용어집과 종합 문제
1–18장과 부록 A 본문에서 처음 정의한 용어를 모았다. 설명은 본문의 정의를 한두 문장으로 정리한 것이고, 링크를 누르면 그 용어가 처음 나온 절로 간다. 검색창에 한국어나 영어를 넣거나 장을 골라 목록을 좁힐 수 있다. 뒤의 종합 문제는 장마다 2–3문제씩 모두 52문제다. 계산 문제와 선택형, 짧은 기호 답(항 기호)을 섞었다. ‘종합’ 표시가 붙은 마지막 묶음은 여러 장의 도구를 함께 써야 풀린다. 그다음에는 숫자를 바꿔 가며 끝없이 새 문제를 내는 반복 연습 여섯 개, 시험 직전 체크리스트, 각 장의 개념 퀴즈를 섞어 내는 코너가 이어진다. 상수표와 특수 함수는 부록 A에 있다. 아래 그림은 이 책의 열여덟 장을 선수 관계로 이은 지도다. 파속 하나가 화살표를 따라 한 장에서 다음 장으로 건너가고, 도착한 장에서 처음 정의한 용어가 가운데에 뜬다.
- 용어집에서 낯선 용어를 찾아 정의를 확인하고, 그 용어가 처음 나온 절로 돌아가 앞뒤 맥락을 다시 읽는다.
- 장별 종합 문제로 각 장의 핵심 계산(보른 확률, 측정 확률과 선폭, 터널링 투과율, 수소꼴 준위와 도펀트, 자기 공명, 섭동 이동, 변분 에너지, 복사 수명, 산란 운동학, 란다우 준위, 밀도 행렬, 얽힘 척도)을 숫자로 확인한다.
- 교환자·보존량·대칭·선택 규칙·프로토콜에 관한 선택형 문제와 항 기호 같은 기호 답으로 개념을 점검한다.
- 장을 넘나드는 반복 연습으로 수소꼴 스펙트럼, 장벽 투과, 란다우 준위와 채움 인자, 자기 공명, 혼합 상태의 순도와 엔트로피, 훈트 규칙을 손에 익을 때까지 돌린다.
용어집
용어 435개 · 각 용어는 처음 정의된 장으로 연결된다.
기타
1차 시간 의존 섭동 이론first-order time-dependent perturbation theory
c_f(t) ≈ −(i/ħ)∫⟨f|V(t′)|i⟩e^{iω_fi t′}dt′. 처음 상태의 점유가 거의 그대로일 때 다른 상태로 가는 진폭을 섭동의 1차까지 구하는 방법.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →3j 기호Wigner 3j symbol
위그너 3j 기호. 클레브시–고르단 계수를 세 각운동량에 대해 대칭인 형태로 다시 쓴 것으로, 열의 순열에 대해 부호만 바뀌어 각운동량 결합과 행렬 요소 계산을 간단히 한다.
A장 수학 도구와 물리 상수 →δ 정규화delta-function normalization
연속 고유값의 고유 상태를 ⟨x|x′⟩ = δ(x − x′), ⟨p|p′⟩ = δ(p − p′)처럼 디랙 델타로 정규화하는 방식. 평면파는 제곱 적분 가능하지 않아 이렇게 정규화한다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →π 펄스π pulse
라비 진동의 반 주기(Ωt = π)만큼 구동하는 펄스. 공명에서 |0⟩을 |1⟩로 완전히 뒤집는다. π/2 펄스는 같은 크기의 중첩을 만든다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →A–Z
BCH 공식Baker–Campbell–Hausdorff
베이커–캠벨–하우스도르프 공식 e^Ae^B = e^{A + B + [A,B]/2 + …}. [A, B]가 숫자이면 거기서 끝나며, 변위 연산자와 분할 연산자 방법의 오차에 쓴다.
A장 수학 도구와 물리 상수 →CPMG 펄스열Carr–Purcell–Meiboom–Gill sequence
π/2 펄스 뒤 π 펄스를 일정 간격으로 여러 번 거는 펄스열. 느린 잡음에 의한 결어긋남을 반복해서 되돌려 결맞음 시간을 늘린다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →LCAOlinear combination of atomic orbitals
원자 오비탈의 선형 결합으로 분자 오비탈을 근사하는 방법. H₂⁺에서 결합(σ_g)·반결합(σ_u) 조합이 나오며, 레일리–리츠 방법의 가장 단순한 예다.
13장 변분법과 WKB 근사 →LS 결합LS coupling
가벼운 원자에서 전자들의 궤도 각운동량을 먼저 L로, 스핀을 S로 합친 뒤 스핀–궤도 결합으로 J를 만드는 근사(러셀–손더스 결합).
11장 동일 입자 →NV 중심nitrogen-vacancy center
다이아몬드에서 질소 원자 옆 탄소 자리가 비어 생긴 점결함. 음전하 상태는 스핀 1 바닥 상태를 가지며 상온에서 광학적으로 초기화·판독되어 양자 센서·큐비트로 쓴다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →RKKY 상호작용RKKY interaction
국소 자기 모멘트들이 전도 전자의 스핀 분극을 매개로 주고받는 간접 교환. 거리에 따라 cos(2k_Fr)/r³로 진동하며, 비자성 스페이서를 둔 다층막의 층간 결합을 정한다.
11장 동일 입자 →S 행렬scattering matrix
들어오는 파동의 진폭을 나가는 파동의 진폭에 연결하는 행렬. 1차원에서 2×2이고 성분은 r, t, r′, t′이며, 확률 흐름 보존 때문에 유니터리다.
05장 1차원 퍼텐셜 →WKB 근사Wentzel–Kramers–Brillouin approximation
퍼텐셜이 파장 규모에서 천천히 변할 때 ψ ≈ p(x)^{-1/2} exp(±(i/ħ)∫p dx)로 쓰는 준고전 근사. 터널 확률 e^{-2∫κdx}와 양자화 조건을 준다.
13장 변분법과 WKB 근사 →g 인자g-factor
자기 모멘트를 μ = −gμ_B J/ħ처럼 쓸 때의 무차원 계수. 궤도는 1, 전자 스핀은 약 2.0023이며, 고체에서는 스핀–궤도 결합으로 2에서 벗어난다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →k·p 섭동k·p perturbation theory
블로흐 해밀토니언의 (ħ/m)k·p 항을 띠 가장자리(k = 0) 근처에서 섭동으로 다뤄 띠 분산과 유효 질량을 운동량 행렬 요소와 띠 간격으로 구하는 이론.
12장 시간 무관 섭동 이론 →ㄱ
가로 결맞음 길이transverse coherence length
빔의 진행 방향에 수직으로 떨어진 두 점이 서로 간섭할 수 있는 최대 거리. 전자원의 각 퍼짐 α로 대략 λ/(2πα)이며, 원천이 작고 멀수록 길다.
01장 파동함수와 확률 →가로 이완 시간transverse relaxation time, T₂, 스핀–스핀 이완
T₂. 결맞음(블로흐 벡터의 가로 성분)이 사라지는 시간으로 1/T₂ = 1/2T₁ + 1/T_φ, T₂ ≤ 2T₁이다. 스핀–스핀 이완이라고도 한다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →가상 상태virtual state
2차 이상의 전이 과정에서 거쳐 가는 중간 상태. 에너지 보존을 만족할 필요가 없으며, 실리콘의 포논 보조 간접 흡수가 예다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →가속 정리acceleration theorem
균일한 힘 F를 받는 전자의 (결정) 운동량이 dℏk/dt = F로 일정하게 변한다는 결과. 하이젠베르크 방정식에서 나오며, 결정에서는 블로흐 진동의 근거가 된다.
04장 시간 전개 →가이거–누탈 법칙Geiger–Nuttall law
알파 붕괴 반감기의 로그가 알파 입자 에너지의 −1/2제곱에 대해 직선이라는 경험 법칙. 쿨롱 장벽 WKB 터널링(가모프 인자)으로 설명된다.
13장 변분법과 WKB 근사 →가장자리 상태edge state
시료 가장자리에서 가둠 퍼텐셜로 란다우 준위가 휘어 페르미 에너지와 만나는 곳에 생기는 한 방향으로만 흐르는 상태. 후방 산란이 막혀 양자 홀 수송을 완벽하게 만든다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →간접 띠 간격indirect band gap
가전자대 꼭대기와 전도대 바닥이 다른 k에 있는 띠 간격. 실리콘·저마늄처럼 수직 전이가 안 되어 포논이 운동량을 메우는 2차 과정으로만 흡수·발광하므로 약하다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →강결합 모형tight-binding model
전자가 원자 자리에 머물며 이웃 자리로 진폭 −t로 건너뛴다고 보는 모형. 1차원 사슬에서 E(k) = E₀ − 2t cos ka, 띠 폭 4t이며 유한 차분 해밀토니언과 같은 구조다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →강체 회전자rigid rotor
모양이 고정된 채 도는 물체의 모형. 이원자 분자는 E_J = ħ²J(J+1)/2I = hcBJ(J+1)이고 각 준위는 2J+1중 축퇴다.
08장 각운동량 →강한 구속strong confinement
양자점 반지름이 엑시톤 보어 반지름보다 작은 경우. 전자와 정공의 구속 에너지(∝1/R²)가 쿨롱 에너지(∝1/R)보다 커서 둘을 따로 가두고 쿨롱 항은 섭동으로 더한다.
09장 중심력과 수소 원자 →게이지 불변성gauge invariance
벡터 퍼텐셜을 A → A + ∇χ로 바꾸고 파동함수에 위상 e^{iqχ/ħ}를 곱해도 물리가 바뀌지 않는 성질. 관측량은 B, E와 게이지 불변 위상뿐이다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →결맞음coherence
파동의 여러 성분이나 두 지점 사이에 일정한 위상 관계가 유지되어 간섭 무늬를 만들 수 있는 정도. 전자 빔에서는 원천의 크기와 에너지 퍼짐이 결맞음을 정한다.
01장 파동함수와 확률 →결맞음 상태coherent state
내림 연산자의 고유 상태 â|α⟩ = α|α⟩. 최소 불확정 가우스 파속이 모양을 유지한 채 고전 진동자처럼 진동하고, 광자 수는 평균 |α|²인 푸아송 분포다. 레이저 빛의 모형.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →결맞음 항coherence
밀도 행렬의 비대각 원소 ρ_mn. 두 상태 사이의 위상 관계를 담아 간섭을 만들며, 결어긋남은 이것을 0으로 줄인다(결맞음 상태와는 다른 뜻).
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →결어긋남dephasing
충돌·포논·잡음 같은 환경 때문에 상태 사이의 위상 관계(결맞음)가 무작위로 흩어지는 과정. 점유는 그대로 두고 간섭만 지우며 시간 T₂(T_φ)로 특징짓는다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →결정 운동량crystal momentum
블로흐 상태의 ħk. 이산 병진 대칭에서 오는 양자수로 −π/a < k ≤ π/a(첫 브릴루앵 영역) 안에서 정의되며, 외력에 대해 dħk/dt = F를 따른다. 진짜 운동량의 고유값은 아니다.
07장 대칭과 보존 법칙 →결합 기저coupled basis
합성 각운동량 J² 과 J_z의 고유 상태 |j₁j₂; J M⟩. 스핀–궤도나 교환 상호작용처럼 J₁·J₂에 비례하는 항이 있을 때 대각 기저다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →결합 상태 밀도joint density of states
가전자대–전도대 사이 같은 k의 상태 쌍을 에너지 차 ħω로 센 상태 밀도. 직접 간격 3차원 반도체에서 √(ħω − E_g)에 비례해 흡수 계수의 모양을 정한다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →겹침 적분overlap integral
S = ⟨φ_A|φ_B⟩. 서로 다른 중심의 두 원자 오비탈이 공간적으로 겹치는 정도로, 직교하지 않는 기저에서 일반화된 고유값 문제를 만든다.
13장 변분법과 WKB 근사 →겹침 행렬overlap matrix
S_ij = ⟨φ_i|φ_j⟩. 직교하지 않는 기저 함수들의 내적 행렬. 레일리–리츠 방법에서 Hc = ESc의 오른쪽에 들어간다.
13장 변분법과 WKB 근사 →경로 적분path integral
파인만의 정식화. 전파 인자를 두 점을 잇는 모든 경로에 대한 e^{iS/ħ}의 합으로 쓴다. S ≫ ħ이면 정류 위상인 고전 경로가 지배한다.
04장 시간 전개 →계산 기저computational basis
큐비트의 표준 측정 기저 {|0⟩, |1⟩}(σ_z 고유 상태). n큐비트에서는 2ⁿ개의 비트 문자열 상태 |00…0⟩–|11…1⟩이다.
18장 양자 정보와 큐비트 →고양이 상태cat state
서로 거시적으로 다른 두 결맞음 상태의 중첩 |α⟩ ± |−α⟩. 위그너 함수 가운데에 간섭 무늬(음수 영역)가 생기며 환경과의 결어긋남에 매우 약하다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →고유 상태eigenstate
연산자를 걸어도 상수배만 되는 상태 Â|a⟩ = a|a⟩. 관측가능량의 고유 상태에서 그 양을 재면 확률 1로 고유값 a를 얻는다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →고전 전환점classical turning point
E = V(x)인 점. 고전 입자가 멈추고 되돌아오는 곳으로, WKB 근사가 깨져 연결 공식으로 양쪽 해를 잇는다.
13장 변분법과 WKB 근사 →골짜기 축퇴valley degeneracy
띠 바닥이 브릴루앵 영역 안 대칭으로 같은 여러 점에 있어 생기는 축퇴. 실리콘 전도띠는 ⟨100⟩ 방향 여섯 골짜기, 저마늄은 L점 네 골짜기(여덟 반쪽)다.
07장 대칭과 보존 법칙 →공명 터널링resonant tunneling
두 장벽 사이 우물의 준속박 준위와 입사 에너지가 맞을 때, 각 장벽의 투과율이 작아도 전체 투과율이 1 가까이 치솟는 현상. 공명 터널 다이오드의 부성 저항을 만든다.
05장 1차원 퍼텐셜 →공존도concurrence
두 큐비트 상태의 얽힘 척도 C. 곱 상태 0, 벨 상태 1이며, 순수 상태 a|00⟩+b|01⟩+c|10⟩+d|11⟩에서 C = 2|ad − bc|다.
18장 양자 정보와 큐비트 →광 검출 자기 공명ODMR
스핀 상태에 따라 형광 세기가 달라지는 것을 이용해 마이크로파 공명을 빛으로 읽는 방법(ODMR). NV 중심의 2.87 GHz 형광 감소로 자기장을 잰다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →광자photon
전자기장 한 모드의 양자화된 들뜸. 모드가 조화 진동자이므로 에너지 ħω의 덩어리로 오고, 수 상태 |n⟩이 광자 n개 상태다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →광학 정리optical theorem
σ_tot = (4π/k)Im f(0). 전체 단면적이 앞방향 산란 진폭의 허수부로 정해진다는 정리로, 산란이 앞방향 입사파와의 간섭으로 흐름을 빼앗음을 나타낸다.
15장 산란 이론 →교환 관계commutation relations
연산자 사이의 교환자 값을 정한 관계. 각운동량에서는 [Ĵ_i, Ĵ_j] = iħε_ijkĴ_k, [Ĵ², Ĵ_i] = 0이며, 이것만으로 고유값 j(j+1)ħ², mħ가 나온다.
08장 각운동량 →교환 관측가능량 완비 집합complete set of commuting observables, CSCO
서로 교환하는 관측가능량들의 집합으로, 그 고유값 조합이 기저 상태를 하나로 정할 만큼 충분한 것. 예: 수소의 (Ĥ, L̂², L̂_z, Ŝ_z)이 양자수 (n, l, m, m_s)를 준다.
03장 측정과 불확정성 →교환 구멍exchange hole
같은 스핀 전자 둘레에 교환 반대칭 때문에 다른 같은 스핀 전자가 들어오지 않는 영역(페르미 구멍). 크기는 1/k_F 정도이며 쿨롱 에너지를 낮춘다.
11장 동일 입자 →교환 대칭exchange symmetry
두 동일 입자의 좌표(위치·스핀)를 바꾸는 교환 연산자 P̂₁₂의 고유값 ±1. 보손은 +1(대칭), 페르미온은 −1(반대칭)이다.
11장 동일 입자 →교환 분리exchange splitting
같은 오비탈 배치에서 스핀 단일항과 삼중항(공간 대칭·반대칭)의 에너지 차. 헬륨 1s2s에서 파라·오르토 준위를 가르고, 강자성체에서는 다수·소수 스핀 띠를 가른다.
11장 동일 입자 →교환 적분exchange integral
K = ∫∫φ_a*(1)φ_b*(2)(e²/4πε₀r₁₂)φ_b(1)φ_a(2). 교환 반대칭에서만 생기는 고전 대응이 없는 항으로, 단일항–삼중항(또는 파라·오르토) 에너지 차 2K를 준다.
11장 동일 입자 →교환 힘exchange force
실제 힘이 아니라 대칭화 요구 때문에 동일 입자 사이에 나타나는 유효 끌림·밀침. 공간 반대칭 상태는 서로 멀어지고(페르미 구멍), 대칭 상태는 가까워진다.
11장 동일 입자 →교환자commutator
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â. 두 연산자를 거는 순서에 따른 차이로, 0이면 공통 고유 기저가 있어 동시에 정확히 잴 수 있고, 0이 아니면 불확정성 관계의 하한을 준다.
03장 측정과 불확정성 →구 베셀 함수spherical Bessel function
j_l(x), y_l(x). 자유 입자 지름 방정식의 해로 j₀ = sin x/x. 원점에서 유한한 j_l이 구형 우물 안의 해이고 산란의 부분파 전개에도 쓴다.
09장 중심력과 수소 원자 →구면 조화 함수spherical harmonics
Y_l^m(θ,φ). L̂²과 L̂_z의 공통 고유 함수로 구면 위의 직교 정규 기저를 이룬다. φ 의존은 e^{imφ}이고, 패리티는 (−1)^l이다.
08장 각운동량 →국소 숨은 변수 이론local hidden variable theory
측정 결과가 미리 정해진 숨은 변수와 측정 장치의 국소 설정만으로 결정된다는 고전적 이론. 벨(CHSH) 부등식 |S| ≤ 2를 만족해야 한다.
18장 양자 정보와 큐비트 →군속도group velocity
v_g = dω/dk. 파속의 포락선(곧 확률이 몰린 곳)이 움직이는 속도. 자유 입자에서 ħk/m으로 고전 속도와 같고, 결정 속 전자에서는 (1/ħ)dE/dk다.
01장 파동함수와 확률 →궤도 각운동량orbital angular momentum
L̂ = r̂ × p̂. 공간 회전의 생성자이며, 성분은 [L̂_x, L̂_y] = iħL̂_z를 만족하고 L̂² 고유값은 l(l+1)ħ² (l은 정수)다.
08장 각운동량 →균일 선폭 넓힘homogeneous broadening
모든 원자가 같은 모양으로 넓어지는 선폭 넓힘. 수명과 위상 흩트림(T₂)에서 오며 로렌츠 모양 Δω = 2/T₂를 갖는다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →금지 전이forbidden transition
전이 쌍극자 모멘트가 대칭 때문에 0인 전이. 자기 쌍극자·전기 사중극자 같은 고차 과정으로만 일어나 훨씬 느리다(긴 수명의 준안정 상태).
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →기댓값expectation value
같은 상태로 준비한 계를 여러 번 잰 결과의 평균 ⟨A⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩ = ∫ψ*Âψ dx. 한 번의 측정값이 아니라 통계적 평균이다.
01장 파동함수와 확률 →기약 표현irreducible representation
더 작은 불변 부분 공간으로 나눌 수 없는 군의 행렬 표현. 해밀토니언의 대칭군에서 축퇴된 고유 상태들은 하나의 기약 표현을 이루므로 그 차원이 축퇴도다.
07장 대칭과 보존 법칙 →기저 변환change of basis
같은 상태·연산자를 다른 직교 정규 기저로 나타내는 일. 성분은 유니터리 행렬 U_mn = ⟨m′|n⟩로 바뀌고 연산자 행렬은 UAU†가 된다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →ㄴ
내림 연산자lowering operator
â = (mω/2ħ)^{1/2}(x̂ + ip̂/mω). 조화 진동자의 에너지를 ħω 내리는 연산자로 â|n⟩ = √n|n−1⟩, 바닥 상태는 â|0⟩ = 0으로 정의된다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →내부 양자 효율internal quantum efficiency
재결합 가운데 광자를 내는 복사 재결합의 비율 Bnp/(Bnp + 비복사 재결합). LED의 밝기를 결정하는 재료 고유의 효율이다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →뇌터 정리Noether's theorem
연속 대칭마다 보존량이 하나씩 있다는 정리. 양자역학에서는 대칭의 생성자가 해밀토니언과 교환해 보존된다: 시간 병진→에너지, 공간 병진→운동량, 회전→각운동량.
07장 대칭과 보존 법칙 →누메로프 방법Numerov method
y″ = −k²(x)y 꼴 방정식을 격자 간격의 4차 정확도로 적분하는 3점 점화식. 1차 도함수가 없는 슈뢰딩거 방정식의 사격법에 표준으로 쓴다.
05장 1차원 퍼텐셜 →ㄷ
다이슨 급수Dyson series
해밀토니언이 시간에 의존할 때 시간 전개 연산자를 시간 순서 곱의 적분 급수 Û = 1 + (−i/ħ)∫Ĥdt + …로 쓴 것. 시간 의존 섭동 이론의 출발점이다.
04장 시간 전개 →단열 극한adiabatic limit
해밀토니언이 준위 간격에 비해 아주 천천히 바뀌는 극한. 계가 순간 고유 상태를 따라가며 전이하지 않는다(단열 정리).
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →단일 광자 사태 다이오드single-photon avalanche diode, SPAD
항복 전압보다 높은 역바이어스로 구동해, 광자 하나가 만든 전자–정공 쌍이 사태 증배로 거시 전류 펄스를 일으키게 한 p–n 다이오드. 광자 계수와 비행 시간 측정에 쓴다.
03장 측정과 불확정성 →단일항singlet
두 스핀 1/2를 합친 S = 0 상태 (|↑↓⟩ − |↓↑⟩)/√2. 스핀 교환에 반대칭이며 어느 축으로 재도 두 스핀이 반대로 나오는 최대 얽힘 상태다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →단일항–삼중항 큐비트singlet–triplet qubit
이중 양자점의 두 전자 스핀에서 단일항 S와 삼중항 T₀를 |0⟩, |1⟩로 쓰는 큐비트. 교환 에너지 J를 게이트 전압으로 켜고 끄며 조작한다.
11장 동일 입자 →대칭 게이지symmetric gauge
A = (B × r)/2. 원점에 대한 회전 대칭을 보존하는 게이지로, L_z가 좋은 양자수가 되어 양자점·원형 구조(포크–다윈) 문제에 쓴다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →대칭 깨짐symmetry breaking
섭동이 원래 해밀토니언보다 대칭이 낮아 그 대칭이 보장하던 축퇴가 풀리는 일. 예: 전기장은 수소의 회전 대칭을, 변형은 실리콘 골짜기의 입방 대칭을 깬다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →대칭 변환symmetry transformation
계를 바꿔도 물리(모든 전이 확률 |⟨φ|ψ⟩|²)가 달라지지 않는 변환. 해밀토니언과 교환하면 동역학까지 보존되어 보존량과 축퇴를 낳는다.
07장 대칭과 보존 법칙 →대칭화 가정symmetrization postulate
동일 입자계의 상태는 모든 입자 교환에 대해 완전히 대칭(보손)이거나 완전히 반대칭(페르미온)이어야 한다는 공준.
11장 동일 입자 →델타 퍼텐셜delta-function potential
V(x) = −αδ(x)(우물) 또는 +αδ(x)(장벽). 폭이 0이고 넓이가 α인 극한으로, 도함수가 δ 자리에서 2mα/ħ²만큼 뛴다. 우물은 속박 상태가 정확히 하나다.
05장 1차원 퍼텐셜 →돌연 극한sudden limit
해밀토니언이 계의 고유 시간보다 훨씬 빨리 바뀌는 극한. 상태가 그대로 남은 채 새 고유 상태로 전개되며 전이 확률은 |⟨f_new|i_old⟩|²이다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →동시 측정 가능compatible
두 관측가능량이 교환해 공통 고유 상태 기저를 가져, 한쪽을 재도 다른 쪽의 결과 분포가 흐트러지지 않는 성질. 예: 수소의 Ĥ, L̂², L̂_z.
03장 측정과 불확정성 →동일 입자identical particles
질량·전하·스핀 등 고유 성질이 모두 같아 원리적으로 구별할 수 없는 입자. 입자 표지를 바꿔도 물리가 같아야 하므로 파동함수가 교환에 대해 대칭이거나 반대칭이다.
11장 동일 입자 →동적 결합 끊기dynamical decoupling
펄스열로 큐비트를 반복해서 뒤집어 느린 환경 잡음의 효과를 평균으로 지우는 기법. 스핀 에코·CPMG·XY4 등이 있다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →디바이 길이Debye length
λ_D = √(εk_BT/e²n). 자유 운반자가 이온화된 불순물의 쿨롱 퍼텐셜을 가려 e^{-r/λ_D}/r로 줄이는 거리. 차폐 쿨롱 산란의 길이 척도다.
15장 산란 이론 →딩글 인자Dingle factor
exp(−π/ω_cτ_q). 산란으로 넓어진 란다우 준위가 SdH 진동 진폭을 줄이는 인자로, 양자 수명 τ_q를 준다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →ㄹ
라모어 세차Larmor precession
자기장 B 속 자기 모멘트(스핀 기댓값)가 장 둘레를 각진동수 ω_L = γB로 도는 운동. 블로흐 벡터가 B축 둘레로 회전한다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →라비 공식Rabi formula
P(t) = [Ω²/(Ω² + Δ²)] sin²(√(Ω² + Δ²) t/2). 회전파 근사에서 이조 Δ로 구동한 2준위 계의 전이 확률.
10장 스핀과 각운동량 합성 →라비 셰브론Rabi chevron
구동 이조와 펄스 길이를 바꿔 가며 잰 전이 확률을 2차원 지도로 그린 무늬. 갈매기(셰브론) 모양으로 퍼지며 공명 진동수와 라비 진동수를 함께 보정한다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →라비 진동Rabi oscillation
공명에 가까운 진동장 아래 2준위 계의 점유가 두 준위 사이를 주기적으로 오가는 현상. 큐비트 조작의 기본이다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →라비 진동수Rabi frequency
Ω = 진동장 결합의 크기(스핀이면 γB₁, 쌍극자 전이면 dE₀/ħ). 공명에서 두 준위의 점유가 cos²(Ωt/2), sin²(Ωt/2)로 오가는 진동수다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →라포르테 규칙Laporte rule
반전 대칭인 계에서 전기 쌍극자 전이는 패리티가 반대인 상태 사이(짝↔홀)에서만 일어난다는 선택 규칙. 원자에서 Δl이 홀수여야 한다.
07장 대칭과 보존 법칙 →란다우 게이지Landau gauge
A = (0, Bx, 0)처럼 균일 자기장을 한 방향 성분만으로 나타낸 게이지. y방향 평면파와 x방향 조화 진동자로 분리되어 란다우 준위가 띠 모양으로 나온다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →란다우 준위Landau level
균일 자기장 속 2차원 전자의 에너지 E_n = ħω_c(n + 1/2). 운동이 조화 진동자처럼 양자화되고 각 준위는 단위 넓이당 eB/h개의 상태로 크게 축퇴한다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →란다우–립시츠–길버트 방정식Landau–Lifshitz–Gilbert equation
dM/dt = −γM × B_eff + αM × dM/dt. 자화의 세차와 감쇠(α)를 기술하는 고전 방정식으로, 스핀 전달 토크 항을 더해 MRAM 자유층의 반전을 계산한다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →랑데 g 인자Landé g-factor
g_J = 1 + [J(J+1) + S(S+1) − L(L+1)]/[2J(J+1)]. 약한 자기장에서 LSJ 준위의 제만 갈라짐 g_Jμ_BBm_J를 정한다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →러더퍼드 산란Rutherford scattering
쿨롱 퍼텐셜에 의한 산란. dσ/dΩ = (Z₁Z₂e²/16πε₀E)²/sin⁴(θ/2)로 고전 계산·보른 근사·정확한 양자 결과가 모두 같다.
15장 산란 이론 →러더퍼드 후방 산란 분광법Rutherford backscattering spectrometry, RBS
MeV 헬륨 이온을 박막에 쏘아 뒤로 튕긴 이온의 에너지로 표적 원자의 질량과 깊이 분포를 재는 분석법(RBS). 운동학 인자와 저지능으로 해석한다.
15장 산란 이론 →레일리 전개Rayleigh expansion
평면파를 부분파로 전개한 e^{ikz} = Σ(2l+1)i^l j_l(kr)P_l(cos θ). 산란을 각운동량 l별로 나누는 출발점이다.
15장 산란 이론 →레일리–리츠 방법Rayleigh–Ritz method
시험 함수를 고정된 기저 함수들의 선형 결합으로 놓고 계수에 대해 변분해 행렬 고유값 문제로 바꾸는 방법. 고유값들이 정확한 준위들의 위쪽 한계가 된다.
13장 변분법과 WKB 근사 →레일리–슈뢰딩거 섭동 이론Rayleigh–Schrödinger perturbation theory
축퇴가 없는 준위의 시간 무관 섭동 이론. 1차 E⁽¹⁾ = V_nn, 2차 E⁽²⁾ = Σ_{m≠n}|V_mn|²/(E_n − E_m)이다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →로렌츠 선 모양Lorentzian line shape
L(ω) ∝ (Γ/2)²/[(ω − ω₀)² + (Γ/2)²]. 지수적으로 붕괴하는 상태의 스펙트럼 모양으로, 반치 전폭 Γ가 수명의 역수다.
03장 측정과 불확정성 →로버트슨 불확정성 관계Robertson uncertainty relation
임의의 두 관측가능량에 대해 ΔA·ΔB ≥ |⟨[Â, B̂]⟩|/2. x, p에 적용하면 ΔxΔp ≥ ħ/2이며, 하한이 상태에 따라 달라질 수 있다.
03장 측정과 불확정성 →뢰브딘 분할Löwdin partitioning
관심 있는 몇 상태(A)와 나머지(B)를 나누고, B와의 결합을 2차까지 넣어 A 안의 유효 해밀토니언을 만드는 방법. k·p 이론의 유효 질량 유도에 쓴다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →룽게–렌츠 벡터Runge–Lenz vector
1/r 퍼텐셜에서만 보존되는 벡터로 고전 궤도의 장축 방향을 가리킨다. 양자역학에서는 이것이 각운동량과 함께 SO(4) 대칭을 만들어 수소의 l 우연 축퇴를 낳는다.
09장 중심력과 수소 원자 →르장드르 다항식Legendre polynomials
P_l(x). [−1, 1]에서 직교하는 다항식으로 P₀ = 1, P₁ = x, P₂ = (3x² − 1)/2. m = 0 구면 조화 함수와 산란의 부분파 전개에 나온다.
A장 수학 도구와 물리 상수 →리드베리 상태Rydberg state
주 양자수 n이 아주 큰 원자 상태. 크기 ∝ n², 준위 간격 ∝ 1/n³, 수명이 길고 전기장에 매우 민감하며 쌍극자 모멘트가 크다.
09장 중심력과 수소 원자 →리프먼–슈윙거 식Lippmann–Schwinger equation
|ψ⟩ = |k⟩ + G₀⁺V|ψ⟩. 산란 상태를 입사 평면파와 나가는 그린 함수로 쓴 적분 방정식. 반복 대입하면 보른 급수가 된다.
15장 산란 이론 →리프시츠–코세비치 식Lifshitz–Kosevich formula
자기 저항(또는 자화) 진동 진폭을 열 감쇠 인자와 딩글 인자의 곱으로 주는 식. 진동 분석으로 페르미 면의 크기·유효 질량·양자 수명을 얻는다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →린드블라드 주 방정식Lindblad master equation, GKSL 방정식
dρ/dt = −(i/ħ)[H, ρ] + Σ(L_kρL_k† − {L_k†L_k, ρ}/2). 마르코프 개방계에서 완전 양성을 보장하는 가장 일반적인 밀도 행렬 운동 방정식.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →ㅁ
마디 정리node theorem
1차원 속박 상태를 에너지 순으로 늘어놓으면 n번째 상태(바닥 n = 0)는 마디가 정확히 n개라는 정리. 수치 해법에서 몇 번째 고유값인지 세는 근거가 된다.
05장 1차원 퍼텐셜 →마르코프 근사Markov approximation
환경의 기억(상관 시간)이 계의 변화 시간보다 훨씬 짧다고 보고, 계의 변화율이 현재 상태에만 의존하게 하는 근사. 린드블라드 방정식의 전제다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →만델스탐–탐 관계Mandelstam–Tamm relation
ΔE·τ_A ≥ ħ/2, τ_A = ΔA/|d⟨A⟩/dt|. 에너지–시간 불확정성을 엄밀하게 표현한 것으로, 상태가 눈에 띄게 변하는 데 걸리는 시간의 하한을 에너지 퍼짐으로 준다.
04장 시간 전개 →맥도날드 정리Hylleraas–Undheim–MacDonald theorem
힐러라스–운다임–맥도날드 정리. 기저를 하나 늘린 레일리–리츠 계산의 k번째 고유값은 이전 값보다 내려가며 항상 정확한 k번째 준위보다 위에 있다는 정리.
13장 변분법과 WKB 근사 →무한 구형 우물infinite spherical well
반지름 a 안에서 0, 경계에서 무한대인 퍼텐셜. 준위는 E_nl = ħ²x_nl²/2ma² (x_nl은 구 베셀 함수 j_l의 n번째 영점)이며 구형 양자점의 기본 모형이다.
09장 중심력과 수소 원자 →문턱 정리threshold theorem
물리 게이트 오류율이 어떤 문턱값보다 낮으면 오류 정정 부호를 겹겹이 써서 논리 오류율을 원하는 만큼 낮출 수 있다는 정리. 표면 부호의 문턱은 약 1%다.
18장 양자 정보와 큐비트 →미분 단면적differential cross section
dσ/dΩ. 입사 흐름당 단위 입체각으로 산란되는 입자 수로, 넓이 차원을 가진다. 산란 진폭으로 dσ/dΩ = |f(θ)|²이다.
15장 산란 이론 →미세 구조fine structure
수소 준위가 상대론적 운동 에너지 보정, 스핀–궤도 결합, 다윈 항 때문에 α²Ry 규모로 갈라지는 것. 결과는 n과 j에만 의존한다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →미세 구조 상수fine-structure constant
α = e²/(4πε₀ħc) ≈ 1/137.036. 전자기 상호작용의 세기를 나타내는 무차원 상수로, 수소 전자의 속도 v/c와 미세 구조 크기 α²Ry를 정한다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →밀도 반전population inversion
위 준위 점유가 아래 준위보다 많은 상태 N₂ > N₁. 유도 방출이 흡수를 이겨 빛이 증폭되는 조건이며, 두 준위 계로는 만들 수 없어 세·네 준위나 p–n 접합 주입을 쓴다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →밀도 행렬density matrix, 밀도 연산자
ρ = Σp_i|ψ_i⟩⟨ψ_i|. 순수 상태와 통계적 혼합을 모두 나타내는 에르미트·양의 반정부호·대각합 1인 연산자. 기댓값은 ⟨A⟩ = tr(ρA)다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →ㅂ
반사 진폭reflection amplitude
왼쪽에서 들어온 평면파 e^{ikx}에 대해 반사파 r e^{-ikx}의 계수 r. 반사율은 R = |r|²이다.
05장 1차원 퍼텐셜 →반유니터리 연산자antiunitary operator
Θ(a|ψ⟩) = a*Θ|ψ⟩처럼 복소수를 켤레로 바꾸며 내적의 크기를 보존하는 연산자. 유니터리 연산자와 복소 켤레의 곱으로 쓰며, 시간 반전이 대표적이다.
07장 대칭과 보존 법칙 →반자성 전류diamagnetic current
확률 흐름의 −(q/m)A|ψ|² 항. 자기장이 직접 유도하는 전류로, 초전도체에서는 런던 방정식이 되어 자기장을 밀어낸다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →반자성 항diamagnetic term
해밀토니언의 q²A²/2m 항. 대칭 게이지에서 q²B²r⊥²/8m이 되어 항상 에너지를 높이고(반자성), 양자점에서는 가둠 진동수를 키운다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →반전층inversion layer
MOS 구조의 게이트 전압으로 반도체 표면에 다수 운반자와 반대 종류의 운반자가 모여 생긴 얇은 채널. 수 nm 두께의 삼각 우물이라 부띠로 양자화된다.
13장 변분법과 WKB 근사 →버금 르장드르 함수associated Legendre functions
P_l^m(x) = (1 − x²)^{|m|/2}dᵐP_l/dxᵐ. 구면 조화 함수의 θ 의존 부분으로 Y_l^m ∝ P_l^m(cos θ)e^{imφ}다.
A장 수학 도구와 물리 상수 →베르너 상태Werner state
ρ = p|Ψ⁻⟩⟨Ψ⁻| + (1 − p)1/4. 벨 상태와 백색 잡음의 혼합으로, p > 1/3이면 얽혀 있고 p > 1/√2이면 CHSH 부등식을 깬다.
18장 양자 정보와 큐비트 →베르트랑 정리Bertrand's theorem
모든 유계 궤도가 닫힌 중심력은 1/r 퍼텐셜과 r² 퍼텐셜(조화 진동자)뿐이라는 고전역학 정리. 두 경우가 양자역학에서 우연 축퇴를 가지는 것과 대응한다.
09장 중심력과 수소 원자 →베리 위상Berry phase
해밀토니언의 매개변수를 천천히 닫힌 경로로 돌릴 때 상태가 동역학 위상 외에 얻는 기하학적 위상. 경로가 감싼 '곡률'의 적분이며, 스핀 1/2에서는 입체각의 절반이다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →벡터 모형vector model
각운동량을 길이 √(l(l+1))ħ, z성분 mħ인 벡터가 z축 둘레 원뿔 위에서 돈다고 그리는 그림. x, y 성분은 정해지지 않고 평균이 0이다.
08장 각운동량 →벡터 연산자vector operator
회전할 때 성분이 보통 벡터처럼 바뀌는 연산자 V̂. [Ĵ_i, V̂_j] = iħε_ijkV̂_k를 만족하며 r̂, p̂, L̂이 예다. 행렬 요소가 Δj = 0, ±1 선택 규칙을 따른다.
08장 각운동량 →벨 상태Bell states
두 큐비트의 최대 얽힘 상태 넷 |Φ±⟩ = (|00⟩ ± |11⟩)/√2, |Ψ±⟩ = (|01⟩ ± |10⟩)/√2. 서로 직교해 기저를 이룬다.
18장 양자 정보와 큐비트 →변분 매개변수variational parameter
시험 함수 안의 조절 가능한 수(폭, 유효 전하, 선형 결합 계수 등). 에너지 기댓값을 이것에 대해 최소화한다.
13장 변분법과 WKB 근사 →변분 원리variational principle
임의의 정규화된 시험 상태에 대한 에너지 기댓값은 바닥 상태 에너지보다 작아질 수 없다는 원리 ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩ ≥ E₀. 기댓값을 최소화하면 E₀의 위쪽 한계와 근사 상태를 얻는다.
13장 변분법과 WKB 근사 →변위 문턱 에너지displacement threshold energy
격자 원자를 제자리에서 밀어내 영구적인 빈자리–틈새 쌍을 만드는 데 필요한 최소 전달 에너지. 실리콘에서 약 15–20 eV이며 이온 주입 손상을 판단한다.
15장 산란 이론 →변위 연산자displacement operator
D̂(α) = exp(α↠− α*â). 진공을 결맞음 상태로 옮기며, 위상 공간에서 상태를 (Re α, Im α) 방향으로 평행 이동한다. 고전적 힘이 진동자에 주는 효과다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →변형strain
결정의 늘어남·눌림·전단 ε_ij. 띠 구조를 바꾸는 섭동으로, 실리콘 채널에서 골짜기·가전자대 축퇴를 풀어 이동도를 높이는 변형 공학에 쓴다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →변형 퍼텐셜deformation potential
결정 변형(strain)에 대한 띠 가장자리 에너지 이동의 비례 계수(Ξ_d, Ξ_u 등). 실리콘에서 단축 변형은 여섯 골짜기의 축퇴를 풀어 이동도를 높이는 데 쓰인다.
07장 대칭과 보존 법칙 →병진 연산자translation operator
T̂(a) = e^{-iap̂/ħ}. 파동함수를 a만큼 옮겨 T̂(a)ψ(x) = ψ(x − a)로 만든다. 운동량이 생성자이며, 병진 대칭이 있으면 운동량이 보존된다.
07장 대칭과 보존 법칙 →보른 규칙Born rule
파동함수와 실험을 잇는 공준. 위치를 재서 구간 [a,b]에서 발견할 확률은 ∫|Ψ|²dx이고, 일반적으로 결과 a_n을 얻을 확률은 진폭의 절댓값 제곱 |⟨a_n|ψ⟩|²이다.
01장 파동함수와 확률 →보른 근사Born approximation
리프먼–슈윙거 식에서 오른쪽 ψ를 입사 평면파로 바꾼 1차 근사. 산란 진폭이 퍼텐셜의 푸리에 변환 f = −(m/2πħ²)∫V(r)e^{iq·r}d³r이 된다.
15장 산란 이론 →보른–폰 카르만 경계 조건Born–von Karman boundary condition
길이 L = Na인 결정의 양 끝을 이어 ψ(x + L) = ψ(x)로 두는 주기 경계 조건. k가 2π/L 간격으로 양자화되어 한 띠에 상태가 원자 수 N개만큼 생긴다.
07장 대칭과 보존 법칙 →보손boson
정수 스핀을 갖고 교환에 대칭인 파동함수를 갖는 입자(광자, 포논, ⁴He 원자 등). 한 상태에 여러 개가 들어갈 수 있고 저온에서 보스–아인슈타인 응축한다.
11장 동일 입자 →보어–조머펠트 양자화 조건Bohr–Sommerfeld quantization condition
∮p dx = 2πħ(n + 1/2). 부드러운 두 벽 사이 속박 상태의 WKB 양자화 조건. 수직 벽이 있으면 1/2 대신 다른 상수가 된다.
13장 변분법과 WKB 근사 →보존량constant of motion
해밀토니언과 교환하는(명시적 시간 의존이 없는) 관측가능량. 하이젠베르크 방정식에서 dÂ/dt = 0이므로 기댓값과 확률 분포가 시간에 따라 변하지 않는다.
04장 시간 전개 →보편 게이트 집합universal gate set
그 조합으로 임의의 유니터리를 원하는 정밀도로 근사할 수 있는 게이트 집합. 예: 모든 1큐비트 회전 + CNOT, 또는 {H, T, CNOT}.
18장 양자 정보와 큐비트 →복사 재결합 계수radiative recombination coefficient
B. 복사 재결합 속도를 R = Bnp로 쓴 비례 계수(cm³/s). 직접 간격 GaAs는 10⁻¹⁰, 간접 간격 실리콘은 10⁻¹⁴ 정도로 크게 다르다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →복제 불가 정리no-cloning theorem
임의의 모르는 양자 상태를 똑같이 복사하는 유니터리 연산은 없다는 정리. 선형성에서 나오며 양자 키 분배의 안전성 근거다.
18장 양자 정보와 큐비트 →부띠 간 전이intersubband transition
양자 우물의 같은 띠(보통 전도대) 안 부띠 사이 전이. 쌍극자가 우물에 수직(z 편광)이어야 하며 중적외선 광검출기(QWIP)와 양자 폭포 레이저에 쓴다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →부분 대각합partial trace
합성계 밀도 행렬에서 한 부분계의 자유도를 대각합으로 지워 다른 부분계만의 상태를 얻는 연산 ρ_A = tr_B ρ_AB.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →분할 연산자 방법split-operator method
e^{-iĤΔt/ħ} ≈ e^{-iVΔt/2ħ}e^{-iTΔt/ħ}e^{-iVΔt/2ħ}로 나눠, 퍼텐셜은 위치 공간에서, 운동 에너지는 FFT로 옮긴 운동량 공간에서 곱하는 시간 전개 수치법.
04장 시간 전개 →불균일 넓어짐inhomogeneous broadening
앙상블의 각 스핀(원자)마다 공명 진동수가 조금씩 달라 전체 신호의 위상이 흩어지는 효과. T₂*를 T₂보다 짧게 만들며 스핀 에코로 되돌릴 수 있다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →불균일 선폭 넓힘inhomogeneous broadening
원자마다 공명 진동수가 조금씩 달라 전체 스펙트럼이 넓어지는 것. 도플러 이동이나 양자점 크기 분포가 원인이며 보통 가우스 모양이다. 스핀 에코로 되돌릴 수 있다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →불확정도uncertainty
측정 결과의 표준편차 ΔA = √(⟨A²⟩ − ⟨A⟩²). 같은 상태를 여러 번 잴 때 결과가 퍼지는 정도이며, 측정 기기의 오차와는 다른 상태 고유의 퍼짐이다.
03장 측정과 불확정성 →브라이트–위그너 공식Breit–Wigner formula
공명 근처의 투과율(또는 단면적)이 T(E) ≈ (Γ/2)²/[(E − E_r)² + (Γ/2)²]로 로렌츠 모양이 된다는 식. 폭 Γ = ħ/τ는 준속박 상태의 수명을 준다.
05장 1차원 퍼텐셜 →브라이트–위그너 식Breit–Wigner formula
공명 근처 부분파 단면적 σ_l = (4π/k²)(2l+1)(Γ/2)²/[(E − E_r)² + (Γ/2)²]. 위상 이동이 π/2를 지날 때 생기며 Γ는 준속박 상태의 수명 폭이다.
15장 산란 이론 →브론스키안Wronskian
W = ψ₁ψ₂′ − ψ₁′ψ₂. 같은 에너지의 두 해에 대해 x에 무관하므로, 1차원 속박 상태가 축퇴하지 않음과 투과율+반사율 = 1 같은 성질을 증명하는 데 쓴다.
05장 1차원 퍼텐셜 →브루스 식Brus equation
E ≈ E_g + (ħ²π²/2R²)(1/m_e + 1/m_h) − 1.786e²/(4πε₀ε_rR). 강한 구속 양자점의 발광 에너지를 반지름 R로 주는 근사식.
09장 중심력과 수소 원자 →브룩스–헤링 이동도Brooks–Herring mobility
이온화된 불순물의 차폐 쿨롱 산란을 보른 근사로 계산한 이동도. T^{3/2}/N_I에 대략 비례하며 높은 도핑에서 이동도를 떨어뜨린다.
15장 산란 이론 →블로흐 공Bloch ball
큐비트의 모든 상태(순수·혼합)를 담는 단위 공. ρ = (1 + r·σ)/2, |r| ≤ 1이며 표면이 순수 상태, 안쪽이 혼합 상태다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →블로흐 구Bloch sphere
2준위 순수 상태 cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ}sin(θ/2)|1⟩를 단위 구 위의 점 (θ, φ)로 나타낸 것. 직교 상태는 정반대 점이고, 유니터리 연산은 구의 회전이다.
03장 측정과 불확정성 →블로흐 벡터Bloch vector
2준위 상태의 ⟨σ⟩ = (⟨σ_x⟩, ⟨σ_y⟩, ⟨σ_z⟩). 순수 상태는 길이 1로 블로흐 구 위에, 혼합 상태는 길이가 1보다 작아 구 안에 놓인다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →블로흐 정리Bloch theorem
주기 퍼텐셜 V(x + a) = V(x) 속 고유 상태는 ψ_k(x) = e^{ikx}u_k(x) (u_k는 격자 주기 함수)로 쓸 수 있다는 정리. 병진 연산자의 고유값 e^{-ika}에서 나온다.
07장 대칭과 보존 법칙 →블로흐–지게르트 이동Bloch–Siegert shift
회전파 근사에서 버린 반대 회전 성분 때문에 공명 진동수가 약 Ω²/4ω₀만큼 옮겨지는 효과. 구동이 강할 때 나타난다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →비결합 기저uncoupled basis
두 각운동량의 개별 z성분으로 이름 붙인 곱 기저 |j₁m₁⟩|j₂m₂⟩. 상호작용이 없거나 강한 자기장일 때 좋은 기저다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →비리얼 정리virial theorem
정상 상태에서 2⟨T⟩ = ⟨x·∇V⟩. 퍼텐셜이 rⁿ에 비례하면 2⟨T⟩ = n⟨V⟩이며, 수소 원자에서 ⟨T⟩ = −E, 조화 진동자에서 ⟨T⟩ = ⟨V⟩다.
04장 시간 전개 →비섭동 해밀토니언unperturbed Hamiltonian
섭동 이론에서 정확한 고유값 E_n⁽⁰⁾과 고유 상태 |n⁽⁰⁾⟩를 아는 기준 해밀토니언 Ĥ₀.
12장 시간 무관 섭동 이론 →비조화 진동자anharmonic oscillator
x³, x⁴ 항이 더해져 퍼텐셜이 포물선에서 벗어난 진동자. 준위 간격이 높은 준위로 갈수록 줄어들고(분자 진동), 섭동 이론의 표준 예제다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →비포물선성nonparabolicity
에너지가 띠 가장자리에서 멀어질수록 E–k 관계가 포물선에서 벗어나 유효 질량이 커지는 효과. 좁은 띠 간격 반도체에서 E(1 + E/E_g) = ħ²k²/2m*로 근사한다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →ㅅ
사격법shooting method
에너지를 가정하고 한쪽 경계에서 슈뢰딩거 방정식을 적분해, 반대쪽 경계 조건을 만족하도록 에너지를 맞추는 고유값 수치법. 고유값을 지날 때 끝값의 발산 방향이 뒤집힌다.
05장 1차원 퍼텐셜 →사다리 연산자ladder operators
고유 상태를 한 칸씩 위아래로 옮기는 연산자 쌍(â, ↠또는 Ĵ±). 교환 관계만으로 스펙트럼과 행렬 요소를 미분 방정식 없이 구하게 한다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →사영 연산자projection operator
P̂ = |n⟩⟨n|처럼 P̂² = P̂이고 에르미트인 연산자. 상태에서 한 부분 공간 성분만 남기며, 측정 확률은 ⟨ψ|P̂|ψ⟩, 측정 뒤 상태는 P̂|ψ⟩를 정규화한 것이다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →사이클로트론 진동수cyclotron frequency
ω_c = eB/m*. 자기장 속 전하가 원운동하는 각진동수로 반지름과 무관하다. 란다우 준위 간격 ħω_c를 정한다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →산란 길이scattering length
a = −lim_{k→0} tan δ₀/k. 저에너지 s파 산란을 하나의 길이로 요약한 양으로 σ → 4πa²이다. 얕은 속박 상태가 있으면 크고 양수다.
15장 산란 이론 →산탄 잡음shot noise
광자나 전자처럼 낱개로 도착하는 입자 수의 푸아송 요동에서 생기는 잡음. N개를 세면 요동이 √N이고, 전류에서는 스펙트럼 밀도 2eI를 준다.
03장 측정과 불확정성 →상관 에너지correlation energy
정확한 바닥 상태 에너지와 하트리–포크 에너지의 차. 한 슬레이터 행렬식이 담지 못하는 전자끼리의 순간적인 피함에서 오며 항상 음수다.
11장 동일 입자 →상대 위상relative phase
중첩된 두 성분 사이의 위상 차. 간섭 항 2Re[e^{iα}ψ₁*ψ₂]로 확률 분포를 바꾸므로 관측된다. 블로흐 구에서는 방위각 φ에 해당한다.
01장 파동함수와 확률 →상자성 항paramagnetic term
해밀토니언 전개에서 −(q/2m)(p·A + A·p) 항. 대칭 게이지에서 −(qB/2m)L_z가 되어 궤도 자기 모멘트의 제만 이동을 준다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →상태 밀도density of states
ρ(E): 단위 에너지당 상태의 수. 페르미 황금률에서 나중 상태 무리의 크기를 정하며, 3차원 자유 전자는 √E에, 2차원은 상수에 비례한다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →상태 붕괴state collapse, 사영 공준
측정 직후 상태가 얻은 결과의 고유 상태(고유 공간으로의 사영을 정규화한 것)로 바뀌는 일. 곧바로 같은 측정을 반복하면 같은 결과가 확률 1로 나온다.
03장 측정과 불확정성 →상호작용 묘사interaction picture
해밀토니언을 Ĥ₀ + V̂(t)로 나누고 Ĥ₀에 의한 빠른 전개는 연산자에, V̂에 의한 느린 변화는 상태에 맡기는 기술 방식. 시간 의존 섭동 이론의 기본 틀이다.
04장 시간 전개 →생성자generator
연속 유니터리 변환 Û(a) = e^{-iaĜ/ħ}를 만드는 에르미트 연산자 Ĝ. 해밀토니언은 시간 병진, 운동량은 공간 병진, 각운동량은 회전의 생성자다.
04장 시간 전개 →선택 규칙selection rule
행렬 요소가 0이 아닌 상태 쌍을 정하는 규칙. 조화 진동자에서 x̂는 Δn = ±1만 잇고, 원자 쌍극자 전이는 Δl = ±1, Δm = 0, ±1이다. 대칭에서 나온다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →선형 연산자linear operator
Â(a|ψ⟩ + b|φ⟩) = aÂ|ψ⟩ + bÂ|φ⟩를 만족하는 상태 공간의 사상. 관측가능량·시간 전개·대칭 변환이 모두 선형 연산자로 표현된다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →섭동 이론perturbation theory
정확히 풀리는 해밀토니언 Ĥ₀에 작은 항 λV̂를 더한 문제의 고유값·고유 상태를 λ의 거듭제곱 급수로 구하는 근사법.
12장 시간 무관 섭동 이론 →세로 결맞음 길이longitudinal coherence length
진행 방향을 따라 간섭이 유지되는 길이. 에너지(파장) 퍼짐에서 오며 대략 λ²/Δλ, 전자에서는 2λE/ΔE 정도다. 전계 방출원이 열전자원보다 길다.
01장 파동함수와 확률 →세로 이완 시간longitudinal relaxation time, T₁, 스핀–격자 이완
T₁. 점유(블로흐 벡터의 z 성분)가 열평형 값으로 돌아가는 시간. 환경과 에너지를 주고받아 생기며 스핀–격자 이완이라고도 한다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →수 상태number state
수 연산자의 고유 상태 |n⟩ = (â†)ⁿ|0⟩/√n!. 에너지가 ħω(n + 1/2)로 정해지고, 위치·운동량 기댓값은 0이다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →수 연산자number operator
N̂ = â†â. 고유값이 양자 수 n = 0, 1, 2, …이며 조화 진동자 해밀토니언은 Ĥ = ħω(N̂ + 1/2)이다. 장에서는 광자·포논 수를 센다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →수소꼴 이온hydrogen-like ion
전자 하나만 남은 원자 이온(He⁺, Li²⁺ …). 에너지 E_n = −Z²Ry/n², 크기 a₀n²/Z로 수소 결과를 Z로 늘려 쓴다.
09장 중심력과 수소 원자 →수송 수명transport lifetime
운동량 완화 시간 τ_t. 앞방향 산란을 덜 세는 운동량 완화 단면적으로 정해지며 이동도 μ = eτ_t/m*를 준다. 원거리 불순물 산란에서는 양자 수명보다 훨씬 길다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →수직 전이vertical transition
결정에서 빛 흡수가 거의 같은 k끼리(Δk ≈ 0) 일어나는 것. 광자의 운동량이 브릴루앵 영역 크기에 비해 무시할 만큼 작아서 생긴다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →순수 상태pure state
한 상태 벡터로 기술되는 상태 ρ = |ψ⟩⟨ψ|. ρ² = ρ, 순도 tr ρ² = 1이며 블로흐 벡터가 구 표면에 있다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →순수 위상 이완 시간pure dephasing time
T_φ. 에너지 교환 없이 진동수 요동만으로 위상이 흩어지는 시간. T₂에서 T₁ 몫을 뺀 부분이다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →슈미트 분해Schmidt decomposition
두 부분계의 순수 상태를 |ψ⟩ = Σ√λ_i|a_i⟩|b_i⟩로 쓰는 표준형. 0이 아닌 λ_i가 하나뿐이면 곱 상태, 둘 이상이면 얽힌 상태다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →슈브니코프–드하스 진동Shubnikov–de Haas oscillation
자기장을 키울 때 란다우 준위가 페르미 에너지를 차례로 지나면서 세로 저항이 1/B에 대해 주기적으로 진동하는 현상. 운반자 농도와 유효 질량·양자 수명을 재는 데 쓴다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →슈타르크 효과Stark effect
전기장에 의한 원자·분자 준위의 이동과 갈라짐. 축퇴가 없으면 장의 제곱에 비례(2차, −αE²/2), 수소 n = 2처럼 패리티가 섞이는 축퇴가 있으면 1차로 나타난다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →슈테른–게를라흐 장치Stern–Gerlach apparatus
비균일 자기장으로 자기 모멘트에 성분에 비례하는 힘을 주어 원자 빔을 스핀 성분별로 가르는 장치. 은 원자 빔이 두 갈래로 나뉜 실험이 스핀 1/2의 양자화를 보였다.
03장 측정과 불확정성 →스펙트럼 정리spectral theorem
에르미트(일반적으로 정규) 연산자는 직교 정규 고유 기저로 대각화되어 Â = Σa_n|a_n⟩⟨a_n|로 쓸 수 있다는 정리. 연산자의 함수 f(Â) = Σf(a_n)|a_n⟩⟨a_n|를 정의한다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →스핀spin
공간 운동과 무관한 입자 고유의 각운동량. 같은 교환 관계를 따르지만 반정수 값이 허용되어, 전자는 s = 1/2로 S_z = ±ħ/2 두 상태를 가진다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →스핀 결맞음 상태spin coherent state
큰 스핀 j가 한 방향 n을 최대로 가리키는 상태 |j, m = j⟩_n. 불확정도가 최소인 '고전적' 스핀 방향 상태로, 많은 스핀 1/2가 모두 같은 방향을 향한 상태와 같다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →스핀 분극spin polarization
P = (n↑ − n↓)/(n↑ + n↓). 스핀 앙상블의 정렬 정도로, 열평형에서 tanh(ħω₀/2k_BT)이다. 핵스핀은 상온에서 10⁻⁵ 정도로 작다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →스핀 에코spin echo, 한 에코
π/2 펄스 뒤 시간 τ에 π 펄스를 주면 정적인 진동수 차로 흩어졌던 위상이 되감겨 2τ에 신호가 다시 모이는 현상(한 에코). 불균일 넓어짐을 지우고 T₂를 잰다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →스핀 전달 토크spin-transfer torque, STT
스핀 분극된 전류가 자성층에 들어가 각운동량을 넘겨 자화에 토크를 주는 효과. 전류만으로 STT-MRAM 자유층을 뒤집는다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →스핀–궤도 결합spin–orbit coupling
전자가 핵 둘레를 돌며 보는 자기장과 스핀의 상호작용 ξ(r)L·S. j = l ± 1/2 준위를 가르며, 반도체 가전자대의 분리 띠(Si 44 meV, GaAs 0.34 eV)를 만든다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →슬레이터 행렬식Slater determinant
N개의 스핀 오비탈로 만든 N×N 행렬식 (1/√N!)det[φ_i(x_j)]. 자동으로 반대칭이며, 두 오비탈이 같으면 0이 되어 파울리 원리를 담는다.
11장 동일 입자 →시간 반전 연산자time-reversal operator
운동의 방향을 뒤집는 반유니터리 연산자 Θ. x는 그대로, p와 스핀·각운동량은 부호가 바뀐다. 스핀 1/2에서는 Θ = −iσ_yK로 Θ² = −1이다.
07장 대칭과 보존 법칙 →시간 순서 곱time ordering
시간 의존 연산자들의 곱을 늦은 시각이 왼쪽에 오도록 늘어놓는 규칙 T. 서로 다른 시각의 해밀토니언이 교환하지 않을 때 다이슨 급수를 간단히 쓰게 한다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →시간 전개 연산자time-evolution operator
|ψ(t)⟩ = Û(t, t₀)|ψ(t₀)⟩로 상태를 시간에 따라 옮기는 유니터리 연산자. 해밀토니언이 시간에 무관하면 Û = e^{-iĤ(t−t₀)/ħ}다.
04장 시간 전개 →시험 함수trial function
변분법에서 바닥 상태를 흉내 내도록 고른, 조절 가능한 매개변수를 품은 함수. 경계 조건과 대칭을 맞출수록 결과가 좋다.
13장 변분법과 WKB 근사 →신호 불가 원리no-signaling principle
얽힘을 나눠 가져도 한쪽의 측정 선택이 다른 쪽의 축약 밀도 행렬(측정 통계)을 바꾸지 못해 정보를 빛보다 빨리 보낼 수 없다는 원리.
18장 양자 정보와 큐비트 →실수 구면 조화 함수real spherical harmonics
Y_l^m과 Y_l^{−m}을 더하고 빼 실수로 만든 함수. 화학의 p_x, p_y, d_xy, d_{x²−y²} 오비탈이며, L̂_z의 고유 상태는 아니지만 결정장 계산에 편리하다.
08장 각운동량 →쌍 상관 함수pair correlation function
한 입자를 원점에 두었을 때 거리 r에서 다른 입자를 발견할 상대 확률 g(r). 자유 전자 기체에서 같은 스핀끼리는 g(0) = 0이고 멀리서 1이다.
11장 동일 입자 →ㅇ
아인슈타인 A 계수Einstein A coefficient
자발 방출 속도 A₂₁ = ω³|d|²/(3πε₀ħc³). 열평형 논증으로 B와 연결되며, 그 역수가 복사 수명이다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →아인슈타인 B 계수Einstein B coefficient
흡수와 유도 방출의 속도를 복사 에너지 밀도에 비례하게 쓴 계수 B₁₂, B₂₁. 전이 쌍극자 모멘트로 B = π|d|²/(3ε₀ħ²)(각진동수 기준)이다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →아하로노프–봄 효과Aharonov–Bohm effect
전자가 자기장이 0인 영역만 지나도 경로가 감싼 자속 Φ 때문에 상대 위상 eΦ/ħ를 얻어 간섭 무늬가 옮겨지는 현상. 벡터 퍼텐셜의 물리적 의미를 보여 준다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →압축 상태squeezed state
한 직교 성분의 불확정도를 진공보다 작게(다른 성분은 크게) 만든 최소 불확정 상태. 압축광은 표준 양자 한계 아래의 위상·진폭 측정에 쓰인다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →압축 연산자squeeze operator
Ŝ(ξ) = exp[(ξ*â² − ξ↲)/2]. 광자를 쌍으로 만들고 없애며, 위상 공간의 원형 불확정 영역을 넓이를 유지한 채 타원으로 누른다(압축 계수 e^{-r}).
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →양자 게이트quantum gate
큐비트에 작용하는 유니터리 연산. 1큐비트 게이트는 블로흐 구 회전(X, H, S, T, R_n(θ))이고, 2큐비트 게이트(CNOT, CZ)는 얽힘을 만든다.
18장 양자 정보와 큐비트 →양자 결손quantum defect
다전자 원자의 리드베리 준위를 E = −Ry/(n − δ_l)²로 쓸 때의 보정 δ_l. 낮은 l 전자가 내부 껍질을 뚫고 들어가 가려지지 않은 핵 전하를 느끼는 정도를 나타낸다.
09장 중심력과 수소 원자 →양자 구속 슈타르크 효과quantum-confined Stark effect, QCSE
양자 우물에 수직 전기장을 걸면 전자와 정공이 반대쪽 벽으로 밀려 전이 에너지가 장의 제곱에 비례해 낮아지는 현상(QCSE). 엑시톤이 깨지지 않아 전계 흡수 변조기에 쓴다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →양자 궤적quantum trajectory, 몬테카를로 파동함수
린드블라드 전개를 무작위 점프가 있는 파동함수의 여러 궤적으로 풀어내는 방법. 궤적들을 평균하면 밀도 행렬이 되고, 각 궤적은 연속 측정의 한 기록에 해당한다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →양자 맥놀이quantum beats
에너지가 다른 정상 상태 둘 이상이 중첩되면 간섭 항이 진동수 (E₁ − E₂)/ħ로 진동해 기댓값과 확률이 맥놀이하는 현상. 펨토초 분광에서 준위 간격을 직접 읽는다.
04장 시간 전개 →양자 비트 오류율quantum bit error rate, QBER
선별 키에서 두 사람의 비트가 다른 비율(QBER). 가로채고 다시 보내는 도청은 25%를 만들며, BB84는 약 11% 이하에서 안전한 키를 뽑을 수 있다.
18장 양자 정보와 큐비트 →양자 상태 단층 촬영quantum state tomography
같은 상태로 준비한 많은 사본을 여러 기저(큐비트는 x, y, z)로 측정해 기댓값들로부터 상태(밀도 행렬)를 재구성하는 방법.
03장 측정과 불확정성 →양자 수명quantum lifetime
산란 사이의 평균 시간 τ_q로 모든 각도의 산란을 똑같이 센다. 란다우 준위를 Γ ≈ ħ/2τ_q로 넓히며 SdH 진동 진폭(딩글 인자)으로 잰다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →양자 순간이동quantum teleportation
공유한 벨 쌍과 고전 통신 2비트로 모르는 큐비트 상태를 멀리 옮기는 프로토콜. 원래 상태는 벨 측정으로 지워지므로 복제가 아니고 빛보다 빠른 통신도 아니다.
18장 양자 정보와 큐비트 →양자 재생quantum revival
에너지가 정수 제곱에 비례하는 계(무한 우물 등)에서 모든 위상 인자가 동시에 1이 되는 시각 T_rev = 4mL²/πħ에 파속이 처음 모양을 정확히 되찾는 현상.
04장 시간 전개 →양자 제논 효과quantum Zeno effect
상태를 아주 자주 측정하면 매번 처음 상태로 사영되어 전이가 억제되는 현상. 짧은 시간에서 생존 확률이 1 − (t/τ)²로 시간의 제곱으로만 줄기 때문에 생긴다.
03장 측정과 불확정성 →양자 채널quantum channel
밀도 행렬을 밀도 행렬로 보내는 완전 양성·대각합 보존 선형 사상. 잡음·결어긋남·측정 과정을 모두 표현하며 크라우스 연산자로 쓴다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →양자 키 분배quantum key distribution, QKD
양자 상태를 보내 두 사람이 비밀 키를 나누는 방법(QKD). 도청자의 측정이 상태를 흔들어 오류율로 드러나므로 정보 이론적으로 안전하다. BB84가 대표적이다.
18장 양자 정보와 큐비트 →양자 폭포 레이저quantum cascade laser, QCL
초격자 우물 안의 부띠 사이 전이(전도대 안 전이)를 쓰고, 전자가 한 주기씩 계단처럼 내려오며 광자를 여러 번 내는 반도체 레이저. 중적외선–테라헤르츠 영역을 층 두께로 설계한다.
05장 1차원 퍼텐셜 →양자 효율quantum efficiency
들어온 광자 하나당 모인 전자 수(광검출기) 또는 주입 전자 하나당 나온 광자 수(발광 소자). 광검출기는 η = (1 − R)(1 − e^{-αW})로 근사한다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →양자점quantum dot
전자와 정공을 세 방향 모두 나노미터 규모로 가둬 준위가 원자처럼 불연속이 된 구조. 크기로 발광 색을 조절하며, 전하·스핀 큐비트에도 쓴다.
09장 중심력과 수소 원자 →얽힌 상태entangled state
부분계 상태들의 곱으로 쓸 수 없는 합성계 상태. 각 부분이 따로는 정해진 상태를 갖지 않으며, 측정 결과 사이에 고전적으로 설명할 수 없는 상관이 있다.
18장 양자 정보와 큐비트 →얽힘 엔트로피entanglement entropy
두 부분계로 나눈 순수 상태에서 축약 밀도 행렬의 폰 노이만 엔트로피 S(ρ_A). 곱 상태는 0, 두 큐비트 벨 상태는 1비트다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →에너지–시간 관계energy–time relation
ΔE·Δt ~ ħ. 상태가 존재하거나 섭동이 지속된 시간 Δt가 짧을수록 에너지(진동수)가 정해지지 않는다는 관계. 전이 확률의 sinc² 봉우리 폭이 2πħ/t다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →에렌페스트 정리Ehrenfest theorem
기댓값이 고전 운동 방정식을 따른다는 정리: d⟨x⟩/dt = ⟨p⟩/m, d⟨p⟩/dt = ⟨−V′(x)⟩. 파속이 퍼텐셜 변화 규모보다 좁을 때 고전 극한이 된다.
01장 파동함수와 확률 →에르미트 다항식Hermite polynomials
H_n(ξ). 조화 진동자 고유 함수 ψ_n ∝ H_n(ξ)e^{-ξ²/2}에 나오는 다항식으로 H₀ = 1, H₁ = 2ξ, H_{n+1} = 2ξH_n − 2nH_{n−1}이다.
A장 수학 도구와 물리 상수 →에르미트 수반Hermitian adjoint
⟨φ|†ψ⟩ = ⟨Âφ|ψ⟩로 정의되는 연산자 †. 행렬로는 전치 켤레이며, (ÂB̂)† = B̂†Â†, (|a⟩⟨b|)† = |b⟩⟨a|다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →에르미트 연산자Hermitian operator
† = Â인 연산자. 고유값이 실수이고 서로 다른 고유값의 고유 벡터가 직교하므로 관측가능량을 나타낸다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →엑시톤exciton
쿨롱 인력으로 묶인 전자–정공 쌍. 환산 질량과 유전율로 수소 모형을 고쳐 결합 에너지 Ry·μ/(m_eε_r²)을 얻으며, 띠 간격 바로 아래 흡수선으로 보인다.
09장 중심력과 수소 원자 →엑시톤 보어 반지름exciton Bohr radius
a_B = ε_r a₀ (m_e/μ). 반도체 속 전자–정공 쌍의 수소꼴 궤도 크기. CdSe 약 5 nm, GaAs 약 12 nm이며 양자점의 구속 영역을 가르는 기준이다.
09장 중심력과 수소 원자 →연결 공식connection formula
고전 전환점 근처를 에어리 함수로 풀어, 허용 영역의 진동하는 WKB 해와 금지 영역의 지수 해를 잇는 규칙. 위상 π/4 이동이 나온다.
13장 변분법과 WKB 근사 →연속 방정식continuity equation
∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0. 한 구간의 확률이 줄어든 만큼 경계로 확률 흐름이 빠져나간다는 국소 보존 법칙으로, 실수 퍼텐셜의 슈뢰딩거 방정식에서 나온다.
01장 파동함수와 확률 →연속 상태continuum
에너지가 연속적으로 분포한 상태들(자유 전자, 띠 안의 상태, 전자기장 모드). 전이 확률을 상태 밀도로 더해야 하며 그 결과가 페르미 황금률이다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →열 감쇠 인자thermal damping factor
X/sinh X, X = 2π²k_BT/ħω_c. 온도가 페르미 분포를 흐려 SdH 진동 진폭을 줄이는 인자로, 온도 의존성에서 유효 질량을 얻는다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →열평형 상태thermal state, 깁스 상태
ρ = e^{-Ĥ/k_BT}/Z. 온도 T의 열저장고와 평형인 계의 밀도 행렬(깁스 상태)로, 에너지 고유 기저에서 대각이고 점유가 볼츠만 분포다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →영년 방정식secular equation
det(V_ab − E⁽¹⁾δ_ab) = 0. 축퇴 부분 공간 안에서 섭동 행렬의 고유값(1차 이동)을 주는 방정식.
12장 시간 무관 섭동 이론 →영자기장 갈라짐zero-field splitting
외부 자기장이 없어도 스핀 S ≥ 1의 m_s 준위가 스핀–스핀·결정장 상호작용으로 갈라지는 것. NV 중심 바닥 상태는 m_s = 0과 ±1 사이가 2.87 GHz다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →오라클oracle
양자 알고리즘에서 함수 f를 |x⟩|y⟩ → |x⟩|y⊕f(x)⟩로 계산하는 블랙박스 유니터리. 호출 횟수로 알고리즘의 복잡도를 잰다.
18장 양자 정보와 큐비트 →오일러 각Euler angles
임의의 회전을 z축 α, 새 y축 β, 새 z축 γ의 세 회전으로 분해하는 세 각. 회전 연산자를 e^{-iαJ_z/ħ}e^{-iβJ_y/ħ}e^{-iγJ_z/ħ}로 쓴다.
08장 각운동량 →올림 연산자raising operator
â†. 조화 진동자 에너지를 ħω 올리는 연산자로 â†|n⟩ = √(n+1)|n+1⟩. 장의 양자화에서는 광자·포논 하나를 만드는 생성 연산자다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →완비성 관계completeness relation
Σ|n⟩⟨n| = 1̂ (연속 기저는 ∫|x⟩⟨x|dx = 1̂). 기저가 공간 전체를 덮는다는 표현으로, 아무 곳에나 끼워 넣어 기저를 바꾸거나 행렬로 바꾸는 데 쓴다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →완전 양성complete positivity
사상을 더 큰 계의 일부에 적용해도(다른 계와 얽혀 있어도) 결과가 항상 양의 밀도 행렬이 되는 성질. 물리적 양자 채널의 필수 조건이다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →우연 축퇴accidental degeneracy
눈에 보이는 기하 대칭만으로는 설명되지 않는 축퇴. 수소의 l 축퇴는 숨은 SO(4) 대칭(룽게–렌츠 벡터), 3차원 조화 진동자의 축퇴는 SU(3) 대칭에서 온다.
07장 대칭과 보존 법칙 →운동 운동량kinetic momentum
Π = p − qA = mv. 입자의 실제 속도에 해당하는 게이지 불변 운동량. 성분끼리 [Π_x, Π_y] = iħqB로 교환하지 않는다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →운동량 공간 파동함수momentum-space wave function
φ(p) = (2πħ)^{-1/2}∫ψ(x)e^{-ipx/ħ}dx. 위치 파동함수의 푸리에 변환이며, |φ(p)|²가 운동량을 쟀을 때의 확률 밀도다.
01장 파동함수와 확률 →운동량 완화 단면적momentum-transfer cross section
σ_m = ∫(1 − cos θ)(dσ/dΩ)dΩ. 산란마다 잃는 앞방향 운동량을 가중한 단면적으로, 앞방향 산란은 덜 세어 이동도와 수송 수명을 정한다.
15장 산란 이론 →운동량 전달momentum transfer
ħq = ħ(k − k′). 산란 전후 파수 벡터의 차로, 탄성 산란에서 q = 2k sin(θ/2)다. 보른 진폭은 q만의 함수다.
15장 산란 이론 →운동학 인자kinematic factor
K = E₁/E₀. 탄성 이체 충돌에서 각 θ로 튕긴 입사 이온의 에너지 비로, 입사·표적 질량과 θ만으로 정해진다. RBS에서 원소를 식별한다.
15장 산란 이론 →원심 뒤틀림centrifugal distortion
빨리 돌수록 결합이 늘어나 관성 모멘트가 커지는 효과. 회전 에너지에 −DJ²(J+1)² 보정이 붙어 높은 J에서 선 간격이 줄어든다.
08장 각운동량 →원심 장벽centrifugal barrier
유효 퍼텐셜의 ħ²l(l+1)/2mr² 항. 각운동량이 있는 입자를 중심 근처에서 밀어내 R ∝ r^l로 만들고, 저에너지 산란에서 l ≥ 1 부분파를 막는다.
09장 중심력과 수소 원자 →원자 단위atomic units
ħ = m_e = e = 4πε₀ = 1로 두는 단위계. 길이는 보어 반지름 a₀ = 0.0529 nm, 에너지는 하트리 27.211 eV이며 원자·분자 계산에 쓴다.
A장 수학 도구와 물리 상수 →위그너 D 행렬Wigner D-matrix
D^j_{m′m}(α,β,γ) = ⟨j m′|R̂(α,β,γ)|j m⟩. 오일러 각으로 지정한 회전이 같은 j 다중항 안의 상태를 섞는 방식을 나타내는 (2j+1)×(2j+1) 유니터리 행렬.
08장 각운동량 →위그너 작은 d 행렬Wigner small d-matrix
d^j_{m′m}(β) = ⟨j m′|e^{-iβĴ_y/ħ}|j m⟩. D 행렬의 핵심인 y축 회전 부분으로, 기운 축으로 각운동량을 쟀을 때의 확률 |d|²를 준다.
08장 각운동량 →위그너 정리Wigner's theorem
전이 확률을 보존하는 모든 대칭 변환은 유니터리 연산자 또는 반유니터리 연산자로 표현된다는 정리. 연속 대칭은 유니터리, 시간 반전은 반유니터리다.
07장 대칭과 보존 법칙 →위그너 지연 시간Wigner time delay
τ = ħ dφ/dE. 투과·반사 위상 φ의 에너지 미분으로 정의되는 파속의 지연 시간. 공명에서 최대가 되어 준위 수명 ħ/Γ 정도에 이른다.
05장 1차원 퍼텐셜 →위그너 함수Wigner function
W(x,p) = (1/πħ)∫ψ*(x+y)ψ(x−y)e^{2ipy/ħ}dy. 상태를 위상 공간에서 나타내는 함수로, x나 p로 적분하면 각각의 확률 분포가 되지만 음수가 될 수 있다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →위상phase
복소 파동함수 Ψ = |Ψ|e^{iθ}에서 크기와 별도로 각 점이 갖는 각 θ. 확률 밀도에는 직접 나타나지 않지만, 공간 변화가 운동량과 확률 흐름을, 성분 사이의 차이가 간섭을 정한다.
01장 파동함수와 확률 →위상 되차기phase kickback
표적 큐비트를 오라클의 고유 상태(|−⟩)로 두면 f(x)가 표적이 아니라 제어 레지스터의 위상 (−1)^{f(x)}로 돌아오는 현상. 도이치–조사·그로버 알고리즘의 핵심이다.
18장 양자 정보와 큐비트 →위상 속도phase velocity
v_p = ω/k. 한 평면파 성분의 마루가 움직이는 속도. 자유 입자에서 ħk/2m으로 군속도의 절반이며 직접 관측되는 양이 아니다.
01장 파동함수와 확률 →위상 이동phase shift
δ_l. 퍼텐셜 때문에 l번째 부분파의 바깥쪽 지름 파동이 자유 파동보다 밀리거나 당겨진 위상. 산란 진폭과 단면적 σ_l = (4π/k²)(2l+1)sin²δ_l을 모두 정한다.
15장 산란 이론 →유니터리 연산자unitary operator
Û†Û = 1̂인 연산자. 내적과 확률을 보존하므로 시간 전개·기저 변환·대칭 변환을 나타내며, 에르미트 생성자 Ĝ로 Û = e^{-iĜ}라 쓸 수 있다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →유니터리성unitarity
확률(흐름) 보존 때문에 S 행렬이 유니터리라는 성질. 부분파 S_l = e^{2iδ_l}의 크기가 1이 되어 각 부분파 단면적에 상한이 생긴다.
15장 산란 이론 →유도 방출stimulated emission
들어온 광자와 같은 진동수·위상·방향·편광의 광자를 내며 위 준위에서 아래 준위로 전이하는 과정. 흡수와 같은 계수(B₁₂ = B₂₁, 축퇴 같을 때)를 가지며 레이저 증폭의 원리다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →유한 구형 우물finite spherical well
r < a에서 −V₀, 밖에서 0인 3차원 퍼텐셜. l = 0 속박 상태는 1차원 유한 우물의 홀 상태와 같아, 깊이가 V₀a² > π²ħ²/8m을 넘어야 첫 속박 상태가 생긴다.
09장 중심력과 수소 원자 →유한 차분법finite-difference method
미분을 격자점 사이의 차분으로 바꿔 미분 방정식을 행렬 문제로 만드는 수치법. 해밀토니언은 대각 2t+V_j, 이웃 −t (t = ħ²/2mΔx²)인 삼중 대각 행렬이 된다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →유효 거리 전개effective-range expansion
k cot δ₀ = −1/a + r₀k²/2 + …. 저에너지 s파 위상 이동을 산란 길이 a와 유효 거리 r₀ 두 수로 나타내는 전개.
15장 산란 이론 →유효 양자수effective quantum number
ν = 1/√(−E/Ry). 에너지를 수소 꼴로 다시 쓴 수로, 순수 쿨롱 퍼텐셜에서 정수 n이 된다. 리드베리 원자에서는 n − δ_l로 양자 결손만큼 벗어난다.
09장 중심력과 수소 원자 →유효 퍼텐셜effective potential
V_eff(r) = V(r) + ħ²l(l+1)/2mr². 지름 방정식에서 실제 퍼텐셜에 원심 장벽을 더한 것으로, l이 클수록 입자가 중심에서 밀려난다.
09장 중심력과 수소 원자 →유효 핵전하effective nuclear charge
다른 전자의 가림 때문에 한 전자가 실제로 느끼는 핵전하. 헬륨 변분 계산에서 Z_eff = 27/16 ≈ 1.69를 얻는다.
13장 변분법과 WKB 근사 →이상 제만 효과anomalous Zeeman effect
스핀이 있는 원자 준위가 약한 자기장에서 g_J에 따라 준위마다 다른 간격으로 갈라지는 현상. 고전적 세 줄(정상 제만)과 다른 여러 줄이 나온다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →이조detuning
Δ = ω − ω₀. 구동 진동수와 전이 진동수의 차. 회전 좌표계에서 z방향 유효장이 되어 라비 진동의 진폭을 줄이고 진동수를 키운다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →이체 충돌binary collision
이온 주입처럼 파장이 원자 간격보다 훨씬 짧은 고에너지 입자의 산란을 두 입자 사이 고전 충돌로 다루는 근사. 운동량·에너지 보존과 고전 궤도로 산란각과 전달 에너지를 구한다.
15장 산란 이론 →일반화 라게르 다항식associated Laguerre polynomials
L_k^α(x). 수소 원자 지름 함수 R_nl ∝ ρ^l e^{-ρ/2}L_{n−l−1}^{2l+1}(ρ)와 2차원 조화 진동자에 나오는 직교 다항식.
A장 수학 도구와 물리 상수 →일반화 라비 진동수generalized Rabi frequency
Ω′ = √(Ω² + Δ²). 이조 Δ가 있을 때 2준위 점유가 진동하는 실제 진동수로, 공명에서 라비 진동수 Ω와 같다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →일반화된 고유값 문제generalized eigenvalue problem
Hc = ESc. 기저가 직교하지 않을 때 나오는 고유값 문제로, S의 촐레스키 분해 등으로 보통 고유값 문제로 바꿔 푼다.
13장 변분법과 WKB 근사 →ㅈ
자기 길이magnetic length
ℓ_B = √(ħ/eB). 란다우 준위 바닥 상태의 크기로 1 T에서 25.7 nm. 한 상태가 차지하는 넓이 2πℓ_B²에 자속 양자 하나가 지나간다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →자기 일관장self-consistent field
가정한 오비탈로 평균 퍼텐셜을 만들고, 그 퍼텐셜로 오비탈을 다시 풀기를 반복해 입력과 출력이 같아질 때까지 수렴시키는 방법(SCF). 하트리–포크와 DFT의 계산 절차다.
11장 동일 입자 →자기 터널 접합magnetic tunnel junction, MTJ
두 강자성층 사이에 얇은 절연층(MgO 등)을 둔 구조. 두 층 자화가 평행이면 저항이 낮고 반평행이면 높은 터널 자기 저항(TMR)으로 MRAM의 비트를 저장한다.
11장 동일 입자 →자기 회전비gyromagnetic ratio
γ = μ/J. 자기 모멘트와 각운동량의 비로, 라모어 진동수 ω = γB를 정한다. 전자 스핀은 γ/2π ≈ 28.0 GHz/T, 양성자는 42.58 MHz/T다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →자발 방출 수명spontaneous lifetime
τ = 1/A. 바깥 빛이 없어도 진공 요동 때문에 들뜬 상태가 광자를 내며 붕괴하는 평균 시간. 수소 2p는 1.6 ns다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →자속 양자flux quantum
Φ₀ = h/e ≈ 4.14×10⁻¹⁵ Wb. 아하로노프–봄 위상을 2π 만드는 자속이며 란다우 준위 하나의 상태 수는 자속을 Φ₀로 나눈 값이다. 초전도체에서는 h/2e.
16장 전자기장 속의 양자역학 →자연 선폭natural linewidth
들뜬 상태의 유한한 수명 τ만으로 생기는 스펙트럼선의 폭. 에너지로 ΔE = ħ/τ, 진동수로 Δν = 1/(2πτ)이며 모양은 로렌츠형이다.
03장 측정과 불확정성 →자유 유도 감쇠free induction decay, FID
π/2 펄스 뒤 가로 자화가 세차하면서 감쇠하는 신호(FID). 불균일 넓어짐까지 포함한 시간 T₂*로 줄어든다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →전기 쌍극자 근사electric dipole approximation
빛의 파장이 원자·양자점 크기보다 훨씬 길어 e^{ik·r} ≈ 1로 놓고 상호작용을 −d·E로 쓰는 근사.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →전기 쌍극자 모멘트electric dipole moment
d = −e r (전자 하나). 전하 분포의 비대칭을 나타내는 벡터로, 전기 쌍극자 근사에서 빛과의 결합 −d·E를 정한다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →전달 행렬transfer matrix
한 위치의 오른쪽·왼쪽 진행파 진폭(또는 ψ, ψ′)을 다른 위치로 옮기는 2×2 행렬. 여러 층의 행렬을 곱해 다중 장벽의 투과율을 구한다.
05장 1차원 퍼텐셜 →전이 쌍극자 모멘트transition dipole moment
d_fi = ⟨f|−e r|i⟩. 두 상태 사이 쌍극자 연산자의 행렬 요소로, 흡수·방출 속도가 |d_fi|²에 비례하고 0이면 쌍극자 금지 전이다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →전이 확률transition probability
시각 0에 |i⟩에 있던 계가 섭동을 받아 시각 t에 |f⟩에서 발견될 확률 P_{i→f}(t) = |c_f(t)|². 1차 섭동에서는 섭동 행렬 요소의 제곱에 비례한다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →전자 스핀 공명ESR, electron spin resonance; EPR
자기장 속 전자 스핀의 제만 준위 사이를 마이크로파로 공명 전이시켜 흡수를 재는 분광법(ESR, EPR). 반도체·산화막의 댕글링 결합 같은 홀전자 결함을 찾는다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →전체 단면적total cross section
σ = ∫(dσ/dΩ)dΩ. 산란 중심 하나가 입사 흐름에서 입자를 빼내는 유효 넓이. 평균 자유 행로 1/(Nσ)를 정한다.
15장 산란 이론 →전체 위상global phase
파동함수 전체에 곱한 상수 위상 인자 e^{iα}. 모든 확률과 기댓값을 바꾸지 않으므로 물리적 의미가 없고, Ψ와 e^{iα}Ψ는 같은 상태다.
01장 파동함수와 확률 →전파 인자propagator
K(x,t; x′,0) = ⟨x|Û(t)|x′⟩. 시각 0에 x′에 있던 입자가 t에 x에서 발견될 진폭으로, ψ(x,t) = ∫K ψ(x′,0)dx′로 임의의 초기 상태를 전개한다.
04장 시간 전개 →전하 큐비트charge qubit
이중 양자점에서 여분 전자 하나가 왼쪽 |L⟩ 또는 오른쪽 |R⟩ 점에 있는 상태를 |0⟩, |1⟩로 쓰는 큐비트. 게이트 전압으로 이조 ε와 터널 결합 t_c를 조절한다.
04장 시간 전개 →점군point group
한 점을 고정하는 회전·거울·반전 같은 대칭 조작의 군. 분자와 결정의 자리 대칭을 분류하며, 그 표현이 준위의 축퇴와 선택 규칙을 정한다.
07장 대칭과 보존 법칙 →점근 급수asymptotic series
처음 몇 항은 정확한 값에 다가가지만 항을 계속 더하면 결국 발산하는 급수. x⁴ 비조화 진동자의 섭동 급수가 그 예로, 최적 차수에서 끊어 쓴다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →점유수 표현occupation-number representation
다입자 상태를 각 1입자 상태에 입자가 몇 개 있는지(n₁, n₂, …)로 나타내는 방식. 대칭화가 자동으로 들어가 동일 입자를 다루기 편하다.
11장 동일 입자 →점프 연산자jump operator, 린드블라드 연산자
린드블라드 방정식에서 환경이 일으키는 갑작스러운 변화(자발 방출 σ₋, 위상 뒤집기 σ_z 등)를 나타내는 연산자 L_k.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →정규화normalization
전체 공간에서 확률을 더하면 1이 되도록 ∫|Ψ|²dx = 1로 상수배를 맞추는 일. 슈뢰딩거 방정식이 유지하므로 한 시각에만 맞추면 된다.
01장 파동함수와 확률 →정수 양자 홀 효과integer quantum Hall effect
저온·강자기장의 2차원 전자계에서 홀 저항이 R_xy = h/(νe²)(ν 정수)의 고원에 정확히 고정되고 그때 세로 저항이 0이 되는 현상. 저항 표준에 쓴다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →정의 상수defining constants
2019년 SI 재정의에서 값을 정확히 고정한 상수 c, h, e, k_B, N_A 등. 이들과 그 조합(ħ, h/e², h/2e)은 오차가 없다.
A장 수학 도구와 물리 상수 →정준 교환 관계canonical commutation relation
[x̂, p̂] = iħ. 위치와 운동량 연산자가 만족하는 기본 관계로, 위치 표현의 p̂ = −iħ∂/∂x와 불확정성 관계 ΔxΔp ≥ ħ/2가 여기서 나온다.
01장 파동함수와 확률 →정준 운동량canonical momentum
p̂ = −iħ∇. 자기장이 있을 때도 [x, p] = iħ를 만족하는 운동량 연산자이지만 게이지에 따라 값이 달라져 직접 관측되지 않는다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →제2양자화second quantization
생성·소멸 연산자 ĉ†, ĉ로 다입자계를 기술하는 형식. 페르미온은 반교환 관계 {ĉ_i, ĉ_j†} = δ_ij로 파울리 원리를 담고, 해밀토니언을 1체·2체 항의 합으로 쓴다.
11장 동일 입자 →제곱 적분 가능square-integrable
∫|ψ|²dx가 유한한 함수. 정규화할 수 있어 물리적 상태가 될 수 있는 함수의 조건이며, 평면파처럼 그렇지 않은 함수는 상태들의 극한이나 기저로만 쓴다.
01장 파동함수와 확률 →제만 갈라짐Zeeman splitting
자기장 속에서 자기 모멘트의 방향에 따라 준위가 갈라지는 것. 전자 스핀 1/2은 ΔE = gμ_BB(1 T에서 약 0.116 meV)로 두 준위가 된다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →제만 효과Zeeman effect
자기장에 의해 원자 준위가 m에 따라 갈라지는 현상. 약한 장에서는 g_Jμ_BBm_J, 강한 장에서는 μ_BB(m_l + 2m_s)이다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →제어 NOTcontrolled-NOT, CNOT
제어 큐비트가 |1⟩일 때만 표적 큐비트를 뒤집는 2큐비트 게이트(CNOT). 하다마르와 함께 곱 상태에서 벨 상태를 만든다.
18장 양자 정보와 큐비트 →조화 섭동harmonic perturbation
V(t) = Fe^{-iωt} + F†e^{iωt}처럼 진동하는 섭동. 긴 시간에서 E_f = E_i ± ħω인 전이(흡수·방출)만 살아남는다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →좋은 상태good states
축퇴 섭동에서 섭동을 0으로 줄일 때 연속적으로 이어지는 0차 상태의 조합. 축퇴 부분 공간에서 V̂를 대각화하는 기저다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →준속박 상태quasi-bound state
장벽 안쪽에 갇혀 있지만 터널링으로 천천히 새어 나가 유한한 수명을 갖는 상태. 공명 터널링과 알파 붕괴의 모형이며 너비 Γ = ħ/τ를 갖는다.
13장 변분법과 WKB 근사 →준위 반발level repulsion
2차 섭동에서 결합된 두 준위가 서로를 밀어내는 경향. 아래 준위는 더 내려가고 위 준위는 올라가므로 바닥 상태의 2차 보정은 항상 음수다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →준축퇴quasi-degenerate
두 준위가 정확히 같지는 않지만 결합 행렬 요소에 비해 가까운 경우. 비축퇴 섭동의 분모가 작아 발산하므로 두 준위를 함께 대각화한다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →준확률 분포quasi-probability distribution
위그너 함수처럼 주변 분포는 올바른 확률을 주지만 그 자체는 음수가 될 수 있어 진짜 확률 분포가 아닌 위상 공간 분포. 음수 영역은 비고전성의 표지다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →중심 세포 보정central-cell correction
얕은 도펀트의 1s 상태가 불순물 원자 바로 근처에서 유효 질량·유전 차폐 가정이 깨지는 효과를 느껴 생기는 에너지 보정. 도펀트 원소마다 이온화 에너지가 다른 이유다.
09장 중심력과 수소 원자 →중심력 퍼텐셜central potential
중심에서의 거리에만 의존하는 퍼텐셜 V(r). 회전 대칭이라 L̂²과 L̂_z가 보존되고, 파동함수가 R(r)Y_l^m(θ,φ)로 분리된다.
09장 중심력과 수소 원자 →중심력장 근사central-field approximation
다전자 원자의 각 전자가 핵과 다른 전자들의 평균 효과를 합친 구대칭 퍼텐셜 V(r) 안에서 독립적으로 움직인다고 보는 근사. 오비탈과 껍질 구조의 근거다.
11장 동일 입자 →증후군syndrome
양자 오류 정정에서 데이터 큐비트를 건드리지 않고 안정자(패리티)를 재서 얻는 결과. 어떤 오류가 어디서 났는지 알려 주되 부호화된 정보는 드러내지 않는다.
18장 양자 정보와 큐비트 →지름 방정식radial equation
u(r) = rR(r)에 대한 1차원 꼴 방정식 −(ħ²/2m)u″ + [V(r) + ħ²l(l+1)/2mr²]u = Eu. 경계 조건 u(0) = 0이 붙는다.
09장 중심력과 수소 원자 →지름 운동량radial momentum
p̂_r = −iħ(∂/∂r + 1/r). 운동 에너지를 p̂_r²/2m + L̂²/2mr²로 나눌 때 나오는 지름 성분 연산자.
09장 중심력과 수소 원자 →지속 전류persistent current
자속이 꿰뚫는 작은 금속 고리의 바닥 상태에서 전압 없이 흐르는 평형 전류. 에너지가 자속에 대해 주기 Φ₀로 변하므로 I = −∂E/∂Φ가 생긴다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →지표character
군 표현에서 각 대칭 조작의 표현 행렬 대각합 χ = tr D. 기저 선택과 무관해 표현을 구별하고, 표현을 기약 표현으로 분해하는 데 쓴다.
07장 대칭과 보존 법칙 →직교 정규 기저orthonormal basis
서로 직교하고 길이가 1인 벡터들의 집합 {|n⟩}, ⟨m|n⟩ = δ_mn, 으로 공간 전체를 펼친다. 임의의 상태를 |ψ⟩ = Σc_n|n⟩, c_n = ⟨n|ψ⟩로 전개한다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →진동자 세기oscillator strength
f = (2mω/3ħe²)|d_fi|². 전이의 세기를 고전 전자 진동자 하나의 몇 배인지로 나타낸 무차원 수. 한 상태에서 나가는 모든 전이의 합은 전자 수(토머스–라이헤–쿤 합 규칙)다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →ㅊ
채움 인자filling factor
ν = nh/(eB) = 전자 밀도/란다우 준위의 상태 밀도. 채워진 란다우 준위 수(스핀 포함)이며, 정수일 때 양자 홀 고원이 생긴다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →처프chirp
파속의 위상이 위치의 제곱에 비례해 휘어(e^{ibx²}) 국소 파수가 자리마다 달라진 상태. 위치 폭은 같아도 운동량이 퍼져 최소 불확정 상태가 아니게 되며, 퍼지는 자유 파속에 생긴다.
03장 측정과 불확정성 →초격자superlattice
두 반도체(예: GaAs/AlGaAs)를 수 nm 두께로 번갈아 쌓아 인공적인 주기 퍼텐셜을 만든 구조. 미니띠와 미니갭을 만들어 띠 구조를 설계할 수 있다.
05장 1차원 퍼텐셜 →초교환superexchange
자성 이온이 사이의 비자성 이온(예: O²⁻)을 거친 가상 건너뜀으로 결합되는 간접 교환. 반채움 허바드 모형에서 J = 4t²/U인 반강자성 결합이 나온다.
11장 동일 입자 →초미세 상호작용hyperfine interaction
전자 스핀과 핵 스핀 사이의 자기 상호작용 A I·S. 수소 바닥 상태를 1420 MHz(21 cm)로 가르고, ESR 스펙트럼을 핵 종류별로 갈라 결함의 위치를 알려 준다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →초밀집 부호화superdense coding
미리 공유한 벨 쌍의 한쪽 큐비트 하나만 보내 고전 정보 2비트를 전달하는 프로토콜. 보내는 쪽이 네 가지 파울리 연산으로 벨 상태 넷 중 하나를 만든다.
18장 양자 정보와 큐비트 →최대 혼합 상태maximally mixed state
ρ = 1/d. 모든 기저 상태가 같은 확률이고 결맞음이 전혀 없어 어떤 측정으로도 정보를 얻을 수 없는 상태. 블로흐 공의 중심이다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →최소 결합minimal coupling
전하 q 입자의 해밀토니언에서 p를 p − qA로, 에너지에 qφ를 더해 전자기장을 넣는 규칙. 게이지 불변성을 지키는 가장 단순한 결합이다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →최소 불확정 상태minimum-uncertainty state
불확정성 관계의 등호 ΔxΔp = ħ/2를 만족하는 상태. 위상이 휘지 않은 가우스 파속이 유일하며, 조화 진동자의 바닥 상태와 결맞음 상태가 그 예다.
01장 파동함수와 확률 →축약 밀도 행렬reduced density matrix
부분 대각합으로 얻은 부분계의 밀도 행렬. 그 부분계에 대한 모든 측정 통계를 주며, 전체가 얽힌 순수 상태이면 혼합 상태가 된다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →축퇴 압력degeneracy pressure
온도가 0이어도 파울리 원리 때문에 페르미온이 높은 운동 에너지 상태를 채워 생기는 압력. 금속의 압축률과 백색 왜성의 지탱을 설명한다.
11장 동일 입자 →출력 넓힘power broadening
구동 세기가 커질수록 흡수선 폭이 Δω = (2/T₂)√(1 + Ω²T₁T₂)로 넓어지는 현상. 공명 부근이 먼저 포화되어 생긴다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →충돌 변수impact parameter
입사 입자의 처음 직선 경로가 산란 중심에서 비켜 가는 수직 거리 b. 고전 산란에서 산란각과 b의 관계가 단면적을 정하며, 양자역학에서는 l ≈ kb가 부분파에 해당한다.
15장 산란 이론 →측정 공준measurement postulate
관측가능량 Â를 재면 결과는 고유값 a_n 중 하나이고, 확률은 |⟨a_n|ψ⟩|²(축퇴면 사영의 기댓값)이라는 공준. 측정 직후 상태는 해당 고유 공간으로 사영된다.
03장 측정과 불확정성 →치렐손 한계Tsirelson bound
양자역학이 허용하는 CHSH 값의 최대 |S| = 2√2 ≈ 2.83. 최대 얽힘 상태와 최적 측정 각도에서 도달한다.
18장 양자 정보와 큐비트 →ㅋ
케인 에너지Kane energy
E_P = 2|P|²/m. 전도대와 가전자대 사이 운동량 행렬 요소를 에너지로 나타낸 것으로 대부분 반도체에서 20 eV 남짓이다. 직접 간격 반도체의 전자 유효 질량 m/m* ≈ 1 + E_P/E_g를 준다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →켓ket
상태 벡터 |ψ⟩. 힐베르트 공간의 원소로 계의 모든 정보를 담으며, 특정 기저에 대한 성분(파동함수 ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ 등)으로 표현된다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →콘던–쇼틀리 위상Condon–Shortley phase
구면 조화 함수와 클레브시–고르단 계수의 부호 약속. Y_l^m에 (−1)^m을 넣고 J₊의 행렬 요소를 양의 실수로 고른다. 표마다 부호가 다른 원인이 된다.
08장 각운동량 →쿠퍼 쌍Cooper pair
초전도체에서 포논 매개 인력으로 짝지은 반대 운동량·반대 스핀 전자 쌍. 전하가 2e라 초전도 고리의 자속 양자가 h/2e다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →큐비트qubit
양자 정보의 기본 단위인 2준위 양자계. 상태가 α|0⟩ + β|1⟩의 중첩이며 블로흐 구 위의 점으로 나타낸다. 스핀·초전도 회로·이온·광자 등으로 구현한다.
18장 양자 정보와 큐비트 →크라머스 축퇴Kramers degeneracy
시간 반전 대칭이 있고 전자 수가 홀수(Θ² = −1)이면 모든 에너지 준위가 적어도 이중 축퇴라는 정리. 자기장 같은 시간 반전 깨짐만이 이 축퇴를 푼다.
07장 대칭과 보존 법칙 →크라우스 연산자Kraus operator
양자 채널을 ρ → ΣK_i ρ K_i†, ΣK_i†K_i = 1로 쓸 때의 연산자 K_i. 환경과의 상호작용 뒤 환경을 대각합으로 지운 효과를 나타낸다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →크랭크–니콜슨 방법Crank–Nicolson method
e^{-iĤΔt/ħ}를 (1 + iĤΔt/2ħ)⁻¹(1 − iĤΔt/2ħ)로 근사하는 시간 전개 수치법. 정확히 유니터리라 노름을 보존하고 무조건 안정하며 Δt²까지 정확하다.
04장 시간 전개 →클레브시–고르단 계수Clebsch–Gordan coefficients
⟨j₁m₁; j₂m₂|J M⟩. 비결합 기저에서 결합 기저로 바꾸는 계수로, M = m₁ + m₂일 때만 0이 아니고 |j₁ − j₂| ≤ J ≤ j₁ + j₂다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →ㅌ
터널 분리tunnel splitting
대칭 이중 우물에서 장벽 너머 터널링 결합 때문에 각 우물의 같은 준위가 대칭·반대칭 두 상태로 갈라지는 에너지 간격 Δ = 2t. 장벽이 두꺼울수록 지수적으로 작아진다.
04장 시간 전개 →터널 진동tunneling oscillation
이중 우물의 한쪽에 준비한 입자가 두 고유 상태의 맥놀이로 주기 h/Δ에 맞춰 양쪽 우물을 오가는 현상. 암모니아 분자 반전과 이중 양자점 전하 진동이 예다.
04장 시간 전개 →텐서곱tensor product
두 계의 상태 공간을 합친 공간 H_A ⊗ H_B. 차원은 곱 d_A·d_B이고, 기저는 |i⟩⊗|j⟩, 연산자는 Â⊗B̂로 각자 작용한다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →투과 진폭transmission amplitude
들어온 파동에 대해 장벽 너머로 나가는 파동의 계수 t. 투과율은 양쪽 속도가 같으면 T = |t|², 다르면 흐름의 비 (k′/k)|t|²다.
05장 1차원 퍼텐셜 →ㅍ
파르스발 정리Parseval–Plancherel theorem
푸리에 변환이 노름을 보존한다는 정리 ∫|ψ(x)|²dx = ∫|φ(p)|²dp. 위치 공간에서 정규화한 상태는 운동량 공간에서도 자동으로 정규화된다.
01장 파동함수와 확률 →파셴–바크 효과Paschen–Back effect
자기장이 스핀–궤도 결합보다 강해 L과 S가 각각 장 둘레로 세차하고, 준위가 μ_BB(m_l + 2m_s)로 갈라지는 강한 장 극한.
10장 스핀과 각운동량 합성 →파스발 정리Parseval's theorem
푸리에 변환이 내적·노름을 보존한다는 정리 ∫|f(x)|²dx = ∫|F(k)|²dk(대칭 규약). 1장의 파르스발 정리와 같은 내용이다.
A장 수학 도구와 물리 상수 →파울러–노드하임 터널링Fowler–Nordheim tunneling
강한 전기장으로 장벽이 삼각형이 되었을 때 전자가 그 삼각 장벽을 뚫는 터널링. 전류 J ∝ E²exp(−b/E)이며 플래시 메모리의 쓰기·지우기와 산화막 누설을 지배한다.
13장 변분법과 WKB 근사 →파울리 반발Pauli repulsion
닫힌 껍질 원자나 분자가 가까워질 때 전자 분포가 겹치면 파울리 원리로 전자가 더 높은 상태로 밀려 생기는 짧은 거리의 강한 반발. 원자의 크기와 고체의 비압축성을 정한다.
11장 동일 입자 →파울리 행렬Pauli matrices
σ_x = [[0,1],[1,0]], σ_y = [[0,−i],[i,0]], σ_z = [[1,0],[0,−1]]. 스핀 1/2 연산자는 Ŝ = (ħ/2)σ이고, σ_iσ_j = δ_ij + iε_ijkσ_k를 만족한다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →팡–하워드 함수Fang–Howard function
ψ(z) ∝ z e^{-bz/2}. MOSFET 반전층의 가장 낮은 부띠를 기술하는 변분 시험 함수로, 산화막 경계에서 0이 되는 조건을 담는다.
13장 변분법과 WKB 근사 →패리티 연산자parity operator
Π̂ψ(r) = ψ(−r). 공간 반전 연산자로 Π̂² = 1이라 고유값은 ±1(짝·홀)이다. 해밀토니언이 반전 대칭이면 고유 상태를 패리티로 분류할 수 있다.
07장 대칭과 보존 법칙 →페르미 구Fermi sphere
자유 페르미온 바닥 상태에서 운동량 공간의 반지름 k_F = (3π²n)^{1/3} 안 상태가 모두 채워진 구. 그 표면이 페르미 면이다.
11장 동일 입자 →페르미 에너지Fermi energy
바닥 상태의 페르미온계에서 채워진 가장 높은 1입자 에너지. 3차원 자유 전자 기체에서 E_F = (ħ²/2m)(3π²n)^{2/3}이다.
11장 동일 입자 →편극률polarizability
α. 전기장 E가 유도하는 쌍극자 모멘트 p = αE의 비례 계수로, 2차 슈타르크 이동 −αE²/2를 정한다. 수소 바닥 상태는 α = 4.5·4πε₀a₀³.
12장 시간 무관 섭동 이론 →편재 상태localized state
무질서 퍼텐셜 때문에 시료의 한 영역에 갇혀 시료를 가로지르지 못하는 상태. 넓어진 란다우 준위의 꼬리에 있어 전류를 나르지 않으므로 양자 홀 고원을 만든다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →포논phonon
결정 격자 진동 한 모드의 양자화된 들뜸. 에너지 ħω(q)의 덩어리이며, 평균 수는 보스–아인슈타인 분포 1/(e^{ħω/kT} − 1)을 따른다.
06장 조화 진동자와 사다리 연산자 →포락 함수envelope function
유효 질량 근사에서 블로흐 함수에 곱하는 천천히 변하는 함수 F(r). 띠 가장자리 근처 상태를 ψ = F(r)u(r)로 써서 반도체 속 불순물·양자 우물을 수소·상자 문제로 바꾼다.
09장 중심력과 수소 원자 →포인터 기저pointer basis
환경과의 상호작용이 결맞음을 깨뜨리지 않고 남기는 안정한 기저. 결어긋남 뒤 밀도 행렬이 이 기저에서 대각이 되어 고전적 결과처럼 보인다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →포지트로늄positronium
전자와 양전자의 속박 상태. 환산 질량이 m_e/2라 결합 에너지가 6.8 eV로 수소의 절반이고, 단일항은 감마선 둘, 삼중항은 셋으로 소멸한다.
09장 중심력과 수소 원자 →포크–다윈 준위Fock–Darwin levels
자기장 속 2차원 조화 가둠 양자점의 준위 E = ħΩ(2n + |m| + 1) − mħω_c/2, Ω = √(ω₀² + ω_c²/4). 약한 장에서는 양자점, 강한 장에서는 란다우 준위가 된다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →포화saturation
구동이 강해져 위·아래 준위 점유가 같아지는 쪽으로 다가가면서 흡수가 더 늘지 않는 현상. 두 준위 계는 강하게 비춰도 N₂/(N₁ + N₂)가 1/2을 넘지 못한다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →폰 노이만 방정식von Neumann equation
iħ dρ/dt = [Ĥ, ρ]. 고립계 밀도 행렬의 시간 전개 방정식으로 슈뢰딩거 방정식과 같은 내용이다(하이젠베르크 방정식과 부호가 반대).
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →폰 노이만 엔트로피von Neumann entropy
S = −tr(ρ log ρ) = −Σλ_i log λ_i. 밀도 행렬의 혼합 정도를 재는 엔트로피로 순수 상태는 0, d차원 최대 혼합 상태는 log d다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →폰 클리칭 상수von Klitzing constant
R_K = h/e² ≈ 25 812.807 Ω. 양자 홀 고원 저항의 기본 단위로, 2019년 SI 재정의 뒤 정확한 값이다.
16장 전자기장 속의 양자역학 →표면 부호surface code
2차원 격자의 큐비트에서 이웃끼리의 패리티만 재는 위상 양자 오류 정정 부호. 문턱이 약 1%로 높아 초전도 큐비트 같은 평면 소자에 알맞다.
18장 양자 정보와 큐비트 →표준 양자 한계standard quantum limit, SQL
결맞음 상태처럼 고전적 빛이나 서로 독립인 입자 N개로 잴 때 산탄 잡음 때문에 생기는 정밀도 한계. 위상 오차가 1/√N에 비례한다. 압축광이나 얽힘으로 넘을 수 있다.
03장 측정과 불확정성 →푸앵카레 구Poincaré sphere
빛의 편광 상태를 구 위의 점으로 나타낸 것. 극은 원편광, 적도는 선편광이며, 광자 편광이 2준위 계임을 보여 주는 블로흐 구의 광학 판이다.
03장 측정과 불확정성 →ㅎ
하이젠베르크 모형Heisenberg model
Ĥ = −Σ J_ij S_i·S_j. 이웃 스핀 사이의 교환 상호작용만으로 자성을 기술하는 모형. J > 0이면 강자성, J < 0이면 반강자성 정렬을 선호한다.
11장 동일 입자 →하이젠베르크 묘사Heisenberg picture
상태는 고정하고 연산자가 Â_H(t) = Û†ÂÛ로 변하는 기술 방식. 운동 방정식 dÂ_H/dt = (i/ħ)[Ĥ, Â_H]가 고전 역학의 해밀턴 방정식과 꼴이 같다.
04장 시간 전개 →하이틀러–런던 방법Heitler–London method
수소 분자를 두 원자의 1s 오비탈 곱의 대칭·반대칭 조합으로 기술하는 원자가 결합 방법. 스핀 단일항의 공간 대칭 상태가 결합을 만든다는 것을 처음 보였다.
11장 동일 입자 →하트리–포크 방법Hartree–Fock method
다전자 바닥 상태를 슬레이터 행렬식 하나로 놓고 에너지를 최소화하는 변분법. 각 전자가 쿨롱과 교환 평균장을 느끼는 1전자 방정식을 자기 일관되게 푼다.
11장 동일 입자 →항 기호term symbol
^{2S+1}L_J. 원자 준위의 전체 스핀 S, 궤도 L(S, P, D, F…), 전체 J를 나타내는 기호. 예: 탄소 바닥 상태 ³P₀.
11장 동일 입자 →행렬 요소matrix element
A_mn = ⟨m|Â|n⟩. 기저 {|n⟩}에서 연산자를 행렬로 나타낸 성분으로, 대각 요소는 기댓값, 비대각 요소는 두 상태를 잇는 진폭(전이·결합 세기)이다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →허바드 모형Hubbard model
Ĥ = −tΣ(ĉ_iσ†ĉ_jσ + h.c.) + UΣn_i↑n_i↓. 자리 사이 건너뜀 t와 같은 자리 쿨롱 반발 U만 둔 강상관 전자 모형. U ≫ t인 반채움에서 모트 절연체가 된다.
11장 동일 입자 →헬만–파인만 정리Hellmann–Feynman theorem
dE_n/dλ = ⟨n|∂Ĥ/∂λ|n⟩. 고유값의 매개변수 미분은 해밀토니언 미분의 기댓값과 같다. 힘·쌍극자 모멘트·기댓값 계산에 쓴다.
12장 시간 무관 섭동 이론 →혼합 상태mixed state
여러 순수 상태의 고전적 확률 혼합으로 한 상태 벡터로 쓸 수 없는 상태. tr ρ² < 1이며 큐비트에서는 블로흐 벡터가 구 안에 있다.
17장 밀도 행렬과 결어긋남 →홀레보 한계Holevo bound
큐비트 n개에 담은 양자 상태에서 측정으로 꺼낼 수 있는 고전 정보는 많아야 n비트라는 한계. 큐비트의 연속적인 진폭이 곧 정보 저장 용량은 아니다.
18장 양자 정보와 큐비트 →확률 밀도probability density
ρ(x,t) = |Ψ(x,t)|². 위치를 쟀을 때 x 근처 단위 길이(3차원에서는 단위 부피)당 입자를 발견할 확률로, 1차원에서 단위는 길이⁻¹이다.
01장 파동함수와 확률 →확률 진폭probability amplitude
내적 ⟨a|ψ⟩처럼 그 절댓값 제곱이 확률을 주는 복소수. 서로 구별할 수 없는 경로의 진폭은 먼저 더한 뒤 제곱하므로 간섭이 생긴다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →확률 흐름probability current
j = (ħ/m) Im(ψ*∂ψ/∂x). 단위 시간에 한 점을 지나가는 확률. 평면파 Ae^{ikx}에서는 |A|²ħk/m이며, 투과율·반사율을 흐름의 비로 정의한다.
01장 파동함수와 확률 →환산 질량reduced mass
μ = m₁m₂/(m₁ + m₂). 두 물체 문제를 질량 중심 운동과 상대 운동으로 나눌 때 상대 운동에 쓰는 질량. 수소에서 전자 질량보다 약 0.05% 작다.
09장 중심력과 수소 원자 →회전 상수rotational constant
B = h/(8π²cI) (cm⁻¹ 단위). 회전 준위 간격을 정하는 분자 상수로, 회전 스펙트럼 선 간격이 2B다. 관성 모멘트 I = μr²에서 결합 길이를 얻는다.
08장 각운동량 →회전 연산자rotation operator
R̂(n, α) = e^{-iαn·Ĵ/ħ}. 상태를 축 n 둘레로 각 α만큼 돌리는 유니터리 연산자. 스핀 1/2에서는 2π 회전에 부호가 −1이 된다.
08장 각운동량 →회전 온도rotational temperature
Θ_rot = hcB/k_B. 회전 준위를 열적으로 채우기 시작하는 온도 규모이며, 분광에서 선 세기 분포로 기체의 온도를 거꾸로 구할 때도 쓴다.
08장 각운동량 →회전파 근사rotating-wave approximation
진동하는 장을 반대로 도는 두 성분으로 나눠, 공명에서 멀리 떨어진(2ω로 빨리 도는) 성분을 버리는 근사. 결합이 이조보다 작을 때 성립한다.
10장 스핀과 각운동량 합성 →회피 교차avoided crossing
매개변수를 바꿀 때 결합된 두 준위가 교차하지 않고 서로 밀어내는 현상. 2×2 해밀토니언에서 최소 간격은 결합 세기의 두 배 2|W|이고, 그 점에서 고유 상태가 반씩 섞인다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →훈트 규칙Hund's rules
같은 배치에서 바닥 항을 정하는 경험 규칙: ① S 최대 ② 그다음 L 최대 ③ 껍질이 반 이하면 J = |L − S|, 반 넘게 차면 J = L + S.
11장 동일 입자 →흡수absorption
계가 광자(또는 진동장 에너지) ħω를 받아 아래 준위에서 위 준위로 전이하는 과정. 속도는 B₁₂ρ(ω)N₁이다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →흡수 계수absorption coefficient
α. 빛의 세기가 물질 속에서 I = I₀e^{-αx}로 줄 때의 계수(cm⁻¹). 1/α는 흡수 깊이이며 띠 간격 근처에서 급히 커진다.
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용 →힐베르트 공간Hilbert space
내적이 정의되고 완비된 복소 벡터 공간. 양자 상태는 그 안의 단위 벡터(정확히는 위상을 뺀 광선)이고, 차원은 스핀 1/2의 2에서 입자 위치의 무한대까지 다양하다.
02장 상태 공간과 디랙 표기 →종합 문제
장 순서대로 2–3문제씩 실었다. 계산 문제는 답을 숫자로 넣고 ‘확인’을 누르면 채점된다(허용 오차는 기본 1%, 정수 답은 정확히). 아주 크거나 작은 수는 3.21e-11이나 3.21×10^-11처럼 넣는다. 기호 답은 글자로 넣는다(예: 항 기호 3P2). 선택형은 보기를 누르면 바로 채점된다. 막히면 힌트를 먼저 열고, 풀이 끝의 링크로 본문 절을 다시 읽자. 상수는 CODATA 2018 값으로 \(\hbar^2/2m_\mathrm e = 0.0381\) eV·nm², \(\hbar = 0.6582\) eV·fs, \(h = 4.1357\times10^{-15}\) eV·s, \(hc = 1239.84\) eV·nm, \(\mathrm{Ry} = 13.606\) eV, \(a_0 = 0.05292\) nm, \(\mu_B = 57.88\) µeV/T, \(k_B = 8.617\times10^{-5}\) eV/K, \(\alpha = 1/137.036\)을 쓴다(부록 A 상수표).
1장 파동함수와 확률본문 →
얕은 델타 우물에 묶인 전자의 파동함수가 \(\psi(x) = A\,e^{-|x|/a}\)이다. 정규화한 뒤, 위치를 재서 \(|x| \lt a\) 안에서 발견할 확률은?
\(P = 2\int_0^a \frac1a e^{-2x/a}dx = 1 - e^{-2} = 0.865\). \(a\)의 값과 무관하다. 확률 밀도의 단위는 nm⁻¹이고, 확률은 그것을 길이로 적분해야 나온다. → 1장 보른 규칙
자유 전자 파속(\(E = \hbar^2k^2/2m\))의 중심 파수가 \(k_0\)이다. 옳은 것은?
\(\omega = \hbar k^2/2m\)이므로 \(v_g = d\omega/dk = \hbar k_0/m\), \(v_p = \omega/k = \hbar k_0/2m\). 확률이 몰린 곳(포락선)은 군속도로 움직이고, 분산이 2차라 파속은 시간이 지나며 퍼진다. → 1장 가우스 파속
2장 상태 공간과 디랙 표기본문 →
2준위 계의 관측가능량이 \(A = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & -2\end{pmatrix}\), 상태가 \(|\psi\rangle = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,\ i)^T\)이다. 기댓값 \(\langle A\rangle\)와, \(A\)를 재서 가장 큰 고유값을 얻을 확률을 구하라.
\(\langle A\rangle = \tfrac12[1\cdot1 + 1\cdot2\cdot i + (-i)\cdot2\cdot1 + (-i)(-2)(i)] = \tfrac12(1 - 2) = -0.5\). \(P(2) = |\langle a_2|\psi\rangle|^2 = \tfrac{1}{10}|2 + i|^2 = 0.5\), 그러면 \(P(-3) = 0.5\)이고 \(0.5\cdot2 + 0.5\cdot(-3) = -0.5\)로 검산된다. → 2장 고유값 문제
GaAs 전자(\(m^* = 0.067m_\mathrm e\))의 슈뢰딩거 방정식을 격자 간격 \(\Delta x = 0.5\) nm로 유한 차분하면, 이웃 격자점 사이 건너뜀 \(t = \hbar^2/2m^*\Delta x^2\)과 이 격자 모형의 띠 폭은 얼마인가?
\(t = 0.0381/(0.067\times0.25) = 2.27\) eV, 띠 폭 \(4t = 9.10\) eV. 포물선 근사가 맞는 것은 \(k\Delta x \ll 1\), 곧 \(E \ll t\)인 낮은 에너지뿐이다. TCAD 양자 해석에서 격자를 너무 성기게 잡으면 높은 에너지 상태가 틀리는 이유다. → 2장 유한 차분 해밀토니언
3장 측정과 불확정성본문 →
첫 슈테른–게를라흐 장치에서 \(+z\) 빔만 골랐다. 이 빔을 \(z\)축에서 60° 기운 축 \(\hat n\)으로 다시 재면 \(+\hat n\) 결과가 나올 확률은?
\(P = \cos^2 30^\circ = 0.75\). 블로흐 구 위의 각은 실제 공간의 각과 같고, 상태 공간의 각은 그 절반이다. → 3장 슈테른–게를라흐 실험
수소 2p 상태의 수명은 1.60 ns다. 라이먼 α선의 자연 선폭(반치 전폭, 진동수 단위)은?
\(\Delta\nu = 1/(2\pi\tau) = 1/(2\pi\times1.60\times10^{-9}\ \text{s}) = 99.5\) MHz. 중심 진동수 2.47 PHz에 비해 \(4\times10^{-8}\)밖에 안 되므로 실제 선폭은 대개 도플러·충돌 넓힘이 정한다. → 3장 에너지–시간 관계
수소 원자(스핀 무시)에서 다음 중 동시에 정확한 값을 가질 수 없는 쌍은?
\([\hat L_x, \hat L_z] = -i\hbar\hat L_y \ne 0\)이라 공통 고유 기저가 없다(\(l = 0\)인 상태만 예외). 나머지는 모두 교환해 \((\hat H, \hat L^2, \hat L_z)\)가 교환 관측가능량 완비 집합을 이룬다. → 3장 교환자
4장 시간 전개본문 →
이중 양자점 전하 큐비트의 터널 결합이 \(t_c = 10\) µeV이고 두 점의 준위가 같다(\(\varepsilon = 0\)). 왼쪽 점에 넣은 전자가 오른쪽으로 갔다가 돌아오는 진동의 주기는?
\(T = h/(2t_c) = 4.1357\times10^{-15}\ \text{eV·s}/(2\times10^{-5}\ \text{eV}) = 2.07\times10^{-10}\) s = 207 ps. \(P_R(t) = \sin^2(t_ct/\hbar)\)로 진동하며, 이것을 수백 ps 펄스로 조작하는 것이 전하 큐비트다. → 4장 두 준위 결합과 터널 진동
해밀토니언이 \(\hat H = \hat p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2(\hat x^2 + \hat y^2) + \tfrac12 m\omega_z^2\hat z^2\)(\(\omega_z \ne \omega\))인 3차원 비등방 진동자에서 보존되는 양은?
퍼텐셜이 \(z\)축 둘레 회전에만 불변이므로 \([\hat H, \hat L_z] = 0\)이고 하이젠베르크 방정식에서 \(d\hat L_z/dt = 0\)이다. 다른 축의 회전 대칭은 \(\omega_z \ne \omega\) 때문에 깨져 \(\hat L_x\), \(\hat L^2\)는 보존되지 않는다. → 4장 보존량
5장 1차원 퍼텐셜본문 →
세기 \(\alpha = 0.10\) eV·nm인 델타 우물 \(V = -\alpha\,\delta(x)\)에 전자(\(m_\mathrm e\))가 묶인다. 유일한 속박 상태의 에너지는?
\(E = -\alpha^2/(4\times0.0381) = -0.0100/0.1524 = -0.0656\) eV = −65.6 meV. 파동함수는 \(e^{-\kappa|x|}\)이고 \(1/\kappa = 0.38\) nm다. → 5장 델타 우물
GaAs 전자(\(m^* = 0.067\))가 높이 0.30 eV, 두께 2.0 nm인 AlGaAs 장벽에 에너지 0.10 eV로 들어온다(장벽 안에서도 같은 유효 질량으로 둔다). 정확한 투과율은?
\(\kappa = \sqrt{0.067\times0.20/0.0381} = 0.593\) nm⁻¹, \(\kappa d = 1.19\), \(\sinh^2 = 2.20\). \(T = [1 + 0.09\times2.20/0.08]^{-1} = 0.287\). 장벽이 얇아 \(e^{-2\kappa d} = 0.093\)과 세 배나 다르다(종합 문제 참고). → 5장 산란 상태와 투과 진폭
6장 조화 진동자와 사다리 연산자본문 →
평균 광자 수가 4인 결맞음 상태(\(|\alpha|^2 = 4\))에서 광자 수를 쟀을 때 정확히 4개가 나올 확률은?
\(P(4) = e^{-4}\,4^4/4! = 0.0183\times256/24 = 0.195\). 평균이 4여도 그 값이 나올 확률은 20%에 못 미친다. 표준편차 \(\Delta n = 2\)가 산탄 잡음이다. → 6장 결맞음 상태
실리콘 광학 포논의 에너지는 \(\hbar\omega = 64\) meV다. 300 K에서 이 모드의 평균 포논 수는?
\(\hbar\omega/k_BT = 64/25.85 = 2.476\), \(\langle n\rangle = 1/(11.89 - 1) = 0.0918\). 흡수(\(\propto n\))는 방출(\(\propto n + 1\))의 약 12분의 1이라, 뜨거운 전자는 광학 포논을 주로 내보내며 식는다. → 6장 장의 양자화와 포논
7장 대칭과 보존 법칙본문 →
실리콘 채널에 \(\varepsilon_\parallel - \varepsilon_\perp = 0.012\)인 단축 변형이 걸렸다. 전단 변형 퍼텐셜 \(\Xi_u = 9.16\) eV로 Δ₂·Δ₄ 골짜기의 분리 \(\Delta E = \Xi_u(\varepsilon_\parallel - \varepsilon_\perp)\)와, 평균에 대한 Δ₂ 골짜기의 이동 \(-\tfrac23\Delta E\)를 구하라.
\(\Delta E = 9.16\times0.012 = 0.110\) eV = 110 meV, Δ₂ 이동 \(= -73.3\) meV, Δ₄는 +36.6 meV. 실온 \(k_BT\)의 네 배가 넘으므로 전자가 대부분 Δ₂로 모여, 면내 질량이 가벼운 \(m_t\)인 골짜기가 전도를 맡는다. → 7장 골짜기 축퇴와 변형
외부 자기장이 없을 때 모든 에너지 준위가 적어도 이중 축퇴임이 보장되는 계는?
시간 반전 대칭이 있고 전자 수가 홀수이면 \(\Theta^2 = -1\)이라 \(|\psi\rangle\)과 \(\Theta|\psi\rangle\)이 직교해 크라머스 쌍을 이룬다. 스핀–궤도 결합과 무관하다. 강자성체처럼 시간 반전이 깨지면 축퇴가 풀린다. → 7장 시간 반전과 크라머스 축퇴
8장 각운동량본문 →
\(l = 2\) 상태에서 각운동량 벡터가 \(z\)축과 이룰 수 있는 가장 작은 각은? (벡터 모형)
\(\cos\theta = 2/\sqrt6 = 0.816\), \(\theta = 35.3^\circ\). \(|\mathbf L| = \sqrt6\,\hbar \gt 2\hbar\)이라 \(\mathbf L\)은 결코 \(z\)축과 나란할 수 없다. 남은 \(\langle L_x^2 + L_y^2\rangle = 2\hbar^2\)가 가로 성분의 불확정성이다. → 8장 벡터 모형
플라스마 진단에 쓰는 CO 분자의 회전 상수는 \(B = 1.923\) cm⁻¹이다. 가장 낮은 회전 흡수선 \(J = 0 \to 1\)의 진동수는?
\(\tilde\nu = 2B = 3.846\) cm⁻¹, \(\nu = c\tilde\nu = 2.998\times10^{10}\ \text{cm/s}\times3.846\ \text{cm}^{-1} = 1.153\times10^{11}\) Hz = 115 GHz(전파 천문학의 CO 115 GHz 선). 선 간격도 \(2B\)라 스펙트럼에서 결합 길이를 얻는다. → 8장 강체 회전자
9장 중심력과 수소 원자본문 →
He⁺ 이온의 \(n = 4 \to 3\) 전이에서 나오는 빛의 파장은? (환산 질량 보정은 무시)
\(\Delta E = 4\times13.606\times(1/9 - 1/16) = 2.646\) eV, \(\lambda = 1239.84/2.646 = 469\) nm(헬륨 플라스마의 파란 선). → 9장 수소꼴 이온
실리콘 속 얕은 주개를 유효 질량 \(m^* = 0.26m_\mathrm e\), 비유전율 \(\varepsilon_r = 11.7\)인 수소 원자로 본다. 이온화 에너지와 유효 보어 반지름은?
\(E_d = 13.606\times0.26/136.9 = 25.8\) meV, \(a^* = 0.0529\times11.7/0.26 = 2.38\) nm — 격자 상수의 네 배라 연속 매질 근사가 그럴듯하다. 실측(P 45.6 meV)이 더 깊은 것은 골짜기 비등방성과 중심 세포 보정 때문이다. → 9장 유효 질량 수소 모형
반지름 2.5 nm인 CdSe 양자점(\(E_g = 1.74\) eV, \(m_e^* = 0.13\), \(m_h^* = 0.45\), \(\varepsilon_r = 10.6\))의 발광 에너지와 파장을 브루스 식 \(E \approx E_g + \frac{\hbar^2\pi^2}{2R^2}\left(\frac1{m_e^*} + \frac1{m_h^*}\right) - \frac{1.786\,e^2}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_rR}\)으로 구하라. (\(e^2/4\pi\varepsilon_0 = 1.440\) eV·nm)
구속 \(= 0.0602\times9.915 = 0.597\) eV, 쿨롱 \(= 1.786\times1.440/(10.6\times2.5) = 0.097\) eV. \(E = 1.74 + 0.597 - 0.097 = 2.24\) eV, \(\lambda = 554\) nm(초록). 같은 물질도 크기만으로 색을 바꾼다. → 9장 구형 우물과 양자점
10장 스핀과 각운동량 합성본문 →
산화막의 댕글링 결합(\(g = 2.0023\))을 ESR로 찾는다. 자기장 0.350 T에서 공명 진동수는? (\(\mu_B/h = 13.996\) GHz/T)
\(f = 2.0023\times13.996\times0.350 = 9.81\) GHz — 표준 X 밴드 ESR 분광기의 진동수다. \(g\)가 2.0023에서 벗어난 정도로 결함 종류(P_b 중심 등)를 가린다. → 10장 라모어 세차와 자기 공명
스핀 큐비트를 라비 진동수 \(\Omega/2\pi = 5.0\) MHz로 구동한다. (가) 이조 \(\Delta/2\pi = 5.0\) MHz일 때 위 준위의 최대 점유 확률은? (나) 공명에서 π 펄스의 길이는?
(가) \(\Omega^2/(\Omega^2 + \Delta^2) = 1/2\). (나) \(t_\pi = \pi/\Omega = 1/(2\times5.0\ \text{MHz}) = 100\) ns. 이조와 펄스 길이를 함께 훑어 그린 것이 라비 셰브론이다. → 10장 라비 진동
\(^2P_{3/2}\) 준위(\(L = 1\), \(S = 1/2\), \(J = 3/2\))의 랑데 g 인자는?
\(g_J = 1 + (3.75 + 0.75 - 2)/7.5 = 4/3 = 1.33\). (\(^2P_{1/2}\)은 2/3.) 약한 자기장에서 \(m_J\) 준위가 \(\tfrac43\mu_BB\) 간격으로 갈라진다. → 10장 스핀–궤도 결합
11장 동일 입자본문 →
구리 배선의 전도 전자 밀도는 \(n = 8.47\times10^{28}\) m⁻³이다. 자유 전자 기체 모형의 페르미 에너지는?
\(k_F = (3\pi^2\times84.7)^{1/3} = 13.6\) nm⁻¹, \(E_F = 0.0381\times13.6^2 = 7.03\) eV — 실온 \(k_BT\)의 270배다. 그래서 전자 대부분이 파울리 원리로 얼어 있고 페르미 면 근처만 전도·비열에 참여한다. → 11장 파울리 원리와 페르미 기체
산소 원자의 바닥 배치는 1s²2s²2p⁴다. 훈트 규칙으로 바닥 항 기호 \(^{2S+1}L_J\)를 구하라(예: 3P2처럼 입력).
\(m_l = +1, 0, -1\)에 ↑ 셋을 넣고 남은 하나를 ↓로 \(m_l = +1\)에 넣으면 \(S = 1\), \(L = 1\). 반 넘게 찼으므로 \(J = L + S = 2\): \(^3P_2\). 탄소는 반 이하라 \(^3P_0\)이다. → 11장 다전자 원자와 훈트 규칙
들뜬 헬륨 1s2s 배치에서 스핀 삼중항(오르토)이 단일항(파라)보다 에너지가 낮은 이유는?
전체 파동함수가 반대칭이어야 하므로 스핀 대칭(삼중항)이면 공간은 반대칭, \(\psi(\mathbf r, \mathbf r) = 0\)이다. 에너지 \(E = E_0 + J \mp K\)에서 삼중항이 \(2K\)만큼 낮다. 자기 상호작용은 이보다 수천 배 작다 — 교환 힘의 정체. → 11장 헬륨 원자
12장 시간 무관 섭동 이론본문 →
\(\hat H = \begin{pmatrix}0 & W\\ W & \Delta\end{pmatrix}\), \(\Delta = 100\) meV, \(W = 10\) meV. 아래 준위의 2차 섭동 이동과 정확한 고유값을 각각 구하라.
\(E^{(2)} = -100/100 = -1.00\) meV. 정확히는 \(50 - \sqrt{2600} = -0.990\) meV. 차이 1%는 4차 항 \(+W^4/\Delta^3 = 0.01\) meV다. 준위 반발로 아래 준위는 내려간다. → 12장 비축퇴 섭동
수소 \(n = 2\)의 \(2P_{3/2}\)와 \(2P_{1/2}\) 사이 미세 구조 분리를 진동수로 구하라. \(E_{nj} = -\frac{\mathrm{Ry}\,\alpha^2}{n^4}\left(\frac{n}{j + 1/2} - \frac34\right)\).
\(\Delta E = \mathrm{Ry}\,\alpha^2/16 = 13.606\times5.325\times10^{-5}/16 = 4.53\times10^{-5}\) eV, \(\Delta\nu = \Delta E/h = 10.9\) GHz. 결과가 \(n\)과 \(j\)에만 의존해 \(2S_{1/2}\)와 \(2P_{1/2}\)는 축퇴한다(램 이동이 1.06 GHz만큼 푼다). → 12장 미세 구조
13장 변분법과 WKB 근사본문 →
헬륨 바닥 상태를 두 수소꼴 1s 오비탈의 곱으로 놓고 유효 전하로 변분하면 \(E(\zeta) = [\zeta^2 - 2Z\zeta + \tfrac58\zeta]\) 하트리, 최소는 \(\zeta = Z - 5/16\)이다. 변분 에너지는 eV로 얼마인가? (1 하트리 = 27.211 eV)
\(\zeta = 27/16 = 1.6875\), \(E = -(1.6875)^2\times27.211 = -77.5\) eV. 실험값 −79.0 eV보다 위에 있다 — 변분 원리가 보장하는 위쪽 한계다. → 13장 헬륨 바닥 상태
Si/SiO₂ 장벽 \(\phi = 3.1\) eV에 산화막 전기장 10 MV/cm(= 1.0 V/nm)를 걸었다. 산화막 속 전자 질량 \(0.42m_\mathrm e\)로 삼각 장벽의 WKB 투과 지수 \(\frac{4\sqrt{2m}\,\phi^{3/2}}{3\hbar e\mathcal E}\)와 \(T = e^{-\text{지수}}\)를 구하라.
지수 \(= 4\times3.32\times3.1^{1.5}/(3\times1.0) = 4\times3.32\times5.46/3 = 24.2\), \(T = e^{-24.2} = 3.2\times10^{-11}\). 전기장이 두 배가 되면 지수가 반으로 줄어 \(T\)는 \(10^5\)배 커진다 — 플래시 메모리 쓰기 전압이 날카로운 문턱을 갖는 이유다. → 13장 파울러–노드하임 터널링
MOSFET 반전층을 벽(\(z = 0\)) + 선형 퍼텐셜 \(V = e\mathcal Fz\)(\(\mathcal F = 0.10\) V/nm)인 삼각 우물로 본다. 실리콘 (100) 면의 수직 질량 \(m_z = 0.916m_\mathrm e\)로, WKB 식 \(E_n = \left(\frac{\hbar^2}{2m_z}\right)^{1/3}\left[\tfrac{3\pi}{2}e\mathcal F\left(n - \tfrac14\right)\right]^{2/3}\)에 따른 가장 낮은 부띠 에너지는?
\((1.5\pi\times0.075)^{2/3} = 0.3534^{2/3} = 0.500\), \(E_1 = 0.346\times0.500 = 0.173\) eV = 173 meV(정확한 에어리 값 175 meV와 1% 차). 수직 질량이 큰 Δ₂ 골짜기가 가장 낮은 부띠를 차지하는 것이 구속이 골짜기 축퇴를 푸는 원리다. → 13장 보어–조머펠트 양자화
14장 시간 의존 섭동과 빛–물질 상호작용본문 →
수소 2p → 1s 전이(\(\hbar\omega = 10.20\) eV)의 쌍극자 행렬 요소는 \(|\langle1s|z|2p_0\rangle| = 0.7449\,a_0\)이다. \(A = \dfrac{\omega^3e^2|\langle z\rangle|^2}{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3}\)로 2p의 복사 수명을 구하라.
\(A = 6.27\times10^{8}\) s⁻¹, \(\tau = 1/A = 1.60\) ns. \(\omega^3\) 의존 때문에 같은 쌍극자라도 적외선 전이는 훨씬 느리다(부띠 간 전이의 복사 수명이 µs인 이유). → 14장 아인슈타인 계수
800 nm에서 실리콘의 흡수 계수는 약 \(1.0\times10^3\) cm⁻¹이다. 표면 반사율 0.30, 수집 두께 10 µm인 포토다이오드의 외부 양자 효율 \(\eta = (1 - R)(1 - e^{-\alpha W})\)와 응답도 \(\eta\lambda[\text{µm}]/1.240\)은?
\(\eta = 0.70\times(1 - e^{-1}) = 0.442\), 응답도 \(= 0.442\times0.8/1.240 = 0.286\) A/W. 간접 띠 간격이라 흡수 깊이가 10 µm나 되어, 근적외선 이미지 센서는 두꺼운 공핍층이나 반사 방지막이 필요하다. → 14장 띠 간 흡수
연속 상태로의 전이 속도를 주는 페르미 황금률 \(\Gamma = \frac{2\pi}{\hbar}|W_{fi}|^2\rho(E_f)\)에 대한 설명으로 틀린 것은?
나중 상태가 하나면 전이 확률은 \(\sin^2\)로 진동하거나(라비) \(t^2\)로 시작할 뿐, 일정한 속도가 생기지 않는다. 연속 상태로 더해야 \(\sin^2(\Delta t/2)/(\Delta/2)^2 \to 2\pi t\,\delta(\Delta)\)가 되어 속도가 나온다. → 14장 페르미 황금률
15장 산란 이론본문 →
2.00 MeV ⁴He⁺(4.0026 u) 빔을 실리콘(28.086 u) 박막에 쏘고 170°로 튕긴 이온을 잰다. 운동학 인자 \(K = \left[\frac{\sqrt{M_2^2 - M_1^2\sin^2\theta} + M_1\cos\theta}{M_1 + M_2}\right]^2\)와 표면에서 튕긴 이온의 에너지는?
\(\sqrt{28.086^2 - 0.695^2} = 28.077\), \(K = [(28.077 - 3.942)/32.089]^2 = 0.566\), \(E_1 = 1.13\) MeV. 표적 질량이 클수록 \(K \to 1\)이라 무거운 원소(예: Hf 게이트 산화물)는 높은 에너지 쪽에서 분리되어 보인다. → 15장 러더퍼드 산란과 RBS
반지름 \(a = 0.10\) nm인 강체 구에 의한 아주 낮은 에너지(\(ka \ll 1\))의 전체 산란 단면적은?
\(\sigma = 4\pi a^2 = 0.126\) nm² — 기하학적 단면적 \(\pi a^2\)의 네 배다. 파장이 구보다 훨씬 커서 구 전체가 파동을 흩뜨린다. → 15장 저에너지 산란
300 K, 전자 농도 \(10^{17}\) cm⁻³인 n형 실리콘(\(\varepsilon_r = 11.7\))에서 이온화된 불순물의 쿨롱 퍼텐셜을 가리는 디바이 길이 \(\lambda_D = \sqrt{\varepsilon k_BT/e^2n}\)은?
\(\lambda_D = \sqrt{1.036\times10^{-10}\times4.142\times10^{-21}/(2.567\times10^{-38}\times10^{23})} = 1.29\times10^{-8}\) m = 12.9 nm. 차폐 쿨롱 퍼텐셜의 보른 진폭에 \(1/(q^2 + \lambda_D^{-2})\)로 들어가 앞방향 산란의 발산을 막는다(브룩스–헤링). → 15장 반도체 속 산란
16장 전자기장 속의 양자역학본문 →
GaAs 2차원 전자(\(m^* = 0.067\))에 10 T를 걸었다. 자기 길이와 란다우 준위 간격은?
\(\ell_B = 25.66/\sqrt{10} = 8.11\) nm, \(\hbar\omega_c = 0.1158\times10/0.067 = 17.3\) meV — 4.2 K의 \(k_BT = 0.36\) meV보다 훨씬 커 준위가 뚜렷이 갈린다. → 16장 란다우 준위
면밀도 \(n = 3.00\times10^{11}\) cm⁻²인 2DEG에 6.20 T를 걸었다. 채움 인자 \(\nu = nh/eB\)(가장 가까운 정수)와 그 고원의 홀 저항은?
\(\nu = 3.00\times10^{15}\times4.1357\times10^{-15}/6.20 = 2.00\), \(R_{xy} = 25\,812.807/2 = 12\,906\) Ω. 고원 위에서는 시료 모양·불순물과 무관하게 \(10^{-9}\) 정밀도로 이 값이라 국제 저항 표준이 된다. → 16장 정수 양자 홀 효과
반지름 0.50 µm인 금속 고리의 자기 저항이 아하로노프–봄 효과로 진동한다. 진동 주기 \(\Delta B\)는? (정상 전도체 자속 양자 \(h/e\))
\(\Delta B = (h/e)/\pi r^2 = 4.136\times10^{-15}/(\pi\times2.5\times10^{-13}) = 5.27\times10^{-3}\) T = 5.27 mT. 시간 반전 경로 쌍의 간섭(알트슐러–아로노프–스피박)은 그 절반 주기 \(h/2e\)로 나타난다. → 16장 아하로노프–봄 효과
17장 밀도 행렬과 결어긋남본문 →
큐비트의 블로흐 벡터 길이가 \(|\mathbf r| = 0.6\)이다. 순도 \(\mathrm{tr}\,\rho^2\)과 폰 노이만 엔트로피(비트)는?
\(\mathrm{tr}\,\rho^2 = (1 + 0.36)/2 = 0.68\). 고유값 0.8, 0.2로 \(S = -0.8\log_20.8 - 0.2\log_20.2 = 0.722\) 비트. 블로흐 벡터가 짧을수록 1비트(최대 혼합)에 다가간다. → 17장 순수 상태와 혼합 상태
초전도 큐비트의 에너지 이완 시간이 \(T_1 = 100\) µs, 순수 위상 이완 시간이 \(T_\phi = 50\) µs다. 결맞음 시간 \(T_2\)는?
\(1/T_2 = 1/200 + 1/50 = 0.025\) µs⁻¹, \(T_2 = 40\) µs. 한계 \(T_2 \le 2T_1 = 200\) µs에 한참 못 미치므로 이 큐비트는 위상 잡음(예: 1/f 자속 잡음)을 줄이는 것이 먼저다. → 17장 T₁·T₂와 블로흐 방정식
스핀 에코(π/2 – τ – π – τ)가 되돌릴 수 있는 위상 손실은?
π 펄스가 위상을 뒤집어, 정적인 진동수 차로 앞서던 스핀이 같은 시간 뒤 뒤처진 만큼 따라잡는다. 그래서 \(T_2^*\)(불균일 넓어짐)는 지우지만 \(T_1\)과 빠른 요동은 지우지 못한다. → 17장 스핀 에코
18장 양자 정보와 큐비트본문 →
벨 상태와 백색 잡음을 섞은 베르너 상태 \(\rho = p|\Psi^-\rangle\langle\Psi^-| + (1 - p)\,\mathbb 1/4\)의 공존도는 \(C = \max[0, (3p - 1)/2]\)이다. \(p = 0.8\)이면 \(C\)는? 이 상태는 CHSH 부등식을 깰 수 있는가? (조건 \(p \gt 1/\sqrt2\))
\(C = (2.4 - 1)/2 = 0.7\). \(2\sqrt2\times0.8 = 2.26 \gt 2\)이므로 깰 수 있다. \(1/3 \lt p \le 1/\sqrt2\)인 상태는 얽혀 있지만 CHSH로는 드러나지 않는다. → 18장 벨 부등식
BB84에서 도청자가 모든 광자를 무작위 기저로 재고 그 결과대로 다시 보냈다(가로채고 다시 보내기). 선별 키의 양자 비트 오류율은?
\(\tfrac12\times\tfrac12 = 0.25\), 곧 25%. 안전한 키를 뽑을 수 있는 문턱(약 11%)을 크게 넘어 도청이 드러난다. 상태를 흔들지 않고 정보를 얻을 수 없다는 복제 불가 정리의 결과다. → 18장 양자 키 분배
양자 순간이동에 대한 설명으로 옳은 것은?
측정 결과를 받기 전 받는 쪽 큐비트의 축약 밀도 행렬은 최대 혼합 상태라 아무 정보도 없다(신호 불가). 원래 상태는 벨 측정으로 지워지므로 복제 불가 정리와도 모순이 없다. → 18장 복제 불가와 순간이동
부록 A 수학 도구와 물리 상수본문 →
두 \(j = 1\)을 합친 단일항 \(|J = 0, M = 0\rangle = \frac{1}{\sqrt3}\left(|1, -1\rangle - |0, 0\rangle + |-1, 1\rangle\right)\)에서 계수 \(\langle1\,1;\,1\,{-1}|0\,0\rangle\)의 값은?
\(1/\sqrt3 = 0.577\). 그러니 \(J = 0\) 상태에서 첫 입자의 \(m_1\)을 재면 \(+1, 0, -1\)이 각각 1/3씩 나온다. → 부록 A 클레브시–고르단 표
원자 단위(\(\hbar = m_\mathrm e = e = 4\pi\varepsilon_0 = 1\))에서 수소 바닥 상태 에너지는?
\(E_1 = -\tfrac12\) 하트리, 1 하트리 = 27.211 eV = 2 Ry. 길이 단위는 \(a_0\)이고 바닥 상태 전자의 속도는 \(\alpha c\), 곧 원자 단위로 1이다. → 부록 A 상수와 단위
종합 — 여러 장을 함께반복 연습 →
5장 문제의 장벽(\(m^* = 0.067\), \(V_0 = 0.30\) eV, \(d = 2.0\) nm, \(E = 0.10\) eV, 정확한 \(T = 0.287\))에 대해 WKB 지수 인자 \(e^{-2\kappa d}\)와, 두꺼운 장벽 근사 \(T \approx \frac{16E(V_0 - E)}{V_0^2}e^{-2\kappa d}\)를 구해 정확한 값과 비교하라.
\(e^{-2.372} = 0.0933\), 앞 인자 \(16\times0.1\times0.2/0.09 = 3.56\)을 곱하면 0.332. 정확한 0.287과 16% 차이 — \(\kappa d \approx 1\)에서는 \(\sinh\kappa d \approx e^{\kappa d}/2\)가 아직 부정확하다. 지수 인자만 쓴 WKB는 세 배나 작다. 공명 터널 다이오드 설계에서 얇은 장벽은 전달 행렬로 정확히 풀어야 한다. → 5장 전달 행렬 · 13장 WKB 터널링
실리콘 양자점 전자 스핀(\(g = 2.00\))에 0.500 T를 걸고 100 mK로 식혔다. 제만 공명 진동수와 열평형 스핀 분극 \(P = \tanh(hf/2k_BT)\)는? (\(\mu_B/h = 13.996\) GHz/T, \(k_B/h = 20.837\) GHz/K)
\(f = 2.00\times13.996\times0.5 = 14.0\) GHz. \(hf/2k_BT = 14.0/4.167 = 3.36\), \(P = \tanh3.36 = 0.998\) — 열평형만으로 \(|{\downarrow}\rangle\)에 99.9% 가까이 초기화된다. 상온 핵스핀(\(P \sim 10^{-5}\))과 대조적이다. → 10장 자기 공명 · 17장 열평형 상태
두 전자가 스핀 단일항에 있다. 앨리스는 \(z\)축, 밥은 \(z\)축에서 60° 기운 축으로 스핀을 잰다. 두 결과가 같은 부호로 나올 확률은?
GaAs 2DEG에서 전자의 유효 g 인자는 \(|g^*| = 0.44\), 유효 질량은 \(0.067m_\mathrm e\)이다. 스핀 제만 갈라짐 \(|g^*|\mu_BB\)와 란다우 준위 간격 \(\hbar\omega_c\)의 비는? (자기장 세기와 무관함을 보여라.)
비 \(= \dfrac{|g^*|\,e\hbar B/2m_\mathrm e}{e\hbar B/m^*} = \dfrac{|g^*|m^*}{2m_\mathrm e} = 0.44\times0.067/2 = 0.0147\). 진공 전자(\(g = 2\), \(m^* = m_\mathrm e\))는 정확히 1이라 스핀 갈라진 준위가 이웃 란다우 준위와 겹친다. GaAs에서는 스핀 갈라짐이 아주 작아 홀수 채움 인자 고원은 강한 자기장에서야 보인다. → 10장 g 인자 · 12장 제만 효과 · 16장 란다우 준위
장을 넘나드는 반복 연습
‘새 문제’를 누를 때마다 숫자가 바뀐다. 답은 이 책의 계산 라이브러리(QM.hydrogenE, QM.K 상수)와 본문의 공식으로 그 자리에서 계산한다. 허용 오차는 1–2%다.
시험 직전 체크리스트
아래 문장을 막힘없이 설명하고 식으로 쓸 수 있으면 그 부를 정리한 것이다. 걸리는 줄이 있으면 링크한 절로 돌아가자.
제1부 양자역학의 틀
- 보른 규칙과 정규화, 전체·상대 위상, 연속 방정식과 확률 흐름, 운동량 공간과 파르스발, 파속의 군속도와 퍼짐, 에렌페스트 정리.1장
- 켓·브라와 내적, 완비성 \(\sum|n\rangle\langle n| = 1\), 에르미트·유니터리·사영 연산자, 스펙트럼 정리, 기저 변환, 유한 차분 해밀토니언, 텐서곱.2장
- 측정 공준과 붕괴, 블로흐 구, 교환자와 CSCO, 로버트슨 관계, 에너지–시간 관계와 자연 선폭, 산탄 잡음과 표준 양자 한계.3장
- \(e^{-i\hat Ht/\hbar}\)와 정상 상태, 양자 맥놀이·재생, 슈뢰딩거·하이젠베르크 묘사, 보존량, 두 준위 결합과 터널 진동, 전파 인자, 크랭크–니콜슨·분할 연산자.4장
제2부 정확히 풀리는 계와 대칭
- 마디 정리와 비축퇴, 델타 우물·장벽, 이중 우물의 터널 분리, 투과·반사 진폭과 S 행렬, 전달 행렬, 공명 터널링과 미니띠, 사격법.5장
- \([\hat a, \hat a^\dagger] = 1\)과 \(\hbar\omega(n + \tfrac12)\), 행렬 요소 \(\sqrt n\), 결맞음·압축 상태, 변위 연산자, 위그너 함수, 광자·포논.6장
- 대칭과 생성자, 뇌터 정리, 블로흐 정리와 결정 운동량, 패리티와 라포르테 규칙, 시간 반전과 크라머스 축퇴, 골짜기 축퇴와 변형 퍼텐셜.7장
제3부 각운동량과 3차원 문제
- \([\hat L_i, \hat L_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat L_k\), 사다리로 얻는 \(j(j+1)\), \(m\), 구면 조화 함수와 실수 오비탈, 벡터 모형, 위그너 d 행렬, 강체 회전자 \(2B\) 간격.8장
- 지름 방정식과 원심 장벽, 구형 우물과 양자점(브루스 식), 수소의 \(n^2\) 축퇴, 수소꼴 이온·리드베리, 유효 질량 수소 모형(도펀트·엑시톤).9장
- 파울리 행렬과 블로흐 벡터, 라모어 세차와 ESR, 회전파 근사와 라비 공식, 삼중항·단일항, 클레브시–고르단, 스핀–궤도와 랑데 g.10장
- 교환 대칭과 보손·페르미온, 슬레이터 행렬식, 페르미 에너지, 교환 구멍, 헬륨 파라·오르토와 교환 적분, 훈트 규칙과 항 기호, 제2양자화와 허바드 모형.11장
제4부 근사법
- 1차·2차 섭동과 준위 반발, 축퇴 섭동과 좋은 상태, 슈타르크·QCSE, 미세 구조(\(n\), \(j\) 의존), 제만 효과(약한·강한 장), k·p와 케인 에너지.12장
- 변분 원리와 헬륨 \(Z_\text{eff} = 27/16\), H₂⁺와 LCAO, 레일리–리츠와 겹침 행렬, WKB와 연결 공식, 보어–조머펠트, 터널링 \(e^{-2\int\kappa dx}\)과 파울러–노드하임.13장
- 상호작용 묘사, 1차 전이 진폭, 페르미 황금률, 쌍극자 근사와 선택 규칙, 아인슈타인 A·B와 밀도 반전, 선폭 넓힘, 띠 간 흡수와 양자 효율.14장
- 미분·전체 단면적, 리프먼–슈윙거와 보른 근사, 러더퍼드·차폐 쿨롱, 부분파와 위상 이동, 광학 정리, 산란 길이와 공명, RBS·이온 주입·이동도.15장
제5부 현대 양자역학과 양자 소자
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