Chapter 21

가우스 법칙

20장에서는 전하 하나하나의 장을 더해(적분해) 전기장을 구했다. 이 장에서는 거꾸로 묻는다: 어떤 닫힌 면을 지나 나오는 전기장의 "양"을 재면, 그 안에 든 전하를 알 수 있을까? 답이 가우스 법칙이다. 이 법칙은 대칭이 있는 문제에서 어려운 적분을 한 줄로 바꾸어 주고, 도체 속에 전기장이 없고 여분의 전하가 모두 표면에 있는 이유를 설명한다. 맥스웰 방정식 네 개 중 첫 번째이기도 하다.

점선 원(가우스 면)과 전하를 끌어 보세요

전기 선속 $\Phi_E = \int\vec E\cdot d\vec A$를 정의하고 평면·닫힌 면에 대해 계산한다.
가우스 법칙 $\oint\vec E\cdot d\vec A = Q_\text{안}/\epsilon_0$을 말하고, 점전하의 경우에서 출발해 그 근거를 설명한다.
구·원통·평면 대칭에 알맞은 가우스 면을 골라 전기장을 구한다.
정전기 평형의 도체 속에서 $E = 0$이고 여분의 전하가 표면에 있으며, 표면 바로 밖의 장이 $\sigma/\epsilon_0$임을 보인다.
공동이 있는 도체의 유도 전하와 정전기 차폐(패러데이 상자)를 설명한다.

전하와 전기 선속: 상자 안을 들여다보지 않고 전하 알아내기

안을 볼 수 없는 상자가 있다. 상자의 표면 곳곳에서 전기장을 잴 수 있다면 안에 든 전하를 알 수 있을까? 양전하가 들어 있으면 전기장은 대체로 표면을 뚫고 바깥으로, 음전하면 안으로 향한다. 전하가 없으면 — 바깥에 전하가 있더라도 — 장은 한쪽으로 들어와 다른 쪽으로 나간다. 표면을 통과해 "흘러 나가는" 전기장의 양을 전기 선속(electric flux)이라 한다(유체 14장의 부피 흐름률과 같은 수학이다). 결론부터 말하면, 닫힌 면에서 나가는 알짜 선속은 안에 든 알짜 전하에만 비례한다.

SIMULATOR

도전: 상자 속 숨은 전하를 맞혀라

추측: 상자 속 알짜 전하 표면의 장 화살표

여섯 면의 선속 합 Φ—

상자 속 실제 전하?

판정 · 연속 정답—

한 변 20 cm인 정육면체 상자(그림은 가운데 단면)의 각 면을 지나 바깥으로 나가는 선속이 적혀 있다(앞·뒤 면은 같다). 상자 속 전하는 정수 nC이고, 바깥의 전하(보임)는 방해꾼이다. 여섯 면의 선속을 모두 더해 $\epsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ C²/(N·m²)를 곱하면 된다. 해볼 것: 바깥 전하를 무시해도 되는 이유를 화살표에서 찾아라 — 한쪽 면으로 들어온 만큼 다른 면으로 나간다.

전기 선속의 계산

넓이 $A$인 평평한 면을 균일한 전기장 $\vec E$가 지난다. 면에 수직하고 크기가 $A$인 넓이 벡터(area vector) $\vec A$를 쓰면, 면을 지나는 선속은 장이 면을 수직으로 뚫는 성분 $E\cos\phi$에 넓이를 곱한 것이다.

전기 선속. 면에 수직한 장 성분만 면을 "통과"한다. 닫힌 면에서는 넓이 벡터를 바깥 방향으로 잡는 것이 약속이다 — 나가는 선속이 양, 들어오는 선속이 음이다.

$$\Phi_E = \vec E\cdot\vec A = EA\cos\phi, \qquad \Phi_E = \int\vec E\cdot d\vec A = \int E_\perp\,dA$$

단위 N·m²/C. 장이 면 위에서 변하면 작은 조각 $d\vec A$로 나누어 적분한다. 닫힌 면 위의 적분은 $\oint$로 쓴다.

MINI LAB넓이 벡터의 끝(흰 원)을 끌어 한 변 20 cm인 정사각형 면을 돌려 보라($E = 1.0\times10^3$ N/C). 면을 뚫는 전기력선의 수(주황)가 $\cos\phi$에 비례하고, 90°를 넘기면 선속의 부호가 바뀐다.

세기 2000인 균일한 전기장 속에 반지름 10인 원판을 넓이 벡터가 장과 30를 이루도록 놓으면, 선속은 $\Phi = E\pi r^2\cos\phi =$ 이다.

균일한 장 속에 정육면체를 놓으면 어떻게 될까? 장과 수직한 두 면 중 한쪽으로 $-EA$가 들어와 다른 쪽으로 $+EA$가 나가고, 나머지 네 면은 장과 나란해 0이다. 알짜 선속은 0 — 안에 전하가 없기 때문이다.

균일한 장 속의 닫힌 면. 바깥에 있는 전하의 장은 언제나 이렇게 알짜 선속이 0이다.

반지름 0.10 m인 원판이 세기 $2.0\times10^3$ N/C인 균일한 전기장 속에 있다. 넓이 벡터가 장과 30°를 이룰 때, 0°일 때, 90°일 때의 선속은?

풀이 보기

풀이 $A = \pi(0.10)^2 = 0.0314$ m². 30°: $\Phi = (2.0\times10^3)(0.0314)\cos30° = 54$ N·m²/C. 0°: 63 N·m²/C. 90°: 0.

54, 63, 0 N·m²/C

검토 위의 드래그 숫자 문단에서 각을 바꿔 확인하라. 각이 180°면 $-63$ N·m²/C이다.

가우스 법칙

점전하 $q$를 중심으로 반지름 $r$인 구를 그리자. 구 위의 모든 점에서 $E = kq/r^2$이고 장은 구면에 수직으로 나가므로, 선속은 $\Phi = E\cdot4\pi r^2 = 4\pi kq = q/\epsilon_0$이다. 반지름이 사라졌다. 구가 커지면 넓이가 $r^2$으로 커지고 장이 $1/r^2$로 약해져 정확히 상쇄된다. 이것이 역제곱 법칙의 핵심 성질이다.

점전하를 둘러싼 구: $\Phi = (kq/r^2)(4\pi r^2) = q/\epsilon_0$. 구의 크기와 상관없다.
울퉁불퉁한 면이라도, 전하에서 본 같은 입체각 조각을 지나는 선속은 구의 조각과 같다(거리의 제곱이 상쇄되고, 기울어진 만큼은 $\cos$가 보정한다). 그러므로 전하를 둘러싼 어떤 닫힌 면이든 $q/\epsilon_0$이다.
전하가 면 밖에 있으면, 면으로 들어오는 선속과 나가는 선속이 같아 알짜 0이다. 여러 전하가 있으면 중첩으로 안에 든 것만 남는다.

가우스 법칙의 근거. 전기력선으로 말하면: 닫힌 면을 나가는 알짜 전기력선의 수는 안에 든 전하에 비례한다.

가우스 법칙

임의의 닫힌 면(가우스 면(Gaussian surface))을 지나 바깥으로 나가는 알짜 전기 선속은 그 면 안에 든 알짜 전하를 $\epsilon_0$으로 나눈 것과 같다 — 가우스 법칙(Gauss's law).

$$\oint\vec E\cdot d\vec A = \frac{Q_\text{안}}{\epsilon_0}$$

$\vec E$는 안팎 모든 전하가 만든 전체 장이지만, 적분 결과는 안의 전하만으로 정해진다. 쿨롱 법칙과 같은 내용이며, 움직이는 전하에도 성립하는 더 일반적인 법칙이다(29장 맥스웰 방정식).

점전하를 둘러싼 구형 가우스 면의 반지름을 2배로 늘리면 면을 지나는 선속은?

$E$는 1/4로, 넓이는 4배로 바뀌어 선속은 그대로 $q/\epsilon_0$이다. 아래에서 면의 크기 손잡이를 끌어 확인하고, 면을 찌그러뜨린 정육면체로 바꿔도 보라.

SIMULATOR

가우스 면 실험대: 선속을 수치 적분으로 재기

전하, 면의 가운데(+), 면의 크기(흰 원)를 끈다

가우스 면

전하 배치

전기력선

수치 적분 ∮E·dA—

안의 전하 Q_안—

Q_안/ε₀—

모든 전하는 그림 평면(z = 0) 위에 있고, 가우스 면은 3차원 구 또는 정육면체다(그림은 단면). 구는 3600개 조각으로 $\vec E\cdot d\vec A$를 더하고, 정육면체는 면마다 정확한 입체각으로 계산한다. 테두리 색: 빨강 = 장이 나감, 파랑 = 들어옴. 해볼 것: ① 전하가 면 밖으로 나가는 순간 선속이 뚝 떨어진다. ② 쌍극자를 통째로 감싸면 장은 0이 아니어도 선속은 0이다. ③ 전하를 면에 아주 가깝게 대면 구의 수치 적분 오차가 커진다 — 조각이 유한하기 때문이다.

$+3.0$ μC인 점전하를 (a) 반지름 0.20 m인 구, (b) 한 변 1.0 m인 정육면체(전하가 중심)로 감쌌다. 각 면을 지나는 선속은? (b)에서 한 면을 지나는 선속은?

풀이 보기

풀이 어떤 닫힌 면이든 $\Phi = q/\epsilon_0 = 3.0\times10^{-6}/8.854\times10^{-12} = 3.39\times10^5$ N·m²/C. 정육면체의 여섯 면은 대칭으로 같으므로 한 면은 $5.6\times10^4$ N·m²/C.

(a), (b) 모두 3.4 × 10⁵ N·m²/C · 한 면 5.6 × 10⁴ N·m²/C

검토 한 면의 선속을 직접 적분하는 것은 어렵지만, 대칭과 가우스 법칙으로는 나눗셈 한 번이다. 시뮬레이터의 "정육면체"에서 전하를 중심에 두고 확인하라.

대칭을 이용한 전기장 계산

가우스 법칙은 언제나 성립하지만, 장을 구하는 데 쓰려면 $\oint\vec E\cdot d\vec A$를 $E\times(\text{넓이})$로 바꿀 수 있어야 한다. 그러려면 가우스 면 위에서 장이 (1) 크기가 일정하고 면에 수직이거나, (2) 면과 나란해 선속이 0이어야 한다. 그런 면은 전하 분포에 높은 대칭이 있을 때만 고를 수 있다.

구 대칭: 장은 중심에서 방사상이고 같은 반지름에서 크기가 같다 → 동심 구. 구 밖에서는 모든 전하가 중심에 모인 점전하와 같다(12장 구 껍질 정리의 전기판).
원통 대칭(무한 직선·원통): 장은 축에서 수직으로 퍼진다 → 동축 원통. 양 끝 뚜껑은 장과 나란해 선속이 없다.
평면 대칭(무한 평면): 장은 평면에 수직 → 평면을 가로지르는 상자(필박스). 20장에서 적분으로 구한 $\sigma/2\epsilon_0$이 한 줄로 나온다.

대칭에 맞는 가우스 면. 정육면체 모양의 전하 분포처럼 대칭이 낮으면 가우스 법칙은 참이지만 장을 구하는 데는 쓸모가 없다.

균일하게 대전된 절연체 구(반지름 $R$, 전하 $Q$)의 안쪽($r < R$)에서는 가우스 면 안의 전하가 $Q(r/R)^3$이므로 $E = kQr/R^3$ — 중심에서 0이고 바깥으로 갈수록 직선으로 커진다. 반면 얇은 구 껍질 안쪽에는 전하가 없어 $E = 0$이다.

$$E_\text{균일 구} = \begin{cases} \dfrac{kQr}{R^3} & (r < R) \\[2mm] \dfrac{kQ}{r^2} & (r \ge R)\end{cases}, \qquad E_\text{구 껍질} = \begin{cases} 0 & (r < R) \\ \dfrac{kQ}{r^2} & (r > R)\end{cases}$$

SIMULATOR

대전된 구의 전기장 E(r): 가우스 면을 키워 보라

점선 원의 흰 원을 끌어 반지름 r을 바꾼다

전하 분포

가우스 면 반지름 r—

안의 전하 Q_안—

E_r (바깥 +)—

Φ = Q_안/ε₀—

구 반지름 10 cm, 전하 +5.0 nC. "중심 전하 + 도체 껍질"은 중심에 +3.0 nC, 안지름 8 cm·바깥지름 12 cm인 도체 껍질에 알짜 −5.0 nC. 해볼 것: ① 절연체 구 안에서 E가 r에 비례한다. ② 도체 구 안은 어디서나 0이다. ③ 셋째 분포에서 도체 껍질 속(8–12 cm)은 E = 0이므로 안쪽 면에 −3.0 nC, 바깥 면에 −2.0 nC가 있어야 한다.

반지름 10, 전하 5.0로 균일하게 대전된 절연체 구의 중심에서 5 떨어진 곳의 장은 이다.

반지름 0.10 m인 절연체 구에 5.0 μC이 고르게 퍼져 있다. 중심에서 0.050 m, 0.20 m 떨어진 곳의 장은?

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전략 동심 구 가우스 면. 안쪽이면 $Q_\text{안} = Q(r/R)^3$.

풀이 $r = 0.050$ m: $E = kQr/R^3 = (8.988\times10^9)(5.0\times10^{-6})(0.050)/(0.10)^3 = 2.25\times10^6$ N/C. $r = 0.20$ m: $E = kQ/r^2 = 1.12\times10^6$ N/C.

2.2 × 10⁶ N/C, 1.1 × 10⁶ N/C (모두 바깥 방향)

검토 표면(r = R)에서 두 식이 같은 값 $4.5\times10^6$ N/C를 준다 — 장이 연속이다.

가우스 법칙으로 선전하 밀도 $\lambda$인 무한 직선의 장을 구하고, $\lambda = 3.0$ μC/m일 때 0.10 m 떨어진 곳의 값을 계산하라.

풀이 보기

풀이 반지름 $r$, 길이 $l$인 동축 원통: $E(2\pi rl) = \lambda l/\epsilon_0$ → $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r} = \dfrac{2k\lambda}{r}$. 값: $2(8.988\times10^9)(3.0\times10^{-6})/0.10 = 5.4\times10^5$ N/C.

E = λ/(2πε₀r) ≈ 5.4 × 10⁵ N/C

검토 20장에서 적분으로 얻은 결과와 같다. 원통의 길이 $l$은 약분된다.

왼쪽 판 σ₁ 오른쪽 판 σ₂

MINI LAB무한히 넓은 대전 판 두 개. 각 판은 양쪽에 $\sigma/2\epsilon_0$의 균일한 장을 만들고(흐린 화살표), 세 영역의 장은 그 합이다(진한 화살표). $\sigma_1 = -\sigma_2$이면 판 사이에만 $\sigma/\epsilon_0$의 장이 있고 바깥은 0 — 23장 평행판 축전기다.

도체와 가우스 법칙

도체 속의 자유 전자는 조금이라도 전기장이 있으면 움직인다. 그러므로 전하가 더 이상 움직이지 않는 정전기 평형(electrostatic equilibrium)에서는 도체 속의 전기장이 0이다. 이 한 가지 사실과 가우스 법칙으로 도체의 성질이 모두 나온다.

여분의 전하는 표면에만 있다. 도체 속 어디에 가우스 면을 그려도 $E = 0$이므로 안의 전하가 0이다.
표면 바로 밖의 장은 표면에 수직이고 $E = \sigma/\epsilon_0$이다. 나란한 성분이 있으면 표면의 전하가 움직일 것이다. 표면을 가로지르는 작은 상자를 그리면 바깥 뚜껑만 선속을 갖는다: $EA = \sigma A/\epsilon_0$.
공동 속 전하는 공동 벽에 반대 부호의 전하를 유도한다. 공동을 감싸는 가우스 면(도체 속)에서 $E = 0$이므로 공동 속 전하 $q$와 벽의 전하 합이 0, 곧 벽에 $-q$가 있다.

절연 손잡이가 달린 금속 덩어리 속 여기저기에 여분의 전하를 흩뿌렸다. 잠시 뒤 전하들은 어디에 있을까?

같은 부호 전하는 서로 밀어 가능한 한 멀어지고, 도체 속의 장이 0이 되는 분포는 표면 분포뿐이다. 곡률이 큰 뾰족한 곳에 전하가 모이고 장이 세다 — 피뢰침의 원리.

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도체 속 전하의 이완

도체 속을 누르면 그 자리에 전하를 하나 더 넣는다

도체 모양(단면)

전하 수

표면에 닿은 전하—

가운데 점의 |E| (처음 대비)—

뾰족한 끝 ÷ 둥근 끝 전하 밀도—

아주 긴 도체의 단면이다(전하들은 단면에 수직인 긴 선전하로, 서로 $1/r$로 민다). 전하는 받는 힘의 방향으로 움직이며(마찰이 큰 운동), 도체 밖으로는 나가지 못한다. 해볼 것: ① 처음에는 가운데의 장이 크지만 전하가 표면으로 가면 0에 가까워진다. ② 물방울 모양에서는 뾰족한 끝 바로 근처의 전하 밀도가 둥근 끝보다 크다(전하 80개에서 약 1.4배 — 끝이 뾰족할수록, 끝에 가까울수록 더 커진다). ③ 몇 개는 안쪽에 남기도 한다: 표면 전하가 만드는 안쪽 장이 거의 0이라 밀어낼 힘이 아주 약하기 때문이다.

공동이 있는 도체. 도체 속의 가우스 면을 지나는 선속이 0이므로 공동 벽에는 $-q$가 유도된다. 도체의 알짜 전하가 $Q$라면 바깥 면에는 $Q + q$가 남는다. 패러데이는 얼음통 실험으로 이것을 확인했다.

정전기 차폐

공동 속에 전하가 없으면 공동 벽에도 전하가 없고, 공동 속의 장은 0이다 — 바깥에 어떤 장이 있든 상관없다. 바깥의 장은 도체 바깥 면의 전하를 재배치할 뿐 안으로 들어오지 못한다. 이것이 정전기 차폐(electrostatic shielding)이고, 금속 그물로 감싼 방이 패러데이 상자(Faraday cage)다. 번개 맞은 자동차 안이 안전하고, 엘리베이터 안에서 휴대전화가 잘 안 터지는 이유다.

도체 원통 놓기

MINI LAB균일한 전기장 속에 속이 빈 도체 원통을 놓는다. 장은 원통의 왼쪽 면에 음전하, 오른쪽 면에 양전하를 유도하고, 전기력선은 표면에 수직으로 들어갔다 나온다. 안쪽 점(흰 원)을 어디로 끌어도 장은 0이다.

맑은 날 지표면 근처에는 아래쪽을 향하는 약 150의 전기장이 있다. 지구를 도체 구(반지름 6371 km)로 보면 지표면의 면전하 밀도는 $\sigma = -\epsilon_0E =$ , 지구 전체의 전하는 이다.

알짜 전하 $-5.0$ nC인 도체 껍질의 공동 중심에 $+2.0$ nC인 점전하가 있다. 공동 벽(안쪽 면)과 바깥 면의 전하는?

풀이 보기

풀이 도체 속 가우스 면: $Q_\text{안} = 0$ → 안쪽 면 $= -2.0$ nC. 전하 보존: 바깥 면 $= -5.0 - (-2.0) = -3.0$ nC.

안쪽 면 −2.0 nC, 바깥 면 −3.0 nC

검토 껍질 밖의 장은 $k(-3.0\text{ nC})/r^2$ — 껍질 바깥에서는 안쪽 전하 $+2.0$과 껍질 $-5.0$의 합 $-3.0$ nC만 보인다. 구 실험대의 셋째 분포에서 같은 구조를 볼 수 있다.

지표면 근처의 전기장이 아래로 150 N/C이다. 지표면의 면전하 밀도와 지구 전체의 전하는? (지구 반지름 $6.37\times10^6$ m)

풀이 보기

풀이 도체 표면 밖: $E = \sigma/\epsilon_0$ → $|\sigma| = (8.854\times10^{-12})(150) = 1.33\times10^{-9}$ C/m². 장이 안쪽(아래)을 향하므로 음전하. $Q = 4\pi R^2\sigma = -6.8\times10^5$ C.

σ ≈ −1.3 × 10⁻⁹ C/m², Q ≈ −6.8 × 10⁵ C

검토 엄청난 전하 같지만 1 m²당 전자 약 80억 개가 남는 정도다. 이 전하는 전 세계의 뇌우가 끊임없이 충전한다.

핵심 정리

전기 선속 $\Phi_E = \int\vec E\cdot d\vec A$, 균일한 장과 평면이면 $EA\cos\phi$. 닫힌 면은 바깥을 향하는 $d\vec A$를 쓴다.
가우스 법칙 $\oint\vec E\cdot d\vec A = Q_\text{안}/\epsilon_0$. 면의 모양과 크기, 바깥 전하와 무관하다. 역제곱 법칙의 결과다.
대칭을 쓰면 장이 한 줄로 나온다: 구($kQ_\text{안}/r^2$), 균일 구 내부($kQr/R^3$), 무한 직선($\lambda/2\pi\epsilon_0r$), 무한 평면($\sigma/2\epsilon_0$).
정전기 평형의 도체: 속의 $E = 0$, 여분의 전하는 표면에, 표면 바로 밖 $E = \sigma/\epsilon_0$(표면에 수직). 뾰족한 곳에 전하가 몰린다.
공동 속 전하 $q$는 공동 벽에 $-q$를 유도한다. 빈 공동 속은 바깥 장과 무관하게 $E = 0$(정전기 차폐, 패러데이 상자).

연습문제

특별한 말이 없으면 $k = 8.988\times10^9$ N·m²/C², $\epsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ C²/(N·m²)를 쓴다. 부호가 있는 답은 부호까지 입력한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

0.20 m × 0.30 m인 직사각형 면이 $4.0\times10^4$ N/C의 균일한 장 속에 있고, 넓이 벡터와 장 사이의 각이 60°이다. 선속은?

$\Phi = EA\cos\phi = (4.0\times10^4)(0.060)(0.50) = 1.2\times10^3$ N·m²/C.

$-4.0$ nC인 점전하를 감싼 닫힌 면(모양은 모른다)을 지나는 알짜 선속은?

$\Phi = q/\epsilon_0 = -4.0\times10^{-9}/8.854\times10^{-12} = -452$ N·m²/C. 음수: 알짜로 들어온다.

상자 안에 $+3.0$ nC과 $-5.0$ nC이, 상자 밖 가까이에 $+7.0$ nC이 있다. 상자를 지나는 알짜 선속은?

바깥 전하는 기여하지 않는다: $\Phi = (3.0 - 5.0)\times10^{-9}/\epsilon_0 = -226$ N·m²/C.

정육면체의 중심에 6.0 μC이 있다. 한 면을 지나는 선속은?

대칭으로 여섯 면이 같다: $\Phi = q/6\epsilon_0 = 1.13\times10^5$ N·m²/C.

반지름 0.20 m인 절연체 구에 8.0 μC이 고르게 퍼져 있다. 중심에서 0.10 m인 곳의 장은?

$E = kQr/R^3 = (8.988\times10^9)(8.0\times10^{-6})(0.10)/(0.20)^3 = 8.99\times10^5$ N/C.

반지름 0.15 m인 도체 구의 표면 바로 밖에서 장이 $3.0\times10^4$ N/C(바깥 방향)이다. 구의 전하는?

$E = kQ/R^2$ → $Q = ER^2/k = (3.0\times10^4)(0.15)^2/(8.988\times10^9) = 7.51\times10^{-8}$ C.

아주 긴 대전 도선에서 0.20 m 떨어진 곳의 장이 $2.5\times10^4$ N/C이다. 도선의 선전하 밀도는?

$\lambda = 2\pi\epsilon_0rE = Er/2k = 2.78\times10^{-7}$ C/m.

동축 케이블의 안쪽 도선에 +4.0 nC/m, 바깥 원통 도체에 −4.0 nC/m가 있다. 축에서 1.0 cm(두 도체 사이)인 곳의 장은? (케이블 밖의 장은 얼마일까?)

반지름 1.0 cm 원통 안의 전하는 안쪽 도선뿐: $E = 2k\lambda/r = 7.19\times10^3$ N/C. 케이블 밖에서는 $\lambda_\text{안} = 0$이라 $E = 0$ — 동축 케이블이 신호를 차폐하는 이유.

면전하 밀도 +2.0 μC/m², −2.0 μC/m²인 아주 넓은 평행판 사이의 장은?

$E = \sigma/\epsilon_0 = 2.26\times10^5$ N/C. 바깥은 두 판의 장이 상쇄되어 0.

안지름 0.10 m, 바깥지름 0.20 m인 도체 구 껍질의 알짜 전하가 +6.0 nC이고, 공동 중심에 −2.0 nC인 점전하가 있다. 껍질의 안쪽 면과 바깥 면의 전하, 그리고 중심에서 0.30 m인 곳의 장의 크기는?

안쪽 면 $+2.0$ nC(공동 전하를 상쇄), 바깥 면 $6.0 - 2.0 = +4.0$ nC. $E = k(4.0\times10^{-9})/(0.30)^2 = 400$ N/C(바깥 방향).

도체 표면의 면전하 밀도가 5.0 μC/m²이다. 표면 바로 밖의 장은?

$E = \sigma/\epsilon_0 = 5.65\times10^5$ N/C. 무한 평면($\sigma/2\epsilon_0$)의 2배 — 도체 속의 장이 0이라 모든 선속이 바깥으로만 나가기 때문이다.

지표면 근처의 전기장이 아래 방향으로 120 N/C이다. 지표면의 면전하 밀도의 크기는?

$|\sigma| = \epsilon_0E = 1.06\times10^{-9}$ C/m², 음전하.

어떤 닫힌 면을 지나는 알짜 선속이 0이다. 반드시 참인 것은?

알짜 전하가 0이면 된다(+q와 −q가 함께 있어도 된다). 장 자체는 바깥 전하 때문에 0이 아닐 수 있다.

정전기 평형에 있는 도체 속의 전기장이 0인 이유는?

정전기 평형의 정의(전하가 움직이지 않음)에서 나온다. 가우스 법칙은 그 결과로 여분의 전하가 표면에 있음을 알려 준다.

개념 확인 퀴즈

점전하 $q$를 둘러싼 가우스 면 바깥에 다른 전하 $Q$를 가져왔다. 면을 지나는 선속과 면 위의 장은?

장은 모든 전하가 만들지만 바깥 전하의 선속 기여는 0이다.

균일하게 대전된 절연체 구의 중심에서 장은?

$E = kQr/R^3$에서 r = 0. 사방의 전하가 상쇄한다.

가우스 법칙으로 정육면체 모양으로 고르게 대전된 물체 바깥의 장을 쉽게 구할 수 없는 이유는?

법칙은 성립하지만 적분을 $E\times$넓이로 바꿀 대칭이 없다.

도체 표면에서 곡률이 가장 큰(뾰족한) 곳의 특징은?

$E = \sigma/\epsilon_0$이고 뾰족한 곳에 $\sigma$가 크다. 장이 공기의 절연 파괴 세기를 넘으면 코로나 방전이 일어난다.

번개가 자동차에 떨어져도 안에 있는 사람이 대개 안전한 이유는?

타이어는 수억 볼트에서 아무 소용이 없다. 금속 껍질이 전하를 바깥으로 흐르게 한다.