Appendix A

공식과 물성 자료

본문 16개 장에서 쓴 공식과 재료 값을 한곳에 모았다. 좌표계별 미분 연산, 맥스웰 방정식과 경계 조건, 대표 구조의 정전 용량·인덕턴스·특성 임피던스는 표로 정리하고, 표마다 같은 식을 쓰는 계산기를 붙였다. 계산기는 이 책의 계산 엔진 EM.*을 그대로 부르므로 본문 시뮬레이터와 같은 값을 낸다. 재료 표는 머리글을 눌러 정렬하고 검색 칸으로 거른다. 값은 특별한 말이 없으면 상온·저주파 대표값이다. 문제를 풀 때는 문제에 주어진 값을 먼저 쓰고, 없을 때 이 표를 쓴다.

물리 상수와 자주 쓰는 조합

2019년 SI 재정의로 \(c\), \(e\), \(h\), \(k_B\)는 정의된 정확한 값이 되었다. 그 대신 \(\mu_0\)는 더 이상 정확히 \(4\pi\times10^{-7}\) H/m가 아니고 측정값(CODATA 2018)이다. 차이는 \(10^{-10}\) 수준이라 공학 계산에서는 \(4\pi\times10^{-7}\)을 그대로 써도 된다. 이 책의 EM.const는 아래 표의 값을 쓴다.

기호이름값 (CODATA 2018)쓰는 곳
ε₀진공 유전율8.854 187 8128 × 10⁻¹² F/m= 8.854 × 10⁻¹⁴ F/cm = 8.854 aF/μm. \(1/(4\pi\varepsilon_0) = 8.988\times10^9\) m/F
μ₀진공 투자율1.256 637 062 12 × 10⁻⁶ H/m≈ 4π × 10⁻⁷ H/m (상대 차 5.5 × 10⁻¹⁰)
c진공 속 빛의 속력299 792 458 m/s (정확)\(c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\); 1 ns에 29.98 cm
η₀진공의 고유 임피던스376.730 Ω\(\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \mu_0c\) ≈ 120π = 376.99 Ω
e기본 전하1.602 176 634 × 10⁻¹⁹ C (정확)1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J
mₑ전자 질량9.109 383 7015 × 10⁻³¹ kg플라스마 진동수 \(\omega_p = \sqrt{ne^2/\varepsilon_0m_e}\), \(e/m_e = 1.759\times10^{11}\) C/kg
kB볼츠만 상수1.380 649 × 10⁻²³ J/K (정확)열잡음 \(k_BT\) = 4.00 × 10⁻²¹ J (290 K) → −174 dBm/Hz
h플랑크 상수6.626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s (정확)광자 \(E\)(eV) = 1239.84 / λ(nm)
Z₀ 관례기준 임피던스50 Ω (RF), 75 Ω (영상)동축 손실 최소 약 77 Ω, 전력 최대 약 30 Ω의 절충

진동수 9.39인 파동은 진공에서 파장 , 파수 \(k_0\) = 이다. 비유전율 3.9인 무손실 매질에서는 속력이 (진공의 배), 파장이 , 고유 임피던스가 로 줄어든다. 신호는 1 mm를 만에 지나고, 칩 크기 20 mm는 파장의 이다(1/10을 넘으면 준정적 근사를 의심한다).

벡터 연산 공식

벡터 항등식과 적분 정리

\(f, g\)는 스칼라장, \(\mathbf A, \mathbf B\)는 벡터장이다. 증명과 그림은 1장에 있다.

#항등식
1\(\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C) = \mathbf B\cdot(\mathbf C\times\mathbf A) = \mathbf C\cdot(\mathbf A\times\mathbf B)\)
2\(\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C) = \mathbf B(\mathbf A\cdot\mathbf C) - \mathbf C(\mathbf A\cdot\mathbf B)\)
3\(\nabla(fg) = f\nabla g + g\nabla f\)
4\(\nabla\cdot(f\mathbf A) = f\,\nabla\cdot\mathbf A + \mathbf A\cdot\nabla f\)
5\(\nabla\times(f\mathbf A) = f\,\nabla\times\mathbf A + \nabla f\times\mathbf A\)
6\(\nabla\cdot(\mathbf A\times\mathbf B) = \mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf A) - \mathbf A\cdot(\nabla\times\mathbf B)\)
7\(\nabla\times(\mathbf A\times\mathbf B) = \mathbf A(\nabla\cdot\mathbf B) - \mathbf B(\nabla\cdot\mathbf A) + (\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A - (\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B\)
8\(\nabla(\mathbf A\cdot\mathbf B) = (\mathbf A\cdot\nabla)\mathbf B + (\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf A + \mathbf A\times(\nabla\times\mathbf B) + \mathbf B\times(\nabla\times\mathbf A)\)
9\(\nabla\times(\nabla f) = 0\), \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A) = 0\) — 그래서 \(\mathbf E = -\nabla V\), \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\)로 쓸 수 있다
10\(\nabla\times\nabla\times\mathbf A = \nabla(\nabla\cdot\mathbf A) - \nabla^2\mathbf A\) — 파동 방정식 유도의 열쇠
11\(\nabla\cdot\left(\dfrac{\hat{\mathbf r}}{r^2}\right) = 4\pi\delta^3(\mathbf r)\), \(\nabla^2\dfrac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} = -4\pi\delta^3(\mathbf r - \mathbf r')\)
$$\int_a^b \nabla f\cdot d\mathbf l = f(b) - f(a),\qquad \oint_S \mathbf A\cdot d\mathbf S = \int_V \nabla\cdot\mathbf A\,dV,\qquad \oint_C \mathbf A\cdot d\mathbf l = \int_S (\nabla\times\mathbf A)\cdot d\mathbf S$$
기울기 정리, 발산 정리(가우스), 스토크스 정리. 스토크스 정리에서 곡선 \(C\)의 방향과 면 \(S\)의 법선은 오른손 규칙으로 맞춘다. 그린 정리: \(\int_V(f\nabla^2g - g\nabla^2f)\,dV = \oint_S(f\nabla g - g\nabla f)\cdot d\mathbf S\).

세 좌표계와 미소 요소

원통 좌표 \((\rho, \phi, z)\), 구 좌표 \((r, \theta, \phi)\)(θ는 +z축에서 잰 극각, φ는 x축에서 잰 방위각). 직교 곡선 좌표 \((u_1, u_2, u_3)\)의 길이 요소는 \(d\mathbf l = \hat{\mathbf u}_1h_1du_1 + \hat{\mathbf u}_2h_2du_2 + \hat{\mathbf u}_3h_3du_3\)이고, \(h_i\)를 척도 인자(scale factor, metric coefficient)라 한다. 모든 미분 연산 공식은 \(h_i\)만 알면 만들 수 있다.

좌표계\((h_1, h_2, h_3)\)\(d\mathbf l\)\(dV\)면 요소의 예
직교 \((x, y, z)\)\((1, 1, 1)\)\(\hat{\mathbf x}\,dx + \hat{\mathbf y}\,dy + \hat{\mathbf z}\,dz\)\(dx\,dy\,dz\)\(d\mathbf S = \hat{\mathbf z}\,dx\,dy\)
원통 \((\rho, \phi, z)\)\((1, \rho, 1)\)\(\hat{\boldsymbol\rho}\,d\rho + \hat{\boldsymbol\phi}\,\rho\,d\phi + \hat{\mathbf z}\,dz\)\(\rho\,d\rho\,d\phi\,dz\)옆면 \(\hat{\boldsymbol\rho}\,\rho\,d\phi\,dz\)
구 \((r, \theta, \phi)\)\((1, r, r\sin\theta)\)\(\hat{\mathbf r}\,dr + \hat{\boldsymbol\theta}\,r\,d\theta + \hat{\boldsymbol\phi}\,r\sin\theta\,d\phi\)\(r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi\)구면 \(\hat{\mathbf r}\,r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\)

기울기·발산·회전·라플라시안

직교 좌표

$$\begin{aligned} \nabla f &= \hat{\mathbf x}\frac{\partial f}{\partial x} + \hat{\mathbf y}\frac{\partial f}{\partial y} + \hat{\mathbf z}\frac{\partial f}{\partial z}, \qquad \nabla\cdot\mathbf A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}\\ \nabla\times\mathbf A &= \hat{\mathbf x}\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) + \hat{\mathbf y}\left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) + \hat{\mathbf z}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\\ \nabla^2 f &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \end{aligned}$$

원통 좌표

$$\begin{aligned} \nabla f &= \hat{\boldsymbol\rho}\frac{\partial f}{\partial \rho} + \hat{\boldsymbol\phi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi} + \hat{\mathbf z}\frac{\partial f}{\partial z}, \qquad \nabla\cdot\mathbf A = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho A_\rho)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial A_z}{\partial z}\\ \nabla\times\mathbf A &= \hat{\boldsymbol\rho}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \phi} - \frac{\partial A_\phi}{\partial z}\right) + \hat{\boldsymbol\phi}\left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right) + \hat{\mathbf z}\,\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial(\rho A_\phi)}{\partial \rho} - \frac{\partial A_\rho}{\partial \phi}\right)\\ \nabla^2 f &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \end{aligned}$$

구 좌표

$$\begin{aligned} \nabla f &= \hat{\mathbf r}\frac{\partial f}{\partial r} + \hat{\boldsymbol\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} + \hat{\boldsymbol\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\\ \nabla\cdot\mathbf A &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\,A_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\\ \nabla\times\mathbf A &= \frac{\hat{\mathbf r}}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial(\sin\theta\,A_\phi)}{\partial \theta} - \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi}\right) + \frac{\hat{\boldsymbol\theta}}{r}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{\partial(rA_\phi)}{\partial r}\right) + \frac{\hat{\boldsymbol\phi}}{r}\left(\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)\\ \nabla^2 f &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} \end{aligned}$$
벡터 라플라시안 \(\nabla^2\mathbf A\)는 직교 좌표에서만 성분별 \((\nabla^2A_x, \nabla^2A_y, \nabla^2A_z)\)이다. 곡선 좌표에서는 \(\nabla^2\mathbf A = \nabla(\nabla\cdot\mathbf A) - \nabla\times\nabla\times\mathbf A\)로 계산한다(단위 벡터가 위치에 따라 돌기 때문).

지름 방향 장 \(\mathbf F = r^n\,\hat{\mathbf r}\)에서 n = 1로 두면 \(\nabla\cdot\mathbf F = (n+2)\,r^{n-1}\) = 이고, r = 2.0에서 값은 , 이 구면을 나가는 선속은 \(4\pi r^{n+2}\) = 이다. 원통형 \(\mathbf F = \rho^n\hat{\boldsymbol\rho}\)이면 \(\nabla\cdot\mathbf F = (n+1)\rho^{n-1}\) = 이다.

좌표와 단위 벡터 변환

$$\rho = \sqrt{x^2+y^2},\quad \phi = \operatorname{atan2}(y, x),\quad r = \sqrt{x^2+y^2+z^2},\quad \theta = \cos^{-1}\frac{z}{r};\qquad x = \rho\cos\phi = r\sin\theta\cos\phi,\ \ y = \rho\sin\phi = r\sin\theta\sin\phi,\ \ z = r\cos\theta$$
$$\begin{bmatrix}A_\rho\\ A_\phi\\ A_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\phi & \sin\phi & 0\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_x\\ A_y\\ A_z\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix}A_r\\ A_\theta\\ A_\phi\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_x\\ A_y\\ A_z\end{bmatrix}$$
두 행렬은 직교 행렬이라 역변환은 전치 행렬이다. 예: \(\hat{\mathbf x} = \cos\phi\,\hat{\boldsymbol\rho} - \sin\phi\,\hat{\boldsymbol\phi}\), \(\hat{\mathbf z} = \cos\theta\,\hat{\mathbf r} - \sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}\), \(\hat{\boldsymbol\rho} = \sin\theta\,\hat{\mathbf r} + \cos\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}\). 성분 변환은 같은 점의 단위 벡터로 해야 한다.
TOOL

좌표·벡터 성분 변환기

위에서 본 xy 평면: 점 끌기
φ 단면(ρ–z): 점 끌기
입력 좌표계
점 (x, y, z)
벡터 (Ax, Ay, Az)
각도는 도(°)로 넣는다. 왼쪽 그림의 빨간 화살표는 \(\hat{\boldsymbol\rho}\), 파란 화살표는 \(\hat{\boldsymbol\phi}\), 오른쪽은 \(\hat{\mathbf r}\)(빨강)과 \(\hat{\boldsymbol\theta}\)(파랑)이고, 굵은 화살표가 벡터 \(\mathbf A\)다. 해볼 것: ① 기본값 점 (3, 4, 12)는 r = 13, θ = 22.6°이고, 거기서 \(\hat{\mathbf z}\)는 \(A_r = 12/13\), \(A_\theta = -5/13\)이다. ② 원통 좌표로 바꿔 (ρ, φ, z) = (2, 90°, 0), 성분 (1, 0, 0)을 넣으면 \(\hat{\boldsymbol\rho}\)가 그 점에서 \(\hat{\mathbf y}\)임을 확인한다. ③ 점을 끌어 돌려도 \(|\mathbf A|\)는 그대로이고 성분만 바뀐다.

맥스웰 방정식, 경계 조건, 파동 요약

시간 조화장은 공학 관례 \(\mathbf E(\mathbf r, t) = \operatorname{Re}[\tilde{\mathbf E}(\mathbf r)e^{j\omega t}]\)를 쓰므로 \(\partial/\partial t \to j\omega\)다. 유도와 뜻은 9장에 있다.

이름미분형적분형페이저형
가우스 법칙\(\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v\)\(\oint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S = Q_{\text{enc}}\)\(\nabla\cdot\tilde{\mathbf D} = \tilde\rho_v\)
자기 가우스 법칙\(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)\(\oint_S\mathbf B\cdot d\mathbf S = 0\)\(\nabla\cdot\tilde{\mathbf B} = 0\)
패러데이 법칙\(\nabla\times\mathbf E = -\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\)\(\oint_C\mathbf E\cdot d\mathbf l = -\dfrac{d}{dt}\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S\)\(\nabla\times\tilde{\mathbf E} = -j\omega\tilde{\mathbf B}\)
앙페르–맥스웰 법칙\(\nabla\times\mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial\mathbf D}{\partial t}\)\(\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l = I_{\text{enc}} + \dfrac{d}{dt}\int_S\mathbf D\cdot d\mathbf S\)\(\nabla\times\tilde{\mathbf H} = \tilde{\mathbf J} + j\omega\tilde{\mathbf D}\)
연속 방정식\(\nabla\cdot\mathbf J = -\dfrac{\partial\rho_v}{\partial t}\)\(\oint_S\mathbf J\cdot d\mathbf S = -\dfrac{dQ}{dt}\)\(\nabla\cdot\tilde{\mathbf J} = -j\omega\tilde\rho_v\)
$$\mathbf D = \varepsilon_0\mathbf E + \mathbf P = \varepsilon\mathbf E,\quad \mathbf B = \mu_0(\mathbf H + \mathbf M) = \mu\mathbf H,\quad \mathbf J = \sigma\mathbf E,\quad \mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B),\quad \mathbf E = -\nabla V - \frac{\partial\mathbf A}{\partial t},\quad \mathbf B = \nabla\times\mathbf A$$
구성 관계(선형·등방 매질), 로런츠 힘, 퍼텐셜. 로렌츠 게이지 \(\nabla\cdot\mathbf A = -\mu\varepsilon\,\partial V/\partial t\)에서 \(V\)와 \(\mathbf A\)는 각각 파동 방정식을 따른다. 속박 전하 \(\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf P\), \(\sigma_b = \mathbf P\cdot\hat{\mathbf n}\), 속박 전류 \(\mathbf J_b = \nabla\times\mathbf M\), \(\mathbf K_b = \mathbf M\times\hat{\mathbf n}\).

경계 조건

\(\hat{\mathbf n}\)은 매질 2에서 매질 1로 향하는 경계의 법선이다. 3장·7장·9장에서 유도했다.

장일반 경계매질 2가 완전 도체뜻
E 접선\(\hat{\mathbf n}\times(\mathbf E_1 - \mathbf E_2) = 0\)\(\hat{\mathbf n}\times\mathbf E_1 = 0\)접선 성분 연속
D 법선\(\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf D_1 - \mathbf D_2) = \rho_s\)\(\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf D_1 = \rho_s\)자유 면전하만큼 불연속
H 접선\(\hat{\mathbf n}\times(\mathbf H_1 - \mathbf H_2) = \mathbf J_s\)\(\hat{\mathbf n}\times\mathbf H_1 = \mathbf J_s\)면전류만큼 불연속(유한 σ면 \(\mathbf J_s = 0\))
B 법선\(\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf B_1 - \mathbf B_2) = 0\)\(\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf B_1 = 0\) (시변장)법선 성분 연속
J 법선\(\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf J_1 - \mathbf J_2) = -\partial\rho_s/\partial t\)—정상 전류면 연속

전하·전류가 없는 경계에서 장선의 굴절: 전기장 \(\tan\theta_1/\tan\theta_2 = \varepsilon_1/\varepsilon_2\), 자기장 \(\tan\theta_1/\tan\theta_2 = \mu_1/\mu_2\), 정상 전류 \(\tan\theta_1/\tan\theta_2 = \sigma_1/\sigma_2\)(θ는 법선에서 잰 각).

매질별 평면파 상수

\(\tilde{\mathbf E} = \hat{\mathbf x}E_0e^{-\gamma z}\), \(\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{j\omega\mu(\sigma + j\omega\varepsilon)}\), 고유 임피던스 \(\eta = \sqrt{j\omega\mu/(\sigma + j\omega\varepsilon)}\). 어느 근사를 쓸지는 손실 탄젠트 \(\tan\delta = \sigma/\omega\varepsilon\)(또는 \(\varepsilon''/\varepsilon'\))가 정한다(10장).

매질\(\alpha\) (Np/m)\(\beta\) (rad/m)\(\eta\)비고
무손실 (σ = 0)0\(\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\)\(\sqrt{\mu/\varepsilon}\)\(v_p = 1/\sqrt{\mu\varepsilon} = c/\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}\)
저손실 유전체 (tan δ ≪ 1)\(\dfrac{\sigma}{2}\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}} = \dfrac{\beta\tan\delta}{2}\)\(\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\)\(\approx\sqrt{\mu/\varepsilon}\,(1 + j\tan\delta/2)\)FR-4, 석영, low-k
양도체 (tan δ ≫ 1)\(\sqrt{\pi f\mu\sigma} = 1/\delta\)\(\sqrt{\pi f\mu\sigma}\)\((1+j)\sqrt{\dfrac{\pi f\mu}{\sigma}} = \dfrac{1+j}{\sigma\delta}\)\(\delta = 1/\sqrt{\pi f\mu\sigma}\), \(R_s = 1/\sigma\delta\)
무충돌 플라스마\(\omega < \omega_p\)이면 \(\dfrac{\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}}{c}\)\(\dfrac{\omega}{c}\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}\)\(\eta_0/\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}\)\(f_p \approx 8.98\sqrt{n_e\,[\text{m}^{-3}]}\) Hz
$$\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H,\qquad \langle\mathbf S\rangle = \tfrac12\operatorname{Re}\!\left(\tilde{\mathbf E}\times\tilde{\mathbf H}^*\right),\qquad \langle S\rangle_{\text{평면파}} = \frac{|E_0|^2}{2|\eta|}\cos\theta_\eta\,e^{-2\alpha z},\qquad \Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1},\quad \text{SWR} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}$$
포인팅 정리: \(-\oint\mathbf S\cdot d\mathbf S = \dfrac{d}{dt}\int(\tfrac12\varepsilon E^2 + \tfrac12\mu H^2)\,dV + \int\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV\). \(\theta_\eta\)는 η의 위상각. Γ는 수직 입사 반사 계수, 투과 계수는 \(\tau = 1 + \Gamma\). 감쇠는 1 Np = 8.686 dB.

비유전율 11.7, 전도도 10의 0.0제곱 S/m인 매질에 진동수 9.00의 평면파가 들어가면, 손실 탄젠트는 이라 에 가깝다. 감쇠 상수 , 침투 깊이 \(1/\alpha\) = , 매질 속 파장 , \(|\eta|\) = 이다. 정전 완화 시간 \(\varepsilon/\sigma\)는 .

정전 용량

모든 식은 균일한 유전율 \(\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0\)을 가정한다. 길이 방향으로 균일한 구조(동축·두 선·배선)는 단위 길이당 값 \(C'\)(F/m)이다. 단위 환산: 1 pF/m = 1 aF/μm = 10⁻³ fF/μm, 1 F/m² = 10³ fF/μm².

구조정전 용량조건·비고
평행판 (넓이 A, 간격 d)\(C = \dfrac{\varepsilon A}{d}\)가장자리 장 무시(\(A \gg d^2\))
직렬 유전층 (두께 \(d_i\), \(\varepsilon_{ri}\))\(\dfrac{C}{A} = \left(\sum_i \dfrac{d_i}{\varepsilon_{ri}\varepsilon_0}\right)^{-1}\), \(\text{EOT} = \sum_i d_i\dfrac{3.9}{\varepsilon_{ri}}\)게이트 스택, MIM; 실리콘 공핍·양자 효과는 별도
동축 (안 반지름 a, 밖 b)\(C' = \dfrac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)}\)TSV(산화막 라이너)도 같은 식
고립 구 (반지름 a) / 동심 구\(C = 4\pi\varepsilon a\) / \(C = \dfrac{4\pi\varepsilon}{1/a - 1/b}\)사람 몸 ≈ 100 pF(ESD 인체 모형)
평행 두 선 (반지름 a, 중심 거리 D)\(C' = \dfrac{\pi\varepsilon}{\cosh^{-1}(D/2a)} \approx \dfrac{\pi\varepsilon}{\ln(D/a)}\)근사는 \(D \gg a\)
접지면 위 선 (중심 높이 h)\(C' = \dfrac{2\pi\varepsilon}{\cosh^{-1}(h/a)} \approx \dfrac{2\pi\varepsilon}{\ln(2h/a)}\)영상법: 두 선 식에서 D = 2h, 용량은 2배
고립 원판 (반지름 a)\(C = 8\varepsilon a\)양면 합
배선 (폭 w, 두께 t, 접지면 위 높이 h, 이웃 간격 s)\(\dfrac{C'_g}{\varepsilon} = 1.15\dfrac{w}{h} + 2.8\left(\dfrac{t}{h}\right)^{0.222}\)
\(\dfrac{C'_c}{\varepsilon} = \left[0.03\dfrac{w}{h} + 0.83\dfrac{t}{h} - 0.07\left(\dfrac{t}{h}\right)^{0.222}\right]\left(\dfrac{s}{h}\right)^{-1.34}\)		사쿠라이–다마루 근사(0.3 < w/h, t/h < 30, 0.5 < s/h < 10, 오차 약 10 %). 총 \(C' = C'_g + 2C'_c\)
TOOL

정전 용량 계산기

그래프 위 점을 끌기
왼쪽은 단면(비율은 보기 좋게 줄였다), 오른쪽은 한 변수를 쓸며 본 결과다. 해볼 것: ① "적층막"에서 계면 SiO₂ 0.8 nm 위 HfO₂ 2.5 nm의 EOT는 1.24 nm다. HfO₂를 두껍게 해도 EOT가 계면층 아래로는 못 내려간다. ② "동축"에서 b/a = 3.24, εr = 2.25(폴리에틸렌)는 약 107 pF/m로 RG-58 케이블 사양과 맞는다. ③ "배선"에서 간격 s를 줄이면 결합 용량 비율이 50 %를 넘는다 — 미세 배선의 누화가 커지는 이유다.
게이트 스택과 DRAM 커패시터의 EOT

게이트 절연막은 SiO₂ 계면층(0.5–1 nm) 위에 HfO₂를 올려 물리 두께는 키우고(터널 누설 감소) EOT는 1 nm 안팎으로 유지한다. 적층막 계산기에서 보듯 계면층이 EOT의 바닥을 정하므로 계면층을 얇게 만드는 것이 핵심 공정 과제다. DRAM 셀 커패시터는 결정화된 ZrO₂(정방정, εr ≈ 40)–Al₂O₃–ZrO₂(ZAZ) 적층으로 같은 계산을 한다. 반대로 배선 사이 절연막은 εr을 낮춰(low-k 2.5–3.0, 에어 갭 1) RC 지연과 누화를 줄인다. → DeviceBook · MOS 커패시터 · MemoryBook · DRAM 셀과 어레이 · DigitalBook · 배선: 칩 안의 도로

인덕턴스

외부 인덕턴스는 도체 밖 자기 선속에서, 내부 인덕턴스는 도체 안 선속에서 온다. 표피 깊이가 도선 반지름보다 작아지는 고주파에서는 내부 인덕턴스가 사라진다(6장, 8장).

구조인덕턴스조건·비고
긴 솔레노이드 (감은 수 N, 단면 A, 길이 l)\(L = \dfrac{\mu N^2A}{l}\)\(l \gg\) 반지름; 짧으면 나가오카 계수로 줄어든다
토로이드 (직사각 단면, 높이 h, 안 a, 밖 b)\(L = \dfrac{\mu N^2h}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}\)선속이 코어 안에 갇힌다
동축 (단위 길이)\(L' = \dfrac{\mu}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}\) (+ \(\dfrac{\mu_0}{8\pi}\) 내부)내부 항은 저주파 균일 전류일 때 50 nH/m
평행 두 선 (단위 길이)\(L' = \dfrac{\mu}{\pi}\cosh^{-1}\dfrac{D}{2a}\) (+ \(\dfrac{\mu_0}{4\pi}\) 내부)\(L'C' = \mu\varepsilon\)
원형 고리 (반지름 R, 도선 반지름 a)\(L = \mu_0R\left[\ln\dfrac{8R}{a} - 2\right]\) (+ \(\dfrac{\mu_0R}{4}\) 내부)\(R \gg a\)
곧은 도선 (길이 l, 반지름 a) 부분 인덕턴스\(L \approx \dfrac{\mu_0l}{2\pi}\left[\ln\dfrac{2l}{a} - \dfrac34\right]\)본딩 와이어 ≈ 1 nH/mm(경험칙)
평면 나선 (감은 수 n, 바깥·안 지름 \(d_o, d_i\))\(L = \dfrac{K_1\mu_0n^2d_{\text{avg}}}{1 + K_2\rho}\), \(d_{\text{avg}} = \dfrac{d_o + d_i}{2}\), \(\rho = \dfrac{d_o - d_i}{d_o + d_i}\)수정 휠러 식(모한 1999): 사각 \(K_1 = 2.34, K_2 = 2.75\), 육각 2.33, 3.82, 팔각 2.25, 3.55
동축 두 원형 고리 (반지름 a, b, 축 거리 d) 상호\(M = \mu_0\sqrt{ab}\left[\left(\dfrac2k - k\right)K(k) - \dfrac2kE(k)\right]\), \(k^2 = \dfrac{4ab}{(a+b)^2 + d^2}\)맥스웰 식, K·E는 완전 타원 적분. 결합 계수 \(k_c = M/\sqrt{L_1L_2}\)
TOOL

인덕턴스 계산기

그래프 위 점을 끌기
해볼 것: ① "평면 나선(사각)"에서 n = 4, 바깥 지름 250 μm, di/do = 0.44는 약 4.1 nH다. 지름을 그대로 두고 n을 두 배로 하면 L은 4배가 된다(\(L \propto n^2\)). ② "두 고리 상호"에서 반지름 5 mm 고리 사이 거리를 5 mm → 10 mm → 20 mm로 늘리면 M이 2.47 → 0.71 → 0.13 nH로 줄어든다. 멀어지면 \(M \propto d^{-3}\)로 떨어진다 — 무선 전력·ICP 코일 결합의 감각. ③ "솔레노이드"에서 길이를 반지름의 5배 아래로 줄이면 긴 솔레노이드 근사 경고가 뜬다.

특성 임피던스, 표피 깊이, 도파관

전송선 공식

$$Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}},\quad \gamma = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')},\quad \Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0},\quad Z_{\text{in}} = Z_0\frac{Z_L + jZ_0\tan\beta l}{Z_0 + jZ_L\tan\beta l}$$
무손실 TEM 선로: \(Z_0 = \sqrt{L'/C'}\), \(v_p = 1/\sqrt{L'C'} = c/\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}\), \(L'C' = \mu\varepsilon_{\text{eff}}\varepsilon_0\). 그래서 \(Z_0\)와 \(\varepsilon_{\text{eff}}\)만 알면 \(C' = \sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}/(Z_0c)\), \(L' = Z_0\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}/c\)가 나온다. 자세한 것은 12장.
선로특성 임피던스 \(Z_0\)비고
동축\(\dfrac{\eta}{2\pi}\ln\dfrac ba = \dfrac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\dfrac ba\ \Omega\)50 Ω: 공기 b/a = 2.30, PE(2.25) b/a = 3.49
평행 두 선\(\dfrac{\eta}{\pi}\cosh^{-1}\dfrac{D}{2a} = \dfrac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}}\cosh^{-1}\dfrac{D}{2a}\ \Omega\)300 Ω 리본 피더, 꼬임쌍선 약 100 Ω
평행판 (폭 w, 간격 d)\(\eta\dfrac{d}{w} = \dfrac{377}{\sqrt{\varepsilon_r}}\dfrac dw\ \Omega\)\(w \gg d\) (가장자리 무시)
마이크로스트립 (폭 w, 기판 두께 h)\(u = w/h \le 1\): \(\dfrac{60}{\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}}\ln\left(\dfrac8u + \dfrac u4\right)\)
\(u \ge 1\): \(\dfrac{120\pi}{\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}\,[u + 1.393 + 0.667\ln(u + 1.444)]}\)		해머스타드 식(두께 0). \(\varepsilon_{\text{eff}} = \dfrac{\varepsilon_r+1}{2} + \dfrac{\varepsilon_r-1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{1 + 12/u}}\) (u ≤ 1이면 \(+0.04(1-u)^2\) 보정)
스트립라인 (접지면 간격 b, 폭 w)\(\dfrac{30\pi}{\sqrt{\varepsilon_r}}\dfrac{b}{w_e + 0.441b}\)포자 근사, \(w_e = w\) (w/b > 0.35), 순수 TEM이라 \(\varepsilon_{\text{eff}} = \varepsilon_r\)
TOOL

특성 임피던스 계산기 — 50 Ω 맞히기

그래프 위 점을 끌기
초록 띠가 50 Ω ± 1 Ω이다. 해볼 것: ① "마이크로스트립", FR-4(εr = 4.4)에서 점을 끌어 50 Ω을 맞혀라. w/h ≈ 1.93, 즉 1.6 mm 기판이면 선폭 약 3.1 mm다. ② 같은 선로를 εr = 11.7(실리콘 인터포저)로 바꾸면 50 Ω 선폭이 얼마나 좁아지는가? ③ "동축"에서 공기(εr = 1)로 50 Ω을 맞히면 b/a = 2.30이다.

표피 깊이와 표면 저항

$$\delta = \frac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}},\qquad R_s = \frac{1}{\sigma\delta} = \sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}},\qquad R'_{\text{ac}} \approx \frac{1}{\sigma\,2\pi a\,\delta\,(1 - \delta/2a)}\ (\delta < a),\qquad \delta_{\text{Cu}} \approx \frac{66\ \text{mm}}{\sqrt{f\,[\text{Hz}]}}$$
\(R_s\)는 두께 δ인 막의 면저항과 같다(Ω/□). 차폐 효과 \(SE \approx 8.686\,t/\delta + 20\log_{10}(\eta_0/4\eta_s)\) dB(15장). 강자성체의 μr는 MHz 위에서 크게 떨어지므로 표의 μr로 GHz 표피 깊이를 구하면 너무 작게 나온다.
TOOL

표피 깊이 계산기

진동수 선을 좌우로 끌기
표피 깊이 δ—
표면 저항 Rs—
도선 Rac/Rdc—
ρ = 1/σ—
회색 선은 다른 금속들이다. 세로 점선은 60 Hz, 13.56 MHz(용량 결합 플라스마), 2.45 GHz(마이크로파 플라스마). 해볼 것: ① 구리는 13.56 MHz에서 δ = 17.7 μm, 2.45 GHz에서 1.32 μm다. 마이크로파 부품은 수 μm 은·금 도금으로 충분하다. ② 철(μr = 5000)은 60 Hz에서도 δ ≈ 0.29 mm라 변압기 철심을 얇은 판으로 쌓는다. ③ 도선 반지름 50 μm(본딩 와이어 굵기)에서 Rac/Rdc가 2가 되는 진동수를 찾아라.

도파관과 공진기

$$f_{c,mn} = \frac{1}{2\sqrt{\mu\varepsilon}}\sqrt{\left(\frac ma\right)^2 + \left(\frac nb\right)^2},\quad \beta = k\sqrt{1 - (f_c/f)^2},\quad \lambda_g = \frac{\lambda}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}},\quad Z_{\text{TE}} = \frac{\eta}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}},\quad Z_{\text{TM}} = \eta\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$$
사각 도파관(a ≥ b). TEmn은 m, n 중 하나가 0이어도 되고 TMmn은 둘 다 1 이상이다. 기본 모드 TE10: \(f_c = c/2a\). \(v_pv_g = v^2\). 직육면체 공동: \(f_{mnp} = \dfrac{1}{2\sqrt{\mu\varepsilon}}\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2 + (p/d)^2}\). 원형 도파관 TE11: \(f_c = 1.841\,c/(2\pi a)\). 자세한 것은 14장.
TOOL

사각 도파관 모드 계산기

진동수 선을 좌우로 끌기
규격
진동수 f—
TE10 차단—
단일 모드 대역—
전파 모드 수—
TE10 λg—
TE10 vg/c, ZTE—
곡선은 각 모드의 \(\beta/k = \sqrt{1 - (f_c/f)^2}\)이다(실선 TE, 점선 TM). 진동수 선에 걸린 모드만 전파한다. 해볼 것: ① WR-340(86.36 × 43.18 mm)은 2.45 GHz 마이크로파 플라스마 장비의 표준이다. TE10 차단 1.74 GHz, λg = 173 mm를 확인하라. ② b를 a/2보다 크게 하면 TE01이 TE20보다 먼저 들어와 단일 모드 대역이 좁아진다. ③ 유전체를 채우면(εr) 모든 차단 주파수가 \(1/\sqrt{\varepsilon_r}\)배가 된다.

재료의 전기적 성질

아래 표는 계산 엔진의 EM.materials를 그대로 옮긴 것이다(ρ = 1/σ는 계산값). 머리글을 누르면 정렬되고, 줄을 누르면 아래 지도에서 그 재료가 선택된다. Ebd는 절연 파괴 장(MV/cm), tan δ는 대표 주파수(약 1 GHz)의 손실 탄젠트다.

재료분류εrσ (S/m)ρ (Ω·m)μrEbd (MV/cm)tan δ비고
진공기체1≈ 0—1——기준
공기기체1.0006≈ 0—10.03—파괴 장은 cm 간격·1기압 값(파셴 곡선)
SiO₂ 이산화 규소(열산화막)절연막3.910⁻¹⁴10¹⁴110—게이트·STI·층간 절연의 기준(EOT 3.9)
Si₃N₄ 질화 규소절연막7.510⁻¹³10¹³110—LPCVD 7–7.5, PECVD SiN 6–7
Al₂O₃ 산화 알루미늄절연막9≈ 0—18—ALD 막 8–9
HfO₂ 산화 하프늄절연막22≈ 0—15—비정질 약 20, 결정상에 따라 16–35
ZrO₂ 산화 지르코늄절연막25≈ 0—14—정방정 약 40(DRAM ZAZ)
TiO₂ 이산화 타이타늄절연막80≈ 0—1——루틸 86(a축)–170(c축), 아나타스 약 40
SiCOH low-k절연막2.7≈ 0—15—집적 후 손상으로 2.7–3.0
다공성 ultra-low-k절연막2.2≈ 0—1——기공률 약 25 %, 기계 강도 약함
폴리이미드절연막3.4≈ 0—1——패키지 재배선(RDL) 절연
FR-4 기판기판4.4≈ 0—1—0.02PCB, εr 4.2–4.7(1 GHz)
석영 유리기판3.8≈ 0—1—10⁻⁴플라스마 창·석영 부품, 저손실
알루미나 세라믹기판9.8≈ 0—1—10⁻⁴세라믹 패키지·정전 척
물(초순수)액체805.5 × 10⁻⁶1.82 × 10⁵1——광학 n = 1.333(ε = 1.78), 18.2 MΩ·cm
Si 실리콘(진성)반도체11.74.4 × 10⁻⁴22701——도핑하면 10⁻²–10⁵ S/m
Ge 저마늄(진성)반도체162.20.4551——ρ ≈ 46 Ω·cm
GaAs 갈륨 비소(반절연)반도체12.910⁻⁶10⁶1——ρ ≈ 10⁸ Ω·cm 기판
Cu 구리금속15.96 × 10⁷1.68 × 10⁻⁸1——벌크 1.68 μΩ·cm, 좁은 선은 더 큼
Ag 은금속16.3 × 10⁷1.59 × 10⁻⁸1——가장 낮은 ρ
Au 금금속14.1 × 10⁷2.44 × 10⁻⁸1——본딩 와이어·도금
Al 알루미늄금속13.77 × 10⁷2.65 × 10⁻⁸1——벌크 2.65 μΩ·cm
W 텅스텐금속11.79 × 10⁷5.59 × 10⁻⁸1——콘택 플러그, 5.6 μΩ·cm
Co 코발트금속·자성11.6 × 10⁷6.25 × 10⁻⁸250——콘택·M0, μr은 초기값 대표
Ru 루테늄금속11.4 × 10⁷7.14 × 10⁻⁸1——차세대 배선 후보
TiN 질화 타이타늄금속14 × 10⁶2.5 × 10⁻⁷1——장벽층·금속 게이트, 막질에 따라 20–200 μΩ·cm
Fe 철자성체110⁷10⁻⁷5000——μr은 H·주파수에 크게 의존
NiFe 퍼멀로이자성체16 × 10⁶1.67 × 10⁻⁷10⁵——최대 μr, 자기 차폐
MnZn 페라이트자성체120.011002000——고저항 자성체, EMI 비드
바닷물액체8040.251——수 MHz에서 도체↔유전체

단위: 1 Ω·m = 100 Ω·cm = 10⁸ μΩ·cm. 구리 5.96 × 10⁷ S/m는 1.68 μΩ·cm다. 1 MV/cm = 100 V/μm = 10⁸ V/m.

표의 값을 쓸 때 조심할 것

① 얇은 막·좁은 선의 금속 비저항은 벌크보다 크다. 선폭이 전자 평균 자유 행로(Cu 39 nm)에 가까워지면 표면·결정립계 산란이 늘고, 장벽층(TaN/Ta)이 단면을 차지해 20 nm급 Cu 배선의 실효 비저항은 벌크의 2–4배다(고체물리 운반 현상). ② high-k의 εr는 상(phase)에 따라 다르다. HfO₂는 비정질 약 20, 단사정 16–20, 정방정·입방정 30 이상이고, ZrO₂·TiO₂도 결정상과 방향에 따라 두 배 넘게 차이 난다. ③ 반도체의 σ는 도핑에 따라 10자리 이상 바뀐다. 표는 진성 값이다. ④ 강자성체의 μr는 상수가 아니다. H의 크기(포화)와 진동수에 따라 크게 변하며 GHz에서는 1에 가까워진다. ⑤ εr는 진동수에 따라 변한다. 물은 정적 80, 광학 1.78이다. low-k는 공정 손상과 수분 흡수로 집적 후 0.2–0.5 오른다.

TOOL

전도도 사다리: 도체인가 유전체인가

재료를 누르고, 경계선을 끌기
εr, μr—
ρ = 1/σ—
완화 시간 ε/σ—
손실 탄젠트 σ/ωε—
침투 깊이 1/α—
판정—
가로축은 전도도 σ(로그)다. 세로 경계선은 선택한 재료에서 \(\sigma = \omega\varepsilon\)가 되는 전도도로, 오른쪽에 있으면 그 진동수에서 도체처럼(전도 전류 우세), 왼쪽이면 유전체처럼(변위 전류 우세) 행동한다. 해볼 것: ① 바닷물(σ = 4 S/m, εr = 80)은 900 MHz 근처에서 경계를 넘는다. 잠수함 통신이 kHz 이하를 쓰는 이유다. ② 진성 실리콘은 1 GHz에서 tan δ ≈ 7 × 10⁻⁴의 좋은 유전체지만, 도핑한 기판(10 Ω·cm 이하)은 수 GHz까지 손실이 크다 — RF 소자에 고저항 기판을 쓰는 이유. ③ 구리를 고르고 진동수를 끝(1 THz)까지 올려도 경계는 구리보다 6자리 왼쪽에 있다 — 금속은 적외선까지 양도체다.
선폭이 줄면 구리 비저항이 오른다

표의 Cu 1.68 μΩ·cm는 큰 결정의 값이다. 다마신 Cu 배선은 TaN/Ta 장벽층(수 nm)이 단면의 상당 부분을 차지하고, 선폭 20–30 nm에서는 표면·결정립계 산란으로 실효 비저항이 4–6 μΩ·cm까지 오른다. 그래서 가장 좁은 아래층(M0·M1)과 콘택에는 평균 자유 행로가 짧고 장벽층이 필요 없거나 얇은 Co·Ru·W를 검토한다. 배선 RC를 계산할 때 이 표의 벌크 값을 그대로 쓰면 저항을 크게 과소평가한다. → ProcessBook · 금속 배선

광학 상수 n, k

광학 진동수에서는 유전율 대신 복소 굴절률 \(N = n - jk\)(이 책의 \(e^{j\omega t}\) 관례, k ≥ 0이 흡수)를 쓴다. \(\varepsilon_r = N^2 = (n^2 - k^2) - j\,2nk\), 흡수 계수 \(\alpha = 4\pi k/\lambda\), 공기에서 수직 입사 반사율 \(R = \dfrac{(n-1)^2 + k^2}{(n+1)^2 + k^2}\)(11장). 계산 엔진 EM.nk(재료, λ[nm])는 Si는 400–1200 nm 표를 보간하고, SiO₂·Si₃N₄는 셀마이어 식, 나머지는 대표 상수를 돌려준다.

재료405 nm532 nm633 nm850 nm1064 nm
Si 실리콘5.480 / 0.3504.159 / 0.0503.880 / 0.0193.660 / 0.0043.561 / 7.2e-5
SiO₂ (말리송 셀마이어)1.4701.4611.4571.4521.450
Si₃N₄ (루크 셀마이어)2.0982.0562.0392.0212.011

Si 칸은 n / k. 그 밖에 EM.nk의 상수 재료(가시광 대표값, 분산 없음): HfO₂ 1.90, Al₂O₃ 1.77, TiO₂ 2.50, 감광막 1.70, BARC 1.80 − 0.40j, 물 1.333, Al 1.38 − 7.6j, Cu 0.27 − 3.4j, W 3.6 − 2.9j, Au 0.20 − 3.3j(금속은 633 nm 근처 값). Si는 400 nm보다 짧은 파장에서 끝값으로 고정되므로 DUV(193·248 nm) 계산에는 쓰지 않는다(실제 Si는 365 nm에서 n ≈ 6.5, k ≈ 2.9).

TOOL

분산 곡선과 n, k 찾기

파장 선을 끌기
왼쪽은 굴절률 n(λ), 오른쪽은 Si의 소광 계수 k와 흡수 깊이 \(1/\alpha = \lambda/4\pi k\)(로그). 회색 구간은 Si 표의 범위 밖이다. 해볼 것: ① 633 nm(He–Ne)에서 Si n = 3.88, k = 0.019, 흡수 깊이 약 2.7 μm. ② 1100 nm에서 Si의 흡수 깊이는 약 4 mm이고, 그 너머로는 사실상 투명해진다 — 띠 간격 1.12 eV(1107 nm)의 흔적이다. ③ SiO₂와 Si₃N₄의 n은 짧은 파장에서 커지는 정상 분산을 보인다.
엘립소미터가 읽는 n, k

막 두께 측정 장비(엘립소미터·반사 분광기)는 측정한 \(\psi, \Delta\)나 반사 스펙트럼을 이 표와 같은 n, k 모형에 맞춰 두께를 구한다. 모형의 n이 1 % 틀리면 두께도 약 1 % 틀리므로, 새 막(질화막 조성, high-k 결정화, low-k 기공률)을 들일 때는 n, k 분산부터 다시 맞춘다. 표면 거칠기와 계면층도 유효 매질 층으로 넣는다. → ProcessBook · 계측·결함·수율 · OpticsBook · 박막 광학과 TMM

단위와 데시벨

데시벨은 전력 비의 로그다: \(G_{\text{dB}} = 10\log_{10}(P_2/P_1)\). 같은 임피던스에서 전압·전류 비로 쓰면 \(20\log_{10}(V_2/V_1)\)이다. 네퍼(neper, Np)는 자연 로그의 진폭 비 \(\ln(V_2/V_1)\)로, 감쇠 상수 α(Np/m)가 이 단위다. 절대 전력은 1 mW를 기준으로 한 dBm(decibel-milliwatt)을 쓴다.

양환산예
네퍼 ↔ 데시벨1 Np = 20 log₁₀ e = 8.686 dB, 1 dB = 0.1151 Npα = 0.1 Np/m → 0.869 dB/m
dBm\(P_{\text{dBm}} = 10\log_{10}(P/1\ \text{mW})\), dBW = dBm − 300 dBm = 1 mW, 30 dBm = 1 W, 60 dBm = 1 kW
dBm ↔ 전압 (50 Ω)\(V_{\text{rms}} = \sqrt{50P}\)0 dBm = 0.224 Vrms = 0.632 Vpp, 10 dBm = 0.707 Vrms
자주 쓰는 비3.01 dB = ×2(전력), 6.02 dB = ×2(전압), 10 dB = ×10, 20 dB = ×100(전력)−3 dB 대역폭: 전력 절반, 전압 0.707
열잡음\(P = k_BTB\) → −174 dBm/Hz (290 K)1 MHz 대역: −114 dBm
자기 선속 밀도 B1 T = 10⁴ G (가우스), 1 G = 0.1 mT지구 자기장 약 0.5 G = 50 μT
자기장 세기 H1 Oe = 10³/(4π) A/m = 79.58 A/m진공에서 1 Oe의 H가 만드는 B는 1 G
자화·에너지 곱1 emu/cm³ = 10³ A/m, 1 MGOe = 7.958 kJ/m³NdFeB 최대 에너지 곱 약 50 MGOe = 400 kJ/m³
정전 용량·쌍극자 (가우스 단위)1 statF = 1 cm 꼴 = 1.113 pF, 1 D (디바이) = 3.336 × 10⁻³⁰ C·m물 분자 1.85 D
TOOL

데시벨·자기 단위 환산기

눈금자를 좌우로 끌기
종류
눈금자는 기준 단위(W, 전력 비, T)의 로그 눈금이고 회색 표시는 참고값이다. 해볼 것: ① 기본값 13 dBm은 20 mW, 50 Ω에서 1.00 Vrms다. ② 비율에서 1 Np를 넣으면 8.69 dB, 전력 비 7.39(= e²)다. ③ 자기에서 300 G(마그네트론 표면 근처)를 넣으면 30 mT, 진공에서 H = 2.39 × 10⁴ A/m = 300 Oe다.

RF 전원 출력 60.0은 이고, 50 Ω 선로의 전압 진폭은 이다. 감쇠 3.0를 지나면 (전력 비 , 전압 비 , )가 된다.

표 찾아 쓰기 연습

필요한 값은 모두 이 부록의 표와 계산기에 있다. 문제에 값이 주어지면 그 값을 쓴다. 상수는 ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² F/m, μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m, c = 2.998 × 10⁸ m/s.

계면 SiO₂ 1.0 nm 위에 HfO₂(εr = 22) 2.5 nm를 올린 게이트 스택의 EOT와 단위 넓이 정전 용량을 구하라.

EOT = Σ di × 3.9/εri, C/A = 3.9ε₀/EOT.

\(\text{EOT} = 1.0 + 2.5\times3.9/22 = 1.0 + 0.443 = 1.443\ \text{nm}\). \(C/A = 3.9\times8.854\times10^{-12}/1.443\times10^{-9} = 2.39\times10^{-2}\ \text{F/m}^2 = 23.9\ \text{fF}/\mu\text{m}^2\). 물리 두께 3.5 nm인데도 SiO₂ 1.44 nm와 같은 용량이다.

신호 발생기 출력 13 dBm은 몇 mW인가? 50 Ω 부하에 걸리는 실효 전압은?

\(P = 10^{13/10} = 19.95\ \text{mW}\). \(V_{\text{rms}} = \sqrt{PR} = \sqrt{0.01995\times50} = 0.999\ \text{V}\). 진폭(피크)은 \(\sqrt2\)배인 1.41 V다.

RG-58 동축 케이블은 안 도체 반지름 a = 0.455 mm, 유전체 바깥 반지름 b = 1.475 mm, 폴리에틸렌 εr = 2.25다. 특성 임피던스와 단위 길이 정전 용량을 구하라.

\(Z_0 = (60/\sqrt{\varepsilon_r})\ln(b/a)\), \(C' = 2\pi\varepsilon/\ln(b/a)\).

\(\ln(b/a) = \ln 3.242 = 1.176\). \(Z_0 = (60/1.5)\times1.176 = 47.0\ \Omega\)(정확히는 \(\eta_0/2\pi = 59.96\)). \(C' = 2\pi\times2.25\times8.854\times10^{-12}/1.176 = 1.06\times10^{-10}\ \text{F/m} = 106\ \text{pF/m}\). 사양서의 "50 Ω, 100 pF/m"와 맞는다(실제 안 도체는 꼬임선이라 실효 반지름이 약간 다르다).

구리(σ = 5.96 × 10⁷ S/m)의 표피 깊이를 13.56 MHz와 2.45 GHz에서 구하고, 13.56 MHz의 표면 저항을 구하라.

\(\delta = 1/\sqrt{\pi f\mu_0\sigma}\). 13.56 MHz: \(\pi\times1.356\times10^7\times4\pi\times10^{-7}\times5.96\times10^7 = 3.19\times10^9\), \(\delta = 17.7\ \mu\text{m}\). 2.45 GHz: \(\delta = 17.7\times\sqrt{13.56/2450} = 1.32\ \mu\text{m}\). \(R_s = 1/(\sigma\delta) = 1/(5.96\times10^7\times1.77\times10^{-5}) = 9.48\times10^{-4}\ \Omega = 0.948\ \text{m}\Omega\)(Ω/□).

WR-340 도파관(a = 86.36 mm, b = 43.18 mm, 공기)의 TE10 차단 주파수와 2.45 GHz에서의 도파 파장을 구하라.

\(f_c = c/2a = 2.998\times10^8/(2\times0.08636) = 1.736\ \text{GHz}\). \(\lambda = c/f = 122.4\ \text{mm}\), \(\lambda_g = 122.4/\sqrt{1 - (1.736/2.45)^2} = 122.4/0.7058 = 173\ \text{mm}\). 다음 모드 TE20·TE01은 3.47 GHz라 2.45 GHz에서는 TE10만 전파한다.

점 (x, y, z) = (3, 4, 12)에서 단위 벡터 \(\mathbf A = \hat{\mathbf z}\)의 구 좌표 성분 \(A_r\), \(A_\theta\)를 구하라.

\(\hat{\mathbf z} = \cos\theta\,\hat{\mathbf r} - \sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}\).

\(r = 13\), \(\cos\theta = 12/13\), \(\sin\theta = \rho/r = 5/13\). \(A_r = 12/13 = 0.923\), \(A_\theta = -5/13 = -0.385\), \(A_\phi = 0\). 좌표 변환기에 넣어 확인할 수 있다.

\(\mathbf F = r^2\,\hat{\mathbf r}\)의 발산을 r = 3 m에서 구하라. 반지름 3 m 구면을 나가는 선속이 \(\int\nabla\cdot\mathbf F\,dV\)와 같은지도 확인하라.

\(\nabla\cdot\mathbf F = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{dr}(r^4) = 4r = 12\). 선속 \(4\pi r^2\cdot r^2 = 4\pi\cdot81 = 1018\), 부피 적분 \(\int_0^3 4r\cdot4\pi r^2dr = 16\pi\cdot81/4 = 4\pi\cdot81\). 같다(발산 정리).

FR-4(εr = 4.4) 기판에서 50 Ω 마이크로스트립의 w/h와 유효 유전율을 해머스타드 식으로 구하라(u ≥ 1 식을 쓰고 반복으로 푼다).

u = 2에서 Z₀를 계산해 50 Ω보다 큰지 작은지 보고 u를 조정한다. 계산기의 "마이크로스트립"으로 확인할 수 있다.

u = 2: \(\varepsilon_{\text{eff}} = 2.7 + 1.7/\sqrt{1 + 6} = 3.343\), \(Z_0 = 377/(\sqrt{3.343}\,[2 + 1.393 + 0.667\ln 3.444]) = 377/(1.828\times4.218) = 48.9\ \Omega\) — 약간 작으니 u를 줄인다. u = 1.93에서 \(\varepsilon_{\text{eff}} = 3.33\), \(Z_0 = 50.0\ \Omega\). 1.6 mm 기판이면 w = 3.08 mm, 지연 \(\sqrt{3.33}/c = 6.09\) ps/mm.

사각 평면 나선 인덕터: 감은 수 n = 4, 바깥 지름 250 μm, 안 지름 110 μm. 수정 휠러 식(K₁ = 2.34, K₂ = 2.75)으로 L을 구하라.

\(d_{\text{avg}} = 180\ \mu\text{m}\), \(\rho = 140/360 = 0.389\). \(L = 2.34\times4\pi\times10^{-7}\times16\times1.8\times10^{-4}/(1 + 2.75\times0.389) = 8.47\times10^{-9}/2.069 = 4.09\ \text{nH}\).

마그네트론 타깃 표면의 자기장이 300 G다. 이것은 몇 mT인가? 진공(플라스마 영역)에서 이 B에 해당하는 H는 몇 A/m인가?

1 G = 10⁻⁴ T이므로 300 G = 0.03 T = 30 mT. \(H = B/\mu_0 = 0.03/(4\pi\times10^{-7}) = 2.39\times10^4\ \text{A/m}\) = 300 Oe.

진성 실리콘(εr = 11.7, σ = 4.4 × 10⁻⁴ S/m)의 1 GHz 손실 탄젠트와 정전 완화 시간 ε/σ를 구하라.

\(\omega\varepsilon = 2\pi\times10^9\times11.7\times8.854\times10^{-12} = 0.651\ \text{S/m}\), \(\tan\delta = 4.4\times10^{-4}/0.651 = 6.76\times10^{-4}\). \(\tau = 1.036\times10^{-10}/4.4\times10^{-4} = 2.35\times10^{-7}\ \text{s}\). 이 기판은 1 GHz에서 저손실 유전체다. 1 Ω·cm(σ = 100 S/m)로 도핑하면 tan δ ≈ 150으로 손실이 커진다.

선폭 20 nm Cu 배선의 저항을 표의 벌크 비저항(1.68 μΩ·cm)으로 계산했다. 실제 측정값과 비교하면?

선폭이 Cu의 평균 자유 행로(약 39 nm)보다 좁아 표면·결정립계 산란이 늘고, 장벽층이 도체 단면을 줄인다. 그래서 실효 비저항이 벌크의 2–4배가 된다. 직류 측정에서도 마찬가지이므로 주파수 문제가 아니다.