Chapter 01

빛의 입자성: 광자

19세기 말 물리학자들은 빛이 전자기파라는 것을 의심하지 않았다. 그런데 뜨거운 물체가 내는 빛의 색, 금속에 빛을 쬘 때 튀어나오는 전자, 전자와 부딪혀 파장이 늘어나는 X선은 파동 이론으로 설명되지 않았다. 답은 하나였다. 빛의 에너지는 $hf$ 크기의 덩어리, 즉 광자로만 주고받는다. 아래 금속 표면에 쏟아지는 빛의 색을 바꿔 보라. 빛이 아무리 밝아도 빨간빛으로는 전자가 하나도 나오지 않는다.

아래 무지개 띠를 누르거나 끌어 빛의 파장을 고른다

흑체 복사 스펙트럼에서 레일리–진스 식이 왜 실패하는지 설명하고, 플랑크 식과 빈 변위 법칙·슈테판–볼츠만 법칙을 계산에 쓴다.
광전 효과의 세 가지 실험 사실을 광자 모형 $K_\text{max} = hf - \phi$로 설명하고, 정지 전압 그래프에서 $h$와 일함수를 구한다.
광자의 에너지 $E = hf = hc/\lambda$와 운동량 $p = h/\lambda$를 eV·nm 단위($hc = 1239.84$ eV·nm)로 빠르게 계산하고, 빛의 세기를 광자 수 플럭스로 바꾼다.
X선관의 연속 스펙트럼과 듀안–헌트 한계, 콤프턴 산란 식 $\Delta\lambda = \lambda_C(1-\cos\theta)$를 유도하고 적용한다.
쌍생성의 문턱 에너지 $2m_ec^2 = 1.022$ MeV와 쌍소멸을 에너지·운동량 보존으로 설명한다.

흑체 복사와 플랑크 가설

전기 난로의 열선은 데워지면 먼저 어두운 빨강으로, 더 뜨거워지면 주황·노랑·흰색으로 빛난다. 모든 물체는 온도에 따라 전자기파를 내는데, 이를 열복사(thermal radiation)라 한다. 들어오는 빛을 모두 흡수하는 이상적인 물체를 흑체(blackbody)라 하며, 작은 구멍이 뚫린 속 빈 상자(공동)가 좋은 근사다. 흑체가 내는 빛의 스펙트럼은 재질과 상관없이 온도만으로 정해진다.

흑체 표면 1 m²가 파장 $\lambda$–$\lambda+d\lambda$ 사이에서 내보내는 일률을 $M_\lambda\,d\lambda$라 하자(분광 복사 발산도). 실험으로 얻은 두 경험 법칙은 다음과 같다.

$$\lambda_\text{max}T = b = 2.898\times10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}, \qquad M = \int_0^\infty M_\lambda\,d\lambda = \sigma T^4$$

왼쪽은 빈 변위 법칙(Wien's displacement law): 온도가 높을수록 봉우리가 짧은 파장으로 옮겨 간다. 오른쪽은 슈테판–볼츠만 법칙(Stefan–Boltzmann law), $\sigma = 5.670\times10^{-8}$ W/(m²·K⁴). 실제 물체는 방사율 $\varepsilon$(0–1)을 곱해 $M = \varepsilon\sigma T^4$.

온도 1300, 방사율 0.68인 물체는 파장 근처에서 가장 밝게 빛나고, 표면 1 cm²마다 를 내보낸다. 그중 눈에 보이는 빛(380–750 nm)은 뿐이다.

고전 이론의 파탄

레일리와 진스는 공동 속 전자기 정상파(모드)를 셌다. 단위 부피·단위 파장당 모드 수는 $8\pi/\lambda^4$으로, 파장이 짧을수록 한없이 많아진다. 고전 통계의 에너지 등분배(equipartition)에 따르면 각 모드는 평균 $k_BT$를 가지므로

$$M_\lambda^\text{RJ} = \frac{2\pi c\,k_BT}{\lambda^4}$$

긴 파장에서는 실험과 잘 맞지만 $\lambda\to0$에서 무한대로 발산하고, 전체 일률 $\int M_\lambda d\lambda$도 무한대가 된다. 이것이 자외선 파탄(ultraviolet catastrophe)이다.

1900년 플랑크는 실험 곡선에 맞는 식을 찾은 뒤 그 근거를 대담한 가정에서 구했다. 진동수 $f$인 모드의 에너지는 $hf$의 정수배 $0, hf, 2hf, \dots$만 가질 수 있다. 그러면 볼츠만 분포로 평균한 모드 에너지는 $k_BT$가 아니라

$$\langle E\rangle = \frac{hf}{e^{hf/k_BT}-1} \quad\Longrightarrow\quad M_\lambda = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{e^{hc/\lambda k_BT}-1}$$

$h = 6.626\times10^{-34}$ J·s는 플랑크 상수(Planck constant). $hf \ll k_BT$(긴 파장)이면 $\langle E\rangle \to k_BT$로 고전 결과가 되고, $hf \gg k_BT$이면 $e^{-hf/k_BT}$로 얼어붙는다. 이 식을 $\lambda$로 미분하면 빈 변위 법칙이, 적분하면 $\sigma = 2\pi^5k_B^4/15c^2h^3$이 나온다.

모드마다 kT를 주면 짧은 파장에서 곡선이 끝없이 솟는다(자외선 파탄). 긴 파장 쪽만 실험과 맞는다.
에너지를 hf 단위로만 주고받으면 hf ≫ kT인 모드는 거의 들뜨지 못한다. 평균 에너지가 kT에 곱하는 인자 x/(eˣ−1)가 짧은 파장에서 0으로 떨어진다.
둘을 곱한 플랑크 곡선은 봉우리를 갖고 유한한 넓이(σT⁴)를 가진다. 봉우리 위치는 λmaxT = b.

레일리–진스 식에서 플랑크 식으로. 양자화가 짧은 파장 모드를 "얼려" 파탄을 막는다.

텅스텐 필라멘트(3000 K)와 태양 표면(5772 K)을 비교하자. 태양이 텅스텐보다 모든 파장에서 더 밝게 빛날까?

$M_\lambda$는 모든 $\lambda$에서 $T$가 커지면 늘어난다(분모 $e^{hc/\lambda kT}-1$이 줄어든다). 아래 시뮬레이터에서 레일리–진스 곡선을 켜고 온도를 바꿔 보라. 긴 파장 쪽은 $T$에 비례해, 짧은 파장 쪽은 지수적으로 커진다.

SIMULATOR

흑체 스펙트럼: 봉우리를 끌어 온도를 바꾸고 별의 온도를 맞혀라

곡선 꼭대기의 흰 원을 좌우로 끈다

온도 T

예시

레일리–진스(고전) 빈 근사

λ_max = b/T—

M = σT⁴—

가시광 비율—

빛깔(근사)—

과녁—

해볼 것: ① ‘과녁 별 만들기’를 누르면 이름 모를 별의 스펙트럼이 회색 점선으로 나타난다. 봉우리를 끌어 곡선을 포개라(±2% 이내면 명중). ② 레일리–진스 곡선은 긴 파장에서 플랑크와 겹치고 짧은 파장에서 위로 달아난다. 온도가 낮을수록 어긋나기 시작하는 파장이 어떻게 변하는가? ③ 텅스텐 전구(3000 K)의 가시광 비율이 10%도 안 되는 것을 확인하라. 백열전구가 비효율적인 이유다.

온도 T

MINI LAB왼쪽은 흑체 판의 근사 빛깔, 오른쪽은 $M = \sigma T^4$ 곡선이다. 흐린 점은 온도가 절반일 때다. 온도를 2배로 하면 일률은 $2^4 = 16$배. 약 800 K(드레이퍼 점) 아래에서는 가시광이 거의 없어 어둡게 보이지만 적외선은 많이 나온다.

태양 표면을 온도 5772 K인 흑체로 보자. (a) 스펙트럼 봉우리 파장, (b) 표면 1 m²가 내는 일률, (c) 반지름 $6.957\times10^8$ m인 태양 전체의 광도를 구하라.

풀이 보기

전략 빈 변위 법칙과 슈테판–볼츠만 법칙, 그리고 구의 겉넓이 $4\pi R^2$.

풀이 (a) $\lambda_\text{max} = 2.898\times10^{-3}/5772 = 5.02\times10^{-7}$ m $= 502$ nm. (b) $M = (5.670\times10^{-8})(5772)^4 = 6.29\times10^7$ W/m². (c) $L = 4\pi(6.957\times10^8)^2(6.29\times10^7) = 3.83\times10^{26}$ W.

(a) 502 nm (청록) (b) 6.29×10⁷ W/m² (c) 3.83×10²⁶ W

검토 봉우리가 가시광 한가운데에 있다. 사람의 눈이 이 근처에 가장 민감하게 진화한 것은 우연이 아니다. 시뮬레이터의 ‘태양’ 예시와 비교하라.

급속 열처리(RTP)와 웨이퍼 고온계

RTP 장비는 텅스텐–할로젠 램프(필라멘트 약 3000 K, 봉우리 0.97 µm) 수백 개로 웨이퍼를 초당 50–250 °C씩 데워 1000–1100 °C에서 몇 초간 도펀트를 활성화한다. 웨이퍼 온도는 접촉 없이 고온계(pyrometer)가 웨이퍼 뒷면의 열복사를 좁은 파장 대역에서 재어 플랑크 식으로 거꾸로 푼다. 1050 °C 웨이퍼의 봉우리는 2.19 µm이고, 실리콘의 방사율은 온도·도핑·뒷면 막(산화막, 질화막)에 따라 0.3–0.7로 바뀐다. 방사율을 0.05만 틀려도 온도 오차가 수 °C로, 접합 깊이와 면저항이 흔들린다. 그래서 고온계는 방사율 보정(반사율 동시 측정)을 함께 쓴다. 또 저온의 실리콘은 1.1 µm보다 긴 파장에서 투명해 램프 빛이 그대로 새어 들어오므로, 측정 파장과 필터 선택이 중요하다. 참고: SemiBooks 공정, 도핑.

지름 300 mm 실리콘 웨이퍼를 1050 °C로 유지한다. 방사율을 0.68로 놓고, 앞뒤 두 면이 복사로 잃는 일률과 봉우리 파장을 구하라(주변에서 들어오는 복사는 무시).

풀이 보기

전략 $T = 1323$ K, 넓이 $A = 2\pi r^2$, $P = \varepsilon\sigma A T^4$.

풀이 $\sigma T^4 = (5.670\times10^{-8})(1323.15)^4 = 1.74\times10^5$ W/m². $A = 2\pi(0.150)^2 = 0.1414$ m². $P = 0.68\times1.74\times10^5\times0.1414 = 1.67\times10^4$ W. $\lambda_\text{max} = 2.898\times10^{-3}/1323 = 2.19$ µm.

P ≈ 16.7 kW, λmax = 2.19 µm (근적외선)

검토 상온(298 K) 물체의 $\sigma T^4$는 448 W/m²뿐이다. 온도가 4.4배 높아 일률은 약 390배다. 그래서 RTP 램프의 전력은 수십–수백 kW에 이른다.

광전 효과와 일함수

깨끗한 금속 표면에 자외선을 쬐면 전자가 튀어나온다. 이것이 광전 효과(photoelectric effect)이고, 튀어나온 전자를 광전자(photoelectron)라 한다. 진공관 안에서 빛을 받는 음극(이미터)과 전자를 모으는 양극(컬렉터) 사이에 전압을 걸고 전류를 재면 다음을 알 수 있다.

광전 효과 실험. 양극을 음극보다 낮은 전위로 두면(역전압) 전자가 퍼텐셜 언덕을 올라야 한다. 가장 빠른 전자까지 멈추는 전압 $V_0$에서 $eV_0 = K_\text{max}$이다.

파동 이론의 예측

① 빛이 밝을수록 전자의 운동 에너지가 커진다. ② 어떤 색이든 충분히 밝으면 전자가 나온다. ③ 어두운 빛이면 에너지를 모으는 데 시간이 걸린다(계산하면 수 분).

실험 결과

① $K_\text{max}$는 세기와 무관하고 진동수에만 비례해 늘어난다. ② 문턱 진동수 $f_0$ 아래에서는 아무리 밝아도 전자가 없다. ③ 아주 어두워도 $10^{-9}$ s 안에 즉시 나온다. 세기는 전류(전자 수)만 바꾼다.

1905년 아인슈타인은 플랑크의 양자를 한 걸음 더 밀고 나갔다. 빛 자체가 에너지 $hf$인 알갱이, 광자(photon)의 흐름이다. 광자 하나는 전자 하나에게 에너지를 통째로 준다. 전자가 금속을 벗어나려면 최소 일함수(work function) $\phi$만큼의 에너지가 필요하다.

$$K_\text{max} = eV_0 = hf - \phi, \qquad f_0 = \frac{\phi}{h}, \qquad \lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{1239.84\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{\phi}$$

$\phi$: 페르미 준위의 전자를 진공 준위(금속 바로 밖, 정지 상태)로 꺼내는 최소 에너지. 깊은 곳의 전자는 더 많이 잃고 나오므로 $K$는 0에서 $K_\text{max}$까지 퍼진다.

페르미 준위의 전자가 광자 하나를 흡수하면 hf를 얻고, φ를 써서 밖으로 나온 뒤 K_max = hf − φ를 가진다.
더 깊은 상태의 전자는 같은 hf를 받아도 운동 에너지가 작다. 그래서 광전자의 에너지는 퍼져 있다.
양극에 역전압을 걸면 전자가 퍼텐셜 언덕을 올라야 한다. 언덕 높이 eV₀가 K_max와 같아지면 전류가 0이 된다.

광전 효과의 에너지 그림. 일함수는 진공 준위와 페르미 준위의 간격이다.

일함수 2.28인 금속에 파장 400의 빛을 비추면 광자 에너지는 이고, 이 금속의 문턱 파장은 이다.

소듐(φ = 2.28 eV)에 600 nm 주황빛을 쬐었더니 전자가 나오지 않았다. 빛의 세기를 10배로 올리면?

600 nm 광자 하나의 에너지는 2.07 eV < 2.28 eV다. 세기를 올리면 광자 수만 늘 뿐, 광자 하나가 전자 하나에게 주는 에너지는 그대로다. 시뮬레이터에서 세기를 100%로 올려 확인하라.

SIMULATOR

광전 효과 실험대: 정지 전압을 재고 플랑크 상수를 측정하라

오른쪽 그래프 가로축의 흰 원을 끌어 진동수를 바꾼다

파장 λ 세기 역전압 V

금속

광자 에너지 hf—

광전류 I—

직선 기울기 → h—

절편 → φ—

도전미지 금속 X를 골라 h와 φ를 측정하라

해볼 것: ① 역전압 슬라이더를 직접 올려 광전류가 0이 되는 전압을 찾아보라. 세기를 바꿔도 그 전압은 변하지 않는다. ② ‘점 찍기’는 역전압을 자동으로 올려 $V_0$를 재고 오른쪽 그래프에 찍는다. 파장을 바꿔 세 점 이상 찍으면 밀리컨 직선이 그려진다. 기울기 $h/e$, 세로 절편 $-\phi/e$, 가로 절편 $f_0$. ③ 금속을 바꾸면 직선은 평행 이동만 한다. 기울기 $h$는 모든 금속에 같은 보편 상수다. ④ 미지 금속 X로 $h$를 3% 이내, $\phi$를 0.08 eV 이내로 맞히면 성공이다.

포타슘 표면에 250 nm 빛을 비추면 정지 전압이 2.66 V, 400 nm 빛이면 0.80 V였다. 이 두 점으로 플랑크 상수와 일함수를 구하라.

풀이 보기

전략 $V_0 = (h/e)f - \phi/e$는 $f$에 대한 직선이다. 두 점의 기울기에 $e$를 곱하면 $h$.

풀이 $f_1 = c/\lambda_1 = 1.199\times10^{15}$ Hz, $f_2 = 7.495\times10^{14}$ Hz. $h/e = (2.66 - 0.80)/(4.497\times10^{14}) = 4.136\times10^{-15}$ V·s → $h = 6.63\times10^{-34}$ J·s. $\phi = (h/e)f_1 e - eV_1 = 4.96 - 2.66 = 2.30$ eV.

h ≈ 6.63×10⁻³⁴ J·s, φ ≈ 2.30 eV

검토 문턱 파장은 $1239.84/2.30 = 539$ nm(초록)이다. 포타슘은 가시광으로도 광전자를 내는 몇 안 되는 금속이다(알칼리 금속).

일함수: 금속 게이트, 쇼트키 접촉, XPS

일함수는 소자 설계의 숫자다. 고유전율–금속 게이트(HKMG) 공정에서 nMOS에는 일함수 약 4.1–4.3 eV(TiAl 계열), pMOS에는 약 4.8–5.0 eV(TiN 계열) 금속을 써서 실리콘 전도대(전자 친화도 $\chi$ = 4.05 eV)·가전자대(5.17 eV) 근처에 맞추고, 문턱 전압을 정한다. 금속–반도체 접합의 이상적 쇼트키 장벽은 $\phi_B = \phi_m - \chi$이다(실제는 계면 상태의 페르미 준위 고정으로 덜 변한다). 광전 효과는 분석 장비로도 쓰인다. XPS(X선 광전자 분광)는 Al Kα X선(1486.6 eV)으로 내각 전자를 떼어내 $E_B = h\nu - K - \phi_\text{분광기}$로 결합 에너지를 잰다. Si 2p 준위는 실리콘에서 99.3 eV, SiO₂에서 약 103.5 eV라, 이 약 4 eV의 화학적 이동으로 얇은 산화막의 두께와 조성을 읽는다. 참고: 금속–반도체 접촉, MOS 구조.

MOS 커패시터에 빛을 비추면 전극의 전자가 광자를 흡수해 SiO₂ 전도대로 넘어가는 내부 광방출(internal photoemission)이 일어난다. 장벽이 (a) Al/SiO₂ 3.2 eV, (b) Si 가전자대/SiO₂ 4.25 eV일 때, 광전류가 생기기 시작하는 문턱 파장은?

풀이 보기

전략 진공 대신 SiO₂ 전도대가 "바깥"이고, 장벽 높이가 일함수 역할을 한다. $\lambda_0 = 1239.84/\phi_B$.

풀이 (a) $1239.84/3.2 = 387$ nm. (b) $1239.84/4.25 = 292$ nm.

(a) 387 nm (근자외선) (b) 292 nm

검토 실제 측정에서는 광전류의 세제곱근(또는 제곱근)을 광자 에너지에 대해 그려 직선을 외삽해 문턱을 찾는다. 같은 장벽이 게이트 누설과 터널링을 정한다(6장).

광자의 에너지와 운동량

광자는 정지 질량이 0이고 언제나 빛의 속력으로 움직인다. 상대론의 에너지–운동량 관계 $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$에서 $m = 0$이면 $E = pc$이므로

$$E = hf = \frac{hc}{\lambda}, \qquad p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda}, \qquad E\,[\text{eV}] = \frac{1239.84}{\lambda\,[\text{nm}]}$$

$hc = 1239.84$ eV·nm은 이 책에서 가장 자주 쓰는 숫자다. 1 eV = $1.602\times10^{-19}$ J. 운동량은 eV/c 단위로 쓰면 $p\,[\text{eV}/c] = E\,[\text{eV}]$로 간단하다.

파장 193인 광자 하나의 에너지는 (= ), 운동량은 이다. 출력 1.0의 빔은 매초 개의 광자를 실어 나른다.

광자 에너지 지도. 가로축 한 칸이 10배다. 반도체 공정의 노광 광원은 수 eV에서 91.8 eV(EUV)로, 분석용 X선은 keV 영역으로, 감마선은 MeV 영역으로 간다.

빛의 세기(단위 넓이당 일률) $I$는 광자 수 플럭스 $\Phi$(단위 넓이·단위 시간당 광자 수)와 광자 에너지의 곱이다. 일률 $P$인 빔은 매초 $P/hf$개의 광자를 나른다.

$$I = \Phi\,hf, \qquad \dot N = \frac{P}{hf} = \frac{P\lambda}{hc}$$

같은 에너지(선량)라도 광자 에너지가 클수록 광자 수는 적다. 광자는 서로 독립적으로 무작위하게 도착하므로, 평균 $\bar N$개가 오는 영역의 실제 개수는 푸아송 분포를 따르고 표준편차는 $\sqrt{\bar N}$, 상대 요동은 $1/\sqrt{\bar N}$이다. 이것이 광자 샷 노이즈(photon shot noise)다.

SIMULATOR

세기 ↔ 광자 수: 레지스트 픽셀에 떨어지는 광자 세기

광원

선량 픽셀 한 변 a

광자 하나—

광자 / nm²—

픽셀당 평균 N̄—

요동 1/√N̄—

노광 부족 확률—

도전—

왼쪽은 16×16 픽셀 각각에 떨어진 광자 수(밝을수록 많다), 붉은 테두리는 평균의 80%에 못 미친 "노광 부족" 픽셀이다. 오른쪽은 개수의 히스토그램과 푸아송 분포. 해볼 것: ① 같은 20 mJ/cm²에서 ArF와 EUV를 바꿔 보라. 광자 수가 14배 차이 난다. ② 픽셀을 키우면(a 증가) 요동이 $1/a$로 준다. ③ 도전: EUV, a = 5 nm에서 노광 부족 확률을 0.1% 이하로 만드는 가장 작은 선량을 찾아 ‘판정’을 눌러라(선량은 곧 생산성이다).

EUV 광자 하나의 무게: 확률적 결함

ArF 193 nm 광자는 6.42 eV, EUV 13.5 nm 광자는 91.8 eV로 14.3배 크다. 같은 선량 30 mJ/cm²이면 ArF는 nm²당 291개, EUV는 20.4개의 광자만 온다. EUV 광자 하나는 레지스트의 원자를 이온화해 약 80 eV의 광전자를 만들고, 이것이 다시 수–수십 개의 2차 전자(10–50 eV)를 만들어 광산 발생제(PAG)를 분해한다. 즉 화학 반응의 "방아쇠" 수 자체가 적어서, 지름 20 nm 접촉 구멍 하나에 흡수되는 광자 수의 푸아송 요동이 곧 구멍 크기의 요동(CD 균일도), 선 가장자리 거칠기(LER), 그리고 드물게 구멍이 아예 막히거나 선이 끊기는 확률적 결함(stochastic defect)이 된다. 선량을 올리면 요동은 $1/\sqrt{\text{선량}}$로 줄지만 웨이퍼 처리량이 떨어진다. 이 줄다리기가 EUV 레지스트 개발과 광원 출력(250 W 이상) 경쟁의 핵심이다. 참고: 확률적 효과, EUV 리소그래피, 레지스트.

선량 30.0 mJ/cm²로 노광할 때 (a) EUV(13.5 nm)와 ArF(193 nm) 각각 1 nm²에 도달하는 광자 수, (b) 20 nm × 20 nm 영역의 평균 광자 수와 상대 요동 $1/\sqrt{\bar N}$을 구하라(흡수율은 무시하고 입사 광자만 센다).

풀이 보기

전략 선량을 J/nm²로 바꾸고 광자 에너지(J)로 나눈다. 30.0 mJ/cm² = 300 J/m² = $3.00\times10^{-16}$ J/nm².

풀이 (a) EUV: $E = 1239.84/13.5 = 91.8$ eV $= 1.471\times10^{-17}$ J → $3.00\times10^{-16}/1.471\times10^{-17} = 20.4$개/nm². ArF: $E = 6.42$ eV $= 1.029\times10^{-18}$ J → 291개/nm². (b) 400 nm²: EUV $\bar N = 8.16\times10^3$, $1/\sqrt{\bar N} = 1.1\%$. ArF $\bar N = 1.17\times10^5$, 0.29%.

(a) EUV 20.4개/nm², ArF 291개/nm² (b) EUV 8.16×10³개(1.1%), ArF 1.17×10⁵개(0.29%)

검토 실제로 레지스트가 흡수하는 EUV 광자는 입사의 일부(두께 30–40 nm의 화학 증폭 레지스트에서 대략 수십 %)라 요동은 더 크다. 금속 산화물 레지스트가 주목받는 이유가 EUV 흡수율이 높기 때문이다.

포토다이오드의 컷오프 파장

반도체 광검출기도 광자 하나가 전자 하나를 띠 간격 $E_g$ 위로 올리는 "내부 광전 효과"를 쓴다. 광자 에너지가 $E_g$보다 작으면 흡수되지 않으므로 검출 가능한 가장 긴 파장은 $\lambda_c = 1239.84/E_g$이다. 들어온 광자 중 전자–정공 쌍을 만들어 전류가 되는 비율을 양자 효율 $\eta$라 하면, 응답도(A/W)는

$$R = \frac{I_\text{ph}}{P} = \frac{\eta e}{hf} = \eta\,\frac{\lambda\,[\text{nm}]}{1239.84}\ \text{A/W}$$

광자 하나당 전하 $e$ 하나. 같은 일률이면 긴 파장일수록 광자가 많아 전류가 크다 — 컷오프 직전까지.

재료

빛의 파장

MINI LAB양자 효율 80%인 이상적 포토다이오드의 응답도 곡선. 컷오프 $\lambda_c$에서 뚝 끊긴다. 실리콘은 1.1 µm, 광통신용 InGaAs는 1.65 µm, GaN은 365 nm(자외선 전용). 실제 실리콘은 간접 띠 간격이라 컷오프 근처에서 흡수가 약해 곡선이 미리 처진다(13장).

X선 발생과 콤프턴 산란

광전 효과의 거꾸로도 일어난다. 빠른 전자가 금속 표적에 부딪혀 원자핵 근처에서 급히 감속하면 잃은 운동 에너지를 광자로 내놓는다. 이를 제동 복사(bremsstrahlung)라 한다. X선관은 음극에서 나온 전자를 전압 $V$로 가속해 양극(텅스텐, 몰리브데넘, 구리 등)에 때린다.

X선관의 구조. 전자 하나가 가진 에너지 $eV$를 한 번에 광자 하나로 모두 내놓을 때 가장 짧은 파장이 나온다.

전자 하나는 여러 번 나누어 감속하며 여러 광자를 낼 수도 있지만, 광자 하나의 에너지는 $eV$를 넘을 수 없다. 따라서 연속 스펙트럼에는 날카로운 짧은 파장 끝이 있다. 이것이 듀안–헌트 한계(Duane–Hunt limit)이고, 표적 재질과 무관하다.

$$\lambda_\text{min} = \frac{hc}{eV} = \frac{1239.84\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{eV} = \frac{1.23984}{V\,[\text{kV}]}\ \text{nm}$$

고전 파동 이론에는 이런 끝이 없다. 1915년 듀안과 헌트는 이 한계를 정밀하게 재어 $h/e$를 구했다. 연속 스펙트럼 위의 뾰족한 특성선은 원자의 내각 준위에서 생긴다(3장).

가속 전압

표적

MINI LAB크라머스 근사로 그린 X선관 스펙트럼. 연속 스펙트럼의 왼쪽 끝 $\lambda_\text{min}$은 전압만으로 정해지고, 특성선의 위치는 표적만으로 정해진다. Mo의 Kα선(0.0711 nm)은 전압이 K 껍질 결합 에너지 20.0 kV를 넘어야 나타난다.

Mo 표적 X선관을 30.0 kV로 운전한다. 연속 스펙트럼의 최단 파장은? 또 Mo Kα선(0.0711 nm)을 내려면 최소 몇 kV가 필요하다고 볼 수 있는가(K 껍질 결합 에너지 20.0 keV)?

풀이 보기

풀이 $\lambda_\text{min} = 1239.84/(30.0\times10^3) = 0.0413$ nm. Kα선 자체의 광자 에너지는 $1239.84/0.0711 = 17.4$ keV지만, 먼저 K 껍질 전자를 떼어내야 하므로 전자의 에너지는 결합 에너지 20.0 keV 이상이어야 한다.

λmin = 0.0413 nm, 20.0 kV 이상

검토 미니 실험에서 Mo를 고르고 전압을 19 kV와 21 kV로 바꿔 보라. Kα선은 광자 에너지(17.4 keV)가 아니라 흡수 끝(20.0 keV)에서 켜진다.

EDS 성분 분석과 듀안–헌트 한계

SEM·TEM의 EDS(에너지 분산 X선 분광)는 전자빔이 시료에서 만드는 X선을 에너지별로 센다. 15 kV 빔이면 연속 배경이 15 keV(0.0827 nm)에서 끝나는데, 이 끝을 보고 실제 빔 에너지와 시료 대전을 점검한다(절연막이 대전되면 끝이 낮아진다). 성분은 특성선으로 읽는다: O Kα 0.525 keV, Si Kα 1.740 keV, Ti Kα 4.51 keV, Cu Kα 8.05 keV. 주의할 점은 W Mα(1.775 keV)가 Si Kα와 35 eV밖에 떨어지지 않아, 텅스텐 플러그나 비아 주변 불량 분석에서 W와 Si를 헷갈리기 쉽다는 것이다. 특성선을 내려면 빔 에너지가 흡수 끝의 약 1.5–2배여야 효율적이므로, Cu K선을 보려면 15–20 kV를 쓴다. 참고: SemiBooks 불량 분석.

콤프턴 산란

1923년 콤프턴은 X선을 흑연에 쬐고 비스듬히 산란된 X선의 파장을 쟀다. 산란된 X선에는 원래 파장 $\lambda$ 외에 더 긴 파장 $\lambda'$이 섞여 있었고, 그 차이는 산란각 $\theta$에만 의존했다. 파동이 전자를 흔들어 다시 내보낸다면 진동수가 바뀔 이유가 없다. 콤프턴은 이를 광자와 정지한 자유 전자의 당구공 충돌로 설명했다.

충돌 전: 광자는 에너지 hc/λ와 운동량 h/λ를 가지고, 전자는 정지해 있다(결합 에너지는 X선 에너지보다 훨씬 작아 무시).
충돌 후: 광자는 각 θ로 튀어 나가고 전자는 각 φ로 되튄다. 전자가 운동 에너지를 가져가므로 광자의 에너지는 줄고 파장은 늘어난다.
상대론적 에너지 보존과 운동량 보존(두 성분) 세 식에서 pₑ와 φ를 소거하면 콤프턴 식이 나온다.

콤프턴 산란의 운동학. 광자가 운동량 $h/\lambda$를 가진 입자라는 직접 증거다.

$$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta) = \lambda_C(1-\cos\theta), \qquad \lambda_C = \frac{h}{m_ec} = 2.426\ \text{pm}$$

$\lambda_C$는 전자의 콤프턴 파장(Compton wavelength). 파장 변화는 입사 파장과 표적 물질에 무관하다. 최대 변화는 뒤로 튈 때($\theta = 180^\circ$) $2\lambda_C = 4.85$ pm. 원래 파장 성분이 남는 것은 원자에 단단히 묶인 전자와의 산란(원자 전체가 되튀어 $m$이 수만 배)이다.

콤프턴 식의 유도

운동량 보존 $\vec p_e = \vec p - \vec p\,{}'$를 제곱하면 $p_e^2 = p^2 + p'^2 - 2pp'\cos\theta$. 에너지 보존 $E_e = pc - p'c + mc^2$을 제곱해 $E_e^2 = p_e^2c^2 + m^2c^4$에 넣으면 $(p - p')^2c^2 + 2(p-p')mc^3 = (p^2 + p'^2 - 2pp'\cos\theta)c^2$, 정리하면 $(p - p')mc = pp'(1-\cos\theta)$. 양변을 $pp'mc$로 나누고 $1/p = \lambda/h$를 쓰면 $\lambda' - \lambda = (h/mc)(1-\cos\theta)$.

같은 90° 방향에서 관측할 때, 파장 0.0711 nm(Mo Kα) X선과 0.154 nm(Cu Kα) X선 중 파장이 더 많이 늘어나는 것은?

$\Delta\lambda$는 $\theta$에만 의존한다. 하지만 상대적 변화 $\Delta\lambda/\lambda$와 전자가 받는 에너지는 짧은 파장(높은 에너지)일수록 크다. 가시광(500 nm)에서는 $\Delta\lambda/\lambda$가 $10^{-5}$ 수준이라 콤프턴 효과가 보이지 않는다.

SIMULATOR

콤프턴 산란: 산란 광자의 방향을 끌어라

산란 광자 끝의 흰 원을 원을 따라 끈다

입사 광자

산란각 θ 운동량 삼각형

Δλ—

λ'—

E → E'—

전자 Kₑ—

전자 각 φ—

해볼 것: ① θ를 0°에서 180°로 끌면서 오른쪽 그래프의 점이 $\lambda_C(1-\cos\theta)$ 곡선을 따라가는지 보라. ② 입사 광자를 Mo, Cu, γ선으로 바꿔도 Δλ는 같다. 그러나 γ선(662 keV)에서는 파장이 몇 배로 늘고 전자가 수백 keV를 가져간다. ③ 운동량 삼각형: $\vec p = \vec p\,{}' + \vec p_e$. θ가 작으면 전자는 거의 수직(φ → 90°)으로, θ = 180°이면 정면(φ = 0°)으로 튄다.

파장 0.0711 nm의 X선이 탄소 속 자유 전자에 맞아 90.0° 방향으로 산란되었다. 산란 X선의 파장과 되튄 전자의 운동 에너지를 구하라.

풀이 보기

전략 콤프턴 식으로 $\lambda'$를 구하고, 에너지 보존 $K_e = hc/\lambda - hc/\lambda'$.

풀이 $\Delta\lambda = 2.426\times(1-\cos90^\circ) = 2.426$ pm → $\lambda' = 0.0711 + 0.00243 = 0.07353$ nm. $E = 1239.84/0.0711 = 17.44$ keV, $E' = 1239.84/0.07353 = 16.86$ keV → $K_e = 0.575$ keV.

λ' = 0.0735 nm, Kₑ ≈ 575 eV

검토 상대 변화가 3.4%로 작아 $K_e \approx E\,\Delta\lambda/\lambda$로 어림해도 590 eV로 비슷하다. 시뮬레이터의 Mo Kα, θ = 90°와 맞춰 보라.

쌍생성과 쌍소멸

광자 에너지가 전자 두 개의 정지 에너지 $2m_ec^2 = 1.022$ MeV를 넘으면 전혀 다른 일이 가능해진다. 광자가 사라지고 전자와 그 반입자인 양전자(positron, e⁺)가 한 쌍으로 생긴다. 이를 쌍생성(pair production)이라 한다. 전하(0 = −e + e)와 에너지는 보존된다.

$$hf = 2m_ec^2 + K_{-} + K_{+}, \qquad hf_\text{min} \approx 2m_ec^2 = 1.022\ \text{MeV}\ (\lambda_\text{max} = 1.21\ \text{pm})$$

진공에서는 일어날 수 없다. 광자의 운동량 $hf/c$를 전자쌍만으로는 동시에 맞출 수 없기 때문이다. 근처의 원자핵이 운동량을 받아 가며(에너지는 거의 가져가지 않는다) 반응을 돕는다.

쌍생성과 쌍소멸. 정지한 쌍이 소멸하면 운동량 보존 때문에 광자는 하나가 아니라 둘이며, 각각 $m_ec^2 = 511$ keV를 가지고 정반대로 날아간다(PET 영상의 원리).

에너지 2.00인 광자(파장 )가 원자핵 근처에서

광자 에너지 e⁻ 몫 자기장 B

MINI LAB지면으로 들어가는 자기장 속 거품 상자 사진처럼, 전하가 반대인 e⁻와 e⁺는 반대 방향으로 휜다. 궤적 반지름 $r = p/eB$는 운동 에너지가 클수록 크고, 물질 속에서 에너지를 잃어 나선이 된다. 1.022 MeV 아래에서는 광자가 그냥 지나간다.

광자가 물질과 만나는 세 가지 주요 방식은 에너지에 따라 순서가 정해진다. 낮은 에너지(수십 keV 이하)에서는 광전 흡수, 중간(수백 keV–수 MeV)에서는 콤프턴 산란, 높은 에너지(수 MeV 이상, 특히 무거운 원소)에서는 쌍생성이 우세하다. 광전 흡수는 원자 번호에 대해 대략 $Z^4$–$Z^5$로 커지므로 납이 좋은 차폐재다.

2.00 MeV 감마선이 납 원자핵 근처에서 전자–양전자 쌍을 만들었다. 쌍의 운동 에너지 합은? 둘이 똑같이 나누면 각각 얼마인가? 쌍생성이 가능한 가장 긴 파장은?

풀이 보기

전략 핵의 되튐 에너지는 무시. $K_- + K_+ = hf - 2m_ec^2$.

풀이 $2m_ec^2 = 2(0.511) = 1.022$ MeV → $K_\text{합} = 2.00 - 1.022 = 0.978$ MeV, 각각 0.489 MeV. 문턱 파장 $\lambda = 1239.84\ \text{eV}\cdot\text{nm}/1.022\times10^6\ \text{eV} = 1.21\times10^{-3}$ nm = 1.21 pm.

0.978 MeV (각 0.489 MeV), λmax = 1.21 pm

검토 양전자는 물질 속에서 곧 느려져 전자와 쌍소멸하고 511 keV 광자 두 개를 낸다. 결국 에너지는 다시 광자로 돌아간다.

광자 모형 정리: 언제 파동, 언제 입자?

간섭과 회절(빛이 어디로 갈 확률이 큰가)은 파동으로, 에너지와 운동량을 주고받는 순간(흡수·방출·산란)은 광자로 기술한다. 둘은 모순이 아니라 같은 대상의 두 측면이다. 다음 장에서는 거꾸로 입자인 전자도 파동처럼 회절한다는 것을 본다(2장).

핵심 정리

흑체 스펙트럼은 온도만으로 정해진다: $\lambda_\text{max}T = 2.898\times10^{-3}$ m·K, $M = \sigma T^4$. 고전 등분배(레일리–진스)는 짧은 파장에서 발산한다.
플랑크는 진동자의 에너지를 $hf$의 정수배로 양자화해 평균 에너지 $hf/(e^{hf/kT}-1)$를 얻었고, 이것이 실험 스펙트럼을 완벽히 재현한다.
광전 효과: $K_\text{max} = eV_0 = hf - \phi$. 세기는 전자 수만 바꾸고, 문턱 $f_0 = \phi/h$ 아래에서는 전자가 없다. $V_0$–$f$ 직선의 기울기가 $h/e$다.
광자: $E = hf = 1239.84/\lambda\,[\text{nm}]$ eV, $p = h/\lambda$. 일률 $P$인 빛은 매초 $P/hf$개의 광자를 나르며, 개수의 요동은 $\sqrt{N}$(샷 노이즈)이다.
X선관의 연속 스펙트럼은 $\lambda_\text{min} = hc/eV$(듀안–헌트 한계)에서 끝나고, 특성선은 표적 원소의 지문이다.
콤프턴 산란: $\Delta\lambda = \lambda_C(1-\cos\theta)$, $\lambda_C = 2.426$ pm. 광자가 운동량을 가진 입자라는 증거다.
쌍생성은 $hf \ge 2m_ec^2 = 1.022$ MeV에서 원자핵 근처에서 일어나고, 쌍소멸은 511 keV 광자 두 개를 낸다.

연습문제

$hc = 1239.84$ eV·nm, $h = 6.626\times10^{-34}$ J·s, $e = 1.602\times10^{-19}$ C, $b = 2.898\times10^{-3}$ m·K, $\sigma = 5.670\times10^{-8}$ W/(m²·K⁴), $\lambda_C = 2.426$ pm, $m_ec^2 = 511.0$ keV를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

녹색 레이저 포인터(532 nm) 광자 하나의 에너지는 몇 eV인가?

$E = 1239.84/532 = 2.33$ eV.

실리콘의 띠 간격은 1.12 eV다. 실리콘 포토다이오드가 검출할 수 있는 가장 긴 파장은?

$\lambda_c = 1239.84/1.12 = 1107$ nm ≈ 1.11 µm. 그래서 실리콘 이미지 센서는 1.1 µm 너머의 단파 적외선(SWIR)을 보지 못한다.

체온 37 °C(310 K)인 사람의 열복사 스펙트럼 봉우리 파장은?

$\lambda_\text{max} = 2.898\times10^{-3}/310 = 9.35\times10^{-6}$ m = 9.35 µm. 열화상 카메라가 8–14 µm 대역을 쓰는 이유다.

문턱보다 짧은 파장의 빛으로 광전 효과를 일으키고 있다. 파장은 그대로 두고 빛의 세기만 2배로 하면?

세기는 광자 수(→ 광전자 수, 전류)만 바꾼다. 광자 하나의 에너지 $hf$가 같으므로 $K_\text{max}$와 $V_0$는 그대로다.

텅스텐 필라멘트의 겉넓이가 30.0 mm², 온도가 3000 K, 방사율이 0.350이다. 복사로 내보내는 일률은?

$P = \varepsilon\sigma AT^4 = 0.350\times5.670\times10^{-8}\times30.0\times10^{-6}\times(3000)^4 = 48.2$ W.

일함수 2.28 eV인 소듐에 300 nm 자외선을 비춘다. 정지 전압은?

$hf = 1239.84/300 = 4.133$ eV → $K_\text{max} = 4.133 - 2.28 = 1.853$ eV → $V_0 = 1.85$ V.

백금의 일함수는 5.65 eV다. 백금에서 광전자를 떼어낼 수 있는 가장 긴 파장은?

$\lambda_0 = 1239.84/5.65 = 219$ nm(원자외선). 깨끗한 Pt 표면은 공기 중 자외선 램프로도 광전자를 거의 내지 않는다.

ArF 엑시머 레이저(193 nm)의 펄스 하나의 에너지가 10.0 mJ이다. 펄스 하나에 든 광자 수는?

광자 하나의 에너지를 J로 바꾼다: $6.42$ eV $\times1.602\times10^{-19}$ J/eV.

$E_\gamma = 1239.84/193 = 6.424$ eV $= 1.029\times10^{-18}$ J. $N = 0.0100/1.029\times10^{-18} = 9.72\times10^{15}$개.

양자 효율 80.0%인 실리콘 포토다이오드에 650 nm 빛 1.00 mW를 비춘다. 응답도와 광전류는?

초당 광자 수 $P/hf$ 중 80%가 전자 하나씩을 회로로 보낸다.

$R = \eta\lambda/1239.84 = 0.800\times650/1239.84 = 0.419$ A/W. $I = RP = 0.419$ mA. (광자 $3.27\times10^{15}$개/s, 전자 $2.62\times10^{15}$개/s.)

EUV 광자(13.5 nm) 하나의 운동량은?

$p = h/\lambda = 6.626\times10^{-34}/13.5\times10^{-9} = 4.91\times10^{-26}$ kg·m/s. 91.8 eV/c와 같다.

파장 0.0500 nm의 X선이 60.0° 방향으로 콤프턴 산란되었다. 산란된 X선의 파장은?

$\Delta\lambda = 2.426(1-\cos60^\circ) = 1.213$ pm → $\lambda' = 0.0500 + 0.00121 = 0.0512$ nm.

¹³⁷Cs의 662 keV 감마선이 검출기 속 전자와 콤프턴 산란할 때 전자가 받을 수 있는 최대 운동 에너지는(콤프턴 가장자리)?

최대는 광자가 정반대로 튈 때(θ = 180°): $E' = E/(1 + 2E/m_ec^2)$.

$2E/m_ec^2 = 1324/511.0 = 2.591$ → $E' = 662/3.591 = 184.4$ keV → $K_\text{max} = 662 - 184.4 = 478$ keV.

SEM의 EDS 분석을 15.0 kV 전자빔으로 한다. 시료에서 나오는 X선 연속 스펙트럼의 최단 파장은?

$\lambda_\text{min} = 1239.84/15000 = 0.0827$ nm. 광자 에너지로는 15.0 keV.

수은 등의 선 스펙트럼으로 어떤 금속의 정지 전압을 쟀다.

λ (nm)	312.6	365.0	404.7	435.8
V₀ (V)	1.69	1.12	0.78	0.56

$V_0$를 $f$에 대해 최소제곱 직선으로 맞춰 $h$와 일함수를 구하라.

$f = c/\lambda$: 9.590, 8.213, 7.408, 6.879 (×10¹⁴ Hz). 기울기 = $\sum(f-\bar f)(V-\bar V)/\sum(f-\bar f)^2$.

$\bar f = 8.023\times10^{14}$ Hz, $\bar V = 1.0375$ V. 기울기 $= 4.170\times10^{-15}$ V·s → $h = 4.170\times10^{-15}\times1.602\times10^{-19} = 6.68\times10^{-34}$ J·s. 절편 $= \bar V - (\text{기울기})\bar f = -2.31$ V → $\phi = 2.31$ eV. 참값과 0.8% 차이: 측정값의 반올림 오차 정도다.

10 MeV 감마선이 납 차폐벽에 들어갈 때 주로 일어나는 상호작용은?

문턱 1.022 MeV를 훨씬 넘고 납의 원자 번호가 커서(쌍생성 확률 $\propto Z^2$) 쌍생성이 우세하다. 1 MeV 근처에서는 콤프턴, 100 keV 아래에서는 광전 흡수가 주를 이룬다.

개념 확인 퀴즈

레일리–진스 식이 자외선 파탄을 일으키는 근본 원인은?

모드 수 $\propto 1/\lambda^4$에 등분배 $k_BT$를 곱하면 발산한다. 플랑크는 $hf \gg k_BT$인 모드의 평균 에너지를 지수적으로 억제했다.

금속 A의 일함수가 금속 B보다 크다. 두 금속의 정지 전압–진동수 직선에 대해 옳은 것은?

기울기 $h/e$는 보편 상수. 가로 절편 $f_0 = \phi/h$가 A에서 더 크다.

같은 일률 10 mW의 빔이 있다. 초당 광자 수가 가장 많은 것은?

$\dot N = P\lambda/hc$이므로 파장이 길수록(광자 에너지가 작을수록) 광자가 많다. 1550 nm는 EUV보다 115배 많다.

가시광으로는 콤프턴 효과를 관측하기 어려운 이유는?

Δλ는 파장과 무관하게 pm 수준이다. 500 nm에서 상대 변화는 $10^{-5}$에 불과하고, 게다가 가시광 에너지(수 eV)는 원자 속 전자의 결합 에너지와 비슷해 자유 전자 근사도 성립하지 않는다.

고에너지 광자 하나가 진공에서 저절로 전자–양전자 쌍으로 바뀔 수 없는 이유는?

쌍의 질량 중심계에서는 총운동량이 0이지만 광자는 어느 기준계에서도 운동량 $E/c \ne 0$을 가진다. 운동량을 받아 줄 원자핵(또는 다른 광자)이 필요하다.