Chapter 04

경계값 문제

전하 분포를 모두 안다면 전위는 쿨롱 적분 한 번으로 끝난다. 그러나 실제 문제에서 주어지는 것은 대개 전하가 아니라 도체의 전위다. 게이트는 1 V, 기판은 접지, 이웃 배선은 0 V 또는 V_DD. 도체 표면에 전하가 어떻게 퍼지는지는 장이 정해진 뒤에야 알 수 있는 미지수다. 이렇게 "경계에서 주어진 값으로 안쪽의 장을 구하는" 문제가 경계값 문제이고, 풀어야 할 식은 푸아송·라플라스 방정식 하나뿐이다. 이 장은 해가 하나뿐임을 보장하는 유일성 정리에서 출발해 영상법, 변수 분리(직각·원통·구 좌표, 르장드르 급수), 그리고 컴퓨터가 쓰는 유한 차분과 이완법까지 간다. TCAD가 트랜지스터 단면의 전위를 구하는 방법과, 설계 도구가 배선 사이 기생 용량을 뽑는 방법이 모두 여기서 나온다. 먼저 아래 격자에 전극을 칠해 보자.

위 색 칸을 고르고 격자에 칠한다

가우스 법칙에서 푸아송 방정식 $\nabla\cdot(\varepsilon\nabla V) = -\rho_v$와 라플라스 방정식 $\nabla^2V = 0$을 유도하고, 조화 함수의 평균값 성질과 극값이 없는 성질을 설명한다.
디리클레·노이만 경계 조건을 구분하고, 유일성 정리를 증명하며 "추측해서 맞으면 그것이 답"인 이유를 말한다.
영상법으로 접지 평면·접지 구·직각 모서리 근처 점전하와 선전하의 장, 유도 표면 전하, 힘, 접지면 위 도선의 정전 용량을 구한다.
직각 좌표 변수 분리와 푸리에 급수로 직사각형 홈 속 전위를 풀고, 고차 항이 지수적으로 감쇠하는 이유와 깁스 현상을 설명한다.
원통·구 좌표에서 일반해를 쓰고, 르장드르 급수로 구 표면 전위 문제를 풀며, 균일한 장 속 도체·유전체 구와 원통의 장(전계 집중 3배·2배)을 구한다.
5점 유한 차분식을 유도하고 야코비·가우스–자이델·SOR 이완법의 수렴 속도(반복 횟수 $\propto N^2$ 대 $N$)를 비교한다.
정전 용량 행렬로 배선의 접지 용량과 결합 용량을 정의하고, 격자 풀이와 사쿠라이 근사식으로 기생 용량을 추출한다.

푸아송·라플라스 방정식과 유일성 정리

2장의 정전기장은 두 식으로 요약된다. 미분형 가우스 법칙 $\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v$와, 정전기장이 보존장이라는 사실 $\nabla\times\mathbf E = 0$, 곧 $\mathbf E = -\nabla V$이다. 선형 유전체에서 $\mathbf D = \varepsilon\mathbf E$를 넣으면 전위 하나에 대한 2계 편미분 방정식이 나온다.

$$\nabla\cdot(\varepsilon\nabla V) = -\rho_v \quad\xrightarrow{\ \varepsilon\ \text{균일}\ }\quad \nabla^2 V = -\frac{\rho_v}{\varepsilon} \quad\xrightarrow{\ \rho_v = 0\ }\quad \nabla^2 V = 0$$

가운데가 푸아송 방정식(Poisson's equation), 오른쪽이 라플라스 방정식(Laplace's equation)이다. 왼쪽 꼴은 유전율이 위치마다 다른 경우(산화막–실리콘 계면 등)에도 그대로 쓴다. TCAD 소자 시뮬레이터가 푸는 정전기 식이 바로 이것이다.

라플라시안은 1장에서 본 대로 좌표계마다 꼴이 다르다. 이 장에서 세 좌표계를 모두 쓴다.

$$\nabla^2V = \frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2} = \frac1\rho\frac{\partial}{\partial\rho}\!\Big(\rho\frac{\partial V}{\partial\rho}\Big)+\frac1{\rho^2}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}$$ $$= \frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\Big)+\frac1{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\Big)+\frac1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2}$$

라플라스 방정식을 만족하는 함수를 조화 함수(harmonic function)라 한다. 조화 함수에는 놀라운 성질이 있다. 어느 점의 값이 그 점을 중심으로 한 구(2차원이면 원) 위 값의 평균과 정확히 같다. 이것이 평균값 정리(mean value theorem)다.

조화 함수의 평균값 성질

전하가 없는 영역에서 $V(\mathbf r_0) = \dfrac{1}{4\pi R^2}\oint_{|\mathbf r - \mathbf r_0| = R} V\,da$. 따라서 전하가 없는 영역 안에는 전위의 극대·극소가 없고, 최댓값과 최솟값은 경계(전극) 위에만 있다.

극값이 없다는 결론은 무겁다. 양전하가 안정하게 머물려면 그 자리가 전위의 극소여야 하는데, 다른 전하들이 만든 전위는 그 자리에서 조화 함수이므로 극소가 될 수 없다. 정전기력만으로는 전하를 안정하게 붙잡아 둘 수 없다는 언쇼 정리(Earnshaw's theorem)다. 이온 트랩이 교류장(폴 트랩)이나 자기장(페닝 트랩)을 함께 쓰는 이유다.

MINI LAB바깥에 놓인 선전하 네 개가 만든 2차원 전위다. 원의 중심(흰 원)과 반지름 손잡이를 끌어 보라. 원 안에 전하가 없으면 중심값과 원둘레 평균이 소수점까지 같고, 원 안의 최댓값·최솟값도 둘레 위에 있다. 원이 전하를 품는 순간 평균값 성질이 깨진다(그 안은 푸아송 영역이다).

1차원 푸아송 방정식: 공핍층

가장 단순한 푸아송 문제는 1차원이다. p형 실리콘(억셉터 농도 $N_A$) 표면에 양의 게이트 전압을 걸면 정공이 밀려나 깊이 $W$까지 이온화된 억셉터만 남는다. 이 공핍층의 전하 밀도는 $\rho_v = -qN_A$로 균일하다. 깊이 $W$에서 장과 전위가 0이라는 경계 조건으로 적분하면

$$\frac{d^2V}{dx^2} = \frac{qN_A}{\varepsilon_s} \;\Rightarrow\; E(x) = \frac{qN_A}{\varepsilon_s}(W - x),\quad V(x) = \frac{qN_A}{2\varepsilon_s}(W-x)^2,\quad \psi_s = \frac{qN_AW^2}{2\varepsilon_s}$$

$\psi_s$는 표면 전위(띠 굽음), $\varepsilon_s = 11.7\varepsilon_0$(Si). 장은 직선, 전위는 포물선이다. 거꾸로 $W = \sqrt{2\varepsilon_s\psi_s/qN_A}$이고 표면 장은 $E_{max} = qN_AW/\varepsilon_s$이다.

억셉터 농도 16.0 인 실리콘에 띠 굽음 0.70이 생기면 공핍층 두께는 , 표면 전기장은 이다. 농도를 100배 올리면 두께는 로 줄고 장은 그만큼 세진다.

억셉터 농도 $N_A = 1.0\times10^{16}\ \text{cm}^{-3}$인 p형 Si 표면이 0.70 V만큼 띠가 굽었다(문턱 근처). 공핍층 두께 $W$와 표면의 전기장은? $\varepsilon_s = 11.7\varepsilon_0$.

풀이 보기

전략 균일한 공간 전하의 1차원 푸아송 방정식 해 $\psi_s = qN_AW^2/2\varepsilon_s$를 $W$에 대해 푼다.

풀이 $N_A = 10^{22}\ \text{m}^{-3}$. $W = \sqrt{2(11.7)(8.854\times10^{-12})(0.70)/(1.602\times10^{-19}\times10^{22})} = \sqrt{9.05\times10^{-14}} = 3.01\times10^{-7}$ m. $E_{max} = qN_AW/\varepsilon_s = (1.602\times10^{3})(3.01\times10^{-7})/(1.036\times10^{-10}) = 4.65\times10^{6}$ V/m.

$W \approx 0.301\ \mu\text{m}$, $E_{max} \approx 4.65\times10^4\ \text{V/cm}$

검토 확인: $E_{max}W/2 = 4.65\times10^6\times3.01\times10^{-7}/2 = 0.70$ V. 삼각형 장의 넓이가 전위차다.

TCAD가 푸는 첫 번째 식

소자 시뮬레이터는 단면의 모든 격자점에서 $\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\psi) = -q(p - n + N_D^+ - N_A^-)$를 푼다. 공핍 근사에서는 우변이 위의 $-qN_A$처럼 미리 정해지지만, 실제로는 전자·정공 농도가 전위의 지수 함수($n = n_ie^{(\psi-\phi_n)/V_T}$)라서 식이 비선형이 된다. 그래서 TCAD는 이 장의 선형 풀이(이완법·직접법)를 뉴턴 반복 속에 넣어 쓴다. 게이트·소스·드레인·기판 전극은 디리클레 경계, 소자 바깥 옆면은 대칭(노이만) 경계다. → TCADBook · 기본 방정식: 포아송과 연속 방정식

경계 조건과 유일성 정리

미분 방정식만으로는 해가 정해지지 않는다. $V = 0$, $V = x$, $V = x^2 - y^2$는 모두 $\nabla^2V = 0$을 만족한다. 해를 고르는 것은 경계에서 주어지는 정보다. 정전기 문제에 흔히 나오는 경계 조건은 두 가지다.

경계값 문제의 틀. 영역 안에서는 푸아송 방정식을, 경계의 각 부분에서는 전위(굵은 선)나 법선 미분(점선) 가운데 하나를 준다. 영역 안에 떠 있는 도체(사각형)의 표면도 경계다.

경계에서 전위 자체를 주는 것을 디리클레 경계 조건(Dirichlet boundary condition), 전위의 법선 미분(곧 장의 법선 성분)을 주는 것을 노이만 경계 조건(Neumann boundary condition)이라 한다. 이렇게 주어진 문제에 해가 몇 개인지 답하는 것이 유일성 정리(uniqueness theorem)다.

유일성 정리

영역 안의 전하 분포 $\rho_v$와, 경계의 각 점에서 $V$ 또는 $\partial V/\partial n$이 주어지면 푸아송 방정식의 해는 하나뿐이다(모든 경계가 노이만이면 상수만큼의 차이를 빼고 하나). 도체들의 전위 대신 전체 전하가 주어져도 장은 하나로 정해진다(제2 유일성 정리).

같은 전하와 같은 경계 조건을 만족하는 해 $V_1$, $V_2$가 있다고 하자.
차이 $V_3 = V_1 - V_2$는 전하가 없는 라플라스 방정식을 만족하고, 경계에서는 $V_3 = 0$(디리클레 부분)이거나 $\partial V_3/\partial n = 0$(노이만 부분)이다.
항등식 $\nabla\cdot(V_3\nabla V_3) = |\nabla V_3|^2 + V_3\nabla^2V_3$를 부피 적분하고 발산 정리를 쓰면, 경계 적분은 경계 조건 때문에, 부피 적분 둘째 항은 $\nabla^2V_3 = 0$ 때문에 사라진다.
음이 아닌 것의 적분이 0이므로 $\nabla V_3 = 0$이다. 디리클레 경계가 조금이라도 있으면 상수가 0이 되어 두 해는 같다. 물리적으로 $\int\varepsilon|\nabla V_3|^2dv$는 차이 장의 에너지의 두 배다.

유일성 정리의 증명. 핵심은 "차이 장의 에너지가 0"이라는 것이다.

유일성 정리 덕분에 경계값 문제는 어떤 방법으로든 경계 조건과 방정식을 동시에 만족하는 함수를 하나 찾으면 끝난다. 추측이든, 거울에 비친 가상의 전하든, 급수든, 컴퓨터의 반복이든 상관없다. 다음 절의 영상법은 이 정리가 없으면 정당화되지 않는다. 같은 논리로, 속이 빈 닫힌 도체 껍질 안에 전하가 없으면 안의 전위는 껍질 전위와 같은 상수다($V$ = 상수가 방정식과 경계 조건을 만족하고, 해는 하나뿐이므로). 이것이 정전 차폐다.

영상법

접지된 넓은 금속판 위 높이 $d$에 점전하 $q$가 있다. 판 표면에는 음전하가 유도되는데, 그 분포를 모르니 쿨롱 적분을 할 수 없다. 그러나 유일성 정리를 떠올리면 길이 있다. 판 위쪽 영역($z > 0$)의 경계 조건은 "판에서 $V = 0$, 무한히 먼 곳에서 $V \to 0$"뿐이다. 판을 치우고 거울 위치 $z = -d$에 $-q$를 놓으면 $z = 0$ 평면 위의 모든 점은 두 전하에서 같은 거리에 있으므로 $V = 0$이다. 위쪽 영역의 방정식과 경계 조건이 모두 같으니, 위쪽의 장은 두 전하의 장과 정확히 같다. 이렇게 경계를 가상의 전하로 바꾸는 방법이 영상법(method of images)이고, 그 가상의 전하가 영상 전하(image charge)다.

접지된 무한 도체판 위 높이 $d$에 $+q$가 있다. 판 표면에 유도된 음전하의 분포가 미지수다.
도체를 지우고 거울 위치에 $-q$를 놓는다. $z = 0$ 평면 위에서 두 전하의 전위가 정확히 상쇄되므로, 위쪽 영역의 경계 조건이 원래 문제와 같다.
두 전하가 만드는 장은 쌍극자 꼴이다. $z = 0$은 등전위면이므로 장선이 그 평면을 수직으로 지난다 — 도체 표면에서 장이 수직이라는 조건과 같다.
유일성 정리로 위쪽 영역의 답이 확정된다. 아래쪽(도체 속)은 $V = 0$이고 영상 전하는 실제로 존재하지 않는다. 장선이 판에 닿는 곳의 $\varepsilon_0E_z$가 유도 표면 전하다.

영상법의 논리. 영상 전하는 "찾는 영역 바깥"에만 놓아야 한다. 바깥에 놓아야 찾는 영역의 푸아송 방정식(전하 분포)이 바뀌지 않는다.

위쪽 영역($z \ge 0$)의 전위와, 판 표면($z = 0$)의 장에서 얻는 유도 표면 전하(induced surface charge) 밀도 $\rho_s = \varepsilon_0E_z = -\varepsilon_0\,\partial V/\partial z$는 다음과 같다($R = \sqrt{x^2+y^2}$).

$$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{\sqrt{R^2+(z-d)^2}} - \frac{1}{\sqrt{R^2+(z+d)^2}}\right],\qquad \rho_s(R) = -\frac{qd}{2\pi(R^2+d^2)^{3/2}}$$

$\rho_s$를 판 전체에서 적분하면 $\int_0^\infty\rho_s\,2\pi R\,dR = -q$로, $d$와 상관없이 영상 전하와 같다. 전하가 판에 끌리는 힘은 영상 전하와의 쿨롱 힘 $F = -q^2/(4\pi\varepsilon_0(2d)^2)\,\hat{\mathbf z}$이다.

점전하를 접지 평면에서 멀리 떼어 놓으면($d$가 커지면) 판에 유도되는 전체 전하의 크기는 어떻게 될까?

$+q$에서 나온 장선은 모두 판에서 끝나야 한다(무한 평면이 위쪽 공간 전체를 가린다). 그래서 $d$에 상관없이 $-q$다. 봉우리 높이 $\propto 1/d^2$와 폭 $\propto d$가 정확히 맞바뀐다. 구에서는 사정이 다르다 — 아래에서 직접 확인하라.

SIMULATOR

영상 전하 실험실: 유도 전하를 정확히 −0.5q로 만들어라

+q 흰 원을 끌어 옮긴다

도체

영상 전하 보이기 등전위선

장선등전위선(점선)

거리 d—

영상 전하—

영상 위치—

∮ρ_sda (수치)—

당기는 힘—

도전—

거리는 구 반지름 $a$(평면이면 기준 길이 $a$) 단위, 힘은 $q^2/4\pi\varepsilon_0a^2$ 단위다. 표면의 색 띠와 아래 그래프가 유도 표면 전하 밀도다. 해볼 것: ① 평면에서 전하를 위아래로 끌어 $\oint\rho_s da$가 늘 $-q$인지 확인하라. ② 접지 구로 바꾸면 유도 전하는 $-qa/d$다. 정확히 $-0.5q$가 되게 해 보라(도전). ③ 중성 구에서는 전체 유도 전하가 0인데도 전하가 끌린다 — 가까운 쪽 음전하가 먼 쪽 양전하보다 가깝기 때문이다.

영상 전하와의 상호 작용 에너지는 조심해야 한다. 전하를 무한대에서 $d$까지 가져오는 일은 $W = \int_\infty^d F\,dz = -q^2/(16\pi\varepsilon_0d)$로, 두 실제 전하 $\pm q$가 $2d$ 떨어져 있을 때의 에너지 $-q^2/(8\pi\varepsilon_0d)$의 절반이다. 영상 전하는 실제 전하를 따라 움직이므로 장은 위쪽 반공간에만 있고, 에너지도 절반만 있다.

금속 표면에서 1.0 nm 떨어진 진공 속 전자가 받는 영상력의 크기와, 그 위치의 영상 퍼텐셜 에너지(eV)는?

풀이 보기

전략 영상 $+e$가 $2d$ 거리에 있다. 힘은 쿨롱 힘, 에너지는 위에서 구한 절반 공식을 쓴다.

풀이 $F = e^2/(4\pi\varepsilon_0(2d)^2) = (8.988\times10^9)(1.602\times10^{-19})^2/(2.0\times10^{-9})^2 = 5.77\times10^{-11}$ N. $U = -e^2/(16\pi\varepsilon_0d) = -(1.602\times10^{-19})^2/(16\pi\times8.854\times10^{-12}\times10^{-9}) = -5.77\times10^{-20}$ J $= -0.360$ eV.

$F \approx 5.8\times10^{-11}\ \text{N}$(표면 쪽), $U \approx -0.36\ \text{eV}$

검토 1 nm에서 0.36 eV면 일함수(4–5 eV)의 몇 %다. 이 퍼텐셜이 외부 장과 더해지면 장벽 꼭대기가 낮아진다(쇼트키 효과).

금속–반도체 접합의 영상력 장벽 저하

쇼트키 접합에서 반도체 쪽 전자도 금속 표면에 영상 전하를 만들어 $-q^2/(16\pi\varepsilon_sx)$의 퍼텐셜을 느낀다. 공핍층의 장 $E$가 만드는 $-qEx$와 더하면 장벽 꼭대기가 $x_m = \sqrt{q/16\pi\varepsilon_sE}$로 들어오고 높이가 $\Delta\phi = \sqrt{qE/4\pi\varepsilon_s}$만큼 낮아진다. 역방향 전압을 올릴수록 $E$가 커져 누설 전류가 포화하지 않고 계속 느는 이유이고, 산화막의 풀–프렌켈 전도와 전계 방출도 같은 장벽 저하를 쓴다. → DeviceBook · 금속–반도체 접합(영상력 장벽 저하)

비유전율 11.7인 반도체 속 공핍층 장이 100이면 장벽 꼭대기는 금속에서 떨어진 곳에 생기고, 장벽은 낮아진다. 실온 열전자 방출 전류는 $e^{\Delta\phi/k_BT}$배, 곧 배 늘어난다.

접지된 도체 구와 선전하

반지름 $a$인 접지 구의 중심에서 $d\ (> a)$ 떨어진 곳에 $q$가 있다. 영상은 구 안에, 중심과 $q$를 잇는 직선 위에 놓여야 한다. 크기 $q'$, 중심에서 거리 $b$라 하고 구 위의 두 점($q$에 가장 가까운 점과 가장 먼 점)에서 $V = 0$을 요구하면

$$\frac{q}{d-a}+\frac{q'}{a-b} = 0,\quad \frac{q}{d+a}+\frac{q'}{a+b} = 0 \;\Rightarrow\; q' = -\frac{a}{d}q,\qquad b = \frac{a^2}{d}$$

이 두 값이면 구 위의 모든 점에서 $V = 0$임을 확인할 수 있다(구 위의 점에서 두 전하까지의 거리 비가 늘 $d/a$). 유도 전하는 $-qa/d$로 $-q$보다 작다. $q$에서 나온 장선 일부는 무한대로 빠져나간다. 접지하지 않은 중성 구는 중심에 $+qa/d$를 더하고, 전위 $V_0$인 구는 중심에 $4\pi\varepsilon_0aV_0$를 더한다.

반지름 1.0 cm인 접지 금속구의 중심에서 3.0 cm 떨어진 곳에 1.0 nC이 있다. 영상 전하의 크기·위치와 점전하가 받는 힘은?

풀이 보기

전략 $q' = -qa/d$, $b = a^2/d$, 힘은 $q$와 $q'$의 쿨롱 힘(거리 $d - b$).

풀이 $q' = -(1.0)(1.0/3.0) = -0.333$ nC, $b = 1.0^2/3.0 = 0.333$ cm. $F = kqq'/(d-b)^2 = (8.988\times10^9)(10^{-9})(-0.333\times10^{-9})/(0.02667)^2 = -4.21\times10^{-6}$ N.

$q' = -0.333\ \text{nC}$(중심에서 0.333 cm), $|F| \approx 4.2\ \mu\text{N}$(구 쪽)

검토 같은 $q$를 거리 2.0 cm(구 표면까지)인 접지 평면 앞에 두면 $kq^2/(4.0\ \text{cm})^2 = 5.6\ \mu$N. 구는 장선의 일부만 받아들이므로 힘이 더 작다. 중성 구라면 중심의 $+0.333$ nC이 밀어내 $0.88\ \mu$N로 줄어든다.

2차원 문제도 같다. 선전하 $\lambda$와 반지름 $a$인 접지 원통이 있으면, 원통 안 $b = a^2/d$에 $-\lambda$를 두면 원통 표면이 등전위가 된다. 거꾸로 생각하면, 접지 평면 위 높이 $h$에 반지름 $a$인 도선이 있을 때 도선 표면과 평면을 동시에 등전위로 만드는 선전하 쌍 $\pm\lambda$를 찾을 수 있고(평면에서 $\pm\sqrt{h^2-a^2}$), 여기서 단위 길이 정전 용량이 나온다.

$$C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\cosh^{-1}(h/a)} \;\approx\; \frac{2\pi\varepsilon}{\ln(2h/a)}\quad(h \gg a)$$

평행 두 도선(중심 거리 $D$)은 대칭면이 접지면 역할을 하므로 $C' = \pi\varepsilon/\cosh^{-1}(D/2a)$이다(EM.cap.wireOverPlane, EM.cap.twoWire). PCB 트레이스와 본딩 와이어의 첫 어림값이다.

모서리 각

MINI LAB두 접지 평면이 각 $\pi/n$으로 만나는 모서리 안의 점전하. 영상은 거울 두 장 사이처럼 $2n-1$개가 생긴다(부호가 번갈아 바뀐다). 흰 원을 끌어 모서리 깊숙이 넣으면 힘이 꼭짓점 쪽을 향한다. 각이 $\pi/n$이 아니면 영상들이 서로 겹치지 않아 영상법이 끝나지 않는다.

유전체 경계의 영상

유전율 $\varepsilon_1$ 쪽에 있는 $q$가 평면 경계 너머 $\varepsilon_2$ 반공간을 마주하면, $\varepsilon_1$ 쪽의 장은 거울 위치의 $q' = -\dfrac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{\varepsilon_2+\varepsilon_1}q$와 $q$가 만든 장이고, $\varepsilon_2$ 쪽의 장은 원래 자리에 놓인 $q'' = \dfrac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_2+\varepsilon_1}q$ 하나가 만든 장이다(3장의 경계 조건 두 개로 결정된다). $\varepsilon_2 \to \infty$이면 $q' = -q$로 도체의 영상이 된다. 산화막 속 전하가 실리콘($\varepsilon_r = 11.7$) 쪽으로 끌리는 것도 이 영상 때문이다.

변수 분리 ① 직각 좌표와 푸리에 급수

영상법은 경계가 평면·구·원통일 때만 통한다. 더 일반적인 방법은 변수 분리법(separation of variables)이다. 해를 각 좌표만의 함수의 곱으로 놓으면 편미분 방정식이 상미분 방정식 몇 개로 갈라진다. 경계 조건을 만족하는 곱 해(모드)들을 겹쳐 원하는 경계값을 만든다.

폭 $a$, 높이 $b$인 길쭉한 홈($z$ 방향으로 무한)을 생각하자. 양옆 벽과 바닥은 접지, 뚜껑은 $V_0$이다(뚜껑과 벽 사이에는 가는 절연 틈이 있다). $V(x, y) = X(x)Y(y)$로 놓고 $XY$로 나누면

$$\frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y} = 0 \;\Rightarrow\; \frac{X''}{X} = -k^2,\quad \frac{Y''}{Y} = +k^2$$

$x$만의 함수와 $y$만의 함수의 합이 늘 0이려면 둘 다 상수여야 한다. 그 상수 $k^2$를 분리 상수(separation constant)라 한다. 부호는 경계 조건이 정한다. $x = 0, a$에서 0이 되려면 $X$는 진동해야 하므로 $X = \sin kx$, 그러면 $Y$는 지수(쌍곡) 함수다.

경계 조건: 세 벽 $V = 0$, 뚜껑 $V = V_0$. 0이 되는 벽이 마주 보는 $x$ 방향을 진동 방향으로 고른다.
$X(0) = X(a) = 0$을 만족하는 해는 $\sin(n\pi x/a)$, $n = 1, 2, 3, \dots$뿐이다. 분리 상수가 $k_n = n\pi/a$로 띄엄띄엄 정해진다(고유 함수(eigenfunction)).
$Y'' = k_n^2Y$, $Y(0) = 0$이면 $Y = \sinh(n\pi y/a)$. 차수가 높은 모드일수록 뚜껑에서 멀어지며 빨리 줄어든다.
모드를 $c_n$으로 겹쳐 뚜껑 위에서 $\sum c_n\sin(n\pi x/a)\sinh(n\pi b/a) = V_0$이 되게 $c_n$을 고른다 — 푸리에 사인 급수다. 점선은 $b \approx a$일 때의 등전위선이다.

직사각형 홈의 변수 분리 네 단계. 경계 조건이 분리 상수를 정하고, 남은 경계 하나를 급수로 맞춘다.

남은 일은 계수다. $\sin(n\pi x/a)$들은 서로 직교한다: $\int_0^a\sin(n\pi x/a)\sin(m\pi x/a)\,dx = (a/2)\delta_{nm}$. 뚜껑 조건에 $\sin(m\pi x/a)$를 곱해 적분하면 $c_m$만 남는다. 상수 $V_0$의 사인 계수는 홀수 $n$에서 $4V_0/n\pi$, 짝수에서 0이므로

$$V(x,y) = \sum_{n=1,3,5,\dots}\frac{4V_0}{n\pi}\,\sin\frac{n\pi x}{a}\,\frac{\sinh(n\pi y/a)}{\sinh(n\pi b/a)}$$

이렇게 경계값을 직교 함수로 펼친 것이 푸리에 급수(Fourier series)다. 뚜껑 위($y = b$)에서는 급수가 상수 $V_0$를 사인으로 흉내 내야 하므로 느리게($1/n$) 수렴하지만, 안쪽에서는 $e^{-n\pi(b-y)/a}$가 붙어 몇 항이면 충분하다.

정사각형 홈($b = a$)의 뚜껑만 $V_0$이고 나머지 세 벽은 접지다. 한가운데의 전위는?

네 벽 가운데 하나씩 $V_0$으로 둔 네 문제를 겹치면 네 벽이 모두 $V_0$인 문제가 되고, 그 해는 어디서나 $V_0$이다(유일성). 대칭으로 네 문제의 중심값이 같으므로 각각 $V_0/4$다. 급수의 첫 항만으로 0.2537$V_0$, 둘째 항까지 0.2499$V_0$이다. 탐침을 중심에 놓고 확인하라.

SIMULATOR

홈 속 전위의 푸리에 급수: 몇 항이면 충분한가

흰 원(탐침)을 끈다

항의 개수 (홀수 n) 높이 비 b/a 오차 지도(부분합 − 정확한 값)

탐침 위치—

부분합 V/V₀—

수렴값 V/V₀—

뚜껑 위 최대 넘침—

오른쪽 그래프는 뚜껑 바로 위($y = b$)의 부분합(굵은 선)과 탐침 높이에서의 단면(가는 선)이다. 해볼 것: ① 탐침을 중심에 두고 항을 늘리면 $V_0/4$로 얼마나 빨리 가는지 보라. ② 뚜껑에서는 항을 아무리 늘려도 모서리 근처에 약 18%(점프 $2V_0$의 9%) 넘침이 남는다 — 깁스 현상. ③ $b/a$를 키워 홈을 깊게 하면 바닥 근처 전위는 $\sin(\pi x/a)e^{-\pi(b-y)/a}$ 한 항으로 거의 정확하다.

뚜껑 위에서 보이는 넘침이 깁스 현상(Gibbs phenomenon)이다. 불연속이 있는 함수를 유한 개의 매끈한 사인으로 맞추면 불연속 바로 옆에서 점프의 약 9%만큼 넘쳤다 돌아온다. 항을 늘리면 넘치는 폭은 좁아지지만 높이는 줄지 않는다. 다만 이것은 경계 위의 이야기다. 경계에서 조금만 들어가도 고차 항이 지수적으로 사라져 넘침이 없어진다.

항의 개수

MINI LAB뚜껑 경계값(홀수 확장하면 ±V₀ 사각파)의 사인 급수 부분합. 항을 늘려도 모서리 옆 봉우리는 1.179V₀ 근처에서 멈추고 폭만 좁아진다.

위 홈에서 $b = a$일 때 중심 $(a/2, a/2)$의 전위를 급수의 첫 항, 첫 두 항, 첫 세 항으로 구하고 정확한 값 $V_0/4$와 비교하라.

풀이 보기

전략 중심에서 $\sin(n\pi/2) = (-1)^{(n-1)/2}$, $\sinh(n\pi/2)/\sinh(n\pi)$를 계산해 더한다.

풀이 $n = 1$: $(4/\pi)\sinh(\pi/2)/\sinh\pi = 1.2732\times2.3013/11.549 = 0.25372$. $n = 3$: $-(4/3\pi)\sinh(3\pi/2)/\sinh3\pi = -0.42441\times55.654/6195.8 = -0.003812$. $n = 5$: $+0.0000989$. 부분합: 0.25372, 0.24990, 0.25000.

첫 항 $0.2537V_0$(오차 1.5%), 두 항 $0.2499V_0$(0.04%), 세 항 $0.25000V_0$

검토 $n$번째 항은 대략 $e^{-n\pi/2}/n$로 줄어 한 항마다 약 1/40씩 작아진다. 중심은 뚜껑에서 $a/2$만큼 떨어져 있어 급수가 빠르게 수렴한다.

고차 항의 지수 감쇠는 실용적인 결론을 준다. 경계에서 주기 $\lambda$로 흔들리는 전위 $V_0\cos(2\pi x/\lambda)$는 경계에서 거리 $y$만큼 떨어지면 $e^{-2\pi y/\lambda}$배로 작아진다. 촘촘한 무늬일수록 장이 빨리 사라진다. 게이트 아래 촘촘한 배선의 영향이 금방 가려지는 것, 바둑판 무늬 전극의 장이 표면 근처에만 머무는 것이 모두 이 때문이다.

주기 100로 흔들리는 경계 전위는 거리 50에서 로 줄어든다. 1%로 줄어드는 거리는 , 곧 주기의 배다.

3차원 상자도 같다. $V = X(x)Y(y)Z(z)$에서 두 방향이 사인 $\sin(n\pi x/a)\sin(m\pi y/b)$이면 세 번째는 $\sinh\big(\pi z\sqrt{(n/a)^2+(m/b)^2}\big)$이고 이중 푸리에 급수로 계수를 정한다.

변수 분리 ② 원통·구 좌표와 르장드르 급수

경계가 원통이나 구면이면 그 좌표계에서 분리한다. $z$에 무관한 원통 좌표 문제에서 $V = R(\rho)\Phi(\phi)$로 놓으면 $\Phi'' = -n^2\Phi$이고, $\phi$가 한 바퀴 돌아 같은 값이 되려면 $n$이 정수여야 한다. 지름 방향은 $\rho^{\pm n}$(또는 $n = 0$이면 $\ln\rho$)이다.

$$V(\rho,\phi) = A_0 + B_0\ln\rho + \sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\rho^n + B_n\rho^{-n}\right)\left(C_n\cos n\phi + D_n\sin n\phi\right)$$

원점을 품는 영역에서는 $\rho^{-n}$과 $\ln\rho$를 버리고, 무한히 먼 곳까지 가는 영역에서는 $\rho^{n}$을 경계 조건에 맞게 남긴다. $z$ 의존이 있으면 지름 방향이 베셀 함수가 된다(14장).

예를 들어 균일한 장 $\mathbf E_0 = E_0\hat{\mathbf x}$ 속에 반지름 $a$인 접지 도체 원통을 축이 장에 수직이 되게 놓자. 먼 곳에서 $V \to -E_0\rho\cos\phi$이므로 $n = 1$ 항만 필요하고, $\rho = a$에서 $V = 0$을 요구하면 $V = -E_0(\rho - a^2/\rho)\cos\phi$이다. 표면 장은 $E_\rho = 2E_0\cos\phi$로, 장의 정면에서 바깥 장의 두 배다.

구 좌표와 르장드르 다항식

$\phi$에 무관한(축 대칭) 구 좌표 문제에서 $V = R(r)\Theta(\theta)$로 놓으면 지름 방향은 $r^l$과 $r^{-(l+1)}$, 각 방향은 다음 방정식을 만족한다.

$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + l(l+1)\Theta = 0 \quad\xrightarrow{\ x = \cos\theta\ }\quad (1-x^2)\Theta'' - 2x\Theta' + l(l+1)\Theta = 0$$

이것이 르장드르 방정식(Legendre equation)이다. $x = \pm1$(두 극)에서 유한한 해는 $l$이 0 이상의 정수일 때만 있고, 그 해가 르장드르 다항식(Legendre polynomial) $P_l(x) = \dfrac{1}{2^l l!}\dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$(로드리게스 공식)이다.

l	$P_l(\cos\theta)$	전위 $r^lP_l$ 또는 $r^{-(l+1)}P_l$의 뜻
0	$1$	상수 / 점전하 $1/r$
1	$\cos\theta$	균일한 장 $r\cos\theta = z$ / 쌍극자 $\cos\theta/r^2$
2	$\tfrac12(3\cos^2\theta - 1)$	사중극
3	$\tfrac12(5\cos^3\theta - 3\cos\theta)$	팔중극
4	$\tfrac18(35\cos^4\theta - 30\cos^2\theta + 3)$	16중극

르장드르 다항식도 직교한다: $\int_{-1}^{1}P_l(x)P_m(x)\,dx = \dfrac{2}{2l+1}\delta_{lm}$. 따라서 반지름 $a$인 구 표면의 전위 $V_0(\theta)$가 주어지면 안팎의 전위를 르장드르 급수(Legendre series)로 쓸 수 있다. 2장의 다중극 전개가 바깥 해의 각 항이다.

$$V(r,\theta) = \begin{cases}\displaystyle\sum_l A_l\left(\frac{r}{a}\right)^{l}P_l(\cos\theta) & r \le a\\[2ex] \displaystyle\sum_l A_l\left(\frac{a}{r}\right)^{l+1}P_l(\cos\theta) & r \ge a\end{cases},\qquad A_l = \frac{2l+1}{2}\int_0^\pi V_0(\theta)P_l(\cos\theta)\sin\theta\,d\theta$$

차수 l

MINI LAB왼쪽은 $P_l(x)$의 그래프, 오른쪽은 구 표면에서 $P_l(\cos\theta)$의 부호(빨강 +, 파랑 −)다. $l$개의 마디선(위도선)이 생긴다. $l$이 클수록 구 위의 무늬가 잘고, 바깥에서 $r^{-(l+1)}$로 빨리 사라진다.

SIMULATOR

구 표면 전위의 르장드르 급수

구 위 흰 원으로 경계 각 θ_c를 끈다

표면 전위 V₀(θ)

최고 차수 l_max

경계 각 θ_c—

A₀ · A₁ · A₂ · A₃—

중심 전위—

먼 곳의 모습—

왼쪽은 $r \le 2a$ 단면의 전위(빨강 +, 파랑 −, 점선은 구 표면), 오른쪽은 표면 위 $V(a, \theta)$의 목표(회색)와 부분합(굵은 선), 아래 막대는 계수 $A_l$이다. 해볼 것: ① "모자(나머지 −V₀)"에서 $\theta_c = 90°$(두 반구 ±V₀)이면 짝수 계수가 모두 0이고 $A_1 = 1.5V_0$, $A_3 = -0.875V_0$이다. ② 중심 전위는 언제나 $A_0$, 곧 표면 평균이다(평균값 정리). ③ $V_0\cos^2\theta$는 $l = 0, 2$ 두 항으로 정확히 끝난다.

균일한 장 속의 도체 구와 유전체 구

균일한 장 $E_0\hat{\mathbf z}$ 속에 반지름 $a$인 도체 구를 놓자. 먼 곳에서 $V \to -E_0r\cos\theta$($l = 1$)이므로 바깥 해는 $l = 1$ 두 항 $V = -E_0r\cos\theta + B_1\cos\theta/r^2$로 충분하다. 구가 접지되어 $r = a$에서 $V = 0$이면 $B_1 = E_0a^3$이다.

$$V = -E_0\left(r - \frac{a^3}{r^2}\right)\cos\theta,\qquad \rho_s = \varepsilon_0E_r\big|_{r=a} = 3\varepsilon_0E_0\cos\theta,\qquad E_{max} = 3E_0$$

덧붙은 항 $E_0a^3\cos\theta/r^2$은 쌍극자 $p = 4\pi\varepsilon_0a^3E_0$의 전위다. 구가 바깥 장을 받아 쌍극자가 된다. 유전체 구($\varepsilon_r$)는 안에서 $A_1r\cos\theta$, 밖에서 위 꼴로 놓고 $r = a$에서 $V$ 연속과 $D_r$ 연속을 맞추면 안쪽 장이 균일한 $\mathbf E_{in} = \dfrac{3}{\varepsilon_r+2}\mathbf E_0$이 된다. 원통이면 $\dfrac{2}{\varepsilon_r+1}\mathbf E_0$이다.

균일한 장 속의 도체 구. 장이 들어오는 쪽에 음전하, 나가는 쪽에 양전하가 $\cos\theta$ 꼴로 유도되고, 두 극에서 장이 바깥 장의 3배가 된다.

균일한 장 속에 둔 도체 구의 표면에서 가장 센 장은 바깥 장 $E_0$의 몇 배일까? 구를 크게 하면 이 배율은?

$E_r(a, 0) = E_0(1 + 2a^3/a^3) = 3E_0$. 배율은 모양만의 문제라 크기가 빠진다(원통은 2배). 뾰족한 끝(곡률 반지름이 작은 돌기 위 작은 반구)에서 장이 훨씬 커지는 것은 모양이 달라서다. 아래에서 도체와 유전체를 바꿔 보라.

SIMULATOR

균일한 장 속의 구와 원통

구 가장자리 흰 원으로 반지름을 끈다

물체

재질

비유전율 ε_r

극의 표면 장—

내부 장—

유도 쌍극자—

장선(빨강)은 왼쪽에서 일정한 간격으로 출발하고, 등전위선은 점선, 표면의 색 띠는 유도(또는 속박) 표면 전하다. 해볼 것: ① 도체 구와 도체 원통의 극 표면 장 3배와 2배를 비교하라. ② 유전체로 바꾸고 $\varepsilon_r$을 1에서 40까지 올리면 내부 장이 줄고 바깥 모습이 도체를 닮아 간다. ③ SiO₂(3.9) 속 Si 입자(11.7)를 생각해 $\varepsilon_r$을 11.7/3.9 = 3.0으로 두면 입자 안 장이 0.6배다.

두께 수십 nm의 SiO₂($\varepsilon_r = 3.9$) 절연막에 5.0 MV/cm의 장이 걸려 있다. 막 속에 아주 작은 구형 금속 입자(공정 잔류물)가 박혀 있으면 입자 표면의 최대 장과 최대 표면 전하 밀도는? SiO₂의 절연 파괴 장은 약 10 MV/cm다.

풀이 보기

전략 입자가 막 두께보다 훨씬 작으면 주변 장을 균일하다고 볼 수 있다. 유전체 속 도체 구도 같은 풀이에서 $\varepsilon_0 \to \varepsilon$만 바뀐다: $E_{max} = 3E_0$, $\rho_s = 3\varepsilon E_0\cos\theta$.

풀이 $E_{max} = 3\times5.0 = 15$ MV/cm. $\rho_{s,max} = 3(3.9)(8.854\times10^{-12})(5.0\times10^8) = 5.18\times10^{-2}\ \text{C/m}^2$.

$E_{max} = 15\ \text{MV/cm}$(파괴 장의 1.5배), $\rho_{s,max} \approx 0.052\ \text{C/m}^2$

검토 크기와 무관하게 3배이므로 아무리 작은 입자도 국부적으로 파괴 장을 넘길 수 있다. 실제 결함 입자는 뾰족해서 배율이 더 크다. 금속 잔류물과 돌기가 절연막 초기 불량(TDDB 조기 고장)의 주범인 이유다.

유전체 구와 국소장

유전체 구 안의 장 $3E_0/(\varepsilon_r+2)$를 뒤집어 보면, 유전체 속에 구멍을 판 공동의 장은 $E + P/3\varepsilon_0$이 된다. 이것이 로런츠 국소장이고, 여기서 클라우지우스–모소티 식이 나온다(고체물리 · 유전체와 광학적 성질). 다공성 low-k 막의 유효 유전율을 셈하는 혼합식도 같은 경계값 문제의 결과다.

유한 차분과 이완법

트랜지스터 단면이나 배선 묶음처럼 경계가 복잡하면 해석해가 없다. 그때는 공간을 격자로 나누고 격자점의 전위만 미지수로 삼는다. 미분을 이웃 점의 차이로 바꾸는 것이 유한 차분법(finite difference method, FDM)이다.

간격 $h$인 정사각 격자에서 점 $(i, j)$과 네 이웃을 본다.
$x$ 방향으로 앞뒤 이웃을 테일러 전개해 더하면 1차·3차 항이 지워지고 2계 미분의 중앙 차분이 남는다. 잘림 오차는 $O(h^2)$이다. $y$도 같다.
두 방향을 더해 푸아송 방정식에 넣으면 5점 공식이 된다. 전하가 없는 곳에서는 각 점의 전위가 네 이웃의 평균이다 — 1절 평균값 정리의 격자판이다.

5점 유한 차분 공식. 연속 방정식이 격자점마다 하나씩, 미지수와 같은 개수의 선형 방정식이 된다.

$$V_{i,j} = \frac14\left(V_{i+1,j}+V_{i-1,j}+V_{i,j+1}+V_{i,j-1}\right) + \frac{\rho_{i,j}h^2}{4\varepsilon}$$

유전율이 점마다 다르면 각 이웃의 무게를 두 점 유전율의 조화 평균 $2\varepsilon_a\varepsilon_b/(\varepsilon_a+\varepsilon_b)$으로 바꾼 가중 평균이 된다(계면에서 $D_n$ 연속을 자동으로 만족). 노이만 경계 $\partial V/\partial n = 0$은 경계 밖에 거울상 점 $V_{-1} = V_{1}$을 두어 처리한다. 이 책의 EM.grid가 이렇게 한다.

$N\times N$ 격자면 미지수가 $N^2$개인 연립 방정식이다. 행렬은 거의 0이고(한 줄에 0 아닌 수가 5개) 매우 크다. 가우스 소거 대신, 5점 공식을 "갱신 규칙"으로 쓰는 반복법이 자연스럽다. 아무 값에서 시작해 각 점을 이웃 평균으로 바꾸기를 되풀이하면 해로 다가간다. 이것을 이완법(relaxation method)이라 한다.

야코비

모든 점을 이전 단계 값으로 한꺼번에 갱신한다. $V^{(k+1)}_{i,j} = \tfrac14\sum V^{(k)}_{\text{이웃}}$. 병렬화가 쉽지만 가장 느리다.

가우스–자이델

점을 차례로 갱신하면서 방금 갱신한 값을 바로 쓴다. 메모리가 반이고 야코비보다 약 두 배 빠르다.

SOR

가우스–자이델이 제안한 변화량을 $\omega$배 더 밀어 준다. $V \leftarrow V + \omega(V_{GS} - V)$, $1 < \omega < 2$. 최적 $\omega$에서 반복 수가 $N^2$ 대신 $N$에 비례한다.

야코비 반복(Jacobi iteration), 가우스–자이델 반복(Gauss–Seidel iteration), 연속 과이완(successive over-relaxation, SOR)의 속도는 오차가 한 번 반복에 줄어드는 비율(스펙트럼 반지름 $\varrho$)로 정해진다. 한 변이 $M$칸인 정사각형 디리클레 문제에서

$$\varrho_J = \cos\frac{\pi}{M} \approx 1 - \frac{\pi^2}{2M^2},\qquad \varrho_{GS} = \varrho_J^2,\qquad \omega_{opt} = \frac{2}{1+\sin(\pi/M)},\quad \varrho_{SOR} = \omega_{opt} - 1 \approx 1 - \frac{2\pi}{M}$$

오차를 $10^{-p}$로 줄이는 반복 수는 $k = p\ln10/(-\ln\varrho)$. 야코비는 $k \approx 0.47pM^2$, SOR은 $k \approx 0.37pM$이다. 오차가 가장 느리게 줄어드는 것은 격자 전체에 걸친 매끈한(파장이 긴) 모드다. 이웃 평균은 짧은 파장의 들쭉날쭉함은 금방 지우지만, 긴 파장은 한 번에 한 칸씩밖에 정보가 퍼지지 않는다.

정사각형 영역을 3×3칸으로 나누면 안쪽 격자점은 네 개다. 위 변은 100 V, 나머지 세 변은 0 V다. 대칭으로 위쪽 두 점은 $a$, 아래쪽 두 점은 $b$로 같다. 정확한 해를 구하고, 0 V에서 시작한 야코비 반복 세 번의 값을 구하라.

풀이 보기

전략 각 점에 5점 공식을 쓴다. 위쪽 점의 이웃은 100(위), $a$(옆), $b$(아래), 0(벽), 아래쪽 점의 이웃은 $a$, $b$, 0, 0이다.

풀이 $a = (100 + a + b)/4$, $b = (a + b)/4$. 둘째 식에서 $a = 3b$, 첫째에 넣으면 $12b = 100 + 4b$, $b = 12.5$, $a = 37.5$. 야코비: $(a, b) = (0, 0) \to (25, 0) \to (31.25, 6.25) \to (34.375, 9.375)$.

정확한 해 $a = 37.5$ V, $b = 12.5$ V. 야코비 3회 후 (34.4, 9.4) V

검토 $a$의 오차가 12.5 → 6.25 → 3.125로 매번 절반이 된다(이 작은 격자에서 $\varrho_J = \cos(\pi/3) = 0.5$). 네 점의 평균 25 V는 $V_0/4$로, 앞 절의 연속 문제 중심값과 같다.

SIMULATOR

이완법 경주: 최적의 ω를 찾아라

오차는 로그 눈금

격자 한 변 M (칸)

SOR 이완 계수 ω

반복 횟수—

10⁻⁴ 도달: 야코비—

가우스–자이델—

SOR (ω)—

이론 ω_opt—

도전—

앞 예제와 같은 문제(위 변 1 V, 나머지 0 V)를 세 방법으로 동시에 푼다. 왼쪽 세 칸은 지금의 전위, 오른쪽은 정확한 격자 해와의 최대 오차다. 해볼 것: ① 야코비와 가우스–자이델의 기울기가 정확히 2배 차이 나는지 보라. ② ω를 바꿔 가며 SOR이 10⁻⁴에 가장 빨리 닿는 값을 찾아라(도전: 이론 최소 반복 수의 110% 이내). ③ M을 두 배로 늘리면 야코비 반복 수는 4배, 최적 SOR은 2배로 는다.

한 변 100인 격자에서 오차를 $10^{-p}$, $p$ = 6으로 줄이려면 야코비 번, 가우스–자이델 번, 최적 SOR(ω = ) 번을 반복해야 한다. SOR이 배 빠르다.

실제 구현에서는 격자를 바둑판처럼 두 색으로 칠해 빨간 점을 모두 갱신한 뒤 검은 점을 갱신한다(red-black 순서). 빨간 점의 이웃은 모두 검은 점이라 한 색 안에서는 순서가 상관없으므로 병렬로 돌릴 수 있고, 수렴 성질은 가우스–자이델·SOR과 같다. 더 큰 문제에서는 거친 격자에서 긴 파장 오차를 먼저 지우는 다중 격자법, 켤레 기울기법(CG), 희소 직접법을 쓴다. 이것들과 유한 요소법은 16장에서 다룬다.

TCAD의 선형 풀이와 격자

2D·3D 소자 시뮬레이션은 수만–수백만 격자점의 푸아송·연속 방정식을 뉴턴 반복으로 풀고, 뉴턴 한 걸음마다 이 절과 같은 거대한 희소 선형 방정식을 푼다. 2D에서는 띠 LU 같은 직접법이, 3D에서는 전처리한 반복법(ILU-CG/BiCGSTAB)이 주로 쓰인다. 이완법의 교훈 — 긴 파장 오차가 느리게 죽고, 격자가 촘촘할수록 반복이 늘어난다 — 은 그대로 남는다. 접합과 계면 근처만 촘촘하게, 나머지는 성기게 격자를 까는 이유이기도 하다. 계면에서 유전율의 조화 평균을 쓰는 것은 TCAD의 박스(유한 체적) 적분과 같은 생각이다. → TCADBook · 비선형 해법: 뉴턴과 거멜 · TCADBook · 격자와 이산화

배선의 기생 정전 용량 추출

칩 위의 배선은 원하지 않는 축전기다. 금속선 하나는 아래의 기판·하층 배선(접지)과도, 같은 층의 이웃 선과도, 위층 배선과도 전하를 주고받는다. 이것이 기생 정전 용량(parasitic capacitance)이다. 여러 도체의 전하와 전위는 선형 관계로 묶인다.

$$Q_i = \sum_j C_{ij}V_j,\qquad C_{ii} > 0,\quad C_{ij} = C_{ji} \le 0\ (i \ne j)$$

$C_{ij}$를 정전 용량 행렬(capacitance matrix)이라 한다. 도체 $i$에만 1 V를 걸고 나머지를 모두 접지한 경계값 문제를 한 번 풀면, 각 도체에 유도된 전하가 $i$번째 열이다. 회로 모형에서는 도체 사이 결합 용량(coupling capacitance) $C_c = -C_{ij}$와, 접지로 가는 접지 용량(ground capacitance) $C_g = \sum_jC_{ij}$로 바꿔 쓴다.

같은 층의 세 배선. 가운데 피해선(victim)의 전체 용량은 아래로 가는 접지 용량 $C_g$과 양옆 이웃으로 가는 결합 용량 $2C_c$의 합이다. 평행판 몫 $\varepsilon w/h$ 말고도 모서리·윗면에서 휘어 나가는 프린지 장이 큰 몫을 차지한다.

평행판 공식 $\varepsilon w/h$는 배선이 넓고 얇을 때만 맞는다. 미세 배선은 폭이 높이($h$)보다 작고 두께가 폭보다 커서(종횡비 2 안팎), 옆면과 윗면에서 나가는 프린지 용량(fringing capacitance)이 평행판 몫보다 크다. 설계용 어림식으로 사쿠라이–다마루 근사(1983)가 널리 쓰인다.

$$\frac{C_g}{\varepsilon} = 1.15\frac{w}{h} + 2.80\left(\frac{t}{h}\right)^{0.222},\qquad \frac{C_c}{\varepsilon} = \left[0.03\frac{w}{h} + 0.83\frac{t}{h} - 0.07\left(\frac{t}{h}\right)^{0.222}\right]\left(\frac{s}{h}\right)^{-1.34}$$

단위 길이당 값(F/m). 첫 식은 이웃이 없는 선 하나의 접지 용량이고, 세 선이 나란할 때 전체 $C_g + 2C_c$를 약 10% 안에서 맞춘다(EM.cap.wire). 이웃이 있으면 실제 접지 몫은 가려져 첫 식보다 작고, 그만큼을 결합 몫이 가져간다. 아래 시뮬레이터에서 직접 확인하라. 1 pF/m = 1 aF/µm.

두께 비 t/h

MINI LAB선 하나의 접지 용량(사쿠라이 첫 식, 굵은 선)과 평행판 몫(점선)을 $w/h$에 따라 비교한다. 흰 원을 끌어 폭을 바꾸면 프린지 몫이 읽힌다. $w/h < 1$인 미세 배선에서는 용량의 대부분이 프린지다.

세 배선의 폭·두께·높이는 그대로 두고 간격 $s$만 절반으로 줄이면 피해선의 전체 용량에서 가장 크게 바뀌는 것은?

간격이 좁아지면 피해선의 장선이 아래 접지 대신 이웃으로 더 많이 끝난다. 사쿠라이 식은 $C_c \propto s^{-1.34}$(절반 간격에서 2.5배)로 어림하고, 격자 풀이로는 $s$ = 80 → 40 nm에서 약 1.8배다. 이웃이 장을 가로채므로 접지 몫은 34 → 25 aF/µm로 줄어든다. 시뮬레이터에서 간격 손잡이를 끌어 확인하라.

SIMULATOR

배선 단면 용량 추출기: 결합 비율을 50%로 맞춰라

흰 원: 폭 w · 간격 s · 두께 t

폭 w 간격 s 두께 t 아래 절연막 높이 h 비유전율 ε_r 위층 접지면(높이 h)

격자 C_total—

격자 C_g · C_c—

사쿠라이 C_g + 2C_c—

결합 비율 2C_c/C_total—

풀이 상태—

도전—

5 nm 격자에서 피해선에 1 V, 이웃과 바닥에 0 V를 걸고 SOR로 라플라스 방정식을 푼 뒤(EM.grid), 각 도체로 들어가는 선속에서 전하를 구한다. 옆과 위 경계는 노이만(장이 새지 않음)이다. 색은 전위, 점선은 0.1 V 간격 등전위선이다. 해볼 것: ① 간격을 20 nm까지 줄여 결합 비율이 어디까지 오르는지 보라. ② 위층 접지면을 켜면 전체 용량이 늘고 결합 비율은 준다. ③ 도전: 결합 비율을 50 ± 2%로 맞춰라(여러 답이 있다).

결합 용량이 문제인 이유는 두 가지다. 첫째, 이웃이 반대 방향으로 동시에 스위칭하면 피해선이 느끼는 전압 변화가 두 배가 되어 결합 용량이 실효적으로 $2C_c$로 보인다(밀러 효과). 같은 방향이면 0이다. 그래서 같은 배선의 지연이 이웃의 동작에 따라 $C_g$에서 $C_g + 4C_c$까지 흔들린다. 둘째, 조용한 피해선에 이웃의 스위칭이 $C_c/(C_g + C_c)$ 비율로 끼어든다. 이것이 누화이고 13장에서 자세히 다룬다.

비유전율 2.7인 low-k 막 속에 폭 $w = 40$ nm, 두께 $t = 80$ nm인 구리선이 간격 $s = 40$ nm로 나란하고, 아래 접지까지 높이는 $h = 80$ nm다. 사쿠라이 근사로 단위 길이 $C_g$, $C_c$, 전체 용량을 구하고 평행판 어림과 비교하라.

풀이 보기

전략 $w/h = 0.5$, $t/h = 1$, $s/h = 0.5$를 근사식에 넣는다. $\varepsilon = 2.7\varepsilon_0 = 2.391\times10^{-11}$ F/m.

풀이 $C_g = \varepsilon(1.15\times0.5 + 2.80\times1) = 3.375\varepsilon = 80.7$ pF/m. $C_c = \varepsilon(0.015 + 0.83 - 0.07)(0.5)^{-1.34} = 0.775\times2.532\,\varepsilon = 1.962\varepsilon = 46.9$ pF/m. 전체 $C_g + 2C_c = 174.5$ pF/m. 평행판 $\varepsilon w/h = 12.0$ pF/m.

$C_g \approx 81\ \text{aF/µm}$, $C_c \approx 47\ \text{aF/µm}$, $C_{total} \approx 175\ \text{aF/µm}$ (평행판의 약 15배)

검토 결합 몫 $2C_c/C_{total} = 54\%$. 1 mm 배선이면 약 0.17 pF이다. 격자 풀이로 같은 단면을 풀면 전체는 비슷하지만(약 165 aF/µm, 계산 영역의 크기에 따라 조금 다르다), 접지 몫은 훨씬 작고 결합 몫이 80%를 넘는다 — 근사식의 나눔은 회로용 약속일 뿐이다.

RC 추출(PEX)과 필드 솔버

레이아웃이 끝나면 추출 도구가 수십억 개의 배선 조각에서 $R$과 $C$를 뽑아 지연·누화·전력 분석에 넘긴다. 모든 조각마다 이 절의 경계값 문제를 풀 수는 없으므로, 공정의 층 두께·유전율·선폭 편차로 대표 단면 수천 개를 2D·3D 필드 솔버(유한 차분·경계 요소·무작위 보행)로 미리 풀어 표를 만들고, 실제 레이아웃은 패턴을 맞춰 표에서 읽는다. 간격이 좁아질수록 결합 몫이 커져 이웃 스위칭에 따른 지연 변동과 누화가 설계를 지배하고, 이를 줄이려 low-k·에어갭 절연막과 넓은 간격·차폐선을 쓴다. → DigitalBook · 배선: 칩 안의 도로 · ProcessBook · 금속 배선(RC 지연과 저유전막)

핵심 정리

$\nabla\cdot(\varepsilon\nabla V) = -\rho_v$(푸아송), 전하가 없으면 $\nabla^2V = 0$(라플라스). 조화 함수는 구(원) 위 평균이 중심값과 같아 영역 안에 극대·극소가 없다(언쇼 정리). 1차원 공핍층: $\psi_s = qN_AW^2/2\varepsilon_s$.
유일성 정리: 영역의 전하와 경계의 $V$(디리클레) 또는 $\partial V/\partial n$(노이만)이 정해지면 해는 하나다. 그래서 어떤 방법으로든 조건을 모두 만족하는 함수를 찾으면 그것이 답이다.
영상법: 찾는 영역 바깥에 가상의 전하를 두어 경계를 대신한다. 접지 평면 $-q$(거울 위치, 유도 전하 $-q$, 에너지는 쌍의 절반), 접지 구 $q' = -qa/d$, $b = a^2/d$. 접지면 위 도선 $C' = 2\pi\varepsilon/\cosh^{-1}(h/a)$. 영상력은 쇼트키 장벽을 $\sqrt{qE/4\pi\varepsilon_s}$만큼 낮춘다.
직각 좌표 변수 분리: 분리 상수를 경계 조건이 정하고(사인 고유 함수), 남은 경계를 직교성으로 푸리에 급수로 맞춘다. 홈 해 $\sum(4V_0/n\pi)\sin(n\pi x/a)\sinh(n\pi y/a)/\sinh(n\pi b/a)$. 주기 $\lambda$의 무늬는 $e^{-2\pi y/\lambda}$로 사라지고, 불연속 경계에는 깁스 넘침(점프의 9%)이 남는다.
원통: $\rho^{\pm n}\cos n\phi$, $\ln\rho$. 구(축 대칭): $r^l, r^{-(l+1)}$과 르장드르 다항식 $P_l(\cos\theta)$, 계수 $A_l = \frac{2l+1}{2}\int V_0P_l\sin\theta\,d\theta$. 균일한 장 속 도체 구의 표면 장은 $3E_0$(원통 $2E_0$), 유전체 구 안은 $3E_0/(\varepsilon_r+2)$(원통 $2E_0/(\varepsilon_r+1)$).
5점 차분: $V_{i,j}$ = 네 이웃 평균 + $\rho h^2/4\varepsilon$, 오차 $O(h^2)$. 야코비 $\varrho = \cos(\pi/M)$, 가우스–자이델 $\varrho^2$, SOR $\omega_{opt} = 2/(1+\sin(\pi/M))$. 반복 수는 야코비 $\propto M^2$, 최적 SOR $\propto M$.
정전 용량 행렬 $Q_i = \sum C_{ij}V_j$: 한 도체에 1 V, 나머지 접지로 한 번 풀면 한 열. 배선은 $C_{total} = C_g + 2C_c$, 미세 배선에서는 프린지와 결합 몫이 지배한다(사쿠라이 근사, $C_c \propto s^{-1.34}$).

연습문제

$\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ F/m, $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.988\times10^9$ m/F, $e = 1.602\times10^{-19}$ C, Si의 $\varepsilon_r = 11.7$. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

1.0 mm 떨어진 두 접지 평행판 사이의 공기에 균일한 공간 전하 $\rho_v = 1.0\times10^{-5}\ \text{C/m}^3$이 있다. 두 판 사이 전위의 최댓값은?

$V'' = -\rho_v/\varepsilon_0$, $V(0) = V(d) = 0$이면 $V = \rho_vx(d-x)/2\varepsilon_0$.

최댓값은 가운데: $V_{max} = \rho_vd^2/8\varepsilon_0 = (10^{-5})(10^{-6})/(8\times8.854\times10^{-12}) = 0.141$ V.

다음 가운데 전하가 없는 영역의 정전 퍼텐셜이 될 수 없는 것은? ($\rho$는 원통 좌표, $r$은 구 좌표의 지름 거리)

$\nabla^2(x^2+y^2) = 4 \ne 0$이므로 균일한 전하 $\rho_v = -4\varepsilon$가 있어야 한다. 나머지는 각각 사중극 꼴 2차원 해, 선전하 해, 쌍극자 해로 라플라스 방정식을 만족한다. $x^2+y^2$는 원점에서 극소라 평균값 성질에도 어긋난다.

1.0 nC 점전하가 접지된 무한 도체판 위 5.0 cm에 있다. 전하가 받는 힘의 크기와, 전하 바로 아래 판 표면의 유도 전하 밀도는?

영상 $-q$까지 거리 10 cm: $F = (8.988\times10^9)(10^{-9})^2/(0.10)^2 = 8.99\times10^{-7}$ N. $\rho_s(0) = -q/(2\pi d^2) = -10^{-9}/(2\pi\times0.0025) = -6.37\times10^{-8}\ \text{C/m}^2$.

Si 쇼트키 접합의 금속 계면 근처 공핍층 장이 $1.0\times10^5$ V/cm다. 영상력에 의한 장벽 저하 $\Delta\phi$와 장벽 꼭대기 위치 $x_m$은?

$U(x) = -q^2/(16\pi\varepsilon_sx) - qEx$의 최댓값을 찾는다.

$dU/dx = 0$: $x_m = \sqrt{q/16\pi\varepsilon_sE} = \sqrt{1.602\times10^{-19}/(16\pi\times1.036\times10^{-10}\times10^7)} = 1.75$ nm. $\Delta\phi = 2Ex_m = \sqrt{qE/4\pi\varepsilon_s} = 3.51\times10^{-2}$ V, 곧 35.1 meV.

반지름 5.0 cm인 접지 도체구의 중심에서 15 cm 떨어진 곳에 3.0 nC이 있다. 영상 전하와 그 위치(중심에서의 거리)는?

$q' = -qa/d = -3.0\times5/15 = -1.00$ nC, $b = a^2/d = 25/15 = 1.67$ cm. 구에 유도되는 전체 전하도 $-1.00$ nC이다.

반지름 0.50 mm인 도선이 접지면 위 5.0 mm 높이(중심)에 공기 중으로 놓여 있다. 단위 길이 정전 용량은?

$C' = 2\pi\varepsilon_0/\cosh^{-1}(h/a) = 5.563\times10^{-11}/\cosh^{-1}10 = 5.563\times10^{-11}/2.993 = 1.86\times10^{-11}$ F/m = 18.6 pF/m. 근사식 $\ln(2h/a) = \ln20 = 2.996$도 거의 같다.

정사각형 홈($b = a$)의 뚜껑이 10 V, 나머지 세 벽이 접지다. 급수의 첫 항만으로 중심의 전위를 어림하라.

$V \approx (4V_0/\pi)\sin(\pi/2)\sinh(\pi/2)/\sinh\pi = 12.732\times2.3013/11.549 = 2.54$ V. 정확한 값 2.50 V와 1.5% 차이다.

주기 100 nm로 배열된 전극이 표면에 $V_0\cos(2\pi x/\lambda)$ 꼴의 전위를 만든다. 전하가 없는 위쪽 공간에서 이 무늬의 진폭이 1%로 줄어드는 높이는?

$V = V_0\cos(2\pi x/\lambda)e^{-2\pi y/\lambda}$(라플라스 방정식의 분리 해). $e^{-2\pi y/\lambda} = 0.01$ → $y = \lambda\ln100/2\pi = 100\times4.605/6.283 = 73.3$ nm.

반지름 10 µm인 접지 도체 구가 2.0 kV/mm의 균일한 장 속에 있다. 표면의 최대 장(MV/m)과, 양전하가 유도된 반구 전체의 전하는?

$Q = \int_0^{\pi/2}3\varepsilon_0E_0\cos\theta\cdot2\pi a^2\sin\theta\,d\theta$.

$E_{max} = 3E_0 = 6.00$ MV/m. $Q = 3\pi\varepsilon_0E_0a^2 = 3\pi(8.854\times10^{-12})(2\times10^6)(10^{-10}) = 1.67\times10^{-14}$ C.

진공 속 1.0 MV/m의 균일한 장 안에 실리콘($\varepsilon_r = 11.7$) 구슬이 있다. 구슬 속의 장은?

$E_{in} = 3E_0/(\varepsilon_r + 2) = 3/13.7 = 0.219$ MV/m. 분극 $P = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)E_{in} = 2.07\times10^{-5}\ \text{C/m}^2$이 만든 감극장이 바깥 장의 78%를 지운다.

반지름 $a$인 속이 빈 구 껍질의 표면 전위가 $V_0(\theta) = 6.0\cos^2\theta$ V로 유지되고, 안에는 전하가 없다. 중심의 전위와, 축 위 $r = a/2$, $\theta = 0$의 전위는?

$\cos^2\theta = \tfrac13P_0 + \tfrac23P_2(\cos\theta)$.

안쪽 해 $V = 6.0[\tfrac13 + \tfrac23(r/a)^2P_2(\cos\theta)]$. 중심: $6.0/3 = 2.00$ V(표면 평균). $r = a/2$, $\theta = 0$($P_2 = 1$): $6.0(1/3 + (2/3)(1/4)) = 6.0\times0.5 = 3.00$ V.

한 변이 $M = 100$칸인 정사각형 라플라스 문제를 SOR로 푼다. 최적 이완 계수와, 그때 오차를 $10^{-6}$배로 줄이는 데 필요한 반복 수는? ($\varrho_{SOR} = \omega_{opt} - 1$)

$\omega_{opt} = 2/(1 + \sin(\pi/100)) = 2/1.03141 = 1.939$. $k = \ln10^6/(-\ln0.9391) = 13.82/0.06283 = 220$회. 같은 조건의 야코비는 $13.82/(-\ln\cos(\pi/100)) \approx 2.80\times10^4$회로 약 130배 많다.

정사각형을 3×3칸으로 나눈 격자의 안쪽 네 점을 푼다. 위 변 100 V, 왼쪽 변 40 V, 오른쪽과 아래 변은 0 V다(꼭짓점은 쓰지 않는다). 왼쪽 위 점과 오른쪽 아래 점의 전위는?

미지수 $a$(좌상), $b$(우상), $c$(좌하), $d$(우하): $4a = 140 + b + c$, $4b = 100 + a + d$, $4c = 40 + a + d$, $4d = b + c$.

둘째와 셋째 식에서 $b - c = 15$. 첫째와 넷째를 더하면 $4(a + d) = 140 + 2(b + c)$, 둘째와 셋째를 더하면 $4(b + c) = 140 + 2(a + d)$. 두 식을 풀면 $a + d = b + c = 70$. $4d = 70$ → $d = 17.5$, $a = 52.5$, $b = 42.5$, $c = 27.5$ V. (중첩으로 확인: 100 V 뚜껑 문제의 해 (37.5, 37.5, 12.5, 12.5)와 40 V 왼쪽 벽 문제의 해 (15, 5, 15, 5)를 더한 것과 같다.)

$\varepsilon_r = 3.0$인 절연막 속 배선: $w = 100$ nm, $t = 200$ nm, $h = 150$ nm, $s = 100$ nm. 사쿠라이 근사로 단위 길이 접지 용량과 결합 용량은? (1 mm 배선의 전체 용량도 생각해 보라.)

$w/h = 0.667$, $t/h = 1.333$, $s/h = 0.667$. $C_g = \varepsilon(0.767 + 2.80\times1.0660) = 3.751\varepsilon = 99.6$ aF/µm. $C_c = \varepsilon(0.020 + 1.107 - 0.0746)(0.667)^{-1.34} = 1.052\times1.722\,\varepsilon = 1.811\varepsilon = 48.1$ aF/µm($\varepsilon = 2.656\times10^{-11}$ F/m). 전체 $C_g + 2C_c = 196$ aF/µm, 1 mm면 0.196 pF.

다음 가운데 라플라스 방정식의 해를 하나로 정하지 못하는 경계 조건은?

노이만 조건만 있으면 $V$에 상수를 더해도 모든 조건을 만족하므로 전위는 상수만큼 정해지지 않는다(장 $\mathbf E$는 하나로 정해진다). 게다가 $\oint\partial V/\partial n\,da = 0$(가우스 법칙)이어야 해가 있다. 수치 풀이에서 노이만만 걸면 행렬이 특이해지는 이유다.

개념 확인 퀴즈

정전기력만으로 양전하를 빈 공간의 한 점에 안정하게 붙잡아 둘 수 없는 근본 이유는?

안정 평형에는 위치 에너지 $qV$의 극소가 필요하다. 라플라스 방정식의 해는 평균값 성질 때문에 극소·극대가 없다(언쇼 정리).

접지 평면 위 점전하 문제를 영상법으로 풀었다. 영상 전하가 만든 장에 대해 옳은 것은?

영상은 경계 조건을 흉내 내는 계산 도구다. 유일성 정리는 영상을 놓지 않은 영역에서만 성립한다. 도체 속 장은 0이다.

직사각형 홈의 푸리에 급수에서 항을 늘려도 뚜껑 바로 위의 넘침이 9% 근처에서 줄지 않는다. 그런데도 홈 안의 전위 계산에 문제가 없는 이유는?

깁스 넘침은 불연속 경계 위에서만 생기는 수렴 방식의 특성이다. 안쪽에서는 급수가 매우 빨리 수렴한다.

격자를 두 배로 촘촘하게(한 변 $M \to 2M$) 하면 야코비 이완법과 최적 SOR의 반복 횟수는 각각 몇 배가 되는가?

$1 - \varrho_J \approx \pi^2/2M^2$, $1 - \varrho_{SOR} \approx 2\pi/M$. 점 수도 4배가 되므로 전체 계산량은 야코비 16배, SOR 8배다. 그래서 큰 문제에는 다중 격자법이나 CG가 필요하다.

공정 미세화로 같은 층 배선 간격이 줄어들 때, 배선 지연의 칩 내 변동이 커지는 주된 이유는?

밀러 효과로 같은 배선의 실효 용량이 $C_g$에서 $C_g + 4C_c$까지 흔들린다. 결합 몫이 클수록 지연 변동과 누화가 커진다.

l	\(P_l(\cos\theta)\)	전위 \(r^lP_l\) 또는 \(r^{-(l+1)}P_l\)의 뜻
0	\(1\)	상수 / 점전하 \(1/r\)
1	\(\cos\theta\)	균일한 장 \(r\cos\theta = z\) / 쌍극자 \(\cos\theta/r^2\)
2	\(\tfrac12(3\cos^2\theta - 1)\)	사중극
3	\(\tfrac12(5\cos^3\theta - 3\cos\theta)\)	팔중극
4	\(\tfrac18(35\cos^4\theta - 30\cos^2\theta + 3)\)	16중극