Appendix A

수학 도구와 물리 상수

본문 어디서나 펼쳐 쓰는 참고 부록이다. 표는 탭으로 묶어 한 화면에 보이게 했고, 표 아래의 계산기는 같은 값을 직접 계산해 준다. 이 책의 단위 관례는 길이 nm · 에너지 eV · 시간 fs · 질량은 $m_e$의 배수이며, 이 단위에서 $\hbar = 0.658212\ \text{eV·fs}$, $\hbar^2/2m_e = 0.0380998\ \text{eV·nm}^2$ 두 숫자가 거의 모든 계산을 손으로 끝내 준다. 각 항목의 장 표시는 그 도구가 처음 쓰이는 본문 장이다.

상수·단위
복소수·행렬
푸리에 변환
특수 함수
각운동량·CG
장별 공식
확인 문제

물리 상수와 단위 (CODATA 2018)

2019년 SI 재정의로 $c, h, e, k_B, N_A$가 정의 상수(defining constants), 곧 오차 없는 정의값(표의 정확)이 되었고, $\hbar = h/2\pi$, $h/e^2$, $h/2e$처럼 이들만으로 만든 조합도 정확하다. $\varepsilon_0$·$\mu_0$는 이제 측정값(미세 구조 상수 α를 통해)이다. 표의 값은 모두 코드로 상호 일관성(예: $a_0 = \hbar/m_ec\alpha$, $\mu_B = e\hbar/2m_e$)을 확인했다.

기호	이름	값 (SI)	편리한 형태
c	빛의 속력	299 792 458 m/s 정확	0.299 792 nm/as
h	플랑크 상수	6.626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s 정확	4.135 667 70 × 10⁻¹⁵ eV·s
ħ	h/2π	1.054 571 817… × 10⁻³⁴ J·s 정확	0.658 211 957 eV·fs
e	기본 전하	1.602 176 634 × 10⁻¹⁹ C 정확	1 eV = 1.602 176 634 × 10⁻¹⁹ J
k_B	볼츠만 상수	1.380 649 × 10⁻²³ J/K 정확	8.617 333 26 × 10⁻⁵ eV/K
N_A	아보가드로 상수	6.022 140 76 × 10²³ mol⁻¹ 정확	1 eV/입자 = 96.4853 kJ/mol
mₑ	전자 질량	9.109 383 7015 × 10⁻³¹ kg	mₑc² = 0.510 998 950 MeV
mₚ	양성자 질량	1.672 621 923 69 × 10⁻²⁷ kg	938.272 088 MeV; mₚ/mₑ = 1836.152 673
mₙ	중성자 질량	1.674 927 498 04 × 10⁻²⁷ kg	939.565 421 MeV
u	원자 질량 단위	1.660 539 066 60 × 10⁻²⁷ kg	931.494 102 MeV
α	미세 구조 상수	7.297 352 5693 × 10⁻³	1/α = 137.035 999 084
ε₀	진공 유전율	8.854 187 8128 × 10⁻¹² F/m	e²/4πε₀ = 1.439 965 eV·nm
μ₀	진공 투자율	1.256 637 062 12 × 10⁻⁶ N/A²	μ₀ε₀c² = 1
a₀	보어 반지름	5.291 772 109 03 × 10⁻¹¹ m	0.052 917 721 nm
R_∞	뤼드베리 상수	10 973 731.568 160 m⁻¹	Ry = hcR_∞ = 13.605 693 123 eV
E_h	하트리 에너지	4.359 744 722 2071 × 10⁻¹⁸ J	27.211 386 246 eV = 2 Ry
μ_B	보어 마그네톤	9.274 010 0783 × 10⁻²⁴ J/T	57.883 818 μeV/T
μ_N	핵 마그네톤	5.050 783 7461 × 10⁻²⁷ J/T	31.524 513 neV/T
gₑ	전자 g 인자	−2.002 319 304 362 56	\|gₑ\|μ_B/h = 28.024 951 GHz/T
γₚ/2π	양성자 자기 회전비	42.577 478 518 MHz/T	NMR 1 T → 42.58 MHz
λ_C	콤프턴 파장 h/mₑc	2.426 310 238 67 × 10⁻¹² m	rₑ = α²a₀ = 2.817 940 fm
Φ₀	자속 양자 h/2e	2.067 833 848… × 10⁻¹⁵ Wb 정확	h/e = 4.135 667 70 × 10⁻¹⁵ Wb
R_K	폰 클리칭 상수 h/e²	25 812.807 45… Ω 정확	G₀ = 2e²/h = 77.480 917 μS
K_J	조지프슨 상수 2e/h	483 597.848 4… GHz/V 정확	1 μV ↔ 483.6 MHz

조합	값	쓰는 곳
$hc$	1239.842 eV·nm	광자 $\lambda[\text{nm}] = 1239.842/E[\text{eV}]$ 14장
$\hbar c$	197.327 eV·nm	= 197.327 MeV·fm, 상대론적 $pc$
$\hbar$	0.658 212 eV·fs	위상 $e^{-iEt/\hbar}$: 1 eV면 0.658 fs에 1 rad 4장
$\hbar^2/2m_e$	0.038 100 eV·nm²	$E = \hbar^2k^2/2m^$, 무한 우물 $E_1 = 0.376/(m^L^2)$ eV 5장
$e^2/4\pi\varepsilon_0$	1.439 965 eV·nm	쿨롱 $U = 1.44/r$ (eV, nm) 9장
$m_ec^2$	510.999 keV	상대론 보정, 미세 구조 $\alpha^2 m_ec^2$ 12장
$k_BT$	0.086 173 meV/K	300 K: 25.852 meV, 4.2 K: 0.362 meV 17장
$\mu_B$	57.884 μeV/T	제만 $g\mu_BBm$, 라모어 28.02 GHz/T 10장
$\hbar\omega_c = \hbar eB/m^*$	0.115 768 meV/T	$\times\,(m_e/m^*)$: GaAs(0.067) 1.728 meV/T 16장
$\ell_B = \sqrt{\hbar/eB}$	25.656 nm·T^½	$\ell_B = 25.66/\sqrt{B[\text{T}]}$ nm, $eB/h = 2.418\times10^{10}$ cm⁻²/T
$1/\lambda$ ↔ $E$	8065.544 cm⁻¹/eV	분광 단위, $hc/k_B = 1.438\,777$ cm·K 8장

하트리 원자 단위(atomic units)는 $\hbar = m_e = e = 4\pi\varepsilon_0 = 1$로 놓는다. 수소 해밀토니언이 $H = -\tfrac12\nabla^2 - 1/r$이 되어 바닥 에너지는 $-\tfrac12\ E_h$이다. 뤼드베리 단위는 $E$를 Ry, 길이를 $a_0$로 잰다.

양	원자 단위	SI 값	이 책의 단위
길이	$a_0 = \hbar/m_ec\alpha$	5.291 772 × 10⁻¹¹ m	0.052 918 nm
에너지	$E_h = \alpha^2m_ec^2$	4.359 745 × 10⁻¹⁸ J	27.211 386 eV
시간	$\hbar/E_h$	2.418 884 × 10⁻¹⁷ s	0.024 189 fs
속력	$\alpha c$	2.187 691 × 10⁶ m/s	c = 137.036 a.u.
운동량	$\hbar/a_0$	1.992 852 × 10⁻²⁴ kg·m/s	k = 18.897 nm⁻¹
전기장	$E_h/ea_0$	5.142 207 × 10¹¹ V/m	514.22 V/nm
각운동량	$\hbar$	1.054 572 × 10⁻³⁴ J·s	—
쌍극자	$ea_0$	8.478 354 × 10⁻³⁰ C·m	2.541 746 D

TOOL

에너지 단위 환산기와 에너지 사다리

흰 원을 좌우로 끌기

값 단위

E—

J—

ν = E/h—

ν̃ = E/hc—

T = E/k_B—

λ = hc/E—

Eₕ · Ry—

ħ/E (주기/2π)—

B (스핀 제만)—

사다리는 로그 눈금(1 μeV–1 MeV)이다. 해볼 것: ① 단위를 GHz로 바꾸고 5를 넣으면 20.7 μeV = 0.24 K — 초전도 큐비트를 10 mK로 냉각해야 하는 이유다. ② 4.2 K의 $k_BT$(0.362 meV)는 몇 테슬라의 스핀 제만 분리와 같은가? (3.1 T) ③ 흰 원을 Si 띠 간격(1.12 eV)에 맞추고 파장 1107 nm를 확인하라.

유효 질량 $m^*/m_e$ = 0.067, 유전율 $\varepsilon_r$ = 12.9인 반도체에서 유효 뤼드베리는 $Ry^* = 13.606\,m^*/\varepsilon_r^2$ = , 유효 보어 반지름은 $a^* = 0.0529\,\varepsilon_r/m^*$ = 이다. 자기장 5에서 $\hbar\omega_c$ = , $\ell_B$ = , 스핀 분리($g=2$) = 이고, 온도 4.2의 $k_BT$ = 이므로 $\hbar\omega_c/k_BT$ = 이다 — 1보다 훨씬 커야 란다우 준위가 보인다 16장.

복소수와 선형대수

복소수와 벡터 2장
오일러	$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, $z = re^{i\theta}$, $\|z\|^2 = zz^*$
내적	$\langle a\|b\rangle = \sum_i a_i^* b_i = \langle b\|a\rangle^*$
슈바르츠	$\|\langle a\|b\rangle\|^2 \le \langle a\|a\rangle\langle b\|b\rangle$
완비성	$\sum_n \|n\rangle\langle n\| = 1$, $\int \|x\rangle\langle x\|\,dx = 1$
위치·운동량	$\langle x\|p\rangle = e^{ipx/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}$, $\langle x\|x'\rangle = \delta(x - x')$
수반	$(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$, $\langle a\|A\|b\rangle^* = \langle b\|A^\dagger\|a\rangle$
대각합	$\operatorname{Tr}AB = \operatorname{Tr}BA$, $\operatorname{Tr}A = \sum E_n$, $\det A = \prod E_n$
텐서곱	$(A\otimes B)(C\otimes D) = AC\otimes BD$ 18장

연산자 대수 3장
에르미트	$A = A^\dagger$ ⇒ 실수 고유값, 직교 고유벡터, $A = \sum a_n\|n\rangle\langle n\|$
함수	$f(A) = \sum_n f(a_n)\,\|n\rangle\langle n\|$; $U = e^{-iHt/\hbar}$는 유니터리
교환자	$[A, BC] = [A,B]C + B[A,C]$, $[x, f(p)] = i\hbar f'(p)$
BCH 공식(Baker–Campbell–Hausdorff)	$e^{A}Be^{-A} = B + [A,B] + \tfrac{1}{2!}[A,[A,B]] + \cdots$
글라우버	$[A,B]$가 $A,B$와 교환하면 $e^{A+B} = e^Ae^Be^{-[A,B]/2}$ 6장
파울리	$\sigma_i\sigma_j = \delta_{ij} + i\varepsilon_{ijk}\sigma_k$, $(\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma)(\mathbf b\cdot\boldsymbol\sigma) = \mathbf a\cdot\mathbf b + i\boldsymbol\sigma\cdot(\mathbf a\times\mathbf b)$
회전	$e^{-i\theta\,\hat n\cdot\boldsymbol\sigma/2} = \cos\tfrac\theta2 - i\,\hat n\cdot\boldsymbol\sigma\sin\tfrac\theta2$ 10장
2×2 고유값	$\begin{pmatrix}a & b\\ b^* & d\end{pmatrix}$: $E_\pm = \tfrac{a+d}{2} \pm \sqrt{\big(\tfrac{a-d}{2}\big)^2 + \|b\|^2}$ 4장

z를 끌기

MINI LAB복소 평면 위의 진폭 $z$를 끌어 보라. 켤레는 실수축 대칭, $1/z$는 단위원 반전 후 대칭, 위상 인자 $e^{i\varphi}z$는 길이(확률 $|z|^2$)를 바꾸지 않고 돌리기만 한다 — 전체 위상이 관측되지 않는 이유다.

TOOL

에르미트 행렬 고유값 계산기

준위를 눌러 고유벡터 보기

예시

행렬 (성분은 쉼표, 행은 줄바꿈 · 1+2i, −i, 1/2, √2 허용)

고유값—

Tr · det—

에르미트?—

최대 6×6. 고유벡터는 가장 큰 성분이 양의 실수가 되도록 위상을 맞췄고, 막대 색은 성분의 위상이다. 해볼 것: ① 두 준위 예시에서 $E_\pm = \pm\sqrt{0.2^2+0.5^2} = \pm0.539$를 확인하라. ② 세 고리에서 자속 위상을 0으로 바꾸면(성분의 $e^{\pm0.5i}$를 1로) 두 준위가 축퇴한다 — 시간 반전 대칭 7장. ③ 행렬을 일부러 비에르미트로 고쳐 경고를 보라.

푸리에 변환

$$\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\,e^{-ikx}\,dx,\qquad \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k)\,e^{ikx}\,dk,\qquad \delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int e^{ikx}dk$$

$\psi(x)$ (정규화)	$\phi(k)$	$\Delta x\,\Delta k$
$(2\pi\sigma^2)^{-1/4}e^{-x^2/4\sigma^2}$	$(2\sigma^2/\pi)^{1/4}e^{-\sigma^2k^2}$	1/2 (최소)
$\sqrt{\kappa}\,e^{-\kappa\|x\|}$	$\sqrt{2/\pi}\,\kappa^{3/2}/(\kappa^2 + k^2)$	1/√2 = 0.707
$\tfrac{1}{\sqrt{2b}}\operatorname{sech}(x/b)$	$\sqrt{\tfrac{\pi b}{4}}\operatorname{sech}(\pi bk/2)$	π/6 = 0.524
$1/\sqrt a$ ($\|x\| < a/2$)	$\sqrt{\tfrac{a}{2\pi}}\,\dfrac{\sin(ka/2)}{ka/2}$	∞ (Δk 발산)
$e^{ik_0x}/\sqrt{2\pi}$	$\delta(k - k_0)$	—
$\delta(x - x_0)$	$e^{-ikx_0}/\sqrt{2\pi}$	—

성질	$\psi(x)$ → $\phi(k)$
이동	$\psi(x - a)$ → $e^{-ika}\phi(k)$
변조	$e^{ik_0x}\psi(x)$ → $\phi(k - k_0)$ (파속의 중심 파수)
척도	$\sqrt{s}\,\psi(sx)$ → $\phi(k/s)/\sqrt{s}$ (좁히면 넓어진다)
미분	$\psi'(x)$ → $ik\,\phi(k)$; $\hat p = \hbar k$ 1장
곱·합성곱	$(f*g)(x)$ → $\sqrt{2\pi}\,F(k)G(k)$
파스발	$\int\psi_1^\psi_2\,dx = \int\phi_1^\phi_2\,dk$
이산(FFT)	격자 $N$, 간격 $\Delta x$ → $\Delta k = 2\pi/N\Delta x$, $\|k\| \le \pi/\Delta x$ 4장
시간–진동수	지수 감쇠 $e^{-\Gamma t/2\hbar}$ → 로런츠 선 모양, FWHM $\Gamma$ 14장

위치 분포의 폭과 모양이 같은 정도로 "뾰족한" 함수 가운데, 불확정 곱 $\Delta x\,\Delta k$가 가장 작은 것은?

가우스 함수만 등호 $\Delta x\,\Delta k = 1/2$를 만족한다. 네모 펄스는 $\phi \propto \sin(ka/2)/k$의 꼬리가 $1/k^2$로 느리게 줄어 $\Delta k$가 발산하고, 지수 함수는 뾰족한 꼭짓점 때문에 $1/\sqrt2$이다. 아래 뷰어에서 모양을 바꿔 확인하라.

SIMULATOR

푸리에 쌍 뷰어: Δx·Δk 줄이기

위: 폭, 아래: k₀를 끌기

모양 ψ(x)

폭 a 중심 파수 k₀ Re ψ 함께 그리기

Δx—

Δk—

Δx·Δk—

⟨k⟩—

파스발 ∫|φ|²dk—

길이 단위는 임의(nm로 읽으면 k는 nm⁻¹). 4096점 FFT로 $|\phi|^2$을 그리고, $\Delta k$는 $\int|\psi'|^2dx$로 계산한다. 해볼 것: ① 가우스에서 폭을 바꿔도 곱이 0.500으로 고정됨을 보라. ② $k_0$를 끌면 $|\phi|^2$은 옮겨 가기만 하고 $\Delta k$는 그대로다(변조 정리). ③ 이중 슬릿에서 간격 a를 늘리면 $|\phi|^2$의 줄무늬 간격이 $2\pi/2a$로 좁아진다.

폭 $\sigma_0$ = 0.5인 최소 불확정 가우스 파속(질량 $m^*/m_e$ = 1)은 $\sigma_k = 1/2\sigma_0$ = , 속도 퍼짐 $\Delta v = \hbar\sigma_k/m^*$ = 를 가진다. 폭은 $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (t/\tau)^2}$로 커지며 $\tau = 2m^*\sigma_0^2/\hbar$ = 이다 — 1 ps 뒤의 폭은 1장.

특수 함수

정확히 풀리는 계의 고유함수는 모두 몇 가지 고전 특수 함수로 쓰인다. 표의 정의·위상은 엔진 라이브러리(QM.hoPsi, QM.laguerre, QM.legendre, QM.Ylm, QM.sphJ)와 같고, 아래 그래프 도구가 그 함수를 직접 그린다.

에르미트 다항식(Hermite polynomials) — 조화 진동자 6장: $\psi_n(x) = (2^nn!\sqrt\pi\,x_0)^{-1/2}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}$, $\xi = x/x_0$, $x_0 = \sqrt{\hbar/m\omega}$. 생성 함수 $e^{2\xi t - t^2} = \sum H_n t^n/n!$, 점화 $H_{n+1} = 2\xi H_n - 2nH_{n-1}$, $H_n' = 2nH_{n-1}$, 직교 $\int H_mH_ne^{-\xi^2}d\xi = 2^nn!\sqrt\pi\,\delta_{mn}$.

n	$H_n(\xi)$	n	$H_n(\xi)$
0	$1$	4	$16\xi^4 - 48\xi^2 + 12$
1	$2\xi$	5	$32\xi^5 - 160\xi^3 + 120\xi$
2	$4\xi^2 - 2$	6	$64\xi^6 - 480\xi^4 + 720\xi^2 - 120$
3	$8\xi^3 - 12\xi$	$\langle n\|\hat x^2\|n\rangle = (n+\tfrac12)x_0^2$, $\langle n-1\|\hat a\|n\rangle = \sqrt n$

일반화 라게르 다항식(associated Laguerre polynomials) $L_k^\alpha$: $L_0^\alpha = 1$, $L_1^\alpha = 1 + \alpha - x$, $(k+1)L_{k+1}^\alpha = (2k + 1 + \alpha - x)L_k^\alpha - (k + \alpha)L_{k-1}^\alpha$. 수소꼴 지름 함수 $R_{nl} \propto \rho^l e^{-\rho/2}L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$, $\rho = 2Zr/na_0$, $\int R^2r^2dr = 1$ 9장. 아래는 $a_0 = 1$, $x = Zr$.

nl	$R_{nl}(r)/Z^{3/2}$	nl	$R_{nl}(r)/Z^{3/2}$
1s	$2e^{-x}$	3s	$\tfrac{2}{3\sqrt3}\big(1 - \tfrac{2x}{3} + \tfrac{2x^2}{27}\big)e^{-x/3}$
2s	$\tfrac{1}{\sqrt2}\big(1 - \tfrac{x}{2}\big)e^{-x/2}$	3p	$\tfrac{8}{27\sqrt6}\,x\big(1 - \tfrac{x}{6}\big)e^{-x/3}$
2p	$\tfrac{1}{2\sqrt6}\,x\,e^{-x/2}$	3d	$\tfrac{4}{81\sqrt{30}}\,x^2e^{-x/3}$

기댓값($a_0$ 단위): $\langle r\rangle = \tfrac{1}{2Z}[3n^2 - l(l+1)]$, $\langle r^2\rangle = \tfrac{n^2}{2Z^2}[5n^2 + 1 - 3l(l+1)]$, $\langle 1/r\rangle = Z/n^2$, $\langle 1/r^2\rangle = \dfrac{Z^2}{n^3(l+\frac12)}$, $\langle 1/r^3\rangle = \dfrac{Z^3}{n^3l(l+\frac12)(l+1)}$ (미세 구조 12장).

르장드르 다항식(Legendre polynomials) $P_l(x) = \tfrac{1}{2^ll!}\tfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$, $(l+1)P_{l+1} = (2l+1)xP_l - lP_{l-1}$, $\int_{-1}^1P_lP_{l'}dx = \tfrac{2}{2l+1}\delta_{ll'}$. 버금 르장드르 함수(associated Legendre functions)는 콘던–쇼틀리 위상 포함: $P_l^m = (-1)^m(1-x^2)^{m/2}\tfrac{d^m}{dx^m}P_l$. 부분파 전개 $e^{ikz} = \sum_l i^l(2l+1)j_l(kr)P_l(\cos\theta)$ 15장.

l	$P_l(x)$	버금 $P_l^m$ ($s = \sqrt{1-x^2}$)
0	$1$	—
1	$x$	$P_1^1 = -s$
2	$\tfrac12(3x^2 - 1)$	$P_2^1 = -3xs$, $P_2^2 = 3s^2$
3	$\tfrac12(5x^3 - 3x)$	$P_3^1 = -\tfrac32(5x^2-1)s$, $P_3^2 = 15xs^2$, $P_3^3 = -15s^3$
4	$\tfrac18(35x^4 - 30x^2 + 3)$	$\int_{-1}^1 (P_l^m)^2dx = \tfrac{2}{2l+1}\tfrac{(l+m)!}{(l-m)!}$
5	$\tfrac18(63x^5 - 70x^3 + 15x)$	$P_l(1) = 1$, $P_l(-x) = (-1)^lP_l(x)$

$Y_l^m(\theta,\varphi) = \sqrt{\tfrac{2l+1}{4\pi}\tfrac{(l-m)!}{(l+m)!}}\,P_l^m(\cos\theta)e^{im\varphi}$, $Y_l^{-m} = (-1)^mY_l^{m*}$, 패리티 $(-1)^l$, 덧셈 정리 $\sum_m|Y_l^m|^2 = \tfrac{2l+1}{4\pi}$ 8장.

l	$Y_l^m$
0	$Y_0^0 = \tfrac{1}{\sqrt{4\pi}}$
1	$Y_1^0 = \sqrt{\tfrac{3}{4\pi}}\cos\theta$, $Y_1^{\pm1} = \mp\sqrt{\tfrac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}$
2	$Y_2^0 = \sqrt{\tfrac{5}{16\pi}}(3\cos^2\theta - 1)$, $Y_2^{\pm1} = \mp\sqrt{\tfrac{15}{8\pi}}\sin\theta\cos\theta\,e^{\pm i\varphi}$, $Y_2^{\pm2} = \sqrt{\tfrac{15}{32\pi}}\sin^2\theta\,e^{\pm2i\varphi}$
3	$Y_3^0 = \sqrt{\tfrac{7}{16\pi}}(5\cos^3\theta - 3\cos\theta)$, $Y_3^{\pm1} = \mp\sqrt{\tfrac{21}{64\pi}}\sin\theta(5\cos^2\theta - 1)e^{\pm i\varphi}$
	$Y_3^{\pm2} = \sqrt{\tfrac{105}{32\pi}}\sin^2\theta\cos\theta\,e^{\pm2i\varphi}$, $Y_3^{\pm3} = \mp\sqrt{\tfrac{35}{64\pi}}\sin^3\theta\,e^{\pm3i\varphi}$

$u'' + [k^2 - l(l+1)/r^2]u = 0$의 해 $R = j_l(kr), y_l(kr)$. 작은 $x$: $j_l \approx x^l/(2l+1)!!$; 큰 $x$: $j_l \approx \sin(x - l\pi/2)/x$. 무한 구형 우물 $E_{nl} = \hbar^2x_{nl}^2/2ma^2$ 9장, 강체 구 위상 이동 $\tan\delta_l = j_l(ka)/y_l(ka)$ 15장.

l	$j_l(x)$	$y_l(x)$
0	$\dfrac{\sin x}{x}$	$-\dfrac{\cos x}{x}$
1	$\dfrac{\sin x}{x^2} - \dfrac{\cos x}{x}$	$-\dfrac{\cos x}{x^2} - \dfrac{\sin x}{x}$
2	$\big(\tfrac{3}{x^3} - \tfrac1x\big)\sin x - \tfrac{3\cos x}{x^2}$	$-\big(\tfrac{3}{x^3} - \tfrac1x\big)\cos x - \tfrac{3\sin x}{x^2}$

$x_{nl}$: $j_l$의 영점	n = 1	2	3
l = 0 (s)	3.1416	6.2832	9.4248
l = 1 (p)	4.4934	7.7253	10.9041
l = 2 (d)	5.7635	9.0950	12.3229
l = 3 (f)	6.9879	10.4171	13.6980

적분	값	쓰는 곳
$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2+bx}dx$	$\sqrt{\pi/a}\;e^{b^2/4a}$	가우스 파속, 전파 인자 1장
$\int_{-\infty}^\infty x^{2n}e^{-ax^2}dx$	$\dfrac{(2n-1)!!}{(2a)^n}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$ ($n=1$: $\tfrac{\sqrt\pi}{2}a^{-3/2}$)	$\langle x^2\rangle$, 변분 시험 함수 13장
$\int_0^\infty x^ne^{-ax}dx$	$n!/a^{n+1}$	수소 기댓값, 헬륨 변분
$\int_0^\infty xe^{-ax^2}dx$	$1/2a$	2차원 가우스, 지름 적분
$\int_0^L\sin^2(n\pi x/L)\,dx$	$L/2$	무한 우물 정규화 5장
$\int_{-\infty}^\infty \dfrac{\sin^2(xt/2)}{(x/2)^2}dx$	$2\pi t$ ($t\to\infty$: $2\pi t\,\delta(x)$)	페르미 황금률 14장
$\int_0^\infty \dfrac{x^{s-1}}{e^x - 1}dx$	$\Gamma(s)\zeta(s)$; $s = 4$: $\pi^4/15$	흑체 복사, 포논
$\Gamma(\tfrac12)$, $\Gamma(n+1)$	$\sqrt\pi$, $n!$	스털링 $\ln n! \approx n\ln n - n$

TOOL

특수 함수 그래프 도구

커서(흰 원)를 끌기

함수

n — 확률 밀도(제곱) 보기

함수—

커서—

값—

마디 수—

정규화 적분—

정규화 적분은 수치 적분이다: $\int\psi_n^2d\xi$, $\int R^2r^2dr$, $\int (P_l^m)^2dx$, $\int|Y|^2d\Omega$. 해볼 것: ① $\psi_n$의 마디 수가 $n$, $R_{nl}$의 지름 마디 수가 $n - l - 1$인지 확인하라. ② $P_l^m$의 정규화 적분이 $\tfrac{2}{2l+1}\tfrac{(l+m)!}{(l-m)!}$와 같은가? ③ 구 베셀에서 커서를 첫 영점에 놓아 표의 $x_{nl}$을 확인하라.

각운동량 행렬과 클레브시–고르단 계수

각운동량 행렬 ($\hbar = 1$) 8장
사다리	$J_\pm\|j\,m\rangle = \sqrt{j(j+1) - m(m\pm1)}\;\|j\,m\pm1\rangle$, $J_\pm = J_x \pm iJ_y$
스핀 ½	$S = \tfrac12\boldsymbol\sigma$: $\sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $\sigma_y = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$, $\sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$
스핀 1	$S_x = \tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$, $S_y = \tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}$, $S_z = \operatorname{diag}(1,0,-1)$
결합 규칙	$\|j_1 - j_2\| \le J \le j_1 + j_2$, $M = m_1 + m_2$, 차원 $(2j_1+1)(2j_2+1) = \sum_J(2J+1)$ 10장

위그너 $d^j_{m'm}(\beta) = \langle jm'\|e^{-i\beta J_y}\|jm\rangle$
$j = \tfrac12$	$d_{\frac12\frac12} = \cos\tfrac\beta2$, $d_{\frac12,-\frac12} = -\sin\tfrac\beta2$, $d_{-\frac12\frac12} = \sin\tfrac\beta2$
$j = 1$	$d_{11} = \tfrac{1+\cos\beta}{2}$, $d_{10} = -\tfrac{\sin\beta}{\sqrt2}$, $d_{1,-1} = \tfrac{1-\cos\beta}{2}$, $d_{00} = \cos\beta$
대칭	$d^j_{m'm} = (-1)^{m-m'}d^j_{mm'} = d^j_{-m,-m'}$
CG 대칭	$\langle j_1,-m_1;j_2,-m_2\|J,-M\rangle = (-1)^{j_1+j_2-J}\langle j_1m_1;j_2m_2\|JM\rangle$
3j 기호(Wigner 3j symbol)	$\begin{pmatrix}j_1&j_2&J\\m_1&m_2&-M\end{pmatrix} = \dfrac{(-1)^{j_1-j_2+M}}{\sqrt{2J+1}}\langle j_1m_1;j_2m_2\|JM\rangle$

TOOL

클레브시–고르단 표 생성기

j₁

j₂

선택한 |J M⟩—

차원 검산—

∑ c² (정규화)—

각 작은 표는 $M$ 하나의 블록이다: 행은 $(m_1, m_2)$, 열은 $J$, 값은 $\langle j_1m_1;j_2m_2|JM\rangle$(콘던–쇼틀리 위상). $M < 0$ 블록은 위의 CG 대칭으로 얻는다. 열 머리(J)를 누르면 그 상태의 전개식이 아래에 나온다. 해볼 것: ① ½⊗½에서 $J=0$ 열이 단일항 $(|\!\uparrow\downarrow\rangle - |\!\downarrow\uparrow\rangle)/\sqrt2$임을 보라. ② 1⊗½($l=1$, $s=\tfrac12$)에서 $|\tfrac12,\tfrac12\rangle = \sqrt{2/3}\,|1,{-\tfrac12}\rangle - \sqrt{1/3}\,|0,{+\tfrac12}\rangle$ — $p_{1/2}$ 상태 12장. ③ 각 행의 $c^2$ 합도 1인가(완비성)?

장별 핵심 공식

장	핵심 공식
1 파동함수	$\rho = \|\psi\|^2$, $j = \tfrac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\psi^*\partial_x\psi)$, $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$; $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2}$; $\tfrac{d\langle x\rangle}{dt} = \tfrac{\langle p\rangle}{m}$
2 상태 공간	$A_{mn} = \langle m\|A\|n\rangle$, $A = \sum a\|a\rangle\langle a\|$, $\langle x\|p\rangle = e^{ipx/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}$, 유한 차분 $H_{ii} = 2t + V_i$, $H_{i,i\pm1} = -t$, $t = \hbar^2/2m\Delta x^2$
3 측정	$P(a) = \|\langle a\|\psi\rangle\|^2$; $\sigma_A\sigma_B \ge \tfrac12\|\langle[A,B]\rangle\|$; $\sigma_x\sigma_p \ge \hbar/2$; 선폭 $\Gamma = \hbar/\tau$
4 시간 전개	$U = e^{-iHt/\hbar}$; $\tfrac{d\langle A\rangle}{dt} = \tfrac{i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle + \langle\partial_tA\rangle$; 두 준위 $E_\pm = \bar\varepsilon \pm\sqrt{\Delta^2 + t^2}$; 크랭크–니콜슨 $(1 + \tfrac{iH\delta t}{2\hbar})\psi^{n+1} = (1 - \tfrac{iH\delta t}{2\hbar})\psi^n$
5 1차원	델타 우물 $E = -m\alpha^2/2\hbar^2$; 델타 장벽 $T = [1 + m\alpha^2/2\hbar^2E]^{-1}$; 사각 장벽 $T \approx 16\tfrac{E}{V_0}(1 - \tfrac{E}{V_0})e^{-2\kappa a}$, $\kappa = \sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$
6 사다리	$\hat a = (\xi + \partial_\xi)/\sqrt2$, $\hat a\|n\rangle = \sqrt n\|n-1\rangle$, $E_n = \hbar\omega(n + \tfrac12)$; 결맞음 $P_n = e^{-\|\alpha\|^2}\|\alpha\|^{2n}/n!$; 압축 $\Delta\xi = e^{-r}/\sqrt2$
7 대칭	$T(a) = e^{-i\hat pa/\hbar}$; 블로흐 $\psi_k(x + a) = e^{ika}\psi_k(x)$; $[H, Q] = 0$ ⇒ $Q$ 보존; 크라머스 $\Theta^2 = -1$ ⇒ 2중 축퇴
8 각운동량	$[L_i, L_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}L_k$; $L^2 = l(l+1)\hbar^2$, $L_z = m\hbar$; 회전자 $E_J = hcBJ(J+1)$, 선 간격 $2B$
9 중심력	$V_{\text{eff}} = V + \tfrac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}$; $E_n = -13.606Z^2/n^2$ eV; 3D 진동자 $\hbar\omega(N + \tfrac32)$; $E_{nl} = \hbar^2x_{nl}^2/2ma^2$; $Ry^* = 13.6\,m^*/\varepsilon_r^2$ eV
10 스핀	$\omega_L = g\mu_BB/\hbar$; 라비 $P = \tfrac{\Omega^2}{W^2}\sin^2\tfrac{Wt}{2}$, $W = \sqrt{\Omega^2 + \Delta^2}$; $g_J = 1 + \tfrac{J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}$
11 동일 입자	$\psi(1,2) = \pm\psi(2,1)$; 슬레이터 $\psi = \tfrac{1}{\sqrt{N!}}\det[\phi_i(x_j)]$; $E_\pm = I \pm J$ (교환 적분); $\{c_i, c_j^\dagger\} = \delta_{ij}$
12 섭동	$E^{(1)} = V_{nn}$, $E^{(2)} = \sum_{m\ne n}\tfrac{\|V_{mn}\|^2}{E_n - E_m}$; 수소 $n=2$ 1차 슈타르크 $\pm3ea_0\mathcal E$; 약한 장 제만 $g_J\mu_BBm_J$
13 변분·WKB	$E[\phi] \ge E_0$; 헬륨 $\zeta = Z - \tfrac{5}{16}$; $\oint p\,dx = (n + \tfrac12)h$; $T \approx e^{-2\int\kappa\,dx}$; FN $J = AF^2e^{-B/F}$
14 빛–물질	$P(t) = \tfrac{\|V\|^2}{\hbar^2}\tfrac{\sin^2(\Delta t/2)}{(\Delta/2)^2}$; $\Gamma = \tfrac{2\pi}{\hbar}\|M\|^2\rho(E)$; $A_{21} = \tfrac{\omega^3\|d\|^2}{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3}$; $\Delta l = \pm1$, $\Delta m = 0, \pm1$
15 산란	$\tfrac{d\sigma}{d\Omega} = \|f\|^2$; 보른 $f = -\tfrac{m}{2\pi\hbar^2}\int e^{-i\mathbf q\cdot\mathbf r}V\,d^3r$; $\sigma = \tfrac{4\pi}{k^2}\sum(2l+1)\sin^2\delta_l$; 광학 정리 $\sigma = \tfrac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0)$
16 전자기장	$H = (\mathbf p - q\mathbf A)^2/2m + q\phi$; $E_n = \hbar\omega_c(n + \tfrac12)$, $\omega_c = \|q\|B/m$; $\rho_{xy} = h/\nu e^2$; AB 위상 $q\Phi/\hbar$; $\Phi_0 = h/2e$
17 밀도 행렬	$\rho = \sum p_i\|\psi_i\rangle\langle\psi_i\|$, $\rho = \tfrac12(1 + \mathbf r\cdot\boldsymbol\sigma)$; $S = -\operatorname{Tr}\rho\log_2\rho$; $\dot\rho = -\tfrac{i}{\hbar}[H,\rho] + \sum(L\rho L^\dagger - \tfrac12\{L^\dagger L,\rho\})$
18 양자 정보	$H = (X + Z)/\sqrt2$; $\|\Phi^+\rangle = (\|00\rangle + \|11\rangle)/\sqrt2$; CHSH $\|S\| \le 2$ (양자 $2\sqrt2$); 그로버 반복 $\approx \tfrac{\pi}{4}\sqrt N$

도구 사용 확인 문제

이 부록의 표와 계산기만으로 풀 수 있다.

1 meV의 에너지를 파수(cm⁻¹)와 온도(K)로 나타내라.

1 eV = 8065.544 cm⁻¹ = 11 604.52 K.

$10^{-3}\times8065.544 = 8.07\ \text{cm}^{-1}$, $10^{-3}\times11\,604.52 = 11.6\ \text{K}$. 분광학자가 "8 파수"라고 하면 약 1 meV, 12 K이다.

GaAs 전도띠 전자($m^* = 0.067\,m_e$)의 $\hbar^2/2m^*$를 eV·nm² 단위로 구하라.

$0.0380998/0.067 = 0.569\ \text{eV·nm}^2$. 폭 10 nm 무한 우물의 $E_1 = 0.569\,\pi^2/100 = 56.1\ \text{meV}$.

에르미트 다항식 $H_4(\xi)$의 $\xi = 1$에서의 값은?

$H_4 = 16\xi^4 - 48\xi^2 + 12$이므로 $16 - 48 + 12 = -20$. 점화식으로도 $H_2(1) = 2$, $H_3(1) = 2\cdot2 - 4\cdot2 = -4$, $H_4(1) = 2\cdot(-4) - 6\cdot2 = -20$.

행렬 $\begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & 2\end{pmatrix}$의 고유값을 작은 것부터 구하라.

$\operatorname{Tr} = 3$, $\det = 2 - |1-i|^2$.

$E_\pm = \tfrac32 \pm\sqrt{(\tfrac{1-2}{2})^2 + |1-i|^2} = \tfrac32 \pm\sqrt{\tfrac14 + 2} = \tfrac32 \pm \tfrac32$. 따라서 0과 3. 계산기의 마지막 예시로 확인할 수 있다.

$l = 1$과 $s = \tfrac12$를 합성할 때 $\langle 1, 1; \tfrac12, -\tfrac12 | \tfrac12, \tfrac12\rangle$은?

표 생성기 1⊗½의 $M = \tfrac12$ 블록에서 $J = \tfrac12$ 열: $\sqrt{2/3} = 0.816$. 같은 열의 다른 성분은 $\langle 1,0;\tfrac12,\tfrac12|\tfrac12,\tfrac12\rangle = -\sqrt{1/3}$이고 제곱 합이 1이다.

반지름 $a$인 무한 구형 우물에서 가장 낮은 $p$ 준위($n=1, l=1$)는 바닥 $s$ 준위($n=1, l=0$)의 몇 배 에너지인가?

$E_{nl}\propto x_{nl}^2$이므로 $(4.4934/3.1416)^2 = 2.05$.

1 T 자기장 속 자유 전자 스핀의 세차(ESR) 진동수 $f = |g_e|\mu_BB/h$는?

$2.002319\times57.8838\ \mu\text{eV} = 115.90\ \mu\text{eV}$, $f = 115.90\times10^{-6}/4.135668\times10^{-15} = 2.80\times10^{10}\ \text{Hz} = 28.0\ \text{GHz}$.

$\psi(x) = \sqrt\kappa\,e^{-\kappa|x|}$의 $\Delta x\,\Delta k$를 해석적으로 구하라.

$\langle x^2\rangle = 2\kappa\int_0^\infty x^2e^{-2\kappa x}dx$, $\langle k^2\rangle = \int|\psi'|^2dx$.

$\langle x^2\rangle = 2\kappa\cdot\tfrac{2}{(2\kappa)^3} = \tfrac{1}{2\kappa^2}$, $\langle k^2\rangle = \kappa^2\int|\psi|^2 = \kappa^2$. $\langle x\rangle = \langle k\rangle = 0$이므로 $\Delta x\Delta k = \tfrac{1}{\sqrt2\kappa}\cdot\kappa = 0.707$. 뷰어의 "e^−|x|/a"와 일치한다.

수소 2p 상태의 $\langle r\rangle$과 $\langle 1/r\rangle$을 $a_0$ 단위로 구하라.

$\langle r\rangle = \tfrac12[3\cdot4 - 2] = 5\,a_0$, $\langle 1/r\rangle = 1/n^2 = 0.25/a_0$. 비리얼 정리 $\langle V\rangle = 2E_2 = -2\cdot3.40\ \text{eV} = -27.2\times0.25\ \text{eV}$와도 맞다.

2019년 SI 재정의 이후 정확한(정의된) 값이 아닌 것은?

$h$와 $e$가 정의되므로 $h/e^2$도 정확하다. 대신 $\varepsilon_0 = e^2/2\alpha hc$는 측정값인 미세 구조 상수 α에 매여 측정 불확도를 가진다.

조합	값	쓰는 곳
\(hc\)	1239.842 eV·nm	광자 \(\lambda[\text{nm}] = 1239.842/E[\text{eV}]\) 14장
\(\hbar c\)	197.327 eV·nm	= 197.327 MeV·fm, 상대론적 \(pc\)
\(\hbar\)	0.658 212 eV·fs	위상 \(e^{-iEt/\hbar}\): 1 eV면 0.658 fs에 1 rad 4장
\(\hbar^2/2m_e\)	0.038 100 eV·nm²	\(E = \hbar^2k^2/2m^\), 무한 우물 \(E_1 = 0.376/(m^L^2)\) eV 5장
\(e^2/4\pi\varepsilon_0\)	1.439 965 eV·nm	쿨롱 \(U = 1.44/r\) (eV, nm) 9장
\(m_ec^2\)	510.999 keV	상대론 보정, 미세 구조 \(\alpha^2 m_ec^2\) 12장
\(k_BT\)	0.086 173 meV/K	300 K: 25.852 meV, 4.2 K: 0.362 meV 17장
\(\mu_B\)	57.884 μeV/T	제만 \(g\mu_BBm\), 라모어 28.02 GHz/T 10장
\(\hbar\omega_c = \hbar eB/m^*\)	0.115 768 meV/T	\(\times\,(m_e/m^*)\): GaAs(0.067) 1.728 meV/T 16장
\(\ell_B = \sqrt{\hbar/eB}\)	25.656 nm·T^½	\(\ell_B = 25.66/\sqrt{B[\text{T}]}\) nm, \(eB/h = 2.418\times10^{10}\) cm⁻²/T
\(1/\lambda\) ↔ \(E\)	8065.544 cm⁻¹/eV	분광 단위, \(hc/k_B = 1.438\,777\) cm·K 8장

\(\psi(x)\) (정규화)	\(\phi(k)\)	\(\Delta x\,\Delta k\)
\((2\pi\sigma^2)^{-1/4}e^{-x^2/4\sigma^2}\)	\((2\sigma^2/\pi)^{1/4}e^{-\sigma^2k^2}\)	1/2 (최소)
\(\sqrt{\kappa}\,e^{-\kappa\|x\|}\)	\(\sqrt{2/\pi}\,\kappa^{3/2}/(\kappa^2 + k^2)\)	1/√2 = 0.707
\(\tfrac{1}{\sqrt{2b}}\operatorname{sech}(x/b)\)	\(\sqrt{\tfrac{\pi b}{4}}\operatorname{sech}(\pi bk/2)\)	π/6 = 0.524
\(1/\sqrt a\) (\(\|x\| < a/2\))	\(\sqrt{\tfrac{a}{2\pi}}\,\dfrac{\sin(ka/2)}{ka/2}\)	∞ (Δk 발산)
\(e^{ik_0x}/\sqrt{2\pi}\)	\(\delta(k - k_0)\)	—
\(\delta(x - x_0)\)	\(e^{-ikx_0}/\sqrt{2\pi}\)	—

n	\(H_n(\xi)\)	n	\(H_n(\xi)\)
0	\(1\)	4	\(16\xi^4 - 48\xi^2 + 12\)
1	\(2\xi\)	5	\(32\xi^5 - 160\xi^3 + 120\xi\)
2	\(4\xi^2 - 2\)	6	\(64\xi^6 - 480\xi^4 + 720\xi^2 - 120\)
3	\(8\xi^3 - 12\xi\)	\(\langle n\|\hat x^2\|n\rangle = (n+\tfrac12)x_0^2\), \(\langle n-1\|\hat a\|n\rangle = \sqrt n\)

l	\(P_l(x)\)	버금 \(P_l^m\) (\(s = \sqrt{1-x^2}\))
0	\(1\)	—
1	\(x\)	\(P_1^1 = -s\)
2	\(\tfrac12(3x^2 - 1)\)	\(P_2^1 = -3xs\), \(P_2^2 = 3s^2\)
3	\(\tfrac12(5x^3 - 3x)\)	\(P_3^1 = -\tfrac32(5x^2-1)s\), \(P_3^2 = 15xs^2\), \(P_3^3 = -15s^3\)
4	\(\tfrac18(35x^4 - 30x^2 + 3)\)	\(\int_{-1}^1 (P_l^m)^2dx = \tfrac{2}{2l+1}\tfrac{(l+m)!}{(l-m)!}\)
5	\(\tfrac18(63x^5 - 70x^3 + 15x)\)	\(P_l(1) = 1\), \(P_l(-x) = (-1)^lP_l(x)\)

l	\(Y_l^m\)
0	\(Y_0^0 = \tfrac{1}{\sqrt{4\pi}}\)
1	\(Y_1^0 = \sqrt{\tfrac{3}{4\pi}}\cos\theta\), \(Y_1^{\pm1} = \mp\sqrt{\tfrac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}\)
2	\(Y_2^0 = \sqrt{\tfrac{5}{16\pi}}(3\cos^2\theta - 1)\), \(Y_2^{\pm1} = \mp\sqrt{\tfrac{15}{8\pi}}\sin\theta\cos\theta\,e^{\pm i\varphi}\), \(Y_2^{\pm2} = \sqrt{\tfrac{15}{32\pi}}\sin^2\theta\,e^{\pm2i\varphi}\)
3	\(Y_3^0 = \sqrt{\tfrac{7}{16\pi}}(5\cos^3\theta - 3\cos\theta)\), \(Y_3^{\pm1} = \mp\sqrt{\tfrac{21}{64\pi}}\sin\theta(5\cos^2\theta - 1)e^{\pm i\varphi}\)
	\(Y_3^{\pm2} = \sqrt{\tfrac{105}{32\pi}}\sin^2\theta\cos\theta\,e^{\pm2i\varphi}\), \(Y_3^{\pm3} = \mp\sqrt{\tfrac{35}{64\pi}}\sin^3\theta\,e^{\pm3i\varphi}\)

양	원자 단위	SI 값	이 책의 단위
길이	\(a_0 = \hbar/m_ec\alpha\)	5.291 772 × 10⁻¹¹ m	0.052 918 nm
에너지	\(E_h = \alpha^2m_ec^2\)	4.359 745 × 10⁻¹⁸ J	27.211 386 eV
시간	\(\hbar/E_h\)	2.418 884 × 10⁻¹⁷ s	0.024 189 fs
속력	\(\alpha c\)	2.187 691 × 10⁶ m/s	c = 137.036 a.u.
운동량	\(\hbar/a_0\)	1.992 852 × 10⁻²⁴ kg·m/s	k = 18.897 nm⁻¹
전기장	\(E_h/ea_0\)	5.142 207 × 10¹¹ V/m	514.22 V/nm
각운동량	\(\hbar\)	1.054 572 × 10⁻³⁴ J·s	—
쌍극자	\(ea_0\)	8.478 354 × 10⁻³⁰ C·m	2.541 746 D

복소수와 벡터 2장
오일러	\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), \(z = re^{i\theta}\), \(\|z\|^2 = zz^*\)
내적	\(\langle a\|b\rangle = \sum_i a_i^* b_i = \langle b\|a\rangle^*\)
슈바르츠	\(\|\langle a\|b\rangle\|^2 \le \langle a\|a\rangle\langle b\|b\rangle\)
완비성	\(\sum_n \|n\rangle\langle n\| = 1\), \(\int \|x\rangle\langle x\|\,dx = 1\)
위치·운동량	\(\langle x\|p\rangle = e^{ipx/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}\), \(\langle x\|x'\rangle = \delta(x - x')\)
수반	\((AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger\), \(\langle a\|A\|b\rangle^* = \langle b\|A^\dagger\|a\rangle\)
대각합	\(\operatorname{Tr}AB = \operatorname{Tr}BA\), \(\operatorname{Tr}A = \sum E_n\), \(\det A = \prod E_n\)
텐서곱	\((A\otimes B)(C\otimes D) = AC\otimes BD\) 18장

연산자 대수 3장
에르미트	\(A = A^\dagger\) ⇒ 실수 고유값, 직교 고유벡터, \(A = \sum a_n\|n\rangle\langle n\|\)
함수	\(f(A) = \sum_n f(a_n)\,\|n\rangle\langle n\|\); \(U = e^{-iHt/\hbar}\)는 유니터리
교환자	\([A, BC] = [A,B]C + B[A,C]\), \([x, f(p)] = i\hbar f'(p)\)
BCH 공식(Baker–Campbell–Hausdorff)	\(e^{A}Be^{-A} = B + [A,B] + \tfrac{1}{2!}[A,[A,B]] + \cdots\)
글라우버	\([A,B]\)가 \(A,B\)와 교환하면 \(e^{A+B} = e^Ae^Be^{-[A,B]/2}\) 6장
파울리	\(\sigma_i\sigma_j = \delta_{ij} + i\varepsilon_{ijk}\sigma_k\), \((\mathbf a\cdot\boldsymbol\sigma)(\mathbf b\cdot\boldsymbol\sigma) = \mathbf a\cdot\mathbf b + i\boldsymbol\sigma\cdot(\mathbf a\times\mathbf b)\)
회전	\(e^{-i\theta\,\hat n\cdot\boldsymbol\sigma/2} = \cos\tfrac\theta2 - i\,\hat n\cdot\boldsymbol\sigma\sin\tfrac\theta2\) 10장
2×2 고유값	\(\begin{pmatrix}a & b\\ b^* & d\end{pmatrix}\): \(E_\pm = \tfrac{a+d}{2} \pm \sqrt{\big(\tfrac{a-d}{2}\big)^2 + \|b\|^2}\) 4장

성질	\(\psi(x)\) → \(\phi(k)\)
이동	\(\psi(x - a)\) → \(e^{-ika}\phi(k)\)
변조	\(e^{ik_0x}\psi(x)\) → \(\phi(k - k_0)\) (파속의 중심 파수)
척도	\(\sqrt{s}\,\psi(sx)\) → \(\phi(k/s)/\sqrt{s}\) (좁히면 넓어진다)
미분	\(\psi'(x)\) → \(ik\,\phi(k)\); \(\hat p = \hbar k\) 1장
곱·합성곱	\((f*g)(x)\) → \(\sqrt{2\pi}\,F(k)G(k)\)
파스발	\(\int\psi_1^\psi_2\,dx = \int\phi_1^\phi_2\,dk\)
이산(FFT)	격자 \(N\), 간격 \(\Delta x\) → \(\Delta k = 2\pi/N\Delta x\), \(\|k\| \le \pi/\Delta x\) 4장
시간–진동수	지수 감쇠 \(e^{-\Gamma t/2\hbar}\) → 로런츠 선 모양, FWHM \(\Gamma\) 14장

nl	\(R_{nl}(r)/Z^{3/2}\)	nl	\(R_{nl}(r)/Z^{3/2}\)
1s	\(2e^{-x}\)	3s	\(\tfrac{2}{3\sqrt3}\big(1 - \tfrac{2x}{3} + \tfrac{2x^2}{27}\big)e^{-x/3}\)
2s	\(\tfrac{1}{\sqrt2}\big(1 - \tfrac{x}{2}\big)e^{-x/2}\)	3p	\(\tfrac{8}{27\sqrt6}\,x\big(1 - \tfrac{x}{6}\big)e^{-x/3}\)
2p	\(\tfrac{1}{2\sqrt6}\,x\,e^{-x/2}\)	3d	\(\tfrac{4}{81\sqrt{30}}\,x^2e^{-x/3}\)

l	\(j_l(x)\)	\(y_l(x)\)
0	\(\dfrac{\sin x}{x}\)	\(-\dfrac{\cos x}{x}\)
1	\(\dfrac{\sin x}{x^2} - \dfrac{\cos x}{x}\)	\(-\dfrac{\cos x}{x^2} - \dfrac{\sin x}{x}\)
2	\(\big(\tfrac{3}{x^3} - \tfrac1x\big)\sin x - \tfrac{3\cos x}{x^2}\)	\(-\big(\tfrac{3}{x^3} - \tfrac1x\big)\cos x - \tfrac{3\sin x}{x^2}\)

적분	값	쓰는 곳
\(\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2+bx}dx\)	\(\sqrt{\pi/a}\;e^{b^2/4a}\)	가우스 파속, 전파 인자 1장
\(\int_{-\infty}^\infty x^{2n}e^{-ax^2}dx\)	\(\dfrac{(2n-1)!!}{(2a)^n}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\) (\(n=1\): \(\tfrac{\sqrt\pi}{2}a^{-3/2}\))	\(\langle x^2\rangle\), 변분 시험 함수 13장
\(\int_0^\infty x^ne^{-ax}dx\)	\(n!/a^{n+1}\)	수소 기댓값, 헬륨 변분
\(\int_0^\infty xe^{-ax^2}dx\)	\(1/2a\)	2차원 가우스, 지름 적분
\(\int_0^L\sin^2(n\pi x/L)\,dx\)	\(L/2\)	무한 우물 정규화 5장
\(\int_{-\infty}^\infty \dfrac{\sin^2(xt/2)}{(x/2)^2}dx\)	\(2\pi t\) (\(t\to\infty\): \(2\pi t\,\delta(x)\))	페르미 황금률 14장
\(\int_0^\infty \dfrac{x^{s-1}}{e^x - 1}dx\)	\(\Gamma(s)\zeta(s)\); \(s = 4\): \(\pi^4/15\)	흑체 복사, 포논
\(\Gamma(\tfrac12)\), \(\Gamma(n+1)\)	\(\sqrt\pi\), \(n!\)	스털링 \(\ln n! \approx n\ln n - n\)

각운동량 행렬 (\(\hbar = 1\)) 8장
사다리	\(J_\pm\|j\,m\rangle = \sqrt{j(j+1) - m(m\pm1)}\;\|j\,m\pm1\rangle\), \(J_\pm = J_x \pm iJ_y\)
스핀 ½	\(S = \tfrac12\boldsymbol\sigma\): \(\sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), \(\sigma_y = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\), \(\sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)
스핀 1	\(S_x = \tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\), \(S_y = \tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}\), \(S_z = \operatorname{diag}(1,0,-1)\)
결합 규칙	\(\|j_1 - j_2\| \le J \le j_1 + j_2\), \(M = m_1 + m_2\), 차원 \((2j_1+1)(2j_2+1) = \sum_J(2J+1)\) 10장

위그너 \(d^j_{m'm}(\beta) = \langle jm'\|e^{-i\beta J_y}\|jm\rangle\)
\(j = \tfrac12\)	\(d_{\frac12\frac12} = \cos\tfrac\beta2\), \(d_{\frac12,-\frac12} = -\sin\tfrac\beta2\), \(d_{-\frac12\frac12} = \sin\tfrac\beta2\)
\(j = 1\)	\(d_{11} = \tfrac{1+\cos\beta}{2}\), \(d_{10} = -\tfrac{\sin\beta}{\sqrt2}\), \(d_{1,-1} = \tfrac{1-\cos\beta}{2}\), \(d_{00} = \cos\beta\)
대칭	\(d^j_{m'm} = (-1)^{m-m'}d^j_{mm'} = d^j_{-m,-m'}\)
CG 대칭	\(\langle j_1,-m_1;j_2,-m_2\|J,-M\rangle = (-1)^{j_1+j_2-J}\langle j_1m_1;j_2m_2\|JM\rangle\)
3j 기호(Wigner 3j symbol)	\(\begin{pmatrix}j_1&j_2&J\\m_1&m_2&-M\end{pmatrix} = \dfrac{(-1)^{j_1-j_2+M}}{\sqrt{2J+1}}\langle j_1m_1;j_2m_2\|JM\rangle\)

장	핵심 공식
1 파동함수	\(\rho = \|\psi\|^2\), \(j = \tfrac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\psi^*\partial_x\psi)\), \(\partial_t\rho + \partial_xj = 0\); \(\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2}\); \(\tfrac{d\langle x\rangle}{dt} = \tfrac{\langle p\rangle}{m}\)
2 상태 공간	\(A_{mn} = \langle m\|A\|n\rangle\), \(A = \sum a\|a\rangle\langle a\|\), \(\langle x\|p\rangle = e^{ipx/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}\), 유한 차분 \(H_{ii} = 2t + V_i\), \(H_{i,i\pm1} = -t\), \(t = \hbar^2/2m\Delta x^2\)
3 측정	\(P(a) = \|\langle a\|\psi\rangle\|^2\); \(\sigma_A\sigma_B \ge \tfrac12\|\langle[A,B]\rangle\|\); \(\sigma_x\sigma_p \ge \hbar/2\); 선폭 \(\Gamma = \hbar/\tau\)
4 시간 전개	\(U = e^{-iHt/\hbar}\); \(\tfrac{d\langle A\rangle}{dt} = \tfrac{i}{\hbar}\langle[H,A]\rangle + \langle\partial_tA\rangle\); 두 준위 \(E_\pm = \bar\varepsilon \pm\sqrt{\Delta^2 + t^2}\); 크랭크–니콜슨 \((1 + \tfrac{iH\delta t}{2\hbar})\psi^{n+1} = (1 - \tfrac{iH\delta t}{2\hbar})\psi^n\)
5 1차원	델타 우물 \(E = -m\alpha^2/2\hbar^2\); 델타 장벽 \(T = [1 + m\alpha^2/2\hbar^2E]^{-1}\); 사각 장벽 \(T \approx 16\tfrac{E}{V_0}(1 - \tfrac{E}{V_0})e^{-2\kappa a}\), \(\kappa = \sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar\)
6 사다리	\(\hat a = (\xi + \partial_\xi)/\sqrt2\), \(\hat a\|n\rangle = \sqrt n\|n-1\rangle\), \(E_n = \hbar\omega(n + \tfrac12)\); 결맞음 \(P_n = e^{-\|\alpha\|^2}\|\alpha\|^{2n}/n!\); 압축 \(\Delta\xi = e^{-r}/\sqrt2\)
7 대칭	\(T(a) = e^{-i\hat pa/\hbar}\); 블로흐 \(\psi_k(x + a) = e^{ika}\psi_k(x)\); \([H, Q] = 0\) ⇒ \(Q\) 보존; 크라머스 \(\Theta^2 = -1\) ⇒ 2중 축퇴
8 각운동량	\([L_i, L_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}L_k\); \(L^2 = l(l+1)\hbar^2\), \(L_z = m\hbar\); 회전자 \(E_J = hcBJ(J+1)\), 선 간격 \(2B\)
9 중심력	\(V_{\text{eff}} = V + \tfrac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}\); \(E_n = -13.606Z^2/n^2\) eV; 3D 진동자 \(\hbar\omega(N + \tfrac32)\); \(E_{nl} = \hbar^2x_{nl}^2/2ma^2\); \(Ry^* = 13.6\,m^*/\varepsilon_r^2\) eV
10 스핀	\(\omega_L = g\mu_BB/\hbar\); 라비 \(P = \tfrac{\Omega^2}{W^2}\sin^2\tfrac{Wt}{2}\), \(W = \sqrt{\Omega^2 + \Delta^2}\); \(g_J = 1 + \tfrac{J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}\)
11 동일 입자	\(\psi(1,2) = \pm\psi(2,1)\); 슬레이터 \(\psi = \tfrac{1}{\sqrt{N!}}\det[\phi_i(x_j)]\); \(E_\pm = I \pm J\) (교환 적분); \(\{c_i, c_j^\dagger\} = \delta_{ij}\)
12 섭동	\(E^{(1)} = V_{nn}\), \(E^{(2)} = \sum_{m\ne n}\tfrac{\|V_{mn}\|^2}{E_n - E_m}\); 수소 \(n=2\) 1차 슈타르크 \(\pm3ea_0\mathcal E\); 약한 장 제만 \(g_J\mu_BBm_J\)
13 변분·WKB	\(E[\phi] \ge E_0\); 헬륨 \(\zeta = Z - \tfrac{5}{16}\); \(\oint p\,dx = (n + \tfrac12)h\); \(T \approx e^{-2\int\kappa\,dx}\); FN \(J = AF^2e^{-B/F}\)
14 빛–물질	\(P(t) = \tfrac{\|V\|^2}{\hbar^2}\tfrac{\sin^2(\Delta t/2)}{(\Delta/2)^2}\); \(\Gamma = \tfrac{2\pi}{\hbar}\|M\|^2\rho(E)\); \(A_{21} = \tfrac{\omega^3\|d\|^2}{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3}\); \(\Delta l = \pm1\), \(\Delta m = 0, \pm1\)
15 산란	\(\tfrac{d\sigma}{d\Omega} = \|f\|^2\); 보른 \(f = -\tfrac{m}{2\pi\hbar^2}\int e^{-i\mathbf q\cdot\mathbf r}V\,d^3r\); \(\sigma = \tfrac{4\pi}{k^2}\sum(2l+1)\sin^2\delta_l\); 광학 정리 \(\sigma = \tfrac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0)\)
16 전자기장	\(H = (\mathbf p - q\mathbf A)^2/2m + q\phi\); \(E_n = \hbar\omega_c(n + \tfrac12)\), \(\omega_c = \|q\|B/m\); \(\rho_{xy} = h/\nu e^2\); AB 위상 \(q\Phi/\hbar\); \(\Phi_0 = h/2e\)
17 밀도 행렬	\(\rho = \sum p_i\|\psi_i\rangle\langle\psi_i\|\), \(\rho = \tfrac12(1 + \mathbf r\cdot\boldsymbol\sigma)\); \(S = -\operatorname{Tr}\rho\log_2\rho\); \(\dot\rho = -\tfrac{i}{\hbar}[H,\rho] + \sum(L\rho L^\dagger - \tfrac12\{L^\dagger L,\rho\})\)
18 양자 정보	\(H = (X + Z)/\sqrt2\); \(\|\Phi^+\rangle = (\|00\rangle + \|11\rangle)/\sqrt2\); CHSH \(\|S\| \le 2\) (양자 \(2\sqrt2\)); 그로버 반복 \(\approx \tfrac{\pi}{4}\sqrt N\)