Chapter 20

전하와 전기장

스웨터에 문지른 풍선은 머리카락을 끌어당기고, 문손잡이를 잡으면 따끔한 불꽃이 튄다. 원자를 묶고 화학 결합을 만들고 우리 몸의 신경 신호를 전하는 힘이 모두 같은 전기력이다. 이 장에서는 전기력의 원천인 전하, 두 전하 사이의 힘을 정하는 쿨롱 법칙, 그리고 "공간에 퍼져 있는 힘의 지도"인 전기장을 다룬다. 이제부터 일반물리학 II — 전자기학이다.

전하를 끌어 보세요 · 두 번 누르면 부호가 바뀐다

전하의 보존과 양자화를 설명하고, 도체·절연체에서 유도 대전과 분극이 어떻게 일어나는지 말한다.
쿨롱 법칙 $F = k|q_1q_2|/r^2$과 벡터 중첩으로 여러 전하가 주는 알짜 힘을 구한다.
전기장 $\vec E = \vec F/q_0$을 정의하고, 점전하들의 전기장과 전기력선을 그린다.
고리·직선·면 전하 분포의 전기장을 적분으로 구한다.
균일한 전기장 속 대전 입자의 운동과, 전기 쌍극자가 받는 토크 $\vec\tau = \vec p\times\vec E$와 에너지 $U = -\vec p\cdot\vec E$를 계산한다.

전하와 대전

호박을 털가죽에 문지르면 가벼운 물체를 끌어당긴다는 사실은 고대 그리스에서부터 알려졌다(전기를 뜻하는 electricity는 호박을 뜻하는 그리스어 elektron에서 왔다). 문지른 유리 막대 두 개는 서로 밀고, 유리 막대와 플라스틱 막대는 서로 당긴다. 이런 관찰로부터 전하(electric charge)에는 두 종류가 있고, 같은 종류끼리는 밀고 다른 종류끼리는 당긴다는 것을 안다. 프랭클린을 따라 유리 막대의 전하를 양(+), 플라스틱의 전하를 음(−)이라 부른다.

보통의 물질은 양성자(+)를 가진 원자핵과 전자(−)로 이루어져 있다. 문지르면 전자가 한 물체에서 다른 물체로 옮겨 가 한쪽은 전자가 남고(음으로 대전), 다른 쪽은 모자란다(양으로 대전). 전하가 새로 생기거나 사라지는 것이 아니다.

전하의 보존과 양자화

전하 보존 법칙(conservation of charge): 고립계의 알짜 전하는 언제나 일정하다. 전하의 양자화(quantization of charge): 모든 물체의 전하는 기본 전하(elementary charge) $e = 1.602\times10^{-19}$ C의 정수배다. 전자의 전하는 $-e$, 양성자는 $+e$이다. 전하의 SI 단위는 쿨롬(C)이다.

물체의 전하가 -50이면 전자가 . 그 전자들의 질량은 로, 저울로는 잴 수 없다. 구리 1 g 속 전자(2.75 × 10²³개) 가운데 만 옮겨도 이만큼 대전된다.

도체, 절연체, 유도 대전

금속처럼 전자 일부가 원자에 묶이지 않고 물질 속을 자유롭게 움직이는 물질이 도체(conductor), 유리·플라스틱·고무처럼 전자가 원자에 단단히 묶인 물질이 절연체(insulator)다. 대전된 막대를 도체에 가까이 대기만 해도 도체 속 자유 전자가 움직여 전하가 갈라진다. 이를 이용해 접촉하지 않고 도체를 대전시키는 방법이 유도 대전(charging by induction)이다.

중성인 금속 구. 양전하(원자핵)와 음전하(전자)의 양이 같고 고르게 섞여 있다.
음전하 막대를 가까이 대면 자유 전자가 밀려 반대쪽으로 몰린다. 가까운 쪽은 양, 먼 쪽은 음 — 구 전체는 여전히 중성이다.
먼 쪽을 도선으로 땅에 이으면(접지) 막대에 밀린 전자가 땅으로 빠져나간다.
막대를 대 둔 채 접지를 끊고, 그다음 막대를 치우면 구에는 양전하가 남아 표면에 고르게 퍼진다. 막대의 전하는 하나도 쓰이지 않았다.

유도 대전. 막대와 같은 부호가 아니라 반대 부호로 대전된다는 점에 주의하라.

접지 연결

MINI LAB음전하 막대(흰 원)를 끌어 금속 구에 가까이 가져가 보라. 위의 네 단계를 직접 해 보자: 막대를 대고 → 접지 → 접지를 끊고 → 막대를 멀리. 구에 남는 전하의 부호는?

절연체에서는 전자가 원자를 떠나지 못하지만, 원자나 분자 속에서 조금 치우칠 수는 있다. 이 분극(polarization) 때문에 대전된 물체는 중성인 절연체도 끌어당긴다. 가까운 쪽에 반대 부호, 먼 쪽에 같은 부호가 모이고, 쿨롱 힘은 거리에 따라 줄어드므로 당기는 힘이 미는 힘보다 크다.

분극에 의한 인력. 대전된 물체는 부호와 상관없이 중성 물체를 끌어당긴다 — 양전하 풍선이라면 분자들이 반대 방향으로 치우친다.

물체가 $-1.00$ μC으로 대전되었다. 남는 전자는 몇 개이고, 그 때문에 물체의 질량은 얼마나 늘었나? ($m_e = 9.11\times10^{-31}$ kg)

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풀이 $N = \dfrac{1.00\times10^{-6}}{1.602\times10^{-19}} = 6.24\times10^{12}$개. $\Delta m = Nm_e = 5.69\times10^{-18}$ kg.

6.24 × 10¹² 개, 5.7 × 10⁻¹⁸ kg

검토 수조 개의 전자도 전체 전자의 아주 작은 일부다. 일상의 대전은 전하 균형이 아주 조금 깨진 것일 뿐이다.

쿨롱 법칙

1785년 쿨롱은 비틀림 저울로 두 대전 구 사이의 힘을 쟀다. 힘은 두 전하의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다 — 12장의 만유인력 법칙과 꼭 같은 꼴이다.

쿨롱 법칙

거리 $r$만큼 떨어진 두 점전하 $q_1$, $q_2$ 사이의 전기력의 크기는 다음과 같고, 방향은 두 전하를 잇는 직선을 따라 같은 부호면 밀고 다른 부호면 당긴다. 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대다(작용–반작용) — 쿨롱 법칙(Coulomb's law).

$$F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.988\times10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$$

$\epsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ C²/(N·m²): 진공의 유전율(permittivity of free space). 여러 전하가 있으면 각 쌍의 힘을 벡터로 더한다(중첩 원리(principle of superposition)).

전하 2.0와 -3.0가 30 떨어져 있으면 서로 의 힘으로 . 이는 질량 인 물체의 무게와 같다.

수소 원자에서 전자와 양성자는 평균 $5.29\times10^{-11}$ m 떨어져 있다. 둘 사이의 전기력과 중력의 크기, 그리고 그 비는? ($m_p = 1.673\times10^{-27}$ kg, $G = 6.674\times10^{-11}$ N·m²/kg²)

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풀이 $F_e = \dfrac{(8.988\times10^9)(1.602\times10^{-19})^2}{(5.29\times10^{-11})^2} = 8.24\times10^{-8}$ N. $F_g = \dfrac{Gm_em_p}{r^2} = 3.63\times10^{-47}$ N. 비 $F_e/F_g = 2.27\times10^{39}$.

F_e ≈ 8.2 × 10⁻⁸ N, F_g ≈ 3.6 × 10⁻⁴⁷ N, 비 ≈ 2.3 × 10³⁹

검토 거리가 약분되므로 비는 거리와 무관하다. 원자·분자의 세계에서 중력은 완전히 무시된다. 그런데도 천체 규모에서 중력이 지배하는 것은 물체가 전기적으로 거의 정확히 중성이어서 전기력이 상쇄되기 때문이다.

x축 위에 $q_1 = +1.0$ nC(x = 0), $q_2 = -3.0$ nC(x = 3.0 cm), $q_3 = +5.0$ nC(x = 5.0 cm)이 있다. $q_1$이 받는 알짜 힘은?

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전략 각 힘의 크기를 쿨롱 법칙으로 구하고 방향(부호)은 그림으로 정한다.

풀이 $q_2$가 당김(+x): $F_{21} = \dfrac{k(1.0\times10^{-9})(3.0\times10^{-9})}{(0.030)^2} = 3.00\times10^{-5}$ N. $q_3$이 밂(−x): $F_{31} = \dfrac{k(1.0\times10^{-9})(5.0\times10^{-9})}{(0.050)^2} = 1.80\times10^{-5}$ N. 알짜 $1.20\times10^{-5}$ N.

1.2 × 10⁻⁵ N, +x 방향

검토 $q_3$의 전하가 더 크지만 멀리 있어 힘이 더 작다. 부호를 식에 넣지 말고, 크기를 구한 뒤 방향을 따로 정하는 편이 실수가 적다.

두 점전하 사이의 거리를 2배로 늘리면 서로 미는 힘은?

역제곱 법칙: $F \propto 1/r^2$. 아래에서 시험 전하를 한 전하로부터 두 배 거리로 옮겨 그 전하의 힘 화살표를 비교하라(화살표 길이는 로그 눈금, 값은 아래 표시).

SIMULATOR

도전: 알짜 힘이 0인 곳을 찾아라

세 전하를 모두 끌 수 있다 · 흰 테두리가 시험 전하

q_A q_B A와 B가 받는 힘도 표시

A가 시험 전하에 주는 힘—

B가 주는 힘—

알짜 힘 |F|—

판정 · 성공—

시험 전하 $q_0 = +1.0$ μC, 그림의 가로 폭은 1 m. 화살표: A의 힘(빨강), B의 힘(파랑), 알짜 힘(주황). 알짜 힘이 두 힘의 합의 3% 아래로 떨어지면 성공. 해볼 것: ① A, B의 부호가 같으면 평형점은 두 전하 사이, 크기가 작은 전하에 가깝다. ② 부호가 반대면 평형점은 두 전하 바깥, 작은 전하 쪽에 있다. ③ 평형점에서 시험 전하를 직선과 수직으로 조금 옮기면 어떻게 되나?

전기장과 전기력선

떨어져 있는 전하가 어떻게 서로 힘을 미칠까? 패러데이는 전하가 주위 공간에 전기장(electric field)을 만들고, 다른 전하는 자기가 있는 곳의 전기장에서 힘을 받는다고 생각했다. "전하 → 장 → 전하"로 힘을 둘로 나누는 이 관점은 29장에서 전기장이 스스로 빛의 속력으로 퍼져 나가는 파동임이 밝혀지며 실체가 된다.

$$\vec E = \frac{\vec F_0}{q_0}, \qquad \vec F = q\vec E, \qquad E_\text{점전하} = k\frac{|q|}{r^2}$$

아주 작은 양의 시험 전하(test charge) $q_0$가 받는 힘을 $q_0$로 나눈 것. 단위 N/C. 양전하가 만든 장은 바깥을, 음전하가 만든 장은 안쪽을 향한다. 여러 전하의 장은 벡터로 더한다: $\vec E = \sum\vec E_i$. 음전하는 $\vec E$와 반대 방향으로 힘을 받는다.

전기장을 그림으로 나타내는 방법이 전기력선(electric field line)이다. 전기력선의 접선 방향이 그 점의 전기장 방향이고, 전기력선이 빽빽한 곳일수록 장이 세다.

전기력선의 규칙: ① 양전하에서 나와 음전하로 들어간다. ② 전하의 크기에 비례하는 수만큼 그린다. ③ 서로 교차하지 않는다(한 점의 장 방향은 하나). ④ 간격이 좁을수록 장이 세다.

SIMULATOR

전기력선 그리기: 전하를 놓고 끌어라

전하와 측정점(주황 테두리)을 끈다

배치

전기력선 격자의 장 벡터

측정점의 |E|—

방향 (+x에서 반시계)—

전자가 받는 힘—

알짜 전하—

그림의 가로 폭 40 cm, 전하 하나는 ±5 nC(평행판은 ±2 nC씩). 해볼 것: ① 같은 전하 두 개 사이 한가운데의 장은 0이다 — 측정점을 놓아 보라. ② "+2q와 −q"에서 +2q에서 나온 선의 절반만 −q로 들어가고 나머지는 멀리 나간다. ③ 평행판 사이의 장은 거의 균일하고, 바깥은 거의 0이다(가장자리 효과 제외).

$+12$ nC과 $-12$ nC이 0.10 m 떨어져 있다. (a) 두 전하의 한가운데, (b) 두 전하로부터 각각 0.13 m 떨어진 점(두 전하를 잇는 선의 수직 이등분선 위)에서 전기장의 크기와 방향은?

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풀이 (a) 각 전하의 장 $k(12\times10^{-9})/(0.050)^2 = 4.31\times10^4$ N/C가 모두 −전하 쪽을 향하므로 $E = 8.63\times10^4$ N/C. (b) 각 $k(12\times10^{-9})/(0.13)^2 = 6.38\times10^3$ N/C. 수직 성분은 상쇄되고 나란한 성분 $\times\,(0.050/0.13)$이 더해져 $E = 2(6.38\times10^3)(0.385) = 4.91\times10^3$ N/C, +에서 −를 향하는 방향과 나란하다.

(a) 8.6 × 10⁴ N/C (− 전하 쪽) (b) 4.9 × 10³ N/C (+ → − 방향과 나란히)

검토 시뮬레이터의 "쌍극자" 배치에서 측정점을 옮겨 방향을 확인하라. 수직 이등분선 위에서는 장이 늘 쌍극자 축과 나란하다.

균일한 전기장 속의 대전 입자

평행한 두 금속판에 반대 부호의 전하를 주면 그 사이에 거의 균일한 전기장이 생긴다. 그 안의 입자는 일정한 힘 $q\vec E$를 받아 등가속도 운동을 한다 — 3장의 포물선 운동과 같은 수학이다. 옛 브라운관(CRT), 잉크젯 프린터, 질량 분석기가 이 원리를 쓴다.

$$\vec a = \frac{q\vec E}{m}, \qquad y = \frac12\frac{qE}{m}\left(\frac{L}{v_0}\right)^2 = \frac{qEL^2}{4K}$$

길이 $L$인 판 사이로 속력 $v_0$(운동 에너지 $K = \tfrac12mv_0^2$)로 수평하게 들어간 입자가 판을 나올 때의 편향. 같은 운동 에너지로 들어오면 편향은 질량과 상관없다.

전자와 양성자가 같은 운동 에너지로 같은 판 사이에 들어간다. 판을 나올 때의 편향은?

$y = qEL^2/4K$에 질량이 없다. 무거운 양성자는 가속도가 1836배 작지만, 같은 에너지면 속력이 $\sqrt{1836} \approx 43$배 느려 판 사이에 43배 오래 머문다. 편향은 가속도 × 시간²에 비례하므로 $1836 = 43^2$이 정확히 상쇄된다.

SIMULATOR

도전: 전기장으로 과녁 맞히기

입자

판 사이 전기장 E_y (위쪽 +) 운동 에너지 K

판을 나올 때 편향—

화면 도달 위치—

판 사이 비행 시간—

판정 · 연속 명중—

판 길이 $L = 4.0$ cm, 판 끝에서 화면까지 10.0 cm, 화면 높이 ±50 mm. 판을 나온 뒤에는 직진한다. 과녁(±1.5 mm)을 맞혀라. 화면 위치는 $Y = \tan\theta\,(L/2 + D)$, $\tan\theta = qEL/2K$ — 판을 나온 입자는 판 가운데에서 꺾인 것처럼 보인다. 해볼 것: ① 같은 E, K에서 입자를 바꾸면 반대쪽 같은 높이에 맞는다. ② 비행 시간은 양성자가 약 43배 길다.

세기 $1.00\times10^4$ N/C인 균일한 전기장 속에서 정지해 있던 전자가 장과 반대 방향으로 1.0 cm 움직였다. 가속도, 나중 속력, 걸린 시간, 얻은 운동 에너지는?

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풀이 $a = eE/m_e = (1.602\times10^{-19})(1.00\times10^4)/(9.11\times10^{-31}) = 1.76\times10^{15}$ m/s². $v = \sqrt{2ad} = 5.93\times10^6$ m/s. $t = v/a = 3.37\times10^{-9}$ s. $K = eEd = 1.60\times10^{-17}$ J (= 100 eV).

a ≈ 1.76 × 10¹⁵ m/s², v ≈ 5.9 × 10⁶ m/s, t ≈ 3.4 ns, K ≈ 1.6 × 10⁻¹⁷ J

검토 중력 가속도의 10¹⁴배다 — 전자의 중력은 완전히 무시해도 된다. 속력은 빛의 2%로 아직 상대론 효과가 작다.

연속 전하 분포의 전기장

막대, 고리, 판처럼 전하가 연속적으로 퍼져 있으면 전하를 아주 작은 조각 $dq$로 나누어 각 조각을 점전하로 보고 장을 벡터로 적분한다: $\vec E = \displaystyle\int k\frac{dq}{r^2}\hat r$. 선전하 밀도 $\lambda$(C/m), 면전하 밀도 $\sigma$(C/m²)로 $dq = \lambda\,dl$, $dq = \sigma\,dA$라 쓴다. 적분의 핵심은 대칭으로 상쇄되는 성분을 먼저 찾는 것이다.

고리(반지름 $a$, 전하 $Q$)의 조각 $dq$가 축 위의 점 P에 만드는 장: $dE = k\,dq/(x^2 + a^2)$.
정반대편 조각의 장은 축에 수직인 성분이 정확히 반대다. 고리 전체를 짝지으면 수직 성분은 모두 상쇄된다.
축 방향 성분만 남는다: $dE_x = dE\cos\alpha = dE\,x/r$. 모든 조각의 $r$이 같으므로 $\int dq = Q$로 바로 적분된다.

대전된 고리의 축 위 전기장. 대칭이 적분을 곱셈으로 바꾼다.

$$E_\text{고리} = \frac{kQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}, \qquad E_\text{무한 직선} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}, \qquad E_\text{무한 평면} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$

고리: $x \gg a$이면 $kQ/x^2$(점전하), 가운데($x = 0$)에서는 0, $x = a/\sqrt2$에서 최대. 무한 직선은 거리에 반비례, 무한 평면은 거리와 무관한 균일한 장이다. 반대 부호로 대전된 두 평행판 사이는 $E = \sigma/\epsilon_0$, 바깥은 0이다.

마주 보는 두 조각의 dE

MINI LAB축 위의 점 P(흰 원)를 좌우로 끌어 보라. 고리 가운데에서는 사방의 조각이 서로 상쇄해 장이 0이고, 아주 멀리서는 점전하처럼 $1/x^2$로 준다. 그 사이 $x = a/\sqrt2 = 0.707a$에서 장이 가장 세다.

면전하 밀도 1.0, 반지름 10인 원판의 축 위 2.0 떨어진 곳의 장은 $E = \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(1 - \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}\Big) =$ 이다. 무한 평면의 $\sigma/2\epsilon_0 =$ 의 다.

반지름 0.10 m인 고리에 10 nC이 고르게 퍼져 있다. 축 위 0.10 m 떨어진 점의 전기장은? 장이 가장 센 곳과 그 크기는?

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풀이 $E = \dfrac{(8.988\times10^9)(1.0\times10^{-8})(0.10)}{(0.10^2 + 0.10^2)^{3/2}} = 3.18\times10^3$ N/C. $dE/dx = 0$에서 $x = a/\sqrt2 = 0.071$ m, $E_\text{max} = \dfrac{2kQ}{3\sqrt3\,a^2} = 3.46\times10^3$ N/C.

3.2 × 10³ N/C · 최대 3.5 × 10³ N/C (x = 7.1 cm)

검토 같은 전하가 고리 중심에 모여 있다면 0.10 m에서 $kQ/x^2 = 8.99\times10^3$ N/C이다. 고리의 조각들은 더 멀고 비스듬하므로 장이 약하다.

전기 쌍극자

크기가 같고 부호가 반대인 두 전하 $\pm q$가 거리 $d$만큼 떨어진 것을 전기 쌍극자(electric dipole)라 한다. 물 분자는 산소 쪽이 음, 수소 쪽이 양으로 치우쳐 있어 영구 쌍극자다. 쌍극자의 세기와 방향은 음전하에서 양전하를 향하는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment) $\vec p$로 나타낸다.

균일한 전기장 속 쌍극자. 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대라 알짜 힘은 0이지만, 작용선이 달라 토크가 생긴다(10장의 짝힘).

$$p = qd, \qquad \vec\tau = \vec p\times\vec E, \qquad U = -\vec p\cdot\vec E = -pE\cos\phi$$

단위 C·m. 물 분자 $p = 6.2\times10^{-30}$ C·m. 쌍극자에서 멀리 떨어진 곳의 장은 $1/r^3$로 줄어든다(축 위에서 $E \approx 2kp/r^3$) — $+q$와 $-q$의 장이 거의 상쇄되기 때문이다. 전자레인지는 빠르게 방향이 바뀌는 전기장으로 물 분자를 흔들어 음식을 데운다.

쌍극자를 균일한 전기장과 수직하게(φ = 90°) 놓고 손을 놓으면?

알짜 힘은 0이라 질량 중심은 그대로이고, 토크 때문에 회전한다. 마찰이 없으면 진자처럼 φ = ±90° 사이를 진동한다(13장). 감쇠가 있으면 φ = 0에 멈춘다.

SIMULATOR

균일한 장 속의 물 분자 쌍극자

양전하 끝(흰 원)을 끌어 돌렸다가 놓는다

전기장 E 감쇠(주위 분자와의 충돌)

각 φ—

토크 τ—

U = −pE cos φ—

2pE ÷ kT(300 K)—

$p = 6.2\times10^{-30}$ C·m. 회전은 실제보다 약 10¹¹배 느리게 보여 준다. 해볼 것: ① 처음 각이 작을 때의 진동 주기는 장이 셀수록 짧다($\propto 1/\sqrt{E}$). ② 오른쪽 에너지 곡선 위에서 점이 우물 바닥(φ = 0)을 중심으로 오간다. ③ 마지막 칸은 쌍극자를 뒤집는 데 드는 에너지와 열운동 에너지의 비다. 1보다 한참 작으면 열운동이 장에 의한 정렬을 흩트린다.

MINI LAB로그–로그 축에서 점전하($1/r^2$, 회색)와 쌍극자 축 위($1/r^3$, 주황)의 장. 흰 원을 끌어 거리를 바꾸면, 멀어질수록 쌍극자의 장이 훨씬 빨리 약해진다. 중성 분자끼리의 힘이 짧은 거리에서만 중요한 이유다.

물 분자($p = 6.2\times10^{-30}$ C·m)가 $5.0\times10^5$ N/C의 전기장 속에 있다. 최대 토크와, 장 방향에서 반대 방향으로 뒤집는 데 드는 일은? 300 K의 열에너지 $kT$와 비교하라.

풀이 보기

풀이 $\tau_\text{max} = pE = 3.1\times10^{-24}$ N·m(φ = 90°). $W = U(180°) - U(0°) = 2pE = 6.2\times10^{-24}$ J. $kT = 4.14\times10^{-21}$ J이므로 비 $1.5\times10^{-3}$.

τ_max = 3.1 × 10⁻²⁴ N·m, W = 6.2 × 10⁻²⁴ J ≈ 0.0015 kT

검토 상당히 센 장(공기의 절연 파괴 장 3 × 10⁶ N/C의 1/6)인데도 열운동이 압도한다. 그래서 물 분자들은 장 방향으로 아주 조금만 치우친다 — 23장 유전체에서 다시 만난다.

핵심 정리

전하에는 양·음 두 종류가 있고, 같은 부호는 밀고 다른 부호는 당긴다. 전하는 보존되고 $e = 1.602\times10^{-19}$ C 단위로 양자화된다.
도체에는 자유 전자가 있어 유도 대전(반대 부호)이 가능하다. 절연체는 분극되어 대전 물체에 끌린다.
쿨롱 법칙 $F = k|q_1q_2|/r^2$, $k = 1/4\pi\epsilon_0 = 8.988\times10^9$ N·m²/C². 여러 전하의 힘은 벡터로 더한다.
전기장 $\vec E = \vec F_0/q_0$, 점전하 $E = k|q|/r^2$, 중첩 $\vec E = \sum\vec E_i$. 전기력선은 +에서 나와 −로 들어가고 교차하지 않으며, 빽빽할수록 장이 세다. 균일한 장 속 입자는 $\vec a = q\vec E/m$로 등가속도 운동한다.
연속 분포: $\vec E = \int k\,dq\,\hat r/r^2$. 고리 축 $kQx/(x^2 + a^2)^{3/2}$, 무한 직선 $2k\lambda/r$, 무한 평면 $\sigma/2\epsilon_0$, 평행판 사이 $\sigma/\epsilon_0$.
쌍극자 $p = qd$: 균일한 장 속에서 알짜 힘 0, $\vec\tau = \vec p\times\vec E$, $U = -\vec p\cdot\vec E$. 먼 곳의 장은 $1/r^3$.

연습문제

특별한 말이 없으면 $k = 8.988\times10^9$ N·m²/C², $\epsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ C²/(N·m²), $e = 1.602\times10^{-19}$ C, $m_e = 9.109\times10^{-31}$ kg, $m_p = 1.673\times10^{-27}$ kg, $g = 9.80$ m/s²를 쓴다. 답은 크기만 입력한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

유리 막대를 비단에 문질러 $+3.20$ μC으로 대전시켰다. 막대에서 빠져나간 전자는 몇 개인가?

$N = 3.20\times10^{-6}/1.602\times10^{-19} = 2.00\times10^{13}$개.

각각 $+2.0$ μC인 두 점전하가 0.30 m 떨어져 있다. 서로 미는 힘의 크기는?

$F = (8.988\times10^9)(2.0\times10^{-6})^2/(0.30)^2 = 0.399$ N.

x축 위에 $q_1 = +4.0$ nC(x = 0)과 $q_2 = -6.0$ nC(x = 0.30 m)이 있다. x = 0.10 m에 놓은 $q_3 = +2.0$ nC이 받는 알짜 힘의 크기는?

$q_1$은 $q_3$을 +x로 밀고, $q_2$는 $q_3$을 +x로 당긴다.

$F_1 = k(4.0\times10^{-9})(2.0\times10^{-9})/(0.10)^2 = 7.19\times10^{-6}$ N, $F_2 = k(6.0\times10^{-9})(2.0\times10^{-9})/(0.20)^2 = 2.70\times10^{-6}$ N. 둘 다 +x이므로 $9.89\times10^{-6}$ N.

$+1.0$ μC이 x = 0에, $+4.0$ μC이 x = 0.60 m에 있다. 세 번째 전하가 받는 알짜 힘이 0인 위치는?

사이에서 $\dfrac{1.0}{x^2} = \dfrac{4.0}{(0.60 - x)^2}$ → $0.60 - x = 2x$ → $x = 0.200$ m. 세 번째 전하의 크기·부호와 무관하다(쿨롱 시뮬레이터로 확인).

5.0 nC인 점전하에서 0.50 m 떨어진 곳의 전기장 세기는?

$E = (8.988\times10^9)(5.0\times10^{-9})/(0.50)^2 = 180$ N/C.

$+2.0$ nC과 $-2.0$ nC이 0.10 m 떨어져 있다. 두 전하의 한가운데에서 전기장의 세기는?

각 $k(2.0\times10^{-9})/(0.050)^2 = 7.19\times10^3$ N/C가 같은 방향(− 쪽)이므로 $1.44\times10^4$ N/C.

정지해 있던 양성자가 $2.0\times10^3$ N/C의 균일한 전기장 속에서 5.0 cm 움직였다. 나중 속력은?

$K = eEd = 1.602\times10^{-17}$ J → $v = \sqrt{2K/m_p} = 1.38\times10^5$ m/s.

질량 $3.0\times10^{-15}$ kg인 기름방울이 기본 전하 3개만큼($-3e$) 대전되어 있다. 이 방울을 공중에 정지시키려면 전기장의 세기가 얼마여야 하는가?

$qE = mg$ → $E = \dfrac{(3.0\times10^{-15})(9.80)}{3(1.602\times10^{-19})} = 6.12\times10^4$ N/C, 방향은 아래(음전하이므로 힘이 위로). 밀리컨은 이렇게 $e$를 쟀다.

반지름 0.10 m인 고리에 5.0 nC이 고르게 퍼져 있다. 중심에서 축을 따라 0.10 m 떨어진 점의 전기장은?

$E = \dfrac{kQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} = \dfrac{(8.988\times10^9)(5.0\times10^{-9})(0.10)}{(0.020)^{3/2}} = 1.59\times10^3$ N/C.

선전하 밀도 2.0 nC/m인 아주 긴 직선 도선에서 5.0 cm 떨어진 곳의 전기장은?

$E = 2k\lambda/r = 2(8.988\times10^9)(2.0\times10^{-9})/0.050 = 719$ N/C.

면전하 밀도 4.0 μC/m²인 아주 넓은 평면 근처의 전기장은?

$E = \sigma/2\epsilon_0 = 4.0\times10^{-6}/(2 \times 8.854\times10^{-12}) = 2.26\times10^5$ N/C. 거리와 상관없다.

$\pm1.6\times10^{-19}$ C이 0.125 nm 떨어진 쌍극자가 $3.0\times10^6$ N/C의 균일한 장과 30°를 이룬다. 토크의 크기와 퍼텐셜 에너지의 크기는?

$p = qd = 2.0\times10^{-29}$ C·m. $\tau = pE\sin30° = 3.0\times10^{-23}$ N·m, $U = -pE\cos30° = -5.20\times10^{-23}$ J.

질량 2.0 g인 똑같은 작은 공 두 개가 길이 0.50 m인 실에 같은 점에서 매달려 있다. 두 공에 같은 전하 $q$를 주었더니 실이 각각 연직과 10°를 이루며 벌어졌다. $q$는?

한 공의 자유 물체도: 장력, 무게, 수평 방향 전기력. $F = mg\tan10°$, 두 공 사이 거리 $d = 2L\sin10°$.

$F = (0.0020)(9.80)\tan10° = 3.46\times10^{-3}$ N, $d = 2(0.50)\sin10° = 0.174$ m. $q = d\sqrt{F/k} = 1.08\times10^{-7}$ C.

두 전기력선이 서로 교차할 수 없는 이유는?

교차점에서 접선이 두 개라면 장의 방향이 두 개가 되는데, 장은 벡터 합으로 하나로 정해진다.

양전하로 대전된 막대가 중성인 종잇조각을 끌어당긴다. 음전하 막대라면?

분극은 막대의 부호에 맞춰 일어나므로 가까운 쪽에 늘 반대 부호가 모인다. 어느 부호든 알짜 인력이다.

개념 확인 퀴즈

중성인 금속 구에 음전하 막대를 가까이 댄 채 구를 잠깐 접지했다가 끊고 막대를 치웠다. 구의 전하는?

막대에 밀린 전자가 접지로 빠져나가므로 양전하가 남는다(유도 대전은 반대 부호).

점전하 $q$가 $r$에서 만드는 장이 $E$다. 전하를 $2q$, 거리를 $2r$로 하면?

$E \propto q/r^2$: $2/4 = 1/2$.

같은 전기장 속에 놓인 전자와 양성자에 대해 옳은 것은?

$F = |q|E$로 같고, $a = F/m$은 질량에 반비례한다.

무한히 넓은 대전 평면에서 멀어지면 전기장은?

$E = \sigma/2\epsilon_0$. 멀어지면 각 조각이 멀어지지만 "보이는" 평면의 넓이가 그만큼 커진다. 실제 유한한 판은 판 크기보다 멀어지면 점전하처럼 줄어든다.

균일한 전기장 속의 전기 쌍극자에 대해 옳은 것은?

$\vec\tau = \vec p\times\vec E$, $U = -pE\cos\phi$는 $\phi = 0$에서 최소다. 불균일한 장에서는 알짜 힘도 생긴다 — 풍선이 벽에 붙는 이유.