Chapter 02

정전기장

웨이퍼 한 장이 로봇 팔에서 떨어지며 얻는 전하는 1 µC도 안 되지만, 그 표면의 전위는 수천 볼트에 이른다. 정전척은 같은 힘으로 300 mm 웨이퍼를 100 N 넘게 붙잡고, 사람 손끝에서 튄 2 kV의 불꽃은 나노초 만에 게이트 산화막을 뚫는다. 이 모든 것은 움직이지 않는 전하가 만드는 장, 곧 정전기장의 몇 가지 법칙으로 계산된다. 이 장은 쿨롱 법칙과 중첩에서 출발해 연속 분포의 적분, 대칭을 이용하는 가우스 법칙, 스칼라 하나로 장을 대신하는 전위, 멀리서 본 전하 분포를 요약하는 다중극 전개, 그리고 장 속에 저장된 에너지까지 1장의 벡터 해석으로 한 줄씩 유도한다. 먼저 아래에서 전하를 끌어 보자. 실선은 전기력선, 점선은 등전위선이다.

전하를 끈다 · 두 번 누르면 부호가 바뀐다

쿨롱 법칙을 벡터 꼴 $\mathbf F = \dfrac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon_0R^2}\hat{\mathbf R}$로 쓰고, 중첩 원리로 여러 점전하의 전기장을 성분별로 더한다.
선·면·부피 전하 밀도로 $dQ$를 쓰고 유한 선전하, 고리, 원판, 무한 평면의 전기장을 적분으로 구한다.
가우스 법칙의 적분형 $\oint\mathbf D\cdot d\mathbf S = Q_{enc}$과 미분형 $\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v$를 발산 정리로 잇고, 구·원통·평면 대칭에 적용한다.
$\nabla\times\mathbf E = 0$에서 전위 $V$를 정의하고 $\mathbf E = -\nabla V$, 등전위면과 전기력선의 직교, 경로 무관성을 계산으로 확인한다.
전기 쌍극자의 전위·장·돌림힘·에너지를 구하고, 다중극 전개로 홀극·쌍극·사중극 항이 거리에 따라 $1/r,\ 1/r^2,\ 1/r^3$으로 줄어드는 것을 보인다.
정전 에너지 $W = \tfrac12\sum Q_kV_k = \tfrac12\int\varepsilon_0E^2\,dv$와 에너지 밀도, 도체 표면의 정전 압력을 계산하고 ESD·정전척·웨이퍼 대전에 적용한다.

쿨롱 법칙과 중첩 원리

일반물리학에서 두 점전하 사이의 힘이 전하의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다는 것을 보았다(일반물리학 · 전하와 전기장). 전자기학에서는 이것을 처음부터 벡터로 쓴다. 전하가 놓인 자리를 원천점 $\mathbf r'$, 장을 재는 자리를 관측점 $\mathbf r$이라 하고, 원천점에서 관측점으로 가는 거리 벡터를 $\mathbf R = \mathbf r - \mathbf r'$로 둔다. 이 약속 하나만 지키면 부호와 방향을 따로 따질 필요가 없다.

쿨롱 법칙

쿨롱 법칙(Coulomb's law): 진공 속 점전하 $Q_1$(자리 $\mathbf r_1$)이 점전하 $Q_2$(자리 $\mathbf r_2$)에 주는 힘은

$$\mathbf F_{12} = \frac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon_0R_{12}^2}\,\hat{\mathbf R}_{12} = \frac{Q_1Q_2\,(\mathbf r_2 - \mathbf r_1)}{4\pi\varepsilon_0\,|\mathbf r_2 - \mathbf r_1|^3}$$

이다. 같은 부호면 $\hat{\mathbf R}_{12}$ 방향(밀어냄), 다른 부호면 반대 방향(당김). $\mathbf F_{21} = -\mathbf F_{12}$.

$$\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}\ \text{F/m}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.988\times10^{9}\ \text{m/F}\ (\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2)$$

세 번째 표현이 계산에 편하다: 분모의 $|\mathbf R|^3$ 중 하나가 분자의 $\mathbf R$을 단위 벡터로 만든다. 1 nC 두 개를 1 cm 떨어뜨리면 $F = 8.99\times10^{-5}$ N — 먼지 한 톨(1 µg)의 무게 $9.8\times10^{-9}$ N의 약 9000배다.

시험 전하 $q$가 받는 힘을 $q$로 나눈 것이 전기장 세기(electric field intensity) $\mathbf E = \lim_{q\to0}\mathbf F/q$이다(단위 V/m = N/C). $q \to 0$은 시험 전하가 원천 전하의 배치를 흩뜨리지 않게 한다는 뜻이다. 점전하 $Q$가 $\mathbf r'$에 있을 때

$$\mathbf E(\mathbf r) = \frac{Q\,(\mathbf r - \mathbf r')}{4\pi\varepsilon_0\,|\mathbf r - \mathbf r'|^3}$$

맥스웰 방정식은 선형이므로 여러 전하가 만드는 장은 각각이 따로 만드는 장의 벡터 합이다. 이것이 중첩 원리(superposition principle)다. 전하 $Q_1, \dots, Q_N$이 $\mathbf r_1, \dots, \mathbf r_N$에 있으면

$$\mathbf E(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{k=1}^{N}\frac{Q_k\,(\mathbf r - \mathbf r_k)}{|\mathbf r - \mathbf r_k|^3}$$

벡터의 합이다. 크기를 더하지 말고 반드시 $x, y, z$ 성분별로 더한다. 중첩이 깨지는 것은 매질이 비선형일 때(강유전체, 절연 파괴 직전의 기체)뿐이다.

원천점에서 관측점으로 가는 거리 벡터 $\mathbf R_k = \mathbf r - \mathbf r_k$를 먼저 쓴다.
$Q_1 > 0$의 장은 $\mathbf R_1$ 방향, 크기 $kQ_1/R_1^2 = 143.8$ V/m.
$Q_2 < 0$의 장은 $\mathbf R_2$의 반대 방향(전하 쪽), 크기 112.3 V/m. 부호는 $Q_k$에 실어 계산하면 자동으로 맞는다.
성분별로 더한다. $y$ 성분이 거의 상쇄되어, 크기가 143.8 + 112.3이 아니라 86.3 V/m다.

중첩 원리. 두 전기장의 크기는 더하지 않는다. 벡터를 성분으로 나눠 더하면 $y$ 성분 115.0과 −112.3이 거의 상쇄되어 장이 $+x$ 방향으로 남는다(그림의 화살표 길이는 V/m에 비례).

전하 1.0와 1.0를 10 떨어뜨리면 서로 미는 힘은 이다. 질량 1 µg인 입자 무게의 배이고, 첫 전하가 둘째 전하 자리에 만드는 장은 이다.

$Q_1 = +4$ nC이 원점에, $Q_2 = -2$ nC이 $(0.3, 0, 0)$ m에 있다. 점 $P(0.3, 0.4, 0)$ m에서 전기장 $\mathbf E$를 구하라.

풀이 보기

전략 각 전하에 대해 $\mathbf R_k = \mathbf r_P - \mathbf r_k$를 쓰고 $kQ_k\mathbf R_k/R_k^3$을 성분별로 더한다.

풀이 $\mathbf R_1 = (0.3, 0.4, 0)$, $R_1 = 0.5$ m: $\mathbf E_1 = \dfrac{8.988\times10^9\times4\times10^{-9}}{0.5^3}(0.3, 0.4, 0) = 287.6\,(0.3, 0.4, 0) = (86.3,\ 115.0,\ 0)$ V/m.
$\mathbf R_2 = (0, 0.4, 0)$, $R_2 = 0.4$ m: $\mathbf E_2 = \dfrac{8.988\times10^9\times(-2\times10^{-9})}{0.4^3}(0, 0.4, 0) = (0,\ -112.3,\ 0)$ V/m.
$\mathbf E = \mathbf E_1 + \mathbf E_2 = (86.3,\ 2.7,\ 0)$ V/m.

$\mathbf E \approx 86.3\,\hat{\mathbf x} + 2.7\,\hat{\mathbf y}$ V/m, $|\mathbf E| = 86.3$ V/m (+x에서 1.8°)

검토 $Q_2$는 P 바로 아래에 있고 음전하라 P의 장을 아래로 당긴다. $Q_1$의 위쪽 성분과 거의 같은 크기라 상쇄된다. 크기만 더했다면 256 V/m로 세 배 틀린다.

$+4q$가 원점에, $-q$가 $x = d$에 있다. 전기장이 0인 점(시험 전하가 힘을 받지 않는 곳)은 어디에 있을까?

두 전하 사이에서는 두 장이 모두 $+x$ 방향이라 상쇄될 수 없다. 작은 전하 바깥쪽에서는 두 장이 반대 방향이고, $4/x^2 = 1/(x-d)^2$에서 $x = 2d$다. 아래에서 시험 전하를 끌어 직접 찾아라(처음 배치가 바로 이 상황이다: $d = 3$ cm).

SIMULATOR

도전: 전기장이 0인 곳을 찾아라

전하와 흰 시험점 P를 모두 끌 수 있다

Q_A Q_B 배경 장 화살표

|E_A| at P—

|E_B| at P—

합성 E = (E_x, E_y)—

|E|—

도전—

거리 단위 cm, 전하 단위 nC. P에서 점선 화살표 A, B는 각 전하의 장, 굵은 빨간 화살표는 합성 장이다(화살표 길이는 로그 눈금). 해볼 것: ① 처음 배치에서 |E|가 두 장 각각의 0.5% 아래로 떨어지는 점을 찾아라 — 예측대로 B에서 3 cm 바깥이다. ② Q_A = Q_B로 같게 하면 영점이 어디로 가는가? ③ 영점 근처에서 P를 조금씩 움직이며 합성 화살표가 어떻게 도는지 보라 — 영점 주위로 장이 "안장" 모양이다.

연속 전하 분포

배선의 전하, 대전된 웨이퍼 표면, 플라스마 속 공간 전하처럼 전하가 퍼져 있으면 점전하의 합을 적분으로 바꾼다. 퍼진 정도에 따라 세 가지 전하 밀도(charge density)를 쓴다.

$$dQ = \rho_\ell\,d\ell' \;(\text{C/m}), \qquad dQ = \rho_s\,dS' \;(\text{C/m}^2), \qquad dQ = \rho_v\,dv' \;(\text{C/m}^3)$$ $$\mathbf E(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{(\mathbf r - \mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|^3}\,dQ(\mathbf r')$$

프라임(′)이 붙은 것은 원천의 좌표이고 적분 변수다. 관측점 $\mathbf r$은 적분하는 동안 고정된다. 원천점과 관측점이 모두 움직이는 것처럼 보이면 혼동하기 쉬우니 그림부터 그린다.

연속 분포를 적분하는 순서

① 대칭에 맞는 좌표계를 고른다(선 → 원통, 고리·원판 → 원통, 구 → 구). ② 원천 조각 $dQ$와 그 위치 $\mathbf r'$, 거리 벡터 $\mathbf R = \mathbf r - \mathbf r'$를 쓴다. ③ 대칭으로 상쇄되는 성분을 먼저 지운다. ④ 남은 성분만 적분한다. 단위 벡터 $\hat{\boldsymbol\rho}$는 $\phi'$에 따라 방향이 바뀌므로 적분 기호 밖으로 꺼낼 수 없다 — 직교 성분으로 바꾸거나 대칭으로 지운 뒤 적분한다.

유한 선전하의 수직 이등분선 위. 위·아래 대칭 조각의 $z$ 성분이 상쇄되어 $\hat{\boldsymbol\rho}$ 성분만 적분하면 된다. 결과는 두 극한(무한 선, 점전하)을 모두 품는다.

관측점이 이등분선 위가 아니면 $z$ 성분도 남는다. 선전하가 $z_1 \le z' \le z_2$에 있고 관측점이 $(\rho, \phi, z)$일 때 두 적분은 모두 기본 함수로 풀린다.

$$E_\rho = \frac{\rho_\ell}{4\pi\varepsilon_0\rho}\left[\frac{z - z_1}{\sqrt{\rho^2 + (z-z_1)^2}} - \frac{z - z_2}{\sqrt{\rho^2 + (z-z_2)^2}}\right],\qquad E_z = \frac{\rho_\ell}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{1}{\sqrt{\rho^2 + (z-z_2)^2}} - \frac{1}{\sqrt{\rho^2 + (z-z_1)^2}}\right]$$

같은 방법으로 $xy$ 평면의 고리(반지름 $a$, 전체 전하 $Q$)와 원판(반지름 $a$, 면전하 $\rho_s$)의 축 위 장을 구한다. 고리에서는 $\phi'$에 대해 대칭으로 $\hat{\boldsymbol\rho}$ 성분이 사라지고, 원판은 고리들을 $\rho'$에 대해 더한 것이다.

$$\mathbf E_{\text{고리}} = \frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(z^2 + a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf z}, \qquad \mathbf E_{\text{원판}} = \frac{\rho_s}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + a^2}}\right)\hat{\mathbf z}\quad(z > 0)$$

$a \to \infty$이면 원판은 무한 평면이 되어 $E = \rho_s/2\varepsilon_0$ — 거리와 무관하다. $z \gg a$이면 둘 다 $Q/4\pi\varepsilon_0z^2$로 돌아간다(원판은 $Q = \pi a^2\rho_s$).

곡선 위 흰 원을 끈다

MINI LAB고리 축 위 장 $E_z(z)$(실선)와 같은 전하의 점전하 장(점선). 중심에서는 대칭으로 0이고, $z = a/\sqrt2$에서 최대 $0.385\,kQ/a^2$를 지나, $z \approx 5.4a$부터는 점전하와 5% 안에서 겹친다.

적분은 결국 "아주 많은 점전하의 합"이다. 아래 시뮬레이터에서 분포를 $N$개의 점전하 조각으로 나눠 합한 값이 $N$을 늘릴수록 적분값으로 어떻게 다가가는지 보자. 오차를 정하는 것은 $N$ 자체가 아니라 조각 간격과 관측 거리의 비다.

SIMULATOR

점전하 N개로 적분 근사하기

흰 관측점 P를 끈다

분포

조각 수 N 조각별 장 화살표(N ≤ 24)

합 E_N—

적분값 E—

상대 오차—

오차 1% 이하가 되는 N—

길이 단위는 반길이(반지름) $a$, 장의 단위는 $kQ/a^2$. 첫 그림: 분포(고리·원판은 비스듬히 본 모습)와 관측점 P에서의 조각별 장(가는 선), 합(굵은 빨강), 적분값(점선). 둘째 그림: $N$에 따른 상대 오차(로그–로그). 해볼 것: ① P를 분포에서 멀리 두면 $N = 1$(점전하 하나)로도 오차가 작다 — 멀리서는 모든 분포가 점전하다. ② P를 선 가까이($0.1a$) 가져가면 1% 오차에 필요한 $N$이 얼마나 커지는가? ③ 오차 곡선의 기울기가 약 −2(중점 규칙)임을 확인하라: $N$을 10배 늘리면 오차는 100분의 1.

길이 1 m인 직선 도선에 $\rho_\ell = 10$ nC/m가 고르게 분포한다. 도선 가운데에서 수직으로 20 cm 떨어진 점의 전기장을 구하고, 무한 선전하 근사와 비교하라.

풀이 보기

전략 이등분선 위이므로 $E_\rho = \dfrac{\rho_\ell}{2\pi\varepsilon_0\rho}\dfrac{L}{\sqrt{L^2+\rho^2}}$, $L = 0.5$ m, $\rho = 0.2$ m.

풀이 $\dfrac{\rho_\ell}{2\pi\varepsilon_0\rho} = \dfrac{10\times10^{-9}}{2\pi(8.854\times10^{-12})(0.2)} = 898.8$ V/m (무한 선). 보정 인자 $0.5/\sqrt{0.25 + 0.04} = 0.9285$. $E_\rho = 898.8\times0.9285 = 834.5$ V/m.

$\mathbf E = 834\,\hat{\boldsymbol\rho}$ V/m — 무한 선 근사(899 V/m)보다 7.2% 작다

검토 거리(0.2 m)가 반길이(0.5 m)의 40%라 끝의 영향이 작다. $\rho \ll L$이면 무한 선, $\rho \gg L$이면 점전하 $Q = 10$ nC로 넘어간다.

300 mm 웨이퍼(반지름 150 mm)가 면전하 1.0로 대전되면 전체 전하는 이다. 웨이퍼 중심 위 10에서 전기장은 로, 무한 평면값 $\rho_s/2\varepsilon_0$ = 의 이고 같은 전하의 점전하 근사로는 이다.

반지름 15 cm인 웨이퍼 윗면이 $\rho_s = 1.0\ \mu\text{C/m}^2$로 고르게 대전되었다(아랫면과 주변은 무시). 중심축 위 1 cm와 30 cm에서 전기장을 구하고, 30 cm에서는 점전하 근사와 비교하라.

풀이 보기

전략 원판 축 위 공식 $E = \dfrac{\rho_s}{2\varepsilon_0}\left(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\right)$.

풀이 $\rho_s/2\varepsilon_0 = 10^{-6}/(2\times8.854\times10^{-12}) = 5.647\times10^4$ V/m.
$z = 0.01$: $1 - 0.01/\sqrt{0.0001 + 0.0225} = 1 - 0.0665 = 0.9335$ → $E = 5.27\times10^4$ V/m.
$z = 0.30$: $1 - 0.30/\sqrt{0.09 + 0.0225} = 1 - 0.8944 = 0.1056$ → $E = 5.96\times10^3$ V/m.
점전하: $Q = \pi a^2\rho_s = 7.07\times10^{-8}$ C, $kQ/z^2 = 8.988\times10^9\times7.07\times10^{-8}/0.09 = 7.06\times10^3$ V/m.

1 cm: 52.7 kV/m(무한 평면의 93%), 30 cm: 5.96 kV/m(점전하 근사 7.06 kV/m보다 16% 작다)

검토 공기의 절연 파괴 장 약 3 MV/m보다 훨씬 작아 불꽃은 튀지 않지만, 표면 근처 입자를 끌어당기기에는 충분하다. $z = 2a$에서도 점전하 근사가 16% 틀린다 — 점전하로 보려면 $z \gtrsim 5a$가 필요하다.

웨이퍼 대전과 이오나이저

웨이퍼는 산화막·질화막·레지스트 같은 절연체로 덮여 있어, 로봇 핸드에서 떨어질 때(분리 대전), 초순수 스핀 세정이나 보호 필름을 벗길 때 쉽게 대전되고 전하가 빠지지 않는다. 위 예제의 $1\ \mu\text{C/m}^2$만으로 표면 근처 장이 50 kV/m를 넘고 웨이퍼 전위는 수 kV에 이른다(§2.4 예제). 대전된 표면은 공기 중 미세 입자를 정전 흡착하고, 접지된 금속에 닿는 순간 방전해 패턴과 소자를 손상시킨다. 그래서 FOUP 주변과 장비 로드포트에는 코로나 방전이나 연X선으로 양·음이온을 만들어 표면 전하를 중화하는 이오나이저를 둔다. → InfraBook · 진동·소음·전자기 환경(정전기: ESD와 이오나이저)

가우스 법칙

쿨롱 법칙의 적분은 대칭이 높아도 번거롭다. 가우스 법칙은 대칭을 정면으로 이용해 적분 없이 장을 구하게 해 주고, 미분형으로 바꾸면 맥스웰 방정식의 첫 번째 식이 된다(일반물리학의 직관은 일반물리학 · 가우스 법칙). 진공에서 전기 변위(electric displacement) $\mathbf D = \varepsilon_0\mathbf E$(단위 C/m²)를 정의하자. 지금은 $\varepsilon_0$을 곱한 것에 불과하지만, 유전체 속에서는 자유 전하만 보는 장으로 진가를 드러낸다(3장). 곡면 $S$를 지나는 $\mathbf D$의 면적분이 전기 선속(electric flux) $\Psi$다.

$$\Psi = \int_S \mathbf D\cdot d\mathbf S \;\;(\text{C}), \qquad d\mathbf S = \hat{\mathbf n}\,dS$$

닫힌 곡면에서는 $\hat{\mathbf n}$을 바깥쪽으로 잡는다. 점전하 $Q$를 중심으로 한 반지름 $r$인 구에서 $D = Q/4\pi r^2$이고 넓이가 $4\pi r^2$이므로 $\Psi = Q$ — 반지름과 무관하다.

가우스 법칙의 입체각 논증. 점전하에서 본 넓이 조각의 입체각을 $d\Omega$라 하면 $\mathbf D\cdot d\mathbf S = (Q/4\pi)\,d\Omega$로, 거리에 상관없다($1/r^2$과 넓이의 $r^2$이 상쇄). 안쪽 전하는 전체 입체각 $4\pi$를 덮고, 바깥 전하의 원뿔은 곡면을 들어갔다 나와 상쇄된다.

가우스 법칙(적분형)

가우스 법칙(Gauss's law): 임의의 닫힌 곡면을 지나 나가는 전기 선속은 그 안에 든 알짜 전하와 같다.

$$\oint_S \mathbf D\cdot d\mathbf S = Q_{enc} = \int_V \rho_v\,dv$$

곡면의 모양, 바깥 전하의 존재와 무관하다. 이 닫힌 곡면을 가우스 면(Gaussian surface)이라 한다.

+2 nC 하나만 감싼 가우스 면을 키우거나 옮기되, 다른 전하는 들이지 않는다. 면 위의 전기장은 곳곳에서 크게 바뀐다. 전체 선속 $\varepsilon_0\oint\mathbf E\cdot d\mathbf S$는?

면 위의 $\mathbf E$는 모든 전하(바깥 것까지)가 만든 것이고 위치마다 다르지만, 바깥 전하의 선속은 들어간 만큼 나가 합이 0이다. 아래에서 면을 끌어 확인하라.

SIMULATOR

가우스 면을 끌어 선속 세기

면의 가운데(+)와 테두리의 흰 원, 전하를 끈다

전기력선 면 위 $E_n$ 색칠

수치 적분 ε₀∮E·dS—

안의 전하 Q_enc—

∮E·dS—

도전—

원은 전하들이 놓인 평면으로 자른 가우스 구면의 단면이다. 선속은 구면 전체(3차원)에서 7200개 조각으로 수치 적분한다. 테두리 색: 빨강은 장이 밖으로($E_n > 0$), 파랑은 안으로. 해볼 것: ① 예측대로 +2 nC 하나만 감싸고 면을 이리저리 바꿔 보라. ② 도전: 전하를 두 개 이상 감싸면서 알짜 선속을 0으로 만들어라. ③ 전하를 면 위에 걸치면 수치 적분이 흔들린다 — 면 위의 점전하는 정의되지 않는 경우다.

가우스 법칙은 항상 성립하지만, 장을 구하는 데 쓰려면 $\mathbf D\cdot d\mathbf S$를 적분 밖으로 꺼낼 수 있어야 한다. 그러려면 가우스 면 위에서 $D$의 크기가 일정하고 방향이 면에 수직(또는 평행)이어야 한다. 이런 면이 존재하는 대칭은 셋뿐이다.

구 대칭: 동심 구면에서 $D_r$이 일정하다. $Q_{enc}(r)$만 알면 된다.
원통 대칭: 동축 원통의 옆면에서 $D_\rho$가 일정하고, 위·아래 뚜껑은 $\mathbf D$와 평행해 선속이 없다.
평면 대칭: 면을 꿰뚫는 납작 상자(필박스). 두 뚜껑에서 같은 크기로 나가고 옆면은 0이다.

가우스 법칙이 장을 바로 주는 세 대칭. 대칭이 깨지면(유한한 원판, 유한한 선) 가우스 법칙은 여전히 참이지만 적분 밖으로 $D$를 꺼낼 수 없어 쿨롱 적분으로 돌아가야 한다.

흰 원을 끈다

전하 분포

MINI LAB반지름 $a$인 구 대칭 분포. 가우스 구면 $r$이 감싼 전하 $Q_{enc}(r)$(진하게 칠한 부분)가 곧 $E(r)$을 정한다: $E = Q_{enc}/4\pi\varepsilon_0r^2$. 바깥($r > a$)은 분포와 상관없이 같은 $1/r^2$ 곡선이다. 그래프는 $E(a)$로 나눈 값.

선전하 밀도 50.0인 긴 도선에서 10.00 떨어진 곳의 전기장은 이다. 공기의 절연 파괴 장(약 3 MV/m)의 에 해당한다 —

미분형: 발산과 전하 밀도

가우스 법칙의 좌변에 1장의 발산 정리 $\oint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S = \int_V\nabla\cdot\mathbf D\,dv$를 쓰면, 임의의 부피 $V$에 대해 $\int_V(\nabla\cdot\mathbf D - \rho_v)\,dv = 0$이다. 부피를 아무리 작게 잡아도 성립하므로 피적분 함수가 0이어야 한다.

가우스 법칙(미분형) $$\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v \qquad \left(\text{진공: } \nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho_v}{\varepsilon_0}\right)$$

전기장이 한 점에서 퍼져 나가는 정도(발산)는 그 점의 전하 밀도다. 전하가 없는 곳에서 $\mathbf E$는 발산하지 않는다 — 전기력선은 전하에서만 시작하고 끝난다. 맥스웰 방정식의 첫 식이다.

상자(흰 원)를 끈다

상자 한 변 Δ

MINI LAB아래 예제 2.4의 공($\rho_v = \rho_0(1 - r/a)$, 칠한 원) 둘레에 한 변 $\Delta$인 작은 정육면체를 놓고, 여섯 면의 선속을 부피로 나눈다: $\oint\mathbf E\cdot d\mathbf S/\Delta^3$. $\Delta$를 줄이면 상자 중심의 $\rho_v/\varepsilon_0$(공 안 $1 - r/a$, 공 밖 0)로 다가간다 — 이것이 발산의 정의다. 경계에 걸치면 두 값 사이가 나온다.

점전하의 발산과 디랙 델타

점전하 장 $\mathbf E = Q\hat{\mathbf r}/4\pi\varepsilon_0r^2$에 구 좌표 발산 공식을 쓰면 $\nabla\cdot\mathbf E = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\right) = 0$이다($r \ne 0$). 그런데 원점을 감싼 어떤 구면에서도 선속은 $Q/\varepsilon_0$이다. 모순이 아니라, 발산이 원점에 몰려 있는 것이다: $\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2) = 4\pi\delta^3(\mathbf r)$(1장의 디랙 델타). 그래서 점전하의 전하 밀도는 $\rho_v = Q\,\delta^3(\mathbf r - \mathbf r')$로 쓴다.

반지름 $a = 10$ cm인 공 안에 전하 밀도 $\rho_v = \rho_0(1 - r/a)$, $\rho_0 = 1\ \mu\text{C/m}^3$가 분포한다. (가) 전체 전하, (나) $r = a/2$와 $r = 2a$에서 $E$, (다) 공 안의 $\mathbf E$에 미분형을 적용해 $\rho_v$가 다시 나오는지 확인하라.

풀이 보기

전략 구 대칭이므로 가우스 구면 $r$에서 $E\cdot4\pi r^2 = Q_{enc}(r)/\varepsilon_0$. $Q_{enc}(r) = \int_0^r\rho_0(1 - r'/a)\,4\pi r'^2\,dr'$.

풀이 $Q_{enc}(r) = 4\pi\rho_0\left(\dfrac{r^3}{3} - \dfrac{r^4}{4a}\right)$. (가) $r = a$: $Q = \pi\rho_0a^3/3 = \pi(10^{-6})(10^{-3})/3 = 1.047$ nC.
(나) 안: $E(r) = \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(\dfrac{r}{3} - \dfrac{r^2}{4a}\right)$. $r = 0.05$: $\dfrac{10^{-6}}{8.854\times10^{-12}}(0.01667 - 0.00625) = 1.18\times10^3$ V/m. 밖: $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2 = 8.988\times10^9\times1.047\times10^{-9}/0.04 = 235$ V/m.
(다) $\nabla\cdot\mathbf E = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{dr}\left[\dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(\dfrac{r^3}{3} - \dfrac{r^4}{4a}\right)\right] = \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(1 - \dfrac{r}{a}\right)$ ✓.

$Q = 1.05$ nC, $E(a/2) = 1.18$ kV/m, $E(2a) = 235$ V/m

검토 표면에서 두 식이 같은 값 941 V/m를 준다(연속). 장의 최대는 표면이 아니라 $dE/dr = 0$인 $r = 2a/3$(1.25 kV/m)이다 — 바깥쪽 전하가 적어서다. 위 MINI LAB의 둘째 분포에서 확인할 수 있다.

정전 퍼텐셜과 등전위면

전기장은 성분이 셋인 벡터장이다. 그런데 정전기장에는 숨은 제약이 있어서 스칼라 하나로 완전히 표현된다. 점전하의 장 $\mathbf E \propto \hat{\mathbf r}/r^2$은 지름 방향뿐이고 크기가 $r$에만 의존하므로 회전이 없다: $\nabla\times\mathbf E = 0$. 중첩으로 모든 정전 분포가 그렇다. 스토크스 정리를 쓰면 임의의 닫힌 경로에서 $\oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell = 0$ — 정전기장은 보존장(conservative field)이다. 그러면 두 점 사이의 선적분은 경로와 무관하고, 한 점의 값만으로 정해지는 함수를 정의할 수 있다.

정전 퍼텐셜(전위)

전위(electric potential) $V$: 단위 양전하를 기준점(보통 무한원)에서 $P$까지 장을 거슬러 천천히 옮기는 데 드는 일.

$$V(P) = -\int_{\infty}^{P}\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell, \qquad V_{AB} = V_A - V_B = -\int_B^A\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell, \qquad \mathbf E = -\nabla V$$

단위 V = J/C. 마지막 식은 1장의 기울기 정리 $\int_B^A\nabla V\cdot d\boldsymbol\ell = V_A - V_B$와 같은 말이다. 전하 $q$를 B에서 A로 옮기는 일은 $W = qV_{AB}$.

A, B와 경로의 꼭짓점(작은 흰 원)을 끈다

MINI LAB점전하(가운데) 장 속에서 A에서 B로 가는 두 경로: 곧은 선(점선)과 굽은 경로(실선). 꼭짓점을 끌어 경로를 아무리 비틀어도 $\int_A^B\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell$은 $V_A - V_B$와 같다. 두 경로를 이은 닫힌 고리의 $\oint$는 0이다. 단위는 $kq/a$.

점전하 $Q$의 전위는 $\mathbf E$를 지름 방향으로 적분하면 $V = Q/4\pi\varepsilon_0R$이다. 전위는 스칼라라서 중첩이 단순한 덧셈이고, 연속 분포도 스칼라 적분 하나로 끝난다.

$$V(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_k\frac{Q_k}{|\mathbf r - \mathbf r_k|}, \qquad V(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dQ(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}$$

세 성분 적분 대신 스칼라 적분 하나를 하고, 미분 $\mathbf E = -\nabla V$로 세 성분을 한꺼번에 얻는다. 단, 축 위에서만 구한 $V(z)$로는 $E_z$만 얻는다($E_\rho$를 구하려면 축 밖의 $V$가 필요하다).

전위가 같은 점들을 이은 면이 등전위면(equipotential surface)이다. 등전위면을 따라 $d\boldsymbol\ell$만큼 움직이면 $dV = \nabla V\cdot d\boldsymbol\ell = -\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell = 0$이므로, 전기력선은 등전위면에 수직이고 높은 전위에서 낮은 전위로 향한다. 등전위면 위에서 전하를 옮기는 데는 일이 들지 않는다. 등전위면 간격이 좁은 곳일수록 장이 세다.

$+q$와 $-q$의 정확한 중점에서 $V = 0$이다. 그 점의 전기장은?

$\mathbf E$는 $V$의 값이 아니라 기울기다. 중점은 $V = 0$인 등전위면 위에 있지만 그 면을 가로질러 $V$가 가파르게 변한다. 반대로 $+q, +q$의 중점은 $V \ne 0$인데 $\mathbf E = 0$이다. 아래에서 탐침을 옮겨 보라.

SIMULATOR

전위 지형도: 목표 등전위선 위에 서라

전하와 흰 탐침을 끈다

Q₃ 전위 색칠(빨강 +, 파랑 −) 등전위선

목표 V*—

탐침 V—

E = −∇V—

E와 등전위선 사이 각—

도전—

거리 cm, 전하 nC(Q₁ = +3, Q₂ = +1, Q₃은 슬라이더). 탐침의 굵은 화살표는 수치 미분 $-\nabla V$, 짧은 점선은 그 점을 지나는 등전위선의 접선이다. 해볼 것: ① 목표 전위 V*의 등전위선(굵은 선) 위에 탐침을 올려라(±2%). ② 화살표가 어디서나 등전위선과 90°인지 확인하라. ③ 등전위선이 촘촘한 곳과 성긴 곳의 |E|를 비교하라. ④ 전위가 0인 등전위선 위에서도 |E|가 0이 아님을 확인하라.

흰 원을 좌우로 끈다

전하

MINI LAB두 전하($x = \mp1$)를 잇는 축 위의 $V(x)$(위)와 $E_x(x)$(아래). 위 그래프의 접선 기울기에 −1을 곱한 것이 아래 그래프의 값이다: $E_x = -dV/dx$. $V$가 극값인 곳에서 $E = 0$, $V = 0$인 곳에서도 $E$는 대개 0이 아니다.

대칭인 연속 분포는 전위를 먼저 구하면 편하다. 반지름 $a$, 면전하 $\rho_s$인 원판의 축 위에서 고리 조각 $dQ = \rho_s\,2\pi\rho'\,d\rho'$은 모두 같은 거리 $\sqrt{z^2 + \rho'^2}$에 있으므로

$$V(z) = \frac{\rho_s}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^a\frac{2\pi\rho'\,d\rho'}{\sqrt{z^2+\rho'^2}} = \frac{\rho_s}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{z^2 + a^2} - |z|\right), \qquad E_z = -\frac{dV}{dz} = \frac{\rho_s}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\right)$$

§2.2에서 벡터 적분으로 얻은 결과가 미분 한 번으로 나온다. 중심($z = 0$)의 전위는 $\rho_sa/2\varepsilon_0$로, 같은 면전하라도 큰 판일수록 전위가 높다.

앞 예제의 웨이퍼(반지름 15 cm, $\rho_s = 1.0\ \mu\text{C/m}^2$)에서 중심의 전위와 중심축 위 5 cm의 전위를 구하라. 5 cm에서 $E_z$를 $-dV/dz$로 구해 원판 공식과 비교하라.

풀이 보기

전략 $V(z) = \dfrac{\rho_s}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{z^2+a^2} - z\right)$, $\rho_s/2\varepsilon_0 = 5.647\times10^4$ V/m.

풀이 $V(0) = 5.647\times10^4\times0.15 = 8.47\times10^3$ V.
$V(0.05) = 5.647\times10^4(\sqrt{0.0025 + 0.0225} - 0.05) = 5.647\times10^4\times0.1081 = 6.11\times10^3$ V.
$E_z = 5.647\times10^4\left(1 - 0.05/0.1581\right) = 5.647\times10^4\times0.6838 = 3.86\times10^4$ V/m. 수치 미분 $-[V(z+h) - V(z-h)]/2h$도 같은 값을 준다.

$V(0) = 8.47$ kV, $V(5\ \text{cm}) = 6.11$ kV, $E_z(5\ \text{cm}) = 38.6$ kV/m

검토 면전하 1 µC/m²는 표면 원자 약 100만 개에 전자 하나꼴인 아주 작은 양인데도 전위가 8 kV다. 대전된 웨이퍼가 접지된 핀에 닿으면 이 전위가 순식간에 방전된다. 전기장이 공기 절연 파괴보다 훨씬 작은데도 ESD가 문제인 이유는 큰 전위차가 작은 틈에 몰리는 순간이 있기 때문이다.

반지름 1.00인 고립된 도체 구(또는 그만큼 뾰족한 끝)에 2.0가 걸리면 표면 전기장은 $E = V/a$ = , 공기 절연 파괴(3 MV/m)의 배다 — 같은 전위에서 코로나가 시작되지 않는 최소 반지름은 이다.

이 tangle은 $V = Q/4\pi\varepsilon_0a$, $E = Q/4\pi\varepsilon_0a^2$에서 $E = V/a$를 쓴 것이다. 같은 전위라도 곡률 반지름이 작은 곳에 장이 몰린다. 피뢰침, 이오나이저의 방전 바늘, 그리고 배선 모서리와 콘택 끝에서 절연막이 먼저 파괴되는 이유다(도체에 대한 자세한 이야기는 3장).

플라스마 대전 손상

플라스마 식각·증착 중 웨이퍼 표면에는 이온과 전자가 들어온다. 둘은 평균하면 같은 양이지만 방향이 다르다: 이온은 시스에서 가속되어 거의 수직으로, 전자는 사방에서 온다. 좁고 깊은 패턴에서는 전자가 측벽 위쪽에 걸리고 이온만 바닥에 닿아 바닥이 양으로 대전된다(전자 그늘). 그 전하가 만드는 전위가 뒤따라오는 이온을 휘게 해 노칭이 생기고, 바닥의 금속이 게이트에 이어져 있으면 그 전위가 얇은 게이트 산화막에 걸린다. 두께 3 nm 산화막에 3 V만 걸려도 10 MV/cm로 파괴 장에 가깝다. 그래서 게이트에 이어진 금속 면적의 비(안테나 비)를 설계 규칙으로 제한하고 보호 다이오드를 단다. → EtchBook · 마이크로트렌칭과 노칭(전자 그늘)

전기 쌍극자와 다중극 전개

크기가 같고 부호가 반대인 두 전하 $\pm Q$가 거리 $d$만큼 떨어진 것이 전기 쌍극자(electric dipole)다. 물 분자, 분극된 원자, 유전체 속 결합, 안테나의 짧은 도선이 모두 쌍극자로 근사된다. 쌍극자를 $z$축 위 $z = \pm d/2$에 놓으면 관측점 $(r, \theta)$의 전위는

쌍극자의 기하. 멀리서는 두 거리의 차 $R_- - R_+ \approx d\cos\theta$만 남아, 전위가 $Q$와 $d$를 곱의 형태로만 기억한다.

$$V = \frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{4\pi\varepsilon_0r^2} = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}, \qquad \mathbf E = -\nabla V = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0r^3}\left(2\cos\theta\,\hat{\mathbf r} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}\right)$$

쌍극자 모멘트(dipole moment) $\mathbf p = Q\mathbf d$(C·m)는 음전하에서 양전하로 향한다. 장은 $1/r^3$으로 줄고, 축 위($\theta = 0$)의 장은 같은 거리의 수직 방향($\theta = 90°$)보다 2배 세다. 분자의 쌍극자는 흔히 디바이 단위(1 D = 3.336×10⁻³⁰ C·m)로 쓴다. 물은 1.85 D.

균일한 장 $\mathbf E$ 속에 놓인 쌍극자는 두 전하가 받는 힘 $\pm Q\mathbf E$가 상쇄되어 알짜 힘은 없지만, 돌림힘과 위치 에너지를 가진다.

$$\mathbf T = \mathbf p\times\mathbf E, \qquad U = -\mathbf p\cdot\mathbf E = -pE\cos\theta, \qquad \mathbf F = (\mathbf p\cdot\nabla)\mathbf E\ (\text{불균일한 장})$$

쌍극자는 장 방향으로 정렬하려 하고($U$ 최소), 불균일한 장에서는 장이 센 쪽으로 끌려간다. 중성 입자도 대전된 표면에 끌리는 이유가 마지막 식이다 — 장이 입자에 쌍극자를 유도하고, 그 쌍극자가 장의 기울기를 따라 끌려간다.

빨간 + 끝을 돌렸다 놓는다

감쇠(유전체 손실)

MINI LAB오른쪽으로 향하는 균일한 장 속의 쌍극자. 끌어서 각 $\theta$를 주고 놓으면 돌림힘 $pE\sin\theta$가 장 방향으로 되돌린다. 오른쪽 곡선은 $U(\theta) = -pE\cos\theta$ — 골짜기($\theta = 0$)가 안정, 꼭대기($\theta = 180°$)가 불안정 평형이다. 에너지 차 $2pE$를 넘으면 뒤집힌다.

다중극 전개

임의의 전하 분포를 멀리서 보면 어떻게 보일까? 원점 근처에 있는 분포의 전위 $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\rho_v(\mathbf r')\,dv'/|\mathbf r - \mathbf r'|$에서 $1/|\mathbf r - \mathbf r'|$을 $r'/r$의 거듭제곱으로 전개한다. $\alpha$를 $\mathbf r$과 $\mathbf r'$ 사이의 각이라 하면

$$\frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r'|} = \frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r'}{r}\right)^n P_n(\cos\alpha)$$ $$V(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{Q}{r} + \frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{r^2} + \frac{1}{2r^3}\sum_k Q_k\left(3(\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r_k)^2 - r_k^2\right) + \cdots\right]$$

$P_n$은 르장드르 다항식($P_0 = 1$, $P_1 = x$, $P_2 = (3x^2 - 1)/2$), 4장에서 다시 나온다. $Q = \sum Q_k$는 홀극 모멘트(전체 전하), $\mathbf p = \sum Q_k\mathbf r_k$는 쌍극자 모멘트, 셋째 항이 사중극자 항이다.

이것이 다중극 전개(multipole expansion)다. 각 항은 차례로 $1/r,\ 1/r^2,\ 1/r^3$으로 줄어, 멀리서는 0이 아닌 가장 낮은 차수의 항이 지배한다. 전체 전하가 있으면 무엇이든 점전하처럼, 전체 전하가 0이면 쌍극자처럼 보인다. 쌍극자 모멘트까지 0이면 사중극자(quadrupole)가 남는다. 쌍극자 모멘트는 $Q \ne 0$일 때 원점의 선택에 따라 달라지지만(원점을 $\mathbf a$만큼 옮기면 $\mathbf p \to \mathbf p - Q\mathbf a$), 가장 낮은 0 아닌 모멘트는 원점과 무관하다.

홀극: 전체 전하 $Q$. 멀리서 $1/r$로 가장 느리게 준다. 대전된 웨이퍼, 이온.
쌍극자: $Q = 0$, $\mathbf p \ne 0$. $1/r^2$, 방향에 따라 $\cos\theta$로 부호가 바뀐다. 극성 분자, 분극된 원자.
사중극자: $Q = 0$, $\mathbf p = 0$(두 쌍극자가 등을 맞댄 꼴). $1/r^3$. $\theta = 54.7°$($3\cos^2\theta = 1$)에서 0. CO₂ 분자, 질소 분자.

다중극의 계층. 차수가 하나 오를 때마다 전위가 $1/r$씩 더 빨리 줄어 멀리서는 보이지 않게 된다. 그래서 멀리서 분포를 재면 가장 낮은 0 아닌 모멘트 하나만 측정된다.

전체 전하가 0이지만 쌍극자 모멘트가 0이 아닌 분자가 있다. 거리를 10배로 늘리면 그 분자의 전위는?

$Q = 0$이면 홀극 항이 사라지고 쌍극자 항 $\propto 1/r^2$이 지배한다. 아래 그래프에서 근사의 오차가 거리에 따라 어떤 기울기로 줄어드는지도 보라.

SIMULATOR

다중극 전개: 몇 항이면 충분한가

전하·방향 손잡이·그래프의 흰 원을 끈다

배치

Q (홀극)—

|p| (쌍극자)—

r/d, θ—

V 정확 / 0차 / 1차 / 2차—

오차가 1% 아래로 내려가는 r/d—

첫 그림: 원점 근처 전하(길이 단위 $d$)와 정확한 전위의 등전위선, 관측 방향(흰 손잡이). 둘째 그림: 관측 방향에서 거리 $r$에 따른 근사 오차 $|V_{\text{근사}} - V|/(k\sum|Q_k|/r)$ — 점선 0차(홀극), 파랑 1차(+쌍극자), 빨강 2차(+사중극). 해볼 것: ① "+3, −1"(예제 2.6)에서 차수를 올릴 때마다 오차 곡선의 기울기가 하나씩 가팔라짐을 확인하라(로그 눈금 기울기 −1, −2, −3). ② "쌍극자"에서 0차 근사는 0이다 — 오차가 1차부터 시작한다. ③ "비중심 1개"는 점전하 하나인데도 원점이 어긋나 쌍극자·사중극 항이 생긴다. 전하를 원점에 끌어다 놓으면 0차만으로 정확해진다.

$z = +1$ mm에 $+3$ nC, $z = -1$ mm에 $-1$ nC이 있다. $z$축 위 $r = 1$ cm($\theta = 0$)에서 정확한 전위와 홀극·쌍극자·사중극자 근사를 차례로 구하라.

풀이 보기

전략 모멘트를 계산한다: $Q = \sum Q_k$, $p_z = \sum Q_kz_k$, 축 위($\theta = 0$) 사중극 항 $\frac{k}{2r^3}\sum Q_k(3z_k^2 - z_k^2) = \frac{k}{r^3}\sum Q_kz_k^2$.

풀이 $Q = 2$ nC, $p = 3\times10^{-9}(10^{-3}) + (-10^{-9})(-10^{-3}) = 4\times10^{-12}$ C·m, $\sum Q_kz_k^2 = (3 - 1)\times10^{-9}\times10^{-6} = 2\times10^{-15}$ C·m².
정확: $V = k\left(\dfrac{3\times10^{-9}}{0.009} - \dfrac{10^{-9}}{0.011}\right) = 2178.8$ V.
0차: $kQ/r = 1797.5$ V (오차 −17.5%). 1차: $+kp/r^2 = +359.5$ → 2157.0 V (−1.0%). 2차: $+k(2\times10^{-15})/10^{-6} = +18.0$ → 2175.0 V (−0.17%).

2179 V ≈ 1798 + 360 + 18 + … V

검토 $d/r = 0.1$이므로 차수가 하나 오를 때마다 오차가 약 1/10로 준다(17.5% → 1.0% → 0.17%). 위 시뮬레이터의 "+3, −1" 배치가 이 문제이고, $r/d$는 $r/(1\text{ mm})$이다.

정전 에너지와 에너지 밀도

전하를 하나씩 무한원에서 가져와 배치를 만든다고 하자. 첫 전하는 장이 없으니 일이 들지 않는다. 둘째 전하 $Q_2$는 첫 전하의 전위 $V_{21} = Q_1/4\pi\varepsilon_0R_{12}$를 거슬러야 하므로 $Q_2V_{21}$의 일이 든다. 셋째는 앞의 둘이 만든 전위를 거슬러 $Q_3(V_{31} + V_{32})$. 모두 더하고 각 쌍이 두 번 세어지는 것을 $\tfrac12$로 바로잡으면 정전 에너지(electrostatic energy)가 된다.

$$W_E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i\lt j}\frac{Q_iQ_j}{R_{ij}} = \frac12\sum_{k=1}^{N}Q_kV_k, \qquad W_E = \frac12\int_V\rho_vV\,dv$$

$V_k$는 $k$번째 전하 자리에서 나머지 전하들이 만든 전위다. 결과는 가져오는 순서와 무관하다. 같은 부호끼리 가까우면 $W_E > 0$(조립에 일이 들었다), 반대 부호끼리 가까우면 $W_E < 0$(조립하며 에너지를 내놓았다).

$+q$와 $-q$가 거리 $d$로 놓여 있다. 세 번째 전하 $+q$를 무한원에서 두 전하의 정확한 중점까지 가져오는 데 드는 일은?

일은 $q\times V(\text{중점})$이고 중점의 전위는 $kq/(d/2) - kq/(d/2) = 0$이다. 경로 중간에 힘을 받기는 하지만(장은 0이 아니다) 들인 일과 돌려받은 일이 상쇄된다. 아래에서 직접 가져와 보라.

SIMULATOR

전하 조립: 전체 에너지를 0으로 만들어라

아래 받침(무한원)의 전하를 위로 끌어온다

에너지 밀도 ε₀E²/2 색칠 등전위선

방금 가져온 일 qV—

전체 W_E—

쌍 에너지—

도전—

거리 cm, 전하 ±1 nC 네 개($k(1\text{ nC})^2/1\text{ cm} = 0.899\ \mu\text{J}$). 전하끼리는 0.6 cm보다 가까이 갈 수 없다. 해볼 것: ① "예측 배치"를 누르고 셋째 전하(+)를 중점에 끌어와 일이 0인지 확인하라. ② 도전: 네 전하를 모두 놓고 전체 에너지를 0으로 만들어라(쌍 에너지 크기 합의 2% 이내). ③ 에너지 밀도 색칠에서 같은 부호 사이와 다른 부호 사이의 장 에너지 분포를 비교하라.

에너지는 어디에 저장되어 있을까? $\tfrac12\int\rho_vV\,dv$에 $\rho_v = \nabla\cdot\mathbf D$를 넣고 벡터 항등식 $\nabla\cdot(V\mathbf D) = V\nabla\cdot\mathbf D + \mathbf D\cdot\nabla V$를 쓰면

$$W_E = \frac12\oint_S V\mathbf D\cdot d\mathbf S + \frac12\int_V\mathbf D\cdot\mathbf E\,dv \;\xrightarrow{S\to\infty}\; \frac12\int_{\text{전 공간}}\varepsilon_0E^2\,dv$$

곡면을 무한히 키우면 $V \sim 1/r$, $D \sim 1/r^2$, 넓이 $\sim r^2$이라 면적분이 $1/r$로 사라진다. 에너지가 전하가 아니라 장에 저장되어 있다고 읽을 수 있다. 장이 독립적인 실체라는 이 관점은 9장의 포인팅 정리에서 에너지가 공간을 흐르는 것으로 확장된다.

에너지 밀도

정전기장의 에너지 밀도(energy density)는

$$w_E = \frac{dW_E}{dv} = \frac12\mathbf D\cdot\mathbf E = \frac12\varepsilon_0E^2 \quad(\text{J/m}^3)$$

공기가 절연 파괴되는 3 MV/m에서 $w_E = 40$ J/m³ — 공기 1 cm³에 40 µJ다.

두 식이 다른 경우: 자체 에너지

$\tfrac12\varepsilon_0\int E^2\,dv$는 언제나 양수인데 $\sum_{i\lt j}$는 음수일 수 있다. 차이는 점전하 하나하나의 자체 에너지(self-energy)다. 점전하 하나의 장 에너지를 적분하면 $r \to 0$에서 발산한다. 연속 분포의 $\tfrac12\int\rho_vV\,dv$는 자체 에너지까지 포함하고 유한하며, 점전하의 쌍 합은 자체 에너지(상수)를 뺀 "조립 에너지"다. 쌍 합만 바뀌는 문제(전하를 옮기는 일, 힘)에서는 두 식이 같은 답을 준다.

흰 원을 좌우로 끈다

분포

MINI LAB반지름 $a$인 구의 장 에너지가 지름 방향으로 어떻게 분포하는지: 두께 $dr$인 껍질의 에너지 $dW = \tfrac12\varepsilon_0E^2\,4\pi r^2dr$. 칠한 넓이가 반지름 $R$ 안의 몫이다. 균일한 공은 $W = \tfrac35kQ^2/a$ 중 $1/6$만 공 안에, 나머지는 바깥 공간에 있다. 도체 껍질은 $W = \tfrac12kQ^2/a$ 전부가 바깥에 있고, $R$ 너머의 몫은 $a/R$로 느리게 줄어든다.

$+2$ nC을 원점에, $-1$ nC을 $(3, 0)$ cm에, $+1$ nC을 $(0, 4)$ cm에 차례로 가져온다. 각 단계의 일과 전체 정전 에너지를 구하라.

풀이 보기

전략 $W_k = Q_kV_k(\text{앞서 놓인 전하들})$를 차례로 계산하고 더한다. 쌍 합 $\sum_{i\lt j}kQ_iQ_j/R_{ij}$로 검산한다.

풀이 1단계: 0. 2단계: $k(2\times10^{-9})(-10^{-9})/0.03 = -5.99\times10^{-7}$ J.
3단계: 원점까지 4 cm, $(3,0)$까지 5 cm. $W_3 = k(10^{-9})\left(\dfrac{2\times10^{-9}}{0.04} - \dfrac{10^{-9}}{0.05}\right) = 8.988\times10^9\times10^{-18}\times30 = 2.70\times10^{-7}$ J.
$W_E = 0 - 5.99\times10^{-7} + 2.70\times10^{-7} = -3.30\times10^{-7}$ J.

$W_E = -0.330\ \mu\text{J}$ (단계별 0, −0.599, +0.270 µJ)

검토 음수이므로 이 배치를 흩어 놓으려면 0.33 µJ의 일을 해 주어야 한다(묶인 상태). 순서를 바꿔도(예: $+1$을 먼저) 같은 값이 나오는지 시뮬레이터에서 확인할 수 있다.

정전기 힘과 압력: 가상 일

전하를 고정한 채(고립계) 도체나 전하 분포를 $d\mathbf x$만큼 가상으로 움직이면 장이 한 일만큼 정전 에너지가 준다: $\mathbf F\cdot d\mathbf x = -dW_E$. 따라서 $\mathbf F = -\nabla W_E\big|_{Q}$. 넓이 $A$인 도체 표면을 $dx$만큼 바깥으로 밀면 장이 있던 부피 $A\,dx$가 사라지므로(장은 도체 안에서 0) $dW_E = -\tfrac12\varepsilon_0E^2A\,dx$이고, 표면이 받는 바깥쪽 압력은

$$p_E = \frac{F}{A} = \frac12\varepsilon_0E^2 = \frac{\rho_s^2}{2\varepsilon_0}\quad(\text{N/m}^2)$$

도체 표면 바로 밖의 장은 $E = \rho_s/\varepsilon_0$이다(가우스 필박스, 3장). 압력은 에너지 밀도와 같은 값이다. 표면 전하의 부호와 상관없이 도체 표면은 언제나 장 쪽으로 당겨진다.

정전척 전극에 1000를 걸었다. 그 위 세라믹 유전층은 두께 300, 비유전율 9.0이고, 웨이퍼와 척 표면 사이 틈은 5.0다. 틈의 전기장은 $E = V/(g + d/\varepsilon_r)$ = , 웨이퍼를 누르는 압력 $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ = , 300 mm 웨이퍼 전체로 이다. 후면 헬륨 압력 10 Torr의 배 —

정전척(ESC)

진공 속 식각·증착 장비는 웨이퍼를 기계 클램프 대신 정전기력으로 잡는다. 얇은 세라믹(알루미나·질화 알루미늄) 속 전극에 수백~수천 V를 걸면 웨이퍼 뒷면에 반대 부호 전하가 유도되고, 그 사이 틈의 장이 $\tfrac12\varepsilon_0E^2$의 압력으로 웨이퍼를 누른다. 이 힘이 웨이퍼와 척 사이에 흘리는 헬륨(수~수십 Torr)을 버텨야 이온이 가져온 열(수백 W)을 빼낼 수 있다. 위 tangle처럼 압력은 $E^2$에 비례하므로 틈(표면 거칠기, 뒷면 막, 휨)이 조금만 커져도 힘이 크게 준다. 전극을 둘로 나눈 쌍극형 척은 플라스마 없이도 잡을 수 있고, 공정 후 남은 전하를 빼는 디처킹 단계가 웨이퍼 튐과 입자의 흔한 원인이다. → EtchBook · 반응기: 배럴에서 ICP까지(정전척과 웨이퍼 온도)

대전된 물체의 에너지와 ESD

고립된 도체는 표면 전체가 한 전위 $V$이므로 $W_E = \tfrac12\sum Q_kV_k = \tfrac12QV = \tfrac12CV^2$이다($C = Q/V$는 정전 용량, 3장). 사람의 몸은 약 100 pF, 대전된 웨이퍼(반지름 15 cm 원판)는 약 $8\varepsilon_0a = 11$ pF의 축전기다. 이 에너지가 손끝이나 칩 핀의 작은 틈을 지나 한꺼번에 풀려나는 것이 정전기 방전(electrostatic discharge, ESD)이다.

ESD 시험의 두 대표 모델. 정전 에너지 $\tfrac12CV^2$는 수 µJ~mJ로 작지만, 나노초 안에 작은 부피에 풀려나 접합을 녹이거나 산화막을 뚫는다. 손상을 정하는 것은 에너지보다 산화막에 걸리는 전압과 전류 밀도다.

100 pF으로 모델링한 사람이 2 kV로 대전되어 1.5 kΩ을 거쳐 칩 핀으로 방전한다. (가) 저장된 에너지, (나) 최대 전류와 방전 시간 상수, (다) 이 에너지를 공기의 절연 파괴 장(3 MV/m)으로 채운다면 필요한 부피를 구하라.

풀이 보기

전략 $W = \tfrac12CV^2$, $I_{peak} = V/R$, $\tau = RC$, 부피 = $W/w_E$, $w_E = \tfrac12\varepsilon_0E^2$.

풀이 (가) $W = \tfrac12(100\times10^{-12})(2000)^2 = 2.0\times10^{-4}$ J. (나) $I = 2000/1500 = 1.33$ A, $\tau = 1500\times10^{-10} = 150$ ns. (다) $w_E = \tfrac12(8.854\times10^{-12})(3\times10^6)^2 = 39.8$ J/m³, 부피 $= 2\times10^{-4}/39.8 = 5.0\times10^{-6}$ m³ = 5.0 cm³.

0.20 mJ, 1.33 A, 150 ns, 약 5 cm³

검토 사람이 느끼는 문턱은 약 3 kV이므로 2 kV 방전은 느끼지도 못한다. 0.2 mJ는 1 µm³ 실리콘을 녹이는 데 드는 에너지(약 7 nJ)의 3만 배다 — 보호 회로가 거의 전부를 우회시켜야 한다.

ESD 불량과 대책

시험 규격은 무엇이 대전되었는지로 나뉜다: 사람이 핀을 만지는 HBM(100 pF, 1.5 kΩ, 수백 ns), 칩 자신이 대전되었다가 접지 금속에 닿는 CDM(수 pF, 1 ns 이하, 수 A). 제조·조립 라인이 자동화되면서 실제 불량은 CDM이 지배한다. 흔적의 크기가 단서다: HBM은 입출력 보호 소자의 접합을 녹인 필라멘트를, CDM은 게이트 산화막의 핀홀 하나를 남긴다. 칩 쪽에서는 모든 핀에 다이오드·클램프를 달아 방전 전류를 전원망으로 우회시키고, 팹 쪽에서는 접지·습도 관리·이오나이저로 대전 자체를 막는다. → FailureBook · 불량 메커니즘(과부하: ESD, EOS, 래치업)

핵심 정리

쿨롱 법칙 $\mathbf F_{12} = Q_1Q_2\mathbf R_{12}/4\pi\varepsilon_0R_{12}^3$, $\mathbf R = \mathbf r - \mathbf r'$(원천 → 관측). 전기장은 $\mathbf E = \mathbf F/q$이고 여러 전하의 장은 벡터 합(중첩)이다. 크기가 아니라 성분을 더한다.
연속 분포: $dQ = \rho_\ell d\ell',\ \rho_sdS',\ \rho_vdv'$를 점전하처럼 적분한다. 무한 선 $\rho_\ell/2\pi\varepsilon_0\rho$, 무한 평면 $\rho_s/2\varepsilon_0$, 고리 축 $Qz/4\pi\varepsilon_0(z^2+a^2)^{3/2}$, 원판 축 $(\rho_s/2\varepsilon_0)(1 - z/\sqrt{z^2+a^2})$. 멀리서는 모두 점전하.
가우스 법칙 $\oint\mathbf D\cdot d\mathbf S = Q_{enc}$(진공 $\mathbf D = \varepsilon_0\mathbf E$)은 항상 참이고, 구·원통·평면 대칭에서 장을 바로 준다. 발산 정리로 미분형 $\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v$.
정전기장은 $\nabla\times\mathbf E = 0$인 보존장이라 전위 $V = -\int_\infty^P\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell$가 정의되고 $\mathbf E = -\nabla V$. 점전하 $V = Q/4\pi\varepsilon_0R$, 중첩은 스칼라 합. 등전위면은 전기력선에 수직이고, $V = 0$이라고 $E = 0$은 아니다.
쌍극자 $\mathbf p = Q\mathbf d$: $V = \mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}/4\pi\varepsilon_0r^2$, $\mathbf E = (p/4\pi\varepsilon_0r^3)(2\cos\theta\,\hat{\mathbf r} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta})$, 균일한 장에서 $\mathbf T = \mathbf p\times\mathbf E$, $U = -\mathbf p\cdot\mathbf E$.
다중극 전개 $V = k[Q/r + \mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}/r^2 + (\text{사중극})/r^3 + \cdots]$: 멀리서는 0이 아닌 가장 낮은 모멘트가 지배하고, 차수마다 $d/r$배씩 작아진다.
정전 에너지 $W_E = \tfrac12\sum Q_kV_k = \tfrac12\int\rho_vV\,dv = \tfrac12\int\varepsilon_0E^2\,dv$, 에너지 밀도 $w_E = \tfrac12\varepsilon_0E^2$, 도체 표면 압력 $\tfrac12\varepsilon_0E^2$(가상 일). 대전된 물체 $\tfrac12CV^2$: ESD(HBM 2 kV ≈ 0.2 mJ), 정전척 압력(수 kPa).

연습문제

$\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ F/m, $k = 1/4\pi\varepsilon_0 = 8.988\times10^9$ m/F. 따로 말이 없으면 진공. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

$+1$ nC과 $-3$ nC이 2 cm 떨어져 있다. 두 전하 사이 힘의 크기는?

$F = kQ_1Q_2/R^2 = 8.988\times10^9\times3\times10^{-18}/(0.02)^2 = 6.74\times10^{-5}$ N(당기는 힘).

$+2$ nC 두 개가 $(0, 0)$과 $(10, 0)$ cm에 있다. 점 $(5, 5)$ cm에서 전기장의 $x, y$ 성분은?

두 전하까지의 거리는 모두 $5\sqrt2$ cm. 대칭으로 $x$ 성분은 상쇄된다.

$R = 0.0707$ m, 각 전하의 장 크기 $kQ/R^2 = 8.988\times10^9\times2\times10^{-9}/0.005 = 3595$ V/m, $y$ 성분은 $\sin45° = 0.7071$배. 두 개 합: $E_y = 2\times3595\times0.7071 = 5.08\times10^3$ V/m, $E_x = 0$.

반지름 5 cm인 고리에 10 nC이 고르게 분포한다. 축 위 전기장이 최대가 되는 거리 $z$와 그 최댓값은?

$\dfrac{d}{dz}\dfrac{z}{(z^2+a^2)^{3/2}} = 0$에서 $z = a/\sqrt2$.

$z = 5/\sqrt2 = 3.54$ cm. $E = kQz/(z^2+a^2)^{3/2} = 8.988\times10^9\times10^{-8}\times0.03536/(0.00375)^{3/2} = 1.38\times10^4$ V/m. 일반식으로 $E_{max} = 2kQ/(3\sqrt3a^2) = 0.385kQ/a^2$.

반지름 150 mm인 고르게 대전된 원판의 축 위 장이 무한 평면값 $\rho_s/2\varepsilon_0$의 90% 이상이 되는 최대 높이 $z$는?

$1 - z/\sqrt{z^2+a^2} \ge 0.9$ → $z/\sqrt{z^2+a^2} \le 0.1$ → $z = 0.1a/\sqrt{0.99} = 0.1005a = 15.1$ mm.

동축선의 안쪽 도체(반지름 1 mm)에 $+1$ nC/m, 바깥 도체(안쪽 반지름 4 mm)에 $-1$ nC/m가 있다. 두 도체 사이 $\rho = 2$ mm에서의 전기장과 두 도체 사이의 전위차는?

원통 가우스 면은 안쪽 도체의 전하만 감싼다. $V_{ab} = -\int_b^a E_\rho\,d\rho = \dfrac{\rho_\ell}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac ba$.

$E = \rho_\ell/2\pi\varepsilon_0\rho = 10^{-9}/(2\pi\times8.854\times10^{-12}\times0.002) = 8.99\times10^3$ V/m. $V_{ab} = (10^{-9}/2\pi\varepsilon_0)\ln4 = 17.98\times1.386 = 24.9$ V.

구 대칭 전기장이 $\mathbf E = 5r^2\,\hat{\mathbf r}$ V/m($r$은 m)이다. $r = 2$ m에서의 전하 밀도는?

$\nabla\cdot\mathbf E = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2E_r)$.

$\nabla\cdot\mathbf E = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{d}{dr}(5r^4) = 20r$. $\rho_v = \varepsilon_0\times20\times2 = 40\varepsilon_0 = 3.54\times10^{-10}$ C/m³.

$+3$ nC이 원점에, $-1$ nC이 $(4, 0)$ cm에 있다. 점 $(0, 3)$ cm의 전위와, 1 nC을 무한원에서 그 점까지 가져오는 일은?

거리 3 cm, 5 cm. $V = 8.988\times10^9(3\times10^{-9}/0.03 - 10^{-9}/0.05) = 8.988\times10^9\times8\times10^{-8} = 719$ V. $W = qV = 7.19\times10^{-7}$ J.

어떤 영역의 전위가 $V = 2x^2y - 5z$ V(좌표 m)이다. 점 $(1, -1, 2)$에서 $\mathbf E$의 세 성분은?

$\mathbf E = -\nabla V = -(4xy,\ 2x^2,\ -5)$. $(1,-1,2)$에서 $E_x = -4(1)(-1) = 4$, $E_y = -2$, $E_z = 5$ V/m. $|\mathbf E| = \sqrt{45} = 6.71$ V/m.

물 분자의 쌍극자 모멘트는 $6.17\times10^{-30}$ C·m이다. 분자에서 0.5 nm 떨어진 곳의 전기장 크기를 쌍극자 축 위와 축에 수직인 방향에서 각각 구하라.

$kp/r^3 = 8.988\times10^9\times6.17\times10^{-30}/(0.5\times10^{-9})^3 = 4.44\times10^8$ V/m. 축 위($\theta = 0$): $2kp/r^3 = 8.87\times10^8$ V/m, 수직($\theta = 90°$): $4.44\times10^8$ V/m. 이웃 분자에 SiO₂ 절연 파괴 장(약 10⁹ V/m)에 가까운 장이 걸린다 — 분자 사이 수소 결합이 강한 이유다.

$+1$ nC이 $z = \pm1$ mm에, $-2$ nC이 원점에 있다. $z$축 위 $r = 1$ cm에서 정확한 전위와 사중극자 근사값을 구하라.

$Q = 0$, $\mathbf p = 0$. 축 위 사중극 항은 $\dfrac{k}{2r^3}\sum Q_k(3z_k^2 - z_k^2) = \dfrac{k}{r^3}\sum Q_kz_k^2$.

정확: $kq\left(\dfrac{1}{0.009} + \dfrac{1}{0.011} - \dfrac{2}{0.01}\right) = 8.988\times(111.11 + 90.91 - 200) = 8.988\times2.020 = 18.16$ V. 근사: $k(2qd^2)/r^3 = 8.988\times10^9\times2\times10^{-15}/10^{-6} = 17.98$ V. 상대 오차 −1.0%(다음 항 $\propto(d/r)^2$).

한 변 1 cm인 정사각형의 네 꼭짓점에 각각 $+1$ nC이 있다. 이 배치의 정전 에너지는?

변 쌍 4개(거리 $a$), 대각선 쌍 2개(거리 $\sqrt2a$).

$W_E = \dfrac{kQ^2}{a}\left(4 + \dfrac{2}{\sqrt2}\right) = 8.988\times10^{-7}\times5.414 = 4.87\times10^{-6}$ J.

반지름 1 cm인 공에 1 nC이 고르게 분포한다. 전체 정전 에너지와 그중 공 안에 저장된 에너지는?

안: $E = Qr/4\pi\varepsilon_0a^3$, 밖: $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$. $W = \int\tfrac12\varepsilon_0E^2\,4\pi r^2dr$.

안: $\tfrac12\varepsilon_0\int_0^a\left(\dfrac{kQr}{a^3}\right)^24\pi r^2\,dr = \dfrac{kQ^2}{10a} = 8.99\times10^{-8}$ J. 밖: $kQ^2/2a = 4.49\times10^{-7}$ J. 합 $W_E = 3kQ^2/5a = 0.6\times8.988\times10^9\times10^{-18}/0.01 = 5.39\times10^{-7}$ J. 안의 몫은 1/6.

정전척과 웨이퍼 사이 틈의 전기장이 $2\times10^7$ V/m이다. 웨이퍼를 누르는 압력과 300 mm 웨이퍼 전체에 걸리는 힘은?

$p = \tfrac12\varepsilon_0E^2 = 0.5\times8.854\times10^{-12}\times4\times10^{14} = 1.77\times10^3$ Pa(13.3 Torr). $F = p\pi(0.15)^2 = 125$ N.

어떤 닫힌 곡면을 지나는 알짜 전기 선속이 0이다. 반드시 옳은 것은?

가우스 법칙은 알짜 선속과 알짜 전하만 잇는다. 안에 $+q$와 $-q$가 있어도, 바깥 전하가 장을 만들어도 선속은 0일 수 있다. 면 위의 $\mathbf E$는 0이 아니어도 된다.

어떤 영역에서 전위가 모든 점에서 같은 값 $V_0 = 500$ V이다. 이 영역에 대해 옳은 것은?

$\mathbf E = -\nabla V = 0$. 영역 안 전하 밀도도 $\rho_v = \varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf E = 0$이다. 전위의 값 자체는 기준점 선택에 달린 상수일 뿐이다. 정전 평형의 도체 내부가 이렇다(3장).

개념 확인 퀴즈

가우스 법칙으로 유한한 길이의 선전하가 만드는 장을 바로 구할 수 없는 이유는?

법칙은 참이지만 정보가 적분 하나뿐이다. 대칭이 $E$를 상수로 만들어 줄 때만 그 적분에서 $E$를 풀어낼 수 있다.

등전위선이 촘촘한 영역에 대해 옳은 것은?

$|\mathbf E| = |\nabla V| \approx \Delta V/\Delta n$. 같은 $\Delta V$ 간격의 선이 가까울수록 기울기가 크다. 전기력선은 등전위선에 수직이다.

중성 먼지 입자가 대전된 웨이퍼에 끌려가는 이유로 가장 알맞은 것은?

균일한 장에서는 돌림힘만 있고 알짜 힘은 0이다. 대전된 표면 근처의 장은 표면에 가까울수록 세서, 유도 쌍극자가 표면 쪽으로 끌린다(정전 흡착).

두 점전하의 전하를 모두 두 배로 하고 거리는 그대로 두면 정전 에너지는?

$W = kQ_1Q_2/R$ 또는 $\tfrac12\int\varepsilon_0E^2dv$에서 $E$가 2배면 $E^2$은 4배. 에너지는 전하(장)에 대해 선형이 아니라 이차다 — 에너지에는 중첩이 성립하지 않는다.

전체 전하가 $+Q$인 복잡한 분자를 아주 멀리서 본다. 전위의 주된 거리 의존과 원점 선택에 대해 옳은 것은?

$Q \ne 0$이면 홀극 항이 지배한다. 원점을 $\mathbf a$만큼 옮기면 $\mathbf p \to \mathbf p - Q\mathbf a$이므로, 전하 "중심"에 원점을 잡으면 쌍극자 항을 0으로 만들 수 있다.