Chapter 02

상태 공간과 디랙 표기

01장에서 전자의 상태는 함수 $\psi(x)$였다. 그런데 같은 전자를 운동량 $\phi(p)$로 적어도, 에너지 준위들의 계수 $c_n$으로 적어도, 스핀처럼 숫자 두 개로 적어도 물리는 똑같다. 이 장에서는 이 모든 표기의 공통 뼈대인 복소 벡터 공간을 세운다. 상태는 화살표 $|\psi\rangle$이고, 기저를 고르면 그 화살표가 숫자 목록(성분)이 되며, 물리량은 행렬이 된다. 기저를 돌리면 성분은 모두 바뀌지만 확률의 합, 내적, 고유값은 그대로다. 이 사실 하나가 양자역학의 계산을 선형대수로 바꾸고, TCAD가 슈뢰딩거 방정식을 행렬 고유값 문제로 푸는 근거가 된다.

상태 화살표 끝이나 초록 축 끝을 끌어 보세요

켓 $|\psi\rangle$·브라 $\langle\psi|$·내적 $\langle\phi|\psi\rangle$을 열벡터·켤레 전치·행렬 곱으로 계산하고, 전역 위상과 상대 위상을 구별한다.
직교 정규 기저의 완비성 $\sum_n|n\rangle\langle n| = \hat 1$과 사영 연산자 $\hat P_n = |n\rangle\langle n|$로 성분·확률을 구한다.
연산자의 행렬 요소 $A_{mn} = \langle m|\hat A|n\rangle$를 쓰고, 에르미트·유니터리 연산자의 성질과 기저 변환 $A' = S^\dagger A S$를 다룬다.
에르미트 행렬의 고유값 문제를 풀고 스펙트럼 분해 $\hat A = \sum_a a\,|a\rangle\langle a|$로 연산자의 함수를 계산한다.
위치·운동량 고유 상태의 δ 정규화 $\langle x|x'\rangle = \delta(x-x')$, $\langle x|p\rangle = e^{ipx/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}$를 이해하고 두 표현 사이를 푸리에 변환으로 오간다.
유한 차분으로 해밀토니언을 $N\times N$ 행렬로 만들어 고유값의 격자 수렴($\propto\Delta x^2$)을 확인하고, 텐서곱으로 두 자유도의 상태 공간을 만든다.

상태 벡터와 힐베르트 공간

양자역학의 첫 번째 공준은 이렇다: 계의 상태는 복소 벡터 공간의 벡터 하나로 완전히 기술된다. 디랙은 이 벡터를 켓(ket) $|\psi\rangle$이라는 기호로 썼다. 벡터이므로 더할 수 있고 복소수를 곱할 수 있다 — 이것이 중첩 원리다. $|\psi_1\rangle$과 $|\psi_2\rangle$이 가능한 상태라면 $\alpha|\psi_1\rangle + \beta|\psi_2\rangle$도 가능한 상태다. 계수가 실수가 아니라 복소수라는 점이 고전 확률과 갈라지는 지점이다.

벡터 공간에 내적이 정의되어 길이와 각도를 잴 수 있고, 극한을 취해도 공간 밖으로 나가지 않는(완비) 공간을 힐베르트 공간(Hilbert space)이라 한다. 스핀 하나는 2차원, 원자의 준위 몇 개만 남긴 모형은 유한 차원, 1차원 입자의 파동함수는 제곱 적분 가능한 함수 전체 $L^2$라는 무한 차원 공간이다. 이 장의 계산은 대부분 2–3차원에서 하지만, 모든 정리가 무한 차원에서도 (조금의 주의와 함께) 성립한다.

켓, 브라, 내적

기저를 하나 정하면 켓은 성분의 열벡터가 된다. 켓마다 짝이 되는 브라(bra) $\langle\psi|$가 있는데, 열벡터를 켤레 전치한 행벡터다. 브라와 켓을 붙이면 "브라–켓(bracket)" $\langle\phi|\psi\rangle$, 즉 내적이 된다.

$$|\psi\rangle \doteq \begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots \end{pmatrix},\qquad \langle\psi| \doteq \begin{pmatrix} c_1^* & c_2^* & \cdots \end{pmatrix},\qquad \langle\phi|\psi\rangle = \sum_n d_n^*\,c_n$$

$\doteq$는 "이 기저에서 이렇게 표현된다"는 뜻이다(사쿠라이의 표기). $d_n$은 $|\phi\rangle$의 성분. 함수 공간에서는 합이 적분이 된다: $\langle\phi|\psi\rangle = \int \phi^*(x)\,\psi(x)\,dx$.

디랙 표기의 문법. 브라는 켓의 켤레 전치이고, "브라·켓"(행 × 열)은 숫자, "켓·브라"(열 × 행)는 행렬, 즉 연산자다. 이 두 조합만 기억하면 기호가 알아서 계산을 안내한다.

내적의 성질

① $\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*$ (순서를 바꾸면 켤레) ② 켓에 대해 선형: $\langle\phi|(\alpha|\psi_1\rangle+\beta|\psi_2\rangle) = \alpha\langle\phi|\psi_1\rangle + \beta\langle\phi|\psi_2\rangle$, 브라에 대해서는 켤레 선형 ③ $\langle\psi|\psi\rangle \ge 0$, 0은 영벡터일 때만. 노름 $\|\psi\| = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}$. 물리적 상태는 $\langle\psi|\psi\rangle = 1$로 정규화한다. ④ 코시–슈바르츠 부등식 $|\langle\phi|\psi\rangle|^2 \le \langle\phi|\phi\rangle\langle\psi|\psi\rangle$ — 03장 불확정성 관계의 출발점이다.

원 안의 화살표 끝을 끌어 성분을 바꾼다

MINI LAB3차원 켓의 세 성분을 복소 평면의 화살표(페이저)로 그렸다. 실선은 켓 성분 $c_n$, 점선은 브라 성분 $c_n^*$(실축에 대해 거울상)이다. 아래 막대는 정규화한 뒤의 확률 $|c_n|^2/\langle\psi|\psi\rangle$. 화살표를 돌리기만 하면(위상만 바꾸면) 막대는 변하지 않는다.

$|\alpha\rangle = i|1\rangle - 2|2\rangle - i|3\rangle$, $|\beta\rangle = i|1\rangle + 2|3\rangle$이다($\{|n\rangle\}$은 직교 정규 기저). $\langle\alpha|$, $\langle\alpha|\beta\rangle$, $\langle\beta|\alpha\rangle$를 구하고, 두 켓을 정규화하라.

풀이 보기

전략 브라는 계수를 켤레로 바꾼다. 내적은 같은 기저끼리만 남는다($\langle m|n\rangle = \delta_{mn}$).

⟨α|β⟩ = 1 + 2i, ⟨β|α⟩ = 1 − 2i, 정규화 인자 1/√6, 1/√5

검토 슈바르츠: $|\langle\alpha|\beta\rangle|^2 = 5 \le 6\times5 = 30$. 정규화하면 겹침 확률은 $5/30 = 0.167$이다.

위상: 전역 위상은 물리가 아니고, 상대 위상은 물리다

$|\psi\rangle$와 $e^{i\gamma}|\psi\rangle$은 모든 확률 $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$이 같으므로 같은 물리적 상태다(엄밀히는 상태가 벡터가 아니라 "벡터의 방향", 곧 광선이다). 하지만 중첩의 성분 사이 위상은 다르다. $\frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle + e^{i\varphi}|1\rangle)$는 $\varphi$와 무관하게 $|0\rangle$, $|1\rangle$ 확률이 반반이지만, 다른 기저로 재면 $\varphi$가 드러난다. 01장의 파속에서 위상 기울기가 운동량이었던 것과 같은 이야기다.

상태 $|\psi\rangle = e^{i\gamma}\frac{1}{\sqrt2}\left(|0\rangle + e^{i\varphi}|1\rangle\right)$에서 상대 위상 $\varphi$ = 90, 전역 위상 $\gamma$ = 0이면 $|0\rangle$ 확률은 , $|+\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$와의 겹침 $|\langle +|\psi\rangle|^2$ = , 내적 자체 $\langle +|\psi\rangle$ = .

내적 $\langle\phi|\psi\rangle$은 확률 진폭(probability amplitude)이고, 그 절댓값 제곱이 "$|\psi\rangle$ 상태를 $|\phi\rangle$인지 물었을 때 그렇다고 나올 확률"이다(03장의 측정 공준). 두 성분의 곱이 복소 평면에서 머리–꼬리로 더해지므로, 같은 크기의 성분이라도 위상에 따라 보강되거나 상쇄된다 — 간섭이다.

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle + |1\rangle)$와 $|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle - |1\rangle)$는 둘 다 $|0\rangle$, $|1\rangle$ 확률이 정확히 반반이다. 두 상태의 겹침 확률 $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$는?

$\langle\phi|\psi\rangle = \frac12(1\cdot1 + (-1)\cdot1) = 0$. 두 항이 크기는 같고 위상이 반대라 복소 평면에서 정확히 상쇄된다. 두 상태는 직교한다 — 확률 분포가 같아도 다른 상태일 수 있다. 아래에서 $|\phi\rangle$의 둘째 성분을 돌려 겹침이 0에서 1까지 변하는 것을 보라.

SIMULATOR

내적과 사영: 진폭의 머리–꼬리 덧셈

네 원 안의 화살표를 끈다(정규화는 자동)

미리 만든 쌍

⟨φ|ψ⟩—

|⟨φ|ψ⟩|² (겹침 확률)—

사영 |φ⟩⟨φ|ψ⟩의 길이²—

남은 수직 성분 길이²—

직교 정규 기저, 완비성, 사영 연산자

서로 직교하고 길이가 1인 벡터 집합 $\{|n\rangle\}$, 곧 $\langle m|n\rangle = \delta_{mn}$이면서 모든 벡터를 그 선형 결합으로 쓸 수 있으면 직교 정규 기저(orthonormal basis)라 한다. 그러면 성분은 내적 하나로 뽑힌다.

$$|\psi\rangle = \sum_n c_n|n\rangle,\qquad c_n = \langle n|\psi\rangle,\qquad \langle\psi|\psi\rangle = \sum_n|c_n|^2 = 1$$

둘째 식은 첫 식에 $\langle m|$을 곱하면 바로 나온다. 셋째 식(파스발 등식)은 "모든 결과의 확률을 더하면 1"이라는 뜻이다.

첫 두 식을 합치면 $|\psi\rangle = \sum_n |n\rangle\langle n|\psi\rangle$이다. 이것이 모든 $|\psi\rangle$에 대해 성립하므로 괄호 안의 연산자는 단위 연산자다.

$$\sum_n |n\rangle\langle n| = \hat 1 \qquad(\text{완비성 관계})$$

3차원 공간의 상태 $|\psi\rangle$(실수 성분으로 그렸다). 기저 $|1\rangle, |2\rangle, |3\rangle$은 서로 수직이다.
$|1\rangle$ 방향 그림자: 성분 $\langle1|\psi\rangle$에 방향 $|1\rangle$을 붙인 $|1\rangle\langle1|\psi\rangle$.
$|2\rangle$ 방향 그림자를 머리–꼬리로 잇는다.
$|3\rangle$ 그림자까지 이으면 정확히 $|\psi\rangle$의 끝에 닿는다 — 기저가 "완비"하다는 뜻이다. 하나라도 빠지면(불완전 기저) 끝에 닿지 못한다.

완비성 관계의 그림. 사영 연산자 $|n\rangle\langle n|$들을 모두 더하면 아무것도 바꾸지 않는 연산자 $\hat 1$이 된다.

사영 연산자

$\hat P_n = |n\rangle\langle n|$은 벡터를 $|n\rangle$ 방향으로 "그림자 지게" 하는 사영 연산자(projection operator)다. 그림자의 그림자는 그대로이므로 $\hat P_n^2 = \hat P_n$이고, 고유값은 0(수직 성분)과 1(평행 성분)뿐이다. 여러 기저 벡터가 펼치는 부분 공간에 대한 사영은 합 $\hat P = \sum_{n\in S}|n\rangle\langle n|$이다. 측정에서 결과가 부분 공간 $S$에 들어갈 확률은

$$P(S) = \langle\psi|\hat P|\psi\rangle = \|\hat P|\psi\rangle\|^2 = \sum_{n\in S}|c_n|^2$$

초록 점(사영 방향)·자홍 점(상태)을 끈다 · 빈 곳을 끌면 구가 돈다

MINI LAB2준위 계(큐비트)의 상태는 블로흐 구 위의 점이다($|\psi\rangle = \cos\frac\theta2|0\rangle + e^{i\varphi}\sin\frac\theta2|1\rangle$). 방향 $\hat{\mathbf n}$에 대한 사영 연산자는 $\hat P_{\mathbf n} = \frac12(\hat 1 + \hat{\mathbf n}\cdot\boldsymbol\sigma)$이고, 확률은 $\langle\psi|\hat P_{\mathbf n}|\psi\rangle = \frac12(1+\hat{\mathbf n}\cdot\mathbf r)$이다. 행렬이 바뀌어도 $\operatorname{Tr}\hat P = 1$, $\hat P^2 = \hat P$는 변하지 않는다. 구의 지름 반대쪽 두 점이 힐베르트 공간에서는 서로 직교하는 상태라는 점에 주의하라.

2준위 계에서 자주 쓰는 기저 세 쌍은 $z$ 기저 $\{|0\rangle, |1\rangle\}$, $x$ 기저 $|\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle\pm|1\rangle)$, $y$ 기저 $|\pm i\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle\pm i|1\rangle)$이다. 블로흐 구의 $\pm z, \pm x, \pm y$ 극점이다.

블로흐 각 $\theta$ = 60, $\varphi$ = 45인 상태의 확률: $z$ 기저 $P(0)$ = , $x$ 기저 $P(+)$ = , $y$ 기저 $P(+i)$ = . 각 기저에서 두 확률의 합은 늘 1이지만, 세 기저의 결과를 모두 알아야 상태가 하나로 정해진다().

$|\psi\rangle = \frac15(3|0\rangle + 4i|1\rangle)$를 $x$ 기저와 $y$ 기저로 측정할 때 $+$ 결과가 나올 확률을 각각 구하라.

풀이 보기

전략 $P(+) = |\langle +|\psi\rangle|^2$. 브라의 계수는 켤레: $\langle +i| = \frac{1}{\sqrt2}(\langle0| - i\langle1|)$.

풀이 $\langle +|\psi\rangle = \frac{1}{5\sqrt2}(3 + 4i)$, $|\cdot|^2 = \frac{25}{50} = 0.5$. $\langle +i|\psi\rangle = \frac{1}{5\sqrt2}(3 + (-i)(4i)) = \frac{7}{5\sqrt2}$, $|\cdot|^2 = \frac{49}{50} = 0.98$.

P(+x) = 0.50, P(+i) = 0.98

검토 $z$ 기저 확률 0.36, 0.64만 보면 상대 위상 $i$가 보이지 않는다. $y$ 기저에서는 그 위상 덕분에 거의 확실한 결과가 나온다 — 상태가 $+y$ 극 근처에 있다(블로흐 벡터 $(0, 0.96, -0.28)$).

연산자의 행렬 표현: 에르미트와 유니터리

선형 연산자(linear operator) $\hat A$는 켓을 켓으로 보내며 $\hat A(\alpha|\psi\rangle+\beta|\phi\rangle) = \alpha\hat A|\psi\rangle + \beta\hat A|\phi\rangle$를 만족한다. 기저 $\{|n\rangle\}$를 정하면 연산자는 숫자 표, 곧 행렬이 된다. 완비성을 양쪽에 끼워 넣으면

$$\hat A = \sum_{m,n}|m\rangle\,A_{mn}\,\langle n|,\qquad A_{mn} = \langle m|\hat A|n\rangle$$

$A_{mn}$을 행렬 요소(matrix element)라 한다. $n$번째 열은 $\hat A|n\rangle$의 성분이다. 연산자의 곱은 행렬 곱, $\hat A|\psi\rangle$은 행렬 × 열벡터, $\langle\phi|\hat A|\psi\rangle$은 행 × 행렬 × 열이다.

행렬 요소의 자리. 행은 브라, 열은 켓이 정한다. 에르미트 행렬은 대각선 건너편 원소가 서로 켤레다.

에르미트 수반과 에르미트 연산자

연산자 $\hat A$의 에르미트 수반(Hermitian adjoint) $\hat A^\dagger$는 모든 벡터에 대해 $\langle\phi|\hat A^\dagger|\psi\rangle = \langle\psi|\hat A|\phi\rangle^*$인 연산자다. 행렬로는 켤레 전치 $(A^\dagger)_{mn} = A_{nm}^*$. 규칙: $(\hat A\hat B)^\dagger = \hat B^\dagger\hat A^\dagger$, $(c\hat A)^\dagger = c^*\hat A^\dagger$, $(|\psi\rangle\langle\phi|)^\dagger = |\phi\rangle\langle\psi|$, 그리고 켓 $\hat A|\psi\rangle$에 대응하는 브라는 $\langle\psi|\hat A^\dagger$이다.

$\hat A^\dagger = \hat A$인 연산자가 에르미트 연산자(Hermitian operator)다. 기댓값 $\langle\hat A\rangle = \langle\psi|\hat A|\psi\rangle$이 언제나 실수이므로 측정 가능한 물리량(관측량)은 모두 에르미트 연산자로 나타낸다. 위치 $\hat x$, 운동량 $\hat p$, 해밀토니언 $\hat H$, 스핀 $\hat S_z$가 모두 그렇다.

$\hat p = -i\hbar\,d/dx$는 왜 에르미트인가

부분 적분: $\langle\phi|\hat p\psi\rangle = \int\phi^*(-i\hbar\psi')dx = [-i\hbar\phi^*\psi]_{-\infty}^{\infty} + \int(-i\hbar\phi')^*\psi\,dx = \langle\hat p\phi|\psi\rangle$. 경계 항은 정규화 가능한 함수에서 0이다. $-i$가 없으면(그냥 $d/dx$) 부호가 바뀌어 반에르미트가 된다. 01장과 현대물리학 · 슈뢰딩거 방정식에서 쓴 연산자들이 이 장의 "행렬"과 같은 대상이다.

2준위 해밀토니언 $H = \begin{pmatrix}\varepsilon & \Delta\\ \Delta & -\varepsilon\end{pmatrix}$에서 $\varepsilon$ = 0.30, $\Delta$ = 0.40이고 상태가 $\cos\frac\theta2|0\rangle + \sin\frac\theta2|1\rangle$, $\theta$ = 60이면 $\langle H\rangle = \varepsilon\cos\theta + \Delta\sin\theta$ = . 고유값은 $\pm\sqrt{\varepsilon^2+\Delta^2}$ = 이므로 $\langle H\rangle$은 늘 그 사이에 있다.

관측량 $A = \begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & 0\end{pmatrix}$이 에르미트인지 확인하고, 상태 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|1\rangle + i|2\rangle)$에서 $\langle A\rangle$을 구하라.

풀이 보기

전략 켤레 전치가 자기 자신인지 본다. 기댓값은 행 × 행렬 × 열.

풀이 $A_{21} = 1+i = (1-i)^* = A_{12}^*$, 대각 원소는 실수 → 에르미트. $A|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1 + (1-i)i\\ 1+i\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}2+i\\ 1+i\end{pmatrix}$. $\langle\psi| = \frac{1}{\sqrt2}(1,\ -i)$이므로 $\langle A\rangle = \frac12[(2+i) + (-i)(1+i)] = \frac12[2 + i - i + 1] = \frac32$.

⟨A⟩ = 1.5 (실수)

검토 결과가 실수다(에르미트이므로). 아래 4절에서 $A$의 고유값이 2와 −1임을 구하는데, 1.5는 그 사이에 있다.

유니터리 연산자: 길이와 각도를 지키는 회전

$\hat U^\dagger\hat U = \hat U\hat U^\dagger = \hat 1$인 연산자를 유니터리 연산자(unitary operator)라 한다. $\langle\hat U\phi|\hat U\psi\rangle = \langle\phi|\hat U^\dagger\hat U|\psi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle$이므로 모든 내적(따라서 모든 확률)이 보존된다. 복소 공간의 "회전"이다. 시간 전개 $\hat U(t) = e^{-i\hat Ht/\hbar}$(04장), 스핀 회전 $e^{-i\theta\,\hat{\mathbf n}\cdot\boldsymbol\sigma/2}$(10장), 큐비트 게이트(18장), 기저 변환이 모두 유니터리다. 에르미트 $\hat H$이면 $e^{-i\hat H t}$는 늘 유니터리다.

점(상태 둘, 회전축)을 끈다 · 빈 곳은 구 돌리기

회전각·변형 크기

MINI LAB두 상태 $|\psi\rangle$(자홍)과 $|\phi\rangle$(초록)에 같은 연산자를 걸었다. 유니터리 회전은 블로흐 구를 강체처럼 돌리므로 두 점 사이의 각, 곧 $|\langle\phi|\psi\rangle|^2 = \cos^2(\Theta/2)$가 그대로다. 비유니터리 $A = \operatorname{diag}(1, s)$는 $|1\rangle$ 성분을 줄여 노름을 바꾸고, 다시 정규화해도 두 상태의 겹침이 달라진다(점들이 북극으로 몰린다).

기저 변환

옛 기저 $\{|n\rangle\}$에서 새 기저 $\{|n'\rangle\}$로 가는 행렬은 $S_{mn} = \langle m|n'\rangle$, 곧 새 기저 벡터들을 옛 성분으로 적어 열로 늘어놓은 행렬이다. 두 기저가 모두 직교 정규이므로 $S$는 유니터리다. 그러면

$$c' = S^\dagger c,\qquad A' = S^\dagger A\,S$$

$c'_n = \langle n'|\psi\rangle = \sum_m\langle n'|m\rangle\langle m|\psi\rangle$(완비성 끼워 넣기). 이런 변환을 기저 변환(change of basis) 또는 유니터리 닮음 변환이라 한다. $\operatorname{Tr}A$, $\det A$, 고유값, $\sum|c_n|^2$은 변하지 않는다 — 물리적 예측은 기저에 무관하다.

SIMULATOR

기저 변환 실험실: 같은 상태, 다른 성분

초록 점 = 기저 n̂, 자홍 점 = ψ

새 기저 바로 고르기

새 기저에서 볼 연산자

변환 행렬 S (열 = 새 기저)

새 기저의 연산자 S†AS

옛 성분 (c₀, c₁)—

새 성분 (c₊, c₋)—

Σ|c|² 옛 / 새—

Tr, det 옛 / 새—

왼쪽 블로흐 구의 초록 축이 새 기저 $|\pm\mathbf n\rangle$이다. 오른쪽 위 원 두 개는 옛($z$) 기저 성분, 아래 두 개는 새 기저 성분을 위상 화살표로 보인다. 해볼 것: ① 상태를 $+x$ 극에 놓고 새 기저를 x로 고르면 새 성분은 $(1, 0)$ — 그 기저에서는 "확정된" 상태다. ② 새 기저를 바꿔도 Σ|c|²과 Tr, det는 그대로다. ③ 연산자 H를 고르고 n̂을 끌어 $S^\dagger AS$가 대각 행렬이 되는 방향을 찾아라 — 그 기저가 H의 고유 기저다(다음 절).

$z$ 기저에서 $\sigma_z = \operatorname{diag}(1,-1)$이다. 새 기저 $|\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle\pm|1\rangle)$에서 $\sigma_z$의 행렬을 구하라.

풀이 보기

전략 $S$의 열은 새 기저 벡터: $S = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$(아다마르 행렬). $A' = S^\dagger\sigma_zS$.

풀이 $\sigma_zS = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$, $S^\dagger\sigma_zS = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. 행렬 요소로 확인: $\langle +|\sigma_z|-\rangle = \frac12(1\cdot1 + 1\cdot(-1)(-1)) = 1$.

x 기저에서 σz → [[0, 1], [1, 0]] (σx와 같은 꼴)

검토 대각합 0, 행렬식 −1로 그대로다. "같은 연산자가 기저에 따라 대각일 수도, 비대각일 수도 있다" — 대각인 기저가 고유 기저다.

고유값 문제와 스펙트럼 정리

$\hat A|a\rangle = a|a\rangle$를 만족하는 0이 아닌 켓 $|a\rangle$를 고유 상태(eigenstate), 수 $a$를 고유값이라 한다. 행렬로는 $\det(A - \lambda\,1) = 0$의 근이다. 에르미트 연산자의 고유값 문제에는 세 가지 결정적 성질이 있다.

에르미트 연산자의 정리

$\hat A = \sum_a a\,|a\rangle\langle a| = \sum_a a\,\hat P_a$

이것이 스펙트럼 정리(spectral theorem)다. 행렬로는 $A = U\,\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots)\,U^\dagger$, $U$의 열이 고유벡터다.

2×2 에르미트 행렬은 늘 $H = h_0\,1 + \mathbf h\cdot\boldsymbol\sigma$로 쓸 수 있다: $h_0 = (H_{00}+H_{11})/2$, $h_z = (H_{00}-H_{11})/2$, $H_{01} = h_x - ih_y$. 파울리 행렬의 고유값이 $\pm1$이므로 고유값은 $E_\pm = h_0 \pm |\mathbf h|$이고, 고유 상태는 블로흐 구에서 $\pm\hat{\mathbf h}$ 방향의 두 점이다. 행렬이 에르미트가 아니면 이 구조가 깨진다: 고유값이 복소수가 될 수 있고 고유 상태가 직교하지 않는다. 열린 계(흡수 경계, NEGF의 자기 에너지)를 다룰 때 일부러 쓰는 비에르미트 해밀토니언의 복소 고유값 $E - i\Gamma/2$는 수명 $\hbar/\Gamma$를 뜻한다.

2×2 행렬 $\begin{pmatrix}0 & 1\\ c & 0\end{pmatrix}$에서 $c = 1$(에르미트)이면 고유값은 $\pm1$이다. $c = -1$로 바꾸면(비에르미트) 고유값은?

$\lambda^2 = c$이므로 $c = -1$이면 $\lambda = \pm i$. 실수 고유값은 에르미트성(또는 그에 준하는 대칭)이 보장하는 성질이다. 아래 실험실에서 "비에르미트"를 고르고 왼쪽 아래 원소를 $b^*$에서 떼어 내 보라 — 고유값이 실축을 벗어난다.

SIMULATOR

2×2 고유값 실험실과 과녁 맞히기

막대·원 안의 점을 끈다

행렬 종류

현재 행렬

고유값 λ₁, λ₂—

고유벡터 겹침 |⟨v₁|v₂⟩|—

h = (hx, hy, hz), |h|—

과녁: 바닥 고유벡터 충실도—

가운데는 고유값의 복소 평면(가로 Re λ, 세로 Im λ), 오른쪽은 고유벡터의 블로흐 구(자홍 = 작은 고유값 λ₁, 초록 = λ₂)다. 과녁 게임: "새 목표"를 누르면 블로흐 구에 점선 과녁 방향이 나타난다. 행렬 원소를 바꿔 바닥 상태(작은 고유값)의 고유벡터가 과녁과 충실도 0.99 이상으로 겹치게 하라. 힌트: 바닥 상태는 $-\hat{\mathbf h}$ 방향이다. 해볼 것: ① 비대각 원소를 0으로 하면 고유벡터가 극($|0\rangle$, $|1\rangle$)에 붙는다. ② 비대각 원소의 위상을 돌리면 고유값은 그대로, 고유벡터만 적도 둘레로 돈다. ③ 비에르미트에서 $H_{01}H_{10}$이 음수가 되게 하면 고유값이 켤레 쌍이 되고, 두 고유벡터가 같은 점으로 모이는 "예외점"을 찾을 수 있다.

대상: $A = \begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & 0\end{pmatrix}$ (위 예제의 관측량)

특성 방정식: $\det(A-\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda-2)(\lambda+1) = 0\ \Rightarrow\ \lambda = 2,\ -1$

고유벡터: $|2\rangle = \frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}2\\ 1+i\end{pmatrix}$, $|{-1}\rangle = \frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}1-i\\ -2\end{pmatrix}$, $\langle 2|{-1}\rangle = \frac16[2(1-i) + (1-i)(-2)] = 0$

사영: $\hat P_2 = \frac16\begin{pmatrix}4 & 2-2i\\ 2+2i & 2\end{pmatrix}$, $\hat P_{-1} = \frac16\begin{pmatrix}2 & -2+2i\\ -2-2i & 4\end{pmatrix}$, $\hat P_2 + \hat P_{-1} = 1$

재조립: $2\hat P_2 - \hat P_{-1} = \begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & 0\end{pmatrix} = A$ ✓ 그리고 아무 함수나: $f(A) = f(2)\hat P_2 + f(-1)\hat P_{-1}$

에르미트 행렬 하나를 고른다.
특성 다항식의 근이 고유값이다. 에르미트이므로 실수.
각 고유값의 고유벡터를 구해 정규화한다. 고유값이 다르므로 저절로 직교한다.
고유벡터마다 사영 연산자 $|a\rangle\langle a|$를 만든다. 합이 단위 행렬 — 완비성.
고유값을 무게로 사영들을 더하면 원래 행렬이 된다. 같은 방법으로 $e^{-iAt}$, $\sqrt A$, $A^{-1}$을 만든다.

스펙트럼 분해를 한 단계씩. 연산자의 함수는 "고유 기저로 가서 대각 원소에 함수를 적용하고 돌아온다"는 한 문장으로 정의된다.

위 $A$를 상태 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|1\rangle + i|2\rangle)$에서 측정한다. 결과 2와 −1의 확률을 구하고 $\langle A\rangle$이 앞 예제의 1.5와 같은지 확인하라.

풀이 보기

전략 $P(a) = |\langle a|\psi\rangle|^2$, $\langle A\rangle = \sum_a a\,P(a)$.

풀이 $\langle 2|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{12}}[2 + (1-i)i] = \frac{3+i}{\sqrt{12}}$, $P(2) = \frac{10}{12} = 0.833$. $\langle -1|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{12}}[(1+i) + (-2)(i)] = \frac{1-i}{\sqrt{12}}$, $P(-1) = \frac{2}{12} = 0.167$. $\langle A\rangle = 2(0.833) - 1(0.167) = 1.5$.

P(2) = 5/6 ≈ 0.833, P(−1) = 1/6 ≈ 0.167, ⟨A⟩ = 1.5

검토 확률의 합이 1이고 기댓값이 앞 예제와 일치한다. 기댓값은 "가능한 결과의 확률 가중 평균"이다.

결합된 두 준위: 회피 교차

스펙트럼 정리가 가장 자주 쓰이는 곳은 두 준위가 결합된 문제다. $H = \begin{pmatrix}\varepsilon/2 & \Delta\\ \Delta & -\varepsilon/2\end{pmatrix}$의 고유값은 $E_\pm = \pm\sqrt{\varepsilon^2/4 + \Delta^2}$이다. 결합 $\Delta$가 없으면 $\varepsilon = 0$에서 두 준위가 교차하지만, 결합이 있으면 간격 $2\Delta$를 두고 비켜 간다. 이 회피 교차(avoided crossing)는 이중 양자 우물의 결합, 띠 구조의 띠 간격(07장), 섭동 이론(12장)에 모두 나온다.

그래프를 눌러 끌면 ε가 바뀐다

결합 Δ

위치·운동량 표현과 연속 기저

위치 연산자 $\hat x$의 고유값은 연속이다. 고유 켓 $|x\rangle$($\hat x|x\rangle = x|x\rangle$)들을 기저로 쓰면 합이 적분이 되고, 크로네커 델타가 디랙 델타가 된다.

$$\langle x|x'\rangle = \delta(x-x'),\qquad \int|x\rangle\langle x|\,dx = \hat 1,\qquad \psi(x) = \langle x|\psi\rangle$$

01장의 파동함수 $\psi(x)$는 다름 아닌 "위치 기저에서의 성분"이다. 내적은 $\langle\phi|\psi\rangle = \int\langle\phi|x\rangle\langle x|\psi\rangle dx = \int\phi^*\psi\,dx$. 이렇게 연속 고유값의 고유 상태를 델타 함수로 맞추는 것을 δ 정규화(delta-function normalization)라 한다.

$|x\rangle$ 자체는 $\langle x|x\rangle = \delta(0) = \infty$이므로 힐베르트 공간의 정규화된 상태가 아니다. 그래도 기저로는 완벽하게 작동한다. 이산 격자에서 극한을 취하면 이유가 보인다: 간격 $\Delta x$의 격자점 켓 $|j\rangle$은 $\langle i|j\rangle = \delta_{ij}$이고, 성분은 $c_j = \sqrt{\Delta x}\,\psi(x_j)$이다. $|x_j\rangle = |j\rangle/\sqrt{\Delta x}$로 두면 $\langle x_i|x_j\rangle = \delta_{ij}/\Delta x \to \delta(x-x')$가 된다.

격자점 수 N

MINI LAB매끄러운 $\psi(x)$(선)를 $N$개 격자점의 이산 성분 $c_j = \sqrt{\Delta x}\,\psi(x_j)$(막대)로 바꿨다. $N$을 늘리면 각 막대의 확률 $|c_j|^2$은 0으로 가지만 합 $\sum|c_j|^2$은 1을 지킨다. 막대 높이를 $\sqrt{\Delta x}$로 나누면 곡선 $\psi(x)$에 닿는다 — 연속 기저의 성분은 "확률"이 아니라 "확률 밀도의 진폭"이다.

운동량 고유 상태와 푸리에 변환

운동량 연산자의 위치 표현 $\langle x|\hat p|\psi\rangle = -i\hbar\,\partial_x\psi(x)$에서 고유 상태를 구하면 평면파다. δ 정규화 $\langle p|p'\rangle = \delta(p-p')$에 맞추면

$$\langle x|p\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\,e^{ipx/\hbar},\qquad \phi(p) = \langle p|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int e^{-ipx/\hbar}\psi(x)\,dx$$

두 연속 기저의 기저 벡터를 위치 표현으로 그렸다. $|x_0\rangle$은 한 점에 몰린 스파이크, $|p\rangle$은 어디서나 크기가 같고 위상만 도는 평면파다. 둘 다 제곱 적분이 발산해 그 자체로는 물리적 상태가 아니고, 실제 전자는 이들을 겹친 파속이다.

가우스 파속의 위치 폭 $\Delta x$를 절반으로 줄이면 운동량 표현의 폭 $\Delta k$는?

가우스 함수의 푸리에 변환은 폭이 역수인 가우스 함수이고 $\Delta x\,\Delta k = 1/2$(최소 불확정)이다. 위치 기저에서 "좁은" 상태는 운동량 기저에서 "넓다". 아래에서 폭 손잡이를 끌어 $\Delta x\Delta k$가 0.5에 붙어 있는지 보라. 두 파속을 겹치면 0.5보다 커진다.

SIMULATOR

위치 표현 ⟷ 운동량 표현

위: 파속 중심·폭 점 · 아래: 봉우리 점(k₀)을 끈다

상태

두 파속 간격 d 두 파속 상대 위상 Re·Im 선으로 그리기

⟨x⟩, Δx—

⟨k⟩, Δk (p = ħk)—

Δx·Δk (≥ 1/2)—

∫|ψ|²dx, ∫|φ|²dk—

위는 $\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$, 아래는 $\phi(k) = \langle k|\psi\rangle$(FFT, 512점)이다. 채운 높이는 $|\cdot|^2$, 색은 위상(왼쪽 고리 범례)이다. 해볼 것: ① 아래 봉우리를 오른쪽으로 끌면 위의 색 띠(위상 회전)가 빨라진다 — $k_0$는 위치 표현에서 위상 기울기다. ② 위 파속을 옮기면 $|\phi(k)|^2$는 그대로이고 $\phi$의 색만 $k$에 따라 돌기 시작한다($e^{-ikx_0}$). ③ "두 파속 중첩"에서 $\phi(k)$에 간격 $2\pi/d$의 줄무늬가 생기고, 상대 위상을 바꾸면 줄무늬가 밀린다 — 이중 슬릿과 같은 수학이다.

델타 우물의 속박 상태 $\psi(x) = \sqrt\kappa\,e^{-\kappa|x|}$의 운동량 표현 $\phi(p)$를 구하고, $|p| \lt \hbar\kappa$일 확률을 구하라.

풀이 보기

전략 $\phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int e^{-ipx/\hbar}\psi\,dx$를 $x>0$, $x\lt 0$으로 나눠 적분한다. $p_0 = \hbar\kappa$로 둔다.

풀이 $\int_0^\infty e^{-(\kappa+ip/\hbar)x}dx + \int_{-\infty}^0 e^{(\kappa-ip/\hbar)x}dx = \frac{1}{\kappa+ip/\hbar} + \frac{1}{\kappa-ip/\hbar} = \frac{2\kappa}{\kappa^2+p^2/\hbar^2}$. 따라서 $\phi(p) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{p_0^{3/2}}{p^2+p_0^2}$ (로런츠 꼴의 제곱근). $P(|p|\lt p_0) = \frac{2}{\pi}\int_{-1}^{1}\frac{du}{(1+u^2)^2} = \frac2\pi\left[\frac{u}{2(1+u^2)} + \frac{\tan^{-1}u}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac12 + \frac1\pi$.

φ(p) = √(2/π) p₀^{3/2}/(p² + p₀²), P(|p| < ħκ) = 1/2 + 1/π ≈ 0.818

검토 $\int|\phi|^2dp = \frac2\pi p_0^3\cdot\frac{\pi}{2p_0^3} = 1$ — 기저 변환이 노름을 지킨다. $\psi$의 뾰족한 꼭짓점(미분 불연속) 때문에 $\phi$의 꼬리가 $p^{-2}$로 느리게 줄고, 그래서 $\langle p^4\rangle$은 발산한다.

유한 차분 해밀토니언: 슈뢰딩거 방정식을 행렬로

위치 기저는 연속이라 무한 차원이지만, 컴퓨터는 유한한 행렬만 다룬다. 가장 간단한 길은 위치를 간격 $\Delta x$의 격자점 $x_j$로 자르는 것이다. 성분 $\psi_j = \psi(x_j)$들이 $N$차원 벡터가 되고, 2차 도함수를 중심 차분 $\psi''_j \approx (\psi_{j+1} - 2\psi_j + \psi_{j-1})/\Delta x^2$로 바꾸면 해밀토니언이 삼중 대각 행렬이 된다. 이것이 유한 차분법(finite-difference method)이다.

$$H_{jj} = 2t + V_j,\qquad H_{j,j\pm1} = -t,\qquad t = \frac{\hbar^2}{2m^*\Delta x^2}$$

양 끝 바깥은 $\psi = 0$(무한 벽)으로 둔다. $H$는 실대칭(에르미트) 행렬이므로 4절의 정리가 모두 성립한다: 고유값(에너지)은 실수, 고유벡터(격자 위의 파동함수)는 서로 직교, $N$개의 고유벡터가 완비 기저. 이 책의 단위에서 $\hbar^2/2m_\mathrm{e} = 0.0381\ \mathrm{eV\cdot nm^2}$이므로 $\Delta x = 0.1$ nm이면 자유 전자의 $t = 3.81$ eV다.

무한 우물 안을 격자점 7개로 자른다. 벽에서 $\psi = 0$이므로 미지수는 7개.
각 점의 2차 도함수를 이웃 두 점과 자신의 값으로 근사한다(가중치 1, −2, 1).
운동 에너지 $-(\hbar^2/2m)\psi''$와 퍼텐셜을 모으면 대각에 $2t + V_j$, 바로 옆에 $-t$가 있는 7×7 행렬.
행렬의 고유값이 에너지 준위다. 낮은 준위는 정확하고, 격자 간격에 비해 파장이 짧은 높은 준위일수록 오차가 크다.

미분 방정식이 행렬 고유값 문제가 되는 과정. TCAD의 슈뢰딩거 풀이기, 강결합 계산, 대부분의 수치 양자역학이 이 구조를 쓴다.

무한 우물(폭 $L$, 내부 격자점 $N$개, $\Delta x = L/(N+1)$)에서는 행렬의 고유값을 정확히 쓸 수 있다: 고유벡터가 $\psi_j = \sin(n\pi j/(N+1))$이므로

$$E_n^{\mathrm{FD}} = 2t\left[1-\cos\frac{n\pi}{N+1}\right] \approx E_n\left[1 - \frac{1}{12}\left(\frac{n\pi}{N+1}\right)^2\right]$$

상대 오차가 $(n\pi\Delta x/L)^2/12$, 곧 $\Delta x^2$에 비례한다(2차 정확도). 격자를 두 배 촘촘히 하면 오차는 1/4이 된다. 항상 정확한 값보다 낮게 나온다.

폭 10.0, 유효 질량 0.067인 무한 우물을 내부 격자점 9개로 자르면 $\Delta x$ = , $t$ = , $E_1^{\mathrm{FD}}$ = (정확한 값 , 오차 ).

유한 우물을 격자점 $N$개로 풀었더니 바닥 에너지의 상대 오차가 4%였다. 격자점을 두 배(같은 영역, 간격 절반)로 늘리면 오차는 대략?

중심 차분의 오차는 $\Delta x^2$에 비례하므로 간격이 반이 되면 오차는 1/4이다. 아래 수렴 그래프(로그–로그)에서 오차가 기울기 −2의 직선을 따라 내려가는 것을 확인하라. 격자 수렴 검사는 TCAD 결과를 믿기 전에 꼭 해야 하는 일이다.

SIMULATOR

유한 차분 해밀토니언과 격자 수렴

우물 오른쪽 벽(폭)·위 모서리(깊이)를 끈다

퍼텐셜 (GaAs, m* = 0.067mₑ)

내부 격자점 N 고유벡터(파동함수) 그리기

Δx, t = ħ²/2m*Δx²—

E₁ 행렬 / 정확—

E₂ 행렬 / 정확—

E₁ 상대 오차—

왼쪽 위: 퍼텐셜(초록 채움), 격자점(아래 눈금), 행렬 고유값(자홍 실선)과 정확한 준위(초록 점선), 고유벡터 $\psi_j$(점). 오른쪽 위: 해밀토니언 행렬 $H$의 열지도(빨강 +, 파랑 −) — 대각선 띠가 $2t+V_j$, 그 옆이 $-t$다. 아래: 바닥 에너지 상대 오차 대 $N$(로그–로그, 점선 = 기울기 −2). 해볼 것: ① $N$을 4에서 120까지 올리며 오차가 $N^{-2}$로 주는 것을 보라. ② 유한 우물의 벽을 넓히면 같은 $N$에서 오차가 커진다 — 격자 간격이 커지기 때문. ③ 조화 퍼텐셜의 준위 간격이 균일($\hbar\omega$)한지 확인하라. ④ $N$이 작을 때는 열지도의 대각선에서 우물 모양이 보이지만, $N$이 커지면 $2t$가 $V_j$를 압도한다 — 촘촘한 격자에서 행렬 원소가 커지는 것은 반복 해법의 수렴을 어렵게 하는 이유이기도 하다.

폭 1.0 nm의 무한 우물 속 자유 전자를 내부 격자점 3개로 근사한다. 해밀토니언 행렬을 쓰고 고유값을 구해 정확한 $E_n = 0.0381(n\pi/L)^2$ eV와 비교하라.

풀이 보기

전략 $\Delta x = L/4 = 0.25$ nm, $t = 0.0381/0.25^2$ eV. $V = 0$이므로 $H = t\,\mathrm{tridiag}(-1, 2, -1)$.

풀이 $t = 0.6096$ eV, $H = t\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$. $\det(H-E) = 0$에서 $E/t = 2-\sqrt2,\ 2,\ 2+\sqrt2$ → $E = 0.357,\ 1.219,\ 2.081$ eV. 정확한 값: 0.376, 1.504, 3.384 eV.

E^FD = 0.357, 1.22, 2.08 eV (오차 −5.0%, −19%, −38%)

검토 고유벡터는 $(1, \sqrt2, 1)/2$, $(1, 0, -1)/\sqrt2$, $(1, -\sqrt2, 1)/2$로 서로 직교하고 각각 노드가 0, 1, 2개다. 위 공식 $2t[1-\cos(n\pi/4)]$과 일치한다. 격자점 3개로는 높은 준위를 표현할 수 없다.

강결합 해밀토니언과 NEGF는 같은 행렬이다

유한 차분 행렬을 다시 읽으면 "격자점마다 에너지 $2t+V_j$인 자리가 있고 이웃 자리로 $-t$의 진폭으로 건너뛰는" 원자 사슬의 강결합 모형(tight-binding model)이다. 무한 사슬의 고유값 $E(k) = 2t(1-\cos k\Delta x)$는 $k$가 작을 때 $\hbar^2k^2/2m^*$으로, 띠 폭은 $4t$다. 실제 실리콘의 원자 단위 강결합(sp³s* 등)은 자리마다 오비탈 여러 개를 둔 같은 구조의 큰 행렬이고, 나노선·나노시트 FET의 양자 수송 계산(NEGF)은 이 행렬에 접점의 효과를 비에르미트 자기 에너지로 붙여 $[E - H - \Sigma]^{-1}$을 구한다. → DeviceBook · 결정과 에너지 밴드, TCADBook · 드리프트-확산을 넘어서

삼각 우물: MOS 반전층의 양자 구속

MOS 반전층에서 전자는 산화막 벽($z = 0$)과 수직 전기장 $F$가 만드는 삼각 퍼텐셜 $V = qFz$에 갇힌다. 정확한 해는 에어리 함수이고 준위는 $E_n = a_n(\hbar^2q^2F^2/2m_z)^{1/3}$($a_n = 2.338, 4.088, 5.521,\dots$), 바닥 상태의 평균 거리 $\langle z\rangle = 2E_0/3qF$이다. 유한 차분 행렬로 풀면 같은 값이 나온다. Si (100) 면에서는 수직 질량이 무거운 $\Delta_2$ 골짜기($m_z = 0.916m_\mathrm{e}$)가 가장 낮은 부띠를 만든다.

수직 전기장 F

MINI LAB계면($z = 0$)은 무한 벽, 그 오른쪽은 기울기 $qF$의 삼각 퍼텐셜이다. 400×400 유한 차분 행렬의 낮은 고유값 세 개와 $|\psi|^2$를 그렸다. 고전 전하는 계면에 몰리지만 양자 전하 중심은 계면에서 1–2 nm 떨어져 있다. 이 거리만큼 산화막이 두꺼워진 효과(CET 증가)가 TCAD 양자 보정의 핵심이다.

슈뢰딩거–포아송: 고유값 문제와 포아송 방정식의 자기 일관 고리

TCAD의 1D 슈뢰딩거–포아송 풀이는 ① 현재 정전 퍼텐셜 $V(z)$로 유한 차분 해밀토니언을 만들고 ② 고유값 $E_i$와 고유벡터 $\psi_i$를 구해 ③ 전자 밀도 $n(z) = \sum_i N_i|\psi_i(z)|^2$($N_i$는 부띠의 페르미–디랙 점유)를 계산하고 ④ 포아송 방정식으로 새 $V(z)$를 얻어 ①로 돌아가는 고리다. 이 장의 행렬이 그대로 ①–②다. 격자 간격은 산화막 근처에서 0.1 nm 이하가 필요하고(파동함수가 1 nm 안에서 변한다), 2D·3D 소자에는 계산이 비싸 밀도 기울기 같은 근사 모델을 쓴다. → TCADBook · MOS 커패시터와 양자 보정, TCADBook · 격자와 이산화

텐서곱: 자유도가 둘 이상일 때

전자는 위치와 스핀을 함께 가진다. 큐비트 두 개, 전자와 정공, 나노시트의 가둠 방향과 수송 방향도 그렇다. 부분계 A의 상태 공간 $\mathcal H_A$(차원 $d_A$)와 B의 $\mathcal H_B$(차원 $d_B$)를 합친 공간은 텐서곱(tensor product) $\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$이고, 차원은 곱 $d_Ad_B$이다. 기저는 $|i\rangle\otimes|j\rangle = |i\rangle|j\rangle = |ij\rangle$이고, 내적은 각 부분의 내적의 곱이다: $\langle i'j'|ij\rangle = \delta_{i'i}\delta_{j'j}$.

$$|\Psi\rangle = \sum_{i,j}c_{ij}\,|i\rangle\otimes|j\rangle,\qquad (\hat A\otimes\hat B)\,|a\rangle\otimes|b\rangle = \hat A|a\rangle\otimes\hat B|b\rangle$$

행렬로는 크로네커 곱: $A\otimes B$는 $A$의 각 원소 $A_{ij}$를 블록 $A_{ij}B$로 바꾼 $d_Ad_B\times d_Ad_B$ 행렬이다. 순서는 이 책의 관례대로 왼쪽 인자(A, $q_0$)가 큰 자리다: $|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle$.

두 큐비트의 상태 공간. 곱 상태는 부분계마다 상태를 하나씩 정하는 $2+2$개의 매개변수로 충분하지만, 전체 공간은 $2\times2$ 성분을 가진다. 그 "여분"이 얽힘이다.

부분계마다 상태를 하나씩 정해 $|a\rangle\otimes|b\rangle$로 쓸 수 있는 상태를 곱 상태(product state)라 하고, 그렇게 쓸 수 없는 상태를 얽힌 상태라 한다. 두 큐비트에서는 계수 행렬 $c_{ij}$의 행렬식이 판정 기준이다: 곱 상태면 $c_{ij} = a_ib_j$이므로 $c_{00}c_{11} - c_{01}c_{10} = 0$.

MINI LAB4×4 행렬 $A\otimes B$의 원소를 칸의 색(위상)과 크기(절댓값)로 그렸다. 굵은 선으로 나뉜 2×2 블록 하나하나가 $A_{ij}B$다. $A = I$이면 대각 블록에 $B$가 두 번, $B = I$이면 $A$의 원소가 2×2 단위 행렬로 부풀려진다. 이런 곱 연산자는 곱 상태를 곱 상태로 보낸다 — 얽힘을 만들려면 CNOT처럼 곱으로 쓸 수 없는 연산자가 필요하다(18장).

두 큐비트 상태 (a) $\frac12(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle)$, (b) $\frac{1}{\sqrt2}(|00\rangle + |11\rangle)$이 곱 상태인지 판정하고, 곱 상태면 인수로 나눠라.

풀이 보기

전략 $c_{00}c_{11} - c_{01}c_{10} = 0$이면 곱 상태. $(a_0|0\rangle + a_1|1\rangle)(b_0|0\rangle + b_1|1\rangle)$를 전개해 계수를 맞춘다.

풀이 (a) $\frac14 - \frac14 = 0$ → 곱 상태. $a_0 = a_1 = b_0 = b_1 = 1/\sqrt2$이므로 $|+\rangle\otimes|+\rangle$. (b) $\frac12 - 0 \ne 0$ → 얽힘. $a_0b_1 = 0$이면 $a_0b_0$나 $a_1b_1$ 중 하나가 0이어야 해서 모순이다.

(a) |+⟩|+⟩ (곱 상태, C = 0), (b) 얽힌 벨 상태 (C = 1)

검토 (b)에서 A만 보면 $|0\rangle$, $|1\rangle$이 반반인 완전 혼합 상태다(17장 밀도 행렬). 부분계 각각에 "자기 상태 벡터"가 없다는 것이 얽힘의 뜻이다.

두 큐비트가 벨 상태 $\frac{1}{\sqrt2}(|00\rangle + |11\rangle)$에 있다. 큐비트 A 하나만의 블로흐 벡터(부분 대각합으로 얻는 상태)의 길이는?

A의 축약 밀도 행렬은 $\frac12\hat 1$이고 블로흐 벡터는 0이다. 얽힘이 클수록 부분계의 상태가 "덜 순수"해진다. 아래에서 얽힘 손잡이를 0°에서 45°로 돌리며 두 구 안의 실선 화살표가 줄어드는 것을 보라.

SIMULATOR

두 큐비트: 곱 상태에서 얽힘까지

구 위의 점을 끈다

얽힘 각 s

계수 행렬 c_ij

c₀₀c₁₁ − c₀₁c₁₀—

공존도 C—

|r_A| = |r_B|—

판정—

상태는 $|\Psi\rangle = \cos s\,|a\rangle|b\rangle + \sin s\,|a_\perp\rangle|b_\perp\rangle$(슈미트 꼴)이다. $|a\rangle$, $|b\rangle$은 각 구의 점선 화살표(끌 수 있음), 실선 화살표는 부분 대각합으로 얻은 각 큐비트의 실제 블로흐 벡터다. 아래 네 원은 $c_{00},\dots,c_{11}$의 위상 화살표. 해볼 것: ① $s = 0$이면 실선과 점선이 겹치고 공존도는 0이다. ② $s$를 키우면 실선이 $\cos 2s$로 줄고 공존도가 $\sin 2s$로 는다. ③ $s = 45°$에서 $|a\rangle$를 어디로 돌려도 A의 실선은 0이다 — 최대로 얽힌 상태의 부분계는 어떤 기저로 재도 반반이다. 측정과 큐비트 회로는 18장, 부분 대각합은 17장에서 다룬다.

텐서곱은 한 입자 안에서도 쓴다. 스핀을 가진 전자의 상태는 $\psi(\mathbf r)\otimes\chi$들의 중첩이고(10장), 수소 원자의 $|n\,l\,m_l\rangle\otimes|m_s\rangle$는 각운동량 합성(08·10장)의 출발점이다. 동일 입자 두 개는 텐서곱 공간 중 대칭 또는 반대칭 부분 공간만 허용된다(11장). 해밀토니언이 $\hat H = \hat H_A\otimes\hat 1 + \hat 1\otimes\hat H_B$처럼 나뉘면 고유 상태는 곱 상태이고 에너지는 합이다 — 변수 분리의 추상판이다.

나노시트 채널의 부띠: 가둠 ⊗ 수송

GAA 나노시트에서 전자의 상태는 두께 방향($z$, 수 nm)의 가둠 상태 $\chi_n(z)$와 시트 면 방향의 평면파 $e^{i\mathbf k\cdot\boldsymbol\rho}$의 텐서곱 $|n\rangle\otimes|\mathbf k\rangle$이고, 에너지는 $E_n + \hbar^2k^2/2m^*$(부띠)다. 스핀(×2)과 실리콘의 골짜기($\Delta_2$, $\Delta_4$)까지 곱하면 상태 공간이 더 커진다. NEGF의 "모드 공간" 근사는 이 곱 구조를 이용해 가둠 방향에서 낮은 부띠 몇 개만 남겨 행렬 크기를 수십 배 줄인다. → TCADBook · 드리프트-확산을 넘어서, DeviceBook · 스케일링과 단채널 효과

핵심 정리

상태는 힐베르트 공간의 켓 $|\psi\rangle$, 브라 $\langle\psi|$는 그 켤레 전치다. 내적 $\langle\phi|\psi\rangle = \sum d_n^*c_n$은 확률 진폭이고 $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$이 확률이다. 전역 위상은 물리가 아니지만 상대 위상은 간섭으로 드러난다.
직교 정규 기저의 성분은 $c_n = \langle n|\psi\rangle$, 완비성 $\sum_n|n\rangle\langle n| = \hat 1$은 어디든 끼워 넣어 추상 식을 성분 계산으로 바꾼다. 사영 연산자 $\hat P = |n\rangle\langle n|$은 $\hat P^2 = \hat P$, 확률은 $\langle\psi|\hat P|\psi\rangle$.
연산자는 행렬 $A_{mn} = \langle m|\hat A|n\rangle$이다. 에르미트 $\hat A = \hat A^\dagger$는 관측량(실수 기댓값), 유니터리 $\hat U^\dagger\hat U = \hat 1$은 내적을 지키는 회전(시간 전개·스핀 회전·게이트·기저 변환)이다.
기저 변환은 $c' = S^\dagger c$, $A' = S^\dagger AS$($S$의 열 = 새 기저). 대각합·행렬식·고유값·확률의 합은 변하지 않는다.
에르미트 연산자의 고유값은 실수, 고유 상태는 직교하고 완비하다(스펙트럼 정리 $\hat A = \sum_a a|a\rangle\langle a|$). 연산자의 함수는 $f(\hat A) = \sum_a f(a)|a\rangle\langle a|$. 2×2는 $h_0 + \mathbf h\cdot\boldsymbol\sigma$, $E_\pm = h_0\pm|\mathbf h|$. 비에르미트면 고유값이 복소수가 될 수 있다.
연속 기저는 δ 정규화: $\langle x|x'\rangle = \delta(x-x')$, $\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$, $\langle x|p\rangle = e^{ipx/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}$. 위치·운동량 표현은 푸리에 변환(유니터리 기저 변환)으로 이어진다.
유한 차분은 $\hat H$를 삼중 대각 행렬(대각 $2t+V_j$, 비대각 $-t$, $t = \hbar^2/2m^*\Delta x^2$)로 만들고 고유값 오차는 $\propto\Delta x^2$이다. 이것이 강결합 모형이자 TCAD 슈뢰딩거–포아송의 핵심이다. 두 자유도의 공간은 텐서곱(차원의 곱)이며, 곱으로 쓸 수 없는 상태가 얽힘이다.

연습문제

$\{|0\rangle, |1\rangle\}$과 $\{|1\rangle, |2\rangle, \dots\}$는 직교 정규 기저다. 파울리 행렬 $\sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, $\sigma_y = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$, $\sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$. $\hbar^2/2m_\mathrm{e} = 0.0381\ \mathrm{eV\cdot nm^2}$. 특별한 말이 없으면 답이 ±1% 이내면 정답이다.

$|\psi\rangle = N[(2-i)|0\rangle + 3i|1\rangle]$가 정규화되도록 하는 양의 실수 $N$은?

$\langle\psi|\psi\rangle = N^2(|2-i|^2 + |3i|^2) = N^2(5+9) = 14N^2 = 1$ → $N = 1/\sqrt{14} = 0.267$.

브라의 계수는 켤레: $\langle a| = (1-i)\langle0| - i\langle1|$.

$\langle a|b\rangle = (1-i)(2) + (-i)(-1) = 2 - 2i + i = 2 - i$. 실수부 2, 허수부 −1. ($\langle b|a\rangle = 2+i$.)

다음 중 에르미트 행렬은?

에르미트는 대각 원소가 실수이고 $A_{21} = A_{12}^*$. 둘째만 만족한다. 첫째는 $A_{21} = i \ne (i)^* = -i$(대칭이지만 에르미트 아님), 셋째는 대각에 $i$, 넷째는 반대칭 실행렬(반에르미트 — $i$를 곱하면 $\sigma_y$가 된다).

$A = \begin{pmatrix}2 & 1-i\\ 1+i & 3\end{pmatrix}$의 고유값을 큰 것부터 구하라.

$\lambda^2 - (\operatorname{Tr}A)\lambda + \det A = 0$.

$\operatorname{Tr}A = 5$, $\det A = 6 - |1-i|^2 = 6-2 = 4$. $\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$ → $\lambda = 4, 1$. 고유벡터: $\lambda = 4$에서 $(1-i, 2)/\sqrt6$, $\lambda = 1$에서 $(-2, 1+i)/\sqrt6$ — 직교한다.

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt5}(|0\rangle + 2i|1\rangle)$에서 $\langle\sigma_y\rangle$는?

$\sigma_y|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}-i\cdot2i\\ i\cdot1\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}2\\ i\end{pmatrix}$. $\langle\psi| = \frac{1}{\sqrt5}(1, -2i)$이므로 $\langle\sigma_y\rangle = \frac15[2 + (-2i)(i)] = \frac15(2+2) = 0.8$. 블로흐 벡터로는 $(0, 0.8, -0.6)$의 $y$ 성분이다.

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt5}(2|0\rangle + |1\rangle)$를 $x$ 기저로 측정할 때 $|+\rangle$이 나올 확률은?

$\langle +|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{10}}(2+1) = \frac{3}{\sqrt{10}}$, 확률 $9/10 = 0.9$.

$y$ 기저 $|\pm i\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle \pm i|1\rangle)$에서 $\sigma_z$의 비대각 행렬 요소 $\langle +i|\sigma_z|-i\rangle$는?

$\sigma_z|-i\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle + i|1\rangle) = |+i\rangle$이므로 $\langle +i|\sigma_z|-i\rangle = 1$. 대각 요소는 $\langle\pm i|\sigma_z|\pm i\rangle = 0$. 즉 $y$ 기저에서 $\sigma_z$의 행렬은 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$이다.

$A = \begin{pmatrix}5 & 4\\ 4 & 5\end{pmatrix}$의 양의 제곱근 $\sqrt A$(고유값이 모두 양수인 것)를 스펙트럼 분해로 구하라. 원소 $(\sqrt A)_{11}$과 $(\sqrt A)_{12}$는?

고유값 9와 1, 고유벡터 $(1, \pm1)/\sqrt2$.

$\hat P_9 = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$, $\hat P_1 = \frac12\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$. $\sqrt A = 3\hat P_9 + 1\hat P_1 = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$. 확인: $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ ✓.

자유 전자를 격자 간격 0.10 nm의 유한 차분으로 풀 때 비대각 원소의 크기 $t = \hbar^2/2m_\mathrm{e}\Delta x^2$는?

$t = 0.0381/0.01 = 3.81$ eV. 강결합 사슬로 보면 띠 폭이 $4t = 15.2$ eV다.

무한 우물의 바닥 에너지를 유한 차분으로 구할 때 상대 오차가 1% 미만이 되는 가장 작은 내부 격자점 수 $N$은? (근사식이 아니라 정확한 $E^{\mathrm{FD}}_1 = 2t[1-\cos(\pi/(N+1))]$를 써라.)

근사식으로는 $(\pi/(N+1))^2/12 \lt 0.01$. 경계 근처 값을 정확한 식으로 확인한다.

상대 오차 $1 - 2(1-\cos x)/x^2$, $x = \pi/(N+1)$. $N = 8$: 1.01%, $N = 9$: 0.82%. 따라서 $N = 9$($\Delta x = L/10$).

폭 10 nm의 GaAs 무한 우물($m^* = 0.067m_\mathrm{e}$)을 내부 격자점 9개로 풀었다. 행렬의 가장 낮은 고유값은 몇 meV인가? (정확한 값은 56.1 meV)

$\Delta x = 1.0$ nm, $t = 0.0381/(0.067\times1.0^2) = 0.5687$ eV. $E_1^{\mathrm{FD}} = 2t[1-\cos(\pi/10)] = 1.1373\times0.04894 = 0.05566$ eV = 55.7 meV. 오차 −0.82%.

Si 반전층($\Delta_2$ 골짜기, $m_z = 0.916m_\mathrm{e}$)의 수직 전기장이 0.50 MV/cm이다. 삼각 우물 근사로 바닥 부띠 에너지(전도대 바닥 기준)와 전하 중심 $\langle z\rangle = 2E_0/3qF$를 구하라. ($a_1 = 2.338$)

0.50 MV/cm = 0.050 V/nm이므로 $qF = 0.050$ eV/nm. $E_0 = 2.338\,(0.0381\,(qF)^2/m_z)^{1/3}$.

$0.0381\times0.0025/0.916 = 1.040\times10^{-4}\ \mathrm{eV^3}$, 세제곱근 0.04703 eV, $E_0 = 2.338\times0.04703 = 0.110$ eV = 110 meV. $\langle z\rangle = 2(0.110)/(3\times0.050) = 1.47$ nm. 고전적으로는 전하가 계면에 붙는데 1.5 nm쯤 떨어져 있다 — SiO₂ 두께로 환산하면 약 0.5 nm의 CET 증가다($1.47\times3.9/11.7$).

예제의 상태 $\psi(x) = \sqrt\kappa\,e^{-\kappa|x|}$, $\kappa = 2.0\ \mathrm{nm^{-1}}$인 자유 전자의 운동 에너지 기댓값 $\langle T\rangle = \langle p^2\rangle/2m_\mathrm{e}$를 운동량 표현 $|\phi(p)|^2 = \frac{2}{\pi}\frac{p_0^3}{(p^2+p_0^2)^2}$으로 구하라.

$\int_{-\infty}^\infty\frac{u^2}{(1+u^2)^2}du = \frac\pi2$.

$\langle p^2\rangle = \frac2\pi p_0^3\cdot\frac{1}{p_0}\cdot\frac\pi2 = p_0^2 = \hbar^2\kappa^2$. $\langle T\rangle = \hbar^2\kappa^2/2m_\mathrm{e} = 0.0381\times4.0 = 0.152$ eV. 위치 표현에서는 꼭짓점의 $\psi''$에 델타 함수가 숨어 있어 조심해야 하지만, 운동량 표현에서는 곧바로 나온다 — 좋은 기저를 고르면 계산이 쉬워진다.

두 큐비트 상태 $\frac12(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle - |11\rangle)$의 공존도 $C = 2|c_{00}c_{11} - c_{01}c_{10}|$는? 곱 상태인가?

$c_{00}c_{11} - c_{01}c_{10} = \frac14(-1) - \frac14(1) = -\frac12$, $C = 1$. 최대로 얽힌 상태다. 실제로 $\frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle|+\rangle + |1\rangle|-\rangle)$으로 쓸 수 있다 — 두 항의 B 상태가 직교하는 슈미트 꼴이다(아다마르 + CNOT 회로로 만든다, 18장).

위치를 nm로 잴 때 $\langle x|\psi\rangle = \psi(x)$와 $\langle x|x'\rangle$의 단위로 옳은 것은? ($|\psi\rangle$은 정규화된 상태)

개념 확인 퀴즈

$\langle\phi|\psi\rangle = 0.6 + 0.3i$이면 $\langle\psi|\phi\rangle$는?

$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$. 두 순서의 확률 $|\cdot|^2 = 0.45$는 같다.

$|\psi\rangle$과 $-|\psi\rangle$(전역 위상 π)의 관계는?

에르미트 연산자의 서로 다른 고유값에 속한 두 고유 상태는?

운동량 고유 상태 $|p\rangle$이 실제 전자의 상태가 될 수 없는 이유는?

$|\langle x|p\rangle|^2 = 1/2\pi\hbar$가 모든 $x$에서 일정하므로 전체 적분이 무한대다. 기저로는 쓰되 물리적 상태는 파속(겹침)이다.

큐비트 3개의 상태 공간 차원과, 일반적인 상태를 적는 데 필요한 복소 성분 수는?

텐서곱의 차원은 곱: $2^3 = 8$. 곱 상태라면 큐비트마다 2개, 합 6개(정규화·위상 빼면 더 적다)로 충분하지만, 얽힌 상태까지 담으려면 8개가 다 필요하다. $n$ 큐비트면 $2^n$ — 양자 컴퓨터의 힘과 고전 시뮬레이션의 어려움이 여기서 나온다.