Chapter 07

자성체와 자기 회로

쇳조각 속에는 이미 원자 크기의 자석이 셀 수 없이 들어 있다. 평소에는 방향이 제각각인 작은 영역(자구)으로 나뉘어 서로를 지우지만, 코일로 약한 자기장 세기 H를 걸어 주면 자구벽이 밀려나며 수천 배 강한 자기장 B가 생긴다. 그리고 H를 0으로 되돌려도 B가 다 사라지지 않는다. 이온 주입기의 분석 자석, 스퍼터링 타깃 뒤의 영구 자석, 전자빔 장비를 감싼 뮤메탈 차폐, 전원 회로의 인덕터와 변압기 코어, MRAM의 자유층이 모두 이 성질 위에 서 있다. 이 장은 자화를 속박 전류로 바꿔 보는 데서 시작해, H와 투자율, 경계 조건과 차폐, 자기 회로, 히스테리시스와 손실, 자기 에너지와 힘, 영구 자석까지 차례로 다룬다. 먼저 아래에서 H를 끌어 B–H 고리를 직접 그려 보자.

흰 원을 좌우로 끌어 H를 건다 · 칩으로 재료 바꾸기

자화 $\mathbf M$을 속박 부피 전류 $\mathbf J_b = \nabla\times\mathbf M$와 속박 표면 전류 $\mathbf K_b = \mathbf M\times\hat{\mathbf n}$로 바꾸고, 균일하게 자화된 막대를 솔레노이드로 보고 장을 계산한다.
$\mathbf H = \mathbf B/\mu_0 - \mathbf M$과 $\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l = I_{f}$를 쓰고, 감수율·투자율로 반자성·상자성·강자성을 구분하며, 영구 자석 안에서 H가 B와 반대인 이유(반자기장)를 설명한다.
경계 조건 $B_{1n} = B_{2n}$, $\hat{\mathbf n}\times(\mathbf H_1 - \mathbf H_2) = \mathbf K_f$에서 자기력선의 굴절 $\tan\theta_1/\tan\theta_2 = \mu_1/\mu_2$를 유도하고, 고투자율 껍질의 차폐 계수를 계산한다.
기자력 $NI$·릴럭턴스 $\mathcal R = l/\mu A$·자속 $\Phi$로 자기 회로를 풀고, 공극이 릴럭턴스와 에너지를 지배함을 보인다.
B–H 히스테리시스의 포화·잔류 자속 밀도·보자력을 읽고, 히스테리시스 손실 $f\oint H\,dB$와 와전류 손실 $\pi^2f^2B_m^2t^2/6\rho$로 철손을 견적한다.
자기 에너지 밀도 $\tfrac12\mathbf B\cdot\mathbf H$와 가상 일로 자기 압력 $B^2/2\mu_0$과 흡인력을 계산한다.
영구 자석의 감자 곡선과 부하선으로 동작점과 최대 에너지곱을 구하고, 마그네트론의 자기 트랩(레이스트랙)과 전자·이온의 회전 반지름 차이를 설명한다.

자화와 속박 전류

원자 속 전자는 궤도 운동과 스핀 때문에 작은 전류 고리처럼 행동한다. 하나하나가 6장의 자기 쌍극자 모멘트 $\mathbf m$(A·m²)을 가진다. 이 모멘트들이 어디서 오는지, 왜 철에서만 저절로 나란히 서는지는 고체물리의 주제다(고체물리 · 자성). 전자기학에서는 그 결과만 거시적으로 받아들인다. 작은 부피 $\Delta V$ 안의 쌍극자 모멘트를 모두 더해 부피로 나눈 것이 자화(magnetization)다.

$$\mathbf M = \lim_{\Delta V\to0}\frac{1}{\Delta V}\sum_{i\in\Delta V}\mathbf m_i \qquad [\text{A/m}]$$

단위가 전류/길이(A/m)라는 점이 중요하다. 자화는 "단위 길이당 감긴 전류"와 같은 차원이다. 철의 포화 자화는 약 $1.7\times10^6$ A/m, NdFeB 자석은 약 $1.0\times10^6$ A/m다.

자화된 물체가 바깥에 만드는 장은 모든 쌍극자의 벡터 퍼텐셜을 더하면 된다. 쌍극자 하나의 퍼텐셜 $\mathbf A = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf m\times\hat{\mathbf R}}{R^2}$을 부피에 대해 적분하고 벡터 항등식으로 부분 적분하면, 자화가 두 종류의 "전류"와 똑같은 장을 만든다는 결론이 나온다.

속박 전류

자화 $\mathbf M$인 물체는 다음 속박 전류(bound current)와 똑같은 자기장을 만든다.

$$\mathbf J_b = \nabla\times\mathbf M \quad(\text{속박 부피 전류, A/m}^2), \qquad \mathbf K_b = \mathbf M\times\hat{\mathbf n} \quad(\text{속박 표면 전류, A/m})$$

$\hat{\mathbf n}$은 표면의 바깥 법선. 자유 전하가 흐르는 전류는 아니지만, 원자 고리 전류의 남은 몫이므로 자기장의 원천으로서는 진짜 전류와 똑같다.

유도: 쌍극자 합에서 속박 전류로

$\mathbf A(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf M(\mathbf r')\times\hat{\mathbf R}}{R^2}\,dV'$, $\mathbf R = \mathbf r - \mathbf r'$. $\hat{\mathbf R}/R^2 = \nabla'(1/R)$이므로 $\mathbf M\times\nabla'(1/R) = \frac1R\nabla'\times\mathbf M - \nabla'\times\big(\frac{\mathbf M}{R}\big)$. 둘째 항에 $\int\nabla'\times\mathbf F\,dV' = -\oint\mathbf F\times d\mathbf a'$를 쓰면 $\mathbf A = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\nabla'\times\mathbf M}{R}dV' + \frac{\mu_0}{4\pi}\oint\frac{\mathbf M\times\hat{\mathbf n}'}{R}da'$. 첫째 항은 부피 전류 $\nabla\times\mathbf M$, 둘째 항은 표면 전류 $\mathbf M\times\hat{\mathbf n}$의 퍼텐셜 꼴 그대로다. 유전체의 속박 전하 $\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf P$, $\sigma_b = \mathbf P\cdot\hat{\mathbf n}$(3장)과 정확히 같은 구조다.

자화되지 않은 물질: 원자 고리들의 방향이 무작위라 평균 모멘트가 0이다.
장을 걸어 고리들을 나란히 세웠다. 모든 고리가 반시계로 돌면 자화 $\mathbf M$은 화면 밖을 향한다.
내부에서 맞닿은 고리 전류는 크기가 같고 방향이 반대라 지워진다. 테두리를 도는 전류만 남는데, 그 크기가 정확히 $K_b = M$이다.
고리 세기가 자리마다 다르면 이웃끼리 다 지워지지 않아 내부에도 $\mathbf J_b = \nabla\times\mathbf M$이 흐른다.

속박 전류의 그림 풀이. 원자 고리 하나하나는 작지만, 나란히 서면 테두리를 도는 거시 전류가 된다. 균일하게 자화된 막대는 같은 단위 길이당 전류($nI = M$)를 감은 솔레노이드와 구별할 수 없다.

균일한 자화에서는 $\nabla\times\mathbf M = 0$이라 속박 전류가 표면에만 흐른다. 자화가 자리마다 다르면 내부에도 흐른다. 아래 미니 실험에서 자화 분포를 바꿔 보며 두 전류가 어디에 생기는지 확인하라. 어떤 경우든 단면을 꿰뚫는 속박 전류의 합은 0이다. 고리 전류는 제자리에서 돌 뿐 전하를 실어 나르지 않기 때문이다.

자화 분포 M(y)

최대 자화 M₀

MINI LAB오른쪽(+x)으로 자화된 판의 단면이다. 판은 화면 앞뒤(z)로 길다. 화살표는 $\mathbf M$, 위아래 면의 ⊙·⊗는 표면 전류 $\mathbf K_b = \mathbf M\times\hat{\mathbf n}$, 내부의 ⊙·⊗는 부피 전류 $J_{bz} = -\partial M_x/\partial y$이다. 기호 크기가 전류 세기다. 분포를 바꾸면 표면 전류와 부피 전류의 합이 언제나 0이 되는 것을 아래 숫자로 확인하라.

반지름 5.0, 길이 20인 원기둥 자석이 축 방향으로 $M =$ 950로 균일하게 자화되어 있다. 옆면에는 $K_b = M$의 원주 방향 전류가 흐르니, 이 자석은 전류 $K_bL =$ 를 길이 $L$에 고르게 감은 솔레노이드다. 자기 모멘트는 $m = MV =$ , 중심의 자기장은 , 끝면 중심은 이다(무한히 긴 경우 $\mu_0M =$ ).

반지름 5.0 mm, 길이 20 mm인 NdFeB 원기둥 자석이 축 방향으로 $M = 9.5\times10^5$ A/m로 균일하게 자화되어 있다. (a) 속박 전류 분포와 총량 (b) 자기 쌍극자 모멘트 (c) 중심과 끝면 중심의 $B$를 구하라.

풀이 보기

전략 균일 자화이므로 $\mathbf J_b = 0$, 옆면에 $\mathbf K_b = \mathbf M\times\hat{\boldsymbol\rho} = M\hat{\boldsymbol\phi}$, 위아래 끝면은 $\mathbf M\parallel\hat{\mathbf n}$이라 $\mathbf K_b = 0$. 이 자석은 유한 솔레노이드($nI = M$)와 같으므로 6장의 축 위 공식 $B_z = \frac{\mu_0nI}{2}\big(\frac{z+L/2}{\sqrt{(z+L/2)^2+R^2}} - \frac{z-L/2}{\sqrt{(z-L/2)^2+R^2}}\big)$을 쓴다.

풀이 (a) $K_b = 9.5\times10^5$ A/m(원주 방향), 총 전류 $K_bL = 9.5\times10^5\times0.020 = 1.9\times10^4$ A. (b) $m = M\pi R^2L = 9.5\times10^5\times\pi(0.005)^2(0.020) = 1.49$ A·m². (c) $\mu_0M = 1.194$ T. 중심($z = 0$): $B = \mu_0M\frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^2+R^2}} = 1.194\times\frac{10}{\sqrt{125}} = 1.07$ T. 끝면($z = L/2$): $B = \frac{\mu_0M}{2}\frac{L}{\sqrt{L^2+R^2}} = 0.597\times\frac{20}{20.6} = 0.579$ T.

(a) $K_b = 9.5\times10^5$ A/m, 총 1.9 × 10⁴ A (b) 1.49 A·m² (c) 중심 1.07 T, 끝면 0.579 T

검토 손가락만 한 자석이 1만 9천 A를 감은 코일과 같다. 구리 코일로 이만한 장을 만들면 금세 녹는다. 원자 고리 전류는 저항이 없어 열이 나지 않는다. 끝면의 장이 중심의 약 절반인 것도 반무한 솔레노이드와 같다.

자기장 세기 H와 투자율

물질 속 앙페르 법칙에는 자유 전류(도선에 흐르는 전류) $\mathbf J_f$와 속박 전류 $\mathbf J_b$가 모두 들어간다: $\nabla\times\mathbf B = \mu_0(\mathbf J_f + \nabla\times\mathbf M)$. 그런데 $\mathbf M$은 대개 미리 알 수 없다. 장이 걸려야 생기기 때문이다. 그래서 $\nabla\times\mathbf M$을 왼쪽으로 옮겨 우리가 조절하는 자유 전류만 남긴다.

자기장 세기 H

$$\mathbf H \equiv \frac{\mathbf B}{\mu_0} - \mathbf M, \qquad \nabla\times\mathbf H = \mathbf J_f, \qquad \oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l = I_{f,\text{enc}}$$

자기장 세기(magnetic field intensity) $\mathbf H$의 단위는 A/m이다. 코일에 흐르는 전류(감은 수 × 전류)만 알면 대칭이 좋은 경우 H를 바로 구할 수 있다. 유전체의 $\mathbf D = \varepsilon_0\mathbf E + \mathbf P$(자유 전하만 본다)와 역할이 같다.

H는 "자유 전류만 보는 장"이지만, B처럼 발산이 0이지는 않다: $\nabla\cdot\mathbf H = -\nabla\cdot\mathbf M$. 자화가 끝나는 면(자석의 극)에서 H는 마치 자하 $\sigma_m = \mathbf M\cdot\hat{\mathbf n}$에서 나오고 들어가는 것처럼 행동한다. 그래서 $\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l = I_f$만으로 H를 구할 수 있는 것은 솔레노이드·토로이드처럼 대칭이 충분할 때뿐이다.

선형 자성체: 감수율과 투자율

대부분의 물질에서 자화는 H에 비례한다. 비례 상수 $\chi_m$이 자기 감수율(magnetic susceptibility)이다.

$$\mathbf M = \chi_m\mathbf H, \qquad \mathbf B = \mu_0(\mathbf H + \mathbf M) = \mu_0(1+\chi_m)\mathbf H = \mu\mathbf H, \qquad \mu = \mu_0\mu_r,\ \ \mu_r = 1 + \chi_m$$

$\mu$가 투자율(permeability), $\mu_r$이 비투자율(relative permeability)이다. 균일한 선형 매질에서는 $\mathbf J_b = \nabla\times(\chi_m\mathbf H) = \chi_m\mathbf J_f$: 속박 부피 전류는 자유 전류가 있는 곳에만 생긴다.

감수율의 부호와 크기로 물질을 셋으로 나눈다. 반자성(diamagnetism)은 $\chi_m < 0$(약 $-10^{-5}$)으로, 장이 걸리면 전자 궤도가 렌츠 법칙처럼 반대 방향 모멘트를 만든다. 모든 물질에 있다. 상자성(paramagnetism)은 $\chi_m > 0$($10^{-5}$–$10^{-3}$)으로, 짝짓지 않은 전자의 영구 모멘트가 열 요동을 이기고 조금 정렬한다. 강자성(ferromagnetism)은 교환 상호작용으로 모멘트가 저절로 나란히 서 있는 물질(Fe, Co, Ni와 그 합금, 페라이트)이다. M이 H에 비례하지 않고 이력을 가지며, 유효 $\mu_r$이 $10^2$–$10^5$에 이른다.

세 자성의 M–H 곡선(축척은 서로 다르다). 반자성과 상자성은 원점을 지나는 직선이고 기울기가 $10^{-5}$ 정도라, 공학 계산에서는 대개 $\mu_r = 1$로 둔다. 강자성은 포화와 이력을 보이므로 하나의 $\mu_r$로는 근사일 뿐이다.

물질	분류	χ_m (SI, 부피)	비고
비스무트 Bi	반자성	−1.66 × 10⁻⁴	가장 강한 반자성 원소
구리 Cu	반자성	−9.7 × 10⁻⁶	배선 금속
물 H₂O	반자성	−9.0 × 10⁻⁶	강한 자석으로 띄울 수 있다
실리콘 Si	반자성	−4.1 × 10⁻⁶	웨이퍼
알루미늄 Al	상자성	2.1 × 10⁻⁵
텅스텐 W	상자성	7.0 × 10⁻⁵	콘택 플러그
백금 Pt	상자성	2.8 × 10⁻⁴
규소 강판·퍼멀로이·페라이트	강자성(페리자성)	10³–10⁵ (유효)	코어·차폐재, 이력 있음
초전도체	완전 반자성	−1	마이스너 효과

평균 반지름 5.0인 토로이드 코어에 도선을 500 감고 0.20를 흘린다. 코어의 비투자율이 2000이면 $H = NI/2\pi r =$ , $B = \mu H =$ , 자화 $M = (\mu_r - 1)H =$ 이다. H는 코어 재질과 상관없고, B와 M만 $\mu_r$을 따라간다.

평균 반지름 5.0 cm인 토로이드에 도선 500회를 감고 0.20 A를 흘린다. 코어는 $\mu_r = 2000$인 철이다(단면은 반지름에 비해 작다). (a) 코어 속 H, B, M (b) 코어가 공기일 때의 B를 구하라. (c) 속박 표면 전류는 어디에 얼마나 흐르는가?

풀이 보기

전략 원형 경로에 $\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l = NI$를 쓰면 H는 재질과 무관하다. $B = \mu_0\mu_rH$, $M = \chi_mH$.

풀이 (a) $H = \frac{NI}{2\pi r} = \frac{500\times0.20}{2\pi\times0.050} = 318$ A/m. $B = 4\pi\times10^{-7}\times2000\times318.3 = 0.800$ T. $M = 1999\times318.3 = 6.36\times10^5$ A/m. (b) $B_0 = \mu_0H = 4.00\times10^{-4}$ T = 0.400 mT. (c) 코어 표면에 $K_b = M = 6.36\times10^5$ A/m가 감은 전류와 같은 방향으로 흐른다. 단위 길이당 감은 전류 $nI = NI/2\pi r = 318$ A/m의 1999배다.

(a) H = 318 A/m, B = 0.800 T, M = 6.36 × 10⁵ A/m (b) 0.400 mT (c) 코어 표면, K_b = 6.36 × 10⁵ A/m

검토 철심이 장을 2000배로 키운 것은 원자 전류(속박 전류)가 코일 전류의 1999배만큼 더해졌기 때문이다. 0.8 T는 철의 포화(약 1.6–2 T) 아래라 선형 근사가 그럭저럭 맞는다. 전류를 5배로 늘리면 계산상 4 T가 나오지만 실제로는 포화되어 2 T 근처에서 멈춘다.

자석 속의 H: 반자기장

코일 없이 스스로 자화된 영구 자석에는 자유 전류가 없다. 그러면 $\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l = 0$이므로, 바깥에서 N극 → S극으로 향하는 H를 따라 한 바퀴 돌아 0이 되려면 자석 안의 H는 S극 → N극 방향, 곧 $\mathbf M$과 반대여야 한다. 자석의 극에 쌓인 자하 $\pm\mathbf M\cdot\hat{\mathbf n}$이 만드는 이 장을 반자기장(demagnetizing field)이라 한다. 모양으로 정해지는 비례 상수 $N_d$가 반자기 계수(demagnetizing factor)다.

$$\mathbf H_{\text{in}} = -N_d\mathbf M, \qquad \mathbf B_{\text{in}} = \mu_0(1 - N_d)\mathbf M \qquad (0 \le N_d \le 1)$$

구 $N_d = 1/3$, 자화 방향으로 긴 막대 $N_d \to 0$, 자화 방향으로 얇은 판 $N_d \to 1$. 박막 자성체(MRAM 자유층, 하드 디스크)는 면에 수직으로 자화시키기 어렵다. 수직 방향 $N_d \approx 1$이라 반자기장 에너지가 크기 때문이다. 그래서 수직 자화 MRAM은 계면 이방성으로 이 비용을 이긴다.

오른쪽(+x)으로 자화된 막대자석이 있다. 자석 안에서 $\mathbf B$와 $\mathbf H$는 각각 어느 방향일까?

B 선은 끊기지 않는 고리라 자석 안에서 S → N(+x)으로 이어진다. H는 극의 자하에서 나와 N극 → S극으로 향하므로 자석 안에서는 −x다. $\mathbf B = \mu_0(\mathbf H + \mathbf M)$에서 M이 H를 이겨 B가 +x로 남는다. 아래에서 B와 H를 번갈아 보라.

SIMULATOR

막대자석의 B, H, M: 모양이 반자기장을 정한다

자석 모서리의 흰 원을 끌어 길이·두께를 바꾼다

보여 줄 장

극의 자하 ±σ_m와 표면 전류 표시 화살표 장(quiver) 겹치기

길이/두께—

반자기 계수 N_d—

중심 B/μ₀M—

중심 H/M—

화면 앞뒤로 긴 판 자석의 단면(2차원)이다. 장은 위아래 면의 표면 전류 $K_b = M$에서 비오–사바르 법칙으로 정확히 계산했다($\mu_0 M = 1$로 규격화). 이 2차원 판에서는 $N_d = (2/\pi)\arctan(b/a)$이다($a$·$b$는 반길이·반두께). 해볼 것: ① B를 보면 선이 자석 안팎으로 끊김 없이 닫힌다. H를 보면 오른쪽 면(N극)에서 나와 왼쪽 면(S극)으로 들어가고, 자석 안에서는 −x다. ② 자석을 가늘고 길게(길이/두께 > 10) 만들면 $N_d \to 0$, 납작하게 만들면 $N_d \to 1$이 되어 내부 B가 거의 사라진다. ③ 자석 바깥에서는 B와 H 선이 똑같다($\mathbf B = \mu_0\mathbf H$).

경계 조건과 자기 차폐

두 자성체가 맞닿은 면에서 B와 H가 어떻게 이어지는지는 적분형 법칙 두 개로 정해진다. 면을 감싼 납작한 원기둥(필박스)에 $\oint\mathbf B\cdot d\mathbf a = 0$을 쓰고, 면을 가로지르는 납작한 직사각형 고리에 $\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l = I_{f}$를 쓴다.

필박스의 높이와 고리의 폭을 0으로 줄이면 옆면 기여가 사라진다. B의 법선 성분은 항상 이어지고, H의 접선 성분은 면에 자유 표면 전류가 있을 때만 끊긴다. 자성체 경계에는 보통 자유 표면 전류가 없다.

$$B_{1n} = B_{2n}, \qquad \hat{\mathbf n}_{12}\times(\mathbf H_1 - \mathbf H_2) = \mathbf K_f \quad(\text{대개 } \mathbf K_f = 0 \Rightarrow H_{1t} = H_{2t})$$

$\hat{\mathbf n}_{12}$는 매질 2에서 매질 1로 향하는 법선. 3장 전기장의 $D_{1n} - D_{2n} = \sigma_f$, $E_{1t} = E_{2t}$와 짝이다(B ↔ D, H ↔ E). 자기에는 자유 "자하"가 없으므로 법선 조건에 원천 항이 없다.

선형 매질에서 $K_f = 0$이면 법선과 이루는 각 $\theta$에 대해 $B_1\cos\theta_1 = B_2\cos\theta_2$, $\frac{B_1}{\mu_1}\sin\theta_1 = \frac{B_2}{\mu_2}\sin\theta_2$이고, 나누면 자기력선의 굴절 법칙이 나온다.

$$\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} = \frac{\mu_1}{\mu_2}$$

철($\mu_r \sim 10^3$)에서 공기로 나오는 자기력선은 철 속에서 거의 면을 따라 달리다가도($\theta_1 = 89^\circ$), 공기 쪽에서는 $\tan\theta_2 = \tan89^\circ/1000 = 0.057$, 곧 3.3°로 거의 수직으로 나온다. 고투자율 자성체의 표면은 자기장에 대해 도체가 전기장에 하는 것과 비슷하게 "등퍼텐셜면"처럼 행동한다. 자극 면에서 장이 수직으로 나가는 이유다.

SIMULATOR

자기력선의 굴절: 과녁 각도 맞히기

위쪽 흰 원을 돌려 입사 방향을 바꾼다

위 매질 μ_r1 아래 매질 μ_r2 H 화살표도 보기

θ₁ (법선 기준)—

θ₂—

B₂/B₁—

H₂/H₁—

과녁—

선 간격은 자속 밀도에 반비례하게 그렸다(경계에서 선이 끊기지 않으니 법선 성분이 저절로 이어진다). 해볼 것: ① 아래를 철($\mu_r = 1000$), 위를 공기로 두고 입사각을 바꿔 보라. 철 속 선은 거의 눕고 촘촘해진다. ② 위아래를 바꾸면(철 → 공기) 공기 쪽 선은 어떤 입사각에서도 거의 수직이다. ③ "새 과녁"을 누르면 $\mu$ 두 값과 목표 $\theta_2$가 정해진다. 입사 방향을 끌어 ±1° 안에 맞혀라.

평면 $z = 0$ 위($z > 0$)는 공기, 아래는 $\mu_r = 1000$인 철이다. 공기 쪽 경계 바로 위의 장이 $\mathbf B_1 = 0.50\,\hat{\mathbf x} + 1.0\,\hat{\mathbf z}$ mT일 때, 철 쪽 경계 바로 아래의 $\mathbf B_2$, 법선과 이루는 각, 철의 자화 $\mathbf M_2$를 구하라. 경계에 자유 전류는 없다.

풀이 보기

전략 법선 성분 $B_z$는 그대로, 접선 성분은 $H_x$가 같으므로 $B_{2x} = \mu_rB_{1x}$.

풀이 $B_{2z} = 1.0$ mT, $B_{2x} = 1000\times0.50 = 500$ mT. $\mathbf B_2 = 500\,\hat{\mathbf x} + 1.0\,\hat{\mathbf z}$ mT, $|\mathbf B_2| = 500$ mT. 각: 공기 $\theta_1 = \arctan(0.5/1.0) = 26.6^\circ$, 철 $\theta_2 = \arctan(500/1.0) = 89.89^\circ$. $\mathbf M_2 = \chi_m\mathbf H_2 = \frac{\mu_r - 1}{\mu_0\mu_r}\mathbf B_2 = (3.97\times10^5\,\hat{\mathbf x} + 795\,\hat{\mathbf z})$ A/m.

$\mathbf B_2 = 500\,\hat{\mathbf x} + 1.0\,\hat{\mathbf z}$ mT(크기 0.50 T, 법선에서 89.9°), $\mathbf M_2 \approx 3.97\times10^5\,\hat{\mathbf x} + 795\,\hat{\mathbf z}$ A/m

검토 $\tan\theta_1/\tan\theta_2 = 0.5/500 = 1/1000 = \mu_1/\mu_2$ ✓. 철 표면 바로 안에서는 장이 거의 면을 따라 흐른다. 고투자율 판이 자속을 "빨아들여" 옆으로 실어 나르는 모습이며, 다음에 볼 자기 차폐의 원리다.

자기 차폐

정전기장은 닫힌 도체 껍질로 완전히 막을 수 있다(3장). 자기에는 그런 "자기 도체"가 없다. 대신 투자율이 큰 껍질을 두르면, 굴절 법칙 때문에 자속이 껍질 벽 속으로 빨려 들어가 둘레를 돌아 나가고 안쪽은 비어 간다. 이것이 저주파·정자기 자기 차폐(magnetic shielding)다. 바깥 장과 안쪽 장의 비가 차폐 계수(shielding factor) $S = B_0/B_{\text{in}}$이다. 라플라스 방정식을 세 영역에서 풀면(4장의 변수 분리) 다음 결과가 나온다.

$$\text{긴 원통(가로 장): } S = 1 + \frac{(\mu_r-1)^2}{4\mu_r}\Big(1 - \frac{a^2}{b^2}\Big) \approx 1 + \frac{\mu_r t}{2R}, \qquad \text{구: } S = 1 + \frac{2(\mu_r-1)^2}{9\mu_r}\Big(1 - \frac{a^3}{b^3}\Big) \approx 1 + \frac{2\mu_r t}{3R}$$

$a$, $b$는 껍질의 안·바깥 반지름, $t = b - a \ll R$. 차폐 계수는 $\mu_r$과 두께에 비례하고 크기 $R$에 반비례한다. 그래서 차폐 상자는 작을수록, 벽 재료는 투자율이 높을수록(뮤메탈·퍼멀로이 $\mu_r \sim 10^4$–$10^5$) 좋다.

$\mu_r = 20\,000$인 뮤메탈로 반지름 5 cm, 두께 1 mm인 원통 차폐를 만들었다. 정전 차폐처럼 안쪽 자기장이 사실상 0이 될까?

$S \approx 1 + 20000\times0.001/(2\times0.05) = 201$(정확한 식으로 195). 지구 자기장 50 µT가 약 260 nT로 줄어든다. 전자빔 장비처럼 nT 단위가 필요하면 껍질을 여러 겹 겹친다. 아래에서 두께와 $\mu_r$을 바꿔 보라.

SIMULATOR

원통형 자기 차폐: 자속은 벽을 따라 돈다

껍질 바깥 테두리의 흰 원을 끌어 두께를 바꾼다

비투자율 μ_r 바깥 자기장 B₀ |B| 색 지도

두께/반지름 t/a—

차폐 계수 S—

근사 1 + μ_rt/2R—

안쪽 B—

벽 속 최대 B/B₀—

가로 방향 균일 장 속 긴 원통 껍질의 정확한 해(세 영역의 스칼라 퍼텐셜, 경계 조건 네 개)다. 자기력선은 멀리서 같은 간격으로 출발하므로 선 밀도가 곧 B다. 해볼 것: ① $\mu_r$을 1에서 올려 가며 선이 벽으로 빨려 드는 모습을 보라. ② 과녁: $\mu_r = 10^4$에서 S ≥ 100을 만드는 가장 얇은 벽은? 근사식 $t/R \approx 2(S-1)/\mu_r$과 비교하라. ③ 벽 속 B는 바깥 장의 약 $R/t$배(높은 $\mu_r$에서는 그 2배 가까이)로 커진다. 얇은 벽은 큰 바깥 장에서 포화(뮤메탈 약 0.75 T)되어 차폐가 무너진다.

$\mu_r = 20\,000$인 뮤메탈로 안 반지름 5.0 cm, 두께 1.0 mm인 긴 원통을 만들어 지구 자기장(가로 성분 50 µT) 속에 두었다. (a) 정확한 식과 근사식으로 차폐 계수를 구하고 (b) 안쪽 장을 구하라. (c) 같은 재료로 두께만 두 배로 하면?

풀이 보기

전략 $S = 1 + \frac{(\mu_r-1)^2}{4\mu_r}(1 - a^2/b^2)$, $a = 0.050$, $b = 0.051$ m.

풀이 (a) $1 - a^2/b^2 = 1 - (0.050/0.051)^2 = 0.03883$. $(\mu_r - 1)^2/4\mu_r = 4999.5$. $S = 1 + 4999.5\times0.03883 = 195$. 근사: $1 + 20000\times0.001/0.10 = 201$. (b) $B_{\text{in}} = 50\ \mu\text{T}/195 = 256$ nT. (c) 두께 2 mm($b = 5.2$ cm)면 $1 - a^2/b^2 = 0.07544$, $S = 378$(근사 401), 약 2배.

(a) S = 195 (근사 201) (b) 약 256 nT (c) S ≈ 378, 안쪽 약 132 nT

검토 근사식은 $t/R$이 작을 때 3% 이내로 맞는다. 한 겹으로 1000배를 넘기려면 벽이 매우 두꺼워야 하므로, 실제 차폐실과 전자빔 칼럼은 간격을 둔 여러 겹($S_{\text{tot}} \approx S_1S_2\cdots\times$ 간격 인자)을 쓴다.

전자빔 장비의 자기 차폐

CD-SEM, 리뷰 SEM, 전자빔 검사기와 마스크 묘화기는 전자가 칼럼을 지나는 동안 받는 로런츠 힘에 매우 민감하다. 1 keV 전자는 100 nT에서 회전 반지름이 약 1 km인데, 30 cm 경로에서 수십 µm가 비껴간다(6장의 $r = mv/eB$). 그래서 칼럼을 뮤메탈 여러 겹으로 감싸 외부 교류 장을 수백–수천 분의 1로 줄이고, 남는 직류 장은 정렬로 보정한다. 팹 쪽에서는 변압기·버스 덕트·3상 케이블을 장비에서 멀리 두고 왕복 전류를 촘촘히 묶어 외부 장 자체를 줄인다. 뮤메탈은 기계 가공·충격으로 투자율이 떨어지므로 가공 뒤 수소 분위기 열처리(어닐링)를 하고, 강한 장에 노출되면 탈자(degaussing)한다. → InfraBook · 진동·소음·전자기 환경(자기장과 전자빔 장비)

자기 회로와 릴럭턴스

투자율이 큰 철심에 코일을 감으면 자속은 거의 다 철심을 따라 흐른다. 경계 조건이 자속을 철 안에 가두기 때문이다. 전류가 저항이 작은 도선을 따라 흐르는 것과 닮았다. 그래서 철심 구조는 전기 회로처럼 풀 수 있다. 철심 길이 $l$, 단면적 $A$인 구간에서 $H$가 고르다고 보면 $\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l = \sum_k H_kl_k = NI$이고 $H_k = \Phi/(\mu_kA_k)$이므로:

자기 회로의 옴 법칙

$$\mathcal F = NI = \Phi\sum_k\mathcal R_k, \qquad \mathcal R = \frac{l}{\mu A}\ \ [\text{A/Wb} = \text{H}^{-1}], \qquad L = \frac{N\Phi}{I} = \frac{N^2}{\mathcal R_{\text{tot}}}$$

$\mathcal F = NI$가 기자력(magnetomotive force, mmf)(단위 A 또는 A·turn), $\mathcal R$이 릴럭턴스(reluctance, 자기 저항)다. 이런 철심 경로를 자기 회로(magnetic circuit)라 한다. 직렬 릴럭턴스는 더하고 병렬은 역수를 더한다. 키르히호프 법칙도 그대로다: 마디에서 $\sum\Phi = 0$($\nabla\cdot\mathbf B = 0$), 닫힌 경로에서 $\sum\mathcal R\Phi = \sum NI$.

전기 회로: 기전력 V가 저항 R을 지나는 전류 I를 민다.
자기 회로: 기자력 NI가 철심(릴럭턴스 ℛ = l/μA)을 지나는 자속 Φ를 민다. 투자율이 전도도, 자속이 전류 역할이다.
철심에 공극을 내면 그 구간의 투자율이 $\mu_r$배 작아진다. $\mu_r = 4000$이면 1 mm 공극이 철 4 m와 같은 릴럭턴스를 가진다.

전기 회로와 자기 회로의 대응. 차이도 있다: 자속은 공기로도 새고(누설 자속, 공기의 투자율은 0이 아니다), 철의 $\mu$는 B에 따라 변한다(비선형). 그래서 자기 회로 계산은 10–20% 정도의 근사다.

공극이 작아도 릴럭턴스는 공극이 지배한다. 그러면 철심의 $\mu_r$이 온도나 B에 따라 변해도 전체 릴럭턴스는 거의 안 변한다. 인덕터와 플라이백 변압기에 일부러 공극을 내는 이유다. 공극은 인덕턴스를 줄이는 대신 값을 안정시키고, 포화를 늦추며, 에너지를 저장할 자리(§7.6)가 된다. 공극에서 자속이 바깥으로 부풀어 나가는 가장자리 효과(fringing)는 공극 단면적을 각 변에 $g$만큼 넓혀 $A_g \approx (w+g)(d+g)$로 보정하는 것이 보통이다.

$\mu_r = 4000$, 평균 길이 40 cm인 철심에 1 mm 공극을 냈다. 코일 기자력 NI의 몇 %가 이 1 mm 공극에 "쓰일까"($H_gg/NI$)?

$\mathcal R_g/\mathcal R_c = \mu_rg/l_c = 4000\times0.001/0.40 = 10$. 기자력은 릴럭턴스 비로 나뉘므로 공극 몫은 10/11 = 91%다. 아래 시뮬레이터에서 공극을 끌어 확인하라.

SIMULATOR

공극 있는 자기 회로: 목표 자속 밀도 만들기

공극 옆 흰 원을 위아래로 끌어 공극을 바꾼다

전류 I 감은 수 N 철심 μ_r 가장자리 효과 보정 A_g = (w+g)²

ℛ_철 / ℛ_공극—

자속 Φ—

공극 B_g—

인덕턴스 L—

과제—

철심: 평균 길이 $l_c = 40$ cm, 단면 2 cm × 2 cm($A = 4$ cm²). 오른쪽 막대는 기자력 NI가 철과 공극에 나뉘는 비율($H_cl_c$ 대 $H_gg$), 움직이는 점은 자속(속도 ∝ Φ)이다. 철심 B가 1.6 T를 넘으면 포화 경고가 뜬다(이 모형은 선형이다). 해볼 것: ① 공극을 0.1 mm에서 5 mm로 늘리며 L이 얼마나 줄어드는지 보라. ② 공극이 1 mm 이상이면 $\mu_r$을 100배 바꿔도 B_g가 거의 그대로다. ③ "새 과제"는 공극과 목표 B_g를 정해 준다. 전류와 감은 수로 ±2% 안에 맞혀라.

평균 길이 40 cm, 단면 4.0 cm², $\mu_r = 4000$인 C형 철심에 2.0 mm 공극이 있다. 600회 감은 코일로 공극에 0.80 T를 만들려면 전류가 얼마 필요한가? 공극이 없을 때와 비교하고, 코일의 인덕턴스를 구하라. 가장자리 효과와 누설은 무시한다.

풀이 보기

전략 직렬 릴럭턴스 $\mathcal R_c + \mathcal R_g$, $\Phi = BA$, $I = \Phi(\mathcal R_c + \mathcal R_g)/N$. 철심 길이에서 공극 2 mm를 빼는 보정은 무시할 만하다.

풀이 $\mathcal R_c = \frac{0.40}{4\pi\times10^{-7}\times4000\times4.0\times10^{-4}} = 1.99\times10^5$ A/Wb. $\mathcal R_g = \frac{0.0020}{4\pi\times10^{-7}\times4.0\times10^{-4}} = 3.98\times10^6$ A/Wb(철의 20배). $\Phi = 0.80\times4.0\times10^{-4} = 3.2\times10^{-4}$ Wb. $I = 3.2\times10^{-4}\times4.18\times10^6/600 = 2.23$ A. 공극이 없으면 $I = 3.2\times10^{-4}\times1.99\times10^5/600 = 0.106$ A. $L = 600^2/4.18\times10^6 = 86.2$ mH.

I ≈ 2.23 A (공극 없으면 0.106 A), L ≈ 86 mH

검토 2 mm 공극 때문에 전류가 21배 필요하다. 그래도 공극 없는 철심에서 0.8 T를 $\mu_r$에 기대어 얻으면, $\mu_r$이 2000으로 떨어질 때 B도 절반이 된다. 공극이 있으면 같은 변화에 B가 5%만 준다.

이온 주입기의 분석 자석과 전자 렌즈

이온 주입기는 추출한 이온 빔을 큰 전자석의 공극에 통과시켜 $r = \sqrt{2MV/q}/B$로 질량을 고른다. ¹¹B⁺(30 kV, 반지름 0.5 m)에는 약 0.17 T, ⁷⁵As⁺에는 약 0.43 T, 무거운 분자 이온에는 1 T 가까이 필요하다. 이 자석은 수 cm 공극을 가진 철 요크의 자기 회로다. 기자력의 대부분이 공극에 쓰이므로 필요한 암페어·턴은 $NI \approx B_gg/\mu_0$(5 cm 공극, 0.5 T면 약 2만 A·turn)이고, 철 요크는 자속을 실어 나르며 공극 밖 누설을 줄이는 역할을 한다. 공극의 B가 균일해야 빔이 고르게 휘므로 극 모양을 다듬고(심, shim), 홀 센서로 B를 되먹임 제어한다. SEM의 전자 렌즈도 같은 원리다. 코일을 철 극편(pole piece)으로 감싸 좁은 공극에 강한 장을 모은다. → DopingBook · 질량 분석 · FailureBook · SEM

히스테리시스와 철손

강자성체는 자구(magnetic domain)로 나뉘어 있다. 자구 하나 안에서는 모멘트가 모두 나란하지만, 자구끼리는 방향이 달라 덩어리 전체의 자화는 0일 수 있다(바깥으로 새는 장의 에너지를 줄이려는 배치다. 원리는 고체물리 · 자성). H를 걸면 H 쪽 자구가 커지도록 자구벽이 밀려나고(약한 장), 결국 자구 안의 모멘트가 회전해 포화한다(강한 장). 자구벽은 결정 결함·불순물·결정립계에 걸렸다가 툭툭 풀려나므로, 장을 되돌려도 같은 길로 돌아오지 않는다. 이것이 히스테리시스(hysteresis)다. 장 머리의 그래프에서 확인한 B–H 고리의 특징점은 다음과 같다.

포화 자속 밀도 B_s

모든 모멘트가 나란해진 상태. 철 2.1 T, 규소 강판 약 2.0 T, 퍼멀로이 0.8 T, MnZn 페라이트 약 0.5 T.

잔류 자속 밀도 B_r

H를 0으로 되돌린 뒤 남는 B. 잔류 자속 밀도(remanence)가 크면 자석으로 쓸 수 있다.

보자력 H_c

B를 0으로 만드는 데 필요한 역방향 H. 보자력(coercivity)이 작으면(< 10³ A/m) 연자성체(soft magnet), 크면(> 10⁴ A/m) 경자성체(hard magnet)다.

재료	최대 μ_r	B_s 또는 B_r (T)	H_c (A/m)	ρ (Ω·m)	쓰임
순철(풀림)	5 000	2.15	80	1.0 × 10⁻⁷	요크, 극편
규소 강판(3% Si)	10⁴ 내외	2.0	10–50	4.7 × 10⁻⁷	변압기·전동기 코어
퍼멀로이·뮤메탈(Ni 80%)	10⁵	0.75–0.8	1–4	5.5 × 10⁻⁷	자기 차폐, 센서
Fe계 비정질 합금	10⁵	1.56	2–4	1.3 × 10⁻⁶	고효율 변압기
MnZn 페라이트	2 000–10 000	0.4–0.5	10–20	1–10	스위칭 전원 인덕터(~MHz)
NdFeB 소결 자석	1.05 (되튐)	B_r 1.2–1.4	~10⁶	1.5 × 10⁻⁶	마그네트론, 전동기

히스테리시스 손실

코일 전압이 $v = N\,d\Phi/dt = NA\,dB/dt$이고 전류가 $i = Hl/N$이면 전원이 철심에 넣는 일은 $\int vi\,dt = Al\int H\,dB$이다. 고리를 한 바퀴 돌면 B와 H가 처음으로 돌아오는데 일은 0이 아니다. 고리 넓이만큼의 에너지가 자구벽을 끌고 다니는 데 쓰여 열이 된다.

$$w_h = \oint H\,dB\ \ [\text{J/m}^3\text{ 한 주기}], \qquad P_h = f\,V\oint H\,dB \approx k_hfB_m^{\,n}V\quad(n \approx 1.6\text{–}2)$$

$f$는 주파수, $V$는 철심 부피. 오른쪽은 슈타인메츠의 경험식이다. 히스테리시스 손실(hysteresis loss)을 줄이려면 고리가 좁은, 곧 보자력이 작은 연자성체를 쓴다.

와전류 손실과 적층

철심은 도체이기도 하다. 철심 속 자속이 변하면 패러데이 법칙(8장)에 따라 철심 단면을 도는 기전력이 생기고 와전류(eddy current)가 흘러 열을 낸다. 두께 $t$인 얇은 판에 판과 나란한 $B = B_m\sin\omega t$가 걸리면, 판 속 전류 고리의 넓이가 $t$에 비례하므로 손실이 $t^2$에 비례한다.

$$\frac{P_e}{V} = \frac{\pi^2f^2B_m^2t^2}{6\rho}\qquad(t \ll \delta = \sqrt{2\rho/\omega\mu})$$

$\rho$는 철심의 비저항, $\delta$는 표피 깊이(10장). 그래서 변압기 철심은 절연 코팅한 0.2–0.5 mm 규소 강판을 겹쳐 쌓고(적층), Si를 넣어 $\rho$를 4배로 올린다. kHz–MHz에서는 비저항이 10⁶배 큰 페라이트나 수십 µm 비정질 리본·분말 코어를 쓴다. 와전류 손실(eddy-current loss)은 $f^2$, 히스테리시스 손실은 $f$에 비례하므로 주파수가 오를수록 와전류가 지배한다.

자속(⊙, 화면 밖)이 변하면 철심 단면을 도는 와전류가 생긴다. 판을 $n$장으로 나누면 판마다 기전력이 $1/n$, 저항 경로는 비슷하므로 손실은 대략 $1/n^2$로 준다.

비저항 $4.7\times10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}$인 규소 강판 0.35로 만든 철심이 60에서 최대 1.50까지 자화된다. 와전류 손실은 (밀도 7650 kg/m³로 )이다. 이때 $\mu_r = 5000$이라 하면 표피 깊이 $\delta =$ 로,

SIMULATOR

철손 계산기: 고리 넓이와 판 두께

고리 끝의 흰 원을 끌어 최대 자화 H_m을 바꾼다

재료 주파수 f 판 두께 t

B_m—

고리 넓이 ∮H dB—

히스테리시스—

와전류—

합계—

왼쪽: 사인파 H로 몇 주기 돌린 뒤의 정상 B–H 고리(색칠한 넓이가 한 주기 손실). 오른쪽: 주파수에 따른 히스테리시스(∝ f)와 와전류(∝ f²) 손실의 로그 그래프와 지금 값. 이력 모형은 탄젠트 쌍곡 가지 둘을 잇는 단순 모형이고, 재료 상수는 대표값이다. 해볼 것: ① 규소 강판, 60 Hz에서 B_m을 1.0 T → 1.7 T로 올리면 손실이 몇 배가 되는가? ② 주파수를 10 kHz로 올리면 와전류 손실이 히스테리시스를 압도한다. 판을 0.05 mm로 얇게 하거나 페라이트로 바꿔 보라. ③ 페라이트는 B_s가 0.5 T뿐이라 저주파 큰 전력에는 부피가 커진다. 비정질은 둘 사이의 타협이다.

60 Hz 변압기 철심(부피 $1.0\times10^{-3}$ m³)이 최대 1.5 T까지 자화된다. 이 조건의 B–H 고리 넓이는 250 J/m³이다. 철심은 두께 0.35 mm, 비저항 $4.7\times10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}$인 규소 강판을 쌓았다. (a) 히스테리시스 손실 (b) 와전류 손실 (c) 판 두께가 0.50 mm라면 와전류 손실은?

풀이 보기

전략 $P_h = fVw_h$, $P_e = V\pi^2f^2B_m^2t^2/6\rho$.

풀이 (a) $P_h = 60\times1.0\times10^{-3}\times250 = 15.0$ W. (b) $P_e/V = \pi^2(60)^2(1.5)^2(0.35\times10^{-3})^2/(6\times4.7\times10^{-7}) = 3.47\times10^3$ W/m³ → $P_e = 3.47$ W. (c) $t^2$ 비례이므로 $3.47\times(0.50/0.35)^2 = 7.09$ W.

(a) 15.0 W (b) 3.47 W (c) 7.09 W

검토 철심 질량은 7.65 kg이므로 철손은 약 2.4 W/kg으로 무방향 규소 강판의 전형적인 값이다. 60 Hz에서는 히스테리시스가 주로 기여하지만, 400 Hz(항공기 전원)로 가면 히스테리시스는 100 W, 와전류는 44배인 154 W가 되어 와전류가 앞선다.

MRAM: 경자성 기준층과 연자성 자유층

MRAM의 자기 터널 접합(MTJ)은 이 절의 두 재료를 한 소자에 담는다. 아래 기준층은 합성 반강자성 구조로 자화를 단단히 묶어 둔 "경자성" 층이고, 위 자유층(CoFeB 1–2 nm)은 비트를 쓸 때 뒤집혀야 하므로 보자력이 적당히 작다. 그러나 너무 작으면 열 요동에 저절로 뒤집힌다. 그래서 자유층 장벽 $E_b = \tfrac12\mu_0M_sH_KV$가 $k_BT$의 60배 이상이어야 10년을 버틴다(열 안정성 $\Delta = E_b/k_BT$). 셀이 작아질수록 부피 $V$가 줄어 $\Delta$를 지키기 어렵다. 얇은 막의 반자기장($N_d \approx 1$)을 이기려고 CoFeB/MgO 계면의 수직 이방성을 쓰는 것이 수직 자화 MRAM(p-MTJ)이다. → MemoryBook · 차세대 메모리(MRAM) · 고체물리 · 자성(스핀트로닉스)

자기 에너지와 힘

인덕터에 전류를 $0$에서 $I$까지 올리는 동안 전원은 유도 기전력을 거슬러 $W = \int vi\,dt = \int Li\,di = \tfrac12LI^2$의 일을 한다. 이 에너지는 장 속에 저장된다. 위의 철손 계산과 같은 논리로 단위 부피당 $\int H\,dB$이고, 선형 매질에서는 다음과 같다.

$$w_m = \int_0^B H\,dB' = \frac12\mathbf B\cdot\mathbf H = \frac{B^2}{2\mu}\ \ [\text{J/m}^3], \qquad W_m = \frac12\int_V\mathbf B\cdot\mathbf H\,dV = \frac12LI^2$$

같은 B에서 에너지 밀도는 $\mu$에 반비례한다. 공극 있는 철심에서는 $B$가 거의 같으므로 에너지가 대부분 공극에 있다(예제 7.5의 철심이면 공극 0.204 J, 철심 0.010 J로 95%). 자기 에너지 밀도(magnetic energy density)가 1 T에서 $4.0\times10^5$ J/m³로, 1 MV/m 전기장의 에너지 밀도(4.4 J/m³)보다 약 10만 배 크다. 전동기가 전기장 대신 자기장으로 힘을 내는 이유다.

힘은 가상 일(virtual work)로 구한다. 물체가 $dx$만큼 움직일 때 자속을 일정하게 두면(외부 전원이 일을 하지 않으면) 자기력이 한 일은 저장 에너지의 감소와 같다: $F_x = -\partial W_m/\partial x|_\Phi$. 전류를 일정하게 두면 전원이 $2\,dW$를 넣고 그중 절반이 일이 되어 $F_x = +\partial W_m/\partial x|_I = \tfrac12I^2\,dL/dx$이다. 두 식은 같은 힘을 준다.

공극 면의 흡인력

단면 $A$, 공극 $x$인 자극 면에서 자속 $\Phi = BA$를 일정하게 두고 공극을 $dx$ 넓히면 공극 부피가 $A\,dx$ 늘고 저장 에너지가 $\frac{B^2}{2\mu_0}A\,dx$ 는다. 따라서 $F = -\frac{dW}{dx} = -\frac{B^2A}{2\mu_0}$: 크기가 $B^2A/2\mu_0$인 끌어당기는 힘이다. 단위 면적당 $p = B^2/2\mu_0$이 자기 압력(magnetic pressure)이다. 자기력선은 장력 $B^2/2\mu_0$으로 당기는 고무줄, 옆으로는 같은 크기로 미는 기체처럼 행동한다(맥스웰 응력).

$$p = \frac{B^2}{2\mu_0}, \qquad F = \frac{B^2A}{2\mu_0}\ \ (\text{자극 면 하나})$$

자기장 1.00에서 자기 압력은 ()이다. 자극 면적 10짜리 면 하나가 , 곧 의 무게를 버틴다.

철판을 위아래로 끌었다 놓는다

기자력 NI 철판 질량

MINI LABU형 전자석(자극 두 개, 각 25 cm², 철 경로 50 cm, $\mu_r = 2000$)이 철판을 끌어당긴다. $B = \mu_0NI/(2x + l_c/\mu_r)$, 힘 $F = 2\times B^2A/2\mu_0$, 철의 포화 1.6 T에서 B를 자른다. 철판을 끌어 공극 $x$를 정하고 놓으면, 힘이 무게보다 크면 붙고 작으면 떨어진다. 과녁: 공극 2 mm에서 60 kg 판을 붙잡는 최소 기자력을 찾아라. 공극이 커지면 힘이 $1/x^2$로 급히 준다. 한번 붙은 판이 떼기 어려운 이유다.

U형 전자석의 두 자극이 각각 10 cm²이고, 철판과 붙은 공극의 자속 밀도가 1.0 T다. 전자석이 들어 올릴 수 있는 최대 질량은? (자극 면 둘 다 같은 B, $g = 9.807$ m/s²)

풀이 보기

전략 자극 면 하나의 힘 $B^2A/2\mu_0$, 두 면이므로 2배.

풀이 $p = 1.0^2/(2\times4\pi\times10^{-7}) = 3.98\times10^5$ Pa. $F = 2\times3.98\times10^5\times10\times10^{-4} = 796$ N. $m = 796/9.807 = 81.1$ kg.

F ≈ 796 N, 약 81 kg

검토 1 T의 자기 압력은 약 3.9기압이다. 손바닥만 한 자극으로 사람 하나를 든다. 철판에 녹·페인트가 0.5 mm만 있어도 공극 릴럭턴스가 커져 같은 전류에서 B가 줄고, 힘은 $B^2$으로 더 크게 준다.

균일하지 않은 장 속의 작은 선형 자성체(부피 $V$, $|\chi_m| \ll 1$)는 에너지 $-\chi_mVB^2/2\mu_0$를 가지므로 $\mathbf F = \frac{\chi_mV}{2\mu_0}\nabla(B^2)$의 힘을 받는다. 상자성체는 장이 센 쪽으로, 반자성체는 약한 쪽으로 밀린다. 물($\chi_m = -9\times10^{-6}$)은 $B\,dB/dz \approx 1400$ T²/m에서 중력과 맞먹어, 16 T 자석 속에서 개구리가 떠오른 실험이 유명하다.

영구 자석과 마그네트론

영구 자석(permanent magnet)은 히스테리시스 고리의 제2사분면(B > 0, H < 0)에서 일한다. 자석 자체가 만드는 반자기장 때문에 H가 음수이기 때문이다. 이 구간의 곡선을 감자 곡선(demagnetization curve)이라 한다. 현대의 희토류 자석(NdFeB, SmCo)은 이 구간에서 거의 직선이다: $B = B_r + \mu_0\mu_{rec}H$(되튐 투자율 $\mu_{rec} \approx 1.05$).

자석(길이 $l_m$, 단면 $A_m$)과 공극($l_g$, $A_g$)으로 된 회로를 철 요크가 잇는다고 하자(철의 릴럭턴스 무시). 자유 전류가 없으므로 $H_ml_m + H_gl_g = 0$, 자속이 이어지므로 $B_mA_m = \mu_0H_gA_g$. H_g를 지우면 자석의 동작점이 놓일 직선이 나온다.

$$B_m = -\mu_0P_c\,H_m, \qquad P_c = \frac{l_mA_g}{l_gA_m}\quad(\text{부하선}), \qquad (BH)_{\max} = \max(-B_mH_m)$$

$P_c$는 퍼미언스 계수. 감자 곡선과 이 부하선(load line)의 교점이 동작점이다. 공극에 저장되는 에너지는 $\tfrac12B_gH_gV_g = \tfrac12(-B_mH_m)V_m$이므로, 같은 공극 에너지를 가장 작은 자석으로 얻으려면 $-BH$가 최대인 점에서 일하게 설계한다. 그 값이 최대 에너지곱(maximum energy product) $(BH)_{\max}$이고, 직선 감자 곡선이면 $B_r^2/4\mu_0\mu_{rec}$($B = B_r/2$에서)이다. NdFeB 약 270–420 kJ/m³, 페라이트 약 30 kJ/m³.

감자 곡선 위 흰 원을 끌어 동작점을 옮긴다

자석

MINI LAB제2사분면의 감자 곡선(굵은 선), 원점에서 그은 부하선(점선), 지금 동작점을 지나는 $-BH$ = 일정 곡선(가는 선). 흰 원을 끌면 그 점을 만드는 공극/자석 길이 비 $l_g/l_m$($A_g = A_m$일 때 $= 1/P_c$)가 계산된다. 과녁: $-BH$가 최대인 점(±2%)을 찾아라. 직선형 자석은 $B_r/2$에서, 볼록한 AlNiCo는 무릎 근처에서 최대다. AlNiCo는 보자력이 작아 길고 가는 모양(작은 $N_d$)으로 써야 한다.

$B_r = 1.20$ T, $\mu_{rec} = 1.05$인 NdFeB 자석(길이 5.0 mm)과 2.0 mm 공극이 이상적인 철 요크로 이어져 있다. 자석과 공극의 단면적은 같다. (a) 공극의 B (b) 자석 속 H (c) 동작점의 에너지곱과 이 자석의 $(BH)_{\max}$를 구하라.

풀이 보기

전략 $B_m = B_r + \mu_0\mu_{rec}H_m$와 $H_m = -B_ml_g/(\mu_0l_m)$(단면 같으면 $B_g = B_m$)을 연립.

풀이 (a) $B_m = B_r - \mu_{rec}B_m\frac{l_g}{l_m}$ → $B_m = \frac{B_r}{1 + \mu_{rec}l_g/l_m} = \frac{1.20}{1 + 1.05\times0.40} = 0.845$ T. (b) $H_m = -\frac{0.845\times2.0}{4\pi\times10^{-7}\times5.0} = -2.69\times10^5$ A/m. (c) $-B_mH_m = 0.845\times2.69\times10^5 = 227$ kJ/m³. $(BH)_{\max} = B_r^2/(4\mu_0\mu_{rec}) = 1.44/(4\times1.2566\times10^{-6}\times1.05) = 273$ kJ/m³.

(a) 0.845 T (b) −2.69 × 10⁵ A/m (c) 227 kJ/m³ (최대 273 kJ/m³의 83%)

검토 최대 에너지곱은 $B_m = B_r/2 = 0.60$ T, 곧 $l_g/l_m = 1/\mu_{rec} = 0.95$일 때다. 이 설계는 공극 B를 키우려고 최적점보다 자석을 길게 썼다. 자석 속 H가 −269 kA/m로 보자력(약 −900 kA/m)과 거리가 멀어 고온에서도 비가역 감자 위험이 작다.

마그네트론 스퍼터링: 자기장으로 전자를 가두다

스퍼터링은 Ar⁺ 이온으로 금속 타깃을 때려 튀어나온 원자를 웨이퍼에 쌓는 PVD 공정이다(배리어 Ti/TiN·Ta/TaN, Cu 씨드, Al 배선). 단순 직류 글로 방전은 압력이 높고(수 Pa 이상) 전압도 높아야 플라스마가 유지된다. 이온이 타깃에서 때려낸 이차 전자가 이온화를 충분히 하기 전에 양극으로 빠져나가기 때문이다. 마그네트론 스퍼터링(magnetron sputtering)은 타깃 뒤에 영구 자석을 두어 타깃 표면 위에 아치 모양 자기장을 만든다. 전자는 이 장에 감겨 표면 근처에 갇히고, 이온은 무거워 거의 영향을 받지 않는다.

타깃 표면과 나란한 자기장이 30이면, 에너지 5인 전자의 회전 반지름은 , 같은 에너지의 Ar⁺ 이온은 다. 이온은 장비 크기만큼 크게 돌아 사실상 직진하고, 전자만 표면 위 얇은 층에 갇힌다. 쉬스 끝의 전기장이 10이면 전자는 $\mathbf E\times\mathbf B$ 방향으로 로 표류한다.

타깃 뒤 가운데 N극, 바깥 S극 자석이 타깃 위로 아치형 자기장을 만든다. 아치 꼭대기에서는 B가 표면과 나란하다.
음극 쉬스의 전기장 E가 타깃 표면에 수직으로 서 있다. 이온은 E를 따라 타깃으로 가속된다.
전자는 E와 B가 수직인 곳에서 $\mathbf v_d = \mathbf E\times\mathbf B/B^2$로 표류한다. 왼쪽과 오른쪽 아치에서 방향이 반대이므로 위에서 보면 끝없이 도는 닫힌 고리(레이스트랙)가 된다.
전자가 오래 머무는 곳에서 이온화가 많아 플라스마가 짙고, 그 아래 타깃이 깊게 파인다.

평면 마그네트론의 단면. 전자는 자기장에 감기고(회전 반지름 수백 µm), 아치의 양 끝에서는 거울 효과와 음극의 전기장에 튕겨 돌아오며, 옆으로는 E×B로 레이스트랙을 돈다. 덕분에 0.1–1 Pa, 300–600 V에서도 짙은 플라스마(약 10¹⁷ m⁻³ 이상)가 유지된다.

침식 홈이 생기는 자리는 자기장이 타깃과 나란한 곳($B_\perp = 0$), 곧 레이스트랙(racetrack)이다. 홈이 깊어지면 타깃 표면이 자석에 가까워져 장이 세지고, 플라스마가 홈에 더 집중되는 양의 되먹임이 있다. 300 mm 장비는 자석 묶음을 타깃 뒤에서 돌려(회전 마그네트론) 홈을 넓게 퍼뜨리고 막 두께 균일도를 맞춘다. 바깥 자석을 가운데보다 세게 하면 일부 자기력선이 웨이퍼 쪽으로 새어 나가 플라스마가 기판까지 퍼진다(비평형 마그네트론). 이온 충돌로 막을 치밀하게 할 때 쓴다.

SIMULATOR

마그네트론 자기장: 레이스트랙을 과녁에 맞춰라

바깥 자석 · 타깃 표면의 흰 원을 끈다

바깥/가운데 자석 세기 비 자석 B_r 갇힌 전자 보기

레이스트랙 위치—

표면 최대 B_∥—

전자 r_L (5 eV)—

Ar⁺ r_L (5 eV)—

과녁—

가운데 자석(위가 N)과 양옆 자석(위가 S)의 단면을 등가 표면 전류(옆면 $K_b = M$)로 바꿔 정확히 계산한 2차원 장이다(뒤판 요크는 생략). 자석 폭 10–12 mm, 높이 15 mm. 타깃 윗면의 붉은 홈은 표면의 $B_\parallel^2$에 비례하게 그린 대략적인 침식 모양이고, 점선이 $B_\perp = 0$인 레이스트랙, ⊗·⊙는 전자의 E×B 표류 방향이다. 해볼 것: ① 타깃 표면을 아래로(자석 쪽으로) 끌면 타깃이 닳은 상태다. B가 얼마나 세지는가? ② 바깥 자석을 세게(비 > 1.5) 하면 일부 선이 위로 새어 나가 웨이퍼 쪽을 향한다(비평형). ③ "새 과녁": 바깥 자석을 좌우로 끌어 레이스트랙을 표시된 위치 ±1 mm에 맞춰라.

PVD 배리어·씨드 증착의 마그네트론

Cu 배선의 Ta/TaN 배리어와 Cu 씨드, 게이트·콘택의 Ti/TiN, Al 패드는 모두 마그네트론 스퍼터링으로 입힌다. 스퍼터 원자는 직선으로 날아와 처음 닿은 곳에 붙으므로(부착 계수 ≈ 1) 종횡비가 큰 비아에서는 입구에 오버행이 생기고 바닥이 얇아진다. 그래서 첨단 장비는 강한 자기장과 높은 전력으로 금속 원자 자체를 이온화하고(이온화 PVD), 웨이퍼에 RF 바이어스를 걸어 이온을 수직으로 끌어내려 바닥 피복을 높인다. 자기장 설계(레이스트랙 모양, 회전 속도, 평형도)는 막 두께 균일도와 타깃 수명(침식 홈의 깊이)을 함께 정하는 핵심 장비 변수다. → ProcessBook · 박막 증착(PVD와 단차 피복)

핵심 정리

자화 $\mathbf M$(A/m)은 속박 전류 $\mathbf J_b = \nabla\times\mathbf M$, $\mathbf K_b = \mathbf M\times\hat{\mathbf n}$와 같은 장을 만든다. 균일하게 자화된 막대는 $nI = M$인 솔레노이드다.
$\mathbf H = \mathbf B/\mu_0 - \mathbf M$, $\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l = I_f$. 선형 매질에서 $\mathbf M = \chi_m\mathbf H$, $\mathbf B = \mu\mathbf H$, $\mu_r = 1 + \chi_m$. 반자성 $\chi_m \sim -10^{-5}$, 상자성 $10^{-5}$–$10^{-3}$, 강자성 유효 $\mu_r$ $10^2$–$10^5$(비선형·이력). 자석 안의 H는 반자기장 $-N_d\mathbf M$이라 B와 반대다.
경계 조건 $B_{1n} = B_{2n}$, $H_{1t} - H_{2t} = K_f$에서 $\tan\theta_1/\tan\theta_2 = \mu_1/\mu_2$. 고투자율 면에서 공기 쪽 장은 거의 수직이다. 원통 차폐 $S \approx 1 + \mu_rt/2R$, 구 $1 + 2\mu_rt/3R$.
자기 회로: $NI = \Phi\sum\mathcal R$, $\mathcal R = l/\mu A$, $L = N^2/\mathcal R$. 작은 공극도 $\mu_r$배 길이의 철과 같아 릴럭턴스·기자력·에너지를 지배한다.
B–H 고리: $B_s$, $B_r$, $H_c$. 연자성(작은 $H_c$)은 코어·차폐, 경자성(큰 $H_c$)은 영구 자석. 철손 = 히스테리시스 $fV\oint H\,dB$(∝ f) + 와전류 $V\pi^2f^2B_m^2t^2/6\rho$(∝ f²·t²) → 적층, 고비저항 페라이트.
자기 에너지 $w_m = \tfrac12\mathbf B\cdot\mathbf H = B^2/2\mu$, $W = \tfrac12LI^2$. 가상 일로 자기 압력 $B^2/2\mu_0$(1 T에서 398 kPa), 자극 면의 힘 $B^2A/2\mu_0$.
영구 자석은 감자 곡선과 부하선 $B_m = -\mu_0(l_mA_g/l_gA_m)H_m$의 교점에서 일하고, $(BH)_{\max}$(직선형 $B_r^2/4\mu_0\mu_{rec}$)에서 자석 부피가 가장 작다. 마그네트론은 타깃 위 아치형 B로 전자($r_L$ ~ 0.2–0.4 mm)만 가두고 E×B 레이스트랙을 만들어, 낮은 압력에서 짙은 플라스마로 스퍼터링한다.

연습문제

$\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ H/m($1.2566\times10^{-6}$), $e = 1.602\times10^{-19}$ C, $m_e = 9.109\times10^{-31}$ kg, $g = 9.807$ m/s². 따로 말이 없으면 가장자리 효과와 누설 자속은 무시한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

구리($\chi_m = -9.7\times10^{-6}$) 속 자기장 세기가 $H = 8.0\times10^5$ A/m(약 1 T)일 때 자화 M은? (H 방향을 +로)

$M = \chi_mH = -9.7\times10^{-6}\times8.0\times10^5 = -7.76$ A/m. 같은 장에서 철의 자화(~10⁶ A/m)보다 10⁵배 작고 방향이 반대다.

축 방향으로 $M = 8.0\times10^5$ A/m로 균일하게 자화된 긴 원기둥 자석과 같은 장을 만들려면, 1 m당 1000회 감은 솔레노이드에 전류를 얼마 흘려야 하는가?

$K_b = M$이 단위 길이당 전류이므로 $nI = M$ → $I = 8.0\times10^5/1000 = 800$ A.

평균 반지름 4.0 cm인 토로이드 코어($\mu_r = 800$)에 200회 감고 1.5 A를 흘린다. 코어 속 H와 B는?

$H = NI/2\pi r = 300/(2\pi\times0.040) = 1194$ A/m. $B = \mu_0\mu_rH = 1.2566\times10^{-6}\times800\times1194 = 1.20$ T.

$\mu_r = 600$인 철 속에서 자기력선이 경계면의 법선과 87°를 이룬다. 공기로 나간 자기력선이 법선과 이루는 각은? 경계에 자유 전류는 없다.

$\tan\theta_{air} = \tan87^\circ\times(1/600) = 19.08/600 = 0.0318$ → $\theta_{air} = 1.82^\circ$.

평균 길이 30 cm, 단면 5.0 cm², $\mu_r = 3000$인 철심에 1.0 mm 공극이 있다. 400회 감은 코일로 공극에 1.0 T를 만들 전류와, 공극과 철심 릴럭턴스의 비는?

$\mathcal R_c = l_c/(\mu_0\mu_rA)$, $\mathcal R_g = g/(\mu_0A)$, $I = BA(\mathcal R_c + \mathcal R_g)/N$.

$\mathcal R_c = 0.30/(1.2566\times10^{-6}\times3000\times5\times10^{-4}) = 1.59\times10^5$ A/Wb, $\mathcal R_g = 10^{-3}/(1.2566\times10^{-6}\times5\times10^{-4}) = 1.59\times10^6$ A/Wb. 비 = 10.0. $I = 5\times10^{-4}\times1.75\times10^6/400 = 2.19$ A.

앞 문제의 코일(400회, 같은 철심과 공극)의 인덕턴스는?

$L = N^2/(\mathcal R_c + \mathcal R_g) = 160000/(1.751\times10^6) = 0.0914$ H = 91.4 mH.

B–H 고리 넓이가 400 J/m³인 철심(부피 $2.0\times10^{-4}$ m³)을 50 Hz로 자화할 때 히스테리시스 손실은?

$P_h = fVw_h = 50\times2.0\times10^{-4}\times400 = 4.00$ W.

비저항 $4.8\times10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}$인 강판을 50 Hz, $B_m = 1.2$ T로 쓸 때 단위 부피당 와전류 손실을 두께 0.50 mm와 0.27 mm에 대해 구하라.

$P_e/V = \pi^2f^2B_m^2t^2/6\rho$. $t = 0.50$ mm: $9.870\times2500\times1.44\times2.5\times10^{-7}/(2.88\times10^{-6}) = 3084$ W/m³. $t = 0.27$ mm: $\times(0.27/0.5)^2 = 0.2916$ → 899 W/m³.

MRI 같은 1.5 T 자기장의 자기 압력은 몇 kPa인가?

$p = B^2/2\mu_0 = 2.25/(2.513\times10^{-6}) = 8.95\times10^5$ Pa = 895 kPa(약 8.8기압).

두 자극(각 25 cm²)을 가진 전자석이 철판에 붙어 있고 공극의 B가 0.80 T다. 흡인력과 들 수 있는 최대 질량은?

$F = 2\times B^2A/2\mu_0 = 0.64\times25\times10^{-4}/1.2566\times10^{-6} = 1273$ N, $m = 1273/9.807 = 130$ kg.

$B_r = 1.25$ T, $\mu_{rec} = 1.05$인 자석(길이 4.0 mm)이 이상적인 철 요크와 1.0 mm 공극으로 회로를 이룬다. 자석과 공극의 단면적이 같을 때 공극의 B는?

$H_ml_m + H_gl_g = 0$, $B_g = B_m = \mu_0H_g$, $B_m = B_r + \mu_0\mu_{rec}H_m$.

$B_m = B_r/(1 + \mu_{rec}l_g/l_m) = 1.25/(1 + 1.05\times0.25) = 1.25/1.2625 = 0.990$ T.

$\mu_r = 30\,000$인 재료로 바깥 반지름 10.0 cm, 두께 1.5 mm인 구 껍질을 만들었다. 정확한 식으로 차폐 계수를 구하고, 바깥 장이 50 µT일 때 안쪽 장(nT)을 구하라.

$S = 1 + \frac{2(\mu_r-1)^2}{9\mu_r}(1 - a^3/b^3)$, $a = 9.85$ cm.

$1 - (9.85/10)^3 = 0.04432$. $2(29999)^2/(9\times30000) = 6666.2$. $S = 1 + 6666.2\times0.04432 = 297$. $B_{in} = 50\,000/297 = 169$ nT. 근사식 $1 + 2\mu_rt/3R = 301$과 1% 남짓 다르다.

5번 문제의 철심(공극 1.0 mm, 단면 5.0 cm², 철 30 cm, $\mu_r = 3000$)에 공극 B = 1.0 T가 걸려 있다. 공극에 저장된 에너지와 전체 자기 에너지 중 공극의 몫(%)은?

공극: $\frac{B^2}{2\mu_0}Ag = 3.979\times10^5\times5\times10^{-4}\times10^{-3} = 0.199$ J. 철: $\frac{B^2}{2\mu_0\mu_r}Al_c = 3.979\times10^5\times5\times10^{-4}\times0.30/3000 = 0.0199$ J. 몫 = 0.199/0.219 = 90.9%. 릴럭턴스 비(10:1)와 같다.

마그네트론 타깃 위에서 표면과 나란한 B가 40 mT, 표면에 수직인 전기장이 $2.0\times10^4$ V/m다. 자기장에 수직으로 10 eV로 움직이는 전자의 회전 반지름(mm)과 $\mathbf E\times\mathbf B$ 표류 속력은?

$v = \sqrt{2\times10\times1.602\times10^{-19}/9.109\times10^{-31}} = 1.876\times10^6$ m/s. $r_L = m_ev/eB = 9.109\times10^{-31}\times1.876\times10^6/(1.602\times10^{-19}\times0.040) = 2.67\times10^{-4}$ m = 0.267 mm. $v_d = E/B = 2.0\times10^4/0.040 = 5.0\times10^5$ m/s.

50 Hz 변압기 철심 재료로 가장 알맞은 성질의 조합은?

고리가 좁아야 히스테리시스 손실(고리 넓이 × f)이 작고, 포화가 높아야 철심이 작아지며, 비저항이 커야 와전류 손실이 작다. 규소 강판이 이 조합(Si가 비저항을 올리고 이방성·자왜를 줄인다)이다.

자유 전류가 없는 두 자성체의 경계에서 항상 이어지는 양을 모두 고른 것은?

$\nabla\cdot\mathbf B = 0$에서 $B_{1n} = B_{2n}$, $\nabla\times\mathbf H = \mathbf J_f = 0$에서 $H_{1t} = H_{2t}$. B의 접선과 H의 법선은 $\mu$ 비만큼 끊기고, M의 법선 성분이 끊기는 곳에 자하 $\sigma_m$이 있다.

개념 확인 퀴즈

균일하게 자화된 긴 원기둥 자석에서 속박 전류는 어디에 흐르는가?

균일 자화면 $\nabla\times\mathbf M = 0$이라 부피 전류가 없다. 끝면은 $\mathbf M\parallel\hat{\mathbf n}$이라 $\mathbf M\times\hat{\mathbf n} = 0$. 옆면에만 솔레노이드처럼 흐른다.

코일 전류를 그대로 두고 토로이드의 공기 코어를 철 코어($\mu_r = 1000$)로 바꾸었다. 코어 속에서 1000배가 되는 양은?

$\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l = NI$라 H는 재질과 무관하다. B = μH가 1000배가 되고, 그 차이는 철의 속박 전류(자화)가 메운다.

철심 인덕터에 작은 공극을 내는 이유로 맞지 않는 것은?

공극은 릴럭턴스를 키우므로 $L = N^2/\mathcal R$은 작아진다. 대신 값이 안정되고, 포화 전류가 커지며, 같은 B에서 에너지 $B^2/2\mu_0$를 공극에 많이 담는다.

변압기 철심의 동작 주파수를 50 Hz에서 500 Hz로 올리고 B_m은 그대로 두었다. 철손은 어떻게 되는가?

$P_h \propto f$(한 주기 고리 넓이 × 횟수), $P_e \propto f^2$(유도 기전력 ∝ f, 손실 ∝ 기전력²). 대신 같은 전압에서 필요한 B·A는 1/f로 줄어 철심을 작게 할 수 있다.

마그네트론의 자기장(수십 mT)이 플라스마를 짙게 만드는 주된 이유는?

같은 장에서 Ar⁺의 회전 반지름은 수 cm–10 cm라 사실상 영향이 없다. 중성 금속 원자는 자기장과 무관하다. 전자 가두기 덕분에 낮은 압력(덜 산란된 직진 증착)과 낮은 전압에서 높은 증착 속도를 얻는다.

자화와 속박 전류

자기장 세기 H와 투자율

선형 자성체: 감수율과 투자율

자석 속의 H: 반자기장

막대자석의 B, H, M: 모양이 반자기장을 정한다

경계 조건과 자기 차폐

자기력선의 굴절: 과녁 각도 맞히기

자기 차폐

원통형 자기 차폐: 자속은 벽을 따라 돈다

자기 회로와 릴럭턴스

공극 있는 자기 회로: 목표 자속 밀도 만들기

히스테리시스와 철손

포화 자속 밀도 Bs

잔류 자속 밀도 Br

보자력 Hc

히스테리시스 손실

와전류 손실과 적층

철손 계산기: 고리 넓이와 판 두께

자기 에너지와 힘

영구 자석과 마그네트론

마그네트론 스퍼터링: 자기장으로 전자를 가두다

마그네트론 자기장: 레이스트랙을 과녁에 맞춰라

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈

포화 자속 밀도 B_s

잔류 자속 밀도 B_r

보자력 H_c