Chapter 08

전자기 유도

6–7장의 자기장은 시간에 따라 변하지 않았다. 전류가 자기장을 만들고 자기장이 전류에 힘을 주는 것으로 이야기가 끝났다. 1831년 패러데이는 반대 방향의 연결을 찾았다. 자기장이 변하면 전기장이 생긴다. 이 한 문장으로 발전기와 변압기가 가능해졌고, 반도체 공장에서는 유전체 창 너머 코일이 진공 속 기체를 고밀도 플라스마로 바꾸고(ICP), 연마 패드 아래 코일이 구리막 두께를 손대지 않고 잰다(와전류 센서). 이 장은 패러데이 법칙과 렌츠 법칙에서 출발해 운동 기전력, 인덕턴스, 자기 에너지, 와전류와 표피 깊이, 변압기까지 이어 간다. 먼저 자석을 코일 쪽으로 끌어 보자.

자석을 좌우로 끌고, ⇄ 로 극을 뒤집는다

패러데이 법칙 $\mathcal{E} = \oint_C \mathbf E\cdot d\mathbf l = -\dfrac{d}{dt}\int_S \mathbf B\cdot d\mathbf S$과 미분형 $\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t$를 쓰고, 렌츠 법칙으로 유도 전류의 방향을 정한다.
변하는 자기장이 만드는 회전 전기장(솔레노이드 안팎의 $E_\phi$)을 계산하고, 유도 전기장이 보존장이 아니라는 뜻을 설명한다.
운동 기전력 $\oint(\mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\mathbf l$로 레일 위 막대와 회전 코일 발전기를 풀고, 역학적 일과 전기 에너지의 균형을 확인한다.
자기 인덕턴스 $L = N\Phi/I$, 상호 인덕턴스와 노이만 공식, 결합 계수 $k = M/\sqrt{L_1L_2}$를 계산하고 직렬 연결 $L_1 + L_2 \pm 2M$을 쓴다.
자기 에너지 $W = \tfrac12LI^2 = \int \tfrac{B^2}{2\mu}\,dv$로 인덕턴스와 자기력을 구한다.
와전류와 표피 깊이 $\delta = 1/\sqrt{\pi f\mu\sigma}$로 적층 철심, 유도 가열, 와전류 막두께 측정을 설명한다.
결합 코일의 반사 임피던스 $\omega^2M^2/(Z_L + j\omega L_2)$로 이상 변압기와 실제 변압기를 다루고, ICP를 "플라스마가 한 바퀴 2차 코일인 변압기"로 해석한다.

패러데이 법칙과 렌츠 법칙

닫힌 고리 $C$와 그 고리를 테두리로 하는 곡면 $S$를 생각하자. 곡면을 지나는 자기 선속(magnetic flux)은 $\Phi = \int_S \mathbf B\cdot d\mathbf S$이다(단위 Wb = T·m²). 패러데이는 이 선속이 시간에 따라 변하면 고리를 따라 유도 기전력(induced electromotive force)이 생긴다는 것을 실험으로 찾았다. 기전력은 고리를 한 바퀴 도는 동안 단위 전하가 받는 일, 곧 전기장의 선적분이다.

패러데이 법칙(Faraday's law)

닫힌 경로 $C$를 따라 생기는 기전력은 $C$가 둘러싼 자기 선속의 시간 변화율에 음의 부호를 붙인 것과 같다. 고리를 $N$번 감았다면 선속 고리(쇄교 선속) $\Lambda = N\Phi$를 쓴다.

$$\mathcal{E} = \oint_C \mathbf E\cdot d\mathbf l = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}\int_S \mathbf B\cdot d\mathbf S, \qquad \mathcal{E}_N = -N\frac{d\Phi}{dt}$$

$C$의 방향과 $d\mathbf S$의 방향은 오른손 규칙으로 묶여 있다: 네 손가락을 $C$의 방향으로 감으면 엄지가 $d\mathbf S$ 방향이다. 기전력이 양수이면 유도 전류는 $C$의 방향으로 흐른다.

패러데이 법칙의 부호 약속. 경로 방향과 면 방향을 오른손 규칙으로 묶으면 음의 부호가 "유도 전류는 선속 변화를 거스르는 쪽"이라는 렌츠 법칙을 자동으로 담는다.

음의 부호를 말로 풀면 렌츠 법칙(Lenz's law)이다: 유도 전류는 자기 선속의 변화를 방해하는 방향으로 흐른다. 늘어나는 선속에는 반대 방향 자기장으로, 줄어드는 선속에는 같은 방향 자기장으로 맞선다. 맨 위 그림에서 자석의 N극을 코일에 들이밀면 코일의 그쪽 면이 N극이 되어 자석을 밀어내고, 빼내면 S극이 되어 붙잡는다. 어느 쪽이든 손이 일을 해야 하고, 그 일이 코일 저항의 열이 된다.

N극이 코일 쪽으로 다가온다. 무엇이 변하는지부터 찾는다.
자석의 자기장은 N극에서 나와 코일을 → 방향으로 지난다. 자석이 가까워지므로 → 방향 선속이 늘어난다.
렌츠 법칙: 유도 전류의 자기장은 이 증가를 거스르는 ← 방향이어야 한다.
오른손 규칙으로 ← 방향 자기장을 만드는 전류 방향을 정한다. 코일의 왼쪽 면이 N극이 되어 자석을 밀어낸다.

렌츠 법칙으로 유도 전류 방향을 정하는 순서: (1) 무엇이 변하나 (2) 선속의 방향과 증감 (3) 유도 자기장은 그 변화를 거스름 (4) 오른손 규칙으로 전류 방향.

미분형: 회전하는 전기장

고리가 움직이지 않으면 시간 미분을 적분 안으로 넣을 수 있다. 왼쪽에 스토크스 정리 $\oint_C \mathbf E\cdot d\mathbf l = \int_S (\nabla\times\mathbf E)\cdot d\mathbf S$를 쓰면, 임의의 곡면에서 성립해야 하므로 피적분 함수끼리 같아야 한다.

$$\nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}$$

맥스웰 방정식 가운데 하나(9장). 정전기장에서는 $\nabla\times\mathbf E = 0$이라 $\mathbf E = -\nabla V$로 쓸 수 있었다. 자기장이 변하는 곳에서는 전기장이 회전 성분을 가지며, 전위 하나로는 표현할 수 없다(9장에서 $\mathbf E = -\nabla V - \partial\mathbf A/\partial t$).

가장 깨끗한 예가 반지름 $a$인 긴 솔레노이드다. 안쪽의 균일한 $B(t)$가 변하면 대칭 때문에 전기장은 원을 따라 도는 $E_\phi(\rho)$뿐이다. 반지름 $\rho$인 원에 패러데이 법칙을 쓰면 $2\pi\rho E_\phi = -\pi\rho^2\,dB/dt$(안쪽) 또는 $-\pi a^2\,dB/dt$(바깥)이다.

$$E_\phi(\rho) = -\frac{\rho}{2}\frac{dB}{dt}\quad(\rho \le a), \qquad E_\phi(\rho) = -\frac{a^2}{2\rho}\frac{dB}{dt}\quad(\rho \ge a)$$

솔레노이드 바깥에는 $\mathbf B = 0$인데도 전기장이 있다. 바깥 고리의 기전력은 고리 크기와 상관없이 $-\pi a^2\,dB/dt$로 같다. 선속이 고리 "안"에 있느냐만이 중요하다.

반지름 $a$인 솔레노이드의 $B$가 일정한 비율로 늘고 있다. 솔레노이드와 중심이 같은 반지름 $2a$인 도선 고리는 $\mathbf B = 0$인 곳에만 놓여 있다. 이 고리의 기전력은?

바깥에서 $E_\phi \propto 1/\rho$로 줄지만 둘레는 $\rho$에 비례해 늘어, 곱은 일정하다. 아래 시뮬레이터에서 시험 고리를 키우거나 옮겨 보며 확인하라. 고리가 솔레노이드를 감싸지 않으면 기전력은 0이 된다.

SIMULATOR

변하는 B가 만드는 회전 전기장: 목표 기전력 만들기

고리 중심과 테두리 점을 끈다

dB/dt 솔레노이드 반지름 a

목표 기전력

∮E·dl (수치 선적분)—

−dΦ/dt (겹친 넓이 × dB/dt)—

둘러싼 B 영역 넓이—

목표—

위에서 내려다본 긴 솔레노이드의 단면이다(B는 화면 밖으로 나오는 방향이 +, 시험 고리의 방향은 반시계). 회색 화살표가 유도 전기장 $\mathbf E$이고, 오른쪽 그래프는 $E_\phi(\rho)$이다. 해볼 것: ① 고리를 솔레노이드 바깥으로 완전히 빼면 고리 위에 $\mathbf E$가 있는데도 기전력이 0이다 — 한쪽에서 얻은 일을 반대쪽에서 잃는다. ② 고리가 솔레노이드를 감싸면 크기와 상관없이 $-\pi a^2\,dB/dt$이다. ③ 목표 기전력을 만들어라(±3%). +15 mV는 dB/dt의 부호를 바꿔야 한다.

반지름 2.0 cm, 250번 감은 코일의 축이 균일한 자기장과 나란하다. 자기장이 25 ms 동안 0에서 0.40 T까지 일정하게 커졌다. 유도 기전력의 크기와, 코일 양 끝을 20 Ω 저항으로 이었을 때의 전류(코일 저항 무시)는?

풀이 보기

전략 면 전체에 $B$가 균일하므로 $\Phi = BA$, $\mathcal{E} = -NA\,dB/dt$.

풀이 $A = \pi(0.020)^2 = 1.257\times10^{-3}$ m², $dB/dt = 0.40/0.025 = 16$ T/s. $|\mathcal{E}| = 250\times1.257\times10^{-3}\times16 = 5.03$ V, $I = 5.03/20 = 0.251$ A.

$|\mathcal{E}| = 5.03$ V, $I = 0.251$ A

검토 방향은 렌츠 법칙으로: 유도 전류의 자기장은 외부 자기장의 반대쪽이다. 자기장이 다 커진 뒤에는 $dB/dt = 0$이라 기전력도 0이다 — 선속의 크기가 아니라 변화율이 중요하다.

반지름 3.0 cm, 단위 길이당 2000번 감은 긴 솔레노이드의 전류가 50 A/s로 늘고 있다. 축에서 1.5 cm와 6.0 cm 떨어진 곳의 유도 전기장 세기는?

풀이 보기

전략 안쪽 $B = \mu_0nI$이므로 $dB/dt = \mu_0n\,dI/dt$. 안쪽은 $\rho/2$, 바깥은 $a^2/2\rho$를 곱한다.

풀이 $dB/dt = (4\pi\times10^{-7})(2000)(50) = 0.1257$ T/s. $\rho = 1.5$ cm: $E = (0.015/2)(0.1257) = 9.42\times10^{-4}$ V/m. $\rho = 6.0$ cm: $E = (0.030^2/(2\times0.060))(0.1257) = 9.42\times10^{-4}$ V/m.

두 곳 모두 $E_\phi \approx 0.94$ mV/m (방향은 전류 증가를 거스르는 쪽)

검토 $E_\phi$는 $\rho = a$에서 최대 $a/2\cdot dB/dt$이고 안쪽은 $\rho$, 바깥은 $1/\rho$로 줄어든다. 안쪽 $\rho_1$과 바깥 $\rho_2$에서 $\rho_1/2 = a^2/2\rho_2$, 곧 $\rho_1\rho_2 = a^2$이면 세기가 같다(1.5 × 6.0 = 9.0 = 3.0²).

전압계가 경로를 탄다

유도 전기장은 $\oint\mathbf E\cdot d\mathbf l \ne 0$이라 두 점 사이 "전압"이 경로에 따라 다르다. 변하는 선속을 감싼 고리에 저항 두 개를 직렬로 넣고 같은 두 점에 전압계를 대 보면, 전압계 도선이 선속의 왼쪽으로 지나느냐 오른쪽으로 지나느냐에 따라 읽는 값이 다르다(르윈의 실험). 어느 쪽도 틀리지 않았다 — 전압계는 자기 도선이 만든 고리까지 포함한 $\int\mathbf E\cdot d\mathbf l$을 읽는다. 고속 회로에서 측정 탐침의 접지선을 짧게 감으라는 이유가 여기 있다. 탐침 고리를 지나는 선속 변화가 측정값에 그대로 더해진다.

운동 기전력과 발전기

자기장이 변하지 않아도 도체가 움직이면 기전력이 생긴다. 속도 $\mathbf v$로 움직이는 도체 속 전하 $q$는 로런츠 힘 $q\mathbf v\times\mathbf B$를 받는다. 이 힘이 전하를 도체 한쪽으로 몰아 기전력을 만든다. 단위 전하당 힘을 경로를 따라 적분한 것이 운동 기전력(motional emf)이다.

$$\mathcal{E}_{mot} = \oint_C (\mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\mathbf l \qquad\Rightarrow\qquad \mathcal{E} = BLv \quad(\text{균일한 } \mathbf B \perp \text{막대}, \ \mathbf v)$$

$L$은 막대 길이. 움직이는 부분에서만 $\mathbf v\ne0$이므로 적분은 막대 위에서만 남는다.

레일 위 막대. 운동 기전력 $\oint(\mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\mathbf l$과 선속 규칙 $-d\Phi/dt$가 같은 답을 준다. 유도 전류가 받는 자기력은 언제나 운동을 거스른다.

같은 상황을 선속으로 보면, 막대가 $x$에 있을 때 고리를 지나는 선속은 $\Phi = BLx$이고 $d\Phi/dt = BLv$이다. 두 관점이 같은 답을 주는 것은 우연이 아니다. 움직이는 고리에 대한 일반적인 패러데이 법칙은 두 항의 합이다.

$$\mathcal{E} = \oint_C (\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\mathbf l = \underbrace{-\int_S \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\cdot d\mathbf S}_{\text{변압기 기전력}} + \underbrace{\oint_C (\mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\mathbf l}_{\text{운동 기전력}} = -\frac{d\Phi}{dt}$$

첫째 항은 고리가 가만히 있어도 $\mathbf B$가 변해서 생기는 변압기 기전력(transformer emf), 둘째 항은 고리가 움직여서 생기는 운동 기전력이다. 두 항을 합친 것이 선속의 전미분 $-d\Phi/dt$이다($\nabla\cdot\mathbf B = 0$을 쓴 라이프니츠 규칙).

자기장 0.50 속에서 길이 0.40인 막대를 5.0로 움직이면 기전력은 이다. 회로 저항이 2.0이면 전류 가 흐르고, 막대를 같은 속력으로 끌려면 의 힘이 든다. 손이 하는 일률 은 저항의 열 과 정확히 같다.

정지해 있던 막대(질량 $m$)를 일정한 힘 $F$로 계속 당긴다. 마찰은 없다. 막대는 어떻게 움직일까?

속력이 커질수록 자기 제동력 $B^2L^2v/R$이 커져 결국 $F$와 같아진다. 운동 방정식 $m\dot v = F - B^2L^2v/R$의 해는 $v = v_t(1 - e^{-t/\tau})$, $\tau = mR/B^2L^2$이다. 낙하하는 물체의 종단 속도와 같은 꼴이다.

SIMULATOR

레일 위 막대: 1.0 W를 일정하게 켜라

"손으로 끌기"에서는 막대를 직접 끈다

구동

힘 F 자기장 B 저항 R

속력 v—

기전력 BLv—

전류 I—

구동 일률 Fv—

열 I²R—

목표 1.0 W—

막대 질량 0.10 kg, 레일 간격 $L$ = 0.40 m, 마찰 없음. 막대가 오른쪽 끝에 닿으면 왼쪽으로 되돌아가 계속 달린다(긴 레일의 흉내). 아래 그래프는 속력 $v(t)$와 종단 속력(점선). 해볼 것: ① "일정한 힘"에서 $\tau = mR/B^2L^2$ 뒤에 종단 속력의 63%에 이르는지 본다. ② $B$를 두 배로 하면 종단 속력은 4분의 1이 된다. ③ 저항의 열이 1.0 W(±3%)인 정상 상태를 2초 동안 유지하라 — $P = F^2R/B^2L^2$이다. ④ "손으로 끌기"로 막대를 흔들면 전류 방향이 바뀌어도 힘은 늘 손을 거스른다.

발전기: 돌아가는 코일

넓이 $A$, $N$번 감은 코일이 균일한 $\mathbf B$ 속에서 각속도 $\omega$로 돌면 면의 법선과 $\mathbf B$의 각이 $\omega t$이므로 $\Phi = BA\cos\omega t$이고,

$$\mathcal{E}(t) = -N\frac{d\Phi}{dt} = NBA\omega\sin\omega t, \qquad \mathcal{E}_{max} = NBA\omega$$

선속이 최대(면이 $\mathbf B$에 수직)일 때 기전력은 0이고, 선속이 0을 지날 때 기전력이 최대다. 운동 기전력으로 보아도 같다: 코일의 두 긴 변이 $\mathbf B$를 수직으로 가로지를 때 $\mathbf v\times\mathbf B$가 가장 크다.

회전수

MINI LAB교류 발전기. 왼쪽은 B 방향(→)에 대해 기울어진 코일을 위에서 본 모습, 오른쪽은 선속(파랑)과 기전력(빨강)의 시간 변화다. 두 곡선은 90° 어긋나 있고, 회전을 빠르게 하면 기전력의 진폭이 $\omega$에 비례해 커진다(코일 100회, 넓이 0.010 m², B = 0.20 T).

선속 규칙이 통하지 않는 때: 패러데이 원판

균일한 $\mathbf B$에 수직인 도체 원판(반지름 $a$)을 각속도 $\omega$로 돌리고 축과 가장자리에 미끄럼 접점을 대면, 원판 속 반지름 방향의 $\mathbf v\times\mathbf B$가 기전력 $\int_0^a \omega rB\,dr = \tfrac12B\omega a^2$을 만든다(단극 발전기). 그런데 "회로"를 지나는 선속은 변하지 않는 것처럼 보인다. 선속 규칙 $-d\Phi/dt$는 회로를 이루는 도체가 하나의 선으로 정해질 때만 쓸 수 있고, 원판처럼 전류 경로가 물질 속에서 계속 바뀌는 경우에는 로런츠 힘 $\mathbf v\times\mathbf B$로 직접 계산해야 한다. 근본 법칙은 언제나 $\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t$와 $\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B)$이다.

B = 0.50 T, 레일 간격 0.40 m, 저항 2.0 Ω인 회로에서 질량 0.10 kg 막대를 0.20 N으로 당긴다. 종단 속력, 그때의 전류와 일률, 그리고 종단 속력의 90%에 이르는 시간은?

풀이 보기

전략 정상 상태에서 $F = B^2L^2v_t/R$. 시간 상수 $\tau = mR/B^2L^2$, $v = v_t(1 - e^{-t/\tau})$.

풀이 $B^2L^2 = 0.25\times0.16 = 0.040$ T²m². $v_t = FR/B^2L^2 = 0.20\times2.0/0.040 = 10$ m/s. $I = BLv_t/R = 0.50\times0.40\times10/2.0 = 1.0$ A. $P = Fv_t = 2.0$ W $= I^2R$. $\tau = 0.10\times2.0/0.040 = 5.0$ s, $t_{90} = \tau\ln10 = 11.5$ s.

$v_t = 10$ m/s, $I = 1.0$ A, $P = 2.0$ W, $t_{90} = 11.5$ s

검토 정상 상태에서 막대의 운동 에너지는 변하지 않으므로 당기는 일률이 모두 열이 된다. $R$을 줄이면 제동이 세져 종단 속력이 줄고 열도 줄어든다($P = F^2R/B^2L^2$).

자기 인덕턴스와 상호 인덕턴스

전류 $I$가 흐르는 코일은 스스로 자기장을 만들고, 그 자기장의 선속이 코일 자신을 지난다. 선형 매질에서 이 쇄교 선속 $\Lambda = N\Phi$는 $I$에 비례한다. 비례 상수가 자기 인덕턴스(self-inductance)이다. 전류가 변하면 코일에 자기 유도 기전력이 생긴다.

$$L = \frac{\Lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}\ \ [\text{H} = \text{Wb/A}], \qquad \mathcal{E}_L = -L\frac{dI}{dt}, \qquad v_L = L\frac{dI}{dt}$$

$v_L$은 전류가 들어가는 단자 쪽이 +인 전압 강하(회로 관례). 인덕턴스는 기하 구조와 투자율만으로 정해진다.

인덕턴스를 구하는 순서는 정해져 있다: ① 전류 $I$를 가정한다 ② 앙페르 법칙이나 비오–사바르 법칙으로 $\mathbf B$를 구한다 ③ 쇄교 선속 $\Lambda$를 적분한다 ④ $I$로 나눈다. 6장에서 구한 결과를 모으면 다음과 같다.

구조	인덕턴스	비고
긴 솔레노이드($N$회, 넓이 $A$, 길이 $\ell$)	$\mu N^2A/\ell$	끝 효과 무시($\ell \gg$ 반지름)
토로이드(직사각 단면 높이 $h$, 안·밖 반지름 $a, b$)	$\dfrac{\mu N^2h}{2\pi}\ln\dfrac ba$	자기장이 코어 안에만 있다
동축선(단위 길이)	$\dfrac{\mu}{2\pi}\ln\dfrac ba\ (+\tfrac{\mu}{8\pi}$ 내부$)$	내부 항은 저주파에서만(§8.4, 8.5)
평행 두 선(단위 길이, 반지름 $a$, 간격 $D$)	$\dfrac{\mu}{\pi}\cosh^{-1}\dfrac{D}{2a}$	$D \gg a$이면 $\frac{\mu}{\pi}\ln\frac Da$
원형 고리(반지름 $R$, 도선 반지름 $a$)	$\mu_0R\left(\ln\dfrac{8R}{a} - 2\right)$	$R \gg a$, 외부 인덕턴스

반지름 1.0, 길이 10인 원통에 500번 감고, 비투자율 1인 코어를 넣으면 $L = \mu N^2A/\ell$ = . 감은 수를 두 배로 하면 로 4배가 된다 — 감은 수는 자기장도 키우고($\propto N$) 그 선속을 지나는 횟수도 늘리기($\times N$) 때문이다.

상호 인덕턴스와 노이만 공식

코일 1의 전류 $I_1$이 만든 자기장의 일부가 코일 2를 지난다. 코일 2의 쇄교 선속 $\Lambda_{21}$은 $I_1$에 비례하고, 비례 상수가 상호 인덕턴스(mutual inductance) $M_{21} = \Lambda_{21}/I_1$이다. 선속을 벡터 퍼텐셜로 쓰면 $\Lambda_{21} = N_2\oint_{C_2}\mathbf A_1\cdot d\mathbf l_2$이고, $\mathbf A_1 = \frac{\mu_0N_1I_1}{4\pi}\oint_{C_1}\frac{d\mathbf l_1}{R}$을 넣으면 노이만 공식(Neumann formula)을 얻는다.

$$M_{21} = \frac{\mu_0N_1N_2}{4\pi}\oint_{C_1}\oint_{C_2}\frac{d\mathbf l_1\cdot d\mathbf l_2}{R} = M_{12} \equiv M, \qquad \mathcal{E}_2 = -M\frac{dI_1}{dt}$$

$R$은 두 선소 사이 거리. 식이 두 코일에 대해 대칭이므로 $M_{12} = M_{21}$: 1이 2에 주는 영향과 2가 1에 주는 영향은 같다. 겉보기에 전혀 다른 두 선속 계산이 같은 값을 준다는 것은 비자명한 결과다.

같은 축 위의 두 원형 고리(반지름 $a, b$, 축 거리 $d$)는 노이만 공식을 정확히 적분할 수 있다. 맥스웰이 얻은 결과는 완전 타원 적분 $K, E$로 쓰인다.

$$M = \mu_0\sqrt{ab}\left[\left(\frac2k - k\right)K(k) - \frac2kE(k)\right], \quad k^2 = \frac{4ab}{(a+b)^2 + d^2}; \qquad M \approx \frac{\mu_0\pi a^2b^2}{2d^3}\ (d \gg a, b)$$

먼 거리 근사는 고리 1을 자기 쌍극자 $m = I\pi a^2$으로 보고 축 위 장 $\mu_0m/2\pi d^3$에 고리 2의 넓이 $\pi b^2$를 곱한 것이다(EM.ind.mutualLoops).

두 코일이 얼마나 단단히 묶였는지는 결합 계수(coupling coefficient)로 나타낸다.

$$k = \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}, \qquad 0 \le k \le 1$$

$k = 1$이면 한 코일의 선속이 모두 다른 코일을 지난다(이상 변압기). 공기 코일은 보통 $k$ = 0.01–0.5, 철심 변압기는 0.99 이상. $k \le 1$은 자기 에너지가 음수가 될 수 없다는 조건에서 나온다(§8.4).

SIMULATOR

같은 축의 두 고리: 결합 계수 k = 0.10 만들기

고리 2의 위쪽 끝(흰 원)을 끈다

고리 1 반지름 a 도선 반지름 먼 거리 근사(점선) 보이기

축 거리 d / 고리 2 반지름 b—

M (정확)—

M (쌍극자 근사)—

L₁ / L₂—

결합 계수 k—

위: 고리 1(왼쪽, 전류가 화면 밖 ⊙/안 ⊗)이 만든 자기력선을 축을 품은 단면에서 그렸다. 고리 2의 원판을 지나는 선은 진하게 칠했다 — 그것이 $M$이다. 아래: $M(d)$ 곡선. 해볼 것: ① 고리 2를 멀리 보내면 정확한 값이 $1/d^3$ 근사에 붙는다. 반지름의 4배 거리에서도 근사는 약 20% 크다. ② 반지름이 같은 두 고리를 맞붙이면 $k$가 커지지만, 공기 고리로는 0.5를 넘기기 어렵다. ③ $k = 0.10$(±0.005)을 만들어라. 정답은 여러 개다.

두 코일을 직렬로 이으면 각자의 선속에 상대의 선속이 더해지거나 빠진다. 코일 끝에 찍은 점(점 표기(dot convention))은 "두 전류가 모두 점 쪽으로 들어가면 선속이 서로 더해진다"는 뜻이다.

$$L_{\text{더함}} = L_1 + L_2 + 2M, \qquad L_{\text{뺌}} = L_1 + L_2 - 2M \qquad\Rightarrow\qquad M = \frac{L_{\text{더함}} - L_{\text{뺌}}}{4}$$

인덕턴스 측정기 하나로 $M$을 재는 표준 방법이다. 코일 한쪽의 연결만 바꿔 두 번 재면 된다.

$L_1$ = 10, $L_2$ = 40, 결합 계수 0.30이면 $M$ = . 직렬로 더해지게 이으면 , 반대로 이으면 . $k = 1$이고 $L_1 = L_2$이면 반대 연결은 — 선속이 완전히 상쇄되는 무유도 권선(저항기 권선, 전류 감지용)이다.

반지름 5.0 cm인 원형 고리 두 개가 같은 축 위에 10 cm 떨어져 있다. 도선 반지름은 0.50 mm. 상호 인덕턴스와 결합 계수를 구하고, 먼 거리 근사와 비교하라.

풀이 보기

전략 맥스웰 식에 $k^2 = 4ab/((a+b)^2 + d^2)$를 넣는다. 자기 인덕턴스는 $\mu_0R(\ln(8R/a_w) - 2)$.

풀이 $k^2 = 4(0.05)^2/(0.10^2 + 0.10^2) = 0.500$, $K = 1.854$, $E = 1.351$, $k = 0.7071$. $M = \mu_0(0.05)[(2.828 - 0.707)(1.854) - 2.828(1.351)] = 7.09\times10^{-9}$ H. $L = \mu_0(0.05)(\ln 800 - 2) = 0.294$ µH. 결합 계수 $= 7.09/294 = 0.024$. 근사: $\mu_0\pi(0.05)^4/(2\times0.10^3) = 12.3$ nH.

$M = 7.09$ nH, $k = 0.024$ (근사 12.3 nH는 74% 과대)

검토 거리가 반지름의 2배밖에 안 되어 쌍극자 근사가 크게 틀린다. $d$ = 20 cm에서는 정확 1.30 nH, 근사 1.54 nH로 차이가 19%로 준다. 공기 중 고리 사이 결합은 이처럼 약하다 — 무선 충전 패드가 코일을 바짝 붙이고 페라이트 판을 까는 이유다.

자기 에너지

인덕터에 전류를 키우려면 자기 유도 기전력을 거슬러 일을 해야 한다. 전류가 $i$일 때 $dt$ 동안 전원이 하는 일은 $v_Li\,dt = L\,i\,di$이고, 0에서 $I$까지 적분하면 인덕터에 저장된 에너지가 된다. 전류를 끄면 이 에너지가 회로로 되돌아 나온다(스위치를 열 때 튀는 불꽃).

$$W = \int_0^I L\,i\,di = \frac12LI^2, \qquad W = \frac12L_1I_1^2 + \frac12L_2I_2^2 + MI_1I_2$$

둘째 식은 결합된 두 코일. 어떤 $I_1, I_2$에서도 $W \ge 0$이어야 하므로($I_2/I_1 = -M/L_2$를 넣어 보라) $M^2 \le L_1L_2$, 곧 $k \le 1$이다.

L R

MINI LAB10 V 전원, 저항 R, 인덕터 L. 스위치를 닫으면 전류가 $\tau = L/R$로 커지고, 열면 다이오드를 통해 돌며 줄어든다. 막대는 전원이 준 에너지 = 저항의 열 + 자기장에 저장된 에너지. 스위치를 열면 저장된 $\tfrac12LI^2$이 모두 열로 바뀐다.

에너지는 어디에 저장되어 있을까? 회로 관점의 $\tfrac12LI^2$을 장으로 바꿔 쓸 수 있다. $\Lambda = \oint\mathbf A\cdot d\mathbf l$과 $\mathbf J = \nabla\times\mathbf H$를 쓰고 부분 적분하면 에너지가 공간에 퍼진 밀도로 나타난다.

$$W = \frac12\int_V \mathbf A\cdot\mathbf J\,dv = \frac12\int_{\text{전 공간}} \mathbf B\cdot\mathbf H\,dv, \qquad w_m = \frac12\mathbf B\cdot\mathbf H = \frac{B^2}{2\mu}\ \ [\text{J/m}^3]$$

자기 에너지 밀도(magnetic energy density). 정전 에너지 밀도 $\tfrac12\varepsilon E^2$와 짝을 이룬다. 선형 매질에서만 $\tfrac12\mathbf B\cdot\mathbf H$이고, 히스테리시스가 있으면 한 주기마다 B–H 고리 넓이만큼 열로 잃는다(7장).

거꾸로, 에너지를 먼저 계산하고 $L = 2W/I^2$로 인덕턴스를 구할 수 있다. 선속 고리가 애매한 경우에 특히 쓸모가 있다. 반지름 $a$인 도선 내부에서 $B = \mu_0I\rho/2\pi a^2$이므로 단위 길이당 내부 에너지는

$$W'_{int} = \int_0^a \frac{1}{2\mu_0}\left(\frac{\mu_0I\rho}{2\pi a^2}\right)^2 2\pi\rho\,d\rho = \frac{\mu_0I^2}{16\pi} \quad\Rightarrow\quad L'_{int} = \frac{2W'_{int}}{I^2} = \frac{\mu_0}{8\pi} = 0.05\ \mu\text{H/m}$$

도선의 크기와 상관없는 값이다. 단, 전류가 단면에 고르게 흐를 때(직류·저주파)만 성립한다. 고주파에서는 전류가 표면으로 몰려 내부 인덕턴스가 사라진다(§8.5).

바깥 도체의 흰 원을 끈다

고주파(표피 효과: 내부 전류 → 표면)

MINI LAB동축선 단면의 자기 에너지 밀도 $B^2/2\mu_0$(전류 1 A, 안 도체 반지름 1.0 mm, 색은 로그 눈금). 안 도체 속($\propto\rho^2$)과 두 도체 사이($\propto1/\rho^2$)의 에너지를 더해 $L' = 2W'/I^2$을 구한다. 바깥 반지름을 키우면 바깥 항만 $\ln(b/a)$로 천천히 는다.

자기장 1.00의 에너지 밀도는 이다. 공기가 절연 파괴되는 3 MV/m 전기장의 에너지 밀도 39.8 J/m³의 배다 — 전동기·액추에이터가 전기장이 아니라 자기장으로 힘을 내는 이유다. 이 자기장이 넓이 10인 철심 극면 사이 틈에 있으면 극면을 당기는 힘은 $F = B^2A/2\mu_0$ = (의 무게)이다.

마지막 식은 에너지로 힘을 구하는 방법에서 나온다. 틈이 $dx$만큼 벌어지면 $B$가 그대로일 때(선속 일정) 자기 에너지가 $w_mA\,dx$만큼 늘어나므로, 극면은 $F = -\partial W/\partial x|_\Lambda = -w_mA$의 힘, 곧 틈을 닫는 쪽으로 당겨진다. 전류를 일정하게 유지하는 경우에는 전원이 추가로 $2\,dW$의 일을 하므로 $F = +\partial W/\partial x|_I$로 쓰는데, 부호를 따라가면 같은 힘이 나온다. 자기력선은 "길이 방향으로 $B^2/2\mu_0$의 장력, 옆 방향으로 같은 크기의 압력"을 가진 고무줄처럼 행동한다.

안 도체 반지름 1.0 mm, 바깥 도체 안쪽 반지름 3.5 mm인 동축선(공기, 바깥 도체는 얇다)에 직류 1 A가 흐른다. 단위 길이당 자기 에너지와 인덕턴스는?

풀이 보기

전략 두 영역의 에너지를 더한다: 안 도체 속 $\mu_0I^2/16\pi$, 두 도체 사이 $B = \mu_0I/2\pi\rho$를 적분한 $\frac{\mu_0I^2}{4\pi}\ln\frac ba$.

풀이 $W'_{int} = (4\pi\times10^{-7})(1)^2/16\pi = 2.50\times10^{-8}$ J/m. $W'_{ext} = 10^{-7}\ln3.5 = 1.253\times10^{-7}$ J/m. 합 $W' = 1.503\times10^{-7}$ J/m, $L' = 2W'/I^2 = 3.01\times10^{-7}$ H/m.

$W' = 0.150$ µJ/m, $L' = 0.301$ µH/m (내부 0.050 + 외부 0.251)

검토 외부 항 $(\mu_0/2\pi)\ln(b/a)$는 6장에서 선속으로 구한 값과 같다. 수십 MHz 이상에서는 표피 효과로 내부 항이 사라져 $L' \to 0.251$ µH/m가 되고, 이것이 전송선 특성 임피던스 계산(12장)에 쓰는 값이다.

와전류, 표피 깊이, 유도 가열

변하는 자기장 속에 도선 고리가 아니라 도체 덩어리를 놓으면 어떻게 될까? 패러데이 법칙은 도체 속 모든 닫힌 경로에서 성립하므로, 도체 안에 $\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t$를 만족하는 회전 전기장이 생기고 $\mathbf J = \sigma\mathbf E$의 소용돌이 전류가 흐른다. 이것이 와전류(eddy current)(맴돌이 전류)다. 와전류는 렌츠 법칙에 따라 자기장의 변화를 거스르고, 저항 때문에 열을 낸다. 같은 현상이 쓰임새에 따라 손실(변압기 철심), 제동(전철의 와전류 브레이크), 가열(유도 가열), 차폐(전자파 차폐), 측정(와전류 센서)이 된다.

변압기·전동기 철심은 얇은 규소강판을 절연해 쌓는다. 와전류 고리가 판 두께에 갇혀 고리를 지나는 선속이 줄고(기전력 $\propto t$), 경로 저항은 그대로라 손실이 $t^2$에 비례해 준다.

그림의 손실식은 두께 $t$인 판 속 와전류를 직접 적분해 얻는다. 판 중심에서 $x$만큼 떨어진 곳의 전기장은 $E = x\,dB/dt$이고 $p = \sigma E^2$을 판 두께와 한 주기에 대해 평균하면 $\langle x^2\rangle = t^2/12$, $\langle(dB/dt)^2\rangle = \omega^2B_0^2/2$이므로 $p = \sigma\omega^2B_0^2t^2/24 = \pi^2f^2B_0^2t^2\sigma/6$이다. 이 식은 와전류가 자기장을 바꾸지 않을 만큼 판이 얇을 때만 맞다. 적층 철심(laminated core)의 판 두께(0.2–0.5 mm)가 바로 이 조건으로 정해진다.

표피 깊이: 와전류가 장을 밀어낼 때

진동수가 높거나 도체가 두꺼우면 와전류 자신의 자기장이 무시할 수 없게 된다. 표면 근처 와전류가 바깥 장의 변화를 거스르는 장을 만들어 안쪽을 가리고, 그래서 깊이 들어갈수록 장과 전류가 지수적으로 줄어든다. 줄어드는 길이가 표피 깊이(skin depth)다(유도는 10장에서 맥스웰 방정식으로 한다).

$$J(z,t) = J_0\,e^{-z/\delta}\cos(\omega t - z/\delta), \qquad \delta = \frac{1}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}$$

$\delta$만큼 들어가면 진폭은 $1/e$ = 37%, 발열 밀도($\propto J^2$)는 $e^{-2}$ = 14%로 준다. 발열의 86%가 표면에서 $\delta$ 안에서 일어난다. 위상은 깊이 $\delta$마다 1 rad씩 늦는다 — 전류가 표면에서 안쪽으로 "스며드는" 감쇠파다.

구리($\sigma = 5.96\times10^{7}$ S/m)의 표피 깊이는 6.0(log₁₀ f, 곧 )에서 , 같은 진동수에서 알루미늄은 , 비투자율 1000인 철($\sigma = 1.0\times10^{7}$)은 이다. 두께 1 µm인 구리 배선의 전류가 표면으로 몰리기 시작하는 진동수($\delta = 0.5$ µm)는 쯤이다.

진동수

재료

MINI LAB위의 코일이 두께 10 mm 판에 와전류를 유도한다. 빨간 곡선은 깊이에 따른 순간 전류 $J(z,t)$, 점선은 그 포락선 $\pm e^{-z/\delta}$, 배경의 진하기는 발열 밀도 $\propto e^{-2z/\delta}$. 진동수를 올리면 열이 표면으로 몰린다(탄소강은 퀴리 온도 아래 $\mu_r$ ≈ 100, 흑연 $\sigma$ ≈ 10⁵ S/m).

유도 가열(induction heating)은 이 원리를 그대로 쓴다. 코일에 교류를 흘려 공작물에 와전류를 만들고, 공작물 자신의 저항으로 데운다. 가열 깊이는 $\delta$로 정해지므로 표면만 굳히는 표면 담금질에는 수백 kHz, 덩어리 전체를 녹이는 용해로에는 수백 Hz–수 kHz를 쓴다. 효율을 위해 공작물 지름이 $\delta$의 몇 배 이상이 되도록 진동수를 고른다. 공작물을 직접 건드리지 않고, 진공이나 고순도 분위기 속에서도 데울 수 있다는 것이 반도체 공정에서의 장점이다.

도가니 없이 녹이는 FZ 실리콘과 유도 가열 서셉터

플로트 존(FZ) 성장은 다결정 실리콘 막대를 고주파(수 MHz) 유도 코일 고리에 통과시키며 좁은 띠만 녹였다 굳힌다. 용융대가 표면 장력으로 매달려 석영 도가니에 닿지 않으므로 산소가 거의 없는 웨이퍼를 얻는다 — 전력 소자와 검출기에 쓰는 이유다. 고체 실리콘은 상온 저항이 커서 처음에는 잘 데워지지 않기 때문에 막대 끝을 미리 데워 전도도를 올린 뒤 유도 가열로 넘어간다. SiC 에피택시와 일부 MOCVD 반응기도 흑연 서셉터를 RF 코일로 유도 가열해 1600 °C 이상을 만든다. → ProcessBook · 실리콘 웨이퍼와 세정(CZ와 FZ)

와전류로 막 두께 재기

금속막 위에 작은 코일을 띄우고 교류를 흘리면 막 속 와전류가 코일의 선속 일부를 되밀어 코일의 인덕턴스가 줄고($\Delta L < 0$), 와전류의 줄 열만큼 코일의 저항이 는다($\Delta R > 0$). 막은 "한 바퀴짜리 2차 코일"처럼 행동한다(§8.6의 반사 임피던스). 변화량은 막의 면 전도도 $\sigma t$(면저항 $R_s = 1/\sigma t$의 역수)에 따라 정해지므로, 막에 손대지 않고 두께를 잴 수 있다. 막이 표피 깊이보다 얇을 때 응답을 정하는 무차원 수는 $t/\delta$가 아니라

$$\beta = \frac{\omega\mu_0\sigma t\,a}{2} = \frac{t\,a}{\delta^2}$$

$a$는 코일 반지름. 얇은 막 속 와전류의 "$L/R$ 시간 상수" $\times\,\omega$에 해당한다. $\beta \ll 1$이면 신호가 $\sigma t$에 비례하고(대부분 $\Delta R$), $\beta \gg 1$이면 막이 완전 도체처럼 선속을 밀어내 포화한다(대부분 $\Delta L$).

1 MHz에서 구리의 표피 깊이는 65 µm이다. 반지름 5 mm 코일로 두께 1 µm($t/\delta \approx 0.015$)인 구리막을 재면, 두꺼운 구리판(완전 차폐)에 비해 신호가 얼마나 될까?

와전류 고리의 크기는 막 두께가 아니라 코일 크기 $a$로 정해진다. 고리의 인덕턴스는 $a$에 비례하고 저항은 $1/\sigma t$에 비례하므로 $\omega L/R \sim \omega\mu_0\sigma ta$이다. 아래 시뮬레이터의 임피던스 평면에서 두께에 따라 점이 반원을 그리는 것을 보라.

SIMULATOR

와전류 센서: 미지 막의 두께 맞히기

곡선 위 흰 원을 끈다

진동수 f 막 두께 t 리프트오프 g

금속

표피 깊이 δ—

β = ta/δ²—

ΔR/ωM∞—

−ΔL/M∞—

면저항 Rs—

미지 시료—

반지름 5 mm 코일(가는 고리)이 금속막 위 $g$에 떠 있다. 막이 만든 임피던스 변화 $\Delta Z = \Delta R + j\omega\Delta L$을 완전 도체판의 값 $\omega M_\infty = \omega M(a, a, 2g)$(거울상 고리)로 나눠 그렸다. 계산은 두께 $t$ 금속판의 정확한 반사 계수를 코일의 공간 주파수 성분에 대해 적분한 것(도드–디즈 방식)이다. 왼쪽: 임피던스 평면 위 두께 궤적(0 → 3 µm, 흐린 곡선은 f/3과 3f). 오른쪽: 신호 크기 $|\Delta Z|/\omega M_\infty$ 대 두께. 해볼 것: ① 진동수를 낮추면 얇은 막의 신호가 작아지지만 두께에 대해 직선에 가까워진다. ② Ta(β-Ta 박막, $\rho$ ≈ 180 µΩ·cm)로 바꾸면 신호가 거의 0이다. ③ "미지 시료 꺼내기"를 누르면 ★이 찍힌다. 두께 점을 끌어 ★에 맞춰라(±2%).

구리 CMP의 와전류 종점과 리프트오프

구리 CMP 연마기의 정반에는 작은 와전류 코일이 박혀 있어 정반이 한 바퀴 돌 때마다 웨이퍼 아래를 지나며 남은 구리 두께를 잰다. 벌크 구리(1 µm 안팎)를 깎는 동안 신호가 줄다가, 배리어(Ta/TaN)가 드러나면 면 전도도가 사실상 0이 되어 신호가 바닥에 닿는다. 진동수는 측정하려는 두께 범위에서 $\beta \sim 1$이 되도록 고른다. 패드가 닳아 코일과 막 사이 거리(리프트오프)가 줄면 같은 두께에서도 신호가 커지므로, 두께 변화(반원 궤적)와 거리 변화(원점으로 향하는 직선)의 방향 차이를 이용해 둘을 가려낸다. → CMPBook · 종점 검출과 공정 제어(와전류)

(가) 구리의 표피 깊이를 60 Hz, 1 MHz, 13.56 MHz에서 구하라. (나) 탄소강 축($\mu_r$ = 200, $\sigma = 5.0\times10^{6}$ S/m)의 표면 1.0 mm만 담금질하려면 진동수를 얼마로 해야 하나?

풀이 보기

전략 $\delta = 1/\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, 거꾸로 $f = 1/(\pi\mu\sigma\delta^2)$.

풀이 (가) $\pi\mu_0\sigma_{Cu} = \pi(4\pi\times10^{-7})(5.96\times10^{7}) = 235.3$. 60 Hz: $\delta = 1/\sqrt{60\times235.3} = 8.42$ mm. 1 MHz: 65.2 µm. 13.56 MHz: 17.7 µm. (나) $f = 1/[\pi(4\pi\times10^{-7})(200)(5.0\times10^{6})(1.0\times10^{-3})^2] = 253$ Hz.

(가) 8.42 mm, 65.2 µm, 17.7 µm (나) 약 250 Hz

검토 철은 투자율이 커서 같은 진동수에서도 구리보다 표피가 훨씬 얕다. 가열 중 퀴리 온도(약 770 °C)를 넘으면 $\mu_r \to 1$이 되어 $\delta$가 약 14배 깊어지므로, 실제 담금질 장비는 이를 감안해 수 kHz 이상을 쓴다. 60 Hz 송전선의 굵은 도선(반지름 1 cm 이상)도 이미 표피 효과를 겪는다.

변압기와 ICP: 반사 임피던스

결합된 두 코일에 진동수 $\omega$의 교류가 흐를 때, 두 전류가 모두 점 표기 쪽으로 들어가는 방향을 양으로 잡으면 페이저로

$$\tilde V_1 = j\omega L_1\tilde I_1 + j\omega M\tilde I_2, \qquad \tilde V_2 = j\omega M\tilde I_1 + j\omega L_2\tilde I_2$$

2차 쪽에 부하 $Z_L$을 달면 $\tilde V_2 = -Z_L\tilde I_2$. 둘째 식에서 $\tilde I_2 = -j\omega M\tilde I_1/(Z_L + j\omega L_2)$를 얻어 첫째 식에 넣는다.

$$Z_{in} = \frac{\tilde V_1}{\tilde I_1} = j\omega L_1 + \frac{\omega^2M^2}{Z_L + j\omega L_2}$$

둘째 항이 반사 임피던스(reflected impedance): 2차 회로가 1차 쪽에 "비쳐 보이는" 임피던스다. 2차가 열려 있으면($Z_L\to\infty$) 0이고, 2차의 저항은 1차에 저항으로, 2차의 유도성 리액턴스는 1차에 용량성(음의 리액턴스)으로 비친다. 와전류 센서의 $\Delta R > 0,\ \Delta L < 0$이 바로 이것이다.

이상 변압기(ideal transformer)는 $k = 1$이고 $L_1, L_2$가 무한히 큰 극한이다. 같은 철심을 두 코일이 공유하면 $L_2/L_1 = (N_2/N_1)^2$, $M = \sqrt{L_1L_2}$이므로 위 식에서

$$\frac{\tilde V_2}{\tilde V_1} = \frac{N_2}{N_1}, \qquad \frac{\tilde I_2}{\tilde I_1} = -\frac{N_1}{N_2}, \qquad Z_{in} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2Z_L$$

전압은 감은 수에 비례하고 전류는 반비례해 전력 $VI$는 보존된다. 임피던스는 감은 수 비의 제곱으로 변환된다 — 변압기는 임피던스 정합기다(12장의 RF 정합기, 오디오 출력 변압기).

실제 변압기에서는 $k < 1$이라 선속 일부가 다른 코일을 지나지 않는다. 위의 정확한 $Z_{in}$은 다음 등가 회로와 똑같다: 1차에 직렬인 누설 인덕턴스(leakage inductance) $(1-k^2)L_1$, 병렬인 자화 인덕턴스(magnetizing inductance) $k^2L_1$, 그리고 감은 수 비 $n_e = \sqrt{L_2/L_1}/k$인 이상 변압기. 여기에 권선 저항(동손)과 철심의 와전류·히스테리시스 손실(철손)을 더하면 전력용 변압기 모형이 된다.

결합된 두 코일. 점(•)이 찍힌 단자로 전류가 들어가면 두 선속이 더해진다.
이상 변압기의 극한: 전압비 = 감은 수 비, 임피던스 변환 = 감은 수 비의 제곱.
실제 변압기의 정확한 등가 회로. 누설 인덕턴스는 직렬로 전압을 떨어뜨리고, 자화 인덕턴스는 부하가 없어도 흐르는 자화 전류를 정한다.
ICP(유도 결합 플라스마): 유전체 창 위 코일이 1차, 창 아래 표피층에 흐르는 플라스마 전류가 한 바퀴짜리 2차다. 2차의 "부하"는 플라스마 자신의 저항이다.

결합 코일에서 ICP까지. 같은 식 $Z_{in} = j\omega L_1 + \omega^2M^2/(Z_L + j\omega L_2)$이 전력 변압기, 와전류 센서, 플라스마 코일을 모두 설명한다.

곡선 위 흰 원을 끌어 k를 바꾼다

부하 r = R_L/ωL₂

MINI LAB저항 부하를 단 결합 코일의 출력 전압을 이상 변압기 값 $nV_1$($n = \sqrt{L_2/L_1}$)로 나눈 비 $|V_2/nV_1| = kr/\sqrt{(1-k^2)^2 + r^2}$. $k$가 1에서 조금만 떨어져도 무거운 부하(작은 $r$)에서는 누설 인덕턴스 때문에 전압이 크게 처진다. 흐린 곡선은 다른 부하들.

ICP: 플라스마가 2차 코일인 변압기

유도 결합 플라스마(inductively coupled plasma, ICP) 장비는 진공 용기 위(또는 둘레)의 코일에 13.56 MHz 전류를 흘린다. 코일의 변하는 자기장이 유전체 창을 지나 용기 속에 원을 그리는 유도 전기장 $E_\phi$를 만들고(§8.1), 이 전기장이 전자를 가속해 기체를 이온화한다. 플라스마가 켜지면 전자 밀도 $n_e$에 비례하는 전도도 $\sigma_p = n_ee^2/m\nu$($\nu$는 전자–중성 충돌 진동수)를 가진 도체가 되어, 코일 쪽 표면의 두께 $\delta_p$(수 mm–수 cm) 안에 코일 전류와 반대 방향의 고리 전류가 흐른다. 이 고리를 한 바퀴짜리 2차 코일로 보면 앞의 식을 그대로 쓸 수 있다(Piejak–Lieberman 변압기 모형).

$$R_p = \frac{2\pi R}{\sigma_p\,\ell\,\delta_p}, \qquad L_2 = L_{geo} + L_e,\ \ L_e = \frac{R_p}{\nu}, \qquad P_{abs} = \frac12|\tilde I_{coil}|^2\,\text{Re}\!\left[\frac{\omega^2M^2}{R_p + j\omega L_2}\right]$$

$R$·$\ell$은 플라스마 고리의 반지름·높이. $L_e$는 전자의 관성이 전류 변화를 늦추는 효과(운동 인덕턴스). 코일 쪽 저항을 $R_{coil}$이라 하면 전력 전달 효율은 $\eta = R_{ref}/(R_{ref} + R_{coil})$이다.

밀도가 낮으면 $R_p$가 너무 커서 2차 전류가 작고, 밀도가 아주 높으면 $R_p$가 작아 2차가 "단락"되어 다시 흡수가 줄어든다. 그 사이에 반사 저항이 최대인 밀도가 있다. 정상 상태의 밀도는 흡수 전력과 손실 전력(벽으로 빠져나가는 이온–전자 쌍마다 수십 eV, $P_{loss}\propto n_e$)이 같아지는 점에서 정해진다. 코일 전류가 너무 작으면 유도 결합으로 플라스마를 유지할 수 없어, 코일 전압이 창을 통해 용량성으로 결합하는 어둡고 묽은 E 모드로 떨어진다. 전류를 올리면 밝고 짙은 H 모드로 뛰어오르는 E–H 전이가 일어나고, 내려올 때는 더 낮은 전류에서야 꺼지는 이력 현상을 보인다.

SIMULATOR

ICP 코일 설계: 효율과 코일 전압 사이

흰 원(동작점)을 손실선을 따라 끈다

코일 전류(진폭)

코일 감은 수 N

Ar 압력

전자 밀도 n_e (m⁻³)—

표피 깊이 δ_p—

반사 저항 R_ref—

효율 η—

코일 전압(진폭)—

설계 목표—

원통형 반응기(플라스마 반지름 15 cm, 높이 10 cm, 코일 반지름 17 cm), 13.56 MHz, $\nu$ ≈ 3.5×10⁶ s⁻¹/mTorr, 코일·정합기 손실 0.25 Ω/회, 손실 전력 $P_{loss} = e\,n_eu_B\,\mathcal{E}_T A_{eff}$($T_e$ = 3 eV, 이온–전자 쌍당 60 eV, $A_{eff}$ = 0.1 m²). $\delta_p$는 드루드 유전율 EM.drude로 구했다. 빨간 곡선은 흡수 전력 $P_{abs}(n_e)$, 점선은 손실 $P_{loss}(n_e)$. 흰 원은 안정한 동작점, 회색 빈 원은 불안정한 점(밀도가 조금 오르면 흡수가 손실보다 더 커져 위로 달아난다). 해볼 것: ① 코일 전류를 낮춰 두 점이 만나 사라지는 문턱(H 모드 소멸)을 찾아라. ② 감은 수를 늘리면 같은 밀도에 필요한 전류는 줄지만 코일 전압이 커진다(창 너머 용량 결합, 아킹 위험). ③ 설계 목표: 10 mTorr에서 $n_e = 1\times10^{17}$ m⁻³(±10%), 효율 ≥ 95%, 코일 전압 ≤ 3 kV를 모두 만족하는 감은 수와 전류를 찾아라.

ICP 코일의 인덕턴스 $L_1$ = 2.0 µH, 플라스마 고리의 인덕턴스(기하 + 운동) $L_2$ = 0.40 µH, 상호 인덕턴스 $M$ = 0.60 µH, 플라스마 저항 $R_p$ = 2.0 Ω이다. 13.56 MHz에서 결합 계수, 반사 임피던스, 코일 저항 0.50 Ω일 때의 전력 전달 효율, 코일의 입력 임피던스를 구하라.

풀이 보기

전략 $Z_{ref} = \omega^2M^2/(R_p + j\omega L_2)$, $\eta = R_{ref}/(R_{ref} + R_{coil})$, $Z_{in} = R_{coil} + j\omega L_1 + Z_{ref}$.

풀이 $k = 0.60/\sqrt{2.0\times0.40} = 0.671$. $\omega = 8.520\times10^{7}$ rad/s, $\omega M = 51.1$ Ω, $\omega L_2 = 34.1$ Ω, $\omega L_1 = 170.4$ Ω. $Z_{ref} = 2614/(2.0 + j34.1) = 4.48 - j76.4$ Ω. $\eta = 4.48/(4.48 + 0.50) = 0.900$. $Z_{in} = 0.50 + j170.4 + 4.48 - j76.4 = 4.98 + j94.0$ Ω.

$k = 0.67$, $Z_{ref} = 4.48 - j76.4$ Ω, $\eta = 90\%$, $Z_{in} = 5.0 + j94$ Ω

검토 플라스마가 켜지면 코일의 겉보기 인덕턴스가 170 → 94 Ω(리액턴스)으로 줄고 저항이 0.5 → 5.0 Ω로 늘어난다. 정합기는 점화 전과 후의 임피던스가 크게 달라 이를 따라가야 한다(12장). 코일 저항을 줄이는 것(은도금 구리관, 냉각수)이 곧 효율이다.

ICP 식각기의 코일, 창, 패러데이 차폐

ICP는 이온의 양(코일 전력 → 밀도)과 에너지(웨이퍼 전극의 바이어스 전력)를 따로 조절하려고 만든 고밀도 플라스마 장비다. 1–50 mTorr에서 $10^{17}$–$10^{18}$ m⁻³의 밀도를 얻는다. 코일 끝에는 수 kV의 RF 전압이 걸려 유전체 창을 통해 용량성 결합이 생기고, 이것이 창 안쪽을 깎거나 입자를 만든다. 그래서 코일과 창 사이에 패러데이 차폐(Faraday shield)를 넣는다: 반지름 방향으로 슬릿을 낸 금속판이다. 슬릿이 원을 따라 도는 와전류의 길을 끊으므로 코일의 자기장(유도 결합)은 통과하고, 판 자체는 접지된 도체라 전기장(용량 결합)은 막는다. 반경 방향 균일도는 코일을 안쪽·바깥쪽 두 구역으로 나눠 전류 비를 조절해 맞춘다. → EtchBook · 반응기: 배럴에서 ICP까지 · EtchBook · 플라스마: 식각의 재료

팹 변압기의 철손과 동손

팹의 전력은 154 kV 수전에서 22.9 kV, 다시 380/220 V로 변압기를 두 번 지난다. 변압기 손실은 이 장의 두 현상으로 나뉜다: 전압이 걸려 있는 한 늘 생기는 철손(철심의 와전류 + 히스테리시스, 적층 규소강·비정질 합금 철심으로 줄인다)과 부하 전류의 제곱에 비례하는 동손(권선의 $I^2R$). 두 손실이 같아지는 부하율에서 효율이 최대이므로, 평소 부하율과 철손·동손 비를 맞춰 변압기를 고른다. 200 MW 팹에서 효율 1%는 2 MW의 열이다. → InfraBook · 전력과 전력 품질(변압기의 두 손실)

핵심 정리

패러데이 법칙 $\mathcal{E} = \oint\mathbf E\cdot d\mathbf l = -d\Phi/dt$($N$회면 $-N\,d\Phi/dt$), 미분형 $\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t$. 경로와 면의 방향은 오른손 규칙으로 묶이고, 음의 부호가 렌츠 법칙(유도 전류는 선속 변화를 거스른다)과 에너지 보존을 담는다.
변하는 $\mathbf B$는 보존장이 아닌 회전 전기장을 만든다. 긴 솔레노이드: 안 $E_\phi = -(\rho/2)\dot B$, 밖 $-(a^2/2\rho)\dot B$. 고리의 기전력은 둘러싼 선속만으로 정해지고, 두 점 사이 전압은 경로에 따라 다르다.
운동 기전력 $\oint(\mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\mathbf l$: 레일 위 막대 $BLv$, 회전 코일 $NBA\omega\sin\omega t$. 일반 패러데이 법칙 = 변압기 기전력 + 운동 기전력. 유도 전류의 힘은 늘 운동을 거스르고, 역학적 일률 = $I^2R$.
$L = N\Phi/I$, $v_L = L\,di/dt$; 솔레노이드 $\mu N^2A/\ell$, 토로이드 $\frac{\mu N^2h}{2\pi}\ln\frac ba$, 동축 $\frac{\mu}{2\pi}\ln\frac ba$. 상호 인덕턴스는 노이만 공식으로 $M_{12} = M_{21}$. 결합 계수 $k = M/\sqrt{L_1L_2} \le 1$, 직렬 $L_1 + L_2 \pm 2M$.
자기 에너지 $W = \tfrac12LI^2 = \int\tfrac{B^2}{2\mu}dv$(1 T에서 약 0.4 MJ/m³). $L = 2W/I^2$로 내부 인덕턴스 $\mu_0/8\pi$를 얻고, 힘은 $F = -\partial W/\partial x|_\Lambda$, 극면의 자기 압력 $B^2/2\mu_0$.
도체 속 와전류는 손실(적층 판 $p = \pi^2f^2B^2t^2\sigma/6$), 제동, 가열, 차폐, 측정이 된다. 표피 깊이 $\delta = 1/\sqrt{\pi f\mu\sigma}$(Cu: 60 Hz 8.4 mm, 13.56 MHz 17.7 µm), 발열의 86%가 $\delta$ 안에서 일어난다. 얇은 막의 와전류 응답은 $\beta = ta/\delta^2$로 정해진다.
결합 코일의 입력 임피던스 $Z_{in} = j\omega L_1 + \omega^2M^2/(Z_L + j\omega L_2)$. 이상 변압기 $V_2/V_1 = N_2/N_1$, $Z_{in} = (N_1/N_2)^2Z_L$; 실제 변압기 = 누설 $(1-k^2)L_1$ + 자화 $k^2L_1$ + 이상 변압기. ICP는 플라스마 고리($R_p$, $L_{geo} + L_e$)가 2차인 변압기이고, 동작 밀도는 흡수 전력 = 손실 전력에서 정해진다.

연습문제

$\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ H/m, $\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ F/m, $g = 9.81$ m/s². 전도도: Cu $5.96\times10^{7}$, Al $3.77\times10^{7}$ S/m. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

넓이 0.020 m²인 고리에 수직으로 $B(t) = 0.30\sin(2\pi\cdot50t)$ T의 자기장이 걸려 있다. 유도 기전력의 최댓값은?

$\mathcal{E} = -A\,dB/dt$, 최댓값은 $\omega B_0A$.

$\mathcal{E}_{max} = \omega B_0A = (2\pi\times50)(0.30)(0.020) = 1.88$ V.

길이 0.25 m인 도체 막대가 0.60 T의 균일한 자기장에 수직으로 3.0 m/s로 움직인다(막대, 속도, 자기장이 서로 수직). 막대 양 끝 사이의 기전력은?

$\mathcal{E} = BLv = 0.60\times0.25\times3.0 = 0.450$ V.

100회 감은 넓이 0.010 m² 코일이 0.20 T 속에서 1800 rpm으로 돈다. 기전력의 최댓값과 실효값은?

$\omega = 2\pi\times1800/60$ rad/s, 실효값 = 최댓값/$\sqrt2$.

$\omega = 188.5$ rad/s. $\mathcal{E}_{max} = NBA\omega = 100\times0.20\times0.010\times188.5 = 37.7$ V, $\mathcal{E}_{rms} = 37.7/\sqrt2 = 26.7$ V.

반지름 2.0 cm, 단위 길이당 1000회 감은 긴 솔레노이드의 전류가 200 A/s로 늘고 있다. 축에서 5.0 cm 떨어진 곳의 유도 전기장 세기와, 그 반지름의 동축 원형 고리에 생기는 기전력의 크기는?

바깥에서 $E_\phi = (a^2/2\rho)\,dB/dt$, 기전력은 $\pi a^2\,dB/dt$ — 고리 반지름과 상관없다.

$dB/dt = \mu_0n\,dI/dt = (4\pi\times10^{-7})(1000)(200) = 0.2513$ T/s. $E_\phi = (0.020^2/(2\times0.050))(0.2513) = 1.01\times10^{-3}$ V/m. $\mathcal{E} = \pi(0.020)^2(0.2513) = 3.16\times10^{-4}$ V $= 2\pi(0.05)E_\phi$ ✓.

반지름 1.0 cm, 길이 10 cm인 공기 솔레노이드에 500회 감았다. 인덕턴스와, 2.0 A가 흐를 때 저장된 자기 에너지는?

$L = \mu_0N^2\pi r^2/\ell = (4\pi\times10^{-7})(500^2)\pi(0.01)^2/0.10 = 9.87\times10^{-4}$ H = 0.987 mH. $W = \tfrac12LI^2 = 0.5\times9.87\times10^{-4}\times4 = 1.97\times10^{-3}$ J.

안 반지름 2.0 cm, 바깥 반지름 3.0 cm, 높이 1.0 cm인 직사각 단면의 공기 토로이드에 200회 감았다. 인덕턴스는?

앙페르 법칙으로 $B = \mu_0NI/2\pi\rho$, 단면 선속 $\int_a^b Bh\,d\rho$.

$L = \frac{\mu_0N^2h}{2\pi}\ln\frac ba = (2\times10^{-7})(40000)(0.010)\ln1.5 = 3.24\times10^{-5}$ H = 32.4 µH.

$L_1$ = 10 µH, $L_2$ = 40 µH인 두 코일을 직렬로 이었더니 62 µH가 재졌다. 상호 인덕턴스와 결합 계수는? (한쪽 코일의 연결을 뒤집으면 몇 µH가 재질지도 생각해 보라.)

$62 = 10 + 40 + 2M$ → $M = 6.00$ µH. $k = 6/\sqrt{10\times40} = 0.300$. 뒤집으면 $50 - 12 = 38$ µH.

전자석의 극면(넓이 10 cm²)과 철판 사이 얇은 틈의 자기장이 1.0 T이다. 철판을 당기는 힘은?

틈이 $dx$ 벌어질 때 늘어나는 에너지 $(B^2/2\mu_0)A\,dx$.

$F = B^2A/2\mu_0 = (1.0)^2(1.0\times10^{-3})/(2\times4\pi\times10^{-7}) = 398$ N(약 41 kg의 무게).

ICP 식각기의 알루미늄 챔버 벽에서 13.56 MHz와 2 MHz(바이어스 전원) 전류의 표피 깊이는?

$\delta = 1/\sqrt{\pi f\mu_0\sigma}$. $\pi\mu_0\sigma_{Al} = 148.8$. 13.56 MHz: $1/\sqrt{13.56\times10^6\times148.8} = 2.23\times10^{-5}$ m = 22.3 µm. 2 MHz: 58.0 µm.

규소강판($\sigma = 2.0\times10^{6}$ S/m)으로 만든 60 Hz 변압기 철심의 최대 자속 밀도가 1.5 T이다. 판 두께 0.35 mm일 때 단위 부피당 와전류 손실을 구하라. 판 두께를 0.50 mm에서 0.27 mm로 바꾸면 와전류 손실은 몇 분의 1이 되나?

$p = \pi^2f^2B_0^2t^2\sigma/6$ ($t \ll \delta$ 가정: 이 강판에서 $\mu_r$ ≈ 1000이면 $\delta$ ≈ 1.5 mm).

$p = \pi^2(60)^2(1.5)^2(0.35\times10^{-3})^2(2.0\times10^{6})/6 = 3.26\times10^{3}$ W/m³(밀도 7650 kg/m³로 0.43 W/kg). 손실은 $t^2$에 비례하므로 $(0.50/0.27)^2 = 3.43$분의 1.

B = 0.80 T, 레일 간격 0.50 m, 회로 저항 0.50 Ω에서 정지해 있던 질량 0.20 kg 막대를 0.40 N으로 당긴다. 종단 속력과, 종단 속력의 90%에 이르는 시간은?

$m\dot v = F - (B^2L^2/R)v$의 해 $v = v_t(1 - e^{-t/\tau})$.

$B^2L^2/R = 0.16/0.50 = 0.32$ kg/s. $v_t = 0.40/0.32 = 1.25$ m/s, $\tau = 0.20/0.32 = 0.625$ s, $t_{90} = \tau\ln10 = 1.44$ s.

22.9 kV를 380 V로 낮추는 이상 변압기의 감은 수 비 $N_1/N_2$와, 2차 전류가 1000 A일 때 1차 전류는?

$N_1/N_2 = 22900/380 = 60.3$. $I_1 = I_2N_2/N_1 = 1000/60.3 = 16.6$ A.

13.56 MHz ICP에서 코일 $L_1$ = 1.5 µH, 플라스마 고리 $L_2$ = 0.30 µH, 결합 계수 0.60, 플라스마 저항 $R_p$ = 3.0 Ω, 코일 저항 0.40 Ω이다. 반사 저항과 전력 전달 효율은?

$M = k\sqrt{L_1L_2}$, $R_{ref} = \omega^2M^2R_p/(R_p^2 + \omega^2L_2^2)$.

$M = 0.60\sqrt{0.45}$ µH $= 0.402$ µH, $\omega M = 34.3$ Ω, $\omega L_2 = 25.6$ Ω. $R_{ref} = 34.3^2\times3.0/(9.0 + 652.9) = 5.33$ Ω. $\eta = 5.33/(5.33 + 0.40) = 93.0\%$.

철심을 꽂은 코일 위에 알루미늄 고리를 얹고 코일에 교류 스위치를 넣었더니 고리가 높이 튀어 올랐다(톰슨의 고리). 가장 알맞은 설명은?

반대 방향 전류는 서로 밀어낸다. 고리의 저항 때문에 유도 전류가 정확히 반대 위상은 아니어서 한 주기 평균 힘이 0이 아닌 척력으로 남는다. 고리에 틈을 내면 전류가 흐르지 못해 튀지 않는다.

구리 CMP 중 와전류 센서로 남은 막을 보다가 Cu가 모두 제거되고 배리어 Ta(약 10 nm, $\rho$ ≈ 180 µΩ·cm)가 드러났다. 신호는 어떻게 되나?

$\sigma t$: Cu 1 µm는 $5.96\times10^{7}\times10^{-6} = 59.6$ S, Ta 10 nm는 $5.6\times10^{5}\times10^{-8} = 5.6\times10^{-3}$ S. 비는 약 $10^{-4}$이다. 신호는 $\beta = \omega\mu_0\sigma ta/2$에 따라 정해지므로 Ta 막은 거의 보이지 않는다.

개념 확인 퀴즈

강한 네오디뮴 자석을 세운 구리관 속으로 떨어뜨리면 매우 천천히 내려온다. 이유는?

자석은 곧 종단 속도에 이르며, 이때 잃는 위치 에너지가 모두 관의 줄 열이 된다. 관에 세로로 틈을 내면 원주 방향 와전류가 끊겨 거의 자유 낙하한다.

변하는 자기장이 있는 영역에서 $\nabla\times\mathbf E \ne 0$이다. 이것이 뜻하지 않는 것은?

전하는 $\nabla\cdot\mathbf E$의 원천이다. 회전 전기장은 전하 없이도 존재하며, 장선이 시작과 끝 없이 닫힌 고리를 이룬다.

변압기 철심을 통짜 쇳덩이가 아니라 절연된 얇은 판으로 쌓는 주된 이유는?

히스테리시스 손실은 재료(규소 첨가, 결정 방향)로 줄이고, 와전류 손실은 판 두께와 전도도로 줄인다. 고주파에서는 전도도가 거의 0인 페라이트를 쓴다.

ICP 코일과 유전체 창 사이에 넣는 패러데이 차폐는 반지름 방향 슬릿이 난 접지 금속판이다. 슬릿의 역할은?

슬릿이 없는 금속판이면 판에 큰 와전류가 흘러 자기장까지 막아 버린다(완전한 2차 코일). 슬릿 방향이 와전류 방향(원주)을 가로질러야 한다.

결합 계수 $k = M/\sqrt{L_1L_2}$가 1을 넘을 수 없는 근본 이유는?

에너지 $\int B^2/2\mu\,dv \ge 0$. 이차 형식이 양의 준정부호이려면 판별식 $M^2 - L_1L_2 \le 0$. 선속이 "새는" 것은 $k < 1$인 물리적 그림일 뿐, 1을 넘지 못하는 증명은 에너지다.

구조	인덕턴스	비고
긴 솔레노이드(\(N\)회, 넓이 \(A\), 길이 \(\ell\))	\(\mu N^2A/\ell\)	끝 효과 무시(\(\ell \gg\) 반지름)
토로이드(직사각 단면 높이 \(h\), 안·밖 반지름 \(a, b\))	\(\dfrac{\mu N^2h}{2\pi}\ln\dfrac ba\)	자기장이 코어 안에만 있다
동축선(단위 길이)	\(\dfrac{\mu}{2\pi}\ln\dfrac ba\ (+\tfrac{\mu}{8\pi}\) 내부\()\)	내부 항은 저주파에서만(§8.4, 8.5)
평행 두 선(단위 길이, 반지름 \(a\), 간격 \(D\))	\(\dfrac{\mu}{\pi}\cosh^{-1}\dfrac{D}{2a}\)	\(D \gg a\)이면 \(\frac{\mu}{\pi}\ln\frac Da\)
원형 고리(반지름 \(R\), 도선 반지름 \(a\))	\(\mu_0R\left(\ln\dfrac{8R}{a} - 2\right)\)	\(R \gg a\), 외부 인덕턴스