Chapter 14

도파관과 공진기

12장의 전송선은 두 도체 사이에 TEM파를 가두어 보냈다. 주파수가 수 GHz를 넘으면 동축선의 가는 중심 도체는 손실로 뜨거워지고, kW급 전력에서는 절연체가 견디지 못한다. 해법은 의외로 단순하다: 중심 도체를 빼 버리고 속이 빈 금속관 하나로 전자기파를 보낸다. 대신 대가가 있다. 관 속의 파동은 벽 사이를 지그재그로 튕기는 평면파의 합이어서, 관의 크기로 정해지는 차단 주파수 아래로는 아예 지나가지 못하고, 위에서도 주파수마다 속도가 다르다. 양 끝을 막으면 관은 특정 주파수에서만 울리는 공진기가 된다. 반도체 공장의 2.45 GHz 마이크로파 애셔와 ECR 식각기가 바로 이 원리로 마그네트론의 전력을 플라스마까지 나르고, 실리콘 포토닉스 칩은 금속 벽 대신 굴절률 차이로 빛을 220 nm 두께의 실리콘 띠에 가둔다. 먼저 아래 그림의 주파수 막대를 끌어 관 속 평면파의 각도를 바꿔 보자.

아래 주파수 막대의 손잡이를 좌우로 끈다

맥스웰 방정식에서 종 방향 성분 $E_z, H_z$로 횡 방향 장을 모두 구하는 방법을 쓰고, 유도파를 TEM·TE·TM으로 나눈다. 속이 빈 도파관에는 TEM이 없는 이유를 설명한다.
평행판 도파관의 TEM, $\mathrm{TE}_n$, $\mathrm{TM}_n$ 모드를 풀고, 각 모드를 벽 사이를 튕기는 두 평면파의 합으로 해석한다($\sin\psi = f_c/f$).
사각 도파관의 $\mathrm{TE}_{mn}$·$\mathrm{TM}_{mn}$ 모드와 차단 주파수 $f_{c,mn} = \tfrac{1}{2\sqrt{\mu\varepsilon}}\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2}$를 계산하고, $\mathrm{TE}_{10}$ 단일 모드 대역을 정한다.
분산 관계 $\beta = k\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$에서 도파 파장, 위상 속도, 군속도($v_pv_g = v^2$), 파동 임피던스, 전달 전력을 구하고, 차단 아래의 소산 모드로 차단 감쇠기를 설계한다.
도체 손실 $\alpha_c$와 유전체 손실 $\alpha_d$를 계산하고, $\mathrm{TE}_{10}$ 손실이 차단 근처에서 급증하고 약 $2.3f_c$에서 최소가 되는 이유를 설명한다.
직육면체 공동의 공진 주파수 $f_{mnp}$와 $\mathrm{TE}_{101}$ 장, 품질 계수 $Q = \omega W/P_{loss}$와 대역폭 $\Delta f = f_0/Q$를 계산한다.
대칭 유전체 슬랩의 TE 모드 고유값 식과 $V$ 수, 단일 모드 두께 $d < \lambda/(2\,\mathrm{NA})$, 광섬유의 단일 모드 조건 $V < 2.405$을 쓰고 실리콘 포토닉스 도파로에 적용한다.

유도파의 일반 해석과 평행판 도파관

전송선, 도파관, 광섬유는 모두 한 방향($z$)으로 균일한 구조이고, 그 단면에 전자기파를 가둔다. 이런 구조에서 진행하는 파동을 유도파(guided wave)라 한다. 시간 조화장을 $e^{j\omega t}$로 쓰고, $+z$ 방향 진행파를 가정해 모든 장 성분에 $e^{-j\beta z}$를 붙인다. 구조가 $z$로 균일하므로 단면 모양만 장의 $(x, y)$ 분포를 정한다. 같은 단면에서 여러 분포가 가능하며, 각각을 하나의 모드(mode)라 한다.

소스가 없는 균일 매질에서 맥스웰의 두 회전 방정식 $\nabla\times\mathbf E = -j\omega\mu\mathbf H$, $\nabla\times\mathbf H = j\omega\varepsilon\mathbf E$를 성분으로 풀어 쓰면, $\partial/\partial z \to -j\beta$이므로 네 개의 횡 방향 성분을 두 종 방향 성분 $E_z, H_z$로 나타낼 수 있다.

$$E_x = \frac{-j}{k_c^2}\Big(\beta\frac{\partial E_z}{\partial x} + \omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial y}\Big),\qquad E_y = \frac{j}{k_c^2}\Big(-\beta\frac{\partial E_z}{\partial y} + \omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial x}\Big)$$ $$H_x = \frac{j}{k_c^2}\Big(\omega\varepsilon\frac{\partial E_z}{\partial y} - \beta\frac{\partial H_z}{\partial x}\Big),\qquad H_y = \frac{-j}{k_c^2}\Big(\omega\varepsilon\frac{\partial E_z}{\partial x} + \beta\frac{\partial H_z}{\partial y}\Big)$$

$k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}$는 매질의 파수, $k_c^2 = k^2 - \beta^2$는 차단 파수(cutoff wavenumber)의 제곱이다. $E_z, H_z$는 각각 단면 위의 헬름홀츠 방정식 $\nabla_t^2 E_z + k_c^2E_z = 0$, $\nabla_t^2 H_z + k_c^2H_z = 0$과 벽의 경계 조건을 만족해야 한다.

이 식 하나로 유도파가 세 무리로 나뉜다. $E_z = H_z = 0$이면 분모 $k_c^2$도 0이어야 장이 남는다. 이것이 TEM 모드(transverse electromagnetic)다: $\beta = k$, 곧 무한 매질 속 평면파와 같은 속도로 모든 주파수가 진행한다. $E_z = 0,\ H_z \ne 0$이면 전기장이 모두 단면 안에 있는 TE 모드(transverse electric, H파), $H_z = 0,\ E_z \ne 0$이면 TM 모드(transverse magnetic, E파)다.

시간 $e^{j\omega t}$와 진행 $e^{-j\beta z}$를 가정하면 맥스웰 방정식의 미분이 곱셈으로 바뀐다.
회전 방정식 여섯 성분을 정리하면 횡 성분 넷이 $E_z, H_z$의 단면 기울기로 표현된다. 분모에 $k_c^2 = k^2 - \beta^2$가 있다.
$E_z$와 $H_z$는 단면 위 헬름홀츠 방정식의 고유 함수다. 벽의 경계 조건이 허용하는 $k_c$ 값들이 모드를 정한다.
세 무리. TEM은 $k_c = 0$이라 정전기장 같은 단면 분포(라플라스 방정식)를 가지며 도체가 둘 이상 있어야 한다. TE와 TM은 $k_c$가 0이 아니어서 차단 주파수가 생긴다.

유도파 해석의 뼈대. 단면의 고유값 $k_c$만 찾으면 $\beta = \sqrt{k^2 - k_c^2}$로 진행 특성이 모두 정해진다.

속이 빈 관에는 TEM이 없다

TEM 모드에서는 $k_c = 0$이므로 횡 전기장이 $\nabla_t\times\mathbf E_t = 0$, $\nabla_t\cdot\mathbf E_t = 0$을 만족한다. 곧 $\mathbf E_t = -\nabla_t\Phi$이고 $\nabla_t^2\Phi = 0$ — 단면에서 정전기장과 똑같다. 도체가 하나뿐인 관에서는 벽 전체가 한 등전위이므로 라플라스 방정식의 해는 상수뿐이고(4장의 유일성 정리), 장이 0이 된다. 동축선이나 평행판처럼 서로 다른 전위를 줄 수 있는 도체가 둘 있어야 TEM이 산다.

평행판 도파관

간격 $d$인 두 무한 도체판을 $x = 0$과 $x = d$에 놓고(판에 수직인 방향이 $x$), $y$ 방향으로는 균일하다고 하자. 도체 표면에서는 접선 전기장이 0이다. 위의 분류대로 세 종류의 모드가 있다.

$$\textbf{TEM:}\ E_x = E_0e^{-jkz},\ H_y = \frac{E_0}{\eta}e^{-jkz} \qquad \textbf{TE}_n:\ E_y = E_0\sin\frac{n\pi x}{d}\,e^{-j\beta z} \qquad \textbf{TM}_n:\ H_y = H_0\cos\frac{n\pi x}{d}\,e^{-j\beta z}$$ $$k_c = \frac{n\pi}{d},\qquad f_{c,n} = \frac{n}{2d\sqrt{\mu\varepsilon}} = \frac{n\,v}{2d},\qquad \beta_n = \sqrt{k^2 - \Big(\frac{n\pi}{d}\Big)^2}$$

$\mathrm{TE}_n$은 $n = 1, 2, \dots$, $\mathrm{TM}_n$은 $n = 0, 1, 2, \dots$이고 $\mathrm{TM}_0$이 곧 TEM이다. $\mathrm{TE}_n$의 $E_y$는 판에 접선이므로 $x = 0, d$에서 0이 되도록 $\sin$을, $\mathrm{TM}_n$의 $E_z \propto \sin(n\pi x/d)$도 판에서 0이다. $v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}$는 판 사이 매질의 빛의 속력.

$\beta$가 실수이려면 $k > n\pi/d$, 곧 판 간격이 반파장의 $n$배보다 커야 한다($d > n\lambda/2$). 그보다 낮은 주파수에서 $\beta$는 허수가 되고 장은 $e^{-\alpha z}$로 진행 없이 사그라진다. 이 경계가 차단 주파수(cutoff frequency)다. TEM만은 차단이 없어서, 판 간격이 반파장보다 좁으면 TEM 하나만 진행한다(단일 모드).

간격 5.0인 평행판 사이를 비유전율 2.25인 유전체로 채웠다. $\mathrm{TE}_1$·$\mathrm{TM}_1$의 차단 주파수는 이다. 주파수 30에서 진행하는 모드는 이고, $\mathrm{TE}_1$의 평면파 각도는 $\psi$ = , 위상 속도는 이다.

지그재그 평면파 그림

삼각 함수 항등식 $\sin\theta = (e^{j\theta} - e^{-j\theta})/2j$로 $\mathrm{TE}_n$을 다시 쓰면 놀라운 그림이 나온다.

$$E_y = E_0\sin(k_xx)\,e^{-j\beta z} = \frac{E_0}{2j}\Big[e^{-j(-k_xx + \beta z)} - e^{-j(k_xx + \beta z)}\Big],\qquad k_x^2 + \beta^2 = k^2$$

두 항은 파수 벡터가 $(\pm k_x, \beta)$인 균일 평면파다. 둘 다 크기가 $k$이므로 매질의 빛의 속력으로 달리며, $z$축과 각 $\psi$를 이룬다: $\sin\psi = k_x/k = f_c/f$, $\cos\psi = \beta/k$. 한 평면파가 판에서 반사(반사 계수 −1, 11장)되면 다른 평면파가 된다.

도파관 모드는 판 사이를 지그재그로 튕기는 평면파 한 쌍이다. 주파수가 높으면 $\psi$가 작아 거의 $z$ 방향으로 달리고, 주파수를 차단 쪽으로 낮추면 $\psi \to 90^\circ$가 되어 두 판 사이를 수직으로 오가기만 한다 — 에너지가 앞으로 가지 못한다. 이 그림에서 곧바로 $z$ 방향 에너지 속도는 $v\cos\psi$, 등위상면이 $z$축을 따라 미끄러지는 속도는 $v/\cos\psi$임을 읽을 수 있다(§14.3).

공기로 채운 간격 1.0 cm 평행판에 10 GHz($\lambda_0$ = 3.0 cm) 신호를 넣었다. 판 사이로 진행할 수 있는 모드는?

$f_{c,1} = c/2d = 15$ GHz이므로 10 GHz에서 $\mathrm{TE}_1$·$\mathrm{TM}_1$은 소산된다. 평행판은 도체가 둘이라 차단 없는 TEM($\mathrm{TM}_0$)이 늘 진행한다. 아래에서 모드를 $\mathrm{TE}_1$로 놓고 주파수를 15 GHz 아래로 내려 보라.

SIMULATOR

평행판 모드 = 튕기는 평면파 두 개

β축 위 손잡이로 |k|를 바꾼다

모드

모드 번호 n 주파수 f

보기

차단 f_c—

각 ψ—

β—

도파 파장 λ_g—

v_p/c, v_g/c—

공기로 채운 간격 $d$ = 1.0 cm 평행판(위아래 굵은 선)의 옆모습. 왼쪽 색은 $\mathrm{TE}_n$이면 $E_y$, $\mathrm{TM}_n$이면 $H_y$이고, 가는 선은 평면파의 마루(등위상면)다. 오른쪽은 $k$ 삼각형 $k^2 = k_x^2 + \beta^2$로, $k_x = n\pi/d$는 판 간격이 고정한다. 해볼 것: ① "↗ 평면파"와 "↘ 평면파"를 번갈아 보고, "합"이 $x$ 방향으로는 정재파, $z$ 방향으로는 진행파임을 확인한다. ② 주파수를 $f_c$ 쪽으로 낮추면 $\psi \to 90^\circ$, $\lambda_g \to \infty$이다. ③ $f < f_c$에서 $k$가 $k_x$보다 짧아 삼각형이 닫히지 않는다 — 장은 진동 없이 $z$로 사그라진다. ④ TM에서 $n = 0$(TEM)으로 놓으면 차단이 없다.

간격 5.0 mm인 평행판 사이를 폴리에틸렌($\varepsilon_r$ = 2.25)으로 채웠다. 30 GHz에서 진행하는 모드를 모두 쓰고, $\mathrm{TE}_1$의 $\beta$, 도파 파장, 평면파 각 $\psi$, 위상·군속도를 구하라.

풀이 보기

전략 $f_{c,n} = nv/2d$, $v = c/\sqrt{\varepsilon_r}$. $f > f_{c,n}$인 모드만 진행한다. $\beta = k\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$.

풀이 $v = 2.00\times10^8$ m/s, $f_{c,1} = v/2d = 19.99$ GHz, $f_{c,2} = 39.97$ GHz. 30 GHz에서는 TEM, $\mathrm{TE}_1$, $\mathrm{TM}_1$이 진행한다. $k = 2\pi f\sqrt{\varepsilon_r}/c = 943.1$ rad/m, $\sqrt{1 - (19.99/30)^2} = 0.7458$, $\beta = 703.4$ rad/m, $\lambda_g = 2\pi/\beta = 8.93$ mm(유전체 속 $\lambda$ = 6.66 mm). $\sin\psi = 19.99/30$ → $\psi = 41.8^\circ$. $v_p = v/0.7458 = 0.894c$, $v_g = 0.7458v = 0.497c$.

TEM, $\mathrm{TE}_1$, $\mathrm{TM}_1$ · $\beta$ = 703 rad/m, $\lambda_g$ = 8.93 mm, $\psi$ = 41.8°, $v_p$ = 0.894c, $v_g$ = 0.497c

검토 $v_pv_g = 0.894\times0.497\,c^2 = 0.444c^2 = c^2/\varepsilon_r$ ✓. 유전체 속에서는 $v_p$가 $c$보다 작을 수 있지만, 언제나 그 매질의 $v$보다는 크다.

사각 도파관의 TE·TM 모드

평행판의 옆을 두 벽으로 더 막으면 속이 빈 사각 도파관(rectangular waveguide)이 된다. 안쪽 너비를 $a$($x$ 방향), 높이를 $b$($y$ 방향)라 하고 관례대로 $a \ge b$로 둔다. 도체가 하나뿐이므로 TEM은 없고 TE와 TM만 있다.

사각 도파관의 좌표. 너비 $a$가 넓은 벽 사이 거리, $b$가 좁은 벽 사이 거리다. 기본 모드 $\mathrm{TE}_{10}$의 전기장은 넓은 벽에 수직($y$ 방향)이고 가운데에서 가장 세다.

TE 모드는 $H_z$에 대한 헬름홀츠 방정식을 변수 분리 $H_z = X(x)Y(y)$로 푼다. 벽에서 접선 전기장이 0이라는 조건은 위의 횡 성분 식을 거치면 $H_z$의 법선 미분이 0($\partial H_z/\partial n = 0$)이라는 조건이 되므로 해는 코사인이다. TM 모드는 $E_z$ 자체가 벽에서 0이어야 하므로 사인이다.

$$\mathrm{TE}_{mn}:\ H_z = H_0\cos\frac{m\pi x}{a}\cos\frac{n\pi y}{b}\,e^{-j\beta z}\qquad \mathrm{TM}_{mn}:\ E_z = E_0\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}\,e^{-j\beta z}$$ $$k_{c,mn}^2 = \Big(\frac{m\pi}{a}\Big)^2 + \Big(\frac{n\pi}{b}\Big)^2,\qquad f_{c,mn} = \frac{1}{2\sqrt{\mu\varepsilon}}\sqrt{\Big(\frac{m}{a}\Big)^2 + \Big(\frac{n}{b}\Big)^2}$$

TE는 $m, n = 0, 1, 2, \dots$이되 둘 다 0일 수는 없다(장이 모두 0). TM은 $m, n \ge 1$이어야 한다($m$ 또는 $n$이 0이면 $E_z \equiv 0$). 같은 $(m, n)$의 $\mathrm{TE}_{mn}$과 $\mathrm{TM}_{mn}$은 차단 주파수가 같다(축퇴). $m, n$은 각각 $x, y$ 방향으로 들어가는 반주기(장 세기의 봉우리)의 수다.

$a > b$이면 차단 주파수가 가장 낮은 모드는 $\mathrm{TE}_{10}$이고($f_{c,10} = 1/(2a\sqrt{\mu\varepsilon})$, 너비가 반파장인 주파수), 이것이 기본 모드(dominant mode)다. 그다음은 $\mathrm{TE}_{20}$($2f_{c,10}$)과 $\mathrm{TE}_{01}$($a/b$배) 가운데 낮은 쪽이다. 이 사이가 단일 모드 대역이며, $b \le a/2$로 만들면 대역이 한 옥타브(2배)로 가장 넓다. 실제 규격은 손실과 분산이 큰 차단 바로 위와 다음 모드가 가까운 위쪽 끝을 피해 대략 $1.25f_c$–$1.9f_c$를 권장 대역으로 쓴다.

기본 모드의 장은 $m = 1, n = 0$을 대입하면 간단하다.

$$E_y = E_0\sin\frac{\pi x}{a}\,e^{-j\beta z},\qquad H_x = -\frac{E_0}{Z_{TE}}\sin\frac{\pi x}{a}\,e^{-j\beta z},\qquad H_z = \frac{j\pi E_0}{\omega\mu a}\cos\frac{\pi x}{a}\,e^{-j\beta z}$$

$E_y$는 $y$에 따라 변하지 않는다 — 위아래 넓은 벽에는 $\mathbf E$가 수직으로 닿으므로 경계 조건과 상관없다. 그래서 $\mathrm{TE}_{10}$은 간격 $a$인 평행판(옆벽)의 $\mathrm{TE}_1$에 위아래 벽을 덧댄 것과 같고, 맨 위 그림처럼 옆벽 사이를 튕기는 두 평면파로 이해할 수 있다. $H_z$는 $E_y$와 90° 위상이 어긋나 있어, 자기장선은 넓은 벽과 나란한 면에서 닫힌 고리를 그린다.

간격 $a$인 평행판(옆벽)의 $\mathrm{TE}_1$ 모드: $E_y \propto \sin(\pi x/a)$, $y$로 균일.
위아래에 벽을 덧댄다. $\mathbf E$가 이 벽들에 수직이므로 접선 성분 0 조건이 저절로 만족되고, 장은 바뀌지 않는다.
그 결과가 사각 도파관의 $\mathrm{TE}_{10}$. 차단 주파수는 $a$만으로 정해지며 $b$는 단일 모드 대역의 위쪽 끝($\mathrm{TE}_{01}$)과 손실·전력 한계를 정한다.

$\mathrm{TE}_{10}$ 모드는 평행판 $\mathrm{TE}_1$ 모드를 위아래로 잘라 낸 것이다.

SIMULATOR

모드 지도: 단일 모드 도파관 설계하기

목표 대역

채운 유전체 ε_r

a × b—

TE₁₀ 차단—

단일 모드 대역—

표시선의 진행 모드—

목표—

왼쪽은 도파관 단면(실제 비율)으로 오른쪽 위 모서리(흰 원)를 끌어 $a, b$를 바꾼다. 오른쪽은 모드마다 차단 주파수에서 시작하는 막대(진행 가능한 주파수 범위)이고, 위의 흰 원을 끌면 주파수 표시선이 움직인다. 목표: 띠로 칠한 대역 전체에서 $\mathrm{TE}_{10}$ 하나만 진행하되, 손실과 분산을 피하려 대역의 아래 끝이 $1.2f_{c,10}$ 이상, 위 끝이 다음 모드 차단의 96% 이하가 되게 $a, b$를 정하라. 해볼 것: ① $b$를 $a/2$보다 크게 키우면 $\mathrm{TE}_{01}$이 내려와 단일 모드 대역이 좁아진다. ② $\varepsilon_r$를 키우면 같은 크기의 관에서 모든 차단이 $1/\sqrt{\varepsilon_r}$로 내려간다 — 관을 작게 만드는 방법. ③ 성공한 뒤 "표준 규격 보기"를 눌러 WR-90, WR-284/340, WR-28과 비교한다.

모드의 차단 주파수만 보아서는 장이 어떻게 생겼는지 알 수 없다. 아래 시뮬레이터에서 $m, n$을 바꾸며 단면과 옆면의 장을 보라. TE 모드에서는 전기장선(빨강)이 단면 안에서 벽과 벽 사이를 잇거나 닫히고, 자기장선(파랑)은 $z$ 방향 성분이 있어 옆면에서 고리를 그린다. TM 모드에서는 역할이 바뀐다.

SIMULATOR

TE_mn·TM_mn 장 무늬

탐침(흰 원)을 끈다

모드

m n 자기장 화살표

모드—

WR-90 차단—

탐침의 E_x, E_y—

벽 조건—

WR-90 단면($a = 2.25b$). 왼쪽: 단면의 횡 전기장 세기 $|\mathbf E_t|$(색)와 방향(빨강 화살표), 횡 자기장(파랑). 오른쪽: $y = 0.3b$ 높이에서 자른 옆면($x$–$z$)으로, TE는 $E_y$(색)와 자기장 $(H_x, H_z)$, TM은 $E_z$(색)와 전기장 $(E_x, E_z)$이 $f = 1.6f_c$로 진행하는 모습이다. 해볼 것: ① TE에서 $m = n = 0$, TM에서 $m$이나 $n$을 0으로 놓으면 모드가 사라진다. ② 탐침을 벽에 붙여 접선 전기장이 0임을 확인한다. ③ $\mathrm{TE}_{11}$과 $\mathrm{TM}_{11}$은 차단 주파수가 같지만 장 무늬가 전혀 다르다.

WR-90($a$ = 22.86 mm, $b$ = 10.16 mm, 공기)에서 차단 주파수가 낮은 순서로 모드 다섯 개를 쓰고, 단일 모드 대역을 구하라.

풀이 보기

전략 $f_{c,mn} = \tfrac{c}{2}\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2}$. $c/2a$와 $c/2b$를 먼저 구해 두면 빠르다.

풀이 $c/2a = 6.557$ GHz, $c/2b = 14.754$ GHz. $\mathrm{TE}_{10}$: 6.557 GHz. $\mathrm{TE}_{20}$: 13.114 GHz. $\mathrm{TE}_{01}$: 14.754 GHz. $\mathrm{TE}_{11}$·$\mathrm{TM}_{11}$: $\sqrt{6.557^2 + 14.754^2} = 16.145$ GHz. $\mathrm{TE}_{30}$: 19.671 GHz.

$\mathrm{TE}_{10}$ 6.56, $\mathrm{TE}_{20}$ 13.11, $\mathrm{TE}_{01}$ 14.75, $\mathrm{TE}_{11}/\mathrm{TM}_{11}$ 16.15, $\mathrm{TE}_{30}$ 19.67 GHz · 단일 모드 6.56–13.11 GHz

검토 권장 대역 8.2–12.4 GHz는 $1.25f_{c,10}$–$0.95f_{c,20}$에 해당한다. $b < a/2$이므로 단일 모드 대역의 위쪽 끝은 $\mathrm{TE}_{01}$이 아니라 $\mathrm{TE}_{20}$이 정한다.

분산, 군속도, 파동 임피던스

모든 TE·TM 모드는 같은 꼴의 분산 관계를 따른다. $k_c$는 단면 모양만으로 정해지는 상수이므로 $\beta^2 = k^2 - k_c^2$를 주파수로 쓰면

$$\beta = k\sqrt{1 - \Big(\frac{f_c}{f}\Big)^2},\qquad \omega^2 = \omega_c^2 + v^2\beta^2,\qquad \lambda_g = \frac{2\pi}{\beta} = \frac{\lambda}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}$$

$\lambda = v/f$는 관을 채운 매질 속 파장, $\lambda_g$는 관 속에서 같은 위상이 되풀이되는 거리인 도파 파장(guide wavelength)이다. 늘 $\lambda_g > \lambda$이고, $1/\lambda^2 = 1/\lambda_g^2 + 1/\lambda_c^2$ ($\lambda_c = v/f_c$).

분산 관계 $\omega(\beta)$는 쌍곡선이다. 차단에서 $\beta = 0$으로 시작해, 높은 주파수에서는 기울기가 $v$인 빛의 선 $\omega = v\beta$에 다가간다. 10장에서 본 플라스마 속 파동의 분산 $\omega^2 = \omega_p^2 + c^2k^2$과 꼴이 같다 — 도파관의 차단은 "기하학이 만든 플라스마 주파수"다.

$$v_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{v}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}} > v,\qquad v_g = \frac{d\omega}{d\beta} = v\sqrt{1 - (f_c/f)^2} < v,\qquad v_pv_g = v^2$$

지그재그 그림에서 $v_g = v\cos\psi$는 평면파의 에너지가 $z$ 방향으로 실제로 나아가는 속력이고, $v_p = v/\cos\psi$는 비스듬한 마루가 벽을 따라 미끄러지는 겉보기 속력이다. 신호와 에너지는 $v_g$로 간다. 길이 $L$인 도파관의 군지연(group delay)은 $\tau_g = L/v_g$로 주파수에 따라 달라, 넓은 대역의 펄스는 퍼진다.

WR-90($a$ = 22.86 mm, 공기)에 주파수 10.0의 $\mathrm{TE}_{10}$를 보낸다. $f/f_c$ = , 도파 파장 $\lambda_g$ = (자유 공간 $\lambda_0$ = ), $v_p$ = , $v_g$ = , 파동 임피던스 $Z_{TE}$ = 이다. 길이 1.0를 지나는 군지연은 로, 같은 거리의 자유 공간보다 늦다.

WR-90에서 7 GHz $\mathrm{TE}_{10}$의 위상 속도는 약 $2.9c$다. 이것은 무엇을 뜻할까?

$v_p = c/\sqrt{1 - (6.557/7)^2} = 2.86c$, $v_g = 0.35c$. 아래에서 동작점을 차단 쪽으로 끌면 마루(빨간 점)는 점점 빨라지고 포락선(파란 점)은 거의 멈춘다. 마루는 포락선 뒤에서 생겨 앞으로 달려 나가 사라진다.

SIMULATOR

ω–β 도표와 파속: 위상 속도와 군속도

분산 곡선 위 동작점을 끈다

모드

PTFE(비유전율 2.1)로 채움

f—

λ_g—

v_p/c—

v_g/c—

v_pv_g/c²—

WR-90. 위: 모드별 분산 곡선과 빛의 선(점선). 동작점에서 원점으로 그은 선의 기울기가 $v_p$, 접선의 기울기가 $v_g$다. 아래: 같은 동작점의 가우스 파속(관 속을 $z$로 달리는 $E_y$)으로, 빨간 점은 마루 하나를, 파란 점은 포락선의 꼭대기를 따라간다. 해볼 것: ① 동작점을 차단($\beta \to 0$) 쪽으로 끌면 $v_g \to 0$, $v_p \to \infty$. ② 높은 주파수로 끌면 두 속도 모두 $c$로 모인다. ③ PTFE로 채우면 차단이 $1/\sqrt{2.1}$로 내려가고 빛의 선도 눕는다 — $v_pv_g = c^2/2.1$.

파동 임피던스와 전달 전력

횡 전기장과 횡 자기장의 비를 파동 임피던스(wave impedance)라 한다. 위의 횡 성분 식에 $E_z = 0$ 또는 $H_z = 0$을 넣으면 모드마다 단면 전체에서 일정한 값이 나온다.

$$Z_{TE} = \frac{E_x}{H_y} = -\frac{E_y}{H_x} = \frac{\omega\mu}{\beta} = \frac{\eta}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}},\qquad Z_{TM} = \frac{\beta}{\omega\varepsilon} = \eta\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$$ $$P_{\mathrm{TE}_{10}} = \frac{1}{2}\mathrm{Re}\int_S (\mathbf E\times\mathbf H^*)\cdot\hat{\mathbf z}\,dS = \frac{|E_0|^2ab}{4Z_{TE}}$$

$\eta = \sqrt{\mu/\varepsilon}$. $Z_{TE} > \eta > Z_{TM}$. 파동 임피던스는 전송선의 특성 임피던스와 달리 전압·전류로 정의된 것이 아니어서, 도파관끼리 정합할 때는 같은 모드의 $Z$와 $\beta$를 함께 맞춘다. 전력 식은 $\sin^2(\pi x/a)$의 단면 평균이 1/2인 데서 나온다.

차단 아래: 소산 모드와 차단 감쇠기

$f < f_c$이면 $\beta^2 < 0$이다. $\beta = -j\alpha$로 쓰면 장은 $e^{-\alpha z}$로 진동 없이 줄어든다.

$$\alpha = k_c\sqrt{1 - \Big(\frac{f}{f_c}\Big)^2} \xrightarrow{f \ll f_c} k_c = \frac{\pi}{a}\ (\mathrm{TE}_{10}),\qquad \text{감쇠} = 8.686\,\alpha\ell\ \ \mathrm{dB}$$

이때 $Z_{TE}$는 순허수(유도성), $Z_{TM}$도 순허수(용량성)여서 평균 전력이 흐르지 않는다 — 11장 전반사의 소산파와 같다. 손실 매질의 감쇠와 달리 에너지가 열이 되는 것이 아니라 되돌아간다. 주파수에 거의 무관하게 길이당 $8.686\pi/a$ dB씩 줄어드는 성질을 이용한 것이 차단 감쇠기(waveguide below cutoff)다.

구멍의 깊이 표시(흰 원)를 끈다

구멍 한 변 a 주파수

MINI LAB정사각 구멍(한 변 $a$)을 짧은 도파관으로 보고 장 세기 $|E|$를 깊이에 따라 그렸다. 전자레인지 문의 금속 망, 플라스마 챔버의 관찰창 망, 장비 배기구의 벌집 환기구가 모두 이 원리다. 2.45 GHz에서 5 mm 구멍은 차단(30 GHz) 훨씬 아래라 cm당 54 dB씩 줄어든다. 주파수를 차단 위로 올리면 장이 진동하며 그대로 새어 나간다.

장비 배기구를 한 변 5.0 mm의 정사각 셀이 늘어선 벌집 금속판(두께 15 mm)으로 막았다. 2.45 GHz 누설 전기장은 한 셀을 지나며 몇 dB 줄어드는가? 같은 셀이 진행 모드가 되기 시작하는 주파수는?

풀이 보기

전략 각 셀은 $a = b = 5$ mm인 사각 도파관. 가장 낮은 모드는 $\mathrm{TE}_{10}$(=$\mathrm{TE}_{01}$), $f_c = c/2a$. 그 아래에서 $\alpha = (\pi/a)\sqrt{1 - (f/f_c)^2}$.

풀이 $f_c = 3\times10^8/(2\times0.005) = 29.98$ GHz. $\pi/a = 628.3$ m⁻¹, $\sqrt{1 - (2.45/29.98)^2} = 0.9967$, $\alpha = 626.2$ Np/m. 감쇠 $= 8.686\times626.2\times0.015 = 81.6$ dB(cm당 54.4 dB).

약 82 dB 감쇠 · 약 30 GHz부터 진행

검토 $f \ll f_c$라 감쇠는 거의 $8.686\pi\ell/a = 27.3\,\ell/a$ dB로, 주파수와 무관하다. 차폐 설계 규칙 "구멍 깊이를 지름의 3배 이상"이 여기서 나온다(약 80 dB). 셀이 많아도 각 셀이 같은 감쇠를 주므로 넓은 환기 면적을 확보할 수 있다.

도파관 손실

실제 도파관 벽은 유한한 전도도 $\sigma$를 갖고, 관을 채운 유전체에는 손실 탄젠트 $\tan\delta$가 있다. 손실이 작으면 장의 모양은 그대로 두고 감쇠만 덧붙이는 섭동법을 쓴다. 전력이 $P(z) = P_0e^{-2\alpha z}$로 줄면 단위 길이당 잃는 전력은 $P_\ell = -dP/dz = 2\alpha P$이므로

$$\alpha = \frac{P_\ell}{2P},\qquad P_\ell = \frac{R_s}{2}\oint_C |\mathbf J_s|^2\,dl,\qquad R_s = \sqrt{\frac{\omega\mu_0}{2\sigma}} = \frac{1}{\sigma\delta}$$

$\mathbf J_s = \hat{\mathbf n}\times\mathbf H$는 무손실 해의 벽 표면 전류, $R_s$는 10장의 표면 저항(표피 깊이 $\delta$만큼 두께의 면저항), $C$는 단면의 벽 둘레다.

$\mathrm{TE}_{10}$의 $H_x$와 $H_z$를 넣어 네 벽의 적분을 하면 다음 결과를 얻는다. 유전체 손실은 매질의 복소 유전율을 $k$에 넣어 얻는다.

$$\alpha_c^{\mathrm{TE}_{10}} = \frac{R_s}{\eta\,b\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}\left[1 + \frac{2b}{a}\Big(\frac{f_c}{f}\Big)^2\right]\ \mathrm{Np/m},\qquad \alpha_d = \frac{k^2\tan\delta}{2\beta}\ \mathrm{Np/m}$$

대괄호의 1은 넓은 벽의 $H_x$(종 방향 전류)에서, 둘째 항은 $H_z$(횡 방향 전류)에서 온다. Np/m에 8.686을 곱하면 dB/m. $\alpha_d$는 TE·TM 모두 같은 꼴이며, TEM이면 $\beta = k$라 10장의 $k\tan\delta/2$가 된다.

이 식에는 서로 반대로 움직이는 두 인자가 있다. 차단 가까이에서는 $\sqrt{1 - (f_c/f)^2} \to 0$ 때문에 $\alpha_c$가 발산한다 — 평면파가 거의 수직으로 벽을 수없이 때리며 조금씩만 나아가므로, 같은 거리를 가는 동안 벽 전류가 훨씬 오래 흐른다($v_g \to 0$). 주파수가 높으면 $R_s \propto \sqrt f$가 커진다. 그래서 $\mathrm{TE}_{10}$ 손실은 $f \approx 2.3f_c$ 근처(정확한 값은 $b/a$에 따라 다름)에서 최소이고, $b$를 줄이면 $1/b$에 거의 비례해 커진다.

곡선 위 점을 좌우로 끈다

높이 b/b₀

MINI LAB$\mathrm{TE}_{10}$ 도체 손실(dB/m)을 $f/f_c$에 대해 그렸다. 회색 띠는 권장 대역($1.25$–$1.9f_c$), 세로 점선은 손실이 가장 작은 주파수다. 높이 $b$를 표준값의 몇 배로 할지 바꾸면 곡선이 거의 $1/b$로 오르내리고 최소점도 옮겨 간다. 관이 커질수록(낮은 대역) 손실은 $a^{-3/2}$으로 작아진다.

구리 WR-90으로 10.0 신호를 5.0 보낸다. 표면 저항 $R_s$ = , $\alpha_c$ = 이고, 전체 손실은 — 입력 전력의 가 출구에 닿는다. 같은 길이의 고급 반강성 동축선(10 GHz에서 약 1 dB/m)이었다면 출구 전력은 뿐이다.

구리($\sigma = 5.96\times10^{7}$ S/m) WR-90의 10 GHz $\mathrm{TE}_{10}$ 도체 감쇠를 dB/m로 구하라. 손실이 가장 작은 주파수와 그때의 값은?

풀이 보기

전략 $R_s = \sqrt{\pi f\mu_0/\sigma}$를 구해 $\alpha_c$ 식에 넣는다. 최솟값은 $f$에 대해 수치로 찾는다.

풀이 $R_s = \sqrt{\pi(10^{10})(4\pi\times10^{-7})/5.96\times10^{7}} = 0.0257\ \Omega$. $f_c/f = 0.6557$, $\sqrt{1 - 0.4300} = 0.7550$. 대괄호 $= 1 + 2(10.16/22.86)(0.4300) = 1.382$. $\alpha_c = 0.0257/(376.7\times0.01016\times0.7550)\times1.382 = 0.01231$ Np/m $= 0.107$ dB/m. $f$를 바꿔 가며 계산하면 $f = 15.4$ GHz($2.35f_c$)에서 0.093 dB/m로 가장 작다.

$\alpha_c$ ≈ 0.107 dB/m(10 GHz) · 최소 약 0.093 dB/m(15.4 GHz)

검토 15.4 GHz는 이미 $\mathrm{TE}_{20}$(13.1 GHz)이 진행하는 다중 모드 영역이라 쓰지 않는다. 손실 최소와 단일 모드 대역은 서로 다른 요구다. 실제 도파관은 표면 거칠기 때문에 이론값보다 10–30% 손실이 크다.

차단 바로 위에서 쓰지 않는 이유

$f$가 $f_c$에 가까우면 손실이 급증할 뿐 아니라 군지연 $\tau_g = L/v_g$가 주파수에 따라 크게 변해(분산) 넓은 대역 신호가 찌그러지고, 제작 오차로 $a$가 조금만 달라도 $\beta$가 크게 바뀐다. 그래서 규격 대역의 아래 끝은 보통 $1.25f_c$다.

공동 공진기와 Q

도파관의 $z = 0$과 $z = d$를 도체판으로 막으면 앞뒤로 반사된 두 진행파가 정재파를 이룬다. 양 끝 판에서 횡 전기장이 0이 되려면 $\beta d = p\pi$($p$는 정수), 곧 길이가 도파 반파장의 정수배여야 한다. 이 조건을 만족하는 이산적인 주파수에서만 장이 유지되는 상자가 공동 공진기(cavity resonator)다.

도파관 속 $\mathrm{TE}_{10}$ 진행파. 마루는 $\lambda_g$마다 되풀이된다.
$z = 0$, $z = d$를 도체판으로 막는다. 판에 접선인 $E_y$는 판에서 0이어야 한다.
앞뒤 반사파가 겹쳐 정재파 $\sin(\beta z)$가 되고, $z = d$에서도 마디이려면 $\beta = p\pi/d$. 장은 시간에 따라 위아래로 출렁이기만 한다.
$\beta^2 = k^2 - k_c^2$에 넣으면 공진 파수는 세 방향의 "반파장 개수"로 정해진다. 상자는 이 주파수들에서만 에너지를 담는다.

공동 공진기는 양 끝이 단락된 도파관 토막이다. 12장 전송선의 단락 스터브가 $\lambda/2$의 정수배 길이에서 공진하는 것과 같은 원리다.

$$f_{mnp} = \frac{1}{2\sqrt{\mu\varepsilon}}\sqrt{\Big(\frac{m}{a}\Big)^2 + \Big(\frac{n}{b}\Big)^2 + \Big(\frac{p}{d}\Big)^2}$$

$\mathrm{TE}_{mnp}$: $(m, n) \ne (0, 0)$, $p \ge 1$. $\mathrm{TM}_{mnp}$: $m, n \ge 1$, $p \ge 0$. $b < a < d$이면 가장 낮은 공진은 $\mathrm{TE}_{101}$이다.

$\mathrm{TE}_{101}$의 장은 진행파 둘을 더해 얻는다($E_0$는 실수 진폭).

$$E_y = E_0\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi z}{d},\quad H_x = \frac{-jE_0}{Z_{TE}}\sin\frac{\pi x}{a}\cos\frac{\pi z}{d},\quad H_z = \frac{j\pi E_0}{k\eta a}\cos\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi z}{d}$$

전기장과 자기장 사이의 $j$는 시간으로 90° 어긋남을 뜻한다. 전기장이 최대인 순간 자기장은 0이고, 반 주기의 4분의 1 뒤에는 거꾸로다. 에너지가 LC 회로처럼 전기 에너지와 자기 에너지 사이를 오간다. 공진에서 시간 평균 $W_e = W_m$.

품질 계수 Q

공진기의 성능은 저장한 에너지에 비해 얼마나 적게 잃는가로 잰다. 이것이 품질 계수(quality factor)다.

$$Q = \omega_0\frac{W}{P_{loss}} = 2\pi\frac{\text{저장 에너지}}{\text{한 주기 동안 잃는 에너지}},\qquad \frac{1}{Q} = \frac{1}{Q_c} + \frac{1}{Q_d} + \frac{1}{Q_{ext}},\qquad \Delta f_{3\,\mathrm{dB}} = \frac{f_0}{Q}$$ $$Q_c^{\mathrm{TE}_{101}} = \frac{(kad)^3\,b\,\eta}{2\pi^2R_s}\,\frac{1}{2a^3b + 2bd^3 + a^3d + ad^3},\qquad Q_d = \frac{1}{\tan\delta}$$

$Q_c$는 벽의 도체 손실, $Q_d$는 채운 유전체 손실, $Q_{ext}$는 결합 구멍이나 안테나로 바깥 회로에 빠져나가는 전력에 따른 것이다. 전체를 부하 Q($Q_L$), 내부 손실만을 무부하 Q($Q_0$)라 한다. 외부를 끄면 저장 에너지는 $W(t) = W_0e^{-\omega_0t/Q}$로 줄어 $\tau = Q/\omega_0$이다. 공진 곡선(전력)의 반치 전폭이 $f_0/Q$다.

도체 공동은 $Q_c$가 $10^3$–$10^4$대로, RLC 집중 회로(수십–수백)보다 훨씬 높다. 대략 $Q_c \sim (\text{부피}/\text{표면적})/\delta$ — 에너지는 부피에 저장되고 손실은 표피 깊이 두께의 벽 껍질에서만 생기기 때문이다. 결합 구멍을 키워 $Q_{ext} = Q_0$로 맞추면 공진에서 반사가 0이 되는데, 이를 임계 결합이라 하며 그때 $Q_L = Q_0/2$이다.

$\mathrm{TE}_{101}$로 공진하는 상자의 높이 $b$를 절반으로 줄이면 공진 주파수와 $Q_c$는?

$f_{101}$에는 $b$가 없다($n = 0$). 그러나 부피 대비 벽 면적이 커져 $Q_c$는 줄어든다. 아래에서 $b$ 슬라이더로 확인하라.

SIMULATOR

직육면체 공동: 2.45 GHz에 맞춰라

높이 b

벽 금속

a×b×d (mm)—

TE₁₀₁—

다음 공진—

Q_c, 대역폭—

목표—

왼쪽: 공동을 위에서 본 $x$–$z$ 단면으로, 오른쪽 위 모서리(흰 원)를 끌어 $a$와 $d$를 바꾼다. 색은 $E_y$, 파란 화살표는 자기장 $(H_x, H_z)$이며, 재생하면 전기장과 자기장이 90° 어긋나 번갈아 커진다. 오른쪽 위: 3.6 GHz 아래 공진 모드의 막대, 아래: 전기·자기 에너지의 시간 변화. 목표: $\mathrm{TE}_{101}$을 2.450 GHz ± 0.2%에 맞추고, 다음 공진 모드가 2.45 GHz보다 20% 이상 위에 있게 하라(다른 모드가 섞이지 않도록). 해볼 것: ① $a = d$로 하면 $\mathrm{TE}_{102}$와 $\mathrm{TE}_{201}$이 겹친다(축퇴). ② $b$를 키우면 $Q_c$가 커지지만 $b > a$이거나 $b > d$이면 다른 모드가 내려온다.

반치점(흰 원)을 좌우로 끈다

외부 결합 Q_ext/Q₀

MINI LAB공진 곡선 $P(f)/P_{max} = 1/[1 + 4Q^2((f - f_0)/f_0)^2]$과 링다운. 반치점을 끌어 $Q$를 바꾸면 곡선의 폭과 감쇠 시간 $\tau = Q/\omega_0$가 함께 바뀐다. 외부 결합을 강하게 하면($Q_{ext}$가 작아지면) 부하 Q가 떨어져 곡선이 넓어진다. 가로축은 $(f - f_0)$을 $f_0 = 2.45$ GHz 기준 ppm으로 나타냈다.

공진 주파수 2.45, 무부하 Q가 13000인 공동은 반치 전폭 로 날카롭게 공진하고, 전원을 끊으면 저장 에너지가 마다 $1/e$로 줄어 약 주기 동안 울린다. 임계 결합이면 부하 Q는 이다.

WR-340 단면($a$ = 86.36 mm, $b$ = 43.18 mm)의 알루미늄($\sigma = 3.77\times10^{7}$ S/m) 관 토막 양 끝을 막아 $\mathrm{TE}_{101}$이 2.45 GHz에서 공진하게 하려 한다. 길이 $d$, $Q_c$, 대역폭을 구하라.

풀이 보기

전략 $(2f/c)^2 = 1/a^2 + 1/d^2$에서 $d$. 그다음 $Q_c$ 식에 $k = 2\pi f/c$, $R_s$를 넣는다.

풀이 $2f/c = 16.344$ m⁻¹, $1/a = 11.579$ m⁻¹. $1/d = \sqrt{16.344^2 - 11.579^2} = 11.535$ m⁻¹ → $d = 86.7$ mm(= $\lambda_g/2$, $\lambda_g$ = 173.4 mm). $R_s = \sqrt{\pi(2.45\times10^9)(4\pi\times10^{-7})/3.77\times10^{7}} = 0.0160\ \Omega$. $k = 51.35$ m⁻¹, $kad = 0.3844$. $Q_c = (0.3844)^3(0.04318)(376.7)/(2\pi^2\times0.0160)\,/\,(2a^3b + 2bd^3 + a^3d + ad^3) = 1.30\times10^{4}$. $\Delta f = 2.45\ \mathrm{GHz}/13050 = 188$ kHz.

$d$ ≈ 86.7 mm, $Q_c$ ≈ 1.3×10⁴, $\Delta f$ ≈ 0.19 MHz

검토 $d \approx a$라 $\mathrm{TE}_{102}$(3.869 GHz)와 $\mathrm{TE}_{201}$(3.878 GHz)이 거의 겹친다 — 첫 공진과는 충분히 떨어져 있다. 실제 마그네트론은 주파수가 수 MHz 출렁이므로 이렇게 날카로운 공동은 쓰지 않고, 플라스마를 넣으면 플라스마 흡수가 $Q$를 수십–수백으로 낮춘다.

도파관형 마이크로파 플라스마 원(다운스트림 애셔의 한 형태). 끝을 막은 쇼트에서 $\lambda_g/4$ 떨어진 곳이 정재파 전기장의 배이므로 그 자리에 석영관을 꿰어 기체를 방전시킨다. 튜너는 플라스마가 켜지며 바뀌는 부하를 정합하고, 아이솔레이터는 남은 반사파로부터 마그네트론을 보호한다.

2.45 GHz 마이크로파 애셔와 ECR 식각

감광막을 산소 라디칼로 태워 없애는 애싱에는 전자레인지와 같은 2.45 GHz 마그네트론을 쓰는 장비가 많다. 전력은 WR-340이나 WR-284 $\mathrm{TE}_{10}$ 도파관으로 석영(또는 사파이어) 방전관까지 옮기고, 플라스마는 웨이퍼에서 떨어진 곳에 만들어 이온 없이 라디칼만 흘려보낸다(다운스트림). 웨이퍼에 이온 손상이 없고 등방성으로 빠르게 지운다. 같은 주파수에 875 G 자기장을 겹치면 전자의 사이클로트론 주파수 $eB/2\pi m_e$가 2.45 GHz와 같아지는 면에서 전자가 마이크로파를 공명 흡수한다 — ECR 플라스마는 차단 밀도($7.4\times10^{10}$ cm⁻³)를 넘는 고밀도를 1 mTorr 근처에서 만든다. 마이크로파 전원의 반사 전력 경보, 튜너 위치, 석영관의 국부 과열은 모두 이 장의 정재파·정합 문제다. → EtchBook · 반응기: 배럴에서 ICP까지, LithoBook · 패턴 전사(애싱)

패키지 전원면의 공동 공진

패키지 기판과 PCB의 전원면–접지면 쌍은 유전체를 사이에 둔 평행판 도파관이고, 가장자리가 열려 있어 크기 $a\times b$의 공동처럼 $f_{mn} = \tfrac{c}{2\sqrt{\varepsilon_r}}\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2}$에서 공진한다. 20 mm × 20 mm, $\varepsilon_r$ = 4인 면 쌍은 3.75 GHz에서 첫 공진을 일으키고, 그 주파수에서 전원망 임피던스가 치솟아 동시 스위칭 잡음과 전자파 방사가 커진다. 디커플링 커패시터, 면 사이를 촘촘히 잇는 비아(스티칭), 얇은 유전체(손실로 Q를 낮춤)가 대책이다(13장 전원망 임피던스). → PackagingBook · 기판과 패키지 형태

유전체 슬랩과 광섬유

빛의 진동수(수백 THz)에서는 금속 벽이 손실 덩어리다. 대신 11장의 전반사를 쓴다. 굴절률이 큰 층(코어, $n_1$)을 굴절률이 작은 층(클래딩, $n_2$)이 감싸면 임계각 $\theta_c = \sin^{-1}(n_2/n_1)$보다 비스듬히 경계를 때리는 빛은 모두 반사되어 코어에 갇힌다. 가장 간단한 구조가 두께 $d$인 대칭 유전체 슬랩 도파로(dielectric slab waveguide)다.

왼쪽: 슬랩 도파로의 광선 그림. 경계에서 전반사할 때마다 빛은 클래딩으로 조금 스며들었다 돌아온다(11장의 소산파). 오른쪽: 실리콘 포토닉스의 SOI 단면. 굴절률 차가 커서 빛을 0.2 µm 두께에 가두고 수 µm 반지름으로 꺾을 수 있다.

광선 그림만으로는 아무 각도나 허용될 것 같지만 그렇지 않다. 경계를 두 번 때리고 돌아온 파가 원래 파와 같은 위상이어야 겹쳐서 살아남는다(횡 공진 조건): $2k_0n_1d\cos\theta - 2\phi_r = 2\pi m$. 여기서 $\phi_r$은 전반사의 위상 이동(11장)이다. 금속 도파관에서 $\phi_r = \pi$였던 것이 유전체에서는 각도에 따라 바뀔 뿐이다. 장으로 정확히 풀어 보자. TE 모드($\mathbf E = \hat{\mathbf y}E_y$)에서 $\beta$를 $z$ 방향 전파 상수라 하면 코어 안($|x| < d/2$)과 밖은

$$E_y = \begin{cases}A\cos(\kappa x)\ \text{또는}\ A\sin(\kappa x) & |x| < d/2\\ Be^{-\gamma(|x| - d/2)} & |x| > d/2\end{cases},\qquad \kappa^2 = k_0^2n_1^2 - \beta^2,\quad \gamma^2 = \beta^2 - k_0^2n_2^2$$ $$\text{짝 모드: } \gamma = \kappa\tan\frac{\kappa d}{2},\qquad \text{홀 모드: } \gamma = -\kappa\cot\frac{\kappa d}{2},\qquad u^2 + w^2 = V^2$$

$u = \kappa d/2$, $w = \gamma d/2$, $V = \dfrac{k_0d}{2}\sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \dfrac{\pi d}{\lambda}\,\mathrm{NA}$. 경계에서 $E_y$와 $\partial E_y/\partial x$(곧 $H_z$)가 연속이라는 조건에서 나온다. 해는 반지름 $V$인 원과 $u\tan u$, $-u\cot u$ 곡선의 교점으로 그래프에서 찾는다. 유효 굴절률 $n_{eff} = \beta/k_0$는 늘 $n_2 < n_{eff} < n_1$이다.

$V$ 수는 슬랩의 두께와 굴절률 차를 하나로 묶은 "모드를 담는 그릇의 크기"다. $\mathrm{TE}_m$ 모드는 $V > m\pi/2$일 때 존재하므로 TE 모드의 수는 $\lfloor 2V/\pi\rfloor + 1$이고, 대칭 슬랩의 기본 모드($\mathrm{TE}_0$)에는 차단이 없다. 하나의 TE 모드만 남는 단일 모드 조건은

$$V < \frac{\pi}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad d < \frac{\lambda}{2\sqrt{n_1^2 - n_2^2}} = \frac{\lambda}{2\,\mathrm{NA}}$$

$\mathrm{NA} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$는 개구수(numerical aperture)로, 공기 중에서 도파로 끝으로 받아들일 수 있는 최대 입사각의 사인이다(1을 넘으면 모든 각을 받는다). 클래딩 쪽 장의 침투 깊이는 $1/\gamma$.

Si($n$ = 3.476)/SiO₂($n$ = 1.444) 슬랩에서 1550 nm 빛이 TE 단일 모드로 가는 최대 두께는 얼마쯤일까?

$d_{max} = \lambda/(2\,\mathrm{NA}) = 1550/(2\times3.162) = 245$ nm. 굴절률 차가 클수록 코어를 얇게 해야 단일 모드가 된다. 그래서 실리콘 포토닉스의 표준 SOI 두께가 220 nm다. 아래에서 코어 두께를 끌어 둘째 모드가 생기는 순간을 찾아라.

SIMULATOR

슬랩 도파로: 모드 그래프 풀이와 모드 모양

코어 위 경계(흰 원)를 위아래로 끈다

재료

파장 λ 표시 모드

두께 d—

V—

TE 모드 수—

n_eff—

침투 깊이 1/γ—

단일 모드 최대 d—

왼쪽: $u$–$w$ 평면의 그래프 풀이. 빨강은 짝 모드 곡선 $w = u\tan u$, 파랑은 홀 모드 곡선 $w = -u\cot u$, 점선 원은 $u^2 + w^2 = V^2$이고 교점 하나하나가 모드다. 오른쪽: 선택한 모드의 $E_y(x)$와 코어(띠). 해볼 것: ① Si/SiO₂에서 두께를 245 nm 위로 늘려 $\mathrm{TE}_1$이 생기는 순간을 본다. ② 220 nm에서 클래딩 침투 깊이(약 100 nm)를 확인한다 — BOX가 수 µm여야 기판으로 새지 않는 이유. ③ 유리(Δ 1%)로 바꾸면 같은 단일 모드에 수 µm 두께가 필요하고 장이 넓게 퍼진다.

Si($n_1$ = 3.476)를 SiO₂($n_2$ = 1.444)가 위아래로 감싼 슬랩에서 $\lambda$ = 1550 nm일 때, (a) TE 단일 모드 최대 두께, (b) 두께 220 nm에서 $V$와 $\mathrm{TE}_0$의 유효 굴절률, (c) 산화막 쪽 침투 깊이를 구하라.

풀이 보기

전략 (a) $d_{max} = \lambda/2\mathrm{NA}$. (b) $u\tan u = \sqrt{V^2 - u^2}$를 수치로 푼다(이분법). (c) $1/\gamma = d/2w$.

풀이 $\mathrm{NA} = \sqrt{3.476^2 - 1.444^2} = 3.162$. (a) $d_{max} = 1550/(2\times3.162) = 245$ nm. (b) $V = \pi(220)(3.162)/1550 = 1.410 < \pi/2$ → 단일 모드. 풀면 $u = 0.889$, $w = 1.094$. $\kappa = 2u/d = 8.08\ \mu\mathrm m^{-1}$, $k_0 = 4.054\ \mu\mathrm m^{-1}$, $n_{eff} = \sqrt{n_1^2 - (\kappa/k_0)^2} = 2.848$. (c) $\gamma = 2w/d = 9.95\ \mu\mathrm m^{-1}$ → $1/\gamma = 101$ nm.

(a) 245 nm (b) $V$ = 1.41, $n_{eff}$ ≈ 2.85 (c) 약 100 nm

검토 $n_2 < n_{eff} < n_1$ ✓. 실제 폭 450–500 nm인 띠(strip) 도파로는 옆으로도 갇혀 $n_{eff}$가 2.4 근처로 더 작다. 장의 $e^{-2}$ 세기 꼬리가 수백 nm이므로 BOX가 2 µm 이상이면 기판 누설이 무시할 만하다.

광섬유

원통 코어(반지름 $a$, $n_1$)를 클래딩($n_2$)이 감싼 계단형 광섬유도 같은 원리다. 모드는 베셀 함수로 표현되고($\mathrm{HE}_{11}$이 기본 모드, 약한 도파 근사에서는 $\mathrm{LP}_{01}$), $V$ 수를 반지름으로 정의한다.

$$V = \frac{2\pi a}{\lambda}\,\mathrm{NA} = \frac{2\pi a}{\lambda}\sqrt{n_1^2 - n_2^2},\qquad \text{단일 모드: } V < 2.405,\qquad \lambda_c = \frac{2\pi a\,\mathrm{NA}}{2.405}$$

2.405는 $J_0$의 첫 영점으로, 다음 모드($\mathrm{LP}_{11}$)의 차단이다. 차단 파장 $\lambda_c$보다 긴 파장에서 단일 모드가 된다. $V$가 크면 모드 수는 약 $V^2/2$(편광 포함). 기본 모드는 가우스 모양에 가깝고 모드장 지름은 $2w \approx 2a(0.65 + 1.619V^{-3/2} + 2.879V^{-6})$(마르쿠제 근사).

코어 가장자리(흰 원)를 끈다

NA 파장

MINI LAB광섬유 단면(왼쪽)과 기본 모드의 세기 분포(오른쪽, 분홍 띠는 코어, 점선은 모드장 반지름 $w$). 코어 반지름을 끌어 $V$를 2.405 위로 올리면 둘째 모드가 생긴다. 단일 모드 광섬유는 1310·1550 nm에서 $V$ ≈ 2 근처가 되도록 코어 지름 8–9 µm, NA ≈ 0.12로 만든다. $V$가 작아지면 모드가 클래딩으로 크게 퍼져 굽힘에 약해진다.

코어 반지름 4.0 µm, NA = 0.12인 계단형 광섬유의 1310 nm와 1550 nm에서 $V$ 수, 그리고 차단 파장을 구하라.

풀이 보기

전략 $V = 2\pi a\,\mathrm{NA}/\lambda$, $\lambda_c = 2\pi a\,\mathrm{NA}/2.405$.

풀이 $2\pi a\,\mathrm{NA} = 2\pi(4.0)(0.12) = 3.016$ µm. 1310 nm: $V = 2.302$. 1550 nm: $V = 1.946$. $\lambda_c = 3.016/2.405 = 1.254$ µm.

$V$(1310) = 2.30, $V$(1550) = 1.95, $\lambda_c$ ≈ 1254 nm

검토 두 통신 파장 모두 $V < 2.405$라 단일 모드다. 850 nm에서는 $V = 3.55$로 $\mathrm{LP}_{01}$과 $\mathrm{LP}_{11}$(다음 차단 3.832 아래) 두 무리의 모드가 진행해 모드 분산이 생긴다.

실리콘 포토닉스와 SOI 웨이퍼

실리콘은 1.1 µm보다 긴 파장에 투명하고 굴절률이 3.48이라 SiO₂(1.44)와의 차가 매우 크다. 그래서 220 nm 두께 SOI의 Si층을 폭 0.45–0.5 µm 띠로 식각하면 1550 nm에서 단일 모드 도파로가 되고, 반지름 수 µm로 꺾어도 빛이 새지 않아 CMOS 공정으로 변조기·분파기·링 공진기를 촘촘히 집적할 수 있다. 링 공진기는 이 장의 공동 공진기를 빛으로 옮긴 것으로, 둘레가 유효 파장의 정수배일 때 공진하며 Q가 $10^4$–$10^6$이다. 검출은 Si가 흡수하지 못하는 1550 nm를 위해 Ge를 선택 성장해 만든다. AI 데이터센터의 광 엔진·CPO(공동 패키지 광학)가 이 위에 서 있다. 공정에서 가장 민감한 것은 측벽 거칠기(산란 손실, dB/cm)와 Si 두께 균일도(±몇 nm가 $n_{eff}$와 링 공진 파장을 바꾼다)다. → ProcessBook · 실리콘 웨이퍼와 세정(SOI), DeviceBook · 광전자 소자

이미지 센서 픽셀은 짧은 광도파로다

1 µm 안팎의 CMOS 이미지 센서 픽셀에서 컬러 필터($n \approx 1.6$–1.7)를 저굴절 산화물 격자($n \approx 1.3$)가 둘러싸면, 그 칸은 폭 0.8 µm짜리 유전체 도파로가 된다. 550 nm 빛에서 $V = (\pi d/\lambda)\mathrm{NA} \approx 4.6$으로 TE 모드가 세 개뿐인 "소수 모드" 도파로라, 광선 추적이 아니라 이 장의 모드 해석(과 FDTD)으로 설계한다. 기울어 들어온 빛이 이웃 픽셀로 넘어가는 광학 혼색을 이 격자와 실리콘 속 깊은 트렌치 격리(DTI)가 막는다. → SensorBook · 픽셀 구조

핵심 정리

$z$로 균일한 구조의 유도파는 $E_z, H_z$만 풀면 횡 성분이 모두 정해진다. $k_c^2 = k^2 - \beta^2$에 따라 TEM($k_c = 0$, 도체 둘 이상), TE($E_z = 0$), TM($H_z = 0$)으로 나뉘며, 속이 빈 도파관에는 TEM이 없다.
평행판 $\mathrm{TE}_n$·$\mathrm{TM}_n$과 사각 도파관 $\mathrm{TE}_{mn}$·$\mathrm{TM}_{mn}$의 차단 주파수는 $f_{c,mn} = \tfrac{v}{2}\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2}$. 모드는 벽 사이를 각 $\psi$($\sin\psi = f_c/f$)로 튕기는 평면파의 합이다. 기본 모드 $\mathrm{TE}_{10}$의 차단은 $c/2a$이고 $b \le a/2$이면 단일 모드 대역이 한 옥타브다.
분산 $\beta = k\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$: $\lambda_g = \lambda/\sqrt{\cdots}$, $v_p = v/\sqrt{\cdots} > v$, $v_g = v\sqrt{\cdots} < v$, $v_pv_g = v^2$. $Z_{TE} = \eta/\sqrt{\cdots}$, $Z_{TM} = \eta\sqrt{\cdots}$, $P_{\mathrm{TE}_{10}} = |E_0|^2ab/4Z_{TE}$.
차단 아래에서는 $\alpha = k_c\sqrt{1 - (f/f_c)^2}$로 소산되어 전력이 흐르지 않는다. 작은 구멍과 벌집 환기구는 깊이당 약 $27.3/a$ dB의 차단 감쇠기다.
손실은 $\alpha = P_\ell/2P$. $\mathrm{TE}_{10}$ 도체 손실은 차단 근처에서 발산하고 약 $2.3f_c$에서 최소, $1/b$에 거의 비례한다. 유전체 손실은 $\alpha_d = k^2\tan\delta/2\beta$.
공동 공진기는 단락된 도파관: $f_{mnp} = \tfrac{v}{2}\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2 + (p/d)^2}$, 기본은 $\mathrm{TE}_{101}$. $Q = \omega W/P_{loss}$, $1/Q_L = 1/Q_c + 1/Q_d + 1/Q_{ext}$, $\Delta f = f_0/Q$, $\tau = Q/\omega_0$. 금속 공동의 $Q_c$는 $10^3$–$10^4$.
유전체 도파로는 전반사로 빛을 가둔다. 대칭 슬랩: $V = (\pi d/\lambda)\mathrm{NA}$, TE 단일 모드 $d < \lambda/2\mathrm{NA}$(Si/SiO₂, 1550 nm에서 245 nm). 광섬유: $V = (2\pi a/\lambda)\mathrm{NA} < 2.405$이면 단일 모드.

연습문제

$c = 2.998\times10^{8}$ m/s, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ H/m, $\eta_0 = 376.7\ \Omega$. 전도도: Cu $5.96\times10^{7}$, Al $3.77\times10^{7}$ S/m. 따로 말이 없으면 도파관은 공기로 채워져 있다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

간격 2.0 mm인 공기 평행판 도파관에서 $\mathrm{TE}_1$·$\mathrm{TM}_1$ 모드의 차단 주파수는?

$f_{c,1} = c/2d = 2.998\times10^{8}/(4.0\times10^{-3}) = 7.50\times10^{10}$ Hz = 75.0 GHz. 그 아래에서는 TEM만 진행한다.

WR-284($a$ = 72.14 mm, $b$ = 34.04 mm)의 $\mathrm{TE}_{10}$ 차단 주파수와 단일 모드 대역의 위쪽 끝은?

위쪽 끝은 $\mathrm{TE}_{20}$($c/a$)과 $\mathrm{TE}_{01}$($c/2b$) 가운데 낮은 쪽.

$f_{c,10} = c/2a = 2.078$ GHz. $\mathrm{TE}_{20}$: 4.156 GHz, $\mathrm{TE}_{01}$: $c/2b = 4.404$ GHz. 위쪽 끝은 $\mathrm{TE}_{20}$의 4.16 GHz. 2.45 GHz는 $1.18f_c$로 단일 모드 대역 안이지만 차단에 꽤 가깝다.

WR-90($a$ = 22.86 mm)에서 9.0 GHz $\mathrm{TE}_{10}$의 도파 파장, 위상 속도, 군속도는?

$f_c$ = 6.557 GHz. $\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$를 먼저 구한다.

$\sqrt{1 - (6.557/9)^2} = 0.6850$. $\lambda_0 = 3.331$ cm, $\lambda_g = 3.331/0.6850 = 4.86$ cm. $v_p = c/0.6850 = 4.38\times10^{8}$ m/s, $v_g = 0.6850c = 2.05\times10^{8}$ m/s. $v_pv_g = c^2$ ✓.

WR-90 $\mathrm{TE}_{10}$의 12 GHz에서 파동 임피던스와 도파 파장은?

$\sqrt{1 - (6.557/12)^2} = 0.8375$. $Z_{TE} = 376.7/0.8375 = 450\ \Omega$. $\lambda_g = 2.498/0.8375 = 2.98$ cm.

마그네트론에서 플라스마 원까지 WR-284 도파관 10 m로 2.45 GHz 펄스를 보낸다. 군지연은 얼마이고, 같은 거리를 자유 공간으로 갈 때보다 얼마나 늦는가?

$f_c$ = 2.078 GHz, $v_g = c\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$.

$\sqrt{1 - (2.078/2.45)^2} = 0.5298$, $v_g = 1.588\times10^{8}$ m/s. $\tau_g = 10/v_g = 63.0$ ns. 자유 공간 33.4 ns보다 29.6 ns 늦다.

WR-90에 4.0 GHz 신호를 넣으면 $\mathrm{TE}_{10}$이 소산된다. 길이 5.0 cm를 지나며 장이 몇 dB 줄어드는가?

$\alpha = (\pi/a)\sqrt{1 - (4/6.557)^2} = 137.4\times0.7924 = 108.9$ Np/m. 감쇠 $= 8.686\times108.9\times0.050 = 47.3$ dB.

WR-90을 PTFE($\varepsilon_r$ = 2.1)로 가득 채우면 $\mathrm{TE}_{10}$ 차단 주파수는?

$f_c = c/(2a\sqrt{\varepsilon_r}) = 6.557/\sqrt{2.1} = 4.52$ GHz. 같은 주파수를 더 작은 관으로 보낼 수 있지만 유전체 손실이 더해진다.

알루미늄 WR-340($a$ = 86.36 mm, $b$ = 43.18 mm)으로 2.45 GHz, 1.0 kW를 3.0 m 보낸다. $\mathrm{TE}_{10}$ 도체 감쇠(dB/m)와, 벽에서 열로 잃는 전력은?

$R_s = \sqrt{\pi f\mu_0/\sigma}$, $f_c$ = 1.736 GHz. 잃는 전력 $= P_0(1 - e^{-2\alpha L})$.

$R_s = 0.01602\ \Omega$. $(f_c/f)^2 = 0.5019$, $\sqrt{1 - 0.5019} = 0.7058$. $\alpha_c = \frac{0.01602}{376.7\times0.04318\times0.7058}[1 + 2(0.5)(0.5019)] = 2.095\times10^{-3}$ Np/m = 0.0182 dB/m. $1 - e^{-2(0.002095)(3)} = 0.0125$ → 12.5 W.

안쪽 치수 $a$ = 2.0 cm, $b$ = 1.0 cm, $d$ = 3.0 cm인 공기 공동의 가장 낮은 공진 주파수와 그다음 공진 주파수는?

후보: $\mathrm{TE}_{101}$, $\mathrm{TE}_{102}$, $\mathrm{TE}_{201}$, $\mathrm{TE}_{011}$, $\mathrm{TM}_{110}$을 모두 계산해 비교한다.

$f = \tfrac c2\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2 + (p/d)^2}$. $\mathrm{TE}_{101}$: $\tfrac c2\sqrt{2500 + 1111} = 9.01$ GHz. $\mathrm{TE}_{102}$: $\tfrac c2\sqrt{2500 + 4444} = 12.49$ GHz. $\mathrm{TE}_{011}$·$\mathrm{TE}_{201}$: 15.80 GHz, $\mathrm{TM}_{110}$: 16.76 GHz. 둘째는 $\mathrm{TE}_{102}$의 12.5 GHz.

10 GHz에서 $Q$ = 8000인 공진기의 반치 전폭과 저장 에너지의 감쇠 시간 상수는?

$\Delta f = f_0/Q = 10^{10}/8000 = 1.25$ MHz. $\tau = Q/\omega_0 = 8000/(2\pi\times10^{10}) = 1.27\times10^{-7}$ s = 127 ns.

질화 규소($n$ = 2.00) 코어를 SiO₂($n$ = 1.444)가 위아래로 감싼 대칭 슬랩이 1550 nm에서 TE 단일 모드인 최대 두께는?

$V = (\pi d/\lambda)\mathrm{NA} < \pi/2$.

$\mathrm{NA} = \sqrt{4.00 - 2.085} = 1.384$. $d_{max} = 1550/(2\times1.384) = 560$ nm. Si보다 굴절률 차가 작아 코어를 두 배 이상 두껍게 할 수 있고, 모드가 넓게 퍼져 측벽 거칠기 산란이 적다(저손실 SiN 포토닉스).

코어 반지름 4.5 µm, NA = 0.12인 계단형 광섬유의 1550 nm에서 $V$ 수와 차단 파장은?

$V = 2\pi(4.5)(0.12)/1.55 = 2.19 < 2.405$ → 단일 모드. $\lambda_c = 2\pi(4.5)(0.12)/2.405 = 1.411$ µm = 1411 nm. 이 광섬유는 1310 nm($V$ = 2.59)에서는 다중 모드다.

WR-340 $\mathrm{TE}_{10}$로 2.45 GHz를 보낼 때, 관 가운데 전기장 진폭이 공기 절연 파괴 세기 3.0 MV/m에 이르는 전력은? (실제 정격은 정재파와 습도 때문에 이 값의 수분의 1로 잡는다.)

$P = |E_0|^2ab/4Z_{TE}$, $Z_{TE} = \eta_0/\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$.

$Z_{TE} = 376.7/0.7058 = 533.8\ \Omega$. $P = (3.0\times10^{6})^2(0.08636)(0.04318)/(4\times533.8) = 1.57\times10^{7}$ W = 15.7 MW. 같은 주파수의 동축선은 kW급에서 이미 절연체 가열과 중심 도체 손실이 문제다.

속이 빈 사각 도파관에 존재할 수 없는 모드는?

TEM은 단면에서 라플라스 방정식을 만족해야 하는데, 도체가 하나뿐이면 벽 전체가 한 등전위라 해가 0뿐이다. ($\mathrm{TM}_{10}$, $\mathrm{TM}_{01}$도 $E_z \equiv 0$이라 존재하지 않는다.)

공기 도파관의 한 모드에 대해 옳은 것은?

$v_p = c/\sqrt{1 - (f_c/f)^2}$는 주파수가 높을수록 $c$로 작아지고, 차단에서 $v_g = 0$, $\lambda_g > \lambda_0$이다. $v_pv_g = c^2$만 늘 성립한다.

개념 확인 퀴즈

전자레인지 문의 금속 망 너머로 음식은 보이지만 2.45 GHz 마이크로파는 새지 않는다. 가장 알맞은 설명은?

구멍 한 변 수 mm의 차단은 수십 GHz다. 2.45 GHz는 훨씬 아래라 깊이당 약 $27.3/a$ dB로 줄어든다. 가시광(~600 THz)은 차단보다 아득히 높아 수많은 모드로 그대로 지나간다.

$\mathrm{TE}_{10}$ 모드의 차단 주파수를 정하는 치수는?

$f_{c,10} = c/2a$. $b$는 $\mathrm{TE}_{01}$의 차단(단일 모드 대역 위쪽 끝), 도체 손실($\propto 1/b$), 전력 한계($\propto b$)를 정한다.

도파관 속 $\mathrm{TE}_{10}$의 위상 속도가 $c$보다 큰데도 인과율에 어긋나지 않는 이유를 지그재그 그림으로 가장 잘 설명한 것은?

가위의 두 날이 만나는 점이 날보다 빨리 움직일 수 있는 것과 같다. 정보는 포락선, 곧 군속도로 간다.

같은 크기의 구리 공동을 은으로 도금하면 $Q_c$는 대략 어떻게 되나? ($\sigma_{Ag}/\sigma_{Cu}$ ≈ 1.06)

$R_s = \sqrt{\omega\mu_0/2\sigma}$이므로 $\sqrt{1.06} = 1.03$. 실제로는 표면 거칠기와 산화막의 영향이 더 커서, 표피 깊이(10 GHz에서 약 0.6 µm)보다 매끈하게 연마하는 것이 도금 재료보다 중요하다.

실리콘 포토닉스 도파로는 반지름 수 µm로 꺾을 수 있지만 유리 광섬유는 수 mm–cm보다 작게 감으면 빛이 샌다. 주된 이유는?

굽힘의 바깥쪽에서는 모드의 꼬리가 빛보다 빨리 움직여야 해서 결국 방사로 샌다. 굴절률 차가 클수록 꼬리($1/\gamma$)가 짧아 그 지점이 멀어진다. 대가로 측벽 거칠기에 민감해 산란 손실이 크다.

유도파의 일반 해석과 평행판 도파관

평행판 도파관

지그재그 평면파 그림

평행판 모드 = 튕기는 평면파 두 개

사각 도파관의 TE·TM 모드

모드 지도: 단일 모드 도파관 설계하기

TEmn·TMmn 장 무늬

분산, 군속도, 파동 임피던스

ω–β 도표와 파속: 위상 속도와 군속도

파동 임피던스와 전달 전력

차단 아래: 소산 모드와 차단 감쇠기

도파관 손실

공동 공진기와 Q

품질 계수 Q

직육면체 공동: 2.45 GHz에 맞춰라

유전체 슬랩과 광섬유

슬랩 도파로: 모드 그래프 풀이와 모드 모양

광섬유

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈

TE_mn·TM_mn 장 무늬