Chapter 01

파동함수와 확률

현대물리학에서 전자를 "확률의 파동"으로 그렸다. 이 장은 그 그림을 계산할 수 있는 형태로 다시 세운다. 파동함수 $\Psi(x,t)$는 복소수이고, 크기만이 아니라 위상에도 정보가 있다. 크기의 제곱은 어디서 발견될지를, 위상의 기울기는 어디로 흘러가는지를 알려 준다. 이 장에서 다룰 내용은 다음과 같다. 확률을 주는 보른 규칙과 정규화, 확률이 새지 않음을 보장하는 연속 방정식, 위치·운동량을 연산자로 바꿔 기댓값을 계산하는 방법, 같은 상태를 운동량으로 보는 푸리에 변환, 파속이 퍼지고 움직이는 속도, 그리고 언제 양자 평균이 뉴턴 법칙을 따르는가(에렌페스트 정리)다. 마지막 절은 이 도구로 전자 현미경 빔의 파장과 결맞음을 계산한다. 아래 그림은 이 책 전체가 쓰는 방식으로 그린 전자 파속이다. 높이는 $|\Psi|^2$, 색은 위상이다.

누르면 위치를 측정한다

복소 파동함수의 크기와 위상을 구별하고, 전체 위상은 관측되지 않지만 상대 위상은 간섭으로 관측됨을 보인다. 보른 규칙으로 구간 확률을 계산하고 정규화한다.
슈뢰딩거 방정식에서 연속 방정식 $\partial_t\rho+\partial_x j=0$을 유도하고, 평면파의 중첩과 복소 퍼텐셜의 확률 흐름을 계산한다.
$\hat x$, $\hat p=-i\hbar\,\partial_x$로 $\langle x\rangle, \langle p\rangle, \langle T\rangle, \Delta x, \Delta p$를 계산하고 $\langle p\rangle = m\,d\langle x\rangle/dt$를 확률 흐름으로 설명한다.
운동량 공간 파동함수 $\phi(p)$를 푸리에 변환으로 구하고, 가우스 파속이 $\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$를 이루는 최소 불확정 상태임을 확인한다.
자유 가우스 파속의 퍼짐 $\sigma(t)$과 군속도·위상 속도를 계산하고, 질량에 따라 퍼짐 시간이 얼마나 달라지는지 비교한다.
에렌페스트 정리로 고전 극한의 조건을 설명하고, 전자 빔의 상대론적 파장과 가로·세로 결맞음 길이를 계산한다.

복소 파동함수와 보른 규칙

입자 하나의 상태는 위치와 시간의 복소 함수 $\Psi(x,t)$로 완전히 기술된다. 복소수이므로 각 점에서 두 수, 크기 $|\Psi|$와 위상(phase) $\theta$를 가진다.

$$\Psi(x,t) = |\Psi(x,t)|\,e^{i\theta(x,t)}, \qquad \rho(x,t) \equiv |\Psi(x,t)|^2 = \Psi^*\Psi$$

$\rho$는 확률 밀도(probability density), 단위는 1/길이(1차원에서 nm⁻¹). 따라서 $\Psi$의 단위는 nm$^{-1/2}$이다.

보른 규칙(Born rule)은 이 함수와 실험을 잇는 유일한 연결이다. 시각 $t$에 위치를 재면 결과가 구간 $[a,b]$에 들어올 확률은

$$P_{ab}(t) = \int_a^b |\Psi(x,t)|^2\,dx, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2\,dx = 1$$

오른쪽 조건이 정규화(normalization)다. 어디선가는 반드시 발견된다. 적분이 유한한 함수(제곱 적분 가능(square-integrable))만 물리적 상태가 될 수 있다. 상수 $A$를 곱해 적분을 1로 맞추는 것을 "정규화한다"고 한다.

확률은 측정 한 번의 결과를 예언하지 않는다. 같은 상태로 준비한 계를 많이 재면, 결과의 히스토그램이 $|\Psi|^2$에 다가간다. 측정 직후의 상태는 측정값 근처로 좁아진다(3장에서 다룬다). 위의 머리 그림을 눌러 보라. 넓게 퍼진 파속이 한 점 근처로 줄어들고, 거기서 다시 퍼진다.

위상을 색으로 그리는 약속

$|\Psi|^2$만 그리면 정보의 절반을 버린다. 이 책은 $|\Psi|^2$를 높이로, 위상 $\theta$를 색상환의 색으로 칠한다. 위상 0은 빨강, $\pi/2$는 연두, $\pi$는 청록, $3\pi/2$(=$-\pi/2$)는 보라 쪽이다. 색이 공간적으로 빠르게 돌수록 위상이 빨리 변한다. 그런 파동은 3절에서 보듯 운동량이 크다. 색이 왼쪽에서 오른쪽으로 빨강→노랑→연두 순으로 바뀌면 위상이 $x$를 따라 늘어나는 $e^{+ikx}$ 꼴이다.

위상 색칠의 약속. 위: 위치마다 복소수 $\Psi(x)$를 화살표로 그리면 화살표가 $x$를 따라 돈다. 아래: 같은 정보를 높이($|\Psi|^2$)와 색(위상)으로 압축했다. 오른쪽 고리가 범례다. 이 책의 모든 시뮬레이터가 같은 색 약속을 쓴다.

전체 위상과 상대 위상

$\Psi$에 상수 $e^{i\alpha}$를 곱해도 $|\Psi|^2$는 그대로다. 앞으로 보듯 모든 기댓값도 그대로다. 그래서 전체 위상(global phase)은 물리적 의미가 없고, $\Psi$와 $e^{i\alpha}\Psi$는 같은 상태다. 그러나 두 성분을 더할 때 그 사이의 상대 위상(relative phase)은 관측된다.

$$|\psi_1 + e^{i\alpha}\psi_2|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + 2\,\mathrm{Re}\!\left[e^{i\alpha}\psi_1^*\psi_2\right]$$

마지막 간섭 항은 두 성분이 겹치는 곳에서만 0이 아니고, $\alpha$에 따라 무늬가 움직인다. 확률이 아니라 진폭을 더한다는 것이 양자역학의 핵심이다.

두 파속이 겹친 상태 $\psi_1+\psi_2$에서 (가) 전체에 $e^{i\beta}$를 곱하는 것과 (나) $\psi_2$에만 $e^{i\alpha}$를 곱하는 것. 확률 밀도 $|\Psi|^2$를 바꾸는 것은?

(가)는 $|e^{i\beta}|^2=1$이라 아무것도 바꾸지 않는다. 색만 한꺼번에 돈다. (나)는 간섭 항 $2\mathrm{Re}[e^{i\alpha}\psi_1^*\psi_2]$을 바꿔 겹친 부분의 줄무늬를 옮긴다. 아래에서 두 다이얼을 따로 돌려 보라.

두 다이얼의 흰 점을 돌린다

MINI LAB$\Psi = e^{i\beta}\left[\psi_1 + e^{i\alpha}\psi_2\right]$. $\psi_1$은 오른쪽($e^{+ikx}$), $\psi_2$는 왼쪽($e^{-ikx}$)으로 움직이는 성분이다. 전체 위상 $\beta$를 돌리면 색만 바뀌고, 상대 위상 $\alpha$를 돌리면 겹친 곳의 간섭 무늬가 움직인다. 점선은 간섭 항을 뺀 $|\psi_1|^2+|\psi_2|^2$다.

측정을 여러 번 하면

보른 규칙은 통계에 관한 법칙이다. 같은 상태를 $N$번 준비해 위치를 재면 구간 $[a,b]$에 들어온 비율 $n/N$은 $P_{ab}$로 수렴하고, 흔들림은 이항 분포의 표준 오차 $\sqrt{P_{ab}(1-P_{ab})/N}$ 정도다. 아래 시뮬레이터는 시드를 고정한 난수로 측정을 흉내 낸다. 상대 위상이 다른 두 상태는 $|\Psi|^2$이 다르므로 측정 히스토그램으로 구별된다. 전체 위상만 다른 두 상태는 어떤 측정으로도 구별되지 않는다.

SIMULATOR

보른 규칙 측정기: 히스토그램이 |Ψ|²이 될 때까지

검출 구간의 두 손잡이를 끈다

상태

상대 위상 α

측정 횟수 N—

구간 비율 n/N—

보른 규칙 P_ab—

표준 오차—

위: $|\Psi|^2$(위상 색)과 검출 구간. 아래: 측정값 히스토그램(막대)과 $|\Psi|^2$(선). "두 봉우리"와 "우물 중첩"은 $\psi_1+e^{i\alpha}\psi_2$ 꼴이라 α가 확률 분포를 바꾼다. 해볼 것: ① N = 100일 때와 1000일 때 $n/N$과 $P_{ab}$의 차이를 표준 오차와 비교하라. ② "우물 중첩"에서 α를 0°와 180°로 바꾸면 무게 중심이 왼쪽·오른쪽으로 옮겨 간다. 히스토그램으로 둘을 구별할 수 있다. ③ "가우스"에서는 α가 전체 위상이 되어 아무 변화가 없다.

$\psi(x) = A\,e^{-|x|/a}$에서 $a$ = 0.50이면 정규화 상수는 $A = 1/\sqrt{a}$ = 이다. 전자를 $|x|\lt$ 0.50 안에서 발견할 확률은 $1-e^{-2b/a}$ = 이고, 가장 그럴듯한 위치 $x=0$ 근처 ±0.01 nm에서 발견할 확률은 에 불과하다.

폭 $a$인 상자 안($0\le x\le a$)의 상태가 $\psi(x) = A\,x(a-x)$이고 상자 밖에서는 0이다. $A$를 구하고, 위치를 쟀을 때 왼쪽 $1/4$ 구간 $[0, a/4]$에서 발견될 확률을 구하라.

풀이 보기

전략 $\int_0^a |\psi|^2dx=1$에서 $A$를 정하고, 같은 피적분 함수를 $[0,a/4]$에서 적분한다. $u = x/a$로 바꾸면 $a$가 깔끔하게 빠진다.

풀이 $\int_0^a x^2(a-x)^2dx = a^5\int_0^1 u^2(1-u)^2du = a^5\left(\tfrac13-\tfrac12+\tfrac15\right) = \dfrac{a^5}{30}$. 따라서 $A = \sqrt{30/a^5}$. 구간 확률은 $30\int_0^{1/4}u^2(1-u)^2du = 30\left[\tfrac{u^3}{3}-\tfrac{u^4}{2}+\tfrac{u^5}{5}\right]_0^{1/4} = \dfrac{53}{512}$.

$A = \sqrt{30/a^5}$, $P = 53/512 = 0.104$

검토 균일 분포라면 1/4 = 0.25였을 것이다. $|\psi|^2$는 벽에서 $x^2$처럼 0으로 가므로 가장자리 구간의 확률이 훨씬 작다. $A$의 단위 nm$^{-5/2}$에 $x(a-x)$의 nm²를 곱하면 $\psi$의 단위 nm$^{-1/2}$가 된다.

확률 흐름과 연속 방정식

정규화는 한 순간의 조건이다. 시간이 흘러도 전체 확률이 1로 남는지는 슈뢰딩거 방정식이 보장해야 한다.

$$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V(x,t)\,\Psi$$

확률은 그냥 사라졌다 나타나지 않고 흘러서 옮겨 간다. 구간 $[a,b]$ 안의 확률이 줄어든 만큼 양 끝으로 흘러 나간다. 이것을 식으로 쓴 것이 연속 방정식(continuity equation)이고, 흐르는 양이 확률 흐름(probability current) $j$다.

구간 $[a,b]$ 안의 확률 $P_{ab}$를 생각한다. 이것이 시간에 따라 어떻게 바뀌는가?
$\partial_t\rho$에 슈뢰딩거 방정식과 그 켤레를 넣는다. 퍼텐셜 항 $V|\Psi|^2$은 $V$가 실수이면 두 번 나와 서로 지워진다.
남은 항은 완전 미분이다. $j = \frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\Psi'-\Psi\Psi^{*\prime})$로 두면 $\partial_t\rho+\partial_x j=0$.
구간에서 적분하면 안의 확률 변화는 양 끝의 흐름 차이와 같다. 왼쪽 끝에서는 $j(a)$만큼 들어오고, 오른쪽 끝에서는 $j(b)$만큼 나간다.

연속 방정식의 유도. 전하 보존(전자기학)이나 캐리어 연속 방정식(반도체)과 같은 꼴이다. "상자 안의 양이 바뀌면 벽을 통해 드나든 것"이라는 회계다.

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0, \qquad j(x,t) = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\right) = \frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}\!\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)$$

1차원에서 $j$의 단위는 1/시간(초당 지나가는 확률). 3차원에서는 $\partial_t\rho + \nabla\cdot\mathbf j = 0$, $\mathbf j = \frac{\hbar}{m}\mathrm{Im}(\Psi^*\nabla\Psi)$. 전체 구간에서 적분하면 $\Psi\to0$인 무한대에서 $j=0$이므로 $\frac{d}{dt}\int\rho\,dx=0$: 정규화는 저절로 유지된다.

극형식 $\Psi = \sqrt{\rho}\,e^{iS/\hbar}$로 쓰면 뜻이 더 분명해진다. 미분하면 $\Psi^*\Psi' = \tfrac12\rho' + i\rho S'/\hbar$이므로

$$j = \rho\,\frac{S'(x)}{m} = \rho\,v(x), \qquad v(x) \equiv \frac{1}{m}\frac{\partial S}{\partial x}$$

확률 흐름은 "밀도 × 속도"이고, 그 속도는 위상의 기울기가 정한다. 위상 색 그림에서 색이 빠르게 도는 곳일수록 확률이 빨리 흐른다. 위상이 일정한 함수, 곧 실수 파동함수(전체 위상 제외)는 어디서나 $j=0$이다. 우물 속 정상 상태가 그렇다.

평면파 두 개: 흐름은 따로 더해진다

$\psi = Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$를 넣으면 $\rho$에는 간섭 항 $2\mathrm{Re}(A^*Be^{-2ikx})$이 생겨 정상파 무늬가 나타나지만, $j$에서는 간섭 항이 정확히 지워진다.

$$j = \frac{\hbar k}{m}\left(|A|^2 - |B|^2\right)$$

들어오는 흐름에서 반사된 흐름을 뺀 값이다. 투과·반사 확률을 진폭이 아니라 흐름의 비로 정의하는 까닭이 여기에 있다(5장).

흰 점: 위아래 = |B/A|, 좌우 = 반사 위상

MINI LAB$\psi = e^{ikx} + re^{i\delta}e^{-ikx}$에 시간 인자 $e^{-i\omega t}$를 곱했다. 선은 $\mathrm{Re}\,\Psi$, 채움은 $|\Psi|^2$(위상 색), 화살표는 $j$다. $r$을 키우면 $\rho$의 줄무늬는 깊어지지만 $j$는 위치와 무관하게 $1-r^2$에 비례한다. $r = 1$이면 완전한 정상파이고 흐름은 0이다.

에너지 0.50의 자유 전자 평면파 $Ae^{ikx}$가 $|A|^2$ = 0.010의 밀도(전자 1개당 )로 흐르면 속도 $\hbar k/m$ = , 흐름 $j$ = 이다. 전류로는 . 반사파 진폭이 $|B/A|$ = 0.50이면 알짜 흐름은 로 줄어든다.

흐름을 직접 재어 본다

아래 시뮬레이터는 분할 연산자 방법(QM.splitOp)으로 슈뢰딩거 방정식을 풀면서, 끌어 놓은 상자 $[a,b]$ 안의 확률 변화율 $dP_{ab}/dt$와 양 끝 흐름의 차이 $j(a)-j(b)$를 따로 계산해 비교한다. 두 수가 일치하는 것이 연속 방정식이다.

파속이 장벽에 부딪혀 일부가 되돌아올 때, 장벽 앞의 한 지점에서 확률 흐름 $j$는 시간에 따라 어떻게 바뀔까?

들어오는 파속이 지나갈 때는 $j>0$, 반사 파속이 되돌아 지나갈 때는 위상 기울기가 음수라 $j\lt 0$이다. 두 파속이 겹치는 순간에는 줄무늬가 생기지만, 앞에서 보았듯 흐름에서는 간섭 항이 지워진다. 아래 그래프에서 $j(a)$의 부호를 보라.

SIMULATOR

상자 회계: dP/dt = j(a) − j(b)

상자 양 끝의 손잡이를 끈다

퍼텐셜

평균 에너지 E₀

상자 안 확률 P_ab—

dP_ab/dt (fs⁻¹)—

j(a) − j(b) (fs⁻¹)—

t—

위: $|\Psi|^2$(위상 색)와 퍼텐셜(초록 띠), 상자. 아래: $j(x,t)$(자홍 선)와 상자 양 끝의 흐름 화살표. 자유 전자, 길이 nm, 시간 fs. 해볼 것: ① 상자를 장벽 앞에 두고 $j(a)$가 양수에서 음수로 바뀌는 순간을 찾아라. ② 상자를 넓혀 파속 전체를 감싸면 $dP/dt\approx0$이다. ③ "조화"에서는 파속이 되돌아오며 상자 안 확률이 주기적으로 오르내린다. 어느 순간에도 두 수가 같다.

공명 상태처럼 확률이 서서히 새어 나가는 상태를 흔히 복소 퍼텐셜 $V = V_0 - i\Gamma/2$($V_0,\Gamma$는 실수 상수)로 흉내 낸다. 이때 전체 확률 $P(t) = \int|\Psi|^2dx$는 어떻게 변하는가? $\Gamma = 1.0$ meV이면 수명은?

풀이 보기

전략 연속 방정식 유도의 두 번째 단계에서 $V$가 실수라 지워졌던 항을 다시 계산한다.

풀이 $\partial_t\rho$의 퍼텐셜 부분은 $\frac{1}{i\hbar}(V-V^*)|\Psi|^2 = \frac{1}{i\hbar}(-i\Gamma)\rho = -\frac{\Gamma}{\hbar}\rho$. 따라서 $\partial_t\rho + \partial_x j = -\frac{\Gamma}{\hbar}\rho$이고, 전체 적분하면 $dP/dt = -(\Gamma/\hbar)P$, 곧 $P(t) = e^{-t/\tau}$, $\tau = \hbar/\Gamma$. $\Gamma = 1.0$ meV이면 $\tau = 0.6582\ \mathrm{eV\cdot fs}/0.0010\ \mathrm{eV} = 658$ fs.

$P(t) = e^{-\Gamma t/\hbar}$, $\tau = \hbar/\Gamma = 658$ fs

검토 허수 퍼텐셜은 연속 방정식에 "소멸 항"을 붙인다. 캐리어 연속 방정식의 재결합 항 $-R$과 같은 역할이다. 에너지 폭 $\Gamma$와 수명 $\hbar/\Gamma$의 관계는 3장의 에너지–시간 관계와 이어진다. 머리 그림과 시뮬레이터의 흡수층도 같은 원리다.

확률의 연속 방정식과 캐리어의 연속 방정식

소자 시뮬레이터(TCAD)가 푸는 전자 연속 방정식 $\partial_t n = \frac{1}{q}\nabla\cdot\mathbf J_n + G - R$은 이 절의 식에 전하 $-q$를 곱하고 생성·재결합을 더한 것이다. 확률 흐름이 양자 수준의 "전류 밀도"이고, 수많은 전자에 대해 평균하면 $\mathbf J_n = -q\sum\mathbf j$가 된다. 양자 수송 계산(NEGF)에서도 경계에서 흐름을 재는 방식은 똑같다. 소스 쪽 경계로 들어온 $j$에서 드레인 쪽으로 나간 $j$를 빼면 소자 안에 쌓이는 전하가 된다. 재결합처럼 입자가 사라지는 과정은 위 예제의 허수 퍼텐셜 항에 해당한다. → TCADBook · 기본 방정식: 포아송과 연속 방정식

위치·운동량 연산자와 기댓값

같은 상태를 많이 준비해 위치를 재면 평균값은 기댓값(expectation value)

$$\langle x\rangle = \int x\,|\Psi|^2\,dx, \qquad \langle f(x)\rangle = \int f(x)\,|\Psi|^2\,dx$$

기댓값은 한 번 잴 때 가장 그럴듯한 값이 아니다. 앙상블 평균이다. 두 봉우리 상태의 $\langle x\rangle$는 확률이 거의 0인 가운데에 있을 수도 있다.

운동량은 $|\Psi|^2$만으로는 계산할 수 없다. 위치의 함수가 아니기 때문이다. 대신 확률 흐름을 쓰면 자연스럽게 얻는다. 연속 방정식과 부분 적분으로

$$\frac{d\langle x\rangle}{dt} = \int x\,\partial_t\rho\,dx = -\int x\,\partial_x j\,dx = \int j\,dx \quad\Longrightarrow\quad \langle p\rangle \equiv m\frac{d\langle x\rangle}{dt} = m\!\int\! j\,dx = \int \Psi^*\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi\,dx$$

마지막 등호는 $j$의 정의에 부분 적분을 한 번 더 한 결과다. 운동량은 미분 연산자 $\hat p = -i\hbar\,\partial/\partial x$로 나타난다. 위치는 곱하기 연산자 $\hat x = x$다.

연산자와 기댓값

물리량 $Q(x,p)$의 기댓값은 $\langle Q\rangle = \int\Psi^*\,\hat Q\,\Psi\,dx$, 여기서 $\hat Q = Q(x, -i\hbar\,\partial_x)$다. 예: 운동 에너지 $\hat T = \hat p^2/2m = -\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2$, 해밀토니언 $\hat H = \hat T + V(x)$. 불확정도(그리피스의 $\sigma_Q$)는 $\Delta Q = \sqrt{\langle Q^2\rangle - \langle Q\rangle^2}$이다.

두 연산자의 순서는 중요하다. 임의의 함수 $f$에 대해 $\hat x\hat p f - \hat p\hat x f = -i\hbar x f' + i\hbar(f + xf') = i\hbar f$이므로

$$[\hat x, \hat p] = i\hbar$$

정준 교환 관계(canonical commutation relation). 이 한 줄이 불확정성 관계(3장)와 사다리 연산자(6장)의 출발점이다. 교환자의 일반 성질은 2장에서 연산자의 대수로 다시 다룬다.

몇 가지 바로 얻어지는 사실이 있다. (1) 부분 적분으로 $\langle p^2\rangle = \hbar^2\int|\Psi'|^2dx \ge 0$이다. 운동 에너지 기댓값은 음수가 될 수 없고, $\Psi$가 가파를수록 크다. (2) $\Psi$가 실수 함수이면 $\langle p\rangle = -i\hbar\int\psi\psi'dx = -\frac{i\hbar}{2}[\psi^2]_{-\infty}^{\infty} = 0$이다. (3) 실수 $\psi$에 $e^{ik_0x}$를 곱하면 $\langle p\rangle = \hbar k_0$, $\langle p^2\rangle$는 $(\hbar k_0)^2$만큼 늘지만 $\Delta p$는 그대로다. 위상 기울기가 운동량의 평균을 정한다.

위상 기울기 k₀ 처프 c

MINI LAB$\psi = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}e^{-x^2/4\sigma^2}e^{i(k_0x + cx^2)}$, $\sigma = 1$ nm. $|\psi|^2$는 슬라이더와 무관하게 똑같다. 그래도 운동량 분포는 바뀐다. 초록 선은 국소 파수 $S'/\hbar = k_0 + 2cx$다. 처프 $c$는 $\langle p\rangle$를 바꾸지 않고 $\Delta p$만 키운다. 이런 위상 구조가 5절에서 퍼지는 파속에 저절로 생긴다.

가우스 파속 $\psi \propto e^{-x^2/4\sigma^2}e^{ik_0x}$에서 $\sigma$ = 1.00, $k_0$ = 3.0이면 $\langle p\rangle = \hbar k_0$, $\Delta p = \hbar/2\sigma$ = , 운동 에너지 $\langle T\rangle = \frac{\hbar^2}{2m}\left(k_0^2 + \frac{1}{4\sigma^2}\right)$ = (자유 전자)다. 그중 폭 때문에 생긴 몫은 다.

폭 $a = 1.00$ nm의 무한 우물 바닥 상태 $\psi_1 = \sqrt{2/a}\,\sin(\pi x/a)$에서 $\langle x\rangle, \Delta x, \langle p\rangle, \Delta p$와 운동 에너지 $\langle T\rangle$(자유 전자)를 구하고, $\Delta x\,\Delta p$를 $\hbar$ 단위로 나타내라.

풀이 보기

전략 $\langle x\rangle, \langle x^2\rangle$은 $|\psi|^2$에 대한 적분이고, $\langle p\rangle, \langle p^2\rangle$은 $\hat p = -i\hbar\partial_x$를 작용시켜 적분한다.

풀이 대칭성으로 $\langle x\rangle = a/2$. $\langle x^2\rangle = \frac2a\int_0^a x^2\sin^2\frac{\pi x}{a}dx = a^2\left(\frac13 - \frac{1}{2\pi^2}\right)$이므로 $\Delta x = a\sqrt{\frac1{12}-\frac1{2\pi^2}} = 0.181a = 0.181$ nm. $\psi_1$이 실수이므로 $\langle p\rangle = 0$. $\langle p^2\rangle = \hbar^2\int|\psi_1'|^2dx = \hbar^2\pi^2/a^2$이므로 $\Delta p = \pi\hbar/a = 3.14\,\hbar/\text{nm}$. $\langle T\rangle = \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{a^2} = 0.0381\times9.87 = 0.376$ eV.

$\langle x\rangle = 0.500$ nm, $\Delta x = 0.181$ nm, $\langle p\rangle = 0$, $\Delta p = 3.14\,\hbar/$nm, $\langle T\rangle = 0.376$ eV, $\Delta x\Delta p = 0.568\,\hbar$

검토 $\Delta x\Delta p = 0.568\hbar > \hbar/2$. 불확정성 관계를 만족하고 최소에 꽤 가깝다. $\langle T\rangle$이 바닥 준위 $E_1$과 같은 것은 우물 안에서 $V=0$이기 때문이다. $\langle p\rangle = 0$이어도 $\langle p^2\rangle\neq0$이다. 전자는 양쪽 방향의 운동량을 반반 가진다.

아래 시뮬레이터에서는 파동함수를 손으로 그린다. 우물 벽($x = 0, 10$ nm)에서 0인 함수를 아홉 개의 점으로 정하면, 프로그램이 정규화하고 기댓값과 불확정도를 즉시 계산한다. 어떤 모양을 그려도 $\Delta x\,\Delta p$는 $\hbar/2$ 아래로 내려가지 않는다.

SIMULATOR

파동함수 그리기: 과녁 ⟨x⟩, Δx 맞히기

흰 점 아홉 개를 위아래로 끈다

위상 기울기 k₀

모양 불러오기

과녁 (⟨x⟩ ±0.15 nm, Δx ±0.10 nm)

—

정규화 상수 A—

⟨x⟩, Δx—

⟨p⟩, Δp—

⟨T⟩ (자유 전자)—

Δx·Δp / (ħ/2)—

점수—

위: 그린 함수(정규화 전, 선)와 손잡이. 아래: 정규화한 $|\psi|^2$(위상 색), $\langle x\rangle$(세로선)과 $\pm\Delta x$ 막대, 과녁(초록 띠). 점 사이는 3차 스플라인으로 잇는다. 해볼 것: ① 점들을 모두 같은 높이로 올렸다 내렸다 해도 정규화 후 $|\psi|^2$는 그대로다. 정규화 상수 $A$만 바뀐다. ② 부호가 바뀌는 함수(sin 들뜸)를 그리면 $\Delta p$와 $\langle T\rangle$가 커진다. 노드가 운동 에너지를 올린다. ③ k₀를 바꾸면 $\langle p\rangle$만 바뀌고 $\Delta p$는 그대로다. ④ 과녁을 맞히되 $\Delta x\Delta p$를 $\hbar/2$의 1.2배 아래로 하면 별 셋이다.

운동량 공간 파동함수와 푸리에 변환

$e^{ipx/\hbar}$는 $\hat p$를 작용하면 $p$가 그대로 나오는 함수, 곧 운동량 $p$의 고유 함수다. 정규화는 안 되지만($|e^{ipx/\hbar}|^2 = 1$이 끝없이 이어진다), 정규화 가능한 모든 파동함수를 이런 평면파의 중첩으로 쓸 수 있다. 그 중첩 계수가 운동량 공간 파동함수(momentum-space wave function) $\phi(p)$다.

$$\phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ipx/\hbar}\,\psi(x)\,dx, \qquad \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ipx/\hbar}\,\phi(p)\,dp$$

이 책의 푸리에 관례다. 파수로 쓰면 $\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-ikx}\psi\,dx$이고 $|\phi(p)|^2 = |\phi(k)|^2/\hbar$이다. 파르스발 정리(Parseval–Plancherel theorem) $\int|\phi(p)|^2dp = \int|\psi(x)|^2dx$ 덕분에 $\psi$가 정규화되어 있으면 $\phi$도 정규화되어 있다.

보른 규칙은 운동량에도 똑같이 적용된다. 운동량을 쟀을 때 $[p_1,p_2]$가 나올 확률은 $\int_{p_1}^{p_2}|\phi(p)|^2dp$이고, $\langle p\rangle = \int p\,|\phi|^2 dp$는 앞 절의 $\int\psi^*(-i\hbar\partial_x)\psi\,dx$와 같은 값이다. 운동량 공간에서는 역할이 바뀌어 $\hat p = p$(곱하기), $\hat x = i\hbar\,\partial/\partial p$다. $\psi(x)$와 $\phi(p)$는 같은 상태를 두 좌표계로 본 것이다(2장의 위치·운동량 표현).

운동량이 정확히 $\hbar k_0$인 평면파는 공간 어디에나 똑같이 퍼져 있다.
파수가 $k_0$와 $k_0\pm\delta k$인 세 파동을 더하면 $x=0$에서는 보강, 멀리서는 엇갈린다.
성분이 많을수록 가운데 봉우리 밖이 더 잘 지워진다. 띄엄띄엄한 $k$는 주기 $2\pi/\delta k$로 되풀이되는 무늬를 남긴다.
$k$를 연속으로 섞으면 하나뿐인 파속이 된다. $\phi(k)$가 넓을수록 파속은 좁다.

푸리에 합성. 공간에서 좁은 파속을 만들려면 넓은 범위의 파수가 필요하다. 이것이 $\Delta x$와 $\Delta p$가 서로 반비례하는 수학적 이유다.

가우스 파속: 최소 불확정 상태

가우스 함수의 푸리에 변환은 다시 가우스 함수다. 위치 표준편차 $\sigma$, 중심 파수 $k_0$인 파속은

$$\psi(x) = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}\,e^{-(x-x_0)^2/4\sigma^2}\,e^{ik_0x} \;\Longrightarrow\; |\phi(k)|^2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_k}\,e^{-(k-k_0)^2/2\sigma_k^2}, \quad \sigma_k = \frac{1}{2\sigma}$$

따라서 $\Delta x\,\Delta p = \sigma\cdot\hbar\sigma_k = \hbar/2$. 일반적으로 $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$이고(로버트슨 부등식, 3장), 등호는 처프 없는 가우스 파속에서만 성립한다. 그래서 가우스 파속을 최소 불확정 상태(minimum-uncertainty state)라 한다.

가우스 파속의 위치 폭 $\Delta x$를 절반으로 줄이면 운동량 분포 $|\phi(k)|^2$의 봉우리 높이는?

$\sigma_k = 1/2\sigma$이므로 $\Delta k$는 두 배가 된다. 넓이(전체 확률 1)는 그대로이므로 봉우리 높이는 절반이다. 위치 쪽 봉우리는 반대로 두 배 높아진다. 아래에서 폭 손잡이를 끌어 확인하라.

SIMULATOR

위치 ↔ 운동량 푸리에 쌍

왼쪽: 폭·위치 손잡이 · 오른쪽: k₀ 손잡이

모양

처프 추가 (c = 0.3 nm⁻²)

Δx—

Δk (= Δp/ħ)—

⟨k⟩—

Δx·Δp / (ħ/2)—

왼쪽: $\psi(x)$(위상 색 $|\psi|^2$). 오른쪽: FFT로 계산한 $|\phi(k)|^2$($k$는 nm⁻¹). 해볼 것: ① 가우스에서 폭을 바꿔도 $\Delta x\Delta p/(\hbar/2)$가 1.00에 머무는 것을 확인하라. ② 다른 모양은 모두 1보다 크다. "평평한 꼭대기"는 가장자리가 가팔라 $\Delta k$가 크다. ③ k₀ 손잡이를 끌면 $\phi$는 옮겨 가기만 하고, $\psi$에서는 색이 도는 빠르기만 바뀐다. ④ 처프를 켜면 $|\psi|^2$는 그대로인데 $\phi$가 넓어진다.

간격 d 상대 위상 α

MINI LAB두 봉우리 $\psi = [g(x+d/2) + e^{i\alpha}g(x-d/2)]/\sqrt{2}$(겹치지 않을 때)의 운동량 분포. 위치 공간에서는 두 봉우리가 떨어져 있어 간섭 무늬가 없지만, 운동량 공간에는 주기 $2\pi/d$의 줄무늬가 생긴다: $|\phi(k)|^2 = |\tilde g(k)|^2\,[1 + \cos(kd - \alpha)]$. 이중 슬릿을 지난 전자가 먼 화면(운동량 분포)에 무늬를 만드는 이유다.

델타 퍼텐셜에 묶인 전자의 상태 $\psi(x) = \sqrt{\kappa}\,e^{-\kappa|x|}$의 운동량 공간 파동함수를 구하라. 운동량을 쟀을 때 $|p| \le \hbar\kappa$가 나올 확률은?

풀이 보기

전략 푸리에 적분을 $x\gt 0$과 $x\lt 0$으로 나눠 계산하고, $|\phi(k)|^2$를 $[-\kappa,\kappa]$에서 적분한다.

풀이 $\int_0^\infty e^{-(\kappa+ik)x}dx + \int_{-\infty}^0 e^{(\kappa-ik)x}dx = \frac{1}{\kappa+ik} + \frac{1}{\kappa-ik} = \frac{2\kappa}{\kappa^2+k^2}$. 따라서 $\phi(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{\kappa^{3/2}}{\kappa^2+k^2}$(로런츠 꼴의 제곱근). 확률은 $\frac{2\kappa^3}{\pi}\int_{-\kappa}^{\kappa}\frac{dk}{(\kappa^2+k^2)^2}$. $k=\kappa\tan u$로 치환하면 $\frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/4}\cos^2u\,du = \frac{4}{\pi}\left(\frac{\pi}{8}+\frac14\right) = \frac12+\frac1\pi$.

$\phi(p) = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\dfrac{(\hbar\kappa)^{3/2}}{(\hbar\kappa)^2 + p^2}$, $P(|p|\le\hbar\kappa) = \frac12+\frac1\pi = 0.818$

검토 $\phi$는 $p$가 커질 때 $1/p^2$로만 줄어 꼬리가 길다. $\psi$가 $x=0$에서 뾰족하게 꺾인 탓이다. 날카로운 모양일수록 큰 운동량 성분이 필요하다. $\langle p^2\rangle = \hbar^2\kappa^2$은 유한하지만 $\langle p^4\rangle$은 발산한다.

가우스 파속의 퍼짐과 군속도

자유 입자($V=0$)에서는 평면파 $e^{i(kx-\omega t)}$가 그대로 정상 상태다. 진동수는 $\hbar\omega = \hbar^2k^2/2m$이다. 따라서 $\phi(k)$를 알면 시간 전개는 성분마다 위상을 돌린 뒤 다시 더하기만 하면 된다.

$$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\phi(k)\,e^{i(kx - \omega(k)t)}\,dk, \qquad \omega(k) = \frac{\hbar k^2}{2m}$$

$|\phi(k,t)|^2 = |\phi(k)|^2$은 시간에 따라 변하지 않는다. 자유 입자의 운동량 분포는 보존된다($[\hat H,\hat p]=0$). 바뀌는 것은 성분 사이의 상대 위상뿐이다.

$\phi(k)$가 $k_0$ 근처에 몰려 있으면 $\omega(k) \approx \omega_0 + v_g(k-k_0) + \tfrac12\omega''(k-k_0)^2$로 전개할 수 있다. 1차 항은 포락선 전체를 속도 $v_g$로 옮기고, 2차 항은 퍼짐을 만든다.

$$v_g = \frac{d\omega}{dk}\bigg|_{k_0} = \frac{\hbar k_0}{m} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k_0}{2m} = \frac{v_g}{2}$$

군속도(group velocity)는 고전 속도와 같고, 마루 하나가 움직이는 위상 속도(phase velocity)는 그 절반이다. 결정 속에서는 $v_g = \frac1\hbar\frac{dE}{dk}$이고, 띠 바닥 근처에서 $m\to m^*$로 바꾼다(7장).

가우스 파속은 이 적분을 정확히 할 수 있다. 결과는

$$\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \left(\frac{t}{\tau}\right)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar}, \qquad \Psi \propto \exp\!\left[-\frac{(x - v_gt)^2}{4\sigma_0^2(1 + it/\tau)}\right]e^{i(k_0x-\omega_0t)}$$

$t\gg\tau$이면 $\sigma \approx \frac{\hbar}{2m\sigma_0}t = \Delta v\,t$. 처음 속도 퍼짐 $\Delta v = \Delta p/m$만큼 고전 입자 무리처럼 벌어진다. 처음에 좁을수록 $\Delta v$가 커서 나중에는 더 넓어진다. 지수의 $1+it/\tau$ 때문에 시간이 지나면 위상에 $x^2$항, 곧 처프가 생긴다. 빠른 성분이 앞쪽에, 느린 성분이 뒤쪽에 모인다.

전자 파속 하나가 오른쪽으로 날아간다. 포락선 안의 한 마루(위상 색이 빨강인 줄)는 포락선과 비교해 어떻게 움직일까?

$v_p = v_g/2$. 마루는 포락선 앞쪽에서 생겨나 뒤쪽으로 빠져나가며 사라진다. 아래에서 초록 점(한 마루)과 자홍 점($\langle x\rangle$)의 속도를 비교하라.

SIMULATOR

파속 발사대: 퍼짐 σ(t), 군속도와 위상 속도

흰 점: 시작 위치 · 화살표 끝: k₀

처음 폭 σ₀

질량

Re Ψ 선으로 보기

t—

σ(t): 계산 / 공식—

v_g: 측정 / ħk₀/m—

v_p = v_g/2—

τ = 2mσ₀²/ħ—

분할 연산자(FFT) 시간 전개, 양 끝 흡수층. 아래 띠는 $\sigma(t)$ 그래프(점 = 계산, 선 = 공식). 질량을 바꾸면 화면 속도가 비슷하도록 시간 간격이 $m$에 비례하게 바뀐다. 해볼 것: ① $\sigma_0$를 0.5 nm로 줄여 쏘면 $\tau$가 짧아 금세 넓어진다. ② "Re Ψ"를 켜고 한 마루를 눈으로 따라가 보라. ③ 유효 질량 0.067 mₑ(GaAs 전도대)에서는 같은 $\sigma_0$라도 $\tau$가 15배 짧다. ④ $k_0 = 0$으로 두면 파속은 제자리에서 퍼지기만 한다.

세로선을 좌우로 끌어 시간을 고른다

처음 폭 σ₀

MINI LAB같은 $\sigma_0$로 출발한 전자·양성자·C₆₀ 분자(720 u)·먼지 알갱이(1 fg)의 $\sigma(t)$(QM.spread, 로그–로그). 꺾이는 시각이 $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$이다. 질량이 $10^6$배면 $\tau$도 $10^6$배라 무거운 물체의 파속은 사실상 퍼지지 않는다. 이것이 고전 극한의 한 조건이다.

질량 1.00인 입자의 파속을 $\sigma_0$ = 1.0로 준비하면 $\tau$ = 이고, 폭이 두 배가 되는 시각은 $\sqrt3\,\tau$ = 이다. 에너지 0.10로 날아가면($v_g$ = ) 그동안 이동한다.

폭 $\sigma_0 = 1.0$ nm로 준비한 자유 전자 파속은 언제 폭이 두 배가 되는가? 같은 폭의 양성자($m_p = 1836\,m_\mathrm{e}$)는?

풀이 보기

전략 $\sigma = 2\sigma_0$이려면 $1+(t/\tau)^2 = 4$, 곧 $t = \sqrt3\,\tau$. $\hbar/m_\mathrm{e} = 2(\hbar^2/2m_\mathrm{e})/\hbar = 0.1158$ nm²/fs를 쓴다.

풀이 전자: $\tau = 2\sigma_0^2/(\hbar/m_\mathrm{e}) = 2(1.0)^2/0.1158 = 17.3$ fs, $t = \sqrt3\times17.3 = 29.9$ fs. 양성자: $\tau$가 1836배이므로 $t = 29.9\times1836 = 5.49\times10^4$ fs = 54.9 ps.

전자 29.9 fs, 양성자 54.9 ps

검토 1 nm 크기의 전자 파속은 수십 fs 만에 퍼진다. 전자 속 원자 크기 파속이 늘 "퍼진 구름"으로 보이는 이유다. 결정 속 전자는 퍼텐셜이 묶어 두거나 산란이 파속을 계속 새로 만든다.

운동 에너지 1.00 eV의 자유 전자 파속의 군속도와 위상 속도를 구하라. 100 fs 동안 파속 중심은 얼마나 움직이는가?

풀이 보기

전략 $k_0 = \sqrt{E/(\hbar^2/2m)}$, $v_g = \hbar k_0/m$, $v_p = v_g/2$.

풀이 $k_0 = \sqrt{1.00/0.0381} = 5.12$ nm⁻¹. $v_g = 0.1158\times5.12 = 0.593$ nm/fs $= 5.93\times10^5$ m/s. $v_p = 0.297$ nm/fs. 100 fs 동안 $0.593\times100 = 59.3$ nm.

$v_g = 5.93\times10^5$ m/s, $v_p = 2.97\times10^5$ m/s, 59.3 nm

검토 $v_g = \sqrt{2E/m}$로 계산해도 같다. 위상 속도는 측정되는 양이 아니다(전체 위상처럼 에너지 기준점을 바꾸면 $\omega$가 바뀐다). 신호와 확률은 군속도로 전달된다.

에렌페스트 정리와 고전 극한

앞에서 $\langle p\rangle = m\,d\langle x\rangle/dt$를 보였다. 운동량 기댓값의 변화율도 같은 방법으로 계산한다. $\partial_t\Psi$에 슈뢰딩거 방정식을 넣고 부분 적분하면 운동 에너지 항은 지워지고 퍼텐셜 항만 남는다($[V(x),\hat p] = i\hbar V'(x)$).

$$\frac{d\langle x\rangle}{dt} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{d\langle p\rangle}{dt} = -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle$$

에렌페스트 정리(Ehrenfest theorem). 일반형은 $\frac{d}{dt}\langle Q\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle[\hat H,\hat Q]\rangle + \langle\partial_t\hat Q\rangle$이다(4장). 위 두 식은 $Q = x, p$인 경우다.

뉴턴 방정식과 똑같아 보이지만 결정적인 차이가 있다. 오른쪽은 힘의 평균 $\langle F(x)\rangle$이지 평균 위치에서의 힘 $F(\langle x\rangle)$이 아니다. 둘이 같아지는 것은 $F$가 $x$의 1차 함수일 때, 곧 퍼텐셜이 많아야 2차식(자유 입자, 균일한 장, 조화 퍼텐셜)일 때뿐이다. 그 밖에는 파속 중심 근처에서 전개해

$$\langle F(x)\rangle \approx F(\langle x\rangle) + \tfrac12 F''(\langle x\rangle)\,(\Delta x)^2 + \cdots$$

파속의 폭 $\Delta x$가 힘이 크게 바뀌는 길이($\sim|F'/F''|$)보다 훨씬 작으면 보정은 무시할 만하고, $\langle x\rangle$는 고전 궤적을 따른다.

같은 $\langle x\rangle$에 놓인 좁은 파속(자홍)과 넓은 파속(초록 점선). 사차 퍼텐셜에서 힘 $F = -4\beta x^3$은 바깥쪽에서 훨씬 세다. 넓은 파속은 바깥쪽 꼬리가 큰 힘을 받아 평균 힘이 $F(\langle x\rangle)$보다 약 64% 크다($\Delta x = 0.6$, $\langle x\rangle = 1.3$ 단위). 그래서 넓은 파속의 중심은 고전 궤적에서 벗어난다.

파속의 흰 점: 가운데 = 위치, 오른쪽 = 폭

MINI LAB$V = \beta x^4$($\beta = 0.05$ eV/nm⁴) 위의 가우스 파속. 아래 화살표 둘은 평균 힘 $\langle F\rangle = -4\beta(\langle x\rangle^3 + 3\langle x\rangle\Delta x^2)$(자홍)와 평균 위치의 힘 $F(\langle x\rangle)$(초록)이다. 비율은 $1 + 3\Delta x^2/\langle x\rangle^2$로 정확하다. 파속을 좁히거나 바깥으로 옮기면 두 화살표가 같아진다.

아래 시뮬레이터는 같은 처음 조건($\langle x\rangle_0$, $\langle p\rangle_0 = 0$)에서 양자 파속의 $\langle x\rangle(t)$와 고전 입자의 $x(t)$를 나란히 그린다. 조화 퍼텐셜에서는 둘이 영원히 겹친다. 파속의 폭이 숨 쉬듯 변해도 그렇다. 사차 퍼텐셜에서는 진동수가 진폭에 따라 달라서, 파속의 여러 부분이 서로 다른 박자로 돌다가 퍼져 버린다. 그러면 $\langle x\rangle$의 진동이 잦아든다. 고전 입자는 계속 진동하는데도 그렇다.

조화 퍼텐셜에서 처음에 아주 넓은 파속(바닥 상태 폭의 세 배)을 한쪽으로 치우쳐 놓으면 $\langle x\rangle(t)$는?

조화 퍼텐셜에서는 $F = -\kappa x$가 1차 함수라 $\langle F\rangle = F(\langle x\rangle)$이고, 에렌페스트 정리가 곧 고전 운동 방정식이다. 폭은 진동수 $2\omega$로 숨 쉬지만 중심은 고전 궤적을 따른다. 사차·이중 우물로 바꿔 비교하라.

SIMULATOR

에렌페스트 대 뉴턴: ⟨x⟩(t)와 고전 궤적

파속의 흰 점: 시작 위치 · 작은 점: 폭

퍼텐셜

t—

⟨x⟩ / 고전 x—

Δx—

⟨F⟩ / F(⟨x⟩)—

위: 퍼텐셜(초록)과 파속(위상 색). 아래: $\langle x\rangle(t)$(자홍)와 고전 궤적(초록 점선). 자유 전자, 조화 $V = \frac12\kappa x^2$($\kappa = 0.1$ eV/nm², 주기 47.4 fs), 사차 $V = \beta x^4$($\beta = 0.004$ eV/nm⁴), 이중 우물 $V = \beta(x^2-9)^2$($\beta = 0.01$ eV/nm⁴). 해볼 것: ① 조화에서 폭을 바꿔도 두 곡선이 겹친다. ② 사차에서 좁은 파속과 넓은 파속을 비교하라. 넓을수록 빨리 어긋난다. ③ 이중 우물에서 장벽보다 조금 낮은 에너지로 놓으면 고전 입자는 한쪽 우물에 갇히지만 파속은 에너지 퍼짐과 터널링 때문에 일부가 장벽 너머로 새어 $\langle x\rangle$가 0 쪽으로 간다.

고전 극한의 조건

정리하면, 입자가 고전적으로 보이려면 (1) 파속의 폭이 퍼텐셜이 바뀌는 길이 $L$보다 훨씬 작고, (2) 그 폭이 관찰 시간 동안 퍼지지 않아야 하며($\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$가 길어야 하며), (3) 드브로이 파장도 $L$보다 훨씬 작아야 한다. 무거운 물체는 세 조건을 쉽게 만족한다. 나노미터 소자 속 전자는 그렇지 않다.

상온($k_BT = 25.9$ meV) 실리콘 전도대 전자(전도 유효 질량 $m^* = 0.26\,m_\mathrm{e}$)의 열 드브로이 파장 $\lambda_\mathrm{th} = h/\sqrt{2\pi m^*k_BT}$를 구하고, 채널 길이 10 nm 소자의 퍼텐셜 변화 길이와 비교하라.

풀이 보기

전략 $\lambda_\mathrm{th}^2 = \dfrac{h^2}{2\pi m^*k_BT} = \dfrac{4\pi}{k_BT}\cdot\dfrac{\hbar^2}{2m^*}$로 바꾸면 이 책의 단위로 바로 계산된다.

풀이 $\hbar^2/2m^* = 0.0381/0.26 = 0.1465$ eV·nm². $\lambda_\mathrm{th}^2 = 4\pi\times0.1465/0.02585 = 71.2$ nm², $\lambda_\mathrm{th} = 8.44$ nm.

$\lambda_\mathrm{th} \approx 8.4$ nm ≈ 채널 길이

검토 열적으로 준비된 전자 파속의 크기가 소자 크기와 같다. 고전 조건 (1)과 (3)이 깨진다. 장벽 꼭대기의 터널링, 반전층의 양자 구속, 소스–드레인 직접 터널링이 모두 이 길이에서 나타난다. 같은 계산을 자유 전자 질량으로 하면 4.3 nm다.

드리프트–확산은 에렌페스트 정리 위에 서 있다

TCAD의 드리프트–확산·에너지 균형·몬테카를로 모형은 전자를 "위치와 운동량을 가진 점"으로 다룬다. 이 장의 말로 하면 파속 중심이 에렌페스트 정리로 고전 궤적을 따르고, 산란이 파속을 자주 새로 만들어 퍼짐을 끊는다고 가정한다. 이 가정은 위 예제처럼 파속 크기(수 nm)가 퍼텐셜 변화 길이보다 작아야 성립한다. 게이트 길이가 10 nm대로 줄면 반전층 안의 양자 구속이 나타나 전하 중심이 계면에서 1 nm쯤 떨어진다. 그러면 밀도 기울기(density-gradient) 같은 양자 보정을 $\langle F\rangle$와 $F(\langle x\rangle)$의 차이처럼 덧붙이거나, 아예 슈뢰딩거 방정식을 푸는 NEGF로 넘어가야 한다. → TCADBook · 드리프트-확산을 넘어서

전자 빔의 결맞음과 전자 현미경

전자 현미경과 전자 빔 묘화(EBL)는 이 장의 도구를 그대로 쓰는 장치다. 가속 전압 $V$로 가속한 전자의 운동량은 상대론적으로 $pc = \sqrt{E_k(E_k + 2m_\mathrm{e}c^2)}$, $E_k = eV$이므로 파장은

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{\sqrt{eV\,(eV + 2m_\mathrm{e}c^2)}} = \frac{1.2264\ \text{nm}}{\sqrt{V[\text{V}]\,(1 + 0.97848\times10^{-6}\,V[\text{V}])}}$$

$m_\mathrm{e}c^2 = 511.0$ keV, $hc = 1239.84$ eV·nm. 1 kV(저전압 SEM) 38.8 pm, 30 kV(SEM) 6.98 pm, 100 kV(EBL) 3.70 pm, 200 kV(TEM) 2.51 pm. 비상대론 식은 200 kV에서 9% 길게 나온다.

곡선 위의 점을 좌우로 끈다

MINI LAB가속 전압에 따른 전자 파장(로그–로그). 자홍: 상대론, 초록 점선: 비상대론 $h/\sqrt{2m_\mathrm{e}eV}$. 100 kV를 넘으면 차이가 몇 %를 넘는다. 전자 속도 $v/c$도 함께 보인다.

파장이 pm 수준이므로 회절 한계($\sim\lambda/\alpha$)는 렌즈의 수차보다 훨씬 작다. 실제 분해능은 수차와 시료 안 산란이 정한다. 대신 위상을 이용하는 영상, 곧 HRTEM 격자 영상, 전자 홀로그래피, 위상 대비는 빔이 얼마나 결맞는가에 달려 있다.

빔은 순수한 파동함수가 아니다

전자원은 크기가 있고 에너지도 조금씩 다르다. 그래서 빔 속 전자는 저마다 진행 방향이 약간 다른 파속이다. 방향이 $\theta$만큼 기운 성분은 가로 파수 $k_\perp = k\theta$를 가지므로, 가로로 $d$만큼 떨어진 두 점 사이에 상대 위상 $k_\perp d$가 생긴다. 이 위상을 성분 분포에 대해 평균한 것이 두 점의 간섭 무늬 선명도, 곧 결맞음(coherence)이다. 각 분포가 표준편차 $\alpha$인 가우스이면 4절의 푸리에 쌍이 그대로 나온다.

$$\gamma(d) = \left\langle e^{ik_\perp d}\right\rangle = e^{-d^2/2\ell_\perp^2}, \qquad \ell_\perp = \frac{1}{k\alpha} = \frac{\lambda}{2\pi\alpha}, \qquad \ell_\parallel = \frac{\hbar v}{\Delta E}$$

$\ell_\perp$은 가로 결맞음 길이(transverse coherence length)로, 조명 각 퍼짐 $\alpha$(rms)가 작을수록, 곧 전자원이 작고 멀수록 길다(반 시터르–제르니커 정리). $\ell_\parallel$은 에너지 퍼짐 $\Delta E$가 정하는 세로 결맞음 길이(longitudinal coherence length)로, $\Delta k = \Delta E/\hbar v$의 역수다. 문헌마다 $2\pi$나 2 같은 인자를 다르게 잡으니 정의를 확인해야 한다.

결맞음의 기하. 전자원의 각 점에서 나온 파동은 서로 결맞지 않는다. 시료 면에서 각 퍼짐 $\alpha$는 가로 파수의 퍼짐 $k\alpha$가 되고, 그 푸리에 짝인 $\ell_\perp$보다 가까운 두 점만 간섭 무늬를 만든다. 전계 방출 전자원(FEG)이 열전자원보다 위상 영상에 유리한 이유는 전자원이 작아 $\alpha$가 작고 $\Delta E$도 작기 때문이다.

가속 전압 200의 전자는 파장 $\lambda$ = , 속도 이다. 조명 각 퍼짐이 10이면 $\ell_\perp$ = , 에너지 퍼짐이 0.7이면 $\ell_\parallel$ = 이다.

결맞음을 직접 보는 장치가 전자 바이프리즘이다. 빔 가운데에 놓인 가는 대전 철사가 빔의 두 부분을 서로 기울여 겹치게 한다. 원래 $d$만큼 떨어져 있던 두 부분이 겹쳐 무늬를 만들고, 무늬의 가시도가 $|\gamma(d)|$다. 1989년 도노무라 연구진은 전자를 한 번에 하나씩 보내 이 무늬가 점 하나하나로 쌓이는 것을 보였다.

SIMULATOR

전자 바이프리즘: 가시도와 결맞음 길이

곡선 위의 점을 끌어 간격 d를 바꾼다

가속 전압 조명 각 퍼짐 α

과녁: 목표 가시도 (±0.03)

—

λ—

ℓ⊥ = λ/2πα—

간격 d—

가시도: 이론 / 측정—

전자 수—

위: 결맞음 함수 $|\gamma(d)|$와 고른 간격 $d$(흰 점, 로그 눈금). 아래: 검출기에 하나씩 도착한 전자의 히스토그램(무늬 주기 단위)과 이론 세기 $1 + |\gamma|\cos(2\pi y/\Lambda)$. 측정 가시도는 도착점들의 푸리에 성분 $2|\langle e^{2\pi iy/\Lambda}\rangle|$로 계산한다(시드 고정 난수). 해볼 것: ① $d$를 $\ell_\perp$과 같게 하면 가시도가 $e^{-1/2} = 0.61$이다. ② 전압을 낮추면 $\lambda$가 길어져 $\ell_\perp$이 늘어난다. 같은 $d$에서 무늬가 선명해진다. ③ 과녁 가시도를 $d$만으로, 또는 $\alpha$만으로 맞혀 보라.

200 kV TEM에서 빔 전류가 1.0 nA이다. 전자 사이의 평균 간격(빔 방향)은 얼마이고, 세로 결맞음 길이 $\ell_\parallel$($\Delta E = 0.7$ eV)과 비교하면?

풀이 보기

전략 초당 전자 수 $I/e$와 속도 $v$에서 간격 $= v/(I/e)$. 속도는 $\gamma = 1 + eV/m_\mathrm{e}c^2$에서 $\beta = \sqrt{1-1/\gamma^2}$.

풀이 $\gamma = 1 + 200/511.0 = 1.391$, $\beta = 0.695$, $v = 2.08\times10^8$ m/s. $I/e = 1.0\times10^{-9}/1.602\times10^{-19} = 6.24\times10^9$ s⁻¹. 간격 $= 2.08\times10^8/6.24\times10^9 = 0.0334$ m = 3.3 cm. $\ell_\parallel = \hbar v/\Delta E = 0.6582\times(0.695\times299.8)/0.7 = 196$ nm.

평균 간격 ≈ 3.3 cm, $\ell_\parallel$ ≈ 0.2 µm

검토 이웃 전자 사이 거리는 한 전자의 결맞음 길이의 $10^5$배다. 전자 현미경의 간섭 무늬와 격자 영상은 전자 하나가 자기 자신과 간섭해서 생긴다. 디랙의 말처럼 "각 광자(전자)는 자기 자신과만 간섭한다." 두 전자 사이의 간섭은 거의 없다.

TEM 격자 영상과 전자 홀로그래피

불량 분석 TEM(200–300 kV)의 격자 영상은 투과 빔과 회절 빔의 상대 위상이 만든 간섭 무늬다. 시료 위 0.2–0.3 nm 간격의 원자 기둥을 보려면 그 간격보다 결맞음 길이가 훨씬 길어야 하므로 $\alpha$를 0.1 mrad 이하로 줄인다($\ell_\perp$ 수 nm 이상). 전자 홀로그래피는 바이프리즘으로 시료를 지난 파동과 진공을 지난 파동을 겹쳐 시료가 준 위상을 직접 잰다. 위상 $\varphi = C_E\int V\,dz$가 시료 속 정전 퍼텐셜에 비례하므로 pn 접합의 내부 전위나 도펀트 분포를 nm 분해능으로 그릴 수 있다. 이것도 $\ell_\perp$이 시료–진공 거리(수백 nm)보다 길어야 가능하다. → FailureBook · TEM · STEM

전자 빔 묘화와 리뷰 SEM: 파장이 아니라 빔 크기가 한계

마스크 묘화와 연구용 EBL은 50–100 kV 전자($\lambda$ 5.4–3.7 pm)를 쓴다. 파장은 nm 패턴보다 1000배 짧아 회절은 문제가 아니다. 해상도를 정하는 것은 전자원 크기의 축소 상, 렌즈 수차, 쿨롱 상호작용에 의한 빔 퍼짐, 그리고 레지스트·기판 속 산란(근접 효과)이다. 리뷰 SEM과 전자빔 검사기도 마찬가지다. 1 kV 저전압에서 $\lambda = 38.8$ pm여도 분해능은 1 nm 남짓이다. 빔을 가늘게 모으려면 수렴각 $\alpha$를 키워야 하는데, 그러면 구면 수차($\propto\alpha^3$)가 커진다. 이 맞바꿈이 장비 설계의 핵심이다. → LithoBook · 마스크와 위상 변이(전자빔 묘화), YieldBook · 전자빔 검사와 리뷰 SEM

핵심 정리

파동함수 $\Psi = |\Psi|e^{i\theta}$는 복소수다. 보른 규칙 $P_{ab} = \int_a^b|\Psi|^2dx$와 정규화 $\int|\Psi|^2dx = 1$이 실험과의 연결이다. 전체 위상은 관측되지 않고, 상대 위상은 간섭 항 $2\mathrm{Re}[e^{i\alpha}\psi_1^*\psi_2]$으로 관측된다.
연속 방정식 $\partial_t\rho + \partial_x j = 0$, $j = \frac{\hbar}{m}\mathrm{Im}(\Psi^*\Psi') = \rho\,S'/m$. 실수 파동함수는 $j = 0$이고, $Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$의 흐름은 $\frac{\hbar k}{m}(|A|^2-|B|^2)$이다. 허수 퍼텐셜 $-i\Gamma/2$는 수명 $\hbar/\Gamma$의 소멸을 만든다.
$\hat x = x$, $\hat p = -i\hbar\partial_x$, $[\hat x,\hat p] = i\hbar$. $\langle p\rangle = m\,d\langle x\rangle/dt = m\int j\,dx$, $\langle p^2\rangle = \hbar^2\int|\Psi'|^2dx$. 위상 기울기 $e^{ik_0x}$는 $\langle p\rangle$를 $\hbar k_0$만큼 옮길 뿐 $\Delta p$는 바꾸지 않는다.
$\phi(p) = (2\pi\hbar)^{-1/2}\int e^{-ipx/\hbar}\psi\,dx$는 같은 상태의 운동량 표현이다. 가우스 파속은 $\sigma_k = 1/2\sigma$로 $\Delta x\Delta p = \hbar/2$를 이루는 최소 불확정 상태이고, 다른 모양이나 처프가 있으면 곱이 커진다.
자유 파속: $v_g = d\omega/dk = \hbar k_0/m$, $v_p = v_g/2$, $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1+(t/\tau)^2}$, $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$(전자 1 nm → 17 fs). 운동량 분포는 변하지 않고 위상에 처프가 생긴다.
에렌페스트 정리 $d\langle p\rangle/dt = -\langle V'\rangle$는 $V$가 2차 이하일 때 정확히 고전 궤적을 준다. 그 밖에는 $\frac12F''\Delta x^2$만큼 어긋나며, 고전 극한은 파속 폭·파장이 퍼텐셜 변화 길이보다 작을 때다.
전자 빔: $\lambda = hc/\sqrt{eV(eV+2m_\mathrm{e}c^2)}$(200 kV → 2.51 pm), 가로 결맞음 $\ell_\perp = \lambda/2\pi\alpha$, 세로 결맞음 $\ell_\parallel = \hbar v/\Delta E$. 간섭 무늬는 전자 하나가 자기 자신과 간섭해 생긴다.

연습문제

따로 말이 없으면 자유 전자, $\hbar = 0.6582$ eV·fs, $\hbar^2/2m_\mathrm{e} = 0.0381$ eV·nm², $\hbar/m_\mathrm{e} = 0.1158$ nm²/fs, $m_\mathrm{e}c^2 = 511.0$ keV, $hc = 1239.8$ eV·nm를 쓴다. 답이 1% 안이면 정답이다(따로 적은 문제 제외).

$\psi(x) = A\,e^{-|x|/a}$, $a = 0.50$ nm를 정규화하라($A\gt 0$). 위치를 쟀을 때 $|x|\lt a$일 확률은?

$\int_{-\infty}^\infty e^{-2|x|/a}dx = a$.

$A^2a = 1$에서 $A = 1/\sqrt{0.50} = 1.41$ nm$^{-1/2}$. $P = \frac{2}{a}\int_0^a e^{-2x/a}dx = 1 - e^{-2} = 0.865$.

예제의 상태 $\psi = \sqrt{30/a^5}\,x(a-x)$($0\le x\le a$)에서 가운데 1/3 구간 $[a/3, 2a/3]$에서 전자를 발견할 확률은?

$u = x/a$로 바꾸고 $30\int u^2(1-u)^2du = 30\left[\frac{u^3}{3}-\frac{u^4}{2}+\frac{u^5}{5}\right]$.

$30\left[\frac{u^3}{3}-\frac{u^4}{2}+\frac{u^5}{5}\right]_{1/3}^{2/3} = 47/81 = 0.580$. 균일 분포의 1/3보다 훨씬 크다. $|\psi|^2$이 가운데에 몰려 있기 때문이다.

$\psi_1$과 $\psi_2$가 공간에서 겹치는 두 정규화된 함수일 때, 다음 중 $\Psi_A = \psi_1 + \psi_2$와 물리적으로 같은 상태는?

$-i\psi_1 - i\psi_2 = e^{-i\pi/2}(\psi_1+\psi_2)$는 전체 위상만 다르다. 나머지 셋은 상대 위상이 다르거나(앞의 둘), 운동량의 부호가 뒤집힌 상태(복소 켤레, 시간 반전)다. 겹치는 곳의 $|\Psi|^2$이나 운동량 분포가 달라진다.

에너지 0.25 eV의 전자 상태가 $\psi = A(e^{ikx} + 0.6\,e^{-ikx})$, $|A|^2 = 0.020$ nm⁻¹이다. 알짜 확률 흐름 $j$를 fs⁻¹ 단위로 구하라.

$j = \frac{\hbar k}{m}(|A|^2 - |B|^2)$, $k = \sqrt{E/0.0381}$ nm⁻¹.

$k = \sqrt{0.25/0.0381} = 2.562$ nm⁻¹, $\hbar k/m = 0.1158\times2.562 = 0.2965$ nm/fs. $j = 0.2965\times0.020\times(1-0.36) = 3.80\times10^{-3}$ fs⁻¹. 초당 $3.80\times10^{12}$개의 전자, 전류로 0.61 µA다.

준결합 상태를 $V = V_0 - i\Gamma/2$, $\Gamma = 2.0$ meV로 흉내 낸다. 수명 $\tau$와, 1.0 ps 뒤 상태에 남은 확률을 구하라.

$\tau = \hbar/\Gamma = 0.6582/0.0020 = 329$ fs. $P = e^{-1000/329} = 0.0479$.

폭 $a = 2.0$ nm인 무한 우물의 바닥 상태에서 $\Delta x$(nm)와 $\Delta p$($\hbar$/nm 단위)를 구하라.

$\Delta x = a\sqrt{\frac{1}{12} - \frac{1}{2\pi^2}}$, $\Delta p = \pi\hbar/a$.

$\Delta x = 2.0\times0.1808 = 0.362$ nm, $\Delta p = \pi/2.0 = 1.57\,\hbar$/nm. 곱은 $0.568\hbar$로 $a$와 무관하다.

가우스 파속 $\psi \propto e^{-x^2/4\sigma^2}e^{ik_0x}$($\sigma = 0.50$ nm, $k_0 = 5.0$ nm⁻¹)의 운동 에너지 기댓값을 구하라.

$\langle p^2\rangle = \langle p\rangle^2 + (\Delta p)^2 = \hbar^2\left(k_0^2 + \frac{1}{4\sigma^2}\right)$.

$\langle T\rangle = 0.0381\times(25 + 1) = 0.991$ eV. 위상 기울기 몫이 0.953 eV, 폭에서 온 몫이 0.038 eV다.

어떤 시각에 파동함수가 실수 함수 $\psi(x)$(곱해진 상수 위상 제외)이다. 이 순간에 대해 옳은 것은?

$j = \frac{\hbar}{m}\mathrm{Im}(\psi\psi') = 0$이고 $\langle p\rangle = m\int j\,dx = 0$이다. 그러나 $\langle p^2\rangle = \hbar^2\int\psi'^2dx > 0$이다. 양쪽 방향 운동량이 같은 비율로 섞여 있을 뿐 정지한 것이 아니다.

$\psi = \sqrt\kappa\,e^{-\kappa|x|}$ 상태에서 운동량을 쟀을 때 $|p| \le 2\hbar\kappa$가 나올 확률은?

$\int_0^{q}\frac{du}{(1+u^2)^2} = \frac12\left(\arctan q + \frac{q}{1+q^2}\right)$.

예제의 $|\phi(k)|^2 = \frac{2\kappa^3}{\pi(\kappa^2+k^2)^2}$을 $|k|\le2\kappa$에서 적분하면 $P = \frac{2}{\pi}\left(\arctan2 + \frac{2}{5}\right) = \frac2\pi(1.1071 + 0.4) = 0.959$.

위치 퍼짐 $\Delta x = 0.20$ nm인 최소 불확정 가우스 전자 파속의 속도 퍼짐 $\Delta v$는?

$\Delta p = \hbar/2\Delta x$이므로 $\Delta v = \frac{\hbar}{m}\frac{1}{2\Delta x} = 0.1158/0.40 = 0.289$ nm/fs $= 2.89\times10^5$ m/s.

$\sigma_0 = 0.10$ nm로 준비한 양성자($m = 1836\,m_\mathrm{e}$) 파속의 폭이 1.0 nm가 되는 데 걸리는 시간은?

$\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar = 2\times1836\times0.010/0.1158 = 317$ fs. $\sqrt{1+(t/\tau)^2} = 10$에서 $t = \sqrt{99}\,\tau = 3.16\times10^3$ fs = 3.16 ps.

자유 전자 파속을 준비하고 100 fs 뒤에 위치를 잰다. 그때의 폭 $\sigma(t)$이 가장 작도록 하는 처음 폭 $\sigma_0$와 그때의 $\sigma(t)$를 구하라.

$\sigma^2(t) = \sigma_0^2 + \left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}\right)^2$을 $\sigma_0$로 미분한다.

$\frac{d\sigma^2}{d\sigma_0} = 2\sigma_0 - 2\frac{(\hbar t/2m)^2}{\sigma_0^3} = 0$에서 $\sigma_0^2 = \frac{\hbar t}{2m} = 0.1158\times100/2 = 5.79$ nm², $\sigma_0 = 2.41$ nm. 그때 $t = \tau$이므로 $\sigma = \sqrt2\,\sigma_0 = 3.40$ nm. 너무 좁게 준비하면 빨리 퍼지고, 너무 넓으면 처음부터 넓다.

포물선 띠 $E = \hbar^2k^2/2m^*$($m^* = 0.26\,m_\mathrm{e}$) 바닥 근처에서 $k_0 = 1.0$ nm⁻¹인 전자 파속의 군속도와 위상 속도는? (에너지 기준은 띠 바닥)

$v_g = \hbar k_0/m^* = 0.1158\times1.0/0.26 = 0.445$ nm/fs $= 4.45\times10^5$ m/s. $v_p = v_g/2 = 2.23\times10^5$ m/s. 띠 바닥을 기준으로 잡았을 때의 값이다. 위상 속도는 에너지 기준에 따라 바뀐다.

퍼텐셜 $V = \beta x^4$($\beta = 0.50$ eV/nm⁴) 안의 가우스 파속이 $\langle x\rangle = 1.00$ nm, $\Delta x = 0.30$ nm이다. 평균 힘 $\langle F\rangle$와 $\langle F\rangle/F(\langle x\rangle)$를 구하라.

가우스 분포에서 $\langle x^3\rangle = \mu^3 + 3\mu\sigma^2$.

$\langle F\rangle = -4\beta\langle x^3\rangle = -4(0.50)(1.00 + 3\times1.00\times0.09) = -2.54$ eV/nm. $F(\langle x\rangle) = -2.00$ eV/nm이므로 비율은 1.27. 파속 중심은 고전 입자보다 27% 큰 복원력을 받는다.

200 kV로 가속한 전자의 드브로이 파장을 상대론 식으로 구하라.

$pc = \sqrt{eV(eV + 2m_\mathrm{e}c^2)} = \sqrt{200(200+1022)}$ keV $= 494.4$ keV. $\lambda = hc/pc = 1239.8/494400$ nm $= 2.51\times10^{-3}$ nm = 2.51 pm. 비상대론 식은 2.74 pm이다.

200 kV($\lambda = 2.508$ pm) TEM의 조명 각 퍼짐이 rms $\alpha = 10$ µrad이다. 가로 결맞음 길이 $\ell_\perp = \lambda/2\pi\alpha$를 구하고, 바이프리즘으로 $d = 50$ nm 떨어진 두 부분을 겹쳤을 때 무늬의 가시도를 구하라.

$\ell_\perp = 2.508\times10^{-3}/(2\pi\times10^{-5}) = 39.9$ nm. 가시도 $= e^{-d^2/2\ell_\perp^2} = e^{-2500/3186} = e^{-0.785} = 0.456$.

개념 확인 퀴즈

1차원 파동함수 $\Psi(x)$의 단위가 nm$^{-1/2}$인 이유는?

$|\Psi|^2$는 확률 밀도(nm⁻¹)이고 $dx$(nm)를 곱해야 확률이 된다. 3차원에서는 $\Psi$의 단위가 nm$^{-3/2}$이다.

무한 우물의 정상 상태 $\sqrt{2/a}\sin(n\pi x/a)e^{-iE_nt/\hbar}$에서 확률 흐름 $j$는?

공간 부분이 실수이고 시간 인자는 전체 위상이다. $j = \frac{\hbar}{m}\mathrm{Im}(\Psi^*\Psi') = 0$. 정상파는 $e^{ikx}$와 $e^{-ikx}$가 같은 크기로 섞인 것이라 흐름이 상쇄된다.

$\psi(x)$에 $e^{ik_0x}$를 곱하면 운동량 공간 파동함수는?

$\int e^{-ikx}e^{ik_0x}\psi\,dx = \phi(k-k_0)$. 위치에 따라 달라지는 위상은 전체 위상이 아니다. 운동량을 바꾼다.

조화 퍼텐셜 속 파속의 $\langle x\rangle(t)$가 고전 궤적과 정확히 같은 이유는?

에렌페스트 정리의 오른쪽 $-\langle V'\rangle$이 $V'$이 선형일 때만 $-V'(\langle x\rangle)$과 같다. 파속의 폭은 진동해도 상관없다.

전자 바이프리즘 무늬를 더 선명하게(가시도를 크게) 만드는 방법은?

가시도 $e^{-d^2/2\ell_\perp^2}$, $\ell_\perp = \lambda/2\pi\alpha$. $\alpha$를 줄이면 $\ell_\perp$이 길어진다. 전압을 높이면 $\lambda$가 짧아져 오히려 $\ell_\perp$이 줄고, 전류는 가시도와 무관하다(전자는 하나씩 간섭한다). 대신 밝기가 줄어드는 대가를 치른다.