Chapter 09

결정 속 전자의 운동

8장에서 띠 구조 $E(\vec k)$를 얻었다. 이제 그 위에서 전자가 어떻게 움직이는지 묻는다. 답은 놀랍도록 간단한 두 식이다: 속도는 띠의 기울기 $\vec v = \hbar^{-1}\nabla_{\vec k}E$이고, 외력은 $\hbar\,d\vec k/dt = \vec F$로 $\vec k$를 일정하게 민다. 그런데 이 두 식을 합치면 이상한 일이 생긴다. 전기장을 일정하게 걸어도 전자는 끝없이 가속되지 않고 제자리에서 앞뒤로 진동한다. 아래 왼쪽은 1차원 강결합 띠 위의 $k$, 오른쪽은 전기장으로 기울어진 띠 속 실공간의 전자다. 띠 위의 점이나 아래 화살표를 끌어 보자.

왼쪽 띠 위의 점 · 오른쪽 아래 전기장 화살표를 끌기

블로흐 상태로 파속을 만들고 군속도 $\vec v = \hbar^{-1}\nabla_{\vec k}E$를 유도하며, 강결합 띠에서 속도가 띠 끝에서 0이 되는 이유를 설명한다.
준고전 운동 방정식 $\hbar\,d\vec k/dt = \vec F_\text{ext}$를 일–에너지 관계로 유도하고, 결정 운동량 $\hbar\vec k$가 진짜 운동량이 아닌 이유를 말한다.
유효 질량 $m^* = \hbar^2/(d^2E/dk^2)$의 동역학적 의미와 띠 꼭대기의 음의 질량을 해석한다.
블로흐 진동의 주기 $T_B = h/(eEa)$와 진폭을 계산하고, 보통 결정에서 보이지 않고 초격자에서 보이는 이유를 산란 시간과 비교해 설명한다.
채워진 띠가 전류를 나르지 않음을 보이고, 빈자리 하나의 운동을 양전하·양의 질량을 가진 정공으로 기술한다.
자기장 속 궤도와 사이클로트론 진동수 $\omega_c = eB/m^*$를 구하고, 사이클로트론 공명으로 Si의 $m_l$·$m_t$를 읽는다.
홀 계수(한 캐리어·두 캐리어, 홀 인자)와 홀 이동도를 계산하고, 반 데르 포 식을 수치로 풀어 임의 모양 시료의 면저항과 면농도를 구한다.

파속과 군속도

완전한 결정 속 전자의 고유 상태는 블로흐 상태 $\psi_{n\vec k}(\vec r) = e^{i\vec k\cdot\vec r}u_{n\vec k}(\vec r)$다(현대물리학 12장, 8장). $|\psi|^2$는 결정 전체에 고르게 퍼져 있어 "전자가 어디 있는가"라는 질문에 답하지 않는다. 그러나 7장의 드루드 모형이 풀지 못한 수수께끼 — 전자가 이온과 매번 부딪히지 않고 수백 원자 간격을 그냥 지나가는 이유 — 의 답이 바로 여기 있다. 블로흐 상태는 주기 퍼텐셜의 정확한 정상 상태이므로, 완전한 결정에서는 전자가 산란되지 않는다. 저항은 결정의 완전함이 깨진 곳(포논, 불순물, 결함)에서만 생긴다.

입자처럼 "움직이는" 전자를 말하려면 $\vec k_0$ 근처의 블로흐 상태를 조금씩 섞어 국소화된 파속(wave packet)을 만든다.

$$\Psi(x,t) = \sum_k g(k - k_0)\,\psi_k(x)\,e^{-iE(k)t/\hbar}, \qquad \Delta k \ll \frac{\pi}{a} \;\Rightarrow\; \Delta x \gg a$$

$g$는 폭 $\Delta k$인 봉우리 함수. $E(k) \approx E(k_0) + (k - k_0)\,dE/dk$로 전개하면 포락선이 $x - (dE/dk)t/\hbar$의 함수가 된다 — 포락선이 일정한 속도로 움직인다.

군속도

$$\vec v(\vec k) = \frac{1}{\hbar}\nabla_{\vec k}E(\vec k) \qquad (\text{1차원: } v = \frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk})$$

띠 $n$의 상태 $\vec k$에 있는 전자의 평균 속도는 띠의 기울기다. 이것이 파속의 군속도(group velocity)이며, 5장 포논의 $v_g = d\omega/dk$와 같은 식($E = \hbar\omega$)이다. 3차원에서 $\vec v$는 등에너지면에 수직이다. 자유 전자($E = \hbar^2k^2/2m$)이면 $\vec v = \hbar\vec k/m$로 익숙한 결과가 나온다.

블로흐 상태는 진폭이 모든 단위 세포에서 같으므로 위치가 정해지지 않는다. 폭 $\Delta k$의 $k$를 섞은 파속은 $\Delta x \sim 1/\Delta k$ 안에 모이고, 포락선(점선)이 군속도로 움직인다. $\Delta k \ll \pi/a$이면 $\Delta x \gg a$이므로 "전자의 위치"는 원자 간격보다 훨씬 거칠게만 정의된다 — 이것이 준고전 모형이 성립하는 조건이다.

8장의 1차원 강결합 띠 $E(k) = E_0 - 2t\cos ka$($t$: 호핑 적분, 띠 폭 $W = 4t$)에 적용하면

$$v(k) = \frac{2ta}{\hbar}\sin ka, \qquad v_\text{max} = \frac{2ta}{\hbar}\ \ (k = \pm\pi/2a)$$

띠 바닥($k = 0$)과 꼭대기($k = \pm\pi/a$)에서 $v = 0$. 꼭대기의 상태는 브래그 반사로 생긴 정상파이므로 움직이지 않는다(5장 포논의 영역 경계와 같은 이유). 속도가 가장 큰 곳은 띠의 한가운데다.

바닥 근처에서는 $E \approx E_0 - 2t + ta^2k^2$이므로 자유 전자와 같은 꼴 $\hbar^2k^2/2m^*$이고, 바닥의 유효 질량은 $m^*_0 = \hbar^2/(2ta^2)$다. 호핑이 크고($t$ 큼) 원자가 촘촘할수록 전자가 가볍다. 아래 미니 실험에서 파속을 직접 만들어 띠 위의 $k_0$를 옮겨 보자. 파속이 퍼지는 빠르기는 띠의 곡률, 곧 $1/m^*$에 비례한다는 점도 함께 보인다.

위쪽 띠 위의 흰 점을 끌어 k₀ 선택

MINI LAB원자 140개짜리 강결합 사슬에서 블로흐 상태 31개를 가우스 무게로 더해 만든 파속 $|\Psi|^2$(막대). 주황 삼각형은 군속도 $v = (2ta/\hbar)\sin k_0a$로 움직이는 표지다. $k_0 = \pi/2a$에서 가장 빠르고, 바닥·꼭대기에서는 제자리다. $k_0 = \pi/2a$(변곡점, $m^* = \infty$)에서는 파속이 거의 퍼지지 않고, 바닥에서는 빠르게 퍼진다.

호핑 적분 0.50, 원자 간격 0.30인 1차원 강결합 띠의 폭은 $4t =$ , 최대 군속도는 $v_\text{max} = 2ta/\hbar =$ , 바닥의 유효 질량은 $m^*_0 = \hbar^2/2ta^2 =$ 이다.

$t = 0.50$ eV, $a = 0.30$ nm인 1차원 강결합 띠가 있다. (a) 최대 군속도와 그때의 $k$, (b) 바닥의 유효 질량 $m^*_0$, (c) $k = \pi/4a$인 상태의 속도와 그 점의 곡률로 정한 유효 질량을 구하라. $\hbar = 1.0546\times10^{-34}$ J·s, $m_e = 9.109\times10^{-31}$ kg.

풀이 보기

전략 $v = (2ta/\hbar)\sin ka$, 곡률 $d^2E/dk^2 = 2ta^2\cos ka$에서 $m^*(k) = \hbar^2/(2ta^2\cos ka) = m^*_0/\cos ka$.

풀이 $t = 0.50\times1.602\times10^{-19} = 8.01\times10^{-20}$ J. (a) $v_\text{max} = 2\times8.01\times10^{-20}\times3.0\times10^{-10}/1.0546\times10^{-34} = 4.56\times10^5$ m/s, $k = \pi/2a$. (b) $m^*_0 = (1.0546\times10^{-34})^2/(2\times8.01\times10^{-20}\times9.0\times10^{-20}) = 7.71\times10^{-31}$ kg $= 0.847\,m_e$. (c) $v = 4.56\times10^5\sin45^\circ = 3.22\times10^5$ m/s, $m^* = 0.847/\cos45^\circ = 1.20\,m_e$.

(a) v_max = 4.56×10⁵ m/s (k = π/2a) (b) m*₀ = 0.847 mₑ (c) v = 3.22×10⁵ m/s, m* = 1.20 mₑ

검토 띠 폭 2 eV, 간격 0.3 nm는 보통 금속·반도체의 규모이고, $v_\text{max} \approx 4.6\times10^7$ cm/s는 실리콘의 포화 속도 $10^7$ cm/s보다 4배쯤 크다. 실제 전자는 띠 한가운데까지 가속되기 전에 광학 포논을 내놓고 멈춘다(11장).

준고전 운동 방정식과 유효 질량

외력은 k를 민다

파속에 외력 $F$(전기장이면 $F = -eE$)가 작용하면 짧은 시간 $dt$ 동안 하는 일 $Fv\,dt$만큼 파속의 에너지가 바뀐다. 파속의 에너지는 $E(k)$이므로

$$dE = \frac{dE}{dk}\,dk = F\,v\,dt = F\,\frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \hbar\frac{d\vec k}{dt} = \vec F_\text{ext} = -e\left(\vec E + \vec v\times\vec B\right)$$

3차원에서도 같은 꼴이 성립한다(엄밀한 유도는 Ashcroft–Mermin 12장). 오른쪽에는 외력만 들어간다. 이온의 주기 퍼텐셜이 주는 힘은 이미 $E(\vec k)$라는 띠 모양 속에 들어 있다.

이 두 식 — $\vec v = \hbar^{-1}\nabla_{\vec k}E$와 $\hbar\dot{\vec k} = \vec F_\text{ext}$ — 을 준고전 모형(semiclassical model)이라 한다. "준"이 붙는 이유는 띠 구조 $E(\vec k)$는 양자역학으로 구하고, 그 위의 운동은 고전 입자처럼 다루기 때문이다. 조건은 둘이다: 외부장이 원자 간격에 비해 천천히 변해야 하고(파속이 $a$보다 커야 하므로), 띠 사이 간격 $E_g$에 비해 약해야 한다(다른 띠로 넘어가는 제너 터널링이 없어야 하므로: $eEa \ll E_g^2/W$).

결정 운동량은 운동량이 아니다

$\hbar\dot{\vec k} = \vec F$는 뉴턴 법칙 $\dot{\vec p} = \vec F$와 똑같이 생겼다. 그래서 $\hbar\vec k$를 결정 운동량(crystal momentum)이라 부르지만, 전자의 진짜 운동량은 아니다. 블로흐 상태는 운동량 연산자 $-i\hbar\nabla$의 고유 상태가 아니며($u_{\vec k}$가 위치에 따라 변하므로), 전자의 실제 평균 운동량은 $m_e\vec v$다. 둘의 차이는 다음 세 가지로 드러난다.

진짜 운동량 $m_e\vec v$

전자에 작용하는 모든 힘(외력 + 격자 이온의 힘)의 합으로 변한다. $\vec k$가 일정하게 늘어도 $m_e v$는 늘었다 줄었다 한다 — 격자가 반대 방향으로 밀기 때문이다.

결정 운동량 $\hbar\vec k$

외력으로만 변하고, 역격자 벡터 $\hbar\vec G$만큼의 차이는 같은 상태다. $k$가 영역 경계 $\pi/a$에 닿으면 $-\pi/a$에서 다시 나타난다(브래그 반사: 격자가 $\hbar G$를 한꺼번에 가져간다). 충돌에서는 $\hbar\vec G$를 빼고 보존된다(6장 움클랍).

같은 힘을 계속 받을 때 자유 전자는 끝없이 빨라지지만, 강결합 띠의 전자는 $v = v_\text{max}\sin(Fat/\hbar)$로 빨라졌다가 느려지고 뒤로 간다. 곡선 기울기 $dv/dt = F/m^*$가 유효 질량이다. 띠 위쪽 절반에서 $m^* < 0$이 되는 것은 격자가 외력보다 더 세게 전자를 뒤로 밀기 때문이다.

유효 질량의 동역학적 의미

속도를 시간으로 미분하면 $\dot v = \hbar^{-1}(d^2E/dk^2)\dot k = \hbar^{-2}(d^2E/dk^2)F$. 뉴턴 법칙 $F = m\dot v$와 견주면

$$\frac{dv}{dt} = \frac{F_\text{ext}}{m^*}, \qquad \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2}, \qquad \text{강결합: } m^*(k) = \frac{\hbar^2}{2ta^2\cos ka} = \frac{m^*_0}{\cos ka}$$

유효 질량(effective mass)은 "외력만 알 때 가속도를 맞히려면 질량이 얼마여야 하는가"에 대한 답이다. 격자의 힘을 질량 속에 숨긴 장부다. 3차원에서는 방향마다 다른 텐서가 되고, 가속도가 힘과 나란하지 않을 수 있다 — 8장의 유효 질량 텐서.

$|k| < \pi/2a$(띠 아래쪽 절반)에서 $m^* > 0$, $|k| = \pi/2a$(변곡점)에서 $m^* = \pm\infty$, $|k| > \pi/2a$(위쪽 절반)에서 $m^* < 0$이다. 음의 질량은 "앞으로 밀면 뒤로 가속된다"는 뜻이다. 에너지로 보면 당연하다: 띠 꼭대기 근처에서 외력이 일을 해 에너지를 올리면 전자는 더 꼭대기(속도 0인 정상파)로 다가가므로 느려질 수밖에 없다.

강결합 띠에서 $k = 0.8\pi/a$(띠 위쪽)에 있는 전자를 +x 방향으로 잠깐 민다($\Delta k > 0$). 전자의 속도는?

$v = v_\text{max}\sin ka$는 $ka = 0.8\pi$에서 감소하는 구간이다. $\Delta k > 0$이면 $\Delta v < 0$ — $m^* = m^*_0/\cos(0.8\pi) = -1.24\,m^*_0$인 음의 질량. 아래에서 직접 밀어 보라.

띠 위의 흰 점을 끌어 k 선택

MINI LAB버튼을 누르면 $+x$(또는 $-x$) 방향 힘이 0.5초 동안 작용해 $k$를 $0.15\pi/a$만큼 민다. 아래 화살표는 밀기 전(흐린 것)과 뒤의 속도다. 띠 아래쪽 절반에서는 미는 방향으로, 위쪽 절반에서는 반대 방향으로 속도가 바뀐다. 아래 막대 그래프의 $1/m^*$는 곡률이다.

앞 예제의 띠($t = 0.50$ eV, $a = 0.30$ nm)에서 $k = 0.75\pi/a$에 있는 전자에 전기장이 $-x$ 방향으로 $1.0\times10^5$ V/cm 걸려 있다(전자가 받는 힘은 $+x$). (a) 이 순간 전자의 속도와 유효 질량, (b) 가속도의 방향, (c) 전자가 영역 경계 $k = \pi/a$에 닿을 때까지 걸리는 시간을 구하라.

풀이 보기

전략 $v = v_\text{max}\sin ka$, $m^* = m^*_0/\cos ka$, $\Delta t = \hbar\Delta k/F$. $F = eE = 1.602\times10^{-19}\times10^7 = 1.60\times10^{-12}$ N.

풀이 (a) $v = 4.56\times10^5\times\sin(0.75\pi) = 3.22\times10^5$ m/s($+x$), $m^* = 0.847/\cos(0.75\pi) = 0.847/(-0.707) = -1.20\,m_e$. (b) $\dot v = F/m^* < 0$: 힘은 $+x$인데 가속도는 $-x$ — 전자가 느려진다. (c) $\Delta k = 0.25\pi/a$, $\Delta t = \hbar\Delta k/F = 1.0546\times10^{-34}\times0.25\pi/(3.0\times10^{-10}\times1.602\times10^{-12}) = 1.72\times10^{-13}$ s.

(a) v = +3.22×10⁵ m/s, m* = −1.20 mₑ (b) −x 방향(감속) (c) 0.172 ps

검토 0.17 ps 뒤 전자는 $k = \pi/a$에서 멈추고($v = 0$), 이어서 $-\pi/a$로 넘어가 $-x$로 움직인다. 0.17 ps는 실리콘 전자의 운동량 완화 시간(약 0.2 ps)과 같은 규모다. 실제로는 이보다 훨씬 먼저 포논을 내놓아 띠 바닥으로 떨어진다.

블로흐 진동

일정한 전기장 $E$를 걸면 전자가 받는 힘 $F = eE$(크기)가 일정하므로 $k$는 시간에 정비례해 늘어난다: $k(t) = k(0) + Ft/\hbar$. $k$가 영역 경계 $\pi/a$에 닿으면 $-\pi/a$로 다시 나타나 같은 일을 되풀이한다. 영역 폭 $2\pi/a$를 한 번 지나는 데 걸리는 시간이 주기다.

블로흐 진동

$$T_B = \frac{2\pi\hbar/a}{eE} = \frac{h}{eEa}, \qquad \omega_B = \frac{eEa}{\hbar}, \qquad x(t) = x_0 - \frac{2t}{eE}\cos\omega_Bt, \qquad \text{진폭(끝에서 끝)} \; L = \frac{W}{eE}$$

완전한 결정에 일정한 전기장을 걸면 전자는 표류하지 않고 제자리에서 진동한다. 이것이 블로흐 진동(Bloch oscillation)이다. 진폭은 에너지 보존에서 바로 나온다: 띠 폭 $W$만큼의 에너지밖에 가질 수 없는 전자가 퍼텐셜 $-eEx$를 따라 내려가 얻을 수 있는 거리는 $W/eE$뿐이다.

양자역학적으로 보면, 기울어진 띠 속의 상태는 연속 띠가 아니라 간격 $\hbar\omega_B = eEa$인 등간격 준위들로 갈라진다. 이를 와니어–슈타르크 사다리(Wannier–Stark ladder)라 한다. 등간격 준위에 걸친 파속은 주기 $2\pi/\omega_B$로 되돌아오며, 이것이 블로흐 진동의 양자 그림이다.

주기 0.5인 결정에 10.0의 전기장을 걸면 블로흐 주기는 $T_B = h/eEa =$ (진동수 )다. 산란 시간이 0.10이면 $\omega_B\tau =$ .

왜 보통 결정에서는 보이지 않는가

문제는 산란이다. 전자는 평균 $\tau$마다 포논·불순물과 부딪혀 $k$를 잃고 띠 바닥 근처로 돌아간다. 블로흐 진동이 보이려면 한 주기를 다 돌기 전에 부딪히지 않아야 한다: $\omega_B\tau \gtrsim 1$. 실리콘 상온에서 $\tau \approx 0.1$–0.2 ps(이동도에서 $\tau = \mu m^*/e$)인데, $a = 0.5$ nm, $E = 10$ kV/cm이면 $T_B = 8.3$ ps — 산란 시간의 50배가 넘는다. $\omega_B\tau = 1$을 만들려면 $E \approx 1.3\times10^5$ V/cm($\tau = 0.1$ ps)이 필요한데, 그 전에 두 가지가 먼저 일어난다. 띠 한가운데까지 가속되려면 전자가 eV 단위 에너지를 얻어야 하지만, 실리콘 전자는 63 meV만 얻어도 광학 포논을 내놓고 떨어진다(실효 $\tau$가 수십 fs로 줄어든다). 그리고 $3\times10^5$ V/cm 근처에서 충돌 이온화로 애벌란치 항복이 시작된다.

산란이 잦으면 각 전자는 바닥에서 출발해 $\tau$ 남짓 가속되다가 다시 바닥으로 돌아가기를 반복한다. 이 평균이 7장의 옴의 법칙이다. 산란 시간의 지수 분포에 대해 평균을 내면 에사키–추 표류 속도(Esaki–Tsu drift velocity)를 얻는다.

$$\langle v\rangle = v_\text{max}\,\frac{\omega_B\tau}{1 + (\omega_B\tau)^2} \;\xrightarrow{\;\omega_B\tau\,\ll\,1\;}\; \frac{e\tau}{m^*_0}E = \mu E$$

약한 전기장에서는 이동도 $\mu = e\tau/m^*_0$인 옴의 법칙, $\omega_B\tau = 1$에서 최대, 그보다 센 전기장에서는 전기장을 올릴수록 표류 속도가 줄어든다(음의 미분 이동도). 전자가 바닥으로 돌아가기 전에 띠 위쪽(음의 질량)까지 올라가 되돌아오기 때문이다.

반도체 초격자(superlattice)는 GaAs 우물과 AlGaAs 장벽을 주기 $d$로 쌓은 인공 결정이다. 우물 사이 터널링으로 폭이 좁은 미니띠(miniband)가 생긴다. 주기가 원자 간격보다 20배 크므로 같은 전기장에서 $T_B$가 20배 짧아지고, 저온 고순도 시료의 $\tau$(ps)보다 짧아진다.

그래서 블로흐 진동은 1928년 블로흐의 예측 이후 60년 넘게 관측되지 않다가, 에사키와 추가 1970년에 제안한 초격자에서 처음 보였다. 1992년 펠트만 등은 GaAs/AlGaAs 초격자의 사광파 혼합 신호에서 진동을 보았고, 1993년 바슈케 등은 진동하는 전자가 내는 THz 전자기파(주기 수백 fs)를 직접 검출했다. 1996년에는 광격자 속 냉각 원자에서도 관측되었다. 아래 실험대에서 이 차이를 직접 만들어 보자.

전자 수십 개가 한 띠에 있고 일정한 전기장을 받는다. 산란 시간 $\tau$를 블로흐 주기보다 훨씬 짧게($\omega_B\tau \ll 1$) 하면 전자 집단의 평균 위치는?

자주 부딪히는 전자는 띠 바닥 근처에서만 움직여 진동 한 주기를 다 돌지 못한다. 가속 → 산란 → 가속이 되풀이되며 계단식으로 내려가는 것이 표류(옴의 법칙)다. 기울어진 띠 그림에서 전자가 "계단을 내려가는" 모습을 보라.

SIMULATOR

블로흐 진동 실험대: 진동이 보이게 만들어라

흰 점을 좌우로 끌어 전기장

시료

전기장 E 산란 시간 τ

블로흐 주기 T_B—

ω_Bτ—

평균 속도 ⟨v⟩/v_max—

도전: 현실 조건에서 ω_Bτ ≥ 3—

전자 40개의 몬테카를로 계산. 위: 전기장으로 기운 띠(두 사선 사이가 띠)와 실공간 전자. 전자는 총에너지가 일정한 수평선 위를 움직이다가, 산란되면(반짝임) 그 자리의 띠 바닥으로 떨어진다. 가로 길이 단위는 진폭 $L = W/eE$. 아래 왼쪽: 띠 위의 $k$. 아래 오른쪽: 에사키–추 곡선(선)과 몬테카를로 평균(속 빈 원). 화면 시간은 자동으로 늘이거나 줄인다. 해볼 것: ① 보통 결정, $\tau = 0.1$ ps에서 전기장을 올려 보라 — 항복 전기장(빨간 영역) 전에는 $\omega_B\tau$가 3에 못 미친다. ② $\tau$를 10 ps로 올리면 진동이 보이지만 상온 결정에서는 비현실적이다(판정 참고). ③ 초격자로 바꾸고 $\tau = 1$ ps, 10 kV/cm로 두면 모든 전자가 함께 진동한다. 전기장을 키울수록 ⟨v⟩가 오히려 줄어드는 구간도 찾아라.

(a) 주기 $a = 0.50$ nm인 결정에 $E = 1.0\times10^4$ V/cm를 걸었을 때 $T_B$와 $\omega_B\tau$($\tau = 0.10$ ps)를 구하라. (b) 주기 $d = 10$ nm, 미니띠 폭 $W = 20$ meV인 초격자에 같은 전기장을 걸었을 때 $T_B$, 진동수, $\omega_B\tau$($\tau = 1.0$ ps), 진폭 $L$을 구하라.

풀이 보기

전략 $T_B = h/(eEa)$에서 $eEa$를 eV로 계산하면 $h = 4.136\times10^{-15}$ eV·s로 바로 나눈다. $E = 10^4$ V/cm $= 10^6$ V/m. $L = W/eE$.

풀이 (a) $eEa = 10^6\times0.5\times10^{-9} = 5.0\times10^{-4}$ eV, $T_B = 4.136\times10^{-15}/5.0\times10^{-4} = 8.27\times10^{-12}$ s. $\omega_B\tau = 2\pi\times0.10/8.27 = 0.076$. (b) $eEd = 10^6\times10^{-8} = 0.010$ eV, $T_B = 4.14\times10^{-13}$ s, $f_B = 2.42$ THz, $\omega_B\tau = 2\pi\times1.0/0.414 = 15.2$. $L = 0.020\ \text{eV}/(10^6\ \text{eV/m}) = 2.0\times10^{-8}$ m $= 20$ nm.

(a) T_B = 8.27 ps, ω_Bτ = 0.076 (표류) (b) T_B = 0.414 ps, f_B = 2.42 THz, ω_Bτ = 15, L = 20 nm (진동)

검토 초격자에서는 전자가 진폭 20 nm — 주기 두 개 — 를 오가며 2.4 THz로 진동하는 쌍극자가 되므로 THz 빛을 낸다. 바슈케 등(1993)의 측정이 바로 이 규모였다. 결정에서는 한 주기의 13분의 1도 못 돌고 산란된다.

채워진 띠와 정공

채워진 띠는 전류를 나르지 않는다

띠 하나에 들어 있는 전자의 전류 밀도는 점유된 상태의 속도를 모두 더한 것이다: $\vec J = -\frac{e}{V}\sum_{\text{점유}}\vec v(\vec k)$. 결정에는 반전 대칭이 없어도 시간 반전 대칭 때문에 $E(\vec k) = E(-\vec k)$이고, 따라서 $\vec v(-\vec k) = -\vec v(\vec k)$다. 띠가 완전히 차 있으면 $\vec k$와 $-\vec k$가 짝을 지어 상쇄되므로 $\vec J = 0$이다.

전기장을 걸어도 마찬가지다. 모든 전자의 $\vec k$가 같은 빠르기로 밀리지만, 영역 경계를 넘은 전자는 반대편에서 다시 들어오므로 띠는 여전히 꽉 차 있다. 꽉 찬 띠는 어떤 힘을 받아도 전류를 내지 못한다 — 이것이 띠 간격이 큰 물질이 절연체인 이유다. 전류는 일부만 찬 띠에서만 흐른다.

빈자리 하나 = 양전하 하나

이제 꽉 찬 띠에서 $\vec k_e$의 전자 하나를 뺀다. 남은 전자들의 전류는 $\vec J = -\frac{e}{V}\sum_{\vec k\neq\vec k_e}\vec v(\vec k) = -\frac{e}{V}\left[\sum_\text{전체}\vec v - \vec v(\vec k_e)\right] = +\frac{e}{V}\vec v(\vec k_e)$. 남은 $N-1$개 전자 전체의 전류가, 빈자리의 속도로 움직이는 양전하 $+e$ 하나의 전류와 정확히 같다. 이 빈자리를 입자로 본 것이 정공(hole)이다.

꽉 찬 띠: 모든 $k$에 전자가 있다. $v(k) = -v(-k)$이므로 전류의 합은 0이다.
$k_e$의 전자를 빼면 그 짝인 $-k_e$ 전자의 속도가 상쇄되지 않고 남는다. 남은 전자 전체의 전류는 $+e\,v(k_e)/V$ — 빈자리 속도로 움직이는 양전하 하나와 같다.
전기장 속에서 모든 전자가 같은 $\Delta k$로 밀리므로 빈자리도 전자와 똑같이 $\hbar\dot k_e = -eE$로 움직인다.
정공의 결정 운동량은 $k_h = -k_e$(빠진 전자가 가져간 $k$의 반대), 에너지는 $-E_e$(띠 꼭대기에서 아래로 멀수록 높다), 속도는 $v_e(k_e)$와 같고, 운동 방정식은 $\hbar\dot k_h = +e(\vec E + \vec v\times\vec B)$. 띠 꼭대기의 음의 질량 $m^*$은 정공의 양의 질량 $m_h = -m^* > 0$이 된다.

"남은 전자 전체 = 정공 하나". 띠 꼭대기 근처의 빈자리 몇 개만 신경 쓰면 되므로, 거의 찬 가전자대를 $10^{22}$개의 전자 대신 소수의 양전하 입자로 다룰 수 있다.

정공의 성질을 정리하면 다음 표와 같다. 핵심은 정공이 양전하이면서 띠 꼭대기에서 양의 질량을 가진 보통 입자처럼 행동한다는 것이다. 띠 꼭대기에서 전자의 $m^* < 0$과 전하 $-e$가 둘 다 부호를 바꾸므로 가속 방향($\dot v = F/m$)은 그대로다. 그래서 전기장 속에서 정공은 전기장 방향으로, 전자는 반대 방향으로 움직이지만 전류는 둘 다 전기장 방향으로 흐른다.

양	빠진 전자($\vec k_e$)	정공
결정 운동량	$\vec k_e$	$\vec k_h = -\vec k_e$
에너지	$E_e(\vec k_e)$	$E_h = -E_e$ (띠 꼭대기 기준 아래로 잴수록 크다)
속도	$\vec v_e(\vec k_e)$	$\vec v_h = \vec v_e(\vec k_e)$ (같다)
전하	$-e$	$+e$
유효 질량(띠 꼭대기)	$m^* < 0$	$m_h = -m^* > 0$
운동 방정식	$\hbar\dot{\vec k}_e = -e(\vec E + \vec v\times\vec B)$	$\hbar\dot{\vec k}_h = +e(\vec E + \vec v\times\vec B)$

띠 위의 상태를 눌러 전자를 빼거나 넣기

전기장 힘 (−eE)

MINI LAB상태 20개짜리 띠. 처음엔 꼭대기 하나만 비어 있다. 전기장을 켜면 모든 전자가 함께 밀리고 빈자리도 따라 움직인다. 아래 막대: 왼쪽은 남은 전자 전체의 전류 $-e\sum_\text{점유}v$, 오른쪽은 빈자리를 양전하로 본 전류 $+e\sum_\text{빈자리}v$다. 빈자리를 몇 개 만들어도 두 막대는 언제나 같다. 모두 채우면 둘 다 0.

$t = 0.50$ eV, $a = 0.30$ nm 강결합 띠($E = -2t\cos ka$, 꼭대기 $+1.00$ eV)가 $k_e = 0.90\pi/a$의 전자 하나만 빠진 채 차 있다. 정공의 (a) 결정 운동량 $k_h$, (b) 띠 꼭대기에서 잰 에너지, (c) 속도, (d) 유효 질량을 구하라.

풀이 보기

전략 표의 규칙: $k_h = -k_e$, 에너지는 꼭대기에서 아래로 잰 값, $v_h = v_e(k_e)$, $m_h = -m^*(k_e) = -m^*_0/\cos k_ea$.

풀이 (a) $k_h = -0.90\pi/a$. (b) $E_e = -2(0.50)\cos(0.9\pi) = 0.951$ eV → 꼭대기에서 $1.000 - 0.951 = 0.049$ eV 아래, 곧 정공 에너지 49 meV. (c) $v_h = 4.56\times10^5\sin(0.9\pi) = 1.41\times10^5$ m/s($+x$). (d) $m_h = -0.847/\cos(0.9\pi) = 0.847/0.951 = 0.890\,m_e$.

(a) k_h = −0.90π/a (b) 49 meV (c) 1.41×10⁵ m/s (+x) (d) m_h = +0.890 mₑ

검토 $k_h$는 $-x$ 쪽인데 정공 속도는 $+x$ — 이상해 보이지만, 정공 띠는 위아래가 뒤집힌 띠이므로 $v_h = \hbar^{-1}dE_h/dk_h$를 계산하면 $+x$가 맞다. 꼭대기 근처라 정공 질량이 바닥의 전자 질량 0.847과 거의 같다(강결합 띠는 위아래 대칭).

실제 반도체의 가전자대 꼭대기는 Γ점에서 무거운 정공·가벼운 정공 띠가 겹쳐 있고 방향마다 질량이 다르다(8장 실제 반도체의 띠 구조). 이 장의 결론 — 빈자리의 운동은 양전하 입자 하나의 운동이다 — 은 띠 모양과 상관없이 성립한다.

자기장 속의 운동과 사이클로트론 공명

등에너지면 위의 궤도

자기장만 있으면 준고전 방정식은 $\hbar\dot{\vec k} = -e\,\vec v\times\vec B$다. 오른쪽이 $\vec v$에도, $\vec B$에도 수직이므로 두 가지가 곧바로 나온다.

$\dot{\vec k}\perp\vec v = \hbar^{-1}\nabla_{\vec k}E$이므로 $dE/dt = \nabla_{\vec k}E\cdot\dot{\vec k} = 0$: 전자는 등에너지면 위에 머문다. 자기력은 일을 하지 않는다.
$\dot{\vec k}\perp\vec B$이므로 $\vec B$ 방향의 $k$ 성분이 일정하다.

그러므로 $k$ 공간 궤도는 등에너지면과 $\vec B$에 수직인 평면의 교선이다. 운동 방정식을 시간으로 적분하면 $\hbar\Delta\vec k = -e\,\Delta\vec r\times\vec B$이므로, 실공간 궤도($\vec B$에 수직인 성분)는

$$\Delta\vec r_\perp = -\frac{\hbar}{eB}\,\hat B\times\Delta\vec k$$

실공간 궤도는 $k$ 공간 궤도를 90° 돌리고 $\hbar/eB$배로 늘린 모양이다. $\hbar/e = 6.58\times10^{-16}$ T·m²이므로, $k \sim 1$ nm⁻¹ 크기의 궤도는 1 T에서 지름 1 µm 남짓의 실공간 원이 된다.

궤도를 한 바퀴 도는 시간을 계산하면, $k$ 공간 궤도가 둘러싼 넓이 $A(E)$의 에너지 미분이 나온다(온사거–립시츠 관계):

$$T_c = \frac{\hbar^2}{eB}\frac{\partial A}{\partial E} = \frac{2\pi m_c}{eB}, \qquad m_c \equiv \frac{\hbar^2}{2\pi}\frac{\partial A}{\partial E}, \qquad \omega_c = \frac{eB}{m_c}$$

사이클로트론 질량(cyclotron mass) $m_c$는 궤도 전체의 평균 성질이다. 포물선 띠 $E = \hbar^2k^2/2m^*$이면 $A = \pi k^2 = 2\pi m^*E/\hbar^2$이므로 $m_c = m^*$, 사이클로트론 진동수(cyclotron frequency) $\omega_c = eB/m^*$가 되어 자유 입자의 결과와 같다.

8장의 2차원 정사각 격자 강결합 띠 $E = -2t(\cos k_xa + \cos k_ya)$에서는 궤도 모양이 에너지에 따라 극적으로 바뀐다. 바닥 근처는 원(질량 $m^*_0$), 반 채움($E = 0$)에 다가가면 마름모가 되며 안장점 X에서 전자가 오래 머물러 주기가 무한히 길어진다. $E > 0$이면 궤도가 M점(영역 모서리)을 둘러싸는데, 이때 전자는 반대 방향으로 돈다 — 양전하처럼 도는 정공형 궤도(hole-like orbit)다. 7장에서 자유 전자 모형이 설명하지 못한 Be·Zn·Cd·Al(강한 자기장)의 양의 홀 계수가 바로 페르미 면의 정공형 궤도에서 나온다.

유효 질량 0.067인 전자가 1.0의 자기장 속에 있으면 사이클로트론 진동수는 $f_c = eB/2\pi m^* =$ (파장 의 전자기파와 공명)다. 이동도가 8000이면 $\tau = \mu m^*/e =$ , $\omega_c\tau = \mu B =$ .

2차원 강결합 띠에서 $B$를 그대로 두고 궤도 에너지를 띠 바닥에서 위로 올려 $E = 0$을 넘긴다. 궤도는 어떻게 변할까?

$m_c = (\hbar^2/2\pi)\,\partial A/\partial E$는 $E$가 안장점 에너지에 다가가면 로그 발산한다. 그 위에서는 $E$보다 높은 상태가 M점 둘레에 남아 그 경계를 따라 도는 정공형 궤도가 되며, $k$ 공간·실공간 모두 회전 방향이 바뀐다.

SIMULATOR

사이클로트론 궤도: 출발점을 끌어 질량 2배인 궤도를 찾아라

영역 안을 끌어 궤도 선택

자기장 B

궤도 에너지 E/t—

종류 · 회전—

m_c/m*₀ · 주기 T_c—

과녁 m_c = 2.00 ± 0.05 m*₀—

$t = 0.50$ eV, $a = 0.30$ nm(바닥 질량 $m^*_0 = 0.847\,m_e$)인 정사각 격자 강결합 띠, $\vec B$는 화면에서 나오는 방향. 왼쪽: 제1 브릴루앙 영역과 등에너지선(가는 선), 선택한 궤도(굵은 선)와 $k$의 운동. 정공형 궤도는 영역 모서리 네 조각으로 보이지만 옆 영역과 이으면 M점을 도는 닫힌 선이다. 오른쪽: 같은 시각의 실공간 궤도(고정 축척). 해볼 것: ① $B$를 2배로 하면 실공간 궤도가 반으로 줄고 주기도 반이 된다($m_c$는 그대로). ② 출발점을 X점 쪽으로 끌어 $m_c$가 커지는 것을 보라. ③ 과녁: $m_c = 2m^*_0$인 궤도를 찾아라. 같은 $m_c$를 주는 정공형 궤도도 있다.

사이클로트론 공명으로 유효 질량을 잰다

진동수 $\omega$인 마이크로파를 쬐면서 자기장을 훑으면 $\omega_c = eB/m_c = \omega$에서 전자가 마이크로파와 같은 박자로 돌며 에너지를 흡수한다. 이 사이클로트론 공명(cyclotron resonance)의 공명 자기장 $B_\text{res} = \omega m_c/e$에서 질량을 바로 읽는다. 공명이 보이려면 전자가 한 바퀴 이상 돌아야 하므로 $\omega_c\tau = \mu B > 1$이 필요하다. 그래서 고순도 시료를 액체 헬륨 온도(4 K)로 식혀 이동도를 크게 올리고 잰다.

1953–55년 드레셀하우스·킵·키텔은 24 GHz 마이크로파로 Si·Ge의 공명을 재서 이 장과 8장의 질량들을 처음 얻었다. Si 전도대 골짜기는 $\langle100\rangle$ 축의 회전 타원체(종 질량 $m_l$, 횡 질량 $m_t$)이므로, 자기장이 골짜기 축과 각 $\theta$를 이루면 궤도는 타원체를 비스듬히 자른 타원이 되고 그 질량은

$$m_c(\theta) = m_t\sqrt{\frac{m_l}{m_t\sin^2\theta + m_l\cos^2\theta}} \qquad (\theta = 0:\ m_t,\quad \theta = 90^\circ:\ \sqrt{m_lm_t})$$

여섯 골짜기는 축 방향이 세 가지([100], [010], [001])이므로 자기장 방향에 따라 공명선이 최대 3개 나온다. 자기장 방향을 돌리며 공명선의 위치를 따라가면 $m_l$과 $m_t$를 따로 얻는다.

Si 전도대의 여섯 골짜기($\langle100\rangle$ 축 위의 길쭉한 타원체, 크기 과장)와 (001) 면 안에서 돌리는 자기장. 골짜기마다 자기장과 축의 각이 달라 사이클로트론 질량이 다르다.

왼쪽 나침반의 B 화살표 끝을 돌리기

ω τ (선폭)

MINI LABSi 전자의 사이클로트론 공명 흡수(24 GHz, 4 K 상당). 왼쪽 나침반에서 (001) 면 안의 자기장 방향 $\varphi$를 돌리면 오른쪽 흡수 스펙트럼의 공명선이 움직인다. $\omega\tau$를 1 아래로 내리면 공명선이 뭉개져 질량을 읽을 수 없다 — 상온 측정이 불가능한 이유다.

(a) GaAs 전자($m^* = 0.067\,m_e$)의 $B = 1.0$ T 사이클로트론 진동수는? 상온 이동도 8000 cm²/(V·s)에서 $\omega_c\tau$는? (b) Si 시료를 4 K에서 24.0 GHz로 측정하고 자기장을 [100] 방향으로 걸었더니 공명선이 0.163 T와 0.370 T에 나타났다. $m_t$와 $m_l$을 구하라.

풀이 보기

전략 (a) $f_c = eB/2\pi m^*$, $\omega_c\tau = \mu B$(SI 단위 이동도 m²/(V·s)). (b) $B\parallel[100]$이면 [100] 골짜기는 $\theta = 0$(질량 $m_t$), 나머지 넷은 $\theta = 90^\circ$(질량 $\sqrt{m_lm_t}$). $m_c = eB_\text{res}/\omega$.

풀이 (a) $f_c = 1.602\times10^{-19}\times1.0/(2\pi\times0.067\times9.109\times10^{-31}) = 4.18\times10^{11}$ Hz $= 418$ GHz. $\mu = 0.80$ m²/(V·s)이므로 $\omega_c\tau = 0.80$. (b) $e/\omega m_e = 1.602\times10^{-19}/(2\pi\times24.0\times10^9\times9.109\times10^{-31}) = 1.166$ T⁻¹. 낮은 선: $m_t = 1.166\times0.163 = 0.190$. 높은 선: $\sqrt{m_lm_t} = 1.166\times0.370 = 0.4315$ → $m_l = 0.4315^2/0.190 = 0.980$.

(a) f_c = 418 GHz, ω_cτ = 0.80 (공명 안 보임) (b) m_t = 0.190 mₑ, m_l = 0.980 mₑ

검토 높은 선은 골짜기 4개, 낮은 선은 2개에서 나오므로 세기 비가 약 2 : 1이어야 한다 — 선을 어느 골짜기에 배정할지 확인하는 단서다. (a)의 $\mu B < 1$이면 공명이 뭉개지므로, 77 K(이동도 약 $10^5$)나 강한 자기장에서 잰다.

공명으로 잰 질량이 소자 모델의 상수가 된다 사이클로트론 공명으로 얻은 $m_l = 0.98$, $m_t = 0.19$는 지금도 Si의 기준값이다. 이 두 숫자에서 전도도 질량 0.26과 상태 밀도 질량 1.08(8장)이 나오고, 소자 시뮬레이터의 이동도 모델, 양자 구속 보정, 탄도 수송 모델이 모두 이 값을 입력으로 쓴다. 변형 채널이나 나노시트처럼 골짜기가 갈라진 구조의 이동도를 예측할 때도 골짜기별 $m_l$·$m_t$로 계산한다. → TCADBook · 이동도와 재결합 모델

홀 효과와 홀 이동도

자기장 속에서 전류를 흘리면 캐리어가 옆으로 휘어 시료 한쪽 가장자리에 쌓이고, 쌓인 전하가 만든 옆 방향 전기장이 자기력과 균형을 이룬다. 이 홀 효과(Hall effect)는 캐리어의 부호와 농도를 직접 재는 거의 유일한 전기적 방법이다. 아래 그림처럼 전류 $I$는 $+x$, 자기장 $B$는 $+z$(지면에서 나오는 방향), 시료 폭 $w$, 두께 $d$라 하자.

홀 막대. 정공($+x$로 움직임)과 전자($-x$로 움직임)는 둘 다 $-y$ 쪽으로 휜다. 그래서 아래 가장자리에 쌓이는 전하의 부호가 캐리어 종류를 알려 준다. 전압계 + 단자를 아래쪽에 두면 p형은 $V_H > 0$, n형은 $V_H < 0$이다.

정상 상태에서 캐리어가 다시 곧게 흐르려면 옆 방향 힘이 0이어야 한다: $qE_y + q(\vec v\times\vec B)_y = 0$, 곧 $E_y = v_xB$. 전류 밀도 $J_x = qpv_x$(정공)로 $v_x$를 바꾸면

홀 계수와 홀 전압

$$R_H \equiv \frac{E_y}{J_xB} = \frac{1}{qp}\ (\text{p형}), \quad -\frac{1}{qn}\ (\text{n형}), \qquad V_H = E_yw = \frac{R_H\,IB}{d}$$

홀 계수(Hall coefficient) $R_H$의 부호가 캐리어 종류를, 크기가 농도를 준다. $V_H$는 폭 $w$와 무관하고 두께 $d$에 반비례한다. 비저항 $\rho$를 함께 재면 홀 이동도(Hall mobility) $\mu_H = |R_H|/\rho = |R_H|\sigma$를 얻는다. 전류와 합전기장 사이의 각 $\tan\theta_H = E_y/E_x = \mu B$를 홀 각(Hall angle)이라 한다.

두께 0.50, 정공 농도 15.0($p = 10^{\text{값}}$ cm⁻³ → )인 시료에 전류 1.0, 자기장 0.50를 걸면 $V_H = IB/qpd =$ , 홀 계수는 $R_H =$ 이다.

홀 인자와 두 캐리어

위 식은 모든 캐리어가 같은 속도로 움직인다고 가정했다. 실제로는 에너지마다 산란 시간이 달라 빠른 캐리어와 느린 캐리어가 다르게 휘므로, 평균을 내면 보정 인자가 붙는다:

$$R_H = \frac{r_H}{qp}, \qquad r_H = \frac{\langle\tau^2\rangle}{\langle\tau\rangle^2}, \qquad \mu_H = r_H\,\mu$$

홀 인자(Hall factor) $r_H$는 음향 포논 산란($\tau\propto E^{-1/2}$)이면 $3\pi/8 = 1.18$, 이온화 불순물 산란($\tau\propto E^{3/2}$)이면 $315\pi/512 = 1.93$, 강한 자기장($\mu B \gg 1$)에서는 1로 간다. n형 Si는 상온에서 약 1.1–1.2, p형 Si는 뒤틀린 정공 띠 때문에 0.7–0.8 정도다. 그래서 정밀한 농도는 $r_H$를 알거나 강자장에서 잰다.

전자와 정공이 함께 있으면 두 캐리어의 홀 전류가 서로 반대 부호로 더해진다. 옆 방향 전류의 합이 0이라는 조건으로 풀면($r_H = 1$)

$$R_H = \frac{p\mu_p^2 - n\mu_n^2}{q\,(p\mu_p + n\mu_n)^2}$$

이동도의 제곱이 무게가 되므로 가벼운 캐리어가 우세하다. Si에서 $\mu_n/\mu_p \approx 3$이면 $p < 9n$이기만 해도 $R_H < 0$이다. p형 시료를 가열해 진성 영역으로 가면 $R_H$는 $p = (\mu_n/\mu_p)^2n$에서 부호가 바뀐다.

같은 전류·자기장에서 n형 시료를 같은 농도의 p형 시료로 바꾼다. 캐리어가 휘는 방향과 $V_H$는?

전류 방향이 같으면 정공은 $+x$, 전자는 $-x$로 움직인다. 전하와 속도가 둘 다 부호를 바꾸므로 $q\vec v\times\vec B$는 같은 방향(아래)이다. 아래에 쌓이는 전하의 부호만 달라 $V_H$가 뒤집힌다 — 이것이 정공이 정말 양전하처럼 행동한다는 실험적 증거다.

SIMULATOR

홀 효과 실험대: 미지 시료의 캐리어를 맞혀라

오른쪽 B 막대의 손잡이를 위아래로 끌기

시료

도핑 농도 전류 I 자기장 B 접점 어긋남(오프셋 전압) 포함

전압계 V_H—

R_H = V_Hd/IB—

계산한 농도 1/(q|R_H|)—

홀 각 θ_H = atan(μB)—

실리콘 홀 막대(두께 $d = 0.50$ mm, 상온, $r_H = 1$로 단순화). 캐리어가 휘어 가장자리에 쌓이고, 그 전하의 전기장이 자기력과 같아지면 다시 곧게 흐른다(실제로는 피코초 안에 끝나는 과정을 느리게 보여 준다). 해볼 것: ① n형과 p형을 바꿔 휘는 방향은 같고 쌓이는 전하와 $V_H$의 부호만 바뀌는 것을 보라. ② 농도를 10배 올리면 $V_H$가 10분의 1이 된다 — 홀 센서에 저농도·얇은 막을 쓰는 이유. ③ 미지 시료: 오프셋은 $B$와 무관하므로 $V_H = [V(+B) - V(-B)]/2$로 지운 뒤 종류와 농도를 넣어 판정을 받아라(±5%).

두께 0.500 mm인 p형 Si 조각에 $I = 1.00$ mA, $B = 0.500$ T를 걸고, 자기장을 뒤집어 잰 두 전압에서 $V_H = +5.20$ mV를 얻었다. 같은 시료의 비저항은 11.5 Ω·cm다. (a) 홀 계수, (b) 정공 농도($r_H = 1$), (c) 홀 이동도를 구하라.

풀이 보기

전략 $R_H = V_Hd/(IB)$, $p = 1/(qR_H)$, $\mu_H = R_H/\rho$. SI로 계산하고 마지막에 cm 단위로 바꾼다.

풀이 (a) $R_H = 5.20\times10^{-3}\times5.00\times10^{-4}/(1.00\times10^{-3}\times0.500) = 5.20\times10^{-3}$ m³/C $= 5.20\times10^3$ cm³/C(양수 → p형 확인). (b) $p = 1/(1.602\times10^{-19}\times5.20\times10^3) = 1.20\times10^{15}$ cm⁻³. (c) $\mu_H = 5.20\times10^3/11.5 = 452$ cm²/(V·s).

(a) R_H = +5.20×10³ cm³/C (b) p = 1.20×10¹⁵ cm⁻³ (c) μ_H = 452 cm²/(V·s)

검토 저농도 Si 정공의 표류 이동도(약 450–470)와 맞는다. 실제 p형 Si의 $r_H \approx 0.75$를 넣으면 $p = r_H/(qR_H) = 9.0\times10^{14}$으로 25% 작아진다 — 홀 농도와 SIMS 농도가 어긋날 때 가장 먼저 의심하는 것이 홀 인자다.

웨이퍼 홀 측정: 도핑과 이동도를 한 번에 에피층의 도핑과 이동도, 이온 주입·어닐 후의 활성화율은 홀 측정으로 확인한다. 4탐침은 면저항 $R_s = 1/(qN_s\mu)$만 주므로 농도와 이동도를 가를 수 없지만, 홀 측정을 더하면 면농도 $N_s$와 이동도가 따로 나온다. 주입량과 홀 면농도를 비교하면 활성화율이, 이동도를 보면 잔류 결함·보상이 드러난다. GaN HEMT의 2차원 전자 기체(면농도 약 $10^{13}$ cm⁻², 이동도 약 2000)도 웨이퍼마다 홀로 검수한다. → DeviceBook · 캐리어 수송

홀 센서: 자기장을 재는 칩 면농도 $N_s = nd$로 쓰면 $V_H = IB/(qnd) = IB/(qN_s)$이므로 감도 $V_H/(IB) = 1/(qN_s)$는 면농도가 낮을수록 크다. 면농도 $10^{12}$ cm⁻²이면 624 V/(A·T) — 1 mA, 1 mT에서 0.6 mV다. 그래서 홀 소자는 이동도가 크고 농도가 낮은 InSb·GaAs 박막이나, CMOS 공정 안에 만든 저농도 n-웰 판을 쓰고, 오프셋을 지우려고 전류 방향을 돌려 가며 재는 회전 전류 기법을 칩 안에 넣는다. 스마트폰 카메라의 자동 초점·손떨림 보정 위치 센서, 자동차의 바퀴 속도·전류 센서, 브러시 없는 모터의 회전자 위치 검출이 모두 홀 센서다. → SensorBook · 카메라 모듈: AF·OIS·줌

반 데르 포 방법

홀 막대는 모양을 정확히 만들어야 한다. 1958년 필립스 연구소의 반 데르 포는 두께가 고른 얇은 시료라면 모양에 상관없이 가장자리의 작은 접점 4개만으로 면저항을 정확히 잴 수 있음을 증명했다. 이 반 데르 포 방법(van der Pauw method)은 웨이퍼 조각, 에피 박막, 웨이퍼 위의 시험 패턴에서 표준이 되었다.

접점을 가장자리를 따라 차례로 1, 2, 3, 4라 하고, 1→2로 전류를 흘려 4–3의 전압을 잰 저항을 $R_A = R_{12,43} = V_{43}/I_{12}$, 2→3으로 흘려 1–4를 잰 것을 $R_B = R_{23,14} = V_{14}/I_{23}$이라 하자. 얇은 막의 면저항(sheet resistance) $R_s = \rho/d$(단위 Ω/□)와 두 저항 사이에는 다음 관계가 정확히 성립한다.

반 데르 포 식

$$e^{-\pi R_A/R_s} + e^{-\pi R_B/R_s} = 1, \qquad R_A = R_B = R \;\Rightarrow\; R_s = \frac{\pi R}{\ln2} = 4.532\,R$$

조건: 시료가 구멍 없이 한 덩어리이고, 두께가 고르며, 접점이 가장자리에 있고 시료보다 충분히 작아야 한다. 이 식은 반평면에서 먼저 증명하고, 등각 사상이 경계 위 네 점의 저항 관계를 보존한다는 사실로 임의의 모양에 넓힌다.

$R_A \ne R_B$이면 $R_s$에 대한 초월 방정식이라 손으로 풀 수 없다. 그러나 왼쪽 변은 $R_s$가 커질수록 단조 증가하므로(0에서 2까지) 이분법으로 쉽게 푼다: $g(R_s) = e^{-\pi R_A/R_s} + e^{-\pi R_B/R_s} - 1$의 부호가 바뀌는 구간을 반씩 줄인다. 흔히 쓰는 형태는 $R_s = \frac{\pi}{\ln2}\frac{R_A + R_B}{2}f(R_A/R_B)$이고, 보정 인자 $f$는 $R_A/R_B = 1$에서 1, 3에서 0.91, 10에서 0.70이다.

$R_A =$ 120, $R_B =$ 80이면 이분법으로 푼 면저항은 $R_s =$ , 보정 인자 $f =$ 다. 평균만 써서 $\frac{\pi}{\ln2}\frac{R_A+R_B}{2}$로 계산하면 로 틀린다.

이웃한 접점 1→2로 전류를 흘리고 맞은편 4–3의 전압을 잰다.
배정을 한 칸 돌려 2→3 전류, 1–4 전압. 두 저항은 접점 위치에 따라 크게 다를 수 있다.
두 값을 반 데르 포 식에 넣어 $R_s$를 수치로 푼다. 모양 정보는 전혀 필요 없다.
대각선 접점 1→3으로 전류를 흘리고 2–4 전압을 자기장 $\pm B$에서 재면 그 차이가 홀 전압이다. 면농도 $N_s$와 이동도가 나온다.

반 데르 포 측정의 네 단계. 실제 장비는 여덟 가지 배정(전류 방향 반전, 접점 순환)을 모두 재서 평균하고, $R_A$·$R_B$·대칭성을 점검해 접점 불량을 걸러 낸다.

SIMULATOR

반 데르 포 실험대: 접점을 아무 데나 옮겨도 면저항은 같다

원판 가장자리의 접점 1–4를 끌기

보여 줄 배정

실제 면저항 R_s

R_A · R_B—

반 데르 포 식 풀이 R_s—

πR_A/ln2 만 쓸 때—

과녁: R_A/R_B ≥ 5—

원판 시료에서 전류 접점의 퍼텐셜을 정확한 해 $\phi(z) = (R_sI/\pi)\ln(|z - z_\text{out}|/|z - z_\text{in}|)$로 그렸다(색: 퍼텐셜, 가는 선: 등퍼텐셜선, 초록 화살표: 전류 방향). 두 전압 접점의 퍼텐셜 차가 $R_A$ 또는 $R_B$다. 해볼 것: ① 대칭 배치에서 $R_A = R_B = R_s\ln2/\pi = 0.221R_s$를 확인하라. ② 접점 세 개를 한쪽에 몰아 $R_A/R_B$를 5 이상으로 만들어도 식을 풀면 $R_s$가 정확히 나온다. 단순 공식 $\pi R_A/\ln2$는 수십 % 틀린다. ③ 실제 $R_s$를 바꾸면 $R_A$, $R_B$가 같은 비율로 바뀐다 — 접점 배치는 비만 정한다.

이온 주입 후 어닐한 p형 층을 정사각 시료 모서리 네 접점으로 쟀더니 $R_A = 120$ Ω, $R_B = 80.0$ Ω였다. (a) 면저항 $R_s$를 구하라. (b) 대각선 배정에서 $B = \pm0.500$ T로 잰 저항 차가 $\Delta R_{13,24} = R(+B) - R(-B) = 3.12$ Ω이다. 면농도 $N_s$와 홀 이동도를 구하라.

풀이 보기

전략 (a) $g(R_s) = e^{-\pi\cdot120/R_s} + e^{-\pi\cdot80/R_s} - 1$의 근을 이분법으로 찾는다. 대칭 공식 $4.532\times100 = 453$ Ω이 출발점이다. (b) $\Delta R = 2B/(qN_s)$, $\mu_H = 1/(qN_sR_s)$.

풀이 (a) $R_s = 400$: $g = 0.3897 + 0.5336 - 1 = -0.077$. $R_s = 500$: $g = 0.4706 + 0.6050 - 1 = +0.076$. 근은 그 사이, 반씩 줄여 가면 $R_s = 446.9$ Ω/□($f = 0.986$). (b) $N_s = 2B/(q\Delta R) = 2\times0.500/(1.602\times10^{-19}\times3.12) = 2.00\times10^{18}$ m⁻² $= 2.00\times10^{14}$ cm⁻². $\mu_H = 1/(1.602\times10^{-19}\times2.00\times10^{18}\times446.9)$ m²/(V·s) $= 6.98\times10^{-3}$ m²/(V·s) $= 69.8$ cm²/(V·s).

(a) R_s = 447 Ω/□ (b) N_s = 2.00×10¹⁴ cm⁻², μ_H = 69.8 cm²/(V·s)

검토 $R_A/R_B = 1.5$로 비대칭이 작아 보정은 1.4%뿐이다. 이동도 70은 $10^{19}$–$10^{20}$ cm⁻³로 도핑된 정공의 값으로, 얕은 고농도 주입층과 맞다. 주입량이 $2.5\times10^{14}$였다면 활성화율은 80%다.

4탐침법(11장)도 같은 상수 $\pi/\ln2$를 쓴다. 넓은 얇은 막 위에 간격이 같은 탐침 4개를 일렬로 대면 $R_s = (\pi/\ln2)(V/I) = 4.532\,V/I$다. 4탐침은 시료를 자르지 않고 웨이퍼 전면을 지도처럼 훑을 수 있고, 반 데르 포는 작은 시료나 시험 패턴에서 가장자리 효과 없이 정확하며 홀 측정과 함께 할 수 있다.

면저항 지도와 시험 패턴 이온 주입 공정은 매일 모니터 웨이퍼에 주입하고 어닐한 뒤 4탐침 면저항 지도(수십–수백 점)로 주입량·균일도를 관리한다. 면저항 1%는 주입량 약 1%에 해당할 만큼 민감하다. 제품 웨이퍼의 스크라이브 선에는 그리스 십자나 클로버 잎 모양의 반 데르 포 패턴이 들어 있어, 층마다 면저항과 접촉 저항을 전기적으로 재서 공정 이상을 잡는다. → DopingBook · 계측

핵심 정리

블로흐 상태를 섞은 파속은 군속도 $\vec v = \hbar^{-1}\nabla_{\vec k}E$로 움직이며, $\vec v$는 등에너지면에 수직이다. 강결합 띠 $E = E_0 - 2t\cos ka$에서 $v = (2ta/\hbar)\sin ka$ — 띠 바닥과 꼭대기에서 0, 한가운데서 최대다. 완전한 결정에서 블로흐 전자는 산란되지 않는다.
준고전 운동 방정식 $\hbar\dot{\vec k} = -e(\vec E + \vec v\times\vec B)$에는 외력만 들어간다. 결정 운동량 $\hbar\vec k$는 $\hbar\vec G$만큼 다른 것이 같은 상태이고, 진짜 운동량 $m_e\vec v$와 다르다.
$\dot v = F/m^*$, $1/m^* = \hbar^{-2}d^2E/dk^2$. 유효 질량은 격자의 힘을 품은 장부이며, 띠 위쪽 절반에서 음수다(밀수록 느려진다). 강결합: $m^* = m^*_0/\cos ka$, $m^*_0 = \hbar^2/2ta^2$.
일정한 전기장에서 $k$는 일정하게 늘고 전자는 블로흐 진동한다: $T_B = h/eEa$, 진폭 $W/eE$. 보통 결정에서는 $\omega_B\tau \ll 1$(예: 10 kV/cm에서 $T_B \approx 8$ ps $\gg \tau \approx 0.1$ ps)이라 표류(옴의 법칙, 에사키–추 $\langle v\rangle = v_\text{max}\omega_B\tau/(1 + \omega_B^2\tau^2)$)만 보이고, 주기 10 nm 초격자에서는 THz 진동으로 관측된다.
꽉 찬 띠는 $v(\vec k) = -v(-\vec k)$ 때문에 어떤 힘을 받아도 전류가 0이다. 전자 하나가 빠진 띠의 전류는 빈자리 속도로 움직이는 $+e$ 하나의 전류와 같다: 정공은 $\vec k_h = -\vec k_e$, $E_h = -E_e$, $\vec v_h = \vec v_e$, $m_h = -m^* > 0$(띠 꼭대기).
자기장 속 전자는 등에너지면과 $\vec B$에 수직인 면의 교선을 따라 돌고, 실공간 궤도는 그 모양을 90° 돌려 $\hbar/eB$배 한 것이다. $m_c = (\hbar^2/2\pi)\partial A/\partial E$, $\omega_c = eB/m_c$. 사이클로트론 공명($\omega_c\tau = \mu B > 1$, 저온)은 Si의 $m_t = 0.19$·$m_l = 0.98$을 자기장 방향에 따른 공명선으로 준다.
홀 효과: $R_H = r_H/qp$ 또는 $-r_H/qn$, $V_H = R_HIB/d$, $\mu_H = |R_H|/\rho$; 두 캐리어면 $R_H = (p\mu_p^2 - n\mu_n^2)/q(p\mu_p + n\mu_n)^2$. 반 데르 포 식 $e^{-\pi R_A/R_s} + e^{-\pi R_B/R_s} = 1$(대칭이면 $R_s = 4.532R$)을 이분법으로 풀면 임의 모양 시료의 면저항이, 대각선 홀 측정을 더하면 면농도와 이동도가 나온다.

연습문제

$h = 6.626\times10^{-34}$ J·s $= 4.136\times10^{-15}$ eV·s, $\hbar = 1.0546\times10^{-34}$ J·s, $e = 1.602\times10^{-19}$ C, $m_e = 9.109\times10^{-31}$ kg. 강결합 띠는 $E = E_0 - 2t\cos ka$. Si 전도대 $m_l = 0.98$, $m_t = 0.19\,m_e$. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

$t = 0.80$ eV, $a = 0.25$ nm인 1차원 강결합 띠의 최대 군속도 $v_\text{max}$와 바닥의 유효 질량 $m^*_0$($m_e$ 단위)을 구하라.

$v_\text{max} = 2ta/\hbar$, $m^*_0 = \hbar^2/(2ta^2)$.

$t = 1.282\times10^{-19}$ J. $v_\text{max} = 2\times1.282\times10^{-19}\times2.5\times10^{-10}/1.0546\times10^{-34} = 6.08\times10^5$ m/s. $m^*_0 = (1.0546\times10^{-34})^2/(2\times1.282\times10^{-19}\times6.25\times10^{-20}) = 6.94\times10^{-31}$ kg $= 0.762\,m_e$.

강결합 띠에서 $k = 0.80\pi/a$인 상태의 유효 질량은 바닥 질량 $m^*_0$의 몇 배인가? (부호 포함)

$m^*/m^*_0 = 1/\cos(0.8\pi) = 1/(-0.8090) = -1.24$. 띠 위쪽 절반이라 음수다.

주기 $d = 8.0$ nm인 초격자에 $E = 5.0$ kV/cm를 걸었다. 블로흐 주기는 몇 ps인가?

$eEd = 5.0\times10^5\ \text{V/m}\times8.0\times10^{-9}\ \text{m} = 4.0\times10^{-3}$ eV. $T_B = 4.136\times10^{-15}/4.0\times10^{-3} = 1.03\times10^{-12}$ s.

주기 $a = 0.50$ nm인 결정에서 산란 시간이 $\tau = 0.10$ ps일 때 $\omega_B\tau = 1$이 되는 전기장은 몇 V/cm인가?

$\omega_B = eEa/\hbar$.

$E = \hbar/(ea\tau) = 1.0546\times10^{-34}/(1.602\times10^{-19}\times5.0\times10^{-10}\times1.0\times10^{-13}) = 1.32\times10^7$ V/m $= 1.32\times10^5$ V/cm. 실리콘의 항복 전기장(약 $3\times10^5$ V/cm)과 같은 규모라, 그 전에 광학 포논 방출과 충돌 이온화가 먼저 일어난다.

미니띠 폭 $W = 30$ meV인 초격자에 $E = 2.0$ kV/cm를 걸었다. 블로흐 진동의 진폭(끝에서 끝) $L$은 몇 nm인가?

$L = W/eE = 0.030\ \text{eV}/(2.0\times10^5\ \text{eV/m}) = 1.5\times10^{-7}$ m $= 150$ nm.

가전자대가 완전히 차 있고 전도대가 완전히 빈 결정에 전기장을 걸었다. 가전자대 전자에 대해 옳은 것은?

$\hbar\dot k = -eE$는 모든 전자에 똑같이 적용되어 $k$가 밀리지만, 영역을 벗어난 전자는 반대편으로 들어와 점유 상태 집합이 그대로다. $v(k) = -v(-k)$인 짝이 모두 차 있으므로 전류는 0 — 절연체다.

$t = 0.30$ eV, $a = 0.40$ nm인 강결합 띠 꼭대기($k = \pi/a$)에 생긴 정공의 유효 질량은?

꼭대기에서 $m^* = \hbar^2/(2ta^2\cos\pi) = -\hbar^2/(2ta^2)$. 정공은 $m_h = -m^* = \hbar^2/(2ta^2) = (1.0546\times10^{-34})^2/(2\times4.806\times10^{-20}\times1.6\times10^{-19}) = 7.23\times10^{-31}$ kg $= 0.794\,m_e$.

24.0 GHz 마이크로파로 Si 전자의 사이클로트론 공명을 잰다. 자기장을 [100] 방향으로 걸면 공명선 두 개가 몇 T에 나타나는가? (작은 값부터)

[100] 골짜기: $\theta = 0$ → $m_t$. [010]·[001] 골짜기: $\theta = 90^\circ$ → $\sqrt{m_lm_t}$.

$B = \omega m_c/e = 2\pi\times24.0\times10^9\times m_c\times9.109\times10^{-31}/1.602\times10^{-19} = 0.8574\,m_c$ T. $m_t = 0.19$ → 0.163 T, $\sqrt{0.98\times0.19} = 0.4315$ → 0.370 T.

앞 문제에서 자기장을 [111] 방향으로 걸면 여섯 골짜기 모두 같은 질량을 준다. 그 사이클로트론 질량과 24.0 GHz의 공명 자기장을 구하라.

[111]과 각 ⟨100⟩ 축의 각은 $\cos\theta = 1/\sqrt3$.

$m_c = m_t\sqrt{m_l/(m_t\sin^2\theta + m_l\cos^2\theta)} = 0.19\sqrt{0.98/(0.19\times\tfrac23 + 0.98\times\tfrac13)} = 0.19\sqrt{0.98/0.4533} = 0.279\,m_e$. $B = 0.8574\times0.279 = 0.240$ T. 공명선이 하나로 모인다 — 결정을 정확히 정렬했는지 확인하는 방법이다.

두께 0.300 mm인 Si 시료에 $I = 2.00$ mA, $B = 0.800$ T를 걸었더니 오프셋을 지운 홀 전압이 $V_H = -1.07$ mV였다. 캐리어 종류와 농도는? ($r_H = 1$)

$V_H < 0$이므로 n형. $|R_H| = |V_H|d/(IB) = 1.07\times10^{-3}\times3.00\times10^{-4}/(2.00\times10^{-3}\times0.800) = 2.006\times10^{-4}$ m³/C. $n = 1/(q|R_H|) = 3.11\times10^{22}$ m⁻³ $= 3.11\times10^{16}$ cm⁻³.

앞 문제 시료의 비저항이 0.200 Ω·cm다. 홀 이동도는?

$|R_H| = 200.6$ cm³/C, $\mu_H = |R_H|/\rho = 200.6/0.200 = 1.00\times10^3$ cm²/(V·s). 이 농도의 전자 표류 이동도(약 1100)와 비슷하다.

가열한 p형 Si에서 $p = 6.0\times10^{15}$, $n = 5.0\times10^{15}$ cm⁻³, $\mu_p = 400$, $\mu_n = 1000$ cm²/(V·s)다. 홀 계수는? 정공이 더 많은데도 부호는?

$R_H = (p\mu_p^2 - n\mu_n^2)/[q(p\mu_p + n\mu_n)^2]$, 단위 cm³/C.

분자 $6.0\times10^{15}\times1.6\times10^5 - 5.0\times10^{15}\times10^6 = 9.6\times10^{20} - 5.0\times10^{21} = -4.04\times10^{21}$. 분모 $1.602\times10^{-19}\times(2.4\times10^{18} + 5.0\times10^{18})^2 = 1.602\times10^{-19}\times5.476\times10^{37} = 8.77\times10^{18}$. $R_H = -460$ cm³/C — 음수. 이동도 제곱이 무게라 가벼운 전자가 이긴다. 이 값만 보고 n형이라 판단하면 틀린다.

대칭인 정사각 시료에서 $R_A = R_B = 25.0$ Ω를 얻었다. 면저항은?

$R_s = \pi R/\ln2 = 4.532\times25.0 = 113$ Ω/□.

모양이 불규칙한 박막 시료에서 $R_A = 300$ Ω, $R_B = 100$ Ω를 얻었다. 반 데르 포 식을 수치로 풀어 면저항을 구하라.

$g(R_s) = e^{-300\pi/R_s} + e^{-100\pi/R_s} - 1$. $R_s = 800$과 850에서 부호를 확인하라.

$g(800) = 0.3078 + 0.6752 - 1 = -0.017$, $g(850) = 0.3301 + 0.6911 - 1 = +0.021$. 이분법을 이어 가면 $R_s = 822$ Ω/□. 보정 인자 $f = 822/(4.532\times200) = 0.907$. 평균 공식만 쓰면 906 Ω/□로 10% 크게 나온다.

상온 실리콘 결정에서 블로흐 진동이 관측되지 않는 이유로 가장 알맞은 것은?

$a \approx 0.5$ nm, 10 kV/cm에서 $T_B \approx 8$ ps인데 $\tau \approx 0.1$ ps다. $\omega_B\tau \sim 1$을 만들려면 $10^5$ V/cm 이상이 필요한데, 그 전에 광학 포논 방출(63 meV)과 애벌란치 항복이 일어난다. 주기가 20배 긴 초격자에서는 관측된다.

개념 확인 퀴즈

강결합 띠에서 영역 경계 $k = \pi/a$의 전자 속도가 0인 이유는?

$v = \hbar^{-1}dE/dk$이고 띠는 영역 경계에서 평평하다. 5장 포논의 영역 경계 정상파와 같은 이유다.

결정 운동량 $\hbar\vec k$에 대한 설명으로 옳은 것은?

격자의 주기 힘은 띠 모양 $E(\vec k)$에 이미 들어 있어 운동 방정식에는 외력만 남는다. 진짜 운동량은 격자와 $\hbar\vec G$씩 주고받으며 오르내린다.

가전자대 꼭대기 근처의 빈자리(정공)가 양의 질량을 갖는 이유는?

띠 꼭대기에서 $d^2E/dk^2 < 0$이므로 전자의 $m^* < 0$. 빈자리를 전하 $+e$인 입자로 다시 쓰면 질량도 부호가 바뀌어 $m_h = -m^* > 0$이 된다.

상온 GaAs(이동도 8000 cm²/(V·s))에서 1 T로 사이클로트론 공명을 보기 어려운 이유는?

공명의 선폭은 $1/\tau$ 정도다. $\omega_c\tau > 1$이 되어야 봉우리가 갈린다. 저온에서 이동도를 올리거나 자기장을 키운다.

진성 Si($n = p$)의 홀 계수 부호는?

$R_H \propto p\mu_p^2 - n\mu_n^2 = n_i(\mu_p^2 - \mu_n^2) < 0$. 진성 영역에 가까운 p형 시료의 홀 계수 부호가 뒤집히는 것도 같은 이유다.

양	빠진 전자(\(\vec k_e\))	정공
결정 운동량	\(\vec k_e\)	\(\vec k_h = -\vec k_e\)
에너지	\(E_e(\vec k_e)\)	\(E_h = -E_e\) (띠 꼭대기 기준 아래로 잴수록 크다)
속도	\(\vec v_e(\vec k_e)\)	\(\vec v_h = \vec v_e(\vec k_e)\) (같다)
전하	\(-e\)	\(+e\)
유효 질량(띠 꼭대기)	\(m^* < 0\)	\(m_h = -m^* > 0\)
운동 방정식	\(\hbar\dot{\vec k}_e = -e(\vec E + \vec v\times\vec B)\)	\(\hbar\dot{\vec k}_h = +e(\vec E + \vec v\times\vec B)\)

결정 속 전자의 운동

파속과 군속도

준고전 운동 방정식과 유효 질량

외력은 k를 민다

결정 운동량은 운동량이 아니다

진짜 운동량 \(m_e\vec v\)

결정 운동량 \(\hbar\vec k\)

유효 질량의 동역학적 의미

블로흐 진동

왜 보통 결정에서는 보이지 않는가

블로흐 진동 실험대: 진동이 보이게 만들어라

채워진 띠와 정공

채워진 띠는 전류를 나르지 않는다

빈자리 하나 = 양전하 하나

자기장 속의 운동과 사이클로트론 공명

등에너지면 위의 궤도

사이클로트론 궤도: 출발점을 끌어 질량 2배인 궤도를 찾아라

사이클로트론 공명으로 유효 질량을 잰다

홀 효과와 홀 이동도

홀 인자와 두 캐리어

홀 효과 실험대: 미지 시료의 캐리어를 맞혀라

반 데르 포 방법

반 데르 포 실험대: 접점을 아무 데나 옮겨도 면저항은 같다

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈