dx = L^5\int_0^1u^2(1-u)^2du = L^5\left(\tfrac13 - \tfrac12 + \tfrac15\right) = L^5/30$ → $A = \sqrt{30/L^5}$. (b) $P = 30\int_0^{1/4}u^2(1-u)^2du = 30\left[\tfrac{u^3}{3} - \tfrac{u^4}{2} + \tfrac{u^5}{5}\right]_0^{1/4} = 30\times0.003451 = 0.1035$. 바닥 상태는 $P = \tfrac14 - \tfrac{1}{2\pi} = 0.0908$.

(a) A = √(30/L⁵), (b) P = 0.104 (바닥 상태는 0.0908)

검토 두 함수 모두 양 끝에서 0이고 가운데가 볼록해 모양이 비슷하다. 포물선이 벽 근처에서 조금 덜 가파르게 줄어 확률이 약간 크다. $A$의 단위 nm⁻⁵ᐟ²는 $\psi$의 단위 nm⁻¹ᐟ²와 맞다.

확률 흐름

확률이 한 곳에서 줄면 다른 곳에서 늘어야 한다. 슈뢰딩거 방정식에서 직접 이끌 수 있는 확률 흐름(probability current) $j$는 단위 시간에 한 점을 지나가는 확률이며, 전하의 연속 방정식과 똑같은 꼴을 만족한다.

$$j(x,t) = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\right) = \frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}\!\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right), \qquad \frac{\partial|\Psi|^2}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0$$

평면파 $Ae^{ikx}$에서는 $j = (\hbar k/m)|A|^2 = v\,|A|^2$: 밀도 × 속도. 실수 파동함수(정상파)는 $j = 0$이다 — 오른쪽과 왼쪽 흐름이 상쇄된다.

처음 파수 k₀

MINI LAB색칠한 곡선은 $|\Psi|^2$, 굵은 선은 확률 흐름 $j(x)$이다(크랭크–니콜슨 수치 풀이, 전자). 점선 검출면을 지나는 $j$를 시간으로 적분한 값이 오른쪽 확률 $P_\text{오른쪽}$의 증가량과 같다. $k_0 = 0$이면 파속은 제자리에서 퍼지기만 하고, $j$는 가운데에서 양쪽으로 갈라진다.

n형 실리콘에서 농도 $n = 1.0\times10^{18}$ cm⁻³의 전자들이 모두 운동 에너지 0.050 eV로 한 방향으로 움직인다고 하자(평면파, 전도 유효 질량 $m^* = 0.26\,m_e$). 확률 흐름에 전하를 곱해 전류 밀도를 구하라.

풀이 보기

전략 3차원 평면파 $Ae^{ikx}$를 $|A|^2 = n$으로 정규화하면 $j = v|A|^2 = nv$(단위: 1/(m²·s)). 전류 밀도는 $J = e\,j$.

풀이 $v = \sqrt{2E/m^*} = \sqrt{2(0.050)(1.602\times10^{-19})/(0.26\times9.109\times10^{-31})} = 2.60\times10^5$ m/s. $J = env = (1.602\times10^{-19})(1.0\times10^{24})(2.60\times10^5) = 4.17\times10^{10}$ A/m².

J ≈ 4.2×10¹⁰ A/m² = 4.2×10⁶ A/cm²

검토 실제 소자에서는 전자들이 모든 방향으로 움직여 대부분 상쇄되고, 전기장이 만든 작은 치우침(드리프트)만 전류가 된다. 열속도 크기의 한 방향 흐름은 탄도 수송의 상한에 해당한다.

전류 밀도 = 전하 × 확률 흐름

소자 시뮬레이터가 계산하는 전류 밀도 $J$는 결국 $e\,j$의 합이다. 드리프트–확산 모형의 $J = qn\mu E + qD\,dn/dx$는 수많은 전자의 확률 흐름을 산란으로 평균한 결과이고, 연속 방정식 $\partial n/\partial t = (1/q)\,\partial J/\partial x + G - R$은 위의 $\partial|\Psi|^2/\partial t + \partial j/\partial x = 0$에 생성·재결합을 더한 것이다. 게이트 산화막 1–2 nm를 지나는 터널 전류도 장벽 너머의 확률 흐름으로 계산한다(6장). → SemiBooks: 캐리어 수송

연산자와 기댓값

같은 상태를 여러 번 준비해 위치를 재면 결과가 흩어진다. 그 평균이 기댓값(expectation value)이다. 확률 밀도가 $|\Psi|^2$이므로 위치의 기댓값은 바로 쓸 수 있다.

$$\langle x\rangle = \int x\,|\Psi|^2\,dx, \qquad \langle x^2\rangle = \int x^2|\Psi|^2\,dx, \qquad \Delta x = \sqrt{\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2}$$

$\Delta x$는 측정값의 표준편차, 곧 2장 불확정성 원리의 $\Delta x$다. 위 시뮬레이터의 표본 평균·표본 표준편차가 이 값으로 수렴한다.

운동량은 $x$의 함수가 아니므로 같은 방법으로는 구할 수 없다. 평면파 단계에서 본 대응 $p \leftrightarrow -i\hbar\,\partial/\partial x$를 써서, 물리량마다 연산자(operator)를 정하고 $\Psi^*$와 $\Psi$ 사이에 끼워 적분한다.

$$\langle Q\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*\,\hat Q\,\Psi\,dx$$

물리량	연산자	비고
위치 $x$	$\hat x = x$	곱하기
운동량 $p$	$\hat p = -i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial x}$	평면파 $e^{ikx}$에 걸면 $\hbar k$
운동 에너지 $K$	$\hat K = \dfrac{\hat p^2}{2m} = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}$	곡률이 클수록 크다
퍼텐셜 에너지	$V(x)$	곱하기
전체 에너지	$\hat H = \hat K + V$ 또는 $i\hbar\,\partial/\partial t$	슈뢰딩거 방정식은 두 형태가 같다는 말

중요한 결과 하나: 파동함수가 (전체 위상을 빼면) 실수이면 $\langle p\rangle = 0$이다. $\langle p\rangle = -i\hbar\int\psi\psi'\,dx = -\tfrac{i\hbar}{2}[\psi^2]_{-\infty}^{\infty} = 0$이기 때문이다. 정지한 정상파는 오른쪽·왼쪽으로 가는 성분을 똑같이 가진다. 알짜 운동량을 가지려면 위치에 따라 위상이 변해야($e^{ikx}$ 꼴) 한다.

섞는 비율 θ 상대 위상 φ

MINI LAB상자 속 두 상태의 섞임 $\psi = \cos\theta\,\psi_1 + \sin\theta\,e^{i\varphi}\psi_2$. 세로선은 $\langle x\rangle$, 띠는 $\langle x\rangle \pm \Delta x$다. $\varphi = 0$이나 $180^\circ$이면 $\psi$가 실수라 $\langle p\rangle = 0$이고, $\varphi = 90^\circ$이면 $\langle x\rangle$은 가운데인데도 $\langle p\rangle \ne 0$ — 곧 움직이기 시작할 상태다.

두께 $L = 5.0$ nm인 실리콘 나노시트를 무한 우물로 보고, 바닥 상태 $\psi_1 = \sqrt{2/L}\sin(\pi x/L)$에 있는 전자의 $\langle x\rangle$, $\Delta x$, $\langle p\rangle$, $\Delta p$와 곱 $\Delta x\Delta p$를 구하라.

풀이 보기

전략 $\langle x\rangle$은 대칭으로, $\langle x^2\rangle$은 적분 공식으로 구한다. 실수 함수이므로 $\langle p\rangle = 0$, $\langle p^2\rangle = 2m\langle K\rangle = 2mE_1 = (\pi\hbar/L)^2$.

풀이 $\langle x\rangle = L/2 = 2.50$ nm. $\langle x^2\rangle = \tfrac{2}{L}\int_0^Lx^2\sin^2\tfrac{\pi x}{L}dx = L^2\left(\tfrac13 - \tfrac{1}{2\pi^2}\right)$ → $\Delta x = L\sqrt{\tfrac{1}{12} - \tfrac{1}{2\pi^2}} = 0.1808L = 0.904$ nm. $\Delta p = \pi\hbar/L = 0.628\,\hbar$/nm $= 6.63\times10^{-26}$ kg·m/s. $\Delta x\Delta p = \pi\sqrt{\tfrac{1}{12} - \tfrac{1}{2\pi^2}}\,\hbar = 0.568\,\hbar$.

⟨x⟩ = 2.50 nm, Δx = 0.904 nm, ⟨p⟩ = 0, Δp = 6.63×10⁻²⁶ kg·m/s, ΔxΔp = 0.568ħ

검토 $0.568\hbar > \hbar/2$로 불확정성 원리를 만족한다. $\Delta p$는 유효 질량과 무관하지만, 에너지 $E_1 = (\Delta p)^2/2m^*$는 $m^*$에 반비례한다.

폭 5.0인 무한 우물의 $n =$ 1 상태에서 $\Delta x =$ , $\Delta p = n\pi\hbar/L =$ 이고, 곱은 $\Delta x\Delta p =$ 이다. 실수 파동함수라 $\langle p\rangle = 0$이므로 에너지는 $E_n = (\Delta p)^2/2m^*$: 유효 질량 0.19 $m_e$이면 . 우물을 좁히면 위치는 더 확실해지지만 운동량 퍼짐과 에너지가 커진다 — 이것이 양자 구속 에너지다.

에렌페스트 정리

슈뢰딩거 방정식에서 $\dfrac{d\langle x\rangle}{dt} = \dfrac{\langle p\rangle}{m}$, $\dfrac{d\langle p\rangle}{dt} = \left\langle -\dfrac{\partial V}{\partial x}\right\rangle$을 증명할 수 있다. 기댓값은 뉴턴 법칙을 (평균으로) 따른다. 파속이 퍼텐셜이 변하는 길이보다 훨씬 작으면 $\langle -V'\rangle \approx -V'(\langle x\rangle)$이 되어 고전 역학이 그대로 돌아온다 — 대응 원리다.

변수 분리와 정상 상태

퍼텐셜이 시간에 따라 변하지 않으면 $\Psi(x,t) = \psi(x)\,\phi(t)$로 놓아 공간과 시간을 분리할 수 있다. 방정식에 넣고 양변을 $\psi\phi$로 나누면

$$i\hbar\frac{1}{\phi}\frac{d\phi}{dt} = \frac{1}{\psi}\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V\psi\right] = E$$

왼쪽은 $t$만, 오른쪽은 $x$만의 함수인데 모든 $x, t$에서 같으려면 둘 다 상수여야 한다. 그 분리 상수가 에너지 $E$다.

시간 쪽은 바로 풀린다: $\phi(t) = e^{-iEt/\hbar}$. 공간 쪽은 이 장의 나머지와 5–8장 전체가 푸는 방정식이다.

시간 독립 슈뢰딩거 방정식

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\,\psi = E\,\psi \quad\Longleftrightarrow\quad \hat H\psi = E\psi$$

연산자를 걸었더니 자기 자신의 상수배가 나오는 함수를 고유 함수(eigenfunction), 그 상수 $E$를 에너지 고윳값(energy eigenvalue)이라 한다.

정상 상태 $\Psi = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}$는 모든 점의 위상이 같은 빠르기로 도는 상태다. 위상 시계의 크기는 1이므로 확률 밀도와 모든 기댓값이 시간에 따라 변하지 않는다 — 그래서 "정상(定常)"이다.

상태

MINI LAB5 nm 실리콘 우물($m^* = 0.19\,m_e$)의 정상 상태. 실수부(실선)와 허수부(점선)는 쉬지 않고 출렁이지만 색칠한 $|\Psi|^2$은 꼼짝하지 않는다. $n = 2$로 바꾸면 에너지가 4배라 위상 시계가 4배 빨리 돈다(주기 $h/E_n$).

중첩과 맥놀이

방정식이 선형이므로 정상 상태들의 합도 해다. 에너지가 다른 두 정상 상태를 섞으면

$$\Psi = c_1\psi_1e^{-iE_1t/\hbar} + c_2\psi_2e^{-iE_2t/\hbar}, \qquad |\Psi|^2 = |c_1|^2\psi_1^2 + |c_2|^2\psi_2^2 + 2|c_1c_2|\,\psi_1\psi_2\cos\!\left(\frac{(E_2 - E_1)t}{\hbar} - \delta\right)$$

실수 $\psi_1, \psi_2$, $\delta$는 $c_2/c_1$의 위상. 교차항이 각진동수 $\omega_{21} = (E_2 - E_1)/\hbar$로 진동해 확률 분포가 출렁인다. 정규화는 $|c_1|^2 + |c_2|^2 = 1$, 에너지를 재면 $E_1$이 확률 $|c_1|^2$, $E_2$가 $|c_2|^2$로 나온다.

개별 위상 $E_n t/\hbar$는 에너지의 기준점(0을 어디로 잡느냐)에 따라 달라지므로 관측할 수 없다. 관측되는 것은 에너지 차이뿐이다. 맥놀이 주기 $T = h/(E_2 - E_1)$에 맞는 진동수의 빛을 흡수·방출하는 것이 3장 보어 진동수 조건의 정체다.

상자 속 전자가 바닥 상태 $\psi_1$ 하나에만 있다. 시간이 지나면 $\langle x\rangle$은 어떻게 되는가?

정상 상태 하나는 위상만 돌 뿐 $|\Psi|^2$이 변하지 않는다. 출렁임이 생기려면 에너지가 다른 상태가 둘 이상 섞여야 한다. 아래에서 $c_2$ 화살표를 끌어 키워 보라.

SIMULATOR

정상 상태 중첩: 위상 화살표를 끌어 출렁임 만들기

화살표 끝을 끌어 크기와 위상을 정한다

불러오기

Re Ψ 함께 그리기

|c₁|², |c₂|², |c₃|²—

⟨E⟩—

맥놀이 주기 h/(E₂−E₁)—

최근 최저 ⟨x⟩—

목표—

5 nm 실리콘 우물, $m^* = 0.19\,m_e$, $E_n = n^2\times79.2$ meV. 위상 화살표는 $c_ne^{-iE_nt/\hbar}$이고 $E_n$에 비례하는 빠르기로 시계 방향으로 돈다. 해볼 것: ① 목표 1: ⟨x⟩가 0.33L보다 왼쪽까지 가게 하라(두 상태로 가능). ② 목표 2: 0.27L보다 왼쪽까지(세 상태와 위상 조절이 필요하다). ③ $c_1$과 $c_3$만 섞으면 $|\Psi|^2$은 출렁이는데도 ⟨x⟩는 움직이지 않는다. 왜일까? (힌트: 짝·홀 대칭)

폭 5.0, 유효 질량 0.19 $m_e$인 무한 우물에서 $E_1 =$ , $E_2 - E_1 = 3E_1 =$ 이다. 두 상태를 섞으면 전자 구름은 $T = h/(E_2 - E_1) =$ 마다 한 번 왕복하고, 그 진동수 는 파장 의 빛과 같다 — 이 빛으로 두 준위 사이 전이(띠 안 전이)를 일으킨다.

두께 5.0 nm 실리콘 우물($m^* = 0.19\,m_e$, 무한 우물 근사)에서 전자가 $\Psi = (\psi_1 + \psi_2)/\sqrt2$ 상태로 준비되었다. $|\Psi|^2$의 출렁임 주기와, 같은 진동수를 가진 빛의 파장을 구하라.

풀이 보기

전략 $E_n = (\hbar^2/2m^*)(n\pi/L)^2$, 주기 $T = h/(E_2 - E_1)$, 빛의 파장 $\lambda = hc/\Delta E$.

풀이 $E_1 = (0.0381/0.19)(\pi/5.0)^2 = 0.0792$ eV, $\Delta E = 3E_1 = 0.2375$ eV. $T = h/\Delta E = (4.136$ eV·fs$)/0.2375 = 17.4$ fs. $f = 1/T = 57.4$ THz, $\lambda = 1239.8/0.2375 = 5220$ nm $= 5.22$ μm.

T = 17.4 fs, λ = 5.22 μm (중적외선)

검토 이런 띠 안 전이(intersubband)는 양자 우물 적외선 검출기와 양자 폭포 레이저가 쓰는 원리다. 실제 유한 우물에서는 준위가 조금 낮아 파장이 더 길어진다.

허용되는 파동함수와 슈팅법

시간 독립 방정식은 $\psi'' = \dfrac{2m}{\hbar^2}\,[V(x) - E]\,\psi$로 쓸 수 있다. 이것은 "곡률 규칙"이다. $E > V$인 고전적 허용 영역(classically allowed region)에서는 $\psi''$이 $\psi$와 반대 부호라 $\psi$가 축 쪽으로 휘어 진동하고, $E < V$인 금지 영역(forbidden region)에서는 같은 부호라 축에서 멀어지며 지수적으로 커지거나 줄어든다.

E − V 출발 기울기 ψ′(0)

MINI LAB균일한 퍼텐셜 속에서 $\psi(0) = 1$로 출발한 해(전자). $E - V > 0$이면 파장 $2\pi/k$로 진동하고, $E - V < 0$이면 $\cosh$·$\sinh$ 꼴로 폭주한다. 기울기를 정확히 $-\kappa$로 맞추면 그때만 $e^{-\kappa x}$로 줄어든다 — 이 "딱 맞추기"가 양자화의 씨앗이다.

측정 확률로 해석하려면 $\psi$가 아무 함수나 될 수는 없다.

허용되는 파동함수의 조건

① $\psi$는 어디서나 유한하고 한 값을 가진다. ② $\psi$는 연속이다. ③ $V$가 유한한 곳에서는 $d\psi/dx$도 연속이다(무한 벽에서만 꺾일 수 있다). ④ 속박 상태는 정규화할 수 있다: $|x| \to \infty$에서 $\psi \to 0$.

허용되는 파동함수와 그렇지 않은 함수. 특히 네 번째 조건(꼬리가 0)이 속박 상태의 에너지를 특정 값으로 제한한다.

슈팅법: 에너지를 맞추면 꼬리가 0이 된다

시간 독립 방정식은 2계 상미분 방정식이므로 $\psi$와 $\psi'$을 한 점에서 정하고 에너지 $E$를 고르면 $x$를 따라 한 걸음씩 적분할 수 있다. 왼쪽 금지 영역 깊숙이 $\psi \approx 0$에서 출발해 오른쪽으로 "쏘아" 보자. 아무 $E$나 고르면 오른쪽 금지 영역에서 $e^{+\kappa x}$ 성분이 살아남아 꼬리가 $+\infty$나 $-\infty$로 날아간다. 꼬리가 정확히 0으로 내려앉는 특별한 에너지에서만 정규화 가능한 해가 된다. 이것이 슈팅법(shooting method)이고, 에너지 양자화의 가장 직관적인 설명이다.

왼쪽 금지 영역에서 $\psi \approx 0$, 아주 작은 기울기로 출발한다(진폭은 나중에 정규화).
$E$가 고윳값보다 조금 낮으면 우물 안에서 덜 휘어, 오른쪽 금지 영역에서 위로 폭주한다.
$E$가 조금 높으면 더 많이 휘어 축을 넘어가고, 아래로 폭주한다.
그 사이의 딱 한 에너지에서 꼬리가 0으로 수렴한다. 이 $E$가 고윳값이다. 꼬리의 부호가 바뀌는 두 에너지 사이를 이분법으로 좁히면 고윳값을 얼마든지 정확히 찾을 수 있다.

슈팅법의 원리. 꼬리의 부호가 바뀌는 에너지를 찾는 것은 방정식 $f(E) = \psi_\text{끝}(E) = 0$의 근을 찾는 문제가 된다.

슈팅법으로 찾은 세 번째로 낮은 고윳값($n = 3$)의 파동함수는 우물 안에서 축을 몇 번 지나는가(마디 수)?

1차원 속박 상태에서 $n$번째 상태는 마디가 $n - 1$개다. 에너지를 올릴수록 우물 안에서 더 많이 휘어 마디가 하나씩 늘어나고, 마디가 하나 늘 때마다 꼬리의 발산 방향이 바뀐다.

SIMULATOR

슈팅법 게임: 꼬리가 0이 되는 에너지 세 개 찾기

오른쪽의 흰 핸들(에너지 선)을 위아래로 끈다

퍼텐셜

에너지 E

꼬리—

우물 안 마디 수—

찾은 준위0 / 3

전자($m = m_e$), 누메로프 적분. 유한 우물: 폭 2 nm, 깊이 0.6 eV. 포물선: $\hbar\omega = 0.2$ eV. 삼각 우물: 왼쪽 무한 벽 + 전기장 1 MV/cm(반전층 모형). 에너지가 고윳값의 ±3 meV 안에 들면 준위를 "찾은" 것으로 기록한다. 해볼 것: ① 꼬리가 위로 날아가는 E와 아래로 날아가는 E를 하나씩 찾은 뒤 "이분법 한 번"을 여러 번 눌러 보라. ② 포물선 우물에서 찾은 세 준위의 간격이 같은지 확인하라(7장). ③ 삼각 우물의 준위 간격은 위로 갈수록 좁아진다. 왜일까?

포물선 퍼텐셜 $V = \tfrac12 m\omega^2x^2$ 속 전자에 대해 $\psi = Ae^{-x^2/2b^2}$이 시간 독립 방정식의 해가 되는 $b$와 그때의 에너지 $E$를 구하라. $b = 0.20$ nm이면 $E$와 $\hbar\omega$는 몇 eV인가?

풀이 보기

전략 $\psi''$을 계산해 방정식에 넣고, 모든 $x$에서 성립하도록 $x^2$항과 상수항을 각각 맞춘다.

풀이 $\psi' = -(x/b^2)\psi$, $\psi'' = (x^2/b^4 - 1/b^2)\psi$. 대입: $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{x^2}{b^4} - \dfrac{1}{b^2}\right) + \dfrac12m\omega^2x^2 = E$. $x^2$항: $\hbar^2/(2mb^4) = m\omega^2/2$ → $b^2 = \hbar/(m\omega)$. 상수항: $E = \hbar^2/(2mb^2) = \tfrac12\hbar\omega$. 수치: $E = 0.0381/0.20^2 = 0.952$ eV, $\hbar\omega = 2E = 1.90$ eV.

b = √(ħ/mω), E = ħω/2; b = 0.20 nm이면 E = 0.952 eV, ħω = 1.90 eV

검토 마디가 없는 바닥 상태이고, 에너지가 퍼텐셜 바닥(0)보다 $\hbar\omega/2$만큼 높다 — 영점 에너지(7장). 슈팅 시뮬레이터의 포물선 우물($\hbar\omega = 0.2$ eV)에서 첫 준위가 0.100 eV인지 확인하라.

TCAD의 양자 보정

MOSFET 반전층은 위 삼각 우물과 같다. 고전 모형은 전자가 Si/SiO₂ 계면 바로 위에 가장 많다고 예측하지만, 슈뢰딩거 방정식의 해는 계면(무한 벽)에서 0이므로 전자 구름의 중심이 계면에서 약 1 nm 떨어진다. 그 결과 게이트 정전 용량이 줄어 산화막이 약 0.3–0.4 nm 두꺼워진 것처럼 보이고, 첫 준위가 전도대 바닥보다 수십–백수십 meV 높아 문턱 전압이 오른다. 그래서 TCAD는 슈뢰딩거–푸아송 방정식을 자기 일관적으로 풀거나(슈팅법·유한 차분 고윳값 풀이가 그 안에 들어간다), 계산을 줄이려고 밀도 기울기 모형(density-gradient model)으로 양자 보정을 넣는다. → SemiBooks: TCAD, MOS 구조

자유 입자와 파속의 퍼짐

$V = 0$이면 시간 독립 방정식의 해는 $\psi = e^{\pm ikx}$, $E = \hbar^2k^2/2m$이고 $k$에 제한이 없다 — 에너지가 연속이다. 그러나 $|e^{ikx}|^2 = 1$이라 $\int|\psi|^2dx = \infty$, 평면파는 정규화할 수 없다. 실제 입자는 여러 $k$의 평면파를 섞은 파속(wave packet)이다.

$$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k)\,e^{i(kx - \hbar k^2t/2m)}\,dk$$

$\phi(k)$는 운동량 분포(진폭). 각 성분이 서로 다른 위상 속도 $\hbar k/2m$로 움직이므로 시간이 지나면 성분들이 어긋나 파속이 퍼진다.

섞는 평면파 수 N 파수 퍼짐 σ_k

MINI LAB중심 파수 $k_0 = 3$ nm⁻¹ 둘레의 평면파 $N$개를 가우스 무게로 더한 결과(실수부와 $|\Psi|^2$). $N = 1$이면 끝없는 평면파, $N$을 늘리면 한 덩어리의 파속이 된다. 띄엄띄엄 더하면 $2\pi/\delta k$마다 덩어리가 되풀이되고, 연속 적분이 되어야 하나만 남는다. $\sigma_k$를 키우면 파속은 좁아진다: $\Delta x\,\Delta k = 1/2$.

가우스 파속 $\Psi(x,0) \propto e^{-(x - x_0)^2/4\sigma_0^2}e^{ik_0x}$($|\Psi|^2$의 표준편차 $\sigma_0$)은 적분을 정확히 할 수 있다. 중심은 군속도 $v_g = \hbar k_0/m$로 움직이고, 폭은

$$\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \left(\frac{t}{\tau}\right)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar}$$

$t \ll \tau$이면 거의 그대로, $t \gg \tau$이면 $\sigma \approx \hbar t/(2m\sigma_0) = \Delta v\,t$로 선형 증가한다. 처음에 좁을수록($\sigma_0$ 작음) 운동량 퍼짐 $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$이 커서 오히려 빨리 퍼진다. 질량이 작을수록 빨리 퍼진다.

SIMULATOR

가우스 파속 쏘기: 검출기에 가장 좁게 도착시켜라

처음 파속(점선)의 흰 핸들을 좌우로 끌면 σ₀가 바뀐다

질량

군속도 v_g 처음 폭 σ₀

시각 t0 fs

현재 폭 σ—

도착 폭 σ(t_D)—

판정—

출발점에서 80 nm 떨어진 검출기(점선)까지 비행 시간 $t_D = 80\,\text{nm}/v_g$. 아래 그래프는 도착 폭을 $\sigma_0$의 함수로 그린 것이며, 그 위의 점도 끌 수 있다. 해볼 것: ① 도착 폭이 가능한 최솟값의 105% 이내가 되도록 $\sigma_0$를 맞추고 발사하라. ② 같은 조건에서 질량만 0.19, 0.067로 바꾸면 최적 $\sigma_0$는 어떻게 되는가? 색은 반송파 $e^{ik_0x}$를 뺀 위상이다 — 퍼질수록 앞쪽(빠른 성분)과 뒤쪽(느린 성분)의 위상이 갈라진다(처프). ③ 군속도를 2배로 하면 최적 $\sigma_0$는 $1/\sqrt2$배가 된다. 식으로 확인하라.

처음 폭 $\sigma_0 =$ 2.0, 유효 질량 0.19 $m_e$인 전자 파속의 특성 시간은 $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar =$ 이다. $t =$ 100 뒤 폭은 (처음의 배)가 된다. 이 시간 동안 $10^5$ m/s로 달리는 전자는 를 간다.

실리콘 채널에서 $m^* = 0.19\,m_e$인 전자가 $\sigma_0 = 2.0$ nm의 가우스 파속으로 출발했다. (a) 폭이 2배가 되는 시간은? (b) 전자가 $1.0\times10^5$ m/s로 10 nm 채널을 지나는 데 걸리는 100 fs 뒤의 폭은?

풀이 보기

전략 $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$. $\sigma = 2\sigma_0$이면 $\sqrt{1 + (t/\tau)^2} = 2$ → $t = \sqrt3\,\tau$.

풀이 $\hbar^2/2m^* = 0.0381/0.19 = 0.2005$ eV·nm²이므로 $\tau = \hbar\sigma_0^2/(\hbar^2/2m^*) = 0.6582\times4.0/0.2005 = 13.1$ fs. (a) $t = \sqrt3\times13.1 = 22.7$ fs. (b) $\sigma = 2.0\sqrt{1 + (100/13.1)^2} = 15.4$ nm.

(a) 22.7 fs, (b) σ ≈ 15 nm

검토 퍼진 폭이 채널 길이보다 크다. 실제로는 채널 속 전자가 산란·주입 과정에서 수 nm 크기로 "재측정"되고 열적으로 퍼진 분포를 이루므로, 고립된 파속 하나의 그림은 탄도 수송의 직관을 주는 정도로만 쓴다.

탄도 수송과 파속

채널 길이가 전자의 평균 자유 행로(실리콘 반전층에서 약 10–20 nm)에 가까워지면 전자는 산란 없이 소스에서 드레인으로 날아가는 탄도 수송(ballistic transport)에 가까워진다. 이때 전자는 파속처럼 다뤄야 하고, 유효 질량이 작을수록 같은 에너지에서 빠르지만($v \propto 1/\sqrt{m^*}$) 위 시뮬레이터처럼 빨리 퍼지고 터널링도 쉽다. III–V 채널($m^* = 0.067$)이 이동도는 높지만 짧은 채널에서 소스–드레인 직접 터널링 누설이 커지는 이유 중 하나다. → SemiBooks: 캐리어 수송, 소자 미세화

핵심 정리

시간 의존 슈뢰딩거 방정식 $i\hbar\,\partial\Psi/\partial t = -(\hbar^2/2m)\,\partial^2\Psi/\partial x^2 + V\Psi$는 평면파의 $E = \hbar\omega$, $p = \hbar k$와 $E = p^2/2m + V$를 연산자 $i\hbar\,\partial_t$, $-i\hbar\,\partial_x$로 옮긴 것이다. 선형이므로 중첩이 성립한다.
보른 해석: $|\Psi|^2$은 확률 밀도, $\int_a^b|\Psi|^2dx$는 구간 확률, $\int|\Psi|^2dx = 1$이 정규화. 확률 흐름 $j = (\hbar/m)\,\mathrm{Im}(\Psi^*\Psi')$은 연속 방정식을 만족하고, 전하를 곱하면 전류 밀도가 된다.
기댓값 $\langle Q\rangle = \int\Psi^*\hat Q\Psi\,dx$, $\hat p = -i\hbar\,\partial/\partial x$. 표준편차 $\Delta x = \sqrt{\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2}$. 실수 파동함수는 $\langle p\rangle = 0$.
$V$가 시간에 무관하면 $\Psi = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}$로 분리되고 $\hat H\psi = E\psi$가 남는다. 정상 상태는 위상만 돌아 $|\Psi|^2$과 기댓값이 변하지 않는다(위상 주기 $h/E$).
에너지가 다른 정상 상태를 섞으면 $|\Psi|^2$이 $\omega_{21} = (E_2 - E_1)/\hbar$로 출렁인다(맥놀이 주기 $h/\Delta E$). 관측되는 것은 에너지 차이뿐이다.
허용되는 $\psi$는 유한·연속이고 (유한 $V$에서) $\psi'$도 연속이며 정규화할 수 있어야 한다. 이 조건 때문에 속박 상태의 에너지는 꼬리가 0이 되는 값으로 양자화되고, $n$번째 상태는 마디가 $n - 1$개다(슈팅법).
자유 입자의 평면파는 정규화할 수 없고 실제 입자는 파속이다. 가우스 파속은 $v_g = \hbar k_0/m$로 움직이며 $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2}$로 퍼진다. 결정 속에서는 $m \to m^*$.

연습문제

특별한 말이 없으면 $\hbar^2/2m_e = 0.0381$ eV·nm², $\hbar = 0.6582$ eV·fs, $h = 4.136$ eV·fs $= 6.626\times10^{-34}$ J·s, $m_e = 9.109\times10^{-31}$ kg, $e = 1.602\times10^{-19}$ C를 쓴다. 무한 우물은 $0 \le x \le L$, $\psi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$, $E_n = (\hbar^2/2m)(n\pi/L)^2$. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

드브로이 파장 0.200 nm인 자유 전자 평면파의 운동 에너지는?

$k = 2\pi/0.200 = 31.4$ nm⁻¹, $E = 0.0381\times31.4^2 = 37.6$ eV.

무한 우물의 바닥 상태($n = 1$) 입자를 가운데 1/3 구간 $L/3 \le x \le 2L/3$에서 발견할 확률은?

$\int\sin^2(\pi x/L)\,dx = x/2 - (L/4\pi)\sin(2\pi x/L)$.

$P = \tfrac{2}{L}\left[\tfrac x2 - \tfrac{L}{4\pi}\sin\tfrac{2\pi x}{L}\right]_{L/3}^{2L/3} = \tfrac13 - \tfrac{1}{2\pi}\left(\sin\tfrac{4\pi}{3} - \sin\tfrac{2\pi}{3}\right) = \tfrac13 + \tfrac{\sqrt3}{2\pi} = 0.609$. 고르게 퍼져 있다면 0.333이었을 것이다.

$\psi(x) = Ae^{-|x|/a}$ ($-\infty < x < \infty$)를 정규화하라. $a = 0.50$ nm일 때 $A$는?

$\int|\psi|^2dx = 2A^2\int_0^\infty e^{-2x/a}dx = A^2a = 1$ → $A = 1/\sqrt a = 1/\sqrt{0.50} = 1.41$ nm⁻¹ᐟ².

에너지 1.00 eV인 정상 상태의 위상 $e^{-iEt/\hbar}$가 한 바퀴 도는 시간은?

$T = 2\pi\hbar/E = h/E = 4.136\text{ eV}\cdot\text{fs}/1.00\text{ eV} = 4.14$ fs. 이 주기 자체는 에너지 기준점에 따라 바뀌므로 관측되지 않는다.

폭 2.00 nm 무한 우물의 바닥 상태에서 위치의 표준편차 $\Delta x$는?

$\langle x^2\rangle = L^2(1/3 - 1/2\pi^2)$.

$\Delta x = L\sqrt{1/12 - 1/2\pi^2} = 2.00\times0.1808 = 0.362$ nm.

폭 8.0 nm GaAs 양자 우물($m^* = 0.067\,m_e$, 무한 우물 근사)에서 $\psi_1$과 $\psi_2$를 섞은 상태의 $|\Psi|^2$ 출렁임 주기는?

$E_1 = (0.0381/0.067)(\pi/8.0)^2 = 0.0877$ eV, $\Delta E = 3E_1 = 0.263$ eV, $T = h/\Delta E = 4.136/0.263 = 15.7$ fs.

농도 $1.0\times10^{17}$ cm⁻³의 전자가 모두 $1.0\times10^5$ m/s로 한 방향으로 움직이는 평면파로 묘사된다. 확률 흐름 $j = v|A|^2$에 전하를 곱한 전류 밀도는 몇 A/cm²인가?

$|A|^2 = n = 1.0\times10^{23}$ m⁻³, $J = env = (1.602\times10^{-19})(1.0\times10^{23})(1.0\times10^5) = 1.60\times10^9$ A/m² $= 1.60\times10^5$ A/cm².

$\sigma_0 = 1.00$ nm인 자유 전자 가우스 파속의 특성 시간 $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$는?

$\tau = \hbar\sigma_0^2/(\hbar^2/2m) = 0.6582\times1.00/0.0381 = 17.3$ fs. SI로 $2(9.109\times10^{-31})(10^{-18})/(1.055\times10^{-34}) = 1.73\times10^{-14}$ s.

어떤 정상 상태 전자의 파동함수가 퍼텐셜 $V = 0.30$ eV인 점에서 $\psi''/\psi = -40$ nm⁻²이다. 에너지 $E$는?

$E - V = -(\hbar^2/2m)\,\psi''/\psi$.

$E = V - (\hbar^2/2m)(\psi''/\psi) = 0.30 + 0.0381\times40 = 1.82$ eV. $\psi''/\psi < 0$이므로 허용 영역이다.

실리콘에서 가로 유효 질량 $m^* = 0.19\,m_e$로 움직이는 전도대 전자의 운동 에너지가 0.100 eV이다. 포락 함수의 파장은?

$k = \sqrt{Em^*/(\hbar^2/2m_e)} = \sqrt{0.100\times0.19/0.0381} = 0.706$ nm⁻¹, $\lambda = 2\pi/k = 8.90$ nm. 같은 에너지의 자유 전자(3.88 nm)보다 $1/\sqrt{0.19}$배 길다.

$m^* = 0.19\,m_e$, $\sigma_0 = 3.0$ nm인 전자 파속이 20 nm 채널을 $1.0\times10^5$ m/s로 지난다. 드레인에 도착할 때 폭 $\sigma$는?

비행 시간 $t = 20\text{ nm}/(0.10\text{ nm/fs}) = 200$ fs. $\tau = 0.6582\times9.0/(0.0381/0.19) = 29.5$ fs. $\sigma = 3.0\sqrt{1 + (200/29.5)^2} = 20.5$ nm.

자유 전자 파속을 100 fs 뒤 검출기에서 가장 좁게 만들고 싶다. 처음 폭 $\sigma_0$를 얼마로 해야 하는가? (그때 도착 폭은 $\sqrt2\,\sigma_0$다.)

$\sigma^2(t) = \sigma_0^2 + (\hbar t/2m)^2/\sigma_0^2$을 $\sigma_0^2$에 대해 최소화한다.

$d\sigma^2/d(\sigma_0^2) = 1 - (\hbar t/2m)^2/\sigma_0^4 = 0$ → $\sigma_0 = \sqrt{\hbar t/2m} = \sqrt{(1.055\times10^{-34})(1.0\times10^{-13})/(2\times9.109\times10^{-31})} = 2.41$ nm. 도착 폭은 3.40 nm. 파속 시뮬레이터의 게임과 같은 계산이다.

$\Psi(x,0) = \dfrac{1}{\sqrt2}\left(\psi_1 + i\psi_2\right)$(무한 우물)인 상태에 대해 옳은 것은?

교차항이 순허수 계수를 가지므로 $|\Psi|^2 = \tfrac12(\psi_1^2 + \psi_2^2)$ — 대칭이라 $\langle x\rangle = L/2$. 그러나 $\Psi$가 실수가 아니어서 $\langle p\rangle = \hbar\int_0^L\psi_1\psi_2'\,dx = -\dfrac{8\hbar}{3L} \ne 0$: 기댓값 미니 실험에서 $\varphi = 90^\circ$인 경우다. 곧 $\langle x\rangle$이 움직이기 시작한다($d\langle x\rangle/dt = \langle p\rangle/m$).

퍼텐셜이 어디서나 유한한 1차원 속박 문제에서 허용되는 파동함수는?

$\tan x$는 무한대가 되고, $e^{x^2}$은 정규화할 수 없다. $e^{-|x|}$는 $x = 0$에서 $\psi'$이 불연속이라 그곳에 무한대(델타 함수) 퍼텐셜이 있어야 한다. $xe^{-x^2}$는 매끄럽고 정규화할 수 있다(마디 1개 — 첫 들뜬 상태 꼴).

개념 확인 퀴즈

1차원 파동함수 $\Psi(x)$의 단위는?

$\int|\Psi|^2dx = 1$(무차원)이므로 $|\Psi|^2$은 1/길이, $\Psi$는 1/√길이다.

정상 상태 $\Psi = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}$에서 시간에 따라 변하는 것은?

전체 위상만 돌기 때문에 Re, Im은 출렁이지만 $|\Psi|^2$과 모든 기댓값은 일정하다.

상자 속 전자가 $(\psi_1 + \psi_2)/\sqrt2$ 상태에 있다. 에너지를 측정하면?

측정 결과는 고윳값 중 하나이고, 확률은 $|c_n|^2$이다. 평균 $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2$는 여러 번 잰 값의 평균일 뿐 한 번의 결과로는 나오지 않는다.

속박 상태의 에너지가 띄엄띄엄한 직접적인 이유는?

방정식 자체는 모든 $E$에서 해가 있다. 경계 조건(양쪽 꼬리가 0)을 동시에 만족하는 $E$만 남는다 — 슈팅법이 보여 준 것.

같은 처음 폭의 가우스 파속을 자유 전자와 GaAs 전자($m^* = 0.067\,m_e$)로 만들었다. 옳은 것은?

$\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$이므로 $\tau$는 $m$에 비례한다. $1/0.067 \approx 15$.

물리량	연산자	비고
위치 \(x\)	\(\hat x = x\)	곱하기
운동량 \(p\)	\(\hat p = -i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial x}\)	평면파 \(e^{ikx}\)에 걸면 \(\hbar k\)
운동 에너지 \(K\)	\(\hat K = \dfrac{\hat p^2}{2m} = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\)	곡률이 클수록 크다
퍼텐셜 에너지	\(V(x)\)	곱하기
전체 에너지	\(\hat H = \hat K + V\) 또는 \(i\hbar\,\partial/\partial t\)	슈뢰딩거 방정식은 두 형태가 같다는 말