Chapter 09

맥스웰 방정식

교류 전원에 커패시터를 물리면 도선에는 전류가 흐르는데, 두 판 사이 진공에는 전하가 한 개도 건너가지 않는다. 그런데 커패시터 둘레에 나침반을 대면 도선 둘레와 똑같이 바늘이 돈다. 1865년 맥스웰은 앙페르 법칙에 "변하는 전기장도 전류처럼 자기장을 만든다"는 항 하나를 더해 이 수수께끼를 풀었고, 그 대가로 빛이 전자기파라는 결론을 얻었다. 이 장은 그 변위 전류로 네 방정식을 완성한 뒤, 경계 조건, 퍼텐셜과 게이지, 지연 퍼텐셜, 페이저, 에너지의 흐름(포인팅 벡터)과 운동량을 차례로 다룬다. 마지막에는 1–8장의 준정적 근사가 언제 깨지는지 — 13.56 MHz에서는 멀쩡하던 300 mm 전극이 60 MHz에서 가운데만 세게 타는 이유 — 를 본다. 먼저 아래 앙페르 고리에 걸친 면을 늘려 판 사이로 밀어 넣어 보자.

면의 끝(흰 원)을 좌우로 끈다

변위 전류와 맥스웰 방정식의 완성

6장의 앙페르 법칙 \(\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l = \int_S\mathbf J\cdot d\mathbf S\)에는 숨은 약속이 하나 있다. 고리 \(C\)를 테두리로 하는 곡면 \(S\)는 아무것이나 골라도 된다. 정상 전류에서는 이 약속이 지켜진다. 전류가 어디서 생기거나 사라지지 않으므로(\(\nabla\cdot\mathbf J = 0\)) 같은 테두리를 가진 두 곡면을 지나는 전류는 같다. 그러나 커패시터가 충전될 때는 다르다. 도선을 감은 고리에 평평한 면을 걸치면 전류 \(I\)가 지나가고, 같은 고리에 판 사이로 부풀린 면을 걸치면 전류가 0이다. 같은 \(\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l\)이 두 값을 가질 수는 없다.

① 정자기의 앙페르 법칙 ∇×H = J (6장) ② 양변의 발산: 회전의 발산은 항상 0 ∇·(∇×H) = 0 ⇒ ∇·J = 0 ③ 그러나 전하 보존(연속 방정식)은 ∇·J = −∂ρ/∂t ≠ 0 (판에 전하가 쌓이는 중) 모순! ④ 가우스 법칙 ρ = ∇·D 를 넣으면 ∇·J + ∂(∇·D)/∂t = 0 ∇·(J + ∂D/∂t) = 0 발산이 늘 0인 것은 J + ∂D/∂t ∇×H = J + ∂D/∂t
  1. 정상 전류에서 성립하던 앙페르 법칙의 미분형.
  2. 어떤 벡터장이든 회전의 발산은 0이다. 그러니 앙페르 법칙은 전류가 어디서도 쌓이지 않는다(\(\nabla\cdot\mathbf J = 0\))고 강요한다.
  3. 5장의 연속 방정식: 전하가 쌓이는 곳에서는 \(\nabla\cdot\mathbf J \ne 0\). 충전되는 커패시터 판이 바로 그런 곳이다.
  4. 쌓이는 전하는 가우스 법칙으로 \(\mathbf D\)의 발산이 된다. \(\mathbf J\)에 \(\partial\mathbf D/\partial t\)를 더하면 발산이 늘 0이 되어 모순이 사라진다.
맥스웰의 논증. 전하 보존과 가우스 법칙을 믿는다면 앙페르 법칙의 원천은 \(\mathbf J\)가 아니라 \(\mathbf J + \partial\mathbf D/\partial t\)여야 한다.
변위 전류(displacement current)

전기 변위의 시간 변화율 \(\mathbf J_d = \partial\mathbf D/\partial t\)를 변위 전류 밀도라 하고, 곡면을 지나는 그 선속 \(I_d = \int_S \partial\mathbf D/\partial t\cdot d\mathbf S = d\Psi/dt\)를 변위 전류라 한다. 전하의 이동이 아니지만 자기장을 만든다는 점에서 전도 전류와 똑같이 행동한다.

$$\nabla\times\mathbf H = \mathbf J + \frac{\partial\mathbf D}{\partial t}, \qquad \oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l = \int_S\mathbf J\cdot d\mathbf S + \frac{d}{dt}\int_S\mathbf D\cdot d\mathbf S$$
이것이 앙페르–맥스웰 법칙(Ampère–Maxwell law)이다. 맨 위 그림에서 평평한 면에는 전도 전류만, 판 사이로 부풀린 면에는 변위 전류만 지나가지만 합은 언제나 같다. 진공의 변위 전류 \(\varepsilon_0\partial\mathbf E/\partial t\) 외에 유전체 속에는 분극 전류 \(\partial\mathbf P/\partial t\)도 들어 있다(\(\mathbf D = \varepsilon_0\mathbf E + \mathbf P\)) — 이쪽은 속박 전하의 실제 움직임이다.

커패시터에서 확인해 보자. 반지름 \(a\)인 원판 두 장 사이 장은 \(E = \sigma_s/\varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0\pi a^2)\)이므로 \(\varepsilon_0\,dE/dt\cdot\pi a^2 = dQ/dt = I\): 판 사이의 변위 전류는 도선의 전도 전류와 정확히 같다. 판 사이에서 축으로부터 \(\rho\)인 원을 앙페르 고리로 잡으면 감싼 변위 전류는 \(I\rho^2/a^2\)이고,

$$B_\phi(\rho) = \frac{\mu_0I\rho}{2\pi a^2}\quad(\rho \le a), \qquad B_\phi(\rho) = \frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\quad(\rho \ge a)$$
판 바깥(\(\rho \ge a\))에서는 도선 둘레의 자기장과 똑같다. 판 사이 안쪽에서는 굵은 도선 속처럼 \(\rho\)에 비례한다. 변위 전류가 판 면적에 고르게 퍼진 "굵은 도선"이기 때문이다.

반지름 \(a\)인 원판 커패시터가 일정한 전류로 충전되고 있다. 판 사이 평면에서, 축으로부터 \(a/2\) 떨어진 곳의 자기장은 판 가장자리(\(\rho = a\))의 자기장과 비교해 어떨까?

\(\rho = a/2\)인 고리가 감싼 변위 전류는 넓이 비율로 \(I/4\)이고, 둘레는 가장자리의 절반이다. \(B = \mu_0I_{enc}/2\pi\rho\)에서 \((1/4)/(1/2) = 1/2\). 판 사이 안쪽에서 \(B\)는 굵은 도선 속처럼 \(\rho\)에 비례한다. 아래에서 고리를 끌며 \(B(\rho)\) 곡선의 꺾임을 확인하라.
SIMULATOR

판 사이의 자기장: 목표 B 만들기

흰 원으로 앙페르 고리 반지름을 끈다
목표 B
고리가 감싼 변위 전류—
∮H·dl (수치 선적분)—
고리 위 B—
판 사이 dE/dt—
목표—
위에서 내려다본 원판 커패시터(판 사이 평면)다. 점(⊙)은 화면 밖으로 나오는 변위 전류 \(\varepsilon_0\partial\mathbf E/\partial t\)이고 파란 화살표가 \(\mathbf H\)다. 오른쪽은 \(B(\rho)\). 해볼 것: ① 고리를 판 가장자리 \(\rho = a\)에 맞추면 \(B\)가 가장 크다 — 그 값은 \(\mu_0I/2\pi a\). ② 판을 키우면 안쪽 \(B\)는 줄지만 바깥 곡선은 그대로다. ③ 세 목표를 만들어라(±3%). 30 µT는 판을 작게, 전류를 크게 해야 한다.

반지름 5.0 cm인 원판 두 장(간격은 반지름보다 훨씬 작다)이 0.50 A로 충전되고 있다. 판 사이 전기장의 변화율, 그리고 축에서 3.0 cm와 8.0 cm 떨어진 판 사이 평면 위의 자기장은?

풀이 보기
전략 \(\varepsilon_0\pi a^2\,dE/dt = I\). 앙페르–맥스웰 법칙의 고리는 판과 나란한 원, 감싼 변위 전류는 넓이 비율만큼.
풀이 \(dE/dt = I/(\varepsilon_0\pi a^2) = 0.50/(8.854\times10^{-12}\times\pi\times0.05^2) = 7.19\times10^{12}\) V/(m·s). \(\rho = 3.0\) cm: \(B = \mu_0I\rho/2\pi a^2 = (2\times10^{-7})(0.50)(0.03)/0.0025 = 1.20\times10^{-6}\) T. \(\rho = 8.0\) cm: \(B = \mu_0I/2\pi\rho = (2\times10^{-7})(0.50)/0.08 = 1.25\times10^{-6}\) T.
\(dE/dt = 7.19\times10^{12}\) V/(m·s), \(B(3\ \text{cm}) = 1.20\) µT, \(B(8\ \text{cm}) = 1.25\) µT
검토 전기장이 초당 \(7\times10^{12}\) V/m씩 변하는 엄청난 변화율인데도 자기장은 지구 자기장(약 50 µT)의 수십 분의 1이다. 변위 전류의 자기 효과는 \(\varepsilon_0\)이 작아서 실험실 진동수에서는 잘 보이지 않는다. 맥스웰이 실험이 아니라 논리로 이 항을 찾은 이유다.

전도 전류와 변위 전류의 경쟁

전도도 \(\sigma\), 유전율 \(\varepsilon\)인 매질에 \(e^{j\omega t}\)로 변하는 장이 걸리면 전도 전류 밀도는 \(\sigma E\), 변위 전류 밀도는 \(\omega\varepsilon E\)이다. 둘의 비 \(\sigma/\omega\varepsilon\)이 1보다 훨씬 크면 그 매질은 그 진동수에서 도체처럼, 훨씬 작으면 유전체처럼 행동한다. 경계 진동수 \(f_c = \sigma/2\pi\varepsilon\)는 5장의 전하 이완 시간 \(\tau = \varepsilon/\sigma\)의 역수(÷2π)와 같다.

전도도 10, 비유전율 11.7인 매질(기본값: 비저항 10 Ω·cm 실리콘)에 진동수 1.0의 장이 걸리면 \(J_c/J_d = \sigma/\omega\varepsilon\) = 이다. 둘이 같아지는 진동수는 , 이 진동수에서 매질은 .

비저항 10 Ω·cm(\(\sigma = 10\) S/m), \(\varepsilon_r = 11.7\)인 p형 실리콘 기판에서 전도 전류와 변위 전류가 같아지는 진동수는? 같은 비를 1 GHz의 구리(\(\sigma = 5.96\times10^7\) S/m)와 비교하라.

풀이 보기
전략 \(\sigma = \omega\varepsilon\)에서 \(f_c = \sigma/(2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0)\).
풀이 \(f_c = 10/(2\pi\times11.7\times8.854\times10^{-12}) = 1.54\times10^{10}\) Hz \(\approx\) 15 GHz. 구리: \(\sigma/\omega\varepsilon_0 = 5.96\times10^7/(2\pi\times10^9\times8.854\times10^{-12}) = 1.07\times10^{9}\).
실리콘 \(f_c \approx 15\) GHz, 구리는 1 GHz에서도 \(J_c/J_d \approx 10^{9}\)
검토 구리 속 변위 전류는 광학 진동수에 가까워질 때까지 무시해도 된다. 반면 RF 회로 아래 실리콘 기판은 수 GHz에서 "반쯤 도체·반쯤 유전체"라 손실이 크다. 고주파 수동 소자를 고저항(>1 kΩ·cm) 기판이나 SOI 위에 만드는 이유다.

네 방정식

이제 네 식이 모두 모였다. 전기장과 자기장 각각의 발산과 회전(1장의 헬름홀츠 정리)이다.

이름미분형적분형
가우스 법칙\(\nabla\cdot\mathbf D = \)\(\rho_v\)\(\oint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S = \)\(Q_{enc}\)
자기 가우스 법칙\(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)\(\oint_S\mathbf B\cdot d\mathbf S = 0\)
패러데이 법칙\(\nabla\times\mathbf E = -\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\)\(\oint_C\mathbf E\cdot d\mathbf l = -\dfrac{d}{dt}\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S\)
앙페르–맥스웰 법칙\(\nabla\times\mathbf H = \)\(\mathbf J\)\( + \)\(\dfrac{\partial\mathbf D}{\partial t}\)\(\oint_C\mathbf H\cdot d\mathbf l = \)\(I_{enc}\)\( + \)\(\dfrac{d}{dt}\int_S\mathbf D\cdot d\mathbf S\)
MINI LAB실험을 고르면 그 실험이 받쳐 주는 식이 표에서 밝아지고, 아래에 그 실험의 장 모양이 움직인다. "원천 없는 진공"을 켜면 \(\rho\)와 \(\mathbf J\)가 지워지고 남는 두 회전 식이 서로를 낳는 모양 — 변하는 \(\mathbf B\)가 \(\mathbf E\)를, 변하는 \(\mathbf E\)가 \(\mathbf B\)를 — 이 전자기파(10장)의 씨앗이다.

네 식은 서로 독립이 아니다. 패러데이 법칙의 발산을 취하면 \(\partial(\nabla\cdot\mathbf B)/\partial t = 0\)이므로, 한 번이라도 \(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)이었다면 영원히 0이다. 앙페르–맥스웰 법칙의 발산은 연속 방정식과 가우스 법칙을 함께 준다. 그래서 시간 변화가 있는 문제에서는 두 회전 식과 연속 방정식만으로 충분하다. 식 자체는 \(\mathbf E, \mathbf D, \mathbf B, \mathbf H\) 네 장을 담고 있으므로, 물질의 성질을 담은 구성 관계(constitutive relations)가 더해져야 풀린다.

$$\mathbf D = \varepsilon\mathbf E, \qquad \mathbf B = \mu\mathbf H, \qquad \mathbf J = \sigma\mathbf E \qquad(\text{선형, 등방, 균일 매질}), \qquad \mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B)$$
진공에서는 \(\varepsilon_0, \mu_0\). 로런츠 힘이 장과 물질을 잇는 마지막 고리다. 강유전체, 강자성체, 비등방 결정(사파이어, 액정)은 이 단순한 비례를 따르지 않는다(3·7장).
이웃 배선의 누화 전류는 변위 전류다

나란한 두 금속선 사이는 절연막(low-k)이라 전하가 건너가지 못한다. 그런데도 한 선의 전압이 빠르게 오르면 옆 선에 전류가 흘러 글리치가 생긴다. 절연막을 가로지르는 이 전류가 바로 변위 전류 \(C_c\,dV/dt\)이다. 결합 용량 \(C_c\) = 0.1 fF/µm인 1 mm 선(100 fF)에서 0.8 V가 20 ps에 바뀌면 \(i = C_c\,dV/dt = 4\) mA가 옆 선으로 "흐른다". 공정이 low-k·에어갭으로 \(\varepsilon\)을 낮추는 것은 이 변위 전류를 줄이는 일이다. → DigitalBook · 배선: 칩 안의 도로(크로스토크)

일반 경계 조건

3장과 7장에서 정전기장과 정자기장의 경계 조건을 따로 얻었다. 맥스웰 방정식의 적분형 네 개에 같은 방법을 쓰면 시간에 따라 변하는 장에서도 그대로 성립하는 일반 경계 조건이 나온다. 경계면에 납작한 상자(높이 \(\Delta h \to 0\))를 놓으면 옆면의 기여가 사라져 법선 성분의 조건이, 납작한 직사각형 고리를 놓으면 짧은 변과 \(\partial/\partial t\) 항(넓이 → 0)이 사라져 접선 성분의 조건이 나온다.

매질 1 (ε₁, μ₁, σ₁) 매질 2 (ε₂, μ₂, σ₂) n̂ (2 → 1) + + + + + + + D₁ₙD₂ₙ 상자: 높이 Δh → 0, 표면 전하 ρₛ H₁ₜH₂ₜ Jₛ ⊙ 고리: 높이 → 0, 표면 전류 Jₛ
법선 조건은 납작한 상자(가우스 법칙 두 개), 접선 조건은 납작한 고리(패러데이·앙페르–맥스웰 법칙)에서 나온다. 고리의 넓이가 0으로 가므로 \(\partial\mathbf B/\partial t\), \(\partial\mathbf D/\partial t\) 항은 남지 않는다 — 그래서 시간 변화가 있어도 정적인 경우와 같은 꼴이다.
$$\hat{\mathbf n}\times(\mathbf E_1 - \mathbf E_2) = 0, \qquad \hat{\mathbf n}\times(\mathbf H_1 - \mathbf H_2) = \mathbf J_s, \qquad \hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf D_1 - \mathbf D_2) = \rho_s, \qquad \hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf B_1 - \mathbf B_2) = 0$$
\(\hat{\mathbf n}\)은 매질 2에서 매질 1로 향하는 법선. 말로 하면: \(E_t\) 연속, \(H_t\)는 표면 전류 밀도(surface current density) \(\mathbf J_s\)(A/m)만큼 불연속, \(D_n\)은 \(\rho_s\)만큼 불연속, \(B_n\) 연속.

\(\mathbf J_s\)는 두께 0인 층에 흐르는 유한한 전류다. 전도도가 유한한 도체에서는 전류가 표피 깊이만큼의 두께로 퍼지므로 \(\mathbf J_s = 0\)이고 \(H_t\)가 연속이다. 표면 전류는 완전 도체(perfect electric conductor, PEC)(\(\sigma \to \infty\))라는 이상화에서만 생긴다. 완전 도체 속에는 시간 변화하는 장이 없으므로(\(\mathbf E_2 = \mathbf H_2 = 0\)) 경계 조건은 바깥 장만으로 쓰인다.

성분일반 경계매질 2가 완전 도체뜻
\(E_t\)\(E_{1t} = E_{2t}\)\(E_{1t} = 0\)도체 면에 전기장은 수직으로만 닿는다
\(D_n\)\(D_{1n} - D_{2n} = \rho_s\)\(D_{1n} = \rho_s\)표면 전하가 수직 전기장을 끝낸다
\(H_t\)\(\hat{\mathbf n}\times(\mathbf H_1 - \mathbf H_2) = \mathbf J_s\)\(\mathbf J_s = \hat{\mathbf n}\times\mathbf H_1\)표면 전류가 접선 자기장을 끝낸다
\(B_n\)\(B_{1n} = B_{2n}\)\(B_{1n} = 0\)자기장은 도체 면을 스치듯 지난다

공기(위)와 유리(\(\varepsilon_r = 4\), 아래) 경계에 비스듬한 전기장이 닿아 있다. 경계면에 양의 표면 전하 \(\rho_s\)를 조금씩 늘리면 유리 쪽 전기장 \(\mathbf E_2\)는 어떻게 변할까?

\(E_t\)는 늘 연속이라 표면 전하가 건드리지 못한다. \(\varepsilon_2E_{2n} = \varepsilon_1E_{1n} - \rho_s\)(위쪽이 + 법선)이므로 \(\rho_s\)가 커지면 \(E_{2n}\)이 아래(−) 쪽으로 커진다. 표면의 양전하가 아래로도 전기력선을 내보내는 셈이다.
SIMULATOR

경계에서 꺾이는 장: 과녁 맞히기

매질 1의 화살표 끝(흰 원)을 끈다
장
과녁
매질 1 (t, n)—
매질 2 (t, n)—
θ₁ → θ₂ (법선에서)—
과녁—
위가 매질 1, 아래가 매질 2, 법선 \(\hat{\mathbf n}\)은 위쪽이다. 경계의 한 점에 닿는 장을 화살표 하나로 그렸다(크기 단위는 임의). "H · B"에서는 슬라이더가 투자율 비 \(\mu_2/\mu_1\)과 화면 밖(⊙)으로 흐르는 표면 전류 \(J_s\)가 된다. 해볼 것: ① 표면 전하·전류가 0이면 \(\tan\theta_2/\tan\theta_1 = \varepsilon_2/\varepsilon_1\)(또는 \(\mu_2/\mu_1\)). ② "장₂ = 0": 매질 2를 도체처럼 만들려면 \(\mathbf E_1\)을 수직으로 세우고 \(\rho_s = D_{1n}\)으로 맞춘다(±3%). ③ "법선 성분 뒤집기": 표면 전하로 \(E_{2n}\)의 부호를 \(E_{1n}\)과 반대로, 크기는 같게 만든다.

평면 \(z = 0\)이 두 자성 매질의 경계이고, 위(\(z > 0\))는 \(\mu_{r1} = 1\), 아래는 \(\mu_{r2} = 5\)이다. 경계에 \(\mathbf J_s = 5\,\hat{\mathbf y}\) A/m가 흐르고, 위쪽 경계면 바로 위에서 \(\mathbf H_1 = 10\,\hat{\mathbf x} + 20\,\hat{\mathbf z}\) A/m이다. 경계 바로 아래의 \(\mathbf H_2\)는?

풀이 보기
전략 \(\hat{\mathbf n} = \hat{\mathbf z}\)(2 → 1). 접선: \(\hat{\mathbf z}\times(\mathbf H_1 - \mathbf H_2) = \mathbf J_s\). 법선: \(\mu_1H_{1z} = \mu_2H_{2z}\).
풀이 \(\Delta\mathbf H = \mathbf H_1 - \mathbf H_2\)의 접선 성분을 \((\Delta H_x, \Delta H_y)\)라 하면 \(\hat{\mathbf z}\times\Delta\mathbf H = -\Delta H_y\,\hat{\mathbf x} + \Delta H_x\,\hat{\mathbf y} = 5\,\hat{\mathbf y}\). 따라서 \(\Delta H_x = 5\), \(\Delta H_y = 0\): \(H_{2x} = 10 - 5 = 5\), \(H_{2y} = 0\). 법선: \(H_{2z} = (\mu_1/\mu_2)H_{1z} = 20/5 = 4\).
\(\mathbf H_2 = 5\,\hat{\mathbf x} + 4\,\hat{\mathbf z}\) A/m
검토 표면 전류는 자신에 수직인 접선 성분(\(H_x\))만 바꾼다 — 무한 전류판이 만드는 장 \(\pm J_s/2\)가 위아래에서 반대 방향인 것과 같다. 오른손 규칙: \(\hat{\mathbf y}\) 방향 전류판은 위쪽에 \(+\hat{\mathbf x}\), 아래쪽에 \(-\hat{\mathbf x}\) 장을 더하므로 위가 아래보다 \(J_s\)만큼 크다 ✓.
시간 변화가 있으면 법선 조건은 덤이다

법선 조건 두 개는 접선 조건 두 개에서 따라 나온다. 패러데이 법칙의 법선 성분 \(\hat{\mathbf n}\cdot\nabla\times\mathbf E = -\partial B_n/\partial t\)의 좌변은 접선 성분의 미분뿐이므로, \(E_t\)가 연속이면 \(\partial B_n/\partial t\)도 연속이다. 마찬가지로 \(H_t\) 조건과 표면 연속 방정식 \(\nabla_s\cdot\mathbf J_s = -\partial\rho_s/\partial t\)에서 \(D_n\) 조건이 나온다. 그래서 10–14장에서 파동의 반사를 풀 때는 \(E_t\)와 \(H_t\)만 맞추면 된다.

퍼텐셜과 게이지

정전기에서는 \(\nabla\times\mathbf E = 0\)이라 \(\mathbf E = -\nabla V\)로 썼고, 정자기에서는 \(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)이라 \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\)로 썼다(6장). 시간 변화가 있어도 \(\nabla\cdot\mathbf B = 0\)은 그대로이므로 \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\)는 여전히 쓸 수 있다. 이것을 패러데이 법칙에 넣으면 \(\nabla\times(\mathbf E + \partial\mathbf A/\partial t) = 0\) — 괄호 안이 회전이 없는 장이므로 어떤 스칼라의 기울기다.

$$\mathbf B = \nabla\times\mathbf A, \qquad \mathbf E = -\nabla V - \frac{\partial\mathbf A}{\partial t}$$
전기장은 두 부분으로 나뉜다: 전하가 만드는 보존장 부분 \(-\nabla V\)와 변하는 전류가 만드는 유도 부분 \(-\partial\mathbf A/\partial t\)(8장의 회전 전기장). 여섯 성분(\(\mathbf E, \mathbf B\))이 네 성분(\(V, \mathbf A\))으로 줄고, 동차 방정식 두 개(\(\nabla\cdot\mathbf B = 0\), 패러데이)는 저절로 만족된다.

그런데 \(V\)와 \(\mathbf A\)는 하나로 정해지지 않는다. 임의의 스칼라 함수 \(\chi(\mathbf r, t)\)로 아래처럼 바꿔도 \(\mathbf E\)와 \(\mathbf B\)는 그대로다(\(\nabla\times\nabla\chi = 0\), 그리고 \(-\nabla(-\partial\chi/\partial t) - \partial(\nabla\chi)/\partial t = 0\)). 이 바꿈을 게이지 변환(gauge transformation)이라 한다.

$$\mathbf A' = \mathbf A + \nabla\chi, \qquad V' = V - \frac{\partial\chi}{\partial t}$$
같은 장: E = E₀ x̂ (균일, 시간에 따라 변하지 않음) E₀ x̂ 게이지 ① V = −E₀x, A = 0 V(x): 내리막 익숙한 정전기 그림: 전기장은 전위의 내리막 게이지 ② V = 0, A = −E₀t x̂ V = 0 A가 −x̂ 쪽으로 계속 자란다 E = −∂A/∂t = E₀ x̂ , B = ∇×A = 0 — 전위 없이도 같은 장 둘을 잇는 χ = −E₀ x t A' = A + ∇χ = −E₀t x̂ V' = V − ∂χ/∂t = −E₀x + E₀x = 0 관측할 수 있는 것은 E와 B뿐 — V와 A는 "장부"다 장부를 쓰는 규칙(게이지 조건)은 계산이 편하게 고른다
  1. 정전기에서 쓰던 퍼텐셜: \(V = -E_0x\), \(\mathbf A = 0\).
  2. 전위는 0으로 두고 벡터 퍼텐셜이 시간에 비례해 자라게 해도 \(\mathbf E = -\partial\mathbf A/\partial t\)가 같은 장을 준다.
  3. 두 기술은 게이지 함수 \(\chi = -E_0xt\)로 이어진다. 물리는 같고 장부만 다르다.
게이지 자유도. 균일한 정전기장 하나도 "전위의 내리막"으로도, "자라는 벡터 퍼텐셜"로도 쓸 수 있다.
MINI LAB게이지 함수 \(\chi = -\lambda E_0xt\)로 위 두 그림을 섞었다: \(V = -(1-\lambda)E_0x\), \(\mathbf A = -\lambda E_0t\,\hat{\mathbf x}\). 위는 \(V(x)\), 가운데는 시간에 따라 자라는 \(\mathbf A\)(파랑), 아래 막대는 탐침 위치의 \(-\nabla V\)와 \(-\partial\mathbf A/\partial t\). λ를 어떻게 바꿔도 두 막대의 합 \(\mathbf E\)는 \(E_0\)에 고정되어 있다.

쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지

\(V\)와 \(\mathbf A\)를 남은 두 맥스웰 방정식(가우스, 앙페르–맥스웰)에 넣으면(균일 매질 \(\varepsilon, \mu\))

$$\nabla^2V + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf A) = -\frac{\rho_v}{\varepsilon}, \qquad \nabla^2\mathbf A - \mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} - \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf A + \mu\varepsilon\frac{\partial V}{\partial t}\right) = -\mu\mathbf J$$
\(\nabla\times\nabla\times\mathbf A = \nabla(\nabla\cdot\mathbf A) - \nabla^2\mathbf A\)를 썼다. 게이지 자유도로 \(\nabla\cdot\mathbf A\)를 마음대로 고를 수 있으니, 이 지저분한 결합 항을 없애도록 고른다.

쿨롱 게이지 \(\nabla\cdot\mathbf A = 0\)

첫 식이 \(\nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon\) — 정전기의 푸아송 방정식 그대로다. \(V\)는 지금 이 순간의 전하 분포로 정해진다(즉시). 6장에서 쓴 게이지이고, 정적인 문제와 도파관·공진기의 모드 해석(14장)에 편하다. 빛보다 빠른 신호처럼 보이지만 관측 가능한 \(\mathbf E\)에서는 \(\mathbf A\) 쪽 항이 그 즉시성을 정확히 지운다.

로렌츠 게이지 \(\nabla\cdot\mathbf A + \mu\varepsilon\,\partial V/\partial t = 0\)

두 식이 똑같은 꼴의 파동 방정식으로 갈라진다(아래). \(V\)와 \(\mathbf A\)가 같은 속도 \(1/\sqrt{\mu\varepsilon}\)로 퍼지고 상대론적으로 대칭이다. 복사(15장)와 지연 퍼텐셜에 쓴다.

두 번째 조건을 로렌츠 게이지(Lorenz gauge)라 한다(덴마크의 루드비 로렌츠. 로런츠 힘의 네덜란드 로런츠와 다른 사람이다). 정적인 경우에는 쿨롱 게이지와 같아진다. 로렌츠 게이지에서 퍼텐셜은 원천이 있는 파동 방정식을 따른다.

$$\nabla^2V - \mu\varepsilon\frac{\partial^2V}{\partial t^2} = -\frac{\rho_v}{\varepsilon}, \qquad \nabla^2\mathbf A - \mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu\mathbf J, \qquad u = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$$
진공에서 \(u = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = c = 299\,792\,458\) m/s. 맥스웰은 이 속도가 측정된 빛의 속도와 같다는 데서 빛이 전자기파라고 결론지었다.

진공에서 \(V = 0\), \(\mathbf A = A_0\sin(kz - \omega t)\,\hat{\mathbf x}\)이고 \(A_0 = 1.0\times10^{-7}\) V·s/m, \(f = 100\) MHz, \(k = \omega/c\)이다. 로렌츠 게이지 조건을 만족하는지 확인하고, \(\mathbf E\)와 \(\mathbf B\)의 진폭과 그 비를 구하라.

풀이 보기
전략 \(\mathbf E = -\nabla V - \partial\mathbf A/\partial t\), \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\). \(A_x\)는 \(z\)에만 의존한다.
풀이 \(\nabla\cdot\mathbf A = \partial A_x/\partial x = 0\), \(\partial V/\partial t = 0\) → 로렌츠(동시에 쿨롱) 조건 만족. \(\mathbf E = A_0\omega\cos(kz - \omega t)\,\hat{\mathbf x}\), \(\mathbf B = \hat{\mathbf y}\,\partial A_x/\partial z = A_0k\cos(kz - \omega t)\,\hat{\mathbf y}\). \(E_0 = (10^{-7})(2\pi\times10^8) = 62.8\) V/m, \(B_0 = (10^{-7})(2\pi\times10^8/2.998\times10^8) = 2.10\times10^{-7}\) T.
\(E_0 = 62.8\) V/m, \(B_0 = 0.210\) µT, \(E_0/B_0 = \omega/k = c\)
검토 \(\mathbf E \perp \mathbf B \perp \hat{\mathbf z}\)이고 \(E/B = c\): 10장에서 다룰 균일 평면파의 성질이 퍼텐셜에서 바로 보인다. \(\mathbf E\times\mathbf B\)는 \(+\hat{\mathbf z}\) — 파가 나아가는 방향이다.

지연 퍼텐셜

로렌츠 게이지의 파동 방정식은 정전기의 푸아송 방정식과 오른쪽이 같다. 정전기의 해 \(V = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int\frac{\rho_v}{R}dv'\)을 그대로 쓰되, 한 가지만 고친다: 원천점 \(\mathbf r'\)의 전하를 지금이 아니라 소식이 출발한 시각 \(t - R/u\)의 값으로 쓴다. 이렇게 늦춘 시각을 지연 시간(retarded time)이라 하고, 그 결과를 지연 퍼텐셜(retarded potentials)이라 한다.

$$V(\mathbf r, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int\frac{\rho_v(\mathbf r', t - R/u)}{R}\,dv', \qquad \mathbf A(\mathbf r, t) = \frac{\mu}{4\pi}\int\frac{\mathbf J(\mathbf r', t - R/u)}{R}\,dv', \qquad R = |\mathbf r - \mathbf r'|$$
원천이 천천히 변하면(변화의 시간 척도 ≫ \(R/u\)) 늦춤을 무시할 수 있어 쿨롱·비오–사바르 법칙으로 돌아간다. 이것이 1–8장의 준정적 근사다(§9.7). 시간 조화 원천이면 늦춤은 위상 인자 \(e^{-jkR}\)(\(k = \omega/u\))가 된다.
tx 원천 관측: 지금 t t − R/c R 과거 광원뿔 읽는 법 관측자가 지금 느끼는 퍼텐셜은 원천의 "지금"이 아니라 빛이 출발한 과거 t − R/c 의 상태다 세계선이 광원뿔을 뚫는 점 하나만 관측에 기여한다 (기울기 = 1/c)
시공간 그림. 가로가 거리, 세로가 시간이다. 관측점에서 아래로 그린 과거 광원뿔이 원천의 세계선과 만나는 시각이 지연 시간 \(t_r = t - R/c\)이다. 그보다 늦게 일어난 원천의 변화는 아직 관측자에게 닿지 않았다.

관측자에서 3 m 떨어진 곳의 작은 쌍극자를 \(t = 0\)에 갑자기 켰다. 관측자의 전위는 언제부터 바뀌기 시작할까?

\(R/c = 3/(3.0\times10^8) = 10\) ns. 그 전까지 관측점의 퍼텐셜은 켜기 전 값 그대로다. 아래에서 관측자를 끌어 앞면이 닿는 시각을 읽어 보라.
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빛의 속도로 퍼지는 소식: 지연 퍼텐셜

관측자(흰 원)를 끈다
원천
과녁
거리 R—
지연 R/c—
위상 지연 kR—
시뮬레이션 시각—
과녁—
±3 m 영역을 위에서 본 그림이다. 가운데 작은 쌍극자(세로 방향)의 지연 스칼라 퍼텐셜 \(V \propto \cos\theta\,[\,p(t_r)/R^2 + \dot p(t_r)/cR\,]\)을 색(빨강 +, 파랑 −)으로 그렸고, 점선 원이 \(t = 0\)에 출발한 앞면이다. 시간은 1초에 3 ns로 늦췄다. 오른쪽은 관측자 자리의 퍼텐셜(실선)과, 늦춤이 없다고 할 때(점선)의 비교. 해볼 것: ① "켜기"에서 관측자 곡선이 정확히 \(R/c\)에 뛰어오른다. ② "사인 진동"에서 진동수를 올리면 같은 자리에서도 위상 지연이 커지고, 멀리서는 \(1/R\)로 줄어드는 복사 성분이 \(1/R^2\) 성분을 이긴다. ③ 과녁 셋을 맞혀라(±3%). "위상 지연 180°"는 \(R = \lambda/2\)이다.

거리 300를 비유전율 1.0인 매질 속에서 건너는 데 가 걸린다. 진동수 60의 한 주기는 이므로 그 사이 원천의 위상은 만큼 앞서 나간다. 전기적 크기 \(L/\lambda\) = — .

정적 법칙은 지연 퍼텐셜의 한 극한

원천이 정지해 있으면 \(\rho(t - R/c) = \rho\)라 지연 퍼텐셜은 쿨롱 법칙과 같다. 원천이 진동하면 퍼텐셜에 \(e^{-jkR}\)가 곱해지고, 쌍극자처럼 원천이 작아도 \(\partial/\partial t\)가 \(1/R\)로 줄어드는 새 항을 만든다. 이 항이 멀리까지 에너지를 실어 나르는 복사장이다(15장). 원천 크기 \(L\)이 파장보다 훨씬 작고(\(kL \ll 1\)) 관측 거리도 짧으면(\(kR \ll 1\)) 1–8장의 그림이 그대로 맞는다.

페이저와 시간 조화장

RF 장비, 통신, 광학의 장은 거의 모두 한 진동수로 사인 진동하거나, 그런 성분의 합(푸리에 분해)이다. 각진동수 \(\omega\)로 진동하는 장을 시간 조화장(time-harmonic field)이라 하고, 진폭과 위상만 담은 복소수 페이저(phasor)로 나타낸다. 이 책은 공학 관례 \(e^{j\omega t}\)를 쓴다.

$$\mathbf E(\mathbf r, t) = \mathrm{Re}\left\{\tilde{\mathbf E}(\mathbf r)\,e^{j\omega t}\right\}, \qquad E_0\cos(\omega t + \phi) \;\leftrightarrow\; \tilde E = E_0e^{j\phi} = E_0\angle\phi, \qquad \frac{\partial}{\partial t} \;\to\; j\omega$$
사인은 먼저 코사인으로 바꾼다: \(\sin(\omega t + \phi) = \cos(\omega t + \phi - 90^\circ)\). 미분은 \(j\omega\)를 곱하는 것(위상 90° 앞섬), 적분은 \(j\omega\)로 나누는 것이 된다. 광학·물리 교재(Griffiths, Hecht)는 \(e^{-i\omega t}\)를 써서 \(j \to -i\)로 바뀐다.
MINI LAB왼쪽 복소 평면의 페이저 \(\tilde A\)(빨강)의 끝을 끌어 진폭과 위상을 정한다. \(\tilde Ae^{j\omega t}\)가 반시계로 돌고, 그 실수부(가로 그림자)가 오른쪽의 시간 신호다. 점선 화살표 \(j\omega\tilde A\)는 언제나 90° 앞서 돌며, 그 그림자가 \(da/dt\)이다.

모든 장을 페이저로 바꾸면 시간 미분이 사라지고 맥스웰 방정식은 공간만의 식이 된다. 선형 매질(\(\mathbf D = \varepsilon\mathbf E\), \(\mathbf J = \sigma\mathbf E\))에서

$$\nabla\times\tilde{\mathbf E} = -j\omega\mu\tilde{\mathbf H}, \qquad \nabla\times\tilde{\mathbf H} = (\sigma + j\omega\varepsilon)\tilde{\mathbf E} = j\omega\varepsilon_c\tilde{\mathbf E}, \qquad \nabla\cdot(\varepsilon\tilde{\mathbf E}) = \tilde\rho_v, \qquad \nabla\cdot(\mu\tilde{\mathbf H}) = 0$$
전도 전류와 변위 전류를 하나로 묶은 \(\varepsilon_c = \varepsilon - j\sigma/\omega = \varepsilon' - j\varepsilon''\)이 복소 유전율(complex permittivity)이다. 허수부 \(\varepsilon''\)이 손실을 나타내고(\(e^{j\omega t}\) 관례에서 손실은 음의 허수부), 분극의 지연(유전 손실)도 같은 자리에 들어간다. \(\varepsilon''/\varepsilon'\)이 10장의 손실 탄젠트다.

페이저는 선형 연산에만 쓸 수 있다. 전력처럼 두 장의 곱은 페이저끼리 곱하면 안 되고, 시간 평균을 다음 식으로 구한다.

$$\langle a(t)\,b(t)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T a\,b\,dt = \frac12\mathrm{Re}\left\{\tilde a\,\tilde b^*\right\}, \qquad \langle a^2\rangle = \frac12|\tilde a|^2 = a_{rms}^2$$
\(\tilde a\tilde b\,e^{2j\omega t}\) 항은 한 주기 평균이 0이므로 켤레 곱만 남는다. 회로의 \(P = \tfrac12\mathrm{Re}\{\tilde V\tilde I^*\}\)와 같은 식이다.
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페이저 덧셈: 목표 파형 맞히기

파란 페이저 B̃의 끝을 끈다
문제
주어진 ×
내 B̃ (b(t))—
합 Ã + B̃—
판정—
왼쪽은 복소 평면, 오른쪽은 한 주기 동안의 시간 신호다. 빨강 \(a(t)\)는 주어져 있고, 파랑 \(b(t)\)를 골라 합(주황)이 점선 목표에 겹치게 하라(오차 3% 이내). 해볼 것: ① 문제 ①의 답 \(\tilde B\)를 시간 식으로 쓰면 \(-4\sin\omega t\)이다. ② 문제 ②: 크기가 같고 반대 방향인 페이저 — 위상이 180° 어긋난 두 신호는 서로 지운다(능동 소음 제거, 반사 방지막의 원리). ③ 두 신호를 시간 영역에서 더하는 것보다 화살표 둘을 잇는 것이 얼마나 쉬운지 느껴 보라.

\(e(t) = 10\cos(\omega t - 30^\circ) + 5\sin(\omega t + 45^\circ)\) V/m를 하나의 코사인 \(E_0\cos(\omega t + \phi)\)로 쓰고, 이 장이 진공의 평면파일 때 시간 평균 \(\langle e^2\rangle\)을 구하라.

풀이 보기
전략 사인을 코사인으로 바꾼 뒤 페이저를 복소수로 더한다.
풀이 \(5\sin(\omega t + 45^\circ) = 5\cos(\omega t - 45^\circ)\). \(\tilde E = 10\angle{-30^\circ} + 5\angle{-45^\circ} = (8.660 - j5.000) + (3.536 - j3.536) = 12.196 - j8.536\). \(|\tilde E| = 14.89\), \(\phi = \tan^{-1}(-8.536/12.196) = -35.0^\circ\). \(\langle e^2\rangle = \tfrac12|\tilde E|^2 = 110.8\) V²/m².
\(e(t) = 14.9\cos(\omega t - 35.0^\circ)\) V/m, \(\langle e^2\rangle = 111\) V²/m²
검토 크기는 두 진폭의 합 15보다 조금 작다 — 두 페이저의 방향이 15°만 다르기 때문이다. 위상은 두 위상 −30°와 −45° 사이에서 큰 쪽(10)에 가깝다.

포인팅 정리와 전자기 운동량

전기장의 에너지 밀도 \(\tfrac12\varepsilon E^2\)(2장)과 자기장의 에너지 밀도 \(\tfrac12\mu H^2\)(8장)을 알고 있다. 이 에너지는 어떻게 한 곳에서 다른 곳으로 옮겨 갈까? 벡터 항등식 \(\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf H) = \mathbf H\cdot(\nabla\times\mathbf E) - \mathbf E\cdot(\nabla\times\mathbf H)\)에 두 회전 식을 넣으면

$$\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf H) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac12\varepsilon E^2 + \frac12\mu H^2\right) - \mathbf J\cdot\mathbf E$$
선형 매질을 가정했다(\(\mathbf E\cdot\partial\mathbf D/\partial t = \partial(\tfrac12\varepsilon E^2)/\partial t\)). 부피 적분하고 발산 정리를 쓰면 아래의 적분형이 된다.
포인팅 정리(Poynting's theorem)

닫힌 곡면 \(S\)를 통해 안으로 들어오는 전자기 에너지의 일률은, 안에 저장된 장 에너지의 증가율과 전하에 해 준 일률(줄 열 등)의 합과 같다. 곡면을 지나는 에너지 흐름의 밀도는 포인팅 벡터(Poynting vector) \(\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H\)(W/m²)이다.

$$-\oint_S(\mathbf E\times\mathbf H)\cdot d\mathbf S = \frac{d}{dt}\int_v\left(\frac12\varepsilon E^2 + \frac12\mu H^2\right)dv + \int_v\mathbf J\cdot\mathbf E\,dv$$
왼쪽: 들어오는 일률. 오른쪽 첫째: 저장 에너지 증가율, 둘째: 소모(옴 손실 \(\sigma E^2\)) 또는 원천이 내놓는 일률(음수). 시간 조화장에서는 복소 포인팅 벡터(complex Poynting vector) \(\tilde{\mathbf S} = \tfrac12\tilde{\mathbf E}\times\tilde{\mathbf H}^*\)를 쓰고, 그 실수부가 시간 평균 \(\langle\mathbf S\rangle\), 허수부는 오가는 무효 전력이다.

전류 \(I\)가 흐르는 긴 저항 도선이 \(I^2R\)의 열을 낸다. 포인팅 벡터로 보면 이 에너지는 어디로 들어올까?

도선 표면의 \(\mathbf E\)는 축 방향(접선 성분은 연속이라 바로 바깥도 같다), \(\mathbf H\)는 둘레 방향이다. \(\mathbf E\times\mathbf H\)는 축을 향한다. 에너지는 전원에서 도선 바깥의 장을 타고 와서 옆면으로 스며든다. 아래 "저항 도선"에서 가상 원통을 키우거나 줄이며 들어오는 일률을 재 보라.
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에너지는 어디로 흐르나: 포인팅 벡터

흰 원으로 가상 원통 반지름 r을 끈다
구조
반지름 r에서 |S|—
원통으로 들어오는 일률—
비교 대상—
축을 지나는 단면이다. 빨간 화살표는 \(\mathbf E\), ⊙·⊗는 \(\mathbf H\), 주황 화살표는 \(\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H\)이고, 점선은 가상 원통이다. 오른쪽은 \(S(\rho)\). 저항 도선: 구리, 반지름 1 mm, 길이 1 m. 충전 커패시터: 반지름 5 cm, 간격 1 mm, 전압 100 V인 순간. 동축선: a = 1 mm, b = 3.5 mm, 50 Ω 부하(\(V = 50I\)). 해볼 것: ① 도선 바깥에서 원통을 키워도 들어오는 일률은 \(I^2R\) 그대로다. 안쪽으로 줄이면 \(r^2\)에 비례해 줄어든다 — 그 안에서 나는 열만큼. ② 커패시터에서는 원통 안 전기 에너지의 증가율 \(d/dt(\tfrac12CV^2)\cdot r^2/a^2\)과 같다. ③ 동축선의 에너지는 금속이 아니라 유전체 속을 흐르며, 안쪽 도체 가까이 몰려 있다(\(S \propto 1/\rho^2\)).
저항 도선 (반지름 a, 길이 ℓ, 전류 I →) E = J/σ (표면 밖도 같다) H = I/2πa (둘레 방향) S = E×H : 안쪽으로 S·(2πaℓ) = (J/σ)(I/2πa)(2πaℓ) = I²·ℓ/(σπa²) = I²R ✓
  1. 전류 \(I\)가 흐르는 저항 도선.
  2. 도선 속 전기장 \(E = J/\sigma\)는 축 방향이다. 접선 성분은 연속이므로 표면 바로 밖도 같은 \(E\)다.
  3. 표면의 자기장은 앙페르 법칙으로 \(H = I/2\pi a\), 둘레 방향.
  4. \(\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H\)는 축을 향한다. 옆면 넓이를 곱하면 정확히 \(I^2R\)이다.
저항 도선은 에너지를 옆면으로 받는다. 전자는 에너지를 "나르는" 것이 아니라, 주변 장에서 흘러든 에너지를 열로 바꾸는 곳이다.

반지름 1.0 mm인 구리 도선(\(\sigma = 5.96\times10^7\) S/m)에 10 A가 흐른다. 표면의 \(E\), \(H\), 포인팅 벡터의 크기와, 길이 1 m의 옆면으로 들어오는 일률을 구하고 \(I^2R\)과 비교하라.

풀이 보기
전략 \(E = I/(\sigma\pi a^2)\), \(H = I/2\pi a\), \(P = S\cdot2\pi a\ell\).
풀이 \(J = 10/(\pi\times10^{-6}) = 3.18\times10^{6}\) A/m², \(E = J/\sigma = 0.0534\) V/m. \(H = 10/(2\pi\times10^{-3}) = 1592\) A/m. \(S = EH = 85.0\) W/m². \(P = 85.0\times2\pi\times10^{-3}\times1 = 0.534\) W. \(R = 1/(\sigma\pi a^2) = 5.34\) mΩ, \(I^2R = 0.534\) W.
\(S = 85.0\) W/m² (축을 향함), \(P = I^2R = 0.534\) W
검토 같은 결과를 회로 법칙으로 얻었지만, 포인팅 그림은 에너지가 지나는 길을 알려 준다. 고주파에서 전류가 표면(표피 깊이)에만 흐르는 것도, 에너지가 바깥에서 옆면으로 들어오다 \(\delta\) 안에서 다 흡수되기 때문이라고 읽을 수 있다.

전자기 운동량과 복사 압력

전자기장은 에너지만이 아니라 운동량도 나른다. 진공에서 전자기 운동량 밀도(electromagnetic momentum density)는 \(\mathbf g = \mathbf S/c^2 = \varepsilon_0\mu_0\,\mathbf E\times\mathbf H\)(kg/(m²·s))이다. 평면파가 물체에 흡수되면 단위 시간에 단위 넓이로 들어오는 운동량, 곧 복사 압력(radiation pressure)은 세기 \(I = \langle S\rangle\)를 \(c\)로 나눈 값이고, 완전히 반사되면 운동량이 뒤집히므로 두 배다.

$$p_{rad} = \frac{I}{c}\ (\text{흡수}), \qquad p_{rad} = \frac{2I}{c}\ (\text{완전 반사}), \qquad I = \langle S\rangle = \frac{E_0^2}{2\eta_0} = \frac12 c\,\varepsilon_0E_0^2$$
\(\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 376.7\ \Omega\)은 진공의 고유 임피던스(10장). 에너지 \(U\)를 가진 빛 묶음의 운동량은 \(U/c\)이다 — 광자 하나의 \(p = h\nu/c\)와 같은 관계다.

세기 1361(기본값: 지구 궤도의 햇빛)인 평면파의 전기장 진폭은 \(E_0 = \sqrt{2\eta_0I}\) = , 자기장 진폭은 이다. 검은 판에 주는 압력은 , 거울에는 . 넓이 100의 거울 돛이 받는 힘은 이다.

MINI LAB세기 \(I\)인 빛이 각 \(\theta\)로 판에 닿는다. 흡수된 몫 \((1-R)\)은 빛의 진행 방향으로, 반사된 몫 \(R\)은 법선 방향으로만 판을 민다. 법선 압력 \((1+R)\,I\cos^2\theta/c\), 접선 압력 \((1-R)\,I\sin\theta\cos\theta/c\). 완전 반사면은 언제나 수직으로 밀린다 — 태양 돛이 방향을 트는 원리다.
장도 운동량을 가진다는 증거

두 전하가 서로 수직으로 움직이면 자기력이 작용·반작용 쌍을 이루지 않아 뉴턴 제3법칙이 깨진 듯 보인다. 장이 지닌 운동량 \(\int\mathbf g\,dv\)를 더해야 전체 운동량이 보존된다. 장이 물체에 주는 힘은 둘레 면에 걸친 맥스웰 응력 텐서 \(T_{ij} = \varepsilon_0(E_iE_j - \tfrac12\delta_{ij}E^2) + \tfrac{1}{\mu_0}(B_iB_j - \tfrac12\delta_{ij}B^2)\)로 계산한다. 7장의 자기 압력 \(B^2/2\mu_0\)과 3장의 정전 압력 \(\tfrac12\varepsilon_0E^2\)은 그 대각 성분이다.

준정적 근사가 깨지는 순간

1–8장의 회로와 장은 모두 "지금 이 순간의 전하와 전류가 지금 이 순간의 장을 정한다"는 가정 위에 있었다. 이것이 준정적 근사(quasi-static approximation)다. 지연 퍼텐셜로 보면 근사의 조건은 분명하다. 구조의 크기 \(L\)을 빛이 건너는 시간이 신호가 변하는 시간보다 훨씬 짧아야 한다. 진동수로 말하면 위상 지연 \(kL\)이 1보다 훨씬 작아야 한다.

$$kL = \frac{2\pi L}{\lambda} \ll 1 \quad\Longleftrightarrow\quad L \ll \frac{\lambda}{2\pi}, \qquad \lambda = \frac{c}{f\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}}, \qquad \text{현장의 어림:}\ L < \frac{\lambda}{10}$$
\(L/\lambda\)를 전기적 크기(electrical size)라 한다. 디지털 신호에서는 \(f\) 대신 상승 시간 \(t_r\)의 대역폭 \(f \approx 0.35/t_r\)을 쓴다. 전기적 크기가 크면 회로는 집중 소자(R, L, C)가 아니라 분포 소자 — 전송선(12장), 도파관(14장), 안테나(15장) — 로 다뤄야 한다.

준정적 근사에도 두 갈래가 있다. 전압이 크고 전류가 작은 구조(커패시터, 고임피던스 전극)는 패러데이 법칙의 \(\partial\mathbf B/\partial t\)를 버려 \(\nabla\times\mathbf E \approx 0\)인 전기 준정적(EQS)으로, 전류가 크고 전압이 작은 구조(코일, 변압기, 와전류)는 앙페르–맥스웰 법칙의 \(\partial\mathbf D/\partial t\)를 버리는 자기 준정적(MQS)으로 다룬다. 8장의 와전류와 표피 깊이는 MQS 안에서 이미 \(\partial\mathbf B/\partial t\)를 살린 경우였다. 둘 다 버릴 수 없을 때 파동이 된다.

MINI LAB여러 구조의 전기적 크기 \(L/\lambda\)(로그 눈금)를 진동수에 따라 본다. 각 구조의 파장은 그 안의 매질(괄호 속 \(\varepsilon_r\))로 계산했다. 점선 \(L = \lambda/10\)을 넘으면 주황, \(\lambda/2\)를 넘으면 빨강이다. 60 Hz에서는 송전선만, 13.56 MHz에서는 장비 케이블이, GHz에서는 패키지와 칩까지 줄줄이 "파동의 세계"로 넘어간다.

상승 시간 30인 디지털 신호의 대역폭은 \(0.35/t_r\) = 이고, 이 진동수의 비유전율 3.9 매질(SiO₂) 속 파장은 이다. 길이 2.0인 배선의 전기적 크기는 , .

VHF 플라스마 전극의 정재파

용량 결합 플라스마(CCP) 식각·증착 장비는 지름 300 mm 웨이퍼보다 조금 큰 원판 전극 두 장 사이에 RF 전압을 건다. 13.56 MHz의 진공 파장은 22 m이니 전극은 전기적으로 아주 작다. 그런데 이온 에너지를 낮추고 밀도를 올리려고 진동수를 60–160 MHz(VHF)로 올리면 문제가 생긴다. 전극 사이 공간은 "시스(진공에 가까운 얇은 층) – 플라스마 – 시스"로 이루어진 일종의 평행판 전송선이다. 전기 용량은 얇은 두 시스(두께 \(s\))가 정하고, 자기장은 플라스마를 뚫고 간격 전체(\(d + 2s\))에 퍼지므로, 이 선로의 파동 속도는 \(c\)보다 훨씬 느려진다.

$$\lambda_{eff} \approx \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + d/2s}}, \qquad \tilde V(r) \approx \tilde V(0)\,J_0\!\left(\frac{2\pi r}{\lambda_{eff}}\right), \qquad \text{불균일도} \approx 1 - J_0\!\left(\frac{2\pi R}{\lambda_{eff}}\right)$$
\(d\)는 플라스마 덩어리 두께, \(s\)는 시스 두께. 가운데로 전력을 넣은 원판에서는 바깥으로 퍼진 파가 가장자리에서 반사되어 원통 정재파(0차 베셀 함수 \(J_0\))를 이룬다. 가운데가 배(최대)라 가운데가 세게 식각된다. 이 단순 모형은 플라스마 표피 깊이가 간격보다 큰 저밀도 조건을 가정한다(Lieberman 등, 2002).
윗전극 (접지) 시스 s 플라스마 d 시스 s 아래전극 + 웨이퍼 RF 급전 (가운데) 느린 표면파 |V(r)| ∝ J₀(2πr/λ_eff): 가운데가 배 −R+R
CCP 전극 사이는 시스–플라스마–시스로 된 평행판 선로다. 파장이 \(\lambda_0/\sqrt{1 + d/2s}\)로 줄어들어 VHF에서는 웨이퍼 반지름이 파장의 수십 %에 이르고, 가운데가 볼록한 정재파가 식각 속도 분포에 그대로 찍힌다.
SIMULATOR

VHF 정재파와 300 mm 균일도

그래프 위 흰 원(탐침)을 끈다
진동수
과녁
진공 파장 λ₀—
유효 파장 λ_eff—
전압 불균일 1 − J₀(kR)—
탐침 V(r)/V(0)—
과녁—
위는 웨이퍼(지름 300 mm)를 위에서 본 RF 전압 진폭 지도, 아래는 반지름 방향 분포 \(|V(r)|/|V(0)|\)와 진공 파장일 때(점선)의 비교다. 해볼 것: ① 13.56 MHz에서는 불균일이 1% 아래다 — 준정적 영역. ② 같은 간격에서 60 MHz로 올리면 약 10%, 162 MHz에서는 가장자리가 가운데의 절반 아래로 떨어진다. ③ 과녁: 시스를 두껍게(낮은 밀도·높은 전압) 하거나 플라스마 간격을 줄이면 \(\lambda_{eff}\)가 길어진다. 실제 장비는 전극 모양을 가운데가 오목한 렌즈꼴로 깎거나(가우스 렌즈 전극) 여러 점에서 급전해 이 정재파를 지운다.

플라스마 두께 \(d\) = 2.0 cm, 시스 두께 \(s\) = 1.0 mm인 CCP에서 300 mm 웨이퍼 가장자리(\(R\) = 0.15 m)의 전압이 가운데보다 몇 % 낮은지 13.56 MHz와 60 MHz에서 구하라. 불균일을 2%로 묶으려면 진동수의 상한은?

풀이 보기
전략 \(\lambda_{eff} = (c/f)/\sqrt{1 + d/2s}\), 불균일 \(1 - J_0(2\pi R/\lambda_{eff})\). 작은 \(x\)에서 \(J_0(x) \approx 1 - x^2/4\).
풀이 \(\sqrt{1 + 20/2} = \sqrt{11} = 3.317\). 13.56 MHz: \(\lambda_0 = 22.11\) m, \(\lambda_{eff} = 6.67\) m, \(kR = 0.141\), \(1 - J_0 = 0.0050\). 60 MHz: \(\lambda_0 = 5.00\) m, \(\lambda_{eff} = 1.51\) m, \(kR = 0.626\), \(J_0 = 0.905\) → 9.5%. 상한: \(1 - J_0(x) = 0.02\) → \(x \approx 0.284\) → \(f = xc/(2\pi R\sqrt{11}) = 27.2\) MHz.
13.56 MHz: 0.5%, 60 MHz: 9.5%, 2% 상한 ≈ 27 MHz
검토 진공 파장으로만 보면 60 MHz에서도 \(kR = 0.19\)(불균일 0.9%)라 문제가 없어 보인다. 시스가 플라스마보다 훨씬 얇아 파가 \(\sqrt{11}\)배 느려진 것이 핵심이다. 불균일은 \((kR)^2\), 곧 \(f^2\)에 비례해 커진다.
VHF CCP의 가운데가 빠른 이유와 대책

이중 주파수 CCP는 플라스마 생성 쪽에 40–100 MHz를 쓴다. 진동수가 높을수록 같은 전력에서 밀도는 오르고 시스 전압은 낮아져 이온 손상이 줄지만, 이 절의 정재파 때문에 반지름 방향 밀도가 가운데로 쏠린다. 장비사는 위 전극을 가운데가 얇은 유전체 렌즈로 만들거나(전극 두께로 국소 시스 용량을 바꿔 정재파를 보정), 가장자리 링과 전극 둘레 임피던스를 조정하고, 바이어스 쪽은 낮은 진동수(2–13.56 MHz)로 두어 이온 에너지 분포를 따로 맞춘다. 대면적(2 m 이상) 디스플레이·태양전지 PECVD에서는 13.56 MHz조차 정재파가 문제여서 다점 급전이 표준이다. → EtchBook · 반응기: 배럴에서 ICP까지(균일도) · EtchBook · 시스와 이온(주파수와 이온 에너지)

SerDes 채널은 집중 소자가 아니다

PCIe 6.0(64 GT/s, PAM4)의 나이퀴스트 진동수는 16 GHz이다. FR-4급 기판(\(\varepsilon_r \approx 4\))에서 파장은 약 9 mm, \(\lambda/10\)은 1 mm 남짓이다. 패키지 볼, 비아 스텁, 커넥터 하나하나가 전기적으로 큰 구조라 반사·공진을 일으킨다. 그래서 고속 I/O 설계는 회로도가 아니라 S-파라미터와 아이 다이어그램으로 이야기하고, 비아의 남는 기둥을 갈아 내는 백드릴, 임피던스 정합(12–13장)이 필수가 된다. 칩 안 배선도 상승 시간 수십 ps에서는 수 mm부터 전송선 효과가 보인다. → SoCBook · 인터럽트·DMA·고속 I/O(SerDes와 아이 다이어그램)

핵심 정리

  1. 전하 보존(\(\nabla\cdot\mathbf J = -\partial\rho/\partial t\))과 앙페르 법칙을 함께 살리려면 변위 전류 \(\partial\mathbf D/\partial t\)가 필요하다: \(\nabla\times\mathbf H = \mathbf J + \partial\mathbf D/\partial t\). 충전되는 커패시터 판 사이의 변위 전류는 도선 전류와 같고, 판 사이 자기장은 안쪽 \(\mu_0I\rho/2\pi a^2\), 바깥 \(\mu_0I/2\pi\rho\). 매질은 \(\sigma/\omega\varepsilon \gg 1\)이면 도체, \(\ll 1\)이면 유전체처럼 행동한다.
  2. 맥스웰 방정식: \(\nabla\cdot\mathbf D = \rho_v\), \(\nabla\cdot\mathbf B = 0\), \(\nabla\times\mathbf E = -\partial\mathbf B/\partial t\), \(\nabla\times\mathbf H = \mathbf J + \partial\mathbf D/\partial t\) + 구성 관계 \(\mathbf D = \varepsilon\mathbf E\), \(\mathbf B = \mu\mathbf H\), \(\mathbf J = \sigma\mathbf E\) + 로런츠 힘.
  3. 일반 경계 조건(\(\hat{\mathbf n}\): 2 → 1): \(E_t\) 연속, \(\hat{\mathbf n}\times(\mathbf H_1 - \mathbf H_2) = \mathbf J_s\), \(D_{1n} - D_{2n} = \rho_s\), \(B_n\) 연속. 완전 도체 표면: \(E_t = 0\), \(B_n = 0\), \(\rho_s = D_n\), \(\mathbf J_s = \hat{\mathbf n}\times\mathbf H\). 유한 전도도에서는 \(\mathbf J_s = 0\).
  4. \(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\), \(\mathbf E = -\nabla V - \partial\mathbf A/\partial t\). 게이지 변환 \(\mathbf A + \nabla\chi\), \(V - \partial\chi/\partial t\)은 장을 바꾸지 않는다. 쿨롱 게이지는 \(V\)가 푸아송 방정식, 로렌츠 게이지 \(\nabla\cdot\mathbf A + \mu\varepsilon\,\partial V/\partial t = 0\)은 \(V\)와 \(\mathbf A\)가 속도 \(1/\sqrt{\mu\varepsilon}\)의 파동 방정식을 따른다.
  5. 지연 퍼텐셜: 원천을 \(t - R/u\)에서 계산한다. 시간 조화 원천에서는 \(e^{-jkR}\). 준정적 근사는 \(kL \ll 1\)(어림 \(L < \lambda/10\))일 때만 맞다.
  6. 페이저: \(\mathbf E = \mathrm{Re}\{\tilde{\mathbf E}e^{j\omega t}\}\), \(\partial/\partial t \to j\omega\), \(\varepsilon_c = \varepsilon - j\sigma/\omega\). 곱의 시간 평균은 \(\tfrac12\mathrm{Re}\{\tilde a\tilde b^*\}\).
  7. 포인팅 정리: 들어오는 \(-\oint\mathbf S\cdot d\mathbf S\) = 저장 에너지 증가율 + \(\int\mathbf J\cdot\mathbf E\,dv\), \(\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H\), \(\langle\mathbf S\rangle = \tfrac12\mathrm{Re}\{\tilde{\mathbf E}\times\tilde{\mathbf H}^*\}\). 저항 도선은 옆면으로 \(I^2R\)을 받고, 동축선의 에너지는 유전체로 흐른다. 운동량 밀도 \(\mathbf S/c^2\), 복사 압력 \(I/c\)(흡수)·\(2I/c\)(반사). CCP의 VHF 정재파 \(\lambda_{eff} = \lambda_0/\sqrt{1 + d/2s}\)는 준정적 근사가 깨지는 대표 사례다.

연습문제

\(\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}\) F/m, \(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\) H/m, \(c = 2.998\times10^8\) m/s, \(\eta_0 = 376.7\ \Omega\). 답이 ±1% 이내면 정답이다.

넓이 2.0 cm², 간격 0.10 mm인 공기 평행판 커패시터에 \(v(t) = 100\sin(2\pi\times10^6t)\) V를 걸었다. 판 사이 변위 전류의 최댓값은?

\(I_d = \varepsilon_0A\,dE/dt = C\,dv/dt\).

\(C = \varepsilon_0A/d = 8.854\times10^{-12}\times2.0\times10^{-4}/10^{-4} = 17.7\) pF. \(I_{d,max} = C\omega V_0 = 17.7\times10^{-12}\times2\pi\times10^6\times100 = 1.11\times10^{-2}\) A = 11.1 mA. 도선의 전도 전류 최댓값과 같다.

바닷물(\(\sigma = 4\) S/m, \(\varepsilon_r = 80\))에서 1 MHz 장의 전도 전류 밀도와 변위 전류 밀도의 비는?

\(\sigma/\omega\varepsilon = 4/(2\pi\times10^6\times80\times8.854\times10^{-12}) = 899\). 1 MHz에서 바닷물은 양도체다. 잠수함 통신에 수십 kHz 이하를 쓰는 이유(표피 깊이, 10장)와 이어진다.

반지름 4.0 cm인 원판 커패시터가 2.0 A로 충전되고 있다. 판 사이 평면에서 축으로부터 2.0 cm와 6.0 cm 떨어진 곳의 자기장은?

안쪽은 감싼 변위 전류 \(I\rho^2/a^2\), 바깥은 전체 \(I\).

\(B(2) = \mu_0I\rho/2\pi a^2 = (2\times10^{-7})(2.0)(0.02)/0.0016 = 5.00\) µT. \(B(6) = \mu_0I/2\pi\rho = (2\times10^{-7})(2.0)/0.06 = 6.67\) µT.

평면 \(z = 0\)의 위(\(z > 0\))는 공기, 아래는 \(\varepsilon_r = 4\)인 유전체이고 경계면에 표면 전하 \(\rho_s = 2\varepsilon_0\) C/m²(약 \(1.77\times10^{-11}\) C/m²)가 있다. 경계 바로 아래 \(\mathbf E_2 = 2\,\hat{\mathbf x} + 3\,\hat{\mathbf z}\) V/m일 때 경계 바로 위 \(\mathbf E_1\)의 \(z\) 성분은?

\(\hat{\mathbf n} = \hat{\mathbf z}\): \(\varepsilon_0E_{1z} - 4\varepsilon_0E_{2z} = \rho_s\).

\(E_{1z} = (4\varepsilon_0\times3 + 2\varepsilon_0)/\varepsilon_0 = 14.0\) V/m. 접선 성분은 그대로 \(E_{1x} = 2\) V/m이므로 \(\mathbf E_1 = 2\,\hat{\mathbf x} + 14\,\hat{\mathbf z}\) V/m.

완전 도체가 \(z < 0\)을 채우고 있다. 표면 바로 위의 자기장 페이저가 \(\tilde{\mathbf H} = 8\,\hat{\mathbf x} - 6\,\hat{\mathbf y}\) A/m일 때 표면 전류 밀도의 크기는? 방향도 구하라.

\(\tilde{\mathbf J}_s = \hat{\mathbf z}\times\tilde{\mathbf H} = 8\,\hat{\mathbf y} + 6\,\hat{\mathbf x}\) A/m, \(|\tilde{\mathbf J}_s| = 10.0\) A/m. 표면 전류는 접선 자기장에 수직이다.

진공에서 다음 퍼텐셜 쌍 가운데 로렌츠 게이지 조건 \(\nabla\cdot\mathbf A + \mu_0\varepsilon_0\,\partial V/\partial t = 0\)을 만족하는 것은? (\(A_0, V_0, k, \omega\)는 0이 아닌 상수)

둘째: \(\nabla\cdot\mathbf A = \partial A_x/\partial x = 0\), \(\partial V/\partial t = 0\) ✓. 첫째는 \(\partial V/\partial t \ne 0\)인데 \(\mathbf A = 0\). 셋째는 \(\partial A_z/\partial z = kA_0\sin(\cdot) \ne 0\). 넷째는 \(\nabla\cdot\mathbf A = A_0 \ne 0\).

진공에서 3.0 m 떨어진 원천을 켰을 때 관측점의 장이 바뀌기 시작하는 시각은? 또 2.45 GHz 원천에서 위상 지연이 90°가 되는 거리는?

\(t = R/c = 3.0/2.998\times10^8 = 10.0\) ns. \(kR = \pi/2\) → \(R = \lambda/4 = (2.998\times10^8/2.45\times10^9)/4 = 3.06\) cm.

\(v(t) = 5\cos(\omega t + 60^\circ) - 3\sin\omega t\)를 \(V_0\cos(\omega t + \phi)\)로 쓸 때 \(V_0\)와 \(\phi\)(도)는?

\(-\sin\omega t = \cos(\omega t + 90^\circ)\).

\(\tilde V = 5\angle60^\circ + 3\angle90^\circ = (2.5 + j4.330) + j3 = 2.5 + j7.330\). \(V_0 = 7.74\), \(\phi = 71.2^\circ\).

진공의 평면파 \(\tilde{\mathbf E} = 50e^{-jkz}\,\hat{\mathbf x}\) V/m, \(\tilde{\mathbf H} = (50/\eta_0)e^{-jkz}\,\hat{\mathbf y}\) A/m의 시간 평균 포인팅 벡터 크기는?

\(\langle S\rangle = \tfrac12\mathrm{Re}\{\tilde E\tilde H^*\} = 50^2/(2\times376.7) = 3.32\) W/m², \(+\hat{\mathbf z}\) 방향.

안 도체 반지름 1.0 mm, 바깥 도체 안쪽 반지름 3.5 mm인 공기 동축선이 10 V, 0.20 A(직류)를 부하로 보낸다. 안 도체 표면(\(\rho = a\))의 포인팅 벡터 크기와 단면 전체로 흐르는 일률은?

\(E = V/(\rho\ln(b/a))\), \(H = I/2\pi\rho\), \(P = \int_a^b S\,2\pi\rho\,d\rho\).

\(S(\rho) = VI/(2\pi\rho^2\ln(b/a))\). \(\ln3.5 = 1.253\), \(S(a) = 2.0/(2\pi\times10^{-6}\times1.253) = 2.54\times10^5\) W/m². \(P = \int_a^b\frac{VI}{2\pi\rho^2\ln(b/a)}2\pi\rho\,d\rho = VI = 2.00\) W.

반지름 0.50 mm인 니크롬선(비저항 \(1.10\times10^{-6}\ \Omega\cdot\)m)에 3.0 A가 흐른다. 표면의 포인팅 벡터 크기는? 1 m당 발열과 비교하라.

\(E = \rho_eI/\pi a^2 = 1.10\times10^{-6}\times3.0/(\pi\times2.5\times10^{-7}) = 4.20\) V/m, \(H = I/2\pi a = 954.9\) A/m, \(S = 4.01\times10^3\) W/m². \(S\times2\pi a\times1 = 12.6\) W = \(I^2R'\) (\(R' = 1.40\ \Omega\)/m) ✓.

출력 10 kW인 CO₂ 레이저 빔이 완전 반사 거울에 수직으로 닿는다. 거울이 받는 힘은?

\(F = 2P/c = 2\times10^4/2.998\times10^8 = 6.67\times10^{-5}\) N = 66.7 µN. 약 7 mg의 무게다.

반지름 5.0 cm, 간격 1.0 mm인 원판 커패시터의 전압이 \(10^6\) V/s로 오르고 있다. 전압이 100 V인 순간, 판 가장자리 원통 옆면(반지름 \(a\), 높이 \(d\))으로 들어오는 포인팅 벡터의 일률을 구하라. (가장자리 효과 무시)

\(E = V/d\), 가장자리 \(H = \tfrac{a}{2}\varepsilon_0\,dE/dt\). \(P = EH\cdot2\pi ad\).

\(E = 10^5\) V/m, \(dE/dt = 10^9\) V/(m·s), \(H(a) = (0.05/2)(8.854\times10^{-12})(10^9) = 0.2214\) A/m. \(P = (10^5)(0.2214)(2\pi\times0.05\times10^{-3}) = 6.95\times10^{-3}\) W. 확인: \(C = \varepsilon_0\pi a^2/d = 69.5\) pF, \(d(\tfrac12CV^2)/dt = CV\,dV/dt = 69.5\times10^{-12}\times100\times10^6 = 6.95\) mW ✓. 에너지는 도선을 타고 판으로 들어오지 않고 옆에서 들어온다.

CCP의 플라스마 두께 2.5 cm, 시스 두께 2.5 mm, 진동수 60 MHz이다. 반지름 0.15 m 가장자리의 전압이 가운데보다 몇 % 낮은가? (\(\lambda_{eff} = \lambda_0/\sqrt{1 + d/2s}\), \(J_0(x) \approx 1 - x^2/4 + x^4/64\))

\(\sqrt{1 + 25/5} = \sqrt6 = 2.449\). \(\lambda_0 = 5.00\) m, \(\lambda_{eff} = 2.04\) m, \(x = 2\pi(0.15)/2.04 = 0.462\). \(J_0 = 1 - 0.05337 + 0.00071 = 0.9473\). 불균일 = 5.27%. 같은 조건에서 2% 이내가 되는 진동수 상한은 약 37 MHz이다.

다음 가운데 준정적(집중 소자) 해석이 가장 잘 맞지 않는 경우는?

20 ps의 대역폭은 \(0.35/t_r = 17.5\) GHz, \(\varepsilon_r = 4\)에서 파장 \(c/(f\sqrt{\varepsilon_r}) = 8.6\) mm. 15 mm 배선은 \(L/\lambda \approx 1.7\)로 파장보다 길다 — 전송선으로 다뤄야 한다. 나머지: 60 Hz 파장 5000 km, 13.56 MHz 22 m, 1 kHz 300 km.

개념 확인 퀴즈

변위 전류에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

직류 정상 상태에서는 커패시터 전압이 일정해 \(\partial\mathbf D/\partial t = 0\)이다. 변위 전류는 판 사이 장이 변하는 동안(충전 중이거나 교류)에만 흐른다.

두 매질 경계에서 시간에 따라 변하는 장을 풀 때, 유한한 전도도를 가진 금속 경계라면 반드시 연속인 것은?

유한 전도도에서는 두께 0의 층에 유한 전류가 흐를 수 없으므로 \(\mathbf J_s = 0\), 곧 \(H_t\)가 연속이다. 그러나 표면 전하는 쌓일 수 있어 \(D_n\)은 불연속일 수 있다.

쿨롱 게이지에서 스칼라 퍼텐셜 \(V\)는 전하 분포가 바뀌는 순간 멀리서도 즉시 바뀐다. 이것이 상대성 이론과 모순되지 않는 이유는?

게이지는 장부를 쓰는 방식일 뿐이다. 어떤 게이지를 쓰든 \(\mathbf E\)와 \(\mathbf B\)는 같고, 그 둘은 지연된 원천으로 정해진다.

동축 케이블로 RF 전력을 보낼 때 에너지가 실제로 흐르는 곳은?

\(\mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H\)는 \(\mathbf E\)(반지름 방향)와 \(\mathbf H\)(둘레 방향)가 함께 있는 유전체에서만 축 방향이다. 금속 속으로는 손실분만 옆면으로 스며든다. 그래서 케이블의 전력 한계는 유전체의 절연 파괴와 발열이 정한다.

CCP 장비의 RF 진동수를 13.56 MHz에서 60 MHz로 올렸더니 웨이퍼 가운데의 식각 속도가 가장자리보다 커졌다. 가장 근본적인 원인은?

\(\lambda_{eff} = \lambda_0/\sqrt{1 + d/2s}\)는 60 MHz에서 1–2 m까지 줄어든다. 반지름 0.15 m가 \(\lambda_{eff}\)의 10%를 넘으면 \(J_0\) 정재파의 불균일이 수 %를 넘는다. 준정적 근사가 깨진 것이다.