Chapter 01

벡터 해석

전자기학의 주인공은 공간의 모든 점에 값이 붙어 있는 장(field)이다. 전위는 점마다 숫자 하나, 전기장과 자기장은 점마다 화살표 하나다. 맥스웰 방정식은 이 화살표들이 한 점 근처에서 얼마나 퍼져 나가는지(발산)와 얼마나 맴도는지(회전)를 말하는 네 줄짜리 문장이다. 그러니 장을 읽으려면 먼저 이 두 동사를 몸으로 알아야 한다. 아래 화면에서 흐름의 종류를 바꾸고, 작은 상자(들어오고 나가는 양)와 바람개비(맴도는 정도)를 이리저리 끌어 보자. 화살표가 모두 바깥을 향하는데 상자의 알짜 선속이 0인 곳, 화살표가 빙빙 도는데 바람개비가 멈춰 있는 곳을 찾을 수 있다면 이 장의 절반은 이미 이해한 것이다.

상자와 바람개비를 끈다

스칼라장·벡터장과 세 좌표계

공간의 각 점 \(\mathbf r\)에 수 하나를 주는 함수 \(f(\mathbf r)\)를 스칼라장(scalar field), 벡터 하나를 주는 함수 \(\mathbf F(\mathbf r)\)를 벡터장(vector field)이라 한다. 웨이퍼 위의 온도 분포, 소자 속 전위 \(V\), 이온 주입 후의 도핑 농도 \(N(x,y,z)\)는 스칼라장이고, 전기장 \(\mathbf E\), 전류 밀도 \(\mathbf J\), 기체의 흐름 속도는 벡터장이다. 벡터장은 화살표를 격자로 늘어놓거나(화살표 그림), 접선을 이어 그린 장선으로 그린다. 장선의 촘촘함은 크기를, 방향은 장의 방향을 나타낸다(일반물리학 · 전기장).

장을 숫자로 쓰려면 좌표계가 필요하다. 전자기학 문제는 대부분 세 가지 모양 중 하나다: 평평한 판(평행판 커패시터, 박막) → 직교 좌표 \((x,y,z)\), 긴 원기둥(동축 케이블, 도선, 비아) → 원통 좌표 \((\rho,\phi,z)\), 공·점(점전하, 안테나 원거리장) → 구 좌표 \((r,\theta,\phi)\). 문제의 대칭과 맞는 좌표계를 고르면 세 변수 중 둘이 사라진다.

zyx P x̂ŷẑ 직교 (x, y, z) z φ ρ P ρ̂φ̂ẑ 원통 (ρ, φ, z) z r θ P r̂θ̂φ̂ (φ̂는 종이 밖으로) 구 (r, θ, φ)
세 좌표계에서 점 P의 좌표와 그 점의 단위 벡터. 직교 좌표의 x̂, ŷ, ẑ는 어디서나 같지만, 원통의 ρ̂, φ̂와 구의 r̂, θ̂, φ̂는 P가 움직이면 방향이 바뀐다. 세 단위 벡터는 어느 계에서나 서로 수직이고 오른손 순서(첫째 × 둘째 = 셋째)를 이룬다.
좌표 변환

원통: \(x = \rho\cos\phi,\ y = \rho\sin\phi,\ z = z\); 거꾸로 \(\rho = \sqrt{x^2+y^2},\ \phi = \operatorname{atan2}(y,x)\).
구: \(x = r\sin\theta\cos\phi,\ y = r\sin\theta\sin\phi,\ z = r\cos\theta\); 거꾸로 \(r = \sqrt{x^2+y^2+z^2},\ \theta = \cos^{-1}(z/r)\ (0\le\theta\le\pi),\ \phi = \operatorname{atan2}(y,x)\).

단위 벡터를 직교 성분으로 쓰면 위치에 따라 방향이 바뀌는 이유가 보인다.

$$\hat{\boldsymbol\rho} = \cos\phi\,\hat{\mathbf x} + \sin\phi\,\hat{\mathbf y},\qquad \hat{\boldsymbol\phi} = -\sin\phi\,\hat{\mathbf x} + \cos\phi\,\hat{\mathbf y}$$ $$\hat{\mathbf r} = \sin\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf x} + \sin\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf y} + \cos\theta\,\hat{\mathbf z},\quad \hat{\boldsymbol\theta} = \cos\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf x} + \cos\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf y} - \sin\theta\,\hat{\mathbf z}$$
구의 \(\hat{\boldsymbol\phi}\)는 원통의 것과 같다. \(\partial\hat{\boldsymbol\rho}/\partial\phi = \hat{\boldsymbol\phi}\), \(\partial\hat{\boldsymbol\phi}/\partial\phi = -\hat{\boldsymbol\rho}\) — 곡선 좌표에서 미분할 때 단위 벡터까지 미분해야 하는 까닭이다. 벡터 \(\mathbf A\)의 성분은 내적으로 얻는다: \(A_\rho = \mathbf A\cdot\hat{\boldsymbol\rho}\), \(A_\theta = \mathbf A\cdot\hat{\boldsymbol\theta}\) 등.
SIMULATOR

점 P를 옮기며 단위 벡터 읽기 — 과녁 좌표 찾기

바닥 원(x, y)과 P(z)를 끈다
좌표계
직교 (x, y, z)—
원통 (ρ, φ, z)—
구 (r, θ, φ)—
과녁—
해볼 것: ① 원통 모드에서 P를 z축 둘레로 한 바퀴 돌려 ρ̂와 φ̂가 함께 도는 것을 보라. ẑ만 그대로다. ② 구 모드에서 P를 z축 위(θ = 0)로 가져가면 φ̂의 방향이 정해지지 않는다 — 좌표계의 특이점이다. ③ "과녁"에 적힌 좌표(원통 또는 구)에 P를 옮겨 ✔를 받아라. 직교 좌표로 바꾸지 않고 φ, θ를 직접 읽어 맞혀 보자.

점 \((x, y, z) =\) (-2.0, 2.0, 1.0)은 원통 좌표로 \((\rho,\phi,z) =\) , 구 좌표로 \((r,\theta,\phi) =\) 이다. 이 점에서 \(\hat{\boldsymbol\rho} =\) , \(\hat{\mathbf r} =\) (직교 성분).

길이·넓이·부피 요소

적분을 하려면 좌표를 조금 바꿀 때 실제로 움직이는 거리를 알아야 한다. \(\phi\)를 \(d\phi\)만큼 바꾸면 반지름 \(\rho\)인 원 위에서 \(\rho\,d\phi\)만큼 움직이고, 구에서 \(\theta\)를 바꾸면 \(r\,d\theta\), \(\phi\)를 바꾸면 위도 원(반지름 \(r\sin\theta\)) 위에서 \(r\sin\theta\,d\phi\)만큼 움직인다. 이 배율 \(h_1, h_2, h_3\)을 척도 인자(scale factor, metric coefficient)라 한다.

dxdzdy dv = dx dy dz ρ dφdzdρ dv = ρ dρ dφ dz 호의 길이 = 반지름 × 각 r sinθ dφr dθdr dv = r² sinθ dr dθ dφ 위도 원의 반지름 = r sinθ
  1. 직교 좌표: 세 변이 dx, dy, dz인 직육면체. 척도 인자는 모두 1.
  2. 원통 좌표: φ 방향 변은 호라서 ρ dφ. 축에서 멀수록 같은 dφ가 더 긴 변을 만든다.
  3. 구 좌표: θ 방향 변 r dθ, φ 방향 변은 위도 원 위의 호 r sinθ dφ. 극(θ → 0) 근처의 상자는 납작하게 사라진다.
미소 부피 요소는 세 방향 변의 곱이다. 각도 변수에는 반드시 "그 각이 그리는 원의 반지름"이 곱해진다.
좌표계길이 요소 \(d\mathbf l\)부피 요소 \(dv\)대표 면 요소 \(d\mathbf S\)
직교 \((x,y,z)\)\(dx\,\hat{\mathbf x} + dy\,\hat{\mathbf y} + dz\,\hat{\mathbf z}\)\(dx\,dy\,dz\)\(z\)=일정 면: \(dx\,dy\,\hat{\mathbf z}\)
원통 \((\rho,\phi,z)\)\(d\rho\,\hat{\boldsymbol\rho} + \rho\,d\phi\,\hat{\boldsymbol\phi} + dz\,\hat{\mathbf z}\)\(\rho\,d\rho\,d\phi\,dz\)옆면 \(\rho = a\): \(a\,d\phi\,dz\,\hat{\boldsymbol\rho}\)
구 \((r,\theta,\phi)\)\(dr\,\hat{\mathbf r} + r\,d\theta\,\hat{\boldsymbol\theta} + r\sin\theta\,d\phi\,\hat{\boldsymbol\phi}\)\(r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi\)구면 \(r = a\): \(a^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\,\hat{\mathbf r}\)
MINI LAB반지름 \(R\)인 구를 \(d\theta\) 폭의 띠로 자른다. 띠의 둘레는 \(2\pi R\sin\theta\)라 적도에서 가장 길고 극에서 0이다. 그래서 넓이 요소에 \(\sin\theta\)가 붙고, 0부터 \(\theta\)까지 쌓은 극모자의 넓이는 \(2\pi R^2(1-\cos\theta)\)이다(오른쪽 그래프의 움직이는 점). \(\theta = \pi\)에서 전체 \(4\pi R^2\)가 된다.

점 \(P(-2, 2, 1)\)의 원통·구 좌표를 구하라. 또 벡터장 \(\mathbf A = -y\,\hat{\mathbf x} + x\,\hat{\mathbf y}\)를 \(P\)에서 원통 성분 \((A_\rho, A_\phi, A_z)\)으로 나타내고, 이 장을 원통 좌표로 한 줄에 써라.

풀이 보기
전략 좌표는 변환식에, 성분은 \(A_\rho = \mathbf A\cdot\hat{\boldsymbol\rho}\), \(A_\phi = \mathbf A\cdot\hat{\boldsymbol\phi}\)에 넣는다. \(\phi\)는 2사분면이므로 atan2로 구한다.
풀이 \(\rho = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2 = 2.83\), \(\phi = \operatorname{atan2}(2,-2) = 135^\circ\), \(r = \sqrt{4+4+1} = 3\), \(\theta = \cos^{-1}(1/3) = 70.5^\circ\).
\(P\)에서 \(\mathbf A = (-2, -2, 0)\), \(\hat{\boldsymbol\rho} = (\cos135^\circ, \sin135^\circ, 0) = (-0.707, 0.707, 0)\), \(\hat{\boldsymbol\phi} = (-\sin135^\circ, \cos135^\circ, 0) = (-0.707, -0.707, 0)\).
\(A_\rho = 1.414 - 1.414 = 0\), \(A_\phi = 1.414 + 1.414 = 2.83 = \rho\), \(A_z = 0\). 일반적으로 \(\mathbf A = -\rho\sin\phi\,\hat{\mathbf x} + \rho\cos\phi\,\hat{\mathbf y} = \rho\,\hat{\boldsymbol\phi}\).
\((\rho,\phi,z) = (2.83, 135^\circ, 1)\), \((r,\theta,\phi) = (3, 70.5^\circ, 135^\circ)\); \(\mathbf A = \rho\,\hat{\boldsymbol\phi}\), \(P\)에서 \((0, 2.83, 0)\)
검토 크기 \(|\mathbf A| = \sqrt{4+4} = 2.83\)이 좌표계와 무관하게 같다. 이 장은 z축 둘레를 도는 강체 회전의 속도장이다(축에서 멀수록 빠름) — §1.5의 바람개비에서 다시 만난다.
곡선 좌표의 함정

서로 다른 두 점의 벡터를 원통·구 성분끼리 그냥 더하면 안 된다. \(\hat{\boldsymbol\rho}\)가 점마다 다른 방향이기 때문이다. 예를 들어 \(\phi = 0\)과 \(\phi = \pi\)의 \(\hat{\boldsymbol\rho}\)는 서로 반대다. 적분할 때도 \(\int\hat{\boldsymbol\rho}\,d\phi\)를 \(\hat{\boldsymbol\rho}\int d\phi\)로 꺼내면 틀린다 — 적분 전에 직교 성분으로 바꿔라(대칭 덕분에 상쇄되는 성분을 찾는 것이 정석이다).

선적분·면적분·부피 적분

전자기 법칙은 대부분 적분 꼴로 처음 발견되었다. 전위차는 전기장을 경로를 따라 더한 것이고, 가우스 법칙은 닫힌 면을 뚫고 나가는 선속, 전하량은 부피 속 전하 밀도의 합이다. 세 적분 모두 "작은 조각으로 나눠 곱하고 더한다"는 같은 생각이며, 조각의 크기를 앞 절의 \(d\mathbf l\), \(d\mathbf S\), \(dv\)로 잰다.

ab dl F ∫ F · dl (일, 전위차, 순환) dS = n̂ dS F ∬ F · dS (선속) dv ∫ ρ dv (전하량, 질량)
세 적분의 조각. 선적분은 경로 조각 \(d\mathbf l\)에 나란한 성분만, 면적분은 면 조각의 법선 \(\hat{\mathbf n}\)에 나란한 성분만 센다. 닫힌 면의 법선은 바깥쪽, 열린 면의 법선은 가장자리를 도는 방향과 오른손 규칙으로 정한다.

선적분과 보존장

경로 \(C\)를 매개 변수 \(\mathbf r(t)\), \(t_0\le t\le t_1\)로 쓰면 \(d\mathbf l = (d\mathbf r/dt)\,dt\)이므로

$$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf l = \int_{t_0}^{t_1}\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\frac{d\mathbf r}{dt}\,dt, \qquad \oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf l = \text{닫힌 경로의 }\textbf{순환}$$
\(\mathbf F\)가 힘이면 일, 전기장이면 \(-\)(전위차)다. 닫힌 경로 적분 \(\oint\)를 순환(circulation)이라 한다.

어떤 장은 두 점 사이의 선적분이 경로에 따라 달라지고, 어떤 장은 끝점만으로 정해진다. 뒤쪽을 보존장(conservative field)이라 한다. 보존장에서는 모든 닫힌 경로의 순환이 0이고, 그래서 위치만의 함수(퍼텐셜)를 정의할 수 있다. 정전기장이 바로 그런 장이다. 아래에서 직접 경로를 구부려 보자.

SIMULATOR

경로를 구부려 선적분 재기 — 목표 순환 만들기

네 흰 원(끝점 a, b와 조절점)을 끈다
벡터장 F
곡선 경로 W₁—
직선 경로 W₂—
순환 ∮ = W₁ − W₂—
목표—
곡선 경로 위 색은 \(\mathbf F\cdot d\mathbf l\)의 부호다(빨강 +, 파랑 −). 구슬이 곡선을 따라가며 쌓는 적분값을 아래 막대로 보여 준다. 해볼 것: ① \(\nabla(xy)\) 장에서 조절점을 아무리 끌어도 W₁ = W₂ = \(x_by_b - x_ay_a\)이다. ② 회전장 \(\mathbf F = -y\hat{\mathbf x} + x\hat{\mathbf y}\)에서는 순환이 두 경로가 둘러싼 넓이의 2배다 — 반시계로 감싸면 +, 8자로 꼬면 두 고리가 상쇄된다. ③ "목표"에 적힌 순환값을 ±2% 안으로 만들어라.

면적분과 선속

면 \(S\)를 뚫고 지나가는 벡터장의 양을 선속(flux)이라 한다. 면 조각 \(d\mathbf S = \hat{\mathbf n}\,dS\)에 나란한 성분만 면을 뚫으므로

$$\Phi = \iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S = \iint_S F\cos\alpha\,dS, \qquad \oint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S = \text{닫힌 면의 알짜 바깥 선속}$$
\(\alpha\)는 \(\mathbf F\)와 법선 \(\hat{\mathbf n}\) 사이의 각. 균일한 장과 평평한 면이면 \(\Phi = FA\cos\alpha\). 전류 밀도 \(\mathbf J\)의 선속은 전류, \(\mathbf B\)의 선속은 자기 선속, \(\mathbf D\)의 닫힌 면 선속은 안의 자유 전하다.
법선 화살표 끝을 돌린다
MINI LAB균일한 장 속에 놓인 평평한 면(옆에서 본 모습). 면을 뚫는 장선(굵게 표시)의 수가 선속이다. 면을 장에 나란하게 눕히면(\(\alpha = 90^\circ\)) 아무것도 뚫지 않고, 법선을 뒤집으면 선속의 부호가 바뀐다.

부피 적분

전하 밀도 \(\rho_v(\mathbf r)\)(C/m³) 같은 스칼라장을 부피에 대해 더하면 전하량 \(Q = \int_V\rho_v\,dv\)를 얻는다. 구 대칭 분포는 \(dv = 4\pi r^2dr\)(얇은 구 껍질)로 바로 줄일 수 있다.

반지름 5인 공 속에 전하가 \(\rho_v = \rho_0(r/a)^n\)으로 퍼져 있다. \(\rho_0 =\) 1.0, 지수 \(n =\) 0.0이면 껍질 적분 \(Q = \int_0^a\rho_0(r/a)^n\,4\pi r^2dr = 4\pi\rho_0a^3/(n+3)\)에서 전체 전하는 이고, 평균 밀도는 \(\rho_0\)의 이다. 전하의 절반이 들어 있는 반지름은 이다.

\(\mathbf F = x^2\,\hat{\mathbf x} + xy\,\hat{\mathbf y}\)를 원점에서 \((1,1)\)까지 (a) 직선 \(y = x\)와 (b) 포물선 \(y = x^2\)을 따라 적분하라. \(\mathbf F\)는 보존장인가?

풀이 보기
전략 두 경로 모두 \(x = t\)로 매개화하고 \(\mathbf F\cdot d\mathbf r = F_x\,dx + F_y\,dy\)를 \(t\)로 쓴다.
풀이 (a) \(x = y = t\): \(F_x\,dx + F_y\,dy = t^2\,dt + t^2\,dt\), \(\int_0^1 2t^2dt = 2/3\).
(b) \(x = t, y = t^2, dy = 2t\,dt\): \(t^2\,dt + t\cdot t^2\cdot2t\,dt = (t^2 + 2t^4)\,dt\), \(\int_0^1 = 1/3 + 2/5 = 11/15\).
(a) 2/3 ≈ 0.667 (b) 11/15 ≈ 0.733 — 경로에 따라 다르므로 보존장이 아니다
검토 (b)로 갔다가 (a)로 돌아오는 닫힌 경로(반시계)의 순환은 \(11/15 - 2/3 = 1/15\)이다. §1.5에서 스토크스 정리로 같은 값을 다시 얻는다. 위 시뮬레이터의 "x²x̂+xyŷ" 장에서 확인해 보라.

반지름 \(a = 5\) cm인 공 속 전하 밀도가 \(\rho_v = \rho_0(1 - r/a)\), \(\rho_0 = 1.0\ \mu\text{C/m}^3\)이다. 전체 전하는?

풀이 보기
전략 구 대칭이므로 \(dv = 4\pi r^2dr\)로 각도 적분을 먼저 끝낸다.
풀이 \(Q = 4\pi\rho_0\int_0^a\left(r^2 - \frac{r^3}{a}\right)dr = 4\pi\rho_0\left(\frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{4}\right) = \frac{\pi\rho_0a^3}{3}\).
\(Q = \pi(1.0\times10^{-6})(0.05)^3/3 = 1.31\times10^{-10}\) C.
\(Q = \pi\rho_0a^3/3 = 1.31\times10^{-10}\) C = 131 pC
검토 밀도가 균일했다면 \(4\pi\rho_0a^3/3\)이다. 가장자리로 갈수록 0이 되는 분포라 그 1/4만 있다. 바깥 껍질이 부피의 대부분을 차지하기 때문이다(\(r^2\) 가중).

기울기: 스칼라장이 가장 빨리 변하는 방향

등산 지도에서 높이 \(h(x,y)\)는 스칼라장이고, 같은 높이를 이은 선이 등고선이다. 한 점에서 어느 방향으로 걷느냐에 따라 오르막의 가파르기가 다르다. 등고선을 따라 걸으면 높이가 변하지 않고, 등고선에 수직으로 걸을 때 가장 가파르다. 이 "가장 가파른 오르막의 방향과 그 기울기"를 한 벡터에 담은 것이 기울기(gradient) \(\nabla f\)이다.

기울기와 방향 도함수

\(f\)가 \(d\mathbf l\)만큼 옮겨 갈 때의 변화량은 \(df = \nabla f\cdot d\mathbf l\)이다. 단위 벡터 \(\hat{\mathbf u}\) 방향의 방향 도함수(directional derivative)는 \(df/ds = \nabla f\cdot\hat{\mathbf u} = |\nabla f|\cos\alpha\)이므로, \(\nabla f\)는 \(f\)가 가장 빨리 늘어나는 방향을 가리키고, 그 크기가 최대 변화율이며, 등위면(\(f\) = 일정)에 수직이다.

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf x} + \frac{\partial f}{\partial y}\hat{\mathbf y} + \frac{\partial f}{\partial z}\hat{\mathbf z} = \frac{\partial f}{\partial\rho}\hat{\boldsymbol\rho} + \frac1\rho\frac{\partial f}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol\phi} + \frac{\partial f}{\partial z}\hat{\mathbf z} = \frac{\partial f}{\partial r}\hat{\mathbf r} + \frac1r\frac{\partial f}{\partial\theta}\hat{\boldsymbol\theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol\phi}$$
곡선 좌표의 \(1/\rho\), \(1/r\), \(1/(r\sin\theta)\)는 척도 인자의 역수다: 각도가 \(d\phi\) 변할 때 움직인 거리가 \(\rho\,d\phi\)이므로 "거리당 변화"로 바꾸려면 \(\rho\)로 나눈다. 기호 \(\nabla = \hat{\mathbf x}\,\partial_x + \hat{\mathbf y}\,\partial_y + \hat{\mathbf z}\,\partial_z\)를 델 연산자(del, nabla)라 부른다.

전위 \(V\)는 스칼라장이고, 전기장은 전위가 가장 빨리 내려가는 방향을 가리킨다: \(\mathbf E = -\nabla V\)(일반물리학 · 전위). 그래서 전기력선은 등전위면에 언제나 수직이다.

SIMULATOR

전위 지도 위의 기울기 — 세 방향 찾기

전하(±), 탐침 P, 방향 화살표 끝을 끈다
V(P)—
|∇V|—
dV/ds = ∇V·û—
û와 ∇V 사이 각—
찾은 방향—
두 점전하(2D 단면, 단위 생략)의 전위 \(V\)를 색(빨강 +, 파랑 −)과 등전위선(점선)으로 그렸다. 굵은 화살표가 \(\nabla V\), 흰 원 달린 화살표가 걷는 방향 \(\hat{\mathbf u}\)이다. 해볼 것: ① \(\hat{\mathbf u}\)를 돌려 dV/ds가 최대인 방향(가장 가파른 오르막), 최소인 방향(가장 가파른 내리막 = \(\mathbf E\) 방향), 0인 방향(등전위선을 따라)을 모두 찾아라. ② 최댓값이 언제나 \(|\nabla V|\)와 같은지 확인하라. ③ 탐침을 두 전하 사이로 옮기면 \(|\nabla V|\)가 커진다 — 등전위선이 촘촘한 곳이다.

기울기의 선적분은 끝점의 값 차이다. 이것이 미적분학 기본 정리의 3차원판이다.

$$\int_{\mathbf a}^{\mathbf b}\nabla f\cdot d\mathbf l = f(\mathbf b) - f(\mathbf a) \quad\Longrightarrow\quad \oint\nabla f\cdot d\mathbf l = 0$$
기울기로 쓸 수 있는 장은 모두 보존장이다. 거꾸로 보존장은 항상 어떤 스칼라의 기울기로 쓸 수 있다. 앞 시뮬레이터의 \(\nabla(xy) = y\hat{\mathbf x} + x\hat{\mathbf y}\)가 그 예이고, 정전기장은 \(\mathbf E = -\nabla V\)이므로 \(V_b - V_a = -\int_a^b\mathbf E\cdot d\mathbf l\)이다.

어떤 영역의 전위가 \(V = x^2y + 3yz\) (V, 좌표는 m)이다. 점 \(P(1, 2, -1)\)에서 (a) 전기장 \(\mathbf E\)와 그 크기, (b) 방향 \(\hat{\mathbf u} = (2\hat{\mathbf x} - \hat{\mathbf y} + 2\hat{\mathbf z})/3\)으로의 \(V\)의 변화율을 구하라.

풀이 보기
전략 편미분으로 \(\nabla V\)를 구하고 \(\mathbf E = -\nabla V\), \(dV/ds = \nabla V\cdot\hat{\mathbf u}\).
풀이 \(\nabla V = (2xy,\ x^2 + 3z,\ 3y)\), P에서 \((4, -2, 6)\) V/m. \(\mathbf E = (-4, 2, -6)\) V/m, \(|\mathbf E| = \sqrt{16+4+36} = \sqrt{56} = 7.48\) V/m.
\(dV/ds = (4\cdot2 + (-2)(-1) + 6\cdot2)/3 = 22/3 = 7.33\) V/m.
(a) \(\mathbf E = -4\hat{\mathbf x} + 2\hat{\mathbf y} - 6\hat{\mathbf z}\) V/m, 7.48 V/m (b) 7.33 V/m
검토 방향 도함수 7.33이 최대 변화율 7.48보다 작다. \(\hat{\mathbf u}\)와 \(\nabla V\) 사이 각은 \(\cos^{-1}(7.33/7.48) = 11.5^\circ\)로 거의 같은 방향이다.

원점에 놓인 z 방향 전기 쌍극자의 전위는 \(V = \dfrac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}\)이다. 전기장을 구 좌표로 구하라.

풀이 보기
전략 \(V\)가 \(\phi\)에 무관하므로 구 좌표 기울기의 \(r\), \(\theta\) 두 항만 계산한다.
풀이 \(E_r = -\dfrac{\partial V}{\partial r} = \dfrac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}\), \(E_\theta = -\dfrac1r\dfrac{\partial V}{\partial\theta} = \dfrac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}\), \(E_\phi = 0\).
\(\mathbf E = \dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0r^3}\left(2\cos\theta\,\hat{\mathbf r} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}\right)\)
검토 축 위(\(\theta = 0\))에서는 \(\hat{\mathbf r}\) 방향으로 \(2p/4\pi\varepsilon_0r^3\), 적도(\(\theta = 90^\circ\))에서는 \(\hat{\boldsymbol\theta}\)(아래쪽 = \(-\hat{\mathbf z}\)) 방향으로 그 절반이다. 직교 좌표로 미분하는 것보다 훨씬 짧다. 2장에서 다중극 전개로 다시 쓴다.

기울기는 반도체 소자의 언어이기도 하다. 도핑 농도가 깊이에 따라 변하면 다수 캐리어가 농도가 낮은 쪽으로 확산하려 하고, 그 결과 생긴 내부 전기장이 확산을 정확히 막는다. n형 층이 평형에 있으면 전자 농도가 \(n \approx N\)이고 \(n\propto e^{qV/kT}\)이므로 \(V = (kT/q)\ln N + \text{상수}\), 곧 \(\mathbf E = -\nabla V = -(kT/q)\nabla\ln N\)이다. 전기장은 농도가 줄어드는 쪽을 향해, 그쪽으로 확산하려는 전자를 되민다.

도핑이 깊이에 따라 \(N(x) = N_0e^{-x/L}\)로 줄어드는 층에서, 특성 길이 \(L =\) 100, 온도 300이면 내부 전기장은 \(|E| = (kT/q)/L =\) 로 깊이에 무관하게 일정하다. 열전압 \(kT/q =\) , 깊이 \(3L\)에 걸친 전위차는 이다.

전기장은 띠 그림의 기울기다

소자 엔지니어가 그리는 에너지 띠 그림에서 전도대 바닥 \(E_c(x) = \text{상수} - qV(x)\)이므로 전기장은 띠의 기울기 \(\mathbf E = (1/q)\nabla E_c\)로 바로 읽힌다. pn 접합의 공핍 영역에서 띠가 휘는 정도, 바이폴라 트랜지스터의 베이스를 경사 도핑해 만든 내부 전기장(전자를 가속해 베이스 통과 시간을 줄인다), 레트로그레이드 웰의 도핑 경사가 만드는 전기장은 모두 \(\nabla V\) 하나로 설명된다. → DeviceBook · pn 접합 I: 정전기

어떤 점에서 \(\nabla V = 0\)이다. 이 점에 대해 옳은 것은?

\(\nabla V = 0\)은 평탄한 점(봉우리·골짜기·안장)이다. 두 같은 부호 전하의 한가운데가 안장점의 예다. §1.6에서 보듯 전하가 없는 곳에서는 전위가 봉우리나 골짜기를 가질 수 없고 안장만 가능하다.

발산과 발산 정리

한 점을 작은 상자로 감싸고, 상자 면을 뚫고 나가는 선속에서 들어오는 선속을 뺀다. 그 알짜 바깥 선속을 상자의 부피로 나누고 상자를 한없이 줄인 값이 그 점의 발산(divergence)이다. 발산이 양이면 그 점은 장이 솟아나는 원천, 음이면 빨려 들어가는 흡수처다.

$$\nabla\cdot\mathbf F = \lim_{\Delta v\to0}\frac{\oint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S}{\Delta v} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$
직교 좌표의 공식은 상자의 마주 보는 두 면의 선속 차이에서 나온다: x에 수직인 두 면에서 \([F_x(x+dx) - F_x(x)]\,dy\,dz = (\partial F_x/\partial x)\,dv\). 나머지 두 쌍도 같다.

주의할 점: 화살표가 바깥을 향한다고 발산이 양인 것은 아니다. 중요한 것은 나가는 양과 들어오는 양의 차이다. 다음 예측을 해 보자.

2차원 점 원천의 장 \(\mathbf F = \hat{\boldsymbol\rho}/\rho\)(선전하의 전기장과 같은 꼴)에서, 원천에서 떨어진 곳에 작은 상자를 놓았다. 상자 근처의 화살표는 모두 원천 반대쪽(대략 바깥)을 향한다. 상자의 알짜 바깥 선속은?

원천에서 먼 쪽 면은 장이 약하지만(1/ρ) 장선이 옆으로 퍼진 만큼 모두 상자를 지나간다. 원통 공식으로 \(\nabla\cdot(\hat{\boldsymbol\rho}/\rho) = \frac1\rho\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\cdot\frac1\rho) = 0\)이다(ρ ≠ 0). 상자가 원천을 감쌀 때만 선속이 \(2\pi\)가 된다 — 시뮬레이터의 "점 원천"에서 확인하라.
SIMULATOR

선속 상자: 들어오고 나가는 양 세기

상자 가운데(이동)와 오른쪽 위 모서리(크기)를 끈다
알짜 선속 ∮F·dn—
선속 / 넓이—
상자 중심의 ∇·F—
과제—
2차원 장이라 "부피"는 넓이, "면"은 상자의 네 변이다. 변마다 바깥 법선 방향 선속을 화살표(빨강 나감, 파랑 들어옴)로 표시한다. 해볼 것: ① 균일 퍼짐 장에서는 상자를 어디로 옮기든 선속/넓이 = 1로 일정하다. ② 한 방향 늘어남 장 \((x,0)/2\)은 좌우 변에서만 선속이 생기는데, 화살표가 왼쪽을 향하는 왼쪽 절반에서도 발산은 +0.5다. ③ 점 원천 장에서 알짜 선속이 0인 상자와 2π인 상자를 모두 만들어 과제를 완수하라. ④ 강체 회전·층밀림은 어디서나 발산이 0이다.

곡선 좌표에서는 상자의 마주 보는 면의 넓이가 서로 다르다(바깥쪽 면이 더 넓다). 그래서 넓이 인자가 미분 안으로 들어간다.

$$\nabla\cdot\mathbf A = \frac1\rho\frac{\partial(\rho A_\rho)}{\partial\rho} + \frac1\rho\frac{\partial A_\phi}{\partial\phi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac1{r^2}\frac{\partial(r^2A_r)}{\partial r} + \frac1{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\,A_\theta)}{\partial\theta} + \frac1{r\sin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial\phi}$$
원통 공식의 \(\rho A_\rho\)는 "반지름 \(\rho\)인 원통 옆면을 뚫는 선속 ∝ 넓이 × 장", 구 공식의 \(r^2A_r\)은 "구면 넓이 × 장"이다. 그래서 \(r^2A_r\)이 일정한 장(\(\hat{\mathbf r}/r^2\), 쿨롱 장)은 원점 밖에서 발산이 0이다.

구 대칭 장 \(\mathbf F = r^n\hat{\mathbf r}\)에서 지수 \(n =\) 1.0, 반지름 \(r =\) 2.0이면 \(\nabla\cdot\mathbf F = \frac1{r^2}\frac{d}{dr}(r^{n+2}) = (n+2)r^{n-1} =\) 이다. 반지름 r인 구면의 선속은 \(\Phi(r) = 4\pi r^{n+2} =\) 이고, 껍질 하나 두께만큼 늘 때의 선속 증가율 \(d\Phi/dr\) = \(= \nabla\cdot\mathbf F\times4\pi r^2\)이다.

발산 정리

큰 부피를 작은 상자로 잘게 쪼개면, 이웃한 두 상자가 맞댄 면에서 한쪽의 나가는 선속은 다른 쪽의 들어오는 선속이라 서로 지워진다. 남는 것은 바깥 겉면의 선속뿐이다. 각 상자의 선속은 (발산 × 부피)이므로 다음 발산 정리(divergence theorem, 가우스 정리)를 얻는다.

$$\oint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S = \int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dv$$
\(S\)는 부피 \(V\)를 감싼 닫힌 면, \(d\mathbf S\)는 바깥 법선. 가우스 법칙의 적분형 \(\oint\mathbf D\cdot d\mathbf S = Q_{enc}\)와 미분형 \(\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v\)는 이 정리로 서로 바뀐다(일반물리학 · 가우스 법칙, 2장).
부피 V: 겉면 선속 ∮ F·dS 왼쪽 상자에서 나감 = 오른쪽 상자에서 나감(반대 부호) Σ(각 상자의 선속) = Σ(∇·F)Δv → ∫ ∇·F dv, 안쪽 면은 모두 상쇄
  1. 닫힌 면 전체를 뚫고 나가는 알짜 선속.
  2. 부피를 둘로 나누어도 겉면 선속의 합은 같다. 맞댄 면의 선속은 두 상자에서 크기가 같고 부호가 반대다.
  3. 잘게 나눌수록 각 상자의 선속은 (∇·F) × (그 부피)에 가까워지고, 안쪽 면은 모두 지워진다.
발산 정리의 논리. "속에서 솟아난 것의 합 = 겉으로 나간 것"이라는 회계 장부다.

\(\mathbf F = xy\,\hat{\mathbf x} + yz\,\hat{\mathbf y} + zx\,\hat{\mathbf z}\)에 대해, 단위 정육면체 \(0\le x,y,z\le1\)에서 발산 정리의 양변을 각각 계산하라.

풀이 보기
전략 부피 쪽은 \(\nabla\cdot\mathbf F = y + z + x\)를 적분하고, 면 쪽은 여섯 면의 바깥 법선 성분을 하나씩 적분한다.
풀이 부피: \(\int_0^1\!\int_0^1\!\int_0^1(x+y+z)\,dx\,dy\,dz = 3\times\tfrac12 = \tfrac32\).
면: \(x = 1\) 면에서 \(F_x = y\), \(\iint y\,dy\,dz = \tfrac12\); \(x = 0\) 면에서 \(F_x = 0\). 마찬가지로 \(y = 1\) 면 \(\iint z = \tfrac12\), \(z = 1\) 면 \(\iint x = \tfrac12\), 나머지 세 면은 0. 합 \(\tfrac32\).
양변 모두 3/2
검토 발산이 원점에서 0이고 (1,1,1) 쪽으로 커지므로, 선속이 원점에서 먼 세 면으로만 나간다는 결과가 그림과 맞다.
TCAD 방정식은 모두 발산 꼴이다

소자 시뮬레이터가 푸는 세 방정식은 \(\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\psi) = -q(p - n + N_D^+ - N_A^-)\)(푸아송), \(\partial n/\partial t = \frac1q\nabla\cdot\mathbf J_n + G - R\), \(\partial p/\partial t = -\frac1q\nabla\cdot\mathbf J_p + G - R\)(연속 방정식)이다. 모두 "작은 상자에 들어온 것 − 나간 것 = 쌓인 것"이라는 발산 회계이고, 전류 밀도를 상자 경계에서 주고받으므로 전하가 정확히 보존된다. → TCADBook · 기본 방정식: 포아송과 연속 방정식

박스 적분 = 발산 정리의 이산판

TCAD는 각 격자점 둘레의 제어 체적(보로노이 칸)에 대해 \(\int_V\nabla\cdot\mathbf J\,dv = \oint_S\mathbf J\cdot d\mathbf S\)를 써서 미분 방정식을 "이웃 점 사이 선속의 합"으로 바꾼다(유한 체적법, box integration). 이웃 칸이 맞댄 면의 선속을 한 번만 계산해 양쪽에 반대 부호로 넣으므로, 격자가 거칠어도 전류가 새지 않는다 — 위 단계 그림의 상쇄 그대로다. 접촉 전극을 지나는 전류도 전극 표면의 \(\mathbf J\) 선속으로 계산한다. → TCADBook · 격자와 이산화

회전과 스토크스 정리

흐르는 물에 작은 바람개비를 꽂으면, 바람개비 양쪽 날개가 받는 흐름이 다를 때 돈다. 한 점 둘레의 작은 고리를 따라 장을 더한 순환을 고리의 넓이로 나눈 값이 그 점의 회전(curl)의 한 성분이다. 고리 면의 방향(법선)을 바꿔 가며 가장 큰 순환이 나오는 방향이 \(\nabla\times\mathbf F\)의 방향이고, 바람개비는 회전의 절반인 각속도로 돈다.

$$(\nabla\times\mathbf F)\cdot\hat{\mathbf n} = \lim_{\Delta S\to0}\frac{\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf l}{\Delta S}, \qquad \nabla\times\mathbf F = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf x} & \hat{\mathbf y} & \hat{\mathbf z}\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\ F_x & F_y & F_z\end{vmatrix}$$
\(C\)의 방향과 \(\hat{\mathbf n}\)은 오른손 규칙(손가락이 C를 따라 감으면 엄지가 \(\hat{\mathbf n}\)). z 성분은 \((\nabla\times\mathbf F)_z = \partial F_y/\partial x - \partial F_x/\partial y\): 작은 사각형의 오른쪽 변에서 위로 미는 \(F_y\)와 아래 변에서 오른쪽으로 미는 \(F_x\)의 차이다.

회전도 직관과 어긋나는 경우가 있다. 장선이 모두 곧은 직선이어도 회전이 있을 수 있고, 장선이 빙빙 돌아도 회전이 0일 수 있다.

강물이 오른쪽으로만 흐르는데, 수면(위쪽)으로 갈수록 빠르다: \(\mathbf F = y\,\hat{\mathbf x}\)(층밀림 흐름). 장선은 모두 수평 직선이다. 이 흐름에 바람개비를 꽂으면?

\((\nabla\times\mathbf F)_z = \partial F_y/\partial x - \partial F_x/\partial y = 0 - 1 = -1\). 음의 z 성분 = 위에서 볼 때 시계 방향. 거꾸로 장선이 원인 "점 소용돌이" \(\hat{\boldsymbol\phi}/\rho\)는 중심 밖에서 회전이 0이라 바람개비가 공전만 하고 자전하지 않는다. 시뮬레이터에서 둘 다 확인하라.
SIMULATOR

바람개비와 고리: 회전과 순환 — 목표 순환 맞히기

바람개비, 고리 중심, 고리 위 흰 원(반지름)을 끈다
바람개비 위치의 (∇×F)z—
순환 ∮F·dl (반시계)—
∬(∇×F)z dS—
목표—
바람개비는 각속도 \(\omega = \tfrac12(\nabla\times\mathbf F)_z\)로 돈다(반시계 +). 원 고리의 순환(선적분)과 고리 안 회전의 면적분을 따로 수치 계산해 나란히 보인다. 해볼 것: ① 강체 회전 장에서는 바람개비가 어디서나 같은 빠르기로 돈다. ② 점 소용돌이 장에서 바람개비는 중심 밖에서 멈춰 있지만, 고리가 중심을 감싸면 반지름과 무관하게 순환 = 2π다 — 앙페르 법칙의 직선 전류 자기장이 바로 이 장이다. ③ 두 수가 언제나 같은지(스토크스 정리) 확인하고, "목표" 순환을 ±3% 안으로 맞혀라.

곡선 좌표의 회전 공식은 행렬식에 척도 인자를 넣어 얻는다. 시험에는 표를 보고 쓰는 경우가 많지만, 구조는 기억해 둘 만하다: 각 성분은 "나머지 두 방향의 엇갈린 미분의 차"이고, 각도 방향 성분에는 \(\rho A_\phi\), \(rA_\theta\), \(r\sin\theta A_\phi\)처럼 둘레 길이가 곱해진다.

$$\nabla\times\mathbf A = \left(\frac1\rho\frac{\partial A_z}{\partial\phi} - \frac{\partial A_\phi}{\partial z}\right)\hat{\boldsymbol\rho} + \left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial\rho}\right)\hat{\boldsymbol\phi} + \frac1\rho\left(\frac{\partial(\rho A_\phi)}{\partial\rho} - \frac{\partial A_\rho}{\partial\phi}\right)\hat{\mathbf z}$$ $$\nabla\times\mathbf A = \frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial(\sin\theta A_\phi)}{\partial\theta} - \frac{\partial A_\theta}{\partial\phi}\right)\hat{\mathbf r} + \frac1r\left(\frac1{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\phi} - \frac{\partial(rA_\phi)}{\partial r}\right)\hat{\boldsymbol\theta} + \frac1r\left(\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right)\hat{\boldsymbol\phi}$$
예: \(\mathbf A = \rho\,\hat{\boldsymbol\phi}\)(강체 회전)이면 \(\nabla\times\mathbf A = \frac1\rho\frac{\partial(\rho^2)}{\partial\rho}\hat{\mathbf z} = 2\hat{\mathbf z}\). \(\mathbf A = \hat{\boldsymbol\phi}/\rho\)(점 소용돌이)이면 \(\frac1\rho\frac{\partial(1)}{\partial\rho} = 0\) (ρ ≠ 0).

스토크스 정리

열린 면을 작은 고리들로 덮으면, 이웃한 두 고리가 공유하는 변은 서로 반대 방향으로 지나가므로 상쇄되고, 가장자리 \(C\)만 남는다. 각 작은 고리의 순환은 (회전의 법선 성분 × 넓이)이므로 스토크스 정리(Stokes' theorem)를 얻는다.

$$\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf l = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf S$$
\(S\)는 \(C\)를 가장자리로 하는 아무 면(오른손 규칙 방향). 면의 모양과 무관하다는 것은 \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0\)과 같은 말이다. 앙페르 법칙과 패러데이 법칙의 적분형·미분형이 이 정리로 바뀐다.
가장자리 C의 순환 ∮ F·dl 공유한 변: 왼쪽 고리는 위로, 오른쪽 고리는 아래로 → 합 0 Σ(작은 고리 순환) = Σ(∇×F)·n̂ ΔS → ∬ (∇×F)·dS
  1. 열린 면의 가장자리를 한 바퀴 도는 순환.
  2. 면을 둘로 나눠도 순환의 합은 같다. 맞댄 변은 반대 방향으로 두 번 지나가 상쇄된다.
  3. 잘게 나눌수록 각 고리의 순환은 (회전의 법선 성분) × (넓이)가 된다 — 작은 바람개비들의 합.
스토크스 정리의 논리는 발산 정리와 똑같다. 안쪽 경계는 모두 상쇄되고 바깥 경계만 남는다.

(a) 예제 1.2의 \(\mathbf F = x^2\hat{\mathbf x} + xy\hat{\mathbf y}\)에 대해, \(y = x^2\)(아래)과 \(y = x\)(위)로 둘러싸인 영역의 반시계 순환을 회전의 면적분으로 구하라. (b) 직선 전류의 자기장 꼴 \(\mathbf H = \dfrac{I}{2\pi\rho}\hat{\boldsymbol\phi}\)의 회전과, z축을 감싼 반지름 \(a\)인 원의 순환을 구하라.

풀이 보기
전략 (a) \((\nabla\times\mathbf F)_z\)를 구해 영역에서 적분한다. (b) 원통 회전 공식과 \(d\mathbf l = a\,d\phi\,\hat{\boldsymbol\phi}\).
풀이 (a) \((\nabla\times\mathbf F)_z = \partial(xy)/\partial x - \partial(x^2)/\partial y = y\). \(\int_0^1\int_{x^2}^{x}y\,dy\,dx = \int_0^1\frac{x^2 - x^4}2dx = \frac12\left(\frac13 - \frac15\right) = \frac1{15}\).
(b) \(\nabla\times\mathbf H = \frac1\rho\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\cdot\frac{I}{2\pi\rho}\right)\hat{\mathbf z} = 0\) (ρ ≠ 0). 순환 \(\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l = \int_0^{2\pi}\frac{I}{2\pi a}a\,d\phi = I\).
(a) 1/15 — 예제 1.2의 두 경로 차이와 같다 (b) 회전 0(축 밖), 순환 \(I\)(반지름 무관)
검토 (b)는 모순이 아니다. 축 밖에서는 회전이 0이지만 전류가 흐르는 축 위에서 회전이 집중되어 있다: \(\nabla\times\mathbf H = \mathbf J\)이고 전류가 선에 몰려 있으면 \(\mathbf J = I\delta(x)\delta(y)\hat{\mathbf z}\)이다(§1.6, 6장 앙페르 법칙).

두 가지 영(0) 항등식과 곱의 규칙

$$\nabla\times(\nabla f) = \mathbf 0, \qquad \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A) = 0$$
기울기장은 회전이 없고(보존장 ⇔ \(\nabla\times\mathbf F = 0\)), 회전장은 발산이 없다. 정전기장 \(\mathbf E = -\nabla V\)는 \(\nabla\times\mathbf E = 0\)을, 자기장 \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\)는 \(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)을 자동으로 만족한다. 거꾸로 회전이 0인 장은 기울기로, 발산이 0인 장은 회전으로 쓸 수 있다(단순 연결 영역에서).
곱의 규칙과 2계 미분쓰이는 곳
\(\nabla(fg) = f\nabla g + g\nabla f\)전위·농도의 곱
\(\nabla\cdot(f\mathbf A) = f\,\nabla\cdot\mathbf A + \mathbf A\cdot\nabla f\)\(\nabla\cdot(\varepsilon\mathbf E)\) — 유전율이 변하는 매질(3장)
\(\nabla\times(f\mathbf A) = f\,\nabla\times\mathbf A + \nabla f\times\mathbf A\)자화·전류 분포
\(\nabla\cdot(\mathbf A\times\mathbf B) = \mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf A) - \mathbf A\cdot(\nabla\times\mathbf B)\)포인팅 정리(9장)
\(\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf A) - \nabla^2\mathbf A\)파동 방정식(10장)
ICP 코일이 만드는 원형 전기장

유도 결합 플라스마(ICP) 식각 장비는 챔버 위 평면 코일에 13.56 MHz 전류를 흘린다. 코일의 자기 선속이 시간에 따라 변하면 패러데이 법칙 \(\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t\)에 따라 챔버 속에 고리 모양의 전기장이 생기고, 스토크스 정리로 \(\oint\mathbf E\cdot d\mathbf l = -d\Phi_B/dt\)이다. 이 전기장은 시작도 끝도 없는 원이라 정전기 퍼텐셜로 쓸 수 없고(회전이 0이 아니므로), 전자를 원형으로 가속해 웨이퍼 쪽 바이어스와 독립적으로 플라스마 밀도를 올린다. → EtchBook · 반응기: 배럴에서 ICP까지

라플라시안, 디랙 델타, 헬름홀츠 정리

라플라시안: 이웃 평균과의 차이

기울기의 발산 \(\nabla\cdot\nabla f\)를 라플라시안(Laplacian) \(\nabla^2f\)라 한다. 직교 좌표로는 세 2계 편미분의 합이다. 그 뜻은 다음과 같다: 한 점 둘레의 작은 구면(2D에서는 원) 위 평균값에서 중심값을 뺀 것이 \(\nabla^2f\)에 비례한다. 둘레 평균보다 중심이 낮으면(골짜기) \(\nabla^2f > 0\), 높으면(봉우리) \(\nabla^2f < 0\)이다.

$$\nabla^2f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2}, \qquad \langle f\rangle_{\text{구면}} - f(\mathbf r_0) \approx \frac{R^2}{6}\nabla^2f\ \ (\text{3D}),\quad \frac{R^2}{4}\nabla^2f\ \ (\text{2D 원})$$ $$\nabla^2f = \frac1\rho\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\frac{\partial f}{\partial\rho}\right) + \frac1{\rho^2}\frac{\partial^2f}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2} = \frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac1{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right) + \frac1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2f}{\partial\phi^2}$$
전위는 푸아송 방정식 \(\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon\)을 따른다. 전하가 없는 곳에서는 라플라스 방정식 \(\nabla^2V = 0\): 전위가 어느 점에서나 둘레의 평균과 같으므로 봉우리나 골짜기가 없다(언쇼 정리 — 정전기력만으로는 전하를 안정하게 가둘 수 없다). 4장의 이완법이 바로 "이웃 평균으로 바꾸기"를 되풀이하는 풀이법이다.
원의 중심을 끈다
함수 f
MINI LAB원 위 32점의 평균 \(\langle f\rangle\)과 중심값 \(f_0\)의 차이에 \(4/R^2\)를 곱한 값(어림)과 정확한 \(\nabla^2f\)를 비교한다. R을 줄일수록 둘이 같아진다. 안장 \(x^2 - y^2\)은 어디서나 \(\nabla^2f = 0\) — 원 위 평균이 언제나 중심값과 같다. 라플라스 방정식의 해(조화 함수)의 성질이다.

벡터장의 라플라시안 \(\nabla^2\mathbf A\)는 직교 좌표에서 성분마다 \(\nabla^2\)을 취한 것이고, 곡선 좌표에서는 \(\nabla^2\mathbf A = \nabla(\nabla\cdot\mathbf A) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf A)\)로 정의한다(단위 벡터도 미분되므로 성분별 공식이 아니다).

디랙 델타 함수

점전하의 전하 밀도는 어떻게 쓸까? 한 점에서만 값이 있고 무한대인데, 적분하면 \(q\)가 되어야 한다. 이런 대상을 디랙 델타 함수(Dirac delta function)라 한다. 엄밀히는 함수가 아니라 넓이 1인 뾰족한 함수열의 극한이며, 적분 안에서만 뜻을 가진다.

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx = 1, \qquad \int f(x)\,\delta(x-a)\,dx = f(a), \qquad \delta^3(\mathbf r) = \delta(x)\delta(y)\delta(z),\ \ \rho_v = q\,\delta^3(\mathbf r - \mathbf r')$$
둘째 식(체로 거르기 성질)이 델타의 본질이다: 적분 속 델타는 한 점의 값만 골라낸다. 단위는 길이의 역수(3D는 부피의 역수)다. \(\delta(kx) = \delta(x)/|k|\).
봉우리 위치 a를 끈다
MINI LAB넓이가 늘 1인 가우스 함수 \(g_\sigma(x - a)\)를 좁혀 간다. 봉우리는 \(1/(\sigma\sqrt{2\pi})\)로 치솟지만 넓이는 그대로다. 시험 함수 \(f(x)\)(점선)와 곱한 적분 \(\int f\,g_\sigma\,dx\)가 \(\sigma\to0\)에서 \(f(a)\)로 수렴하는 것을 보라.

이제 이 장의 가장 중요한 계산이다. 쿨롱 장의 꼴 \(\mathbf F = \hat{\mathbf r}/r^2\)의 발산을 구 좌표 공식으로 구하면 \(\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\cdot\frac1{r^2}\right) = 0\)이다. 그런데 원점을 감싼 반지름 \(R\)인 구면의 선속은 \(\oint\frac{1}{R^2}R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi = 4\pi\)이다. 발산 정리가 틀렸을까?

\(\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)\)는 원점 밖 어디서나 0이다. 원점을 중심에서 벗어나게 감싼 찌그러진 위치의 구(반지름 아무거나)를 지나는 \(\hat{\mathbf r}/r^2\)의 선속은?

발산이 원점 한 점에 모두 몰려 있다: \(\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2) = 4\pi\delta^3(\mathbf r)\). 원점을 감싸면 그 델타 하나를 통째로 적분하므로 4π, 감싸지 않으면 0이다. 아래에서 구를 끌어 확인하라.
SIMULATOR

점 원천을 감싸는 구: 선속 = 4π × (감싼 원천)

구의 중심, 구 위 흰 원(반지름), 원천 A·B를 끈다
장의 꼴
선속 Φ (수치 적분)—
Φ / 4π—
감싼 원천—
과제—
원천 A(세기 +1)와 B(세기 −2)가 \(q\,\hat{\mathbf R}/R^{2}\) 꼴의 장을 만든다(\(\mathbf R\)은 원천에서 본 위치). 그림은 원천과 구 중심을 지나는 단면이고, 선속은 3차원 구면 전체에서 48×96 점으로 수치 적분한다. 해볼 것: ① 쿨롱 꼴에서 Φ/4π가 감싼 원천 세기의 합(+1, −2, −1, 0)이 되는 네 경우를 모두 만들어라. ② 구가 원천을 감싼 채 크기·위치를 바꿔도 Φ가 그대로다. ③ r̂/r 꼴로 바꾸면 발산 \(1/r^2\)이 공간에 퍼져 있어 구를 키울수록 Φ가 커진다 — 델타는 \(n = -2\)에서만 생긴다.
$$\nabla\cdot\left(\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}\right) = 4\pi\delta^3(\mathbf r), \qquad \nabla^2\frac1r = -4\pi\delta^3(\mathbf r), \qquad \nabla^2\frac1{|\mathbf r - \mathbf r'|} = -4\pi\delta^3(\mathbf r - \mathbf r')$$
\(\hat{\mathbf r}/r^2 = -\nabla(1/r)\)이므로 둘째 식이 따라 나온다. 점전하 \(q\)의 \(\mathbf E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}\)에 첫째 식을 쓰면 \(\nabla\cdot\mathbf E = q\delta^3(\mathbf r)/\varepsilon_0 = \rho_v/\varepsilon_0\) — 가우스 법칙의 미분형이 점전하에서도 성립한다.

반지름 \(R\)인 구(중심 원점) 안에서 \(\displaystyle\int_V(r^2 + 2)\,\nabla\cdot\left(\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}\right)dv\)를 구하라.

풀이 보기
전략 \(\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2) = 4\pi\delta^3(\mathbf r)\)로 바꾸고 체로 거르기 성질을 쓴다.
풀이 \(\int_V(r^2+2)\,4\pi\delta^3(\mathbf r)\,dv = 4\pi(0 + 2) = 8\pi\).
\(8\pi \approx 25.1\) (R과 무관)
검토 부분 적분으로도 확인된다: \(\int f\,\nabla\cdot\mathbf F\,dv = \oint f\mathbf F\cdot d\mathbf S - \int\mathbf F\cdot\nabla f\,dv = (R^2+2)4\pi - \int_0^R\frac{2r}{r^2}4\pi r^2dr = 4\pi(R^2 + 2) - 4\pi R^2 = 8\pi\). "발산이 0이니 답은 0"이라고 하면 틀린다.

헬름홀츠 정리: 장은 발산과 회전으로 정해진다

벡터장의 발산 \(D(\mathbf r) = \nabla\cdot\mathbf F\)와 회전 \(\mathbf C(\mathbf r) = \nabla\times\mathbf F\)를 모든 곳에서 알고, 장이 무한히 먼 곳에서 충분히 빨리(\(1/r^2\)보다 빠르게) 0으로 간다면, \(\mathbf F\)는 하나로 정해진다. 그리고 다음처럼 쓸 수 있다. 이것이 헬름홀츠 정리(Helmholtz theorem)이다.

$$\mathbf F = -\nabla\Phi + \nabla\times\mathbf A,\qquad \Phi(\mathbf r) = \frac1{4\pi}\int\frac{D(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dv',\qquad \mathbf A(\mathbf r) = \frac1{4\pi}\int\frac{\mathbf C(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}dv'$$
첫째 항은 회전이 없는 부분(원천에서 솟는 장), 둘째 항은 발산이 없는 부분(소용돌이를 감는 장)이다. 유한한 영역에서는 경계에서의 법선 성분(또는 퍼텐셜)까지 주어야 유일하다 — 4장의 유일성 정리다.
원천(+)과 소용돌이(↺)를 끈다
보기
MINI LAB장의 "재료"는 두 가지뿐이다: 발산이 있는 원천과 회전이 있는 소용돌이. 두 재료를 끌어 놓으면 합쳐진 장이 정해진다. "−∇Φ 부분"은 원천에서 곧게 뻗고(회전 0), "∇×A 부분"은 소용돌이를 감는다(발산 0). 정전기장은 앞쪽만, 정자기장은 뒤쪽만 가진 장이다.
전기장 E 자기장 B 발산 ∇·E = ρ/ε₀전하가 원천 (가우스 법칙) 회전 ∇×E = −∂B/∂t변하는 자기장이 소용돌이 (패러데이) 발산 ∇·B = 0자기 홀극 없음 → 원천 없음 회전 ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t전류와 변위 전류가 소용돌이 (앙페르–맥스웰)
헬름홀츠 정리 덕분에 맥스웰 방정식은 꼭 이 네 식이면 된다: 두 장 각각의 발산과 회전을 주면 (경계 조건과 함께) 장이 정해진다. 이 책의 나머지는 이 네 식을 여러 경계 조건 아래에서 푸는 일이다.

핵심 정리

  1. 문제의 대칭에 맞는 좌표계를 고른다: 판 → 직교, 원기둥 → 원통 \((\rho,\phi,z)\), 점·구 → 구 \((r,\theta,\phi)\). 곡선 좌표의 단위 벡터는 위치에 따라 바뀌고, 각도 방향 길이에는 척도 인자가 붙는다: \(d\mathbf l = d\rho\,\hat{\boldsymbol\rho} + \rho\,d\phi\,\hat{\boldsymbol\phi} + dz\,\hat{\mathbf z}\), \(dv = \rho\,d\rho\,d\phi\,dz = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi\).
  2. 선적분 \(\int\mathbf F\cdot d\mathbf l\)은 경로에 나란한 성분, 면적분 \(\iint\mathbf F\cdot d\mathbf S\)는 법선 성분(선속)을 더한다. 경로에 무관한 장(보존장)은 순환이 0이고 \(\mathbf F = \nabla f\)로 쓸 수 있다.
  3. 기울기 \(\nabla f\)는 가장 가파른 오르막을 가리키고 크기가 최대 변화율이며 등위면에 수직이다. \(df = \nabla f\cdot d\mathbf l\), \(\mathbf E = -\nabla V\), \(\int_a^b\nabla f\cdot d\mathbf l = f(b) - f(a)\).
  4. 발산 = 단위 부피당 알짜 바깥 선속. \(\nabla\cdot\mathbf A = \frac1\rho\partial_\rho(\rho A_\rho) + \cdots = \frac1{r^2}\partial_r(r^2A_r) + \cdots\). 발산 정리 \(\oint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S = \int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dv\) — TCAD의 박스 적분이 그 이산판이다.
  5. 회전 = 단위 넓이당 순환(바람개비 각속도의 2배). 곧은 장선에도 회전이 있을 수 있고(층밀림), 도는 장선에도 회전이 없을 수 있다(점 소용돌이). 스토크스 정리 \(\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf l = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf S\). 항등식 \(\nabla\times\nabla f = 0\), \(\nabla\cdot\nabla\times\mathbf A = 0\).
  6. 라플라시안 \(\nabla^2f\)는 둘레 평균 − 중심값에 비례한다(3D: \(R^2\nabla^2f/6\)). \(\nabla^2V = 0\)인 곳에서는 극대·극소가 없다. 디랙 델타는 적분 속에서 한 점의 값을 골라내며, \(\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2) = 4\pi\delta^3(\mathbf r)\), \(\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^3(\mathbf r)\).
  7. 헬름홀츠 정리: 발산과 회전(그리고 경계 조건)이 벡터장을 정한다, \(\mathbf F = -\nabla\Phi + \nabla\times\mathbf A\). 그래서 맥스웰 방정식은 \(\mathbf E\)와 \(\mathbf B\)의 발산·회전을 주는 네 식이다.

연습문제

좌표는 m, 각도는 도(°)로 답한다. \(\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}\) F/m. 답이 ±1% 이내면 정답이다(0이 답이면 0을 입력).

점 \((3, -4, 12)\)의 구 좌표 \(r\)과 \(\theta\)는?

\(r = \sqrt{9+16+144} = 13\), \(\theta = \cos^{-1}(12/13) = 22.6^\circ\). (참고: \(\phi = \operatorname{atan2}(-4,3) = -53.1^\circ\), 즉 306.9°.)

원통 좌표 \((\rho,\phi,z) = (5, 120^\circ, -2)\)인 점의 \(x\), \(y\)는?

\(x = 5\cos120^\circ = -2.50\), \(y = 5\sin120^\circ = 4.33\), \(z = -2\).

반지름 2 m인 구면에서 \(0\le\theta\le60^\circ\)인 부분(극모자)의 넓이는?

\(dS = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi\)를 \(\phi\)는 0–2π, \(\theta\)는 0–60°로 적분한다.

\(A = R^2\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\pi/3}\sin\theta\,d\theta = 2\pi R^2(1 - \cos60^\circ) = 2\pi\cdot4\cdot0.5 = 4\pi = 12.6\) m².

\(\mathbf F = y\,\hat{\mathbf x} + 2x\,\hat{\mathbf y}\)를 반지름 2인 원 위에서 \((2,0)\)부터 \((0,2)\)까지 반시계 방향으로 선적분하라.

\(x = 2\cos t,\ y = 2\sin t\), \(0\le t\le\pi/2\).

\(dx = -2\sin t\,dt\), \(dy = 2\cos t\,dt\). \(\mathbf F\cdot d\mathbf r = 2\sin t(-2\sin t) + 4\cos t(2\cos t) = -4\sin^2t + 8\cos^2t\). \(\int_0^{\pi/2}\): \(-4\cdot\frac\pi4 + 8\cdot\frac\pi4 = \pi = 3.14\).

\(\mathbf F = x\,\hat{\mathbf x} + y\,\hat{\mathbf y} + z\,\hat{\mathbf z}\)가 반지름 2, 높이 3인 닫힌 원통(\(0\le z\le3\), 축은 z축)을 지난다. 옆면을 뚫고 나가는 선속과, 위·아래 면까지 포함한 전체 바깥 선속은?

옆면에서 \(\mathbf F\cdot\hat{\boldsymbol\rho} = \rho = 2\). 전체는 발산 정리로 확인할 수 있다: \(\nabla\cdot\mathbf F = 3\).

옆면: \(\Phi = 2\times(2\pi\cdot2\cdot3) = 24\pi = 75.4\). 윗면 \(z = 3\): \(3\times\pi\cdot4 = 12\pi\), 아랫면 \(z = 0\): 0. 전체 \(36\pi = 113\). 발산 정리: \(3\times(\pi\cdot4\cdot3) = 36\pi\) ✓.

\(T = 3x^2y - y^3z^2\)의 기울기 크기를 점 \((1, -2, 1)\)에서 구하라.

\(\nabla T = (6xy,\ 3x^2 - 3y^2z^2,\ -2y^3z) = (-12, -9, 16)\). \(|\nabla T| = \sqrt{144+81+256} = \sqrt{481} = 21.9\).

전위가 \(V = 10\cos\theta/r^2\) (V, r은 m)이다. 점 \(r = 2\) m, \(\theta = 60^\circ\)에서 \(\mathbf E = -\nabla V\)의 \(E_r\)과 \(E_\theta\)는?

\(E_r = -\partial V/\partial r = 20\cos\theta/r^3 = 20(0.5)/8 = 1.25\) V/m. \(E_\theta = -\frac1r\partial V/\partial\theta = 10\sin\theta/r^3 = 10(0.866)/8 = 1.08\) V/m.

\(\mathbf F = \rho^2\,\hat{\boldsymbol\rho} + \rho\sin\phi\,\hat{\boldsymbol\phi} + z\,\hat{\mathbf z}\)의 발산을 \(\rho = 2\), \(\phi = 60^\circ\), \(z = 1\)에서 구하라.

\(\nabla\cdot\mathbf F = \frac1\rho\frac{\partial(\rho^3)}{\partial\rho} + \frac1\rho\frac{\partial(\rho\sin\phi)}{\partial\phi} + 1 = 3\rho + \cos\phi + 1 = 6 + 0.5 + 1 = 7.50\).

\(\mathbf F = x^3\hat{\mathbf x} + y^3\hat{\mathbf y} + z^3\hat{\mathbf z}\)가 원점 중심 반지름 1인 구면을 뚫고 나가는 선속을 발산 정리로 구하라.

\(\nabla\cdot\mathbf F = 3(x^2+y^2+z^2) = 3r^2\), \(dv = 4\pi r^2dr\).

\(\Phi = \int_0^1 3r^2\cdot4\pi r^2\,dr = 12\pi/5 = 7.54\).

\(\mathbf F = yz\,\hat{\mathbf x} + 3zx\,\hat{\mathbf y} + z\,\hat{\mathbf z}\)의 회전을 점 \((1, 2, 3)\)에서 구하라. z 성분과 크기는?

\(\nabla\times\mathbf F = (\partial_yF_z - \partial_zF_y,\ \partial_zF_x - \partial_xF_z,\ \partial_xF_y - \partial_yF_x) = (-3x,\ y,\ 3z - z) = (-3, 2, 6)\). 크기 \(\sqrt{9+4+36} = 7\).

\(\mathbf F = -y^3\,\hat{\mathbf x} + x^3\,\hat{\mathbf y}\)의 원점 중심 단위원 위 반시계 순환을 스토크스 정리로 구하라.

\((\nabla\times\mathbf F)_z = 3x^2 + 3y^2 = 3\rho^2\), \(dS = \rho\,d\rho\,d\phi\).

\(\iint3\rho^2\,\rho\,d\rho\,d\phi = 2\pi\cdot\frac34 = \frac{3\pi}{2} = 4.71\). 직접 선적분해도 \(\int_0^{2\pi}(\sin^4t + \cos^4t)\,dt = 3\pi/2\) ✓.

\(I = \int_V(r^2 + 3)\,\nabla\cdot\left(\hat{\mathbf r}/r^2\right)dv\)를 구하라. (a) \(V\)가 원점 중심 반지름 2인 공 (b) \(V\)가 중심 \((5,0,0)\), 반지름 2인 공.

\(\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2) = 4\pi\delta^3(\mathbf r)\). 원점이 V 안에 있는가?

(a) \(4\pi(0 + 3) = 12\pi = 37.7\). (b) 원점이 공 밖(거리 5 > 2)이므로 피적분 함수가 V 안 어디서나 0 → \(I = 0\).

진공 속 전위가 원통 좌표로 \(V = 5\rho^2z\) (V, m)이다. \(z = 0.3\) m에서 \(\nabla^2V\)와, 푸아송 방정식 \(\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0\)이 요구하는 전하 밀도는?

\(\nabla^2V = \frac1\rho\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\cdot10\rho z) + 0 + 0 = 20z = 6.00\) V/m². \(\rho_v = -\varepsilon_0\nabla^2V = -8.854\times10^{-12}\times6 = -5.31\times10^{-11}\) C/m³.

다음 중 정전기장이 될 수 없는 것은? (상수 \(k\))

정전기장은 \(\nabla\times\mathbf E = 0\)이어야 한다. \(-y\hat{\mathbf x} + x\hat{\mathbf y}\)의 회전은 \(2k\hat{\mathbf z} \ne 0\)이다. 나머지는 각각 \(\nabla(kxy)\), \(-\nabla(k/r)\), \(\nabla(k\ln\rho)\)이다.

어떤 벡터장이 모든 곳에서 \(\nabla\cdot\mathbf F = 0\), \(\nabla\times\mathbf F = 0\)이고 무한히 먼 곳에서 0으로 간다. 이 장에 대해 옳은 것은?

헬름홀츠 정리에서 \(D = 0\), \(\mathbf C = 0\)이면 \(\Phi = 0\), \(\mathbf A = 0\)이므로 \(\mathbf F = 0\). 균일한 장도 발산·회전이 0이지만 무한히 먼 곳에서 0으로 가지 않으므로 제외된다 — 경계 조건이 해를 고르는 이유다.

개념 확인 퀴즈

원통 좌표에서 \(\int_0^{2\pi}\hat{\boldsymbol\rho}\,d\phi\)의 값은?

\(\hat{\boldsymbol\rho} = \cos\phi\,\hat{\mathbf x} + \sin\phi\,\hat{\mathbf y}\)를 한 바퀴 적분하면 두 성분 모두 0이다. 곡선 좌표의 단위 벡터는 적분 밖으로 꺼낼 수 없다. 고리 전하의 축 위 전기장에서 옆 성분이 상쇄되는 이유이기도 하다.

등전위면과 전기장의 관계로 옳은 것은?

등전위면을 따라 움직이면 \(dV = \nabla V\cdot d\mathbf l = 0\)이므로 \(\nabla V\)는 면에 수직이다. \(\mathbf E = -\nabla V\)는 내리막을 가리키고, 등전위면 간격이 좁을수록 \(|\mathbf E|\)가 크다.

장선이 모두 서로 나란한 직선인 벡터장에 대해 옳은 것은?

\(\mathbf F = f(x,y)\hat{\mathbf x}\)이면 \(\nabla\cdot\mathbf F = \partial f/\partial x\), \((\nabla\times\mathbf F)_z = -\partial f/\partial y\). 층밀림 흐름(크기가 y에 따라 변함)은 회전, 가속되는 흐름(크기가 x에 따라 변함)은 발산을 가진다.

\(\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)\)가 원점 밖에서 0인데도 원점을 감싼 구면의 선속이 4π인 이유는?

원점에서 장이 정의되지 않으므로 구 좌표 공식으로는 그 점의 발산을 계산할 수 없다. 발산 정리를 지키려면 \(\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2) = 4\pi\delta^3(\mathbf r)\)여야 하고, 점전하의 전하 밀도 \(q\delta^3(\mathbf r)\)와 정확히 맞는다.

맥스웰 방정식이 \(\mathbf E\)와 \(\mathbf B\) 각각의 발산과 회전, 모두 네 식으로 이루어진 이유로 가장 알맞은 것은?

발산(원천)과 회전(소용돌이)이 벡터장의 "재료" 전부다. 그 둘을 주는 식이 각각 있으면 장이 정해지므로, 더도 덜도 필요 없다.