Chapter 06

정자기장

전하가 가만히 있으면 전기장만 생기지만, 전하가 흐르면 그 둘레에 자기장이 생긴다. 시간에 따라 변하지 않는 전류가 만드는 이 장이 정자기장이다. 정전기장의 원천이 전하라면 정자기장의 원천은 전류이고, 전기력선이 전하에서 시작해 전하에서 끝나는 것과 달리 자기력선은 시작도 끝도 없이 닫힌다. 이 차이 하나에서 비오–사바르 법칙, 앙페르 법칙, 벡터 퍼텐셜, 쌍극자, 인덕턴스가 차례로 나온다. 반도체 공장에서 이 장은 SEM과 전자빔 묘화기의 빔을 휘고, 이온 주입기에서 원하는 이온만 골라내며, RF 칩 위에서는 나선 인덕터 속에 에너지를 담는다. 아래 화면의 도선을 끌어 보자. 같은 방향으로 흐르는 두 전류는 서로 끌어당긴다.

도선을 끌고, 짧게 눌러 전류 방향을 바꾼다

로런츠 힘과 홀 효과

자기장은 그것이 움직이는 전하에 주는 힘으로 정의한다. 속도 \(\mathbf v\)로 움직이는 전하 \(q\)가 전기장 \(\mathbf E\)와 자기장 \(\mathbf B\) 속에서 받는 힘이 로런츠 힘(Lorentz force)이다.

$$\mathbf F = q\left(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B\right)$$
\(\mathbf B\)의 단위는 테슬라(T = N/(A·m) = V·s/m²). 지구 자기장은 약 50 µT, 냉장고 자석 표면은 수 mT, MRI는 1.5–3 T다. 오래된 단위로 1 G(가우스) = 10⁻⁴ T.

자기력은 언제나 속도에 수직이다. 그래서 \(\mathbf F\cdot\mathbf v = 0\)이고 자기력은 일을 하지 않는다. 자기장은 전하의 운동 방향만 바꿀 뿐 속력(운동 에너지)은 바꾸지 못한다. 균일한 \(\mathbf B\)에 수직으로 들어온 전하는 원을 그리고, 원운동의 구심력 \(mv^2/r = |q|vB\)에서 반지름과 각진동수가 나온다.

$$r = \frac{mv_\perp}{|q|B} = \frac{p_\perp}{|q|B}, \qquad \omega_c = \frac{|q|B}{m}, \qquad f_c = \frac{\omega_c}{2\pi}$$
\(\omega_c\)를 사이클로트론 진동수(cyclotron frequency)라 한다. 속력과 무관하다는 점이 사이클로트론 가속기와 ECR 플라스마의 원리다. 상대론적 속도에서는 \(p = \gamma mv\)를 쓰고 \(\omega_c = |q|B/\gamma m\)이다. 자기장에 나란한 속도 성분 \(v_\parallel\)은 그대로 남으므로 일반적인 궤도는 나선이다.
⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗ ⊗⊗ ⊗⊗ + v F = qv×B 중심 B ⊗ (종이로 들어감) 양전하는 반시계 방향으로 돈다 B r = mv⊥/|q|B 피치 = 2πmv∥/|q|B v∥는 그대로, v⊥만 돈다 → 나선
왼쪽: 종이로 들어가는 자기장 속에서 오른쪽으로 움직이는 양전하는 위쪽 힘 \(q\mathbf v\times\mathbf B\)를 받아 반시계 방향 원을 그린다(음전하는 시계 방향). 오른쪽: 자기장에 비스듬히 들어온 전하는 \(v_\parallel\)을 그대로 지니고 나선을 그린다.

전기장과 자기장이 함께 있으면 재미있는 일이 생긴다. \(\mathbf E\perp\mathbf B\)일 때 전하는 원운동을 하면서 전체적으로는 \(\mathbf E\)도 \(\mathbf B\)도 아닌 제3의 방향으로 미끄러진다. 원의 위쪽 반에서는 전기장이 전하를 가속해 반지름이 커지고, 아래쪽 반에서는 감속해 반지름이 작아지기 때문이다. 이 E×B 표류(E×B drift)의 속도는

$$\mathbf v_d = \frac{\mathbf E\times\mathbf B}{B^2}, \qquad |\mathbf v_d| = \frac{E}{B}$$
전하의 부호와 질량에 무관하다. 그래서 플라스마 속 전자와 이온은 같은 방향으로 함께 떠밀려 간다. \(\mathbf E\times\mathbf B\) 방향으로 \(v_d\)로 움직이는 좌표계에서 보면 전기장이 사라지고 순수한 원운동만 남는다. 속도 선택기(빈 필터)는 반대로 \(v = E/B\)인 입자만 휘지 않고 지나가게 한다.

종이에서 나오는 자기장(⊙) 속에 위쪽을 향하는 전기장을 걸었다. 정지해 있던 양전하와 음전하를 놓으면 둘은 전체적으로 어느 쪽으로 떠내려갈까?

\(\hat{\mathbf y}\times\hat{\mathbf z} = \hat{\mathbf x}\)이므로 표류는 오른쪽이다. 음전하는 전기장에서 반대로 밀리지만 자기력의 방향도 함께 뒤집혀, 결국 같은 쪽으로 간다. 아래에서 입자를 바꿔 발사해 보라. 도는 방향은 반대이지만 떠내려가는 방향은 같다.
SIMULATOR

로런츠 힘 사격장: 원운동과 E×B 표류로 과녁 맞히기

출발점·속도 화살표·E 화살표 끝을 끈다
입자
회전 반지름 r—
주기 T = 2π/ωc—
표류 vd = E/B—
운동 에너지—
과녁—
모형 단위(양전하 q/m = +1, 음전하 −1, 무거운 이온 +0.25)로 그렸다. 회전 반지름은 표류 좌표계에서 본 값 \(|\mathbf v - \mathbf v_d|/(|q/m|B)\)이다. 해볼 것: ① E를 0으로 줄이고 속도를 두 배로 하면 반지름은 두 배가 되지만 주기는 그대로임을 확인하라. ② E를 켜면 운동 에너지가 오르내리지만, B만 있을 때는 일정하다 — 자기력은 일을 하지 않는다. ③ 세 과녁을 모두 맞혀라. 원운동만으로 닿지 않는 곳은 E×B 표류를 이용해 데려가야 한다.

로런츠 힘을 도선 속의 전하에 적용하면 전류가 받는 힘이 된다. 단면적 \(A\)인 도선 속에서 밀도 \(n\)인 전하 \(q\)가 표류 속도 \(\mathbf v\)로 흐르면 길이 \(d\mathbf l\)의 조각 속 전하 \(nqA\,dl\)이 받는 힘은 \(nqA\,dl\,\mathbf v\times\mathbf B = I\,d\mathbf l\times\mathbf B\)이다. 일반적인 전류 분포에서는 부피 힘 밀도 \(\mathbf J\times\mathbf B\)를 적분한다.

$$d\mathbf F = I\,d\mathbf l\times\mathbf B, \qquad \mathbf F = \int_V \mathbf J\times\mathbf B\,dv, \qquad \frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}\ \ (\text{평행 도선})$$
평행한 두 직선 도선 사이 힘은 단위 길이당 \(\mu_0I_1I_2/2\pi d\)이고, 같은 방향 전류는 끌어당기고 반대 방향은 밀어낸다(장 머리 그림). 2019년 SI 재정의 전에는 이 힘(1 m 떨어진 두 도선에 1 A씩이면 2×10⁻⁷ N/m)으로 암페어를 정의했다. 전원 배선과 버스바, 펄스 전원의 큰 전류에서는 이 힘이 도체를 실제로 휘게 한다.

가속 전압 10로 가속한 전자가 1.0 자기장에 수직으로 들어가면 궤도 반지름은 , 회전 진동수는 다. 이때 속력은 광속의 이고, 비상대론 식 \(p = \sqrt{2mK}\)를 쓰면 반지름을 작게 잡는다.

10 keV 전자빔이 길이 20 mm인 편향 코일을 지난다. 코일 속 자기장은 빔에 수직이고 균일한 1.0 mT이며, 코일 끝에서 시료까지 거리는 100 mm다. (a) 코일 속 궤도 반지름(상대론 보정 포함), (b) 편향각, (c) 시료 위 빔의 이동 거리를 구하라.

풀이 보기
전략 운동량 \(p = \sqrt{K^2 + 2Kmc^2}/c\)로 반지름 \(r = p/eB\)를 구하고, 길이 \(\ell\)의 원호를 지난 뒤 방향이 \(\theta = \arcsin(\ell/r)\)만큼 꺾인다. 코일 안의 옆 밀림 \(r - \sqrt{r^2 - \ell^2}\)에 직진 구간의 \(D\tan\theta\)를 더한다.
풀이 \(mc^2 = 511\) keV, \(pc = \sqrt{10^2 + 2(10)(511)} = 101.6\) keV → \(p = 5.43\times10^{-23}\) kg·m/s. (a) \(r = p/eB = 5.43\times10^{-23}/(1.602\times10^{-19}\times10^{-3}) = 0.339\) m. (b) \(\theta = \arcsin(0.020/0.339) = 0.0591\) rad \(= 3.38°\). (c) 코일 안 \(0.339 - \sqrt{0.339^2 - 0.02^2} = 0.59\) mm, 직진 구간 \(100\tan(3.38°) = 5.91\) mm, 합 6.50 mm.
(a) 0.339 m (b) 3.38° (c) 6.50 mm
검토 작은 각 근사 \(\theta \approx e B\ell/p\)는 편향각이 \(B\)에 정비례함을 보여 준다. 그래서 코일 전류에 톱니파를 넣으면 빔이 시료를 고르게 훑는다. 10 keV에서도 \(\gamma = 1.020\)이라, 비상대론 계산은 반지름을 0.5% 작게 잡는다. 전자빔 묘화기(50–100 keV)에서는 이 보정이 필수다.
전자빔을 휘는 코일과 렌즈

SEM, 리뷰 SEM, CD-SEM, 마스크용 전자빔 묘화기는 모두 자기장으로 전자빔을 다룬다. 축 대칭 코일이 만드는 자기 렌즈는 축에서 먼 전자일수록 \(v\times B\)를 세게 받아 빔을 한 점으로 모으고, 직교한 두 쌍의 편향 코일은 빔을 x·y로 훑는다. 정전 편향은 빠르지만 큰 각에서 수차가 커서, 넓은 시야는 자기 편향이, 빠른 미세 위치 조정은 정전 편향이 맡는 이중 구조가 흔하다. 저가속 전압(1 kV 안팎) 빔은 운동량이 작아, 경로 1 cm에 걸친 0.1 µT의 떠도는 교류 자기장만으로도 수십 nm 흔들릴 수 있다. 그래서 장비 주변 자기 차폐와 전원 배선 관리가 중요하다. → FailureBook · SEM · 전압 대비 · 나노프로빙 · LithoBook · 마스크와 위상 변이(전자빔 묘화)

이온 주입기의 질량 분석 자석

이온 주입기는 이온원에서 나온 여러 이온(예: BF₃ 플라스마의 B⁺, BF⁺, BF₂⁺, F⁺) 가운데 원하는 하나만 골라야 한다. 전압 \(V\)로 가속한 이온의 운동량은 \(\sqrt{2MqV}\)이므로 반지름 \(r = \sqrt{2MV/q}/B\)가 질량에 따라 달라지고, 분석 자석 출구의 슬릿이 한 질량만 통과시킨다. 40 kV ¹¹B⁺을 반지름 0.5 m로 휘려면 0.191 T, ⁷⁵As⁺이면 0.499 T가 필요하다. 질량 분해능 \(M/\Delta M\)은 슬릿 폭과 빔의 퍼짐으로 정해진다. → DopingBook · 질량 분석

홀 효과

전류가 흐르는 판에 수직으로 자기장을 걸면 캐리어가 \(q\mathbf v\times\mathbf B\)를 받아 판의 한쪽 옆면으로 쏠린다. 쌓인 전하는 가로 방향 전기장 \(E_y\)를 만들고, 이 장의 힘이 자기력과 같아지면 캐리어는 다시 똑바로 흐른다. 이 가로 전기장이 홀 효과(Hall effect)다. \(x\) 방향 전류 밀도 \(J_x = nqv_x\), \(z\) 방향 자기장 \(B_z\)에서 정상 상태 조건 \(E_y = v_xB_z\)를 쓰면

$$E_y = R_HJ_xB_z, \qquad R_H = \frac{1}{nq}, \qquad V_H \equiv E_yw = \frac{IB}{nqt}$$
\(R_H\)는 홀 계수(Hall coefficient), \(w\)는 판의 폭, \(t\)는 두께, \(I = J_xwt\). 전자(\(q = -e\))이면 \(R_H < 0\), 정공이면 \(R_H > 0\)이다. 전류와 자기장 방향이 같아도 캐리어 종류에 따라 홀 전압의 부호가 뒤집힌다는 점이 핵심이다. 비저항 \(\rho\)를 함께 재면 홀 이동도 \(\mu_H = |R_H|/\rho\)가 나온다.
캐리어
MINI LAB전류 1 mA가 오른쪽(+x)으로 흐르는 두께 10 µm 막이다. 전자는 왼쪽으로, 정공은 오른쪽으로 움직이지만 둘 다 아래쪽으로 쏠린다(\(q\)와 \(\mathbf v\)의 부호가 함께 바뀐다). 그래서 쌓이는 전하의 부호, 곧 홀 전압의 부호가 캐리어의 종류를 알려 준다. 농도가 낮을수록 같은 전류를 나르려 캐리어가 빨라져 홀 전압이 커진다.

홀 측정은 반도체 공정에서 도핑 농도와 이동도를 재는 표준 방법이고, 홀 센서는 전류 센서와 위치 센서로 칩에 들어간다. 판 모양이 불규칙할 때 쓰는 반 데르 포 방법과 두 종류 캐리어가 함께 있을 때의 홀 계수는 고체물리 책 전자 동역학(홀 효과와 홀 이동도)에서, 소자 관점의 해석은 DeviceBook · 캐리어 수송에서 자세히 다룬다.

두께 10 µm인 실리콘 막에 \(I = 1.0\) mA를 흘리고 수직으로 \(B = 0.50\) T를 걸었더니 \(V_H = E_yw = -31.2\) mV였다. 캐리어 종류와 농도(cm⁻³)를 구하라.

풀이 보기
전략 부호로 캐리어 종류를 정하고, \(n = IB/(|q|t|V_H|)\).
풀이 \(V_H < 0\)이므로 \(R_H < 0\), 전자가 다수인 n형이다. \(n = (1.0\times10^{-3})(0.50)/[(1.602\times10^{-19})(10\times10^{-6})(31.2\times10^{-3})] = 1.00\times10^{22}\) m⁻³ \(= 1.00\times10^{16}\) cm⁻³. \(R_H = -1/ne = -6.24\times10^{-4}\) m³/C.
n형, \(n = 1.00\times10^{16}\) cm⁻³
검토 막이 두꺼우면(웨이퍼 전체 0.7 mm) 홀 전압이 70배 작아진다. 그래서 홀 측정은 얇은 에피층이나 이온 주입층에서 하고, 면 농도 \(nt\)를 직접 얻는다. 실제 실리콘에서는 산란 때문에 \(R_H = r_H/nq\)(\(r_H\) ≈ 1.1–1.2) 보정이 붙는다.

비오–사바르 법칙

쿨롱 법칙이 점전하 하나의 전기장을 주듯, 비오–사바르 법칙(Biot–Savart law)은 짧은 전류 조각 하나가 만드는 자기장을 준다. 원천 점 \(\mathbf r'\)의 전류 조각 \(I\,d\mathbf l'\)이 관측점 \(\mathbf r\)에 만드는 장은 조각과 거리 벡터 \(\mathbf R = \mathbf r - \mathbf r'\) 모두에 수직이고, 거리의 제곱에 반비례한다.

$$d\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\mathbf l'\times\hat{\mathbf R}}{R^2}, \qquad \mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint_C\frac{I\,d\mathbf l'\times\hat{\mathbf R}}{R^2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\mathbf J(\mathbf r')\times\hat{\mathbf R}}{R^2}\,dv'$$
\(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\) H/m는 진공의 투자율이다(2019년 SI 이후 측정값 1.25663706212×10⁻⁶ H/m). 면전류 \(\mathbf K\)(A/m)이면 \(I\,d\mathbf l'\)을 \(\mathbf K\,dS'\)으로 바꾼다. 정상 전류는 늘 닫힌 고리를 이루므로(\(\nabla\cdot\mathbf J = 0\)), 조각 하나의 장은 그 자체로는 측정할 수 없고 고리 전체를 더한 값만 물리적이다.

쿨롱 법칙과 견주면 차이가 분명하다. 원천이 스칼라(전하)가 아니라 벡터(전류 조각)이고, 장이 \(\hat{\mathbf R}\) 방향이 아니라 \(d\mathbf l'\times\hat{\mathbf R}\) 방향이라 원천을 감아 돈다. 가장 기본적인 결과는 직선 도선 조각의 장이다.

I P ρ dl′ R ⊗ dB (종이로) z′ α₂ α₁ 끝 z₂끝 z₁ 조각 하나 → 전체 도선 |dl′ × R̂| = dz′ sinθ = dz′ ρ/R dB = μ₀I ρ dz′ / 4πR³ (R² = ρ² + z′²) 모든 조각의 dB가 같은 방향 φ̂ → 크기만 더한다 z′ = ρ tanα 로 바꾸면 적분이 쉬워진다 B = (μ₀I/4πρ) ∫ cosα dα = (μ₀I/4πρ)(sinα₂ − sinα₁) 무한 도선: α₁ → −90°, α₂ → +90° B = μ₀I / 2πρ 반무한(끝에서 수직): B = μ₀I / 4πρ α는 P에서 본 수직선 기준 각(위가 +)
  1. 전류 조각 \(I\,dl'\)과 거리 벡터 \(\mathbf R\). 오른손 규칙으로 \(d\mathbf B\)는 P에서 종이로 들어간다(\(\hat{\boldsymbol\phi}\) 방향). 모든 조각이 같은 방향의 장을 주므로 크기만 적분한다.
  2. \(z' = \rho\tan\alpha\)로 치환하면 \(\rho\,dz'/R^3 = \cos\alpha\,d\alpha/\rho\)가 되어, 도선 끝을 보는 두 각 \(\alpha_1, \alpha_2\)만으로 결과가 정해진다.
  3. 무한 도선과 반무한 도선의 극한. 고리나 다각형 도선은 이 식을 변마다 더하면 된다.
유한 직선 도선의 비오–사바르 적분. 결과 \(B = (\mu_0I/4\pi\rho)(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)\)는 직사각형·다각형 고리와 온칩 배선의 장을 계산하는 기본 부품이다(EM.Bsegment).

반지름 \(R\)인 원형 고리의 중심축 위에서는 고리의 모든 조각이 축과 같은 각을 이루므로, 축에 수직인 성분은 서로 상쇄되고 축 성분만 남는다.

$$B_z(z) = \frac{\mu_0IR^2}{2\left(R^2 + z^2\right)^{3/2}}, \qquad B_{\text{중심}} = \frac{\mu_0I}{2R}, \qquad B_{\text{정}N\text{각형 중심}} = \frac{N\mu_0I\tan(\pi/N)}{2\pi R}$$
정\(N\)각형의 \(R\)은 외접원 반지름이다. 각 변의 장(위 식에서 \(\rho = R\cos(\pi/N)\), \(\sin\alpha_2 = -\sin\alpha_1 = \sin(\pi/N)\))을 \(N\)번 더했다. \(N\to\infty\)이면 원의 값이 된다. 축 밖(\(\rho \neq 0\))의 정확한 장은 완전 타원 적분으로 쓴다(EM.Bloop).

반지름 10인 고리에 1.0를 흘리면 중심의 자기장은 이고, 축을 따라 10 떨어진 곳에서는 , 곧 중심 값의 이다. 같은 자리의 지구 자기장(약 50 µT)과 비교하면 배다.

SIMULATOR

비오–사바르 조립대: 고리를 조각조각 더하기

꼭짓점과 관측점 P를 끈다
P의 Bz (I = 1 A)—
더한 조각—
정N각형 중심 공식—
외접원 중심 μ₀I/2R—
고리는 종이 평면(xy)에 놓였고 전류는 반시계 방향 1 A, 길이 단위는 cm다. 지도의 빨강은 종이에서 나오는 \(B_z > 0\), 파랑은 들어가는 \(B_z < 0\)(대수 눈금). 아래 막대는 변 하나하나가 P에 주는 기여다. 해볼 것: ① "조각 하나씩 더하기"로 중심 장이 변마다 같은 몫씩 쌓이는 것을 보라. ② N을 3에서 16까지 바꾸며 정다각형 중심 값이 원의 값으로 다가가는 것을 확인하라(정사각형은 외접원의 1.27배, 내접원의 0.90배). ③ P를 고리 밖으로 끌어내면 \(B_z\)의 부호가 바뀐다. 가까운 변은 음, 먼 변은 양의 기여를 주는 것을 막대로 확인하라.

한 변이 \(a = 2.0\) cm인 정사각형 고리에 1.0 A가 흐른다. 중심의 자기장을 구하고, 지름이 \(a\)인 원형 고리(내접원)의 중심 장과 비교하라.

풀이 보기
전략 변 하나는 중심에서 거리 \(\rho = a/2\), 양 끝을 보는 각이 ±45°인 유한 도선이다. 네 변의 기여는 모두 같은 방향이다.
풀이 변 하나: \(B_1 = \dfrac{\mu_0I}{4\pi(a/2)}(\sin45° + \sin45°) = \dfrac{\sqrt2\,\mu_0I}{2\pi a}\). 네 변: \(B = \dfrac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a} = \dfrac{2\sqrt2(4\pi\times10^{-7})(1.0)}{\pi(0.020)} = 5.66\times10^{-5}\) T. 내접원(\(R = a/2\)): \(\mu_0I/a = 6.28\times10^{-5}\) T.
정사각형 56.6 µT, 내접원 62.8 µT (비 0.900)
검토 정사각형의 모서리는 중심에서 내접원보다 멀리 있어 장이 약간 작다. 외접원(\(R = a/\sqrt2\), 44.4 µT)보다는 크다. 위 시뮬레이터에서 N = 4로 확인할 수 있다.

앙페르 법칙: 적분형과 미분형

무한 직선 도선의 장 \(B = \mu_0I/2\pi\rho\)를 반지름 \(\rho\)인 원을 따라 적분하면 \(B\cdot2\pi\rho = \mu_0I\)로 \(\rho\)가 사라진다. 원 대신 어떤 모양의 닫힌 경로를 잡아도 결과는 같고, 경로 밖의 전류는 아무 기여도 하지 않는다. 비오–사바르 법칙에서 일반적으로 증명되는 이 성질이 앙페르 법칙(Ampère's law)이다.

앙페르 법칙(정자기)

닫힌 경로 \(C\)를 따른 \(\mathbf B\)의 선적분은 \(C\)를 테두리로 하는 면을 꿰뚫는 알짜 전류의 \(\mu_0\)배다. 스토크스 정리로 미분형을 얻는다.

$$\oint_C\mathbf B\cdot d\mathbf l = \mu_0I_{enc} = \mu_0\int_S\mathbf J\cdot d\mathbf S \quad\Longleftrightarrow\quad \nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J$$
경로의 방향과 면의 법선은 오른손 규칙으로 짝짓는다. 이 경로를 앙페르 고리(Amperian loop)라 부른다. 시간에 따라 변하는 장에서는 변위 전류 항이 더해진다(9장).

자기장의 또 다른 기본 성질은 발산이 없다는 것이다. 비오–사바르 식은 \(\mathbf B = \nabla\times(\cdots)\)의 꼴로 쓸 수 있고, 회전의 발산은 언제나 0이다.

$$\nabla\cdot\mathbf B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \oint_S\mathbf B\cdot d\mathbf S = 0$$
자기 단극(홀로 있는 N극이나 S극)은 없다. 어떤 닫힌 면으로 둘러싸도 들어간 자기력선만큼 나온다. 그래서 자기력선은 닫힌 곡선이거나 무한히 이어진다. 정전기장의 \(\nabla\times\mathbf E = 0\), \(\nabla\cdot\mathbf E = \rho_v/\varepsilon_0\)와 역할이 정확히 뒤바뀌어 있다.

고리 안에 도선 하나(+2 A)가 있고, 고리 밖에 다른 도선(−1 A)이 있다. 바깥 도선을 고리 바로 옆까지 끌고 오면 고리를 따라 잰 \(\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l\)은?

바깥 도선의 장은 고리의 가까운 쪽에서는 순방향, 먼 쪽에서는 역방향 기여를 주어 한 바퀴 합이 정확히 0이다. 고리를 따라 색으로 표시한 \(\mathbf B\cdot d\mathbf l\)과 아래 누적 그래프에서 이 상쇄를 직접 보라. 도선이 고리를 넘어 안으로 들어가는 순간에만 값이 계단처럼 바뀐다.
SIMULATOR

앙페르 고리 그리기: 선적분과 둘러싼 전류

빈 곳을 끌어 고리를 그린다 · 도선은 끌거나 눌러 뒤집는다
고리
∮B·dl / μ₀—
둘러싼 전류 Ienc—
고리 위 |B| 범위—
감은 수(도선별)—
도선 세 개(+2 A, −1 A, +1 A, ⊙는 종이에서 나오는 전류)의 장을 수치로 선적분한다. 고리 위 색은 \(\mathbf B\cdot d\mathbf l\)의 부호(빨강 +, 파랑 −), 두께는 크기다. 아래 그래프의 점이 고리를 한 바퀴 돌며 적분을 쌓는다. 해볼 것: ① 도선을 하나도 감싸지 않는 고리를 그려라. \(\mathbf B\)는 어디서나 0이 아닌데 적분은 0이다. ② 한 도선 둘레를 두 바퀴 돌도록 고리를 그리면 그 도선의 기여가 두 배가 된다(감은 수 2). ③ +1 A와 −1 A를 함께 감싸면 \(I_{enc} = 0\)이지만 동축선처럼 대칭이 아니어서 B가 0은 아니다 — 앙페르 법칙만으로 B를 구할 수 없는 경우다.

앙페르 법칙은 언제나 성립하지만, 이것만으로 \(\mathbf B\)를 구할 수 있는 것은 대칭 덕분에 고리 위에서 \(B\)가 일정하고 방향이 경로와 나란하거나 수직일 때뿐이다. 원통 대칭(직선 도선, 동축선), 평면 대칭(무한 면전류), 그리고 솔레노이드·토로이드가 그런 경우다.

전류 분포앙페르 고리결과
반지름 \(a\)인 굵은 도선, 균일한 전류 \(I\)동심원 \(\rho\)\(\rho < a\): \(B = \mu_0I\rho/2\pi a^2\), \(\rho > a\): \(\mu_0I/2\pi\rho\)
동축선(안 도체 \(a\), 바깥 도체 \(b\)–\(c\), 왕복 \(\pm I\))동심원 \(\rho\)\(a < \rho < b\): \(\mu_0I/2\pi\rho\), \(\rho > c\): 0
무한 평면 면전류 \(\mathbf K\)면을 가로지르는 직사각형\(B = \mu_0K/2\) (양쪽 반대 방향)
긴 솔레노이드(단위 길이당 \(n\)번)안팎에 걸친 직사각형안: \(B = \mu_0nI\), 밖: 0
토로이드(\(N\)번)동심원 \(\rho\)코어 안: \(B = \mu_0NI/2\pi\rho\), 밖: 0
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ B 윗줄은 나오고(⊙) 아랫줄은 들어가는(⊗) 감은 도선 dc ab ℓ 직사각형 고리 abcd 솔레노이드 안의 장은 축과 나란하다 (대칭: 무한히 길면 z에 무관) ab(안): B ℓ bc, da: B ⟂ dl (안) → 0 cd(밖): 밖의 장 ≈ 0 Ienc = (꿰뚫는 감은 수) × I = nℓI Bℓ = μ₀nℓI → B = μ₀nI 고리의 ab 높이에 무관 → 안은 균일
  1. 긴 솔레노이드의 단면. 대칭 때문에 안의 장은 축 방향이고 위치에 거의 무관하다.
  2. 한 변은 안, 한 변은 밖에 둔 직사각형 고리를 잡는다. 옆 변은 장에 수직이고, 바깥 장은 (무한히 긴 경우) 0이다.
  3. 고리가 꿰뚫는 전류는 \(n\ell I\). 그래서 \(B = \mu_0nI\)이고, 안쪽 변의 높이를 바꿔도 같으므로 안의 장은 균일하다.
앙페르 법칙으로 긴 솔레노이드 내부 장 \(B = \mu_0nI\)를 얻는 과정. 유한한 솔레노이드에서는 끝에서 장이 퍼져 나가 약해진다(아래 시뮬레이터).

미분형 \(\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J\)는 "전류가 흐르는 바로 그 자리에서만 자기장이 소용돌이친다"는 뜻이다. 도선 밖에서 \(B\propto1/\rho\)로 휘어 도는 장은 회전이 0이고, 도선 안에서 \(B\propto\rho\)로 강체처럼 도는 장은 회전이 \(\mu_0J\)다. 장 속에 작은 물레방아를 넣어 보면 이 차이가 보인다.

MINI LAB반지름 \(a\)인 굵은 도선에 균일한 전류 밀도 \(J\)가 종이에서 나온다. 물레방아를 끌어 도선 안팎으로 옮겨 보라. 도선 밖에서는 \(\mathbf B\)가 원을 그리며 돌아도 안쪽 날개(센 장)와 바깥쪽 날개(약한 장)의 돌림이 정확히 상쇄되어 물레방아가 돌지 않는다. 오른쪽 그래프는 \(B(\rho)\)와 물레방아 위치다.

동축 케이블의 안 도체 반지름 \(a = 0.50\) mm, 바깥 도체는 안반지름 \(b = 2.0\) mm, 바깥반지름 \(c = 2.2\) mm다. 안 도체로 2.0 A가 가고 바깥 도체로 돌아온다(두 도체 속 전류는 균일). \(\rho = 0.25,\ 1.0,\ 2.1,\ 3.0\) mm에서 \(B\)를 구하라.

풀이 보기
전략 원통 대칭이므로 반지름 \(\rho\)인 동심원에서 \(B\cdot2\pi\rho = \mu_0I_{enc}(\rho)\). 각 영역의 \(I_{enc}\)만 구하면 된다.
풀이 \(\rho = 0.25\) mm: \(I_{enc} = I\rho^2/a^2 = 0.50\) A, \(B = (2\times10^{-7})(0.50)/0.25\times10^{-3} = 0.400\) mT. \(\rho = 1.0\) mm: \(I_{enc} = 2.0\) A, \(B = (2\times10^{-7})(2.0)/10^{-3} = 0.400\) mT. \(\rho = 2.1\) mm: \(I_{enc} = I\left[1 - \dfrac{\rho^2 - b^2}{c^2 - b^2}\right] = 2.0(1 - 0.41/0.84) = 1.024\) A, \(B = 97.5\) µT. \(\rho = 3.0\) mm: \(I_{enc} = 0\), \(B = 0\).
0.400 mT, 0.400 mT, 97.5 µT, 0
검토 바깥에서 장이 0이라는 것이 동축선의 장점이다. 신호가 주변으로 새지 않고 외부 잡음도 들어오지 않는다. 안 도체 안에서는 \(B\propto\rho\), 사이에서는 \(B\propto1/\rho\)라 최댓값은 안 도체 표면(\(\mu_0I/2\pi a = 0.80\) mT)이다.

유한한 솔레노이드와 헬름홀츠 코일

현실의 코일은 유한하다. 길이 \(L\), 반지름 \(R\), 감은 수 \(N\)인 솔레노이드의 축 위 장은 원형 고리 축 장을 길이에 대해 적분해 얻는다. 같은 반지름의 고리 두 개를 반지름만큼 떨어뜨린 헬름홀츠 코일(Helmholtz coil)은 짧으면서도 가운데 장이 매우 고르다.

$$B_z(z) = \frac{\mu_0nI}{2}\left[\frac{z + L/2}{\sqrt{(z + L/2)^2 + R^2}} - \frac{z - L/2}{\sqrt{(z - L/2)^2 + R^2}}\right], \qquad B_{\text{헬름홀츠}}(0) = \left(\frac45\right)^{3/2}\frac{\mu_0NI}{R}$$
\(n = N/L\). 긴 솔레노이드의 끝(\(z = L/2\))에서는 중심 값의 거의 절반이 된다. 헬름홀츠 코일(코일당 \(N\)번)은 간격 \(d = R\)일 때 중심에서 \(dB/dz\)와 \(d^2B/dz^2\)가 함께 0이 되어 장이 4차까지 평평하다. 두 코일 전류를 반대로 하면 가운데에서 장이 0이고 기울기가 일정한 맥스웰(기울기) 코일이 된다.

헬름홀츠 코일의 간격을 반지름의 두 배(\(d = 2R\))로 벌리면 축 위 \(B_z(z)\)의 모양은?

고리 하나의 장은 고리 위치에서 가장 세고 반지름 정도 거리에서 크게 줄어든다. 두 고리가 너무 멀면 가운데는 두 꼬리만 겹쳐 움푹 꺼지고, 너무 가까우면 한 봉우리로 뭉친다. 그 경계가 \(d \approx R\)이다.
SIMULATOR

코일의 자기력선과 축 위 장: 헬름홀츠 균일도 도전

코일 단면(점)과 축 위 탐침을 끈다
배치
탐침 Bz/B(0)—
|z| ≤ R/4 변동—
B(0) / μ₀NtotI/R—
도전—
위는 축을 지나는 단면(가로 z, 세로 ρ)의 자기력선이다. 고리 하나하나의 정확한 장(완전 타원 적분)을 더한 선속 함수 \(\rho A_\phi\)(§6.4)의 등고선이고, 단면에서 선의 촘촘함이 장의 세기를 나타내도록 등고선 값을 \(k^2\)에 비례하게 골랐다. 아래는 축 위 \(B_z(z)\), 점선은 연속 솔레노이드 공식. 해볼 것: ① 도전: 코일 한 쌍의 간격을 조절해 중심 ±R/4 구간의 변동을 0.2% 이하로 만들어라(교과서의 \(d = R\)은 0.42% — 구간이 넓으면 최적점이 조금 벌어진다). ② 솔레노이드에서 L/R을 키우며 중심 값이 \(\mu_0nI\)로, 끝 값이 그 절반으로 다가가는 것을 보라. ③ 기울기 코일로 바꾸면 가운데에서 장이 0이고 거의 직선으로 변한다.

길이 10 cm, 반지름 2.0 cm에 200번 감은 솔레노이드에 1.0 A가 흐른다. 중심과 한쪽 끝(축 위)의 자기장을 구하고 무한 솔레노이드 값과 비교하라.

풀이 보기
전략 위의 유한 솔레노이드 식에 \(z = 0\)과 \(z = L/2\)를 넣는다. \(n = 2000\) m⁻¹.
풀이 무한: \(\mu_0nI = (4\pi\times10^{-7})(2000)(1.0) = 2.51\) mT. 중심: \(\tfrac12\mu_0nI\cdot2\cdot\dfrac{0.05}{\sqrt{0.05^2 + 0.02^2}} = 2.51\times0.928 = 2.33\) mT. 끝: \(\tfrac12\mu_0nI\cdot\dfrac{0.10}{\sqrt{0.10^2 + 0.02^2}} = 1.257\times0.981 = 1.23\) mT.
중심 2.33 mT(무한 값의 92.8%), 끝 1.23 mT(중심의 52.8%)
검토 L/R = 5인 솔레노이드도 중심에서 무한 근사보다 7% 약하다. 끝 값이 중심의 약 절반인 것은 끝에서 보면 솔레노이드가 한쪽으로만 뻗은 "반무한"이기 때문이다.

자기 벡터 퍼텐셜

정전기장은 회전이 없어서 스칼라 퍼텐셜의 기울기 \(\mathbf E = -\nabla V\)로 쓸 수 있었다. 자기장은 발산이 없다. 발산이 없는 벡터장은 언제나 어떤 벡터장의 회전으로 쓸 수 있으므로(1장 헬름홀츠 정리), 자기 벡터 퍼텐셜(magnetic vector potential) \(\mathbf A\)를 다음처럼 정의한다.

$$\mathbf B = \nabla\times\mathbf A, \qquad \nabla\cdot\mathbf A = 0\ \ (\text{쿨롱 게이지}), \qquad \nabla^2\mathbf A = -\mu_0\mathbf J$$
\(\mathbf A\)에 아무 기울기 \(\nabla\chi\)를 더해도 \(\mathbf B\)는 그대로다. 이 자유를 없애려고 \(\nabla\cdot\mathbf A = 0\)을 고르는 것을 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)라 한다. 그러면 \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf A) - \nabla^2\mathbf A = \mu_0\mathbf J\)에서 직교 성분마다 푸아송 방정식 \(\nabla^2A_x = -\mu_0J_x\) …가 나온다. \(\mathbf A\)의 단위는 Wb/m = T·m.

푸아송 방정식의 해는 정전기에서 이미 알고 있다. \(\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0\)의 해가 \(V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho_v}{R}dv'\)이었으니, 성분별로 같은 꼴을 쓰면

$$\mathbf A(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\mathbf J(\mathbf r')}{R}\,dv' = \frac{\mu_0I}{4\pi}\oint_C\frac{d\mathbf l'}{R}, \qquad \Phi = \int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S = \oint_C\mathbf A\cdot d\mathbf l$$
\(\mathbf A\)는 전류와 나란하고 거리에 반비례한다. 외적이 없어서 비오–사바르보다 계산이 쉬운 경우가 많고, 수치 해석(TCAD의 자기장 풀이, 유한 요소법)도 대부분 \(\mathbf A\)를 미지수로 푼다. 오른쪽 식은 스토크스 정리에서 나온다: 고리를 지나는 자기 선속은 고리를 따라 \(\mathbf A\)를 적분한 값이다.
정전기정자기
원천전하 밀도 \(\rho_v\)전류 밀도 \(\mathbf J\)
기본 법칙\(\nabla\cdot\mathbf E = \rho_v/\varepsilon_0\), \(\nabla\times\mathbf E = 0\)\(\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J\), \(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)
퍼텐셜\(\mathbf E = -\nabla V\), \(\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0\)\(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\), \(\nabla^2\mathbf A = -\mu_0\mathbf J\)
적분 해\(V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int\frac{\rho_v}{R}dv'\)\(\mathbf A = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\int\frac{\mathbf J}{R}dv'\)
무한 선원천\(V = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{\rho}{\rho_0}\)\(A_z = -\dfrac{\mu_0I}{2\pi}\ln\dfrac{\rho}{\rho_0}\)
쌍극자 먼 장\(\propto p/r^3\)\(\propto m/r^3\)
회로 상수\(C = Q/V\)\(L = \Lambda/I\)

전류가 모두 \(z\) 방향인 2차원 문제(나란한 도선들, 전송선 단면)에서 \(\mathbf A = A_z(x, y)\hat{\mathbf z}\)이고 \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A = (\partial_yA_z,\ -\partial_xA_z,\ 0)\)이다. 그러면 \(\mathbf B\cdot\nabla A_z = 0\): 자기장은 \(A_z\)의 등고선을 따라 흐른다. 게다가 두 점 \(P_1, P_2\)를 잇는 선분과 \(z\) 방향 1 m가 만드는 띠를 지나는 선속은 \(\Phi' = A_z(P_2) - A_z(P_1)\)이다. 등고선을 같은 간격 \(\Delta A_z\)로 그리면 이웃한 자기력선 사이로 같은 선속이 지나고, 선이 촘촘한 곳이 장이 센 곳이다.

SIMULATOR

벡터 퍼텐셜 지도: 등고선이 자기력선이다

도선과 두 탐침 P₁·P₂를 끈다
배치
Az(P₁)—
Az(P₂)—
Φ′ = A(P₂) − A(P₁)—
∫B·n dl (수치)—
도선 반지름 1.5 mm, 전류 1 A, 길이 단위 cm. \(A_z\)는 원점에서 아주 먼 곳 기준이 아니라 상대값이다(무한 선원천은 기준점이 필요하다 — 선전하의 전위와 같다). 동축선의 바깥 도체는 가는 도선 36개로 흉내 냈다. 해볼 것: ① P₁과 P₂를 같은 등고선 위에 놓으면 둘을 잇는 선분을 지나는 선속이 0이다 — 선분을 넘나드는 자기력선이 나간 만큼 들어온다. ② 평행 두 선에서 P₁·P₂를 두 도선의 마주 보는 표면에 놓아라. \(\Phi'/I\)가 곧 이 선로의 단위 길이 인덕턴스(§6.6)다. ③ 동축선의 바깥에서는 \(A_z\)가 거의 일정하다: 바깥에 장이 없다.

1.0가 흐르는 긴 직선 도선에서 거리 1.0와 10.0 사이, 길이 1 m의 띠를 지나는 자기 선속은 \(\Phi' = \frac{\mu_0I}{2\pi}\ln\frac{\rho_2}{\rho_1}\) = 이다. 두 반지름의 비만 중요하므로, 거리를 열 배로 늘릴 때마다 씩 더해진다.

반지름 \(a = 0.50\) mm인 두 도선이 중심 간격 \(D = 10\) mm로 나란히 놓여 \(\pm I\)를 나른다. 도선 속 전류가 중심에 모여 있다고 보고(가는 도선 근사), 두 도선 사이를 지나는 단위 길이당 선속 \(\Phi'/I\)를 벡터 퍼텐셜로 구하라.

풀이 보기
전략 중첩: \(A_z = -\dfrac{\mu_0I}{2\pi}\ln\rho_1 + \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\ln\rho_2 = \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\ln\dfrac{\rho_2}{\rho_1}\)(\(\rho_{1,2}\)는 \(+I\), \(-I\) 도선까지 거리). 두 도선 표면의 마주 보는 점에서 \(A_z\)의 차를 구한다.
풀이 \(+I\) 도선 표면(\(\rho_1 = a\), \(\rho_2 = D - a\)): \(A_z = \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\ln\dfrac{D - a}{a}\). \(-I\) 도선 표면은 부호만 반대. \(\Phi' = \dfrac{\mu_0I}{\pi}\ln\dfrac{D - a}{a} = (4\times10^{-7})\ln19\cdot I = 1.178\ \mu\text{Wb/m}\times I/(1\ \text{A})\).
\(\Phi'/I = 1.18\ \mu\)H/m
검토 정확한 값 \((\mu_0/\pi)\cosh^{-1}(D/2a) = 1.197\ \mu\)H/m와 1.6% 다르다. 실제로는 두 도선의 전류가 서로를 당겨 마주 보는 쪽으로 몰리는데(근접 효과), 정확한 식은 이를 영상 위치로 반영한다. \(D \gg a\)이면 둘 다 \((\mu_0/\pi)\ln(D/a)\)로 간다.

자기 쌍극자

전류 고리를 그 크기보다 훨씬 먼 곳에서 보면 모양은 사라지고 하나의 벡터만 남는다. 고리 면적 벡터 \(\mathbf S\)(오른손 규칙으로 전류 방향을 감싸는 법선)에 전류를 곱한 자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)다.

$$\mathbf m = I\mathbf S\ \ (N\text{번 감으면 }NI\mathbf S), \qquad \mathbf A = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf m\times\hat{\mathbf r}}{r^2}, \qquad \mathbf B = \frac{\mu_0m}{4\pi r^3}\left(2\cos\theta\,\hat{\mathbf r} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}\right)$$
단위 A·m². \(\mathbf A\)의 식은 \(1/R\)을 \(r' \ll r\)에서 전개한 첫 항(다중극 전개의 쌍극자 항)이다. 홀극 항은 \(\oint d\mathbf l' = 0\)이라 언제나 없다. 장의 꼴은 전기 쌍극자 \(\mathbf E = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0r^3}(2\cos\theta\,\hat{\mathbf r} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta})\)와 똑같다.
+ − 전기 쌍극자 p 자기 쌍극자 m = IS (전류 고리) 장선이 +에서 나와 −로 들어간다 · 안쪽 E는 p와 반대 장선이 고리를 꿰뚫고 닫힌다 · 안쪽 B는 m과 같은 방향
먼 곳의 장선(\(r = C\sin^2\theta\))은 두 쌍극자에서 똑같다. 차이는 원천 안쪽에 있다. 전기력선은 양전하에서 시작해 음전하에서 끝나지만(\(\nabla\cdot\mathbf E \neq 0\)), 자기력선은 고리를 꿰뚫고 지나가 끊김 없이 닫힌다(\(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)).
MINI LAB원형 고리의 정확한 자기력선(실선, 타원 적분)과 같은 \(m\)인 점 쌍극자의 자기력선(점선)을 겹쳤다. 가까이서는 고리를 꿰뚫는 선이 쌍극자와 달리 고리 둘레를 감싸 돌지만, 범위를 넓히면 두 그림이 구별되지 않는다. 축 위에서 정확한 값과 쌍극자 근사의 비는 \(z = 3R\)에서 0.85, \(10R\)에서 0.985다.

균일한 자기장 속의 쌍극자는 알짜 힘을 받지 않지만 돌림힘을 받아 \(\mathbf B\)와 나란해지려 한다. 나침반 바늘, 전동기, 원자의 자기 모멘트가 모두 이렇게 행동한다. 장이 균일하지 않으면 알짜 힘도 생긴다.

$$\boldsymbol\tau = \mathbf m\times\mathbf B, \qquad U = -\mathbf m\cdot\mathbf B, \qquad \mathbf F = \nabla(\mathbf m\cdot\mathbf B)$$
\(U\)는 \(\mathbf m\parallel\mathbf B\)일 때 가장 낮다. 전자의 궤도 운동과 스핀이 만드는 자기 모멘트의 자연 단위는 보어 마그네톤(Bohr magneton) \(\mu_B = e\hbar/2m_e = 9.274\times10^{-24}\) A·m²이다. 물질의 자성은 이 원자 쌍극자들이 얼마나 나란해지는가의 문제다(7장, 고체물리 자성).
MINI LAB작은 전류 고리(쌍극자 \(\mathbf m\), 화살표)의 끝을 끌어 돌린 뒤 놓아라. 돌림힘 \(mB\sin\theta\)가 고리를 \(\mathbf B\) 쪽으로 되돌려 진동시킨다. 오른쪽 그래프는 \(U = -mB\cos\theta\)와 현재 위치다. B를 네 배로 하면 진동 주기는 절반이 된다(작은 각에서 \(\omega = \sqrt{mB/I_{rot}}\)).

반지름 1.0 mm인 원형 고리에 10 mA가 흐른다. (a) 자기 쌍극자 모멘트, (b) 축 위 10 mm에서 정확한 장과 쌍극자 근사, (c) 50 mT 균일 자기장에 수직으로 놓였을 때 돌림힘을 구하라.

풀이 보기
전략 \(m = I\pi R^2\). 축 위(\(\theta = 0\)) 쌍극자 장은 \(\mu_0m/2\pi z^3\), 정확한 장은 \(\mu_0IR^2/2(R^2 + z^2)^{3/2}\). 돌림힘 \(mB\sin90°\).
풀이 (a) \(m = 0.010\times\pi(10^{-3})^2 = 3.14\times10^{-8}\) A·m². (b) 쌍극자: \((4\pi\times10^{-7})(3.14\times10^{-8})/(2\pi\times10^{-6}) = 6.28\) nT. 정확: \((4\pi\times10^{-7})(0.010)(10^{-6})/[2(1.01\times10^{-4})^{3/2}] = 6.19\) nT. (c) \(\tau = 3.14\times10^{-8}\times0.050 = 1.57\times10^{-9}\) N·m.
(a) \(3.14\times10^{-8}\) A·m² (b) 정확 6.19 nT, 쌍극자 6.28 nT(비 0.985) (c) \(1.57\times10^{-9}\) N·m
검토 \(z = 10R\)에서 근사 오차는 1.5%다. 오차는 \((R/z)^2\)에 비례해 줄어든다(\((1 + R^2/z^2)^{-3/2} \approx 1 - \tfrac32(R/z)^2\)). 칩 위 인덕터가 멀리 떨어진 회로에 주는 자기 결합도 이 \(1/r^3\) 꼬리로 어림한다.

자기 선속과 인덕턴스

면 \(S\)를 지나는 자기 선속(magnetic flux)은 \(\Phi = \int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S\)(단위 웨버, Wb = T·m²)이다. \(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)이므로 같은 테두리를 가진 면이면 어떤 면을 잡아도 값이 같다. 코일처럼 도선이 여러 번 감겨 있으면 각 바퀴가 감싸는 선속을 모두 더한 쇄교 자속(flux linkage) \(\Lambda\)를 쓴다. \(N\)번 감은 코일의 모든 바퀴가 같은 선속을 감싸면 \(\Lambda = N\Phi\)다. 정자기장에서 \(\Lambda\)는 전류에 비례하고, 그 비례 상수가 인덕턴스(inductance)다.

$$L = \frac{\Lambda}{I}, \qquad W_m = \frac12LI^2 = \frac{1}{2\mu_0}\int_V B^2\,dv \;\Rightarrow\; L = \frac{2W_m}{I^2}, \qquad M_{12} = \frac{\Lambda_{12}}{I_2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C_1}\oint_{C_2}\frac{d\mathbf l_1\cdot d\mathbf l_2}{R}$$
단위 헨리(H = Wb/A). 인덕턴스는 정전 용량처럼 기하 구조와 매질(\(\mu\))만으로 정해진다. 상호 인덕턴스의 노이만 식은 \(\Phi = \oint\mathbf A\cdot d\mathbf l\)에 고리 2의 \(\mathbf A\)를 넣은 것이다. 인덕턴스가 전압과 어떻게 이어지는지(\(v = L\,di/dt\))는 패러데이 법칙을 다루는 8장의 주제이고, 여기서는 기하에서 \(L\)을 계산하는 법에 집중한다.

계산 순서는 정전 용량과 같다. ① 전류 \(I\)를 가정한다. ② 앙페르 법칙이나 비오–사바르로 \(\mathbf B\)를 구한다. ③ 쇄교 자속 \(\Lambda\)를 적분한다(또는 에너지 \(W_m\)을 적분한다). ④ \(L = \Lambda/I\). 도체 내부의 장이 만드는 몫(내부 인덕턴스(internal inductance))은 감싸는 전류가 일부뿐이라 선속으로 세기 까다로우므로 에너지 식으로 구한다. 반지름 \(a\)인 도선 속 \(B = \mu_0I\rho/2\pi a^2\)을 \(W_m\)에 넣으면 단위 길이당 \(\mu_0/8\pi = 0.05\ \mu\)H/m로, 반지름에 무관하다.

구조인덕턴스비고
동축선(안 \(a\), 바깥 \(b\))\(L' = \dfrac{\mu}{2\pi}\ln\dfrac ba\)저주파에서는 안 도체 내부 \(\mu/8\pi\)를 더한다
평행 두 선(반지름 \(a\), 간격 \(D\))\(L' = \dfrac{\mu}{\pi}\cosh^{-1}\dfrac{D}{2a} \approx \dfrac{\mu}{\pi}\ln\dfrac Da\)왕복 회로 전체, 표피 효과로 전류가 표면에 있을 때
긴 솔레노이드\(L = \dfrac{\mu N^2A}{\ell}\)끝 효과로 실제는 조금 작다(나가오카 계수)
토로이드(직사각 단면 높이 \(h\))\(L = \dfrac{\mu N^2h}{2\pi}\ln\dfrac ba\)새는 장이 거의 없다
곧은 도선(길이 \(\ell \gg a\)) 부분 자기 인덕턴스\(L \approx \dfrac{\mu_0\ell}{2\pi}\left(\ln\dfrac{2\ell}{a} - \dfrac34\right)\)본딩 와이어 약 1 nH/mm
평면 나선(정사각, \(n\)번)\(L = \dfrac{2.34\mu_0n^2d_{avg}}{1 + 2.75\rho}\)수정 휠러 식, 오차 수 %

동축선과 평행 두 선의 단위 길이 인덕턴스와 정전 용량(3장)을 곱하면 \(L'C' = \mu\varepsilon\)이다. 이것은 우연이 아니라, 두 도체 사이를 지나는 TEM 파의 속도가 \(1/\sqrt{\mu\varepsilon}\)이라는 사실의 다른 얼굴이다. 그래서 \(L'\)만 알면 \(C'\)과 특성 임피던스 \(Z_0 = \sqrt{L'/C'}\)가 함께 나온다(12장).

선로
절연체
MINI LAB흰 원을 끌어 도체 반지름과 간격을 바꾼다. 자기력선은 이웃한 선 사이 선속이 같도록 그렸다. 동축선에서는 반지름이 같은 비율로 늘어나는 원들(\(\ln\rho\) 등간격)이다. 평행 두 선의 선은 두 도선을 감싸는 아폴로니우스 원이고, 도체 표면도 그중 하나다. 인덕턴스는 \(\ln(b/a)\)처럼 비에만 의존해, 모든 치수를 같은 배율로 줄여도 그대로다.

지름 25, 길이 1.0인 금 본딩 와이어의 부분 자기 인덕턴스는 \(L \approx \frac{\mu_0\ell}{2\pi}(\ln\frac{2\ell}{a} - \frac34)\) = 이다. 이 와이어로 전원을 공급하는데 전류가 100를 1.0 동안 바뀌면 \(L\,di/dt\) = 의 전원 잡음(그라운드 바운스)이 생기고, 5 GHz에서 리액턴스는 이다.

본딩 와이어와 범프의 인덕턴스

와이어 본딩 패키지에서 칩과 기판을 잇는 금·구리 와이어는 길이 1–3 mm에 1 nH/mm 정도의 인덕턴스를 가진다. 수백 개 출력이 동시에 바뀌면 전원·접지 와이어의 \(L\,di/dt\)가 수백 mV에 이르러 논리 오류를 부르고(동시 스위칭 잡음), 수 GHz 신호선에서는 \(\omega L\)이 수십 Ω이 되어 임피던스 정합을 깬다. 플립칩 범프(높이 수십 µm, 수십 pH)와 실리콘 인터포저·TSV가 고속 칩의 표준이 된 이유가 인덕턴스다. 전원 핀을 여러 개 병렬로 두고 왕복 경로를 가깝게 붙이는 것도 쇄교 자속을 줄여 \(L\)을 낮추는 방법이다. → PackagingBook · 와이어 본딩

온칩 나선 인덕터

RF 송수신기, LC 발진기(VCO), 정합 회로, 전원 변환기는 칩 위에 인덕터를 만든다. 가장 두꺼운 위층 금속으로 사각·팔각 나선을 그리고, 안쪽 끝은 아래층 금속(언더패스)으로 빼낸다. 면적이 작으면서 인덕턴스가 커야 하므로 같은 방향으로 감긴 이웃 변 사이의 상호 인덕턴스가 \(L\)을 \(n^2\)에 가깝게 키운다. 설계에는 모한(Mohan) 등이 정리한 수정 휠러 식을 흔히 쓴다.

$$L = K_1\mu_0\frac{n^2d_{avg}}{1 + K_2\rho}, \qquad d_{avg} = \frac{d_{out} + d_{in}}{2}, \qquad \rho = \frac{d_{out} - d_{in}}{d_{out} + d_{in}}, \qquad d_{in} = d_{out} - 2nw - 2(n-1)s$$
정사각 \(K_1 = 2.34,\ K_2 = 2.75\), 육각 2.33, 3.82, 팔각 2.25, 3.55. \(\rho\)는 채움 비율로, 안이 꽉 찬(\(\rho\)가 큰) 나선은 안쪽 바퀴가 작아 인덕턴스에 덜 기여한다. \(w\)는 선폭, \(s\)는 간격이다(EM.ind.spiral). 품질 계수 \(Q = \omega L/R\)는 금속 저항(표피 효과로 GHz에서 커짐)과 기판 손실이 제한한다.
포트 1 언더패스 → 포트 2 dout din w s p형 실리콘 기판(ρ ≈ 10 Ω·cm) 층간 절연막(SiO₂ / low-k) 두꺼운 위층 Cu(3 µm) 나선 단면 언더패스 Cox 기판 와전류·변위 전류 손실 단면 B가 기판을 꿰뚫어 와전류를 유도하고, Cox로 신호가 샌다
2.5번 감은 정사각 나선 인덕터(왼쪽 평면도)와 단면(오른쪽). 인덕턴스는 바깥 지름 \(d_{out}\), 감은 수 \(n\), 선폭 \(w\), 간격 \(s\)로 정해진다. 기판 쪽으로 새는 자기장과 전기장이 \(Q\)를 깎으므로 두꺼운 위층 금속, 두꺼운 절연막, 고저항 기판, 패턴 접지 차폐를 쓴다.

바깥 지름 \(d_{out}\)과 선폭·간격을 그대로 두고 감은 수만 2번에서 4번으로 늘리면 인덕턴스는 대략 몇 배가 될까?

\(d_{out} = 250\ \mu\)m, \(w = 8\), \(s = 2\ \mu\)m에서 \(n = 2\)이면 \(L = 2.25\) nH, \(n = 4\)이면 6.68 nH로 약 3.0배다. 아래에서 확인해 보라. 같은 면적에 더 감으면 \(L\)은 늘지만 도선이 길어져 저항도 늘어 \(Q\)는 생각만큼 오르지 않는다.
SIMULATOR

온칩 나선 인덕터 설계: 목표 nH를 가장 작은 면적에

바깥 모서리의 흰 원을 끌어 dout을 바꾼다
목표—
L (휠러 / 전류 면)—
din · 채움 비율 ρ—
도선 길이 · Rac—
Q (금속 손실만)—
면적 · 최소 기록—
두께 3 µm 구리(σ = 5.8×10⁷ S/m) 정사각 나선이다. \(L\)은 수정 휠러 식과 전류 면 근사식(모한 1999) 두 가지로 계산해 서로 어긋나는 정도(대개 2% 안팎)도 보인다. \(R_{ac}\)는 표피 깊이 \(\delta\)를 써서 유효 두께 \(\delta(1 - e^{-t/\delta})\)로 어림했고, 기판 손실과 자기 공진은 빠져 있어 실제 \(Q\)는 이보다 낮다. 해볼 것: ① 목표 인덕턴스를 ±3% 안으로 맞추고, 같은 목표를 더 작은 면적으로 다시 맞춰 기록을 줄여라. ② 같은 \(L\)에서 선폭을 넓히면 \(R\)이 줄어 \(Q\)가 오르지만 면적이 커진다. ③ \(d_{in}\)이 \(d_{out}\)의 20%보다 작아질 만큼 감으면 안쪽 바퀴는 \(L\)에 거의 보태지 못하고 저항만 늘린다.

바깥 지름 200 µm, 선폭 10 µm, 간격 2 µm로 정사각 나선을 3번 감았다. (a) 안 지름, (b) 수정 휠러 식의 인덕턴스, (c) 도선 길이를 \(4nd_{avg}\)로 어림하고 5 GHz에서 두께 3 µm 구리의 표피 효과를 고려한 저항과 \(Q\)를 구하라(\(\sigma = 5.8\times10^7\) S/m).

풀이 보기
전략 \(d_{in} = d_{out} - 2nw - 2(n-1)s\), 휠러 식, \(\delta = 1/\sqrt{\pi f\mu_0\sigma}\), \(R = \ell/[\sigma w\delta(1 - e^{-t/\delta})]\), \(Q = \omega L/R\).
풀이 (a) \(d_{in} = 200 - 60 - 8 = 132\ \mu\)m. (b) \(d_{avg} = 166\ \mu\)m, \(\rho = 68/332 = 0.205\). \(L = 2.34(4\pi\times10^{-7})(9)(166\times10^{-6})/(1 + 2.75\times0.205) = 2.81\) nH. (c) \(\ell = 4(3)(166) = 1992\ \mu\)m. \(\delta = 0.935\ \mu\)m, 유효 두께 \(0.935(1 - e^{-3.21}) = 0.897\ \mu\)m. \(R = 1.992\times10^{-3}/(5.8\times10^7\times10^{-5}\times0.897\times10^{-6}) = 3.83\ \Omega\). \(Q = 2\pi(5\times10^9)(2.81\times10^{-9})/3.83 = 23\).
(a) 132 µm (b) 2.81 nH (c) \(R \approx 3.8\ \Omega\), \(Q \approx 23\)
검토 직류 저항은 1.1 Ω인데 5 GHz에서는 표피 효과로 3배 넘게 커진다. 실제 칩에서는 기판 손실과 이웃 바퀴로 전류가 몰리는 근접 효과까지 더해 \(Q\)가 10–20에 머문다. 전류 면 근사식은 2.81 nH로 휠러 식과 거의 같다.
LC 발진기의 인덕터와 위상 잡음

PLL 속 LC-VCO의 발진 주파수는 \(f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC}\)이고, 인덕터의 \(Q\)가 탱크의 손실 저항 \(R_p = Q\omega_0L\)을 정한다. \(Q\)가 두 배면 같은 전력에서 위상 잡음이 약 6 dB 좋아진다(리슨 식). 그래서 RF 공정은 3–4 µm 두께의 최상층 구리나 알루미늄 재배선층, 고저항 기판, 패턴 접지 차폐(기판 와전류를 끊되 전기장은 막는 빗살 무늬 접지)를 제공한다. 인덕터 하나가 디지털 게이트 수만 개 면적을 차지하고, 주변 회로와 자기 결합을 피하려 거리를 두어야 하므로 칩 면적에서 큰 비용이 된다. → AnalogBook · 발진기와 PLL

핵심 정리

  1. 로런츠 힘 \(\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B)\). 자기력은 일을 하지 않는다. 균일한 \(\mathbf B\)에서 \(r = p_\perp/|q|B\), \(\omega_c = |q|B/m\)(속력 무관), 나란한 성분이 있으면 나선. \(\mathbf E\perp\mathbf B\)이면 부호·질량과 무관한 표류 \(\mathbf v_d = \mathbf E\times\mathbf B/B^2\). 전류가 받는 힘 \(I\,d\mathbf l\times\mathbf B\), 평행 도선 \(\mu_0I_1I_2/2\pi d\).
  2. 홀 효과: \(E_y = R_HJ_xB_z\), \(R_H = 1/nq\), \(V_H = IB/nqt\). 홀 전압의 부호가 캐리어 종류를, 크기가 농도를, 비저항과 함께 이동도를 준다.
  3. 비오–사바르 \(d\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\mathbf l'\times\hat{\mathbf R}}{R^2}\). 유한 직선 \(B = \frac{\mu_0I}{4\pi\rho}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)\), 무한 직선 \(\mu_0I/2\pi\rho\), 고리 축 \(\mu_0IR^2/2(R^2 + z^2)^{3/2}\), 고리 중심 \(\mu_0I/2R\).
  4. 앙페르 \(\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l = \mu_0I_{enc}\) ⇔ \(\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J\), 그리고 \(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)(단극 없음, 자기력선은 닫힌다). 대칭이 있을 때만 B를 구하는 도구가 된다: 굵은 도선 안 \(\mu_0I\rho/2\pi a^2\), 동축선 밖 0, 솔레노이드 \(\mu_0nI\), 토로이드 \(\mu_0NI/2\pi\rho\), 면전류 \(\mu_0K/2\), 헬름홀츠 중심 \((4/5)^{3/2}\mu_0NI/R\).
  5. 벡터 퍼텐셜 \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\), 쿨롱 게이지에서 \(\nabla^2\mathbf A = -\mu_0\mathbf J\), \(\mathbf A = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf J}{R}dv'\), \(\Phi = \oint\mathbf A\cdot d\mathbf l\). 2차원에서 \(A_z\) 등고선이 자기력선이고 두 점의 \(A_z\) 차가 그 사이 단위 길이당 선속이다.
  6. 자기 쌍극자 \(\mathbf m = I\mathbf S\): 먼 장 \(\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(2\cos\theta\,\hat{\mathbf r} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta})\), 돌림힘 \(\mathbf m\times\mathbf B\), 에너지 \(-\mathbf m\cdot\mathbf B\), 힘 \(\nabla(\mathbf m\cdot\mathbf B)\). 원자 단위 \(\mu_B = 9.274\times10^{-24}\) A·m².
  7. 인덕턴스 \(L = \Lambda/I = 2W_m/I^2\). 동축 \(\frac{\mu}{2\pi}\ln\frac ba\)(+내부 \(\mu/8\pi\)), 평행 두 선 \(\frac\mu\pi\cosh^{-1}\frac{D}{2a}\), 솔레노이드 \(\mu N^2A/\ell\), 본딩 와이어 약 1 nH/mm, 나선 \(2.34\mu_0n^2d_{avg}/(1 + 2.75\rho)\). TEM 선로에서 \(L'C' = \mu\varepsilon\).

연습문제

\(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\) H/m, \(\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}\) F/m, \(e = 1.602\times10^{-19}\) C, \(m_e = 9.109\times10^{-31}\) kg, \(m_p = 1.673\times10^{-27}\) kg. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

양성자가 \(1.0\times10^6\) m/s로 0.50 T 균일 자기장에 수직으로 들어간다. 궤도 반지름과 사이클로트론 진동수는?

\(r = m_pv/eB = (1.673\times10^{-27})(10^6)/(1.602\times10^{-19}\times0.50) = 2.09\times10^{-2}\) m = 2.09 cm. \(f_c = eB/2\pi m_p = 7.62\) MHz(속력에 무관).

ECR(전자 사이클로트론 공명) 플라스마 장비는 2.45 GHz 마이크로파를 쓴다. 전자의 사이클로트론 진동수가 이와 같아지는 자기장은?

\(B = 2\pi fm_e/e = 2\pi(2.45\times10^9)(9.109\times10^{-31})/1.602\times10^{-19} = 0.0875\) T = 87.5 mT. 이 자기장 면에서 전자가 마이크로파 에너지를 공명 흡수해 낮은 압력에서도 고밀도 플라스마가 생긴다.

두께 2.0 µm인 실리콘 막에 \(I = 0.50\) mA, \(B = 0.40\) T를 걸었더니 \(V_H = E_yw = +5.2\) mV였다. 막의 비저항은 0.10 Ω·cm다. 다수 캐리어의 농도(cm⁻³)와 홀 이동도는?

\(V_H > 0\)이면 정공. \(p = IB/(etV_H)\), \(\mu_H = R_H/\rho\).

\(p = (0.50\times10^{-3})(0.40)/[(1.602\times10^{-19})(2.0\times10^{-6})(5.2\times10^{-3})] = 1.20\times10^{23}\) m⁻³ = \(1.20\times10^{17}\) cm⁻³. \(R_H = 1/pe = 5.2\times10^{-5}\) m³/C, \(\rho = 1.0\times10^{-3}\) Ω·m → \(\mu_H = 0.052\) m²/(V·s) = 520 cm²/(V·s).

긴 직선 전원 케이블에 10 A가 흐른다. 5.0 cm 떨어진 곳의 자기장은? (지구 자기장과 비교해 보라.)

\(B = \mu_0I/2\pi\rho = (2\times10^{-7})(10)/0.050 = 4.00\times10^{-5}\) T = 40.0 µT — 지구 자기장과 비슷해 나침반을 흔든다.

칩 위 길이 100 µm인 전원 배선에 10 mA가 흐른다(돌아오는 경로는 멀리 있다고 본다). 배선 가운데에서 수직으로 1.0 µm 떨어진 점과, 한쪽 끝에서 수직으로 1.0 µm 떨어진 점의 자기장은?

\(B = \frac{\mu_0I}{4\pi\rho}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)\). 가운데에서는 \(\sin\alpha_2 = -\sin\alpha_1 \approx 1\), 끝에서는 \(\sin\alpha_1 = 0\).

가운데: \(\frac{\mu_0I}{4\pi\rho}\cdot2\cdot\frac{50}{\sqrt{50^2 + 1^2}} = (10^{-7})(0.010)/(10^{-6})\times1.9996 = 2.00\) mT. 끝: \(\frac{\mu_0I}{4\pi\rho}\cdot\frac{100}{\sqrt{100^2 + 1}} = 1.00\) mT. 1 µm 거리에서 배선은 거의 무한 도선(가운데)·반무한 도선(끝)으로 보인다.

반지름 10 cm, 코일당 100번 감은 헬름홀츠 코일(간격 10 cm)에 1.0 A가 흐른다. 중심의 자기장은?

고리 하나가 \(z = R/2\)에서 주는 장 \(\mu_0NIR^2/2(R^2 + R^2/4)^{3/2}\)의 두 배 \(= (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R = 0.7155\times(4\pi\times10^{-7})(100)(1.0)/0.10 = 8.99\times10^{-4}\) T = 0.899 mT.

반지름 1.0 mm인 구리 도선에 10 A가 균일하게 흐른다. 중심에서 0.50 mm인 곳의 \(B\)와, 그 점에서 \(|\nabla\times\mathbf B|\)는?

\(B = \mu_0I\rho/2\pi a^2 = (2\times10^{-7})(10)(0.5\times10^{-3})/(10^{-6}) = 1.00\) mT. \(|\nabla\times\mathbf B| = \mu_0J = \mu_0I/\pi a^2 = (4\pi\times10^{-7})(10)/(\pi\times10^{-6}) = 4.00\) T/m. 확인: 원통 좌표 \(\frac1\rho\frac{d}{d\rho}(\rho B_\phi) = \frac1\rho\frac{d}{d\rho}\left(\frac{\mu_0I\rho^2}{2\pi a^2}\right) = \frac{\mu_0I}{\pi a^2}\).

마그네트론 음극 앞의 플라스마 덮개에서 전기장 \(1.0\times10^4\) V/m와 그에 수직인 자기장 0.10 T가 만난다. 전자의 \(\mathbf E\times\mathbf B\) 표류 속력은? (표류는 음극 표면을 따라 닫힌 고리를 돈다.)

\(v_d = E/B = 10^4/0.10 = 1.00\times10^5\) m/s. 전자가 표면을 따라 맴돌며 이온화 충돌을 많이 일으켜 낮은 압력에서도 스퍼터링이 잘 된다(7장 마그네트론).

균일한 자기장 \(\mathbf B = B_0\hat{\mathbf z}\)에 대해 \(\mathbf A = \tfrac12B_0(-y\hat{\mathbf x} + x\hat{\mathbf y})\)는 쿨롱 게이지를 만족하는 벡터 퍼텐셜이다. \(B_0 = 0.10\) T일 때 반지름 2.0 cm인 원(xy 평면, 반시계)을 따라 \(\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l\)을 구하라.

원 위에서 \(\mathbf A = \tfrac12B_0\rho\,\hat{\boldsymbol\phi}\). 크기가 일정하고 경로와 나란하다.

\(\nabla\times\mathbf A = \hat{\mathbf z}(\partial_xA_y - \partial_yA_x) = B_0\hat{\mathbf z}\), \(\nabla\cdot\mathbf A = 0\). 원 위 \(\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l = \tfrac12B_0R\cdot2\pi R = \pi R^2B_0 = \pi(0.020)^2(0.10) = 1.26\times10^{-4}\) Wb. 원을 지나는 선속 \(\pi R^2B_0\)와 같다.

길이 20 cm, 반지름 1.0 cm에 500번 감은 공심 솔레노이드의 인덕턴스는(끝 효과 무시)?

\(L = \mu_0N^2A/\ell = (4\pi\times10^{-7})(500)^2\pi(0.010)^2/0.20 = 4.93\times10^{-4}\) H = 0.493 mH.

안 도체 반지름 1.0 mm, 바깥 도체 안반지름 4.0 mm인 동축선의 단위 길이 외부 인덕턴스와, 저주파에서 안 도체 내부 인덕턴스까지 더한 값은?

외부: \((\mu_0/2\pi)\ln4 = (2\times10^{-7})(1.386) = 0.277\ \mu\)H/m. 내부 \(\mu_0/8\pi = 0.050\ \mu\)H/m를 더하면 0.327 µH/m. 고주파에서는 표피 효과로 전류가 도체 표면으로 몰려 내부 몫이 사라진다.

반지름 1.0 mm인 두 도선이 중심 간격 3.0 mm로 공기 중에 나란히 있다. 정확한 식으로 단위 길이 인덕턴스를 구하고, \(L'C' = \mu_0\varepsilon_0\)로 단위 길이 정전 용량을 구하라. \(\ln(D/a)\) 근사는 몇 % 틀리는가?

\(L' = (\mu_0/\pi)\cosh^{-1}(D/2a)\), \(\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})\).

\(\cosh^{-1}1.5 = \ln(1.5 + 1.118) = 0.9624\). \(L' = (4\times10^{-7})(0.9624) = 0.385\ \mu\)H/m. \(C' = \mu_0\varepsilon_0/L' = 1.1127\times10^{-17}/3.850\times10^{-7} = 28.9\) pF/m. 근사 \((\mu_0/\pi)\ln3 = 0.439\ \mu\)H/m는 14% 크다 — 도선이 가까우면 근접 효과로 전류가 마주 보는 쪽에 몰려 쇄교 자속이 줄어든다.

바깥 지름 250 µm, 선폭 8 µm, 간격 2 µm로 정사각 나선을 4번 감는다. 안 지름과 수정 휠러 식의 인덕턴스는?

\(d_{in} = 250 - 2(4)(8) - 2(3)(2) = 174\ \mu\)m. \(d_{avg} = 212\ \mu\)m, \(\rho = 76/424 = 0.179\). \(L = 2.34(4\pi\times10^{-7})(16)(212\times10^{-6})/(1 + 2.75\times0.179) = 6.68\) nH.

앙페르 고리 위의 모든 점에서 \(\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l = 0\)이었다. 옳은 결론은?

선적분이 0이라는 것은 \(I_{enc} = 0\)이라는 뜻일 뿐이다. 바깥 전류의 장이나, 크기가 같고 방향이 반대인 두 전류를 함께 감싼 경우에도 고리 위에 장이 있다. 대칭이 없으면 앙페르 법칙만으로 B를 구할 수 없다.

같은 크기·모양의 n형과 p형 실리콘 막에 같은 방향의 전류 \(I\)와 자기장 \(B\)를 걸었다. 두 막에서 일어나는 일로 옳은 것은?

\(q\mathbf v\)는 두 경우 모두 전류 방향(\(\mathbf J = nq\mathbf v\))이므로 \(q\mathbf v\times\mathbf B\)의 방향이 같다. 같은 쪽에 음전하(n형) 또는 양전하(p형)가 쌓여 \(E_y\)의 부호가 반대가 된다. 이것이 정공이 실제로 양전하처럼 행동한다는 실험적 증거다.

개념 확인 퀴즈

균일한 자기장만 있는 공간에서 전자가 나선 운동을 한다. 시간이 지나면 전자의 운동 에너지는?

\(\mathbf F\cdot\mathbf v = q(\mathbf v\times\mathbf B)\cdot\mathbf v = 0\). 자기장은 방향만 바꾼다. 입자를 가속하는 것은 언제나 전기장이다(사이클로트론도 틈새의 교류 전기장으로 가속한다).

\(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)에서 곧바로 나오는 결론이 아닌 것은?

회전에 관한 식은 \(\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J\)로 따로 있다. 전류가 있는 곳에서 회전은 0이 아니다.

다음 중 앙페르 법칙 하나만으로 자기장을 구할 수 없는 것은?

유한 도선 조각은 대칭이 부족해 고리 위에서 \(B\)가 일정하지 않고, 조각만으로는 닫힌 회로도 아니다. 비오–사바르 적분을 써야 한다.

나란한 도선들의 2차원 문제에서 \(A_z\)의 등고선을 같은 간격으로 그렸다. 옳은 해석은?

\(\mathbf B = (\partial_yA_z, -\partial_xA_z)\)는 \(\nabla A_z\)에 수직이라 등고선을 따라간다. 두 점 사이 선속 \(\Phi' = \Delta A_z\)이므로 선이 촘촘할수록 장이 세다.

동축선의 모든 치수(안 반지름, 바깥 반지름)를 절반으로 줄이면 단위 길이 외부 인덕턴스는?

\(L' = (\mu/2\pi)\ln(b/a)\)는 비 \(b/a\)에만 의존한다. 칩의 미세 배선과 굵은 케이블이 같은 특성 임피던스를 가질 수 있는 이유다. 다만 도체 저항은 단면적에 반비례해 커진다.